62
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Zavod za termodinamiku, strojarstvo i energetiku PREDLOŠCI ZA VJEŽBE iz kolegija TEHNIČKA TERMODINAMIKA Priredio: Boris Halasz ZAGREB, listopad 2012.

PREDLOŠCI ZA VJEŽBE iz kolegija TEHNIČKA TERMODINAMIKA

  • Upload
    mrki225

  • View
    418

  • Download
    23

Embed Size (px)

DESCRIPTION

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJEZavod za termodinamiku, strojarstvo i energetikuPREDLOŠCI ZA VJEŽBEiz kolegijaTEHNIČKA TERMODINAMIKAPriredio: Boris HalaszZAGREB, listopad 2012.

Citation preview

Page 1: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

Zavod za termodinamiku, strojarstvo i energetiku

PREDLOŠCI ZA VJEŽBE

iz kolegija

TEHNIČKA TERMODINAMIKA Priredio: Boris Halasz ZAGREB, listopad 2012.

Page 2: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

1

1. vježba - uvod - veličine stanja Veličine stanja su (izravno ili neizravno) mjerljive fizikalne veličine koje su jednoznačno pridijeljene pojedinom toplinskom stanju nekog tijela. Iskazuju se brojčanom vrijednošću i pripadajućon mjernom jedinicom (“dimenzijom”). Svaka se veličina stanja X može prikazati kao umnožak brojčane vrijednosti { }X i pripadajuće mjerne jedinice [ ]X :

{ }[ ]XXX = , iz čega slijedi: { } [ ]XXX = .

Veličine stanja mogu se podijeliti u dvije skupine:

− intenzivne veličine stanja su one, čiji iznos ne ovisi o veličini uzorka (masi, količini) na kojem se mjeri. Takve su: tlak, temperatura, sastav (smjese) i sl.

− ekstenzivne veličine stanja su one, čiji iznos ovisi o veličini uzorka (masi, količini) na kojem se mjeri. To su: sama masa ili količina tijela, volumen tijela, njegova unutarnja energija, entalpija, entropija i sl.

Podijeli li se ekstenzivna veličina stanja nekog tijela njegovom masom ili količinom, dobije se specifična (izražena po jedinici mase – kilogramu) ili molarna (izražena po jedinici količine

– kilomolu) veličina stanja, koja ima obilježja intenzivne veličine stanja!

Nije potrebno mjeriti sve veličine stanja nekog tijela (tvari) – među njima postoje veze. Dovoljno je izmjeriti svega nekoliko veličina stanja i iz njih se mogu analitičkim putem izračunati ili iz odgovarajućih tablica ili dijagrama očitati sve ostale koje su potrebne.

Za mjerenje se odabiru najčešće one veličine stanja, koje se mogu najlakše i najtočnije mjeriti i za koje su mjerni instrumenti najjeftiniji. Nema općeg pravila, ali se daleko najčešće za tu svrhu odabiru temperatura i tlak.

Temperatura

Temperatura je veličina stanja koju je teško jednostavno i jednoznačno definirati! Najmanje je pogrešna definicija ona po kojoj “dva tijela koja su u toplinskoj ravnoteži, imaju jednaku temperaturu”. Sama temperatura se zapravo i ne može mjeriti! Mjere se uvijek neke druge veličine koje su jednoznačno s njom povezane:

1) Volumen tijela koji se mijenja s temperaturom (npr. volumen žive u staklenom “živinom” termometru);

2) Električna svojstva koja ovise o temperaturi: a) električni otpor vodiča koji ovisi o temperaturi (tzv. “otpornički termometri”); b) elektromotorna sila koja se javlja na dodiru dvaju različitih metala, a čiji iznos

ovisi o temperaturi (tzv. “termoparovi” ili “termoelementi”);

3) Mjerenje iznosa i raspodjele po spektru energije koju odzračuje tijelo čiju temperaturu mjerimo (primjenjuje se pri višim temperaturama);

4) Linearno rastezanje tijela s temperaturom (“bimetali”);

5) Taljenje tijela poznatih svojstava na poznatoj temperaturi i slično.

Zbog nemogućnosti izravnog mjerenja same temperature, moramo definirati “temperaturnu skalu”, tj. odabrati dvije fizikalne pojave koje se uvijek odvijaju pri točno određenim temperaturama i njima pridijeliti brojčane vrijednosti temperature. Kako je odabir tih pojava, a isto tako i brojčanih vrijednosti koje se pridijeljuju tim točkama proizvoljan, postojale su razne

Page 3: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

2

(više ili manje pogodno odabrane) temperaturne skale od kojih su se danas u SI-mjernom sustavu održale samo dvije – Kelvinova (obvezna) i Celzijeva (dopuštena), a u angloameričkom se još uvijek (iako ilegalno) koriste Fahrenheitova i Rankineova skala.

Samo mjerenje temperature temelji se na “drugom postulatu ravnoteže” (tzv. “nulti zakon termodinamike”) koji glasi: »Ako je tijelo A u toplinskoj ravnoteži i s tijelom B i s tijelom C, onda su i tijela B i C međusobno u toplinskoj ravnoteži« (ili tako nekako). Živin termometar neka bude tijelo A, a voda koja se smrzava – tijelo B. Zabilježimo li stanje tijela A (visinu stupca žive) dok je u ravnoteži s tijelom B i kasnije ustanovimo da je ta visina ista i kad se tijelo A nalazi u ravnoteži s tijelom C, zaključujemo da bi i tijela B i C bila u međusobnoj toplinskoj ravnoteži, da su kojim slučajem stvarno u izravnom dodiru. No to nas ne sprječava da u skladu s gornjom definicijom ustvrdimo da tijela B i C imaju jednaku temperaturu.

Da se ne bismo ograničili na to da svaki put za svako tijelo čiju temperaturu moramo mjeriti napravimo neki etalon s kojim ćemo to uspoređivati, termometar se “umjeri” tako da se, kad je u ravnoteži s jednim referentnim tijelom (npr. vodom koja smrzava) označi nekom vrijednošću (npr. “0” kod Celzijeve skale), a kad je u ravnoteži s drugim referentnim tijelom (npr. vodom koja isparava) označi drugom vrijednošću (npr. “100” kod Celzijeve skale) i onda se ta skala (linearno) interpolira, a po potrebi i ekstrapolira. Iako su ledište i vrelište vode osnovne i definicijske referentne točke, zato što jedan termometar ne može mjeriti sve moguće temperature, za vrlo niske i vrlo visoke temperature postoji još niz takvih referentnih točaka (primjerice, trojna točka kisika je na −218,7916 °C, krutište zlata na +1064,18 °C).

Kelvinova skala (jedinica K, Kelvin) je temeljna temperaturna skala SI-mjernog sustava. To je tzv. “termodinamička” ili “apsolutna” temperaturna skala, jer joj je ishodište na apsolutnoj nuli. Nastala je na temelju Celsiusove skale, jednostavnim pomicanjem (translacijom) skale, bez promjene same podjele skale. Današnja je definicija da je to skala koja ima ishodište na apsolutnoj nuli, a pri trojnoj točki vode (+0,01 °C) ima vrijednost 273,16 K.

Celzijeva skala (jedinica °C, Celzijev stupanj, Aahrens Celsius) je stara i najraširenija skala koja se je održala jer je prilično spretno definirana – ima vrijednost “0” na ledištu vode i vrijednost “100” na vrelištu vode, sve pri tlaku 1,01325 bar (760 mm Hg). Zove se “relativna” skala jer su obje točke proizvoljno odabrane.

Fahrenheitova i Rankineova skala su vrlo slične gornjim dvjema skalama, Celzijevoj, dotično Kelvinovoj. Iako je prvobitna definicija Fahrenheitove skale bila loše odabrana, to je kasnije ispravljeno tako da je skala definirana vrijednošću “32” na ledištu vode i vrijednošću “212” (razlika je 180) na vrelištu vode, sve pri tlaku 1,01325 bar. Time je skala postala jednoznačno definirana i povezana s Celzijevom (dakle, međunarodno prihvaćenom) skalom.

Preračunavanje temperatura izraženih u različitim skalama može se izvršiti s pomoću izraza:

273,15CK+

°=ϑT ili: 273,15

KC−=

°Tϑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −°

⋅=°

32F9

5C

ϑϑ ili: 32C5

9F

+°⋅=

°ϑϑ

67,594FR+

°=

°ϑT ili: 67,594

RF−

°=

°Tϑ

Iako svaka od tih četiriju skala drukčijim brojčanim iznosom iskazuje istu temperaturu, VAŽNO je uočiti da je RAZLIKA dviju temperatura JEDNAKA na odgovarajućoj relativnoj i apsolutnoj (npr. Celzijevoj i Kelvinovoj ili Fahrenheitovoj i Rankineovoj) skali:

1212 ϑϑ −=−TT

ϑΔΔ =T

ϑdd =T

Page 4: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

3

Međusobni odnos brojčanih vrijednosti na tim četirima skalama vidi se zgodno iz slike:

Iz slike se vidi da u istom rasponu temperatura između ledišta i vrelišta vode, Celsiusova i Kelvinova skala imaju 100 podjela, a Fahrenheitova i Rankineova 180. Očito je podjela na Fahrenheitovoj i Rankineovoj skali skoro dvostruko finija.

Tlak Tlak (stvarni, apsolutni) je također intenzivna veličina stanja. Može se opisati kao sila kojom tekućina djeluje okomito na jediničnu površinu stijenke s kojom je u dodiru. Postoje vjerojatno i bolje definicije, ali već se i na temelju ove vidi da se radi o nekakvoj sili po jedinici površine, dakle, o nečemu što se može mjeriti preko različitih manifestacija ili posljedica te sile.

U SI-sustavu koherentna mjerna jedinica za tlak je:

1 N/m2 = Pa (paskal),

nazvana po Blaiseu Pascalu. No, ta je jedinica vrlo mala, jer je sastavljena od male sile raspoređene po velikoj površini, tako da već i atmosferski (okolišni) tlak u toj jedinici izražen vrlo velikim brojem (oko 100 000 Pa). Da bi se olakšala komunikacija i izbjegli tako veliki brojevi (a u tehnici se susreću i tlakovi koji su mnogostruko veći od okolišnog), uvedena je i (nekoherentna!) jedinica kao njen (dekadski) višekratnik:

1 bar = 105 Pa,

koja je približno jednaka okolišnom tlaku. Iako SI-sustav preferira dekadske višekratnike s eksponentom 103, dakle, 103 (kilo-), 106 (mega-), 109 (giga-), uporaba kilopaskala ili megapaskala se nije udomaćila. Svakako treba PAZITI kod računanja: “bar” je jedinica koja je zgodna za razgovor: zadavanje, očitavanje s instrumenta i slično, ali nije koherentna! Prije računanja treba tlakove izražene u barime pretvoriti u koherentne jedinice - paskale!

U starom tehničkom sustavu slično je bila definirana koherentna jedinica za tlak

1 kp/m2 (bez posebnog naziva)

0 oC 273,15 K 32 oF 491,67 R

ϑ (oC) T (K) ϑ (oF) T (R)

CELSIUS KELVIN FAHRENHEIT RANKINE

ledište vode(pri 1,01325 bar)

vrelište vode(pri 1,01325 barili 760 mm Hg)

"apsolutna nula" - 273,15 oC 0 K - 459,67 oF 0 R

apso

lutn

a te

mpe

ratu

rna

skal

a

apso

lutn

a te

mpe

ratu

rna

skal

a

rela

tivna

tem

pera

turn

a sk

ala

rela

tivna

tem

pera

turn

a sk

ala

100 oC 373,15 K 212 oF 671,67 R

ϑ < 0 oC! ϑ < 0 oF!T > 0 K! T > 0 R!

Δϑ (oC) Δϑ (oF)ΔT (K) ΔT (R)

Page 5: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

4

kao sila (1 kilopond) po m2 površine. No, kako je 1 kp (= 9,81 N) još uvijek mala sila, i ta je jedinica bila mala, istina, oko 10 puta veća od paskala, tako da je okolišni tlak bio oko 10 000 kp/m2. Igrom slučaja, 1 m2 ima baš 10 000 cm2, pa je zgodno ispalo da 1 kp/cm2 bude baš sličan okolišnom tlaku! Tako je ta jedinica (ni ona nije bila koherentna!) nazvana "tehnička atmosfera" (kratica: "at"):

1 kp/cm2 = 1 at = 10 000 kp/m2 .

U starim mjernim sustavima rabile su se i mjerne jedinice za tlak temeljene na poznatom učinku tzv. "hidrostatičkog tlaka" stupca tekućine: Δp = ρ g Δh, iz čega proizlazi da je tlak srazmjeran visini stupca tekućine. No, da bi “mjera za duljinu” Δh (dakle, neki metri, milimetri i sl.) postala jednoznačna mjera za tlak, moraju i ostale dvije veličine (gustoća ρ i “gravitacija” g) biti jednoznačne! Za g to se može postići npr. tako da se odabere normirani iznos g = 9,80665 m/s2 ≅ 9,81 m/s2 , ali se za ρ mora također odabrati neka točno određena vrijednost. Iskustva mjerenja tlaka s pomoću stupca tekućine pokazala su da su od raznih tekućina (kapljevina) za tu svrhu najpogodnije voda i živa. No kako gustoća kapljevina ipak (iako malo) ovisi o temperaturi, samim izborom vrste kapljevine gustoća još nije jednoznačno određena. Tako se mora odabrati s kojom se vrijednošću gustoće računa: odabrana je gustoća vode pri +4 °C (ρ = 1000 kg/m3) i gustoća žive pri 0 °C (ρ = 13 595 kg/m3). Na taj način su dobivene jedinice za tlak “milimetar živina stupca" i "milimetar vodenoga stupca":

1 mm Hg = 1 Torr (nazvan po Torricelliju) = 133,321 Pa

1 mm v.s. = 9,80665 Pa

koje su preko gornje jednadžbe Δp = ρ g Δh jednoznačno povezane s jedinicom “paskal”.

Na temelju tlaka živinoga stupca bila je definirana i nekad se često kao jedinica rabila i "fizikalna atmosfera" (utemeljena na glasovitu Torricellijevom pokusu)

1 Atm = 760 mm Hg = 101325 Pa.

Među tim mjernim jedinicama postoje jednoznačni odnosi:

1 bar = 1,0197 at = 10 197 mm v.s. = 750 mm Hg = 0,98692 Atm

1 at = 0,980665 bar = 10 000 mm v.s. = 735,5 mm Hg = 0,96785 Atm

1 Atm = 1,01325 bar = 1,03323 at = 10 332 mm v.s. = 760 mm Hg

s pomoću kojih se tlakovi izraženi u jednim jedinicama mogu preračunavati u druge.

Načini mjerenja tlaka I pri mjerenju tlaka zapravo se mjere posljedice djelovanja sile. Tako se mjerenja obično vrše na dva načina:

- mjerenjem elastične deformacije nekog tijela: mijeha (kod barometra), Bourdonove cijevi (kod manometra ili vakuummetra), piezoelektričnoga kristala i sl.

- s pomoću stupca kapljevine (U-cijev).

Izuzevši barometar, ostali instrumenti “za mjerenje tlaka” redovito pokazuju razliku između stvarnoga tlaka u prostoru na koji su priključeni i okolišnoga tlaka! Razlog tome je sama konstrukcija instrumenata, što će biti pokazano uz sliku kasnije. Ako je mjereni tlak veći od okolišnoga, razlika se zove pretlak (ne predtlak!): pp = p – pok (za p > pok), a ako je mjereni tlak manji od okolišnoga, razlika se zove potlak (ili podtlak):

pv = pok – p (za p < pok).

Page 6: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

5

Pretlak i podtlak NISU VELIČINE STANJA! Kako će nam za kasnije računanje trebati stvarni tlak kao veličina stanja, očitanje instrumenta treba korigirati koristeći se gornjim jednadžbama, uz poznati okolišni tlak.

Katkada se kod tlakova koji su niži od okolišnoga tlak opisuje vakuumom v, veličinom koja je definirana jednadžbom:

ok

v

pp

v = ili: (%) 100(%)ok

v ⋅=ppv .

Iako sama riječ "vakuum" označava prazninu, prazan prostor, u termodinamici se tom riječju služimo prema gornjoj definiciji. Tako se, npr. spominje da u kondenzatoru parne turbine "vlada 94-postotni vakuum" što, naravno, ne znači da je u njemu prazan prostor, nego da, ako je okolišni tlak 1 bar, u njemu je podtlak 0,94 bar, ili apsolutni tlak 0,06 bar.

Zašto instrumenti pokazuju pretlak ili podtlak, postaje jasno uzmemo li u obzir što i kako oni mjere:

- manometar mjeri deformaciju Bourdonove cijevi. To je savinuta cijev, čiji je jedan kraj učvršćen na kućište instrumenta, a drugi je slobodan. Svojstvo je takve savinute cijevi da se ona nastoji ispružiti, ako je tlak unutar nje veći od vanjskoga (okolišnoga), ili stisnuti ako je u njoj tlak manji od vanjskoga. Kod mano-metra deformacije moraju ostati u području elastičnosti. Pomak slobodnog kraja cijevi mo-že se s pomoću male zubne letve i zupčanika pretvoriti u zakretanje kazaljke. Ovisno o tome kako podesimo prijenosni mehanizam i gdje je kazaljka kad je cijev neopterećena tlakom, takvi instrumenti mogu mjeriti ili pretlak ili podtlak, pa čak i, stavimo li kazaljku u neopterećenom položaju u sredinu skale, i jedno i drugo! Promjer cjevčice i debljina njezine stijenke ovise o tlakovima koje namjeravamo mjeriti (čvrstoća). Često se cjevčica izvodi spljoštena da bi se efekt pružanja pojačao i da bi se sama cjevčica mogla bolje savinuti. Želimo li povećati osjetljivost manometra, umjesto dijela jednog zavoja, kako je prikazano na slici, Bourdonova se cijev može izvesti s nekoliko zavoja (poput zavojne opruge), čime se povećava pomak ΔL. I smanjenje zupčanika povećava osjetljivost, jer za isti pomak ΔL daje veći zakret kazaljke!

Što i kako mjeri manometar, može se vidjeti iz sljedećeg kvalitativnog razmatranja:

Iz slike je očigledno da je kut zakreta kazaljke (to očitavamo na skali) proporcionalan pomaku slobodnoga kraja cijevi ΔL. Taj se pomak može izraziti s pomoću relativnog pomaka ε : ΔL = ε ⋅ L0. Dakle, ono što očitamo na skali manometra ovisno je o veličini ε. No, isto tako znamo, da je ε povezan s naprezanjem preko "modula elastičnosti" E prema Hookovu zakonu: ε = σ E. I sad još treba vidjeti čime je određeno naprezanje stijenke: ono će biti jednako nuli kad su tlak s vanjske i unutarnje strane stijenke jednaki, bez obzira na to koliki su. Ako se razlikuju, naprezanje je određeno razlikom unutarnjeg i vanjskog tlaka: σ = σ (p − pok). S vanjske strane cijevi (unutar kućišta manometra) tlak je okolišni, jer kućište nije izvedeno hermetički! Dakle, ono što očitamo na manometru nije stvarni tlak nego razlika stvarnog i okolišnog tlaka! Manometar pokazuje nulu kad je priključen na prostor u kojemu je tlak jednak okolišnom, a ne kad je priključen na potpuno prazan prostor!

p

okolišni tlak

A

BpA

pB

po

pp,A

pv,B

po

ΔL

Page 7: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

6

Naravno, nameće se (naoko logično) pitanje – zašto kućište manometra ne bi bilo potpuno evakuirano? (Tada bi manometar pokazivao apsolutni tlak!). Odgovor je čisto praktične naravi: kućište bi se i moglo izvesti hermetički zatvoreno, ali nema nikakvog jamstva da bi ono takvo trajno i ostalo! Manometar je (u načelu) pogonski instrument i nerijetko je izložen vibracijama, udarcima, promjenama temperature i slično. Osim toga, kućište je sastavljeno bar iz dva dijela (tijelo kućišta i staklo) koja bi na spoju trebalo savršeno brtviti.

No, sama ta ideja primijenjena je kod barometra: on mjeri apsolutni tlak okoliša tako da mjeri deformaciju nekog “mijeha” unutar kojega je apsolutni vakuum, pa na mijeh izvana djeluje okolišni tlak, a iznutra ništa i deformacija mijeha je stvarno određena samo vanjskim tlakom. Međutim, barometar nije pogonski instrument, redovito je smješten na zaštićenom mjestu, a osim toga, unutrašnjost metalnog mijeha se može lako (npr. lemljenjem) hermetički zatvoriti!

- U-cijev mjeri “tlak” preko djelovanja stupca tekućine: jedan njezin kraj se priključi na prostor u kojemu treba izmjeriti tlak, a drugi je kraj otvoren prema okolišu (na njega djeluje okolišni tlak). Ako je tlak u promatranom pros-toru veći od okolišnog tlaka, u tom se kraku U-cijevi stupac kapljevine spusti, a u suprotnom podigne i kad se mjerna tekućina umiri, možemo tvrditi da je tlak u točkama A i B jednak: u točki A tlak je jednak stvar-nom tlaku p, a u točki B on je jednak zbroju okolišnog tlaka pok i hidrostatičkog tlaka kapljevine visine Δh:

hgpp Δkapok ρ+=

iz čega slijedi da je očitana visina stupca kapljevine Δh opet mjera za razliku tlakova p – pok :

g

pphkap

ok

ρΔ

−= !

Kod preciznijih mjerenja trebali bismo uzeti u obzir i djelovanje stupca u lijevom kraku U cijevi (iznad točke A), no to je kod mjerenja tlaka u posudama koje sadrže plin skoro sigurno zanemarivo, jedino kad posuda sadrži kapljevinu, o tome ima smisla voditi računa.

I ovdje bi se moglo načelno primijetiti da bi se desni kraj U-cijevi mogao zatvoriti, ali onda bi iznad točke B umjesto (poznatog) okolišnog tlaka bio tlak zasićenja kapljevine (koji ovisi o njenoj temperaturi), što baš i nije praktično.

Ovdje svakako treba naglasiti da razlika visina Δh očitana na U-cijevi nije nužno jednaka mjernoj jedinici mm Hg ili mm v.s. u smislu gornje definicije, čak i ako mjerenje provodimo s vodom ili živom! Tek ako bi slučajno voda imala temperaturu +4 °C ili živa 0 °C, a lokalna gravitacija vrijednost 9,80665 m/s2, onda bi to bilo tako – u suprotnom, treba uzeti u obzir stvarnu gustoću kapljevine čiji stupac se očitava na U-cijevi i stvarnu gravitacijsku konstantu!

Primjer za preračunavanje temperature Prije stotinjak godina, pokušavajući obići svijet za 80 dana, gospodin Phileas Fogg je naložio svom slugi Passepartoutu da, bez obzira gdje se nalazili, voda za jutarnje brijanje mora imati temperaturu 97 stupnjeva. Uzimajući u obzir sve implicitne okolnosti, treba provjeriti hoće li se mr. Fogg prilikom brijanja ofuriti, ili samo ugodno obrijati!

Rješenje: Rečena temperatura odnosi se na Fahrenheitovu skalu, pa u Celzijevim stupnjevima to iznosi:

[ ] ( ) C 1,3632799532F)(

95C)( °=−=−°=° ϑϑ , a onda je zaključak jasan.

p pok

A

B

Δh

Page 8: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

7

Primjer: Mjerenjem pretlaka plina u posudi s pomoću U-cijevi ispunjene vodom temperature 20 °C (gustoće ρ = 998,2 kg/m3) očitana je razlika visina stupca vode Δh = 120 mm, pri atmosferskome tlaku 743 mm Hg.

Koliki je stvarni tlak plina u posudi? Ako stanje plina u posudi ostane isto, a atmosferski se tlak promijeni na 765 mm Hg, kolika će biti razlika visina stupaca vode u U-cijevi? Hoće li u posudi biti pretlak ili podtlak?

