Ejercicios1. En los próximos 3 meses debemos pagar S/. 2,000; S/.

3,000 y S/. 2,500 respectivamente, pero deseamos refinanciar la deuda, realizando hoy un pago de S/. 3,000 y el saldo en dos cuotas, una de S/. 2,000 dentro de 60 días y otra a los 120 días. Hallar el valor de esta última cuota si la TEA es 20%.

Tasa: Se convierte la tasa de anual a mensual, mediante la fórmula:

Ix = (1+ly)x/ y−1

(1+0.20)(112 )−1= 0.0153095 Redondeamos = 0.0153

Traemos al presente los valores del préstamo, dado que están en valor futuro; para ello utilizamos la siguiente fórmula.

VP = F(1+i)n

VP = 2000(1+0.0153)1

= 1,969.84 1ra cuota

VP = 3000(1+0.0153)2

= 2,910.21 2da cuota

VP = 2500(1+0.0153)3

= 2,388.61 3ra cuota

Préstamo

2,000.00

3,000.00

2,500.00

0 1 2 3

Refinanciamiento

0 1 2 3 4

3,000.00

2,000.00

¿?

De momento lo dejamos aquí, ahora veremos el refinanciamiento.Como podemos observar en el refinanciamiento, los valores están en el futuro y debemos llevarlos al valor presente, para igualarlos a los del préstamo y poder operar con ellos.El monto de 3,000.00 esta en el periodo 0, por lo tanto solo traeríamos el valor de 2,000.00 y el monto desconocido “x” de la 4ta cuota.Utilizamos la fórmula de Valor Presente.

VP = 2000(1+0.0153)2

= 1,940.14 2da cuota

VP = x(1+0.0153)4

4ta cuota

Ahora sumamos los valores del préstamo y los igualamos a los valores del refinanciamiento:Préstamo = Refinanciamiento 1º + 2º + 3º = 0 + 1º + 2º + 3º + 4º 1,969.84 + 2,910.21 + 2,388.61 = 3,000.00 + 1,910.14 +

x(1+0.0153)4

7,268.66 = 4,940.14 + x(1+0.0153)4

Despejamos la variable “x”:

7,268.66 – 4,940.14 = x(1+0.0153)4

2,328.52 (1+0.0153 )4 = x2,474.42 = xFinalmente obtenemos el resultado de la cuarta cuota que es: S/.2,474.42

2. En los próximos 3 meses debemos pagar una cuota de S/. 10,000; pero deseamos refinanciar la deuda cancelando hoy un pago de S/. 5,000 y el saldo en una cuota dentro de 60 días. Hallar el valor de esta última cuota si la TEA es 20%.

Préstamo

Tasa: Se convierte la tasa de anual a mensual, mediante la fórmula:

Ix = (1+ly)x/ y−1

(1+0.20)(112 )−1= 0.0153095 Redondeamos = 0.0153

Como los 10,000.00 están en valor futuro debemos traerlos al presente, empleando la formula

VP = F(1+i)n

VP = 10000(1+0.0153)3

= 9,554.70

Ahora el observemos el valor de 5,000.00 como esta en el periodo 0 no lo tocamos, dado que si podemos trabajar con él, luego encontramos el valor de la segunda cuota:

VP = x(1+0.0153)2

2da cuota

Finalmente igualamos la suma de los 5,000.00 con x(1+0.0153)2

al valor de 9,554.70; para despejar la variable y hallar el valor de x.

Préstamo = Refinanciamiento 9,554.70 = 5,000.00 + x

(1+0.0153)2

9,554.70 – 5,000.00 = x(1+0.0153)2

10,000.00

0 1 2 3

Refinanciamiento

0 1 2

5,000.00

¿?

