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2015 Señales Aleatorias

Practica Señales Aleatorias GITT

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Practica, simulación de señales aleatorias haciendo uso de MATLAB

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2015 Seales Aleatorias 1-a Con el fin de realizar experimentos pseudoaleatorios en MATLAB, procedemos a definir la semilla para generar variables aleatorias. GRUPO 7: Asignamos 7 como valor de la semilla: 1-b Generamos vector columna U de 10000 componentes aleatorias uniformes en intervalo (0,1) La propia funcin rand() genera nmeros pseudoaleatorios uniformemente distribuidos en ese intervalo (0,1). 1-c Al igual que el apartado anterior, generamos un vector columna G de 10000 componentes aleatorias gaussianas estndar: La funcin randn() genera nmeros pseudoaleatorios normalmente distribuidos de media 0 y varianza 1 (gaussiana estndar). -------------------------------------------------------------------------------------------------- 2- FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD: Haciendo uso de la funcin hist(x) podemos observar la funcin densidad de probabilidad en histogramas para ambas distribuciones. Esta funcin hist(x) representa la funcin en 10 contenedores. En este caso no se recomienda la observacin con 10 contenedores ya que los intervalos de cada uno son demasiados amplios para el gran nmero de componentes del vector. Por ello, procedemos al uso de hist(U,100) e hist(G,100) con 100 contenedores tanto para la representacin uniforme como la gaussiana: S en lugar de usar 100 contenedores usamos 1000 la representacin se precisa ms (menor nmero de observaciones en cada intervalo) pero observamos un resultado menos ideal: FUNCIN DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD: Al igual que la funcin densidad de probabilidad, contra ms mayor sea el nmero de contenedores la funcin densidad es ms precisa. En el caso de la funcin distribucin ocurre lo mismo; sta tiende a ser ms precisa si aumentamos el nmero de contenedores de 100 a 1000. Implementamos el cdigo necesario para el clculo de ambas funciones de distribucin: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3- Para el clculo de la probabilidad en ambas distribuciones hemos implementado un cdigo basado en calcular el nmero total de observaciones menores que 0.3 para dividirlas por el nmero total (10000) y as obtener la probabilidad. Se nos especifica tambin que para el caso gaussiano se realice el clculo con la funcin erf() : Los resultados obtenidos concuerdan con lo esperado: -En el caso Uniforme, la probabilidad obtenida es aproximada a 0.3. Efectivamente, el valor es el esperado ya que la funcin distribucin uniforme es una recta positiva de pendiente unidad (distribucin uniforme normalizada). -En el caso Gaussiano coincide con el calculado haciendo uso de la funcin erf(). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4- Ambos sucesos son independientes por lo que la probabilidad del evento corresponde al producto de las probabilidades de cada suceso independiente: El resultado obtenido: 5- Se nos especifica realizar el clculo de la probabilidad de que G se encuentre entre 0 y 0.1 condicionada a que la uniforme U se encuentre entre 0.3 y 0.4 por lo que haciendo uso del teorema de bayes obtenemos esta probabilidad: NOTA: Ambos sucesos son independientes por lo que al hacer uso de este teorema y dividir la probabilidad conjunta por la probabilidad en la uniforme obtenemos la misma probabilidad que si solo se diera el caso de la gaussiana. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6- Haciendo uso de la expresin proporcionada procedemos a implementar el cdigo para el clculo de las medias; Tal y como dice la expresin, la media consiste en la sumatoria de cada posible suceso multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese suceso: Obtenemos las respectivas medias para cada caso: Para el caso uniforme obtenemos una media de aproximadamente 0.5; Este resultado es el esperado ya que, como anteriormente se mencion, la funcin distribucin corresponde a una recta de pendiente 1. Por otro lado, en el caso gaussiano obtenemos una media de 0.01 (aproximadamente 0). El resultado tambin es el esperado ya que, como inicialmente se indic, randn(G) proporciona un vector de observaciones de variables gaussianas con media nula (0) y varianza unidad. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7- Se especifica el clculo de la mediana y la moda nicamente en el caso Gaussiano. Para ello procedemos a implementar el cdigo haciendo uso de las funciones median() y mode(): El resultado de la mediana es el esperado; Esta corresponde al punto donde la probabilidad es de 0.5 que en este caso corresponde casi al 0. Se puede apreciar que el valor de la mediana es igual al de la media ya que la distribucin corresponde una normalizacin de la gaussiana. Por otro lado, la moda corresponde al punto en donde el nmero de observaciones es mayor (mayor frecuencia absoluta); Sin embargo, podemos apreciar que el valor obtenido no es el esperado si lo comparamos con el histograma. Esto se debe a que cada observacin del vector G es diferente a las dems (en pocos decimales) y, por tanto, toma cada una como una observacin diferente (de ah a que el valor de la moda sea -3.8289). Una posible solucin es hacer un redondeo de las observaciones del vector para poder hacer uso de la funcin otra vez; Procedemos a ello: Obteniendo el resultado de la moda correcto: El resultado obtenido lo verificamos como correcto observando el histograma de la funcin de densidad, donde se puede apreciar que el contenedor con mayor nmero de muestras es el que contiene a la moda 8- Matlab proporciona funciones para el clculo de estos parmetros, por tanto, procedemos a hacer uso de estos: Obteniendo los siguientes resultados: El parmetro de skewness define la asimetra de la distribucin. En ambos casos, los resultados del skewness son los esperados ya que ambas distribuciones son aproximadamente simtricas. Estas simetras las podemos corroborar observando ambas funciones de densidad o, tambin, sabiendo que la moda, la mediana y la media se aproximan a un mismo valor como anteriormente se calcul. Por otro lado, el parmetro de kurtosis define el grado de achatamiento que sufre la distribucin en comparacin a las normalizadas. En este caso, en ambas distribuciones se sobrepasan (kurtosis > 0) lo que significa que se sobrepasa (ms apuntamiento que la normalizada). Podemos observarlo tambin desde los histogramas de funciones de densidad. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9- La distribucin de Bernouilli solo toma valores 1 y 0 y, por lo tanto, solo dos posibles probabilidades las cuales se especifican en el enunciado. Procedemos a implementar el cdigo para generar el vector de 10 muestras y obtener las probabilidades especificadas: Obtenemos el vector B de Bernouilli: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10- Para el clculo de la media vamos a hacer uso de la funcin mean() que nos calcula esta precisamente: Obteniendo como resultado: Efectivamente, el resultado corresponde con el calculado analticamente. Las distribuciones de Bernouilli tienen como media la probabilidad de que se d el suceso 1 y esta, tal y como se especific, es de 0.6. Por otro lado, para el clculo de la varianza haremos uso de la funcin var() ya implementada en MATLAB: Obteniendo como resultado: El resultado tambin es el esperado, analticamente la varianza en una distribucin de Bernouilli corresponde al producto de las dos nicas probabilidades P(B=1)=p y P(B=0)=q -> varianza =p*q ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 11- Vamos a realizar las mismas mediciones de Bernouilli pero con un vector de muestras mucho mayor.Definimos el vector de 10000 muestras y procedemos a los mismos clculos: Obteniendo los siguientes resultados: En este caso, al haber aumentado el nmero de muestras considerablemente, la media no llega a coincidir exactamente con la probabilidad p y, por tanto, la varianza tambin vara algo aunque estas siguen muy pr-ximas a las esperadas. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12- FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD: Al igual que se hizo anteriormente, para la funcin densidad de probabilidad usaremos hist() pero en este caso con los contenedores centrados en 0 y 1 que son los nicos posibles sucesos en bernouilli. En la funcion densidad de probabilidad se puede observar claramente los dos unicos sucesos posibles con el nmero de observaciones en cada uno. Podemos verificar los resultados obtenidos anteriormente. FUNCIN DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD: Implementamos el cdigo para el clculo de la funcin. Para su representacin, hacemos uso de la funcin stairs() que representar la funcion escalonada para una posible mejor observacin: 13- La distribucin Binomial consiste en la realizacin de n pruebas sucesivas e independientes de Bernouilli de tal manera que las variables aleatorias definen el nmero de veces que ha ocurrido cierto suceso A deBernouilli Se nos especifica la realizacin de n=3 pruebas tal que p=0.1. Para ello, crearemos un vector de 300 observa-ciones que corresponden a 3 pruebas de 100 observaciones: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 14- Haciendo uso del histograma procedemos a la representacin de la funcin de densidad binomial: 15- Para la generacin del vector de 1000 variables aleatorias exponenciales con lamba=0.2 crearemos un vector de variables uniformes y usaremos la expresin de la funcin densidad de la exponencial vista en clase: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 16- La gaussiana que estudiamos anteriormente corresponda a una normalizacin de esta (media 0 y varianza 1) En este apartado estudiaremos el caso de una gaussiana pero sin normalizar (media 3 y varianza 4).Nos basta con multiplicar los vectores obtenidos por 2 y sumar 3 (desplazamiento) para tener estas condicio-nes: Las correspondientes funciones de densidad y de distribucin: Efectivamente, podemos observar cmo se encuentra centrada en 3 (media) y, si la calculamos obtenemos un valor aproximado: La varianza tambin se aproxima al valor.