ponto dos conc

1. Aula 6: Estruturas Lógicas. Lógica de Argumentação. Diagramas Lógicos...................................................................................... 2

1.1 A Lógica. Proposições ....................................................... 2 1.2 Conectivo E .................................................................... 4 1.3 Conectivo Ou .................................................................. 6 1.4 Conectivo Se...Então........................................................ 7 1.5 Conectivo Se e somente se ............................................... 9 1.6 Conectivo Ou...Ou ......................................................... 10 1.7 Símbolos dos Conectivos ................................................ 11 1.8 Apelidos dos Conectivos ................................................. 12 1.9 Proposições Equivalentes ................................................ 16 1.10 Negação de proposições .............................................. 17 1.11 Tautologia e Contradição ............................................. 19

2. Questões comentadas. .......................................................... 21

3. Memorex ............................................................................. 54

4. Lista das Questões Comentadas.............................................. 55

5. Gabarito .............................................................................. 61

AULA 6

ATRFB – RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 2

1. Aula 6: Estruturas Lógicas. Lógica de Argumentação. Diagramas Lógicos. Bom dia, pessoal. Hoje teremos nossa 6a aula, de Lógica. Lógica é um assunto muito cobrado pela ESAF. Ela, inclusive, utiliza proposições como forma para cobrar outros assuntos do edital, como Álgebra, Geometria... Vocês verão nos exercícios. Por hora, fixem bem a teoria, que é muito importante. Deixei uma pequena continuação desta aula para a próxima. Então, na próxima aula, veremos um pouco mais de Lógica também. Boa aula. 1.1 A Lógica. Proposições Já vi algumas questões de concurso com a seguinte definição de Lógica: Lógica é o estudo das relações entre afirmações, não da verdade dessas afirmações. Um argumento é um conjunto de fatos e opiniões (premissas) que dão suporte a uma conclusão. Isso não significa que as premissas ou a conclusão sejam necessariamente verdadeiras; entretanto, a análise dos argumentos permite que seja testada a nossa habilidade de pensar logicamente.

(Fonte: Fundação Carlos Chagas) Assim, em resumo:

1) A Lógica estuda relações entre afirmações, que são chamadas proposições;

2) As premissas e conclusões não precisam ser necessariamente verdadeiras;

3) O objetivo é pensar logicamente. A primeira coisa a aprender quando começamos a estudar o Raciocínio Lógico é o que são proposições. Proposição é uma frase, ou uma equação, ou uma expressão, cujo conteúdo pode ser considerado Verdadeiro ou Falso. Há dois tipos de proposições: as simples e as compostas.



As proposições simples são afirmações. São frases bem no padrão que aprendemos em Língua Portuguesa: formadas, no mínimo, por um sujeito e um verbo. Exemplo de proposição simples: O Brasil não ganhou a Copa de 2010. Sabemos que a frase acima é Verdadeira. O Brasil, efetivamente, não ganhou a Copa de 2010 (quem ganhou foi a Espanha). Já as proposições compostas são aquelas formadas por duas ou mais proposições simples. Elas possuem conectivos, ligando uma proposição à outra. Por exemplo: A Espanha ganhou a Copa de 2010 e a Holanda ficou em segundo. Percebam que, na frase acima, existem 3 proposições: Proposição 1 (proposição simples): A Espanha ganhou a Copa de 2010 (sabemos que é Verdadeiro). Proposição 2 (proposição simples): A Holanda ficou em segundo (é Verdadeiro). Proposição 3 (proposição composta): A Espanha ganhou a Copa de 2010 e a Holanda ficou em segundo. Na Proposição 3, as duas proposições simples estão ligadas pelo conectivo E. Vamos estudá-lo mais para frente, mas, para uma frase com o conectivo E ser Verdadeira, as duas proposições simples que a formam devem ser Verdadeiras também. Como as duas proposições simples que a formam são realmente Verdadeiras, a proposição composta também é Verdadeira. Mas, se disséssemos: O Brasil ganhou a Copa de 2010 e a Holanda ficou em segundo. Nesse caso, teríamos uma das proposições simples Verdadeira, e a outra Falsa (pois o Brasil não ganhou a Copa). A proposição composta, é, portanto, Falsa, pois, como disse antes, para o Conectivo E as duas proposições simples devem ser Verdadeiras para a proposição composta ser Verdadeira.



Podemos utilizar outro conectivo. Se trocarmos o conectivo E pelo Ou, a frase fica: O Brasil ganhou a Copa de 2010 ou a Holanda ficou em segundo. Nesse caso, também temos uma das proposições simples Verdadeira, e a outra Falsa (pois o Brasil não ganhou a Copa). No entanto, a proposição composta é Verdadeira. Por que? Porque, para o conectivo OU, basta que uma das proposições simples sejam Verdadeiras para a proposição composta ser Verdadeira. Como a Holanda realmente ficou em segundo na Copa, a proposição composta com o conectivo Ou é Verdadeira. Não existem só esses conectivos. Mas a sistemática da coisa é assim. De acordo com o conectivo usado, as mesmas proposições simples podem resultar em proposições compostas Verdadeiras ou Falsas. Voltando a falar sobre as proposições, já sabemos que elas são afirmações de que podemos extrair um valor lógico (uma “alma”, digamos assim). E este valor lógico tem que ser sempre Verdadeiro ou Falso. Dessa forma, não podem ser proposições:

• Sentenças interrogativas: “O que você comeu hoje?” – (não podemos classificar em verdadeiro ou falso).

• Sentenças imperativas: “Vai lá e depois me conta como foi” – (também não podemos classificar em verdadeiro ou falso).

• Sentenças exclamativas: “Que legal!!!” (como classificar em verdadeiro ou falso?).

• Sentenças sem verbo: “Casa azul” (lembrando que “A casa é azul” possui verbo... e pode ser classificada em verdadeiro ou falso).

• Sentenças que podem mudar de significado. Por exemplo, uma equação formada apenas por incógnitas.

Agora, vamos ver a fundo cada conectivo. Começaremos pelo conectivo E. 1.2 Conectivo E Nome: conjunção Símbolo: ^ O que significa: a proposição composta só será verdadeira se ambas as proposições simples forem verdadeiras. Por exemplo: A Espanha ganhou a Copa de 2010 e a Holanda ficou em segundo.



Se a primeira proposição (A Espanha ganhou a Copa de 2010) estiver correta, e a segunda (Holanda ficou em segundo) também, a proposição toda (a frase toda) está correta. Senão, ela está errada.

Ou seja, se V e V = V. Da mesma maneira, se uma das proposições estiverem erradas, a proposição composta estará errada. Portanto:

V e F = F Por exemplo: O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira e o Rogério Ceni é jogador da Seleção PS: o Mano Meneses é realmente o técnico da seleção brasileira, ou seja, a primeira proposição está correta. Mas o Rogério Ceni não é jogador da Seleção Brasileira, então a segunda proposição está errada. Portanto, o valor lógico (a alma da proposição) é:

V e F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Mais um exemplo: O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira e o Alexandre Pato é jogador da Seleção. PS: o Zagallo não é o técnico da seleção brasileira, ou seja, a primeira proposição está falsa. Mas o Alexandre Pato é jogador da Seleção Brasileira, então a segunda proposição está correta. Portanto, o valor lógico é:

F e V = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Último exemplo: O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira e o Rogério Ceni é jogador da Seleção



PS: o Zagallo não é o técnico da seleção brasileira, ou seja, a primeira proposição está falsa. E o Rogério Ceni não é jogador da Seleção Brasileira, então a segunda proposição também está errada. Portanto, o valor lógico é:

F e F = F Assim, em resumo, o conectivo E se comporta da seguinte forma (a tabela abaixo é conhecida como Tabela-Verdade. Não se preocupem com esse nome agora, mais a frente falarei mais sobre ela):

CONECTIVO E

V e V = V V e F = F F e V = F F e F = F

1.3 Conectivo Ou Nome: disjunção Símbolo: v O que significa: Se uma das proposições simples for verdadeira, a proposição composta já será verdadeira. Dessa forma, ela só será falsa se ambas as proposições simples forem falsas – em todos os outros casos, a proposição composta será sempre verdadeira. Por exemplo:

O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Alexandre Pato é jogador da Seleção.

Valor lógico: V ou V Como falamos, a proposição composta só será falsa se as duas proposições estiverem falsas. E, nessa proposição, as duas proposições estão corretas. Portanto, a proposição composta é Verdadeira.

Ou seja, se V ou V = V. Da mesma maneira, se uma das proposições estiver correta, a proposição composta estará correta. Portanto:



V ou F = V

Mais um exemplo: O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Rogério Ceni é jogador da Seleção

Valor lógico: V ou F = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira)

Terceiro exemplo: O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira ou o Alexandre Pato é jogador da Seleção

Valor lógico: F ou V = V

(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)

Último exemplo:

O Zagallo é o técnico da Seleção Brasileira ou o Rogério Ceni é jogador da Seleção Nesse caso, temos duas proposições falsas. Agora sim, a proposição composta terá valor lógico falso (único caso).

Valor lógico: F ou F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Assim, em resumo, o conectivo OU se comporta da seguinte forma:

CONECTIVO OU

V ou V = V V ou F = V F ou V = V F ou F = F

1.4 Conectivo Se...Então Nome: Condicional Símbolo: → O que significa: A primeira proposição exprime uma condição para a segunda. Se a primeira frase for Verdadeira, então a segunda também deverá ser. Se a primeira frase for Falsa, então a condição não se cumpriu, ou seja, tanto faz se a segunda frase for Verdadeira ou Falsa, porque a frase toda será Verdadeira.



Por exemplo: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção. Valor lógico: Se V então V = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Mais um exemplo: Se o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira então o Rogério Ceni é jogador da Seleção. Valor lógico: Se F então F = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) E Se o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção. Valor lógico: Se F então V = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Reparem que, se a primeira proposição for falsa, a sentença será sempre verdadeira. Afinal, se o Muricy for o técnico, então o Rogério Ceni pode ser jogador e o Neymar também. Gravem isso: se a primeia proposição do Se...então é falsa, a sentença é como um todo é verdadeira.

Último exemplo: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Rogério Ceni é jogador da Seleção. Valor lógico: Se V então F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Esse é o caso mais importante, e é dele que vocês vão lembrar toda vez que fizerem uma questão sobre o assunto. A sentença composta Se...então só é falsa se a primeira proposição for verdadeira e a segunda é falsa.



Ou seja, para uma sentença composta, cuja primeira proposição é verdadeira, ser verdadeira, a segunda proposição deve NECESSARIAMENTE ser verdadeira também. Da mesma forma, se a segunda proposição for falsa, a primeira proposição deverá ser falsa também.

Resumindo, a situação Se V então F é PROIBIDA. Assim, em resumo, a estrutura Se...então se comporta da seguinte forma:

ESTRUTURA SE...ENTÃO

Se V então V = V Se V então F = F Se F então V = V Se F então F = V

1.5 Conectivo Se e somente se Nome: bicondicional Símbolo: ↔ O que significa: A primeira proposição simples exprime uma condição para a segunda, e a segunda também exprime uma condição para a primeira. A frase só estará correta se ambas as proposições forem Verdadeiras ou forem Falsas (uma só não vale). Por exemplo: O Neymar é jogador da Seleção se e somente se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: V se e somente se V = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Mais um exemplo: O Neymar é jogador da Seleção se e somente se o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: V se e somente se F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Terceiro exemplo: O Rogério Ceni é jogador da Seleção se e somente se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira



Valor lógico: F se e somente se V = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Último exemplo: O Rogério Ceni é jogador da Seleção se e somente se o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: F se e somente se F = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Assim, em resumo, o conectivo Se e somente se se comporta da seguinte forma:

CONECTIVO SE E SOMENTE SE

V se e somente se V = V V se e somente se F = F F se e somente se V = F F se e somente se F = V

1.6 Conectivo Ou...Ou Nome: disjunção exclusiva Símbolo: v O que significa: Ou um, ou outro. A frase só estará correta se uma das proposições for Verdadeira e a outra for Falsa (as duas não vale). É o contrário da estrutura Se e somente se, que vimos acima. Por exemplo: Ou o Neymar é jogador da Seleção ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira. Valor lógico: Ou V ou V = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Mais um exemplo: Ou O Neymar é jogador da Seleção ou o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira. Valor lógico: Ou V ou F = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Terceiro exemplo: Ou o Rogério Ceni é jogador da Seleção Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: Ou F ou V = V



(ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Último exemplo: Ou O Rogério Ceni é jogador da Seleção Ou o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: Ou F Ou F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Assim, em resumo, o conectivo Ou...Ou se se comporta da seguinte forma:

CONECTIVO OU...OU

Ou V ou V = F Ou V ou F = V Ou F ou V = V Ou F Ou F = F

1.7 Símbolos dos Conectivos Como vimos, cada conectivo possui um símbolo. Muitas questões usam os símbolos, ao invés de escreverem por extenso os conectivos. As proposições também, são normalmente representadas por letras minúsculas. As mais usadas são p e q. Por exemplo: p: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira q: então o Neymar é jogador da Seleção Vou agrupar os conectivos e seus símbolos na tabela abaixo, para que fique bem fixado para vocês:

SÍMBOLOS DOS CONECTIVOS

CONECTIVO SÍMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO

E ^ p ^ q

p e q

O Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira e o Neymar é jogador da Seleção

ou v p v q

p ou q




Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção

ou... ou V p v q

Ou p ou q

Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção

Se...então → p → q

Se p então q

Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o

Neymar é jogador da Seleção

se e somente se

↔ p ↔ q

p se e somente se q

O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e

somente se o Neymar é jogador da Seleção

Sugiro que, ao resolverem uma questão, vocês substituam as frases pelos símbolos, para não ter que ficar escrevendo o tempo todo (além de ajudar a memorizar os símbolos para a prova). 1.8 Apelidos dos Conectivos Às vezes, as questões de concursos criam outros nomes para as estruturas que vimos (os conectivos). Por exemplo, ao invés de usar Se A, então B, ela usa Quando A, B. É a mesma coisa, basta trocar pelo Se...então que já conhecemos. Sintetizei na tabela abaixo os apelidos que já vi serem utilizados em provas. Primeiramente, vamos ver os apelidos do Se...então.

APELIDOS DA ESTRUTURA SE...ENTÃO EXEMPLO DE PROPOSIÇÃO

EQUIVALENTE COM APELIDO

APELIDO UTILIZADO



Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção


Brasileira, o Neymar é jogador da Seleção

Se... (sem o “então”)



O Neymar é jogador da

Seleção, se o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira

...se (invertido e sem o “então”)



Quando o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira, o Neymar é jogador da Seleção

Quando...



O Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira implica o Neymar ir à

Copa

...implica...



O Mano Menezes ser o técnico da Seleção

Brasileira é condição

suficiente para o Neymar ir à

Copa

...condição suficiente...





O Neymar ir à Copa é

condição necessária para o Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira.

...condição necessária...


Brasileira se e somente se o Neymar é jogador da

Seleção

O Neymar ir à Copa é

condição necessária e suficiente para o Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira.

...condição necessária e suficiente...



Somente o Neymar é jogador da Seleção se

Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira

...somente... se... (Somente no início da

frase)



O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

somente se o Neymar é jogador da Seleção

...somente se... (não tem o “se”

antes”)





Toda vez que o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira o Neymar é jogador da Seleção

Sempre que o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira o Neymar é jogador da Seleção

Sempre/Toda/Toda vez que...

