48
UNIVERZITET U TUZLI MAŠINSKI FAKULTET Studentska skripta - MEHANIKA FLUIDA I - Druga parcijala Adem Šehić www.samelx.blogger.ba Tuzla, 2013

Predavanja druga parcijala

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Predavanja druga parcijala

Citation preview

Page 1: Predavanja druga parcijala

UNIVERZITET U TUZLI – MAŠINSKI FAKULTET

Studentska skripta

- MEHANIKA FLUIDA I -

Druga parcijala

Adem Šehić www.samelx.blogger.ba

Tuzla, 2013

Page 2: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

1

Kinematika fluida

Podsjetnik iz kinematike materijalne točke

Ako dimenzije tijela nisu bitne za analizu njegovog kretanja, onda se može promatrati samo

kretanje težišta tijela. Težištu tijela pridružujemo ukupnu masu tijela i govorimo o materijalnoj

tački.

Opis kretanja materijalne točke u prostoru

- put koji prevali materijalna tačka u vremenu dt

Jednačine kretanja

Jednačine kretanja označavaju parametarski oblik jednačine trajektorije (vrijeme t je parametar).

brzina materijalne tačke (= brzina promjene položaja)

Page 3: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

2

Iz definicije brzine je jasno da za prevaljeni put dr u vremenu dt vrijedi

Prevaljeni put i vektor brzine su kolinearni vektori, što znači da je vektor brzine uvijek

tangencijalan na putanju.

- ubrzanje materijalne tačke (= brzina promjene brzine)

Kinematika fluida

Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi kretanjima fluida. Kinematika pri tome samo

proučava kretanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog kretanja.

Fluid smatramo kontinuumom i koristimo pojam čestice fluida, koja je definisana kao maleni

volumen fluida konstantne mase.

Postoje dva pristupa opisivanju kretanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristup i

Eulerov (ili lokalni) pristup.

Kod Lagrangeovog pristupa kretanje se proučava vežući se za česticu fluida, a kod Eulerovoga

pristupa kretanje je promatrano iz neke fiksne tačke u prostoru.

Za pokretni fluid potrebno je odrediti

Sveukupnost ovih veličina u posmatranom prostoru i vremenu opisuje strujno polje.

Strujno polje je stacionarno, ako su sve gore navedene veličine samo funkcije položaja.

Kada su ove veličine promjenjive funkcije i vremena, polje je nestacionarno.

Tpvvvv zyx ,,),,,(

Page 4: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

3

Lagrangeov metod

Kod Lagrangeovoga pristupa problemima kretanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu česticu fluida

i s njom "putujemo" kroz prostor.

Posmatra se određeni fluidni djelić

Položaj djelića je funkcija njegovog početnog položaja i vremena t

Brzina i ubrzanje se zato piše u obliku:

Kako vrijeme prolazi, pratimo promjene fizikalnih veličina na mjestu na kojem se u tom

trenutku naša čestica nalazi. Drugim riječima, putujemo kroz prostor nošeni tom česticom

fluida.

Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje onda je neka funkcija trenutnog položaja te čestice i

vremena.

Kompleksni izraz za brzinu ukazuje na veliki nedostatak Lagrangeovoga pristupa: veliku

matematičku kompleksnost formulacije problema; v je funkcija 4 varijable (3 položajne i

vremena).

),,(0 cbar

),( 0 trrr

t

r

t

r

t

trttr

t

rv

cbatt d

d)()(limlim

),,(00

2

2

),,(

2

2

0 d

dlim

t

r

t

r

t

va

cbat

Page 5: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

4

Eulerov metod

Kod Eulerovoga pristupa problemima kretanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu tačku prostora i

promatramo kako se fluid kroz nju kreće.

Razmatra se promjena strujnih veličina u jednom stalnom mjestu prostora, dok djelići prolaze

kroz ovo mjesto.

Strujne veličine mogu da se mjere nepokretnim mjernim uređajima.

Matematički je problem sad znatno jednostavniji jer je položaj te tačke konstanta (doduše

vektorska):

Kako vrijeme prolazi, pratimo promjene fizikalnih veličina na mjestu tačke M.

Drugim riječima, smjestili smo se u neku nepomičnu tačku u prostoru i promatramo kako fluid

struji kroz nju.

Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje u ovom je slučaju je neka funkcija radijus-vektora te

tačke i vremena.

Npr. brzinu se može izraziti kao vektorsku funkciju oblika:

Kako je RM konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s kojom je

matematički mnogo lakše raditi nego sa implicitnim funkcijama karakterističnim za Lagrange-

ov pristup.

Ako dozvolimo da je položaj tačke RM u prostoru proizvoljan, i radi preglednosti ga opišemo

radijus-vektorom R, fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinate i vremena, npr:

Page 6: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

5

Trenutni iznos brzine i njezin smjer:

Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego može ovisiti o izboru

koordinatnoga sistema u kojem se dati problem proučava.

Ako je moguće, koordinatni sistem bira se tako da je u njemu problem stacionaran.

Za posmatrača na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slika koju vidi s

vremenom mijenja (brod mijenja svoj položaj u prostoru).

Za posmatrača na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jer se slika koju vidi s

vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista).

Page 7: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

6

Skalarno polje

Prostor u kome je definisana skalarna funkcija položaja U=U(x,y,z) koja može da opisuje

prostor,površinu ili liniju. Linije ili površine na kojima skalarna funkcija zadržava istu

vrijednost su ekviskalarne.

Gradijent skalarne funkcije

Radi opisivanja pravca promjene skalarne veličine, svojstva opšteg za sve vrste skalarnih polja, uvodi

se diferencijalno-vektorski operator nabla

koji se primjenjuje na skalarnu funkciju U=U(x,y,z) i

određuje gradijent skalarne funkcije U (gradU):

gradU (vektor) ima pravac i smjer normale u

proizvoljnoj tački površine U=U(x,y,z), а pošto је

normala najkraće rastojanje između dvije vrijednosti

skalara U1 i U2 tо gradU predstavlja pravac najjače

promjene skalara U. Smijer gradU је smijer porasta promjene skalara.

Vektorsko polje

Skalarna polja pritiska, gustine i vektorska polja brzine i ubrzanja, daju prirodan izgled

strujnom polju stacionarnog, idealnog, savršenog i viskozno-laminarnog fluida

Polje brzine je od najvećeg uticaja na formiranje strujnog polja, pa su sve karakteristike vezane

za vektorska polja definisane u polju brzine

Strujnica

Za vektorsko polje brzine vezuje se pojam strujnice (strujne linije) i pojam putanje

(trajektorije) fluidnog djelića.

Strujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj tački smijer tangente poklapa sa smijerom

vektora brzine. Slika strujnica se odnosi na jedan odabrani vremenski trenutak t0 .

kz

jy

ix

kz

Uj

y

Ui

x

UU

grad

Page 8: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

7

Ako se u jednom trenutku obilježi položaje mnogo čestica fluida, a pri tom je svaka slijedeća čestica u

smjeru vektora brzine one prethodne, dobit će se glatka kriva koju nazivamo strujnica.

Ako se pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, tada je usmjereni element luka

strujnice ds paralelan vektoru brzine , te je njihov vektorski produkt jednak nuli,

Razvijanjem vektorskog proizvoda dobija se:

Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to značilo da u tački

presjeka vektor brzine ima dva različita smijera, što je nefizikalno. Izuzetak čine tačke zastoja u

kojima je brzina jednaka nuli.

0d, sv

),,(

d

),,(

d

),,(

d

zyxv

z

zyxv

y

zyxv

x

zyx

Page 9: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

8

Trajektorija

Zamislimo si da smo na neki način obilježili jednu odabranu česticu fluida. Ako bilježimo njen

položaj kao funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivu koja se naziva trajektorija (putanja)

čestice u prostoru.

Trajektorija je prostorna kriva koju svojim kretanjem opisuje čestica fluida.

Jednačine kretanja čestice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama označavaju

parametarski zapis jednačine trajektorije.

U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, do jednačine trajektorija se dolazi,

polazeći od definicije brzine čestice kontinuuma.

Ako je dr usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali čestica kontinuuma krećući se

po svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka

trajektorije, iz same definicije brzine slijedi:

Što se može napisati u obliku sistema diferencijalnih jednačina:

čijim se rješavanjem uz početne uslove za t=t0, r(t0)=r0 , dolazi do jednačina trajektorija.

Strujna površina i strujna cijev

Page 10: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

9

U teoretskim računima se koristi i koncept strujnoga vlakna. Radi se o strujnoj cijevi kod koje

je površina A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike površine A, obično i

označava sa dA.

Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih veličina kojima se dati tok opisuje na

infinitezimalno maloj površini dA konstantne, što omogućava izvođenje teorijskih proračuna.

Jednačina kontinuiteta

• Promatra se neki fluid u kretanju. Negdje unutar toga fluida zamisli se kontrolni volumen u

obliku kvadra koji nepomično stoji u toku fluida.

Stranice toga malenog volumena

postavit će se u smjeru koordinatnih osi

i označiti ih sa dx, dy i dz.

Page 11: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

10

• Brzinu fluida opisat će se sa vektorskom funkcijom a lokalnu gustinu fluida

funkcijom (x,y,z), pri čemu treba imati na umu da ta gustina ne mora biti konstantna.

• Brzinu rastavimo na njene tri komponente i pratimo šta se dešava sa x-

komponentom brzine,vx .

• Ona je okomita na prednju (1) i stražnju plohu (2) promatranoga volumena.

Veličinu x-komponente brzine na plohi 1 označimo sa a njenu veličinu na plohi 2 sa

• Razmak između te dvije plohe (= dx!) je malen, pa se može x komponenta brzine razviti u

Taylorov red pa odbaciti više članove:

• Na isti se način nalazi i gustina fluida:

• Brzina toka nosi fluid kroz taj nepomični volumen.

• U nekom vremenu dt kroz prednju plohu (1) u elementarni volumen uđe volumen fluida koji je

jednak umnošku površine prednje plohe, x komponente brzine toka na njoj i proteklog

vremena:

• Treba napomenuti da su y i z komponente brzine paralelne sa spomenutom plohom pa ne

doprinose toku fluida kroz plohu 1.

• Sada se uz pomoć gustine odredi masa fluida koja je kroz plohu 1 ušla u elementarni volumen:

• Istovremeno je kroz plohu 2 iz volumena izašla masa fluida:

• Razlika ove dvije jednačine predstavlja prirast (gubitak) mase fluida u x-smjeru:

• Sređivanjem dobija se izraz:

• Na isti način je prirast (gubitak) mase u y i z smjerovima opisan izrazima:

• Ukupni prirast (gubitak) mase iz elementarnoga volumena dV zbir je prirast (gubitaka) po

pojedinim smjerovima:

dm = dmx + dmy + dmz

Page 12: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

11

• Međutim, ako se u vremenu dt masa fluida unutar elementarnog volumena promijeni za dm, to

se mora odraziti u promjeni gustine fluida u elementarnom volumenu dV jer je masa fluida

sačuvana:

• Izjednačavanjem posljednje dvije jednačine i sređivanjem, dobija se izraz:

• Izraz na lijevoj strani prethodne jednačine predstavlja razliku mase fluida koja je izašla iz

jediničnog volumena u jedinici vremena i mase fluida koja utiče za isto vrijeme, i naziva se

divergencija toka mase.

• Napisano u vektorskom obliku:

gdje je:

pa se može pisati i:

Posebni oblici jednačine kontinuiteta

Stacionarno strujanje

• U stacionarnim situacijama vremenske promjene fizikalnih parametara (u ovom slučaju

gustine) isčezavaju pa se jednačina kontinuiteta pojednostavi:

Tečnosti

• Gustina tečnosti je praktično konstantna pa se njene male promjene u realnim stuacijama

potpuno zanemaruju. Uz ovo pojednostavljenje (=konst.!), jednačina kontinuiteta postaje:

i ona u ovom obliku vrijedi i za nestacionarna (jer je gustina i u vremenu konstantna!) i stacionarna

strujanja.

Kvazi-jednodimenzionalni slučaj

• U jednodimenzionalnom ograničenju element volumena prelazi u element dužine, a element

površine isčezava, tako da se dobija:

• U slučaju tečnosti ovo prelazi u:

s implikacijom da je v =konst.

z

v

y

v

x

vkvjvivk

zj

yi

xvv zyx

zyx

div

Page 13: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

12

• Kada se govori o jednodimenzionalnom (1D) strujanju u stvari se misli na strujanje koje se

odvija samo u smijeru x-ose. To znači da vy i vz komponente brzine isčezavaju u cijelom

prostoru.

• U tom slučaju elementarna površina dA = dydz je uvijek okomita na brzinu, a u vremenu dt

kroz nju protekne masa fluida:

dm = dA v dt

• Podijelimo li sa dt dobije se tzv. maseni protok fluida:

• Kako je dA maleno, brzina i gustina fluida na cijeloj toj površini su praktički konstantni, pa se

može reći da je: QM = konst.

• Podijelimo li sa dobija se volumni (zapreminski) protok:

• Dok je dA maleno, gornji zaključci su ispravni i govori se o toku u strujnom vlaknu.

• Međutim, ako se gleda tok konačnih poprečnih dimenzija, gustina i brzina preko poprečnoga

presjeka toka A ne moraju biti konstantni.

• Situacija se rješava tako da se brzinu i gustinu stvarnog toka usrednjava preko površine A i tako

dobivene srednje vrijednosti se uvrštavaju u jednačinu za protok, pa imamo:

• Ova jednačina pokazuje da je u 1D slučaju maseni protok konstantan po cijelom toku.

