ELEKTROTEHNIKA

39

44 PPRRIIJJEELLAAZZNNEE PPOOJJAAVVEE

Stacionarna stanja i prijelazna pojava Promjena magnetske energije zavojnice Nabijanje i izbijanje kondenzatora LC oscilator Spojevi sa sklopkama Traženje odziva strujnog kruga Laplace-ovom

transformacijom Sustavi drugog reda

Istosmjerna i izmjenična analiza

40

Električki elementi koji mogu uskladištiti energiju električnog (kondenzator) i magnetskog (zavojnica) polja, mogu se nalaziti u dva stacionarna stanja: sa i bez energije. Od interesa je upoznati pojave koje nastaju pri prijelazu iz jednog u drugo stacionarno stanje, jer se njima obuhvaća preraspodjela energije u strujnim krugovima, što je čest slučaj u praksi. Skup svih događaja pri tom prijelazu obuhvaća naziv "prijelazne pojave". Glavno pitanje koje se u slijedećim točkama rješava jest: kako se mijenja napon i struja na kondenzatoru i zavojnici između dva stacionarna stanja.

4.1. RL krug Svaka se realna zavojnica može predočiti kao spoj radnog otpora R i induktiviteta L. Dovede li se napon u strujni krug u koji je spojena realna zavojnica (uključenje sklopke na slici 4.1.) struja će od početne vrijednosti i=0 do svoje stacionarne vrijednosti i = V/R s vremenom mijenjati svoj iznos. Promjena struje inducirat će napon samoindukcije, koji će se po Lenzovu zakonu suprotstavljati promjeni struje, tj. usporavat će njezin porast.

R

V

L

t = 0

v

i

Slika 4–1 RL krug

Drugi Kirchhoff-ov zakon za krug na slici 4-1. glasi:

sV e i R+ = ⋅ (4.1)

odakle se uvrštenjem napona samoindukcije dobiva

diV L i Rdt

− = ⋅ (4.2)

i dijeljenjem s R

V L di iR R dt

− ⋅ = (4.3)

V/R je konačna (stacionarna) vrijednost jakosti struje I, a L/R je veličina dimenzije vremena, pa se zove vremenska konstanta kruga i označuje s τ.

Izraz (4.3) tako postaje

ELEKTROTEHNIKA

41

diI idt

τ− = (4.4)

Rješenjem ove diferencijalne jednadžbe, s početnim uvjetima i=0 za t=0, za i = f(t) dobiva se

( )/1 ti I e τ−= − (4.5)

Slika 4–2 Napon i struja kroz zavojnicu nakon uključenja sklopke

Istodobno, povećanjem struje u zavojnici, pada napon na njoj, od maksimalnog iznosa V prema nuli, koju postiže u stacionarnom stanju, kad kroz zavojnici teče konstantna struja I=V/R, kao što se vidi na slici 4-2.

Jakost struje raste u zavojnici po eksponencijalnom zakonu. Za vrijeme jedne vremenske konstante (t=τ) struja postigne 63,2% svoje konačne vrijednosti (što se lako izračuna iz (4.3)). Ta vrijednost stacionarnog stanja praktički se postiže već nakon vremena od 4 do 5 vremenskih konstanti. To se osobito zorno vidi na slici 4-3. koja grafički predočuje izraz (4.5).

Slika 4–3 i=f(t) za uključenje RL kruga

Drugi slučaj prijelazne pojave u RL krugu jest prekidanje toka stacionarne struje I, na primjer otvaranjem sklopke u krugu napajanja i zatvaranjem sklopke s kratkim spojem zavojnice i otpora (slika 4-4). U strujnom krugu

Istosmjerna i izmjenična analiza

42

bez izvora struja mora pasti na nulu (utrnuti). Promjene struje neizbježne pri smanjivanju stacionarne vrijednosti I na stacionarnu vrijednost i=0 uzrokom su napona samoindukcije, čiji je smjer po Lenzovom zakonu takav da se suprotstavlja promjeni, tj. nastoji održati dotadašnju struju.

t = 0 t = 0

L v

i

R

V

Slika 4–4 Isključenje RL kruga

Izraz (4.3) tako postaje

0 diL i Rdt

− = (4.6)

odakle se rješavanjem dobiva, uz početni uvjet i=I za t=0:

/ti I e τ−= (4.7)

što prikazuje slika 4-5.

