prelucrarea datelor experimentale

CAPITOLUL 2

PRELUCRAREA STATISTICĂ A DATELOR EXPERIMENTALE

Extensia

2.1 Generarea erorilor de măsurare, 5 pag. 2.2 Clase de erori aparente, 2,5 pag. 2.3 Histogramă. Curbă continuă. Funcţie de repartiţie, 2,5 pag. 2.4 Indicatori statistici, 1,5 pag. 2.5 Repartiţia normală Gauss a erorilor aleatorii, 4,5 pag. 2.6 Propagarea erorilor, 1,5 pag. 2.7 Prezentarea datelor experimentale, 1,5 pag. 2.8 Metoda celor mai mici pătrate, 0,25 pag. 2.9 Semnificaţia cifrelor. Rotunjirea numerelor, 1,5 pag. 2.10 Probleme rezolvate, 1,5 pag. 2.11 Intrebări bipolare, 0,25 pag. 2.12 Testul grilă T2, 1,5 pag. 2.13 Soluţiile testului grilă T2, 0,25 pag. 2.14 Rezumatul capitolului 2, 0,25 pag.

Obiective

Formarea priceperilor de prelucrare a datelor experimentale şi de prezentare a acestora sub formă de grafice şi tabele cu precizarea erorilor de măsurare. Înţelegerea sensului fizic al distribuţiei normale Gauss. Dezvoltarea abilităţii de calcul a mărimilor determinate indirect ţinând seama de erorile de măsurare asupra mărimilor determinate direct şi de semnificaţia cifrelor.

Fixarea Răspunsuri la întrebări şi compararea acestora cu informaţiile din cuprinsul capitolului.

Evaluarea

Rezolvarea testului grilă T2 şi notarea soluţiilor conform grilei de corectare.

2.1. GENERAREA ERORILOR DE MĂSURARE

Metoda experimentală în fizică se realizează prin următoarele etape: a) reproducerea fenomenului în laborator astfel încât desfăşurarea sa să nu fie pertubată de acţiunea unor factori externi; b) măsurarea mărimilor caracteristice fenomenului studiat; c) interpretarea datelor experimentale şi elaborarea unei teorii care să explice fenomenul;

2.4. Indicatori statistici 19

d) verificarea prin noi experimente a concluziilor teoriei elaborate. Concordanţa previziunilor teoretice cu datele experimentale stabileşte dacă

concluziile ipotezelor şi reprezentărilor teoretice sunt consistente cu realitatea. Din acest motiv, se consideră că măsurarea este cel mai important fenomen al

fizicii. Măsurările sunt directe şi indirecte. Măsurarea este directă dacă constă în simpla

comparare a mărimii cu unitatea de măsură. Astfel, cu rigla gradată măsurăm direct lungimea unui obiect. Dacă aflăm valoarea unei mărimi fizice prin calcul, utilizând o formulă în care apar mărimi măsurate direct, am efectuat o măsurare indirectă sau o determinare. Exemplu, măsurăm direct distanţa pe care cade liber un corp în vid şi durata căderii, apoi calculăm acceleraţia gravitaţionlă.

Pentru măsurarea mărimilor fizice se folosesc mijloacele de măsurare (M.M.). Mijlocul de măsurare îndeplineşte funcţiunile: a) păstrează (conservă) unitatea de măsură ( U.M. ); b) preia informaţii de la măsurand sub forma unur semnale de intrare; c) la aparatele de măsură electronice sau electrice converteşte semnalul de intrare în

semnal electric continuu sau în impulsuri; d) compară semnalul de intrare cu unitatea de măsură; e) emite (livrează) valoarea măsurată a mărimii. În continuare,prezentăm schema bloc a unui mijloc de măsurare.

Fig. 2.1. Schema bloc a unui M. M.

Valoarea numerică adevărată a mărimii este una singură x ad .Valorile măsurate ale mărimii sunt valori experimentale x exp şi nu sunt egale cu valoarea adevărată.

Diferenţa, ∆xad = xexp − xad, (2.1)

este eroarea adevărată comisă la măsurarea mărimii X. Deoarece valoarea adevărată xad nu este accesibilă măsurătorilor rezultă că nici

eroarea adevărată, ∆xad , nu poate fi cunoscută. În teoria erorilor se arată că, dacă asupra mărimii fizice X se efectuează, în

aceleaşi condiţii şi cu acelaşi M.M., măsurători repetate, atunci valoarea medie a mulţimii valorilor individuale, x, se apropie cel mai mult de valoarea adevărată .

măsurand X e , semnal de ieşire

adaptor traductor comparator

sursa auxiliară de energie

Xi , semnal de intrare

Prelucrarea statistică a datelor experimentale - 2 20

Diferenţele de forma ∆xi. ap = xi − x . (2.2)

se numesc erori aparente. În relaţia (2.2), i∈[1,n] iar n este numărul măsurătorilor. Erorile aparente sunt accesibile cunoaşterii cercetătorului prin măsurători de laborator. Vom analiza succint câteva din cauzele care determină apariţia erorilor aparente şi duc la necunoaşterea valorii adevărate a mărimii măsurate. 1. Este posibil ca în M.M. care conservă U.M., aceasta să nu fie riguros constantă. Exemplu Prototipul metrului etalon este distanţa dintre două repere trasate pe o riglă cu secţiunea în X, rigidă, turnată din aliajul Pt (90 %) şi Ir (10%). Rigla este păstrată la Biroul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi cu sediul central la Paris (Sevres). Examinate la microscop, reperele s-au dovedit a fi neliniare, neuniform de late şi cu contururi neclare. Ca urmare, preluarea mărimii metrului de la prototipul internaţional pentru etaloanele naţionale este afectată de eroarea ∆x = ± 0,2µm. 2. Informaţia primară despre măsurand, sub forma unui semnal, este preluată de

către senzor şi convertită în altă formă de energie. În acest proces pot să apară distorsionări ale semnalului.