• Kao što je to prije napomenuto, ovdje se u stvari radi o kvazi-jednodimenzionalnom toku, dakle

o toku za čiji je opis dovoljna jedna koordinata.

• Primjer upotrebe ove aproksimacije je tečenje kroz cjevovode koje tretiramo upravo na ovaj

način.

• Pri tome se jednačina piše za dva mjesta u toku, koja se označavaju brojevima 1 i 2:

• Treba zapamtiti da u gornjem slučaju v i predstavljaju srednje vrijednosti odgovarajućih

fizikalnih veličina!

• U slučaju tečnosti (nestišljivih fluida):

pa je dakle i volumni protok konstantan, a maseni i volumni protok međusobno su proporcionalni:

QM = Q

Page 14: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

13

Izvori i ponori

• Prethodno izvedena jednačina kontinuiteta vrijedi za strujni tok u kojem nema dodatnih

doticaja (izvora) fluida, niti oticanja (ponora) fluida.

• Izvor je tačka u prostoru iz koje neprestano izvire fluid. Ovakva tačka zove se singularitet i u

njoj ne vrijedi jednačina kontinuiteta.

• Da bi u cijelom sistemu masa bila sačuvana, uz izvor mora postojati i ponor. Ponor je tačka u

kojoj fluid nestaje iz sistema.

• Izvori i ponori mogu biti tako daleko (matematički u beskonačnosti) da nas ne zanimaju, pa

zato izvore i ponore često promatramo kao odvojene objekte.

Izdašnost izvora je količina fluida koji izlazi iz njega u jedinici vremena.

Da bi našli izdašnost, izvor okružimo zatvorenom

plohom A i integriramo brzinu preko nje.

Ponor opisujemo na isti način. Kako fluid u njemu nestaje, izdašnost mu je negativna (brzina je u

smjeru ponora)!

Jednačina kontinuiteta ne vrijedi u tačakama prostora u kojima postoje izvori i ponori i moramo je

modificirati.

Ako se u zapremini dV nalazi izvor izdašnosti = Q u njemu u jedinici vremena nastane masa

Аkо se u fluidnoj zapremini nalazi izvor ili ponor izdašnosti ±e, jednačina kontinuiteta је

- specifična izdašnost izvora ili ponora

)(div v

t

Vd

Page 15: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

14

Rotor brzine

• Rotor brzine ili rotacija vektora piše se kao rot i predstavlja vektor definisan jednačinom

oznake a,b,c imaju značenje da se fluidni element zaokreće oko zamišljene ose pod uticajem tih

kompomenti

Komponenta ugaone brzine fluidnog djelića oko z ose iznosi:

Isto tako ugaone brzine fludinog djelića oko osa x i y

Rotacija vektora može se pisati kao

• U fizičkom smislu

predstavlja mjeru obrtanja fluidnog djelića oko sopstvene težišne ose.

naziva se vrtlogom

strujno polje je bezvrtložno.

ky

u

x

vj

x

w

z

ui

z

v

y

w

wvu

zyx

kji

vrot

cba

y

u

xz

v

2

1

zy

wx

v

2

1

x

w

z

uy

2

1

v

kjirot zyx

222v

v

rot

2v rot

0v

rot

Page 16: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

15

Vizuelizacija strujanja

• Zakonitosti međusobnog djelovanja fluida i tjela koja se kreću kroz fluid su predmet ispitivanja

aerodinamike.

• Osnovni fluidi koji se koriste za proučavanje procesa međusobnog djelovanja su vazduh i voda.

To su bezbojni fluidi, čije strujanje nemože biti neposredno posmatrano ili snimano.

• Zbog toga se primjenjuju posredne metode koje čine jednu naučnu oblast eksperimentalne

aerodinamike, nazvanu vizuelizacija strujanja.

• Danas se u svjetu razvijaju i koriste mnoge tehnike vizuelizacije strujanja u toku

aerodinamičkog eksperimenta, koji omogućuju da se "vide" strujne linije i putanje vazdušnih

čestica.

• Metode koje se koriste za vizuelizaciju strujanja mogu da se klasifikuju na više načina: u

zavisnosti od brzine strujanja, da li su za lokalnu ili globalnu vizuelizaciju, da li su neophodni

indikatori ili su one čisto optičke, da li podržavaju samo kvalitativno ili i kvantitativno

ispitivanje.

• Najosnovnija podjela metoda vizuelizacije strujanja je u tri grupe:

1. metode za ispitivanje strujanja koje koriste ubacivanje indikatora (stranih materijala) u

osnovni fluid,

2. optičke metode i

3. metode, koje su određena kombinacija prethodnih metoda, jer uključuju ubacivanje

dodatne energije u fluid i optičke metode.

METODE VIZUELIZACIJE DODAVANJEM INDIKATORA

• Prva grupa metoda obuhvata sve metode kod kojih se vrši ubacivanje vidljivih stranih

materijala u strujno polje.

• Njihove čestice po dimenzijama i po gustini moraju biti veoma slične česticama osnovnog

fluida, tako da bude zadovoljena osnovna pretpostavka, da se ti indikatori kreću pod istim

uslovima i na isti način kao i fluid.

• Ovaj metod je posredan jer se prati kretanje fluida na osnovu kretanja indikatora.

• Razlika može biti minimizirana, ali ne i potpuno eliminisana.

• Ovaj metod daje odlične rezultate za stacionarna strujanja, dok za nestacionarna strujanja i za

fluide sa promjenljivim termodinamičkim parametrima nije preporučljiv, jer dolazi do znatnih

odstupanja između strujanja fluida i indikatora.

Page 17: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

16

Dimna vizuelizacija

je metoda koja može da se koristi u širokom dijapazonu brzina strujanja gasnih

fluida (najčešće vazduha), pod uslovom da su strujanja laminarnog tipa.

• Dim se uvodi u testirano područje kao homogena strujnica, jasno izdiferencirana u odnosu na

osnovni fluid i prati se njeno povijanje, koje je identično povijanju fluida oko modela.

• Postrojenja u koja se uvode dimne strujnice u kompletnom presjeku radnog djela su poznata

kao dimni tuneli.

• Generisanje dimnih strujnica može biti izvedeno sagorijevanjem mineralnih ulja bogatih

parafinom, isparavanjem tečnosti bogatih bromidom ili hloridom i njihova interakcija sa

vlagom u vazduhu, kao i sagorjevanjem čvrstih materijala kakvi su: drvo, papir, duhan itd.

Vizuelizacija bojama

• Vizuelizacija strujanja u vodenim tunelima, koja je analogna dimnoj vizuelizaciji u

aerotunelima jeste metoda primjene boja.

