PoRówNANIE jAkośCI PRACY tRZECh ALgoRYtmów tYPU PID: …atol.am.gdynia.pl/~tomera/publikacje/INFOTECH_2011... · 2011. 12. 14. · Na wejściu układu sterowania znajduje się

1

AUTOMATYKA - ELEKTRYKA - ZAKŁÓCENIA | NR 6/2011

www.elektro-innowacje.pl

© porÓwnanie jakoŚci pracY trZecH alGorYtMÓw tYpU piD: linioweGo, roZMYteGo i neUroweGo – Mirosław tomera

AUTOMATYKA

Comparison analysis of three PID-type algorithms: LINEAR, FUZZY and NEURAL

Abstract. The article describes the three algorithms which are based on the structure of the classical PID controller: the linear controller,

the fuzzy controller and the neural network controller. The operation quality of control systems with those controllers was evaluated at the

laboratory station during the tests involving a two-tank cascade.

Keywords: the linear controller, the fuzzy controller, the neural network controller.

W pracy opisane i przebadane zostały trzy regulatory wykorzystujące strukturę klasycznego regulatora PID: liniowy, rozmyty

i neuronowy. Ocena jakości pracy układów sterowania z tymi regulatorami przeprowadzona została na stanowisku laboratoryjnym

w układzie sterowania poziomem wody w kaskadzie dwóch zbiorników.

Słowa kluczowe: regulator PID, sterowanie liniowe, sterowanie rozmyte, sterowanie neuronowe.

1. WprOWAdzenie

Bardzo często jest stawiane pytanie dotyczące sensu stosowania nowych typów regulatorów, gdyż bardzo wielu praktyków uważa, że nie ma lepszego regulatora niż dobrze nastrojony regulator liniowy typu PID (PID – Proportional-Integral-Derivative). Za potwierdzeniem tej tezy przemawia fakt, że klasyczny regulator liniowy PID jest najczęściej stosowaną strategią sterowania spotykaną obecnie w ponad 90% pętli układów regulacji automatycznej. O sukcesie tego regulatora przede wszystkim decyduje prostota algorytmu i łatwość intuicyjnego zrozumienia zasady jego pracy.

W niniejszej pracy postaram się dokonać porównania jakości pracy liniowego regulatora PID z innymi, pierwszym zrealizowanym w oparciu o logikę rozmytą, nazywanym dalej PDPI-FL (Proportional-Derivative, Proportional-Integral, Fuzzy Logic) i drugim wykorzystującym sieci neuronowe o radialnych funkcjach bazowych zwanym dalej PDPI-RBF (Proportional-Derivative, Proportional-Integral, Radial Basis Function). W związku z tym, że obecnie, powszechnie stosowane są regulatory cyfrowe to porównywane będą wersje dyskretne wszystkich trzech regulatorów.

Badania rozważanych tutaj regulatorów przeprowadzone zostały na stanowisku laboratoryjnym składającym się z dwóch zbiorników połączonych kaskadowo [1]. W sposób schematyczny, wybrany obiekt sterowania pokazany został na rysunku 1. Jest to układ o dwóch stopniach swobody i powiązanych ze sobą stanach.

Składa się z dwóch połączonych kaskadowo zbiorników z otworami w dnach przez które wypływa woda, czujników poziomu, pompy i zbiornika zbiorczego (kuwety). Zbiorniki te mają takie same kształty i takie same średnice otworów wypływowych. W rozważanym układzie sterowana napięciowo pompa dostarcza wody do górnego zbiornika i przez wypływ z tego zbiornika przepływa do dolnego zbiornika. Woda wypływająca z dolnego zbiornika dostaje się do zbiornika zbiorczego z którego przez pompę jest przepompowywana do górnego zbiornika. Układ wodny pracuje w układzie zamkniętym.

Zadanie sterowania polegało na stabilizacji poziomu wody w dolnym zbiorniku. Zastosowany układ sterowania z badanymi regulatorami przedstawiony został na rysunku 2. Na wejściu układu sterowania znajduje się blok ‘Skalowanie’ w którym znajduje się

PoRówNANIE jAkośCI PRACY tRZECh ALgoRYtmów tYPU PID: LINIowEgo, RoZmYtEgo I NEURoNowEgo

dr inż. Mirosław toMera Akademia Morska w Gdyni, e:mail:[email protected]

Pompaus

y1

y2

Q0

Q1

Q2

h1

h2

Rys. 1. Układ dwóch zbiorników połączonych kaskadowo.

2




AUTOMATYKA

pomierzona charakterystyka czujnika i blok ten ma za zadanie przeskalowanie wartości zadanej poziomu wody w dolnym zbiorniku wyrażonej w centymetrach na napięcie w taki sam sposób jak dokonuje tego czujnik. Chodzi o to aby sygnały porównywane na węźle sumacyjnym znajdującym się na wejściu regulatora wyrażone były w tych samych jednostkach. W stanowisku tym do implementacji algorytmów sterowania wykorzystywane jest środowisko obliczeniowe Matlab/Simulink. Sterowanie odbywa się z poziomu Simulinka poprzez kartę wejść i wyjść analogowych PCI-1710 wyprodukowaną przez firmę ADVANTECH. Napięcie wyjściowe z karty będące sygnałem sterującym jest w zakresie [0...10] Voltów.

Rys. 2. Struktura pętli układu sterowania

W pierwszej kolejności wyznaczone zostały parametry regulatora PID, metodą syntezy w oparciu o liniowy model matematyczny obiektu sterowania. W tym celu w pierwszej kolejności wychodząc z praw fizyki, wyznaczony został nieliniowy model matematyczny obiektu, który następnie został zlinearyzowany i wyznaczona została transmitancja operatorowa. Parametry regulatorów: rozmytego i neuronowego dobierane były ręcznie na podstawie obserwacji zakresów sygnałów występujących w układzie sterowania z regulatorem liniowym PID.

