Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže

  • Published on
    14-Jan-2016

  • View
    41

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Problem egzistencije rjeenja. Pozitivna teorija ope ekonomske ravnotee. Uvod. Do sada smo promatrali ponaanje individualnih sudionika ekonomskog sustava (potroaa i proizvoaa) i njihove ravnotee u izolaciji od ostatka ekonomskog sustava Bila je to metoda parcijalne ravnotee. Uvod. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

  • Pozitivna teorija ope ekonomske ravnoteeProblem egzistencije rjeenja

  • UvodDo sada smo promatrali ponaanje individualnih sudionika ekonomskog sustava (potroaa i proizvoaa) i njihove ravnotee u izolaciji od ostatka ekonomskog sustavaBila je to metoda parcijalne ravnotee

  • UvodMeutim, neki problemi u ekonomiji zahtijevaju konceptualni okvir ope ravnotee ekonomskog sustavaNpr. ekonomski rast, demografske promjene, meunarodni ekonomski odnosi, monetarna politika...Feedback uinci bitni

  • UvodU modelu parcijalne ravnotee koristili smo pretpostavku da potroai imaju kvazilinearne preferencijeU tom sustavu efekt dohotka postoji samo za numraire (prihvatljivo u tradicionalnoj analizi jednog ili male grupe trita)Za istraivanje ponaanja ekonomije u cjelini, efekt dohotka glavni je izvor povezanosti izmeu trita

  • UvodPerspektiva ope ravnotee podrazumijeva metodoloki i teorijski pristupMetodoloki: ekonomija se promatra kao zatvoreni sustav meuzavisnih trita koji unutar sebe uspostavlja jednu od moguih alokacija resursa

  • Uvod

    Poremeaj u okruenju zahtijeva ponovno izraunavanje cijelog skupa endogenih varijabliSkup egzogenih varijabli nastoji se svesti na minimum

  • UvodTeorijski aspekt: odreenje ravnotenih cijena i koliina u sustavu savreno konkurentnih trita (Walrasova teorija trita) koristei samoosnovne podatke o ekonomiji (lista dobara, stanje tehnologije, preferencije i dohoci);institucionalnu pretpostavku postojanja kompletnih trita, ipretpostavku ponaanja (sudionici cijene uzimaju kao date)

  • UvodDakle, problem ope ravnotee = problem odreenja cijena i koliina na svim tritima istovremeno uz uzimanje u obzir njihove sloene meupovezanosti

  • UvodSvrha analize ope ravnotee: istraiti prirodu i faktore koji odreuju ravnoteno rjeenje Namjera: razumjeti nain na koji trini mehanizam koordinira i ini kompatibilnima odvojene odluke svih ekonomskih sudionika, od kojih svaki djeluje u svom vlastitom interesu

  • UvodVelika podruja interesa kada se analizira opa ravnotea u modelu trine ekonomijeDa li to rjeenje postoji? Ako postoji, da li je rjeenje jedinstveno?stabilno?efikasno?

  • PlanU kontekstu analize ope ravnotee ponovit emo koncept ekonomije privatnog vlasnitva i definiciju Walrasove ope ravnoteeUvest emo pojam funkcije vika potranjeIstrait emo u kojim uvjetima Walrasova ravnotea, shvaena kao rjeenje sustava jednabi agregatnog vika potranje, postoji

  • Ekonomija privatnog vlasnitvaNeka ekonomski sustav ini: potroaa proizvoaa dobara

  • Ekonomija privatnog vlasnitvaSvakog potroaa karakteriziraskup moguih potronjirelacija preferencije navektor poetnog bogatstvavlasniko uee u profitu za svako poduzee pri emu jeSvakog proizvoaa karakterizira proizvodni skup

  • Ekonomska alokacija (ponavljanje)Ekonomska alokacija je specifikacija vektora potronje za svakog potroaa i vektora proizvodnje za svakog proizvoaa

  • Ekonomska alokacija (ponavljanje)Alokacija je mogua ako ukupna koliina svakog dobra koje se troi nije vea od ukupne koliine koja je dostupna iz izvora poetnog bogatstva i proizvodnje

  • Walrasova ravnotea (ponavljanje)Alokacija i vektor cijena predstavljaju konkurentsku (Walrasovu) ravnoteu ako su zadovoljeni uvjeti (i) (iii):(i) Maksimizacija korisnosti(ii) Maksimizacija profita(iii) Trita su u ravnotei