Rješenje: Pretlak na početku je zadan kao “izmjereni” podatak:

Pa 117512,080665,92,998Δwp1 =⋅⋅== hgp ρ

a isto tako i okolišni tlak na početku: pok,1 = 743 mm Hg (ali zadan u jedinicama koje nisu u SI-sustavu!). Želimo li neki podatak preračunati iz jedne mjerne jedinice u drugu, najsigurnije je poslužiti se sljedećim postupkom:

- nađemo vezu između zadane i tražene mjerne jedinice (ovdje između mm Hg i Pa) i nju transformiramo tako da na jednoj strani jednadžbe dobijemo jedan (1):

Pa 10Hg mm 750bar 1 5== i 1Hg mm 750

Pa 105

= ,

što znači da je i drugoj strani iznos jednak jedan! Ideja je očita: s jedinicom ćemo pomnožiti zadani podatak, a da ga “ne promijenimo”. No kod pretvorbe gornje jednadžbe vodimo se idejom da se nepoželjna dimenzija pokrati, a da tražena ostane. Tako dobijemo

bar 0,99067 Pa 0679910750743

Hg mm 750Pa 10 Hg mm 743 5

!1

5

1ok, ==⋅=⋅=

=43421

p .

(Taj postupak nije najbrži, ali je siguran. U nekim jednostavnijim situacijama pretvorba se mjernih jedinica može napraviti brže i lakše, ali dobro je znati i ovako “pješke”.)

Sad se dobije i apsolutni (stvarni) tlak plina u posudi na početku:

bar 0024,1Pa 241100117599067p1ok,11 ≅=+=+= ppp ,

a kako se stanje ne mijenja, taj tlak ostaje i na kraju: p2 = p1 = 1,0024 bar.

Tlak okoliša se kasnije promijeni na: bar 020,1750765

2ok, ==p

i postaje veći od p2! Tako se plin u posudi, iako nije promijenio svoj tlak, odjednom našao pod podtlakom: Pa 1759bar 01759,000241,1020,12ok,2v2 ==−=−= ppp ,

a to znači da će se visine stupaca vode u U-cijevi razlikovati za:

mm 180 m 17966,080665,92,998

1759Δw

v22 ≅=

⋅==

gp

,

ali i to da je sada stupac vode u onom kraku U-cijevi koji je priključen na posudu – viši!

Razliku tlaka plina i okoliša preuzima stijenka posude – u početnom stanju ona je opterećena na vlak, a u konačnom stanju na tlak.

Iz ovoga se jasno vidi da pretlak i podtlak nisu veličine stanja – iako je stanje plina u posudi ostalo isto, oni su se mijenjali!

Page 9: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

8

ZAKONI ODRŽANJA MASE I ENERGIJE

"Masa ne može nastati ni iz čega, niti nestati."

"Zakon održanja mase" je temeljni zakon s pomoću kojeg se rješavaju problemi u termodinamici. On vrijedi i kad u sustavu dolazi do kemijskih reakcija. Sustavi se u termodinamici dijele na tzv. "zatvorene" i "otvorene": - zatvoreni je sustav onaj, čija je granica nepropusna za masu (tvar) – u tijeku procesa

masa tvari sadržana u sustavu je stalna. Može se pisati bez ograničenja:

msust. = konst.;

- otvoreni je sustav onaj, kroz čiju granicu prolazi (ulazi i/ili izlazi) masa. Postoje otvoreni sustavi s jednim ili više ulaza i s jednim ili više izlaza tvari. Za otvoreni sustav vrijedi očigledna jednadžba koja povezuje protočne mase koje ulaze u sustav i protočne mase koje izlaze iz njega s vremenskom promjenom mase sadržane u sustavu:

t

mqq mm d

d sustizl,ul, =−∑∑ .

U stacionarnom (vremenski ustaljenom) stanju mora očito vrijediti jednadžba:

∑∑ = izl,ul, mm qq .

U jednostavnijim slučajevima ta se jednadžba može pisati (za "j" ulaznih i "k" izlaznih presjeka):

∑∑ =k

izlizlizlj

ululul AwAw ρρ ,

ako s ρ označimo prosječnu gustoću struje tvari u dotičnom presjeku, s w njenu prosječnu brzinu u tom presjeku, a s A površinu tog poprečnog presjeka okomitog na smjer brzine.

Mogući su i sustavi u koje ulazi masa, ali ne izlazi (punjenje spremnika), ili iz kojih izlazi masa, a da ništa ne ulazi (pražnjenje spremnika), ali takve slučajeve ovdje ne obrađujemo!

”Zakon održanja količine tvari” NE POSTOJI!

Međutim, ako u procesu nema kemijskih reakcija (spajanja ili razdvajanja atoma ili molekula), broj elementarnih čestica izražen kao količina tvari ostat će nepromijenjen. Tako,

s nužnim oprezom, možemo pisati i ”bilancu količine” u procesu.

msust. = konst.

qm,ul = 0 qm,izl = 0

otvorenisustav

Σqm,ul Σqm,izl

tmd

d sust.

zatvorenisustav

Page 10: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

9

ENERGIJA Razlikujemo dva oblika energije: - Energiju vezanu za tvar (koju promatrano tijelo "sadrži") – to su: unutarnja energija

tvari (U), potencijalna (Ep) i kinetička (Ek) energija tijela (kao cjeline), kemijska energija (Ekem) sadržana u spojevima koji čine promatranu tvar, električna energija povezana s električnim nabojima u tijelu, pa i niz ostalih koje ne promatramo u okviru termodinamike (kao npr. nuklearna energija). I energija elastične deformacije nekog tijela ubraja se u tu skupinu, a povezana je s unutarnjim naprezanjima u tijelu (primjerice, energija elastične deformacije stlačene opruge). Sve su te energije veličine stanja promatranog sustava, pa se njihova promjena u procesu uvijek računa kao razlika konačne i početne vrijednosti;

- Prijelazne oblike energije koji nastaju i postoje samo kad jedno tijelo djeluje na drugo. Razlikujemo: - TOPLINU – energiju koju jedno tijelo predaje drugom zbog razlike temperatura.

Tijelo više temperature uvijek predaje toplinu tijelu niže temperature; - MEHANIČKI RAD – energiju koju jedno tijelo predaje drugom djelujući na nj silom

i potiskujući ga tako da sila i pomak nisu međusobno okomiti. Jedno tijelo može djelovati na drugo tijelo i predavati mu rad i momentom M zakrećući ga za kut ϕ.

Energije koje su vezane za tvar mogu se mijenjati u procesu, tako da njihova razlika ima jasno definiran predznak (pozitivan, ako se dotična energija povećava u procesu i negativan, ako se smanjuje). Da bi se i toplina i rad mogli jednoznačno koristiti u jednadžbama, i za njih se mora nedvosmisleno definirati predznak (tj. kad ih uvrštavamo u jednadžbe kao poznate vrijednosti, moramo ih uvrštavati s pravilnim predznakom, a kad ih računamo, predznak dobivenog rezultata odmah pokazuje smjer izmjene topline ili rada)! Dogovor glasi:

DOGOVOR O PREDZNACIMA RADA I TOPLINE - U sustav DOVEDENA TOPLINA i iz sustava ODVEDENI RAD imaju POZITIVNU

brojčanu vrijednost; - Iz sustava ODVEDENA TOPLINA i u sustav DOVEDENI RAD imaju NEGATIVNU

brojčanu vrijednost;

Prvi glavni stavak u zatvorenom sustavu Promjene različitih oblika energije vezane za tvar sadržanu u sustavu povezane su s KROZ GRANICU SUSTAVA izmijenjenom toplinom Q12 i radom W12 s pomoću jednadžbe:

( ) ( ) ( ) ( )12k,1k,2p,1p,2122121 i,i, EEEEEEUUWQ −+−+−+−+= −− J, ili

( ) ( ) ( ) ( )12k,1k,2p,1p,2122121 i,i, eeeeeeuuwq −+−+−+−+= −− J/kg,

u kojoj razlika u zadnjoj zagradi sadrži promjenu "ostalih" oblika energije, onih koji nisu izdvojeno navedeni u prethodnim članovima. U zatvorenim sustavima često se može zanemariti promjena potencijalne i kinetičke, pa i "ostalih" oblika energije, a za takve slučajeve vrijedi skraćeni oblik prvoga glavnog stavka:

( ) ( )[ ]1221122121 uuwmUUWQ −+=−+= −−− . Za opisivanje beskonačno malih (infinitezimalnih) procesa, prvi glavni stavak u diferencijalnom (punom i skraćenom) obliku glasi:

iEEEUWQ dddd kp ++++= δδ i UWQ dδδ += .

zatvoreni sustavU1 → U2Ek,1 → Ek,2

Ep,1 → Ep,2

Ei ,1 → Ei ,2Q1-2W1-2

Page 11: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

10

Izmjena topline Q1−2 koja prolazi kroz granicu sustava može se smanjiti (do zanemarivosti!) nekom pogodnom toplinskom izolacijom, ALI SE NE MOŽE POTPUNO SPRIJEČITI! (Osim ako bi sustav i okoliš slučajno imali identičnu temperaturu!). Mehanički rad W1−2 postoji samo onda kad se granica sustava pomiče, ili kad kroz granicu sustava prolazi neko pomično tijelo koje prenosi silu ili moment, primjerice šipka koja se giba translatorno i prenosi (uzdužnu) silu, ili vratilo koje rotira i prenosi obrtni moment. Ako je sustav okružen krutom granicom kroz koju ne prolazi nikakvo pomično tijelo, taj sustav ne može izmjenjivati rad sa svojim okolišem! Rad W1−2 je ukupni rad bilo kojeg porijekla koji prolazi kroz granicu sustava. Ako postoji samo rad zbog promjene volumena tvari, za rad W1−2 može se pisati:

∫∫ === −−

2

1

2

1

dd 2121

V

V

V

V

vpmwmVpW , ili wmvpmVpW δddδ ===

(Tlak po definiciji djeluje okomito na granicu sustava, pa sila od tlaka može izvršiti rad samo ako se granica sustava bar malo pomiče u tom smjeru, tj. kad se volumen sustava mijenja!) Gornji izraz za rad vrijedi samo ako proces teče tako da su ispunjena tri ravnotežna uvjeta: - uvjet unutarnje mehaničke ravnoteže (tlak je ravnomjerno raspoređen unutar sustava); - uvjet unutarnje toplinske ravnoteže (temperatura je ravnomjerno raspoređena u sustavu); - uvjet vanjske mehaničke ravnoteže (opna koja okružuje sustav je u mehaničkoj ravnoteži).

Rad koji obavi koncentrirana sila Fr

na nekom putu xr u općem se slučaju računa kao:

∫=2

1

dx

xF xFW

r

r

rr,

a ako je Fx komponenta sile Fr

u smjeru pomaka xr , i još ako je Fx = konst., vrijedi: xFW xF = .

Analogno vrijedi i za rad zakretnog momenta Mr

na kutu zakreta ϕr :

∫=2

1

ϕ

ϕr

r

rrMWM ,

a ako je Mϕ komponenta momenta Mr

u smjeru pomakaϕr , i još ako je Mϕ = konst., vrijedi:

ϕϕMWM = .

U kasnijem dijelu gradiva podrobnije će se razraditi formule za rad zbog promjene volumena tvari za različite važnije procese, a formule za rad koncentrirane sile i za rad momenta, koje se rjeđe pojavljuju, morat ćemo ad hoc prilagoditi konkretnom slučaju. Prvi glavni stavak u otvorenom sustavu Glavno obilježje otvorenih sustava je protok tvari kroz dio granice sustava, izražen kao protočna masa (kg/s) ili protočna količina (kmol/s) tvari kroz sustav, po sekundi ili po nekoj drugoj jedinici vremena. Iako u otvorenim sustavima (zbog strujanja) načelno uvijek postoji kinetička energija, njena se promjena često može zanemariti, posebice ako tvar struji razumno malim brzinama. Ipak, postoje i procesi u kojima se i ona mora uzeti u obzir, jer su promjene brzine strujanja vrlo velike, pa susrećemo brzine strujanja plinova od

otvoreni sustav

Σqm,izltmd

d sust.

Φ1-2

P1-2

1

1

2

2

Σqm,ul

Page 12: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

11

nekoliko stotina metara u sekundi, pa i više (primjerice, kod mlaznih i raketnih motora, kod strujanja unutar turbina i turbokompresora – između statorskih i rotorskih lopatica i slično)! Slično vrijedi i za promjenu potencijalne energije – njen je utjecaj na proces razmjerno malen i zanemariv, osim ako je razlika (geodetske) visine ulaznog i izlaznog presjeka vrlo velika. Stacionarni procesi u otvorenim sustavima takvi su, da u sustav ulazi i iz njega izlazi ista i vremenski stalna protočna masa (količina) tvari ∑∑ = izl,ul, mm qq , sa stalnim ulaznim stanjem i sve su veličine procesa vremenski stalne, pa je izlazno stanje tvari također vremenski stalno! Za stacionarne je procese promjena (po vremenu) energije sadržane u sustavu jednaka nuli:

0=t

Ed

d sust. .

(Postoje i nestacionarni procesi, kod kojih se bar jedan od spomenutih parametara mijenja u vremenu, ali je njihov opis i proračun znatno zamršeniji, pa se njima ovdje nećemo baviti!) Za bilanciranje energije u otvorenim sustavima služi prvi glavni stavak u obliku:

( )∑ −+−+−+−+= −− 1,2,p,1p,2k,1k,2122121 )()( ii EEEEEEHHP &&&&&&&&Φ W.

(Točkice iznad simbola ukazuju na to da su sve te veličine svedene na jedinicu vremena i da se mjere i iskazuju u mjernoj jedinici W = J/s! Iznimke su toplinski tok Φ1−2 i mehanička snaga P1−2 , za koje su oznake bez točkice standardizirane u SI-sustavu.). Dijeljenjem s protočnom masom qm , dobije se jednadžba za 1 kg/s protočne mase tvari:

( )∑ −+−+−+−+= −− 1,2,p,1p,2k,1k,21221teh,21 )()( ii eeeeeehhwq J/kg.

Po uzoru na zatvoreni sustav, i ovdje se prvi glavni stavak može pisati u skraćenom obliku za procese u kojima je promjena kinetičke, potencijalne i "ostalih" oblika energije zanemariva: 122121 HHP && −+= −−Φ ili 1221teh,21 hhwq −+= −− ,

a isto tako i u diferencijalnom obliku za infinitezimalne procese: iEEEHP &&& dddd pk ++++= δδΦ i HP dδδ +=Φ W,

ieeehwq dddd pkteh ++++= δδ i hwq dδδ teh += J/kg.

U jednadžbama za otvoreni sustav pojavljuje se entalpija h, definirana izrazom: vpuh += (J/kg), ili ( ) Vmm qpUvpuqhqH +=+== && J/s = W,

koja sadrži unutarnju energiju struje tvari, ali i rad što ga ona unosi pri utiskivanju u sustav ili iznosi pri istiskivanju iz sustava. I kod otvorenih sustava možemo govoriti o ravnotežnim i o neravnotežnim procesima koji se u njima odvijaju. Ravnotežne (ili tzv. "povrative") promjene stanja takve su kod kojih su opet ispunjena tri ravnotežna uvjeta za svaki presjek okomit na smjer strujanja tvari kroz uređaj: - uvjet unutarnje mehaničke, unutarnje toplinske, te vanjske mehaničke ravnoteže i kod takvih promjena stanja vrijedi izraz za snagu P12 ili "tehnički rad" wteh,12:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−== ∫−−

2

1

d2teh,121

p

pmm pvqwqP , ili ( ) pqpvqwqP Vmm ddteh −=−== δδ .

Page 13: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

12

Termička jednadžba stanja idealnih plinova Za svaku čistu tvar (građenu od jednovrsnih atoma ili molekula, dakle, ne za smjesu) postoji veza između triju intenzivnih veličina stanja - tlaka, temperature i specifičnog volumena, F(p, v, T) = 0, koja se naziva ”termička jednadžba stanja”, a jedinstvena je i karakteristična za dotičnu tvar. Kako su njome povezane tri veličine stanja, ta se veza može predočiti plohom u trodimenzijskom koordinatnom sustavu p - v - T . Nažalost, ta se veza ne može izraziti jednostavnom matematičkom funkcijom za sva moguća stanja te tvari. Jedino za ona stanja, u kojima ponašanje tvari slijedi neke idealizirane zakonitosti, dostupan nam je jednostavan matematički opis. Tako možemo reći da za jednu te istu tvar u nekim toplinskim stanjima postoji jednostavna analitička funkcija koja ih dovoljno točno opisuje, dok se za tu istu tvar u nekim drugim toplinskim stanjima moramo poslužiti brojčanim (tabličnim, dijagramskim ili nomogramski prikazanim podacima). Najjednostavnija (i banalna) termička jednadžba stanja je ona za idealno nestlačive tvari: v = konst. ≠ v (p, T) i nju primijenjujemo na kapljevine i krutine pri ne previsokim tlakovima i temperaturama. Druga jednostavna analitička jednadžba stanja vrijedi za tzv. "idealne plinove". To su plinovi pri nižim tlakovima i višim temperaturama (tj. manjim gustoćama), daleko od ukapljivanja.

Termičkom jednadžbom stanja idealnih plinova koristimo se u različitim oblicima:

TRvp = ili:

TRp=

ρ

ili: TRp ρ=

- za 1 kg plina, pri čemu je R J/(kg K) individualna plinska konstanta, karakteristična za svaki plin, a računa se prema formuli:

MR

R m= ,

pri čemu je Rm = 8314 J/(kmol K) opća plinska konstanta (zajednička svim plinovima), a M (kg/kmol) je tzv. "molarna masa" koja kaže koliko kilograma ima u jednom kilomolu dotične tvari, a brojčano je jednaka molekularnoj masi i može se naći u Toplinskim tablicama. - v (m3/kg) je specifični volumen plina, a ρ (kg/m3) njegova gustoća;

TRmVp = - za masu od m (kg) plina, pri čemu je V (m3) volumen u kojem se ta masa plina nalazi;

TRVp mm = - za jedan kilomol plina; - Rm = 8314 J/(kmol K) je opet opća plinska konstanta kao gore, - Vm (m3/kmol) molarni volumen, tj. volumen jednog kilomola plina;

TRNVp m= - za količinu od N (kmol) plina, pri čemu je V (m3) volumen u kojem se nalazi ta količina plina;

TRqqp mV = - za protočnu masu od qm (kg/s) plina, pri čemu je qV (m3/s) protočni volumen plina;

TRqqp nV m=

- za protočnu količinu od qn (kmol/s) plina, pri čemu je qV (m3/s) protočni volumen plina;

U svim se jednadžbama pojavljuje tlak plina (pravi tlak, a ne možda pretlak ili podtlak!), koji treba uvrstiti u koherentnim jedinicama, a to su paskali!

Temperatura je apsolutna ili termodinamička temperatura izražena u Kelvinima!

U prvom dijelu gradiva sve kapljevine i krutine ćemo smatrati idealno nestlačivima, a sve plinove idealnima. Tek kasnije, kad budemo proučavali pretvorbe agregatnoga stanja, uzimat ćemo u obzir odstupanja od idealiziranih zakonitosti. ☺

Page 14: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

13

Specifični (i molarni) toplinski kapacitet jednostavnih (čistih) tvari

Iako je toplina prijelazni oblik energije (energija koja se izmjenjuje između dva tijela zbog različitosti njihovih temperatura), dakle, vezana je uz proces, a ne uz pojedino tijelo, njen se iznos može računski povezati s masom (ili količinom) jednog ili drugog tijela koje tu toplinu izmjenjuje i s njegovom promjenom temperature.

Veličina koja ih povezuje naziva se ”specifični toplinski kapacitet” (ako je izražena po jedinici mase) ili ”molarni toplinski kapacitet” (ako je izražena po jedinici količine tijela).

Ta je veličina, očito, povezana sa svojstvima tvari i svaka tvar ima svoj "jedinični" toplinski kapacitet određen svojstvima njene građe. Osim toga, svako svojstvo tvari (plinska konstanta idealnoga plina je izuzetak!) bar načelno ovisi i o temperaturi, pa i "jedinični" toplinski kapacitet ovisi o njoj. No, kako je prema gore rečenom izmijenjena toplina određena načinom odvijanja procesa (vrstom procesa), i to će utjecati na njegov iznos.

Specifični i molarni toplinski kapacitet tvari određen je vrstom i svojstvima same tvari, vrstom procesa na koji se odnosi (čiju toplinu opisuje), te o temperaturi tvari.

Općenita definicija specifičnog ili molarnog toplinskog kapaciteta mora, dakle, uzimati u obzir i promjenu s temperaturom i ovisnost o vrsti procesa (indeks "x"), pa glasi:

Specifični toplinski kapacitet Molarni toplinski kapacitet

xxx d

1d

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑQ

mTQ

mc δδ

xxmx d

δ1dδ1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑQ

NTQ

NC

iz čega možemo izraziti toplinu izmijenjenu za (infinitezimalno) malu promjenu temperature:

ϑddδ xx cmTcmQ == ϑddδ mxmx CNTCNQ == .

Da bismo izračunali izmijenjenu toplinu za konačni raspon temperatura (od T1 do T2), moramo gornji izraz integrirati:

∫∫ ==−

2

1

2

1

dd xx21

ϑ

ϑ

ϑcmTcmQT

T

∫∫ ==−

2

1

2

1

dd mxmx21

ϑ

ϑ

ϑCNTCNQT

T

što je jednostavno napraviti samo ako je cx = konst. ili Cmx = konst.:

( ) ( )12x12x21 ϑϑ −=−=− cmTTcmQ ( ) ( )12mx12mx12 ϑϑ −=−= CNTTCNQ .

(Postupak rješavanja za promjenljivu vrijednost cx ili Cmx pokazat ćemo kasnije!)

Osim "jediničnog" toplinskog kapaciteta tvari u računu ćemo često koristiti i toplinski kapacitet cijeloga tijela (mase m ili količine N):

xx

mxx dδ

dδ)()( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ϑQ

TQCNcm ili

12

12

12

12mxx )()(

ϑϑ −=

−==

QTT

QCNcm

što znači da, za rješavanje niza procesa, ne moramo nužno znati zasebne vrijednosti m, N, cx ili Cmx, često je dovoljno znati i samo umnožak (m cx) ili (N Cmx)!

Page 15: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

14

Ovisnost izmijenjene topline o načinu vođenja procesa možemo uočiti iz prvoga glavnog stavka, u kojem se pojavljuje, uz promjenu unutarnje energije, i mehanički rad širenja tvari:

WUQ δdδ += pa je očito da izmijenjena toplina, osim o promjeni unutarnje energije (veličina stanja!) ovisi i o mehaničkom radu širenja tvari! Budući da za taj rad u ravnotežnom procesu vrijedi:

VpW dδ = i ∫=−

2

1

d21

V

V

VpW

slijedi da će rad širenja postojati samo kod tvari koje mogu u procesu mijenjati volumen! Idealno nestlačive tvari

Za idealno nestlačive tvari je dV = 0, δW = 0 i W1−2 = 0, pa je za njih i specifični i molarni toplinski kapacitet jednoznačno definiran s obzirom na vrstu procesa (kako god vodimo proces, volumen idealno nestlačive tvari se ne mijenja), iako načelno i dalje može ovisiti o temperaturi:

Specifični toplinski kapacitet Molarni toplinski kapacitet

ϑdd1

dd1 Q

mTQ

mcv ==

ϑdd1

dd1

mQ

NTQ

NC v ==

(Po smislu, vidi se iz prvoga glavnog stavka da se kod tih tvari dovedena toplina pretvara u unutarnju energiju!).

Idealno nestlačive tvari imaju samo jedan specifični ili molarni toplinski kapacitet za sve vrste procesa, ali on može ovisiti o temperaturi tvari.

Idealni plinovi Kod plinova se, ovisno načinu vođenja procesa, tlak može mijenjati u vrlo širokim granicama i na bezbroj različitih načina u ovisnosti o volumenu, a svakom od tih procesa pripada i različiti rad širenja plina. Kako taj rad prema prvom glavnom stavku utječe na iznos izmijenjene topline, a nije jednoznačna funkcija temperature, dolazimo u situaciju da nešto što nije funkcija temperature opisujemo kao funkciju temperature! To znači da, za istu masu (ili količinu) plina i u istom rasponu temperatura, svaki plin ima bezbroj specifičnih (ili molarnih) toplinskih kapaciteta i dok ne saznamo kako se tlak mijenja u funkciji volumena, ne možemo ni izračunati jedinični toplinski kapacitet plina koji pripada dotičnoj promjeni stanja! U nastavku ćemo se ograničiti na promatranje idealnih plinova, jer su odnosi kod realnih plinova znatno zamršeniji, a ionako ćemo za sada plinove tretirati kao idealne. Od svih tih bezbroj jediničnih toplinskih kapaciteta idealnoga plina, posebno se ističu dva: onaj koji vrijedi za proces pri stalnom tlaku (cp ili Cmp) i onaj koji vrijedi za proces pri stalnom volumenu (cv ili Cmv).

