1 FIZIKA HEMIJA II Dr Gordana iri-Marjanovi, vanredni profesor 1. Odreivanje odnosa q/m mikroestica Primenaelektrinogimagnetnogpoljapredstavljaosnovninainzapodeavanjekretanja naelektrisanih estica i za izuavanje njihovih osobina (priroda estice, vrsta interakcije u kojoj ona uestvuje). J. J. Tomson (Sir Josef John Tomson, 1856-1940) je otkrio elektron 1897. god. On je, na osnovu kretanjaelektronauelektrinomimagnetnompolju,prviodredioodnose/m.Izovogodnosa, znajuinaelektrisanjeelektrona,(kojejeodredioRobertMillikan(RobertAndrewsMilikan) 1911. god) mogla se odrediti njegova masa. 1.1. Naelektrisana estica (elektron) u elektrinom polju Na probno naelektrisanje q, mase m, u spoljanjem elektrinom polju Erdeluje sila Fr: (1) Svaka sila telu mase m saoptava ubrzanjear. Jednaina kretanja naelektrisanja je: (2)

ar =mE qr NekanaputuduinesEdelujeelektrinopoljeErkojejekonstantno(nezavisiodvremena)i homogeno (ne zavisi od koordinata) i neka je usmereno du negativnog pravca y ose, tj. Er = j Eyr q =-e Neka se elektronkree brzinom vx u pravcu x ose, Slika 1.1.Beleimo poloaje elektrona na fluorescentnom zaklonu koji se nalazi na rastojanju l od izabranog koordinatnog poetka. U elektrinom polju elektron se kree po paraboli, a kada napusti ovo polje on nastavlja po pravolinijskoj putanji. E q Fr r= a m r = E qr 2 Slika 1.1. Kretanje elektrona u elektrinom polju Fr=j Fyr = - e(- j Eyr) =j E eyr Ubrzanje koje elektrino polje daje elektronu jear: ar =j ayr Fr=j a myr =j E eyr Jednaina kretanja elektrona u elektrinom polju (skalarni oblik) je: (3) ya =mE ey Interesuje nas koliko je skretanje elektrona yEneposredno na izlasku iz elektrinog polja.yv=dtdy ya = dtdvy = 22dty d

22dty d = mE ey

dtdyd=mE eydt dtdy = mE eyt +1C ya m= yE e 3 dy=mE eyt dt +1C dt y=22tmE ey+ t C1 + 2C Odreivanje C1 i C2 na osnovu poetnih uslova:U poetnom trenutkut=0 , y = 0,yv = dtdy =0 , sledi1C , 2C=0 (4) Neka elektron za vreme tE pree rastojanje sE kreui se konstantnom brzinom vx .Tako dobijamo: Et = xEvs odnosno veliinu skretanja elektrona yE na izlasku iz elektrinog polja: (5) Skretanje elektrona na fluorescentnom zaklonu EY dobijamo iz podudarnosti trouglova, Slika 1.2. : Slika 1.2. Parabola i tangenta EEyY = 2 /2 /EEss l (6) y= mE ey22t Ey= mE ey222xEvs 4 Zamenom yE iz izraza (5) u izraz (6) dobija se: (7) odnosno: (8) 1.2. Naelektrisana estica (elektron) u magnetnom polju Nekaseelektronkreebrzinomvxupravcuxose.UzoniduinesBdelujemagnetnopoljeBr

(konstantno i homogeno), u pravcu z ose. Na probno naelektrisanje q, mase m, u magnetnom polju deluje silaFr (Lorencova sila): (9) Jednaina kretanja naelektrisanja je: a m r= v q r xBr(10) _______________________________________________________________ PodsetimosevektorskogproizvodadvavektoraAriBr:tojenovivektor,normalannaravanu kojoj lee poetni vektori, a iji se smerodreuje pravilom desne ruke. B A B A B Ar r r r r r = sinKada su vektoriAriBruzajamno normalni: B Ar r sin = 1 pa je B A B Ar r r r= ________________________________________________________ Pod uslovima kao na slici ispod, gde je poetna brzina elektrona u pravcu x -ose, a magnetno polje Br u pravcu z-ose, elektron e skrenuti u pravcu y -ose. EY = me 2) 2 / (xE Evs l s E me = ) 2 / (2E Ex Es l s Ev Y B v q Frrr = 5 Slika 1.3. Kretanje elektrona u magnetnom polju q =-e Fr=- v e vx Br= -e( z xB v ) (- jr) =j B v ez xr yF = z xB v e Jednaina kretanja elektrona u magnetnom polju (skalarni oblik) je: (11) Reavanjem ove jednaine, uz poetne uslove:t=0 ,y = 0,yv = dtdy =0 dobijamo: (12) Bt = xBvs Tako dobijamo veliinu skretanja elektrona na izlazu iz magnetnog polja:

By=xB zvs Bme22(13) ya m= z xB v e y =22t B vmez x 6 Koristeirelaciju iz podudarnosti trouglova: BByY = 2 /2 /BBss l skretanje elektrona na fluorescentnom zaklonu je: (14) (15)

me =76 , 1x kgC1110 (16) Znajui da je naelektrisanje elektronae =60 , 1x10-19C(elementarno naelektrisanje, jedinino naelektrisanje) masa elektrona m =1 , 9x 10-31kg 1.3.Kretanjenaelektrisaneesticeukombinovanomparalelnomelektrinomi magnetnom polju. Osnovi masene spektrometrije. J.J.Tomsonjenapravioprvimasenispektrometar1913.god.kojijeradionaprincipu kombinovanih,paralelnihpolja,elektrinogimagnetnog.Ovdeopisujemoprincipodreivanja odnosaq/mkadaesticekojeulazeuelektrinoimagnetnopoljepodleunekojraspodelibrzina. Neka oba polja, elektrino i magnetno, deluju u istom pravcu i smeru, du negativnog pravca y-ose, aelektronulaziupoljaupravcux-ose(Slika1.4.).Potoelektrinopoljeizazivaskretanje elektronskogsnopapoy-osi,amagnetnopoljeizazivaskretanjepoz-osi,elektronskisnope skrenuti u yz-ravni. Veliina otklona po y-osi zavisi od v2 prema relaciji (7)koju smo izveli ranije:

EY = me

2) 2 / (xE E yvs l s E= (7) Veliina otklona po z-osi (u magnetnom polju) zavisi od v prema relaciji analognoj relaciji (14), ali sadaumestoranijegotklonapoy-osi,YB,imamootklonZBzbogpromenjenogpravcamagnetnog polja:

BZ = me

xB B yvs l s B ) 2 / ( (17) BY= mexB B zvs l s B ) 2 / ( me = ) 2 / (B B zx Bs l s Bv Y 7 Slika 1.4. Kretanje elektrona u paralelnom elektrinom i magnetnom polju Kadaizrazimobrzinu xv prekojedneodgornjihjednaina(7ili17)iubacimodobiveniizrazu drugu jednainu, eliminisaemo zajedniki parametar xvjednaina (7) i (17). Tada otklon po y-osi moe da se izrazi preko otklona po z-osi: y =22 2 2) 2 / () 2 / (zs s l Bs s l EemB B yE E y(18) Zamenom parametara ureaja konstantom k: k= 2 2 2) 2 / () 2 / (B B yE E ys s l Bs s l E izraz (18) dobija oblik jednaine parabole: PARABOLA (19) Snopelektronailidrugihnaelektrisanihesticaukombinovanomparalelnomelektrinomi magnetnompoljuopisujeparaboluijikoeficijent,zadatiureaj,zavisisamoododnosa naelektrisanja i mase q/m estica. Svijoniistogodnosanaelektrisanjaimasepadajunaekranduodreeneparabole.Potoje naelektrisanje q jona ceo umnoak osnovnog naelektrisanja e, tj. q = ne, poloaj parabole je za jone istog naelektrisanja u stvari odreen samo masom pozitivnog jona. Zaodreenoz,otklonyzavisisamoododnosae/mkodelektrona,odnosnoodq/mkoddrugih naelektrisanih estica. Otklon y je vei to je masa estica (istog naelektrisanja) vea. To se vidi na slici1.5.kojapredstavljaparabolepozitivnihjonakojejedobioJ.J.Tomsonzasluaj kombinovanog paralelnog elektrinog i magnetnog polja.y =) / ( m ek 2z8 Ako snop sadri estice sa razliitim odnosima q/m, tada odnos q/m moe istovremeno da se odredi zasveprisutnejonskevrstetojeosnovasavremenemasenespektrometrije.Aparatiza razdvajanje jonaprema njihovimmasamanaosnovuq/mvrednostizovusemasenispektrografi- akosedetekcijajonavripomoufotografskihploa,ilimasenispektrometriakojedetekcija elektrinim putem. Slika1.5.Parabolepozitivnihjonaukombinovanomparalelnomelektrinomimagnetnom polju Osnovni delovi masenog spektrometra su: 1.Sistem za uvoenje uzorka 2.Izvor jona (u kome se proizvode joni) 3.Analizator za razdvajanje jona prema njihovim q/m vrednostima 4.Detektor i pojaiva-za detekciju i snimanje jona, dobijanje masenog spektra. U izvoru jona (Slike 1.6 i 1.7.) molekuli gasa se jonizuju sudarom sa elektronima (postoje i drugi nainizadobijanjejona,npr.bombardovanjebrzimatomima,laserjonizacija).Elektronisa zagrejanog vlakna B (Slika 1.7) ubrzavaju se prema anodi A pomou razlike potencijala (~ 70 V) i dobijaju energiju ~70 eV. Ovde nastaju pozitivni joni M+ (verovatnoa dobijanja negativnih jona je oko1000putamanja).Ovijoni,naelektrisanja+qimasemkreusekaelektrodiZ,delovanjem gradijentapotencijalaod1do10kV,ifokusirajusepomouelektrodeFkaizlaznomprorezuS1. Prinaputanjuizvorajona,joniimajubrzinuvkojasemoedobitiizjednaavanjempotencijalne energije qU i kinetike energije, gde je U ubrzavajui napon:22mvqU= (20) mqUv2= (21) Joni brzine v ulaze kroz ulazni prorez S1 u analizator. 9 Slika 1.6. Maseni spektrometar-osnovni delovi; direkciono fokusiranje Slika 1.7. Jednostruko-fokusirajui maseni spektrometar Najeimasenispektrometrikoristekaoanalizatorilisamomagnetnopolje,tosutzv. jednostruko-fokusirajuimasenispektrometri,ilikombinacijumagnetnogielektrinogpolja,to su tzv. dvostruko-fokusirajui maseni spektrometri. *irenjejonskogsnopazbogpostojanjaraspodelebrzinajonadovodidoogranienjamoirazlaganja instrumenta.Ovajproblemprevazilazisegoreopisanimmetodomkombinovanogparalelnogelektrinogi magnetnog polja, u dvojno-fokusirajuim masenim spektrometrima. Rezolucija dvojno-fokusirajuih je 6 do60 puta vea od rezolucije jednostruko-fokusirajuih masenih spektrometara. Maseni spektrometar na Slici 1.6. koristi princip direkcionog fokusiranja. Razdvajanje jona vri se na osnovu veliine njihovih skretanja pri prolazu kroz magnetno polje. Radijus r putanje nekog jona u magnetnom polju (ako je putanja u polju deo krunice poluprenika r) moe se izraunati ako izjednaimo Lorencovu silu qvB sa centripetalnom rmv2 : 10

