15

PRELEGEREA 2

FUNDAMENTELE STATICII MATRICEALE CLASICE

2.1 Deformarea statică a structurilor cu comportare liniară

Cazul structurii cu o deplasare caracteristică

Fie structura unidimensională (redusă la un element structural), liberă a se

deplasa la unul din capete (numit nod şi numerotat 1), a cărei axă longitudinală

coincide cu direcţia axei de referinţă X (orientată, pozitiv, către nodul 1), deformabilă

elastic şi de rigiditate K, acţionată static în nodul 1 de forţa F1, producându-se

deplasarea D1 după direcţia acesteia (figura 2.1).

Figura 2.1 Model de structură cu o deplasare caracteristică

Starea deformării statice a structurii este complet caracterizată de relaţia 2.1a,

11 FDK (2.1a)

care poate avea şi o exprimare matriceală, de forma celei date de relaţia 2.1b,

FDK (2.1b)

unde K este matricea de rigiditate a structurii;

D - vectorul deplasării din nodul liber al structurii;

F - vectorul forţei din nodul liber al structurii.

Cazul structurii cu două deplasări caracteristice

Fie structura unidimensională (redusă la un element structural), liberă a se

deplasa la ambele capete (numite noduri şi numerotate 1, 2), a cărei axă longitudinală

coincide cu direcţia axei de referinţă X (orientată, pozitiv, de la nodul 1 către nodul 2),

deformabilă elastic şi de rigiditate K, acţionată static în nodul 1 de forţa F1,

producându-se o deplasare D1 după direcţia acesteia, şi în nodul 2 de forţa F2,

producându-se o deplasare D2 după direcţia acesteia (figura 2.2).

Dacă se face ipoteza că structura se deformează elastic, dar în domeniul micilor

deformaţii, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor şi problema deformării

16

statice a structurii se reduce la rezolvarea a două probleme a deformării statice deja

cunoscute:

- problema 1, care corespunde situaţiei când se eliberează nodul 1, D1≠0,

rămânând împiedicat nodul 2, D2=0 (figura 2.2a);

- problema 2, care corespunde situaţiei când rămâne împiedicat nodul 1, D1=0

şi se eliberează nodul 2, D2≠0 (figura 2.2b).

Figura 2.2 Model de structură cu două deplasări caracteristice

În cazul problemei 1, starea deformării statice a structurii este complet

caracterizată de relaţia matriceală 2.2a,

1,2

1,1

2

1

0

0

F

F

D

D

K

K (2.2a)

iar în cazul problemei 2, de relaţia matriceală 2.2b,

2,2

2,1

2

1

0

0

F

F

D

D

K

K (2.2b)

Indicii forţelor precizează: primul localizarea forţei (efectului), al doilea

localizarea deplasării care a produs-o (cauzei).

În final, starea deformării statice a structurii iniţiale este complet caracterizată

de efectul sumat al celor două situaţii, respectiv ecuaţia obţinută prin sumarea

matriceală a relaţiilor 2.2a şi 2.2b, rezultând relaţia matriceală 2.2c.

22,21,2

12,11,1

2

1

FFF

FFF

D

D

KK

KK (2.2c)

Relaţia 2.2c poate avea şi o formă compactă precum cea dată de relaţia 2.1b.

Cazul structurilor cu comportare liniară

Fie structura unidimensională cu două elemente structurale (având noduri

numerotate 1, 2, 3), a căror axe longitudinale coincid cu direcţiile axelor proprii x şi

17

care ambele coincid cu direcţia axei de referinţă a structurii X, deformabile elastic cu

rigidităţile K1 şi K2, având extremităţile primului element (numerotate 1, 2) identice

cu nodurile 1 şi 2 ale structurii, respectiv ale celui de al doilea element (numerotate 1,

2) identice cu nodurile 2 şi 3 ale structurii, cuplate în nodul 2, în noduri acţionând

static forţele F1, F2 şi F3 ce produc pe direcţia acestora deplasările D1, D2 şi D3 (figura

2.3).

Dacă se face ipoteza că structura se deformează elastic, dar în domeniul micilor

deformaţii, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor şi problema deformării

statice a structurii se reduce la trei probleme a deformării statice deja cunoscute:

- problema 1, corespunzând situaţiei în care se eliberează nodul 1, D1≠0,

deplasările celorlalte noduri fiind împiedicate, D2=D3=0, (figura 2.3a);

- problema 2, corespunzând situaţiei în care se eliberează nodul 2, D2≠0,

deplasările celorlalte noduri fiind împiedicate, D1=D3=0, (figura 2.3b);

- problema 3, corespunzând situaţiei în care se eliberează nodul 3, D3≠0,

deplasările celorlalte noduri fiind împiedicate, D1=D2=0, (figura 2.3c).

Figura 2.3 Model de structură cu două elemente componente

În cazul problemei 1, starea deformării statice a structurii este complet

caracterizată de relaţia matriceală 2.3a;

1,3

1,2

1,1

3

2

1

1

1

000

00

00

F

F

F

D

D

D

K

K

(2.3a)

18

în cazul problemei 2, de relaţia matriceală 2.3b;

2,3

2,2

2,1

3

2

1

2

21

1

00

00

00

F

F

F

D

D

D

K

KK

K

(2.3b)

în cazul problemei 3, de relaţia matriceală 2.3c.

3,3

3,2

3,1

3

2

1

2

2

00

00

000

F

F

F

D

D

D

K

K (2.3c)

Indicii forţelor precizează: primul localizarea forţei (efectului), al doilea

localizarea depasării care a produs-o (cauzei).

În final, starea de deformare statică a structurii iniţiale este complet caracterizată

de efectul sumat al celor trei situaţii, respectiv ecuaţia obţinută prin sumarea

matriceală a relaţiilor 2.3a, 2.3b şi 2.3c, cu obţinerea relaţiei 2.3d.

33,32,31,3

23,22,21,2

13,12,11,1

3

2

1

2

2211

11

00

0

FFFF

FFFF

FFFF

D

D

D

K

KKKK

KK

(2.3d)

Relaţia 2.3d poate avea şi o formă compactă precum, cea dată de relaţia 2.1b.

Din punctul de vedere matematic, relaţia 2.3d poate fi privită ca suma ecuaţiilor

matriceale prezentate în relaţiile 2.4a şi 2.4b.

1

3

1

2

1

1

3

2

1

11

11

000

0

0

F

F

F

D

D

D

KK

KK

(2.4a)

2

3

2

2

2

1

3

2

1

22

22

0

0

000

F

F

F

D

D

D

KK

KK (2.4b)

Prin eliminarea liniilor şi coloanelor care au toate elementele egale cu zero, din

matricele de rigiditate, relaţiile 2.4a şi 2.4b devin cele din relaţiile 2.5a şi 2.5b.

1

2

1

1

2

1

11

11

F

F

D

D

KK

KK (2.5a)

şi

19

2

3

2

2

3

2

22

22

F

F

D

D

KK

KK (2.5b)

Aduse la această formă, relaţiile 2.5a şi 2.5b caracterizează starea de deformare

statică a elementului structural 1, respectiv 2 (a se vedea relaţia 2.2c), unde indicii

superiori precizează apartenenţa la element.

Relaţiile matriceale 2.5a şi 2.5b reprezintă ecuaţiile matriceale de echilibru

static raportat (numai) la parametrii structurii aferenţi elementului: principali D1, D2

şi secundari F1, F2 pentru elementul structural 1, respectiv principali D2, D3 şi

secundari F2, F3 pentru elementul structural 2.

Relaţiile 2.4a şi 2.4b reprezintă ecuaţiile matriceale de echilibru static raportat la

(toţi) parametrii structurii: principali D1, D2, D3 şi secundari F1, F2, F3, pentru cele

două elemente structurale.

2.2 Metoda staticii matriceale clasice exprimarea în deplasări

2.2.1 Prezentarea generală a metodei

Cazul 3, tratat în paragraful 2.1, poate fi generalizat pentru o structură cu un

număr oarecare de elemente, a cărei axă longitudinală coincide cu direcţiile axelor

proprii de referinţă x şi care toate coincid cu direcţia axei de referinţă a structurii X.