Specifični toplinski kapacitet Molarni toplinski kapacitet

ppp

QmT

Qm

c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑd1

d1 δδ

ppp

QNT

QN

C ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑdδ1

dδ1

m

vvv

QmT

Qm

c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑd1

d1 δδ

vvv

QNT

QN

C ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑdδ1

dδ1

m

Među njima postoji sljedeći odnos (Mayerova jednadžba):

Page 16: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

15

Rcc vp += mm RCC vp +=

Rcc vp =− mmm RCC vp =−

Rcc pv −= mmm RCC pv −=

Dakle, razlika između cp i cv uvijek je jednaka individualnoj plinskoj konstanti R , a razlika između Cmp i Cmv uvijek je jednaka općoj plinskoj konstanti Rm. Ovo vrijedi i onda kad se jedinični toplinski kapaciteti mijenjaju s temperaturom!

Radi kraćeg pisanja kasnije, uvodimo još jednu vezu:

v

p

v

p

CCc

m

m

c==κ ,

ali moramo paziti: dok je razlika između cp i cv uvijek konstantna, bez obzira mijenjaju li se oni s temperaturom ili ne, omjer κ se mijenja ako se cp i cv mijenjaju s temperaturom (s porastom temperature κ se smanjuje i približava jedinici)!

S pomoću omjera κ mogu se izraziti specifični i molarni toplinski kapaciteti kao funkcije individualne, dotično opće plinske konstante:

Specifični toplinski kapacitet Molarni toplinski kapacitet

1−=κκ Rc p

1m

m −=κκ RC p

1−=κ

Rcv 1

mm −

=κRC v

ϑ (oC)

cp, cv

cp pri 0 oC

cp = cp(ϑ)

cv = cv(ϑ)

0 oC

RR

cv pri 0 oC

Page 17: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

16

Srednji (s obzirom na temperaturu) specifični (ili molarni) toplinski kapacitet idealnih plinova Kako je to pokazano ranije, specifični i molarni kapacitet svake tvari njena su svojstva, a kao takva ovise više ili manje o temperaturi. Tako govorimo o "pravom" specifičnom ili molarnom toplinskom kapacitetu pri nekoj temperaturi, što znači da vrijedi za male promjene temperature u blizini dotične vrijednosti. Ti su podaci definirani izrazima:

Pravi specifični toplinski kapacitet Pravi molarni toplinski kapacitet

xxx d

δ1dδ1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑQ

mTQ

mc

xxmx d

δ1dδ1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ϑQ

NTQ

NC

iz čega možemo izraziti toplinu izmijenjenu za (infinitezimalno) malu promjenu temperature:

ϑddδ xx cmTcmQ == ϑddδ mxmx CNTCNQ == .

Da bismo izračunali izmijenjenu toplinu za konačni raspon temperatura (od T1 do T2), moramo gornji izraz integrirati uzimajući u obzir ovisnost cx o temperaturi, cx = cx(ϑ ) ili cx = cx(T ):

∫∫ ==−

2

1

2

1

d)(d)( xx21

ϑ

ϑ

ϑϑcmTTcmQT

T

∫∫ ==−

2

1

2

1

d)(d)( mxmx21

ϑ

ϑ

ϑϑCNTTCNQT

T

Ta bi se ovisnost mogla izraziti npr. analitički, u obliku polinoma ili neke druge funkcije koja bi "dobro opisivala" mjerene podatke:

...33

2210x ++++= TaTaTaac ili ...3

32

210x ++++= ϑϑϑ bbbbc

i integral riješiti analitički. Druga bi mogućnost bila da, s krivuljom koja prikazuje tu ovisnost u cx-ϑ ili cx-T –dijagramu, integral odredimo grafički kao površinu ispod krivulje u dijagramu uzimajući u obzir mjerilo koordinatnih osi. No, u svakom takvom slučaju bio bi to prilično mukotrpan postupak, jer bismo ga morali raditi svaki put iznova za svaku temperaturu T1 i T2!

Da izbjegnemo taj postupak, uvodimo pojam "srednjeg jediničnog toplinskog kapaciteta", tj. broja koji uvršten u jednadžbu:

[ ] ( ) [ ] ( )12x12x212

1

2

1ϑϑϑ

ϑ −=−=− cmTTcmQ TT

ili: [ ] ( ) [ ] ( )12mx12mx21

2

1

2

1ϑϑϑ

ϑ −=−=− CNTTCNQ TT

daje ispravan iznos izmijenjene topline! (Gledano u dijagramu, mi zamjenjujemo nepravilan lik, čija je gornja stranica krivulja cx = cx(ϑ ) ili cx = cx(T ), pravokutnikom iste površine i širine, a tražimo kolika mora biti njegova "ekvivalentna visina":

[ ] ( ) ( )12

21

12

21x

2

1 ϑϑϑϑ −

=−

= −−

mQ

TTmQc ili [ ] ( ) ( )12

21

12

21mx

2

1 ϑϑϑϑ −

=−

= −−

NQ

TTNQC !

No, kad bismo taj cijeli postupak (koji počinje integriranjem funkcije ili planimetriranjem površine da nađemo Q1−2) morali svaki put napraviti u cijelosti, ne bismo ništa dobili, jer nas ustvari ne zanima [ ] 2

1xϑϑc , nego izmijenjena toplina!

[ ] 2

1m

ϑ

ϑpC

ϑ2ϑ1 ϑ (°C)

srednji Cmp

Cmp

pravi C mp =C mp(ϑ

)

∫=−2

1

dm21

ϑ

ϑ

ϑpCN

Q

[ ] ( )12m21 2

1ϑϑϑ

ϑ−=−

pCN

Q

Page 18: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

17

Zato se taj postupak integracije napravi jedamput, dobiveni se rezultati prikažu npr. tablično, a

poslije se samo iz tih tabličnih vrijednosti računaju potrebni podaci.

Sve gornje jednadžbe vrijede za bilo koju vrstu procesa (opisano indeksom "x"), a kod plinova ima ih bezbroj! No, nasreću, među njima postoje poznati odnosi, pa nema potrebe u tablicama navoditi sve moguće vrste jediničnih toplinskih kapaciteta – dovoljno je navesti samo jednu od njih, a ostale onda izračunamo iz poznatih odnosa! U većini tablica (a to je slučaj i s našim Toplinskim tablicama) navedena je samo vrijednost srednjeg molarnog toplinskog kapaciteta pri stalnom tlaku, [Cmp]. Da bi se tablice još više skratile, uzima se u obzir sljedeće: želimo li navesti u tablicama dovoljan broj vrijednosti [ ] 2

1m

ϑϑpC , moramo za svaku temperaturu ϑ1 navesti podatke za sve

ostale temperature ϑ2 , što bi rezultiralo enormno opsežnim tablicama za svaki plin, a takve bi tablice morali navesti još i za veći broj plinova! Zato se u tablicama redovito navode srednji molarni toplinski kapaciteti [ ]ϑ

0mpC , tj. takvi, da je donja granica temperaturnog intervala 0 °C, a za gornju granicu se onda uzimaju različite temperature (u pravilnim razmacima). Time se umjesto niza tablica za svaki plin dobiva jedan stupac u jednoj tablici za svaki plin! Nažalost, kako je 0 °C rijetko stvarna granica temperaturnog intervala u promatranom procesu, da bismo dobili vrijednost [ ] 2

1m

ϑϑpC , moramo se poslužiti jednadžbom:

[ ] [ ] [ ]12

10m20mm

12

2

1 ϑϑ

ϑϑ ϑϑ

ϑϑ −

⋅−⋅=

ppp

CCC .

Isto tako, korisno je zapamtiti da će rezultat dobiven gornjom jednadžbom biti uvijek malo veći od obadva uvrštena tablična podatka! Razlog tome je jasan – toplinski kapacitet raste s temperaturom, pa su mu pri nižim temperaturama i vrijednosti niže. Budući da su u obadva uvrštena podatka u prosjek uračunate i (manje) vrijednosti pri temperaturama od 0 °C do ϑ1, a njih u intervalu od ϑ1 do ϑ2 nema, očito će prosjek vrijednosti između ϑ1 i ϑ2 biti veći!

0 100 200 300 400236

[Cmp ]0100

[Cmp ]0200

[Cmp ]0300

[Cmp ]0400

pravi Cmp

srednji [Cmp ]0ϑ

(isto mjerilo!)

ove su točke navedeneu tablicama kao brojevi

ova točkareprezentiracijeli interval od 0 oC do 100 oC!

pravi iznos Cmp pri 236 oC

srednji [Cmp ]0236

između 0 oC i 236 oCpravi C mp =

C mp(ϑ)

ϑ (°C)

[ ] ( )ϑϑ fC

srednji p=2

0m

U brojniku se temperature moraju uvrstiti u Celzijevim stupnjevima!

Page 19: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

18

Vrijednosti predstavljene točkicama na gornjoj slici (ustvari vrijednosti koje reprezentiraju cijeli interval od 0 °C do one temperature na kojoj se točkica nalazi, dakle srednje vrijednosti od 0 °C do te temperature), navedene su za različite plinove u Toplinskim tablicama, str. 3, s

korakom temperature od 100 °C: Dakle, ono što piše u tim tablicama npr. u retku u kojem je temperatura 100 °C je srednja vrijednost između 0 °C i 100 °C! Jedino u prvom retku (koji je malo odmaknut!) "srednja vrijednost" između 0 °C i ϑ = 0 °C ustvari je prava vrijednost pri 0 °C! (U gornjem dijagramu krivulje prave i srednje vrijednosti sastaju se u točki 0 °C!). Budući da su tako zaokružene vrijednosti temperature rijetko i stvarne granice temperaturnog intervala u nekom procesu, da bismo očitali vrijednost srednjeg molarnog toplinskog kapaciteta između 0 °C i takve nezaokružene temperature (primjerice 236 °C u dijagramu), moramo podatke u tablicama interpolirati između dviju susjednih

vrijednosti temperature! (Da imamo dovoljno točne dijagrame, mogli bismo očitati i podatke iz njih prema gornjoj slici!) Podaci se interpoliraju linearno: pretpostavlja se da se krivulja između dviju točaka u dijagramu (tj. dviju navedenih vrijednosti u tablicama) mijenja linearno – po zakonu pravca. Jednadžba pravca kroz dvije (poznate) točke A i B glasi:

( )AAB

ABA xx

xxyyyy −⋅

−−

=−

ili

( )AAB

ABA xx

xxyyyy −⋅

−−

+=

a iz nje se dobije izraz za linearnu interpolaciju:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )A

AB

0m0m

0m0m

AB

A ϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑ −⋅−

−+=

pppp

CCCC .

Tražimo li npr. [ ] ?2360m =pC , interpolaciju moramo provesti između 200 °C i 300 °C, pa

slijedi:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )200236

200300

2000m

3000m200

0m2360m −⋅

−+=

pp

pp

CCCC .

To se riječima može opisati ovako: 1. Za traženu temperaturu (236 °C) nađemo dvije susjedne vrijednosti (200 °C i 300 °C); 2. Razliku podataka koji pripadaju tim dvjema susjednim vrijednostima podijelimo korakom

tablice (300-200=100 °C) – time dobijemo promjenu očitane vrijednosti za 1 °C; 3. Tu jediničnu promjenu pomnožimo s "viškom" od 236 – 200 = 36 °C, da dobijemo za

koliko se podatak mijenja za 36 °C; 4. Dobivenu promjenu (za 36 °C) dodamo podatku koji vrijedi za 200 °C i postupak je gotov!

ϑ [ ]ϑ0mpC

0 [ ] C p,000m °= CC p

100 [ ]1000mpC

200 [ ]2000mpC

236 [ ] ?2360m =pC

300 [ ]3000mpC

236

ove su točke navedeneu tablicama kao brojevi

200 300

[ ]ϑ0mpC

[ ]3000mpC

[ ]2360mpC

[ ]2000mpC

[ ] C 236 i C 0između °° srednji 2360mpC

ϑ (°C)

A

B

[ ]( )ϑ

ϑ fC p

=2

0m

Page 20: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

19

Prikazani postupak nalaženja srednje vrijednosti [ ] 2

1m

ϑϑpC iznimno se može pojednostavniti,

ako je jedna temperatura (npr. ϑ1) bitno manje brojčane vrijednosti (u °C) od druge (npr. 30 °C u odnosu na 300 °C – da, ali 100 °C u odnosu na 300 °C – ne!). Tada vrijedi jednostavniji izraz:

[ ] [ ] 212

1 0mmϑϑϑ

ϑ+≅ pp CC (samo za ϑ1 << ϑ2 , npr. [ ] [ ]330

0m30030m pp CC ≅ !)

I za srednje specifične ili molarne toplinske kapacitete vrijede isti odnosi kao i za njihove prave vrijednosti (Mayerova jednadžba):

Srednji specifični toplinski kapacitet Srednji molarni toplinski kapacitet

[ ] [ ] Rcc vp += 2

1

2

1

ϑϑ

ϑϑ

[ ] [ ] mmm2

1

2

1RCC vp += ϑ

ϑϑϑ

[ ] [ ] Rcc vp =− 2

1

2

1

ϑϑ

ϑϑ

[ ] [ ] mmm2

1

2

1RCC vp =− ϑ

ϑϑϑ

[ ] [ ] Rcc pv −= 2

1

2

1

ϑϑ

ϑϑ [ ] [ ] mmm

2

1

2

1RCC pv −= ϑ

ϑϑϑ

Za srednje jedinične toplinske kapacitete možemo definirati i "srednji" omjer:

[ ][ ][ ]

[ ][ ] 2

1

2

1

2

1

2

12

1

m

m

ϑ

ϑ

ϑ

ϑϑϑ

ϑ

ϑϑϑκ

p

p

v

p

C

C

c

c== ,

ali moramo paziti: dok je razlika između [ ] 2

1

ϑϑpc i [ ] 2

1

ϑϑvc , ili između [ ] 2

1m

ϑ

ϑpC i [ ] 2

1mϑϑvC

konstantna, omjer [ ] 2

1

ϑϑκ se mijenja s promjenom bilo koje od temperatura ϑ1 i ϑ2 !

S pomoću omjera [ ] 2

1

ϑϑκ mogu se izraziti i srednji jedinični toplinski kapaciteti kao funkcije

odgovarajuće plinske konstante:

Srednji specifični toplinski kapacitet Srednji molarni toplinski kapacitet

[ ] [ ][ ] 12

1

2

12

1 −

⋅= ϑ

ϑ

ϑϑϑ

ϑ κ

κ Rc p [ ] [ ]

[ ] 12

1

2

12

1

mm

⋅= ϑ

ϑ

ϑϑϑ

ϑ κ

κ RC p

[ ][ ] 12

1

2

1 −= ϑ

ϑ

ϑϑ κ

Rcv [ ][ ] 12

1

2

1

mm

−= ϑ

ϑ

ϑϑ κ

RC v

Uzimanje u obzir promjene jediničnih toplinskih kapaciteta s temperaturom ima smisla samo kad su rasponi temperatura veliki! Gore opisani postupak računanja srednjih specifičnih ili molarnih toplinskih kapaciteta koristi se samo za plinove, jer se u tablicama potrebni podaci i mogu naći samo za njih! Da bi se u okviru vježbi i ispita uklonile nedoumice treba li u pojedinom slučaju računati s takvim vrijednostima ili ne, uvodimo sljedeći dogovor:

Ako u nekom zadatku treba računati sa srednjim vrijednostima, to mora u zadatku izričito pisati (npr. "Računati treba sa srednjim specifičnim ili molarnim toplinskim kapacitetima!" ili "Promjenu specifičnog ili molarnog toplinskog kapaciteta s temperaturom treba uzeti u obzir!")! Ako ništa takvoga ne piše u tekstu zadatka, po dogovoru ćemo računati s vrijednostima pri 0 °C, bez obzira na to kolike temperature plin poprima u procesu!

Page 21: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

20

Smjese (mješavine) idealnih plinova

Smjese idealnih plinova su najjednostavnije, tzv. "idealne" smjese. Za smjesu idealnih plinova vrijedi Daltonov zakon:

"U smjesi idealnih plinova svaki se plin ponaša kao da drugih plinova nema – proširi se na cijeli raspoloživi prostor. U ravnotežnom stanju (druga i ne znamo opisati!) svi plinovi imaju istu temperaturu, a svaki od njih ima svoj parcijalni (sudionički) tlak koji ovisi o njegovom molnom udjelu u smjesi i ukupnom tlaku smjese. Ukupni tlak smjese jednak je zbroju parcijalnih tlakova svih sudionika." (Ukupni tlak smjese jedini je dostupan mjerenju!)

Za razliku od plinova jednostavnih tvari koje smo do sada susretali u zadacima i promatrali kao idealne, a za koje smo morali zadati dvije veličine stanja da bismo jednoznačno opisali njihovo toplinsko stanje, kod smjesa to nije dovoljno - treba zadati još nekoliko podataka, ovisno o broju sudionika smjese. Najčešće i najzgodnije u tu se svrhu služimo sastavom. Sastav smjese (svake, pa i one idealnih plinova) može se zadati na više različitih načina. Mi ćemo se u okviru ovog kolegija služiti dvama osnovnim načinima: masenim i molnim sastavom (ili udjelima).

Maseni udio pojedinog plina u smjesi "n" plinova definiran je kao:

Molni (količinski) udio pojedinog plina u smjesi "n" plinova definiran je kao:

( )Muk

kgkg m i

jj

iii m

mmx

∑== ( )M

uk

kmolkmol i

jj

iii N

NNNy

∑==

Pri čemu, naravno, vrijedi:

11

=∑=

n

iix 1

1

=∑=

n

iiy

Stari (iako još često rabljeni) naziv za molni udio je "volumenski udio", ali on je pogrešan: molni je udio definiran kao omjer količine "i"-tog sudionika i ukupne količine smjese, a ne kao omjer nekakvih volumena! Samo pod uvjetima koje propisuje Avogadrov zakon, postoji veza između količine i volumena plina, ali ona u općem slučaju ne vrijedi!

Veza između parcijalnog (sudioničkog) tlaka pojedinog sudionika i ukupnog tlaka smjese je: MM

M

pypNN

p ii

i ==

Budući da su masa i količina tvari povezane molarnom masom M, (1 kmol = M kg), maseni se udjeli mogu preračunavati u molne i obrnuto. Za preračunavanje vrijedi uvijek isti obrazac: da bismo udjele mogli preračunavati, moramo prvo znati za sve sudionike jednu vrstu udjela, a onda možemo izračunavati jednom po jednom sudioniku drugu vrstu udjela. (U formulama iskazano indeksima "j" i "i"!)

Formule za preračunavanje molnih udjela u masene su:

Formule za preračunavanje masenih udjela u molne su:

( )( )M

1

kgkg in

jjj

iii

My

Myx

∑=

= ( )M

1

kmolkmol in

j j

j

i

i

i

Mx

Mx

y

∑=

=

Page 22: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

21

Jedna od korisnih osobina idealnih smjesa je ta, da su im osnovna svojstva prosjek dotičnih svojstava pojedinačnih sudionika prema udjelu svakog sudionika! To znači da se svako takvo svojstvo može jednostavno računati s pomoću formule koja ima uvijek istu strukturu! Pritom vrijedi vrlo jednostavno i logično pravilo: prosjek molarnih svojstava računa se s molnim udjelima, a prosjek specifičnih svojstava (po kg) s masenim udjelima!

Molarna svojstva smjesa (izražena po kilomolu smjese) računaju se prema izrazima:

Specifična svojstva smjesa (izražena po kilogramu smjese) računaju se prema izrazima:

Molarna masa smjese MM (kg/kmol) (prividna, prosječna molekularna masa MM): Individualna plinska konstanta smjese:

∑=

=n

iii MyM

1M (kg/kmol) ∑

=

=n

iii RxR

1M (J/kg K)

Molarni toplinski kapacitet (pravi ili srednji, za bilo koju vrstu procesa "x"):

Specifični toplinski kapacitet (pravi ili srednji, za bilo koju vrstu procesa "x"):

∑=

=n

iii CyC

1mx,Mmx, (J/kmol K) ∑

=

=n

iii cxc

1x,Mx, (J/kg K)

Za molarnu unutarnju energiju i entalpiju smjese vrijede izrazi:

Za specifičnu unutarnju energiju i entalpiju smjese vrijede izrazi:

∑=

=n

iii UyU

1m,Mm, (J/kmol) ∑

=

=n

iii uxu

1M (J/kg)

∑=

=n

iii HyH

1m,Mm, (J/kmol) ∑

=

=n

iii hxh

1M (J/kg)

(U izrazima za molarnu i specifičnu unutarnju energiju i entalpiju smjese, u članovima na desnoj strani (Umi , Hmi ), dotično (ui , hi ), sadržane su integracijske konstante dotične veličine svakog pojedinačnog sudionika! Te se konstante mogu birati po volji, ali o njima treba voditi računa! Posebno je jednostavan slučaj ako odaberemo da svi sudionici imaju konstantu nula pri 0 °C!).

Individualnu plinsku konstantu R J/(kg K) možemo vrlo jednostavno izračunati ako znamo molarnu masu smjese MM (kg/kmol), osim gore navedenog izraza, i s pomoću formule:

M

m

MRR = (J/kg K),

pri čemu formulu za računanje molarne mase smjese MM (kg/kmol), ili prividne (prosječne) molekularne mase smjese MM , imamo navedenu gore pod "molarna svojstva smjese"! (Brojčana im je vrijednost po definiciji jednaka, jedino što prividna (prosječna) molekularna masa nema dimenzije, a molarna masa ima dimenziju (kg/kmol))! Po definiciji: − (relativna) molekularna masa je omjer mase promatrane molekule i referentne mase

(jedne dvanaestine mase ugljikovog izotopa 12C), pa se mjerna jedinica pokrati. − molarna masa je po definiciji broj (jednak brojčanoj vrijednosti relativne molekularne

mase nake tvari) koji kaže koliko kilograma sadrži kilomol dotične tvari i ima dimenziju ”kg/kmol”!

Page 23: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

22

RAVNOTEŽNE PROMJENE STANJA IDEALNIH PLINOVA U ZATVORENOM SUSTAVU Ravnotežne (zovu se još i "povrative") promjene stanja takve su promjene stanja u čijem su cijelom tijeku odvijanja ispunjena tri ravnotežna uvjeta: - uvjet unutarnje mehaničke ravnoteže, koji kaže da je u svakom trenutku procesa tlak

ravnomjerno raspoređen po volumenu; Tlak se u procesu smije mijenjati s vremenom, ali istodobno i na isti način u cijelom volumenu - ne smije se dogoditi da u bilo kojem trenutku na različitim mjestima volumena koji tvar zauzima, tlak bude različit!

- uvjet unutarnje toplinske ravnoteže sličan je, samo se odnosi na temperaturu: u svakom trenutku procesa temperatura mora biti ravnomjerno raspoređena po volumenu! Ona se u procesu smije mijenjati s vremenom, ali istodobno i na isti način u cijelom volumenu - ne smije se dogoditi da u bilo kojem trenutku na različitim mjestima volumena koji tvar zauzima, temperatura bude različita!

- uvjet vanjske mehaničke ravnoteže propisuje da na stijenku koja omeđuje tvar (ovdje plin) mora izvana djelovati jednaka sila kao i iznutra (dakle, da sama stijenka, poglavito onaj dio koji se može micati i na kojem se obavlja rad, bude u mehaničkoj ravnoteži!).

