Porticos 3D (Porticos espaciales).pdf

Prticos espaciales

J. T. Celigeta

1Prtico espacial. DefinicinQ Estructura reticular. Barras rectas de seccin despreciable.Q Cualquier orientacin en el espacio.Q Barras unidas rgidamente en ambos extremos.

X Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barraX Puede haber articulaciones

Q Cargas exteriores en cualquier direccinQ Deformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros

4 m

4 m

2 m

10 kN

2 kN/m

4 m

5 kN-m

2Condiciones de estabilidad

A 12 b+r < 6n+6b+c InestableB

CIsosttico 12 b+r = 6n+6b+cHiperesttico 12 b+r > 6n+6b+c

Incgnitas= 12 b + r Ecuaciones esttica: 6n + 6b + c

Adems de cumplirse B o C, la disposicin de las barras debe evitar toda inestabilidad local.

Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperesttico

Habitualmente son hiperestticos con h muy alto

3Ejemplos (I)

b=8 n=8 r=24 c=0 h=24

a)

b=7 n=8 r=17 c=1 h=10

b)

4Ejemplos (II)

b=8 n=8 r=24 c=24 h=g=4

c)

b=8 n=8 r=24 c=12 h=12

d)

5Barra en el espacioDeformaciones de la fibra neutra:

axial u, laterales v, w, giros segn X, Y, Z

Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra:

P Z Y

dv dwu u y z u y z

dx dx = + =

X

Y

Z

u

v

wX

Y

Z

uP

6Barra en el espacio

Deformacin unitaria axial debida a la flexin y axial:

2 2

2 2P

X

u du d v d wy z

x dx dx dx = =

Y

Z

u

v

w

Y

Z

X

V

W

X

Y

Z

x

du/dx

7Barra en el espacio

( )X E u v y w z T =

Distribucin de temperatura lineal:

Ecuacin constitutiva lineal:

m gy gzT T yT zT= + +

( )X XE T =

X

Y

Z

x

xy

xz X

Y

Z

x

xz

xy

x

8Barra en el espacio: esfuerzos (I)

Y Y Y gzM zdA EI w EI T = +

mN dA EAu EA T =

Z Z Z gyM ydA EI v EI T = +MZ

MZ

MY MY

NN

QZQZ

QY

QYY

Z

X

qY

qZ

qa

Y

Z

9Barra en el espacio: esfuerzos (II)

Z xzQ dA=

Y xyQ dA=

Momento torsor

Cortantes

MT MTY

Z

( )T xz xyM y z dA =

10

Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (I)

2

2a

d uq EA

dx=Fuerza axial:

Propiedades uniformes

a

11

Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)

Momentos s/ Z

4

4Y Z

d vq EI

dx=Fuerzas s/ Y

ZY

dMQ

dx=

Propiedades uniformes

12

Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (III)

4

4Z Y

d wq EI

dx=Fuerzas s/ Z

Propiedades uniformes

YY Y

Z zZ

Z

Momentos s/ Y YZdM

Qdx

=

13

Barra en el espacio: tensiones

Y Z Z YXY XZ

Z Z Y Y

Q A Q AI b I b

= =

Flexin y esfuerzo axial:

Esfuerzos cortantes:

Torsin: segn la teora de torsin. Contribuye a las 2 tensiones cortantes

Z YX

Z Y

N M y M zA I I

=

14

Barra en el espacio: energa

Energa acumulada en toda la barra (sin energa de cortante ni torsin):

2*

2

2

2

2

2

b m

ZZ gy

Z

YY gz

Y

NU dx N T dx

EAMdx M T dx

EI

Mdx M T dx

EI

= +

+

+

15

Barra en el espacio. Torsin

( )IX IX JXJX IX

GJM

LM M

= =

2

2T

Tb

MU dx

GJ=

Rigidez a la torsin: G J / L

G: mdulo de elasticidad en cortadura

Seccin circular: J = momento de inercia polar

Otras secciones: J segn la teora de la torsin

16

Barra en el espacio: grados de libertad

Y

Z

u

v

w JX

IY

IZ

JY

JZ

IY

IZ IX

IX JX

Z

Y

X

JY

JZ

IX

IY

IZI

IX

IY

IZ

=

JX

JY

JZJ

JX

JY

JZ

=

3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo

17

Barra en el espacio: fuerzas en los nudos

MIYL

PIX

PIZ

PIY

MIZLMIXL

PJX

PJZ

PJY

MJZLMJXL

MJYL

IX

IY

IZ

IIXL

IYL

IZL

P

P

P

M

M

M

=

P

JX

JY

JZ

JJXL

JYL

JZL

P

P

P

M

M

M

=

P

3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo

18

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

Matriz de 12 x 12.