Slika 4–5 v=f(t) i i=f(t) uz isključenje RL kruga

Struja dakle eksponencijalno trne u beskonačnosti (praktički nakon 4-5 τ). Brzina pada i opet ovisi o vremenskoj konstanti. Vidi se da zbog prisutnosti induktiviteta L strujni krug pokazuje stanovitu tromost pri svakoj promjeni struje.

Tu vrijedi također utjecaj vremenske konstante kruga (slika 4-6).

ELEKTROTEHNIKA

43

Slika 4–6 i=f(t) uz isključenje RL kruga

Primjer 4.1 Za strujni krug na shemi struja u početku je kroz zavojnicu jednaka nuli. Neka se u t=0 sklopka prebaci iz pozicije a u poziciju b i neka u njoj ostane 1 s. Nakon 1 s kašnjenja, sklopka se prebacuje iz pozicije b u poziciju c, gdje trajno ostaje. Zadaća je, nacrtati tijek struje kroz zavojnicu u ovisnosti o vremenu.

40 V

200 H

150 Ω 50 Ω

50Ω ab

c

Slika 4–7 Slika uz primjer 4.1

Rješenje Za 0<t<1, struja se nalazi prema formuli:

( ) 10.4 1t

i t e τ⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

gdje je:

1200 2100

L sRτ = = =

Za t=1 s vrijedi:

( ) ( )0.5max0.4 1i t e I−= − =

Istosmjerna i izmjenična analiza

44

dok za t>1 s treba koristiti jednažbu (4.7) da se dobije struja:

( )0.52

max

t

i t I e τ−⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠=

gdje je :

22

200 1200eq

L sRτ = = =

Matlab rješenje daje graf na slici 4-8:

Slika 4–8 Rješenja primjera 4.1

4.2. RC krug Uključenjem kondenzatora u strujni krug s otporom R (slika 4-9) događa se prijelazna pojava nabijanja kondenzatora, dok mu napon ne poprimi vrijednost napona izvora. Struja nabijanja kondenzatora u početku je velika, a kako naboj na pločama raste, tako njezin iznos pada (opiranje dotoku istovrsnog naboja). Prema slici 4-10 i II. Kirchhoff-ovu zakonu vrijedi

E v i R− = ⋅ (4.8)

Koristeći (2.4) slijedi

( )d C vdQ dvi C

dt dt dt⋅

= = = (4.9)

pa vrijedi

dvE v C Rdt

− = ⋅ ⋅ (4.10)

ELEKTROTEHNIKA

45

Umnožak vrijednosti kapaciteta i otpora također ima dimenziju vremena i zove se vremenska konstanta (τ=RC). Rješenje ove diferencijalne jednadžbe (4.10) glasi:

( )/1 tv E e τ−= − (4.11)

što je ekvivalentno izrazu (4.5) za RL krug.

Slika 4–9 RC krug

Slično bi se za isključenje RC strujnog kruga prema slici 4-10. dobilo

/tv E e τ−= ⋅ (4.12)

Funkcije v=f(t) i v=f(t) za izbijanje kondenzatora u RC krugu prikazane su na slici 4-10.

t = 0 t = 0

v

i

R

V

C

Slika 4–10 v(t) i i(t) u RC krugu koji se izbija

Istosmjerna i izmjenična analiza

46

Primjer 4.2 Pretpostavimo da je na slici 4-9. kondenzator C=10 μF. Treba simulirati napon na kondenzatoru, ako je R jednak:

a) 1,0 kΩ

b) 10 kΩ

c) 0,1 kΩ.

Rješenje: Programom napisanim u Matlab-u dobiva se graf

Slika 4–11 Rješenja primjera 4.2

Primjer 4.3 Neka je na RC spoj priključen napon pravokutnog impulsa s amplitudom od 5V i širinom impulsa 0,5s. Ako je C=10μF, treba nacrtati izlazni napon v0(t), za otpore R jednake:

a) 1000 Ω

b) 10.000Ω.

Crtež neka počne u nula sekundi i završi u 1,5 sekunde.

Rješenje: Programom napisanim u Matlab-u dobiva se graf:

ELEKTROTEHNIKA

47

Slika 4–12 Rješenja primjera 4.3

Za niz impulsa i odgovarajuću vremensku konstantu dobit će se sljedeći odzivi (slika 4-13):

Slika 4–13 Impulsni odziv RC kruga

Analogno će vrijediti za RL spoj (samo će u tom slučaju raspored elemenata biti izmijenjen).