Dakle, prva dva uvjeta ravnoteže propisuju homogenost razdiobe tlaka i temperature unutar sustava - tvari (ako je radna tvar smjesa idealnih plinova, i sastav smjese mora biti jednolik po volumenu, inače poznate formule za računanje prosječnih svojstava smjese ne bi vrijedile!). To ne mora nužno značiti da promatrana tvar mora doista biti homogena po svim svojim svojstvima! Kasnije ćemo se upoznati i s takvim procesima u kojima tvar prolazi pretvorbu agregatnoga stanja, kad je u nekom volumenu smjesa npr. kapljevine i pare - i taj proces može biti ravnotežan prema gornjem uvjetu, iako je očito da niti gustoća, a niti niz drugih svojstava nisu jednoliko raspoređeni po volumenu! Treći uvjet ravnoteže propisuje samo jednakost iznosa vanjske i unutarnje sile, a ne i njihovo porijeklo (uzrok) - od slučaja do slučaja uzrok i jedne i druge sile može biti različit. Obično će "sila iznutra" biti samo posljedica djelovanja tlaka promatrane tvari (u sustavu) po površini (granici sustava), dok će izvor "sile izvana" biti različit - to može biti težina nekog tereta, sila tromosti nekog pomičnog dijela, ali i djelovanje vanjskog (npr. okolišnog) tlaka ili njihova kombinacija! Za sada se nećemo pitati otkuda ta sila izvana (što je izaziva), samo ćemo pretpostaviti da je jednakog iznosa kao i unutarnja sila, kao što to propisuje gornji uvjet! Ako su ispunjeni gore opisani uvjeti unutarnje ravnoteže, možemo ustvrditi da će za opis toplinskog stanja idealnog plina biti dostatne dvije veličine stanja, primje-rice, tlak p i volumen v, pa će se u procesu tlak moći izraziti kao funkcija volumena, p = p(v). Osim toga, vanjska mehanička ravnoteža dopušta nam da rad koji plin predaje nekom drugom sudioniku (onom koji se suprotstavlja tlaku plina) zbog jednakosti sila izrazimo kao funkciju tlaka samog plina. No, kako znamo da za svaku tvar postoji veza između triju termičkih veličina stanja - tlaka p, specifičnog volu-mena v i temperature T, koja za idealni plin ima oblik termičke jednadžbe stanja p v = R T, očito je da će veza između između tlaka i volumena bitno ovisiti o tome kako se mijenja temperatura plina u procesu! Upravo zbog toga što temperatura plina u tijeku procesa ovisi o uvjetima izmjene topline, a oni mogu biti bilo kakvi, postoji bezbroj različitih mogućih vrsta procesa.

V m3

p

V1 V2

1

2

ϑ1

p = p(V)

p1

p2

( )∫=2

1

d12

V

V

VVpW

Page 24: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

23

Iako, načelno, veza p = p(v) doista može biti bilo kakva, jednostavnim računom možemo obraditi samo one veze koje su izražene jednostavnom matematičkom funkcijom. Tako se ograničavamo samo na one promjene stanja kod kojih se veza tlaka i (specifičnog) volumena može izraziti jednadžbom p vn = konst., pri čemu se dodatno ograničavamo na konstantne vrijednosti eksponenta n = konst. (Ostali oblici funkcija samo se iznimno mogu jednostavno obraditi, iako to ne znači da i oni ne bi bili katkada zanimljivi!). Takve promjene stanja, opisane jednadžbom p vn = konst., nazivaju se "politrope". Četiri od njih imaju posebne nazive (izohora, izobara, izoterma i izentropa) i za svaku od njih vrijedi po nečemu karakteristična vrijednost eksponenta n, a ostale se jednostavno nazivaju "politrope". Da bismo odredili iznos "konstante", moramo poznavati jedno toplinsko stanje, primjerice početno (pa je p vn = konst = p1 v1

n) ili bilo koje drugo toplinsko stanje. U svim se promjenama stanja promjena unutarnje energije idealnog plina može računati prema izrazu:

( ) ( ) ( ) ( )12m12m121212 ϑϑϑϑ −=−=−=−=− vvvv CNTTCNcmTTcmUU

U nastavku nabrojane su najčešće korištene formule za pojedine procese. U njima sadržane masa i specifična svojstva (m, cp , cv , R) mogu se zamijeniti količinom i molarnim svojstvima (N, Cp , Cv , Rm), što nije zasebno ispisano, jer bi se nepotrebno broj jednadžbi udvostručio.

IZOHORA, v = konst., n = ± ∞; Odnos temperatura i tlakova:

1

2

1

2

pp

TT

= ;

Rada širenja plina nema, W1−2 = 0. Izmijenjena toplina jednaka je promjeni unutarnje energije:

( ) ( )12121221 ϑϑ −=−=−=− vv cmTTcmUUQ .

IZOBARA, p = konst., n = 0; Odnos temperatura i tlakova:

1

2

1

2

1

2

vv

VV

TT

== ;

Rad širenja plina je zbog stalnosti tlaka:

( ) ( ) ( )12121221 TTRmvvpmVVpW −=−=−=− ;

Izmijenjena toplina:

( ) ( )1212211221 ϑϑ −=−=+−= −− pp cmTTcmWUUQ .

IZOTERMA, T = konst., ili p v = konst., n = 1; Omjer tlakova i volumena je zbog konstantnosti temperature:

1

2

1

2

2

1

vv

VV

pp

== ;

Rad širenja plina je (umnožak (p v) možemo uvrstiti za bilo koju točku):

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

221 lnlnlnlnlnln

ppTRm

ppvpm

ppVp

vvTRm

vvvpm

VVVpW ======− ;

Izmijenjena toplina je (zbog U2 - U1 = 0) jednaka mehaničkom radu:

Page 25: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

24

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

221 lnlnlnlnlnln

ppTRm

ppvpm

ppVp

vvTRm

vvvpm

VVVpQ ======− .

IZENTROPA (RAVNOTEŽNA ADIJABATA), S = konst., Q1−2 = 0, n = κ ; Za omjere tlakova, temperatura i volumena vrijede jednadžbe:

1

1

2

2

1

2

1

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κκ

κκ

TT

vv

VV

pp ;

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κκκκ

vv

VV

pp

TT ;

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

κκ

TT

pp

vv

VV ;

Za mehanički rad vrijedi niz jednadžbi dobivenih integracijom izraza δW = p dV:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

−1

211

1

1

211

1

2

11121 1

11

11

1 TTVp

ppVp

VVVpW

κκκ

κκ

κ

;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

−1

21

1

1

21

1

2

1121 1

11

11

1 TTTRm

ppTRm

VVTRmW

κκκ

κκ

κ

,

ali se, zbog Q1−2 = 0, rad može računati i kao razlika početne i konačne unutarnje energije:

( ) ( )21212121 ϑϑ −=−=−=− vv cmTTcmUUW ,

što se, očito, svodi na isto, jer je cv = R /(κ - 1)!

(OPĆA) POLITROPA, p vn = konst., - ∞ < n < + ∞, n = konst.; Za omjere tlakova, temperatura i volumena vrijede slične jednadžbe kao za izentropu:

1

1

2

2

1

2

1

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnnn

TT

vv

VV

pp ;

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnn

n

vv

VV

pp

TT ;

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

nn

TT

pp

vv

VV ;

Za mehanički rad vrijedi niz jednadžbi dobivenih integracijom izraza δW = p dV:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

−1

211

1

1

211

1

2

11121 1

11

11

1 TT

nVp

pp

nVp

VV

nVpW

nnn

;

Page 26: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

25

( )211

21

1

1

21

1

2

1121 1

11

11

11

TTn

RmTT

nTRm

pp

nTRm

VV

nTRmW

nnn

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

− .

Izmijenjena se toplina računa prema izrazima:

( ) ( )121221 1TT

nncmTTcmQ vn −−−

=−=−κ ,

ali se, naravno, možemo poslužiti i prvim glavnim stavkom u izvornom obliku: ( ) 2112211221 −−− +−=+−= WTTcmWUUQ v ,

pri čemu za rad W12 možemo iskoristiti bilo koji od gore navedenih izraza za rad politrope.

RAVNOTEŽNE PROMJENE STANJA KOJE NISU "POLITROPE": Moguć je i čitav niz promjena stanja (idealnog plina) koje jesu ravnotežne, ali se ovisnost tlaka o volumenu ne može kod njih opisati jednadžbom oblika p vn = konst. I njih se obično može (istina, ne s gore nabrojanim jednadžbama) proračunati analitički, znamo li analitičku vezu između tlaka i volumena (ta je veza često određena ponašanjem onog drugog, "vanjskog" sudionika koji daje rad plinu ili ga od plina prima). Tada se iz veze p = p(v) mogu izračunati i sve potrebne veličine stanja na početku i na kraju procesa (pa i međustanja), primjerice tlak i volumen, a s pomoću jednadžbe stanja idealnog plina i pripadajuće temperature. Integracijom izraza δW = p(V) dV dobije se rad širenja plina, a s poznatim temperaturama na početku i na kraju procesa i pripadajuća promjena unutarnje energije. Toplina se onda može izračunati iz prvoga glavnog stavka. Kao primjer, pretpostavimo sustav u kojem s vanjske strane klip tlači opruga linearne značajke k (N/m) kao na slici. Sila u opruzi ne može biti drukčija, nego što to propisuje njena karakteristika, a kako je stap pomi-čan, sila kojom plin djeluje na stap iznutra, mora u svakom položaju stapa biti jednaka sili koja djeluje izvana. Pomicanjem stapa udesno, opruga je sve više stlačena i djeluje sve većom silom, pa i tlak plina mora rasti s pomakom stapa udesno. Tako dolazimo do naoko paradoksalne pojave da tlak plina pri ekspanziji raste! Uzimajući u obzir silu opruge u početnom i u konačnom položaju stapa, dijeljenjem s površinom stapa dobijemo početni (p1) i konačni (p2) tlak plina i vezu između tlaka i volumena plina:

( )112

121 VV

VVpppp −

−−

+=

Integracijom izraza δW = p(V) dV u granicama od V1 do V2 dobije se rad širenja plina:

( )∫ −⋅+

==−

2

1

1221

21 2d)(

V

V

VVppVVpW . (to se vidi i iz dijagrama!).

Uočite da za računanje rada ovdje uopće nismo trebali poznavati ni masu, ni vrstu plina, a ni bilo koju temperaturu! (To bismo, naravno, trebali znati za računanje ostalih podataka!). ☺

V m3

p

V1 V2

1

2p = p(V)p2

p1

plin F

W12

vakuum

Page 27: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

26

Koristan (efektivan) rad

U dosadašnjim razmatranjima ravnotežnih promjena stanja idealnih plinova u zatvorenom sustavu polazilo se od pretpostavke da su ispunjena tri ravnotežna uvjeta: unutarnje mehaničke i toplinske ravnoteže (uvjeta homogenosti tvari) i vanjske mehaničke ravnoteže (zahtjeva da sila kojom promatrana tvar - bilo koja, ali ovdje i sad promatramo idealne plinove - djeluje na klip ili stap iznutra svojim tlakom, bude jednaka sili kojom se nešto izvana tome opire). Taj uvjet zapravo podrazumijeva da nešto izvana može preuzeti sav rad koji plin svojim tlakom obavlja! Pritom se nismo pitali što je to izvana što proizvodi tu vanjsku silu - bila je dovoljna spoznaja da je ona jednakog iznosa kao i sila iznutra. Tada smo jednostavno, promatrajući taj plin kao sustav i bilancirajući njegovu energiju, govorili o "radu dobivenom (ili odvedenom) od plina" ili o "radu koji je doveden plinu". Formula za rad koji plin daje ili troši u procesu je

( ) VVpWV

V

d2

1

21 ∫=− .

Tako su dobivene sve do sada korištene formule za proračun ravnotežnih promjena stanja. Promotrimo li te procese drukčije, ustanovit ćemo da to "nešto izvana" zapravo nije nikakva apstraktna tvorevina, nego neko stvarno (materijalno) tijelo koje sudjeluje u procesu i na koje ta sila od tlaka plina stvarno djeluje! Često će to biti klipnjača ili stapajica stroja, koja prenosi silu i translatorno gibanje od klipa ili stapa na rotirajuću radilicu, ali to može gdjekad biti i sila težine utega kojim je klip opterećen (ako je cilindar uspravan), sila tromosti tijela koje klip izravno gura i slično. Budući da se većina promjena stanja i izvodi zato da plin u procesu obavi taj gore spomenuti učinak, mi ćemo silu prenesenu klipnjačom na radilicu, podizanje utega ili savladavanje tromosti tijela smatrati korisnim učinkom dotične promjene stanja, pa govorimo o "korisnom radu" ili "efektivnom radu" procesa. Dakle, od pojma "rada koji plin daje ili dobiva" i koji je bio izračunat sa stanovišta plina, ovaj se "koristan ili efektivan rad" razlikuje po tome, što je on promatran sa stanovišta onog sudionika koji taj rad preuzima od plina (pri ekspanziji plina) ili koji plinu daje rad (za kompresiju)! Pretpostavljena ravnotežnost procesa (vanj-ska mehanička ravnoteža) tvrdi da su ti radovi isti. Međutim, vanjska mehanička ravnoteža uzima u obzir samo ukupnu silu iznutra i izvana i traži da one budu jednake! Problem nastupa onda, kad vanjsku silu ostvaruju dva ili više sudionika istodobno! Rad koji plin izvrši raspodjeljuje se na više sudionika i pitanje je hoćemo li sve te dijelo-ve rada držati za nas korisnima! Primjerice, vanjsku silu mogu u nekom slučaju ostvariti i sila koju daje klipnjača i okolišni tlak (v. sliku!). Za zadani tlak plina u cilindru, sila K u klipnjači bila bi jednaka sili od tlaka plina, (K = p A) kad izvana ne bi bilo okolišnoga tlaka. Ako međutim izvana djeluje i okolišni tlak po, sila u klipnjači K' mora biti manja, da bi zbroj vanjskih sila opet bio (p A)! ApKAp ok+′= , ili ( )AppK ok−=′ !

V m3

p

V1 V2

1

2

p = p(V)

p1

p2

pok

W12

Wok

(p A) K = p A

(p A) K' = (p - pok) A

pok A

plin

plin

pok = 0 (vakuum)p = p(V)

p = p(V)

Page 28: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

27

Kako je gore rečeno, kao koristan rad deklarira se svladavanje sile K' pri pomaku klipa na putu x od x1 do x2:

( ) ( ) ∫∫∫∫∫ −=−=−=′=−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

dddd d okokok2kor,1

V

V

V

V

V

V

x

x

x

x

VpVpVppxAppxKW .

Prvi je integral očito onaj rad plina za koji smo već izveli sve potrebne izraze za razne veze p = p(V), a za drugi je integral redovito pok = konst. (načelno bi se i taj vanjski tlak mogao mijenjati, ali praktički uvijek radi se o stalnom okolišnom tlaku!), pa se može pisati:

( ) ( ) ( )21ok2112ok21ok2kor,1

2

1

2

1

dd VVpWVVpWVpVVpWV

V

V

V

−+=−−=−= −−− ∫∫ ,

ili kraće:

ok212kor,1 WWW += −− .

Umjesto prvog člana (W1−2) može se uvrstiti jedna od ranije spomenutih i prikazanih formula za rad širenja plina (sve su usklađene s dogovorom o predznacima!), dok je drugi je član (Wok) "rad potiskivanja okoliša":

( )21okok VVpW −=

kod kojeg treba paziti na redoslijed indeksa "1" i "2"! Služimo li se ovako napisanim izrazima, W1−2 i Wok uvijek su suprotnog predznaka:

- kod ekspanzije: V2 > V1; dV > 0; W1−2 > 0; Wok < 0;

- kod kompresije: V2 < V1; dV < 0; W1−2 < 0; Wok > 0 !

(Rad okoliša mogao se je deklarirati i sa suprotnim predznacima, Wok = pok (V2 – V1), ali bi tada i izraz za koristan rad glasio: Wkor,1−2 = W1−2 – Wok . Koji se način zapisa izabere u bîti je nevažno, ali treba paziti da ne dođe do zbrke s predznacima!) ☺

Page 29: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

28

RAVNOTEŽNE PROMJENE STANJA IDEALNIH PLINOVA U OTVORENOM SUSTAVU Glavno obilježje otvorenih sustava je protok tvari kroz granicu sustava. Zato kod njih ne možemo govoriti o masi (kg) ili količini (kmol) tvari sadržane u sustavu, nego o protočnoj masi (kg/s) ili o protočnoj količini (kmol/s) kroz sustav, po sekundi ili po nekoj drugoj jedinici vremena. U okviru ovog dijela gradiva bavit ćemo se stacionarnim procesima u otvorenim sustavima, kod kojih u sustav ulazi i iz njega izlazi ista i vremenski stalna protočna masa (količina) tvari mmm qqq == izl,ul, ,

sa stalnim ulaznim stanjem (tlakom i temperaturom, ali i ostalim veličinama stanja) i sve su veličine procesa vremenski stalne, pa je i izlazno stanje tvari također vremenski stalno! Za bilanciranje energije u otvorenim sustavima služi prvi glavni stavak u obliku: ( )∑ −+−+−++−= −− 1,2,p,1p,2k,1k,2211221 )()( ii EEEEEEPHH &&&&&&&&Φ W,

ili ( ) ( )∑ −+−+−++−= −− 1,2,p,1p,2k,1k,2211221 )()( iimmmm eeqeeqeeqPhhqΦ W,

a koji se za idealne plinove, za koje vrijedi h = cp T + h0 , pri čemu cp ne ovisi o tlaku, može preraditi u oblik:

( ) ( )∑ −+−+−++−= −− 1,2,p,1p,2k,1k,2211221 )()( iimmmpm eeqeeqeeqPTTcqΦ W.

Ako je radna tvar idealni plin, u najvećem broju procesa mogu se zanemariti promjene kinetičke, potencijalne i "ostalih" oblika energije, pa za takve procese vrijedi skraćeni oblik:

( ) 211221 −− +−= PTTcq pmΦ W.

I kod otvorenih sustava možemo govoriti o ravnotežnim i o neravnotežnim procesima. Ravnotežne (ili tzv. "povrative") promjene stanja takve su promjene stanja kod kojih su opet ispunjena tri ravnotežna uvjeta:

- uvjet unutarnje mehaničke ravnoteže, - uvjet unutarnje toplinske ravnoteže, - uvjet vanjske mehaničke ravnoteže,

ali se prva dva (uvjeti homogenosti razdiobe tlaka i temperature) sad odnose na pojedine presjeke strujanja - u bilo kojem presjeku, okomitom na strujnice, tlak i temperatura moraju biti jednoliko raspoređeni, ali se smiju mijenjati od presjeka do presjeka. To je povezano s uvjetom da pri strujanju ne smije biti trenja. No, kako strujanja nema bez bar malo trenja, strogo gledano, nijedan proces u otvorenom sustavu ne bismo smjeli promatrati kao ravnotežan, a to bi nam jako otežalo proračune. Zato ćemo procese u kojima možda i ima trenja, ali malo i ne utječe bitno na proces, promatrati kao ravnotežne i bez trenja, a pojavu trenja i njime izazvanu neravnotežnost uzimat ćemo u obzir samo u procesima u kojima je ono bitan sastavni dio procesa. Važno je uočiti da svaki otvoreni sustav prima struju tvari stalnoga tlaka iz prostora koji nazivamo "tlačni spremnik" tog sustava i da je nakon završenog procesa istiskuje u drugi "tlačni spremnik". Kakav je to konkretan prostor, nevažno je. Bitno je samo da u njemu vlada stalan tlak (a zbog tražene stacionarnosti procesa i stalna temperatura)! Tako tlačni spremnik može biti posuda u kojoj na neki način održavamo stalan tlak tvari, ali to može biti i atmosfera (kao izvor zraka stalnog tlaka pok), pa čak i izlaz jednog otvorenog sustava može biti ulaz u drugi otvoreni sustav! Otvoreni se sustavi mogu nadovezivati jedan na drugi! Primjerice, kompresor može usisavati zrak iz atmosfere (tlačni spremnik), tlačiti ga na viši tlak i istiskivati u tlačni spremnik, a iz njega se može napajati "potrošač", npr. pneumatski alat,

Page 30: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

29

koji iskorišteni zrak opet izbacuje u atmosferu. Tako atmosfera postaje ulazni tlačni spremnik za kompresor i izlazni tlačni spremnik za pneumatski alat! Čak se niz otvorenih sustava može zatvoriti (tako da izlaz iz zadnjega sustava bude ujedno ulaz u prvi sustav), čime se dobije tzv. "kružni" ili "zatvoreni" proces s radnom tvari (to ćemo obraditi kasnije)! Ako su ispunjeni svi uvjeti ravnoteže, u procesu će se volumen moći izraziti kao funkcija tlaka, v = v(p). No, i ovdje će veza između volumena i tlaka bitno ovisiti o tome kako se mijenja temperatura plina u procesu! Kako temperatura plina u procesu ovisi o uvjetima izmjene topline, a oni mogu biti bilo kakvi, bezbroj je različitih mogućih vrsta procesa. Veza v = v(p) može biti bilo kakva, ali ćemo se i ovdje ograničiti samo na jednostavne matematičke funkcije oblika p vn = konst. (politrope) kod kojih su vrijednosti eksponenta n konstantne. Sve što je ranije bilo rečeno za takve promjene stanja, vrijedi i dalje, uključujući i nazive pojedinih politropa (izohora, izobara, izoterma, izentropa, opća politropa). Iznos konstante određen je jednim toplinskim stanjem, npr. početnim (pa je p vn = konst = p1 v1

n) ili bilo kojim drugim toplinskim stanjem. Svaki se proces u otvorenu sustavu sastoji iz tri dijela: 1) ulaz (usis, utiskivanje) radne tvari

(ovdje idealnog plina) sa stalnim tlakom (i cjelokupnim stanjem!) u sustav;

2) promjena stanja radne tvari od stanja 1 do 2 (ako je ravnotežna, opisuje se zakonom politrope);

3) izlaz (ispuh, istiskivanje) radne tvari iz sustava sa stalnim stanjem (i, naravno, tlakom);

Uza svaki od ta tri dijela procesa vezan je mehanički rad (slika 1), pa se za ukupni rad cijelog procesa može pisati:

( )∫ −+=−

2

1

221121teh, dv

v

vpvvpvpw .

Kako pokazuje slika 1, ukupni rezultat tih triju radova je jednostruko šrafirana površina, koja se može protumačiti kao površina lijevo od linije promjene stanja (na slici 2), pa se ona može pisati i kao:

( )∫−=−

2

1

d21teh,

p

p

ppvw ,

v m3/kg

p

v1 v2

1

2

v = v(p)p1

p2

p1 v1

p2 v2

w12

ili: (qV,1) (qV,2) (qV m3/s)

Slika 1. Rad utiskivanja (p1 v1), rad promjene stanja (w12) i rad istiskivanja (p2 v2) radne tvari.

v m3/kg

p

v1 v2

1

2

v = v(p)p1

p2

wteh,12

ili: (qV,1) (qV,2) (qV m3/s)

dp

v

Slika 2. "Tehnički rad" kao površina lijevo od krivulje promjene stanja

Page 31: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

30

gdje je predznak "−" sastavni dio definicijskog izraza i nužan je radi usklađenosti s dogovorom o predznacima! Budući da se jednostavno, diferenciranjem jednadžbe politrope p vn = konst., može pokazati da na svakom djeliću promjene stanja vrijedi jednakost: vpnpv dd =− , dobije se i za cijeli proces od 1 do 2 odnos:

( ) ( )∫∫ =−2

1

2

1

ddv

v

p

p

vvpnppv ,

ili 212teh,1 −− = wnw ,

dakle, riječima: tehnički rad neke politrope (eksponenta n) od stanja 1 do stanja 2 n-puta je veći od rada širenja koji bi plin po toj politropi obavio od istog stanja 1 do istog stanja 2, kad bi se proces odvijao u zatvorenu sustavu! To nam je od velike koristi, jer ne moramo iznova izvoditi sve moguće formule za tehnički rad – dovoljno je ranije izvedene formule za pojedine promjene stanja pomnožiti s pripadajućim eksponentom politrope n ! U svim se promjenama stanja promjena entalpije idealnog plina može računati prema izrazu: ( ) ( )121212 ϑϑ −=−=− pmpm cqTTcqHH && ,

a također se u svim promjenama stanja za koje vrijedi skraćeni oblik prvoga glavnog stavka, mehanička snaga koju odvodimo iz sustava ili u nj dovodimo, može računati prema izrazu: 2teh,121 −− = wqP m .

U nastavku nabrojane su najčešće korištene formule za pojedine procese. U njima sadržana protočna masa i specifična svojstva (qm , cp , cv , R) mogu se zamijeniti protočnom količinom i molarnim svojstvima (qn , Cmp , Cmv , Rm ), što nije zasebno ispisano!

IZOHORA, v = konst., n = ± ∞; Odnos temperatura i tlakova određen je uvjetom v2 = v1:

1

2

1

2

pp

TT

= ;

Tehnički rad izohore postoji (iako je rad širenja plina jednak nuli!): ( )212teh,1 ppvw −=− ili ( ) ( )21212teh,121 ppqppvqwqP Vmm −=−== −−

Izmijenjeni toplinski tok jednak je promjeni unutarnje energije (!), jer je: ( ) ( ) ( )122112211221 TTcqppvqTTcqPHH vmmpm −=−+−=+−= −−

&&Φ .

