Popločavanja, kristali, kvazikristali

Franka Miriam Brückler

Vladimir Stilinović

• Idealni kristali su oblika konveksnih poliedara.

• Stalnost kutova

In plano axis laterum et numerum et longitudinem varie mutari, non mutatis angulis.

N. Stensen, 1669.

Kristali

Jesu li kristali stvarno periodični?

• Jesu – dokazano činjenicom da difraktiraju rentgensko zračenje.

R. J. Haüy (1743.–1822.)

1801. Kristali se sastoje od sićušnih paralelepipeda koji se slažu jedan do drugoga – kristali su periodične građe.

Ako su kristalografi u pravu...• Neka je struktura periodična...• simetrija objekta X je izometrija f (euklidskog)

prostora obzirom na koju je objekt invarijantan tj. f(X) = X

• može se opisati kao f(x) = Ax+b s |det(A)| = 1• f je rotacija ako je b=0 i det(A)=1 tj. ASO(3)• Eulerov teorem: u R3 to je stvarno rotacija u

oko neke osi• najmanji mogući kut rotacije (koja je simetrija

objekta) najveći nN takav da je n – govorimo o osi rotacije reda n

• translacija za vektor b: tb(x) = x + b

• objekt X u euklidskom prostoru posjeduje translacijsku simetriju ako postoji vektor b pripadnog vektorskog prostora t. d. tb(X) = X

• obzirom na kristalografe, zanimaju nas objekti koji u n-dimenzionalnom prostoru posjeduju simetrije u n linearno nezavisnih smjerova e1,...,en (periodičnost)

• ako je X takav i OX, onda X mora sadržavati beskonačno mnogo točaka tj. bar sve točke T takve da je predstavnik nekog vektora oblika

s cjelobrojnim koeficijentima

OT

Ako su kristalografi u pravu...

n

iiiem

1

Ako su kristalografi u pravu...• rešetka u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru,

generirana nekom bazom {e1,...,en} tog prostora, je skup

• često se gleda točkovna rešetka u euklidskom prostoru, uz odabrani koordinatni sustav (O; {e1,...,en}):

Zn

iii mmemL ,,: 1

Z nn

n mmEmmL ,,:),,(' 11

Ako su kristalografi u pravu...• Teorem (kristalografska restrikcija): Neka je X

E3 objekt koji je periodičan. Ako X kao simetriju posjeduje rotaciju reda n, onda je n{1,2,3,4,6}.

• Dokaz: • X periodičan obzirom na bazu {e1,...,en} kao

podskup sadrži rešetku L’; neka je A rotacija reda n koja mu je simetrija

(BSO: oko z-osi) za kut [0, • ona mora sve točke s cjelobrojnim koordinatama

preslikavati u isto takve obzirom na {e1,...,en} ima matricu s cjelobrojnim elementima

• trag matrice je invarijanta 2cos()+1Z {0,/3,/4,/2,}

100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

A

Jesmo, u pravu smo...

Na kristalima se zamjećuju samo određeni elementi simetrije:

Centar inverzije (“simetrije”)

Zrcalne ravnine

Osi 2., 3., 4. i 6. reda.

Što su popločavanja?• popločavanje prostora R2 (R3) je (prebrojiva)

familija T zatvorenih skupova pi R2 (R3) prostora takva da vrijedi

pi = R2 (R3) i,j int pi int pj = • moguće je dodatno zahtijevati da pločice osim

geometrijskih imaju i neka druga svojstva (npr. boje)

• generirajući skup je minimalni podskup PT sa svojstvom da nikoja dva elementa iz P nisu sukladna; elementi od P se zovu protopločice

Nije sve normalno...• moguća su čudna popločavanja• popločavanja kojima nisu sve pločice topološki

diskovi, npr. pločice s rupama• popločavanja u kojima se (bar) dvije pločice

sijeku u nepovezanom skupu• popločavanja u kojima (bar jedna) pločica nije

uniformno ograničena• popločavanja u kojima nema takvih anomalija:

normalna popločavanja

Još malo o popločavanjima• najčešće protopločice: poligoni (ne nužno

konveksni) – obično se zahtijeva da nijedan vrh neke pločice ne leži unutar nekog brida neke druge