2. MOdelOWAnie MATeMATYczne ObieKTU sTerOWAniA

Charakterystyka statyczna pompy odwzorowuje zależność pomiędzy napięciem sterującym us a dopływem wody do górnego zbiornika Q0 Funkcja ta w oparciu o wyniki eksperymentalne opisana została przy użyciu następującego wzoru

min0 )()( UtuatQ s −= , (1)

gdzie a = 31,0 jest współczynnikiem skalującym, Umin = 2,0 [V] jest progiem napięcia sterującego powyżej którego następuje dostarczanie wody do zbiornika.

Równanie opisujące dynamikę w zbiorniku górnym jest następujące

, (2)

gdzie V1 jest objętością, h1 jest wysokością słupa wody, A1 = 81 [cm2] jest polem powierzchni dna zbiornika, Q0 jest dopływem do górnego zbiornika, Q1 jest wypływem wody z górnego zbiornika.

Dla małych średnic otworów przez które odpływa woda może być zastosowane prawo Bernoulli’ego w którym wypływ opisany jest wzorem

, (3)

gdzie c1 = 1,0 jest współczynnikiem zależnym od kształtu i gładkości otworu wypływowego, S1 = 0,19635 [cm2] polem powierzchni otworu odpływowego, g = 981 [cm/s2] jest przyśpieszeniem ziemskim. Dopływ wody do górnego zbiornika wytwarzany przez pompę nie jest proporcjonalny do przyłożonego napięcia sterującego us i jest funkcją nieliniową opisaną wzorem (1).

W podobny sposób wyprowadzane jest równanie opisujące dynamikę w dolnym zbiorniku. Z równania opisującego równowagę masy wody w dolnym zbiorniku uzyskuje się

, (4)

gdzie V2 jest objętością wody w zbiorniku, h2 jest wysokością słupa wody, A2 = 81 [cm2] jest polem powierzchni dna, Q1 jest dopływem (3), Q2 jest wypływem wody z dolnego zbiornika. Wypływ wody z dolnego zbiornika Q2 opisany jest przez prawo Bernoulli’ego

, (5)

gdzie c2 = 0,99, S2 = 0,19635 [cm2], g = 981 [cm/s2].

Zadaniem czujników jest pomiar wysokości słupa wody w zbiornikach. W zależności od zmian wysokości wody h1, różne jest napięcie na wyjściu tych czujników y1. Wyznaczone eksperymentalnie charakterystyki statyczne czujników nieznacznie różnią się

Regulator Pompa Zbiornik górny

Czujnik 2

Zbiornik dolnyh1

Q1

h2

Q2

y2

Q0usSkalowanie

hzad

3




AUTOMATYKA

od siebie, natomiast są liniowe. Na podstawie uzyskanych eksperymentalnie wyników wyznaczone zostały modele matematyczne.

Modele matematyczne czujników przyjmują postać

, i = 1, 2 (6)

gdzie kc1 = 0,0952, kc2 = 0,0973 są wzmocnieniami, b1 = 1,1973, b2 = 1,1991 współczynnikami przesunięcia, h1 , h2 są poziomami wody w zbiornikach wyrażonymi w centymetrach, y1 , y2 pomierzonymi poziomami wyrażonymi w woltach.

Po podstawieniu zależności (1) i (3) do równania (2) uzyskuje się model matematyczny opisujący dynamikę zmian poziomu wody w górnym zbiorniku

, (7)

gdzie α1 = (c1S1)/A1, β = a/A1

Po podstawieniu zależności (3) i (5) do równania (4) uzyskuje się model matematyczny opisujący dynamikę zmian poziomu wody w dolnym zbiorniku

, (8)

gdzie α2 = (c2S2)/A2.

3. WYznAczenie TrAnsMiTAncji ObieKTU

W celu znalezienia uproszczonego modelu liniowego przeprowadzona zostanie linearyzacja, wyznaczonego w poprzednim podrozdziale nieliniowego modelu matematycznego w otoczeniu punktu pracy, polegająca na rozwinięciu w szereg Taylora i pominięciu pochodnych wyższego rzędu. Linearyzacja dla układu kaskadowego dwóch zbiorników odbywa się w otoczeniu punktu pracy (u0

s, h01, h0

2, y02)= (2,8; 9,5; 10,0; 2,175) co dla równań (7) i (8) po zastosowaniu rozwinięcia w szereg Taylora pozwala

na uzyskanie następującego zestawu przyrostowych równań zlinearyzowanych

, (9)

. (10)

Co można zapisać jako

, (11)

, (12)

gdzie = 0,2139 , (13)

= 57,4113 , (14)

gh

T02

221

α= = 59,4977 . (15)

Po dokonaniu przekształcenia operatorowego na równaniach (11) i (12) i likwidacji wysokości poziomu wody w górnym zbiorniku h1, uzyskuje się następującą, poszukiwaną transmitancję dla dolnego zbiornika

, (16)

gdzie: H2, jest transformatą Laplace’a wysokości poziomu wody w zbiorniku dolnym, natomiast Us, jest transformatą napięcia sterującego pompą.

min02

2 Uuk

s −=

β

gh

T01

121

α=

4




AUTOMATYKA

W modelu liniowym transmitancja czujnika przedstawiona zostanie w postaci oddzielnego bloku, dla czujnika zamontowanego w dolnym zbiorniku transmitancja przyjmuje postać

= 0,2175 , (17)

gdzie Y2, jest transformatą Laplace’a pomierzonego poziomu w dolnym w zbiorniku.

4. sYnTezA pArAMeTróW regUlATOrA liniOWegO pid

Sterując poziomem w dolnym zbiorniku w rzeczywistości steruje się w kaskadzie dwóch zbiorników, gdyż woda dopływa do górnego zbiornika, natomiast woda wypływająca z górnego zbiornika stanowi dopływ do dolnego zbiornika. Pomiar wysokości słupa wody dokonywany jest tylko w zbiorniku dolnym. Na rysunku 3 przedstawiony został schemat blokowy układu regulacji zastosowany do syntezy sterowania poziomem wody w dolnym zbiorniku.

Rys. 3. Schemat blokowy analizowanego układu sterowania

Transmitancja wypadkowa układu pokazanego na rysunku 3 jest następująca

)()(1)()(

)()(

)(22

22

2

2

sGksGsGksG

sHsH

sTcPID

cPID

zad +== . (18)

Do sterowania poziomem w dolnym zbiorniku zastosowany został regulator PID o transmitancji

, (19)

natomiast G2(s) jest transmitancją układu kaskadowego dwóch zbiorników, wielkością wyjściową jest poziom w dolnym zbiorniku, transmitancja ta została wyznaczona wcześniej (16)

. (20)

Po podstawieniu wzorów (19) i (20) do zależności (18) uzyskuje się transmitancję wypadkową układu sterowania w postaci

. (21)

Parametry regulatora PID dobrane zostaną metodą lokowania biegunów w taki sposób, aby rozwiązania równania charakterystycznego transmitancji (27) dla układu pokazanego na rysunku 9, były tożsame z równaniem charakterystycznym następującej funkcji wzorcowej

. (22)

Do dalszych obliczeń przyjęto ζ= 0,7, ωn = 0,05, α= 0,7. Odpowiedź skokowa uzyskanej funkcji wzorcowej pokazana została na rysunku 4.

GPID(s) G2(s)h2us

kc2

kc2

h2zad

y2

22

22 )(

)()( cc k

sHsY

sG ==

5




AUTOMATYKA

Rys. 4. Odpowiedź skokowa zastosowanego, wzorcowego układu II rzędu z dodatkowym biegunem ( ζ = 0,7, ωn= 0,05, α = 0,7 ).

Z porównania współczynników mianowników w równaniach (21) i (22) uzyskuje się następujące zależności, pozwalające na określenie parametrów regulatora PID

= 5,7460 , (23)

= 53,2257 , (24)

= 15,1966 , (25)

Praktycznie wszystkie regulatory PID stosowane obecnie implementowane są w układach budowanych w oparciu o mikroprocesory czyli są regulatorami cyfrowymi [2]. Aby można było zaimplementować w regulatorze cyfrowym algorytm ciągłego regulatora PID zapisanego w postaci operatorowej (19) konieczna jest konieczna jest aproksymacja transmitancji ciągłej do postaci dyskretnej. W związku z tym postać dyskretna regulatora PID wyznaczona została w oparciu o transmitancję operatorową (19), w której transformata części całkującej zastąpiona została przez aproksymację wyznaczoną metodą trapezów (Tustina)

, (26)

natomiast transmitancja części różniczkującej przez aproksymację wyznaczoną metodą prostokątów Eulera wstecz

zz

Ts

p

11 −≈ , (27)

gdzie Tp = 5 [s] jest okresem próbkowania. Po podstawieniu aproksymat (26) i (27) do transmitancji operatorowej (19) uzyskuje się następującą transmitancję dyskretną regulatora PID

. (28)

112

11

+−

≈

zz

Ts

p

0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

y(t)

Odpowiedz skokowa wzorcowego ukladu II rzedu z dodatkowym biegunem

6




AUTOMATYKA

Po przekształceniu transmitancji dyskretnej GPID(z) przez sprowadzenie wyrażenia w nawiasie (28) do wspólnego mianownika uzyskuje się inną postać transmitancji regulatora dyskretnego PID [2]

1

22

110

1)()()(

−

−−

−

++==

zzqzqq

zEzUzGPID , (29)

gdzie q1, q2 , q3 są parametrami regulatora dyskretnego wyznaczanymi z uzyskanych zależności

= 23,4798 , (30)

= -40,4040 , (31)

p

DP T

TKq =2 = 15,1966 . (32)

Po zastosowaniu do transmitancji dyskretnej regulatora PID opisanego równaniem (29), odwrotnego przekształcenia Z uzyskuje się następującą postać rekurencyjną

(33)

Możliwe jest również wyprowadzenie innych aproksymat (regulatorów cyfrowych) regulatora PID, patrz np. [1].

5. prOjeKT regUlATOrA rOzMYTegO pdpi-Fl

Popularne zastosowanie logiki rozmytej występuje w prostych pętlach, zazwyczaj sterowanych przez regulator PID. Logika rozmyta naśladuje działanie regulatora PID z pewnymi modyfikacjami pozwalającymi na uzyskanie sterowania nieliniowego. Na rysunku 5 pokazane zostało w jaki sposób układ logiki rozmytej może zastąpić regulator konwencjonalny. Procedura zaadaptowana w rozważanym sterowaniu rozmytym polega na naśladowaniu działania regulatora tradycyjnego przy użyciu reguł rozmytych.

Rys. 5. Regulator rozmyty i jego umiejscowienie w konwencjonalnej pętli sprzężenia zwrotnego, gdzie r(t) jest sygnałem zadanym, y(t) wielkością regulowaną, e(t) sygnałem uchybu, u(t) sygnałem sterującym.

r(t)Regulator Obiekt

Blokwnioskowania

rozmytego

Regulatorkonwencjonalny

Regulator rozmyty

Baza reguł

e(kT) u(kT)

y(t)

Roz

myw

anie

Wyo

strz

anie

ge gu

E(z) U(z)

7




AUTOMATYKA

Utworzony regulator rozmyty PDPI-FL wzorowany jest na klasycznym regulatorze liniowym PID zapisanym w następującej postaci czasowej

. (34)

Pierwszy składnik ze wzoru (34) podzielony zostanie na dwie jednakowe części, co można zapisać następująco

. (35)

Pierwsze dwa składniki mają strukturę regulatora PD natomiast dwa ostatnie składniki mają strukturę regulatora PI. Utworzony w ten sposób regulator rozmyty PDPI-FL będzie składał się z dwóch regulatorów PD-FL i PI-FL połączonych równolegle.