rmvqvB2=(22) qBmvr=(23) Kada zamenimo u izrazu za r prethodno dobiveni izraz za brzinu jona (21) , dobijamo (24) Izjednaine(24)vidimodaprikonstantnommagnetnompoljuBikonstantnomnaponu (padupotencijala)U,jonirazliitihvrednostiq/mimajurazliiteradijuseputanjerumagnetnom polju, slika 1.6). AkovariramoB,adrimoubrzavajuinaponUkonstantnim(iliobrnuto),tadaprema poslednjoj jednaini, pri fiksnom r odreenoj vrednosti B odgovara jedna vrednost q/m. Tako, joni razliitogq/mmogubitidovedenidofiksnogizlaznograzrezaS2jedanzadrugim,menjanjem jaine magnetnog polja (Slika 1.7). Naslici1.8.prikazanjemasenispektarizotopaksenona,dobivenmetodomdirekcionog fokusiranja. Visina pika odgovara relativnoj obilnosti pojedinog izotopa. Slika1.8.Masenispektarizotopaksenonadobivenmetodomdirekcionogfokusiranja.(Visine pikova za mase 124 i 126 poveane su 40 puta). qU mBr2 1= 11 Najvei molekulski pik u masenom spektru tipino potie od molekulskog jona (M+), koji nastaje kada roditeljski molekul otpusti jedan elektron. Mnogi molekuli sa posebno labilnim protonima ne pokazuju molekulske jone, npr. alkoholi, gde se pik za najveu molekulsku javlja na m/e manje 1 u odnosu na molekulski jon, tj. na (m-1). Slika 1.9. Teoretski maseni spektar toluena (metil benzena). Spektar toluena pokazuje jak pik molekulskog jona na m/e = 92, male pikove na m+1 i m+2 (zbog prisustva izotopa), najjai pik na m/e = 91 za C6H5CH2+ i male pikove nam/e = 65 i pikove sa jo niim vrednostima m/e. Pik na m/e = 65 nastaje zbog gubitka acetilena iz strukture tropilijum jona (Shema 1), a pikovi na jo niim m/e vrednostima rezultat su jo sloenije fragmentacije. Shema 1. 12 Zadatak 1.Elektronsakinetikomenergijomod1keVuleeumagnetnopoljeijajeindukcija10-3T. Izraunati poluprenik putanje i vreme potrebno elektronu da opie pun krug, ako u polje ulee pod uglom od 90 o. Reenje: Kinetika energija = TT = 22v m = 1 keV B = 10-3 T r = ? t = ? 1eV=energijakojuesticanaelektrisanja1e=1,6x10-19Cdobijepriprolaskukrozpad potencijala U = 1V. S obzirom da jeT = qU, 1 eV = 1 elektron volt = 1e x 1 V= 1,6 x 10-19 C x 1V = 1,6 x 10-19 CV = 1,6 x 10-19 J Brzina elektrona v je: mTv2==kg xeV x x31310 1 , 910 1 2 =kg xJ x x x3119 310 1 , 910 6 , 1 10 2= 1,875 x 107 m/s Ako je r poluprenik krune putanje elektrona u magnetnom polju, a centripetalna sila uzrokovana delovanjemmagnetnogpoljaje(mv2/r),poluprenikrdobijamoizjednaavanjemLorencovesile evB i centripetalne sile: evB = rmv2 eBmvr= = 10,6 cm Pri opisivanju punog kruga elektron prelazi put s duine obima kruga, 2r. S = 2rS = vt Traeno vreme t je: t = vs = 3,55 x 10-8 s Literatura 1. S. Macura, J. Radi-Peri, Atomistika, JP Slubeni list SCG, Beograd, 2004. 2. W. J. Moore, Fizika hemija, Nauna knjiga, Beograd, 1962. Fizika hemija IIDoc. dr Gordana iri-Marjanovi Elektromagnetni spektar PremaMaxwell-ovojteorijisvakozraenjemoesepredstavititransverzalnim elektromagnetnimtalasomkojisesastojiodoscilujuegvektoraelektrinogpoljaErioscilujuegvektoramagnetnogpoljaBr.Ovivektorisumeusobnonormalniiosciluju normalnonapravacprostiranjatalasa.Oscilacijeobapoljasusinusoide.Prikazanitalasje linearnopolarizovan,toznaidavektoriEriBrnemenjajupravacutokuoscilovanja. PrirodnaSunevasvetlostnaprimernijepolarizovana,tj.vektoriEriBroscilujuusvim moguim pravcima. Slika 1. Elektromagnetni talas Osnovne karakteristike elektromagnetnog talasa su frekvencija i talasna duina . Talasna duina je rastojanje koje pree talas u toku jedne oscilacije. Uobiajene jedinice za talasnu duinu su nm i m. Frekvencija je broj oscilacija u jedinici vremena, a njena jedinica je herc, Hz(1 Hz =1 s-1). c = c = brzina prostiranja talasa, koja u vakuumu za sve vrste talasa ima vrednost 2,9979x 108 m/s. Frekvencija ne zavisi, a brzina prostiranja talasa i talasna duina zavise od sredine kroz koju se EM talas prostire. Brzina prostiranja talasa u nekoj homogenoj sredini koja nije vakuum je: 1 = qcqnc gde je = indeks prelamanja sredine q, za datu talasnu duinu. qnq = cqTalasni brojje reciprona vrednost talasne duine u vakuumu. Njegova uobiajena jedinica je cm-1. = 1 = c Celokupnoelektromagnetnozraenje,ureenopotalasnimduinama(frekvencijama, energijama), zovemo elektromagnetni spektar. Zraenjaserazlikujupoenergijamainainunastajanja.Uspektroskopijiseispitujeono zraenje koje nastaje kao rezultat promene energije atoma ili molekula, usled promena njihovih unutranjih kretanja. Spektroskopija je jedna od glavnih eksperimentalnih metoda odreivanja strukture atoma i molekula kojom se detektuje i analizira elektromagnetno zraenje koje atomi apsorbuju ili emituju.2 procesi koji dovode do zraenja

Slika 2.Oblasti elektromagnetnog spektra i procesi koji dovode do zraenja 3Vrste spektara po mehanizmu: apsorpcioni, emisioni, spektri rasejanja po izgledu: linijski, trakasti, kontinualnipo tipu prelaza: nuklearni, elektronski, vibracioni, rotacioni, spektri rezonancije po nosiocu:atomski imolekulski optikirendgenski (prelazi valentnih e-) (prelazi unutranjih e-)

Atomskispektrisupotipuprelazaelektronski.Akonastajupromenomenergijeatomausled prelaza valentnih elektrona, oni su optiki, a ukoliko se radi o prelazima unutranjih elektronaatomski spektri zovu se rendgenski. Optikespektredajuslobodniatomiusijanihgasovailiparauneutralnomilijonizovanom stanju,kojisenalazenasrednjimiliniskimpritiscima.Pomehanizmunastajanjaovispektri mogu biti emisioni i apsorpcioni. Po makroskopskom izgleduoni su linijski. S obzirom na to da su poloaji (talasne duine) ovih linija karakteristini za atome pojedinih elemenata od kojih potiu, oni se zovu karakteristini. Za razliku od karakteristinih spektara, postoje i tzv. kontinualni spektri, koje daju elementi u tenom ili vrstom stanju. U njima su zastupljene sve talasne duine odreenog ireg podruja kojeprelazejednaudrugu.Onizaviseodtemperature,aneodvrsteatoma.Dakle,oninisu karakteristini. Rendgenske spektre daju atomi u slobodnom ili vezanom stanju. Ovi spektri sadre manji broj linijakarakteristinihtalasnihduinauodnosunaoptikespektre.Ovelinijesedobijaju samouemisiji.Postojeiapsorpcionirendgenskispektrikojisuunajveembrojusluajeva kontinualni. Molekulskispektrinastajukaoposledicapromenaunutranjihkretanjamolekula(vibracija, rotacija),kakveneposedujuatomi.Stogamolekulidajuvievrstaspektara(elektronske, rotacione,vibracione)kojisemeusobnorazlikuipomakroskopskomizgleduipooblastima elektromagnetnog spektra kojima pripadaju. Molekulski spektri su karakteristini spektri. Zraenje crnog tela Klasina fizika (Isaac Newton, 17. vek)1.predviapreciznuputanjuzaestice,sapreciznodefinisanimpoloajemimomentom impulsa estice u bilo kom trenutku i2.podrazumevadasistemiprirotacionom,vibracionomilitranslatornomkretanjumogu preuzimati bilo koje vrednosti energije prostim kontrolisanjem sila koje se primenjuju na njih. Konceptklasinefizikepokazaoseneuspeanuobjanjavanjunekihpojava(eksperimenata) vezanih za prenose vrlo malih koliina energije i objekte vrlo malih masa. Na primer, ona nije 4moglaobjasnitirezultateuvezizraenjacrnogtelanitiatomskeimolekulskespektre. Pomenuti fenomeni mogli su biti objanjeni ako se pretpostavi da sistemi mogu upijati energiju samoudiskretnimkoliinama(tanodefinisanimporcijama).Ovupretpostavkudaoje nemaki fiziar Max Planck. Zagrejanavrstatelaemitujuelektromagnetnozraenjeukomesuzastupljenesvetalasne duine,ali sarazliitimintenzitetom. Takoe, ova tela mogu i da apsorbuju zraenje. Sistem apsorpcijom zraenja prima, a emisijom gubi energiju. Kada je gubitak energije zraenjem mali uodnosunaukupnuenergijutela,temperaturatelasesmanjujesporo,pasezraenjemoe smatrati ravnotenim.Dalja razmatranja odnosie se na ravnoteno zraenje. Primer: Zagrejana gvozdena ipka sjaji crveno, a kada nastavimo sa daljim zagrevanjem dobija se belo usijanje. Znai, sa porastom temperature udeo kratkotalasne plave svetlosti u ukupnom zraenjukojaseizraujeraste.Zasvakutemperaturupostojiodreenaspektralnaraspodela zraenja. Saslike3.semoezapazitidasesa porastomtemperaturemaksimumikrivih zavisnostispektralneekscitancijeMod talasneduinepomerajukakraimtalasnim duinama.Naniimtemperaturamatelo emitujepretenoinfracrvenozraenje(veih talasnihduina),asaporastomTuukupnoj raspodelirasteudeozraenjakraihtalasnih duina. Ukupnagustinaenergijejednakaje povriniispododreenekrive,kojaje dobivenazaodreenutemperaturu.Ukupna gustinaenergijerastesaporastom temperature proporcionalno T4. *Napomena: umesto M na apscisi moe biti prikazana raspodela gustine energije koja je definisana u daljem tekstu. Slika 3.Eksperimentalno dobivena zavisnost spektralneekscitancije Mcrnog tela od talasne duine, na razliitim temperaturama. Definiimoapsorbovanugustinufluksakaoapsorbovanuenergijuuokolinitalasne duine u jedinici vremena, po jedinici povrine tela. Upadnu gustinu fluksa oznaimo sa (energiju u okolini talasne duine koja pada na telo u jedinici vremena, podeljenu sa povrinom tog tela).Odnosipredstavljaspektralnuapsorpciju,A(ilispektralnuapsorpcionu sposobnost): = A '

A je neimenovan broj, koji za realna tela zavisi od talasne duine i uvek je manji od 1.5Crnotelo je telo koje apsorbuje u potpunosti zraenje koje padne na njega, tj. za njega je A =1 za svako .U praksi, dobar model crnog tela predstavlja ravnomerno zagrejana upljina koja se odrava na stalnoj temperaturi. Slika 4. upljina kao crno telo: zrak ulazi kroz mali otvor, i moe izai iz upljine tek nakon niza refleksija (odbijanja). Ako se pri jednoj refleksiji odbije k-ti deo fluksa, posle n refleksijaodbijenjekn-tideoprvobitnogfluksa.Potojek jednaina opisuje emisiju, a u obrnutom sluaju apsorpciju. 1 nElan -E/hc naziva se spektralni term i obeleava sa T, tj.

T = - hcE (7) Tako gornji izraz za talasni broj postaje: =T-T (8) 1 n 2 n PoslednjajednainapredstavljaformulacijuRic-ovogkombinacionogprincipa(W.Ritz).Prema ovomprincipu,talasnibrojsvakelinijeuspektruatomaodgovararazlicidvaodreenaspektralna terma. Ovaj princip je u stvari drugaije izraen Borov uslov frekvencije, koji je istorijski prethodio Borovoj teoriji. Kada izrazimo brzinuelektrona preko izraza (5) drugog postulata: v= mrnh (9) i zamenimo ovako dobivenu brzinu u izraz (4) dobiemo izraz za radijus Borove orbite, r r= Z e mn22 2o 4 h(10) 14Optiki spektri atoma Kadaseuzorkukojisadrislobodneatomegasanekogelementananiskompritiskudovede energija,naprimerelektrinimpranjenjem,atomieemitovatielektromagnetnozraenje. Kada se elektroni nekog elementa ekscituju (pobuuju), oni prelaze na vie energijske nivoe. Pripovratkuuniaenergetskastanja,tj.prinaputanjupobuenogstanja,energijasere-emituje,Slika6.Ovozraenjemoesepropustitikroztankupukotinu(razrez)naoptiku prizmu,Slika7.Uoavasedajesvetlost(elektromagnetnozraenje)emitovanoodstrane ekscitovanih atoma, nakon prolaska kroz prizmu, razloeno u komponente-niz linija odreenih frekvencija(talasnihduina),kojenazivamospektar,Slika8.Spektrislobodnihatomaimaju linijsku(diskretnu)strukturu.Poloajsvakelinijeuspektruspecifianjezadatuatomsku vrstu.Linijesugrupisaneuserije,premaodreenojzakonitosti.Sasmanjivanjemtalasnih duinauspektrusmanjujeseintenzitetlinijakaoirastojanjeizmeususednihlinija.Prvu seriju linija otkrio je Balmer (J.J. Balmer) 1885. godine u spektru atoma vodonika. Slika 6.

Slika 7. Razlaganje emitovanog elektromagnetnog zraenja u spektar. (a) (b) Slika 8. Kontinualan (a) i emisioni spektar (b). 15Spektar atoma vodonika-Borovo tumaenje Energijski nivoi atoma vodonika Energije stacionarnih stanja atoma vodonika mogu se dobiti kada u izraz za ukupnu energiju Eelektronauelektrinompoljujezgra,akojajejednakazbirukinetikeenergijeTi potencijalne energije U, uvrstimo dobiveni izraz za poluprenik Borove orbite, r. E = T + U(11) Koristei izraz (4) nalazimo T = 22v m = o 81re Z2(12) Potencijalna energija U = - F dr, gde je F Kulonova sila, tj. U = o 4122re Zdr = - o 41re Z2 (13) *zapaziti da je U = -2TTako dobijamo da je ukupna energija E = T + U jednaka E = o 81re Z2- o 41re Z2 = - o 81re Z2(14) Kadauizraz(14)uvrstimodobiveniizraz(10)zapoluprenikorbiterdobijamoenergije stacionarnih stanjaprema Borovoj teoriji: E = -o 81Z e mne Z22o22 4

h (15) 2 24 22o2 ) 4 (1h nm e ZEe = Kod atoma vodonika je Z =1, pa se gornji izraz, uz zamenu 2h= h , svodi na:

E = -2 2 2o4 8 h ne men = 1,2,3.. (16) 16 Slika 9. Dijagram energetskih nivoa atoma vodonika prema Boru Dijagram energijskih nivoa je dijagram na kome su energije stacionarnih stanja predstavljene kaohorizontalnelinijenavertikalnojskalienergije(slika9).Najniahorizontalnalinijaje stanjenajnieenergije,tj.osnovnostanje.Tojenajstabilnijestanje.Ovostanjekodatoma vodonika definisano je glavnim kvantnim brojem n=1. Stanja sa n>1 zovu se pobuena. Na osnovu jednaine (16) za energiju stacionarne orbite moe se zakljuiti da se sa poveanjem n rastojanje izmeu susednih nivoa smanjuje (odnosno razlika energija dva susedna nivoa Epostaje sve manja). Vrednost energije je nula za n = (beskonano). Iza ovog nivoa energije imajupozitivnevrednostikojepredstavljajukinetikuenergijuelektronakojijeslobodan. Energijaslobodnogelektronamoeimatibilokojuvrednost,tj.menjasekontinualno. Energijavezanogelektrona(uatomu)jenegativna,kaotopokazujeBorovizrazza energiju dozvoljene orbite. Spektralne serije atoma vodonika Slika 10. Spektralne serije atoma vodonika. 17 Slika 11. Nastanak serija atoma vodonika (u emisiji). U izrazu: = - 1 nT2 nT prvitermjestalanudatojserijilinijaizovesestalantermiligranicaserije.Granici serijekonvergirajutalasneduinesvihlinijauseriji.Drugitermjepromenljivizovese tekui term. Meusobna rastojanja linija i njihovi intenziteti pravilno opadaju idui ka kraim talasnim duinama. 1 nT2 nT Slika 12. Deo Balmerove serije(iza granice serije H vidi se kontinuum) 18 h= - 2 nE1 nEKadauprethodniizrazzamenimoodgovarajueBoroveizrazezaenergijestacionarnihorbita sakvantnimbrojeviman1in2dobijamoenergijuemitovanogfotonapriprelazusanivoavie energije na nivo nie energijeh = 2 24 8 he moe[ 211n - 221n ] ili talasni broj odgovarajue linije u spektru: = c he moe3 24 8 [ 211n - 221n ] (17) Mnoilac ispred zagrade predstavlja Ridbergovu konstantu =HRc he moe3 24 8 = R = 109737,31 cm-1 (18) padobijamoizrazkojiopisujetalasnebrojevespektralnihlinijaatomavodonika,akojije najpre bio dobiven empirijski od strane Balmera, uz Ridbergovo prevoenje sa talasne duine na talasni broj: =[ HR211n - 221n ] (19) Indeksuizrazu(18)zaRidbergovukonstantuoznaavadajeonaizraunatapod pretpostavkom da jezgro atoma ima beskonano veliku masu u odnosu na masu elektrona. TanijavrednostRidbergovekonstantedobijaseakoseumestomaseelektronakoristi redukovana masa

