Predavanja OM II 2013 2014

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

1/88

OTPORNOST MATERIJALA II

Aleksandar Kara

kancelarija 1111

tel: 449 129

akarac mf.unze.ba

Josip Kamarik

Kancelarija 1215

tel: 449 120, lok 114

k osi mf.unze.ba

www.mf.unze.ba FAULTET KATEDRE KATEDRA ZA MEHANIKE OM II

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

2/88

Izvoenje nastave

predavanja: 2 asa sedmino

vjebe: 2 asa sedmino (auditorne + laboratorijske(?))

Obaveze studenata

O kursu Otpornost Materijala II .....

redovno prisustvo predavanjima i vjebama

uraeni zadaci (po poglavljima) SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO KRAJA SEMESTRA!!!

seminarski rad (15-minutna prezentacija na kraju semestra)

Cilj predmeta Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rjeavanje komplikovanijihproblema iz oblasti mehanike materijala

Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja

Proiriti analizu optereenja elemenata na plastino podruje

2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 2

Kompetencije(Ishodi uenja)

Po zavretku kursa studenti e biti u stanju: rjeavati komplikovanije probleme iz oblasti uvijanja i savijanja

dizajnirati i analizirati konstrukcije izloene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti

primijeniti naprednije metode za rjeavanje problema iz oblasti mehanike materijala

razlikovati i biti u stanju rijeiti probleme s elementima optereenim preko granice

teenja.

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

3/88

Provjera znanja

kolokviranje zadataka na vjebama

seminarski rad

pismeni ispit (zadaci)


Konana ocjena

prisustvo nastavi: 0 %

zadae: 25 %

testovi/seminarski: 25 %

pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!

Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!


Ocjena 7 65-74%

Ocjena 8 75-84%

Ocjena 9 85-94%

Ocjena 10 95-100%

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

4/88

Sadraj/program kursa


(1) Uvijanje napredni kurs 2 sedmice

(2) Prostorno stanje napona 2 sedmice

(3) Savijanje greda napredni kurs 5 sedmica

(4) Optereenja elemenata preko granice teenja 3 sedmice

(5) Izvijanje napredni kurs 1 sedmica


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

5/88

LITERATURA

osnovna

Predavanja, vjebe (sve dostupno na web stranici)

Grupa autora,Elastostatika I, Tehniki fakultet, Biha, 2003.


dodatna

Grupa autora,Elastostatika II, Tehniki fakultet, Biha, 2004.

Rakovi D., Otpornost materijala, Nauna knjiga, Beograd, 1990.

Rakovi D., Tablice iz otpornosti materijala, Nauna knjiga, Beograd, 1990.

Vukojevi D., Teorija elastinosti, Mainski fakultet u Zenici, 1998.

D. Kudumovi, S. Alagi, Zbirka Rjeenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.


RC Hibbeler,Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

JM Gere, BJ Goodno,Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

JM Gere, BJ Goodno,An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage

Learning, Seventh Edition, 2009.

WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaums outline series, McGraw-Hill, 1998.

WC Young, RG Budynas,Roarks formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 2002.

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

6/88


Obaveze studenata

ZADAA 1: (1) + (2) + (3)

Zadata: 10. mart 2014.

SEMINARSKI:

o za pre a u: . apr . pe a

ZADAA 2: (3) + (4) + (5)

Zadata: 21. april 2014.

Rok za predaju: 06. juni 2014. (petak)


Rok za predaju: 30. maj 2014

PREZENTACIJA: 2. juni 2014.

Konsultacije

Srijedom __________________________

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

7/88

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

8/88

Uvijanje napredni kurs

Uvijanje ponavljanje

Veza deformacija i napona

max Gr =

G =

max

r

=

Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!


Uzduni i transferzalni naponi

Uvijanje = isto smicanje = dvoosno naponsko

stanje bez tangencijalnih napona

max

o

T

r I

= =Opta formula uvijanja

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

9/88


Vratila neokruglog poprenog presjeka

Prije deformisanja


*RC Hibbeler,Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

Poslije

deformisanja

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

10/88




Raspodjela napona Izvitopereni

popreni presjek

Naponi u izabranim

elementima

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

11/88



Pravougaoni popreni presjek

max 2

1

T

c ab =

Maksimalni tangencijalni napon i ugao uvijanja

3

2

TL

c ab G =


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

12/88


Zadaci



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

13/88


Zadaci


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

14/88



Tankostjeni elementi zatvorena kontura

Posmini tok

dA tds=

( )

( )

A A A

B B B

A B

A A B B

dF t dx

dF t dx

dF dF

t t

t

=

=

=

=

=

Posmini tok Povrina bez napona

srF t s q s

dFq

ds

= =

=


sr

Povrina bez napona

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

15/88



Tankostjeni elementi zatvorena kontura

Srednji tangencijalni napon

srdF tds qds= =

sr( ) ( )dT h dF h tds= =

T

Ugao uvijanja


sr

sr

sr sr2 2m m

t s

T t hds

T t dA tA

=

=

= =

sr

2

2

m

m

tA

Tq

A=

zraz se o a or en em energe s

metoda

24

m

TL ds

A G t =

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

16/88


Zadaci



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

17/88

Prostorno stanje napona

Tenzor napona

Opte stanje napona

Normalni napon: indeksi pokazuju povrinu na koju djeluje.

Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje povrinu na koju napon

djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.

Znaenje indeksa

Konvencija o predznaku napona


*Grupa autora,Elastostatika I, Tehniki fakultet, Biha, 2003

Normalni napon e poz t van a o se n egov sm er po apa sa

smjerom vanjske normale na elementu povrine

Tangencijalni naponje pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i

zadnjoj povrini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

18/88

Troosno naponsko stanje

Materijal je izloen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona).


Maksimalni tangencijalni napon

( )max

x y

z

=


( )max

2

x z

y

=

( )max

2

y z

x

=

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

19/88


Hooke-ov zakon u tri dimenzije

1( ( ))

x x y z T

E = + +

( ) ( )1

((1 ) ( ))1 1 2 1

x x y z

ET

= + + +


1 ( ( ))y y x z TE

= + +

( )1

( )z z x y

TE

= + +

( ) ( )1 ((1 ) ( ))

1 1 2 1y y x z

ET

= + + +

( ) ( )1

((1 ) ( ))1 1 2 1

z z x y

ET

= + + +

Promjena volumena


0

1 2 ( )x y z x y z

VeV E

= = + + = + +

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

20/88


1( )

2

1

x x y y z zW

= + +

Deformacioni rad


( ) ( )2 2 22

1 ( ) 22(1 )(1 2 )

x y z x y y z y z

x y z x y x z y z

E E

EW

= + + + +

= + + + + + +

Sferino naponsko stanje (pojam modula kompresije)

0x y z = = =


Svaka ravan je ravan glavnog napona,normalni napon u svakom pravcu je jednak,ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona

Mohrov krug?

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

21/88


( )00 1 2E

=

Sferino naponsko stanje (pojam modula kompresije)


( )0 003

3 1 2E K

= = =

3(1 2 )

EK

=

modul kompresije ili zapreminski

modul elastinosti

- hidrostatiki pritisak


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

22/88




8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

23/88

Ravno stanje napona - ponavljanje

Ravno stanje napona jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednomkomponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s odreenim poloajem u taki

elementa.



y yx =

1 1 1 1y y x

=

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

24/88

2

2

1,22 2

x y x y

xy

+ = +

Glavni normalni naponi i najvei tangencijalni naponi


1

cos(2 ) sin(2 )2 2

x y x y

x xy

+

= + +

1 1

sin(2 ) cos(2 )2

x y

x y xy

= +

2

2 1 2max,min

2 2

x y

xy

= + =

U ravni glavnih normalnih napona ne djelujutangencijalni naponi.

12 0 =


ravn na ve angenc a n napona e u u

normalni naponi

1 2

2 2

x y

= =

1 1x y x y

+ = +

ta je s treom dimenzijom?

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

25/88

Hooke-ov zakon za ravno stanje napona

+ +

Ravno stanje napona i primjena

x

x

E

=

x

y

E

=

y

x

E

=

y

y

E

=

xy yx

G

= = =

2(1 )

EG

=

+

x

z

E

= y

z

E

=


( )x x y

E

=

1( )

y y x

E =

+ utjecaj temperature

1

( )x x y T

E = +

1( )

y y x T

E = + (5.17)

( )z x y

E

= + ( )z x y

TE

= + +

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

26/88

Hooke-ov zakon za ravno stanje napona

1 ( )x x y

E =

1( )

y y x

E =

+ utjecaj temperature

1 ( )x x y

TE

= +

1( )

y y x T

E = +

(5.17)

Ravno stanje napona i primjena

2( )

1x x y

E

= +

+ utjecaj temperature(5.18)

2( )

1 1x x y

E ET

= +

2( )

1 1y y x

E ET

= +

2( )

1y y x

E

= +

( )z x yE

= + ( )z x y

TE

= + +


z =

P j

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

27/88

(Tankostjene) Posude pod pritiskom

Tankostjene posude odnos unutranjeg prenika i debljine zida vea od 10

Unutranji prtisak je znatno vei od vanjskog


er ne posu e

Zavareni spoj

20 (2 ) ( ) 0i sr

i

F r t p r = =


2

2 2sr

pr pr

r t t = (6.1)

Zidovi sferinih posuda su izloeni jednakim zateznim naponima u svim smjerovima!!!

ta je s naponima u ostalim pravcima?

P t t j

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

28/88



Vanjska povrina Unutranja povrina

Sferine posude

Glavni normalni naponi

Glavni normalni naponi


1 2 3 0

2t

= = =

Maksimalni tangencijalni naponi

1 2

max

2 2 4

pr

t

= = =

1 2 3

2

p

t

= = =


1 2

max 1

2 2 2 2 4

p p p r pr

t t

+ + = = = +

Van-ravanski naponi!!!!

Max oko ose x i y!!!!

P t t j

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

29/88

Primjer 2.2: Rezervoar sferinog oblika sa zrakom pod pritiskom

napravljen je zavarivanjem dvije polusfere unutranjegprenika 450 mm i debljine stjenke od 6 mm, kao na slici.Treba uraditi sljedee:a) Ukoliko je dozvoljeni zatezni napon materijala rezervoara


rezervoaru?

b) Ako je dozvoljeni smiui napon u rezervoaru 40 MPakoliki je maksimalni dozvoljeni pritisak u rezervoaru?

c) Ako normalna deformacija spoljanje povrine rezervoarane smije prei 0.0003, koliki je maksimalni dozvoljeni pritisaku rezervoaru? Pretpostaviti da vrijediHooke-ov zakon i da jeE=200 GPa, te =0.28.


d) Testovi na zavarenom spoju pokazuju da se otkaz deava

kada zatezna sila po duini spoja iznosi 1.5 MN/m. Ako jepotrebni faktor sigurnosti zavarenog spoja 2.5, koliki jemaksimalni dozvoljeni pritisak u rezervoaru

e) Uzimajui u obzir sve prethodne take, koji je dozvoljenipritisak u rezervoaru?


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

30/88

Cilindrine posude


Naponi po obodu 1


1(2 ) 2 0bt pbr =

1

pr

t =

(6.2)

Uzduni naponi

2

2

2(2 ) 0rt p r =


2 2

pr

t =

(6.3)

ta je s naponima o ostalim pravcima?


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

31/88

Cilindrine posude



Vanjska povrina Unutranja povrina

Glavni normalni naponi Glavni normalni naponi


3 0 =


1

max

2 2

r

t

= =

Van-ravanski naponi!!!!

Max oko ose x!!!!

3 p =


1

max 1

2 2 2

p p r pr

t t

+ = = +

1

t

=2

2t

= 1

t

=2

2t

=


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

32/88

Primjer 2.3: Cilindrini rezervoar pod pritiskom je konstruisan pomou duge uske eline ploe koja se omotava

oko cilindrinog tuljka/ablona, a zatim se krajevi ploe zavaruju pravei helikoidni spoj, kao na

slici. Ovaj spoj ini ugao od 55. Unutranji poluprenik rezervoara je r=1.8 m, a debljina ploe je

t=20 mm. Materijal je elik (E=200GPa, n=0.3), a unutranji pritisak 800 kPa. Izraunati sljedee:

a) Obodni, 1, i uzduni,

2, napon,


c) Obodne, 1, i uzdune, 2, deformacije,d) normalni i tangencijalni napon koji djeluju u ravni zavarenog spoja.



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

33/88

Ravno stanje deformacija

Ravno stanje napona


0z

=

0yz

=

0xz

=

0

0

z

xz

yz

=

=

=



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

34/88


Ravno stanje napona Ravno stanje deformacija


Naponi0

xz =

, , ,x y z xy

mogu biti razliiti od 0

0yz

=0z

= 0yz

=0xz

=

, ,x y xy

mogu biti razliiti od 0


Deformacije0

z = 0yz =0xz =0xz =

, ,x y xy

mogu biti razliiti od 0, , ,x y z xy mogu biti razliiti od 0

0yz =

Openito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne deavaju se istovremeno!!! ALI ....?


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

35/88


Jednaina transformacije normalna deformacija x1


cosxdx sinydy cosxydy


x y y

1 cos sin cos

x x y y

d dx dy dy

ds ds ds ds

= = + +

cos

dx

ds= sin

dy

ds

=2 2

1 cos sin sin cosx x y xy = + +


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

36/88


Jednaina transformacije tangencijalna deformacija x1y1

j p

sinx

dx

ds cosy dy

ds sinxy dy

ds

dx d d


1 2 3 s n cos s n

x y xy

ds ds ds = + = +

2

( ) sin cos sinx y xy =

cos

dx

ds=

sindy

ds

=


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

37/88



j p

2( )sin cos sinx y xy

=

sinx

dx

ds cosy dy

ds sinxy dy

ds


s n cos s n2 2 2

x y xy = + + +

2

( ) sin cos cosx y xy = +


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

38/88



2( ) sin cos sin

x y xy =

j p

( )2 21 1 2( ) sin cos cos sinx y x y xy = + = +

2

( ) sin cos cosx y xy = +

( )1 1 2 2

( ) sin cos cos sin2 2

x y xy

x y

= +


1 cos 2 sin 2

2 2 2

x y x y xy

x

= + +

1 1

sin 2 cos 22 2 2

x y x y xy

= +

1

cos(2 ) sin(2 )

2 2

x y x y

x xy = + +

1 1

sin(2 ) cos(2 )2

x y

x y xy

= +


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

39/88


Glavne deformacije

tg(2 ) xy

=

2 2

1,22 2 2

x y x y xy

+

= +

Maksimalna tangencijalna deformacija

2 2


1,22 2

x y xy

= +

Mohr-ov krug deformacija


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

40/88


Primjena jednaina transformacija

Jednaine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja

deformacija, poto se u jednainama ravnotee ne javlja napon z.

Analogno, jednaine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kodravnog stanja napona, poto z

ne utie na geometrijske ovisnosti.

1

cos(2 ) sin(2 )2 2

x y x y

x xy + = + +

1 1

sin(2 ) cos(2 )2

x y

x y xy

= +

2 2

1 cos sin sin cos

x x y xy = + +


I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zato?

( )1 1 2 2( ) sin cos cos sin2 2

x y xy

x y

= +


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

41/88

Rozete mjernih traka

Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere

normalne deformacije.

Za opte stanje napona, najee se koriste klasteri mjernih traka

rozete.

Mjerne trake su optereene ravnim stanjem napona.

Deformaciono stanje se moe odrediti pomou rozete s tri mjerne trake

ukoliko se postave jednaine za sve tri trake, pa se rijei sistemjednaina po x,

yi

xy:


2 2

2 2

cos s n s n cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

a x a y a xy a a

b x b y b xy b b

c x c y c xy c c

= + +

= + +

= + +

Savijanje greda - ponavljanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

42/88

Naponi u gredi

Normalni naponi

x

My = Formula savijanja!!!!

z

Tangencijalni naponi

Q ydA=

VQ

Ib =

Formula

tangencijalnih napona!!!


Savijanje greda - ponavljanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

43/88

Dimenzionisanje

Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone

Grede su obino duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi slue kao konana

provjera.

Sekcijski modul treba ispunjavati:

Za jednostavne poprene presjeke jednostavno je nai potrebne dimenzije, dok se za sloene izabere

oblik, pa onda dimenzije. Nakon izbora provjerava se tangencijalni napon koristei jedan od izraza

max

z gr

doz

MS S

> =

V


Iako prethodni izraz ne predstavlja problem, za kratke i grede optereene velikim tangencijalnim

silama, te grede od drveta, neophodno je uzeti u obzir tangencijalne napone.

doz

It =

Savijanje greda napredni kurs

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

44/88

Grede promjenljivog poprenog presjeka




8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

45/88




G d j lji j k

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

46/88




K ij j

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

47/88

Koso savijanje


Optereenje u ravni simetrije Optereenje pod uglom na ose simetrije

(koso savijanje)


Koso savijanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

48/88

Koso savijanje

Predznak momenta savijanja



Koso savijanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

49/88

Koso savijanje

Naponi savijanja Neutralna osa

0

tg( )

y z

x

y z

y z

z y

M z M yI I

M Iy

z M I

= =

= =


y z

x

y z

M z M y

I =


Koso savijanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

50/88

Koso savijanje

( )

( )

sin

cos

tg

y

z

y

z

M P L x

M P L x

M

M

=

=

=

tg tgy z z

z y y

M I Iy

z M I I

= = =

Openito osim:

Optereenje je uxy-ravni (zje neutralna osa) - =0 ili

180


Optereenje je uxz-ravni (yje neutralna osa) -=90

Iy=Iz


Koso savijanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

51/88

Koso savijanje


Savijanje greda - napredni kurs

Elastina linija

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

52/88

Elastina linija

Kriva ugiba uzdune ose koja prolazi kroz teite svih poprenih presjeka grede elastina linija.

Dijagram

momenataDijagram momenata


Taka

infleksijeElastina linija

Taka

infleksije Elastina linija


Elastina linija

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

53/88

Elastina linija

Relacija moment savijanja zakrivljenost gredex

y

y = =

x x

EyE E y

= = =

1 M

EI

= =

x

z

My

I =


Prije deformacije Poslije deformacije

Taka

infleksije

M = 0

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

54/88


Ugib i nagib grede pomou integracije

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

55/88

g g g p g j

2

2

z

d v M

dx EI = + (5.16) i (5.17) Jednaina momenta savijanja

( )2

2( ) =VdM d d vV x EI x

dx dx dx =

( ) ( )2 2 2

2 2 2( ) =

d M d d v dV w x EI w x w x

dx dx dx dx

= =

Jednainasmiuih/transferzalnih sila

Jednaina optereenja


ZaEI=const

( )3

3

d vEI V x

dx=

2

2 ( )

d vEI M x

dx= ( )

4

4

d vEI w x

dx=



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

56/88


2

1 1 22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

d v M x dv M x M xdx C v dx C dx C

dx E x I x dx E x I x E x I x

= = + = + +



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

57/88

Konvencija o predznaku (M, F, v)

pozitivni ugib nagore pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu nax-osu koja je

pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto


2

1 1 22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z



= = + = + +



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

58/88

Granini uslovi

Neophodni za izraunavanje konstanti integracije


2

1 1 22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z



= = + = + +

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

59/88


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

60/88

Primjer 4.1: Greda na slici optereena je kontinuiranim optereenjem q. Odrediti jednainu

elastine linije, maksimalni ugib, te nagibe u takama oslonca, ako jeEI=const.



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

61/88

Primjer 4.2: Konzola na slici optereena je kontinuiranim optereenjem q. Odrediti jednainu

elastine linije, maksimalni ugib, te nagibe u takama oslonca, ako jeEI=const.


Grede s vie polja


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

62/88

Grede s vie polja

Optereenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom

1. Greda se dijeli na polja na nain da su veliine

2. Izvodi se integracija po poljima

3. Odreuju se konstante integracije iz graninih i

uslova kontinuiranosti



8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

63/88

Primjer 4.3: Za gredu na slici optereenu vertikalnom silomP, Odrediti jednainu elastine linije, te

maksimalan ugib, ako jeEI=const.




8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

64/88

Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a )

Vie diferencijalnih jednaina po poljima se svodi na jednu univerzalna elastina linija

. oor natn po eta za rat na evom ra u

grede,2. u svakom polju raspona grede u kome se mijenja

napadni moment uzeti promjenljivu (z- ai), gdje je

ailijeva granica tog polja grede,

3. napadni moment u sljedeem intervalu mora biti

jednak napadnom momentu prethodnog intervala

uvean za lan koji sadri binom (z- ai); za sluaj

djelimino kontinualnog optereenja to se postie

produenjem kontinualnog optereenja do kraja


2 2 0

A 1 2 3(z) ( ) ( ) ( )

2 2

q qM F z z z a F z a M z a= - + - - - + -

optereenja,

4. integracione konstante C1i C2javljaju se samo uprvom polju integrala diferencijalne jednaine

elastine linije grede, a odreuju se iz uslova

oslanjanja grede.


P i j 4 4 Z d li i t tik l i il P Od diti j d i l ti li ij t

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

65/88

Primjer 4.4: Za gredu na slici optereenu vertikalnim silamaP, Odrediti jednainu elastine linije, te

maksimalan ugib, ako jeEI=const.


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

66/88


Statiki neodreeni gredni nosai

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

67/88

Metoda integracije

1. Postave se jednaine ravnotee2. Postavi se dodatna jednaina elastine linije

3. Koristei granine uslove, rijei se sistem

jednaina




8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

68/88

Metoda superpozicije




8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

69/88

Metoda superpozicije ukrtene grede


Izvijanje*

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

70/88


*Grupa autora,Elastostatika II, Tehniki fakultet, Biha, 2003

*JM Gere, BJ Goodno,Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

Izvijanje

Osnovne karaktersitike i pojmovi

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

71/88

Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata

Umjesto kriterija vrstoe (vrijednosti glavnih normalnih ili najveih tangencijalnih napona ne prelaze

kritine vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritine veliine) kriterij koji se

primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti.


Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja

Izvijanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

72/88

Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifinoj aksijalnoj sili,Fkrkritina sila.

Za odreivanje kritine sile koristi se diferencijalna jednaina elastine linije grede.

2

2

d vEI M

dz=


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

73/88

Izvijanje


a) Konzola vii harmonici

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

74/88

a) Konzola vii harmonici

( )2

2

, 22 1

kr n

EIF n

=


Izvijanje


b) Prosta greda

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

75/88

b) Prosta greda

2

2

d vEI M

dz=

2

d vEI Fv

dz

=

( ) ( )2

2

20 cos sin

d vk v v A kz B kz

dz+ = = +

Fk

EI

=

( )

(0) 0 0

'( ) 0 sin 0

v A

v L B kl

= =

= = Osnovna forma izvijanja


1,2,3krFkl l n nEI

= = =

1n =

2

min2

kr e

EIF F I I

l

= = =2

2

2kr

EIF n

l

=

Izvijanje


c) Greda s ukljetenjem

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

76/88


2

2

d vEI M

dz=

2

vEI vF zY

dz

=

( ) ( )2

2 2

2 cos sin

d v Y Y Y k v z k z v A kz B kz z

dz EI F F + = = = + +

k

EI

=

( )

(0) 0 0

( ) 0 sin

v A

Yv L B kl l

F

= =

= =


( ) ( )'( ) 0 cos tgY

v L B kl kl kl kF

= = =

( )( ) ( )

2 2 2 22

2 22 2

0.7/kr

EI kl EI EI EIF kl

l l lkl l

= = =

Osnovna forma izvijanja

d) Greda s dva ukljetenja

Izvijanje


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

77/88


2

2

d vEI M

dz=

2

2EI Fv

dz

= +M

( ) ( )2

2

2 cos sin

d vk v v A kz B kz

dz EI F + = = + +

M M

k

EI

=

(0) 0

'(0) 0 0

'

v AF

v B

= =

= =

M


,= = =

2 1,2,3krF

kl l n nEI

= = =

1n =

( )

2

min2

0.5kr e

EIF F I I

l

= = =2

2

24

kr

EIF n

l

=

Izvijanje

Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja osnovna forma

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

78/88

a) Konzola

( )

2

min2

2kr

EIF I I

l

= =

2

EI) Prosta gre a



min2

krF I I

l= =

( )

2

min2

0.7kr

EIF I I

l

= =

( )

2

min2

0.5

kr

EIF I I

l

= =

Vitkost tapa odnos redukovane duine i

minimalno olu renika inerci e


2

min2

kr

r

EIF I Il

= =

2

min2

kr

r

EII I

l A

= =

lr redukovana duina

2

2 2

2 min

r

kr kr

l A E K

i I

= = = = =

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

79/88

Primjer 5.2: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi duine 3.25 m, vanjskog

Izvijanje (u elastinom podruju)

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

80/88

prenika 100 mm. Osnove cijevi su uvrene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovispojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdre optereenje od 100 kN.

Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti

= , .


Izvijanje

Ekscentrino izvijanje (formula sekante)

2d v

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

81/88

2

d vEI M

dx=

2

2 ( )

d vEI P e v= +

Pk =

( ) ( )2

2 2

2e cos sin

d vk v k v A kx B kx e

dx+ = = +

( )( )

(0) 0

1 cos( ) 0 tan

sin 2

v A e

kL Lv L B e e k

kL

= =

= = =

L

Formula sekante

( )max

sec2

LM P e v Pe k

= + =


Maksimalni ugib

2

max sec 1

2

Lv e k

=

max 21 sec 2

P Mc P ec P L

A I A r EA r

Ir

A

= + = +

=

Izvijanje


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

82/88

max sec 1

2Lv e k =


Izvijanje


8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

83/88


Izvijanje

Izvijanje u plastinom podruju

Engesserov postupak

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

84/88

g p p


Elastina deformacija

(duge ipke)

Neelastina deformacija

(kratke i srednje duge ipke)2

2

t

cr

E

KL

r

=

Izvijanje

Izvijanje u plastinom podruju

Ostali postupci .......

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

85/88

p p

a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson)

b) Omega metoda

c) Energetska metoda

d) Ritz-ova metoda


Izvijanje

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

86/88


Informacije o polaganju pismenog dijela ispita

1. Ispit sadri 4-5 zadataka, od kojih svaki nosi 10-25% bodova iz sljedeih oblasti

a. Uvijanje: vratila neokruglog poprenog presjeka i tankostjena vratila zatvorenog profila raunski

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

87/88

zadatak (15-20%)

b. Primjena ravnog stanja napona: sudovi pod pritiskom raunski zadatak (15-20%)

2. Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu nai na web-stranici kursa

c. av an e: oso sav an e ra uns za a a -

d. Savijanje: odreivanje elastine linije (primjena metoda integracije, superpozicije, Clebsch)

postavka jednaina (15-25%)

e. Savijanje: statiki neodreeni problemi, ukrtene grede postavka jednaina (20-25%)

f. Izvijanje raunski zadatak (15-20%)

2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II

3. Obavezno ponijeti kalkulator, te 2-3 prazne dvolisnice A4 formata

4. Ispit traje 135 minuta

8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

88/88

S R E T N O !!!

2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II

Documents

Predavanja OM II 2013 2014