4,554.70 = x(1+0.0153)2

4,554.70 (1+0.0153 )2 = x4,695.14 = x

Finalmente encontramos el valor de x (la segunda cuota) que es: S/. 4,695.14

3. Deseamos reestructurar los pagos de una deuda consistente en tres flujos de S/. 3,000; S/. 4,500 y S/. 6,000 cuyos vencimientos son a 1,3 y 5 meses respectivamente. Para ello, proponemos pagar dicha deuda en cinco flujos mensuales iguales contados a partir del próximo mes. Hallar el valor de las nuevas cuotas sabiendo que la tasa efectiva anual de la deuda es del 20%.

Tasa: Se convierte la tasa de anual a mensual, mediante la fórmula:

Ix = (1+ly)x/ y−1

(1+0.20)(112 )−1= 0.0153095 Redondeamos = 0.0153

Traemos al presente los valores futuros del préstamo, con la siguiente formula:

VP = F(1+i)n

0 1 2 3 4

3,000.00

4,500.00

Préstamo

5

6,000.00

Refinanciamiento

0 1 2 3 4 5

¿?¿?¿?¿?¿?

VP = 3000(1+0.0153)1

= 2,954.79 1ra cuota

VP = 4500(1+0.0153)3

= 4,299.61 3ra cuota

VP = 6000(1+0.0153)5

= 5,561.34 5ta cuota

Ahora hacemos lo mismo con los valores del refinanciamiento

VP = x(1+0.0153)1

1ra cuota

VP = x(1+0.0153)2

2da cuota

VP = x(1+0.0153)3

3ra cuota

VP = x(1+0.0153)4

4ta cuota

VP = x(1+0.0153)5

5ta cuota

Ahora sumamos los valores del préstamo y los igualamos a los valores del refinanciamiento para despejar la variable “x” y obtener los valores respectivos.

Préstamo = Refinanciamiento

2,954.79 + 4,299.61 + 5,561.34 = x

(1+0.0153 )1+ x

(1+0.0153 )2+ x

(1+0.0153 )3+ x

(1+0.0153 )4+ x

(1+0.0153 )5

Ahora sacamos el factor común a las fracciones12,815.74 =

1(1+0.0153)1

x+ 1(1+0.0153)2

x+ 1(1+0.0153)3

x+ 1(1+0.0153)4

x+ 1(1+0.0153)5

x

Ahora dividimos los numeradores entre los denominadores y seguidamente procederemos a multiplicar los resultados por las “x”

12,815.74 = 0.9849x + 0.9701x + 0.9555x + 0.9411x + 0.9269x

12,815.74 = 4.7785x

12,815.744.7785

=x

2,681.96=x

4. Hace 8 meses adquirimos una deuda de S/. 10,000; la cual deseamos cancelar hoy. Hallar el monto a pagar si el acreedor nos cobra una tasa de interés nominal del 2% mensual con capitalización trimestral.

Primera forma de resolverlo:

Como la tasa es nominal mensual y se capitaliza trimestralmente, no se convierte.10,000.00 x 0.02 = 200 interés generado por trimestreAhora calculamos el primer trimestre10,000.00 + (3 x 200) = 10,600.00 Ahora el segundo trimestre, como nos dicen que se capitaliza, tomamos el ultimo valor obtenido, que vendría a ser 10,600.0010,600.00 x 0.02 = 21210,600.00 + (3 x 212) = 11,236.00Finalmente el tercer trimestre, nuevamente tomamos el ultimo valor obtenido, 11,236.0011,236.00 x 0.02 = 224.72

0

10,000.00

12345678

10,600.00

11,236.00

¿?

Préstamo

11,236.00 + (2 x 224.72) = 11,685.94 Finalmente tendríamos que pagar a la fecha de hoy el monto de S/. 11,685.94Segunda forma de resolverlo:Nos dicen que la tasa es del 2% mensual por lo tanto la convertimos a una tasa trimestral, multiplicamos por 3, lo que vendría a ser la tasa de interés nominal.Tasa:0.02 x 3 = 0.06 TINAhora aplicamos la fórmula de Valor Futuro para saber cuánto pagaremos habiendo pasado los 8 meses, ósea hoy.

