Sveuilite u Rijeci Fakultet za menadment u turizmu i ugostiteljstvu

PREGLED FORMULA STATISTIKEiz

Dr. sc. SUZANA MARKOVI, docent

P R E G L E D

F O R M U L A

GRAFIKO PRIKAZIVANJE Strukturni krug x0 =dio 360 0 cjelina x0 isjeak (sektor kruga) dio parcijalna frekvencija pojave cjelina ukupna frekvencija r polumjer kruga P ukupna frekvencija koja se prikazuje grafiki Ludolfov broj (3,14)

r=

P

Strukturni polukrug

x0 =

dio 180 0 cjelina

x0 isjeak (sektor kruga) dio parcijalna frekvencija pojave cjelina ukupna frekvencija r polumjer kruga P ukupna frekvencija koja se prikazuje grafiki Ludolfov broj (3,14)

r=

2P

RELATIVNI BROJEVI

Postoci

P=

dio 100 cjelina

P - postotak, relativna frekvencija dio - parcijalna frekvencija pojve cjelina - ukupna frekvencija

RBK =

Relativni brojevi koordinacije (RBK)f1 f2 RBK = f2 f1

f1 - frekvencija jedne statistike pojave (mase) f2 - frekvencija druge statistike pojave (mase)

2

Indeksi

I=

f1 100 f2

I - indeks f1 - jedna frekvencija statistike pojave f2 - druga frekvencija iste statistike pojave (baza usporedbe)

NUMERIKI NIZ Srednje vrijednosti

Aritmetika sredina

Negrupirani podaci

x=

xi =1

N

i

Nn

Grupirani podaci

x fi N xi

- aritmetika sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n

x=

xi =1 n i =1

i

fii

f

Harmonijska sredina

Negrupirani podaciH= N

xi =1

N

1i

Grupirani podaci

H=

f xi =1 i =1 n

n

H fi N xi

- harmonijska sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n

i

fii

3

Geometrijska sredina

Negrupirani podacilog G = ili G=N

1 N log xi N i =1

x1 x 2 ... x N

G fi N xi log

- geometrijska sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n - Logaritam

Grupirani podacilog G = 1 f i log xii =1 i n

fi =1

n

iliG=N

x1 1 x 2 2 ... x k k

f

f

f

ModMo - mod L1 - donja granica modalnog razreda b - najvea frekvencija u nizu (najvea korigirana frekvencija kod nejednakih razreda) a - frekvencija iznad b c - frekvencija ispod b i - veliina modalnog razreda fc - korigirana frekvencija fi - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n i - veliina razreda ija se frekvencija korigira

Grupirani podaci (razredi): Mo = L1 + ba i (b a ) + (b c )

fc =

fi i

Medijan

Negrupirani podaci

N +1 2 N r1 = 2 r2 = r1 + 1 r=Me = x r1 + x r 2 2

r - redni broj podatka, koji predouje medijan u ureenom nizu s neparnim brojem lanova (jedinica) r1, r2 - redni brojevi podataka u ureenom nizu s parnim brojem lanova (jedinica) N - ukupan broj lanova (jedinica) u nizu Me - medijan xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 L1 - donja granica medijalnog razreda f1 - zbroj frekvencija do medijalnog razreda fmed - frekvencija medijalnog razreda i - veliina medijalnog razreda4

Grupirani podaci (razredi)N f1 Me = L1 + 2 i f medMjere disperzije

Raspon varijacije

R = x max x min

R - raspon varijacije xmax - najvea vrijednost numerikog obiljeja xmin - najmanja vrijednost numerikog obiljeja

Kvartili

Donji kvartil

Negrupirani podaci N 4 r2 = r1 + 1 r1 =Q1 = x r1 + x r 2 2

Grupirani podaci (razredi) N f1 Q1 = L1 + 4 i f Q1

r1, r2 - redni brojevi podataka u ureenom nizu kojima se odreuje donji kvartil N - ukupan broj lanova (jedinica) u nizu Q1 - donji kvartil xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 L1 - donja granica kvartilnog razreda f1 - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda fQ1 - frekvencija kvartilnog razreda i - veliina kvartilnog razreda