Generalizarea poate fi făcută şi pentru situaţia în care coincidenţa nu are loc, definind

parametri şi un sistem de referinţă pentru fiecare element, precum şi un mod de

proiecţie a parametrilor în sistemul de referinţă al structurii.

Cazul 3 conduce şi la stabilirea unui proces de calcul sistematizat, etapizat,

bazat pe ideea că starea de deformare a unei structuri poate fi cunoscută dacă se

cunoaşte ecuaţia de echilibru matriceală ce caracterizează starea de deformare a

fiecărui element structural. Această concluzie pune bazele calculului matriceal, în

forma sa clasică, prezentată în continuare, particularizată pentru cazul exprimării în

deplasări a metodei (parametrii principali fiind deplasările acţionând la extremităţi sau

noduri şi cei secundari forţele corespunzătoare deplasărilor).

Etapa 1. Stabilirea ecuaţiei matriceale de echilibru pentru fiecare element

structural:

- etapa 1.1: prin raportare la parametrii proprii;

- etapa 1.2: prin raportare la parametrii structurii aferenţi;

- etapa 1.3: prin raportare la parametrii structurii (toţi parametrii structurii).

Etapa 2. Stabilirea ecuaţiei matriceale de echilibru a structurii, prin sumarea

ecuaţiilor matriceale de echilibru a tuturor elementelor sau asamblarea acestora

(raportarea făcându-se la parametrii structurii).

Etapa 3. Introducerea condiţiilor la limită tip:

- Dirichlet, prin restricţionarea parametrilor principali (impunerea deplasarilor

la nodurile structurii);

- Neumann, prin restricţionarea parametrilor secundari (impunerea forţelor ce

acţionează la nodurile structurii);

- Cauchy, prin restricţionarea conlucrării cu mediul adiacent (precizarea

caracteristicilor deformării mediului dadiacent).

20

Etapa 4. Determinarea parametrilor principali (deplasărilor necunoscute din

nodurile structurii) prin rezolvarea sistemului de ecuaţii rezultat în urma ridicării

nedeterminării matematice, implicit statice, cu ocazia impunerii condiţiilor la limită.

Odată ce valorile parametrilor principali (deplasărilor din nodurile libere ale

structurii) sunt cunoscute, metoda staticii matriceale clasice (exprimarea în deplasări)

este finalizată, urmând ca alte rezultate să fie stabilite în etape auxiliare: determinarea

valorilor parametrilor secundari (forţelor din nodurile cu rezemări) sau solicitărilor/

eforturilor din elementele structurii.

2.2.2 Introducerea condiţiilor la limită tip Dirichlet şi Neumann

În metoda staticii matriceale clasice, introducerea condiţiilor la limită tip

Dirichlet şi Neumann (Etapa 3) se poate face în baza unui proces de calcul etapizat.

Metoda generală de introducere a condiţiilor la limită constă în aplicarea de

permutări circulare în sistemul ecuaţiilor de echilibru al structurii (obţinut în Etapa 2)

pentru gruparea parametrilor necunoscuţi (purtând indicele nec) şi impuşi/condiţionaţi

la limită (purtând indicele cl); a se vedea aplicaţia de la paragraful 2.2.3.

În continuare se va prezenta o metodă de introducere a condiţiilor la limită

pretabilă unui calcul automatizat, cu particularizarea necesară pentru cazul exprimării

în deplasări a metodei.

Etapa 3.1. Identificarea valorilor parametrilor secundari restricţionaţi (forţelor

nodale impuse) şi introducerea în vectorul corespunzător (al forţelor, F).

Etapa 3.2. Identificarea coloanei din matricea de rigiditate, K, corespunzând

parametrului principal restricţionat (deplasării impuse), indexul coloanei fiind identic

cu indexul parametrului, şi sumarea elementelor acesteia, cu semn schimbat, la

elementele corespondente din vectorul forţelor, după ce au fost multiplicate cu

valoarea parametrului principal (deplasării); operaţiunea se repetă pentru fiecare

parametru restricţionat (deplasare impusă).

Etapa 3.3. Identificarea ecuaţiilor din sistemul de ecuaţii şi a coloanelor din

matricea de rigiditate corespunzând parametrilor principali restricţionaţi (deplasări

impuse) şi eliminarea acestora.