N eN em mm m+= (20) gdejemNmasajezgra,amemasaelektrona.Ovakorekcijaseuvodijermasajezgranije beskonano velika (kako je aproksimirao Bor) pa jezgro ne moe da se smatra nepokretnim.Dobija se Ridbergova konstanta: R = c heo3 248 = 109678 cm-1(21) Veza konstanti Ri

RjeRR = em R = R e NNm mm+ Iz izraza (19) sledi opti izraz za term atoma vodonika:

19T = 2nRH (22) odnosno opti izraz za energiju nekog nivoa atoma vodonika:

E = - hcT = - 2nR hcH (23) Spektralne serije atoma vodonika n1 n2 uvek je n1 < n2 1. Lajmanova1 2,3,... 2. Balmerova 2 3,4,...3. Paenova 3 4,5,... 4. Breketova 45,6,... 5. Pfundova5 6,7,... 6. Hamfrisova 67,8,... Iz izraza (19) se takoe moe zakljuiti da kada n2 tei beskonanosti tada tekui term postaje nula, pri emu dobijamo stalan term ili granicu serije T1 : (n2 = ) = 21nRH =(24) 1T Literatura1. A. Anti-Jovanovi, Atomska spektroskopija-spektrohemijski aspekt, Fakultet za fiziku hemiju, Beograd 1999. 2. P.W. Atkins, Physical Chemistry, Oxford University Press; Oxford, Melburn, Tokyo, 1998. 3.S. Macura, J. Radi-Peri, Atomistika, JP Slubeni list SCG, Beograd, 2004. 20 211 Fizika hemija II Doc. dr Gordana iri-Marjanovi Spektri jona slinih vodoniku Joni slini vodoniku su oni koji imaju po jedan elektron, kao to je to sluaj kod atoma vodonika. To su joni: He+, Li2+, Be3+. Oni se razlikuju od vodonika po masi i naelektrisanju jezgra. NjihovispektrisuanalognispektruvodonikaiobeleavajusekaoHeII,LiIII,BeIV,jerseu spektroskopijispektrineutralnihatomaobeleavajurimskimbrojemIuzsimbolelementa,spektri jedanput pozitivnog jona rimskim II itd. Opta jednaina za talasni broj linija svih serija jednoelektronskih jona je = 2Z Rj[ 211n - 221n ](1) Z je redni broj elementa od koga jon potie, a Rj je Ridbergova konstanta za dati jon. Spektralne serije jona slinih vodoniku analogne su vodonikovim serijama, ali su pomerene ka kraim talasnim duinama (jer je talasni broj vei zbog mnoenja sa Z2 ). Iz gornjeg izraza vidi se da je opti izraz za term u sluaju jona slinih vodoniku T =22nZ Rj (2)

S obzirom da jeT = - hcE dobijamo da je energija energetskog nivoa jona slinih vodoniku jednaka: E = - hcT (3) Poreenjemposlednjegizrazasaanalognimizrazomzaatomvodonikavidimodajerazlikasamou tome to kod jona slinih atomu izraz sadri mnoilac Z2. To znai da su apsolutne vrednosti energija stacionarnih stanja jona slinih vodoniku vee od energija stanja atoma vodonika, za istu vrednost n. Dalje,moesezakljuitidasuenergijenivoaatomavodonikasakvantnimbrojemnjednake energijamaonihnivoaujednoelektronskimjonimazakojejekvantnibrojjednakZn.Toznai daseenergijskinivoivodonikapodudarajusanaprimersvakimdrugimnivoomjonaHe+ (Z=2), odnosno sa svakim treim nivoom jona Li2+. E = - 22nZ R c hJ 2 IzmeudvasusednanivoaatomavodonikanalazisejedandodatninivouspektrujonaHe+,jodva dodatnanivoauspektrujonaLi2+,odnosnogeneralnojo(Z-1)dodatninivouspektru jednoelektronskogjona tog Z. Dakle,spektrijonaslinihvodonikusadrevielinijaodspektraHatoma.SpektarHe+(tj.spektar HeII) npr. sadri dva puta vie linija od spektra H atoma, Slika 1. Slika1.UporednidijagramenergetskihnivoaatomavodonikaijonaslinihvodonuikuHe+iLi2+. Svaki n-nivo atoma vodonika poklapa se sa nivoom jona koji ima kvantni broj Zn 3 Rendgensko zraenje Ovo zraenje otkrio je Rendgen (1895). Kadaseurendgenskojcevinaputbrzihelektrona(katodnihzraka)stavikomadmetala(antikatoda) emituje se zraenje koje se zove rendgensko ili X-zraenje. Ono je elektromagnetne prirode, velike je prodornosti i ne skree u elektrinom i magnetnom polju (to znai da se ne radi o naelektrisanim esticama). Talasne duine ovog zraenja nalaze se u intervalu od 0,01do10nm.Nekarakteristino(kontinualno)zraenjenezavisiodmaterijalaantikatode. Karakteristino rendgensko zraenje sastoji se od otrih linija i zavisi od materijala antikatode. Kontinualni rendgenski spektri Ovi spektri nastaju u interakciji brzih elektrona sa atomima metala, pri emu se elektroni usporavaju ili potpuno zaustavljaju. Zato se ovo kontinualno zraenje naziva i zakono. Frekvencijaemitovanogzraenjazavisisamoodvrednostigubitkakinetikeenergijeelektronapri njegovom usporavanju. Ovispektrinastajusvedotledokjekinetikaenergijaelektronaniaodnekeodreenevrednosti karakteristine za dati metal. Slika2.Kontinualanrendgenskispektarvolframa,nastaouinterakcijibrzihelektronasaatomima volframa. Elektroni su prethodno ubrzani naponom U, gde je U1 > U2 > U3,agranine talasne duine su u meusobnom odnosu (g)1 < (g)2 9, koji mogu biti u obliku istih metala ili legura, raznih neprovodnih materijala, organskih i biolokih supstancija, tenosti, para, gasova Rendgenski spektrometri 1.talasnodisperzivnispektrometar,(TDS),kodkogaseemitovanozraenjerazlaepotalasnim duinama, difrakcijom na kristalu 2.energijski disperzivni spektrometar, (EDS), kod koga se razlaganje emitovanog zraenja vri po energijama Na slici 7. prikazan je talasno disperzivni spektrometar. Slika 7. Shema jednokanalnog talasno disperzivnog spektrometra (TDS): 1-rendgenska cev, 2-uzorak, 3-primarni Solerovi razrezi, 4-kristal, 5-sekundarni Solerovi razrezi, 6-detektor.

9 Snop X zraenja iz rendgenske cevi (1) pada na uzorak (2) u zatitnoj komori. U atomima uzorka, koji subombardovaniupadnimrendgenskimfotonimavelikeenergije,dolazidoizbacivanjaelektronasa unutranjihnivoanaraunapsorbovanjarendgenskihfotona(tj.dojonizacijeatoma).Natajnain atomi se pobuuju. Upranjena elektronska mesta popunjavaju se elektronima koji prelaze sa energijski viihnivoanaupranjenamestauunutranjimnivoimaipritomeseemitujesekundarno (fluorescentno)rendgenskokarakteristinozraenje.Pomouparalelnihmetalnihploa(tzv. Solerovih razreza) izoluje se snop paralelnih zraka i usmerava na kristal 4 (kvarc, LiF) koji ima ulogu difrakcionereetke.Kristalseprogramiranorotirainadetektor(6)seusmeravaju(pomou sekundarnihSolerovihrazreza)razloenekomponentezraenjakojezadovoljavajuBragovu jednainu:

= 2d sin,za n=1 Detektorrotirazajednosakristalom,alidvaputaveombrzinom(tj.pri obrtanjukristalazaugao, detektormoradaseokrenezaugao2,vidiSliku7).Njegovpoloaj,kojiseoitava,jemeraugla difrakcije.Dobivenirendgenskifluorescentnispektar(slika9)jerasporedsignala(proporcionalnih intenzitetudifraktovanogzraenja)u funkcijiugla(na apscisimoe takoebitiprikazanugao2ili talasna duina ). Interval spektralne oblasti koja moe da se analizira zavisi od konstante reetke d i ugla difrakcije . ---------------------------------------------------------------------------------- Podsetimo se Bragovog uslova konstruktivne interferencije. Neka na kristal pada snop X-zraenja pod uglom uodnosunasistemparalelnihravnisakojihsezraenjereflektuje.Overavni,uravnislike ostavljaju tragove oznaene sa a, b i c. Atomi (ili joni, molekuli) koji ine kristal rasejavaju zraenje u svimpravcima,anasinteresujepodkojimuglovimaedolazitidokonstruktivneinterferencije (pojaavanja)reflektovanogzraenja.Posmatramozrak1kojisereflektujesaravniaizrak2kojise reflektuje sa unutranje ravni b. Slika 8. Bragov uslov konstruktivne interferencije Uslovkonstruktivneinterferencijejestedajeputnarazlika zrakova1i2jednakacelobrojnom umnoku talasnih duina, tj. 10 =CB + BD = n gde je n ceo broj. Sa slike 8 nalazimo da je /2 = d sin, gde je d rastojanje izmeu paralelnih ravni odnosno = 2dsin tako da je Bragov uslov konstruktivne interferencije dat jednainom: 2dsin = n Bragovuslovdajepravacdifrakcionogmaksimumazaodreenskupparalelnihravniitalasnuduinu , i za dati red difrakcije n, u Bragovoj ravni odreenoj pravcem upadnog i reflektovanog zraka. Slika 9. Rendgenski fluorescentni spektar

Energijskidisperzivnispektrometar(EDS)jerendgenskispektrometarkojikoristisekundarno rendgensko zraenje i kod koga se emitovano zraenje razlae po energijama. EDSsadripoluprovodnikidetektor(kristalsilicijumasaprimesamalitijuma,tzvSi(Li)-detektor) kojidajenaponskesignale.Ovisignalisepojaavajuidaljeklasifikujupoenergijamapomou analizatoramaksimumasignala.Takosedobijaspektarijajeapscisaenergija(Slika1). Pojednostavljena shema EDS data je na Slici 2. 11 Slika 1. Rendgenski spektar BaTiO3 dobiven pomou EDS Slika 2. Shema energijski disperzionog spektrometra (EDS): 1-rendgenska cev; 2-uzorak; 3-detektor Elektronska mikroanaliza (EMA) Elektronskamikroanalizajemetodarendgenskeemisioneanalize(REA)kojakoristiprimarno rendgensko zraenje, dakle ono koje nastaje pobuivanjem elektronima.Ureajsezoveelektronskimikroanalizator.Metodakombinujeskanirajuuelektronsku mikroskopiju i rendgensku spektroskopiju (TDS ili EDS). Ova metoda daje mogunost fokusiranja pobudnih elektrona na malu odabranu povrinu uzorka ili mali uzorak. Shema elektronskog mikroanalizatora prikazana je na Slici 3. 12 Princip rada elektronskog mikroanalizatora Elektronski top sa volframovom katodom 1 i anodom 2 (slika 3) stvara snop brzih elektrona, koji dalje prolazi kroz elektromagnetna soiva 4 i sistem blendi 5 za fino fokusiranje snopa elektrona na povrinu uzorka. Podeavanjem potencijalne razlike (napona) izmeu katode i anode menja se energija pobudnih elektrona(1-50keV),apodeavanjemjainestrujeuelektromagnetnimsoivima,menjaseprenik snopa, tako da on moe imati povrinu svega 1 m2. Pomou optikog mikroskopa 6 posmatra se uzorak i bira mesto koje e se analizirati. Rendgenskozraenje(primarno)kojeemitujeuzoraknakonbombardovanja elektronskimsnopom,analizirasepomouEDSiliTDS.NaSlici3uureajusekoristiTDS,sa savijenimkristalomkojisepomerapoobimukruga,sinhronizovanosapomeranjemdetektora. Korienjemnekolikokristala,razliitihvrednostirastojanjaizmeuparalelnihravnid,moese obuhvatiti ceo interval talasnih duina koji je od interesa. Zadatak 1. Odrediti energije K, L i M - nivoa atoma i predstaviti ih shematski, ako je talasna duina K linije K = 2,75 ,talasna duina Klinije K =2,54 , a talasna duina koja odgovara granici K serije iznosi K = 2,49 . Koliki je redni broj atoma iji je rendgenski spektar analiziran? Kolika je talasna duina L linije? Reenje K = 2,75 K =2,54 Kg = 2,49 (talasna duina granice serije) ------------------------------- EK = ?EL = ? EM = ? Slika 3. Shema elektronskog mikroanalizatora sa talasno-disperzivnim spektrometrom (TDS): 1- katoda 2- anoda 3- anodni otvor 4- elektromagnetna soiva 5- sistem blendi 6- mikroskop 7- uzorak 8-TDSspektrometar(savijenikristalkojise pomerapoobimukruga,sinhronizovanosa pomeranjem detektora) 13 L =? Z =? Konstanta zaklanjanja kod K serije je =1, kvantni broj n1=1 pa je izraz za talasni broj linija ove serije= R (Z 1)2 [ 211 - 221n] = K1 gde je talasna duina odgovarajue Klinije. Za K liniju n2 =2, a za K liniju n2 =3, dok se granica serije dobija kada je n2 = . NajpremoemoizizrazazatalasnibrojKlinijeizraunatitraenirednibrojZ(ovomoemoiiz izraza za talasni broj Klinije ): K1=]2111[ ) 1 (2 22 Z R = 2) 1 (Z)411 ( 10 097 , 1 10 75 , 211 7 10 x m x x m x (2) 1 Z= 441,977 22 = Z Energija prelaza koji odgovara granici K serije je energija prelaza sa nivoa n2 = na nivo n1 = 1,tj.EK.Izizrazazaenergijukvantakojiodgovaraovomprelazumoemoizraunatienergiju nivoa K (tj. nivoa n1=1) EK = E - EK = 0 EK = Kghc

EK = -Kgc h = - m xs m x x s J x108 3410 49 , 2/ 10 998 , 2 10 626 , 6 = -7,978 x 10-16 J 1 eV = 1,6 x 10-19 J EK = -191610 602 , 110 978 , 7xx eV = - 4,980 keV Energiju L nivoa moemo sada izraunati koristei podatak za talasnu duinu K koja odgovara prelazu elektrona sa L nivoa na K nivo Kvant(foton) energije koji se izrai pri prelazu elektrona sa L nivoa na K nivo, kome odgovara talasna duina K je: EK =Kc h= EL EK 14 EL = Kc h+ EK = m xs m x x Js x108 3410 75 , 2/ 10 998 , 2 10 626 , 6 + (- 4,980 keV)= 7,2235 x 10-16 J 4,980 keV = 191610 602 , 110 2235 , 7xx eV 4,980 keV EL = 4,509 keV - 4,980 keV = - 0,471 keV Na slian nain nalazimo energiju M nivoa, na osnovu podatka za talasnu duinu K : EK =Kc h= EM EK EM = Kc h+ EK = m xs m x x Js x108 3410 54 , 2/ 10 998 , 2 10 626 , 6 + (- 4,980 keV) = = 7,8208 x 10-16 J 4,980 keV = 191610 602 , 110 8208 , 7xx eV 4,980 keV = = 4,882 keV 4,980 keV EM = -0,098 keV Talasnu duinu L linije (koja odgovara prelazu elektrona sa nivoa M na nivo L ) dobijamo iz relacijeEL =Lc h= EM EL

Lc h= -0,098 keV (-0,471 keV) = 0,373 keV L = J x x xs m x x Js x19 38 3410 602 , 1 10 373 , 0/ 10 998 , 2 10 626 , 6 = 33,24 Literatura: A. Anti-Jovanovi, Atomska spektroskopija-spektrohemijski aspekt, Fakultet za fiziku hemiju, Beograd 1999. 1 Fizika hemija II Doc. dr Gordana iri-Marjanovi Heizenberg-ov princip neodreenosti Umakrosvetu,poloajibrzina(odnosnoimpuls)pojedinihdelovasistemasistemau odreenomtrenutkuodreujustanjesistema.Podrazumevasedaseoviparametrimogudobiti merenjem i da sam proces merenja ne menja stanje sistema. Ako je poznato poetno stanje sistema (poloaj, impuls) i ako su poznate sile koje deluju na delove sistema (koji mogu biti i estice), tada, premaklasinojmehanici,reavanjemNjutnovihjednainakretanjamoedasepredvidistanje sistema (poloaj i impuls) u bilo kom trenutku u budunosti.Umikrosvetu,meutim,pripreciznommerenjujedneveliine,nekadrugaveliinase nepredvidivomenja.Uprocesumerenjastanjeposmatranogobjektasemenja.Relativneodnose izmeuparametaraobjekata(impulsaipoloaja)umikrosvetuprinjihovommerenjudefinisaojeHeizenberg u svom principu koji glasi: Nemoguejeistovremenoodrediti,saproizvoljnompreciznou,impulsipoloaj estice. Hajzenbergove relacije neodreenosti, koje kvantitativno opisuju ovaj princip su sledee: x px 2h y py 2hz pz 2h (1) gde x, y i zpredstavljaju neodreenosti poloaja neke mikroestice u pravcu x, y i z-ose, respektivno, a px, py i pz predstavljaju neodreenosti impulsapx, py i pz mikroestice. Uoptemsluaju,akoneodreenostpoloajaduoseqoznaimosaq,aneodreenost impulsa u pravcu paralelnom osi q sa p, moemo napisati Hajzenbergov princip kao p q 2h (2) Ove relacije pokazuju da je proizvod neodreenosti poloaja (koordinate) i impulsa (du te istekoordinate)unajboljemsluajuredaveliineh/4 .Postojigranicatanostikojomse istovremenomogumerenjemodreditipoloajesticeinjenimpulsduistekoordinate.Akoje poloajesticeegzaktnopoznat,tadanemoemonitareionjenomimpulsu,iobrnuto. Hajzenbergov princip je univerzalan, i vai za sve pojave u prirodi, dakle i u makrosvetu.

Zadaci:1. Hajzenbergov princip u makrosvetu Neodreenost brzine tela je 1 x 10-6 ms-1 a masa tela je 1,0 g.Odrediti kolika je minimalana neodreenost poloaja ovog tela. Reenje v = 1 x 10-6 ms-1 m = 1,0 g -------------------- q=? 2 Impuls tela p (misli se na intenzite impulsa, jer je p zapravo vektor) je jednak proizvodu mase m i brzine v tela, p = mv, a kada je masa tela poznata, neodreenost impulsa je p = mv. Minimalna neodreenost pozicije tela q je q=ph 4=v mh 4= 1 6 33410 1 10 0 , 1 14 , 3 410 62 , 6 ms x x kg x x xJs x= = 5,27 x 10-26 m. Komentar:Neodreenostkoordinatejeuovomsluajupotpunozanemarljivajerjeobjekat makroskopski(velikemase).Meutim,kadabiseradilonaprimeroelektronukojisekree, neodreenostpoloajamoebitiveaodprenikasamogatoma,toemovidetiunarednom zadatku. 2. Hajzenbergov princip u mikrosvetu Neodreenost brzine elektrona je 500 k m s-1 a masa elektronaje9,1 x 10-31kg.Odrediti kolika je minimalana neodreenost poloaja elektrona. q=ph 4=v mh 4= 1 3 313410 500 10 1 , 9 14 , 3 410 62 , 6 ms x x kg x x xJs x= =1,16 x 10-10 m. Komentar:neodreenostpoloaja(koordinate)elektronajeredaveliineprenikaatoma,dakle znaajna. Dinamika mikroskopskih sistema Kvantnamehanikapodrazumevaestino-talasnidualizammaterijeismatradaseestica rasprostire kroz prostor kao talas. Svakom stanju sistema u kvantnoj talasnoj mehanici pridruuje se talasna funkcija, (psi). redingerova jednaina ErwinSchrdinger,austrijskifiziar,postaviojejednainuzanalaenjetalasnefunkcijenekog sistema. -------------------------------------------------------------------------------- Operatori Operatorjesimbolzaprimenuodreenematematikeoperacijenanekojfunkciji;nekaopta oznaka za operator bude . Kada operator primenimo na neku funkciju dobijamo novu funkciju, na primer , tj. = 3 Primer: Dejstvomoperatorad/dxnafunkcijusinxdobijamonovufunkcijucosx: = = x xdxdcos sin U kvantnoj mehanici bitan je Laplasov operator 22x + 22y + 22z = = 2------------------------------------------------------------------------------------------ Svojstveni problem operatora Akosedejstvomoperatoranafunkcijudobijaistatafunkcijapomnoenanekom konstantom a (brojem) = a (3) tadasefunkcijanazivasvojstvenafunkcija,akonstantaasvojstvenavrednostoperatora. Jednaina se zove jednaina svojstvenih vrednosti. Svojstvena funkcija je razliita za svaku svojstvenu vrednost a. Zadaci: 1. Da li je funkcija = eax svojstvena funkcija diferencijalnog operatora dxd ? Pokazati zato. Nai odgovarajuu svojstvenu vrednost. (Napomena: a je konstanta). Reenje = eax = dxd axedxd= a eax = aFunkcija eax jeste svojstvena funkcija operatora dxd. Svojstvena vrednost ovog operatora je u ovom sluaju konstanta a. 2. Da li je funkcija = e2axsvojstvena funkcija diferencijalnog operatora dxd ? Pokazati zato. Reenje = e2ax = dxd = 2axedxd= 2ax e2ax= 2ax Funkcija nije svojstvena funkcija datog operatora. 4 Ovo nije jednaina svojstvenih vrednosti jer funkcija na desnoj strani jednaine nije pomnoena konstantnim faktorom (jer 2ax nije konstanta). ------------------------------------------------------------------------------------------ Opta forma tzv. stacionarne (vremenski nezavisne) redingerove jednaine je H = E (4) To je jednaina svojstvenih vrednosti, u kojoj figurie operator Hkoji se zove hamiltonijan (po matematiaru iz IX veka Vilijamu Hamiltonu). Unjoj,svojstvenafunkcijahamiltonovogoperatorajetalasnafunkcijakojojodgovara svojstvena vrednost - dozvoljena energija E.

Zajednodimenzionalnesisteme,tj.kadaseesticamasemiukupneenergijeEkreeujednoj dimenziji hamiltonijan H ima oblik = H- 22 22 dxdmh + V(x) (5) Hamiltonijanjeoperatorkojiodgovaraukupnojenergijisistema,daklezbirukinetikei potencijalne energije (prvi lan u jednaini (5) je dakle operator kinetike energije a drugi, V(x), je operator potencijalne energije. redingerovajednainazajednodimenzionalnesistemese,naosnovu(4)i(5),moenapisati kao: - 22 22 dxdm h + V(x) = E(6) gde je faktor V(x) potencijalna energija estice u taki x.Za trodimenzionalne sisteme , umesto operatora 22dxd uvodi se 22x + 22y + 22z = 2 == Laplasov operator(7) tako da stacionarna redingerova jednaina tada ima oblik: - m 22h +V(x) = E (8) redingerova jednaina za sisteme koji se menjaju sa vremenom ima sledei oblik Reitiredingerovujednainuznainaisvojstvenevrednosti(E)isvojstvenefunkcije() operatora hamiltonijana za dati sistem. 5 H =i ht (9) koji se zove vremenski zavisna redingerova jednaina. Kadanapiemohamiltonovoperatorkakojedatjednainom(5),vremenskizavisnaredingerova jednaina dobija oblik: - m 22h+V(x) = i ht (10) Posvojojmatematikojstrukturiredingerovajednainajeparcijalnadiferencijalnajednainau kojoj se javljaju drugi izvodi funkcije po prostornim koordinatama i, u sluaju promene sistema sa vremenom, prvi parcijalni izvod funkcije po vremenu.redingerova jednaina je postulat, slino Njutnovim zakonima kretanja, tj. ona se ne izvodi. Born-ova interpretacija talasne funkcije (Max Born) Glavno naelo kvantne mehanike jeste da talasna funkcija sadri sve dinamike informacije o sistemu kojeg opisuje. Kadajepoznatobliktalasnefunkcije,tadamogudaseizraunajusveveliineodznaajazadati sistem.Akoseznaobliktalasnefunkcijeupoetnomtrenutkuipoljesila,tadareavanjem vremenskizavisneredingerovejednainemoedaseodreditalasnafunkcija,atimeistanje sistema u bilo kom trenutku. Talasnafunkcijaje,uoptemsluaju,kompleksnafunkcija(pajojsezbogtoganepripisuje fiziki smisao).Bornovainterpretacijatalasnefunkcijejesledea:kvadrattalasnefunkcije(ilikvadratmodulatj. apsolutne vrednosti, ako je talasna funkcija kompleksna, | |2 = * ) u datoj taki je jednak gustini verovatnoe nalaenja estice u toj taki. Posebno, za jednodimenzionalne sisteme, Bornova interpretacija talasne funkcije glasi: Ako talasna funkcija estice ima vrednost u nekoj taki x, tada je verovatnoa nalaenja estice izmeu x i (x+dx) srazmerna | |2 dx. (Ovo je ilustrovano na slici 4.). Slika 4. Talasna funkcija po Bornu;||2 gustina verovatnoe6 ||2jegustinaverovatnoe,adabisedobilaverovatnoatrebapomnoiti||2sa infinitezimalnom duinomdx. Zatrodimenzionalnesisteme,Bornovainterpretacijakae:akotalasnafunkcijaesticeima vrednostunekojtaki(ijijepoloajodreenradijusvektoromrr(Slika5)),verovatnoa nalaenja estice u infinitezimalnoj zapremini dV = dx dy dz srazmerna je ||2 dV. Slika5.Bornovainterpretacijatalasnefunkcijeutrodimenzionalnomprostoru;verovatnoa nalaenja estice u elementu zapremine dV=dx dy dz je ||2 dV Jednaina De Broljijevog talasa Prema De Broljijevoj ideji, estici moemo pridruiti odgovarajui talas. Akosepoeodjednaineravnogmonohromatskogtalasa(ukompleksnomobliku)kojise prostire u pravcu x-ose s = a ei ) ( kx t ie (11) = T 2 = 2 (12) gdejes-elongacija(rastojanjeodravnotenogpoloaja),a-amplituda,-poetnafaza,kruna (ugaona) frekvencija, -linijska frekvencija, T-period oscilovanja, k intenzitet talasnog vektora u pravcu x-ose k = 2 Slika 6. Ravan monohromatski talas 7 Oznaiemosadaelongacijussa,aaeisao(kompleksnaamplituda)pajednainaravnog monohromatskog talasa postaje = o ) ( t kx ie(13) Izmeu estinih karakteristika E i p (impuls) i talasnih karakteristika i k postoje sledee veze E = h = h 2 = h (14) Dalje, iz De Broljijeve jednaine = h/pirelacije k = 2/ sledi p = h = 2k h =h k (15) Kadaseiz(14)ikiz(15)zameneujednainiravnogtalasa(13)dobijasejednainaDe Broljijevog talasa kojim prikazujemo esticu impulsa p koja se kree du x-ose: = o )E( xpt ieh h=o ) ( px Etieh (16) gde se pod p podrazumeva impuls u pravcu x-ose, px . ------------------------------------------------------------------------------ Podsetnik o kompleksnim brojevima Kompleksan broj z sastoji se od realnog dela a i imaginarnog dela b i pie se kao z = a + ib a i b su realni brojevi, ije imaginarna jedinica za koju vaii2 = -1 konjugovano kompleksan broj je z* z* = a - ib Kompleksan broj moe se predstaviti takomu ravni iji poloaj je definisan radijus vektoromintenziteta = (a2 + b2)1/2(koji se jo naziva i moduo ili apsolutna vrednost). Slika 7. Kompleksan broju polarnim koordinatama U trigonometrijskom obliku kompleksan broj se pie kao z = (cos + i sin) gde je apsolutna vrednost (moduo) radijus vektora. 8 U eksponencijalnom obliku, (uz primenu Ojlerove formule) z = ei z = (cos + i sin)= ei odnosno z* = (cos isin) = e i zz* = ei e i = 2(17) Jednaina (17) pokazuje da je proizvod z i z* realan broj. To znai da je proizvod talasne funkcije i njene konjugovano kompleksne funkcije * realna funkcija, i ne moe biti negativna. *= | |2 ili prema obeleavanju izjednaine (16) *= o ) ( px Etieh o ) ( px Etie h = o2 ili, ako se talasna funkcija predstavi u formi kompleksnog broja = a + ib, tada je* = a ib, apsolutna vrednost od je, po definiciji | | = (a2 + b2 )1/2 pa jegustina verovatnoe * = (a + ib) (a-ib) = a2 abi +abi i2b2 = a2 + b2 = | |2 Otuda, gustina verovatnoe ||2, kao realna funkcija (a i b su realni), ima fizikog smisla. Matematika priroda talasne funkcije Talasna funkcija mora ispunjavati sledea tri uslova: 1. mora biti jednoznana, to znai da ima jednu i samo jednu vrednost u svakoj taki prostora, (jer estica ne moe imati razliite verovatnoe nalaenja u istoj taki prostora) Funkcija na slici nije jednoznana (vieznana je) jer za jedno x postoji vie vrednosti 9 2. mora biti neprekidna, kako bi njen drugi izvod bio svuda definisan Funkcija ima prekid i nije odgovarajua 3. njen nagib mora da bude kontinualan, kako bi prvi izvod funkcije bio uvek definisan 4.moradabudekonana,odnosnointegral||2dvugranicamaod-do+morabiti konaan broj. Funkcija nije odgovarajua, jer je u odreenoj oblasti beskonana.Takva je na primer i funkcijaf = x2 jer+ | x2 |2 dx= x4 dx = x5/5| = - ( -) = - Normiranje talasne funkcije Podsetimo se stacionarne redingerove jednaine - m 22h +V(x) = E(1) Jednaodmatematikihosobinaredingerovejednainejestedaukolikopredstavljareenje redingerovejednaine,ondaiNpredstavljatakoereenjeovejednaine,gdejeNneka konstanta (realna). Funkcijanaslicinije odgovarajuajerjenjennagib diskontinualan. 10 Tosemoezakljuitiizgornjejednaine:akosesvudaumestostaviN,konstantaese ponititi. Konstanta N zove se konstanta normiranja. Verovatnoa da se estica nae u regionu dx bie jednaka (kada koristimo talasnu funkciju N):