Gornji kvartilNegrupirani podaci

3N 4 r2 = r1 + 1 r1 =Q3 = x r1 + x r 2 2

r1, r2 - redni brojevi podataka u ureenom nizu kojima se odreuje gornji kvartil N - ukupan broj lanova (jedinica) u nizu Q3 - gornji kvartil xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r1 tj. r2 L1 - donja granica kvartilnog razreda f1 - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda fQ3 - frekvencija kvartilnog razreda i - veliina kvartilnog razreda

5

Grupirani podaci (razredi)

3N f1 Q3 = L1 + 4 i f Q3

Interkvartil

I Q = Q3 Q1

IQ - interkvartil Q1 - donji kvartil Q3 - gornji kvartil

Koeficijent kvartilne devijacije

VQ =

Q3 Q1 Q3 + Q1

VQ - koeficijent kvartilne devijacije Q1 - donji kvartil Q3 - gornji kvartil

Standardna devijacija

= 2

- standardna devijacija 2 - varijanca ili drugi moment oko sredine

Koeficijent varijacijeV =

x

100

V - koeficijent varijacije - standardna devijacija x - aritmetika sredina

6

Momenti

Momenti oko nule

Negrupirani podaci

mk =

xi =1

N

k i

N

,

mk xi N fi m2 =

- k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n

m1 =

xii =1

N

N

,

xi =1

N

2 i

N

,

m3 =

xi =1

N

3 i

N

,

m4 =

xi =1

N

4 i

N

Grupirani podaci

mk =

fxi =1 n i

n

k i

fi =1 i

,

i

m3 =

fxi =1 n i

n

3 i

fi =1

,

m4 =

fxi =1 n i

n

4 i

i

fi =1

i

m1 =

fxi =1 n

n

i

fi =1

,

m2 =

fxi =1 i

n

2k i

i

fi =1

n

,

i

Momenti oko sredine

Negrupirani podaci

k =

(xN i =1

i

x

) )

k

N

, 2 =

(xN i =1

i

x

)

2

N

,

3 =

(xN i =1

3

i

x

N

, 4 =

(xN i =1

i

x

)

4

N

k mk xi N x fi

- k-ti moment oko sredine, k=0,1,... - k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - aritmetika sredina - frekvencija numerikog niza, i=1,...,n

7

Grupirani podaci

k =

(n i =1 n

f i xi x

)

k

fi =1

, 2 =

(n i =1 n

f i xi x

)

2

i

fi =1

,i

3 =

f (xn i =1 i n i =1

i

xi

)

3

f

, 4 =

f (xn i =1 i n i =1

i

xi

)

4

f

0 = 1,

1 = 0

Pomou momenata oko nule 2 = m2 m12 3 = m3 3m1 m2 + 2m13

4 = m4 4m1 m3 + 6m12 m2 3m14

8

Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

Koeficijent asimetrije

3 =

3 3

3 - koeficijent asimetrije 3 - trei moment oko sredine - standardna devijacija

Pearsonove mjere asimetrije

S k1 =

x Mo

3 ( x Me)

Sk2 =

Sk x Mo Me

- Pearsonova mjera asimetrije - aritmetika sredina - mod - medijan - standardna devijacija

Bowleyjeva mjera asimetrije

S kQ =

Q1 + Q3 2 Me Q3 Q1

SkQ Q1 Q3 Me

- Bowleyjeva mjera asimetrije - donji kvartil - gornji kvartil - medijan

Koeficijent zaobljenosti

4 =

4 4

4 - koeficijent zaobljenosti 4 - etvrti moment oko sredine - standardna devijacija

9

KOMBINATORIKA

Permutacije

Bez ponavljanja P = n! S ponavljanjem

P=

n! r1!r2 !...rk !

P P n r

- permutacije bez ponavljanja - permutacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred

Varijacije

Bez ponavljanja

V=

n! (n r )!