VF=P (1+i )n

VF=10,000.00(1+0.06)83

VF = 11,681.06

5. Usted cuenta con una deuda vencida hace 90 días de S/. 3,000. La entidad financiera le está cobrando hoy la suma de S/. 3,250 para liquidar su deuda. Usted le ha replanteado cancelar hoy S/. 1,500 y el saldo en 3 cuotas iguales, a la misma tasa que la entidad financiera está calculando los S/. 3,250 ¿Cuál es el valor de dichas cuotas?

Tasa:Para hallar la tasa utilizamos la fórmula:

i = IP

Sin embargo esta fórmula no nos ayuda mucho, dado que utilizaremos la fórmula de valor presente, para despejar la variable Interés.S = P + I Despejando quedaría: I = S - P

Deuda

3 2 1

3,000.00

3,250.00

0

Ahora en la fórmula de la tasa, reemplazamos:i = S−P

PReemplazamos los valores como correspondeni = 3,250.00−3,000.003,000.00 i = 0.083

Ahora esta es la tasa efectiva trimestral, debemos convertirla a mensual, para ello aplicamos la formula

Ix = (1+ly)x/ y−1Ix = (1+0.083)30/90−1

Ix = 0.027

Ahora replanteamos la deuda

Quedaría pendiente de pago 1,750.00 porque la deuda total es de 3,250.00 le restamos los 1,500.00 que pagamos hoy.

Luego como los valores de las cuotas están en valor futuro los traemos al presente mediante la fórmula.

VP = F(1+i)n

VP = x(1+0.027)1

1ra cuota

VP = x(1+0.027)2

2da cuota

VP = x(1+0.027)3

3ra cuota

Procedemos a igualar los 1,750.00 con las fracciones de las cuotas1,750.00 = x

(1+0.027)1+ x

(1+0.027)2+ x(1+0.027)3

0 1 2 3

1,500.00

¿? ¿? ¿?

Replanteamiento

Sacamos el factor común de las fracciones

1,750.00 = 1(1+0.027 )1

x+ 1(1+0.027 )2

x+ 1(1+0.027 )3

x

Ahora dividiremos el numerador entre denominador

1,750.00 = 0.9737x + 0.9480x + 0.9231x

1,750.00 = 2.845x

615.16 = x

El resultado vendría a ser S/. 615.16

6. De nuestras cuentas por cobrar pendientes, tenemos el siguiente horizonte de flujos esperados: dentro de 15 días S/. 1,500; dentro de 30 días S/. 2,000; dentro de 60 días S/. 2,500; y a partir del tercer mes, flujos de S/. 2,000 mensuales durante 3 meses más. Deseamos adelantar la cobranza para lo cual acudimos al banco quién nos cobra una tasa de descuento del 14% efectivo anual. Hallar el monto que el banco nos entregaría si descontamos todos los flujos hoy.

Tasa:Como es una tasa efectiva anual, debemos convertirla a mensual empleando la formula

Ix = (1+ly)x/ y−1

Ix = (1+0.14 )112−1 = 0.01098 Redondeamos 0.011

Ahora convertimos la tasa mensual a quincenal para ello dividimos 0.011 entre 2, lo cual nos da como resultado 0.5485

Cuentas por cobrar

0 1 2 3 4 5

15 15 30 30 30 30

1,500.00

2,000.00

1,500.00

2,000.00

2,000.00

2,000.00

Descuento de Flujos:

0.55% de 1,500.00 = 8.251.098% de 2,000.00 = 21.94

1.098% de 2,500.00 = 27.3751.098% de 2,000.00 = 21.941.098% de 2,000.00 = 21.941.098% de 2,000.00 = 21.94

12,000.00 123.385

Descuento = 12,000.00 – 123.385Descuento = 11,876.615

7. De una deuda contraída hace algún tiempo nos queda pendiente de pago las siguientes cuotas:

a. Cuatro cuotas mensuales de 500 soles vencidas (la última venció hace 30 días)

b. Una cuota de 600 soles que vence hoyc. Diez cuotas mensuales de 550 soles que vencen en

el futuro, la primera dentro de 30 días.