  • Walrasova ravnoteaZa svakog potroaa i proizvoaa moemo izvesti funkcije neto potranje odnosno ponude

  • Walrasova ravnotea je neto potranja za tim dobrom i - tog potroaa, i = 1,...,I je neto ponuda tog dobra od strane j tog proizvoaa, j =1,...,JAko je dobro faktor kojeg potroa nudi, njegova komponenta u vektoru je negativnaNa strani proizvodnje, neto potranja poduzea za nekim dobrom isto se registrira kao odgovarajua negativna komponenta u

  • Walrasova ravnoteaFunkcije neto potranje i ponude posjeduju sljedee svojstva:za dati vektor cijena, svaka neto potranja i ponuda su jedinstveno odreenesvaka neto potranja i ponuda neprekidno ovisi o cijenamahomogene su nultog stupnja (ako se sve cijene promijene u istoj proporciji, neto potranje i ponude ostaju iste)

  • Funkcija vika potranjePogledajmo razliku za dobro

    ... (6.1) smatramo vikom potranje za dobrom jer predstavlja razliku izmeu potranje i ponude tog dobraMoemo pisatiFunkcije vika potranje posjeduju ista svojstva kao i funkcije potranje i ponudeDakle, analiza se moe provoditi samo na bazi funkcija vika potranje

  • Slika 6.1. Izvoenje funkcija vika potranje Uzima se horizontalna udaljenost izmeu krivulja potranje i ponude

    - 0 +Slika a)Slika b)0

  • Slika 6.2. Izvoenje funkcija vika potranje Uzima se horizontalna udaljenost izmeu krivulja potranje i ponude

    - 0 +Slika c)Slika d)

  • Walrasova ravnoteaRavnoteni poloaj definirajuvektor cijena ivektor vika potranjeOvi vektori imaju sljedea svojstva:

  • Walrasova ravnotea(i) neto potranje koje odgovaraju moraju zadovoljiti

    To znai da moraju biti najbolje koliine za potroaa u odnosu na sve one koje su mu dostupne

  • Walrasova ravnotea to jest, za sve koji zadovoljavaju za svaki .. (6.2) jer to je osnova za funkciju potranje (primijetimo da budetsko ogranienje sada predstavlja ravnoteu izmeu potroaevih pozitivnih koliina dobara koje konzumira i negativnih koliina faktora koje nudi odnosno prodaje na tritu faktora)

  • Walrasova ravnotea(ii) ponuene koliine proizvoda i potraivane koliine faktora koje odgovaraju moraju zadovoljiti

    to znai za sve j i za sve u proizvodnom skupu .. (6.3)

  • Walrasova ravnoteaDakle, prema uvjetu (ii), su one vrijednosti elemenata proizvodnog skupa koje maksimiziraju profite za dati skup cijena

  • Walrasova ravnotea(iii) pretpostavljamo da su cijene ne-negativne za sve l ... (6.4)

    (iv) za opu ravnoteu, ravnotea mora postojati na svakom tritu, to jest:

    ... (6.5)

  • Walrasova ravnoteaDakle, Walrasovu (opu) ravnoteu ine skup nenegativnih cijena i skup potraivanih i ponuenih koliina potroaa i proizvoaa, takvih da je svaka potranja i ponuda optimalna za odgovarajueg potroaa odnosno proizvoaa pri datim cijenamaviak potranje na svim tritima je jednak nuli (izuzetak su slobodna dobra gdje je manji od nule)

  • Walrasova ravnoteaPosljedice ovakve alokacije su:niti jedan sudionik nema potrebu mijenjati svoje planoveplanovi svih sudionika su kompatibilni i mogu se realizirati

  • Walrasova ravnoteaPrije nego postavimo pitanje postojanja ravnotee utvrdit emo neka znanja o preslikavanju

  • O preslikavanjuPreslikavanje predstavlja pravilo kojim se svaki element povezuje sa tono jednim elementomX i Y su skupoviSkup X je domena ili podruje definicijeSkup Y kodomena ili podruje vrijednosti funkcijeOvakvo preslikavanje je funkcija