(N) (N*) dx(2) Dalje,sumapocelomprostoruovihpojedinanihverovatnoamorabiti1(jerjeverovatnoada esticabudenegdeuposmatranomprostorujednaka1).Ovosematematikiizraavapreko integrala (N) (N*) dx = 1 (3) odnosno N2 * dx = 1(4) ili 1 N = ---------------------(5) [ * dx]1/2 Integrali u izrazima 3,4 i 5 su po celom prostoru koji je dostupan estici ( na primer od - do +, ako estica moe biti bilo gde u beskonanom prostoru). Dakle, izraunavanjem integrala (5) moemo nai vrednost konstante normiranja N i na taj nain normirati talasnu funkciju.U trodimenzionalnom prostoru 1 N = -----------------------------(6)[ * dx dy dz]1/2 a u sfernimpolarnim koordinatama r, i , koje sekoriste u sistemima sa sfernom simetrijom element zapremine dv bie dv = r2 sin dr d d(7) atosemoedobitinaosnovurelacijakojepovezujur,isakoordinatamaDekartovog pravouglog koordinatnog sistema, x,y i z (vidi sliku 1 a): x= r sin cos(8) y =r sin sin z =r cos r [0 - ], [0- ] , [0-2] Ucelomsfernomprostoru,radijusrmoeimativrednostiod0do,ugao(kolatituda)ima vrednosti u rangu od 0 do i ugao (azimut) ima vrednosti u opsegu od 0 do 2(Slika 1 b). 11 a)b) Slika 1. a) sferne koordinate, b) rangiranje uglova i Zadatak: Normiranje talasne funkcije 1.Normiratitalasnufunkcijuestice(x)=sin Lnx,kojasenalaziuogranienoj jednodimenzionalnoj oblasti od x= 0 dox = L, gde sun i Lsu celi brojevi. Reenje Data talasna funkcija (x) je realnatako da je * =||2 = sin2 Lnx

L N2 sin2 (Lx n) dx=1 0 Treba da znamo formu reenja integrala sin2 kx dx

sin2 kx dx = 21 x k 41sin(2kx) U naem sluaju k =Ln L N2 0 sin2 (Lx n) dx = N2( 21 xL0 - Ln41sin xLn 2L0)=1 N22L= 1 N = (L2)1/2 12 Primena redingerove jednaine estica u potencijalnoj jami Nalaenjeosobinasistemaukvantnojmehanicipostiesereavanjemodgovarajueredingerove jednaine.Zaraznevrstekretanjaestica,reavanjemovejednaine,mogusenaidozvoljene vrednostienergijaiizabiranjemonihreenjakojazadovoljavajuogranienjaokojimasmo govorilinaprethodnomasu(uslovijednoznanosti,neprekidnosti,diferencijabilnostii konanosti).Pokazaesedasusamoodreenetalasnefunkcijeinjihoveodgovarajueenergijedozvoljene (prihvatljive). Jednodimenziona potencijalna jama IIIIII