Pintei a linha que fala do “Se” invertido e do “Condição Necessária” para vocês verem que esses são os únicos casos em que é necessário inverter a proposição composta. Nos outros, é só trocar o apelido pelo Se...então, sem inverter. Da tabela acima, o caso mais cobrado em concurso é, com certeza, o caso da Condição Suficiente e da Condição Necessária. Para facilitar a memorização disso, criei um macete, que uso desde os tempos de faculdade. É o Macete do Sol e Nuvem. Não riam, porque na hora da prova tenho certeza que vocês vão acertar a questão por causa dele:

Condição

Suficiente Dia de

Sol

Basta substituir

pelo Se...então

Condição

Necessária Dia de

Nuvem

Deve-se inverter as proposições primeiro, para depois substituir

pelo Se...então

MACETE DO SOL E NUVEM



Esse macete serve para lembrar que, se a frase possui Sol (condição suficiente) basta substituir diretamente por Se...então. No entanto, se for dia de Nuvem (condição necessária), não é tão simples, deve-se inverter as proposições, para depois substituir pelo Se...então. A estrutura Se e somente se também possui um apelido:

APELIDO DA ESTRUTURA SE E SOMENTE SE EXEMPLO DE PROPOSIÇÃO

EQUIVALENTE COM APELIDO

APELIDO UTILIZADO

O Neymar é jogador da Seleção se e somente se

o Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira

O Mano Menezes ser o técnico da Seleção

Brasileira é condição

necessária e suficiente para o Neymar ir à

Copa

Condição necessária e suficiente

Agora falaremos de um assunto importante, os equivalentes lógicos. 1.9 Proposições Equivalentes Duas proposições são equivalentes quando querem dizer a mesma coisa. Para ficar mais claro, vamos resolver utilizando o conceito das tabelas-verdade. Tabela-verdade é um nome difícil para aqueles esquemas que vimos em cada Estrutura, do tipo:

ESTRUTURA SE...ENTÃO


Essa é a tabela-verdade da Estrutura Se...então. Ela lista todas as possibilidades para as proposições com a estrutura. Sabendo isso, devemos deixar claro que Equivalentes Lógicos são proposições em que as tabelas-verdade são iguais. Vamos ver com mais detalhes nas questões. Resumidamente, vou sintetizar as proposições equivalentes na tabela abaixo:



EQUIVALENTES LÓGICOS

PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO EQUIVALENTE

EXEMPLO RESULTADO

CONDICIONAL

Se...então

p → q

~q → ~p

(É a condicional com os termos invertidos e negados) Se o Mano

Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da

Seleção

Se o Neymar não é jogador da Seleção então o Mano

Menezes não é o técnico da Seleção

Brasileira.

~p v q q v ~p

(É a disjunção com o primeiro

termo da condicional negado)

O Mano Menezes não é o técnico da

Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador

da Seleção

O Neymar é jogador da Seleção ou o

Mano Menezes não é o técnico da Seleção

Brasileira.

BICONDICIONAL

Se somente se

p ↔ q

(p → q) ^ (q ← p)

(É a condicional de ida E a

condicional de volta)

O Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira se e somente se

o Neymar é jogador da Seleção

Se o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira então o Neymar é

jogador da Seleção E Se o Neymar é

jogador da Seleção então o Mano

Menezes é o técnico da Seleção Brasileira

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA

Ou...Ou...

p v q

p ↔ ~q ~p ↔ q

(É a

bicondicional com o um dos

termos negados)

Ou o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção

O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar não é

jogador da Seleção O Mano Menezes não

é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o

Neymar é jogador da Seleção

1.10 Negação de proposições



Negar uma proposição é inverter o seu sentido. Falando em termos de tabela-verdade, uma proposição é negação de outra quando suas tabelas-verdade forem opostas (o que é Verdadeiro em uma, é Falso em outra, e vice-versa). Sintetizei as negações na tabela abaixo. Veremos como funciona na prática durante os exercícios comentados.

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

NEGAÇÃO EXEMPLO COMO FAZER

(Passo-a-passo) RESULTADO

Negação de conjunção

=

~(p ^ q)

Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção

Brasileira e o Neymar é jogador

da Seleção)

OBS: existem duas maneiras de se negar uma conjunção. Na

primeira, forma-se uma disjunção (p

OU q). Na segunda, forma-se uma condicional (se p, então q).

Para se formar uma disjunção:

1º: Negar a primeira

(p) 2º: Negar a segunda

(q) 3: Trocar o e por ou

O Mano Menezes não

é o técnico da Seleção Brasileira ou

o Neymar não é jogador da Seleção

=

~p v ~q

Para se formar uma condicional:

1º: Manter a primeira

(p) 2º: Negar a segunda

(q) 3: Trocar o e por →

Se o Mano Menezes

é o técnico da Seleção Brasileira

então o Neymar não é jogador da Seleção

=

p → ~q

Negação de disjunção

=

~(p v q)

Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o

Neymar é jogador da Seleção)

1º: Negar a primeira (p)

2º: Negar a segunda (q)

3: Trocar o ou por e

O Mano Menezes não é o técnico da

Seleção Brasileira ou o Neymar não é

jogador da Seleção =

~p ^ ~q Negação de disjunção exclusiva

Negação de (Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção

1º: Substituir o v por ↔

O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e



=

~(p v q)

Brasileira ou o Neymar é jogador

da Seleção)

OBS: vocês se lembram que já vimos isso,

quando falamos sobre o conectivo Se e somente

se?

somente se o Neymar é jogador da

Seleção =

p ↔ q

Negação de condicional

=

~(p → q)

Negação de (Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador

da Seleção)

1º: Manter a primeira (p)

2º: Negar a segunda (q)

3: Trocar o → por e


Brasileira e o Neymar não é

jogador da Seleção =

p ^ ~q

Negação de bicondicion

al =

~(p ↔ q)

Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o

Neymar é jogador da Seleção)

1º: Substituir o ↔ por v

OBS: reparem que estamos fazendo o

inverso do que fizemos acima (na negação da disjunção exclusiva)

Ou o Mano Menezes é o técnico da

Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador

da Seleção =

p v q Muitas vezes, as questões propõem negações de expressões matemáticas. Veja abaixo como elas ocorrem: Expressão Negação Exemplo

= ≠ ~(x = 7) = x ≠ 7

≠ = ~(x ≠ 7) = x = 7

≥ < ~(x ≥ 7) = x < 7

> ≤ ~(x > 7) = x ≤ 7

≤ > ~(x ≤ 7) = x < 7

< ≥ ~(x < 7) = x ≥ 7

Veremos mais sobre isso nos exercícios. 1.11 Tautologia e Contradição A Tautologia e a Contradição são nomes dados quando: Tautologia: a tabela-verdade da proposição possui todas as linhas iguais a V.



Por exemplo, vejam a proposição [¬B]v{[¬B]�A} (OBS: ¬ (cantoneira) significa o mesmo que o ~, ou seja, negação):

A B ~B {[¬B]��A} [¬B]v{[¬B]��A}

V V F V V V F V V V F V F V V F F V F V

Contradição: a tabela-verdade da proposição possui todas as linhas iguais a F. Por exemplo, vejam a proposição ~[p v ~(p ^ q)]:

p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) ~[p v ~(p ^ q)] V V V F V F V F F V V F F V F V V F F F F V V F



2. Questões comentadas. Questão 1 – ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009 Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que: a) Marta ficou em casa. b) Martinho foi ao shopping. c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. d) Márcio e Martinho foram ao shopping. e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping. Antes de qualquer coisa, vou deixar claro um conhecimento que usaremos durante toda a aula. Uma das afirmações do enunciado é a seguinte: Essa afirmação (como todas as outras semelhantes) pode ser dividida da seguinte forma: PROPOSIÇÃO SIMPLES 1 PROPOSIÇÃO SIMPLES 2

PROPOSIÇÃO COMPOSTA OU SENTENÇA COMPOSTA Quando eu disser “proposição 1”, “primeira proposição”, estarei me referindo à proposição inicial começada em “Se”. Da mesma forma, se eu disser “proposição 2”, “segunda proposição”, estarei me referindo à proposição final, que pode ou não começar com “então” (no caso desta questão, não começa). A sentença ou proposição composta é a frase como um todo, ligada por uma Estrutura Lógica, o conectivo Se...então. Se você souber muito bem como funciona a estrutura Se...então, tem grandes chances de acertar algumas questões de qualquer prova de Lógica.

Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa.

Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa.



A chave para resolver esse tipo de questão é procurar uma afirmação com valor lógico conhecido. Uma afirmação sem conectivos, que traga alguma informação do que é considerado Verdadeiro pela questão. Essa afirmação, às vezes, é fornecida sutilmente, sem que percebamos. Reparem na seguinte afirmação do enunciado: “Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que”... É dada uma informação absoluta: Mário foi ao shopping e pronto. Não há nenhuma condição. Dessa forma, já sabemos, pelo enunciado, que Mário foi ao shopping. Agora, utilizamos os conhecimentos da estrutura Se...então para descobrir as verdades sobre as outras afirmações. Fazemos isso colocando um “V” ou um “F” em cima das sentenças. Mário foi ao shopping, então sabemos que o valor lógico dessa afirmação é verdadeiro. Reparem que a terceira sentença possuiu a informação de que Mário ficou em casa, estando, portanto, falsa.

Já sabemos que proposições com conectivo Se...então..., quando a segunda proposição é falsa, a primeira é falsa também. Completando:

• Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa.

• Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping.

• Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa.

• Mário foi ao shopping.





V

F

F

V

F



Podemos completar também a segunda assertiva, que diz (falsamente, como sabemos) que Martinho foi ao shopping. E o mesmo acontece: segunda

proposição falsa com conectivo Se...então..., significa primeira proposição falsa, logo, Marta não ficou em casa. Podemos completar também a primeira frase, e o esquema se repete. Ficamos com todas essas assertivas falsas.

Agora podemos avaliar as alternativas?

a) Marta ficou em casa. (Falso, Marta não ficou em casa)

b) Martinho foi ao shopping. (Falso, Martinho não foi ao shopping)

c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. (Verdadeiro)

d) Márcio e Martinho foram ao shopping. (Falso, ambos ficaram em casa)

e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping. (Falso, ambos ficaram em casa)

Resposta: Letra C. Questão 2 – ESAF/ANA/Comum a todos os cargos/2009 Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio nao transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que: a) choveu em A e choveu em B. b) nao choveu em C. c) choveu em A ou choveu em B. d) choveu em C. e) choveu em A. Vejam que a questão é igual à anterior.





F

V

F

F

F

F F



Temos as seguintes afirmações:

1) Se chove em A, o rio transborda. 2) Se chove em B, o rio transborda e,

3) se chove em C, o rio não transborda.

4) Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:

Já sabemos que a frase que irá nos ajudar a resolver a questão é a quarta frase, que afirma, categoricamente, que o rio transbordou. Então, sobre as proposições simples que afirmam que o rio transbordou, marcamos um V. E sobre as proposições simples que afirmam que o rio não transbordou, marcamos um F: V

1) Se chove em A, o rio transborda. i. V

2) Se chove em B, o rio transborda e, F

3) se chove em C, o rio nao transborda. V

4) Se o rio transbordou, pode-se afirmar que: Já sabemos que o caso proibido é a proposição Se V então F. Reparem, na 3a proposição, que “se chove em C” for Verdadeiro, temos o caso proibido Se V então F. Então, “se chove em C” tem que ser Falso: V

1) Se chove em A, o rio transborda. V

2) Se chove em B, o rio transborda e, F F

3) se chove em C, o rio não transborda. V

4) Se o rio transbordou, pode-se afirmar que: Assim, as duas únicas proposições que não sabemos se são Verdadeiras ou Falsas são as proposições “Chove em A” e “Chove em B”.



Se a proposição “Chove em A” for Verdadeira, teremos Se V então V, que é Verdadeira. Já se “Chove em A” for Falsa, teremos Se F então V, que também é Verdadeira. O mesmo ocorre com “Chove em B”. Se a proposição “Chove em B” for Verdadeira, teremos Se V então V, que é Verdadeira. Já se “Chove em B” for Falsa, teremos Se F então V, que também é Verdadeira. Ou seja, não temos como afirmar se choveu em A, em B ou nas duas. A única coisa que podemos afirmar com certeza é que não choveu em C. Analisando as alternativas de resposta: a) choveu em A e choveu em B. Não podemos afirmar que choveu em A e em B, ao mesmo tempo. Falso. b) nao choveu em C. Realmente, não choveu em C. Verdadeiro. c) choveu em A ou choveu em B. Não podemos afirmar que choveu em A ou em B. Pode não ter chovido em nenhuma das duas e o rio ter transbordado mesmo assim. Não sabemos. A única coisa que sabemos que é Falsa é que choveu em C. d) choveu em C. Falso. Não choveu em C. e) choveu em A. Falso. Não sabemos se choveu em A ou não. Resposta: Letra B. Questão 3 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. Se Tereza não foi ao cinema, pode-se afirmar que: a) Ana não foi ao cinema. b) Paulo não foi ao cinema. c) Pedro não foi ao cinema. d) Maria não foi ao cinema. e) Joana não foi ao cinema. Mais uma questão como as anteriores. Essa questão foi anulada, mas farei mesmo assim para vocês verem. Temos as seguintes afirmações:

1) Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema.



2) Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema.

3) Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema.

4) Se Teresa não foi ao cinema, pode-se afirmar que:

Pela última afirmação, a questão afirma, categoricamente, que Teresa não foi ao cinema. Na segunda e na terceira afirmações, é dito que Teresa vai ao cinema (ou com Joana, ou com Ana). Já sabemos que a proposição E só é Verdadeira se ambas as proposições compostas que a formam forem Verdadeiras. Assim, as proposições Teresa e Joana vão ao cinema e Teresa e Ana vão ao cinema são Falsas, porque sabemos que Teresa não foi ao cinema. Assim, completando:

1) Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. F

2) Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. F

3) Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. V

4) Se Teresa não foi ao cinema, pode-se afirmar que: Percebam, agora, o caso proibido na segunda e na terceira afirmações. Se “Paulo vai ao cinema” for Verdadeiro, teremos Se V então F, caso proibido. Ou seja, “Paulo vai ao cinema” deve ser, obrigatoriamente, Falso. O mesmo ocorre com “Pedro vai ao cinema”. Se “Pedro vai ao cinema” for Verdadeiro, teremos Se V então F, caso proibido. Ou seja, “Pedro vai ao cinema” deve ser, obrigatoriamente, Falso. Assim:

1) Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. F F

2) Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. F F


4) Se Teresa não foi ao cinema, pode-se afirmar que:



Já sabemos que nem Paulo nem Pedro vão ao cinema. Assim, a proposição “Pedro ou Paulo vão ao cinema”, da primeira afirmação, é Falsa. F




4) Se Teresa não foi ao cinema, pode-se afirmar que: E, novamente, temos o caso proibido, na primeira afirmação. “Maria vai ao cinema” deve ser Falso, porque, do contrário, teremos Se V então F: F F




4) Se Teresa não foi ao cinema, pode-se afirmar que: Assim, concluímos que ninguém foi ao cinema. Vejam as alternativas: a) Ana não foi ao cinema. b) Paulo não foi ao cinema. c) Pedro não foi ao cinema. d) Maria não foi ao cinema. e) Joana não foi ao cinema. Todas as alternativas estão corretas. Por isso, a questão foi anulada. Resposta: anulada. Questão 4 – ESAF/RFB/ATRFB/2009 A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a: a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada. Agora temos uma questão de equivalentes lógicos.



Na hora da prova, em uma questão de equivalentes lógicos, você pode resolver de duas maneiras: Maneira 1: fazer a tabela-verdade da proposição do enunciado, e depois fazer a tabela-verdade de cada uma das alternativas. A alternativa equivalente será a que tiver a tabela-verdade igual. Maneira 2: “decorar” os equivalentes lógicos previamente (especialmente os do Se então e do Ou, que mais caem. No meu caso, quando eu fiz a prova da Receita, levei um formulário para a prova, com todas os equivalentes. Vi esse formulário antes de entrar na sala da prova. Na hora da prova, os equivalentes estavam fresquinhos na cabeça, e eu não fiz tabela-verdade nenhuma. Mesmo porque, é inviável fazer tabela-verdade na hora da prova, leva um tempão... Portanto, temos: João não chegou ou Maria está atrasada. Colocando em letras e símbolos, temos: p = João não chegou; q = Maria está atrasada. A frase fica p v q. No Memorex da aula coloquei a tabela abaixo. Ela sintetiza os equivalentes e as negações, que vimos. Reparem que o equivalente do Ou é o ~Se Então:

ESTRUTURAS LÓGICAS CONECTIVO TABELA-VERDADE SÍMBOLOGIA NEGAÇÃO EQUIVALENTE

E

conjunção


p ^ q ~p v ~q p → ~q

Ou

Disjunção


p v q ~p ^ ~q ~p → q

ou... ou

Disjunção Exclusiva

ou V ou V = F ou V ou F = V ou F ou V = V ou F ou F = F

p v q p ↔ q p ↔ ~q

~p ↔ q

Se...então

Condicional


p → q p ^ ~q ~q → ~p

~p v q

se e V se e somente se p ↔ q p v q (p → q) ^



somente se

Bicondicional

V = V V se e somente se

F = F F se e somente se

V = F F se e somente se

F = V

(q → p)

Ou seja, temos:

Proposição Equivalente p v q ~p → q

Assim, se temos: p = João não chegou; q = Maria está atrasada. Então: ~p = João chegou; q = Maria está atrasada. Assim, o equivalente fica ~p � q = Se João chegou, Maria está atrasada. Esta proposição é exatamente a letra D. Resposta: Letra D. Questão 5 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. Questão semelhante à anterior. Temos a proposição: “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par”.



Ou seja, colocando em termos de letras e símbolos: p = um número inteiro é par; q = seu quadrado for par; A proposição fica: p ↔ q.

Pela tabela da questão anterior, vemos que o equivalente da bicondicional é:

Proposição Equivalente p ↔ q (p → q) ^ (q → p)

Então, o equivalente da proposição do enunciado é: (p → q) = Se um número inteiro é par, então o seu quadrado é par

(q → p) = Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro é par. Com a proposição E, fica: Se um número inteiro é par, então o seu quadrado deve ser par, E se o quadrado de um número inteiro for par, então o número inteiro é par. Vejamos as alternativas: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. Vejam que não há nenhuma frase igual a que encontramos. Então, vamos ver se não há nenhuma frase equivalente a (p → q) ou (q → p). Vimos que o equivalente do Se então é:

Proposição Equivalente p → q ~q → ~p



~p v q

As alternativas não usam o OU, apenas o Se então. Então, vamos usar o equivalente: p � q = ~q � ~p. A nossa frase (que encontramos) é: Se um número inteiro é par, então o seu quadrado deve ser par, E se o quadrado de um número inteiro for par, então o número inteiro é par. Vamos pegar as alternativas mais parecidas com essa que encontramos. Vejam que são a letra A e a letra D: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. A primeira parte é igual a que temos, a segunda está diferente. Vamos fazer o equivalente da segunda parte da nossa frase, para ver com qual alternativa fica igual. Temos: (p → q) = Se um número inteiro é par, então o seu quadrado é par (Ok, é igual as das alternativas A e D). (q → p) = Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro é par (é diferentes das alternativas A e D). O equivalente do (q → p) é ~p → ~q, ou seja: Se o número inteiro não é par, então o quadrado do número inteiro não é par. Percebam que essa é a segunda parte que está na alternativa A. Ou seja, a alternativa A é a correta, equivalente à frase do enunciado. Portanto, temos: “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” = se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. Resposta: Letra A.



Questão 6 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. Nessa questão, falamos sobre a negação de proposições. Mais especificamente, sobre a negação do OU e do E. A negação mais importante, de todas as que vimos, e que mais cai, é:

Proposição Negação p OU q ~p E ~q

Da mesma forma:

Proposição Negação p E q ~p OU ~q

A questão fornece a seguinte proposição: Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José. Colocando em letras em símbolos, temos: p = Maria comprou uma blusa nova q = Foi ao cinema com José A proposição é p E q. A negação é ~p OU ~q: Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. Essa é exatamente a letra A. Resposta: Letra A. Questão 7 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.



b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Como vimos na aula, há vários tipos de negações. A mais comum é a negação do E (que vira OU) e do OU (que vira E), que vimos na questão anterior: ~(p E q) = ~p OU ~q ~(p OU q) = ~p E ~q Essa questão cobra simplesmente isso. Temos: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra. p = Milão é a capital da Itália q = Paris é a capital da Inglaterra Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra = p OU q. A negação do p OU q é ~p E ~q, que fica: ~p = Milão não é a capital da Itália ~q = Paris não é a capital da Inglaterra ~p E ~q = Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Resposta: Letra A. Questão 8 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Mais uma questão de equivalente, do concurso da Receita de 2009. Nessa questão, só se usam proposições Se Então. Sabemos que:

Proposição Equivalente

p → q ~q → ~p



~p v q Nessa questão vamos usar o equivalente p � q = ~q � ~p. Temos: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado” Colocando em termos de símbolos: p = chove ou neva q = o chão fica molhado Temos: p � q, cujo equivalente é ~q � ~p, que é: ~q = o chão não ficou molhado ~p = negação de “chove ou neva”. Vimos na questão anterior que a negação do OU é o não E. Ou seja:

Proposição Negação p OU q ~p E ~q

Assim: ~p = negação de “chove ou neva” = não choveu E não nevou. Assim, temos que: ~q � ~p = Se o chão não ficou molhado, então não choveu e não nevou. Vejamos as alternativas: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. A questão considerou que “não ficou molhado” = está seco. Então, nossa frase fica: Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Essa frase é igual à letra E.



Resposta: Letra E. Questão 9 – ESAF/MPOG/APO/2010 Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se e somente G. a) F implica G e ~G implica F. b) F implica G e ~F implica ~G. c) Se F então G e se ~F então G. d) F implica G e ~G implica ~F. e) F se e somente se ~G. Questão sobre os apelidos dos conectivos. Vimos que o “implica” é um apelido do Se...Então. Assim, a frase “A implica B” é equivalente à frase “Se A então B”. O enunciado pede o equivalente de “F se e somente se G”. Já vimos que o equivalente do se e somente se é:


Então: F se e somente se G = Se F então G E se G então F. Não existe alternativa assim. Algumas alternativas usam o “implica”. Vamos substituir o Se então pelo implica (seu apelido): F se e somente se G = Se F então G E se G então F = F implica G E G implica F. Também não existe alternativa assim. Mas vejam que, nas alternativas, os segundos termos estão negados (com o “~”). Sabemos que o equivalente do “Se A então B” (p � q) é o “Se não B, então não A” (~q � ~p). Ou seja, trocando o Se então pelo apelido, o equivalente de “A implica B” (p � q) é o “não B implica não A” (~q � ~p). Trocando o segundo termo da proposição que encontramos pelo seu equivalente:



F se e somente se G = Se F então G E se G então F = F implica G E G implica F = F implica G E não F implica não G = F implica G E ~F implica ~G. Essa é exatamente a letra B. Resposta: Letra B. Questão 10 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. Mais uma questão com apelidos dos conectivos. Vimos na aula que: Se A então B = A é condição suficiente para B = B é condição necessária para A. Lembrem-se do Macete do Sol e Nuvem (Sol = suficiente = dia de sol = diretamente. Nuvem = necessária = dia nublado = tem que inverter A e B). Assim, temos: “se o dia está bonito, então não chove”: A = dia está bonito B = não chove Se A então B = A é condição suficiente para B = O dia estar bonito é condição suficiente para não chover. Igualmente: Se A então B = B é condição necessária para A = Não chover é condição necessária para o dia estar bonito. A frase acima é exatamente a letra A. Resposta: Letra A. Questão 11 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009



Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Essa questão é de uma linha que a ESAF vem adotando. Em que ela pede que realmente utilizemos conhecimentos “prévios” para resolver. Ou seja, temos de manjar de Geografia: saber que Roma é a capital da Itália, Londres é a Capital da Inglaterra, Paris é a capital da França... A ESAF fez isso também com outros tipos de conhecimentos, que são pedidos no edital, por exemplo: Álgebra, Geometria, etc (veremos questões a seguir). Assim, vamos analisar cada alternativa: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. Roma é a Capital da Itália, mas Londres não é a capital da França. Assim, temos Se V então F, que é o caso proibido, cujo valor lógico é sempre Falso. Alternativa falsa. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. Londres é a capital da Inglaterra (V). Mas “Paris não é a capital da França” é F, porque Paris é a capital da França. Ou seja, temos Se V então F. Valor lógico Falso. Alternativa Falsa. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. Temos uma proposição da forma A E B OU C. Guardem isso: sempre juntamos o A E B, primeiro. Podemos até substituir: A E B = D. Assim, temos D OU C.



Vamos ver se D = A E B é Verdadeiro ou Falso: A = Roma é a capital da Itália = V B = Londres é a capital da França = F Assim, A E B = V E F = F (o E, para ser V, exige que ambas sejam V). C = Paris é a capital da França = V. Assim, temos D OU C = F OU V = V (para o OU, basta uma ser V). Assim, o valor lógico da proposição é V. Alternativa correta. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. Novamente, temos A E B OU C: A = Roma é a capital da Itália = V B = Londres é a capital da França = F A E B = V E F = F. C = Paris é a capital da Inglaterra = F. Assim, temos F OU F = F. Alternativa falsa. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Roma é a capital da Itália (V), mas “Londres não é a capital da Inglaterra” é Falso, porque Londres é a capital da Inglaterra. Temos, portanto, V E F, cujo valor lógico é F. Alternativa falsa. Resposta: Letra E. Questão 12 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9



b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 Mais uma questão em que utilizamos conhecimentos prévios. Passemos à análise das alternativas. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 3 = 4: Falso. 3 + 4 = 9: Falso. Ou seja, temos F E F = Falso. b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 3 = 3: Verdadeiro. 3 + 4 = 9: Falso. Temos o caso Se V então F, que é o caso proibido. Falso. c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 3 = 4: Falso. 3 + 4 = 9: Falso. Sabemos que Se F então F é Verdadeiro. Alternativa correta. d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 3 = 4: Falso. 3 + 4 = 9: Falso. Temos F OU F. Falso. e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 3 = 3: Verdadeiro. 3 + 4 = 9: Falso. No Se e somente se, a proposição só é Verdadeira se ambas forem Verdadeiras ou se ambas forem Falsas. Aqui, temos uma Verdadeira e uma Falsa. Falso.



Resposta: Letra C. Questão 13 – ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009 X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim: a) Se X ≥ 4, então Y < 7. b) Se Y > 7, então X ≥ 4. c) Se Y < 7, então X ≥ 4. d) Se Y ≤ 7, então X > 4. e) Se X < 4, então Y ≥ 7. Questão sobre o equivalente do Se então. Vimos que p � q = ~q � ~p. Assim: Se X ≤ 4, então Y > 7: p = X ≤ 4 q = Y > 7 p � q. A negação é: ~p = X > 4 ~q = Y ≤ 7 A proposição equivalente é: ~q � ~p = Se Y ≤ 7, então X > 4. Resposta: Letra D. Questão 14– ESAF/MPOG/Analista de Planejamento e Orçamento/2010 Se f(x) = x, então g(x) = x. Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções, g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x. Se h(x) = x, então f(x) = x. Logo, a) f(x) = x, e g(x) = x, e h(x) = x b) f(x) ≠ x, e g(x) ≠ x, e h(x) ≠ x c) f(x) = x, e g(x) ≠x, e h(x) ≠ x d) f(x) ≠ x, e g(x) = x, e h(x) = x



e) f(x) = x, e g(x) = x, e h(x) ≠ x Mais uma questão que parece Álgebra, só que é Lógica. Temos as seguintes proposições: 1) Se f(x) = x, então g(x) = x. 2) Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções,

g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. 3) Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x. 4) Se h(x) = x, então f(x) = x. Nesta questão, ao contrário de algumas que vimos anteriormente, não há uma afirmação “dada” como Verdadeira ou Falsa. Neste caso, o melhor é “chutar” um valor para algumas das proposições simples. Das 5 alternativas, 3 dizem que f(x) = x é Verdadeiro. Então, vamos chutar isso mesmo: V 1) Se f(x) = x, então g(x) = x. 2) Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções,

g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. 3) Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x.

V 4) Se h(x) = x, então f(x) = x. Se f(x) = x é Verdadeiro, então f(x) ≠ x é Falso: V 1) Se f(x) = x, então g(x) = x.

F 2) Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções,

g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. 3) Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x.

V 4) Se h(x) = x, então f(x) = x. Vejam. Na proposição 1, se g(x) = x for Falso, teremos o caso proibido Se V então F. Por isso, g(x) = x deve ser Verdadeiro, e g(x) ≠ x deve ser Falso:



V V 1) Se f(x) = x, então g(x) = x.

F 2) Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções, g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. F 3) Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x.

V 4) Se h(x) = x, então f(x) = x. Na terceira proposição, se h(x) ≠ x for Verdadeiro, teremos o caso proibido, Se V então F. Por isso, h(x) ≠ x deve ser Falso, e h(x) = x deve ser Verdadeiro: V V 1) Se f(x) = x, então g(x) = x.

F 2) Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções, g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. F F 3) Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x. V V 4) Se h(x) = x, então f(x) = x. Completando a proposição 2 com as informações: V V 1) Se f(x) = x, então g(x) = x.

F V V 2) Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções,

V g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. F F 3) Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x. V V 4) Se h(x) = x, então f(x) = x. Percebam que não chegamos a nenhuma incoerência (por exemplo, achar que h(x) ≠ x é F e h(x) ≠ x é V, ao mesmo tempo). Por isso, nossa suposição foi correta, e temos como Verdadeiro: f(x) = x g(x) = x h(x) = x



Resposta: Letra A. Questão 15 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Se 3

e=α , então 3e=β . Se 3

e=α , então β ou δ são iguais a 3 e . Se 3e=δ ,

então 3e=β . Se 3

e=δ , então 3e=α . Considerando que as afirmações são

verdadeiras, segue-se, portanto, que: a) 3

e=== δβα .

b) 3e==βα , mas 3

e=δ .

c) 3e=α , mas 3

e==δβ .

d) 3e=== δβα .

e) 3e==δα , mas 3

e=β . Mais uma questão que parece de álgebra, mas é de lógica. Temos as seguintes proposições: 1) Se 3

e=α , então 3e=β .

2) Se 3

e=α , então β ou δ são iguais a 3e .

3) Se 3

e=δ , então 3e=β .

4) Se 3

e=δ , então 3e=α .

Mais uma vez, devemos chutar uma proposição como Verdadeira. Percebam que 3 das 5 alternativas de resposta dizem que 3

e=α.

Por isso, vamos chutar que 3e=α é Verdadeiro:

V 1) Se 3


2) Se 3


3) Se 3

e=δ , então 3e=β . V

4) Se 3e=δ , então 3

e=α . Como 3

e=α é Verdadeiro, 3e=α é Falso:

V



1) Se 3e=α , então 3

e=β . F

2) Se 3e=α , então β ou δ são iguais a

3e .

