Embed Size (px)
Citation preview
Predavanje III nedelja Elektrostatika 22 (Gausov zakon i njegova primena),
2.4. Gausov zakon
Ovaj zakon povezuje izvor električnog polja (naelektrisanja u relativnom mirovanju ) i vektor
električnog polja E .
Ova veza data je u integralnoj formi , a može se prevesti i u diferencijalnu formu.
Da bi se izveo ovaj zakon uvodi se pojam fluksa električnog polja.
Posmatramo zamišljenu glatku površinu S u električnom polju E i
tu površinu podelimo na beskonačno male površine dS. Svakoj ovoj
beskonačno maloj pridružimo vector dS , koji je normalan na tu
površinu , a njegova vrednost ili moduo je jednak samoj površini
dS.
Formiraju se skalarni proizvodi vektora
električnog polja E i površine , tj
dSE
Ovaj skalarni proizvod se naziva elementarni
fluks d, koji se izražava kao
cos dSEdSEd ,
gde je ugao koji zaklapaju vector električnog
polja E i vector površine dS .
Elementarni fluks d
- je maksimalan kada su vektori električnog polja i površine istog pravca
i smera pa je ugao =0, a cos=1
dSEd max
dS
- je jednak nuli kada su vector površine i vector električnog polja
medjusobno normalni tj . =/2, a cos=0
0)2/cos(cos dSEd
- je negativan kada vector električnog polja I vector površine zaklapaju tup
ugao , tj kada je
/2 tada je cos 0, pa je d0
Ukupni fluks kroz neku površinu S je jednak sumi elementarnih flukseva d, kroz svaku
beskonačno malu (elementarnu) površinu , tj. Jednak je integralu elementarnog fluksa po celoj
površini.
SSS
dSESdEd cos
Ukupni fluks kroz neku površinu S jednak je površinskom integralu skalarnog proizvoda
vektora električnog polja i vektora elementarne površine , dSE , kroz tu površinu.
Ako je površina S zatvorena , tj. potpuno obuhvata deo prostora ,
tada se usvaja da se normala na površinu definiše u smeru od površine
prema spoljašnosti
Fluks kroz zatvorenu površinu S je jednak tada
SS
SdEd
,
Fluks vektora električnog polja kroz zatvorenu površinu S jednak je
zatvorenom površinskom integralu skalarnog proizvoda vektora električnog polja i vektora
elementarne površine , , kroz tu površinu.
2.4.a Izvođenje Gausovog zakona
Da bi mogao da se izvede ovaj zakon uvodi se pojam prostornog ugla.
dSE
S
dS1
dS2
Slika 27a
Kada iz neke tačke posmatramo neku beskonačno malu površinu dS iz
neke tačke koja je na rastojanju r od površine, čini nam se da je ta
površina normalna na pravac posmatranja i da je jednaka površini dSn, , tj.
jednaka normalnoj projekciji površine dS na pravac posmatranja.
Slično bi mogli uočiti ako posmatramo sferu
poluprečnika r i na njoj uočimo beskonačno malu
površinu ( beskonačno mali kalotu) dSn . Tu
površinu posmatramo iz centra sfere. Površina je obeležena sa dSn, jer je
ona i normalna na pravac iz kog se posmatra. , tj. normalna na
poluprečnik sfere.
U oba slučaja možemo da kažemo da se površina koju posmatramo vidi pod elementarnim
prostornim uglom
2r
dSd n
Elementaran prostorni ugao d pod kojim se vidi neka površina dS iz neke tačke je jednak
odnosu normalne projekcije te elementarne površine dSn na pravac posmatranja i kvadrata
rastojanja površine od tačke iz koje se posmatra. Jedinica za prostorni ugo je steradijan
(strad).
Ova normalna površina na neki pravac dSn može uvek de se zamisli kao da je deo neke sfere.
Ako normale na površinu dS i normala na površinu dSn zaklapaju ugao tada se može napisati
da je
cos dSdSn
Ako je površina koju posmatramo iz neke tačke zatvorena sfera oko te tačke , ukupan prostorni
ugao pod kojim se vidi cela sfera se dobija integraljenjem elementarnih prostornih uglova po
celoj površini sfere
dSn
r
C
dSn
r
C
dS
strad 441
2
2
sfere površina
22
r
rdS
rr
dSd
S S
n
n
S
Ovaj rezultat može da se generalizuje na sve sferne zatvorene
sferne površine koje se posmatraju iz neke tačke unutar sfere.