• Kao indikatori strujanja u vodene tunele mogu da se ubacuju različiti prahovi (puder,

aluminijum, hipermangan); tečne suspenzije ili rastvori obojeni pigmentima; mlijeko; mastilo;

i drugo.

Vizuelizacija metodom končića

Strujanje u neposrednoj blizini modela za podzvučne brzine se često vrši pomoću končića.

Metoda sa fluorescentnim končićima je najsavremenija varijanta, koja ima niz prednosti u

odnosu na obične končiće.

• Pri izboru karakteristike končića, njihovog rasporeda po površini modela i načina lijepljenja

mora se voditi računa o tome, da se u struju unese što manji poremećaj kako bi se dobila što

autentičnija slika strujanja.

• Vizuelizacija lokalnog strujnog polja oko modela se realizuje na taj način, što se tanki končići,

dužine između 5 i 30 mm, lijepe na površinu modela. Njihovo povijanje tokom strujanja prati

trenutni pravac lokalne brzine.

Page 18: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

17

Dinamika idealnog fluida

• U kinematici fluida razvijene su osnovne metode matematičkog opisivanja tečenja fluida kao

neprekidne sredine. Pomoću tih metoda u dinamici fluida razrađuju se zakoni za održanje

fluida u stanju tečenja, odnosno osnovni zakoni dinamike fluida.

• Dinamika fluida proučava kretanje fluida zajedno s uzrocima zbog kojih kretanje nastaje, a to

su SILE;

• proučava zavisnost sila i kretanja nastalog pod djelovanjem tih sila.

• Njutnova definicija sile ostaje na snazi i u slučaju kretanja fluida i omogućava da se napišu

diferencijalne jednačine za kretanje fluida.

Ojlerova jednačina

U statici fluida uspostavljena je ravnoteža zapreminskih sila (gravitacija) i površinskih (pritisak):

sada se proširuje djelovanjem inercijalnih sila koje su predstavljene sa:

pa se Ojlerova jednačina za kretanje idealnog fluida predstavlja sa

Ova jednačina mora da važi za svaku zapreminu V pa izraz pod integralom mora biti jednak nuli:

оdnosno

Ojlerova diferencijalna jednačina u

vektorskom obliku za tečenje fluida

gdje su:

- Inercijalne sile fluidne mase [N/kg]

- Zapreminske sile po jedinici fluidne mase [N/kg]

- Sile pritiska po jedinici fluidne mase [N/kg]

Skalarni oblik sistema jednačina dobija se projektovanjem po osama:

0dgradV

Vpf

V

dd

dV

t

v

0dgradd

d

V

Vpf

t

v

0gradd

d pf

t

v

pft

vgrad

1

d

d

t

v

d

d

f

pgrad1

z

pfv

z

vv

y

vv

x

v

t

v

y

pfv

z

vv

y

vv

x

v

t

v

x

pfv

z

vv

y

vv

x

v

t

v

zzz

yz

xzz

yz

y

y

y

x

yy

xzx

yx

xxx

1

1

1

Page 19: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

18

Rješavanje problema kretanja idealnog fluida

• nepoznate: vx, vy, vz, p,

• Ojlerova jednačina +

• jednačina kontinuiteta

• karakteristična jednačina stanja fluida

Bernulijeva jednačina

• Najveći broj zadataka rješava se direktnom primjenom Bernulijeve jednačine.

• Dobija se iz Ojlerove jednačine primijenjene na jednu strujnicu.

• Značaj jednačine–bilans pojedinih karakterističnih vrsta fluidne energije

• Osnovni oblik (bez gubitaka):

• Svaki član na lijevoj strani predstavlja energiju koju u sebi sadrži jedinična masa fluidne struje

– Kinetička energija

– Energija pritiska

– Položajna energija

Konstanta na desnoj strani ozačava da je zbir navedene tri vrste energije konstantan za bilo koju tačku

strujnice

Drugi česti oblik B.J. je:

Snaga fluidne struje dobija se množenjem svakog člana B.J. sa protočnom masom (Q), pa је

B.J. napisana za dva proizvoljna presjeka:

0divd

d v

t

pft

vgrad

1

d

d

)(pf

kg

Jconst.

2

2

gzpv

N

Jconst.

2

2

zg

p

g

v

Wconst.2

1 2 gQzpQQvP

v

=

v

(4.16)

12 2

2 2

1

1

g

p

gz

g

p

gz

Page 20: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

19

Geometrijska interpretacija Bernulijeve jednačine

Podjela pritisaka prema karakteru i osnovni način za njihovo određivanje

• Pri kretanju, pored statičkog pritiska ps

postoji dinamički pritisak pd koji je mjera

kinetičke energije fluidne struje.

• Zbir ovih pritisaka je totalni pritisak pt, što

proističe iz primjene B.J. za tačke S i T.

Dinamički pritisak je:

linija energije

en

erg

ija=

const

z

p/g

v2/ 2g

D

D1

0 0Referentna ravan

v12/ 2g

p1/g

z1

v

v1

dst ppp

Pa2

1 2vpd

Page 21: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

20

Тotalni pritisak se mjeri u tačkama gdje je brzina fluida jednaka nuli tj. u zaustavnim tačkama, pa se

zato naziva i zaustavni pritisak.Instrument za mjerenje totalnog pritiska zove se Pitova cijev.

Statički pritisak mjeri se na površinama preko kojih fluid prelazi nepromijenjenim brzinama.

Dinamički pritisak određuje se mjereći razliku između totalnog i statičkog pritiska (Prandtlova cijev).

Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima

Lijeva cjevčica mjeri statički pritisak u tački 1, a Pitotova

cijev zaustavni pritisaku tački 2. Razlika ta dva pritiska je

visina brzine, pa vrijedi

Očito je da se brzina računa iz mjerene razlike pritisaka, koja

se obično mjeri diferencijalnim manometrom.

Slučaj kada je diferencijalni manometar Slučaj kada je diferencijalni manometar ispunjen

ispunjen fluidom manje gustoće od fluida fluidom veće gustoće od fliuda koji struji u cijevi

koji struji u cijevi

Page 22: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

21

Venturi cijev

Korekcioni faktor kinetičke energije

Kada je B.J. napisana za strujnicu, kinetička energija protočne mase fluida (v2/2) predstavljena

je brzinom v u označenoj tački

Kada je B.J. napisana za neki protočni presjek, onda v predstavlja srednju brzinu fluida (vsr)

kroz cijeli presjek.

Меđutim, u zavisnosti od vrste strujanja (laminarno, turbulentno) član vsr2/2 nе daje uvijek pravu

veličinu kinetičke energije i potrebno je uvesti korekcioni faktor , koji pomnožen sa vsr2/2, daje

stvarnu veličinu kinetičke energije po jedinici mase, tј.

Ova energija treba da se uvede u B.J.

• za laminarno strujanje u cijevi је = 2.

