2016.11.18.

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Strömungder Flüssigkeiten

MEDIZINISCHE PHYSIK UND STATISTIK 1.

Dr. Tamás HuberInstitut für Biophysik10. November 2016.

Prüfungsfrage

Typen der Flüssigkeitsströmung. Die Reynolds-Zahl. Die

Viskosität. Die Gesetzmäßigkeiten der Flüssigkeitsströmung:

die Gleichung der Kontinuität, das Gesetz von Bernoulli, das

Gesetz von Hagen-Poiseuille, das Gesetz von Stokes.

Lehrbuch 199-214 S.

Fluideigenschaften

• Fluide unterteilen sich in Flüssigkeiten und Gase (drei Phasenzuständen: feste Körper, Flüssigkeiten und Gase)

• Flüssigkeiten verändern ihr Volumen unter Druck kaum. Die Gestalt einer Flüssigkeit ist aber beliebig. In der praktischen Anwendung werden Flüssigkeiten als inkompressibel betrachtet (Gase sind stark kompressibel).

• Im Gegensatz zu Gasen wirken noch erhebliche Kräfte zwischen den Molekülen (Kohäsionskräfte).

𝜌 =𝑚

𝑉𝑝 =

𝐹

𝐴

𝑘𝑔

𝑚3

𝑁

𝑚2= 𝑃𝑎

Dichte: Druck:

Strömungslehre

HYDRODYNAMIKsich bewegende Flüssigkeit

HYDROSTATIKkeine Bewegung

reibungsfreie Strömung Strömung mit Reibung

NewtonschesVerhalten

nicht-NewtonscheFlüssigkeiten

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BerühmteWissenschaftler der Strömungslehre

Archimedes(~ v Chr. 287-212)

Newton(1642-1727)

Stokes(1819-1903)

Reynolds(1842-1912)

Bernoulli(1667-1748)

Pascal(1623-1662)

Hydrostatik

p =𝑚×𝑔

𝐴=

𝜌×𝑉×𝑔

𝐴=

𝜌×𝐴×ℎ×𝑔

𝐴

Der hydrostatische Druck (Schweredruck) ist der Druck, den eine Flüssigkeit auf die Wand ausübt. Er ist abhängig von der Höhe, in der er gemessen wird, und kann für inkompressible Flüssigkeiten nach der folgenden Beziehung berechnet werden:

Das Pascalsche Gesetz besagt, dass sich der auf eine Flüssigkeit ausgeübte Druck zujeder Seite hin gleichmäßig verteilt.

p = F1/A1 = F2/A2.

F1 « F2

Bei welchem Gefäßboden kann man die größte Druck messen?

In allen Gefäßen mit demselben Füllstand wirkt in derselben Höhe derselbe Flüssigkeitsdruck auf den Gefäßboden, unabhängig von der Grundfläche und der

Gefäßgeometrie.

Archimedisches PrinzipDie Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium ist ebenso groß wie die Gewichtskraftdes vom Körper verdrängten Mediums.

Ein Container wird durch einen Draht ins Wasser getaucht. Wie grosse Kraft spannt denDraht, wenn der Container halbe Tonne wiegt? (Wasser = 1000 kg/m3, Container 7850kg/m3)

Veingetaucht = m/Container

T= G-FAuftrieb= mg - Wasser*g*Veingetaucht T= 4905 – 625 = 4280 N

Gewicht der Flüssigkeit = Auftriebskraft

𝐹1 = 𝑝1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ1 ∙ 𝐴

𝐹2 = 𝑝2 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ2 ∙ 𝐴

𝐹𝑔𝑒𝑠 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ2 − ℎ1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ 𝑉 = 𝑔 ∙ 𝑚𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡

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Ursache der Strömung: Druckdifferenz p auf einer Strecke des Rohrsystems.

laminare Strömung turbulente/verwirbelte Strömung

• wenn Strömungsgeschwindigkeit imVerhältnis zur Viskosität kleiner ist

• Geschichtete Stromlinien.

• im Falle von glatten Oberflächen

• wenn Strömungsgeschwindigkeit imVerhältnis zur Viskosität proportionalgrösser ist

• mischende Flüssigkeitsschichten

• im Falle von rauen Oberflächen

Strömungstypen

Strömungmit Reibung

Newtonsches Reibungsgesetz:

h

vAF

Viskosität:

Viskosität wird beeinflusst von:

• Stoffart

• Konzentration

• Temperatur (↑Temp , η ↓)

• Druck

F

sPam

Ns

2

Vis

kosi

tät

Schergeschwindigkeit

dilatant

pseudoplastisch

Newtonsche

Sch

ub

span

nu

ng

Schergeschwindigkeit

Bei idealen Flüssigkeiten tritt keine innere Reibung (Viskosität) und keine Reibung an den Gefäßwänden auf.