Exemplu Celula fotovoltaică prezintă sensibilitate spectrală. Ca urmare, tensiunea electrică pe care o generează nu este direct proporţională cu cantitatea de energie solară incidentă pe celulă. 3. Între măsurand şi M.M. apar schimburi energetice care introduc erorile de

retroacţiune. Exemplu La măsurarea mărimilor electrice însăşi M.M. introduce în circuit rezistenţe suplimentare. 4. Este posibil ca circuitele elctronice ale M.M. să modifice durata şi alura semnalului

de ieşire faţă de alura şi durata semnalului de intrare.Fenomenul se numeşte convoluţie.

5. Parametri mediului ambiant influenţează exactitatea măsurătorilor. Exemplu Parametri atmosferei standard sunt: presiunea, p = 101325 Pa; temperatura, t = 20oC; umiditatea relativă, ϕ = 65%. Riglele de măsură a lungimii sunt etalonate în unităţi de lungime în atmosfera standard. La temperaturi ambiante diferite de temperatura standard valoarea diviziunii se modifică din cauza variaţiei lungimii cu temperatura. 6. La aparatele analogice, valoarea semnalului de ieşire este citită pe scara gradată în

dreptul indicelui. Citirea este corectă dacă ochiul se poziţionează pe perpendiculara la ecran, care trece prin indice. În caz contrar apare eroarea de paralaxă. Pentru a elimina eroarea de paralaxă pe ecranul aparatului se montează o mică oglindă. Citirea este corectă dacă privind numai cu un ochi, nu vedem imaginea acului în oglindă (fig.2.2).


Fig. 2.2. Eroarea de paralaxă.

7. La aparatele digitale, valoarea semnalului de ieşire este afişată pe ecran (display) sub forma unui număr. Valorile mărimii fizice mai mici decât pasul de incrementare nu sunt sesizate . 8. Poziţiile START şi STOP la aparatele digitale pot să perturbe exactitatea măsurătorii prin introducerea unei incertitudini de ±1 la afişarea numărului de pulsuri furnizate de comparator ( fig. 2. 3).

Fig.2.3. Incertitudinea numărării: corect n = 4; incorect n = 5 şi n = 3. 9. Metoda stabilită pentru măsurare poate să introducă erori semnificative chiar dacă efectele altor cauze au fost diminuate.

Exemplu Dacă determinăm valoarea unei rezistenţe, măsurăm direct tensiunea electrică pe

rezistor cu voltmetrul şi intensitatea curentului prin rezistor cu ampermetrul. Energia electrică este furnizată de o sursă de tensiune stabilizată. Rezistenţa se calculează cu formula R =U / I. Se poate alege metoda voltampermetrică cu montaj în aval sau metoda voltampermetrică cu montaj în amonte.

Dacă rezistenţa este mică şi formăm circuitul din fig. 2.4. (montaj amonte), tensiunea de pe ampermetru nu este neglijabilă faţă de tensiunea de pe rezistor. Rezultatul va fi afectat de o eroare grosolană.

start stop stop stop start start

Citire corectă : 2,2

1 2 3 4 1 2 3 4

•

ochiul

indicele

• imaginea indicelui

•

ochiul

indicele

Citire incorectă: 3,0


Fig. 2.4. Montajul amonte. Fig. 2.5. Montajul aval.

Pentu acelaşi rezistor formăm circuitul de pe fig.2.5. Rezistenţa voltmetrului fiind foatre mare, intensitatea curentului prin voltmetru este neglijabilă faţă de intesitatea curentului prin rezistor. Raportul dintre tensiune şi curent conduce la o valoare corectă a rezistenţei. În procesul măsurării se comite o eroare admisibilă.

2.2. CLASE DE ERORI APARENTE

S-a arătat în paragraful precedent că în procesul de măsurare se comit erori de măsurare. Erorile care afectează mărimea măsurată sunt clasificate în următoarele clase de erori de măsură: sistematice, aleatorii sau accidentale, aberante sau grosolane şi de sensibilitate ale mijloacelor de măsurare. În continuare, descriem succint fiecare clasă de erori de măsurare. a) Erorile sistematice Aceste erori au caracter obiectiv şi la repetarea măsurării asupra aceleeaşi mărimi îşi păstrează valoarea şi semnul. Enumerăm câţiva factori care determină apariţia erorilor sistematice. a.1) Măsurile etalonate incorect generează erori în orice condiţii de măsurare.

Exemplu La cântărirea unui corp cu balanţa, valorile inscripţionte pe masele etalon pot să fie diferite de masele reale. Astfel, masa marcată poate fi m = 200 g iar masa reală, din cauza uzurii, să fie mţ =199 g. a.2) Temperatura din laborator determină modificarea proprietăţilor măsurandului şi ale mijlocului de măsurare .

Exemplu La măsurarea t.e.m. şi a rezistenţei interne a unei pile fotovoltaice, temperatura ambiantă afectează datele experimentale deoarece odată cu modificarea acesteia se modifică rata de generare a purtătorilor de sarcină, mobilitatea acestora, rezistenţa electrică a probei semicoductoare şi rezistenţa aparatelor electronice de măsură. a.3) Parametri de calitate ai mijloacelor de măsură electronice se modifică odată cu variaţiile tensiunii şi frecvenţei reţelei electrice urbane şi depind de intensitatea semnalelor electromagnetice de înaltă frecvenţă din atmosferă.