• za turbulentno strujanje je = 1,01-1,1 (najčešće se uzima 1)

B.J. sa korekcionim faktorom:

2

2

srk

vE

2

2

221

2

11

22gz

vpgz

vp

Page 23: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

22

Bernulijeva jednačina za stišljiv fluid

• U slučaju stišljivog fluida, pri čemu je uticaj zapreminskih sila zanemaren jer je njihov uticaj

neznatan u odnosu na ostale sile:

za

slijedi

Raspored pritisaka odnosno gustine u strujnom polju savršenog fluida pri stacionarnom kretanju i

izotermskoj promeni stanja.

Page 24: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

23

Page 25: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

24

Pojave i principi rada nekih uređaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom

jednadžbom

Kavitacija

Povećanjem protoka uz istu ukupnu energiju strujanja dolazi do smanjenja pritiska u najužem presjeku

• Kada se pritisak u najužem presjeku snizi na vrijednost pritiska isparavanja pojavljuju se

mjehurići pare (kavitacija). Protok pri kojem se pojavljuje kavitacija je maksimalno mogući

protok za zadanu visinu energije. Mjehurići pare bivaju nošeni u područje višeg pritiska, gdje

se ponovo pretvaraju u kapljevitu fazu (implozija). Pojava kavitacije je popraćena vibracijama

i bukom, a pri imploziji mjehurića pare u blizini stijenke dolazi i do njena oštećenja.

Ejektor

• Strujanje primarnog fluida protokom Q1 u suženom presjeku izaziva smanjenje pritiska, koje

ima za posljedicu usisavanje sekundarnog fluida, protokom Q2, tako da je na izlazu iz ejektora

protok Q1+Q2.

• Ovaj se princip koristi npr. u uređajima za bojenje, u kojima se u struju zraka uvlači boja.

Maksimalna visina usisavanja pumpe

• Da bi se uključivanjem pumpe uspostavilo strujanje,usisna cijev mora biti ispunjena fluidom.

• Radi izbjegavanja pojave kavitacije pritisak u tački 1 mora biti viši od pritiska isparavanja.

Uz pretpostavku da su visine zanemarive,

teorijski maksimalna visina usisavanja je jednaka visini

atmosferskog pritiska (≈10 m), a stvarno je to i manje.

Page 26: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

25

Zakon o promjeni količine kretanja

• Koristi se za određivanje sile kojom fluid djeluje na površinu koja je ograničena;

• ZOPKK važi za: stišljiva i nestišljiva strujanja, viskozna i neviskozna, stacionarna i

nestacionarna, sa i bez promjenjive mase, jednolika i nejednolika;

• B.J. važi za strujnicu, a ZOPKK za proizvoljno, po potrebi uočeno, strujno polje sa čvrstim

granicama, bez obzira na njegovu veličinu i oblik.

II Njutnov zakon:

• Masa je u opštem slučaju funkcija vremena, položaja i brzine m=m(t,x,y,z, )

• samo za specijalan slučaj m=const.

Opšti oblik zakona o promjeni količine kretanja

• Kontrolna zapremina je omeđeni (najčešće djelimično čvrstom površinom) diо fluidnog

prostora, kroz čije dijelove graničnih površina fluid može potpuno proizvoljno da struji. Ova

kontrolna zapremina može biti nepokretna ili da se proizvoljno kreće. Kroz njene granice

prolazi masa, ali i količina kretanja.

• Količina kretanja (impuls) elementarne mase је:

• Za ukupnu masu fluida, zapremineV(t), važi:

Teorema o promjeni količine kretanja glasi:

Vremenska promjena količine kretanja jednaka je rezultanti spoljašnjih sila.

• Spoljašnje sile: zapreminske i površinske koje djeluju na fluid zapremine V(t), pa je:

• Transformacija vremenskog izvoda:

• Prvi integral na desnoj strani opisuje lokalnu promjenu f u unutrašnjosti zapremine V, dok

drugi integral daje rezultujuće strujanje kroz granične površine zapremine V. Vektor normale

površine А usmjeren je od površine.

Fvmdt

d

amF

VvmvK ddd

.d)(

tV

VvK

)(

dd

d

d

d

tV

FVvtt

K

AVV

dAnvfdVt

fVf

t),(d

d

d AAn

dd

Page 27: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

26

• Zapreminski protok kroz elementarnu graničnu površinu dA је:

• Primjenom transformacije vremenskog izvoda na jednačinu о promjeni količine kratanja,

dobija se:

Prvi član u trećem dijelu jednakosti opisuje lokalnu promjenu količine kretanja u zapremini V, za šta je

potrebno poznavanje strujnih veličina u unutrašnjosti zapremine.

Drugi član daje rezultujuće strujanje kroz granične površine, za što je potrebno poznavanje svih

promjenjivih samo na graničnim površinama zapremine V.

• Za stacionarna strujanja otpada zapreminski integral, tako da su potrebni samo strujni podaci na

granicama kontrolne zapremine, а izraz postaje:

• Ako se definiše impulsna sila kao:

onda

može da se napiše kao:

Zа impulsnu silu važi da je lokalno paralelna sa vektorom brzine i uvijek je usmjerena ka unutrašnjosti

kontrolne zapremine.

• Primjer primjene ZOPKK pri strujanju kroz koljeno

Potrebno je odrediti silu kojom fluid djeluje na čvrstu granicu koljena. Brzine i pritisci na ulaznom

presjeku (1) i izlaznom (2) su poznate.

Upustvo za primjenu ZOPKK:

1. Izdvoji se kontrolna zapremina (presjeci 1, 2 i zidovi koljena

3 i 4). Presjek 1 је presjek kroz koji ulazi fluid, а 2 presjek kroz

koji fluid napušta kontrolnu zapreminu.

2. Označe se smjerovi brzine u ulaznom i izlaznom presjeku i

ucrtaju se smijerovi pritisnih sila koje zamjenjuju uticaj fluidne

struje ispred i iza koljena.

3. Proizvoljno se pretpostave smjerovi х i у osa.

QAnv dd,

AtV V

FAnvvVt

vVv

tt

K

d,ddd

d

d

d

)(

A

FAnvv

d,

A

K AnvvF d,

A

FAnvv

d,

0FFK

AnvvFK d,d

Page 28: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

27

4. Pretpostave se smjerovi reakcije veza F3,4 ili Fx i Fy.

Ako se zanemari težina fluida u koljenu, slijedi:

Sila pritiska definisana je kao:

Sila R је rezultanta kojom fluidna struja djeluje na unutrašnje zidove koljena.

U strujnim presjecima 1 i 2 strujne veličine nisu po pravilu konstantne. U tim slučajevima potrebno je

koristiti, za tačnije određivanje impulsne sile i sile pritiska, integralne oblike jednačina za impulsnu

silu i silu pritiska.

i

Isticanje

• U mnogim prilikama fluid iz nekoga rezervoara slobodno ističe u okolni prostor, bilo da se radi

o otvoru na samoj stijenci rezervoara ili o kratkoj izlaznoj cijevi.

