POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO

7/23/2019 POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO

http://slidepdf.com/reader/full/povrsinski-itegrali-konacnooo 1/18

FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA KOSOVSKA MITROVICA

SEMINARSKI RAD

Predmet: Matematika 3

Tema: Površinski integrai I i II vrste! "reen Rie#ann$ova%or#&a! Stokes$ova %or#&a i Teore#a "a&ss '

Ostrogra(ski

Profesor: Student:

Prof. dr Diana Dolićanin Kemal Divanefendic 22/15



Seminarski rad

Kosovska Mitrovica, 215.

SA)R*A+

1.Povr!inski inte"rali.................................................................................................#

1.1 Povr!inski inte"ral $ vrste.................................................................................#

1.2 %ednostrane i dvostrane &ovr!i.........................................................................5

1.# Povr!inski inte"rali $$ vrste..............................................................................'

1.( )e*a &ovr!inski+ inte"rala $ i $$ vrste...............................................................

1.5 $*ra-unavane inte"rala $$ vrste........................................................................

2. 0reeniemannova formula...............................................................................1

#. Stokesova formula..............................................................................................12

(. Teorema 0auss 3 4stro"radski...........................................................................1(

iteratura.................................................................................................................16

2



Seminarski rad

,-Površinski integrai

,-, Površinski integra I vrste

)e%ini.i/a- 7 Defiicija površinskog integrala I vrste8

9eka e data &ovr! S koa e deo &o deo "latka 7sastoi se od unie navi!e &reroivo

mno"o "latki+ &ovr!i 3 &ovr!i kod koi+ se u svako ta-ki , osim u runim ta-kam, mo;e &ostaviti tan"entna ravan i to na edinstven na-in8, o"rani-ena i rektificiailna.9

9eka e &ovr! S ra*o;ena &odeom P na &od&ovr!i : tako da va;i:

7$8

7$$8

7$$$8

9a &roi*volan na-in odaerimo &o ednu ta-ku 71 9eka

e < , &ri -emu e diametar sku&a defiisan sa

9eka e o"rani-ena funkcia definisana u svim ta-kama &ovr!i S. Defini!imo

Darou=ovu sumu funkcie f &o &ovr!i S , na sledeći na-in :

Pri -emu e sa o*na-ena &ovr!ina &ovr!i .

Teore#a ,- 7Teorema o izračunavanju površinskog integrala I vrste8

3



Seminarski rad

9eka e S &ovr! u &rostoru i neka e ova &ovr! edno*na-na slika olasti ,

sledećim ne&rekidno diferenciailnim funkciama

9eka e funkcia f o"rani-ena na &ovr!i S. Tada va;i sledeća ednakost:

0de e :

4



Seminarski rad

,-0 +e(nostrane i (vostrane 1ovrši

Pret&ostavlamo da e data "atka &ovr! S , &ri -emu e ru ove &ovr!i *atvorena

kontura >. ? &roi*volno ta-ki 9 ove &ovr!i &ovu-emo edistveu normalu i o&i!emo

koturu S takvu da e > @ i da kotura sadr;i &odno;e normale .

Pomeramo du; konture . Mo"u nastati dva slu-aa:

$8 Pomeraući du; konture , &osle &ovratka u ta-ku 9 normala se vraća u &ola*ni

&olo;a *adr;avaući isti smer.

$$8 Pomeraući du; konture , &osle &ovratka u ta-ku 9 normala se vraća u &ola*ni

&olo;a menaući ser u nemu su&rotan. Ako *a svaku konturu S normala *adr;ava isti smer kao i u &o-etnom &olo;au *a &ovr!S ka;emo da e dvostrana . Ako &ostoi arem edna kontura takva da &osle neno" oilaska

vektor mena svo smer *a &ovr! S ka;emo da e ednostrana.

)e%ini.i/a- 7Definicia strane &ovr!i8

5



Seminarski rad

$*aerimo na dvostrano, deo &o deo "latko, o"rani-eno i rektificiialno &ovr!i S ednu

ta-ku P i u no &ostavimo normalu , &ri -emu iramo na &roi*volan na-in i fiksiramo

edan od dva mo"uća smera. 4sim ovo"a uo-imo &roi*volnu ta-ku B na S. Ca ta-ku B i ta-ku P

ka;emo da &ri&adau isto strani dvostrane &ovr!i S ako *a svaku konturu koa sadr;i i P i B, ali

ne se-e "ranicu S, normala &osle oilaska te konture *adr;ava isti smer kao i u &o-etnom

&olo;au.

