POMORSKI FAKULTET U SPLITU

Zavod za brodostrojarstvo

TEHNIKA MEHANIKA II

dr. sc. Zlatan Kulenovi, red. prof.

mr.ore Dobrota

Oujak, 2014.

LITERATURA

OBVEZNA:

Kulenovi, Z., Mehanika krutih tijela, Odjel za studij mora i pomorstva Sveuilita u Splitu, Split 2002.

Jeci, S., Mehanika II, Tehnika knjiga, Zagreb 1989.

Peornik, M., Tehnika mehanika fluida, kolska knjiga, Zagreb, 1989.

DOPUNSKA:

Hannah, J., Hillier, M.J., Applied Mechanics, Longman, 1998.

Evett, J.B., Liu, C., 2500 solved problems in Fluid Mechanics And Hydraulics, , Mc Graw-Hill, Inc., 1989.

UVJETI POLAGANJA ISPITA

1. Poloen ispit iz Tehnike mehanike I.

2. Poloena II kolokvija ili pismeni ispit.

3. Usmeni ispit.

I Kolokvij: Dinamika i hidrostatika

II Kolokvij: Hidrodinamika

UVOD

MEHANIKA

Mehanika je najstarija i najvea od osnovnih grana fizike. Jednu od najkraih definicija mehanike dao je kotski graevinski inenjer, fiziar, matematiar W.J.M.Rankine (1820-1872) koja glasi:" Mehanika je znanost o mirovanju, gibanju i silama".

Podjela mehanike se moe provesti na vie naina i to: - prema stanju gibanja na statiku i dinamiku;

- prema svojstvima tijela na: mehaniku krutih tijela, mehaniku

vrstih tijela i mehaniku fluida; - prema metodama na: eksperimentalnu mehaniku, numeriku mehaniku, analitiku mehaniku, grafoskopsku itd.; - prema primjeni na: teoriju vibracija, teoriju mehanizama,

mehaniku leta, dinamiku strojeva i sustava, nebesku

mehaniku, mehaniku tla i stijena, mehaniku loma itd.

Kada se kod mehanike proces analize koristi za prouavanje gibanja, vremena i sile, ona se dijeli dva dijela i to: statiku i

dinamiku. Dinamika se dijeli na kinematiku i kinetiku.

Podjela mehanike prema stanju gibanja

Mehanika

Statika Dinamika

Kinematika Kinetika

U statici se analizira stacionarni sustav, tj. sustav kod kojeg vrijeme nije faktor.

S druge strane dinamika analizira nestacionarne sustave, tj. sustave koji mijenjaju svoj poloaj s obzirom na vrijeme.

Kinematika se bavi prouavanjem gibanja tijela ne uzimajui u obzir sile pod ijim se djelovanjem to gibanje zbiva. Tonije, kinematika je grana dinamika koja se bavi prouavanjem pomaka, brzina i ubrzanja.

S druge strane kinetika je grana dinamike koja se bavi prouavanjem gibanja i meusobni odnos gibanja i sila koje uzrokuje to gibanje. Vrlo esto se u praksi kinetika analiza odnosi na dinamiku analizu iz razloga to je kinetika analiza mora biti zasnovana na vrlo dobrom poznavanju kinematike sustava.

DINAMIKA Povijest Dinamike

Galileo Galilei (1564-1642)- talijanski matematiar, fiziar, astronom i filozof. Jedan od prvih glavnih znanstvenika u ovom

podruju. Izradio opservacije u svezi slobodnog pada tijela, gibanja tijela na kosoj plohi i gibanja njihala.

Isaac Newton, (1643-1728) engleski fiziar, matematiar i astronom. Jedan od najveih prirodnih znanstvenika u povijesti. Dao je najznaajniji doprinos u dinamici. Formulirao tri temeljna zakona gibanja i univerzalni zakon gravitacijskog privlaenja.

Nakon Newtona, vane doprinose u dinamici dali su Euler, DAlambert, Lagrange, Coriolis i dr.

PRIMJENA DINAMIKE

Postoje mnogi problemi u inenjerstvu ije rjeenje zahtijeva primjenu principa dinamike.

Principi dinamike osnova su analize i dizajna svake gibajue strukture kao to su:

-fiksne konstrukcije izloene djelovanju naglim optereenjima (posljedice vibracije);

-rakete, projektili, sateliti i svemirski brodovi,

-kopnena, vodena i zrana transportna sredstva,

-robotiki ureaji,

-strojevi kao to su turbine, pumpe, motori s unutranjim izgaranjem, alatni strojevi i dr.

Dananji i budui brzi razvoj tehnologije zahtijeva i zahtijevati e poveanu primjenu principa mehanike, posebno dinamike.

Studenti s interesima iz jednog ili vie od ovih podruja e konstantno imati potrebu primjenjivati principe dinamike.

OSNOVNI KONCEPTI DINAMIKE

Prostor je geometrijsko podruje zauzeto od strane tijela.

Poloaj u prostoru odreen je relativno u odnosu na neki geometrijski referentni sustav pomou linearnog ili kutnog mjerenja.

Vrijeme je mjera slijeda dogaaja i razmatra se kao apsolutna veliina.

Referentni sustav (koordinatni sustav) sastoji se od prostora i sata za mjerenje vremena.

Referentni sustav mora biti takav da relativni poloaj bilo koje dvije proizvoljne toke u njemu ostaje isti. Iz toga slijedi kako udaljenost bilo koje dvije toke u referentnom sustavu mora ostati nepromjenjena.

Referentni sustav naziva se fiksni ili apsolutni ukoliko svako toka u sustavu je u apsolutnom mirovanju.

Nemogue je odrediti fiksni referentni sustav u svemiru. Naprimjer, kod prorauna putanje rakete ili svemirskog leta apsolutno gibanje zemlje postaje vaan parametar.

Za inenjerske probleme koje ukljuuju strojeve i strukture koji su na povrini zemlje, apsoulutno gibanje zemlje se zanemaruje. Stoga se kod tih problema zakoni mehanike

mogu primjenjivati direktno s mjerenjima izvrenim relativno u odnosu na zemlju i u praktinom smislu takva mjerenja smatraju se apsolutnim.

Masa je kvantitativna veliina inercije ili otpora promjeni gibanja. Masa se takoer moe razmatrati kao koliina materije u tijelu kao i svojstvo koje poveava gravitacijsko privlaenje.

Sila je vektor djelovanja jednog tijela na drugo.

Tijelo je odreena masa, kontinuirano raspodijeljena unutar volumena V obuhvaena na povrini A. Razliite idealizacije tijela ukljuuju standardnu nomenklaturu i razliite posljedice. One su: estice, sustav estica, kruto tijelo, deformabilno tijelo i fluid.

estica je tijelo zanemarive dimenzije. Kada dimenzije tijela nisu bitne za opis njegovog gibanja ili djelovanja sila na njega, tijelo se moe tretirati kao estica. Tako npr., zrakoplov ili automobil mogu se tretirati kao estice koncentirane mase pri opisu njihovih gibanja. Stoga, tijelo predstavlja esticu ukoliko je njegova dimenzija mala usporeujui s kordinatama koje opisuju gibanje.

Sustav estica-Kada su dva ili vie tijela prikazana esticama i kada djeluju zajedno kao sustav. Sustav estica je idealizacija niza toaka mase.

Kruto tijelo je tijelo ija promjena oblika je zanemariva usporeujui je s ukupnim dimenzijama tijela ili s promjenama poloaja tijela u cjelini. Drugim rjeima, kruto tijelo je tijelo kod kojeg je udaljenost izmeu dviju proizvoljnjih toaka nepromijenjiva.

Kada se dimenzije, linearne ili kutne, tijela mjenjaju tijekom analize, tijelo se modelira kao deformabilno tijelo.

Materija koja se deformira pod djelovanjem sminog naprezanja, ma koliko bilo malo, naziva se fluid. Proces kontinuirane deformacije naziva se protok. Stoga, fluid mora protjecati kad je pod djelovanjem sminog naprezanja. U odsustvu sminog naprezanja fluid se ponaa kao statina masa ili kao kruto tijelo u gibanju.

Sila je vektor djelovanja jednog tijela na drugo.

Vektori i skalari su veliine i njihova razlika mora bit jasna. Veliina koja je potpuno odreena magnitudom i jedinicom naziva se skalar ili skalarna veliina (npr. 2 kg mase ili 10 m/s brzine). Vektorska veliina su one koje su potpuno odreene s jedinicama, smjerom i znaenjem ( npr. sila od 20 N koje djeluje vertikalno prema gore ili brzina od 2 m/s koje djeluje u smjeru tangente putanje).

Dinamika ukljuuje esto koritenje vremenskih derivacija vektora i skalara.

NEWTONOVI ZAKONI (AKSIOMI) MEHANIKE

I Zakon (Zakon inercije-tromosti): Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok vanjske sile ne uzrokuju promjenu tog stanja.

II Zakon: Ubrzanje estice je proporcionalno rezultantnoj sili koja djeluje na nju i ima isti smjer kao i ta sila.

Vremenska promjena koliine gibanja (mv) estice (tijela), jednaka je zbroju svih sila, F, koje djeluju na esticu (tijelo).

F= v= adm m

dt

F=0 v= .const

III Zakon (Zakon akcije i reakcije): Ako jedno tijelo djeluje silom na drugo, tada i to drugo tijelo djeluje silom na ono prvo.

Te dvije sile jednakog su iznosa, suprotnog smjera i lee na istom pravcu. Sile su meudjelovanje dvaju tijela, i zato se uvijek javljaju u paru; jednu od njih, naje e proizvoljno, nazivamo akcijom, a drugu reakcijom.

Ako estica (tijelo) A djeluje na esticu (tijelo) B silom FAB, tada i estica (tijelo) B djeluje na esticu (tijelo) A silom FBA, istog iznosa, a suprotnog smjera.

F =-FAB BA

Prva dva zakona dobivaju se mjerenjem u apsolutnom referentnom okviru, ali su predmet odreenih ispravaka (korekcija) kada se gibanje mjeri relativno u odnosu na

referentni okvir koji ima ubrzanje, kao takav koji je prikaen na povrini zemlje.

Newtonov prvi zakon je posljedica drugog zakona, poto nema ubrzanja kada je sila jednaka nuli.

Trei zakon konstituira zakon akcije i reakcije,a to se razmatralo u statici.

JEDINICE

etiri su osnovne veliine u mehanici, a njhove SI jedinice i simboli prikazani su u sljedeoj tablici:

VELIINA SIMBOL JEDINICA SIMBOL

Masa M kilogram kg

Duljina L metar m

Vrijeme T sekunda s

Sila F Newton N

NEWTONOV II ZAKON (AKSIOM) GIBANJA

Ukoliko je masa m estica ( sustava), predmet djelovanja rezultante sile F, Newtonov II zakon moe se napisati u obliku:

gdje je a rezultanto ubrzanje mjereno u referentnom sustavu koji je se ne

ubrzava.

GORNJA JEDNABA KOJA SE ODNOSI NA JEDNADBU GIBANJA JE JEDNA OD NAJVANIJIH FORMULACIJA U MEHANICI.

Drugi Newtonov aksiom se smatra denicijskom jednadbom za pojam sile iz koje slijedi dimenzija sile:

F= v= v v = a =0d d d dm m m m uz m

dt dt dt dt

2

2 2

2

F =

kg mN=

s

d x M Lm

dt T

NEWTONOV ZAKON GRAVITACIJSKOG PRIVLAENJA

estice (tijela) jedna na drugu djeluju privlanom (gravitacijskom) silom:

F-sila privlaenja izmeu dviju estica, N,

Gk-univerzalna konstanta gravitacije, G=6,673 10-11m3/(kgs2),

m1, m2- masa svake od dviju estica, kg,

r-udaljenost izmeu centara dviju masa, m.

1 2

2= k

m mF G

r

Ukoliko se estica (tijelo) nalazi na ili blizu povrine zemlje, jedina gravitacijska sila koja ima znaajnu magnitudu je ona izmeu estice i zemlje. Ta se sila naziva teina i oznaava se kao G.

Za izraun teine G estice (tijela) mase m1=m, uz m2=Mz (mase zemlje), udaljenosti r izmeu centra zemlje i estice, te ukoliko je g=GkMz/r

2=9,81 m/s2, tada slijedi izraz:

gdje je g ubrzanje zbog gravitacije.

NG m g

INERCIJSKI REFERENTNI SUSTAV

Kada se se koristi jednaba gibanja, vano je da se ubrzanje estice (tijela) mjeri u odnosu na referentni sustav koji miruje ili se giba konstantnom brzinom. Takav sustav naziva se inercijski

ili Newtonov referentni sustav.

Kada se izuava gibanje raketa ili satelita opravdano je koristiti

inercijski referentni sustav ksiran uz zvijezde stajaice.

Kada se razmatraju dinamiki problemi u svezi gibanja na ili u blizini

zemljine povrine, tada se pretpostavlja kako je inercijski

referentni sustav fiksiran na zemlju.

Iako se zemlja vrti oko svoje osi i oko sunca, ubrzanja koje izaziva ta

rotacija su relativno mala i tako se

mogu u mnogim primjenama

zanemariti.

Svi referentni sustavi u kojima vrijedi drugi Newtonov aksiom se zovu inercijski sustavi.

Svaki sustav koji se giba konstantnom brzinom u odnosu na neki inercijski sustav, i sam je inercijski.

Svi sustavi koji nisu inercijski, su neinercijski.

Primjer neinercijskog sustava je i sama Zemlja. U odnosu na sustav zvijezda stajaica, Zemlja se ne giba konstantnom brzinom: ona se vrti oko svoje osi, giba se po eliptinoj putanji oko Sunca i zajedno sa cijelim sunevim sustavom se giba oko sredita nae galaksije.

ZADACI DINAMIKE

Zadatke dinamike ovisno o poznatim i nepoznatim veliinama dijelimo na direktne i indirektne.

Kod direktnim zadataka poznata su ubrzanja ili ih moemo odrediti iz drugih poznatih kinematikih veliina. Potrebno je odrediti rezultantnu silu koja djeluje na esticu (tijelo) direktnim uvrtavanjem ubrzanja u jednabu gibanja.

Kod indirektnih zadataka sile su poznate, a potrebno je odrediti gibanje koje su sile prouzroile. U sluaju konstantnih sila i/ili sila ovisnih o vremenu, problemi se rjeavaju integriranjem. Meutim, ukoliko su sile u funkciji pomaka i/ili brzine, problem se svodi na rjeavanje odgovarajuih diferencijalnih jednabi.

DINAMIKA ESTICE

estica je idealizacija tromog tijela dimenzija koje su obzirom na geometriju gibanja zanemariva.

Predmet kinetike analize estice je izuavanja odnosa sustava sila koje djeluju na esticu i gibanja koja on izaziva.

Tri su opa pristupa rjeavanju kinetikih problema:

I) Direktna primjena drugog Newtonovog zakona (jednadba gibanja) ili metoda sila-masa-ubrzanje.

II) Primjena jednadbe rada i energije i principa ouvanja energije.

III)Primjena postupaka temeljenih na jednadbama impulsa i koliine gibanja.

Dodatno, kinetike probleme mogue je rijeiti primjenom principa analitike mehanike.

Ukoliko se estica ograniena gibanjem u ravnini, tada se koriste samo prva dva izraza za odreivanje gibanja.

Plan (dijagram) slobodnog tijela

U primjeni drugog Newtonovog zakona apsolutno je potrebno obuhvatiti sve sile koje djeluju na promatranu esticu.

Mogu se zanemariti jedino sile koje djeluju na promatranu esticu zanemarivog malog iznosa.

Pouzdan nain obuhvaanja svih sila je izolacija promatrane estice od svih tijela s kojima je u kontaktu i koja na nju utjeu.

Dobiveni plan slobodnog tijela (eng. free body diagram) prikazuje sve poznate i nepoznate sile koje djeluju na esticu.

Plan slobodnog tijela i njegovo dobivanje postupkom oslobaanja od veza slui istoj onoj svrsi kojoj je sluilo i u statici.

Pretpostavimo esticu mase m koje je predmet djelovanja dviju sila F1 i F2.

Na osnovu magnitude i smjera svake sile na esticu moe se za esticu nacrtati dijagram slobodnog tijela. Poto je rezultanta tih sila daje vektor ma, njegova magnituda i smjer

smjer grafiki se moe prikazati kinetikim dijagramom.

Znak jednako izmeu dijagrama oznaava grafiku jednakost izmeu dijagrama, tj.:

F a m

DAlambertov princip

Inercijska sila prikazuje se preko svojih komponenata u nekom

od koordinatnih sustava. Takve su komponente uvijek suprotne

odgovarajuim ubrzanjima.

Ako je to prirodni koordinatni sustav, to su tangencijalna i

normalna komponenta inercijske sile. Uobiajeno je da normalna komponenta suprotno usmjerena od normalnog ili centripetalnog

ubrzanja nosi naziv centrifugalna sila. Njena je veliina: 2

inN N

vF m a m

R

Pravocrtno gibanje estice

Takvo gibanje izvodi estica ija je putanja pravac (slika1-1). Ako se ishodite vektora poloaja odabere u jednoj toki putanje, tada se vektori r, v i a, poklapaju s putanjom, pa

vektorsko opisivanje nije potrebno.

Pravocrtno gibanje estice.

Vektorska jednadba gibanja u pravokutnom koordinatnom sustavu u skalarnom obliku du koordinatnih osi glasi:

gdje su ubrzanje i rezultanta sila dana kao:

x x

x y

z z

F m a

F m a

F m a

2 2 2

2 2 2

x y z

x y z

F F F F

a a a a

Postupak za analizu:

Kada se kod problema zahtijeva odreivanje brzine neophodno je primijeniti kinematike jednadbe nakon to se iz jednadbe gibanja ili dinamike ravnotee odredi ubrzanje.

Ukoliko je ubrzanje funkcija vremena koriste se sljedei izrazi:

iz kojih se nakon integriranja moe odrediti brzina i poloaj

Ukoliko je ubrzanje funkcija pomaka podesno je koristiti:

iz kojeg se nakon integriranja moe odrediti brzina.

dva

dt

dsv

dt

v dv a ds

Ukoliko je ubrzanje konstantno (konstantna sila) koriste se sljedei izrazi za odreivanje brzine ili poloaja estice:

Ukoliko rjeenjem nepoznate komponente vektora daje negativni sklarar, to pokazuje kako komponente djeluje u

suprotnom smjeru nego to se pretpostavilo.

0

2

0 0

2 2

0 0

1

2

2 ( )

v v a t

s s v t a t

v v a s s

PRIMJER 1

Teret teine G vue horizontala sila F uz hrapavu kosinu nagiba (slika 1-2). Odredi ubrzanje uz kosinu ako je koeficijent trenja klizanja izmeu tereta i podloge . Zadatak je potrebno rijeiti:

a) primjenom II Newtonovog zakona,

b) primjenom DAlembertov principa.

Zadano: m=1000 kg, F=9 kN, =30, =15, =0,1

F

m

Poloajna skica uz primjer 1

F

T

N

G

a

.

Fx

Fyy

x

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 1

a)

Jednadbe gibanja:

F

T

N

G

a

.

Fx

Fyy

x

: cos sin

: sin cos

x x x

y y y

F m a F m g T m a

F m a N F m g m a

b) DAlembertov princip

Jednadbe dinamike ravnotee:

F

T

N

G

a

.

Fx

Fyy

x

Fin

0 : cos sin 0

0 : sin cos 0

i in

i

X F m g F T

Y N F m g

PRIMJER 2

Model novog broda ima masu od 10 kg i ispituje se u bazenu radi

odreivanja otpora gibanja u vodi pri razliitim brzinama. Rezultati ispitivanja prikazani su u dijagramu na slici 1-5, iz

kojeg se vidi kako se sila otpora R moe aproksimirati parabolom. Pri brzini broda od od 2 m/s modele se oslobaa. Odredi vrijeme t potrebno za smanjivanje brzine na 1 m/s i

odgovarajui prijeeni put x.

Zadano: m=10 kg, v0=2 m/s, v=1 m/s.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0,5 1 1,5 2

R (

N)

v (m/s)

R=kv2

Jednadba gibanja u pravcu osi x :

x

R

G

Fu

v0 v

xO

:x x xF m a R m a

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 2

KRIVOCRTNO GIBANJE ESTICE

U analizi krivocrtnog gibanja, pravilan izbor koordinatnog sustava je od velike praktine vanosti. Izborom koordinatnog sustava moemo utjecati na samu sloenost gibanja.

Prirodni koordinatni sustav

Kada problem ukljuuje gibanje estice uzdu poznate zakrivljene krivulje moraju se kod analize

razmatrati normalne i tangencijalne koordinate, a

radi formuliranja komponenti ubrzanja.

Sile koje djeluju na esticu, kao i njihova ubrzanja, mogu se prikazati u odnosu na njihove

tangencijalne i normalne komponente primjenom

jednadbe gibanja (II Newtonov zakon) kao:

2 2

0

T T

N N

z z

F m a m v m s

v sF m a m m

R R

F m a

Postupak za analizu

2 2

0

T T

N N

z z

F m a m v m s

v sF m a m m

R R

F m a

T

dva v

ds

Pozitivan smjer osi T bira se proizvoljno,

dok je pozitivan smjer osi N onaj koji gleda

prema sreditu zakrivljenosti C putanje s polumjerom zakrivljenosti R.

Suma sila Fz je jednaka nuli iz razloga to je u binormalnom smjeru estica ograniena gibanjem uzdu putanje

Rezultanta sila i

ubrzanje koje djeluje

na esticu moe se izraunati pomou izraza:

2 2 2

2 2 2

N T Z

N T Z

F F F F

a a a a

PRIMJER 3

Kuglica teine 60 kg sputa se preko krune staze radijusa r (polumjer zakrivljenosti R). Ukoliko kugla zapoinje sputanje iz stanja mirovanja kada je kut =0, odredi magnitudu normalne reakcije podloge kada je kut =60.

Zadano: m=60 kg, r=4 m, =60.

O

m r

Poloajna skica uz primjer 3

Plan slobodnog tijela.

Primjenom jednadbe gibanja (II Newtonov zakon) dobije se sljedei sustav jednadbi:

m

N

G

N

T

aN

aT

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 3

O

m r

2

: cos

: sin

T T T

N N N

F m a m g m a

vF m a N m g m a m

R

Polarni koordinatni sustav

Polarni koordinatni sustav podesno je koristiti za analizu problema kod kojeg su zadani podaci koji se odnose na

kutno gibanje radijalne linije r. Kada se gibanje prikazuje u

polarnom koordinatnom sustav u kojem je poloaj estice odreen koordinatama r i , rezultanta sila ima dvije komponente Fr i F.

Krivocrtno gibanje estice u polarnim koordinatama

Radijalna os r uvijek je usmjerena od

ishodita O prema estici. Cirkularna os okomita je na radijalnu os, a usmjerena je u

smislu pozitivnog poveanja kuta

r

F

FrF

ara

r

xO

putanja

m

Jednadbe gibanja u tom sustavu glase:

Rezultanta sila i ubrzanje koje djeluje na esticu moe se izraunati pomou izraza:

2( )

( 2 )

r r

Z Z

F m a m r r

F m a m r r

F m a m z

2 2 2

2 2 2

r Z

r Z

F F F F

a a a a

Postupak za analizu:

Kinematike veliine:

-kutna brzina

d

dt

2

2

d

dt

- kutno ubrzanje

2( )

( 2 )

r r

Z Z

F m a m r r

F m a m r r

F m a m z

PRIMJER 4

Blok B, mase 100 g klizi uzdu rotirajue ipke OA. Koeficijent trenja klizanja izmeu bloka i ipke je =0,2. Za poloaj prikazan na slici, poznata je brzina bloka, te kutna brzina i

kutno ubrzanje ipke. Potrebno je odrediti ubrzanje bloka relativno u odnosu na ipku OA.

Zadano: m=100 g, r =0,4 m, =40, ,

i =0,2.

23 rad/s 5 rad/s

B

r

O

B

m

Poloajna skica sustava u primjeru 4.

Plan slobodnog tijela

Primjenom jednadbe gibanja (II Newtonov zakon) dobije se sljedei sustav jednadbi:

NT

G

ar

a r

B

r

O

B

m

Plan slobodnog tijela u primjeru 4

2: sin ( )

: cos ( 2 )

r rF m a m g T m r r

F m a N m g m r r

PRIMJER 5

Projektil mase 10 kg je vertikalno ispaljen s poetnom brzinom od 50 m/s. Odrediti maksimalnu visinu koju e dosei ukoliko:

a) se otpor zraka zanemari,

a) je otpor zraka izmjeren kao FT=0,01v2.

Poznato: m=10 kg, v0=50 m/s, h0=0.

a) b)

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 4 Poloajna skica u primjeru 4

h

m

v0

v

F

FT

z

a

RAD I SNAGA

Rad sile W karakterizira djelovanje sile F na esticu u gibanju.

SILA F INI RAD W NA ESTICU JEDINO AKO SE ESTICA POMJERA U SMJERU SILE.

Na esticu m koja se giba po putanji s djeluje sila F. Vektor poloaja oznaen je s r i mjeren je s obzirom na ishodite O u vremenu t. Ukoliko sila F uzrokuje gibanje estice uzdu putanje s iz poloaja r u novi poloaj r' u vremenu dt, pomak je dr= r' - r.

Elementarni rad sile F koja djeluje na esticu pri njenom elementarnom

pomaku dr na putanji s, definira se kao skalarni produkt tih vektora, tj

F dr= cosdW F dr

gdje je kut izmeu pomaka dr i sile F.

Kako je dsdr (ds je magnituda dr) pomak u pravcu tangente T i FT=F cos tangencijalna komponenta sile, slijedi:

F dr= cos TdW F dr F ds

Ukoliko je 0

Rad sile W na nekom putu od poloaja 1 do poloaja 2 estice na putanji, dobiva se integriranjem izraza:

Ponekad se odnos u gornjem izrazu moe dobiti koristei eksperimentalne podatke za crtanje grafa FT=F cos u ovisnosti o pomaka s. Tada povrina ispod tog grafa, omeena sa s1 i s2 predstavlja ukupni rad.

2 2 2

1 1 1

cos TW dW F ds F ds

Jedinica rada u SI sustavu je dul=[J=Nm]

Za pravocrtno translacijsko gibanje estice, rad sile (djeluje u pravcu gibanja) je:

Ukoliko je sila F konstanta (ima konstantnu magnitudu i djeluje pod konstantnim kutom ) tada vrijedi:

2 2

1 1

W dW Fds

2 2

2 1

1 1

cos cos ( ) cosW dW F dx F x x F s

s

12

F

dx

x

y

Analogno, pri rotacijskom gibanju estice oko toke O, rad momenta sile (sila djeluje tangencijalno na krunu putanju) odnosno sprega sila jednakog momenta M je:

Ako je moment M konstantan, vrijedi:

gdje je kut rotacije u rad.

2 2 2 2

1 1 1 1

W dW Fds Frd Md

W M

Rad estice teine G -Ukoliko se estica mase m giba (u blizini povrine zemlje) prema gore po putanji s od poloaja 1 do poloaja 2, tada je rad teine G jednak:

Ukoliko se estica giba u blizini povrine zemlje, rad je neovisan o putanji i jednak je magnitudi umnoka teine estice put i vertikalnog pomaka.

Kada se estica giba prema gore, (y2-y1)>0, rad je negativan.

Kada se estica giba prema dole, (y2-y1)

Rad sile opruge Idealna opruga ima zanemarivu teinu i njena deformacija (produljenje ili skraenje) je proporcionalna sili koja je uzrokuje. Proporcionalnost izmeu sile i promjene duljine opruge se izraava kao:

Ukoliko se elastina opruga produlji za udaljenost dx, rad elastine sile opruge koja djeluje na esticu je prema definiciji rada:

eF c x gdje je:

Fe-elastina sila, N, c-krutost opruge, N/m,

x-promjena duljine opruge, m

2 2 2 22 2 2

2 1

11 1

1 1( )

2 2 2e

xW F dx cxdx c c x x cs

Isti izraz vrijedi i za skraivanje opruge. Rad sile opruge je uvijek negativan.

PRIMJER 6

Blok mase 10 kg stoji na glatkoj kosini. Ukoliko je opruga, krutosti c=30 N/m, poetno rastegnuta 0,5 m, odredi ukupni rad svih sila koje djeluju na blok kada horizontalna sila F gurne blok

u ravnini prema gore za s=2 m.

Poznato: m=10 kg, c=30 N/m, s1=0,5 m, s2=2 m, =30.

s

1

2

F

c

30

m

y

x

Poloajna skica sustava u primjeru 6.

F

Fe

G

N30

s

Plan slobodnog tijela u primjeru 6.

Rad horizontalne sile:

Rad elastine sile opruge:

Rad teine W3

Rad normalne sile: Ova sila ne vri rad jer je uvijek okomita na pomak.

1 cos 400cos30 2 692,82 JW F s

2 2 2

1 1 1

2

1

2

22 2

2 1

2 2

1( )

2 2

130 (2,5 0,5 ) 90 J

2

s s s

e e

s s s

s

s

W F ds F ds c sds

sc c s s

3 2 1( ) 10 9,81(2sin30 0) 98,1 JW G y m g y y

F

Fe

G

N30

s

s

1

2

F

c

30

m

y

x

Ukupni rad:

F

Fe

G

N30

s

1 2 3 692,92 90 98,1 504,82 JukW W W W

SNAGA

Snaga sile P je brzina kojom sila obavlja rad. To je skalarna veliina koja iznosi:

Odavde se vidi kako je snaga jednaka skalarnom umnoku sile i brzine.

Snaga je u SI sustavu izraena preko osnovnih veliina ima jedinicu:

Dakle, sposobnost, npr. stroja, da isporui odreenu koliinu rada u zadanom vremenskom intervalu zove se snaga.

coscos T

dW F dsP F v F v

dt dt

vat W=J/s

Pri radu nastaju gubici. Omjer korisne (dobivene) snage PK i uloene snage PU naziva se iskoristivost (eng. efficiency):

1 K

U

P

P

PRIMJER 7

Dizalica podigne teret mase 1000 kg na visinu 10 m za 1min jednolikom brzinom (slika 1-19). Dovedena snaga od motora

do dizalice (ukupna snaga PU ) iznosi 2,5 kW. Odredite

stupanj iskoristivosti dizalice. elino ue klie preko glatke koloture.

Poznato: m= 1000 kg, h=10m, t=60 s, PU =2,5 kW.

h

v

m

Poloajna skica sustava u primjeru 7.

S

G

x

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 7.

Iz plana slobodnog tijela sustava za jednoliku brzinu, sile su u statikoj ravnotei tako da je:

0 : 0

1000 9,81 9810 N

yF S G

S G m g

S

G

x

Uz h=s=10 m i t=60 s, korisna snaga je:

cos cos 9810 1 0,167 1635 WKs

P S v St

Iskoristivost dizalice je:

16350,654

2500

K

U

P

P

PRIMJER 8:

Elektromotor povlai teret mase 50 kg uz kosinu nagiba =30 konstantnom brzinom (v= konst., a=0). Instrumenti pokazuju trenutnu

snagu koju elektromotor vue iz elektrine mree od 1 kW. Iskoristivost elektromotora i vitla je =0,98, Promjer bubnja vitla je d=0,5 m, a broj okretaja n=60 min-1. Odredi koeficijent trenja klizanja i kojom napetou ueta S elektromotor povlai teret m. Ue klie preko glatke koloture. Ukoliko se snaga motora iznenadno povea na 1,5 kW, koje je odgovarajue trenutno ubrzanje.

Poznato: m=50 kg, PU=1 kW, n=60 min-1, =0,98 d=0,5 m.

m

Poloajna skica sustava u primjeru 8.

T

N

G

v=konst.

.

S

y

x

Plan slobodnog tijela sustavu primjeru 8.

Iz plana slobodnog tijela sustava, za jednoliku brzinu (v= konst., a=0), sile su u statikoj ravnotei tako da je:

Iz jednadbe ravnotee, normalna reakcija podloge N je:

Sila trenja je:

Sila u uetu moe se izraunati iz snage. Prethodno je potrebno izraunati kutnu brzinu na osnovu koje se moe dobiti brzina povlaenja tereta.

0 : sin 0

0 : cos 0

x

y

F S m g T

F N mg

cos 50 9,81 0,866 424,77 NN mg

T N

T

N

G

v=konst.

.

S

y

x

KINETIKA I POTENCIJALNA ENERGIJA

Mehanika energija je sposobnost estice ili tijela da obavi rad.

Njena su dva osnovna oblika: kinetika i potencijalna energija.

Elementarni rad sile moe se izraziti kao:

gdje je Ek kinetika energija:

2

cos ( )2

T T

k

dv mvdW F ds F ds m a ds m ds m vdv d

dt

dW dE

Kinetika energija je energija gibanja i predstavlja skalarnu veliinu s jedinicom dul [J = Nm].

Integriranjem izraza dW=dEk za elementarni rad od poloaja 1 do poloaja 2 estice na putanji, slijedi:

To je zakon kinetike energije, jedan od osnovnih zakona dinamike. On pokazue da je promjena kinetike energije estice na nekom putu, jednaka radu sile zbog koje se estica giba.

2 2 22 22 1

2 1

112 2 2

k k

mv mvmvW mvdv E E

2

2k

mvE

Kinetika energija je u poetnom i krajnjem poloaku uvijek pozitivna jer ukljuuje kvadrat brzine.

Osnovna prednost jednabe rada i kinetike energije (metoda rad-energija) je direktno izraunavanje brzina i sila koje djeluju u intervalu bez raunanja ubrzanja

Osim toga, jednaba ukljuuje samo sile koje vre rad i tako mijenjaju brzinu estice.

Ukoliko rad sile ovisne o poloaju ne ovisi o putanji ve samo o poetnom i krajnjem poloaju, tj. F=F(x, y, z) kae se da sila ima potencijal, a sila se naziva konzervativnom i za njih vrijedi:

gdje je Ep potencijalna energija.

Potencijalna energija je skalarna veliina i predstavlja energiju poloaja s jedinicom dul [J = Nm].

pdW dE

Integriranjem izraza dW=-dEp od poloaja 1 do poloaja 2 estice na putanji, slijedi:

Ovaj izraz pokazuje da rad konzervativne sile (npr. gravitacijska sila, elastina sile, magnetske, elektrostatike itd.) ne ovisi od oblika putanje estice, ve samo o poloaju njenih krajnjih toaka 1 i 2 na putanji.

2

1 2

1

p p pW dE E E

To ne vrijedi za nekonzervativne sile (npr. trenje), koje nemaju potencijalnu energiju.

Potencijalna energija u nekom poloaju estice izraunava se iz rada sile. Pri tome se nulti poloaj u kojem je PE=0 odreuje dogovorno.

Gravitacijska potencijalna energije estice:

Rad teine pri gibanju iz poloaja 1 u poloaj 2 je:

2 2

1 1

2

2 1 1 2 1

1

1 2

( ) 0

0,

p p p

p

W Gdy m g dy

W m g y m g y y E E E

E m g h y y h

Elastina potencijalna energija:

Rad teine pri gibanju iz poloaja 1 u poloaj 2 je: 2 2

1 1

2 22 2

2 1 1 2 1

1

2

1 2

( ) 02 2

0,2

e

p p p

p

W F dx c x dx

c x cW x x E E E

csE x x s

Ako na esticu djeluju samo konzervativne sile, tada se na osnovi izraza za rad kinetike i potencijalne energije moe napisati:

ili

To je zakon odranja mehanike energije, koji pokazuje da mehanika energija (kinetika i potencijalna) u svakom poloaju estice ostaje konstantna.

Drugi oblik ovoga zakona je:

1 1 2 2k p k pE E E E

.k pE E konst

2 1 2 1 0

0

k k p p

k p

E E E E

ili

E E

Dakle, poveanje kinetike energije estice dovodi do smanjenja njene potencijalne energije i obratno.

Ako na esticu djeluju i nekonzervativne sile (npr. trenje) tada vrijedi:

ili

gdje je WT je rad trenja.

Dakle, nekonzervativne sile dovode do gubitka ili rasipanja energije.

k p TE E W

PRIMJER 9

Blokovi A i B imaju masu od 10 kg i 100 kg (slika 1-23). Odredi udaljenost sB kada se blok B otpusti iz mirovanja do

toke kada se postigne brzinu od 2 m/s. Pretpostavlja se kako ue klie preko glatkih kolotura.

Poznato: mA=10 kg, mB=100 kg, v=2 m/s

A

B

s A

s B

Mjerna linija

100 kg

10 kg

A

B

1

2

1

2

Poloajna skica sustava u primjeru 9.

GA

GA

A

B

S R1 R2

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 8.

Ovaj problem moe se rijeiti razmatrajui blokove pojedinano i primjenom zakona o odranju mehanike energije. Iz plana slobodnog tijela sustava sila u uetu S i reakcije R1 i R2 ne ine rad, poto ove sile predstavljaju reakcije u osloncima koji se ne pomiu. Dakle, rad sile (nepoznate) u uetu moe se eliminirati razmatrajui blokove A i B zajedno kao jedan sustav. Teine oba bloka ine pozitivni rad ukoliko se pretpostavi da se oba gibaju prema u

pozitivnom smjeru od sA i sB.

GA

GA

A

B

S R1 R2

1 1 2 2k p k pE E E E

U sustavu djeluju samo konzervativne sile (vlastite

teine blokova) pa nema ukupne promjene mehanike enegije. Zakon o odranju mehanike energije u tom sluaju glasi:

Potencijalne energije:

Kinetike energije:

1 1 2 2

2 2

2 2

0 0

k p k p

k p

p k

E E E E

E E

E E

A

B

s A

s B

Mjerna linija

100 kg

10 kg

A

B

1

2

1

2

1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0, ( ) ( )p A A B B p A A B BE m g s m g s E m g s m g s

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) 0, ( ) ( )

2 2 2 2k A A B B k A A B BE m v m v E m v m v

U gornjoj jednadbi, nepoznanice su vA, sA i sB. Promjena poloaja sA i sB moe se odrediti definiranjem izraza za ukupnu duljinu vertikalnih segmenata ueta l u odnosu na koordinate poloaja sA i sB.

A

B

s A

s B

Mjerna linija

100 kg

10 kg

A

B

1

2

1

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 110 9,81 ( ) 100 9,81 ( ) 10 ( ) 100 (2)

2 2

p k

A A B B A A B B

A B A

E E

m g s m g s m v m v

s s v

4A Bs s l

Stoga, promjena poloaja dovodi do izraza za pomak:

4 0

4

A B

A B

s s

s s

PRIMJER 10:

Blok mase 6 kg nalazi se na horizontalnoj ravnoj plohi i prikaen je na idealnu oprugu. Koeficijent trenja klizanja izmeu bloka i plohe je 0,2. Krutost opruge je 30 N/m i nerastegnuta je u poloaju x1=0. Blok se iz poloaja x1 pomie brzinom od 6 m/s u desno do poloaja x2, gdje se zaustavlja . Odredi poloaj x2 u kojem se blok zaustavi.

Poznato: m=6 kg, =0,2, x1=0 m, c=30 N/m, v=6 m/s.

sx1 x2

xv

m

c

Poloajna skica sustava u primjeru 10.

G

Fe

NT

y

x

Plan slobodnog tijela sustava u primjeru 10.

U sustavu djeluju konzervativne sile (teina bloka, normalna reakcija podloge i elastina sila) i sila trenja kao nekonzervativna sila. Zakon o odranju mehanike energije u tom sluaju glasi:

Elastina potencijalna energije je:

Kinetike energije:

Rad trenja:

2 1 2 1k k p p TE E E E W G

Fe

NT

y

x

2 2

1 2 2 10, ( ).2

p p

cE E x x

2 2

1 1 2 2

1 1, 0.

2 2k kE mv E mv

2 2 2 0 ; 0T yW T x N x m g x F N m g

sx1 x2

xv

m

c

Uvrtavanjem u jednadbu zakona o odranju mehanike energije dobije se:

odakle se x2 moe izraunati iz

kvadratne jednadbe:

G

Fe

NT

y

x

sx1 x2

xv

m

c

1 2

2 2 2

1 2 1 2

2 2

2 2

2

2 2

1( )

2 2

1 301,6 6 ( 0) 0,2 1,6 9,81

2 2

28,8 15 3,14

k p TE E W

cmv x x m g x

x x

x x

2 1 2 1k k p p TE E E E W

2

2 215 3,14 28,8 0x x

koja daje dva rjeenja x2=1,285 m i -1,45 m. Poto se blok pomjera u desno (u pozitivnom smjeru), samo pozitivni korijen

ima fizikalno znaenje, pa je stoga: 2 1,285 mx