S ponavljanjem V = nr

V V n r

- varijacije bez ponavljanja - varijacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred

Kombinacije

Bez ponavljanja

n n! K = = r r!(n r )! S ponavljanjem n + r 1 K = r

K K n r

- kombinacije bez ponavljanja - kombinacije s ponavljanjem - broj elemenata - razred

10

VJEROJATNOST

Matematika vjerojatnost ili vjerojatnost a priori

P ( A) =

m n

P(A) - vjerojatnost dogaaja A m - broj povoljnih mogunosti n - broj svih mogunosti

Statistika vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori

P ( A) =

f ( A) n

P(A) - vjerojatnost dogaaja A f(A) - frekvencija dogaaja A n - broj izvrenih pokusa

Suprotna vjerojatnost

Q( A) = 1 P( A) P( A) + Q( A) = 1

Q(A) - suprotna vjerojatnost P(A) - vjerojatnost dogaaja A

Zbrajanje vjerojatnosti vjerojatnost ili-ili u ekskluzivnom smislu

P ( A B) = P( A) + P ( B )

P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B

Mnoenje vjerojatnosti vjerojatnost i-i

P( A B) = P( A) P( B)

P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B

Vjerojatnost barem jedan vjerojatnost ili u inkluzivnom smislu

P = 1 Q( A) Q( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)

P(A) P(B) Q(A) Q(B)

- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B - suprotna vjerojatnost dogaaja A - suprotna vjerojatnost dogaaja B

11

Vjerojatnost samo jedan

P = P( A) Q( B) + Q ( A) P ( B )

P(A) P(B) Q(A) Q(B)

- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B - suprotna vjerojatnost dogaaja A - suprotna vjerojatnost dogaaja B

Vjerojatnost dogaaja koji se ponavljaju

P1 = p Q = (1 p ) n P2 = 1 (1 p ) nn

P1 - vjerojatnost da dogaaj nastupi n-puta Q - vjerojatnost da dogaaj n-puta ne nastupi P2 - vjerojatnost da dogaaj u n pokusa nastupi barem jedanput p - vjerojatnost da e se dogoditi neki dogaaj n - broj ponavljanja (pokusa)

Uvjetna vjerojatnost

P( A / B) =

P( A B) P( B) P( A B) P( A)

P ( B / A) =

P(A/B) - vjerojatnost dogaaja A uz uvjet dogaaja B P(B/A) - vjerojatnost dogaaja B uz uvjet dogaaja A P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B

Totalna vjerojatnost

P ( A) = P ( B1 ) P( A / B1 ) + P ( B2 ) P ( A / B2 ) + ... + P( Bi ) P ( A / Bi )

P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(Bi) - vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..

Bayesova formula

P ( Bi / A) =

P ( Bi ) P ( A / Bi ) P( Bi ) P( A / Bi )

P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(Bi) - vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..

12

TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

Binomna distribucija

E ( x) = X = n p

V ( x) = n p qq V = 100 n p

= n pq

3 =

q p n pq1 6 p q n pq

4 = 3 +

n p q Mo n p + p n P( x ) = p x q n x x

E(x) x n p q V(x) V 3 4 Mo P(x)

- matematiko oekivanje - broj nastupanja dogaaja A u n pokusa - broj elemenata u uzorku ili broj pokusa - vjerojatnost ostvarenja dogaaja A - vjerojatnost nenastupanja dogaaja A - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod - vjerojatnost da sluajna varijabla ima vrijednost x

Poissonova distribucija

E ( x) = X =

V (x) = V =100

= 3 =1

1

4 = 3 +

1 Mo P( x) =

E(x) V(x) V 3 4 Mo P(x)

xx!

- matematiko oekivanje - lamda - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod - vjerojatnost da sluajna varijabla ima vrijednost x e - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

e

P (0) = e

13

Normalna ili Gaussova distribucija1 e z2 2 ( x x)2 2 2

f ( x) =

21 2 e

f ( z) =

;

z=

xx

3 = 0 4 = 3

f(x) x x e 3 4

- funkcija vjerojatnosti tj. gustoa razdiobe - tekua vrijednost sluajne varijable - aritmetika sredina osnovnog skupa - standardna devijacija - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182... - Ludolfov broj (3,14) - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti

METODA UZORAKA

Frakcija izbora

f =

n N

f - frakcija izbora n - uzorak N - populacija, osnovni skup

Metode procjene

Procjena aritmetike sredine osnovnog skupa

Interval:

x t sx < X < x + t sx

X x t sx f>0,05

- aritmetika sredina osnovnog skupa - aritmetika sredina uzorka - koeficijent pouzdanosti - standardna greka procjene aritmetike sredine

f30 s x = n30

sx =

s n

s

N n N 1 N n N 1

n50 s = n0,05

f30

n