of 19 /19
Poglavlje 5: Sluˇ cajni vektori: nezavisnost i zavisnost Snjeˇ zana Lubura Strunjak i Nikolina Milinˇ cevi´ c Zagreb, 8. prosinca 2020. SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 1 / 18

Poglavlje 5: Slu cajni vektori: nezavisnost i zavisnost · 2020. 12. 8. · Poglavlje 5: Slu cajni vektori: nezavisnost i zavisnost Snje zana Lubura Strunjak i Nikolina Milin cevi

  • Author
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Poglavlje 5: Slu cajni vektori: nezavisnost i zavisnost · 2020. 12. 8. · Poglavlje 5: Slu cajni...

  • Poglavlje 5: Slučajni vektori: nezavisnost i zavisnost

    Snježana Lubura Strunjak i Nikolina Milinčević

    Zagreb, 8. prosinca 2020.

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 1 / 18

  • 5.1 Nezavisnost slučajnih varijabli

    Zadatak 5.1 Neka su X ∼ B(n, p) i Y ∼ B(m, p) nezavisne slučajne varijable. Odreditedistribuciju slučajne varijable X + Y .

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 2 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 3 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • 5.1 Nezavisnost slučajnih varijabli

    Zadatak 5.2 Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable takve da je X ∼ P(λ),Y ∼ G(p), λ > 0, p ∈ (0, 1). Odredite P(X ≤ Y ).

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 4 / 18

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 5 / 18

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

  • 5.1 Nezavisnost slučajnih varijabli

    Za X1, . . .Xn nezavisne sl. varijable vrijedi

    E[Πni=1Xi ] = Πni=1EXi , Var(n∑

    i=1

    Xi ) =n∑

    i=1

    VarXi .

    Obrat te tvrdnje ne vrijedi.

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 6 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • 5.1 Nezavisnost slučajnih varijabli

    Zadatak 5.3 Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable takve da je X ∼ G(p1),Y ∼ G(p2), p1, p2 ∈ (0, 1). Izračunajte:

    (a) P(X > n) za n ∈ N,(b) E[min{X ,Y }],(c) P(X ≥ 2Y ).

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 7 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 8 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 9 / 18

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

  • 5.2 Slučajni vektori

    Zadatak 5.4 Neka je Ω = {ω1, . . . , ω5} pri čemu je P({ω1}) = P({ω3}) = P({ω5}) = 16 iP({ω2}) = P({ω4}) = 14 . Na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P) zadan je slučajni vektor(X ,Y ) na sljedeći način:

    (X ,Y )(ω1) = (−1, 0), (X ,Y )(ω2) = (−1, 1), (X ,Y )(ω3) = (−1, 0)

    (X ,Y )(ω4) = (1, 0), (X ,Y )(ω5) = (1, 2)

    Napǐsite tablicu razdiobe sl. vektora (X ,Y ) i odredite marginalne razdiobe slučajnihvarijabli X i Y . Jesu li X i Y nezavisne?

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 10 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 11 / 18

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

  • 5.2 Slučajni vektori

    Zadatak 5.5 Bacamo dvije simetrične kocke. Označimo s X broj šestica, a s Y brojjedinica koje su pale.

    (a) Odredite razdiobu slučajnog vektora (X ,Y ) i marginalne razdiobe slučajnihvarijabli X i Y . Jesu li X i Y nezavisne?

    (b) Odredite razdiobu slučajne varijable X + 2Y .

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 12 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 13 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • 5.2 Slučajni vektori

    Zadatak 5.6 Za funkciju gustoće f slučajnog vektora (X ,Y ,Z) vrijedi da je

    f (1, 2, 3) = f (2, 1, 1) = f (2, 2, 1) = f (2, 3, 2) =1

    4.

    Odredite E[XYZ ] i E[XY + YZ + XZ ].

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 14 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 15 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • 5.2 Slučajni vektori

    Definicija 5.7 Diskretni k-dimenzionalni slučajni vektor X = (X1, ...,Xk) imapolinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p1, ..., pk), n ∈ N, pi > 0 za svaki i i∑k

    i=1 pi = 1 ako mu je pripadna funkcija gustoće oblika

    f (x1, ..., xk) =

    {n!

    x1!...xk !px11 . . . p

    xkk , xi ∈ N0, x1 + ...+ xk = n

    0, inače.

    Napomena 5.8

    (a) Recimo da imamo pokus koji ima ukupno k mogućih različitih ishoda, pri čemu jevjerojatnost svakog ishoda pi > 0, i = 1, ..., k. S Xi označimo broj pojavljivanjaishoda i u n nezavisnih ponavljanja pokusa. Tada je slučajni vektor (X1, ...,Xk)polinomijalno distribuiran s parametrima (n, p1, ..., pk).

    (b) Neka je X ∼ B(n, p), p ∈ (0, 1). Tada 2-dimenzionalni slučajni vektor (X , n − X )ima polinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p, 1− p).

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 16 / 18

  • 5.2 Slučajni vektori

    Definicija 5.7 Diskretni k-dimenzionalni slučajni vektor X = (X1, ...,Xk) imapolinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p1, ..., pk), n ∈ N, pi > 0 za svaki i i∑k

    i=1 pi = 1 ako mu je pripadna funkcija gustoće oblika

    f (x1, ..., xk) =

    {n!

    x1!...xk !px11 . . . p

    xkk , xi ∈ N0, x1 + ...+ xk = n

    0, inače.

    Napomena 5.8

    (a) Recimo da imamo pokus koji ima ukupno k mogućih različitih ishoda, pri čemu jevjerojatnost svakog ishoda pi > 0, i = 1, ..., k. S Xi označimo broj pojavljivanjaishoda i u n nezavisnih ponavljanja pokusa. Tada je slučajni vektor (X1, ...,Xk)polinomijalno distribuiran s parametrima (n, p1, ..., pk).

    (b) Neka je X ∼ B(n, p), p ∈ (0, 1). Tada 2-dimenzionalni slučajni vektor (X , n − X )ima polinomijalnu razdiobu s parametrima (n, p, 1− p).

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 16 / 18

    S. Lubura Strunjak

  • 5.2 Slučajni vektori

    Zadatak 5.9 Neka je X = (X1,X2,X3) polinomijalni slučajni vektor s parametrima(n, p1, p2, p3).

    (a) Odredite marginalne gustoće vektora X.(b) Jesu li komponente slučajnog vektora X po parovima nezavisne?(c) Odredite razdiobu slučajne varijable X1 + X2.

    Rješenje

    SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 17 / 18

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak

  • SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 18 / 18

    S. Lubura Strunjak

    S. Lubura Strunjak