4.3. Električne oscilacije Nadasve zanimljive pojave nastaju, ako se nabijeni kondenzator spoji u strujni krug sa zavojnicom (slika 4-14).

Istosmjerna i izmjenična analiza

48

Slika 4–14 LC oscilator

U trenutku kad se sklopka S zatvori, kondenzator se počinje izbijati preko zavojnice. Promjena toka naboja u zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste. Nakon prijelaznog procesa, kad je kondenzator izgubio svoju potencijalnu ( )2 / 2Q C⋅ energiju, zavojnica ima najveću

energiju 2 /2L I⋅ , koja je, ako nema gubitaka, jednaka prvotnoj električkoj. Sada slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na račun magnetske energije zavojnice. Dobro je primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu.

Budući da se proces ponavlja, a struja, naboj i napon su harmoničkog oblika, govori se o električnim oscilacijama. Ako je početna energija kruga bila ( )2 / 2Q C⋅ , ukupna energija u bilo kojem vremenu izračuna se iz

2 2

2

1 112 22

q QL i

C C+ = (4.13)

gdje su q i i trenutne vrijednosti naboja, odnosno struje. Rješenjem te jednadžbe slijedi da je frekvencija oscilacija f jednaka

1 1

2f

T L Cπ= = (4.14)

iz čega se vidi da je frekvencija (brzina promjene) to veća što su induktivitet i kapacitet manji.

Ono što je pritom zadivljujuće jest povezanost sa sličnim fizikalnim veličinama mehaničkih oscilacija. Povezanost između električnih i mehaničkih sustava je toliko velika da je moguće riješiti složene mehaničke ili akustičke probleme postavljanjem analognih električnih krugova i mjerenjem na lak način napona i struja koje odgovaraju mehaničkim i akustičkim "nepoznanicama". Ako je m masa tijela obješenog na spiralnoj opruzi krutosti k, onda će kružna frekvencija ω toga sustava biti

km

ω = (4.15)

ELEKTROTEHNIKA

49

što odgovara električnim oscilacijama

1

L Cω = (4.16)

Budući da je sustav zatvoren, zbroj kinetičke i potecijalne (elastične) energije je konstantan i jednak potencijalnoj energiji koju tijelo ima na maksimalnoj udaljenosti xm .

Usporedba nekih izraza koji vrijede za oba oscilacijska kruga, mehaničkog i električnog dana je u tablici 4-1.

Utjecaj otpora u oscilatorima je potrošak energije u vidu topline. To odgovara trenju u mehaničkom sustavu.

Hertz je 1888. pokazao da oscilacijski krugovi (odašiljači) mogu poslati energiju kroz prostor do sličnog kruga (prijemnika). Osim potvrde poznatih zakona iz optike, Hertz-ovi pokusi dokazali su i Maxwell-ovu teoriju elektromagnetskih valova, koja je sigurno jedan od najvećih uspjeha znanosti 19. stoljeća.

Tablica 4–1 Usporedba mehaničkih i električkih oscilacija

Masa na elastičnoj opruzi LC krug 22 2

2 2 2mkxmv kx

+ = 2 2 2

2 2 2Li q Q

C C+ =

2 2m

kv x xm

= − 2 21i Q qLC

= −

dxvdt

= dqidt

=

sinmx x tω= sinq Q tω=

Štoviše, usporedba električnih elemenata i pridruženih im pojava može se proširiti na druga tehnička područja, npr. topline i fludia, što se zorno vidi u tablici 4.2.

Istosmjerna i izmjenična analiza

50

Tablica 4–2 Fizikalni elementi i njihovo ponašanje u različitim tehničkim područjima

ELEKTROTEHNIKA

51

4.4. Vremensko ponašanje RLC spoja Za serijski RLC spoj prema shemi, također se može napisati KZ2 da bi se dobila jednadžba:

( ) ( ) 1 ( ) ( )t

S

di tv t L i d Ri t

dt Cτ τ

−∞

= + +∫ (4.17)

Derivirajući izraz po vremenu /dt dobiva se:

( ) ( ) ( ) ( )2

2S

d i t di t i tv t L R

dt Cdt= + + (4.18)

tj.