Si la deuda fue contraída a una TEA de 15% y deseamos refinanciarla pagando hoy S/. 2,500 y el saldo en 12 cuotas mensuales. Hallar el valor de las nuevas cuotas, si el banco nos actualiza la deuda vencida a una TEA del 20% y refinancia el saldo de la deuda a una TEA del 18%.Préstamo

4 500.003 500.002 500.001 500.000 600.001 550.002 550.003 550.004 550.005 550.006 550.007 550.008 550.009 550.00

10 550.00

Tasa:Nos dan una tasa efectiva anual del 20% que debemos convertirla a mensual, empleamos la formula

Ix = (1+ly)x / y

Ix= (1+0.20)(112 )−1 = 0.0153

La segunda tasa efectiva anual es de 15% que debemos convertirla a mensual

Ix= (1+0.15)(112 )−1 = 0.017

La tercera tasa efectiva anual es de 18% que debemos convertirla a mensual

Ix= (1+0.18)(112 )−1 = 0.0139

Ahora para los primeros 4 valores (del 4 al 1, antes del 0) utilizamos la fórmula de valor futuro dado que están en el pasado

VF=P (1+i )n

VF = 500.00(1+0.0153)4=531.33 4ta cuotaVF = 500.00(1+0.0153)3=523.32 3ra cuotaVF = 500.00(1+0.0153)2=515.43 2da cuotaVF = 500.00(1+0.0153)1=507.65 1ra cuotaComo el valor de 600.00 lo dejamos así dado que esta en el periodo 0 y no necesitamos convertirlo.Luego tomamos los valores de las cuotas del 1 al 10 (después del 0), empleamos la fórmula de valor presente, dado que están en el futuro.

VP = F(1+i)n

VP = 550 .00(1+0.0139)1

= 542.47 1ra cuota

VP = 550.00(1+0.0139)2

= 535.04 2da cuota

VP = 550.00(1+0.0139)3

= 527.71 3ra cuota

VP = 550.00(1+0.0139)4

= 520.48 4ta cuota

VP = 550.00(1+0.0139)5

= 513.35 5ta cuota

VP = 550.00(1+0.0139)6

= 506.32 6ta cuota

VP = 550.00(1+0.0139)7

= 499.38 7ma cuota

VP = 550.00(1+0.0139)8

= 492.54 8va cuota

VP = 550.00(1+0.0139)9

= 485.79 9na cuota

VP = 550.00(1+0.0139)10

= 479.14 10ma cuota

Sumamos todas las cuotas para determinar el total S/. 7,779.93

0 2,500.001 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X

10 X11 X12 x

Ahora restamos el monto total de la deuda 7,779.93 menos 2,500.00, para determinar cuánto nos queda por pagar, 5,279.93Finalmente traemos al presente todos los valores futuros del refinanciamiento, sacamos el factor común “x” y operamos

Refinanciamiento

VP= 1¿¿

= 0.986 1ra cuota

VP= 1¿¿

= 0.973 2da cuota

VP= 1¿¿

= 0.959 3ra cuota

VP= 1¿¿

= 0.946 4ta cuota

VP= 1¿¿

= 0.933 5ta cuota

VP= 1¿¿

= 0.921 6ta cuota

VP= 1¿¿

= 0.908 7ma cuota

VP= 1¿¿

= 0.896 8va cuota

VP= 1¿¿

= 0.883 9na cuota

VP= 1¿¿

= 0.871 10ma cuota

VP= 1¿¿

= 0.859 11ra cuota

VP= 1¿¿

= 0.847 12da cuota

La suma de estos valores nos da 10.983x y lo igualamos a 5,279.9310.983x = 5,279.93X = 480.718El valor de x en cada cuota será S/. 480.718

8. Tenemos pendientes de pago cinco cuotas mensuales de S/. 800 cada una, dos de las cuales ya vencieron, la tercera vence hoy y dos más vencen dentro de 30 y 60 días, respectivamente. Las cuotas fueron calculadas a una TEA de 20%. Si deseamos cancelar toda la deuda hoy, ¿cuánto tendremos que pagar si el acreedor nos cobra una TEA del 25% por las cuotas vencidas?