Pa je prostorni ugao pod kojim posmatrač vidi zatvorenu
površinu oko sebe jednak 4strad.
Radi izvođenja Gausovog zakona zamislimo da se neko pozitivno tačkasto naelektrisanje q
nalazi unutar zatvorene površine S. Treba da se odredi fluks kroz ovu zatvorenu površinu.
Biramo prvo elementarnu površinu dS i za nju odredimo
elementarni fluks kao
drrE
dSrEdSrEdSEd n
2)(
)(cos)( =
Kako je E(r) jačina polja tačkastog naelektrisanja elementarni
fluks postaje jednak
dq
drr
qdrrEd
0
2
2
0
2
44
1)(
Ukupan fluks kroz zatvorenu površinu je jednak
00
površini zatvorenoj po
00
4444
qqd
qd
qd
S SS
Fluks vektora električnog polja kroz zatvorenu površinu je jednak količniku količine
obuhvaćenog naelektrisanja tom površinom i konstante 0..
Posmatramo i tačkasto naelektrisanje i zatvorenu površinu koja ne obuhvata to naelektrisanje.
Uočimo jednu liniju polja i mesta u kojima ta linija polja seče tu površinu. Na dva mesta preseka
uočimo beskonačno malu površinie 1Sd
i 2Sd
koje se iz centra tačkastog naelektrisanja vide
pod istim prostornim uglovima . Formiramo skalarne proizvode, тј. Nalazimo elementarne
flulseve kroz ove površine, 111 dSEd i 222 dSEd . Kako je
dSn
r
C
d
d
dS1
d
dS2
q0
r
1
0
1
2
12
10
11111111
44
1
)(cos)(
dq
drr
q
dSrEdSrEdSEd n
I
044
1)(
cos)()(cos)(
2
0
2
2
22
20
22
222
0
222222
dq
drr
qdSrE
dSrEdSrEdSEd
n
Kako su elementarni prostorni uglovi prostorni uglovi pod kojima se vide ove površine i tačke u
kojoj se nalazi naelektrisanje q jednaki , tj.
d1 = d2, , dobija se da zbir ova dva elementarna fluksa 012 dd
Ako se na taj način formiraju parovi elementarnih flukseva na celoj zatvorenoj površini , njihovi
zbirovi će biti nula.
Ukupan fluks električnog polja kroz ovu zatvorenu površinu koji će biti jednak zbiru svih
elementarnih flukseva električnog polja kroz ovu zatvorenu površinu će na taj način biti jednak
nuli , tj.
0 S
d
Na ovaj način je pokazano da je fluks električnog polja kroz zatvorenu površinu koja ne
obuhvata tačkasto naelektrisanje jednak nuli.
Ovaj rezultat se slaže sa prethodnim kada zatvorena površina obuhvata tačkasto naelektrisanje ,
jer je u drugom slučaju obuhvaćeno naelektrisanje q=0.
Ako se je u okviru neke zatvorene površine obuhvaćeno više tačkastih naelektrisanja q1 ,
q2, ….. qn , po principu superpozicije se dobija da je fluks električnog polja kroz tu površinu koji
potiče od svih naelektrisanja jednak algebarskom zbiru flukseva koji potiču od svakog
naelektrisanja posebno.
0
1
1 01 01
n
i
in
i
in
i
in
i
i
qqq
q0
1
2
Praktično
n
i
iq1
predstavlja ukupno obuhvaćeno naelektrisanje tom površinom pa se ono može
obeležiti jednostavnije kao q.
Na osnovu svega prethodno iznetog ovoga može se iskazati Gausov zakon:
Fluks vektora električnog polja kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je količniku ukupnog
obuhvaćenog naelektrisanja ovom površinom (q) i konstante 0., tj.
0
qdSEd
SS
Na osnovu Gausovog zakona sledi:
1) Fluks električnog polja kroz neku zatvorenu površinu ne zavisi od raspodele naelektrisanja
već samo od toga da li je to naelektrisanje unutar ili izvan površine. Takodje ako se posmatra
samo obuhvaćeno naelektrisanje fluks električnog polja ne zavisi od raspodele naelektrisanja
unutar te površine.