IZOBARA, p = konst., n = 0; Odnos temperatura i (protočnih ili specifičnih) volumena određen je uvjetom p2 = p1:

1

2

1,

2,

1

2

vv

qq

TT

V

V == ;

Tehnički rad izobare (i mehanička snaga P1−2) je zbog stalnosti tlaka jednak nuli: 02teh,1 =−w ,

a izmijenjeni je toplinski tok (zbog P1−2 = 0) jednak razlici entalpija: ( )1212211221 TTcqHHPHH pm −=−=+−= −−

&&&&Φ .

Page 32: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

31

IZOTERMA, T = konst., ili p v = konst., n = 1; Omjer tlakova i (protočnih ili specifičnih) volumena je zbog konstantnosti temperature:

1

2

1,

2,

2

1

vv

qq

pp

V

V == ;

Tehnički rad izoterme (zbog n = 1) jednak je radu širenja plina – umnožak (p v) možemo uvrstiti za bilo koju točku:

2

1

2

1

1

2

1

221teh, lnlnlnln

ppTR

ppvp

vvTR

vvvpw ====− ,

pa je mehanička snaga procesa:

2

1

2

1

1

2

1

221teh,21 lnlnlnln

ppTRq

ppvpq

vvTRq

vvvpqwqP mmmmm ===== −− ,

Izmijenjeni je toplinski tok (zbog 012 =− HH && ) jednak mehaničkoj snazi:

2

1

2

1

1

2

1

22121 lnlnlnln

ppTRq

ppvpq

vvTRq

vvvpqP mmmm ===== −−Φ .

IZENTROPA (RAVNOTEŽNA ADIJABATA), S& = konst., s = konst., Φ1−2 = 0, n = κ ; Za omjere tlakova, temperatura i volumena vrijede jednadžbe:

1

1

2

2

1

2,

1,

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κκ

κκ

TT

vv

qq

pp

V

V ;

1

2

1

1

2,

1,

1

1

2

1

2

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κκκκ

vv

qq

pp

TT

V

V ;

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1,

2,−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

κκ

TT

pp

vv

qq

V

V ;

Izrazi za tehnički rad mogu se dobiti integracijom izraza δWteh = - v dp, ali je jednostavnije uzeti od ranije poznate izraze za rad širenja plina u zatvorenom sustavu i pomnožiti ih s κ :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

−1

211

1

1

211

1

2

11121teh, 1

11

11

1 TTvp

ppvp

vvvpw

κκ

κκ

κκ

κκ

κ

;

( )211

21

1

1

21

1

2

1121teh, 1

11

11

11

TTRTTTR

ppTR

vvTRw −

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

− κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κ

,

a mehanička snaga je onda

21teh,21 −− = wqP m ,

ali se, zbog Φ1−2 = 0, mehanička snaga može računati i kao razlika početne i konačne entalpije: ( ) ( )21212121 ϑϑ −=−=−=− pmpm cqTTcqHHP && ,

što se, očito, svodi na isto, jer je cp = κ R /(κ − 1)!

Page 33: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

32

(OPĆA) POLITROPA, p vn = konst., − ∞ < n < + ∞, n = konst.; Za omjere tlakova, temperatura i volumena vrijede slične jednadžbe kao za izentropu:

1

1

2

2

1

2,

1,

1

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnnn

V

V

TT

vv

qq

pp

;

1

2

1

1

2,

1,

1

1

2

1

2

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nn

V

Vn

n

vv

qq

pp

TT

;

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1,

2,−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

nn

V

V

TT

pp

vv

qq

;

Za tehnički rad vrijedi niz jednadžbi dobivenih integracijom izraza δWteh = − v dp, ili iz izraza za rad širenja plina u zatvorenom sustavu množenjem eksponentom n:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

−1

211

1

1

211

1

2

11121teh, 1

11

11

1 TT

nvpn

pp

nvpn

vv

nvpnw

nnn

;

( )211

21

1

1

21

1

2

1121teh, 1

11

11

11

TTn

RnTT

nTRn

pp

nTRn

vv

nTRnw

nnn

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

Izmijenjeni se toplinski tok računa prema izrazima:

( ) ( )121221 1TT

nncqTTcq vmnm −−−

=−=−κΦ ,

ali se, naravno, možemo poslužiti i prvim glavnim stavkom u izvornom obliku:

( ) ( ) 21teh,12211221 −−− +−=+−= wqTTcqPTTcq mpmpmΦ

pri čemu za rad wteh,1−2 možemo iskoristiti bilo koji od gore navedenih izraza za rad politrope. Vrste strojeva (ili uređaja) za provedbu "stalnotlačnih" procesa Postoji velik broj uređaja (otvorenih sustava) u kojima se odvijaju tzv. stalnotlačni procesi kakvi su gore opisani. Svima njima je slično to, da usisavaju radnu tvar iz jednog prostora ("tlačnog spremnika") u kojemu ona ima stalni tlak, a po završetku procesa istiskuju je u neki drugi prostor "tlačni spremnik" u kojemu također vlada stalni tlak, ali obično viši ili niži nego u prvom tlačnom spremniku. Proizlazi da za provedbu stalnotlačnog procesa, osim samoga stroja ili uređaja, moramo raspolagati i s dva tlačna spremnika! Kao jedan tlačni spremnik može poslužiti i okoliš, atmosfera. Gruba bi se podjela mogla napraviti razvrstavanjem u dvije skupine: 1) Strojevi s intermitentnim (isprekidanim) radom – stapni i klipni ekspanzijski strojevi i

kompresori, klipne pumpe, razna "puhala" (Rootsovo, vijčano, lamelno i sl.), pa i ručne "pumpe" za zrak za bicikle, lopte i slično;

2) Strojevi s neprekinutim strujanjem – turbine, turbokompresori, rotacijske pumpe i slično.

Strojevi s intermitentnim (isprekidanim) radom imaju ventile s pomoću kojih se upravlja protokom tvari (usisni i ispušni ventil). Otvaranjem ventila, prostor cilindra se spaja s dotičnim tlačnim spremnikom, a zatvaranjem ventila veza se prekida. Ti su ventili upravljani mehanički, posebnim mehanizmom (npr. slično bregastoj osovini kod automobilskog motora) i trenutak otvaranja ili zatvaranja ventila određen je geometrijom mehanizma. Da bi se rad

Page 34: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

33

takvih strojeva mogao regulirati, mehanizam ima mogućnost mijenjanja trenutka otvaranja i zatvaranja ventila (u odnosu na kut zakreta radilice, dakle, i na trenutni položaj stapa-klipa u cilindru). Ustvari, usisni se ventil uvijek otvara u gornjoj mrtvoj točki stapa (GMT, slika 4), a trenutak zatvaranja se može mijenjati. Ispušni se ventil uvijek otvara kad je stap u donjoj mrtvoj točki (DMT) i uvijek zatvara u gornjoj mrtvoj točki. Tako se regulacija stroja obavlja zapravo samo promjenom trenutka (položaja stapa) zatvaranja usisnog ventila! U svakom slučaju, treba uočiti da se u cilindru, dok su obadva ventila zatvorena, proces odvija bez ikakve veze s tlačnim spremnicima! Tako se može dogoditi, ako rad ventila nije dobro prilagođen ostalim uvjetima, da proces u cilindru odstupa od onog prikazanog na slikama 1 i 2! Na slici 3 prikazan je radni mehanizam stapnog ekspanzijskog stroja.

Promotrimo rad stroja na sl 4: pretpo-stavimo da je usisni ventil otvoren od GMT do V1a – dok se stap giba udesno, plin ulazi u cilindar sa stalnim tlakom p1.TS (spojene posude!) i gura stap pred sobom silom (p1.TS A). Kad se usisni ventil zatvori, plin i dalje gura stap udesno, ali sve manjim tlakom (kako će se tlak mijenjati s pomakom stapa, ovisi o vrsti promjene stanja, a ova opet o načinu izmjene topline kroz stijenku cilindra). Kad stap dođe u DMT, tlak u cilindru postao je baš jednak tlaku p2.TS! Sad se otvara ispušni ventil i stap, gibajući se ulijevo, istiskuje plin iz cilindra u drugi tlačni spremnik. Kad stap dođe u GMT, sav je plin istisnut, zatvara se ispušni i otvara usisni ventil, nova masa plina ulazi iz prvog tlačnog spremnika u cilindar i proces se ponavlja! Treba uočiti da je na kraju ekspanzije tlak p2,a sasvim slučajno baš bio jednak tlaku p2.TS (jer smo punjenje prekinuli baš u točki 1a i jer je promjena stanja tekla baš po liniji "a")! Sam tlak p2,a inače do otvaranja ispušnog ventila nema nikakve veze s tlakom p2.TS, jer su prostor cilindra i prostor drugog tlačnog spremnika bili odijeljeni ventilom! No, takva nam situacija odgovara i nastojimo postići da rad ekspanzijskog stroja bude baš takav! Da smo, s pomoću razvodnog mehanizma, usisni ventil držali otvoren dulje (do točke 1b), na kraju ekspanzije tlak plina u cilindru bio bi p2,b > p2.TS! (Naime, tlak p2,b opet je određen samo

Slika 3. Radni mehanizam stapnog ekspanzijskog stroja. (Mehanizam za upravljanje ventilima nije prikazan!). Duljina pomaka stapa (L) određena je promjerom putanje ekscentričnog zgloba.

V m3

p

V1a V2

1a

2a

p1.TS

p2.TS

wteh,12b

ac

1c

2b

2c

1b

V1c V1b

b

3c

V = 0

p1.TS

p2.TS

GMT DMT

wteh,12c

-

+

Slika 4. Različiti režimi rada stapnog

Page 35: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

34

točkom 1b i linijom promjene stanja!). U tom se trenutku, kad je stap u DMT, otvara ispušni ventil. Kako je sad tlak u cilindru veći od tlaka u drugom tlačnom spremniku, dio plina iz cilindra naglo (s praskom) izlazi u taj spremnik, prije nego se stap stigne pomaknuti iz DMT! No, odmah potom stap krene ulijevo i istiskuje ostatak plina iz cilindra pri stalnom tlaku p2.TS do GMT. Opet se zatvara ispušni i otvara usisni ventil i proces se ponavlja. Valja uočiti da je proces tekao tako samo zato što je ispušni ventil bio zatvoren do DMT! Takav nam je proces dao više tehničkog rada, ali plin nije do kraja iskorišten (jer nije ekspandirao do tlaka p2.TS nego samo do p2,b)! Možemo reći da je cilindar bio previše napunjen. Da smo pak cilindar napunili samo do točke 1c, a promjena stanja teče po liniji "c", plin bi već u točki 3c došao do tlaka p2.TS, ali bi se ekspanzija nastavila (jer je ispušni ventil zatvoren) do točke 2c (i tlaka p2,c)! U trenutku otvaranja ispušnog ventila, tlak u cilindru bio bi manji od tlaka u drugom tlačnom spremniku (p2.TS) i nešto bi plina iz tog spremnika ušlo (naglo) u cilindar dok se ne postigne tlak p2.TS i tek tada bi stap, gibajući se ulijevo, počeo istiskivati plin iz cilindra! Takav bi proces dao znatno manje rada, jer bi površina lijevo od linije 1c-3c (koja je ionako manja od ostalih), bila još umanjena za "trokutastu" površinu 3c-2c-2a! Iz toga vidimo, da se promjenom "punjenja" cilindra može regulirati snaga ovakvoga stroja. Proces "a" je najpovoljniji režim rada i njemu težimo pri proračunu strojeva, ali se povećanjem punjenja snaga može i povećati, a smanjenjem punjenja smanjiti! Primjerice, kod parnih lokomotiva, koje su koristile takve ekspanzijske strojeve (ali s vodenom parom, a ne idealnim plinom), proces "b" se je koristio za ubrzavanje, proces "a" za normalnu vožnju, a proces "c" za usporavanje vlaka (jer smanjena snaga nije dovoljna za savladavanje otpora vožnje pri većoj brzini i vozilo se usporava – primjer je i kočenje automobila "motorom"!). Stapni ili klipni kompresori nemaju takvih problema, jer nemaju ni mehanizma za upravljanje ventilima – njihovi su ventili "samoradni" – to su obične pločice koje se pomiču pod djelovanjem razlike tlaka s jedne i druge strane! Tako se usisni ventil otvara čim bi tlak u cilindru (kod usisa) pao ispod tlaka u prvom (usisnom) tlačnom spremniku, a ispušni se otvara čim bi tlak u cilindru kompresijom narastao iznad tlaka u drugom tlačnom spremniku! Gore opisani problem s neusklađenošću rada ventila sa stanjem radne tvari ne postoji niti kod turbostrojeva (turbina i turbokompresora), jer kod njih uopće nema ventila! Tu je protok radne tvari slobodan i na ulazu se uvijek ustali tlak ulaznog tlačnog spremnika, a na izlazu tlak izlaznog tlačnog spremnika. Kod njih se, pri promjeni ulaznog ili izlaznog tlaka ili protočne količine radne tvari, jedino može dogoditi (zbog čvrstog oblika i položaja lopatica) da se pojavi nepravilno opstrujavanje plina oko lopatica i s povećanim trenjem, ali to ne utječe na ulazni i izlazni tlak takvog stroja. Kod skupljih i važnijih strojeva veće snage (npr. turbine plinsko turbinskog postrojenja ili mlaznog motora) nepravilno se opstrujavanje lopatica izbjegava posebnim mehanizmom za zakretanje statorskih lopatica. U svakom slučaju, gornja razmatranja prelaze okvire ovog kolegija, pa se u okviru Tehničke termodinamike smatra da: - stapni ekspanzijski strojevi se obično proračunavaju tako da rade po procesu "a", slika 4, a

iznimno, samo ako je to u opisu procesa (tekstu zadatka) naglašeno, uzima se u obzir odstupanje u smislu procesa "b" ili "c";

- za sve ostale strojeve (stapne ili klipne kompresore, turbine, turbokompresore) uzima se da je početni tlak promjene stanja jednak tlaku ulaznog tlačnog spremnika, a konačni tlak promjene stanja jednak tlaku izlaznog tlačnog spremnika. Dakle, smatra se da se proces odvija sukladno slikama 1 i 2 i slici 4 (proces "a"). Naravno, kod kompresora je smjer promjene stanja obrnut od onoga što je nacrtano na tim slikama!

- stap se uvijek giba tik do glave cilindra i istiskuje sav plin iz cilindra (nema tzv. "štetnog prostora") – kod takvih strojeva točka GMT gibanja stapa uvijek se poklapa s V = 0! ☺

Page 36: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

35

Kružni (zatvoreni, periodički) procesi s idealnim plinovima kao radnom tvari Promjene stanja (bilo koje tvari) mogu se nizati tako, da završetak jedne promjene stanja bude ujedno početak sljedeće. Ostvarimo li takav niz, da je stanje na završetku zadnje promjene stanja jednako onom na početku prve promjene stanja, dobili smo zatvoreni ili kružni proces. Takav se onda proces može ponavljati proizvoljan broj puta. Bilo koju točku takvog zatvorenog ciklusa možemo proglasiti za "početak" (i "završetak") procesa!

Za kružne procese vrijede posebna pravila, ali samo za cijele cikluse! Budući da je cilj kružnog procesa pretvorba toplinske energije u mehanički rad ("desnokretni" procesi) ili obrnuto ("lijevokretni" procesi), radna tvar mora bar u dijelu procesa biti u plinovitom (parovitom) agregatnom stanju, da bi postojao rad zbog promjene volumena! Isto tako, promjene stanja trebaju biti ravnotežne, jer su one druge lošije, a nema logike izmišljati što lošiji, nego vjerojatno što bolji proces! Provedbu kružnog procesa možemo zamisliti u zatvorenom ili u otvorenom sustavu.

Kružni procesi u zatvorenom sustavu Kružni proces u zatvorenom sustavu provodi se u zatvorenom cilindru sa stalnom masom radne tvari, koja prolazi niz promjena stanja, da bi se nakon nekog vremena (period ciklusa) vratila u početno stanje. U procesu razlikujemo "ekspanziju" (kad se volumen radne tvari povećava) i "kompresiju" (kad se volumen radne tvari smanjuje). "Neto rad" procesa je onda razlika rada dobivenog pri ekspanziji i rada utrošenog za kompresiju. No, kako je rad ekspanzije pozitivan, a rad kompresije negativan, to možemo pisati i kao zbroj svih radova, ako ih uvrstimo s ispravnim predznakom!

Primijenimo li prvi glavni stavak na jedan cijeli ciklus ili na veći broj, ali cijelih ciklusa, iz njegovog skraćenog oblika ("I" označava stanje radne tvari na početku ciklusa, a "II" stanje radne tvari na kraju ciklusa i po definiciji kružnog procesa to su ista stanja) slijedi: II-IIIIII-I WUUQ +−= , gdje je QI-II toplina izmijenjena u cijelom ciklusu, WI-II rad izmijenjen u cijelom ciklusu (neto rad procesa), a po definiciji kružnog procesa je UI = UII , slijedi: ∑∑ = ii WQ , ili po kilogramu radne tvari: ∑∑ = ii wq ,

gdje su Qi i Wi (ili qi i wi) radovi i izmijenjene topline u svakoj od pojedinačnih promjena stanja od kojih je sastavljen kružni proces! Budući da su formule po kojima se računaju ti

v m3/kg

p (Pa)

s J/(kg K)

T (K)

1

2A

B

we

wk

w = |we | - |w

k |

qodv

qdov

w = |q dov| - |q odv|

Page 37: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

36

radovi i topline usklađene s dogovorom o predznacima, dovedene su topline pozitivne, a odvedene negativne, a isto tako su radovi ekspanzije pozitivni, a radovi kompresije negativni, to se gornje jednadžbe mogu pisati i u obliku: WWWQQ =−=− keodvdov , ili wwwqq =−=− keodvdov .

Proces se po definiciji ponavlja n& -puta u jedinici vremena, pa se snaga stroja u kojem se proces odvija dobije množenjem rada po jednom ciklusu s brojem ciklusa u jedinici vremena: WnP ⋅= & , a i toplina dovedena i odvedena po jednom procesu postaje dovedeni i odvedeni toplinski tok: dovdov Qn ⋅= &Φ i odvodv Qn ⋅= &Φ .

"Kvaliteta" kružnog procesa ocjenjuje se tzv. "termičkim stupnjem djelovanja" procesa:

dovdovdov Φ

η Pqw

QW

=== ,

dakle, kao omjer dobivenog (neto) rada i uložene (dovedene) topline po procesu, po kilogramu ili kilomolu radne tvari, ili po jedinici vremena.

Kružni procesi u otvorenom sustavu Kružni se procesi mogu ostvariti i u nizu protočnih uređaja (otvorenih sustava), tako da se radna tvar iz jednog uređaja vodi u drugi, iz drugog u treći itsl. Pri tome kraj "zadnjeg" od uređaja u nizu mora biti spojen na početak "prvoga", tako da se radna tvar, kad prođe sve te uređaje, vrati u početno stanje. U svakom se pojedinačnom uređaju obavlja samo jedna promjena stanja, pa moramo imati onoliko uređaja, koliko promjena stanja radna tvar prolazi u procesu! Budući da svaki uređaj zasebno radi kao otvoreni proces, neto rad kružnog procesa dobije se

kao razlika dobivenog tehničkog rada (pri smanjenju tlaka, uvjetno rečeno "ekspanziji") i utrošenog tehničkog rada (pri povećanju tlaka, uvjetno – "kompresiji"): kteh,eteh, www −= .

Budući da je opet (prema dogovoru o predznacima) dobiveni tehnički rad pozitivan, a utrošeni negativan, možemo pisati neto rad i kao zbroj svih tehničkih radova: ∑=+= iteh,kteh,eteh, wwww .

Kako nam i slika kaže, ako su promjene stanja iste, neto rad je isti, bez obzira na način kako je sam proces organiziran – kao proces u zatvorenom ili kao proces u otvorenom sustavu! No,

v m3/kg

p (Pa)

s J/(kg K)

T (K)

2

A

B

qodv

qdov

w = |q dov| - |q odv|

1

wteh,e

wteh,k

w = |wteh,e | - |w

teh,k |

Page 38: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

37

pojedinačni su radovi različiti i ako treba izračunati pojedinačne radove, moramo paziti o kojem se načinu izvođenja procesa u promatranom slučaju radi! I za provedbu procesa u otvorenom sustavu možemo pisati prvi glavni stavak, ali u obliku koji je prilagođen otvorenim sustavima: II-IIIIII-I PHH +−= &&Φ . Budući da je opet stanje "II" na kraju procesa po definiciji jednako stanju "I" na početku procesa, razlika entalpija jednaka je nuli, pa opet vrijedi da je ukupno izmijenjeni toplinski tok jednak neto snazi kružnog procesa: II-III-I P=Φ , što se opet može pisati kao razlika dovedenog i odvedenog toplinskog toka

PPP =−=− keodvdov ΦΦ , ili wwwqq =−=− kteh,eteh,odvdov ,

odnosno PPii == ∑∑Φ , ili po kilogramu radne tvari: wwq

ii == ∑∑ teh,.

I kod ovakvih je kružnih procesa "termički stupanj djelovanja" procesa definiran kao:

dovdov qwP

==Φ

η ,

dakle, opet kao omjer dobivene (neto) snage i uloženog (dovedenog) toplinskog toka.

LIJEVOKRETNI KRUŽNI PROCESI teku u suprotnom smjeru od desnokretnih, a provode se sa svrhom prijenosa energije ("topline") od hladnijeg na toplije tijelo. Za njihovo odvijanje treba izvana dovesti rad. Ovisno o namjeni procesa, definiraju se različiti pokazatelji: - ako je svrha procesa prijenos energije od hladnijeg spremnika (hladionice) u okoliš:

w

qPW

Q HSHSHSR ===

Φβ ("R" = "REFRIGERATING" – HLAĐENJE),

- a ako je svrha prijenos energije iz okoliša u topliji spremnik ("toplinske pumpe"):

RTSTSTS

H 1 βΦ

β +====w

qPW

Q ("H" = "HEATING" – GRIJANJE).

VAŽNO je uočiti da se, kad promatramo kružni proces kao cjelinu, rad okoliša ne uzima u obzir! Razlozi su sljedeći: - ako se proces provodi u zatvorenom cilindru, rad okoliša možda i postoji (ako s vanjske

strane stapa-klipa djeluje okoliš svojim tlakom), ali se po definiciji poništava, jer se stap po definiciji vraća na isto mjesto s kojeg je proces i počeo!

- ako se proces provodi u nizu otvorenih sustava, moguća su dva slučaja: - ili su uređaji prostrujnog tipa (turbine, turbokompresori, izmjenjivači topline), pa kod

njih okoliš uopće nema pristupa procesu (stijenke kućišta su čvrste), niti može u njemu ikako radom sudjelovati;

- ili su uređaji stapne (ili klipne) izvedbe, kad je djelovanje okoliša na vanjsku površinu stapa (klipa) moguće, ali se opet rad okoliša po definiciji poništava, jer se i kod takvih strojeva stap (klip) po definiciji kreće na istom putu u oba smjera (od gornje do donje mrtve točke i natrag!)

Tek ako bismo promatrali pojedine dijelove kružnog procesa, mogla bi se pojaviti potreba za uzimanjem u obzir rada okolišnog tlaka. Primjerice, ako računamo sile u pojedinim dijelovima stroja ili mehanička naprezanja u njima, djelovanje tlaka okoliša treba uzeti u obzir! ☺

Page 39: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

38

NERAVNOTEŽNE PROMJENE STANJA IDEALNIH PLINOVA U ZATVORENOM I OTVORENOM SUSTAVU TIPIČNI NERAVNOTEŽNI PROCESI U ZATVORENOM SUSTAVU Za opis takvih procesa na raspolaganju nam je samo zakon održanja mase za zatvoreni sustav i zakon održanja energije/prvi glavni stavak za zatvoreni sustav u integralnom obliku:

∑∑ =konpoč

mm (zakon održanja mase);

( ) ( ) ( ) ( )∑ −+−+−++−= −− 1i2i1k2k1p2p211221 EEEEEEWUUQ , (puni oblik),

ili ( ) ( )[ ]2112211221 −−− +−=+−= wuumWUUQ (skraćeni oblik). Miješanje idealnih plinova u posudi zadanog volumena

Imamo li u čvrstoj posudi podijeljenoj pre-gradama nekoliko plinova, pa se pregrade uklone, svaki plin se spontano proširi na cijeli raspoloživi prostor posude, te se nakon nekog vremena stanje u posudi ujednači i ustali.