5.1. regulator rozmyty pd-Fl

Utworzony regulator rozmyty PD-FL wzorowany jest na klasycznym regulatorze liniowym PD

. (36)

Schemat blokowy regulatora rozmytego o strukturze PD-FL pokazany został na rysunku 6. Regulator ten posiada dwa wejścia i jedno wyjście. Na pierwsze wejście podawany jest sygnał uchybu regulacji, natomiast na drugie wejście pochodna tego uchybu wyznaczana z różnicy pierwszego rzędu. Na wejściach i wyjściu zdefiniowane zostały funkcje przynależności o kształcie pokazanym na rysunku 7.

Rys. 6. Schemat blokowy regulatora rozmytego PD-FL.

Rys. 7. Funkcje przynależności: wejściowe e(t), c(t) i wyjściowa u(t).

e(kT)

u(kT)

PD-FLge

gcgu

Rozmywanie

Baza reguł

Wyostrzanie

Skalowaniewejść

Skalowaniewyjścia

1 z 1

T

DDUD DSUS M

e(kT)1.00.500.51.00

0.5

1.0 2 1 1 20gege(e)

DDUD DSUS M

u(kT)1.00.500.51.00

0.5

1.0 2 1 1 20gugu

(u)

DDUD DSUS M

c(kT)1.00.500.51.00

0.5

1.0 2 1 1 20gcgc

(c)

8




AUTOMATYKA

Strojenie regulatora rozmytego PD-FL dokonywane jest przez ustalenie wartości wzmocnień skalujących ge, gc oraz gu. Baza reguł dla tego regulatora zakodowana w zapisie lingwistycznym zebrana została w tabeli 1. Przykładowa reguła rozmyta uzyskana z tabeli 1 ma postać

if {e is UD} and {c is UD} then {u is UD} . (37)

Takich reguł z tablicy 1 lub 2 można utworzyć 25. Decyduje o tym iloczyn liczby zbiorów rozmytych zastosowanych w wejściowych funkcjach przynależności.

Opisywany tutaj regulator rozmyty ma nieliniową, statyczną powierzchnię przetwarzania sygnałów wejściowych e(t) i c(t)=de(t)/dt na sygnał wyjściowy u(t). Kształt tej powierzchni zależy od bazy reguł, zastosowanego mechanizmu wnioskowania, metod fuzyfikacji i defuzyfikacji.

Powierzchnia sterowania rozważanego tutaj regulatora rozmytego PD-FL pokazana została na rysunku 8. Na powierzni tej występuje nasycenie sygnału wyjściowego, które związane jest z wartością wzmocnienia skalującego na wyjściu gu, natomiast wartości wejściowych wzmocnień skalujących ge i gc pozwalają na zmianę nieliniowości tej powierzchni poprzez rozciąganie i ściskanie i zmianę nachylenia. Modyfikacje bazy reguł regulatora rozmytego (np. przez zmianę konkluzji reguł) pozwalają na zupełną zmianę kształtu tej charakterystyki.

Tabela 1. Tablica reguł regulatora PD-FL zakodowana w zapisie lingwistycznym.

cUD US M DS DD

e

UD UD UD UD US MUS UD UD US M DSM UD US M DS DDDS US M DS DD DDDD M DS DD DD DD

Rys. 8. Powierzchnia sterowania regulatora rozmytego PD-FL, (ge = 0,8, gc = 0,02 i gu = 5).

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02-6

-4

-2

0

2

4

6

e(kT)c(kT)

u(kT

)

9




AUTOMATYKA

5.2. regulator rozmyty pi-Fl

Utworzony regulator rozmyty PI-FL wzorowany jest na klasycznym regulatorze liniowym PI

. (38)

Po obustronnym zróżniczkowaniu (38), algorytm regulatora PI może zostać zapisany w następującej postaci przyrostowej

. (39)

Algorytm opisany równaniem (4) wymaga jeszcze dodatkowego całkowania na wyjściu.

. (40)

Algorytm regulatora rozmytego PI-FL zrealizowany został w oparciu o równanie (39). Ten sposób podejścia sprawia, że uzyskany regulator rozmyty PI-FL jest bardzo podobny do regulatora rozmytego PD-FL. Na wejścia regulatora PI-FL podawane są również sygnały uchybu i pochodnej uchybu, tablica jest dwuwymiarowa, różnica polega na tym, że dodatkowo trzeba jeszcze całkować sygnał wyjściowy [4].

Do realizacji regulatora rozmytego o strukturze PI-FL wykorzystany został układ pokazany na rysunku 9, gdzie pochodna uchybu jest wyznaczana z różnicy pierwszego rzędu i dodatkowo sygnał wyjściowy jest całkowany numerycznie. Na wejściach i wyjściu zdefiniowane zostały funkcje przynależności o strukturze pokazanej na rysunku 7. Strojenie regulatora rozmytego PI-FL dokonywane będzie przez wzmocnienia skalujące ge, gc oraz gu. Baza reguł dla tego regulatora zakodowana w zapisie lingwistycznym zebrana została w tabeli 1, natomiast w tabeli 2 w zapisie numerycznym.

Rys. 9. Schemat blokowy regulatora rozmytego PI-FL.