2. Fluks električnog polja ne zavisi od oblika zatvorene površine već od količine obuhvaćenog
naelektrisanja. Tako da je fluks kroz zatvorene površine različitog oblika koje obuhvataju istu
količinu naelektrisanja jednak .
Primer :
0
321
1 01
qqqqn
i
in
i
i
Primena Gausovog zakona
Gausov zakon se može koristi za određivanje jačine električnog polja u prostoru koje potiče
od različitih raspodela naelektrisanja u prostoru. Kako je ovo integralni zakon on se može
koristiti samo ukoliko je S
dSE rešiv. Zbog toga se on koristi u slučajevima kada je raspodela
naelektrisanja u prostoru na neki način simetrična. Tada se ptrma toj vrsti simetrije mora
odabrati pažljivo zatvorena površina po kojoj će se integraliti i koja se u ovim primenama
naziva i Gausova površina. Izabrana Gausova površina treba da ima isti tip simetrije kao i
naelektrisanje . Na taj način se postiže da je jačina električnog polja na svim tačkama površine
jednaka ili da je na određženom delu površine jednaka, a na preostalom delu jednaka nuli.
1) Odredjivanje jačine polja tačkastog naelektrisanja .
Kako je tačkasto naelektrisanje sferno ili centralno
simetrično, I Gausova površina se bira da ima sfernu
simetriju u odnosu na tačkasto naelektrisanje, tj. bira se
u obliku sfere koja ima centar u tačkastom naelektrisanju
i ima poluprečnik r.
Na sferi se uoči mala, beskonačna površina , čiji je vektor
Sd
. Kako je naelektrisanje centralno simetrično intenzitet električnog polja je jednak u
svim tačkama koje su a istom rastojanju od njega i polje je usmereno radijalno u odnosu
na tačkasto naelektrisanj. Na taj način je vector električnog polja u svakoj tački normalan
na površinu , pa su vektor elementarne površine u nekoj tački površine i vektor
električnog polja kolinearni.
Primenom Gausovog zakona se dobija
0
2
sfere površina
40cos
q
rESEdSEdSEdSESdEdSSSSS
Odavde se dobija da je
2
04 r
qE
Grafik zavisnosti električnog polja tačkastog
naelektrisanja od rastojanja od naelektrisanja je
q0
r
S
2) Električno polje sfere poluprečnika R , ravnomerno površinski naelektrisane
naelektrisanjem q
Ako se odredjuje vektor električnog polja u nekoj tački A u okolini sfere , mogu se uočiti
dva tačkasta na elektrisanja q na površini sfere koja su simetrično rasporedjena u
odnocu nan a tačku A odnosno u odnosu na liniju koja spaja tačku A I centar sfere C. Ako
se odrede vektori polja koji potiču od ovih naelektrisanja oniže ima ti isti intenzitete, a
njihovim vektorskim sabiranjem se dobija ukupno polje koje od njih potiče i to polje je u
pravcu koji spaja tu tačku A i centar sfere . Kako se sva naelektrisanja sfere mogu ovako
tretiarati i u ovoj , i u ostalim tačkama očigledno je da je električno polje u okolini
površinski naelektrisane sfere radijalno raspoređeno u odnosu na njen centara.
Kako je i ova naelektrisana sfera centralno simetrična Gausova površina koja se koristi za
odredjivanje intenziteta električnog polja je u obliku sfere
koji ima isti centar kao naelektrisana sfera.
Razmatraju se dve Gausove sferne površine.
Prva je upisana sfera S1, poluprečnika r10. Ako se primeni
Gausov zakon u ovom slučaju , kako ova sfera ne obuhvata
naelektrisanje sfere , i q= 0 , dobija se
04S0cos2
11
sfere površina
SSSSS 11111
rEEdSEdSEdSESdEd
I sledi da je
E=0, za r R
Kada se posmatra druga Gausova površ, opisana sfera poluprečnika r2 R, ona obuhvata
celokupno naelektrisanje sfere q, i kada se primeni Gausov zakon dobija se
q
q
C
R
S1
S2 C
R
r2
r1
0
2
22
sfere površina
SSSSS
4S0cos
22222
q
rEEdSEdSEdSESdEd
Odavde se dobija da je
2
04 r
qE
, za r R.