Sku& svi+ ta-aka koe &ri&adau isto strani dvostrane &ovr!i ora*uu ednu od dve strane te &ovr!i. Sku& &reostali+ ta-aka ora*uu dru"u stranu te &ovr!i.

? koliko e na &ovr!i S i*arana edna strana &ovr!i tada *a &ovr! ka;emo da e orijentisana.

,-2 Površinski integrai II vrste

)e%ini.i/a. 7Definicia &ovr!insko" inte"rala $$ vrste &o 4= ravni 8.

9eka e &ovr! S deo &o deo "latka, o"rani-ena, rektificiailna, dvostrana i orientisana

7na S e i*arana edna strana &ovr!i o*na-ena sa 8.

9eka e u svako ta-ki &ovr!i S defiisana funkcia 7=,,*8 : koa e o"rani-ena na S

6



Seminarski rad

9eka e P &odela &ovr!i S na orientisane &ovr!i 7 , &ri -emu e svaka &od&ovr! iste

orientacie kao &ovr! S.

Proektuemo na 4= ravni i neka su &roekcie &ovr!i , -ie &ovr!ine imau

veli-inu .

Proi*volo odaerimo ta-ke . 9eka e diametar &odele P ,

, "de su diametri &ovr!i .Darou=ovu sumu *a &ovr!iski ite"ral funkcie

&o &roekcii &ovr!i S na =4 ravan defini!emo sa:

.

0de ima *nak E , ako e odaarana s&olna strana, a *nak 3 ako e odarana unutra!na strana .

Ako &ostoi konstanta tako da e , odnosno da e is&unen sledeći >+aucev

uslov:

Tada *a funkciu ka;emo da e inter"railna &o &roekcii &ovr!i na 4= ravan , u smislu &ostoana &ovr!insko" inte"rala dru"e vrste. Fro $ na*ivamo &ovr!inski inte"ral dru"e vrste &o

&roekcii &ovr!i na 4= ravan i &i!emo

Na1o#ena- ?oi-aeno e da se s&olna strana &ovr!i S o*na-ava sa , a unutra!na sa .

)e%ini.i/a. 7Defiicia &ovr!insko" ite"rala $$ vrste8. Sli-no kao u &ret+odno definicii defii!emo

inte"rale funkcia i &o &roekcii &ovr!i na 4* i 4*= ravni,

redom.

7



Seminarski rad

Tada e sa

Definisan &ovr!inski inte"ral dru"e vrste &o &ovr!i S i to ono strain koa e odreGena sa H.

,-3 Ve4a 1ovršinski5 integraa I i II vrste

9eka e edini-ni vektor normale na datu &ovr! S su u"lovi

koe *akla&a sa osama 8. $*delimo S na veoma male &ovr!i, koima dodeluemo &o

vektor . 9eka e mera &ovr!ine &roekcie &ovr!i na 4= . Tada imamo da e

@ , 7odnosno 8 , &a e . S o*irom na

&ret+odno , Darou=ova suma koom se defini!e inte"ral &o =4 ravni &ostae

Dakle, va;i:

8



Seminarski rad

,-6 I4ra7&navan/e integraa II vrste

Date su tri funkcie: koe edno*na-no &reslikavau

)ektor standardi*ovane normale na &ovr! e standardi*ovan

vektor koi se doia i* vektorsko" &roi*voda . 4*na-imo koordinate

&ret+odno" vektorsko" &roi*voda sa .

Kako e

a , doiamo da e :

9



Seminarski rad

0- "reen$Rie#ann$ova %or#&a

"reen$Rie#ann$ova %or#&a- 9eka su P,I : DJ, ne&rekidno diferenciailna

&reslikavana olasti D kou o"rani-ava *atvorena kriva . Tada va;i

)oka4- $*vr!imo doka* *a dovolno ednostavne olasti.