R +

-

A A

V

• • • •

V

R+

-


a.4) Metoda de măsurare nu este cea mai potrivită. Astfel, pentru măsurarea rezistenţelor prin metoda voltampermetrică trebuie ales montajul în amonte sau în aval după cum valorile aşteptate ale rezistenţei sunt mari sau mici. a.5) Calibrarea scării mijlocului de măsurare este eronată. Calibrarea scării mijlocului de măsurare înseamnă stabilirea corespondeţei dintre valorile măsurate şi reperele scării. b) Erorile aleatorii Aceste erori se datorează unor cauze diverse care acţionează în sensuri diferite de la o măsurătoare la alta. Dintre multele cauze ale erorilor accidentale menţionăm influenţa operatorului a cărui atenţie şi acuitate vizuală se corelează cu exactitatea citirii pe scara aparatului. Erorile aleatorii pot fi diminuate prin mărirea numărului de măsurători asupra aceleeaşi mărimi , în aceleaşi condiţii. c) Pragul de sensibilitate

Variaţia minimă a mărimii fizice care provoacă deplasarea sesizabilă a indicelui mijlocului de măsurare se numeşte prag de sensibilitate. La aparatele cu scară gradată pragul de sensibilitate este egal cu jumătate din valoarea diviziunii.

Eroarea globală la măsurarea unei mărimi fizice nu este niciodată mai mică decît eroarea de sensibilitate a mijlocului de măsurare. Exemplu

Diviziunea scării unui ampermetru este de 1A iar în dreptul reperelor apar numerele 1; 2; 3 ş.a.m.d. Dacă, la trecerea curentulu prin aparat, indicele depăşeşte cifra 2, citirile 2,0 A sau 2,5 A sunt corecte. Dacă indicele se apropie de cifra 3, citirile 2,5 A sau 3,0 A sunt corecte. d) Erorile aberante ( grosolane )

Aceste erori sunt generate de nerespectarea principiilor de măsurare şi de atenţia scăzută a operatorului. Valorile afectate de erori grosolane influenţează negativ rezultatul final al setului de măsurători. Ca urmare, valorile afectate de erori grosolane nu se iau în seamă la calculul valorii medii a setului de date experimentale.

2.3. HISTOGRAMĂ. CURBĂ CONTINUĂ. FUNCŢIE DE REPARTIŢIE

2.3.1. HISTOGRAMA

În capitolul 1 s-a arătat că rezultatul măsurării mărimii fizice X se exprimă prin relaţia

X = x <X >. (2.3) În pragraful 2.2 s-a arătat că erorile aleatorii se micşorează prin repetarea

măsurării asupra mărimii studiate. Prin repetarea operaţiei de măsurare asupra mărimii X se obţine o mulţime de

valori care se aranjează într-un şir crescător numit şirul valorilor individuale x1 , x2 ,…………….,xn. (2.4)

Termenul general al şirului este xi , i= n,1 , iar n este numărul măsurătorilor. Numărul termenilor şirului se numeşte volum.


Începând cu valoarea cea mai mică a şirului de valori dăm creşteri variabilei cu cantitatea ∆x, ∆x < σ. Mărimea σ se numeşte eroare pătratică medie iar sensul său fizic şi formula de calcul vor fi prezentate în paragrafele următoare. Astfel, împărţim volumul şirului în m clase de forma [xmin, x min + ∆x); [x min +∆x, x min + 2 ∆x);………… Apoi, repartizăm valorile experimentale în cele m clase şi notăm cu ∆ni,j numărul de obiecte din clasa j, j = m,1 .Este evidentă egalitatea următoare:

nnm

ji =∆∑1

, . (2.5 )

Mărimea ∆ni , j se numeşte frecvenţă absolută de apariţie a obiectului din clasa j. Media valorilor unei clase este

∑∆

∆=

jin

jiji

j xn

x,

1,

,

1. (2.6)

Frecvenţa relativă ϕj, a clasei j este: ϕ j =∆n i ,j / n . (2.7)

Frecvenţa relativă cumulată sau integrală Φ j este:

Φ j =∑j

1ϕ j . (2.8)

Este evident că pentru j = m, frecvenţa relativă cumulată are valoarea unu, Φm = 1. Media şirului valorilor individuale este:

∑=m

jx1ϕ jx . (2.9)

Mărimea yj definită cu formula (2.10) indică frecvenţa relativă dacă volumul eşantionului ar fi împărţit în clase de lărgime egală cu unitatea:

yj = ϕ j / ∆x = ∆n i ,j /( n ∆x). (2.10)

Cu formula ( 2. 10 ) calculăm frecvenţa relativă pentru fiecare clasă şi completăm tabelul 2.1.

Tabelul 2.1. Frecvenţe relative. xj yj Cu datele din tabelul 2.1 trasăm curba în trepte ilustrată pe fig. 2. 6. Curba de pe fig. 2. 6 se numeşte histogramă.


Fig. 2.6. Histograma, — , şi înfăşurătoarea sa, *. Histograma oferă o imagine calitativă şi cantitativă asupra distribuţiei valorilor experimentale.

2.3.1. FUNCŢIA DE REPARTIŢIE

Pentru n→ ∞ şi ∆ x → 0, histograma de pe fig. 2. 6 trece în curba continuă desenată punctat pe fig. 2. 6. Curba continuă este înfăşurătoarea histogramei.

Funcţia, f (x), care descrie această curbă se numeşte funcţie densitate de repartiţie sau funcţie densitate de probabilitate. Prin integrarea funcţiei f (x) se obţine probabilitatea cu care variabila aparţine unui interval dat.

Dacă varibila x primeşte valori pe toată dreapta reală, se impune condiţia

∫∞

∞−

=1)( dxxf . (2.11)

Funcţia F ( x ) care satisface relaţiei: F’ ( x ) = f (x ). (2.12)

se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei x. Funcţia F (x) primeşte valori în intervalul [0, 1].

x xmax

* * *

*

*

*

* *

*

*

* *

* *

*

yj f(x

xmin

∆x

*

* *

* *

* *

*

** **

* *

**

* *

* * *

* *

* *

*

f(x)


Graficul funcţiei F (x) ete curba continuă de pe fig 2.7. Graficul funcţiei F (x) are aceeaşi alură ca şi graficul frecvenţei relative Φ j dacă numărul claselor este foarte mare, adică ∆x este foarte mic.