Tabela 2. Reguły regulatora PD-FL zakodowane w zapisie numerycznym.

c

-2 -1 0 1 2

e

-2 -2 -2 -2 -1 0

-1 -2 -2 -1 0 1

0 -2 -1 0 1 2

1 -1 0 1 2 2

2 0 1 2 2 2

e(kT)

u(kT)

PI-FLge

gcgu

Rozmywanie

Baza reguł

Wyostrzanie

Skalowaniewejść

Skalowaniewyjścia

1 z 1

T

Tz 1

10




AUTOMATYKA

6. prOjeKT regUlATOrA neUrOnOWegO pdpi-rbF

W podobny sposób jak tworzony był regulator rozmyty, powstał regulator neuronowy typu PDPI-RBF. Składa się z równoległego połączenia dwóch regulatorów PD-RBF i PI-RBF zbudowanych został na bazie sieci neuronowych o radialnych funkcjach bazowych (RBF – Radial Basis Functions). Zasada tworzenia regulatora neuronowego PDPI-RBF opiera się na wzorze (35). Procedura zaadaptowana w rozważanym sterowaniu neuronowym polega na naśladowaniu działania regulatora tradycyjnego przy wykorzystaniu sztucznych sieci neuronowych o radialnych funkcjach bazowych (rys. 10).

6.1. sztuczne sieci neuronowe o radialnych funkcjach bazowych

Sztuczne sieci neuronowe o radialnych funkcjach bazowych (RBF - Radial Basis Function) stanowią specjalną grupę sieci neuronowych o charakterystycznej topologii oraz budowie poszczególnych neuronów w warstwie ukrytej. Sieci RBF mają strukturę typu jednokierunkowego (feedforward), zatem istnieje w nich jeden ustalony kierunek przepływu danych pomiędzy poszczególnymi warstwami sieci neuronowej. Opisywana sieć składa się z trzech warstw: pierwszą z nich jest warstwa wejściowa, w której formowany jest wektor wejściowy neuronów kolejnej warstwy; następną – warstwa ukryta, którą tworzą neurony o radialnej funkcji aktywacji; warstwa wyjściowa składa się z neuronów liniowych, których liczba jest uzależniona od wyjść (rys. 11). Jako funkcja aktywacji neuronów warstwie ukrytej najczęściej stosowana jest funkcja Gaussa o postaci

−−= 2

2

2exp)(

i

ii

mR

σ

xx , (41)

gdzie x jest wektorem wejściowym, mi jest środkiem a σi odchyłką standardową funkcji Gaussa. Wartości wyjściowe sieci obliczane są jako suma sygnałów wyjściowych kolejnych neuronów radialnych przemnożonych przez odpowiednie współczynniki wagowe

, (42)

gdzie yk jest wyjściem k-tego neuronu wyjściowego, wk jest współczynnikiem wagowym pomiędzy wyjściem i-tego neuronu warstwy ukrytej a k-tym neuronem wyjściowym, bk jest wartością współczynnika progowego k-tego neuronu wyjściowego (bias).

Rys. 10. Regulator neuronowy i jego umiejscowienie w konwencjonalnej pętli sprzężenia zwrotnego

Rys. 11. Sztuczna sieć neuronowa typu RBF.

r(t)Regulator Obiekt

Regulatorkonwencjonalny

Regulator neuronowy

e(kT) u(kT)

y(t)

ge guw2

wN

w1

2

1

N

x1

xn

warstwawejściowa

warstwawyjściowa

yl

w11

warstwaukryta

ym

x2

1

w1m

b1b2

w21

w2m

wh1 whm

11




AUTOMATYKA

6.2. regulator neuronowy pd-rbF

Utworzony regulator neuronowy PD-RBF wzorowany jest na klasycznym regulatorze liniowym PD opisanym wzorem (36). Schemat blokowy regulatora neuronowego o strukturze PD-RBF pokazany został na rysunku 12 [5].

Rys. 12. Sieć neuronowa RBF realizująca regulator PD-RBF.

Regulator PD-RBF składa się z dwóch wejść: e(t) – uchybu sterowania i de(t)/dt – pochodnej uchybu sterowania i jednego wyjścia którym jest sygnał sterujący obiektem u(t). Warstwa ukryta składa się z 25 neuronów o radialnej funkcji aktywacji opisanej wzorem

, i = 1... 25 (43)

gdzie e(t) jest uchybem regulacji, c(t) = de(t)/dt - pochodną uchybu, m1i, m2i - współrzędnymi środków, natomiast σ1i, σ2i odchyłkami standardowymi funkcji radialnych. Pojedyncza funkcja radialna pokazana została na rysunku 13.

Rys. 13. Pojedyncza, znormalizowana funkcja radialna występująca w regulatorze neuronowym PD-RBF

Funkcje aktywacji neuronów znajdujących się w warstwie ukrytej rozmieszczone zostały na polu prostokątnym. Jednym bokiem prostokąta jest zakres zmian uchybu regulacji, drugim natomiast zakres zmian pochodnej uchybu regulacji. Każdy bok prostokąta podzielony został na pięć jednakowych odcinków, dzieląc w ten sposób pole prostokąta na 25 małych prostokącików. W środku każdego z tych prostokącików składowych ustawiona została funkcja radialna. Łącznie na powierzchni tego prostokąta ustawionych zostało 25 funkcji radialnych.

u(kT)

w1

e(kT)

wN

w2

w3ge

gc

gu

1 z 1

T

PD-RBF

-1-0.5

00.5

1

-0.02-0.01

00.01

0.020

0.5

1

e(kT)c(kT)

RB

F(e,

c)

12




AUTOMATYKA

Rys. 14. Powierzchnia sterowania regulatora neuronowego PD-RBF, przy wartościach wzmocnień skalujących, ge = 0,8, gc = 0,02 oraz gu = 5.

