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Porticos 3D (Porticos espaciales).pdf

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  • Prticos espaciales

    J. T. Celigeta

  • 1Prtico espacial. DefinicinQ Estructura reticular. Barras rectas de seccin despreciable.Q Cualquier orientacin en el espacio.Q Barras unidas rgidamente en ambos extremos.

    X Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barraX Puede haber articulaciones

    Q Cargas exteriores en cualquier direccinQ Deformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros

    4 m

    4 m

    2 m

    10 kN

    2 kN/m

    4 m

    5 kN-m

  • 2Condiciones de estabilidad

    A 12 b+r < 6n+6b+c InestableB

    CIsosttico 12 b+r = 6n+6b+cHiperesttico 12 b+r > 6n+6b+c

    Incgnitas= 12 b + r Ecuaciones esttica: 6n + 6b + c

    Adems de cumplirse B o C, la disposicin de las barras debe evitar toda inestabilidad local.

    Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperesttico

    Habitualmente son hiperestticos con h muy alto

  • 3Ejemplos (I)

    b=8 n=8 r=24 c=0 h=24

    a)

    b=7 n=8 r=17 c=1 h=10

    b)

  • 4Ejemplos (II)

    b=8 n=8 r=24 c=24 h=g=4

    c)

    b=8 n=8 r=24 c=12 h=12

    d)

  • 5Barra en el espacioDeformaciones de la fibra neutra:

    axial u, laterales v, w, giros segn X, Y, Z

    Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra:

    P Z Y

    dv dwu u y z u y z

    dx dx = + =

    X

    Y

    Z

    u

    v

    wX

    Y

    Z

    uP

  • 6Barra en el espacio

    Deformacin unitaria axial debida a la flexin y axial:

    2 2

    2 2P

    X

    u du d v d wy z

    x dx dx dx = =

    Y

    Z

    u

    v

    w

    Y

    Z

    X

    V

    W

    X

    Y

    Z

    x

    du/dx

  • 7Barra en el espacio

    ( )X E u v y w z T =

    Distribucin de temperatura lineal:

    Ecuacin constitutiva lineal:

    m gy gzT T yT zT= + +

    ( )X XE T =

    X

    Y

    Z

    x

    xy

    xz X

    Y

    Z

    x

    xz

    xy

    x

  • 8Barra en el espacio: esfuerzos (I)

    Y Y Y gzM zdA EI w EI T = +

    mN dA EAu EA T =

    Z Z Z gyM ydA EI v EI T = +MZ

    MZ

    MY MY

    NN

    QZQZ

    QY

    QYY

    Z

    X

    qY

    qZ

    qa

    Y

    Z

  • 9Barra en el espacio: esfuerzos (II)

    Z xzQ dA=

    Y xyQ dA=

    Momento torsor

    Cortantes

    MT MTY

    Z

    ( )T xz xyM y z dA =

  • 10

    Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (I)

    2

    2a

    d uq EA

    dx=Fuerza axial:

    Propiedades uniformes

    a

  • 11

    Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)

    Momentos s/ Z

    4

    4Y Z

    d vq EI

    dx=Fuerzas s/ Y

    ZY

    dMQ

    dx=

    Propiedades uniformes

  • 12

    Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (III)

    4

    4Z Y

    d wq EI

    dx=Fuerzas s/ Z

    Propiedades uniformes

    YY Y

    Z zZ

    Z

    Momentos s/ Y YZdM

    Qdx

    =

  • 13

    Barra en el espacio: tensiones

    Y Z Z YXY XZ

    Z Z Y Y

    Q A Q AI b I b

    = =

    Flexin y esfuerzo axial:

    Esfuerzos cortantes:

    Torsin: segn la teora de torsin. Contribuye a las 2 tensiones cortantes

    Z YX

    Z Y

    N M y M zA I I

    =

  • 14

    Barra en el espacio: energa

    Energa acumulada en toda la barra (sin energa de cortante ni torsin):

    2*

    2

    2

    2

    2

    2

    b m

    ZZ gy

    Z

    YY gz

    Y

    NU dx N T dx

    EAMdx M T dx

    EI

    Mdx M T dx

    EI

    = +

    +

    +

  • 15

    Barra en el espacio. Torsin

    ( )IX IX JXJX IX

    GJM

    LM M

    = =

    2

    2T

    Tb

    MU dx

    GJ=

    Rigidez a la torsin: G J / L

    G: mdulo de elasticidad en cortadura

    Seccin circular: J = momento de inercia polar

    Otras secciones: J segn la teora de la torsin

  • 16

    Barra en el espacio: grados de libertad

    Y

    Z

    u

    v

    w JX

    IY

    IZ

    JY

    JZ

    IY

    IZ IX

    IX JX

    Z

    Y

    X

    JY

    JZ

    IX

    IY

    IZI

    IX

    IY

    IZ

    =

    JX

    JY

    JZJ

    JX

    JY

    JZ

    =

    3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo

  • 17

    Barra en el espacio: fuerzas en los nudos

    MIYL

    PIX

    PIZ

    PIY

    MIZLMIXL

    PJX

    PJZ

    PJY

    MJZLMJXL

    MJYL

    IX

    IY

    IZ

    IIXL

    IYL

    IZL

    P

    P

    P

    M

    M

    M

    =

    P

    JX

    JY

    JZ

    JJXL

    JYL

    JZL

    P

    P

    P

    M

    M

    M

    =

    P

    3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo

  • 18

    Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

    Matriz de 12 x 12.