Cu aceste precizări, obţinem că expresia generală a funcţiei densitate de probabilitate este:

f (x) = ndxdn

. (2.13)

Fig.2.7. Funcţia de repartiţie F(x). Aria suprafeţei delimitate de graficul funcţiei f(x) (fig.2.6), ordonatele ridicate în punctele de coordonate x1 şi x2 şi segmentul x2 - x1 este

F (x2 )—F (x1 ) = ∫2

1

)(X

X

dxxf . (2.14 )

Aria calculată cu fomula (2.14) indică probabilitatea ca o valoare individuală să aparţină intervalului de valori măsurate, x2 –x1.

2.4. INDICATORI STATISTICI

Cu ajutorul funcţiei densitate de probabilitate se definesc următorii indicatorii statistici :

1. Mediana, x me Proiecţia pe axa Ox a intersecţiei dintre dreapta y = 0,5 şi curba F(x) stabileşte valoarea mediană a variabilei, xme . Mediana este valoarea variabilei x care împarte suprafaţa delimitată de curba f (x ) şi axa absciselor în două părţi egale:

5,0)()( == ∫∫∞

∞− me

me

x

x

dxxfdxxf . (2.15)

xmin

0,5

1,0

F(x)

xme x xmax


2. Media aritmetică, x Media aritmetică a valorilor individuale corespunde centrului de greutate al suprafeţei delimitate de graficul funcţiei densitate de probabilitate şi axa absciselor:

∫∞

∞−

⋅⋅= dxxfxx )( . (2.16)

3. Abaterea medie pătratică sau abatera medie stadard, σ Abaterea standard stabileşte intervalul de valori din jurul valorii medii, σ±x , în care cad 68,3% din valorile măsurate:

dxxfxx ad )()( 2∫∞

∞−

−±=σ . (2.17)

4. Abatera medie pătratică a mediei sau abaterea standard a mediei, σm Abaterea standard a mediei stabileşte intervalul de valori din jurul valorii medii, ±x σm ,

căruia îi aparţine valoarea adevărata cu cea mai mare probabilitate,xad ∈( ±x σm ). Abaterea standard a mediei se defineşte cu formula:

σm = x - adx = n

xxn

adi )(1∑ −

. (2.18)

5. Eroarea probabilă, σP Eroarea probabilă stabileşte intervalul de valori din jurul valorii medii, px σ± ,în interiorul căruia cad jumătate din valorile măsurate. Formula de definiţie este:

∫÷

=P

P

dxxfσ

σ

2/1)( . (2.19)

6. Momentul centrat de ordinul k, M k Momentul centrat de ordinul k se defineşte astfel

dxxxfxxM kadk )()(∫

∞

∞−

−= . (2.20 )

Pentru k=0, se obţine valoarea medie M ( k=0 ) = x . 7. Moda, xmo Moda indică valoarea variabilei pentru care densitatea de repartiţie este maximă. Pentru x = xmo, condiţiile de extrem sunt:

f ’ ( x=xmo ) = 0 şi f ”( x=xmo ) < 0. (2.21 ) La repartiţiile simetrice moda, media şi mediana sunt egale, fig. 2. 8. La repartiţiile asimetrice se pot întâlni situaţiile: mome xxx << sau

xxx memo << .


2.5. REPARTIŢIA NORMALĂ GAUSS A ERORILOR ALEATORII

2.5.1. FUNCŢIA DENSITĂŢII DE PROBABILITATE A LUI GAUSS

În practică, majoritatea mărimilor caracteristice fenomenelor şi proceselor au o distribuţie normală descrisă de funcţia Gauss-Laplace:

f(x) = K exp[-h2 (x—x0 )2 ] (2.22 )

Mărimea x0 are semnificaţia valorii adevărate, x0 ≡ xad.. O caracteristică a distribuţiei normale este aceea că erorile aleatorii absolute de acelaşi modul au aceeaşi frecvenţă de apariţie cu semnul plus ca şi cu semnul minus.

Prezentăm în continuare demonstraţiile a două concluzii care decurg din distribuţia normală iar celelalte proprietăţi ale acestei distribuţii le prezentăm fără demonstraţii.

1. Valoarea medie, valoarea adevărată

Valoarea convenţional adevărată care să fie diferită cu o cantitate neglijabilă de

valoarea adevărată se stabileşte din condiţia ca expresia 2

1)(∑ ∆

n

ix să fie minimă:

addxd

2

1)(∑ ∆

n

ix =addx

d[(x1 –xad)2 + (x2--xad )2 + ……..(xn—xad)2 ]=0.

Calculele, pentru n→∞, conduc la relaţia :

Fig.2.8. Repartiţia simetrică.

valorile: medie, mediană şi moda

y x

x

f (x )


n

xxxx n

ad......21 ++

= . (2.23)

În practică, numărul măsurătorilor este finit dar foarte mare şi, ca urmare, se apreciază că valoarea medie a setului de valori se apropie cel mai mult de valoarea adevărată. Atunci, erorile aparente aleatorii sunt xxx ii −=∆ .

2. Numărul măsurătorilor

Suma erorilor adevărate este:

adad

n

i

n

i xxnxnxx −=−=∆ ∑∑ (.)()(11

). (2.24)

Din relaţia precedentă rezultă:

)(11∑ ∆=−

n

iad xn

xx . (2.25)

Semnificaţia fizică a relaţiei (2.25) este: valoarea medie se apropie cu atât mai mult de valoarea adevărată cu cât numărul măsurătorilor asupra aceleeaşi mărimi fizice este mai mare.