• Sve takve situacije obuhvaćene su zajedničkim nazivom: isticanje.

• Ukoliko je nivo tečnosti u rezervoaru konstantan radi se o stacionarnom isticanju, u protivnom

je nestaionarno isticanje.

• Ovisno o veličini otvora, govori se o isticanju kroz male odnosno isticanju kroz velike otvore.

• Pod malim otvorom smatra se svaki otvor koji je toliko malen da se može uzeti da je

hidrostatski pritisak na cijeloj njegovoj površini jednak.

4,321210 FFFFFFF KKPPK

A

P AnpF d

4,3FR

A

K AnvvF d,

A

P AnpF d

Page 29: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

28

ISTICANJE KROZ MALI OTVOR

• Savršena tečnost ističe kroz mali otvor na bočnom zidu, pri čemu je:

Zamišljena strujnica konstruiše se od površine tečnosti, do središta izlaznoga otvora. Referentna ravan

se postavlja kroz sredinu izlaznoga otvora.

• Bernulijeva jednačina za nivo tečnosti i mali otvor:

Toričelijev obrazac: brzina kojom fluid ističe kroz mali

otvor jednaka je brzini koju bi imao pri slobodnom padu.

Protok:

Da bi Toričelijev obrazac važio moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:

• Tečnost je neviskozna;

• Strujanje je stacionarno (konstantan nivo vode u sudu);

• Površina otvora je mnogo manja od slobodne površine tečnosti u sudu;

Stvarna brzina kojom tečnost ističe kroz mali otvor je uvijek manja od one dobijene Toričelijevim

obrascem, zato što je realna tečnost viskozna pa do izražaja dolazi trenje na ivicama otvora suda.

Page 30: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

29

Bernulijeva jednačina koja uzima u obzir ove gubitke:

Brzinski koeficijent:

Vrijednost ovog koeficijenta za vodu je između 0.96 i 0.99,

a obično se usvaja = 0.97, čemu odgovara koeficijent otpora = 0.06.

pa je brzina isticanja kroz mali otvor:

Protok tečnosti kroz mali otvor:

Eksperimentom je uočeno da se suženje ili kontrakcija mlaza javlja na izvjesnom rastojanju od otvora,

naročito kod otvora oštrih ivica, jer djelići tečnosti ne mogu pri izlasku naglo da promjene pravac (da

skrenu pod uglom od 90°), pri čemu je

Eksperimentom je pokazano da se koeficijent isticanja smanjuje kada raste površina otvora i nivo

tečnosti H. Vrijednost ovog koeficijenta zavisi i od oblika otvora, veći je za kvadratni nego za kružni

otvor.

Page 31: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

30

Vertikalni presjek mlaza ima oblik parabole.

Domet mlaza određuje se na osnovu jednačina

horizontalnog hica:

Eliminacijom vremena t, i korišćenjem korigovanog

Toričelijevog obrazca za brzinu, domet mlaza je:

Dobijeni obrasci važe pod navedenim uslovima ako je otprilike d < 0.1H.

Page 32: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

31

Istjecanje kroz mali otvor ispod površine tečnosti

• Ako je otvor kroz koji tečnost ističe ispod površine okolne tečnosti, na desnoj strani

Bernoullijeve jednačine javlja se i hidrostatski pritisak okolne tečnosti na mjestu isticanja.

• Bernoullijeva jednačina u tom slučaju izgleda ovako:

• Pritisak na mjestu otvora je:

pa sada za brzinu vrijedi izraz:

• Kod realne tečnosti i u ovom slučaju mora se uzeti u obzir koeficijent smanjenja brzine i

koeficijent isticanja.

Isticanje iz posude pod pritiskom

• Ako se tečnost nalazi u zatvorenoj posudi pod pritiskom, taj se pritisak javlja na lijevoj strani

Bernoullijeve jednačine (i dalje se pretpostavlja mali otvor!):

pri čemu se apsolutni pritisak u posudi izražava kao

zbir atmosferskoga i relativnog pritiska (patm + Dp).

• Izraz za brzinu postaje:

Page 33: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

32

ISTICANJE TEČNOSTI KROZ VELIKE OTVORE

Brzina isticanja kroz male otvore je određivana za srednju

vrijednost pritiska gH, a dobijena vrijednost je u stvari srednja

brzina za koju se pretpostavlja da odgovara težištu otvora.

Pri isticanju kroz velike otvore mijenja se i pritisak po otvoru, a i

brzina.

Pretpostavlja se da je veliki otvor sastavljen od više malih

otvora, tako da je elementarni protok kroz svaki mali otvor:

gdje je

Ukupni protok kroz veliki otvor, ako se pretpostavi da

koeficijent isticanja ne zavisi od z:

U zavisnosti od oblika otvora mijenja se i funkcionalna zavisnost širine x od rastojanja z.

Za pravougaoni otvor:

Page 34: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

33

Za kružni otvor otvor poluprečnika R:

Ukupni protok kroz kružni otvor je:

Kako je ovo eksponencijalni integral, on se može izračunati pošto se podintegralna funkcija razvije u

red. U slučaju da se u obzir uzmu samo prva dva člana reda, što eksperimentalno dokazano daje

dovoljnu tačnost, protok je:

ISTICANJE TEČNOSTI KROZ NAGLAVKE

• Za povećanje koeficijenta isticanja, odnosno, protoka i brzine isticanja koriste se posebni

pribori koji se nazivaju naglavcima.

Opšta svojstva naglavaka

Naglavak je najčešće cilindričnog oblika. U suženom

dijelu povećava se brzina strujanja, pa se povećava i

protok, a to znači i koeficijent isticanja. Međutim, u

preostalom dijelu naglavka dolazi do gubitka energije,

čime se smanjuje brzina strujanja. To znači da kraće

cijevi imaju bolji koeficijent isticanja.

Ustanovljeno je da je dužina mrtve zone oko 4 prečnika

naglavka, pa se za povećanje protoka koriste naglavci

dužine 4 prečnika.

Page 35: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

34

Osnovne vrste naglavaka

• Venturijev naglavak

U pitanju je kratka valjčasta cijev kod koje je osjenčena oblast

(mrtva zona) zamijenjena profilisanom cijevi.

Eksperimentalno je utvrđeno da je za Venturijev naglavak

koeficijent isticanja 0.82.

Bernulijeva jednačina za presjeke na slobodnoj površini i I-I:

Kako je

• Bordin naglavak

U pitanju je kratka cilindrična cijev postavljena sa unutrašnje

strane suda.

Mlaz se sužava više nego kod Venturijevog naglavka, jer

strujnice skreću za 180o .