  • Slika 6.3. Preslikavanje Slika 6.3XYxy= f(x)f

  • O preslikavanju

    je slika -a pod tim preslikavanjem

  • O preslikavanjuAko se element iz domene preslikava u samo jedan element kodomene, govorimo o funkcijiAko se preslikava u podskup kodomene rije je o vieznanom preslikavanju ili korespondencijiAnaliza primjenom korespondencija postaje openitija ali sve za dananje predavanje relevantne zakljuke moemo izvesti i tako da promatramo obine funkcije

  • O preslikavanjuPreslikavanja se razlikuju po domeni, kodomeni i pravilu preslikavanjaNas e zanimati domene koje su konano dimenzionalni vektorski prostori Elementi tih prostora su vektori ije su komponente realni brojeviNas e zanimati preslikavanja koja su neprekidna

  • Sloeno preslikavanjeUinimo jo jednu metodoloku napomenu na putu ka dokazu postojanja ravnoteePromatrat emo preslikavanje skupa u samoga sebeOvo preslikavanje dobit emo kao kompoziciju drugih preslikavanja (sloeno preslikavanje)

  • Sloeno preslikavanjeKompozicija preslikavanja (composite mapping)

    je sloeno preslikavanje koje zapisujemo kao

    i definira se kao

  • Slika 6.4. Ilustracija sloenog preslikavanja Sloeno preslikavanje

    XZxg(f(x))fYf(x)gg f

  • Sloeno preslikavanje Budui da su u naoj primjeni i isti skupovi, sloeno preslikavanje je slikanje jednog skupa u samoga sebe, premda g nije ista funkcija kao i fAko su neprekidne onda je i sloeno preslikavanje isto neprekidno

  • Postojanje rjeenja ope ravnoteeElementima analize sa kojima sada rapolaemo dodat emo jo jedanTo su teoremi fiksne toke Uz pomo jednoga od njih pokuat emo odgovoriti na pitanje da li i u kojim uvjetima postoji opa ravnotea i kako uope definiramo to je to to smatramo rjeenjem ope ravnotee

  • Postojanje rjeenja ope ravnoteePozitivni odgovor na pitanje postojanja ope ravnotee bitan je sa stajalita logike utemeljenosti i opravdanosti cijele mikroekonomske teorije

  • Postojanje fiksne tokePostojanje ope ravnotee predstavit emo kao postojanje vektora ravnotenih cijena koje e na svim tritima istovremeno generirati viak potranje jednak nuliMatematiki ovo se moe postaviti kao problem postojanja fiksne toke

  • Postojanje fiksne tokeU mikroekonomskoj analizi najee su koritena dva teorema o dokazu postojanja fiksne toke: Brouwer-ov i Kakutani-jevKako Kakutanijev Teorem govori o korespondencijama, on je metodoloki sloeniji Meutim, svi bitni uvidi u postojanje fiksne toke mogu se dobiti i na bazi Brouwerovog Teorema

  • Postojanje fiksne tokeU nastavku na plan rada obuhvatit e sljedee:Brouwerov Teorem fiksne tokePostupak normalizacije cijenaWalrasov zakonDokaz postojanja ope ravnotee primjenom Brouwerovog Teorema fiksne toke

  • Brouwerov Teorem fiksne tokePromatramo preslikavanje skupa u samoga sebeZanima nas postoji li, za dato preslikavanje skupa X u samoga sebe, toka koja je svoja vlastita slika, tj. tako da vrijediToka je fiksna toka jer ona ostaje nepromijenjena pod preslikavanjem

  • Brouwerov Teorem fiksne tokeNapomenimo da su nae toke vektori u l - dimenzionalnom vektorskom prostoruTeoremi fiksne toke tako su korisni u dokazu postojanja rjeenja vektorskih jednadbi

  • Brouwerov Teorem fiksne tokeL.E.J. Brouwer, holandski matematiar (1881-1960)Precizirao uvjete u kojima postoji fiksna tokaPostojanje ovisi o :svojstvima preslikavanja (neprekidnost)svojstvima skupa koji se preslikava (kompaktnost, konveksnost)

  • Brouwerov Teorem fiksne tokeTeorem: Neka je neprekidno preslikavanje nepraznog, kompaktnog i konveksnog skupa u samoga sebe, tada postoji takav da je

  • Brouwerov Teorem fiksne tokeTo znai da je fiksna toka preslikavanja (funkcije) Prisjetimo se: Kaemo da je skup kompaktan kada je zatvoren i ogranienTeorem daje dovoljni uvjet postojanja fiksne toke: ako su svi uvjeti ispunjeni moemo biti sigurni da fiksna toka postoji