3. Mărimile K, h, σ, σm

Condiţia de normare la unitate ( 2. 11) permite calculul mărimii K din relaţia (2.22) K= h / π . (2.26)

Probabilitatea apariţiei unei valori este

xxxhhp ii ∆⋅−−=∆ ))(exp( 22

π. (2.27)

Condiţia de maxim a relaţiei (2.27 ) conduce la expresiile mărimilor h, σ şi σm :

a) 1

)( 2

−

∆±= ∑

nxiσ ; b)

σ21

±=h ; c) nmσσ = . (2.28)

4. Ecuaţia distribuţiei normale

Introducând expresiile mărimilor K şi h în relaţia ( 2. 22 ) se obţine ecuaţia ditribuţiei normale Gauss

2

2

2)(exp[

21)(

σπσxxxf −

−⋅= ]. (2.29)

Ecuaţia (2.29) este reprezentată grafic în fig. 2.9.


2.5.2. PROPRIETĂŢI ALE MODELULUI NORMAL Proprietăţile modelului normal care interesează în desfăşurarea lucrărilor de laborator, sunt prezentate în continuare:

a) curba prezintă un maxim de coordonate: xx = şi πσ 2

1max =f ;

b) pentru ±∞→x , curba tinde asimptotic spre zero; c) în punctele de abscise: σ+= xx şi σ−= xx , curba are puncte de inflexiune (fig. 2.9); d) curba este simetrică în raport cu ordonata ridicată normal pe axa Ox în punctul

xx = ; e) la reprezentarea grafică a funcţiei f (x) respectiv a frecvenţei relative cumulate Φ

punctul de inflexiune al curbei are coordonatele xx = şi Φ = F ( x ) = 0,5; f) aria suprafeţei delimitate de graficul funcţiei f (x) între punctele σ±= xx este

0,683, ceea ce înseamnă că 68,3% din măsurători cad în intervalul σ±= xx ;

f x ( )

σ−x x σ+x

x

Fig. 2.9. Distribuţia Gauss.


g) admite ca parametri mărimile σ şi x ; g.1) mărimea σ determină forma curbei; în fig.2.10 se arată curbele de distribuţie pentru două seturi de măsurători, cu acelaşi număr de valori, asupra aceleeaşi mărimi fizice, în aceleaşi condiţii de laborator; abaterea medie pătratică pentru primul set este mai mică decât pentru cel de-al doilea set σ1 < σ2 ; în primul caz curba de distribuţie are un maxim pronunţat iar valorile experimentale se grupează în jurul mediei şirului de valori; pentru cazul doi maximul este aplatizat iar valorile măsurate sunt dispersate; de exemplu, dacă rezistenţa electrică a aceluiaşi rezistor este măsurată, in aceleaşi condiţii, de către doi experimentatori cu experienţă diferită este posibil ca cel mai priceput să obţină curba dată de valoarea σ1 a parametrului abaterea medie pătratică; g.2) mărimea x determină deplasarea curbei pe axa absciselor; în fig. 2.12 se arată curbele de distribuţie pentru două seturi de măsurători, cu acelaşi număr de valori, asupra aceluiaşi măsurand dar în condiţii de laborator schimbate; de exemplu, acelaşi experimentator poate să măsoare rezistenţa electrică a unui rezistor fie când temperatura în laborator este t1 , fie când temperatura în laborator este t2 iar t2 ≠ t1.

x x

f(x)

σ1

σ2

Fig. 2.10 Reprezentarea parametrică a funcţiei de ditribuţie. Parametrul reprezentării este abaterea pătratică medie, σ1 < σ 2 .


2. 5. 3. CALCULUL ERORILOR ALEATORII ŞI AL PARAMETRILOR STATISTICI PENTRU UN NUMĂR FINIT DE TERMENI

În studiul experimental al fenomenelor fizice numărul măsurătorilor este finit. Erorile de măsurare sunt definite în par. 2.2 iar indicatorii statistici sunt definiţi în par. 2.4. Înlocuind în formulele de definiţie ale acestor mărimi funcţia de repartiţie cu distribuţia normală, pentru un număr finit de termeni, după prelucrări se obţin formulele de calcul prezentate mai jos. 1. Erori de măsurare 1. a ) eroarea absolută

xxx ii −=∆ . (2.30) 1. b) eroarea absolută medie

∑ ∆=∆ ixn

x 1. (2.31)

1. c) eroarea relativă ε r,i =∆xi / x i . (2.32)

1. d) eroarea relativă medie

ε r ( %) =xx∆100 . (2.33)

2. Indicatori statistici 2.a) media

∑=n

ixn

x1

1. (2.34)

f (x)

x 1x 2x

Fig.2.12.Reprezentarea parametrică a funcţiei de distribuţie. Parametrul este valoarea medie, 21 xx ⟨ .

1x 2x


2.b) mediana 2.b.1) număr impar de termeni ai şirului crescător

2/)1( += nme xx . (2.35) 2.b.2 ) număr par de termeni ai şirului crescător

)(212

21

nnme xxx+

+= . (2.36)

2. c ) moda )(3 xxxx memo −+= . (2.37)

2. d ) momentul centrat de ordinul k

kn

ik xxn

M )(11

−= ∑ . (2.38)

2. e) abaterea standard

1

)(1

2

−

−±=∑

n

xxn

i

σ . (2.39)

2.f) abaterea standard a mediei

)1(

)(1

2

−

−±=∑

nn

xxn

i

mσ . (2.40)

2. g) eroarea probabilă σσσ 6745,024769,0 ==P . (2.41) 3. Valoarea adevărată )( mad xx σ±∈ . (2.42)