Volumen posude je izvana nametnuti uvjet koji diktira odvijanje procesa!

Proces možemo opisati jednadžbama:

∑=

=+++=k

iik VVVVV

121 ... ;

- zakonom održanja mase:

∑=

=+++=k

iik mmmmm

121 ... ;

- ako nema kemijskih reakcija, vrijedi i:

∑=

=+++=k

iik NNNNN

121 ... ;

- zakonom održanja energije primijenjenim na plinove – sudionike miješanja ( 0III =−W !):

IIIIII UUQ −=− ( III−Q se odnosi na plinove – sudionike miješanja!).

Temperatura mješavine (vrijedi i s temperaturama u Celzijevim stupnjevima!):

=

=−

=

=−

−+

=+

=++

+++= k

iivi

k

iiivi

k

iivi

k

iiivi

kvkv

kkvkv

cm

TcmQ

CN

TCNQ

CNCNQTCNTCN

T

1

1III

1m

1mIII

m1m1

IIIm11m1M ...

....

Tlak mješavine određen je jednadžbom stanja:

V

TRmV

TRNp MMMmM == ,

plin 1 plin 2 plin kplin ip1T1V1

m1, ( N1)

p2T2V2

m2, ( N2)

piTiVi

mi, ( Ni)

pkTkVk

mk, ( Nk)

plinskamješavina

pM , T

QI - II

m = m1 + m2 + mi +...+ mk

V = V1 + V2 + Vi +...+ Vk

(N = N1 + N2 + Ni +...+ Nk)

pM = p"1 + p"2 + p"i +...+ p"k

Miješanje idealnih plinova u posudi

Pozor! “Bilanca količina” N vrijedi samo ako ne dolazi do kemijskih reakcija između pojedinih plinova!

Page 40: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

39

gdje je Rm opća plinska konstanta, a RM individualna plinska konstanta nastale mješavine.

Ukupni tlak mješavine zbroj je parcijalnih (sudioničkih) tlakova pojedinih sudionika:

∑=

′′=′′++′′+′′=k

iik ppppp

121M ... , (Daltonov zakon!)

koji se računaju s pomoću jednadžbe: MM pNN

pyp iii ==′′ .

Ako prije miješanja u dvama dijelovima posude ili u više njih imamo istovrsne plinove, u mješavini ne možemo razlikovati koja je molekula došla iz kojeg dijela posude, pa svim takvim istovrsnim sudionicima pripada jedan konačni parcijalni tlak prema ukupnom molnom udjelu dotičnog sudionika u mješavini!

TIPIČNI NERAVNOTEŽNI PROCESI U OTVORENOM SUSTAVU

Za opis takvih procesa na raspolaganju nam je samo zakon održanja mase za otvoreni sustav i zakon održanja energije/prvi glavni stavak za otvoreni sustav u integralnom obliku:

∑∑ =izlul

mm qq (za stacionarne procese!);

( ) ( ) ( )∑ −+−+−++−= −− 1i2i1p2p1k2k211221 EEEEEEPHH &&&&&&&&Φ , (puni oblik),

ili ( )[ ]21teh,12211221 −−− +−=+−= whhqPHH m&&Φ (skraćeni oblik).

Prigušenje bilo kakve tekućine (i idealnog plina) Proces u kojem radna tvar pri strujanju naiđe na nepravilno oblikovanu prepreku (suženje i potom naglo proširenje presjeka strujanja), pa iza prepreke dolazi do intenzivnog vrtloženja i trenja. Posljedica je pad tlaka tvari, pa je tlak iza prepreke manji od tlaka ispred nje.

Pretpostavke su: 021 =−Φ ; 01k2k =− EE && ; 01p2p =− EE && ; ( ) 01i2i =−∑ EE && ;

Činjenica je: 021 =−P (Kroz granicu sustava ne prolazi pomičan strojni dio!)

Za takav slučaj – prvi glavni stavak daje opći zakon prigušivanja koji vrijedi za sve tvari:

12 HH && = ili 12 hh = .

Δh

p1 p2 < p1

p1 p2 < p1

qm qm

qm qm

1 2

1 2

Prigušivanje struje tvari prolaskom kroz nepravilnu prepreku: lijevo – mjerna zaslonka (“blenda”); desno: ventil

Page 41: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

40

Prigušivanje se najjednostavnije prikazuje u h,s-dijagramu. Proces prikazujemo crtkano jer je neravnotežan zbog trenja. Za prigušivanje idealnog plina dodatno vrijedi:

12 TT = .

Prigušivanje idealnog plina može se prikazati i u p,v- i u T,s-dijagramu (kao crtkana crta), a ni u jednom dijagramu nema šrafure (zbog neravnotežnosti procesa površina u dijagramu nema fizikalno značenje)! Tijek procesa između točaka 1 i 2 ne znamo!

Miješanje dviju ili više struja idealnih plinova

U neki prostor (“mješalište”) kroz cijevi dostrujava k plinova koji se bar po nečemu razlikuju. Plinovi se spontano (i brzo) izmiješaju i pomiješani izlaze kao mješavina stanja M. Stanje mješavine određeno je protočnim masama (količinama) struja i njihovim ulaznim stanjima, ali i uvjetima procesa (dovođenjem ili odvođenjem toplinskog toka ili izoliranošću mješališta) Stijenke mješališta su čvrste i kroz njih ne prolazi nikakav pomičan dio koji bi u sustav unosio ili iz njega iznosio mehaničku snagu, PI−II = 0.

1

k

MΦI-II

PI-II = 0

I

I

II

II

qm,1 (qn,1 ), qV,1

p1 , T1 , v1 , h1 , s1

qm,k (qn,k ), qV,k

pi , Ti , vi

hi , si

pMTMvMhMsMqm,M

(qn,M )qV,M

i

qV,M ≠ Σ qV,i !

pM ≤ pmin,ul !pk , Tk , vk , hk , sk

qm,k(qn,k )qV,k

Miješanje plinskih struja

21

s1 s2 > s1

h2 = h1

s

h

v 2 >v 1

p2 <p1

p 1

v 1

Prigušenje neke tvari u h,s-dijagramu

v m3/kg

p

s J/(kg K)

TT1

T2 = T

1

p1

p2

v1 v2

1

2

T2 = T1

p 1

p 2

s1 s2

1 2

Prigušivanje idealnog plina u p,v- i u T,s-dijagramu. Nema ni tehničkog rada ni topline!

Page 42: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

41

Ako su još i dolazne brzine zanemarive ili razmjerno male, plin može strujati samo u smjeru pada tlaka, dakle, izlazni tlak mješavine mora biti manji od najmanjeg ulaznog tlaka:

ulmin,M pp ≤ !

∑=

=+++=k

iimkmmmm qqqqq

1,,2,1,M, ... ,

i ∑=

=+++=k

iinknnnn qqqqq

1,,2,1,M, ... .

Prvi glavni stavak:

IIIIII HH && −=−Φ , ili: IIIIII −+= ΦHH && ,

Konačna temperatura mješavine:

( ) ( )∑

=

=−

=

=− +

=+

= k

iipim

k

iiipim

k

iipin

k

iiipin

cq

Tcq

Cq

TCqT

1,,

1,,III

1,m,

1,m,III

M

ΦΦ.

Protočni volumen mješavine određen je zadanim tlakom s pomoću jednadžbe stanja plina:

M

MM

M

MmM, p

TRqp

TRqq mnV == ,

gdje je Rm opća plinska konstanta, a RM individualna plinska konstanta mješavine.

Protočni volumen mješavine nipošto nije zbroj protočnih volumena plinova na ulazu!

Protočni volumen mješavine može biti različit – što je izlazni tlak niži, protočni je volumen mješavine veći.

Izlazni tlak mješavine ovisi o tlaku u prostoru u koji mješavina istrujava (to je izlazni tlačni spremnik!) – ako ne opisujemo taj prostor, tlak mješavine moramo zadati kao broj!

Naravno da je ukupni izlazni tlak mješavine prema Daltonovu zakonu zbroj parcijalnih (sudioničkih) tlakova sudionika, ali njih možemo računati tek kad znamo (zadani!) tlak pM :

∑=

′′=′′++′′+′′=k

iik ppppp

121M ... , gdje je: M

,M p

qq

pypn

inii ==′′ .

Ako u više ulaznih struja imamo istovrsne plinove, svim takvim istovrsnim sudionicima pripada jedan konačni parcijalni tlak prema ukupnom molnom udjelu dotičnog sudionika u mješavini!

Pozor! “Bilanca protočnih količina” vrijedi samo ako nema kemijskih reakcija između pojedinih plinova!

Page 43: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

42

RAČUNANJE ENTROPIJE TVARI I NEPOVRATNI PROCESI

Entropija je veličina stanja tvari. Može se izraziti za ukupnu masu (količinu) tvari: S (J/K), za ograničenu masu (količinu) tvari u zatvorenu sustavu, ili S& (W/K), za protočnu masu ili protočnu količinu tvari kroz otvoreni sustav. Podijelimo li ukupnu entropiju S s masom (ili količinom) tvari, ili S& s protočnom masom (ili količinom) tvari, dobije se specifična entropija dotične tvari:

mq

SmSs

&== J/(kg K),

ili molarna entropija:

nq

SNSS

&==m J/(kmol K).

Budući da je entropija uvedena kroz drugi glavni stavak koji za ravnotežne procese glasi:

SSTQ d)(δ = , ili ∫=−

2

1

d)(21

S

S

SSTQ ,

tj. preko diferencijala entropije, njen pravi iznos zapravo ne znamo (nepoznata integracijska konstanta!). Budući da je svaka veličina stanja funkcija ostalih veličina stanja, možemo pisati formalni izraz: 0),( svpss += , ili: 0),( sTpss += , ili: 0),( svTss += .

Nepoznavanje integracijske konstante nas u računima ne smeta, jer ćemo i tako uvijek računati samo promjenu entropije!

PROMJENA ENTROPIJE U POSEBNIM SLUČAJEVIMA: Bez obzira na vrstu tvari, postoje dva slučaja kad se promjena entropije promatranog tijela može izračunati jednostavno: 1) Kad tijelo prima ili predaje toplinu, a da pritom ne mijenja svoju temperaturu. Takvo

tijelo ima "beskonačni toplinski kapacitet". Takvo što može se dogoditi: - ako tijelo ima doista ogromnu ("beskonačnu") masu u odnosu na (tehničke) procese -

primjerice, okoliš (atmosferski zrak, rijeke, mora) - razmjerno mala toplina izmijenjena u tijeku procesa ne može primjetno promijeniti temperaturu takvog tijela;

- kad "čista" tvar (sastavljena od istovrsnih čestica) mijenja agregatno stanje pri stalnom tlaku - priroda same tvari diktira da i temperatura pritom ostaje konstantna. Čista tvar pri promjeni agregatnog stanja ima beskonačni specifični toplinski kapacitet cp ;

- ako se načinom vođenja procesa pobrinemo da temperatura nekog sudionika ostane konstantna - primjerice, kod izotermne promjene stanja brzina (dinamika) izmjene topline mora biti posebno usklađena s pomakom stapa i brzinom izmjene rada.

U tim se slučajevima promjena ukupne entropije promatranog tijela može računati kao:

T

QSS 2112

−=− (J/K) ili T

SS 2112

−=−Φ&& (W/K),

a promjena specifične (ili molarne) entropije tog tijela s pomoću izraza:

K kg

J 212112 TqTm

Qssm

−− ==−Φ ili

K kmolJ 2121

1,m2,m TqTNQSS

n

−− ==−Φ .

(Treba paziti na predznak topline - ona je pozitivna, ako tijelo čiju promjenu entropije računamo prima toplinu, a negativna, ako je predaje!)

Veza između specifične i molarne entropije jednostavna je:

sMS =m J/(kmol K),

gdje je M molarna masa dotične tvari.

Page 44: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

43

2) Ako promatrano tijelo izmjenjuje toplinu i mijenja temperaturu (dakle, ima konačan i konstantan toplinski kapacitet!) u ravnotežnu procesu, dobije se promjena entropije toga tijela za zatvoreni sustav iz izraza STTCNTcmQ dddd mxx === :

( ) ( )1

2

12

21

1

2mx

1

2x12 lnlnln

TT

TTQ

TTCN

TTcmSS

−===− − (J/K),

ili iz izraza STTCqTcq nm&dddd mxx ===Φ za otvoreni sustav:

( ) ( )1

2

12

21

1

2mx

1

2x12 lnlnln

TT

TTTTCq

TTcqSS nm −

===− −Φ&& (W/K),

pa je za račun dovoljno znati ukupni toplinski kapacitet toga tijela (umnožak!):

( ) ( )12

21mxx TT

QCNcm−

== − , ili ( ) ( )12

21mxx TT

Cqcq nm −== −Φ .

Za takve se procese, ako znamo početnu temperaturu T1 i konačnu temperaturu T2 tijela, može jednostavno izračunati tzv. "srednja temperatura dovođenja (ili odvođenja) topline" tom tijelu:

1

2

12

12

212m,1

lnTT

TTSS

QT −=

−= −

− ili

1

2

12

12

212m,1

lnTT

TTSS

T −=

−= −

− &&Φ ,

a da ne moramo uopće znati toplinski kapacitet toga tijela! PROMJENA ENTROPIJE IDEALIZIRANIH TVARI Kod idealiziranih tvari postoje jednostavne analitičke veze između pojedinih veličina stanja, pa se i promjena entropije može računati s pomoću jednostavnih jednadžbi.

IDEALNO NESTLAČIVE TVARI (KAPLJEVINE I KRUTINE): Na njihovo toplinsko stanje utječe samo temperatura, a zbog nestlačivosti imaju i samo jedan specifični ili molarni toplinski kapacitet, pa je njihova promjena entropije:

1

212 ln

TTcss =− J/(kg K), ili

1

2m1m,2m, ln

TTCSS =− J/(kmol K).

IDEALNI PLINOVI Za idealne plinove se promjena specifične entropije idealnoga plina u bilo kakvome procesu može računati s pomoću bilo koje od ovih triju formula:

1

2

1

212 lnln

ppR

TTcss p −=− J/(kg K),

ili: 1

2

1

212 lnln

vvR

TTcss v +=− J/(kg K),

ili: 1

2

1

212 lnln

vvc

ppcss pv +=− J/(kg K).

SPECIJALNO, ako je promjena stanja od "1" do "2" politropa s poznatim eksponentom n (i politropskim specifičnim toplinskim kapacitetom cn ), uz gornje tri, postoji i kraća formula:

1

212 ln

TTcss n=− J/(kg K).

U sve gornje izraze za idealne plinove mogu se, ako treba, uvrstiti srednji specifični ili molarni toplinski kapaciteti u zadanom rasponu temperatura.

Analogne su formule za promjenu molarne entropije idealnog plina – izražene su s pomoću molarnih toplinskih kapaciteta i opće plinske konstante!

Page 45: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

44

Sve gore napisane jednadžbe za izračunavanje promjene entropije odnose se na pojedino tijelo (tvar). Kao takva, entropija je veličina stanja promatranog tijela, što znači da njena promjena ne ovisi o tome kako je promatrano tijelo došlo iz stanja "1" u stanje "2"!! Tek u sklopu promjene entropije izoliranog sustava (što je spomenuto u nastavku) entropija poprima puno značenje u smislu drugog glavnog stavka i postaje indikacija kvalitete procesa!

ENTROPIJA IZOLIRANOG SUSTAVA

Izolirani sustav definiran je kao sustav koji obuhvaća (sadrži) SVE sudionike nekog procesa (osim radne tvari tu mogu biti i toplinski spremnici potrebni za odvijanje procesa i slično). U svakom se pojedinom konkretnom slučaju treba vrlo pažljivo provjeriti što sve sudjeluje u procesu – ne smije se niti izostaviti bilo koji od sudionika, a niti fiktivno u račun uključiti nešto što zapravo u procesu ne sudjeluje! Prirast (promjena) entropije izoliranog sustava definiran je kao zbroj promjena entropije svih sudionika:

( ) ∑=

=SVI

1ii.s.

i

SS ΔΔ J/K (za zatvorene sustave), ili

( ) ∑=

=SVI

1ii.s.

i

SS && ΔΔ W/K (za otvorene sustave).

Prema drugom glavnom stavku promjena entropije izoliranog sustava ne može biti negativna! Ako bi promatrani proces bio povratan, ta bi promjena entropije bila jednaka nuli, što bi značilo da je entropija izoliranog sustava ostala ista, a u svim ostalim slučajevima (nepovratni procesi) entropija izoliranog sustava može samo rasti!

GUBITAK RADA (ILI SNAGE) ZBOG NEPOVRATNOSTI

Veličina kojom se mjeri degradacija energije u procesima. Služi za procjenu kakvoće procesa. Vezana je uz definiciju izoliranog sustava i iskazuje za koliko manje rada (snage) daje, ili za koliko više rada (snage) troši neki proces u odnosu na teorijski najbolji (povratni) proces koji bi se odvijao u istom izoliranom sustavu! Ta razlika - manjak dobivenog rada (snage) ili višak utrošenog rada (snage) - nalazi se u okolišu (stalne temperature Tok ) kao višak topline, koja je dalje beskorisna za dobivanje rada! Višak topline u okolišu može nastati ili tako da se u procesu okolišu preda previše topline, ili da se iz okoliša uzme premalo topline! Zbog pojmovne sličnosti definicija za otvoreni i za zatvoreni sustav, izrazi su napisani usporedo (indeks "pov" odnosi se na povratni, a "nep" na nepovratni proces):

ZATVORENI SUSTAV OTVORENI SUSTAV

neppovΔ WWW −= neppovΔ PPP −=

( ) ( )povoknepokΔ QQW −= ( ) ( )povoknepokΔ ΦΦ −=P

( )nepi.s.ok ΔΔ STW = ( )nepi.s.ok ΔΔ STP &=

Veličine ΔW i ΔP po definiciji su pozitivne, što znači da je u gornjim razlikama minuend uvijek veći od suptrahenda! Isto tako, prirast entropije izoliranog sustava uvijek je pozitivan! Iako vrijede sve tri vrste jednadžbi, one s prirastom entropije izoliranog sustava obično su najjednostavnije za korištenje, jer se prirast entropije izoliranog sustava najlakše i rutinski računa, a ne traže niti poznavanje "povratnog" procesa u istim uvjetima!

Page 46: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

45

TIPIČNI NEPOVRATNI PROCESI U ZATVORENOM SUSTAVU

Izmjena topline između dvaju tijela različitih temperatura Eksterno nepovratan proces, postoji i kad svako tijelo za sebe prolazi ravnotežnu promjenu stanja (bez trenja). Neka tijelo A ima višu temperaturu od tijela B (TA > TB). Topline su jednake, ali suprotnog predznaka: QA = −QB i | QA | = | QB | = | Q |

Za svako se tijelo njegova promjena entropije računa sukladno gore nabrojanim formulama, ovisno o vrsti tvari i o vrsti promjene stanja koju svako tijelo prolazi: - ako su temperature tijela A i/ili B konstantne:

( ) 0AA

AAIII <

−==−

TQ

TQSS J/K,

( ) 0BB

BBIII >==−

TQ

TQSS J/K,

- ako se temperature tijela A i/ili B mijenjaju tako da vrijede izrazi:

( )IA,IIA,AAA TTcmQ −= za tijelo A

i/ili: ( )IB,IIB,BBB TTcmQ −= za tijelo B:

( )IA,

IIA,

IA,IIA,IA,

IIA,

IA,IIA,

A

IA,

IIA,AAAIII lnlnln

TT

TTQ

TT

TTQ

TT

cmSS−

−=

−==− J/K;

( )IB,

IIB,

IB,IIB,IB,

IIB,

IB,IIB,

B

IB,

IIB,BBBIII lnlnln

TT

TTQ

TT

TTQ

TT

cmSS−

+=

−==− J/K.

Prirast entropije izoliranog sustava i gubitak rada zbog nepovratnosti su:

( ) ( ) ( )BIIIAIIInepi.s.Δ SSSSS −+−= ; i ( )nepi.s.ok ΔΔ STW = .

Miješanje idealnih plinova u posudi zadanog volumena

Proces se rješava sukladno postupku prikazanom u poglavlju “Neravnotežne promjene stanja idealnih plinova”.

Prvo se iz zadanih podataka za svaki plin prije miješanja (slika!), te s iznosom eventualno izmijenjene topline QI−II , izračunaju konačna temperatura TM i konačni tlak mješavine pM .

Potom se iz molnih udjela pojedinih sudionika izračunaju parcijalni tlakovi svakog od njih:

MM pNN

pyp iii ==′′ .

Ako prije miješanja u dvama dijelovima posude ili u više njih imamo istovrsne plinove, u mješavini ne možemo razlikovati koja je molekula došla iz kojeg dijela posude, pa svim takvim istovrsnim sudionicima pripada jedan konačni parcijalni tlak prema ukupnom molnom udjelu dotičnog sudionika u mješavini!

plin 1 plin 2 plin kplin ip1T1V1

m1, ( N1)

p2T2V2

m2, ( N2)

piTi

Vi

mi, ( Ni)

pkTk

Vk

mk, ( Nk)

plinskamješavina

pM , T

QI - II

m = m1 + m2 + mi +...+ mk

V = V1 + V2 + Vi +...+ Vk

(N = N1 + N2 + Ni +...+ Nk)

pM = p"1 + p"2 + p"i +...+ p"k

TBTA > TB

|Q|

W = 0!Q = 0!

ΔSBΔSA

Izmjena topline između dvaju tijela – izolirani sustav ima samo dva sudionika!

Page 47: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

46

Promjena entropije svakog sudionika računa se s pomoću formula:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′−=−

i

i

ipi

i

i

ipii p

pR

TTcm

pp

RTTCNSS lnlnlnln M

mM

mIII J/K,

ili: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

iivi

iivii V

VRTT

cmVVR

TT

CNSS lnlnlnln Mm

MmIII J/K.

Ako miješanje teče s izmjenom topline, promjena entropije “toplinskog spremnika” ovisi o tome mijenja li se spremniku temperatura ili ne:

- ako je temperatura toplinskog spremnika za vrijeme izmjene topline konstantna, onda:

( )TS

III

TS

TSTSIII T

QTQSS −−

==− J/K,

- ako se mijenja tako da vrijedi TSTSTSTS dTcmQ =δ i ( ) IIIITS,IITS,TSTSTS −−=−= QTTcmQ :

( )ITS,

IITS,

ITS,IITS,

III

ITS,

IITS,

ITS,IITS,

TS

ITS,

IITS,TSTSTSIII lnlnln

TT

TTQ

TT

TTQ

TT

cmSS−

−=

−==− − J/K.

Prirast entropije izoliranog sustava i gubitak rada zbog nepovratnosti su:

( ) ( ) ( )∑=

−+−=k

iiSSSSS

1IIITSIIInepi.s.Δ ; i ( )nepi.s.ok ΔΔ STW = .

TIPIČNI NEPOVRATNI PROCESI U OTVORENOM SUSTAVU

Izmjena topline između dviju struja tvari različitih temperatura

Neka struja A ima višu temperaturu od struje B (TA > TB). Toplinski tokovi su po iznosu jednaki, ali su suprotnog predznaka: ΦB = −ΘA.

Za svaku se struju njezina promjena entropije računa ovisno o vrsti i ponašanju tvari, te o vrsti promjene stanja koju svaka struja prolazi: - ako su temperature struja konstantne:

( ) 0AA

AAIII <

−==−

TTSS

ΦΦ&& W/K,

( ) 0BB

BBIII >==−

TTSS

ΦΦ&& W/K;

- ako se mijenjaju tako da vrijedi: ( )IA,IIA,AAA TTcqm −=Φ i/ili ( )IB,IIB,BBB TTcqm −=Φ :

( )IA,

IIA,

IA,IIA,IA,

IIA,

IA,IIA,

A

IA,

IIA,AAAIII lnlnln

TT

TTTT

TTTT

cqSS m −

−=

−==−

ΦΦ&& W/K;

( )IB,

IIB,

IB,IIB,IB,

IIB,

IB,IIB,

B

IB,

IIB,BBBIII lnlnln

TT

TTTT

TTTT

cqSS m −

+=

−==−

ΦΦ&& W/K.