DeudaTEA = 25%

TEA = 20%

Tasa: Calculamos ambas tasas por separado

Ix = (1+ly)x/ y−1

(1+0.20)(112 )−1= 0.0153095 Redondeamos = 0.0153

(1+0.25)( 112 )−1= 0.0187692 Redondeamos = 0.0188

Después traemos a valor presente ambas cantidades

VP = F(1+i)n

VP = 2400(1+0.0153)3

= 2,293.127 1er monto

VP = 1600(1+0.0188)2

= 1,541.495 2do monto

Ahora enviamos el 1er monto a valor futuro, por las cuotas vencidas a pagarlas hoy

VF=P (1+i )n

VF=2,293.127(1+0.0188)3

VF =2,424.91Ahora sumamos las cantidades de S/. 1,541.495 más S/. 2,424.91 para hallar el monto total a pagar.TOTAL = 1,541.495 + 2,424.91 TOTAL = 3,966.401El monto a pagar es de S/. 3,966.401

9. ¿Qué alternativa es más conveniente desde el punto de vista del costo financiero si usted cuenta hoy con S/. 5,000 que los puede invertir sin mucho riesgo y ganar una TEA del 10%?

a. Pagar hoy una deuda de S/. 5,000.b. Pagar hoy S/. 2,500 a cuenta de la deuda anterior y

el saldo en una cuota a 60 días de S/. 2,600.

0 1 212

c. Pagar toda la deuda en una cuota ascendente a S/. 5,250 dentro de seis meses.

Inversión:

Entonces:Capital = 5,000.00 TEA = 10 % = 0.10Formula: VF=P (1+i )n

Llevando los 5,000.00 al valor futuro tenemos: VF=5,000.00 (1+0.10 )1

VF = 5,500.00- si invierto hoy los S/. 5,000.00 tendré una ganancia

de S/. 500.00

d. Pagar hoy una deuda de S/. 5,000.

Al pagar la deuda ya no invertiría.

e. Pagar hoy S/. 2,500 a cuenta de la deuda anterior y el saldo en una cuota a 60 días de S/. 2,600.

Entonces:Si hoy pagamos la mitad de la deuda e invertimos la otra mitad a los 60 días.

TEA: 10%TEB: 1.6 %

ix=(1+iy)x/ y−1

TEB=(1+0.10 )60360−1

TEB = 0.0160

¿?

5,000.00 Al año

Hoy2,500.00

2,6000.00

60 días

CAPITAL: 2,500.00VF=P (1+i )n

VF=2,500.00 (1+0.016 )1

VF= 2,540.00

Si la deuda que tenemos pendiente a los 60 días es de 2,600.00 y la inversión más la ganancia nos genera un total de 2,540.00 que es inferior a la deuda contraída por lo tanto no nos es favorable solo pagar la mitad.

f. Pagar toda la deuda en una cuota ascendente a S/. 5,250 dentro de seis meses.

Tenemos:TEA: 10%

ix=(1+iy)x/ y−1

TEB=(1+0.10 )180360−1

TEB = 0.0488

TEB: 4.88 %Invirtiendo los S/. 5,000.00 a 6 meses tenemos:

VF=P (1+i )n

VF=5,000.00 (1+0.0488 )1

VF= 5,244.00

Si la deuda que tenemos pendiente a los 6 meses es de 5,250.00 y la inversión más la ganancia nos genera un total de 5,440.00 que es inferior a la deuda contraída por lo tanto no nos es favorable pagar la deuda después de 6 meses.