2.6. PROPAGAREA ERORILOR

Dacă o mărime, y , nu poate fi măsurată direct, ea se determină prin calcul

utilizând mărimile x1 , x2 ,……… de care aceasta depinde, y= f ( x1 ,x2 ,………,x n ) şi care sunt măsurabile direct. Erorile comise asupra mărimilor măsurate direct, ∆x1, ∆x2 , ., afectează valoarea calculată a mărimii y. Eroarea cea mai mare, în valoare absolută, comisă asupra mărimii y este


nn

xxyx

xyx

xyy ∆

∂∂

++∆∂∂

+∆∂∂

=∆ .........22

11

. (2.43)

Eroarea relativă asupra mărimii y este

nn

xx

yxx

yxx

yyy

∆∂

∂+∆

∂∂

+∆∂

∂=

∆ )(ln...........)(ln)(ln2

21

1

. (2.44)

2.7. PREZENTAREA DATELOR EXPERIMENTALE

2.7.1. TABELE DE REZULTATE

Tabela de rezultate conţine valorile mărimilor măsurate, valorile mărimilor determinate, erorile de măsurare, valorile medii şi valoarea adevărată. Alături de simbolul mărimii se scrie întotdeauna unitatea de măsură în paranteze rotunde. Prezentăm un model de tabel pentru cazul în care se măsoară tensiunea pe un rezistor, intensitatea curentului prin rezistor şi calculăm rezistenţa acestuia.

Tabel 2.2. Mărimi măsurate direct, U, I. Mărimea determinată, R. Ui (V) Ii (A) Ri ( Ω )

R (Ω) ∆Ri (Ω)

R∆ (Ω) σm (Ω) Rad (Ω)

2.7.2. REPREZENTAREA GRAFICĂ

Reprezentarea datelor prin grafice permite:

- deducerea unor relaţii înte două mărimi; - stabilirea punctelor de intersecţie ale curbei cu axele; - calculul pantei curbei; - determinarea coordonatelor unor puncte prin interpolare sau prin extrapolare. La extrapolare se recurge numai în cazurile în care se ştie că forma curbei se menţine şi în afara limtelor între care a fost cercetată.

Graficul dependenţei y = f (x) se construieşte cu ajutorul tabelulului de date, parcurgând etapele descrise mai jos. • Pe fiecare axă a sistemului rectangular xOy se indică o mărime şi unitatea sa. • Pe fiecare axă se marchează scările de reprezentare astfel ca hârtia milimetrică să

cuprindă întregul domeniu al variabilelor.


• Dacă plaja de variaţie a mărimilor este foarte largă se renunţă la scara liniară şi se foloseşte scara logaritmică pentu o axă sau pentru ambele axe.

Exemplul 1

Dacă se cercetează proprietăţile sunetului, frecvenţa acestuia variază între limitele de 20 Hz şi 2 ⋅104 Hz. Se constată uşor că, în timp ce frecvenţa sunetului creşte în progresie geometrică: 100, 1000, 10000, logaritmul zecimal al acesteia creşte în progresie aritmetică: lg 100 =2, lg 1000 =3, lg 10000 =4 ş.a.m.d. • Pe axe, echidistant, funcţie de scară, se scriu valorile mărimii şi nu coordonatele

punctelor experimentale. • Se reprezintă punctele din tabel folosind coordonatele lor şi în fiecare punct se

reprezintă prin bare verticale sau orizontale erorile de măsură. • Graficul se obţine trasând curba printre puncte în limitele erorilor. Punctele nu se

unesc printr-o linie frântă. Trasarea curbei printre puncte este o mediere a valorilor experimentale.

• Curba netedă trasată printre puncte reprezintă fitarea dependenţei y = f (x) şi poate servi la găsirea unei relaţii între mărimile y şi x. Formula care se obţine este empirică.

Exemplul 2 Pentru verificarea experimentală a legii lui Ohm , se efectuează operaţiile descrise mai jos. a) Se construieşte un montaj potenţiometric care să conţină rezistorul studiat. b) La variaţia tensiunii pe rezistor, se măsoară intensitatea curentului prin acesta. c) Se ridică graficul dependenţei I= f (U) conform fig. 2.12.

Fig. 2.12. I = f ( U ).

Se vede pe grafic că, scriind I = a +mU , prin extrapolare găsim a = 0 iar din triunghiul ABC calculăm m = tgα = ∆I /∆U. Deci, scriem: I = (∆I / ∆U )⋅U.

2 4 6 8 U (V)

I (A) 20 15 10 5

•

•

•

•

•

• •

•

•

• •

•

α

∆U

∆I


d) Repetăm experimentul cu alţi rezistori având alte dimensiuni, de aceeaşi natură chimică sau diferită şi constatăm că valoarea raportului ∆I /∆U este o caracteristică a rezistorului şi că aceasta depinde de natura chimică a rezistorului şi de dimensiunile sale. Notăm 1/R = ∆ I/∆U şi obţinem I = U/R (R - rezistenţă electrică).

2.8. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE

Dacă se foloseşte calculatorul pentru prelucrarea datelor experimentale, constantele de care depinde mărimea determinată y= f ( c1, c2, ………..,ck , x) se pot găsi prin metoda celor mai mici pătrate.

În cazul dependenţei liniare y = a + mx, constantele a şi m se calculează astfel:

∑

∑

=

=

−

−= n

ii

n

iii

xx

yxxm

1

2

1

)(

)( (2.45)

xmya −= . (2.46)

2.9. SEMNIFICAŢIA CIFRELOR. ROTUNJIREA NUMERELOR

2.9.1. SEMNIFICAŢIA CIFRELOR

S-a arătat în par. 2.4 că valoarea adevărată a mărimii fizice se găseşte în intervalul xx ∆± . Deci, valoarea cunoscută a mărimii este aproximativă fiind afectată de o anumiută eroare. Constantele fizice la rândul lor, sunt determinate cu precizii menţionate în tabele.