3) Se 3



e=α . Na proposição 1, se 3

e=β for Falso teremos o caso proibido, Se V então F. Por

isso, 3e=β deve ser Verdadeiro, e 3

e=β deve ser Falso: V V 1) Se 3


F V 2) Se 3


F 3) Se 3



e=α . Mais uma vez, na proposição 3, se 3

e=δ for Verdadeiro Teremos o caso proibido. Então, 3

e=δ deve ser Falso. V V 5) Se 3


F V 6) Se 3


F F 7) Se 3



e=α . Não sabemos se 3

e=δ , só sabemos que 3e=δ é Falso (o fato de 3

e=δ ser

Falso não indica que 3e=δ é Verdadeiro).

Analisando as alternativas: a) 3

e=== δβα . (Falso, pois 3e=α e 3

e=β ).

b) 3e==βα , mas 3

e=δ . (Falso, pois 3e=α e 3

e=β ).

c) 3e=α , mas 3

e==δβ . (Falso, pois 3e=β ).



d) 3e=== δβα . (Não sabemos se 3

e=δ , mas não há nada de Falso na alternativa). e) 3

e==δα , mas 3e=β . (Falso, pois 3

e=β ). Assim, a resposta deve ser a letra D (é a única que não é Falsa). Resposta: Letra D. Questão 16 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”. Uma conclusão falsa desta proposição é: a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros. Mais uma questão que é, supostamente, de Geometria, mas no fundo é de Lógica. A questão fornece uma proposição e pede a conclusão falsa. Ou seja, ela quer saber qual das frases não é equivalente à frase do enunciado. Vamos à análise das alternativas: a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. A frase do enunciado é “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”. Ou seja: p = Um triângulo é equilátero q = Três ângulos são iguais “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais” = p ↔ q. Vimos que o apelido do “Se e somente se” é o condição necessária e suficiente. Assim:



A SE E SOMENTE SE B = A É CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA B. Para o “Se e Somente Se” não importa a ordem (ele é igual ao OU). A se e somente se B é o mesmo que B se e somente se A (assim como A OU B é o mesmo que B OU A). Portanto, não importa como a frase foi arranjada, ela diz isso: A é condição necessária e suficiente para B. E isso é o mesmo que A se e somente se B. Alternativa verdadeira, portanto não é resposta da questão (a questão pede a falsa). b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. Essa alternativa não envolve lógica, só geometria. Se a frase do enunciado é “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”, é possível concluir que os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. Alternativa verdadeira (não é resposta). c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. Não entendi essa alternativa, ela só repete a frase do enunciado. Alternativa correta (não é resposta). d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. Mais uma vez, só geometria. Se um dos ângulos é diferente, então o triângulo não é equilátero. Alternativa verdadeira (não é resposta). e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros. Mais uma vez, só geometria. Se um triângulo é equilátero, não significa que os três ângulos tem de ser diferentes, e sim que um deles deve ser diferente. 2 podem ser iguais e um diferente (é o triângulo isósceles). Alternativa falsa. Resposta: Letra E. Questão 17 – ESAF/MTE/AFT/2010



Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo: a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo. b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular. c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular. d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo. Questão com o jeito da anterior, mas mais capciosa. Vamos diretamente à análise das alternativas. a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo. A frase do enunciado é: Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Ou seja, o poliedro convexo é regular se e somente se for A OU B OU C... Não podemos concluir que se o poliedro convexo for regular, ele É um cubo. Pode ser um tetraedro OU um octaedro OU C OU D... Alternativa falsa. b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular. Igual à alternativa anterior. Se não for um cubo, pode ser um tetraedro OU B OU C... e ser regular mesmo assim. Alternativa falsa. c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular. A questão fala apenas em poliedro (sem dizer que é convexo). O poliedro pode ser regular e não ser um cubo, nem B, nem C nem D... É só ser algum outro tipo de poliedro regular (não necessariamente convexo). Alternativa falsa.



d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Igual à anterior. O poliedro pode não ser um tetraedro, B, C... e ainda não ser regular. Isso se for outro tipo de poliedro (não convexo). Alternativa falsa. e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo. Essa alternativa também suprime o “convexo”. Mas vejam só. O enunciado diz que um cubo é um poliedro convexo regular. Ou seja, o cubo é regular. Ou seja, se o poliedro não for regular, com certeza não será um cubo. Porque o cubo é regular. Por isso, a alternativa está certa. Questão para atentos. Resposta: letra E. Questão 18 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Fazenda/2010 Qual das proposições abaixo tem a mesma tabela verdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤≤≤ 4 ”, onde a e b são números reais? a) b ≤≤≤ 4 e |a| < 3. b) b ≤≤≤ 4 ou |a| ≥≥≥ 3. c) b > 4 e |a| < 3. d) b ≤≤≤ 4 ou |a| < 3. e) b > 4 ou |a| < 3. Essa questão parece ser de Álgebra, mas é de Lógica. Temos: “Se |a| < 3, então b ≤≤≤ 4 ” Vamos substituir: p = |a| < 3 q = b ≤ 4 Neste sentido, podemos assumir que (as alternativas fazem isso):



~p = |a| ≥ 3 ~q = b > 4 Então, a frase original do enunciado é: p � q. A questão pede a alternativa que possui a mesma tabela-verdade. Ou seja, pede a alternativa equivalente. Vimos que os equivalentes do Se Então são:

Proposição Equivalente

p → q ~q → ~p

~p v q

Como as alternativas só falam de OU ou E, ficamos com o equivalente ~p v q: Assim, p � q = ~p v q. A expressão fica: |a| ≥ 3 OU b ≤ 4 Essa é a letra B, invertida (já vimos que no OU não importa a ordem dos termos A e B). Resposta: Letra B. Questão 19 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Sendo x um número real, a proposição: x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à: a) se x = 1, então x2 = 1. b) se x > 1, então x2 > 1. c) se -1 < x < 1, então x2 < 1. d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1. e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1. Questão do mesmo tipo da anterior. Vamos substituir os termos por letras: x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1: p = x2 ≥ 1 q = x ≥ 1



s = x ≤ -1 x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 = p ↔ (q v s) Vimos que o equivalente do Se e Somente Se é:


Assim, temos: p ↔ (q v s) Podemos chamar q v s de t. Fica: p ↔ t = p � t E t � p: Ou seja: p � t E t � p = p � q v s E q v s � p. Substituindo pelos valores: x2 ≥ 1 � x ≥ 1 v x ≤ -1 E x ≥ 1 v x ≤ -1 � x2 ≥ 1

Que é: Se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1 E se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1. As frases que mais se parecem com essa são as letras D e E: d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1. e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1. Percebam que a segunda parte da nossa frase é igual a da letra D. Mas a primeira parte está exatamente invertida. Vamos fazer o equivalente da primeira parte da nossa frase, fazendo p � q = ~q � ~p: Se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1 = Se ~( x ≥ 1 ou x ≤ -1), então ~( x2 ≥ 1). ~( x ≥ 1 ou x ≤ -1) = negação do OU = ~A E ~B = ~(x ≥ 1) E ~(x ≤ -1) ~(x ≥ 1) é x < 1. ~(x ≤ -1) é x > -1.