Sistemul ecuaţiilor de echilibru, redus la numărul deplasărilor necunoscute,

poate fi rezolvat pentru că determinantul asociat matricei de rigiditate (redusă şi ea)

este diferit de zero; soluţia sistemului de ecuaţii nou format este unică.

2.2.3 Aplicaţie la metoda staticii clasice de analiză a structurilor

Enunţarea problemei: să se efectueze analiza statică (determinarea deplasărilor

nodurilor şi forţelor din reazeme) pentru structura formată din trei elemente

structurale coaxiale, având rigidităţile axiale k1=1000 KN/m, k2=2000 KN/m,

k3=1000 KN/m, cu deplasările blocate la capete (noduri) şi acţionată în nodurile de

cuplaj de două forţe egale cu 10 KN şi -20 KN (figura 2.4).

Rezolvarea problemei:

Etapa 0. Stabilirea modelului structural specific metodei staticii matriceale

clasice, exprimarea în deplasări (figura 2.4):

21

- alegerea convenabilă a sistemului de referinţă al structurii; în acest caz

sistemul de referinţă se reduce la o singură axă dispusă în lungul sistemului structural,

notată cu X;

- alegerea convenabilă a sistemului de unităţi de măsură pentru parametrii

(mărimi fizice) care intervin; în acest caz m pentru lungimi şi KN pentru forţe (se

păstrează acelaşi pe tot parcursul desfăşurării calculului);

- discretizarea naturală a sistemului cu elemente structurale; se definesc noduri

le capetele structurii şi în locaţiile de conectare, după care se numerotează, 1 … 4 (în

principiu, nodurile pot fi numerotate aleator, dar există numerotări care favorizează

numărul operaţiilor de calcul la unele implementări pe computer);

- numerotarea elementelor structurale, 1 … 3 (în principiu, elementele

structurale pot fi numerotate aleator);

- definirea parametrilor principali ai structurii sau deplasărilor caracteristice

pentru nodul curent, deplasare de translaţie după axa X, şi numerotarea lor la nivelul

întregii structuri, D1 … D4 (deplasarea este pozitivă când are acelaşi sens cu sensul

pozitiv al axei cu care este paralelă);

- definirea parametrilor secundari ai structurii sau forţelor caracteristice pentru

nodul curent, forţă după axa X, şi numerotarea lor la nivelul întregii structuri, F1 … F4

(forţa este pozitivă când are acelaşi sens cu sensul pozitiv al axei cu care este

paralelă).

Figura 2.4 Modelul virtual discret al structurii

Etapa 1. Stabilirea ecuaţiei matriceale de echilibru static pentru fiecare element

structural:

- elementul structural 1: stabilirea modelului de calcul pentru elementul

structural (figura 2.5a):

- definirea extremităţilor elementului structural şi numerotarea lor 1 … 2;

- alegerea convenabilă a sistemului de referinţă al elementului structural;

în acest caz sistemul de referinţă se reduce la o singură axă, dispusă în lungul

elementului structural (cu originea în extremitatea 1 şi orientată, pozitiv, către

extremitatea 2), notată cu x;

- definirea parametrilor principali ai elementului structural sau

deplasărilor caracteristice pentru extremitatea curentă, deplasare de translaţie

după axa x, şi numerotarea lor la nivelul elementului structural, d1 … d2

(deplasarea este pozitivă când are acelaşi sens cu sensul pozitiv al axei cu care

este paralelă);

- definirea parametrilor secundari ai elementului structural sau forţelor

caracteristice pentru extremitatea curentă, forţă după axa x, şi numerotarea lor la

nivelul elementului structural, f1 … f2 (forţa este pozitivă când are acelaşi sens

cu sensul pozitiv al axei cu care este paralelă);

22

Figura 2.5a Modelul virtual al elementului structural 1

- etapa 1.1: prin raportare la parametrii proprii:

2

1

2

1

f

f

d

d

10001000

10001000

- etapa 1.2: prin raportare la parametrii structurali aferenţi:

1

2

1

1

2

1

F

F

D

D

10001000

10001000

- etapa 1.3: prin raportare la parametrii structurali:

1

4

1

3

1

2

1

1

4

3

2

1

0000

0000

0010001000

0010001000

F

F

F

F

D

D

D

D

Elementul structural 2: stabilirea modelului de calcul pentru elementul

structural; vezi elementul structural 1 (figura 2.5b):

Figura 2.5b Modelul virtual al elementului structural 2

- etapa 1.1: prin raportare la parametrii proprii:

2

1

2

1

f

f

d

d

20002000

20002000

- etapa 1.2: prin raportare la parametrii structurali aferenţi:

2

3

2

2

3

2

20002000

20002000

F

F

D

D

23

- etapa 1.3: prin raportare la parametrii structurali:

2

4

2

3

2

2

2

1

4

3

2

1

0000

0200020000

0200020000

0000

F

F

F

F

D

D

D

D

Elementul structural 3: stabilirea modelului de calcul pentru elementul

structural; vezi elementul structural 1 (figura 2.5c):

Figura 2.5c Modelul virtual al elementului structural 3

- etapa 1.1: prin raportare la parametrii proprii:

2

1

2

1

f

f

d

d

10001000

10001000

- etapa 1.2: prin raportare la parametrii structurali aferenţi:

3

4

3

3

4

3

F

F

D

D

10001000

10001000

- etapa 1.3: prin raportare la parametrii structurali:

3

4

3

3

3

2

3

1

4

3

2

1

F

F

F

F

D

D

D

D

1000100000

1000100000

0000

0000

Etapa 2. Stabilirea ecuaţiei matriceale de echilibru static a structurii:

- sumarea ecuaţiilor matriceale de echilibru a elementelor structurale raportate la

parametrii structurali:

4

3

2

1

4

3

2

1

1000100000

1000300020000

0200030001000

0010001000

F

F

F

F

D

D

D

D

Etapa 3. Introducerea condiţiilor la limită tip Neumann şi Dirichlet:

24

- aplicarea de permutări circulare în sistemul de ecuaţii obţinut în Etapa 2,

pentru gruparea parametrilor necunoscuţi (purtând indicele nec) şi condiţionaţi la

limită (purtând indicele cl), cu obţinerea sistemului de ecuaţii:

1

4

3

2

1

4

3

2

F

F

F

F

D

D

D

D

1000001000

0100010000

0100030002000

0200020003000

sau a sistemului de ecuaţii obţinut prin gruparea termenilor necunoscuţi (D2, D3 şi F4,

F1), respective condiţionaţi la limită (D4, D1 şi F2, F3):

nec

cl

cl

nec

F

F

D

D

22K21K

12K11K

de unde se obţin ecuaţiile:

K11×Dnec + K12×Dcl = Fcl

K21×Dnec + K22×Dcl = Fnec

şi unde prima ecuaţie a sistemului poate fi pusă sub forma:

K11×Dnec = Fcl - K12×Dcl

sau făcând înlocuirile corespunzătoare, prin introducerea condiţiilor la limită:

- tip Dirichlet, deplasările nodale impuse fiind D1=0 m şi D4=0 m;

- tip Neumann, forţele nodale impuse fiind F2=10 KN şi F3=-20 KN.

20

10

0D

0D

01000

02000

20F

10F

D

D

30002000

20003000

1

4

3

2

3

2

Etapa 4. Determinarea deplasărilor necunoscute (finalizarea metodei):

- se rezolvă sistemul de ecuaţii din Etapa 3, rezultând:

D2 = -0,002 m

D3 = -0,008 m

Etapa 5 (auxiliară). Determinarea forţelor din nodurile de rezemare:

- se utilizează ecuaţia:

K21×Dnec + K22×Dcl = Fnec

unde făcând înlocuirile şi operand corespunzător se obţine:

2F

8F

0D

0D

10000

01000

008,0D

002,0D

01000

10000

1

4

1

4

3

2 KN

25

Verificarea corectitudinii rezultatelor obţinute: suma forţelor din nodurile

pentru rezemare (8 KN + 2 KN = 10 KN) este egală şi de semn contrar cu suma

acţiunilor (10 KN - 20 KN = -10 KN).

26