Cifrele cu care se exprimă valoarea numerică a unei mărimi sunt semnificative sau nesemnificative. Cifrele 1, 2,……, 9 ale unui număr sunt semnificative. Cifra zero aflată în interiorul numărului sau la dreapta acestuia este semnificativă. Cifra zero aflată la stânga numărului este nesemnificativă.

Ca regulă, valoarea mărimii se exprimă sub forma unui produs între un număr cuprins între 1şi 9, şi o putere întregă a lui zece , ca exemplu, numărul lui Avogadro se scrie

NA = 6,023⋅1023 mol - 1.

Exemplu În tabele, acceleraţia gravitaţională normală este dată astfel încât să se poată citi

valoarea mărimii şi eroarea cu care aceasta este cunoscută, g = ( 9,8063± 0,0005 ) ms-2, sau mai compact g = 9,8063(5) ms-2. Scrierea precizează eroarea ∆g =± 5 10-4 ms-2. Ultimele două cifre nu sunt cunoscute exact deoarece valoarea exactă este cuprinsă între


9,8058 m s-2 şi 9,8068 m s-2. Dacă scriem g = 9,80 ms-2, cifra zero este semnificativă fiind cunoscută exact. Dacă scriem g = 0,0098 km / s 2, cifrele de zero sunt nesemnificative. Valoarea acceleraţiei gravitaţionale cu trei cifre semnificative este g = 9,81m/s2.

În calcule se iau numai cifrele semnificative exacte.

2.9.2. ROTUNJIREA NUMERELOR

Calculele cu valorile mărimilor conduc la numere cu multe zecimale.Ca urmare, se impune aproximarea rezultatelor, ceea ce înseamnă că determinările experimentale conduc întotdeauna la valori aproximative pentru mărimile fizice.

Regulile de rotunjire la un anumit număr de cifre semnificative sunt: a) dacă prima cifră care trebuie neglijată este mai mică dcât cinci, atunci cifra

menţinută rămâne neschimbată 19,0264 ≅ 19,026; b) dacă prima cifră care trebuie neglijată este mai mare decât cinci sau este chiar cinci

urmat de cifre diferite de zero, ultima cifră păstrată , se măreşte cu o unitate 19,02671 ≅ 19,03; 19,0256 ≅ 19,03; c) dacă cifra care trebuie neglijată este cinci urmat de zerouri, numărul se rotunjeşte

la cea mai apropiată valoare pară 19,0350 ≅ 19,04 ; 19,0650 ≅ 19,06 .

Reguli de operare 1) Pentru a exprima rezultatul final cu n cifre semnificative, în calculele intermediare

se operează cu (n+2) cifre fără rotunjiri. Rotunjirile se operează la rezultatul final. Exemplu Dimensiunile unui paralelipiped sunt măsurate cu trei cifre semnificative: a =

8,23cm, b = 7,41cm, c = 5,27cm. Volumul va fi exprimat tot cu trei cifre smnificative iar în calculele intermediare se va opera cu cinci cifre. Succesiv, calculăm :

a) aria bazei, A = a⋅b = 60,984 cm2 , deşi rezultatul exact al înmulţirii este 60,9843; b) volumul, V=A⋅c= 321cm3, deşi pe ecranul calculatorului apare numărul

321,38568. 2) Precizia rezultatului final nu poate fi mai mare dcât cea a măsurărilor din care-l deducem. 3) Eroarea relativă introdusă prin rotunjire nu trebuie să fie mai mare ca eroarea relativă a mărimii determinate cu precizia cea mai mică. 4) Numărul cifrelor semnificative la inmulţire sau la împărţire se ia egal cu numărul cifrelor semnificative ale numărului cu cele mai puţine cifre semnificative. 5) La adunare sau la scădere se păstrează toate cifrele semnificative.

2.10. PROBLEME REZOLVATE


2. 10. 1. Valorile adevărate a rezistenţei a doi rezistori sunt: R1∈ (160 ± 2)Ω şi R2∈(234 ± 3)Ω .

Să se calculeze erorile care afectează rezistenţele echivalente ale circuitelor serie respectiv paralel formate cu cei doi rezistori.

Rezolvarea a) Rs =R1+R2 , Rs =394 Ω ; dRs = dR1 +dR2 , 21 RRRs ∆+∆=∆ =5 Ω ; ε = ∆Rs/Rs , ε(%)=1,3 ; Rs.ad. ∈(389;399) Ω. b) Rp =R1R2 /(R1+ R2) , Rp = 95 Ω ; ln Rp = ln R1 + ln R2 - ln(R1+R2 ), dRp/Rp =dR1/R1 + dR2 / R2 – (dR1+dR2 )/ (R1+R2) ,

21

21

2

2

1

1

RRRR

RR

RR

RR

p

p

+

∆+∆+

∆+

∆=

∆ , 8,3,038,0 ==

∆ε

p

p

RR

% ;

∆Rp = ε⋅Rp , ∆Rp = 4 Ω; Rp.ad.∈ (91,99) Ω. 2.10.2. Şirul valorilor individuale pentru o mărime fizică conţine n termeni. Abaterea

standard este σ. Să se calculeze numărul valorilor individuale care cad în intervalul σ±x .

Rezolvarea

Ecuaţia densităţii de probabilitate este:

2

2

2)(exp[

21)(

σπσxxxf −

−⋅= ].

1. Facem schimbarea de variabilă u = (x-- x )/σ, deci du = dx / σ. 2. Punem condiţia f(x) dx = f (u) du = dn/n, adică f(u) =f(x) d x / du = σ f ( x ). 2. Ecuaţia densităţii de probabilitate funcţie de variabila u este:

2/2

21)( Ueuf −=π

.

4. Aria mărginită de graficul funcţiei densitate de probabilitate şi axa absciselor între punctele u1 şi u2 este:

A = 2/22

12

1)( uu

u

eu

duuf −−=∫ π .