4 submatrices de 6 x 6

4 efectos desacoplados:

2 flexiones (XY, XZ)

axial (X)

torsin

IX

IY

IZ

IXL

IYL

IZL

JX

JY

JZ

JXL

JYL

JZL

LII LIJ

LJI LJJ

P

P

P

M

M

M

P

P

P

M

M

M

=

K K

K K

IX

IY

IZ

IX

IY

IZ

JX

JY

JZ

JX

JY

JZ

Se obtiene ensamblando las matrices de:

- viga plana en XY (4 gdl),

- viga plana en XZ (4 gdl),

- barra axial (2 gdl) y

- barra a torsin (2 gdl)

19

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

3 2

3 2

2

2

0 0 0 0 0

12 60 0 0 0

12 60 0 0 0

0 0 0 0 0

6 40 0 0 0

6 40 0 0 0

z z

y y

LII

y y

z z

EAL

EI EIL L

EI EI

L LGJL

EI EI

L LEI EIL L

=

K

Viga a flexin en plano XZ

Barra bi articulada

Viga a flexin en plano XY

Barra a torsin pura

4 efectos desacoplados:

2 flexiones (XY, XZ)

axial (X)

torsin (Giro X)

20

Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (I)Sistema local de la barra conocido:

Eje X local: nudo I al nudo J.

Ejes Y, Z locales : ejes principales de inercia de la seccin

Ubicar los ejes locales respecto de los generales.

21

Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (II)Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas , y

YYL

ZL

Z

YG

22

Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (III)Mtodo del punto auxiliar: En lugar del ngulo se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano XL, YL. A partir de ellas es fcil determinar

23

Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (IV)ngulos , : pueden ser calculados en funcin de los tres cosenos directores del eje X local (, , )ngulo auxiliar : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definicin del sistema local

2 2cos sin cos sincos

sin cos sin cossin

D DD D

DD D

+ = = + +

T

Nota: se produce una indeterminacin si la barra es paralela al eje Y general, con lo que D=0. Se adopta un valor de de 90 o 270.

24

Rigidez en coordenadas generales

XGZG

YG

IY

IZ

IY

IZIX

IX

JY

JZ

JY

JZJX

JX

{ }TI IX IY IZ IX IY IZ = { }TJ JX JY JZ JX JY JZ =

Grados de libertad Fuerzas y momentos

{ }TI IX IY IZ IX IY IZF F F M M M=F{ }TJ JX JY JZ JX JY JZF F F M M M=F

4 4T

G L=K T K T

12 x 12 llena XGZG

YG

MIYFIY

FJY

FIX

FIZ

MIZ

MIX

FJZFJX

MJZ

MJY

MJX

25

Barras en el espacio con articulacionesQ Varias situaciones: 1, 2 3 momentos nulos, en 1 2 nudos

YL

ZL

JX

IY JY

JZ

IY

IZ

IX

IX JX

JY

JZ

XLMZL=0

Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (slo N).

26

Barras en el espacio con articulacionesSituaciones muy complejas:El eje de la articulacin no coincide con un eje principal de inercia (eje local)

Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fcil definir la condicin M=0.Sistema de grados de libertad mixto

27

Ejemplos

28

Ejemplos

29

Ejemplos

30

Ejemplos

Veldromo (Korea)

31

Ejemplos

Torre spinnaker(Portsmouth, UK)

Estadio Chunju (Corea)

Prticos espacialesPrtico espacial. DefinicinCondiciones de estabilidadEjemplos (I)Ejemplos (II)Barra en el espacioBarra en el espacioBarra en el espacioBarra en el espacio: esfuerzos (I)Barra en el espacio: esfuerzos (II)Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (I)Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)Barra a flexin en el espacio. Ecs. Equilibrio (III)Barra en el espacio: tensionesBarra en el espacio: energaBarra en el espacio. TorsinBarra en el espacio: grados de libertadBarra en el espacio: fuerzas en los nudosBarra en el espacio: rigidez en el sistema localBarra en el espacio: rigidez en el sistema localBarra en el espacio. Ubicacin en 3D (I)Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (II)Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (III)Barra en el espacio. Ubicacin en 3D (IV)Rigidez en coordenadas generales