~(x2 ≥ 1) é x2 < 1 Então: Se ~( x ≥ 1 ou x ≤ -1), então ~( x2 ≥ 1) = Se x < 1 E x > -1, então x2 < 1. Podemos substituir x < 1 E x > -1 por –1 < x < 1. Fica: Se –1 < x < 1, então x2 < 1. A proposição toda fica: Se –1 < x < 1, então x2 < 1 E se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1. Exatamente o que diz a letra D. Resposta: Letra D. Questão 20 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Considere x um número real. A negação da proposição 2/3 ≤≤≤ x ≤≤≤ 5/3 ou –1< x < 1 é: a) –1 < x ≤≤≤ 2/3. b) –1 ≤≤≤ x < 2/3. c) x ≤≤≤ –1 e x > 5/3. d) x ≤≤≤ –1 ou x > 5/3. e) –1 ≤≤≤ x < 2/3 e x > 5/3. Mais uma questão supostamente de Álgebra... que é de Lógica. Queremos a negação de 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1. As alternativas estão com E, então queremos a negação do OU que é ~(A OU B) = ~A E ~B. Assim, a proposição fica: ~(2/3 ≤ x ≤ 5/3) E ~(–1< x < 1). Vamos analisar cada parte: ~(2/3 ≤ x ≤ 5/3) = queremos que o número não esteja entre 2/3 e 5/3. Ou seja, ele pode ser menor de 2/3 ou maior que 5/3. Queremos: x < 2/3 OU x > 5/3. ~(–1< x < 1) = queremos que o número não esteja entre –1 e 1 (mas pode ser igual). Ou seja, ele pode ser menor ou igual a –1 ou maior ou igual a 5/3. Assim, queremos: x ≤ -1 OU x >= 1. A proposição inteira fica:



x < 2/3 OU x > 5/3 E x ≤ -1 OU x >= 1 O examinador não foi bonzinho e não deu essa resposta entre as alternativas. Então, agora, precisamos saber quais as intersecções entre x < 2/3 OU x > 5/3 E x ≤ -1 OU x >= 1. Temos: x < 2/3 OU x > 5/3: 2/3 5/3 x ≤ -1 OU x >= 1:

-1 2/3 1 5/3 A intersecção (pontos que estão nas duas retas) é: -1 5/3 Colocando em números: x ≤ -1 E x > 5/3 Resposta: Letra C. Questão 21 – ESAF/MPOG/APO/2010

Questão que, para resolver, precisamos construir as tabelas-verdade.



As alternativas a e e se referem à proposição (F v G) ^ ~(~F ^~G). Já as alternativas b, c e d se referem à proposição (F v G) ^ (~F ^~G). Vamos construir cada uma das tabelas-verdade e ver qual alternativa está correta. Primeiramente, a tabela-verdade da estrutura (F v G) ^ (~F ^~G) (para fazer a outra apenas negamos o segundo termo):

F G F v G ~F ~G ~F ^ ~G (F v G) ^ (~F ^~G) V V V F F F F V F V F V F F F V V V F F F F F F V V V F

Ou seja, pela tabela-verdade acima, a expressão (F v G) ^ (~F ^~G) é uma contradição, pois, não importa qual os valores de F ou G, a expressão sempre retorna um valor lógico Falso. Assim, já podemos marcar a alternativa correta, que é a letra C. Vamos fazer a estrutura (F v G) ^ ~(~F ^~G), apenas negando a penúltima coluna da tabela acima: F G F v G ~F ~G ~F ^ ~G ~(~F ^ ~G) (F v G) ^

~(~F ^~G) F ^ G

V V V F F F V V V V F V F V F V V F F V V V F F V V F F F F V V V F F F A letra a afirma que a estrutura acima é contradição (não é, porque para 3 valores de F e G a estrutura é verdadeira), e a letra e afirma que é igual à F ^ G. Coloquei F ^ G na última coluna da tabela, para vocês verem como é diferente. Resposta: Letra C.



3. Memorex

ESTRUTURAS LÓGICAS CONECTIVO TABELA-VERDADE SÍMBOLOGIA NEGAÇÃO EQUIVALENTE

E

conjunção


p ^ q ~p v ~q p → ~q

Ou

Disjunção


p v q ~p ^ ~q ~p → q

ou... ou

Disjunção Exclusiva

ou V ou V = F ou V ou F = V ou F ou V = V ou F ou F = F

p v q p ↔ q p ↔ ~q

~p ↔ q

Se...então

Condicional


p → q p ^ ~q ~q → ~p

~p v q

se e somente

se

Bicondicional

V se e somente se V = V

V se e somente se F = F

F se e somente se V = F

F se e somente se F = V

p ↔ q p v q (p → q) ^ (q ← p)



4. Lista das Questões Comentadas Questão 1 – ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009 Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que: a) Marta ficou em casa. b) Martinho foi ao shopping. c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. d) Márcio e Martinho foram ao shopping. e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping. Questão 2 – ESAF/ANA/Comum a todos os cargos/2009 Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio nao transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que: a) choveu em A e choveu em B. b) nao choveu em C. c) choveu em A ou choveu em B. d) choveu em C. e) choveu em A. Questão 3 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. Se Tereza não foi ao cinema, pode-se afirmar que: a) Ana não foi ao cinema. b) Paulo não foi ao cinema. c) Pedro não foi ao cinema. d) Maria não foi ao cinema. e) Joana não foi ao cinema. Questão 4 – ESAF/RFB/ATRFB/2009 A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a: a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada.



Questão 5 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. Questão 6 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. Questão 7 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Questão 8 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Questão 9 – ESAF/MPOG/APO/2010



Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se e somente G. a) F implica G e ~G implica F. b) F implica G e ~F implica ~G. c) Se F então G e se ~F então G. d) F implica G e ~G implica ~F. e) F se e somente se ~G. Questão 10 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. Questão 11 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Questão 12 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 Questão 13 – ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009 X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim: a) Se X ≥ 4, então Y < 7. b) Se Y > 7, então X ≥ 4. c) Se Y < 7, então X ≥ 4. d) Se Y ≤ 7, então X > 4. e) Se X < 4, então Y ≥ 7.



Questão 14– ESAF/MPOG/Analista de Planejamento e Orçamento/2010 Se f(x) = x, então g(x) = x. Se f(x) ≠ x, então ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funções, g(x) e h(x) são iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x. Se h(x) ≠ x, então g(x) ≠ x. Se h(x) = x, então f(x) = x. Logo, a) f(x) = x, e g(x) = x, e h(x) = x b) f(x) ≠ x, e g(x) ≠ x, e h(x) ≠ x c) f(x) = x, e g(x) ≠x, e h(x) ≠ x d) f(x) ≠ x, e g(x) = x, e h(x) = x e) f(x) = x, e g(x) = x, e h(x) ≠ x Questão 15 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Se 3

e=α , então 3e=β . Se 3

e=α , então β ou δ são iguais a 3 e . Se 3e=δ ,

então 3e=β . Se 3

e=δ , então 3e=α . Considerando que as afirmações são

verdadeiras, segue-se, portanto, que: a) 3

e=== δβα .

b) 3e==βα , mas 3

e=δ .

c) 3e=α , mas 3

e==δβ .

d) 3e=== δβα .

e) 3e==δα , mas 3

e=β . Questão 16 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”. Uma conclusão falsa desta proposição é: a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros. Questão 17 – ESAF/MTE/AFT/2010 Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo: a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo. b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.



c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular. d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo. Questão 18 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Fazenda/2010 Qual das proposições abaixo tem a mesma tabela verdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤≤≤ 4 ”, onde a e b são números reais? a) b ≤≤≤ 4 e |a| < 3. b) b ≤≤≤ 4 ou |a| ≥≥≥ 3. c) b > 4 e |a| < 3. d) b ≤≤≤ 4 ou |a| < 3. e) b > 4 ou |a| < 3. Questão 19 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Sendo x um número real, a proposição: x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à: a) se x = 1, então x2 = 1. b) se x > 1, então x2 > 1. c) se -1 < x < 1, então x2 < 1. d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1. e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1. Questão 20 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Considere x um número real. A negação da proposição 2/3 ≤≤≤ x ≤≤≤ 5/3 ou –1< x < 1 é: a) –1 < x ≤≤≤ 2/3. b) –1 ≤≤≤ x < 2/3. c) x ≤≤≤ –1 e x > 5/3. d) x ≤≤≤ –1 ou x > 5/3. e) –1 ≤≤≤ x < 2/3 e x > 5/3. Questão 21 – ESAF/MPOG/APO/2010





5. Gabarito 1 – C 2 – B 3 – ANULADA 4 – D 5 – A 6 – A 7 – A 8 – E 9 – B 10 – A 11 – E 12 – C 13 – D 14 – A 15 – D 16 – E 17 – E 18 – B 19 – D 20 – C 21 – C

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