Wartości wag regulatora PD-RBF znajdują się w tabeli 3. Każda z pozycji tabeli odpowiada obszarowi wyznaczonemu na powierzchni sterowania i jest powiązana z umiejscowioną tam funkcją radialną. Wartości wag z tabeli 3 są wierszami przyporządkowane kolejnym neuronom znajdującym się w warstwie ukrytej z rysunku 12.

Tabela 3. Znormalizowana tablica wag regulatora PD-RBF

cj1 2 3 4 5

ei

1 -1,0 -1,0 -1,0 -0,5 0,02 -1,0 -1,0 -0,5 0,0 0,53 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,04 -0,5 0,0 0,5 1.,0 1,05 0,0 0,5 1,0 1,0 1,0

Powierzchnia sterowania uzyskanego regulatora neuronowego PD-RBF pokazana została na rys. 14.

Analizując zasadę pracy regulatora neuronowego PD-RBF można znaleźć pewne podobieństwa do regulatora rozmytego PD-FL. Tabela 3 zawierająca współczynniki wag warstwy wyjściowej wygląda zupełnie identycznie jak baza reguł w regulatorze rozmytym.

6.3. regulator neuronowy pi-rbF

Algorytm regulatora neuronowego PI-RBF zrealizowany został w oparciu o równania (35) i (36). Ten sposób podejścia sprawia, że uzyskany regulator neuronowy PI-RBF jest bardzo podobny do regulatora neuronowego PD-RBF. Na wejścia regulatora PI-RBF podawane są również sygnały uchybu i pochodnej uchybu, różnica polega na tym, że dodatkowo trzeba jeszcze całkować sygnał wyjściowy. Do realizacji regulatora neuronowego o strukturze PI-RBF wykorzystany został układ pokazany na rysunku 15.

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02-6

-4

-2

0

2

4

6

e(kT)c(kT)

u(kT

)

13




AUTOMATYKA

Rys. 15. Sieć neuronowa RBF realizująca regulator PI-RBF.

7. WsKAźniKi jAKOści

Do oceny jakości pracy przyjęte zostały czasowe wskaźniki jakości definiowane na podstawie odpowiedzi skokowej takie jak: czas narastania, czas regulacji i maksymalne przeregulowanie. Czas narastania zdefiniowany został jako odcinek czasu w którym odpowiedź skokowa układu zmienia swoją wartość od 10% do 90% wartości ustalonej. Maksymalne przeregulowanie wyrażone w procentach zdefiniowane zostało jako iloraz amplitudy maksymalnego przeregulowania liczonej względem stanu ustalonego do wartości ustalonej odpowiedzi skokowej. Czas regulacji mierzony był przy 5% strefie dokładności. Wyznaczone zostały również dwa całkowe wskaźniki jakości wyrażone w postaci sumy, pierwszy opisany wzorem (44) liczony jako suma kwadratów uchybu, drugi natomiast opisany wzorem (45) jako suma z modułów uchybu

∑=

=N

kke

NJ

1

21

1 , (44)

∑=

=N

kke

NJ

12 ||1

, (45)

gdzie

, (46)

Wartości zbierane do wyznaczanych całkowych wskaźników jakości pobierane były z okresem próbkowania T = 1 [s].

8. WYniKi bAdAń eKsperYMenTAlnYch

Opisane w poprzednich podrozdziałach algorytmy sterowania zastosowane zostały do sterowania poziomem wody w dolnym zbiorniku z jednakowym okresem próbkowania T = 5 [s] dla wszystkich typów badanych regulatorów. Algorytmy sterowania zaimplementowane zostały w środowisku obliczeniowym Matlab/Simulink w postaci S-funkcji. W początkowej fazie uruchamiania te S-funkcje zapisywane były w kodzie Matlaba, a następnie w celu użycia ich do sterowania w czasie rzeczywistym przetłumaczone zostały na język C. Badane regulatory wykorzystane zastosowane zostały do stabilizacji poziomu wody w dolnym zbiorniku. Przeprowadzone zostały dwa rodzaje prób i obydwie te próby rozpoczynały się przy poziomach wody (h1 = h2 = 10 cm) przy których był linearyzowany i wyznaczona została transmitancja obiektu wykorzystana do syntezy parametrów regulatora PID. Badany obiekt jest nieliniowy i im dalej od punktu pracy wykorzystanego do linearyzacji wykonywana jest stabilizacja poziomu tym bardziej dynamika obiektu odbiega od zlinearyzowanej.

Przeprowadzone badania miały za zadanie sprawdzenie jakości sterowania przy użyciu rozważanych regulatorów przy zmianach punktów pracy. W tym celu wygenerowany został sygnał zadany w postaci fali prostokątnej o czasie trwania pojedynczego poziomu równym 300 sekund. W pierwszej próbie odchyłki stabilizowanego poziomu od wartości początkowych wynosiły 2 cm i stabilizacja odbywała się naprzemiennie na poziomach 12 cm i 8 cm, co powodowało skokową zmianę wartości zadanej o 4 cm. W drugiej próbie zwiększony został skok zmian do 7 cm i stabilizacja odbywała się na poziomach 7 cm i 14 cm.

u(kT)

w1

e(kT)

wN

w2

w3ge

gc

gu

1 z 1

T

PI-RBF

Tz 1

14




AUTOMATYKA

Wartości parametrów (nastaw) regulatora PID do sterowania poziomem wody w dolnym zbiorniku, wyznaczone zostały metodą syntezy na podstawie wyznaczonego wcześniej modelu matematycznego obiektu. W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych, obiekt sterowania składający się z pompy zbiorników i czujników zamodelowany został w postaci bloków w Simulinku.