Prirast entropije izoliranog sustava i gubitak snage zbog nepovratnosti su:

( ) ( ) ( )BIIIAIIInepi.s.Δ SSSSS &&&&& −+−= ; i ( )nepi.s.ok ΔΔ STP &= .

qmA qmA

qmB qmB

ΦB = −ΦA

Sustav "B"

Sustav "A"TA,I TA,II

TB,ITB,II

Izmjena topline između dviju struja tvari – izolirani sustav ima samo dva sudionika!

Page 48: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

47

Prigušivanje bilo kakve tekućine (i idealnog plina)

Proces u kojem radna tvar pri strujanju naiđe na nepravilno oblikovanu prepreku (suženje i potom naglo proširenje presjeka strujanja), pa iza prepreke dolazi do intenzivnog vrtloženja i trenja. Posljedica je pad tlaka tvari, pa je tlak iza prepreke manji od tlaka ispred nje.

Pretpostavke su: 021 =−Φ ; 01k2k =− EE && ; 01p2p =− EE && ; ( ) 01i2i =−∑ EE && ;

Činjenica je: 021 =−P (Kroz granicu sustava ne prolazi pomičan strojni dio!)

Za takav slučaj – prvi glavni stavak daje opći zakon prigušivanja koji vrijedi za sve tvari:

12 HH && = ili 12 hh = .

Prigušivanje se najjednostavnije prikazuje u h,s-dijagramu. Proces prikazujemo crtkano jer je neravnotežan! Promjena entropije tvari koja se prigušuje može se očitati iz h,s-dijagrama ili iz tablica dotične tvari Za prigušivanje idealnog plina dodatno vrijedi:

12 TT = .

Zbog toga se za idealni plin promjena entropije plina (ujedno i izoliranog sustava, jer je plin koji se prigušuje – jedini sudionik procesa!) može jednostavno izračunati:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

1

2

1

2m12 lnln

pp

Rqpp

RqSS mn&& W/K.

Prirast entropije izoliranog sustava i gubitak snage zbog nepovratnosti prigušivanja su:

( ) 12nepi.s.Δ SSS &&& −= ; i ( )nepi.s.ok ΔΔ STP &= .

Zbog pretpostavke 021 =−Φ prigušivanje je adijabatski proces, ali zbog neravnotežnog tijeka nije izentropski – prigušivanje je izraziti primjer neravnotežne adijabate!

Δh

p1 p2 < p1

p1 p2 < p1

qm qm

qm qm

1 2

1 2

Prigušivanje struje tvari prolaskom kroz nepravilnu prepreku: lijevo – mjerna zaslonka (“blenda”); desno: ventil

21

s1 s2 > s1

h2 = h1

s

h

v 2 >v 1

p2 <p1

p 1

v 1

Prigušenje neke tvari u h,s-dijagramu

Page 49: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

48

Miješanje dviju ili više struja idealnih plinova

Proces se rješava s pomoću prvoga glavnog stavka prema postupku prikazanom u poglavlju “Neravno-težne promjene stanja idealnih plinova”.

Prvo se iz zadanih podataka za svaki plin prije miješanja (slika!), te s iznosom eventualno izmije-njenog toplinskog toka ΦI−II , izračuna konačna temperatura TM .

Potom se iz molnih udjela pojedi-nih sudionika izračunaju parcijalni tlakovi svakog od njih:

M,

M pqq

pypn

inii ==′′ .

Ako u više ulaznih struja imamo istovrsne plinove, svim takvim istovrsnim sudionicima pripada jedan konačni parcijalni tlak prema ukupnom molnom udjelu dotičnog sudionika u mješavini!

Izlazni tlak mješavine ovisi o tlaku u prostoru u koji mješavina istrujava – ako ne opisujemo taj prostor, tlak mješavine moramo zadati kao broj!

Promjena entropije svakog sudionika računa se s pomoću formule:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′−=−

i

i

ipim

i

i

ipini p

pR

TTcq

pp

RTTCqSS lnlnlnln M

,mM

m,III&& W/K.

Ako se za vrijeme miješanja izmjenjuje toplinski tok ΦI−II , promjena entropije “toplinskog spremnika” ovisi o tome mijenja li se spremniku temperatura ili ne:

- ako je temperatura toplinskog spremnika za vrijeme izmjene toplinskog toka konstantna:

( )TS

III

TS

TSTSIII TT

SS −−==−

ΦΦ&& W/K,

- a ako se mijenja tako da vrijedi TSTSTS,TS dTcqm=Φδ i ( ) ( )ITS,IITS,TSTS,TSIII TTcqm −=−Φ :

( ) ( )ITS,

IITS,

ITS,IITS,

III

ITS,

IITS,

ITS,IITS,

TSIII

ITS,

IITS,TSTS,TSIII lnlnln

TT

TTTT

TTTT

cqSS m −−

=−

==− −− ΦΦ&& W/K.

Prirast entropije izoliranog sustava i gubitak snage zbog nepovratnosti su:

( ) ( ) ( )∑=

−+−=k

iiSSSSS

1IIITSIIInepi.s.Δ &&&&& ; i ( )nepi.s.ok ΔΔ STP &= .

1

k

MΦI-II

PI-II = 0

I

I

II

II

qm,1 (qn,1 ), qV,1

p1 , T1 , v1 , h1 , s1

qm,k (qn,k ), qV,k

pi , Ti , vi

hi , si

pMTMvMhMsMqm,M

(qn,M )qV,M

i

qV,M ≠ Σ qV,i !

pM ≤ pmin,ul !pk , Tk , vk , hk , sk

qm,k(qn,k )qV,k

Miješanje plinskih struja

Page 50: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

49

REALNE TVARI U okviru kolegija Uvod u termodinamiku bavimo se tzv. "čistim" ili "jednostavnim" tvarima, sastavljenim od jednovrsnih atoma ili molekula (iznimka su smjese idealnih plinova, čije ponašanje je tako jednostavno, da ne traži posebnu pozornost). Načelno, svaka se čista tvar može pojaviti u tri agregatna stanja – čvrstom, kapljevitom ili plinovitom (parovitom), a u kojem će se (stabilnom) obliku pojaviti, ovisi o tlaku i temperaturi dotičnog stanja, kako to određuje njen dijagram fazne ravnoteže ("linije napetosti"). Trima gore spomenutim agregatnim stanjima pripadaju neka izrazita obilježja: - krutine i kapljevine su vrlo malo stlačive; - plinovi (pare) imaju malu gustoću, šire se

koliko im to dopušta stijenka koja ih okru-žuje, a volumen im se može mijenjati u vrlo širokim granicama.

Da bismo olakšali računske postupke, krutine i kapljevine smatramo idealno nestlačivima, a za plinove pretpostavljamo da se ponašaju kao idealni plinovi, tj. da slijede pojednostavnjene zakone idealnih plinova. Tako smo postupali u dosadašnjem dijelu gradiva, ali te pretpostav-ke ne vrijede za kapljevine u blizini kritične točke K, a za plinove u blizini linije napetosti kapljevina-para (spojnica točaka Tr i K)! Osim toga, pri pretvorbama agregatnih stanja tvar je heterogena, što također treba uzeti u obzir! Zato se, ako tvar u tijeku procesa dolazi u neka od tih područja, računski postupci moraju prilagoditi tim činjenicama.

"IDEALNE" TVARI Jedna od osnovnih jednadžbi koja opisuje ponašanje tvari je tzv. "termička jednadžba stanja", veza između tlaka, temperature i specifičnog (ili molnog) volumena, f(p, v, T) = 0. Za idealne plinove ona je jednostavna: p v = R T , kao i za idealno nestlačive tvari: v = konst. ≠ v ( p, T ).

"REALNI" PLINOVI Ako je tvar u promatranom procesu trajno u plinovitom stanju, ali joj stanje dolazi u blizinu linije napetosti (obično pri višim tlakovima i nižim temperaturama, tj. pri većim gustoćama), umjesto termičke jednadžbe stanja idealnog plina ( p v = R T ) možemo se poslužiti nekom od preciznijih, ali za uporabu bitno složenijih jednadžbi stanja (van der Waals, Redlich-Kwong, Benedict-Webb-Rubin, "virijalna" j.s. i slično). Već i eksplicitno izražavanje jedne od veličina stanja (v, p, ili T) kao funkcije drugih dviju iz tih je jednadžbi teško, gdjekad i nemoguće, a traženje potrebnih parcijalnih derivacija za uvrštavanje u jednadžbe za unutarnju energiju, entalpiju ili entropiju obično je još složenije. Zato često pribjegavamo očitavanju potrebnih vrijednosti veličina stanja kao gotovih brojeva iz tablica ili dijagrama za tzv. pregrijanu paru. Takve tablice su dosta opsežne, jer za što veći broj vrijednosti tlaka i temperatura (radi što točnije interpolacije) treba navesti niz ostalih veličina stanja. U proračunima mnogih procesa, poglavito ako se u tijeku procesa mijenja agregatno stanje tvari, umjesto kompliciranih jednadžbi koje povezuju različite veličine stanja, jednostavnije je poslužiti se (izmjerenim) brojčanim vrijednostima, koje se mogu naći u raznim tablicama ili dijagramima.

Tr

K

pothlađenakapljevina

poth

lađe

nakr

utin

a

pregrijana para

ps(ϑ )

ϑϑ

p

vodaostale tvari

ϑTr ϑK

pTr

pK

(plin

)

(par

a)

Slika 1 Dijagram fazne ravnoteže za čistu tvar

Page 51: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

50

"REALNE" TVARI U PODRUČJU PROMJENE AGREGATNOGA STANJA Promjena agregatnog stanja čiste tvari odvija se sukladno dijagramu fazne ravnoteže, slika 1. U tijeku promjene agregatnog stanja tvar je heterogena, tj. istodobno su u dodiru dvije faze, tzv. vrela kapljevina i suhozasićena para. Ako proces teče ravnotežno, te dvije faze imaju isti tlak i istu temperaturu, ali im se sve ostale veličine stanja (specifični volumen, specifična unutarnja energija, entalpija, entropija) razlikuju. Zbog veze između tlaka i temperature pri promjeni agregatnog stanja, prikazane linijom napetosti, jednim od ta dva podatka (p ili T) određen je odmah i drugi (T ili p) i ne smiju se proizvoljno zadati obadva!

Svojstvo je heterogenih smjesa da je svaka njihova veličina stanja prosjek dotične veličine stanja jedne i druge faze, ovisno o udjelu svake od njih.

Označimo li sve veličine koje se odnose na vrelu kapljevinu jednom crticom (' ), a one koje se odnose na suhozasićenu paru dvjema crticama (" ), maseni udio suhozasićene pare u smjesi vrele kapljevine i suhozasićene pare ("mokroj pari"), tzv. sadržaj pare definiran je izrazom:

mm

mx′′+′

′′=

mp

szp

kgkg

(kilograma suhozasićene pare po kilogramu mokre pare)

i s pomoću njega mogu se izraziti sve veličine stanja mokre pare: ( )vvxvv ′−′′+′= m3/kg,

( )hhxhh ′−′′+′= J/kg ili kJ/kg,

( )ssxss ′−′′+′= J/(kg K) ili kJ/(kg K),

( )uuxuu ′−′′+′= J/kg ili kJ/kg, (ali i: vphu −= )! Od veličina stanja tvari kojima se najčešće služimo u proračunima, uz tlak i temperaturu još su specifični volumen v, specifična entalpija h, specifična entropija s i sve njih treba navesti kao brojčane vrijednosti u tablicama ili dijagramima. Specifična unutarnja energija se obično ne navodi jer zauzima prostor, a nije nužna, budući da se njen iznos može izračunati iz definicij-ske jednadžbe (u = h – p v). Pri očitavanju podataka iz tablica posebnu pozornost treba posvetiti integracijskim konstantama za veličine stanja u , h i s! Naravno, unutar jednog izvora podataka integracijska je konstanta za svaku vrstu veličine stanja ista, a je li ona ista i u nekom drugom izvoru podataka, najlakše se provjeri tako da se nađe jedno toplinsko stanje koje je sadržano u oba izvora i u njima se usporedi iznos svake veličine stanja – ako su brojevi isti, konstante su iste, a ako se razlikuju, svaka brojčana vrijednost je u jednom izvoru veća ili manja od odgovarajuće vrijednosti u drugom izvoru za isti iznos!

Toplina isparivanja r po definiciji je toplina koju treba pri stalnom tlaku (i temperaturi!) dovesti jednom kilogramu vrele kepljevine da bi se potpuno ispario u suhozasićenu paru. Može se izraziti na više načina, uzimajući u obzir stalnost tlaka ili stalnost temperature: ( ) ( )ssTvvpuuhhr ′−′′=′−′′+′−′′=′−′′= .

Clapeyron-Clausiusova jednadžba povezuje toplinu isparivanja r na nekoj temperaturi T, s termičkim veličinama stanja ( v", v', p i T ) :

( )TpvvTr

dd′−′′=

i u njoj je sadržana derivacija linije napetosti (slika 1), dp/dT. Clapeyron-Clausiusova se jednadžba može primijeniti i na ostale promjene agregatnog stanja koje također teku u skladu s linijom napetosti, ali treba zamijeniti članove r (toplina potrebna za dotičnu pretvorbu agregatnog stanja), v" (konačni volumen tvari) i v' (početni volumen tvari). Linija napetosti led-voda nagnuta je ulijevo, jer (iznimno kod H2O!) krutina ima veći volumen od kapljevine.

Veličine stanja mokre pare su prosjek veličina stanja vrele kapljevine i suhozasićene pare!

Page 52: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

51

Zbog jednostavnosti, potrebne veličine stanja svih tvari za koje ne vrijede jednostavni idealizirani zakoni očitavaju se kao brojčane vrijednosti iz tablica ili dijagrama. Time se izbjegava uporaba obično vrlo složenih analitičkih izraza kojima se aproksimiraju veze između pojedinih veličina stanja takvih tvari. Nažalost, to znači da za dotičnu tvar moramo imati na raspolaganju takve tablice ili dijagrame. Naputci koji slijede odnose se prvenstveno na "vodu" (H2O), jer je ona najčešća realna tvar i na ispitu, iako se oni načelno (uz pretpostavljenu dostupnost tablica ili dijagrama) mogu primijeniti i na bilo koju tvar čije se stanje u procesu nalazi blizu promjene agregatnoga stanja.

Budući da se često moramo služiti različitim izvorima podataka za istu tvar (dvjema tablicama ili tablicama i dijagramom i sl.), svakako prije prve uporabe takvih izvora treba provjeriti sve integracijske konstante korištene u njima. Najjednostavnije je služiti se tablicama/dijagramima u kojima su integracijske konstante iste!

Najpraktičnije je potrebne veličine stanja ( v, h, s ) očitavati iz sljedećih izvora: - za vrelu kapljevinu i suhozasićenu paru iz "Tablica za vrelu kapljevinu i suhozasićenu

paru" (Toplinske tablice –FSB Zagreb; Kraut, Ražnjević, Inženjerski priručnik). Obično se navode usporedo dvije tablice – u jednoj su podaci poredani prema (zaokruženim) vrijed-nostima tlaka, a u drugoj prema temperaturi;

- za mokru paru računaju se iz podataka za vrelu kapljevinu i suhozasićenu paru. Neki se podaci mogu i očitati iz Mollierovog h,s-dijagrama (u uokvirenom području na slici 2);

- za pregrijanu paru postoje tablice (Toplinske tablice –FSB Zagreb; Kraut, Ražnjević, Inženjerski priručnik), ali su vrlo opsežne, jer za velik broj zaokruženih vrijednosti tlaka treba navesti po tri podatka ( v, h, s ) za niz zaokruženih vrijednosti temperatura. Međuvrijednosti se određuju inter-polacijom, koja je zamršena, ako se mora provesti i po tlaku i po temperaturi. U tom se području veličine stanja lakše očitavaju iz Mollierovog h,s-dijagrama. Osim opsežnosti, mana tablica je i otežano praćenje procesa u njima – primjerice, izentropa je u h,s-dijagramu okomica i vrlo se lako na njoj očitavaju sve potrebne veličine stanja, dok bi se u tablicama za određivanje istih podataka moralo provesti niz višestrukih interpolacija!

- za pothlađenu kapljevinu također postoje tablice – redovito se uklapaju u tablice za pregrijanu paru i to tako da se, za svaki tlak, za niže temperature navode veličine stanja pothlađene kapljevine, a za više temperature veličine stanja pregrijane pare. Dijeli ih crta koja simbolizira stanje zasićenosti tvari (vrela kapljevina, mokra para i suhozasićena para)

s kJ/(kg K)

T (K)

s kJ/(kg K)

h (kJ/kg)

K

K

x = 0

x = 0

x = 1

x = 1

mokra para

mokra para

pregrijana parapregrijana para

pothl

ađen

a kap

ljevin

a

poth

lađen

aka

pljev

ina

u Mollierovom h,s-dijagramu u mjeriluobuhvaćen je ovaj dio

vrelakapljevina

suho-zasićenapara

veličine stanja vrele kapljevinei suhozasićene pare očitavajuse iz Toplinskih tablica, a zamokru paru računaju se kao

njihov prosjek

Postoje i tablice zapregrijanu paru ipothlađenu kapljevinu(Kraut, Ražnjević,Inženjerski priručnik)

Slika 2 T,s-dijagram i h,s-dijagram za čistu tvar

Page 53: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

52

za dotični tlak. Nemamo li pri ruci takve tablice, veličine stanja pothlađene kapljevine možemo odrediti na jedan od sljedećih načina: - koristeći se praktičkom nestlačivošću kapljevine, možemo zanemariti utjecaj tlaka i

umjesto veličina stanja pothlađene kapljevine tlaka p i temperature T očitati veličine stanja vrele kapljevine iste temperature T , bez obzira što ona ima niži tlak, p'(T) < p !

- služeći se izravno (jednostavnim) jednadžbama za nestlačivu kapljevinu:

( ) ( ) 00w00w hTTchch +−=+−= ϑϑ i 00

w ln sTTcs += ,

pri čemu treba integracijske konstante h0 i s0 uskladiti s drugim izvorima podataka kojima se služimo u dotičnom računu! Primjerice, za vodu (H2O) svi gore spomenuti izvori podataka imaju odabrane praktički jednake integracijske konstante:

J/kg 00 =h i K) J/(kg 00 =s za kapljevitu vodu pri C 00 °=ϑ ( K 15,2730 =T )

ili: J/kg 00 =u i K) J/(kg 00 =s , (a onda je i J/kg 00 ≅h ) za kapljevitu vodu u trojnoj točki: C 01,0Tr °+=ϑ ( K 16,273Tr =T )

Poteškoća u primjeni gornjih dvaju izraza je nesigurnost u izboru brojčane vrijednosti za cw . Ako specifična entalpija i entropija pothlađene kapljevine izračunate s pomoću gornjih izraza ulaze u razliku s odgovarajućim veličinama stanja pare, njihova je brojčana vrijednost razmjerno mala u odnosu na te druge brojeve i moguća netočnost izbora cw nije bitna, pa se zbog jednostavnosti može uzeti cw = 4,187 kJ/(kg K).

PROCESI S "PAROM" KAO RADNOM TVARI I s "parom" kao radnom tvari mogu se provoditi različiti procesi. Svi opći zakoni vrijede i dalje, ali se za račun potrebne veličine stanja moraju očitavati iz dijagrama ili tablica. Zbog heterogenosti tvari u tijeku promjene agregatnoga stanja, računska obrada procesa koji bar dijelom ulaze u to područje ipak je malo otežana. I kod "pare" su mogući ravnotežni i neravnotežni procesi. Ravnotežni su oni procesi kod kojih su u tijeku procesa ispunjena tri ravnotežna uvjeta. I kad je tvar u heterogenu stanju, obje faze moraju imati u svakom trenutku isti tlak i istu temperaturu u svim dijelovima promatranog volumena! (Ostale se veličine stanja razlikuju!). Ako heterogena tvar ispunjava te uvjete, za račun je svejedno je li kapljevina raspršena u pari ili je vidljivo odijeljena od nje! Od jednostavnijih, a važnijih procesa susrećemo se sa sljedećima:

PROCESI U ZATVORENOM SUSTAVU Kod procesa u zatvorenom sustavu proučavamo uglavnom ravnotežne procese. U svim je procesima pretpostavljeno da je zadano početno stanje tvari i jedan podatak koji jednoznačno određuje završetak procesa.

Izobarni proces ( p = konst.), Slika 3 Proces u kojem je izvana nametnuta stalnost tlaka – primjerice, tvar u cilindru koji je zatvoren stapom opterećenim utegom stalne težine. Pri dovođenju topline volumen tvari raste (širenje, ekspanzija), a pri odvođenju topline volumen se smanjuje (kompresija).

Sve se veličine stanja očitavaju za isti tlak. Izmijenjena toplina i rad širenja pare računaju se prema jednadžbama: ( ) ( )[ ] ( )1212121212211221 hhmvvpuumVVpUUWUUQ −=−+−=−+−=+−= −− ;

( ) ( )121221 vvpmVVpW −=−=− .

Page 54: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

53

Izotermni proces ( T = konst.) , Slika 3 Proces u kojem je izvana (uvjetima izmjene topline) nametnuta stalnost temperature.

Sve se veličine stanja očitavaju za istu temperaturu. Izmijenjena toplina i rad širenja/stlačivanja pare računaju se prema jednadžbama: ( ) ( )121221 ssTmSSTQ −=−=− i ( )122121 UUQW −−= −− ,

pa je: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]11221212121221 vpvphhssTmuussTmW −+−−−=−−−=−

Izobarno-izotermni proces ( p = konst. i T = konst.) , Slika 3 Ako cijeli proces teče u heterogenom području pretvorbe agregatnog stanja, nametanje jedne veličine stanja (tlaka ili temperature) kao stalne vrijednosti, zbog ponašanja tvari odmah znači da je i druga veličina također stalna! U takvom slučaju za računanje izmijenjene topline i rada vrijede i formule napisane za stalan tlak i one za stalnu temperaturu! Zbog 10 1 ≤≤ x i

10 2 ≤≤ x , gornje se izvorne formule mogu dodatno preraditi u jednostavnije oblike:

( ) ( ) ( ) ( )ssxxTmhhxxmQ ′−′′−=′−′′−=− 121221 ;

( ) ( )vvxxpmW ′−′′−=− 1221 .

Izohorni proces ( v = konst.) , Slika 4 Proces u kojem je stalna masa tvari m zatvorena u posudi stalnog volumena V. Dovođenjem topline tlak u posudi raste, a odvođenjem topline tlak pada. Rada zbog promjene volumena tvari nema, 021 =−W , a za izmijenjenu toplinu vrijedi izraz:

( ) ( )[ ]1212121221 ppvhhmuumUUQ −−−=−=−=− . Sva su stanja u toj promjeni stanja povezana jednadžbom konst./12 ==== mVvvv , pa ako su obje točke u području mokre pare, početni i konačni sadržaj pare su:

11

1

11

111 vv

vvvvvvx

′−′′′−

=′−′′′−

= i 22

2

22

21

22

222 vv

vvvvvv

vvvvx

′−′′′−

=′−′′′−

=′−′′′−

= ,

pri čemu se vrijednosti 1v ′′ i 1v′ očitavaju za tlak p1 , a 2v ′′ i 2v′ za tlak p2 . Ako je u posudi puno kapljevine i malo pare (v < vK), dovođenjem topline mali dio kapljevine isparava, ali se ostatak (veći dio) širi. Na dosta visokoj temperaturi kapljevina bi se proširila na cijeli volumen. Daljnjim dovođenjem topline došlo bi do naglog i velikog porasta tlaka!

K

g'

g"g'

x =

0

x = 0

x = 1

1T

2T

1p2p

1 21 21T

1p

2p

v1 v2 s1 s2

w1-2 q1-2

Kp

(bar)

v (m3/kg) s [kJ/(kg K)]

T(K) K

izobarno-izotermni proces 1 - 2

izobarni proces 1p - 2p

izotermni proces 1T - 2T

p, T(p) T, p(T)

g"x = 1

TK

TK

p 2T

2T

p 1T

T2p

T1p

Slika 3 Izobarni, izotermni i izobarno-izotermni proces u p,v- i T,s-dijagramu

Page 55: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

54

Ako je v > vK (malo kapljevine i puno pare), dovođenjem topline kapljevina isparava, pa može i nestati. Daljnjim pregrijavanjem pare tlak bi i dalje rastao (p3' > p2'), ali umjereno.