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1 Sdv t d i t di t i tRL dt L dt LCdt

= + + (4.19)

homogeno rješenje može se dobiti ako se načini vs(t) = konst. , što daje:

( ) ( ) ( )2

20d i t di t i tR

L dt LCdt= + + (4.20)

L

R

C

( )S SV t V= ( )i t

+

-

0( )tV

Slika 4–15 RLC serijski spoj u vremenskoj domeni

Karakteristična jednadžba je:

20 a bλ λ= + + (4.21)

gdje su a=R/L i b=1/LC. Da bi se jednadžba riješila potrebno je odrediti korijene karakteristične jednadžbe. Ako se pretpostavi da su korijeni

,λ α β= (4.22)

onda je rješenje homogenog dijela jednako:

( ) 211 2

tthi t A e A eαα= + (4.23)

gdje su A1 i A2 konstante.

Ako je vs(t) konstanta, onda će prisilno rješenje također biti konstantno i dat će se kao

Istosmjerna i izmjenična analiza

52

( ) 3fi t A= (4.24)

Ukupno rješenja tako je dano sa:

( ) 211 2 3

tti t A e A e Aαα= + + (4.25)

gdje se A1, A2 i A3 dobiju iz početnih uvjeta.

Primjer 4.4 Za serijski RLC spoj naći i(t) ako je L=10 H, R=400 Ω i C=100 μF. Početni uvjeti su vs(t)=0, i(0)=4 A, te di(0)/dt = 15 A/s.

Budući da je vs(t)=0 vrijedi:

( ) ( ) ( )2

2

4000 100010

d i t di ti t

dtdt= + +

Karakteristična jednadžba je: 20 40 1000λ λ= + +

Matlab programom pronaći će se korijeni ove karakteristične jednadžbe. >> p = [1 40 1000]; lambda = roots(p) lambda = -20.0000 +24.4949i -20.0000 -24.4949i

Koristeći korijene dobivene Matlab programom, i(t) se dobije kao:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

201 2

01 2 1

201 2

201 2

2 1

cos 24.4949 sin 24.4949

0 0 4

20 cos 24.4949 sin 24.4949

24.4949 sin 24.4949 24.4949 cos 24.4949

024.4949 20 15

t

t

t

i t e A t A t

i e A A A

di te A t A t

dte A t A t

diA A

dt

−

−

−

−

= +

= + ⇒ =

= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

− +⎡ ⎤⎣ ⎦

= − =

Budući da su A1=4 i A2= 3.8784, vrijedi:

( ) ( ) ( )20 4cos 24.4949 3.8784sin 24.4949ti t e t t−= +⎡ ⎤⎣ ⎦

4.5. Laplace-ova tranformacija Međutim, jednostavniji način određivanja napona i struja u RLC krugovima je upotrebom Laplace-ove transformacije (LT). Prvo se za RLC krug napišu diferencijalne jednadžbe koristeći KZ2, a onda se pretvore u algebarske jednadžbe koristeći LT. Nepoznati naponi ili struje tada se rješavaju u s-domeni.

ELEKTROTEHNIKA

53

Na koncu se upotrebom inverzne Laplaceove transformacije rješenje izrazi u vremenskoj domeni odakle smo krenuli. Sljedeća tablica pokazuje LT parove iz t- prema s-domeni.

Tablica 4–3 Laplace-ovi transformacijski parovi

f(t) F(s)

1 1 1s

2 t 2

1s

3 tn 1

!n

ns +

4 e-at 1

s a+

5 te-at 2

1( )s a+

6 sin(ωt) 2 2sωω+

7 cos(ωt) 2 2

ss ω+

8 eatsin(ωt) 2 2( )s aω

ω+ +

9 eatcos(ωt) 2 2( )s a

s a ω+

+ +

10 ( )df t

dt ( ) (0 )sF s f +−

11 2

2

( )d f tdt

2 (0)( ) (0) dfs F s sfdt

− −

12 0

( )t

f t dt∫ ( )F ss

13 ( )f t τ− ( )se F sτ−

Istosmjerna i izmjenična analiza

54

4.6. Spojevi s preklopkama Uključivanje ili isključivanje sklopke (preklopke) u strujnom krugu, uvjetuje da krug prijeđe iz jednog stacionarnog (engl. steady state) u drugo. Analiza takvog kruga uključuje rješavanje dif. jednadžbi vremenskog prijelaza iz jednog u drugo stanje ili korištenje Laplace-ove transformacije kojom se te jednadžbe rješavaju algebarski. U primjerima koji slijede koristi se ova druga mogućnost.