Newtonsche Fluide: linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ (F/A) und der Schergeschwindigkeit ∆v/∆h (z.B. Wasser, Öle, Luft, und andere Gase).

Nicht-Newtonsche Fluide:• Dilatante Fluide: mit steigender Schergeschwindigkeit die Viskosität nimmt zu, d.h.

das Fluid wird dickflüssiger (z.B. Stärkesuspensionen).• Pseudoplastische (strukturviskose) Fluide: Ab einer kritischen

Schergeschwindigkeit nimmt die Viskosität ab (biologische Flüssigkeiten z.B. Blut).

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Kontinuitätsgleichung

Strömt ein Fluid stationär (d. h., alle die Strömung beeinflussenden Größen sind von der Zeit unabhängig) durch eine geschlossene Rohrleitung, dann fließt durch jeden Querschnitt in jeder Zeiteinheit die gleiche Flüssigkeitsmenge unabhängig von der jeweiligen Form und Größe des Querschnitts.

Volumenstromstärke:

𝐼𝑉 = 𝑄 = 𝐴 × 𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

vAt

tvA

t

VIV

mgh1 = mgh2

p1 V + mgh1 + (mv12/2) = p2 V + mgh2+ (mv2

2/2)

Energiegleichung nach Bernoulli:

Bei der stationären verlustfreienRohrströmung inkompressiblerFluide ist die Summe vonpotentieller Energie, kinetischerEnergie und Druckenergie konstant.

2

2

221

2

11

22hg

vphg

vp

Statische

DruckDynamische

Druck

Hydrostatische Druck

Bernoulli-Gleichung

konstant2

2

hgv

p

Eine Flüssigkeit fließt mit 2,4 m/s Geschwindigkeit in einem Rohr mit einem Durchmesservon 25 mm. Laminare oder turbulente Strömung können wir feststellen, wenn die Viskosität der Flüssigkeit 0,41 Pas und die Dichte 820 kg/m3 beträgt?

R = (2.4*820*12.5*10-3) / 0.41 = 60 Laminare Strömung

Re=𝒗∙𝝆∙𝒓

𝜼

Die Reynolds-Zahl

1160

1160

R

R laminar

turbulent

Das Stokessche Reibungsgesetz

FA

FR

FR = 6 · π ·η ·r· v

Betrachtet man eine Kugel, welche in eine Flüssigkeit fällt, so wird diese aufgrund der wirkenden Schwerkraft nach unten beschleunigt. Allerdings wird die Beschleunigung immer kleiner, je schneller die Kugel sinkt, bis sich diese nur noch mit einer konstanten Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit bewegt. Die aneinander reibenden Flüssigkeitsschichten erzeugen eine der Bewegung entgegengesetzte Reibungskraft, deren Betrag proportional zu r, v und der Viskosität der Flüssigkeit η ist. Die Schwerkraft wird von der Reibungskraftkompensiert.

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Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

8

4

l

p

rQ

Die Volumenstromstärke IV durch ein Rohr ist umgekehrt proportional zur Viskostität η und zur Länge l, sowie direkt proportional zur Druckdifferenz ∆p=p1−p2 an den Rohrenden und zur vierten Potenz des Rohrradius r:

DANKE FÜR IHRE

AUFMERKSAMKEIT!

http://smp.uq.edu.au/content/pitch-drop-experiment

Das Pechtropfenexperiment ist ein Langzeitversuch zur Beobachtung des Tropfverhaltens von Pech, einem bei Zimmertemperatur superzähen Stoff, der augenscheinlich ein Feststoff ist.(Thomas Parnell, University of Queensland, 1927)

Die Viskosität von Pech ist 2,3×1011 größer alsdes Wassers.

Datum Ereignis Dauer (Monate)

1927Experiment wurde vorbereitet

1930 Trichter wurde geöffnet

Dezember 1938 1. Tropfen fiel 96–107

Februar 1947 2. Tropfen fiel 99

April 1954 3. Tropfen fiel 86

Mai 1962 4. Tropfen fiel 97

August 1970 5. Tropfen fiel 99

April 1979 6. Tropfen fiel 104

Juli 1988 7. Tropfen fiel 111

28. November 2000

8. Tropfen fiel 148

April 20149. Tropfen berührte den 8. Tropfen

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