Slika 2. Jednodimenziona potencijalna jama sa beskonano visokim zidovima. Kadaje esticaslobodna,onamoeimatibilokojuvrednostkinetike energije.Meutim,kada je njenokretanjeogranienonaodreenuoblast,dozvoljenetalasnefunkcijemorajuzadovoljiti odreene granine uslove.Razmatraemoproblemesticemasemujami,tj.situacijukadajeesticaogranienaizmeu zidova koji se nalaze na x=0 i x=a. To je jama sa beskonano visokim zidovima. Potencijalnaenergijaesticeujamijenula(oblastII),arastedobeskonanostiizvanjame,u oblastimaIiIII(Slika2).Promenapotencijalneenergijeesticekaodasedogaapoddejstvom neke sile u okolini taaka x=0 i x=a. Napisaemo redingerove stacionarne jednaine za oblasti I, II i III. (I)212dxd + ) (822U Ehm 1= 0- S, broj 2S +1 = M je multipletnost i jednak je broju nivoa, ali to nije sluaj za L R , su Stoksove linije i one odgovarajuv = +1. Kod spektara u gasnoj fazi, ove linije imaju strukturu grana koja proizilazi iz istovremenih rotacionih prelaza, koji se pridruuju vibracionom. Vibraciono-rotacioni Ramanski spektri J = 0, 2 O granazaJ = -2 Q grana za J=0 S grana za J=+2 isto rotacioni Ramanski spektri Za linearne molekule (rotatore) izborno pravilo je J = 0, 2.Za linearne molekule, frekvencije isto rotacionog Ramanskog spektra sa obe strane od o odgovaraju J = 2. Za simetrine rotatore (dva momenta inercije su jednaka ali su razliita od treeg) izborno pravilo jeJ = 0, 1 MolekulitipasferineigreneispoljavajuistorotacioneRamanskespektre,alisvimolekuli tipa simetrine i asimetrine igre pokazuju isto rotacione Ramanske spektre. Prelazi sa J=0 ne vode pomeraju frekvencija rasejanih fotona i doprinose Rejlijevom zraenju Za J = +2je Eb > Ea , odnosno o > R , to su Stoksove linijerotacionog Ramanskog spektra. U sluaju Stoksovih traka molekul poveava svoju energiju na raun energije fotona sa kojim se sudara, a rasejani foton odlazi sa manjom energijom od one koju je imao pre sudara sa molekulom. Za J=-2jeEb0,itakvesupstancijezovuseparamagnetici.Gustinamagnetnogfluksaje smanjena kada je M suprotne orjentacije od H, i tada je < 0, a takve supstancije zovu se dijamagnetici.Tipineparamagnetnevrednostizasuredaveliine103,akod dijamagnetikaje reda veliine 105. Molekulisapermanentnimmagnetnimdipolnimmomentom mdoprinosemagnetizaciji lanom kTm32(kaotopolarnimolekulidoprinoseelektrinojpolarizacijisredinePm 2 prekolana kT 32).Primenjenomagnetnopoljemoetakoeindukovatimagnetni momenat u meri koja je odreena magnetizabilnou, (ksi), molekula.Relacija koja povezuje zapreminsku magnetnu susceptibilnost sa magnetizabilnou ipermanentnim magnetnim momentom m je + ++ + = == =kT VNmo32 (4) Na osnovu relacija amm a mNV nV N nVV N= = (5) i nakon mnoenja leve i desne strane jednaine (4) sa Vm sledi analogan izraz za molarnu magnetnu suseptibilnost: + ++ + = == =kTNmo a m32 (6) Izraz (6) za m jesaglasan sa empirijskimKirijevim zakonom: TCAm+ = (7) gdeje o aN A= ,a kN Cmo a32 = == = .Permanentnimagnetnimomenatmmoese izraunati na osnovu merenja susceptibilnosti, igrafika = f(1/T). Magnetnimomenatmolekulamoesedobitikaovektorskizbirmagnetnihmomenata svihelektronaumolekulu.Usluajudajerezultujuimagnetnimomenatjednaknuli, usleduzajamnogponitavanjasastavnihmomenata,molekulpokazujedijamagnetizam. Molekulikojinemajupermanentnimagnetnimomenatnazivajusedijamagnetni.Takav je sluaj kod molekula u stanju 1, kao to su H2, N2, CO, CO2, H2O, CH4, C6H6 i dr. Permanentnimagnetnimomenat mmolekulaproizilaziizpostojanjanesparenih elektronskih spinova u molekulu. U sluaju kada je ukupni magnetni momenat molekula razliitodnulesupstancijapokazujeparamagnetizam,amolekulikojiimaju permanentnimagnetnimomenatnazivajuseparamagnetni.TakvisumolekuliO2iS2 iji je osnovni term3 ( slika 1 a). Veliina magnetnog momenta elektrona m proporcionalna je veliini spinskog ugaonog momenta,tj.~ h ) 1 ( + s s ,azamolekulkojiimavieelektronskihspinovaonise kombinujuuukupnispinS,iumestos(s+1)pieseS(S+1).Pemanentnimagnetni 3 momenat paramagnetnihsupstancijajezapravospinskimagnetnimomenat skoji predstavljarezultantuSmagnetnihspinskihmomenatanesparenihelektronaiima vrednost eemeS S g m2) 1 (h+ =gdejege=2,0023,akonstanta eme2hzoveseBorovmagnetonipredstavljajedinicu magnetnog momenta. Sledi da je spinski doprinos molarnoj magnetnoj susceptibilnosti:T kNso a m32 = == = = 22 2 243) 1 (ee o ameT kS S g N h + Ovajizrazpokazujedajesusceptibilnostpozitivnam >0,takodaspinskimagnetni momentidoprinoseparamagnetnojsusceptibilnostimaterijala.Ovajdoprinosopadasa porastom T zato to termalno kretanje se suprotstavlja orijentacijama spinova. Naniskimtemperaturama,nekivrstiparamagnetici(Fe,Ni,Fe3O4)pokazuju fazniprelazustanjeukomepostojeoblasti(domeni)ukojimasuspinovi(spinski magnetnimomenti)paralelnoorjentisani.Ovokooperativnoureenjedajeveomajaku magnetizacijuifenomensezoveferomagnetizam,atakvesupstancijezovuse feromagnetici(slika1b).Feromagnetniprelazdogaasenatemperaturikojasezove Kirijevatemperatura.Feromagnetnafazaimamagnetizacijurazliituodnuleu odsustvuprimenjenogpolja.Priukljuivanjuspoljanjegpolja,itavidomenise orijentiuupravcupoljaimagnetizacijaodnosnosusceptibilnostjeizuzetnovelika, znatnoveanegokodparamagnetnihsupstancija.Posleiskljuivanjapolja,kodovih supstancija postoji izvesno zadravanje orjentacije oblasti (remanencija). Postojesupstancijekodkojihkooperativniefekatvodinaizmeninojorjentaciji spinova.Ovakvimaterijali,kodkojihseelektronskispinovisegrupiuuantiparalelna ureenjazovuseantiferomagnetici(slika1c),odnosnospinoviformirajuureenjasa niskom magnetizacijom dajui antiferomagnetnu fazu. Primer antiferomagnetika je FeO. Kodantiferomagnetnihsupstancijapostojedakleoblastisaantiparalelnomorijentacijom magnetnihmomenata.Antiferomagnetniprelazdeavasenatzv.Nelovojtemperaturi (Neel).Antiferomagnetnafazaimamagnetizacijujednakunuli,jersespinskimagnetni momenti ponitavaju. 4 Slika1.a)Sluajnaorijentacijaspinskihmagnetnihmomenataparamagnetikau odsustvu polja, b) paralelna orijentacija momenata udomenu feromagnetne supstancije c) naizmenina orijentacija susednih momenata u domenu antiferomagnetika. 1 Fizika hemija IIDoc. dr Gordana iri-Marjanovi vrsto stanje osobine vrsto stanje moe biti kristalno ili amorfno. Kristalnevrstesupstancijegeneralnopokazujuotrutakutopljenja;ispitivanjagolimokomili pomou mikroskopa pokazuju kristale koji imaju dobro razvijene povrine i karakteristian oblik. DifrakcijaX-zrakapokazujedakristalnavrstasupstancijaimaregularnu,ureenustrukturu, sastavljenu od identinih ponavljajuih jedinica koje imaju istu orjentaciju kroz ceo kristal. Ove ponavljajue jedinice su grupe atoma, molekula ili jona. Amorfnovrstostanjenemakarakteristiankristalnioblik.Prizagrevanjuomekavaitopiseu irem temperaturskom opsegu. Difrakcija X-zraka pokazuje neureenu strukturu. Staklo je amorfna vrsta supstancija dobivena hlaenjem tenog stanja. Najee se staklo dobija iz rastopljenog SiO2 kojisadrirazliitekoliinemetalnihoksida.OnosadrilanceiprstenovesaSi-Ovezama,a struktura je neureena i iregularna. Polimeri(makromolekuli),supstancijeijisemolekulisastojeodvelikogbrojaponavljajuih jedinica (monomera) koje su vezane kovalentnom vezom, su esto amorfne vrste supstancije, mada mogu biti i kristalni, ili delimino kristalni-delimino amorfni. Uvrstomstanju,strukturnejedinice(atomi,molekuli,joni)stojepraktinonepokretnona svojim mestima. Za razliku od njih, u tenostima strukturne jedinice mogu da se pomeraju tako da je stepen ureenosti u tenostima mnogo manji nego u kristalnom vrstom stanju. Tenosti imaju ureenostkratkogranga,natajnaindamolekuliunajbliemokruenjudatogmolekulateeda postignupogodnuorjentacijuimeumolekulskorastojanje,alitenostinemajuureenostdugog ranga, to znai da nema korelacije izmeu orjentacija dva udaljena molekula i nema ogranienja njihovog meusobnog rastojanja. Amorfno vrsto stanje lii na teno stanje po tome to nema ureenost dugog ranga. Hemijske veze u vrstom stanju Kristalisedelenajonske,kovalentne,metalneimolekulske,premaprirodihemijskevezei meumolekulskih sila u kristalu. JonskikristalisesastojeodpozitivnihinegativnihjonakojisedrezajednoKulonovom privlanom silom izmeu suprotno naelektrisanih jona. Primeri su NaCl, MgO, CaCl2, KNO3 . Metalnikristalisusastavljeniodvezanihatomametala.Nekiodvalentnihelektronasu delokalizovani kroz ceo metal.Primeri su Na, Cu, Fe i razliite legure. Kovalentnikristalisesastojeodbeskonanemreeatomakojisedrezajednokovalentnim (polarnim ili nepolarnim) vezama. Individualni molekuli nisu prisutni. Primeri su ugljenik u formi dijamanta (Slika 1) ili grafita, Si, SiO2, SiC. 2 Slika1.Jedininaelijadijamanta,kovalentnogkristala.Oseneniatominalazeseunutar jedinine elije, a takasti atomi lee na povrinama jedinine elije U dijamantu, svaki C atom vezan je sa etiri druga C atoma koja ga okruuju tetraedarski. Tako se dobija trodimenzionalna mrea koja se iri kroz ceo kristal. Silicijum ima istu strukturu. SiO2 ima trodimenzionalnu mreu u kojoj je svaki Si vezan sa etiri O u tetraedarskim uglovima, a svaki O je vezan sa dva Si atoma. Kodmnogihkovalentnihkristalamreajedvodimenzionalna.Primerjegrafit.Onsesastojiod slojevaheksagonalnihprstenova,uokviruslojavezepredstavljajusredinuizmeujednostrukei dvostruke veze (kao kod benzena), a susedni slojevi dre se zajedno van der Waals-ovim silama. Jednodimenzione mree formiraju kovalentni kristali BeCl2 (Slika 2) i BeH2 . BeClClBeClClBeClClBeClClBe Slika2.StrukturavrstogBeCl2kovalentnikristal,jednodimenzionalnamrea.etiriClatoma oko svakog Be su priblino tetraedarski rasporeena Primerkovalentnogkristalakojiformiratrodimenzionalnumreusunekisintetikipolimeri,npr. guma. Kovalentne veze izmeu pojedinih lanaca povezuju ceo materijal u jedan ogromni molekul; tosuumreenipolimeri;npr.privulkanizacijisirovogkauukadodajesesumpor,kojiotvara dvostruke veze u polimernim lancima i umreava susedne molekule (lance) vezama preko jednog ili vie S atoma, ovo umreavanje znatno poveava jainu guma. Kod jonskih, metalnih i kovalentnih kristalaceo kristal je jedan dinovski molekul - ne moemo razlikovati pojedinane molekule. Koordinacioni broj nekog atoma ili jona u vrstoj supstanciji je broj najbliih suseda toga atoma ili jona.UNaClnaprimer,(Slika3.)svakiNa+okruenjesa6najbliihCl-jonatakodaje koordinacioni broj Na+ jona 6. Kod metala koordinacioni broj je obino 8 ili 12. 3 Slika 3. a) Jedinina elija NaCl oznaena je debljim linijama b) pakovanje jona u NaCl Molekulski kristali su sastavljeni od individualnih molekula, a atomi unutar svakog molekula dre sezajednokovalentnimvezama.RelativnoslabevanderWaals-ovesileilivodoninrvezedre molekule zajedno u kristalu. Molekulski kristali dele se na van der Waals-ove kristale, u kojima su meumolekulska privlaenja dipol-dipol, dipol-indukovani dipol ili disperzione sile i na vodonino-vezane kristale, kod kojih su glavna meumolekulska privlaenja vodonine veze. Primeri van der Waals-ovih kristala su: Ar, CO2, HgCl2, SnCl4 , C6H5NO2 Primeri vodonino- vezanih kristala su: H2O, HF, NH3, amino kiseline. Struktura kristala Kristal je izgraen od pravilno ponavljajue strukturne jedinice, koja se zove strukturni motiv (ili bazis).Strukturnimotivseponavljautridimenzijedajuistrukturukristala.Strukturnimotiv moe biti jedan atom ili molekul, ili grupa atoma, molekula ili jona.Svaki ponavljajui motiv ima istu strukturu i istu prostornu orjentaciju kao i bilo koji drugi uoeni motiv u kristalu. Takoe, on mora imati isti stehiometrijski sastav kao i kristal. Kod NaCl, motiv se sastoji od jednog Na+ jona i jednog Cl- jona. Kod Cu, motiv je samo jedan Cu atom. Kod Zn, motiv ine dva Zn atoma.U dijamantu, motiv ine dva C atoma. Prostorna reetka Prostorna reetka je trodimenzionalan, beskonani niz taaka; svaka taka je na identian nain okruenasvojimsusedima.Svakojtakiprostornereetkepridruenjepojedanidentian strukturni motiv (Slika 4 ) i na taj nain se gradistruktura kristala. Nije obavezno da se bilo koji od atoma motiva poklapa sa takom reetke. Kod I2 na primer, taka reetke nalazi se u centru molekula I2 , a strukturni motiv sainjavaju dva molekula I2 , Slika 5. 4 Slika4.Strukturakristaladobijasepridruivanjemstrukturnogmotivasvakojtakireetke(kao primer dat je motiv A-B izgraen od atoma A i B). Na slici je prikazana dvodimenzionalna reetkai hipotetina dvodimenziona struktura kristala. Jedinina elija Prostornareetkakristalamoese(imaginarno)podelitinaidentineparalelepipedespajanjem taakareetkepravimlinijama.(Paralelepipedjegeometrijskotelokojeima6stranakojesusve paralelogrami).Svakitakavparalelepipedjejedininaelija.Ceokristalsemoe(misleno) izgraditiistotranslatornimpremetanjemjedinineelije.Postojibezbrojrazliitihjedininih elijakojimasemoeopisatiistareetka,(dvejedinineelijekoddvodimenzionalnereetke prikazane su na Slici 6 a i b) ali se u kristalografiji jedinina elija bira tako da njene ivice imaju najkraeduine(tj.daonaimanajmanjumoguuzapreminu)idaimamaksimalanbroj normalnihivica(toznaimaksimalnusimetriju),odnosnodasuugloviizmeuivicatoblii pravom uglu. Slika 6. Dva naina formiranja jedininih elija u dvodimenzionalnoj reetki sa Slike 4. Slika5.KristalI2,;strukturnimotivine dvamolekulaI2pridruenasvakojtaki reetke,alitakareetkeleiucentru jenog od ta dva molekula I2 5 Udvedimenzijejedininaelijajeparalelogramsastranamaduinaaibiuglomizmeuovih strana. U tri dimenzije jedinina elija je paralelepiped sa ivicama duine a, b i c i uglovima , i , gde je ugao izmeu ivica b i c, je ugao izmeu ivicaa i b,i je ugao izmeu ivica a i c. Jedinine elije klasifikuju se u sedamkristalnih sistema, premarotacionim elementima simetrije koje poseduje jedinina elija, Tabela 1. Tabela 1. Sedam kristalnih sistemaSISTEMSutinske simetrijePrimeri Triklinini NemaKalijum dihromat Monoklinini Jedna C2 osaMonoklinini sumpor Ortorombini3 normalne C2 oseRombini sumpor Romboedarski (trigonalan)Jedna C3 osaKalcit TetragonalanJedna C4 osaBeli kalaj HeksagonalanJedna C6 osaGrafit Kubini4 C3 ose u tetraedarskom ureenjuNaCl Kubina jedinina elija, na primer, ima etiri C3 ose u tetraedarskom ureenju. Triklinina elija nema rotacionu simetriju, tipino za nju je da su sve tri strane i sva tri ugla razliita. Sutinske simetrije (Tabela 1) znae elemente koji moraju biti prisutni u jedininoj eliji da bi ona pripadala odreenom kristalnom sistemu. 1848. Bravais je pokazao da postoji 14 razliitih kristalnih reetki u tri dimenzije. Slika 7. ilustruje jedinine elije 14 Bravais-ovih reetaka. Jedinina elija koja ima take reetke samo u uglovima naziva se primitivna (P). Sedam Braveovih reetaka ima primitivne jedinine elije. Zapreminski centrirana (I, od nemakog innenzentrierte) jedinina elija ima taku reetke unutar elije,unjenomcentru,osimtaakanavrhovima.TriBraveovereetkesusazapreminski centriranom jedininom elijom Povrinskicentrirana(F,face)jedininaelijaimatakereetkenacentrimastrana(6),osim taaka reetke na vrhovima. Dve Braveove reetke su povrinski centrirane. Centrirana na krajevima, C- kada se take reetke nalazeu centrima dveju suprotnih strana (ije su ivice a i b), slino je znaenje za jedinine elije A i B. 6 Slika 7. Jedinine elije 14 Bravais-ovih reetki kubini tetragonalan ortorombian heksagonalan romboedarski monokliniantriklian 7 Svaka taka u uglu jedinine elije podeljena je izmeu 8 susednih jedininih elija u reetki, etiri u posmatranom nivou, a 4 odmah iznad ili ispod (Slika 8). Slika8.Prikazanatakareetkepodeljenajeizmeu4jedinineelijeprikazanognivoai4 jedinine elije u nivou odmah iznad. Otuda, primitivna jedinina elija ima 8/8 =1 taku reetke po jedininoj elijii jedan strukturni motiv po jedininoj eliji. Povrinski centrirana (F) ima dodatno jo6 taaka na centrima strana, svaku od njih dele po dve jedinineelije,takodajebrojtaakareetkepojednojjedininojelijijednak8/8+6/2=4,a takoe ima 4 strukturna motiva po jedininoj eliji. Zapreminskicentriranajedininaelijaimae8/8+1=2,dakle2takereetkepojedininoj eliji. Primitivna jedinina elija se moe koristiti za opis bilo koje kristalne strukture, ali poto u mnogim sluajevimaovaelijaimamanjusimetrijuodelijecentriranereetke,tojepogodnijekoristiti centriranu reetku, Slika 9. Obeleavanjetaaka i ravni. Milerovi indeksi Dabioznaili poloaj neketakeujedininoj eliji, biramokoordinatnisistem sapoetkomu uglu jedinine elije i ose koje se podudaraju sa a,b i c ivicama elije. Ove ose ne moraju da budu uzajamno normalne. Poloaj neke take u eliji se oznaava dajui njene koordinate kao frakcije duina a, b i c jedinine elije.Na primer, taka u koordinatnompoetku je 000; taka u centrujedinine zapreminski centrirane elije ima koordinate 1/2 1/2 1/2; taka u centru povrine ije su ivice b i c je 0 1/2 1/2. Rastojanjetaakareetkeukristalujevaankvantitativanaspektnjegovestruktureiispitivanja kristalametodamadifrakcije.Meutim,imamnogorazliitihsetovaravni(Slika10)ipotrebnoje oznaiti ih.Slika9a)Dvodimenzionareetkapodeljenaucentrirane jedinineelijeb)istareetka podeljenaumanjesimetrineprimitivne jedinine elije 8 Slika 10. Setovi ravni p1 i p2(samo dva od velikog broja moguih) koje prolaze kroz take reetke OrjentacijakristalnihravniopisujeseMilerovimindeksima(hkl).Onipredstavljajureciprone vrednosti odseaka koje data ravan odseca na na kristalografskim osama, izraenemalim celim brojevima (h k l) Postupak odreivanja Milerovih indeksa je 1. nalaze se preseci (odseci) ravni na a,b i c osama kao umnoci duina jedinine elije a, b, c 2. piu se reciprone vrednosti ovih brojeva 3.akosenedobijucelibrojeviukoraku2,tadasetridobivenabrojamnoeodgovarajuim faktorom kako bi se dobili celi brojevi. Ovo e biti jasnije na sledeim primerima. Razmatramo ravni prikazane na Slici 11. Slika 11. Odredjivanje Milerovih indeksa pojedinih ravni kristala Primer 1. Osenena ravan rsee a osu u a/2 i b osu u b/2, a lei paralelno c osi tako da je odseak jednak . Korak 1 daje , , . Korak 2 daje 2,2,0. Tako, Milerovi indeksi ove ravni su (220). Primer 2. Ravan oznaena sa sima Milerove indekse (110) Primer 3. Ravan t ima odseke 23a , 23b, , korak 2. daje 32,32,0 Milerovi indeksi su (220) Primer 4. Ravan u ima odseke 2a, 2b,, korak 2 daje 1/2, 1/2, 0, a korak 3 daje Milerove indekse (110) ZapaamodaveavrednostMilerovogindeksahdateravniznaidajeodseaknaosiablie koordinatnom poetku. Ravnisiu,kaoibeskonaanbrojnjimaparalelnihravni(odkojihsusvakedvesusednena podjednakom rastojanju kao i ravni s i u) obrazuju set ravni (110). Zasetravni(220)smatrasedaukljuuje(110)ravniplusravnikojesenalazeposredini(110) ravni. Ravni r,s,t,u,... obrazuju set (220). Na slici 11. a) prikazan je set (220) ravni. Pri odreivanju Milerovih indeksa seta paralelnih ekvidistantnih ravni posmatraju se odseci ravni najbliih koordinatnom poetku, ali koje ne sadre koordinatni poetak. P1 1 Fizika hemija IIDoc. dr Gordana iri-Marjanovi vrsto stanje nastavak Jonski kristali Veza Avogadrovog broja i gustine kristala SaZemooznaitibrojformulskihjedinicapojedininojeliji.(Formulskajedinicanatrijum hlorida je NaCl). Slika 1. Jedinina elija NaCl oznaena je debljom linijom Kako odrediti broj Z za kristal NaCl ? Natrijum hlorid pripada grupi jonskih kristala i ima povrinski centriranu kubnu reetku (PCK), vidiSliku1,gdejejedininaelijaoznaenapodebljanomlinijom.Mnogajedinjenjaimaju strukturu NaCl tipa npr. LiCl, KCN, KF, NaCN, NaBr, MgO, CaO, CeN, AgBr, PbS Strukturni motiv (bazis) sainjavaju jedan Na+ jon i jedan Cl- jon, koji se pridruuju svakoj taki reetke. U prethodnoj lekciji smo za PCK (ili ranija oznaka F) odredili da je brojstrukturnih motiva po jedininoj eliji jednak 4 (8/8 + 6/2 = 4), a na svaki strukturni motiv dolazi po jedan Na+ i jedan Cl-, odnosnopojednajedininaformulaNaCl,zakljuujemodajebrojZformulskihjedinicapo jedininoj eliji NaCl jednak 4, kod kristala tipa natrijum hlorida. Broj Z kod NaCl moemo odrediti i nadrugi nain. Kao to vidimo na Slici 1. ima8 Cl- jona u uglovima i 6Cl- jona na sreditima strana kocke, tako da jedininaelijaima8/8+6/2=4 Cl-jona.Dalje,ima12Na+ jonanaivicama jedinine elije, svakogodnjihdelipo4jedinine elijeiima jojedanNa+u centru jedinineelije.Otudaima 12/4 + 1/1 = 4Na+ jona po jedininoj eliji. Znai, ima 4 Cl- jona i 4jona Na+ po jedininoj eliji, a to znai 4 formulske jedinice NaCl po jedininoj eliji, tj. Z = 4. JedanmolkristalaimaNAformulskihjedinica.PotojednajedininaelijaimaZformulskih jedinica sledi da je NA/Z broj jedininih elija u jednom molu kristala. Zapremina pravougaone jedinine elije V data je proizvodom abc duina njenih ivica. Molarna zapremina VM je otuda 2 VM = ZNabcA Gustina kristala je data izrazom MVM= gde je M molarna masa. Otuda je

AN c b aZ M= za = = = 90o(1) Naosnovuposlednjeformule,pomoudifrakcijeXzrakaodreujusea,b,ciZ,iuzpoznavanje gustinekristala(nadatojtemperaturi)moeseodreditiAvogadrovakonstantaNA.Ovajmetod odreivanja NA je jedan od najtanijih. Obrnuto, znajui NA moe se odrediti na primer duina ivice jedinine elije a kod kubne reetke (a = b = c):

AN aZ M3= 3ANZ Ma= (2) Metalni kristali Umetalimaelektronisudelokalizovaniprekonizaidentinihkatjonaivezujuihzajednouvrstucelinu. Kristalna struktura metala u mnogim sluajevima moe se rastumaiti modelom u kome se sferini metalni katjoni pakuju zajedno na ureeni nain. a)b) Slika2a)prvislojAgusto(zbijeno)pakovanihsferab)drugislojBgustopakovanihsferakoje zaokupljuju upljine prvog sloja, dva sloja su AB komponente strukture najgueg pakovanja 3 a) b) Slika3.a)treislojnajguepakovanihsferamoedazaposedaulegnua(upljine)kojasu direktno iznad sfera prvog sloja, to daje ABA strukturu, koja odgovara heksagonalnom najguem pakovanjub)treislojleiuulegnuimakojanisuiznadsferauprvomsloju,rezultatjeABC struktura, koja odgovara kubinom najguem pakovanju a) b) Slika 4.a) ABA najgue pakovanje (heksagonalno) i b) ABC najgue pakovanje (kubino). Najgue pakovanje sfera, odnosno pakovanje koje daje minimalnu nezauzetu zapreminu, tako da prazan prostor zauzima 26% ukupnog prostora, a popunjeno je 74 % ukupne zapremine, postie senadvarazliitanaina.Tosukubnonajguepakovanje,kojeseodnosinapovrinski centriranu kubnu jedininu eliju (PCK) i heksagonalno najgue pakovanje. Neka jeprvislojoznaenkaoslojA,kaonaSlici2.a)UmestodasedrugislojBdodajedirektno iznadprvog,onsemoepridodatitakodasesferadrugogslojasmestiuupljinukojuformiraju sfereprvogsloja(Slika2b).Treislojmoeseformiratinadvanaina.Kodjednog,sferesu smetene tako da reprodukuju prvi sloj (Slika 3. a i 4. a)) dajui ABA pakovanje (prvi i trei sloj se podudaraju). Kod drugog naina, sfere treeg sloja nalaze se iznad upljina u prvom sloju (Slika 3 b i4b),odnosnosferetreegslojanisutano iznadsferaprvogsloja,dajuiABCrasporedslojeva.. PonavljanjerasporedaABAdajenizslojevaABABAB...,itojeheksagonalnonajgue pakovanje Slika 3a. Ako se ema ABC ponavlja, dobija se sekvenca ABCABC..., tada je to kubno najgue pakovanje, Slika 3b.Kubnonajguepakovanjeodgovarapovrinskicentriranojkubinojkubinojjedininojeliji (PCK), Slika 3b. 4 Strukturni motiv (bazis) kod kubnog najgueg pakovanja (PCK) je sainjen od jednog atoma (usvakojtakireetke),akodheksagonalnogbazisinedvaatomakojasepridruujusvakoj taki reetke (Slika 5).

Koordinacioni broj je 12 i kod heksagonalnog i kod kubinog najgueg pakovanja. Slika 5. Heksagonalno pakovanje, jedinina elija obeleena je debljim linijama. PCK struktura je veoma esta kod metala. Primeri su: Al, Cu, Au, Ag, Pb, Pt, Pd, Ni, Ca. Heksagonalno najgue pakovanje imaju metali Be, Mg, Cd, Co, Zn, Ti, Tl. Mnogimetaliimajustrukturekojenisunajguepakovanje.Takva jezapreminskicentrirana kubinareetka(ZCK),sajednomsferomucentrukockekojuformira8drugihsfera. Koordinacioni broj ZCK strukture je 8, poto svaki atom dodiruje 4 atoma u sloju iznad njega i 4 uslojuispodnjega,inijednogunjegovomsloju.Ovastrukturaima68%popunjenogprostora. Bazispredstavljajedanatom(usvakojtakireetke).NaSlici6.prikazano jepakovanjesfera kod ZCK reetke. U prvom sloju sfere su ureene tako da su im centri razdvojeni rastojanjem koje iznosi 2/ 3 puta prenik sfere = 1,15 x prenik sfere. Sfere drugog sloja (osenene sfere) nalaze se u upljinama prvog sloja, dok su sfere treeg sloja direktno iznad sfera prvog sloja.Primeri metala sa ZCK strukturom su Ba, Cs, Cr, Fe, K, Li, Mo, Mn, Rb, Na, Ta, W. Slika 6. Formiranje ZCK reetke 5 Kodstrukturesaprostom(primitivnom)kubinomreetkomsamo52%ukupnezapremineje zauzeto sferama. U ovom sluaju formira se prvi sloj sfera, gde se svaka uoena sfera dodiruje sa jo etiri susednih (Slika 7). Slika 7. Prvi sloj kod formiranja proste kubine reetke Sledei(drugi)slojiznadprvoguoenogslojadodajesetakotojesvakasferautomdrugom (gornjem)slojutanoiznadjednesfereudonjemsloju;takoseformirastrukturakojaimaprostu kubinu prostornu reetku. Strukturni motiv (bazis) kod proste kubine reetke ini jedan atom u svakojtakireetke.Prostakubinareetkajeveomaretkazametale,jedinipoznatiprimerje polonijum,Po.Koordinacionibrojjeuovomsluaju6,jersesvakauoenasferadodirujesa4 sfereujednomistomsloju,isajojednomsferomuslojuiznadtogslojaijojednomsferomu sloju ispod.Neki metali menjaju strukturu sa promenom temperature i pritiska. Na primer, Fe je PCK strukturekada je temperatura izmeu 906 i 1401 oC, a iznad i ispod ovog ranga je ZCK, na pritisku od 1 atm. Kod metalnih kristala takoe moemo pomou formule (2) izraunati a, ukoliko znamo broj Z.Kodpovrinskicentriranekubinereetke(PCK)strukturnimotivsesastojiodjednogatoma, (dakle, po jedan atom se nalazi u svakoj taki reetke) a broj strukturnih motiva po jedininoj eliji PCK smo odredili u prethodnoj lekciji da iznosi 4, tako da je broj Z jednak 4. Sada je broj Z ujedno jednak i broju atoma po elementarnoj eliji (formulska jedinica je sam atom metala). Primer 1. Gustina srebra je = 10,5 g cm-3, molska masa M=107,87 g mol-1, a kristalna reetka je povrinski centrirana kubina. Odrediti duinu ivice jedinine (elementarne) elije a. Reenje Z =4 3ANZ Ma= =323 3110 02 , 6 5 , 104 87 , 107x cm gx mol g = 4,086 x 10-8 cm = 0,41 nm Rastojanje ravni reetke Milerovi indeksisekoriste za izraunavanje rastojanja izmeu ravni reetke. Za kvadratnu reeku (dvedimenzije)prikazanunaslici8.moesepokazatidajerastojanjeizmeu(hk0)ravnidato izrazom (3): 6 201hkd = 22 2ak h + (3) Slika 8.Izraunavanje rastojanja ravni kvadratne reetke dhk0 ----------------------------------------------------------------------- Izvoenje izraza (3) Pitagorina teorema za trougao ABD daje m2 =(ka)2 + (ha)2(4) Povrina trougla ABC je PABC = 2) ( n m d (5) a povrina trouglaACDje PACD = 2n d (6) PovrinatrouglaABDjejednaka 21(kaha)atakoejejednakaizbirupovrinaprethodnadva trougla, odnosno

2) ( n m d + 2n d = k ha22 (7) a posle sreivanja izraz (7) postaje dm = k ha2(8)Kvadriranjm izraza (8) iizraavanjem m2 preko izraza (4) dobija se 7 [(ka)2 + (ha)2] d2 =2 24k ha

odakle sledi 201hkd = 22 2ak h + ------------------------------------------- Proirenjem na tri dimenzije, meusobno rastojanje ravni (hkl) kubine reetke dato je izrazom: 21hkld = 22 2 2al k h + +(9) a odgovarajui izraz zaortorombinu reetku je generalizacija izraza (9): 21hkld = 22ah+ 22bk+ 22cl(10) BitnojeprimetitidaakosesvatriMilerovaindeksapomnoebrojemn(uveajunputa), rastojanje ravni se smanjuje za faktor n, odnosno dnh, nk, nl = ndhkl(11) to se moe lako dokazati na sledei nain 2222222222222222, ,) () ( ) ( ) ( 1hkl nl nk nhdnclbkahncnlbnkanhd= + + = + + = Sledi dnh, nk, nl = ndhkl Naslici9.ilustrovanojeznaenjeizraza(11)-vidiseda jemeusobnorastojanjeravni(220)dva puta manje od meusobnog rastojanja ravni (110). Slika 9. Meusobno rastojanje ravni (220) dva puta manje od meusobnog rastojanja ravni (110). 8 Primer 2. Izraunatimeusobnorastojanje(123)i(246)ravniuortorombinojelijisaduinamaivica elementarne elije a= 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. Reenje Zadatak se reava primenom izraza (10) 21231d = 2282 , 01+ 2294 , 02+ 2275 , 03= 22 nm-2 d123 =0,22 nm Odmah se, na osnovu izraza (11) moe izraunati d246