Primjer 4.5 Zadan je sklop na slici 4-16. U trenutku t=0 uključuje se sklopka. Ulaz u krug je napon naponskog izvora od 24 V. Izlaz iz kruga je napon na kondenzatoru, zadan s jednadžbom: ( ) 0.6

0 16 12 tv t e V−= − za t>0. Treba

odrediti vrijednost kapaciteta, C.

24 V C = ?

t = 0

18Ω

4Ω

2Ω

Slika 4–16 Strujni krug sa sklopkom

Rješenje: Prije nego se sklopka uključi krug je u stacionarnom stanju. Budući da je jedini ulaz u krug naponski izvor konstantnog napona, svi naponi i struje elemenata, uključujući i napon kondenzatora imaju konstantne vrijednosti. Zatvaranjem sklopke prilike u krugu se mijenjaju, jer se kratko spaja otpornik od 18 Ω. Za vrijeme ove promjene naponi i struje nisu više konstantni. Na primjer, jednadžba napona na kondenzatoru pokazuje vremensku promjenu nakon uključenja sklopke. Jedan dio, 12 e-0,6t, utrnut će kad t bude dovoljno veliko, što znači da će napon na kondenzatoru opet poprimiti konstantnu vrijednost, u načelu drugačiju nego na početku prijelaznog procesa. Iz slike 4-16 može se izračunati da je u trenutku zatvaranja sklopke napon na kondenzatoru v0(0) = 4 V, dok će na koncu prijelaznog procesa, u drugom stacionarnom stanju biti jednak 16 V.

ELEKTROTEHNIKA

55

Slika 4–17 Prijelazno stanje između dva stacionarna stanja

Kako vrijednost kapaciteta C kondenzatora utječe na napon na kondenzatoru? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti analizom kruga. Budući da se želi odrediti potpun odziv (i prijelaznog i stacionarnog stanja) u analizi kruga koristi se Laplace-ova transformacija. Pritom će 18 Ω otpornik biti zamijenjen kratkospojnikom, koji odgovara zatvorenoj sklopci. Model kondenzatora u s-domeni sastoji se od dva dijela, impedancije i naponskog izvora koji ovisi o početnim uvjetima v0(t) = 4V.

4Ω

2Ω

24s

1C s

4s

I1(s) I2(s)

Slika 4–18 Ekvivalentni spoj u s-domeni nakon uključeja sklopke

Krug se može riješiti postavljanjem dviju jednadžbi petlji, primjenjom II. Kirchhoff-ovog zakona:

( ) ( )( ) ( )1 2 1244 2 0I s I s I ss

− + − = (4.26)

Rješenje po I1(s) daje:

( ) ( )1 22 43

I s I ss

= + (4.27)

Primjenom II. Kirchhoff-ovog zakona za desnu petlju u mreži dobiva se:

( ) ( ) ( )( )2 1 21 4 0I s I s I s

Cs s⋅ + − − = (4.28)

Povezujući članove i izlučivanjem struje I2(s) dobije se:

( ) ( )2 11 44 4I s I s

Cs s⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.29)

Istosmjerna i izmjenična analiza

56

Povezujući jednadžbe (4.17) i (4.18) dobije se:

( )29

34

I ss

C

=+

(4.30)

Iz slike 4-15 vidi se da je napon na kondenzatoru jednak:

( ) ( )0 21 4V s I s

C s s= + (4.31)

Uvršenjem jednadžbe 4.13 za struju I2(s) i sređivanjem, dobije se:

( )012 12 4 16 12

3 34 4

V ss s ss s

C C

= − + = −+ +

(4.32)

Sljedeći korak je usporediti dobiveno rješenje s Laplace-ovom transformacijom izlaznog napona definiranoj u zadatku, te iz usporedbe izvući vrijednost kapaciteta C:

( ) ( ) ( ) ( )0,60 0

16 1216 120,6

tV s L v t L e v ts s

−⎡ ⎤= = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + (4.33)

što daje:

30,6 1,25

4C F

C= ⇒ = (4.34)