Podstawy fizyki w zadaniach

CMYK

CMYK

Janusz Wolny

podstawy fizyki

w zadaniach

ISBN 978-83-929749-6-3

Książka Podstawy fizyki w zadaniach jest skierowana do przyszłych inżynierów, szczególnie

tych, którzy nie czują się zbyt pewnie w rozwiązywaniu zadań z fizyki. Mogą ją „przerabiać”

zarówno uczniowie szkół średnich, przygotowujący się do studiów, jak i studenci rozpoczynający

kurs fizyki na studiach techniczno-przyrodniczych. Zawiera ona zestaw kilkuset zadań,

poczynając od tych najprostszych, aż do bardziej złożonych zadań z olimpiady „O Diamentowy

Indeks AGH” (z Wprowadzenia).

Janusz W

oln

ypodstaw

y fizyki

Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny

© Copyright by Janusz Wolny

Projekt okładki:

Studio Kozak

Zdjęcie na okładce:

© iStockphoto.com/derrrek

ISBN 978-83-929749-6-3

www.wydawnictwojak.pl

Kraków 2012

Podstawy Fizyki 2011.indd 2 2011-11-24 13:53:29

Spis treści

1. ApArAt mAtemAtyczny ..................................................................... 8

1.1. Wektory: suma, iloczyn skalarny ........................................................................... 8 1.2. Wektory: rozkład wektora, iloczyn wektorowy, obroty ......................................... 10 1.3. Pochodna funkcji ................................................................................................... 12 1.4. Całki ....................................................................................................................... 14

2. Wielkościfizyczneiukładjednostek ................................ 16

3.A. KinemAtyKA ............................................................................................. 18

3.1. Tor, droga i przemieszczenie ................................................................................. 18 3.2. Prędkość ................................................................................................................. 20 3.3. Ruch jednostajny prostoliniowy ............................................................................ 22 3.4. Ruch jednostajnie zmienny .................................................................................... 24

3.4.1. Przyspieszenie ............................................................................................ 243.4.2. Swobodny spadek ciał w polu grawitacyjnym, rzut pionowy .................... 263.4.3. Rzut poziomy ............................................................................................. 283.4.4. Rzut ukośny ................................................................................................ 30

3.5. Ruch po okręgu ...................................................................................................... 32

3.B. dynamika .................................................................................................. 34

3.6. Pierwsza zasada dynamiki ..................................................................................... 34 3.7. Druga zasada dynamiki .......................................................................................... 36 3.8. Trzecia zasada dynamiki ........................................................................................ 38 3.9. Prawo powszechnego ciążenia .............................................................................. 40 3.10. Siła tarcia ............................................................................................................... 42


3.11. Układy nieinercjalne – siły pozorne ...................................................................... 44 3.12. Dynamika ruchu obrotowego ................................................................................ 46 3.13. Statyka ................................................................................................................... 48 3.14. Praca i moc ............................................................................................................ 50 3.15. Energia kinetyczna i potencjalna ........................................................................... 52 3.16. Zasada zachowania energii mechanicznej ............................................................. 54 3.17. Pęd, zasada zachowania pędu ................................................................................ 56 3.18. Zderzenia ............................................................................................................... 58 3.19. Moment pędu – zasada zachowania momentu pędu .............................................. 60 3.20. Ruch w polu grawitacyjnym – energia potencjalna i prędkości kosmiczne .......... 62 3.21. Prawa ruchu planet ................................................................................................ 64 3.22. Siła sprężystości – oscylator harmoniczny ............................................................ 66 3.23. Wahadła ................................................................................................................. 68

4. termodynamikaifizykacząsteczkoWa ............................. 70

4.1. Ciśnienie cieczy i gazów, siła wyporu ................................................................... 70 4.2. