Predavanja OM II 2013 2014

Embed Size (px)

Text of Predavanja OM II 2013 2014

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    1/88

    OTPORNOST MATERIJALA II

    Aleksandar Kara

    kancelarija 1111

    tel: 449 129

    akarac mf.unze.ba

    Josip Kamarik

    Kancelarija 1215

    tel: 449 120, lok 114

    k osi mf.unze.ba

    www.mf.unze.ba FAULTET KATEDRE KATEDRA ZA MEHANIKE OM II

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    2/88

    Izvoenje nastave

    predavanja: 2 asa sedmino

    vjebe: 2 asa sedmino (auditorne + laboratorijske(?))

    Obaveze studenata

    O kursu Otpornost Materijala II .....

    redovno prisustvo predavanjima i vjebama

    uraeni zadaci (po poglavljima) SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO KRAJA SEMESTRA!!!

    seminarski rad (15-minutna prezentacija na kraju semestra)

    Cilj predmeta Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rjeavanje komplikovanijihproblema iz oblasti mehanike materijala

    Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja

    Proiriti analizu optereenja elemenata na plastino podruje

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 2

    Kompetencije(Ishodi uenja)

    Po zavretku kursa studenti e biti u stanju: rjeavati komplikovanije probleme iz oblasti uvijanja i savijanja

    dizajnirati i analizirati konstrukcije izloene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti

    primijeniti naprednije metode za rjeavanje problema iz oblasti mehanike materijala

    razlikovati i biti u stanju rijeiti probleme s elementima optereenim preko granice

    teenja.

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    3/88

    Provjera znanja

    kolokviranje zadataka na vjebama

    seminarski rad

    pismeni ispit (zadaci)

    O kursu Otpornost Materijala II .....

    Konana ocjena

    prisustvo nastavi: 0 %

    zadae: 25 %

    testovi/seminarski: 25 %

    pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!

    Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 3

    Ocjena 7 65-74%

    Ocjena 8 75-84%

    Ocjena 9 85-94%

    Ocjena 10 95-100%

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    4/88

    Sadraj/program kursa

    O kursu Otpornost Materijala II .....

    (1) Uvijanje napredni kurs 2 sedmice

    (2) Prostorno stanje napona 2 sedmice

    (3) Savijanje greda napredni kurs 5 sedmica

    (4) Optereenja elemenata preko granice teenja 3 sedmice

    (5) Izvijanje napredni kurs 1 sedmica

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 4

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    5/88

    LITERATURA

    osnovna

    Predavanja, vjebe (sve dostupno na web stranici)

    Grupa autora,Elastostatika I, Tehniki fakultet, Biha, 2003.

    O kursu Otpornost Materijala II .....

    dodatna

    Grupa autora,Elastostatika II, Tehniki fakultet, Biha, 2004.

    Rakovi D., Otpornost materijala, Nauna knjiga, Beograd, 1990.

    Rakovi D., Tablice iz otpornosti materijala, Nauna knjiga, Beograd, 1990.

    Vukojevi D., Teorija elastinosti, Mainski fakultet u Zenici, 1998.

    D. Kudumovi, S. Alagi, Zbirka Rjeenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 55

    RC Hibbeler,Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

    JM Gere, BJ Goodno,Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

    JM Gere, BJ Goodno,An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage

    Learning, Seventh Edition, 2009.

    WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaums outline series, McGraw-Hill, 1998.

    WC Young, RG Budynas,Roarks formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 2002.

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    6/88

    O kursu Otpornost Materijala II .....

    Obaveze studenata

    ZADAA 1: (1) + (2) + (3)

    Zadata: 10. mart 2014.

    SEMINARSKI:

    o za pre a u: . apr . pe a

    ZADAA 2: (3) + (4) + (5)

    Zadata: 21. april 2014.

    Rok za predaju: 06. juni 2014. (petak)

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 6

    Rok za predaju: 30. maj 2014

    PREZENTACIJA: 2. juni 2014.

    Konsultacije

    Srijedom __________________________

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    7/88

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    8/88

    Uvijanje napredni kurs

    Uvijanje ponavljanje

    Veza deformacija i napona

    max Gr =

    G =

    max

    r

    =

    Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 8

    Uzduni i transferzalni naponi

    Uvijanje = isto smicanje = dvoosno naponsko

    stanje bez tangencijalnih napona

    max

    o

    T

    r I

    = =Opta formula uvijanja

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    9/88

    Uvijanje napredni kurs

    Vratila neokruglog poprenog presjeka

    Prije deformisanja

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 9

    *RC Hibbeler,Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

    Poslije

    deformisanja

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    10/88

    Uvijanje napredni kurs

    Vratila neokruglog poprenog presjeka

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 10

    Raspodjela napona Izvitopereni

    popreni presjek

    Naponi u izabranim

    elementima

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    11/88

    Uvijanje napredni kurs

    Vratila neokruglog poprenog presjeka

    Pravougaoni popreni presjek

    max 2

    1

    T

    c ab =

    Maksimalni tangencijalni napon i ugao uvijanja

    3

    2

    TL

    c ab G =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 11

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    12/88

    Uvijanje napredni kurs

    Zadaci

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 12

    *RC Hibbeler,Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    13/88

    Uvijanje napredni kurs

    Zadaci

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 13

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    14/88

    Uvijanje napredni kurs

    Vratila neokruglog poprenog presjeka

    Tankostjeni elementi zatvorena kontura

    Posmini tok

    dA tds=

    ( )

    ( )

    A A A

    B B B

    A B

    A A B B

    dF t dx

    dF t dx

    dF dF

    t t

    t

    =

    =

    =

    =

    =

    Posmini tok Povrina bez napona

    srF t s q s

    dFq

    ds

    = =

    =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 14

    sr

    Povrina bez napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    15/88

    Uvijanje napredni kurs

    Vratila neokruglog poprenog presjeka

    Tankostjeni elementi zatvorena kontura

    Srednji tangencijalni napon

    srdF tds qds= =

    sr( ) ( )dT h dF h tds= =

    T

    Ugao uvijanja

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 15

    sr

    sr

    sr sr2 2m m

    t s

    T t hds

    T t dA tA

    =

    =

    = =

    sr

    2

    2

    m

    m

    tA

    Tq

    A=

    zraz se o a or en em energe s

    metoda

    24

    m

    TL ds

    A G t =

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    16/88

    Uvijanje napredni kurs

    Zadaci

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 16

    *RC Hibbeler,Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    17/88

    Prostorno stanje napona

    Tenzor napona

    Opte stanje napona

    Normalni napon: indeksi pokazuju povrinu na koju djeluje.

    Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje povrinu na koju napon

    djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.

    Znaenje indeksa

    Konvencija o predznaku napona

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 17

    *Grupa autora,Elastostatika I, Tehniki fakultet, Biha, 2003

    Normalni napon e poz t van a o se n egov sm er po apa sa

    smjerom vanjske normale na elementu povrine

    Tangencijalni naponje pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i

    zadnjoj povrini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.

    JM Gere, BJ Goodno,Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    18/88

    Troosno naponsko stanje

    Materijal je izloen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona).

    Prostorno stanje napona

    Maksimalni tangencijalni napon

    ( )max

    x y

    z

    =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 18

    ( )max

    2

    x z

    y

    =

    ( )max

    2

    y z

    x

    =

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    19/88

    Troosno naponsko stanje

    Hooke-ov zakon u tri dimenzije

    1( ( ))

    x x y z T

    E = + +

    ( ) ( )1

    ((1 ) ( ))1 1 2 1

    x x y z

    ET

    = + + +

    Prostorno stanje napona

    1 ( ( ))y y x z TE

    = + +

    ( )1

    ( )z z x y

    TE

    = + +

    ( ) ( )1 ((1 ) ( ))

    1 1 2 1y y x z

    ET

    = + + +

    ( ) ( )1

    ((1 ) ( ))1 1 2 1

    z z x y

    ET

    = + + +

    Promjena volumena

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 19

    0

    1 2 ( )x y z x y z

    VeV E

    = = + + = + +

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    20/88

    Troosno naponsko stanje

    1( )

    2

    1

    x x y y z zW

    = + +

    Deformacioni rad

    Prostorno stanje napona

    ( ) ( )2 2 22

    1 ( ) 22(1 )(1 2 )

    x y z x y y z y z

    x y z x y x z y z

    E E

    EW

    = + + + +

    = + + + + + +

    Sferino naponsko stanje (pojam modula kompresije)

    0x y z = = =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 20

    Svaka ravan je ravan glavnog napona,normalni napon u svakom pravcu je jednak,ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona

    Mohrov krug?

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    21/88

    Troosno naponsko stanje

    ( )00 1 2E

    =

    Sferino naponsko stanje (pojam modula kompresije)

    Prostorno stanje napona

    ( )0 003

    3 1 2E K

    = = =

    3(1 2 )

    EK

    =

    modul kompresije ili zapreminski

    modul elastinosti

    - hidrostatiki pritisak

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 21

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    22/88

    Troosno naponsko stanje

    Prostorno stanje napona

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 22

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    23/88

    Ravno stanje napona - ponavljanje

    Ravno stanje napona jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednomkomponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s odreenim poloajem u taki

    elementa.

    Prostorno stanje napona

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 23

    y yx =

    1 1 1 1y y x

    =

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    24/88

    2

    2

    1,22 2

    x y x y

    xy

    + = +

    Glavni normalni naponi i najvei tangencijalni naponi

    Prostorno stanje napona

    1

    cos(2 ) sin(2 )2 2

    x y x y

    x xy

    +

    = + +

    1 1

    sin(2 ) cos(2 )2

    x y

    x y xy

    = +

    2

    2 1 2max,min

    2 2

    x y

    xy

    = + =

    U ravni glavnih normalnih napona ne djelujutangencijalni naponi.

    12 0 =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 24

    ravn na ve angenc a n napona e u u

    normalni naponi

    1 2

    2 2

    x y

    = =

    1 1x y x y

    + = +

    ta je s treom dimenzijom?

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    25/88

    Hooke-ov zakon za ravno stanje napona

    + +

    Ravno stanje napona i primjena

    x

    x

    E

    =

    x

    y

    E

    =

    y

    x

    E

    =

    y

    y

    E

    =

    xy yx

    G

    = = =

    2(1 )

    EG

    =

    +

    x

    z

    E

    = y

    z

    E

    =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 25

    ( )x x y

    E

    =

    1( )

    y y x

    E =

    + utjecaj temperature

    1

    ( )x x y T

    E = +

    1( )

    y y x T

    E = + (5.17)

    ( )z x y

    E

    = + ( )z x y

    TE

    = + +

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    26/88

    Hooke-ov zakon za ravno stanje napona

    1 ( )x x y

    E =

    1( )

    y y x

    E =

    + utjecaj temperature

    1 ( )x x y

    TE

    = +

    1( )

    y y x T

    E = +

    (5.17)

    Ravno stanje napona i primjena

    2( )

    1x x y

    E

    = +

    + utjecaj temperature(5.18)

    2( )

    1 1x x y

    E ET

    = +

    2( )

    1 1y y x

    E ET

    = +

    2( )

    1y y x

    E

    = +

    ( )z x yE

    = + ( )z x y

    TE

    = + +

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 26

    z =

    P j

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    27/88

    (Tankostjene) Posude pod pritiskom

    Tankostjene posude odnos unutranjeg prenika i debljine zida vea od 10

    Unutranji prtisak je znatno vei od vanjskog

    Prostorno stanje napona

    er ne posu e

    Zavareni spoj

    20 (2 ) ( ) 0i sr

    i

    F r t p r = =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 27

    2

    2 2sr

    pr pr

    r t t = (6.1)

    Zidovi sferinih posuda su izloeni jednakim zateznim naponima u svim smjerovima!!!

    ta je s naponima u ostalim pravcima?

    P t t j

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    28/88

    (Tankostjene) Posude pod pritiskom

    Prostorno stanje napona

    Vanjska povrina Unutranja povrina

    Sferine posude

    Glavni normalni naponi

    Glavni normalni naponi

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 28

    1 2 3 0

    2t

    = = =

    Maksimalni tangencijalni naponi

    1 2

    max

    2 2 4

    pr

    t

    = = =

    1 2 3

    2

    p

    t

    = = =

    Maksimalni tangencijalni naponi

    1 2

    max 1

    2 2 2 2 4

    p p p r pr

    t t

    + + = = = +

    Van-ravanski naponi!!!!

    Max oko ose x i y!!!!

    P t t j

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    29/88

    Primjer 2.2: Rezervoar sferinog oblika sa zrakom pod pritiskom

    napravljen je zavarivanjem dvije polusfere unutranjegprenika 450 mm i debljine stjenke od 6 mm, kao na slici.Treba uraditi sljedee:a) Ukoliko je dozvoljeni zatezni napon materijala rezervoara

    Prostorno stanje napona

    rezervoaru?

    b) Ako je dozvoljeni smiui napon u rezervoaru 40 MPakoliki je maksimalni dozvoljeni pritisak u rezervoaru?

    c) Ako normalna deformacija spoljanje povrine rezervoarane smije prei 0.0003, koliki je maksimalni dozvoljeni pritisaku rezervoaru? Pretpostaviti da vrijediHooke-ov zakon i da jeE=200 GPa, te =0.28.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 29

    d) Testovi na zavarenom spoju pokazuju da se otkaz deava

    kada zatezna sila po duini spoja iznosi 1.5 MN/m. Ako jepotrebni faktor sigurnosti zavarenog spoja 2.5, koliki jemaksimalni dozvoljeni pritisak u rezervoaru

    e) Uzimajui u obzir sve prethodne take, koji je dozvoljenipritisak u rezervoaru?

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    30/88

    Cilindrine posude

    (Tankostjene) Posude pod pritiskom

    Naponi po obodu 1

    Prostorno stanje napona

    1(2 ) 2 0bt pbr =

    1

    pr

    t =

    (6.2)

    Uzduni naponi

    2

    2

    2(2 ) 0rt p r =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 30

    2 2

    pr

    t =

    (6.3)

    ta je s naponima o ostalim pravcima?

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    31/88

    Cilindrine posude

    (Tankostjene) Posude pod pritiskom

    Prostorno stanje napona

    Vanjska povrina Unutranja povrina

    Glavni normalni naponi Glavni normalni naponi

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 31

    3 0 =

    Maksimalni tangencijalni naponi

    1

    max

    2 2

    r

    t

    = =

    Van-ravanski naponi!!!!

    Max oko ose x!!!!

    3 p =

    Maksimalni tangencijalni naponi

    1

    max 1

    2 2 2

    p p r pr

    t t

    + = = +

    1

    t

    =2

    2t

    = 1

    t

    =2

    2t

    =

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    32/88

    Primjer 2.3: Cilindrini rezervoar pod pritiskom je konstruisan pomou duge uske eline ploe koja se omotava

    oko cilindrinog tuljka/ablona, a zatim se krajevi ploe zavaruju pravei helikoidni spoj, kao na

    slici. Ovaj spoj ini ugao od 55. Unutranji poluprenik rezervoara je r=1.8 m, a debljina ploe je

    t=20 mm. Materijal je elik (E=200GPa, n=0.3), a unutranji pritisak 800 kPa. Izraunati sljedee:

    a) Obodni, 1, i uzduni,

    2, napon,

    Prostorno stanje napona

    c) Obodne, 1, i uzdune, 2, deformacije,d) normalni i tangencijalni napon koji djeluju u ravni zavarenog spoja.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 32

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    33/88

    Ravno stanje deformacija

    Ravno stanje napona

    Prostorno stanje napona

    0z

    =

    0yz

    =

    0xz

    =

    0

    0

    z

    xz

    yz

    =

    =

    =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 33

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    34/88

    Ravno stanje deformacija

    Ravno stanje napona Ravno stanje deformacija

    Prostorno stanje napona

    Naponi0

    xz =

    , , ,x y z xy

    mogu biti razliiti od 0

    0yz

    =0z

    = 0yz

    =0xz

    =

    , ,x y xy

    mogu biti razliiti od 0

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 34

    Deformacije0

    z = 0yz =0xz =0xz =

    , ,x y xy

    mogu biti razliiti od 0, , ,x y z xy mogu biti razliiti od 0

    0yz =

    Openito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne deavaju se istovremeno!!! ALI ....?

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    35/88

    Ravno stanje deformacija

    Jednaina transformacije normalna deformacija x1

    Prostorno stanje napona

    cosxdx sinydy cosxydy

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 35

    x y y

    1 cos sin cos

    x x y y

    d dx dy dy

    ds ds ds ds

    = = + +

    cos

    dx

    ds= sin

    dy

    ds

    =2 2

    1 cos sin sin cosx x y xy = + +

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    36/88

    Ravno stanje deformacija

    Jednaina transformacije tangencijalna deformacija x1y1

    j p

    sinx

    dx

    ds cosy dy

    ds sinxy dy

    ds

    dx d d

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 36

    1 2 3 s n cos s n

    x y xy

    ds ds ds = + = +

    2

    ( ) sin cos sinx y xy =

    cos

    dx

    ds=

    sindy

    ds

    =

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    37/88

    Ravno stanje deformacija

    Jednaina transformacije tangencijalna deformacija x1y1

    j p

    2( )sin cos sinx y xy

    =

    sinx

    dx

    ds cosy dy

    ds sinxy dy

    ds

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 37

    s n cos s n2 2 2

    x y xy = + + +

    2

    ( ) sin cos cosx y xy = +

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    38/88

    Ravno stanje deformacija

    Jednaina transformacije tangencijalna deformacija x1y1

    2( ) sin cos sin

    x y xy =

    j p

    ( )2 21 1 2( ) sin cos cos sinx y x y xy = + = +

    2

    ( ) sin cos cosx y xy = +

    ( )1 1 2 2

    ( ) sin cos cos sin2 2

    x y xy

    x y

    = +

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 38

    1 cos 2 sin 2

    2 2 2

    x y x y xy

    x

    = + +

    1 1

    sin 2 cos 22 2 2

    x y x y xy

    = +

    1

    cos(2 ) sin(2 )

    2 2

    x y x y

    x xy = + +

    1 1

    sin(2 ) cos(2 )2

    x y

    x y xy

    = +

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    39/88

    Ravno stanje deformacija

    Glavne deformacije

    tg(2 ) xy

    =

    2 2

    1,22 2 2

    x y x y xy

    +

    = +

    Maksimalna tangencijalna deformacija

    2 2

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 39

    1,22 2

    x y xy

    = +

    Mohr-ov krug deformacija

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    40/88

    Ravno stanje deformacija

    Primjena jednaina transformacija

    Jednaine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja

    deformacija, poto se u jednainama ravnotee ne javlja napon z.

    Analogno, jednaine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kodravnog stanja napona, poto z

    ne utie na geometrijske ovisnosti.

    1

    cos(2 ) sin(2 )2 2

    x y x y

    x xy + = + +

    1 1

    sin(2 ) cos(2 )2

    x y

    x y xy

    = +

    2 2

    1 cos sin sin cos

    x x y xy = + +

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 40

    I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zato?

    ( )1 1 2 2( ) sin cos cos sin2 2

    x y xy

    x y

    = +

    Prostorno stanje napona

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    41/88

    Rozete mjernih traka

    Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere

    normalne deformacije.

    Za opte stanje napona, najee se koriste klasteri mjernih traka

    rozete.

    Mjerne trake su optereene ravnim stanjem napona.

    Deformaciono stanje se moe odrediti pomou rozete s tri mjerne trake

    ukoliko se postave jednaine za sve tri trake, pa se rijei sistemjednaina po x,

    yi

    xy:

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 41

    2 2

    2 2

    cos s n s n cos

    cos sin sin cos

    cos sin sin cos

    a x a y a xy a a

    b x b y b xy b b

    c x c y c xy c c

    = + +

    = + +

    = + +

    Savijanje greda - ponavljanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    42/88

    Naponi u gredi

    Normalni naponi

    x

    My = Formula savijanja!!!!

    z

    Tangencijalni naponi

    Q ydA=

    VQ

    Ib =

    Formula

    tangencijalnih napona!!!

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 42

    Savijanje greda - ponavljanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    43/88

    Dimenzionisanje

    Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone

    Grede su obino duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi slue kao konana

    provjera.

    Sekcijski modul treba ispunjavati:

    Za jednostavne poprene presjeke jednostavno je nai potrebne dimenzije, dok se za sloene izabere

    oblik, pa onda dimenzije. Nakon izbora provjerava se tangencijalni napon koristei jedan od izraza

    max

    z gr

    doz

    MS S

    > =

    V

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 43

    Iako prethodni izraz ne predstavlja problem, za kratke i grede optereene velikim tangencijalnim

    silama, te grede od drveta, neophodno je uzeti u obzir tangencijalne napone.

    doz

    It =

    Savijanje greda napredni kurs

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    44/88

    Grede promjenljivog poprenog presjeka

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 44

    JM Gere, BJ Goodno,Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

    Savijanje greda napredni kurs

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    45/88

    Grede promjenljivog poprenog presjeka

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 45

    Savijanje greda napredni kurs

    G d j lji j k

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    46/88

    Grede promjenljivog poprenog presjeka

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 46

    Savijanje greda napredni kurs

    K ij j

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    47/88

    Koso savijanje

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 47

    Optereenje u ravni simetrije Optereenje pod uglom na ose simetrije

    (koso savijanje)

    Savijanje greda napredni kurs

    Koso savijanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    48/88

    Koso savijanje

    Predznak momenta savijanja

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 48

    Savijanje greda napredni kurs

    Koso savijanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    49/88

    Koso savijanje

    Naponi savijanja Neutralna osa

    0

    tg( )

    y z

    x

    y z

    y z

    z y

    M z M yI I

    M Iy

    z M I

    = =

    = =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 49

    y z

    x

    y z

    M z M y

    I =

    Savijanje greda napredni kurs

    Koso savijanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    50/88

    Koso savijanje

    ( )

    ( )

    sin

    cos

    tg

    y

    z

    y

    z

    M P L x

    M P L x

    M

    M

    =

    =

    =

    tg tgy z z

    z y y

    M I Iy

    z M I I

    = = =

    Openito osim:

    Optereenje je uxy-ravni (zje neutralna osa) - =0 ili

    180

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 50

    Optereenje je uxz-ravni (yje neutralna osa) -=90

    Iy=Iz

    Savijanje greda napredni kurs

    Koso savijanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    51/88

    Koso savijanje

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 51

    Savijanje greda - napredni kurs

    Elastina linija

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    52/88

    Elastina linija

    Kriva ugiba uzdune ose koja prolazi kroz teite svih poprenih presjeka grede elastina linija.

    Dijagram

    momenataDijagram momenata

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 52

    Taka

    infleksijeElastina linija

    Taka

    infleksije Elastina linija

    Savijanje greda - napredni kurs

    Elastina linija

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    53/88

    Elastina linija

    Relacija moment savijanja zakrivljenost gredex

    y

    y = =

    x x

    EyE E y

    = = =

    1 M

    EI

    = =

    x

    z

    My

    I =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 53

    Prije deformacije Poslije deformacije

    Taka

    infleksije

    M = 0

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    54/88

    Savijanje greda - napredni kurs

    Ugib i nagib grede pomou integracije

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    55/88

    g g g p g j

    2

    2

    z

    d v M

    dx EI = + (5.16) i (5.17) Jednaina momenta savijanja

    ( )2

    2( ) =VdM d d vV x EI x

    dx dx dx =

    ( ) ( )2 2 2

    2 2 2( ) =

    d M d d v dV w x EI w x w x

    dx dx dx dx

    = =

    Jednainasmiuih/transferzalnih sila

    Jednaina optereenja

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 55

    ZaEI=const

    ( )3

    3

    d vEI V x

    dx=

    2

    2 ( )

    d vEI M x

    dx= ( )

    4

    4

    d vEI w x

    dx=

    Savijanje greda - napredni kurs

    Ugib i nagib grede pomou integracije

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    56/88

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 56

    2

    1 1 22

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

    d v M x dv M x M xdx C v dx C dx C

    dx E x I x dx E x I x E x I x

    = = + = + +

    Savijanje greda - napredni kurs

    Ugib i nagib grede pomou integracije

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    57/88

    Konvencija o predznaku (M, F, v)

    pozitivni ugib nagore pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu nax-osu koja je

    pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 57

    2

    1 1 22

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

    d v M x dv M x M xdx C v dx C dx C

    dx E x I x dx E x I x E x I x

    = = + = + +

    Savijanje greda - napredni kurs

    Ugib i nagib grede pomou integracije

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    58/88

    Granini uslovi

    Neophodni za izraunavanje konstanti integracije

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 58

    2

    1 1 22

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

    d v M x dv M x M xdx C v dx C dx C

    dx E x I x dx E x I x E x I x

    = = + = + +

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    59/88

    Savijanje greda - napredni kurs

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    60/88

    Primjer 4.1: Greda na slici optereena je kontinuiranim optereenjem q. Odrediti jednainu

    elastine linije, maksimalni ugib, te nagibe u takama oslonca, ako jeEI=const.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 60

    Savijanje greda - napredni kurs

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    61/88

    Primjer 4.2: Konzola na slici optereena je kontinuiranim optereenjem q. Odrediti jednainu

    elastine linije, maksimalni ugib, te nagibe u takama oslonca, ako jeEI=const.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 61

    Grede s vie polja

    Savijanje greda - napredni kurs

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    62/88

    Grede s vie polja

    Optereenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom

    1. Greda se dijeli na polja na nain da su veliine

    2. Izvodi se integracija po poljima

    3. Odreuju se konstante integracije iz graninih i

    uslova kontinuiranosti

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 62

    Savijanje greda - napredni kurs

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    63/88

    Primjer 4.3: Za gredu na slici optereenu vertikalnom silomP, Odrediti jednainu elastine linije, te

    maksimalan ugib, ako jeEI=const.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 63

    Savijanje greda - napredni kurs

    Ugib i nagib grede pomou integracije

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    64/88

    Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a )

    Vie diferencijalnih jednaina po poljima se svodi na jednu univerzalna elastina linija

    . oor natn po eta za rat na evom ra u

    grede,2. u svakom polju raspona grede u kome se mijenja

    napadni moment uzeti promjenljivu (z- ai), gdje je

    ailijeva granica tog polja grede,

    3. napadni moment u sljedeem intervalu mora biti

    jednak napadnom momentu prethodnog intervala

    uvean za lan koji sadri binom (z- ai); za sluaj

    djelimino kontinualnog optereenja to se postie

    produenjem kontinualnog optereenja do kraja

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 64

    2 2 0

    A 1 2 3(z) ( ) ( ) ( )

    2 2

    q qM F z z z a F z a M z a= - + - - - + -

    optereenja,

    4. integracione konstante C1i C2javljaju se samo uprvom polju integrala diferencijalne jednaine

    elastine linije grede, a odreuju se iz uslova

    oslanjanja grede.

    Savijanje greda - napredni kurs

    P i j 4 4 Z d li i t tik l i il P Od diti j d i l ti li ij t

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    65/88

    Primjer 4.4: Za gredu na slici optereenu vertikalnim silamaP, Odrediti jednainu elastine linije, te

    maksimalan ugib, ako jeEI=const.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 65

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    66/88

    Savijanje greda - napredni kurs

    Statiki neodreeni gredni nosai

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    67/88

    Metoda integracije

    1. Postave se jednaine ravnotee2. Postavi se dodatna jednaina elastine linije

    3. Koristei granine uslove, rijei se sistem

    jednaina

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 67

    Savijanje greda - napredni kurs

    Statiki neodreeni gredni nosai

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    68/88

    Metoda superpozicije

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 68

    Savijanje greda - napredni kurs

    Statiki neodreeni gredni nosai

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    69/88

    Metoda superpozicije ukrtene grede

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 69

    Izvijanje*

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    70/88

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 70

    *Grupa autora,Elastostatika II, Tehniki fakultet, Biha, 2003

    *JM Gere, BJ Goodno,Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.

    Izvijanje

    Osnovne karaktersitike i pojmovi

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    71/88

    Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata

    Umjesto kriterija vrstoe (vrijednosti glavnih normalnih ili najveih tangencijalnih napona ne prelaze

    kritine vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritine veliine) kriterij koji se

    primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti.

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 71

    Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja

    Izvijanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    72/88

    Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifinoj aksijalnoj sili,Fkrkritina sila.

    Za odreivanje kritine sile koristi se diferencijalna jednaina elastine linije grede.

    2

    2

    d vEI M

    dz=

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 72

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    73/88

    Izvijanje

    Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja

    a) Konzola vii harmonici

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    74/88

    a) Konzola vii harmonici

    ( )2

    2

    , 22 1

    kr n

    EIF n

    =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 74

    Izvijanje

    Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja

    b) Prosta greda

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    75/88

    b) Prosta greda

    2

    2

    d vEI M

    dz=

    2

    d vEI Fv

    dz

    =

    ( ) ( )2

    2

    20 cos sin

    d vk v v A kz B kz

    dz+ = = +

    Fk

    EI

    =

    ( )

    (0) 0 0

    '( ) 0 sin 0

    v A

    v L B kl

    = =

    = = Osnovna forma izvijanja

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 75

    1,2,3krFkl l n nEI

    = = =

    1n =

    2

    min2

    kr e

    EIF F I I

    l

    = = =2

    2

    2kr

    EIF n

    l

    =

    Izvijanje

    Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja

    c) Greda s ukljetenjem

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    76/88

    c) Greda s ukljetenjem

    2

    2

    d vEI M

    dz=

    2

    vEI vF zY

    dz

    =

    ( ) ( )2

    2 2

    2 cos sin

    d v Y Y Y k v z k z v A kz B kz z

    dz EI F F + = = = + +

    k

    EI

    =

    ( )

    (0) 0 0

    ( ) 0 sin

    v A

    Yv L B kl l

    F

    = =

    = =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 76

    ( ) ( )'( ) 0 cos tgY

    v L B kl kl kl kF

    = = =

    ( )( ) ( )

    2 2 2 22

    2 22 2

    0.7/kr

    EI kl EI EI EIF kl

    l l lkl l

    = = =

    Osnovna forma izvijanja

    d) Greda s dva ukljetenja

    Izvijanje

    Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    77/88

    d) Greda s dva ukljetenja

    2

    2

    d vEI M

    dz=

    2

    2EI Fv

    dz

    = +M

    ( ) ( )2

    2

    2 cos sin

    d vk v v A kz B kz

    dz EI F + = = + +

    M M

    k

    EI

    =

    (0) 0

    '(0) 0 0

    '

    v AF

    v B

    = =

    = =

    M

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 77

    ,= = =

    2 1,2,3krF

    kl l n nEI

    = = =

    1n =

    ( )

    2

    min2

    0.5kr e

    EIF F I I

    l

    = = =2

    2

    24

    kr

    EIF n

    l

    =

    Izvijanje

    Euler-ova (Ojler) kritina sila izvijanja osnovna forma

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    78/88

    a) Konzola

    ( )

    2

    min2

    2kr

    EIF I I

    l

    = =

    2

    EI) Prosta gre a

    c) Greda s ukljetenjem

    d) Greda s dva ukljetenja

    min2

    krF I I

    l= =

    ( )

    2

    min2

    0.7kr

    EIF I I

    l

    = =

    ( )

    2

    min2

    0.5

    kr

    EIF I I

    l

    = =

    Vitkost tapa odnos redukovane duine i

    minimalno olu renika inerci e

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 78

    2

    min2

    kr

    r

    EIF I Il

    = =

    2

    min2

    kr

    r

    EII I

    l A

    = =

    lr redukovana duina

    2

    2 2

    2 min

    r

    kr kr

    l A E K

    i I

    = = = = =

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    79/88

    Primjer 5.2: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi duine 3.25 m, vanjskog

    Izvijanje (u elastinom podruju)

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    80/88

    prenika 100 mm. Osnove cijevi su uvrene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovispojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdre optereenje od 100 kN.

    Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti

    = , .

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 80

    Izvijanje

    Ekscentrino izvijanje (formula sekante)

    2d v

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    81/88

    2

    d vEI M

    dx=

    2

    2 ( )

    d vEI P e v= +

    Pk =

    ( ) ( )2

    2 2

    2e cos sin

    d vk v k v A kx B kx e

    dx+ = = +

    ( )( )

    (0) 0

    1 cos( ) 0 tan

    sin 2

    v A e

    kL Lv L B e e k

    kL

    = =

    = = =

    L

    Formula sekante

    ( )max

    sec2

    LM P e v Pe k

    = + =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 81

    Maksimalni ugib

    2

    max sec 1

    2

    Lv e k

    =

    max 21 sec 2

    P Mc P ec P L

    A I A r EA r

    Ir

    A

    = + = +

    =

    Izvijanje

    Ekscentrino izvijanje (formula sekante)

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    82/88

    max sec 1

    2Lv e k =

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 82

    Izvijanje

    Ekscentrino izvijanje (formula sekante)

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    83/88

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 83

    Izvijanje

    Izvijanje u plastinom podruju

    Engesserov postupak

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    84/88

    g p p

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 84

    Elastina deformacija

    (duge ipke)

    Neelastina deformacija

    (kratke i srednje duge ipke)2

    2

    t

    cr

    E

    KL

    r

    =

    Izvijanje

    Izvijanje u plastinom podruju

    Ostali postupci .......

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    85/88

    p p

    a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson)

    b) Omega metoda

    c) Energetska metoda

    d) Ritz-ova metoda

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 85

    Izvijanje

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    86/88

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II 86

    Informacije o polaganju pismenog dijela ispita

    1. Ispit sadri 4-5 zadataka, od kojih svaki nosi 10-25% bodova iz sljedeih oblasti

    a. Uvijanje: vratila neokruglog poprenog presjeka i tankostjena vratila zatvorenog profila raunski

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    87/88

    zadatak (15-20%)

    b. Primjena ravnog stanja napona: sudovi pod pritiskom raunski zadatak (15-20%)

    2. Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu nai na web-stranici kursa

    c. av an e: oso sav an e ra uns za a a -

    d. Savijanje: odreivanje elastine linije (primjena metoda integracije, superpozicije, Clebsch)

    postavka jednaina (15-25%)

    e. Savijanje: statiki neodreeni problemi, ukrtene grede postavka jednaina (20-25%)

    f. Izvijanje raunski zadatak (15-20%)

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II

    3. Obavezno ponijeti kalkulator, te 2-3 prazne dvolisnice A4 formata

    4. Ispit traje 135 minuta

  • 8/11/2019 Predavanja OM II 2013 2014

    88/88

    S R E T N O !!!

    2013/14 OTPORNOST MATERIJALA II