Kada je dužina L > 3d, koeficijent isticanja je 0.71, kada je

L < 3d, =0.51, što je manje nego za prost otvor.

• Suženi (konvergentni) naglavak

Ima oblik zarubljene kupe koja se sužava u smijeru

strujanja.

Koeficijent zavisi od ugla β, pri čemu je

maksimalan za β≈13o .

Zbog manjeg odvajanja mlaza je veće nego kod

cilindričnog naglavka.

Daju neprekidni mlaz velike brzine pa imaju veliku

inženjersku primjenu (vatrogasni šmrkovi, pumpe i

Page 36: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

35

sl.).

• Prošireni (divergentni) naglavak

• Ima oblik zarubljene kupe koja se širi u smijeru strujanja.

• Zbog olakšanog odvajanja mlaza i znatnog gubitka pritiska

ugao se kreće između 5°-7°.

• Prosječna vrijednost koeficijenta isticanja je 0.45, a koriste se

kada se pri velikom protoku žele manje izlazne brzine.

• Konoidni naglavak

• Konstruiše se prema konturi površi mlaza koji ističe iz

otvora.

• Odvajanje mlaza svedeno na minimum.

• Koeficijen isticanja je jako visok i kreće se od 0.97 do

0.99, zavisno od kvaliteta unutrašnje površine cijevi i

visine tečnosti u sudu.

Isticanje pri promjenjivom nivou tečnosti (nestacionarno isticanje)

• Ako se neki od članova koji ulaze u Bernoullijevu jednačinu mijenja, isticanje postaje

nestacionarno.

• Npr. zbog isticanja može doći do smanjenja nivoa tečnosti u rezervoaru, pa se tlačna visina s

vremenom smanjuje.

• Ako je Qd>Qvan nivo raste, a ako je Qd < Qvan nivo opada.

Page 37: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

36

• Ukoliko su te promjene spore, može se i dalje rješenje tražiti uz pomoć izraza za stacionarno

isticanje, ali se mora imati na umu da su sad veličine koje u te izraze ulaze, vremenski

promjenljive.

• Kao primjer analizirat će se slučaj sa prethodne slike.

• Protok kroz otvor na dnu rezervoara dat je od prije poznatim izrazom:

• Treba primijetiti da u ovom slučaju on ovisi o trenutnoj dubini tečnosti u rezervoaru.

• Neka istovremeno u rezervoar dotiče tečnost sa protokom Qd, za koji će se pretpostaviti da je

konstantan.

• Vremenom će se nivo tečnosti u rezervoaru tako dugo mijenjati, dok se ulazni i izlazni protoci

ne izjednače.

• Ravnotežnu dubinu nalazi se izjednačavanjem ova dva protoka:

• Ako je početna dubina veća od ravnotežne, ona će se vremenom smanjivati dok ne dostigne

ravnotežnu vrijednost, a ako je bila manja, nivo će rasti do ravnotežne vrijednosti.

• Vrijeme potrebno da se nivo tečnosti promijeni s h1 na h2 odredi se preko jednačine sačuvanja

zapremina:

za vrijeme dt u rezervoar uđe količina Qd dt, a za isto vrijeme isteče, tako da se za vrijeme dt

zapremina promijeni za

Ova promjena može biti pozitivna ili negativna.

• Integralenjem prethodnog izraza dobija se traženo vrijeme

• Da bi se riješio ovaj integral, mora se znati kako površina presjeka rezervoara ovisi o dubini h.

• Ako je posuda prizmatičnoga oblika S je konstantan i rješenje se lako nađe:

• Prekine li se u nekom trenutku dotok tečnosti u rezervoar, dolazi do njegova pražnjenja.

• Vrijeme potrebno da se nivo tečnosti spusti sa h1 na h2 određuje se uvrštavanjem ho = 0 u

prethodni izraz:

• Vrijeme potrebno da se rezervoar potpuno isprazni je:

• Ovo vrijeme je dva puta duže od vremena potrebnoga da ista zapremina tečnosti isteče iz

rezervoara ako se dubinu h1 drži konstantnom.

ghAQ 2

22

2 Ag

QhQQ d

ovand

dtghA 2

SdhdtghAdtQd 2

2

1

)(

2

12,1

h

h o hh

dhhS

gAt

gA

hSto

2

2 1

Page 38: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

37

DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA

• Viskoznost – osobina fluida koja dolazi do izražaja samo pri kretanju fluida.

• Unutrašnje trenje se pojavljuje kao naprezanje koje djeluje na svaki fluidni djelić.

• Zadatak dinamike viskoznog fluida je matematičko definisanje naprezanja nastalih kao

posljedica viskoznosti fluida, kao i utvrđivanje njegovog uticaja na kretanje fluida.

• Umjesto komponenata deformacije (teorija elastičnih tijela) kod fluida se uvode komponente

brzine deformacije.

• Naponi koji potiču od viskoznosti u svakom trenutku za svaku tačku zavise samo od načina na

koji se fluid kreće u okolini te tačke u datom trenutku, pa se vezuju za trenutnu brzinu u toj

tački.

• U opštem slučaju deformacija fluidnog djelića je dosta složena, ali se ona može predstaviti kao

superpozicija različitih tipova pomjeranja i deformacija.

• Pri kretanju viskoznog fluida svaki djelić fluida izložen je naponu pritiska i smicanja.

• Ojlerovu jednačinu treba dopuniti novim članovima koji zavise od trenja, a koje uzrokuje

pojavu još jedne sile koja utiče na kretanje.

• Da bi se u diferencijalnu jednačinu za kretanje fluida uvele sile koje zavise od viskoznosti treba

prvo odrediti naponsko stanje.

• Bočne strane fluidnog delića oblika paralelopipeda opterećene su i tangentnim silama, tako da

rezultujuće sile pritiska nisu normalne na bočne strane.

Page 39: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

38

• Rezultujuća sila pritiska u pravcu koordinatnih osa dobija se sabiranjem svih sila u dotičnom

pravcu vodeći obzira o smjeru.

Po pravcu ose x:

Na isti način dobit će se i rezultujuće sile u pravcu osa y i z, a svedene na jedinicu zapremine:

fN

x

N

y

N

z

fN

y

N

z

N

x

fN

z

N

x

N

y

x

xx yx zx

y

yy zy xy

z

zz xz yz

(5.2)

dxdzdzz

NNdxdyNdxdydy

y

NN

dxdzNdydzdxx

NNdydzNf

zxzxzx

yx

yx

yxzx

xxxxx

dxdydzz

N

y

N

x

Nf zxyxxx

x

Page 40: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

39

Da bi se odredili naponi koji potiču od viskoziteta i koji zavise od pravca, treba jednostavno oduzeti od

normalnih napona, koji figurišu u naponskom modelu, pritisak (-p).

Dijelovi normalnih napona prouzrokovani od viskoziteta su:

• Tangencijalni naponi su u cjelosti posljedica viskoziteta.