10



Seminarski rad

Pret&ostavimo da e data olast D i &ret&ostavimo da e ova olast D o"rani-ena *atvorenom

konturom , koa e definisana na sledeći na-in : , ,

&ri -emu e , i ordinatama .

Tada, na osnovu 9etoneinit*ove formule imamo da e

11



Seminarski rad

Po!to se analo"no mo;e i*vesti da e EI7=,8d sairanem

inte"rala $ u % doia se *adato tvrGene -ime e doka* *avr!en.

2- Stokes$ova %or#&a

12



Seminarski rad

Stokesova formula &redstavla ve*u i*meGu &ovr!insko" inte"rala $$ vrste i krivolinisko"inte"rala $$ vrste.

9eka e S &rosta 7ne se-e samu see8 , "latka, dvostrana &ovr!, o"rani-ena deo &o

deo "latkom konturom , &ri -emu na &ovr! S iramo s&olnu stranu, a na &o*itivnu

orientaciu kretana. 9eka e data funkcia koa e ne&rekidna *aedno sa svim

svoim &rvim &arcialnim i*vodima &o svim &romenlivim i to u olasti . Pod svim

ovim uslovima va;i:

)oka4- 9eka se &arametarskim funkciama &ovr! S

edno*na-no &reslikava na .

13



Seminarski rad

Kako u tom slu-au i* imamo da e

7Ho*na-ava od"ovarauću orientaciu koa se doia &roektovanem .8

Prema 0reenovo formuli doiamo da e :

Pret&ostavimo dale da o! uvek va;e sve &ret&ostavke koe se odnose na , ali da su date o!

dve funkcie i koe *adovolavau analo"ne &ret&ostavke , tada

va;e i sledeće dve formule:

$* formula 7A8, 7F8 i 7>8 sledi da va;i sledeća ednakost , koa se na*iva Stokes$ova %or#&a , ikoa "lasi:

14



Seminarski rad

"de e edini-ni vektor normale &ostavlen na &ovr!i S u ta-ki

3- Teore#a "a&ss ' Ostrogra(ski

Teorema 0auss 3 4stro"radski dae ve*u i*meGu &ovr!isko" inte"rala $$ vrste i trono"inte"rala.

Teorema Gauss – Ostrogradski. 9eka e ) kom&aktan 7*atvoren i o"rani-en8, &ove*an

sku& u , -ii e ru deo &o deo "latka &ovr! S . 9eka su ne&rekidno

diferenciailne funkcie.

Ta(a va8i %or#&a Gauss – Ostrogradskog 9

15



Seminarski rad

)oka4- Doka* ćemo i*vr!iti *a telo koe e dato na slici.

? skladu sa o*nakama na crte;u &ret&ostavimo da su date dve funkcie

"de e i "de e is&unen sledeći uslov

*a svako . Povr! e orta"onalna na =4 ravan.

Povr!i su deo &o deo "latke &ovr!i . 9eka e takoGe sa o*na-ena s&olna

strana &ovr!i . 9eka e olast D o"rani-ena koturom K koa e deo &o deo

"latka .

16



Seminarski rad

$mamo da e:

Dakle, doili smo da va;i

Analo"no se doka*uu sledeće dve ve*e :

Sairanem 7$8 , 7$$8 i 7$$$8 doiamo formulu 0auss 3 4stro"radsko" .

17



Seminarski rad

Literat&ra

1.0. ). Milovanović, . L. orGević: Matematika *a studente te+ni-ki+ fakulteta,$ deo, 9auka, Feo"rad, 12.

2. 0. ). MilovanoviNc, . L. orGević: Matematika *a studente te+ni-ki+ fakulteta,$$ deo, Ou&erak &lavi, 9i!, 1'.

#. . ). Stefanović : Matematika *a studente te+ni-ki+ fakulteta 3 )ektorska

anali*a $nte"rali: krivoliniski, dvoni, troni, &ovr!inski Teoria &ola, Prosveta 9i!, 9i!, 16.

(. D. . To!ić : Matematika $$$, kratak kurs, autor, Feo"rad, 1'.

18

Documents

POVRSINSKI ITEGRALI KONACNOOO