Izentropski (ravnotežni adijabatski) proces ( s = konst., q1−2 = 0 ) , Slika 5 Za sve točke vrijedi uvjet konst.12 === sss Ako su točke u području mokre pare, vrijedi:

11

1

11

111 ss

ssssssx

′−′′′−

=′−′′′−

= i 22

2

22

21

22

222 ss

ssssss

ssssx

′−′′′−

=′−′′′−

=′−′′′−

= .

pri čemu se 1s ′′ i 1s′ očitavaju za tlak p1 (temperaturu T1), a 2s ′′ i 2s′ za tlak p2 (ili T2). Rad izentropske ekspanzije (kompresije) određen je jednadžbom: ( ) ( )222111212121 vphvphmuumUUW +−−=−=−=− .

Iz slike se vidi poznata činjenica da izentropska kompresija (praktički nestlačive) kapljevine ne troši skoro nikakav rad, jer je površina ispod crte 2-3 u p,v-dijagramu vrlo uska, a i razmak točaka 2 i 3 u T,s-dijagramu vrlo je malen!

g'

g"

g"

x =

0

x = 1

x = 0

x = 1

1'

3

p11

2

1

2

2'

g'

1'

v1 < vK

vK

s1' s2'

p2

p3T3

T3

T3

2'

3'p2'

v1' > vK

p3'

3 3'

s3'

q1'-2'

p2'p3'

T3

p 3

p3'v3' = v1'p2'

q 2'-3

'

v K

p(bar)

v (m3/kg) s [kJ/(kg K)]

T(K) KKK

TK

TK

Slika 4 Izohorni proces u p,v- i T,s-dijagramu

K

g'

g"

x =

0

x = 0 x = 1

1'

3

p11

2

1

22'

g'

1'

p2

p3

p2'

p3 3

3'

s1 < sK sKs1' > sK

v1'v2'v3'

w1'-2'

p2'

T3'

T3

p 3

p 3

p 2'

w2'-3'

2'

3'p2

p 2

p(bar)

v (m3/kg) s [kJ/(kg K)]

T(K) K

p1

g"x = 1

TK

T3'

w1-2

w2-

3

Slika 5 Izentropski proces u p,v- i T,s-dijagramu

Page 56: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

55

PROCESI U OTVORENOM SUSTAVU Strujanje je redovito popraćeno trenjem, pa su procesi redovito bar malo neravnotežni. Ako je trenje slabo i ne utječe bitno na proces, zanemarujemo ga i proces promatramo kao da je ravnotežan. Ako je trenje bitan sastavni dio procesa, moramo ga uzeti u obzir. U svim procesima u okviru ovog dijela gradiva zanemarujemo razliku kinetičke i potencijalne energije tvari u izlaznom i ulaznom presjeku sustava, pa za sve njih vrijedi prvi glavni stavak u skraćenom obliku: ( ) 2112211221 −−− +−=+−= PhhqPHH m

&&Φ .

Izmjena topline pri strujanju tvari (bez trenja ili s trenjem) , Slika 6 Ako kroz granicu sustava ne prolazi mehanička snaga (npr. tvar struji kroz čvrstu cijev ili kroz izmjenjivač topline čvrstih stijenki), bez obzira na to ima li trenja ili ne, vrijedi jednadžba: ( )121221 hhqHH m −=−=−

&&Φ , ili 2112 −+= ΦHH && .

Ako trenja nema, tlak struje tvari ostaje konstantan (p2 = p1), a s trenjem on pada u smjeru strujanja ( 12 pp < ). Ako je cijev izolirana ( 021 =−Φ ) entalpija struje tvari ostaje ista ( 12 HH && = ). Kod strujanja bez trenja, (zbog p2 = p1) to znači da je i ukupno stanje tvari ostalo isto.

Posljedica trenja uvijek je povećanje entropije tvari u kojoj nastupa trenje – kod dovođenja topline s trenjem entropija raste više nego što to odgovara dovedenoj toplini (s2b > s2a), a kod odvođenja topline entropija se smanjuje manje nego što bi to zbog odvođenja topline trebala! Pada li tlak zbog trenja pri strujanju kroz izoliranu cijev, ishod je isti kao i kod prigušivanja, ( 12 HH && = i 12 pp < ), iako kod strujanja kroz cijev tlak zbog trenja pada pomalo duž cijevi, a kod prigušivanja pad tlaka je koncentriran u prigušilištu i neposredno iza njega.

Prigušenje (adijabatsko) struje tvari, Slika 7 Do prigušenja dolazi kad struja tvari pri strujanju kroz cijev naiđe na naglu i nepravilnu prepreku, koju ne može obići bez vrtloženja i s njim skopčanog vrlo intenzivnog trenja. Za prigušenje se uvijek pretpostavlja da teče adijabatski, pa za nj uvijek vrijede izrazi: 12 HH && = i 12 pp < .

2a2b

h1

h2

p1

p 2b

q12a

g'

1

2a2b

h2

h1

p 2b

p 1

g"g'

s [kJ/(kg K)]

T(K) K

h(kJ/kg)

s [kJ/(kg K)]

Kg"

1

q 12a

=q 1

2b=

h 2-h

1

s1 s2a < s2b

T2aT2b

T 2aT2b

Slika 6 Dovođenje topline u T,s- i h,s-dijagramu (puna crta – bez trenja, crtkana crta – s trenjem) Ispod crtkane crte 1 – 2b nema šrafure u T,s-dijagramu!

Page 57: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

56

U području pretvorbe agregatnog stanja ili njegovoj blizini, prigušenjem se temperatura tvari smanjuje. Prigušimo li kapljevinu temperature T na tlak koji je niži od tlaka zasićenja koji joj pripada za tu temperaturu prema liniji napetosti, jedan dio kapljevine će ispariti, a toplinu potrebnu za pretvorbu agregatnog stanja uzet će od ostatka kapljevine, zbog čega se cijela struja hladi, pa se dobije mokra para čija je temperatura niža od početne temperature T.

Adijabatska ekspanzija ili kompresija struje tvari (s trenjem ili bez trenja) , Slike 8 i 9 Proces tipičan za turbine i turbokompresore. Iako struja radne tvari ulazi u stroj i izlazi iz njega razmjerno malim brzinama, u samom stroju struji vrlo velikim brzinama (više stotina metara u sekundi) kroz međuprostore između lopatica, pa je i trenje povezano s procesom neizbježno. Zbog vrlo kratkog vremena koje tvar proboravi u stroju, realno je pretpostaviti da pritom ne stigne izmijeniti bilo kakvu toplinu (proces teče adijabatski), ali trenje dovodi do neravnotežnosti procesa i s tim povezanog porasta entropije radne tvari i izoliranog sustava (zbog 021 =−Φ !). Tek kad ne bi bilo trenja, proces bi bio i izentropski.

U zadacima ćemo redovito pretpostavljati da takva promjena stanja teče izentropski (tj. bez trenja), u suprotnom trenje mora biti naglašeno i opisan njegov učinak.

1e2e

h1

h2

p1

p 2

g'

1b

1e2e

h2

p 2p 1

g"g'

s [kJ/(kg K)]

T(K) K

h(kJ/kg)

s [kJ/(kg K)]

Kg"

1b

s1 < s2

T1eT2e

T 1e

T2e

2b1a

2a

1c

2c

1d

2dp2

2d1d

2b

2a1a

2c1c

Slika 7 Adijabatsko prigušenje u T,s- i h,s-dijagramu

h(kJ/kg)

s [kJ/(kg K)]

Kg"

K

g' g"

p(bar)

v (m3/kg)

p1

p22s

2

wteh,1-2s

p 1

p 2

2s

1

2

T1

x = 1

TK

lom krivulje!

T1

1

za ekspanziju s trenjemnema šrafure lijevo od

crtkane crte 1 - 2 !

Slika 8 Adijabatska ekspanzija u otvorenom sustavu u p,v- i h,s-dijagramu (puna crta – bez trenja, crtkana crta – s

trenjem). Lijevo od crtkane crte 1 – 2 nema šrafure u p,v-dijagramu!

Page 58: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

57

Kroz granicu sustava koja obuhvaća promatrani stroj prolazi mehanička snaga (vratilo se okreće kutnom brzinom ω i prenosi okretni moment M;

ωMP =−21 !), pa prvi glavni stavak, bez obzira na to ima li trenja ili ne, daje (s 021 =−Φ ) :

( )212121 hhqHHP m −=−=−&& .

Miješanje dviju ili više struja (iste) tvari Neravnotežan i izrazito nepovratan proces. Na miješanje dviju ili više struja iste tvari, koje razmjerno malim brzinama dostruja-vaju u mješalište može se primijeniti prvi glavni stavak u skraćenom obliku: 1221 HH && −=−Φ , u kojem entalpiju unosi "n" ulaznih struja, a inosi je mješavina, Slika 10. Ako ulazne struje dostrujavaju s različitim tlakovima, tlak nastale mješavine ne može biti veći od najnižeg ulaznog tlaka. Označimo li s ∑= m,im qq M, protočnu masu mješavine, a s M,/ mm,ii qqg = maseni udio "i"-te struje u mješavini, stanje mješavine određeno je (zadanim) izlaznim tlakom pM i entalpijom:

( )

( )∑∑

=

−=−

+=+

=n

iii

mm

n

iim,i

hgqq

hqh

1M,

21

M,

121

Φ.

Miješanje struja iste tvari može se prikazati i u h,s- dijagramu za dotičnu tvar, pa se i stanje mješavine može odrediti s pomoću grafičke konstrukcije prika-zane (za miješanje dviju struja) na slici 10.

h(k

J/kg

)

s [kJ/(kg K)]

Kg"

1

2

p 1p 2

p M

ΔsM

MMr

g 1

g 2g 1

+ g 2= 1

g'

Slika 10 Adijabatsko miješanje u h,s-dijagramu

1

2

P12

Φ 12 = 0TURBINA

1

2

P12

Φ 12 = 0TURBO-KOMPRESOR

1

1

2

2

qm,1, h1, p1

qm,2, h2, p2

qm,n, hn, pn

qm,M, hM, pM

Φ12

h(kJ/kg)

s [kJ/(kg K)]

Kg"

K

g'

p(bar)

v (m3/kg)

p2

p1

2s 2

wteh,1-2s

p 2

p 1

22s

1

g"

x = 1

TK

1

za kompresiju s trenjemnema šrafure lijevo od

crtkane crte 1 - 2 !

Slika 9 Adijabatska kompresija u otvorenom sustavu u p,v- i h,s-dijagramu (puna crta – bez trenja, crtkana crta – s trenjem). Lijevo od crtkane crte 1 – 2 nema šrafure u p,v-dijagramu!

Page 59: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

58

KRUŽNI PROCESI S "PAROM" KAO RADNOM TVARI Kružni procesi s parom kao radnom tvari izvode se redovito kao niz nadovezanih otvorenih procesa. Primjena tvari koja u tijeku procesa mijenja agregatno stanje ima nekoliko prednosti u odnosu na kružne procese s tvarima koje su u procesu trajno u plinovitom stanju: - izmjenu topline najjednostavnije je ostvariti pri izobarnom strujanju kroz izmjenjivač

topline, a za takve tvari izobarna je promjena stanja ujedno i izotermna u tijeku promjene agregatnog stanja, pa se proces bar djelomično približava Carnotovu procesu;

- za pretvorbu agregatnoga stanja tvari troši se velika količina topline, pa je dovoljna i manja protočna masa takve tvari da bi primila zadani toplinski tok, što u načelu dovodi do manjih uređaja;

- kod kružnih procesa neto dobivena snaga, osim što je jednaka razlici dovedenog i odvedenog toplinskog toka, jednaka je i razlici dobivene i utrošene snage, dakle, jednaka je razlici tehničkog rada dobivenog ekspanzijom i tehničkog rada utrošenog za kompresiju. Budući da na iznos tehničkog rada bitan utjecaj ima volumen radne tvari ( wteh = – ∫ v d p), velika različitost specifičnog volumena pare i kapljevine ima tu korisnu posljedicu, da ekspanzija pare velikog specifičnog volumena daje puno rada, a kompresija kapljevine malog specifičnog volumena troši malo rada. Tako se, od snage koju daje turbina, samo mali dio troši na pogon pumpe za stlačivanje vode (kondenzata).

DESNOKRETNI PROCESI (Procesi parnog postrojenja) Danas se uglavnom još primjenjuju za velike snage (termoelektrane, nuklearne elektrane, pogon brodova). Radna je tvar daleko najčešće voda (vodena para). Zbog težnje za što boljim procesom, današnja postrojenja sadrže veliki broj dodataka koji poboljšavaju način odvijanja procesa i vrlo su složena, ali imaju i veliki stupanj djelovanja. Svako se, i najsloženije postrojenje sastoji od svega nekoliko vrsta pojedinačnih uređaja ili strojeva za provedbu pojedinog dijela kružnog procesa, a to su:

IZMJENJIVAČI TOPLINE Izmjenjivači topline služe za dovođenje topline radnoj tvari ili za odvođenje topline od nje. Iako se zbog trenja tlak radne tvari može smanjivati, redovito ćemo ga smatrati konstantnim, tj. pretpostavljat ćemo da je izmjena topline izobaran proces. Bez obzira na to od kojeg toplinskog ("ogrjevnog") spremnika radna tvar prima toplinski tok, ili kojem ga toplinskom ("rashladnom") spremniku predaje, izmijenjeni se toplinski tok računa uvijek s pomoću razlike izlazne i ulazne entalpije radne tvari za dotični izmjenjivač: ( ) TS121221 ΦΦ −=−=−=− hhqHH m

&& .

- za dovođenje topline radnoj tvari služe: GENERATOR PARE ("PARNI KOTAO") naziv je za skup izmjenjivača koji dobivaju kondenzat (vodu) iz napojne pumpe i iz nje pri stalnom tlaku proizvode paru. Kao ogrjevni spremnik mogu poslužiti vrući dimni plinovi nas-tali izgaranjem, energija oslobođena nuklearnom reakcijom, koncentrirani snop sunčevih zraka i sl. Sastoji se tipično od zagrijača vode, isparivača, a često i pregrijača pare. Ako se ne traži drukčije, računa se ukupno dovedeni toplinski tok radnoj tvari s pomoću gornje formule, a može se računati i zasebno za svaki dio promjene stanja radne tvari.

iznapojnepumpe

1

2

iznapojnepumpe

1

3

preg

rijač

pare

Φ1-2

1"

Φ1-1"

Φ1"-3

suho

zasi

-će

na p

ara

Page 60: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

59

MEĐUPREGRIJAČ PARE – često se, radi poboljšanja termičkog stupnja djelovanja procesa, ekspanzija u turbini prekida i para se s pomoću cijevi vraća u međupregrijač pare, koji se fizički nalazi u sklopu generatora pare, ponovo se (izobarno) pregrije i drugom cijevi vrati u drugu ("niskotlačnu") turbinu za daljnju ekspanziju.

- za odvođenje topline od radne tvari služe: KONDENZATOR – izmjenjivač topline u kojemu se para nakon ekspanzije u turbini hladi predajući toplinski tok izravno okolišu (riječnoj, jezerskoj ili inoj okolišnoj vodi, zraku). Dakle, uvjetima hlađenja nametnuta je temperatura u kondenzatoru (malo iznad okolišne) pa je, zbog promjene agregatnog stanja, njome određen i tlak u kondenzatoru. Za vodu je, zbog njene linije napetosti, taj tlak znatno niži od okolišnoga (u kondenzatoru je podtlak!). "GRIJALICA" je naziv za izmjenjivač topline koji služi za to, da se s pomoću toplinskog toka oslo-bođenog kondenzacijom pare grije neka druga struja tvari. Dakle, u njoj se para zapravo hladi (konden-zira), a grijalicom se naziva zato, jer se njenim korisnim učinkom smatra baš zagrijavanje te druge struje tvari. Služe za dobivanje "tehnološke topline" za različite procese (kemijske procese, destilacije, iskuhavanja, sušenja i slično), ali i za grijanje naselja. Kod grijalice potrošač topline određuje temperaturu na kojoj mora teći kondenzacija pare da bi se dobio traženi koristan učinak! Budući da para oslobađa toplinski tok kondenzacijom pri stalnom tlaku, tražena temperatura i linija napetosti radne tvari (vode) određuje tlak koji mora para imati na ulazu u grijalicu. Ako se para uzima iz turbine, bitno je da ona ima taj tlak (ako je pregrijana, može imati i višu temperaturu od tražene, ali mora imati traženi tlak!).

EKSPANZIJSKI I KOMPRESIJSKI STROJEVI U parnim postrojenjima kao ekspanzijski strojevi pojavljuju se parne turbine i (danas rjeđe) stapni parni strojevi, a kao kompresijski strojevi isključivo ("napojne") pumpe za kon-denzat, bilo rotacijske bilo klipne. "Kompresijski cilindri" koji bi stlačivali mokru paru ne primjenjuju se. U svim se tim strojevima pretpostavlja izentropska promjena stanja. Snaga koju takvi strojevi daju ili troše računa se kao: ( )212121 hhqHHP m −=−=−

&& ,

a zbog gornje pretpostavke vrijedi uvjet izentrope: s2 = s1 . Kod pumpi, zbog praktičke nestlačivosti kapljevine, razlika je entalpija h1 – h2 ≅ 0, pa je snaga koju one troše zanemariva (u odnosu na snagu koju daje turbina). Želimo li ipak izra-čunati snagu pumpe, zbog konst.≅≅≅ vvv 21 možemo se poslužiti približnim izrazom: ( )2121p ppvqPP m −≅= − .

TOPLINSKI SPREMNIK

12para se pregrijava pri p = konst.

Φmpr

T2 > T1

p2 = p1 p1, T1

bez pothlađenja

para iz turbine

kondenzatas pothlađenjem

para iz turbine

voda upumpu

kondenzatarashladnavoda strujikroz cijevi

pk= p(Tk) pk= p(Tk)11

32 Φ1-2

Φ1-3

voda upumpu

POTROŠAČ TOPLINE

12para kondenzira pri pg = konst.

Φg

pg = p (Tg)T1 ≥ Tgp2 = pgp1 = pg

1

2

P1-2

Φ1-2 = 0PARNATURBINA

P1-2

Φ1-2 = 0

2

1

STAPNIPARNISTROJ

NAPOJNE (POJNE) PUMPEKLIPNA ROTACIJSKA

212

1 P1-2 P1-2

Page 61: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

60

POMOĆNI UREĐAJI I PROCESI CIJEVI za transport radne tvari od jednog do drugog uređaja. Obično se pretpostavlja da su izolirane i da u njima nema trenja. Tada se toplinsko stanje radne tvari prolaskom kroz njih ne mijenja. U suprotnom se slučaju mora točno opisati ima li izmjene topline ( 12Φ ) duž cijevi, koliko i u kojem smjeru, te pada li tlak zbog trenja i za koliko. Jednadžba ( )121221 hhqHH m −=−=−

&&Φ

povezuje stanje tvari na ulazu i na izlazu iz cijevi i kad ima trenja i onda kad ga nema. MJEŠALIŠTA za miješanje dviju ili više struja iste tvari različitog toplinskog stanja. Miješati se može više struja kapljevine (kondenzata), kapljevina s parom, više struja pare i sl. Ovdje obično prešutno pretpostavljamo da je mješalište izolirano. Specifična entalpija hM zajedno sa zadanim tlakom pM određuje konačno stanje mješavine. PRIGUŠILIŠTA za (adijabatsko) prigušenje struje tvari. Iako je termodinamički vrlo loš, proces se često koristi za jednostavnu regulaciju protoka tvari kroz neki uređaj ili grupu uređaja, te za regulaciju tlaka u njima. Za proces vrijedi poznata jednadžba h2 = h1 .

NAČIN "OSNIVANJA" KRUŽNOG PROCESA S PAROM

Kao primjer pokazan je Rankineov proces s regenerativnim predgrijavanjem kondenza-ta, kod kojeg se dio pare uzima iz turbine i miješa s kondenzatom iz kondenzatora.

Osnova desnokretnih kružnih procesa s parom je tzv. Rankineov proces, ali se u nj vrlo često uvode različita poboljšanja. Kakav god bio promatrani proces, tijek proračuna u zadacima je uvijek isti – prema opisu u tekstu "slaže" se proces sastavljen od opisanih osnovnih proce-sa. Za svaki pojedinačni uređaj vrijede gore napisane formule, iz kojih se dobije traženi podatak dotičnog uređaja (dovedeni/odvedeni toplinski tok, dobivena/utrošena mehanička snaga, izlazno stanje radne tvari), a po potrebi mogu se izračunati i veličine koje vrijede za proces kao cjelinu. Posebnu pozornost treba posvetiti protočnim masama radne tvari kroz pojedini uređaj!

1

2

pregrijačpare

1"

Φ71"

Φ1"1

pk= p(Tk)zagr

ijač

vode

iisp

ariv

T 1 T 2

Pt

~3

4

567

1

22

7

M

qm,2qm,2

qm,2

qm

qm qm

q m-q

m,2

qm

qm

s kJ/(kg K)

T (K) T1

s kJ/(kg K)

h(kJ/kg)

470oC

K

K

45

67

3

2

11

2

34

56

7

qm,2

qm

q m

qm,2q m,2

(qm - qm,2)

(q m - q

m,2)

p 2

p kp 1

p 1

q m,2

q m

qm,2

qm

q m

q m

q m,2

p1

p2

pk

Rankineov proces s regenerativnim predgrijavanjem kondenzata u T,s i h,s-dijagramu

Page 62: PREDLOŠCI ZA VJEŽBE  iz kolegija  TEHNIČKA TERMODINAMIKA

Predlošci za vježbe iz Tehničke termodinamike

61

LIJEVOKRETNI PROCESI (Rashladni procesi, "Dizalice topline") Lijevokretni kružni procesi uzimaju toplinski tok iz hladnijeg spremnika i uz utrošak meha-ničke snage prebacuju ga u topliji spremnik. Ovisno o namjeni, dijelimo ih u dvije grupe:

1) rashladni procesi uzimaju toplinski tok iz hladnog spremnika – hladionice – i uz utrošak mehaničke snage prebacuju ga u topliji spremnik – obično okoliš.

2) "dizalice topline" ili "toplinske pumpe", koje toplinski tok uzimaju iz okoliša i uz utrošak mehaničke snage prebacuju ga u neki još topliji spremnik – npr. toplu vodu.

U osnovnom obliku lijevokretni se procesi sastoje od nekoliko tipičnih dijelova:

- isparivač – izmjenjivač topline u kojem hladniji spremnik temperature THS predaje toplin-ski tok još hladnijoj radnoj tvari (Ti < THS). Tlak radne tvari je nizak, prema njenoj liniji napetosti. Izmijenjeni toplinski tok određen je jednadžbom:

( )414114 hhqHH m −=−=−&&Φ .

- kompresor – usisava radnu tvar niskog tlaka iz isparivača i, uz utrošak mehaničke snage, tlači je na viši tlak kondenzatora. Snaga za njegov pogon računa se prema jednadžbi:

( )212121 hhqHHP m −=−=−&& .

- kondenzator – izmjenjivač topline u kojemu kompresijom ugrijana radna tvar visokog tlaka kondenzira pri temperaturi višoj od temperature toplijeg spremnika (Tk > TTS) i predaje mu toplinski tok. Izmijenjeni toplinski tok određen je jednadžbom:

( )232332 hhqHH m −=−=−&&Φ .

- prigušni ventil ili kapilara – služi za sniženje tlaka radne tvari (prigušenjem) s visokog kondenzatorskog na nizak isparivački tlak ( ki pppp =<= 34 )

Za prigušenje vrijedi jednadžba: 34 HH && = ili 34 hh = . ☺

iz hladionice

u okoliš

ISPARIVAČ

KONDENZATORPRIGUŠNIVENTIL

1

23

4KOMPRESOR

P1-2

Φ4-1

Φ2-3

iz okoliša

u topliji spremnik

ISPARIVAČ

KONDENZATORPRIGUŠNIVENTIL

1

23

4KOMPRESOR

P1-2

Φ4-1

Φ2-3

s kJ/(kg K)

T (K)

s kJ/(kg K)

h (kJ/kg)

K

K

x = 0

x = 0

x = 1

x = 1

1

2

3

4

43

2

1

pi , Ti

TTS

THS

pk , Tk p k, T k

p i ,T i