Charakterystyki statyczne pompy i czujników zamodelowane zostały na podstawie zarejestrowanych punktów pomiarowych, natomiast dynamiki zbiorników na podstawie opisujących je równań różniczkowych, dla górnego zbiornika równanie (2), natomiast dla dolnego zbiornika równanie (4). W blokach odwzorowujących zachowanie czujników, zamodelowane zostały szumy pomiarowe przy użyciu generatora liczb losowych o zerowej wartości średniej i wariancji równej 0.01.

W pierwszej kolejności przeprowadzone zostały badania symulacyjne z wykorzystaniem do sterowania poziomem w dolnym zbiorniku, algorytmu dyskretnego regulatora liniowego PID. Wartości parametrów regulatora dyskretnego PID wyznaczone zostały metodą emulacji po zastosowaniu wyprowadzonych wcześniej wzorów (23), (24) i (25) i przyjęta została wartość okresu próbkowania T = 5 [s]. Uzyskane wyniki dla zadanej fali prostokątnej o amplitudach 8 cm i 12 cm pokazane zostały na rysunku 16, gdzie linią przerywaną zaznaczony został poziom zadany.

Rys. 16. Wyniki badań symulacyjnych ( hzad = 8 – 12 cm)

Kolejnym krokiem badania regulatora dyskretnego PID było zaimplementowanie tego algorytmu do sterowania poziomem wody w obiekcie rzeczywistym i uzyskane wyniki przedstawione zostały na rysunkach 17 i 18. Porównując wizualnie obydwa te rysunki widać, że zwiększenie odchyłek poziomu zadanego od punktu pracy wykorzystanego do linearyzacji pogorszyło wyraźnie jakość sterowania, zwiększyły się amplitudy oscylacji i czasy regulacji.

Następnym badanym regulatorem był regulator rozmyty PDPI-FL opisany w podrozdziale 5, składający się z dwóch regulatorów rozmytych PD-FL i PI-FL połączonych równolegle. Wzmocnienia skalujące regulatora PDPI-FL dobierane były ręcznie w badaniach symulacyjnych przy wykorzystaniu regulatora liniowego PID pozwalającego zorientować się w jakim zakresie zmieniają się sygnały wejściowe i wyjściowe. Wzmocnienia skalujące były dobierane w taki sposób aby sygnały wejściowe znajdowały się w zakresie roboczym wejściowych funkcji przynależności, pomiędzy nasyceniami i tak aby wykorzystywane były wszystkie zbiory rozmyte. W wyniku ręcznego strojenia ustalone zostały następujące wartości wzmocnień skalujących

PD-FL: ge = 0,8, gc = 0,02, gu = 5,0 , (47)

PI-FL: ge = 0,8, gc = 0,02, gu = 0,2 . (48)

Po przeprowadzeniu badań symulacyjnych zaprojektowany regulator rozmyty PDPI-FL zastosowany został do sterowania poziomem wody w dolnym zbiorniku na obiekcie rzeczywistym i uzyskane wyniki sterowania przedstawione zostały na rysunkach 19 i 20. Widać wyraźnie, że uzyskane zostały zdecydowanie mniejsze wartość amplitudy maksymalnego przeregulowania.

15




AUTOMATYKA

Rys. 17. Sterowanie PID ( hzad = 8 – 12 cm)

Rys. 18. Sterowanie PID ( hzad = 7 – 14cm)

0 200 400 600 800 10000

5

10

15

20

h2 [c

m]

t [s]

Sterowanie poziomem wody w dolnym zbiorniku (PID)

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Us

[V]

t [s]

0 200 400 600 800 10000

5

10

15

20

h2 [c

m]

t [s]

Sterowanie poziomem wody w dolnym zbiorniku (PID)

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Us

[V]

t [s]

16




AUTOMATYKA

Rys. 19. Sterowanie rozmyte PDPI-FL ( hzad = 8 – 12 cm)

Rys. 20. Sterowanie rozmyte PDPI-FL (hzad = 7 – 14 cm)

0 200 400 600 800 10000

5

10

15

20

h2 [c

m]

t [s]

Sterowanie poziomem wody w dolnym zbiorniku (PDPI-FL)

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Us

[V]

t [s]

0 200 400 600 800 10000

5

10

15

20

h2 [c

m]

t [s]

Sterowanie poziomem wody w dolnym zbiorniku (PDPI-FL)

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Us

[V]

t [s]

17




AUTOMATYKA

Rys. 21. Sterowanie neuronowe PDPI-RBF (hzad = 8 – 12 cm)

Rys. 22. Sterowanie neuronowe PDPI-RBF (hzad = 7 – 14 cm)

0 200 400 600 800 10000

5

10

15

20

h2 [c

m]

t [s]

Sterowanie poziomem wody w dolnym zbiorniku (PDPI-RBF)

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Us

[V]

t [s]

0 200 400 600 800 10000

5

10

15

20

h2 [c

m]

t [s]

Sterowanie poziomem wody w dolnym zbiorniku (PDPI-RBF)

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8

10

Us

[V]

t [s]

18




AUTOMATYKA

Ostatnim badanym regulatorem był regulator PDPI-RBF zbudowany na sieci neuronowej o radialnych funkcjach bazowych (RBF) opisany w podrozdziale 6 i składający się z dwóch regulatorów neuronowych PD-RBF i PI-RBF połączonych równolegle. Wzmocnienia skalujące regulatora neuronowego PDPI-RBF dobierane były w identyczny sposób jak to miało miejsce dla regulatora rozmytego. W wyniku ręcznego strojenia ustalone zostały następujące wartości wzmocnień skalujących

PD-RBF: ge = 0,8, gc = 0,02, gu = 5,0 , (49)

PI-RBF: ge = 0,8, gc = 0,02, gu = 0,2 , (50)

Po przeprowadzeniu badań symulacyjnych zaprojektowany regulator neuronowy PDPI-RBF zastosowany został do sterowania poziomem wody w dolnym zbiorniku na obiekcie rzeczywistym i uzyskane wyniki sterowania przedstawione zostały na rysunkach 21 i 22.