    4 submatrices de 6 x 6

    4 efectos desacoplados:

    2 flexiones (XY, XZ)

    axial (X)

    torsin

    IX

    IY

    IZ

    IXL

    IYL

    IZL

    JX

    JY

    JZ

    JXL

    JYL

    JZL

    LII LIJ

    LJI LJJ

    P

    P

    P

    M

    M

    M

    P

    P

    P

    M

    M

    M

    =

    K K

    K K

    IX

    IY

    IZ

    IX

    IY

    IZ

    JX

    JY

    JZ

    JX

    JY

    JZ

    Se obtiene ensamblando las matrices de:

    - viga plana en XY (4 gdl),

    - viga plana en XZ (4 gdl),

    - barra axial (2 gdl) y

    - barra a torsin (2 gdl)

  • 19

    Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

    3 2

    3 2

    2

    2

    0 0 0 0 0

    12 60 0 0 0

    12 60 0 0 0

    0 0 0 0 0

    6 40 0 0 0

    6 40 0 0 0

    z z

    y y

    LII

    y y

    z z

    EAL

    EI EIL L

    EI EI

    L LGJL

    EI EI

    L LEI EIL L

    =

    K

    Viga a flexin en plano XZ

    Barra bi articulada

    Viga a flexin en plano XY

    Barra a torsin pura

    4 efectos desacoplados:

    2 flexiones (XY, XZ)

    axial (X)

    torsin (Giro X)

  • 20

    Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (I)Sistema local de la barra conocido:

    Eje X local: nudo I al nudo J.

    Ejes Y, Z locales : ejes principales de inercia de la seccin

    Ubicar los ejes locales respecto de los generales.

  • 21

    Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (II)Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas , y

    YYL

    ZL

    Z

    YG

  • 22

    Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (III)Mtodo del punto auxiliar: En lugar del ngulo se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano XL, YL. A partir de ellas es fcil determinar

  • 23

    Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (IV)ngulos , : pueden ser calculados en funcin de los tres cosenos directores del eje X local (, , )ngulo auxiliar : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definicin del sistema local

    2 2cos sin cos sincos

    sin cos sin cossin

    D DD D

    DD D

    + = = + +

    T

    Nota: se produce una indeterminacin si la barra es paralela al eje Y general, con lo que D=0. Se adopta un valor de de 90 o 270.

  • 24

    Rigidez en coordenadas generales

    XGZG

    YG

    IY

    IZ

    IY

    IZIX

    IX

    JY

    JZ

    JY

    JZJX

    JX

    { }TI IX IY IZ IX IY IZ = { }TJ JX JY JZ JX JY JZ =

    Grados de libertad Fuerzas y momentos

    { }TI IX IY IZ IX IY IZF F F M M M=F{ }TJ JX JY JZ JX JY JZF F F M M M=F

    4 4T

    G L=K T K T

    12 x 12 llena XGZG

    YG

    MIYFIY

    FJY

    FIX

    FIZ

    MIZ

    MIX

    FJZFJX

    MJZ

    MJY

    MJX

  • 25

    Barras en el espacio con articulacionesQ Varias situaciones: 1, 2 3 momentos nulos, en 1 2 nudos

    YL

    ZL

    JX

    IY JY

    JZ

    IY

    IZ

    IX

    IX JX

    JY

    JZ

    XLMZL=0

    Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (slo N).

  • 26

    Barras en el espacio con articulacionesSituaciones muy complejas:El eje de la articulacin no coincide con un eje principal de inercia (eje local)

    Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fcil definir la condicin M=0.Sistema de grados de libertad mixto

  • 27

    Ejemplos

  • 28

    Ejemplos

  • 29

    Ejemplos

  • 30

    Ejemplos

    Veldromo (Korea)

  • 31

    Ejemplos

    Torre spinnaker(Portsmouth, UK)

    Estadio Chunju (Corea)

    Prticos espacialesPrtico espacial. DefinicinCondiciones de estabilidadEjemplos (I)Ejemplos (II)Barra en el espacioBarra en el espacioBarra en el espacioBarra en el espacio: esfuerzos (I)Barra en el espacio: esfuerzos (II)Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (I)Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (III)Barra en el espacio: tensionesBarra en el espacio: energaBarra en el espacio. TorsinBarra en el espacio: grados de libertadBarra en el espacio: fuerzas en los nudosBarra en el espacio: rigidez en el sistema localBarra en el espacio: rigidez en el sistema localBarra en el espacio. Ubicacin en 3D (I)Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (II)Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (III)Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (IV)Rigidez en coordenadas generales