Kada se ova dva rezultata objedine , vidi se da polje unutar površinski naelektrisane sfere
jednako nuli , , a da intenzitet polja na površini ili izvan sfere zavisi od kvadrata
rastojanaja tačke u kojoj se odredjuje polje od centra sfere. Kod površinski naelektrisane
sfere intenzitet polja je najjači na površini sfere i jednak je
2
0
04 R
qE
, a zatim opada sa kvadratom rastojanja.
Na grafiku je prikazana zavisnost intenziteta elektičnog
polja površinski naelektrisane sfere u nekoj tački koja se
nalazi narastojanju r od centra sfere.
3) Električno polje ravnomerno naelektrisane beskonačne ravne površine
Kako je površina beskonačna onda je i njeno ukupno naelektrisanje beskonačno,
pa se kao karakteristika ove površine u ovo slučaju uvodi pojam površinskog
naelektrisanja S, tj. naelektrisanje po jedinici površine . Ako se uoči neka
beskonačnao mala površina ove ravni dS i ako se na njoj nalazi beskonačno
mala količina naelektrisanja dq , tada se površinsko naelektrisanje odredjuje kao
odnos beskonačnog malog naelektrisanja i beskonačno male površine na kojoj je
to naelektrisanje rasporedjeno, tj.
dS
dqS q/m2
Ako se posmatra električno polje u okolini ove ravne u nekoj
tački A , mogu se uočiti dva tačkasta naelektrisanje q koja
pripadaju ravni . Ona su simetrično rasporedjena u odnosu na
tačku A u odnosu na normalu na površinu koja prolazi kroz
tačku A. Vektorskim sabiranje vektora električnih polja u tački A
koja potiču od ovih naelektrisanja dobija se rezultujući vektor
q
q A
dS
koji je u pravcu normale na površinu koja prolazi kroz tačku A. Ovo važi za sve tačkeoko ove
ravne površine i sa jedne i sa druge strane površine, pošto je ravan beskonačna.
Pošto površina i naelektrisanje
raspoređeno po njoj imaju ravansku
simetriju i Gausova površina mora
imati istu simetriju. Ona se bira u
obliku cilindra koji prolazi kroz ravan i
čija je osa normalna na ravan kao na
slici . Taj cilindar može imati kružni i četvorougaoni poprečan presek ili
nekog nepravilnog oblika. Cilindar ima dužinu L I poprečni presek S i
ravan ga deli simetrično na dva jednaka dela.
Ako izaberemo površinu u obliku cilindra kružnog
poprečnog preseka površine S, kao na slici , on će
obuhvatiti količinu naelektrisanja jednaku
qobuhvaćeno =S·S
Ova zatvorena površina može da se podeli na tri dela , na
površinu omotača Som i na na dve površine osnove S.
Ako uočimo beskonačno malu površinu dS na površini
omotača njen vektor Sd
koji je normalan na površinu
omotača je normalan i na vektor električnog polja E
, pa je njihov skalarni poizvod 0 SdE
Ako se uoči mala površina dS na površini bilo koje osnove ,
njen vektor Sd
koji je normalan na površinu osnove , pa je
paralelan vektoru električnog polja na toj površini E
, pa je
njihov skalarni poizvod za slučaj na slici dSESdE
. Sa
druge strane u svim tačkama osnova cilindra jačina
električnog polja je jednaka, jer su sve tačke osnova cilindra
na istom rastojanju od naelektrisane ravne površine L/2.
Ako se na ovu zatvorenu cilindričnu površinu ukupne površine
SC primeni Gausov zakon. ,dobija se
00
obuhvaćbuh
0
2222
SqSEdSEdSESdESdEd S
SS SSS omC
pa je
S
S
S S0m
L/2
02
SE
Odavde se dobija da je polje ravnomerno naelektrisane
beskonačne ravne površine jednako 02
S i ne zavisi od
rastojanja od površine .
Sa različitih strana ravni polje ima suprotan smer .
Takodje kao i uvek ako je ravan naelektrisana
pozitivnom količinom naelektrisana vektori električnog
polja su orijentisan od površine, a kada je naelektrisanje
površine negativno, vektori električnog polja su
orijentisani ka površini.