10. AnAlizA pOróWnAWczA bAdAnYch regUlATOróW

Dla przeprowadzonych prób badawczych wyznaczone zostały czasowe wskaźniki jakości opisane w podrozdziale 7. Do oceny wybrane zostały dwie skokowe zmiany poziomu zadanego, pierwsza mająca miejsce przy skokowym zmniejszaniu wartości zadanej (odcinek 2), druga natomiast przy skokowym wzroście wartości zadanej (odcinek 3). Wskaźniki jakości wyznaczone dla drugiego odcinka zawarte zostały w tabeli 4, natomiast dla odcinka trzeciego w tabeli 5.

Tabela 4. Wskaźniki jakości wyznaczone na zboczu opadającym sygnału zadanego (odcinek 2)

tn Mp tR Jc1 Jc2 hzad [s] [%] [s] [-] [-] [cm]

PID32,5 50,8 199,8 551,7 258,0 8 - 1239,8 45,1 189,8 2261,1 583,8 7 - 14

PDPI-FL38,9 1,48 85,8 428,4 154,3 8 - 1243,2 4,5 67,2 1732,5 329,5 7 - 14

PDPI-RBF70,2 1,82 139,1 485,8 184,3 8 - 1239,4 6,34 83,35 2028,1 369,0 7 - 14

Tabela 5. Wskaźniki jakości wyznaczone na zboczu narastającym sygnału zadanego (odcinek 3)

tn Mp tR Jc1 Jc2 hzad[s] [%] [s] [-] [-] [cm]

PID36,5 57,7 --- 616,7 332,6 8 - 1259,2 42,5 --- 2822,6 800,1 7 - 14

PDPI-FL42,2 11,6 93,6 387,8 147,0 8 -1252,7 8,4 111,3 1406,9 300,6 7 - 14

PDPI-RBF50,7 2,8 82,3 473,2 175,0 8 - 1250,6 2,6 77,3 1669,1 334,9 7 - 14

Analizując uzyskane wyniki zawarte w tabeli 4 wyraźnie widać, że najlepsza jakość sterowania uzyskana została po zastosowaniu regulatora rozmytego PDPI-FL. Przy użyciu tego regulatora uzyskane zostały najmniejsze wartości maksymalnego przeregulowania, czasu regulacji oraz wartości całkowych wskaźników jakości. Analizując wykresy czasowe widać, że ta najlepsza jakość uzyskana została przy największej z badanych regulatorów, aktywności sterowanej pompy wodnej (patrz, rysunki 19, 20). Na podstawie analizy wskaźników jakości zawartych w tabeli 4, niewiele słabiej od regulatora rozmytego wypadł regulator neuronowy PDPI-RBF. Zaletą regulatora neuronowego było to, że sygnał sterujący pompą był prawie zupełnie gładki (patrz rysunki 21 i 22). Najsłabsze wyniki uzyskane zostały z użyciem regulatora PID.

Analizując uzyskane wskaźniki zawarte w tabeli 5 już nie tak łatwo wskazać regulator przy użyciu którego uzyskane zostały najlepsze wyniki. W tym przypadku jeśli chodzi o wyznaczone całkowe wskaźniki jakości to najlepsze wyniki uzyskane zostały z użyciem regulatora rozmytego PDPI-FL ale najmniejsze maksymalne przeregulowania i czasy regulacji uzyskiwane były przy użyciu regulatora neuronowego PDPI-RBF. Najsłabiej znów wypadł regulator liniowy PID.

19




AUTOMATYKA

11. UWAgi i WniOsKi

W niniejszej pracy przebadane zostały trzy regulatory, pierwszy liniowy PID i dwa inne (rozmyty i neuronowy) zbudowane w oparciu o strukturę regulatora liniowego PID. Wszystkie te trzy regulatory pracowały w czasie dyskretnym z okresem próbkowania T = 5 [s]. W wyniku przeprowadzonych badań sterowania poziomem wody w dolnym zbiorniku w układzie kaskadowym składającym się z dwóch zbiorników uzyskane wskaźniki jakości sterowania pozwalają stwierdzić, że klasyczny regulator liniowy nie zawsze pozwala na uzyskanie najlepszej jakości sterowania. Regulator rozmyty i neuronowy, które bazują na bardziej złożonych algorytmach przetwarzania sygnałów wejściowych od regulatora liniowego, pozwoliły na uzyskanie zdecydowanie lepszej jakości sterowania.

bibliOgrAFiA[1] Bobal V., Chalupa P., (2001), New modification of MATLAB-toolbox for CAD of adaptive controllers. Sborník prispevku rocniku konference

MATLAB 2001, pp. 30-35.

[2] Brzózka J., (2002), Regulatory cyfrowe w automatyce, Wydawnictwo Mikom.

[3] Kaczmarczyk M. (2009), Komputerowy układ sterowania poziomem wody w kaskadzie dwóch zbiorników, Praca inżynierska, Akademia Morska, Gdynia, 2009.

[4] Passino K.M., Yurkovich S., Fuzzy Control, Addison Wesley Longman, Inc., 1998

[5] Passino K.M., Biomimicry for Optimization, Control, and Automation, Springer, 2004.

[6] Osowski S., Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996.

[7] Piegat A., Modelowanie i sterowanie rozmyte, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 1999.

Documents

PoRówNANIE jAkośCI PRACY tRZECh ALgoRYtmów tYPU PID: …atol.am.gdynia.pl/~tomera/publikacje/INFOTECH_2011... · 2011. 12. 14. · Na wejściu układu sterowania znajduje się