Limitele de integrare sunt: u1=( x - σ - x )/σ = −1 şi u2 =( x + σ - x )/σ = +1. Înlocuim limitele de integrare în formula ariei şi calculând obţinem A = 0, 683.

u1

u2


2.11. ÎNTREBĂRI BIPOLARE a. Cunoaşterii îi este accesibil un interval de valori din jurul valorii adevărate a mărimii fizice. Intervalul se îngustează dacă creşte numărul măsurătorilor ? Da . Nu . b. Unele erori de măsură se datoresc numai experimentatorului ? Da . Nu . c. Curba de distribuţie aproximează cu atât mai bine histograma cu cât pasul acesteia este mai mic ? Da . Nu . d. Jumătate din valorile măsurate ale aceleiaşi mărimi fizice, în aceleaşi condiţii de laborator, de către acelaşi experimentator, cad în intervalul px σ± , , sau în

intervalul x σ± , ? e. Se poate calcula eroarea probabilă cu formula σp = σ/1,4826 ? Da, . Nu, . f . Este semnificativă cifra zero indiferent de locul ei în număr ? Da , . Nu, . g. Pentru un set de măsurători, în cazul dependenţei y = a+mx termenul liber se calculează cu formula 2/nmxya −= ? Da, . Nu, .

2.12. TESTUL GRILĂ T 2

1. (0,5p) Despre valorile adevărate ale mărimilor fundamentale determinate experimental se poate spune că: a) sunt accesibile cunoaşterii numai dacă sunt măsurate cu unităţile fundamentale prototip; b) nu sunt accesibile cunoaşterii; c) aparţin unui interval ale cărui capete se calculează ca sumă respectiv diferenţă între valoarea medie a mărimii şi abatera pătratică medie; d) sunt noţiuni idealizate. 2. (0,5p) Despre unitatea de lungime şi prototipul său se poate afirma: a) este lungimea drumului parcurs în vid de către lumină în timpul 1/299792456

dintr-o secundă; b) este distanţa dintre două repere trasate pe fibra neutră a unei bare cu secţiunea în X turnată din aliajul Pt(90٪ ) şi Ir (10 ٪) ; c) este depus la B.I.P.M.G.; d) reperele de pe bara de Pt şi Ir nu sunt riguros liniare.

3. (1p) Despre aparatele de măsură digitale se poate afirma că: a) măsoară exact; b) nu sesizează valori ale mărimii fizice mai mici dcât pasul de

incrementatare ; c) poziţiile START, STOP pot să introducă o incertitudine de 1∓ în numărarea pulsurilor ; d) au un indice mobil în faţa scării gradate.

4. (1p) Indicatorii statistici deduşi pe baza legii de distribuţie Gauss se referă la: a) erorile aleatorii; b) erorile sistematice; c) erorile de sensibilitate; d) toate

clasele de erori. 5. (0,5p) Despre histogramă se poate spune că:


a) este o curbă în trepte; b) dacă 0→∆x , dreptunghiurile tind spre segmente perpendiculare la axa Ox; c) este o curbă continuă; d) arată repartiţia valorilor măsurate pe intervalul x∆ al variabilei.

6. (0,5p) Despre graficul frecvenţei relative cumulate se poate spune că : a) este o curbă netedă; b) este o linie frântă; c) valoarea sa maximă este unu; d) are

un punct de inflexiune. 7. (2p) Expresia funcţiei densitate de probabilitate Gauss este: a) f ( x ) = A exp (- x2 ) , unde A

πσ 21= ; b) f (z) = A exp (- z2 ) , unde

πσ 2)( 2xxz −

= ;

c) xmo = xme ; d) simetrică în raport cu valoarea medie a variabilei. 8. (1p) Mediana se poate calcula cu una din formulele:

a) xme= x(n+1)/2 ; b) xme = 0,5(xn/2 +xn/2 +1 ) ; c) xme = nxi∑ ; d)

xxx i

me∆= .

9. (2p) Mărimile a, b, c sunt măsurate cu erorile .,, cba ∆∆∆ Mărimea y se calculează cu formula y = a b/c. Stabiliţi formula pentru calculul erorii relative comise asupra

mărimii y : a) c

bayy

∆∆∆

=∆

; b) cc

bb

aa

yy ∆

+∆

+∆

=∆

;

c) cc

bb

aa

yy ∆

−∆

+∆

=∆

; d) bcay ∆+∆+∆=∆ .

10. (1p) La reprezentarea grafică a rezultatelor unui set de măsurători: a) pe axe se scriu toate valorile experimentale; b) segmentele dintre numerele

succesive scrise pe axe sunt egale între ele; c) scările celor două axe pot fi egale sau inegale; d) într-o reprezentare liniară de forma y = a+mx, constantele a şi m pot fi dimensionale sau adimensionale.

2.13. SOLUŢIILE TESTULUI T 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (0,5p) (0,5p) (1p) (1p) (0,5p) (0,5p) (2p) (1p) (2p) (1p) a X X X X X b X X X X X X X X c X X X X X d X X X X X X Total 10 puncte

2.14. REZUMATUL CAPITOLULUI 2


Cunoaşterea cât mai apropiată de valoarea adevărată a unei mărimi fizice este

posibilă prin măsurări repetate ale mărimii fizice cu aceleaşi mijloace de măsurare, în aceleaşi condiţii de laborator şi de către acelaşi operator. Mijloacele de măsurare şi operaţia de măsurare introduc întotdeauna erori de măsurare.

Pe grafice şi tabele se indică mărimile măsurate direct, mărimile măsurate indirect, unităţile de măsură, valorile medii şi erorile de măsurare.

Grafic, distribuţia erorilor aleatorii este ilustrată prin histograme şi prin curbe continue ridicate cu ajutorul funcţiilor de repartiţie.

Documents

prelucrarea datelor experimentale