Grafik zavisnosti intenziteta polja od
normalnog rastojanja x tačke od ravni
duž x-ose je prikazano na slici za slučaj
pozitivnog I negativnog naelektrisanja
q0
q0
q0 q0
4) Polje beskonačnog ravnomerno površinski naelektrisanog cilindra kružnog preseka
poluprečnika poprečnog preseka R
Ovako raspoređeno naelektrisanje je osno
simetrično, a pošto je ovaj cilindar beskonačan i
njegovo ukupno naelektrisanje q je tada
beskonačno uvodi se njegova karakteristika
podužno naelekrisanje tj. naelektrisanje po jedinici
dužine q.
Ako se uoči deo cilindra beskonaćno male dušine
d , koji je naelektrisan beskonačno malom
količinom naelektrisanja dq tada je podužno
naelektrisanje jednako odnosu ovog beskonačno
malog naelektrisanja i ove beskonačno male
dužine tj.
d
dqq , jedinica je C/m
Zbog osne simetrije električno polje
je radijalno rasporedjeno oko ose
cilindra i normalno na osu cilindra.
Gausova površina se bira takodje u
obliku cilindra kružnog poprečnog
preseka i dužine .
Razmatraju se dve Gausove površine, tj. dva cilindra.
Prvi je upisan u naelektrisani cilindar i njegov poluprečnik poprečnog preseka je rR.
Obuhvaćeno naelektrisanje ovim cilindrom je q=0.
Drugi je cilindar koji ima istu osu i obuhvata deo naelektrisanog cilindra i ima poluprečnik rR
Kako je dužina ovog cilindra jednaka , to je naelektrisanje koje on obuhvata jednako
qqobuhvaćbuh .
Oba ova cilindra sastoje se od površine omotača Som i površine osnova cilindra S.
Na omotaču cilindra je vektor električnog polja ne nekoj elementarnoj površini dS paralelan
vektoru te elementarne površine Sd
, pa je u slučaju pozitivnog naelektrisanja njihov skalarni
proizvod dSESdE
.
Na površinama osnova je vektor vector električnog polja ne nekoj elementarnoj površini dS
normalan na vektor te elementarne površine Sd
, pa je skalarni proizvod 0 SdE
.
Sa druge strane u svom tačkama omotača cilindra pošto su na istom rastojanju od ose cilindra
jačina električnog polja je jednaka.
Kada se ovi zaključci primene kod izvodjenja intenziteta polja preko Gausovog zakona za
upisani cilindar sa poluprečnikom poprečnog preseka rR, dobija se
022
omotačm površina
0
rEdSEdSESdESdEdSS SSS omomC
,
pa je E=0 za r rR,
tj jačina polja unutar površinski naelektrisanog cilindra je 0 jer je I obuhvaćeno naelektrisanje
q=0
Ako se posmatra poluprečnik cilindrične Gausove
površine poluprečnika rR, dobija se
00
obuhvaćbuh
omotačm površina
0
22
rEdSEdSESdESdEdSS SSS omomC
Pa je r
qE
02
Intenzitet polja opada sa rastojanjem od ose cilindra.
Grafik zavisnosti električnog polja E beskonačnog ravnomerno
naelektrisanog cilindra u zavisnosti od rastojanja r je
predstavljen na slici.
Na sličan način bi se odredilo I električno polje u okolini
naelektrisane žice, jer ona predstvlja uzak cilindar
5) Odredjivanje električnog potencijala na površini naelektrisane sfere.
Potencijal naelektrisane sfere u nekoj tački A na površini sfere se odredjuje po definici ,
integraljenjem skalarnog proizvoda
dE po bilo kojoj putanji od tačke A na površini do
referentne tačke R u beskonačnosti. Putanja je izabrana da ima pravac duži koja spaja centar
sfere i tačku A. Na toj putanji vektori E
i d su kolinearni .
R
q
r
q
r
drqdr
r
q
drEdEdE
A
r
Rr
r
Rr
r
Rr
r
Rr
R
A
R
A
A
ref
0
0
2
0
2
0
4
1
444
cos
R
1/r
A
R +
+ +
+
+
+
r