• Pretpostavit će se da su naponi linearna funkcija određenih brzina deformisanja (koeficijent

proporcionalnosti je 2 gdje je -dinamički koeficijent viskoziteta).

Veza između normalnih napona i brzina deformacija:

gdje promjene

predstavljaju linearnu deformaciju ivica,

- neodređeni koeficijent proporcionalnosti

• Rezultujući pritisak u tački jednak je srednjoj vrijednosti pritiska koji djeluje u pravcu

koordinatnih osa

• Predpostavlja se da pritisak NR ne zavisi od pravca i jednak je pritisku - p koji figuriše u

savršenom fluidu tj. NR= -p

• Uvrštavanjem ovoga u prethodne sistem jednačina dobija se:

Normalni naponi postaju:

)(

)(

)(

pN

pN

pN

zz

yy

xx

z

w

y

v

x

u

z

wpN

z

w

y

v

x

u

y

vpN

z

w

y

v

x

u

x

upN

zz

yy

xx

2

2

2

v

u

x y

w

z, ,

zzyyxxR NNNN

3

1

0 )32( vdiv

(5.10) 2

3

N pu

xdiv

N pv

ydiv

N pw

zdiv

xx

yy

zz

22

3

22

3

22

3

v

v (5.11)

v

Page 41: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

40

Na sličan način za tangencijalne napone dolazi se do izraza:

Uvrštavanjem izraza za normalne i tangencijalne napone u izraz za projekcije sila dobiju se:

u vektorskoj notaciji:

Upoređujući dobijeno sa Ojlerovom jednačinom kretanja za savršen fluid može se uočiti da od

viskoziteta potiču članovi

Dodavanjem ovih članova Ojlerovoj jednačini dobija se Navier-Stockes -ova jednačina strujanja

viskoznog fluida

Navie-Stoksove jednačine u skalarnom obliku:

Navie-Stoksove jednačine zajedno sa jednačinom kontinuiteta i karakterističnom jednačinom

(jednačina stanja) čini sistem diferencijalnih jednačina za određivanje pritiska, gustine i brzine,

čime je kretanje viskoznog fluida u potpunosti definisano.

x

w

z

uNN

y

w

z

vNN

x

v

y

uNN

xzzx

zyyz

yxxy

fp

xu

xdiv

fp

y ydiv v

fp

zw

zdiv

x

y

z

v

v

(5.12)

v

1

3

1

3

1

3

F grad p grad div v v (5.13)

1

3

v v (5.15) 1

3grad div

d

dtF grad p grad div

v v v (5.16)

1

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pf

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

z

v

y

v

x

v

y

pf

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

z

u

y

u

x

u

x

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

y

x

Page 42: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

41

Bernulijeva jednačina za realnu tečnost

• Bernulijeva jednačina za realnu tečnost mora da uzme u obzir gubitke energije koji se javljaju

pri strujanju realne tečnosti. Za strujno vlakno:

• Bernulijeva jednačina za dva presjeka čitavog strujnog toka realne tečnosti:

Gubici energije koji se javljaju pri strujanju realne tečnosti:

• Gubici usljed trenja na pravolinijskm dijelovima cijevi i kanala

• Lokalni gubici - posljedica nagle promjene strujanja.

• Gubici usljed trenja na pravolinijskim dijelovima cijevi i kanala:

- koeficijent trenja

DARSIJEV OBRAZAC L – dužina cijevi

D – prečnik poprečnog presjeka cijevi

Ako se uvede HIDRAULIČKI RADIJUS (odnos površine poprečnog presjeka A

i okvašenog obima O):

• Lokalni gubici

– koeficijent koji zavisi od lokalnog otpora i određuje se obično

eksperimantalnim putem,

Naglo proširenje poprečnog presjeka

Page 43: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

42

A1/A2 0.01 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.98 0.81 0.64 0.36 0.16 0.04 0

Naglo suženje poprečnog presjeka

A2/A1 0.01 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.50 0.49 0.42 0.33 0.25 0.15 0

Krivina (koljeno):

2r/R 1 2 4 6 10

GL 0.23 0.14 0.10 0.08 0.09

HR 0.51 0.30 0.23 0.18 0.20

Ventili

Ventil

Propusni ventil, širom otvoren 1.4715

Propusni ventil, 3/4 otvoren 8.3385

Propusni ventil, 1/2 otvoren 43.164

Propusni ventil, 1/4 otvoren 196.2

Loptasti ventil, širom otvoren 7.575

Page 44: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

43

Ulazni otvori

Izlazni otvori

Režimi strujanja fluida

Postoje dva različita režima strujanja:

Laminarno strujanje – tečnost struji u slojevima pri čemu se slojevi ne miješaju međusobno.

Turbulentno strujanje – djelići tečnosti se kreću po složenim i međusobno izmiješanim trajektorijama,

pri čemu je kovitlanje i miješanje tečnosti intenzivno.

Ispitivanje dva režima strujanja je prvi izvršio Rejnolds 1883. godine

Page 45: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

44

REJNOLDSOV BROJ

Rejnoldov broj predstavlja odnos između inercijalnih i viskoznih sila.

Page 46: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

45

Laminarno strujanje

Tangencijalni napon je linearna funkcija od r :

Odgovarajućim transformacijama za raspodjelu brzine kod laminarnog strujanja u cijevima dobija se:

Za laminarno strujanje vrijedi

Turbulentno strujanje

dr

dN

v

2

2

2

22

114

)(R

rv

R

rR

l

prv max

4

2R

l

pvmax

22d21d 2

0

2

2

maxmax

R

r

maxsr

vA

vRrr

R

rvAvAvQ

2

maxsr

vv

Relam

64

T

tvTv0

d

Page 47: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

46

Komponente trenutne vrijednost brzine:

prosječna brzina + pulzaciona brzina

Hidraulički glatke i hrapave cijevi

ovo je hidraulički glatka stijenka jer je granični laminarni

sloj deblji od najvećih neravnina stijenke.

ovo je prijelazno područje jer je granični laminarni

sloj po debljini približno jednak najvećim neravninama stijenke.

),,,(),,(),,,(

),,,(),,(),,,(

),,,(),,(),,,(

tzyxvzyxvtzyxv

tzyxvzyxvtzyxv

tzyxvzyxvtzyxv

zzz

yyy

xxx

Page 48: Predavanja druga parcijala

Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba

47

ovo je hidraulički hrapava stijenka jer je granični laminarni

sloj znatno tanji od najvećih neravnina stijenke.

dlam>4e hidraulički glatko

4e>dlam>e/2 prijelazno područje

dlam<e/2 hidraulički hrapavo

Koeficijent trenja

hidraulički glatke cijevi h=f(Re)

prijelazno područje h=f(Re,e/R)

hidraulički hrapave cijevi h=f(e/R)