d246 =2123d=0,11 nm Odreivanje strukture kristala Difrakcija X-zraka Meuatomska rastojanja u kristalima su reda veliine 1 = 1 x 10-10 m. Elektromagnetno zraenje talasnih duina od 1 pripada regionu X-zraka. Otuda, kristali deluju kao difrakcione reetke za X-zrake.Prviputjetakaveksperimentrealizovan1912.(MaxvonLauejesugerisaodaako zraenja postane mala koliko i rastojanje atoma u kristalu, trebalo bi da se pojavi difrakciona slika, tosueksperimentalnoproveriliWalterFriedrichiPaulKnipping).Stvorenajeosnovaza odreivanje struktura kristala (a istovremeno potvrena i talasna priroda X-zraka). Podsetimo se da X-zraci nastaju bombardovanjem metala visokoenergijskim elektronima (jedan od naina).Sudaromupadnogelektronasaelektronomizunutranjeljuskeatomaizbijaseelektron unutranje ljuske atoma, a na njegovo upranjeno mesto dolazi neki elektron (vie energije) iz viih ljuski pri emu se viak energijeemituje kao foton X-zraenja. Ako je izbijeni elektron iz K ljuskeX-zraenje se zove K-zraenje, a linije obeleavaju K , K ... Slika 10. Difrakciona slika dobivena proputanjem X-zraka kroz kristal bakarsulfata, von Laue. 9 Bragg-ov metod Bragg-ova metoda koristi monohromatski snop X-zraka (tj. odreene talasne duine). Fiziari Henri i Lorens Bragg protumaili su pojavu rasejavanja X- zraenja na kristalnoj reetki kaorefleksijusaravnikristala-kaodaoveravnipredstavljajuogledala.Takokristalpredstavlja mnotvoreflektujuihravnireetke,kojesunameusobnomrastojanjudhkl.Onisuuskladusa ovimmodelompostaviliodgovarajuiuslovneophodanzapojaavanje(konstruktivnu interferenciju) reflektovanog zraenja. Slika11.IzvoenjeBragg-ovogzakonapremamodelukojitretirasvakuravanreetkekao reflektujuu za upadno zraenje. Projekcije meusobno paralelnih ravni na ravan crtea su prave, Slika 11. Putna razlika dva zraka koja su prikazana na Slici 11. je AB + BC = 2d sin(12) gdejeugaopodkojimzraenjepadauodnosunaposmatranuravan(odnosnoskup paralelnih ravni), tj. ugao izmeu upadnog snopa i ravni kristala. Pri refleksiji, odbojni ugao jednak jeupadnom.esticekojeinekristal(atomi,joni,molekuli)rasejavajuzraenjeusvimpravcima. Interesujenaspodkojimuglovimadolazidokonstruktivneinterferencijereflektovanogzraenja. Zamnogeugloveputnarazlikanijecelobrojniumnoaktalasnihduinaitalasiinterferiraju destruktivno.Meutim,kadajeputnarazlikadvajednakacelobrojnomumnokutalasnih duina, tj. AB + BC = n (13) 10 reflektovanitalasisuufaziiinterferirajukonstruktivno.Takosesvetle(pojaane)refleksije dobijaju kada ugao zadovoljava Bragg-ov zakon n = 2dhkl sinn =1,2,3,...(14) refleksije sa n = 2,3,zovu se drugog reda, treeg reda itd. One odgovaraju putnim razlikama od 2, 3, talasne duine. U savremenom radu uobiajeno je da seBragg-ov zakon pie kao = 2dnh,nk,nlsin(15) pri emu se smatra da refleksija n-tog reda potie od (nh, nk, nl) ravni prema relaciji dnh, nk, nl = ndhkl Terminrefleksijasekoristidaseoznaiintenzivanrasejanisnopkojipotieodkonstruktivne interferencije. Aparatura koja koristi Bragg ov metod Prvi kristali koji su prouavani Bragg ovom metodom bili su NaCl i KCl. Jedan kristal se postavlja uspektrometar,Slika12.takodamonohromatskisnopXzrakapadanajednuodznaajnihravni (100),(110)ili(111).(tj.napljosankristalakojajeparalelnaserijiravnisakojihelimoda dobijemorefleksiju).Reflektovanisnoppadanadetektor(jonizacionukomoruilifotoplou).U eksperimentu,priobrtanjukristalazaugao,detektormoradaseokrenezaugao2. Obrtanjemkristala,traeseuglovikoji,zaodreenozadovoljavajuBragovujednainu. PriuglovimaizmeupravcaupadnogsnopaipljosnikristalakojizadovoljavajuBragovu jednainudobijaseporaststrujeujonizacionojkomoriilizacrnjenjenafilmu.Slika13 prikazuje Bragg ove spektrometrijske podatke. Slika 12. ema Bragovog eksperimentalnog ureaja 11 Slika 13. Bragovi spektrometrijski podaci. Primer 3. Refleksijasaravni(111)kubinogkristaladobivenajezaupadniugao(ugaoizmeuupadnog snopairavni kristala)od11,2 o.KorienajeKlinijaXzraenjabakra,talasneduine154pm. Kolika je duina ivice jedinine elije ? Reenje Koristimo relaciju (15) = 2dnh,nk,nlsin d111 = sin 2 i relaciju(9) 21hkld = 22 2 2al k h + + iz koje dobijamo za zadate uslove d111 = 3a Otuda je a =3d111 = sin 23= 687 pm Postoji druga varijanta metode u kojoj je kristal uvren, a koristi se kontinualno X-zraenje. Tadaeravnikristaladaodaberuonukomponentuzraenjaijatalasnaduina,zaodreeno rastojanjeravnididatiugaoizmeusnopairavni,zadovoljavauslovzakonstruktivnu interferenciju. To je Laueova metoda. 12 Metod kristalnog praha OvumetoduprvisuupotrebiliPeterDebyeiPaulScherrer.Umestojednogkristalakojiima odreenuorjentacijupremasnopuX-zraka,upotrebljavajusefinoisitnjeni,spraenikristaliu kojimakristaliiimajuhaotinuorjentaciju.KoristisemonohromatskoXzraenje.Zasvaku serijuravnimogudasenaukristaliikojisuuodnosunaupadnisnopusmerenitakoda zadovoljavaju Bragov uslov, pri odreenojtalasnoj duini . Slika 14.Metoda kristalnog praha Slika 15. Metoda kristalnog praha. Za detekciju se koristi film, koji je cilindrino omotan oko uzorka, Slika 14. Ako je za odgovarajui tip ravni i za talasnu duinu Bragov ugao , tada difraktovani zrak gradi sa upadnim zrakom ugao 2, Slika 14 i 15. Ugao 2 moe imati razliite orjentacije oko pravca upadnog snopa, to odgovararazliitimoorjentacijamapojedinihkristalia.Stoga,zasvakinizmrenihravni, 13 reflektovanisnopovigradekonus.Ovajkonuspresecacilindrinifilmokouzorkainanjemu stvaratamnelinije-lukove,kojisudelovikoncentrinihkrugova(ijijecentarutakikojudaje upadninedifraktovanizrak,slike14i15).Svakalinija(luk)odgovaraodreenomtipuravni. Ako je R poluprenik cilindrine komore, a r poluprenik kruga Rr = tg2 ~ sin2 ~ 2 sin zamenom u Bragovoj jednaini (14) 2 sin sa Rr dobija sen =Rr dhkl odakle se moe odrediti rastojanje izmeu ravni dhkl ako je poznato . Podacizarastojanjadhklestosebezdaljegizraunavanjakoristezaidentifikacijuvrstih supstancija ili analizu vrstih smea. Postoje opirne tablice koje omoguavaju brzu identifikaciju. Difrakciona tehnika praha koristi se za identifikaciju uzoraka vrstih supstancija putem poreenja poloajadifrakcionihlinijainjihovihintenzitetasavelikombankompodataka.Tehnikase koristi i za poetno odreivanje dimenzija i simetrije jedinine elije, kako je objanjeno u sledeem odeljku. Indeksiranje refleksija Neki tipovi jedininih elija daju karakteristian i lako prepoznatljiv raspored linija. Na primer, za kubinu reetku sa jedininom elijom ivice a rastojanje ravni d dato je izrazom 21hkld = 22 2 2al k h + + takodasuugloviprikojima(hkl)ravnidajukonstruktivnuinterferenciju(refleksiju),primenom Bragovog uslova dati izrazom sin = (h2 + k2 + l2)1/2 a 2 Naene vrednosti za sin se na ovaj nain oznaavaju indeksima, tj. indeksiranje znai pripisivanje vrednosti (hkl) refleksijama, tj vrednostima sin. Refleksije se mogu predvideti zamenom vrednosti za h, k i l: (hkl) (100)(110)(111)(200)(210)(211)(220)(300)(221)(310) h2 + k2 + l21 2 34 5 6 899 10 Zapaamo da zbir h2 + k2 + l2 = 7 ( i 15,) nedostaje jer suma kvadrata tri cela broja ne moe dati 7(ili15,).Difrakcionaslikasaovakvimodsustvomvrednosti7,15,..zbirah2+k2+l2

karakteristika je proste (primitivne) kubine reetke. 14 Dalje, moe se pokazati da se zapreminski centrirana kubina reetka prepoznaje po tome to su u njenoj difrakcionoj slici odsutne sve refleksije sa neparnim vrednostima zbira h + k + l. Kod povrinski centrirane kubine reetke prisutne su samo refleksije kod kojih su indeksi h, k, l svi parni ili svi neparni, Slika 16. Slika 16.Difrakcione slike dobivene metodom kristalnog praha za tri varijante kubine reetke. 15 Metalna veza Kristalna reetka metala je veoma stabilna to znai da je i veza izmeu atoma veoma jaka. Metalna vezamoedaseposmatrakaoposebnavrstakovalentneveze,akristalmetalakaoveliki molekul.Metalnavezamoepostojatisamouveimagregatimaatoma(kakvisukristali)dok obina kovalentna veza postoji u molekulima. Metalna veza nije prostorno usmerena, za razliku od kovalentne. PremaPolingu,metalnavezajeusutinikovalentnaveza,satomrazlikomtokodmetala, zbognedovoljnogbrojavalentnihelektrona,najednuvezudolazimanjeodjednog elektronskog para. Za stvaranje veze na raspolaganju stoji vie orbitala nego to ima elektrona da ihpopune.Zbogtogaseovavezamoeposmatratikaodelokalizovanajednostrukavezakojase stalno premeta izmeu razliitih parova atoma metala.. Fizikaihemijskasvojstvametalavodezakljukudaunjimapostojepokretljivielektroni.Male energijejonizacijeatomametalaipojavafotoefektasunaprimerdokazdametalilakootputaju elektrone,doksudobraprovodljivostitoploteielektricitetadokazizavelikupokretljivost elektrona kroz kristalnu reetku metala.Ovasvojstvasemoguobjasnitipomoudvamodela,prvijemodelelektronskoggasaadrugi model elektronskih traka. Model elektronskog gasa Metalnavezauspostavljaseizmeu jonaMn+i slobodnihelektrona,koji inetzv.elektronski gaskojisekreeizmeupozitivnihjona,Slika16.Negativnonaelektrisanjesvihelektrona raspodeljenihpocelojreetkidripozitivnejonenaravnotenomrastojanju..Ovajmodel jedosta uproen i nije uvek u saglasnosti sa eksperimentalnim podacima. Slika 1. Metalna veza po modelu elektronskog gasa za jednovalentan i dvovalentan metal Model elektronskih traka Metal se posmatra kao beskonano veliki molekulu kome su atomi toliko blizu jedan drugom da se njihove atomske orbitale preklapaju. One postaju zajednike svimatomima, paih elektroni u parovimazauzimajukaomolekulskeorbitale.Energijeelektronaupojedinimmolekulskim 16 orbitalamaumetalusemalorazlikuju,takodaoneinetrakuenergijskihnivoa-elektronsku traku. Molekulskeorbitale nastalepreklapanjematomskihorbitalaistogtipa(1s,2s...)izgrauju odgovarajuuelektronskutraku.Preklapanjes-orbitaladajes-traku,preklapanjep-orbitaladaje p-trakuitd.,vidiSliku2.Elektronsketrakemogubitipotpunopopunjene,deliminopopunjene ili nepopunjene. Elektronske trake meusobno su odvojene zabranjenim zonama, koje ne sadre dozvoljene energijske nivoe, pa se unjimane mogu nalaziti elektroni. Elektronskatrakakojajedeliminopopunjenazovesevalentnatraka.Najviienergijskinivo popunjenelektronimanaapsolutnojnuli(T=0K)zoveseFermijevnivo.Pridovoenju energije(T>0)elektronimoguprelazitinaslobodnenivoeuokviruvalentnetrake,imese omoguuje kretanje elektrona kroz kristal. Iznad valentne elektronske trake nalazi se nepopunjena traka, koja se zove provodna traka. Ukoliko metal sadri vei broj elektrona, trake su ire i moe doi do preklapanja valentne trake (potpunopopunjene)iprovodnetrake,Slika3b).Ovoomoguujekretanjeelektronakroz provodnu traku pod uticajem elektrinog polja.to je redni broj metala vei ovo preklapanje je izraenije, zbog manje razlike u energijama s i p elektrona. Najbolji provodnici elektriciteta, meu metalima su Ag, Au, Al i Cu. Pomoumodelaelektronskihtrakamogudaseobjasneelektrinasvojstvametala,aidrugih vrstih supstanci.Prema sposobnosti provoenja elektrine struje vrste supstance dele se na provodnike (metali), sa najveomprovodljivou,izolatore,kojiimajuvisokelektriniotporimaluprovodljivosti poluprovodnike, koji su po veliini elektrinog otpora izmeu provodnika i izolatora. 17 Slika 2. Model elektronskih traka-nastajanje elektronskih traka preklapanjem atomskih orbitala kod litijuma, 1s22s1 a)b) Slika 3. a)Valentna traka Na b) preklapanje valentne i provodne trake kod Mg Elektrinaprovodljivostmetalasesaporastomtemperaturesmanjuje.Objanjenje:sa snienjemtemperaturesmanjujuseamplitudevibracijapozitivnihjona,takodaonitadaumanjoj meriometajukretanjeelektronaiprovodljivostmetalaraste.Ublizinitermodinamikenule(0K) mnogi isti metali postaju superprovodnici, tj. imaju beskonano mali elektrini otpor. Poluprovodnici Potpunopopunjenavalentnaipraznaprovodnatrakarazdvojenesuznatnoiromzabranjenom zonomnegokodmetala(1eVpoatomu).ZatonasobnojTmalibrojelektronaimadovoljnu energijudaizvalentnepreeuprovodnutraku,ielektrinaprovodljivostjemalanasobnojT.Sa porastom T raste broj elektrona koji prelaze u provodnu traku i raste provodljivost poluprovodnika. Tipini primeri su silicijum i germanijum. Dopiranjemprimesama(arsen,bor)poveavaseelektrinaprovodljivostpoluprovodnika. Primese su atomi koji imaju vei (As) ili manji (B) broj elektrona odatomapoluprovodnika.Timesestvarajunovienergijskinivoiuoblastizabranjenezone,koji omoguavaju poluprovodnost i na sobnim temperaturama. Usluajudopiranjaarsenom,postojin-poluprovodljivost(negativna),ausluajubora,p-poluprovodljivost (pozitivna).Kodn-tipajavljajuseelektroniuprovodn