• za dani kvadrat stranice 2r mogu se definirati brojevi t(r), e(r), v(r), kao brojevi pločica, bridova, strana popločavanja koje se nalaze u “dijelu popločavanja određenom tim kvadratom” (skupu svih pločica koje imaju neprazan presjek s tim kvadratom i sve koje su potrebne da njihova unija bude jednostavno povezan skup)

• popločavanje je metrički uravnoteženo ako za r+ postoje limesi izraza t(r)/4r2, e(r)/4r2, v(r)/4r2 i nezavisni su o izboru kvadrata tj. možemo definirati broj vrhova, bridova i strana po jediničnoj površini

Periodična popločavanja• jednostavnosti radi gledamo euklidsku ravninu E2

• postoje dva nekolinearna vektora a i b te ograničen

podskup ravnine (“jedinična ćelija”) C sa svojstvom da

za svaku točku T postoje cijeli brojevi m, n te točka

TCC takvi da je TCT = ma+nb

• pripadna rešetka generirana je paralelogramom P

određenim vektorima a i b

• svako normalno periodičko popločavanje je metrički

uravnoteženo

Koja je prava?

Kristalni sustavi• Postoji konačno mnogo tipova rešetki, obzirom

na odnose baznih vektora tj. obzirom na simetrije rešetki – pet u ravnini, sedam u 3D-prostoru

• a,b,c duljine baznih vektora,

α,β,γ kutevi između po dva od njih

Kako klasificirati periodična popločavanja?

• 17 grupa tapeta – prema simetrijama

Određivanje grupe tapeta:Odredi maksimalni red n rotacije i utvrdi postoji li bar jedno zrcaljenje.1, da postoje li klizna zrcala koja nisu zrcala: cm ,pm1, ne postoji li klizno zrcaljenje: pg, p12, da postoje li zrcaljenja u dva različita smjera?

da postoje li centri rotacije na zrcalima: pmm, cmmne pmg

2, ne postoji li klizno zrcaljenje: pgg, p23, da jesu li svi centri rotacije na zrcalima: p3m1, p31m3, ne p34, da postoje li zrcala koja pod kutem 45°: p4m, p4g4, ne p46, da p6m6, ne p6

U trima dimensiama

• prostorne grupe (230 komada)• određene mogućim kombinacijama simetrija koje imaju

jednu fiksnu točku i simetrija rešetke• različite kompozicije simetrijskih operacija: tzv. složeni

elementi simetrije (klizne ravnine, vijčane osi...)

Kvaziperiodična popločavanja• vrsta neperiodičnih popločavanja, no: iako nemaju

translacijsku simetriju, nije potpuno nepravilno• svaki ograničen podskup takvog popločavanja

(neprecizno, ali praktično, dakle kristalografima draže...) se ponavlja beskonačno mnogo puta

Penroseova popločavanja

• 1974. – sir Roger Penrose (1931.-)• najpoznatija kvaziperiodična

popločavanja

svi uzorci su određeni s 5 smjerova pravaca pod međusobnim kutevima 72°, a susjedni pravci svakog smjera su udaljeni za jednu od 2 dužine koje su u omjeru Φ

Nekoliko zanimljivosti o Penroseovim popločavanjima

• uvijek neperiodično• beskonačno mnogo različitih, nijedan konačan

dio ne određuje cijelo popločavanje• svaki ograničen dio nekog PP se ponovno

pojavljuje u tom PP (i u svakom drugom PP)• omjer zmajeva i strijela je Φ• može imati simetriju reda 5 (no kao i svako

popločavanje, može imati samo jedan centar simetrije reda 5)

• statistička simetrija reda 10

A postoji li takovo što, zapravo?

KVAZIKRISTALI

Though this be madness, yet there is a method in’t...

Poligonalnog oblika ali s osima 5, 8, 10... reda.

Difraktiraju rentgensko zračenje

Kvaziperiodične strukture

KRISTALI ???

Tako kažu !!!

• Nova definicija kristala (IUCr, 1992): "by crystal we mean any solid having an essentially discrete diffraction pattern, and by aperiodic crystal we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent"

KRAJ ... ?