10. De una deuda contraída hace algún tiempo a una TEA del 20%, nos quedan pendientes de pago 18 cuotas mensuales iguales de S/. 600 cada una (la primera de ellas vence en 30 días). Deseamos refinanciar la deuda cancelando hoy S/. 3,500 y el saldo en 12 cuotas

A 6 meses: S/. 5,250.00

mensuales iguales. Hallar el valor de las nuevas cuotas si:

a. La TEA del refinanciamiento es 18%.b. Si la primera cuota del financiamiento original

vence de 15 días, y la TEA del refinanciamiento es igual a la TEA del financiamiento original.

Tenemos:

Deuda de 18 cuotas a S/. 600 TEA de 20 %

Para refinanciar tenemos que traer la deuda de las cuotas al presente:

TEM: ix = (1+iy)x/ y−1

(1+0.20)112−1= 0.0153095 Redondeamos = 0.0153

Valor presente de las cuotas:VF ¿ F

(1+i )n

VF = 600

(1+0.0153 )1 = S/. 590.96

VF = 600

(1+0.0153 )2 S/. 582.05

VF = 600

(1+0.0153 )3 = S/. 573.28

VF = 600

(1+0.0153 )4 = S/. 564.64

VF = 600

(1+0.0153 )5 = S/. 556.13

VF = 600

(1+0.0153 )6 = S/. 547.75

VF = 600

(1+0.0153 )7 = S/. 539.50

VF = 600

(1+0.0153 )8 = S/. 531.37

VF = 600

(1+0.0153 )9 = S/. 523.36

VF = 600

(1+0.0153 )10 = S/. 515.47

VF = 600

(1+0.0153 )11 = S/. 507.71

VF = 600

(1+0.0153 )12 = S/. 500.06

VF = 600

(1+0.0153 )13 = S/.492.52

VF = 600

(1+0.0153 )14 = S/. 485.10

VF = 600

(1+0.0153 )15 = S/. 477.79

VF = 600

(1+0.0153 )16 = S/.470.59

VF = 600

(1+0.0153 )17 = S/. 463.50

VF = 600

(1+0.0153 )18 = S/. 456.51

El total del monto de las 18 cuotas traídas a valor presente es:S/. 9,378.29

Entonces pagamos los S/. 3,500.00 y refinanciamos el saldo en 12 cuotas mensuales iguales.

Deuda 18 meses : S/. 9,378.29 -A cuenta : S/. 3,500.00Saldo de la deuda : S/. 5,878.29

c. La TEA del refinanciamiento es 18%.Refinanciamos el saldo en 12 cuotas iguales para lo cual

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x x xx . . .

Convertimos la TEA de 18% a una TEM

TEM=(1+0.18 )112−1

TEM = 0.01388843TEM ≅ 0.0139

Para hallar la cantidad equivalente de las cuotas aplicamos la siguiente formula:

R=P [ ( i (1+i )n )/ ((1+ i)n−1)]Remplazamos:

R=5,878.29[ (0.0139 (1+0.0139 )12 )(1+0.0139 )12−1 ]

R=5,878.29[0.0163883480.18 ]R=5,878.29 (0.091046377 )

R=535.12

La cuota de refinanciamiento es de S/. 535.12 c/u

d. Si la primera cuota del financiamiento original vence de 15 días, y la TEA del refinanciamiento es igual a la TEA del financiamiento original.

Convertimos la TEA de 20% a una TEM

TEM=(1+0.20 )112−1

TEM = 0.0153095 TEM ≅ 0.0153

Para hallar la cantidad equivalente de las cuotas aplicamos la siguiente formula:

R=P [ ( i (1+i )n )/ ((1+ i)n−1)]Remplazamos:

R=5,878.29[ (0.0153 (1+0.0153 )12 )(1+0.0153 )12−1 ]

R=5,878.29[0.0183713650.20 ]R=5,878.29 (0.091046377 )

R=539.89

La cuota de refinanciamiento con la TEA del financiamiento inicial es S/. 539.89