ppt mac laurin

Deret dan Aproksimasi

Deret MacLaurin

Deret Taylor

Tujuan

• Kenapa perlu perkiraan?– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –

polynomial.– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi

dengan mudah. – Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi

sebenarnya.

Polynomial Approximations

• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0;

• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta, sehingga:

• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order polynomial approximation;

• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?

00 )( axp


• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.

• Sehingga: )0()(0 fxp

-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p(x)


• Contoh

xxf

1

1)(

1)(11

1)0( 0 xpf


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

Sangat akurat

Kurang akuratTidak akurat


• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan menggunakan aproksimasi linier (1st order approximation);

• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.

xaaxp 101 )(


• Menyamakan perpotongan:

• Menyamakan slope:

• Sehingga polinom nya:

)0(

)0(0)0()0(

0

101

fa

faafp

)0()0()0( 11 fafp

xffp )0()0()0(1


• Contoh

xxf

1

1)(

xaaxp 101 )(

1)0(101

1)0( 0

faf

1)0(1

1

1)0( 12

fa

xf

xxp 1)(1

Ingat, Metode Newton Raphson

tangent

dy

dxf

f xf x

x x

rearrange

x xf x

f x

ii

i i

i ii

i

'

'

'

0

1

1

f(xi)

xi

tangent

xi+1

-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

p1(x)

Masih ‘lumayan’ sampai disini


• Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:

• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva (turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.

22102 )( xaxaaxp


• Menyamakan perpotongan:

• Menyamakan kemiringan:

)0(

)0(00)0()0(

0

22102

fa

faaafp

)0(02)0()0( 212 faafp


• Mencocokkan kurva (turunan ke 2):

• Memberikan polinom

)0(2

1

)0(2)0()0(

2

22

fa

fafp

22 )0(

2

1)0()0()( xfxffxp


• Contoh

• Dari sebelumnya:

xxf

1

1)(

22102 )( xaxaaxp

1,1 10 aa

1

2)0(21

2)(

2

23

a

fax

xf

22 1)( xxxp


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

p1(x)

-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

p1(x)

p2(x)

Lebih ‘lumayan’ lagi ya..


• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga n derajad.

• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:

!)0(

!2)0(

)0()0()()(

)(2

n

xf

xf

xffxpxfn

n

n


• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan penambahan polinom;

• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

p1(x)

p2(x)

p6(x)

Maclaurin (Power) Series

• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak hingga

• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!

!)0(

!2)0(

)0()0()(

)(2

n

xf

xf

xffxfn

n

Taylor Series

• Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun. 0xx

• Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai 0x

• Ini disebut Taylor Series.

• Jadi, Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0

Taylor Series

• Rumus umum Deret Taylor:

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

0

00

)(

!

)()(

n

nn

n

xxxf

Taylor Series

• Approximate function? Copy derivatives!

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x) What is f(x) near x=0.35?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


What is f(x) near x=0.35?

0 ( ) (0.35)T x f

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


1( ) (0.35)

'(0.35) 0.35

T x f

f x


0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


2

212

( ) (0.35)

'(0.35) 0.35

''(0.35) 0.35

T x f

f x

f x


0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


( )

0

( )!

iiN

Ni

f a x aT x

i

10 ( )T x

2

212

( ) (0.35)

'(0.35) 0.35

''(0.35) 0.35

T x f

f x

f x


0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


• Look out for “approximate” or “when x is small” or “small angle” or “close to” …

1( ) ( )

'( )

T x f a

f a x a

Most Common: 1st Order

Contoh – Taylor Series

• Bentuklah Deret Taylor untuk:

• Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1

1),ln()( 0 xxxf


0)1ln()()ln()( 0 xfxxf

11

1)(

1)( 0 xf

xxf

11

1)(

1)(

202 xf

xxf

11

0)(

1)(

)1()!1(1

)1()!1()(

)1()!1()(

nn

nn

n

nn

nn

xf

x

nxf

21

2)(

2)(

303 xf

xxf


• Gunakan Rumus Umum Deret Taylor:

!

)1()1()!1(

!3

)1(!2

!2

)1()1(0)ln(

1

32

n

xn

xxxx

nn

n

x

xxxx

nn )1(

)1(

3

)1(

2

)1()1()ln(

1

32

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

Truncated Taylor Series

• We cannot evaluate a Taylor series – it is infinite!

• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga;

• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.

Truncated Taylor Series

• To find an nth order truncated Taylor series

• Note: This is the same concept as the polynomial approximations we introduced earlier.

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

Example – Truncated Taylor Series

• Find a cubic (degree 3) truncated Taylor series for the function:

centered at:

)2cos()( xxf

4

x


• For a degree 3 approximation:

• So we need to evaluate the function and its first three derivatives at the center.

!3

)()(

!2

)()(

))(()()(3

00

20

0

000

xxxf

xxxf

xxxfxfxf


• Evaluating these:

82

sin84

)2sin(8)(

02

cos44

)2cos(4)(

22

sin24

)2sin(2)(

02

cos4

)2cos()(

fxxf

fxxf

fxxf

fxxf


• … which gives:

!34

8!24

0

420)(

!3

)()(

!2

)()(

))(()()(

32

30

0

20

0

000

xx

xxf

xxxf

xxxf

xxxfxfxf

3

43

4

42)(

xxxf


-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

f(x) t3(x) /4

)2cos( x

40x

)(3 xp

Series Accuracy

• Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai Maclaurin?

• Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin jauh dari titik awal x0;

• Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan titik yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan perkiraan.

Documents

ppt mac laurin