  • Ilustracija Brouwerovog Teorema fiksne tokeU jednodimenzionalnom prostoru, n = 1 promatramo preslikavanje zatvorenog intervala realnih brojeva u samog sebeTeorem kae da ako je ovo preslikavanje neprekidno, graf te funkcije mora na barem jednom mjestu presjei dijagonalu

  • Slika 6.5. Ilustracija Brouwerovog Teorema fiksne toke(a) funkcija je neprekidna (b) funkcija nije neprekidna (fiksna toka postoji) (fiksna toka ne postoji)

  • Postojanje ope ravnoteeFunkcija vika potranje

    definirana je za svako dobro u sustavu (za svako trite)Dokazali smo da je funkcije vika potranje:neprekidnahomogena nultog stupnja u cijenama

  • Postojanje ope ravnoteeTo znai da je definirano preslikavanje iz skupa cijena u skup vika potranje (skup koliina) te da je to preslikavanje isto:neprekidnohomogeno nultog stupnja u cijenama

  • Postojanje ope ravnoteeOno to trebamo pokazati je da je definirano i drugo preslikavanje, iz skupa vika potranje nazad u skup cijena (dakle, imamo sloeno preslikavanje) koje je neprekidno i koje barem jedan vektor cijena preslikava u taj isti vektor cijena kao fiksnu toku

  • Postojanje ope ravnoteeSvojstvo neprekidnosti ovih preslikavanja oito je iz prethodne analizeSada je potrebno pomnije promotriti domenu, to jest poetni skup cijenaDa li on zadovoljava potrebna svojstva da je kompaktan (zatvoren i ogranien) i konveksan?

  • Postojanje ope ravnoteeSkup cijena ine vektori cijena, pri emuIz ranije analize znamo da je konveksanVidimo da je zatvoren (objasnite!) to se tie ogranienosti ,ovaj skup je ogranien odozdo uvjetom nenegativnosti cijena za svako ali nije ogranien odozgo (cijene mogu neogranieno rasti)

  • Postojanje ope ravnoteeZa primjenu teorema fiksne toke trebamo da je skup ne samo konveksan i zatvoren nego i ogranienZato na skup cijena primjenjujemo pravilo normalizacijeUinak ovog postupka je da on proporcionalno poveava originalni vektor cijena ako su cijene niske i smanjuje ga ako su cijene visoke

  • Normalizacija cijenaZa bilo koji vektor cijena moemo formirati novi vektor cijena pomou pravila normalizacije

    gdje je ..(6.6) vektor ija je l ta komponenta jedna jednica dobra l

  • Normalizacija cijenaSkalarni produkt predstavlja troak u kunama pri cijenama p koare dobara koja se sastoji od jedne jedinice svake robeReciprona vrijednost ovog produkta kazuje nam koliko se jedininih koara moe kupiti za jednu kunu

  • Normalizacija cijenaSkup je ogranien odozdo jer su svi elementi nenegativni umnoci i cijena

    Dakle,

  • Normalizacija cijenaMoemo pokazati da je skup ogranien i odozgo, to jest, ogranien

    Budui da su normalizirane cijene nenegativne vrijediKako je to slijedi da vrijedi

  • Normalizacija cijenaZnai uspostavili smo da vrijedi

    ... (6.7)

    Time smo dokazali da je skup normaliziranih cijena ne samo zatvoren nego i ogranienIlustrirajmo ovo na primjeru dvije robe,

  • Slika 6.6. Normalizacija cijena Pozitivni kvadrant ilustrira skup P jer on odgovara svim parovima nenegativnih vektora cijena

  • Slika 6.6. Normalizacija cijenaLinija ab na Slici 6.6. spaja vektore (0,1) i (1,0) i predstavlja skup svih normaliziranih vektora u l = 2Svaki pozitivni vektor cijena na zraci 0c moe se napisati kao ... (6.8)Vektor na slici je takav vektor za neku vrijednost , recimo

  • Normalizacija cijenaPodsjetimo se da jePrimjenom pravila normalizacije na dobije se vektor cijena

    Ovo e vrijediti za sve vrijednosti k

  • Normalizacija cijenaDakle, normalizacija svodi neogranieni broj vekt...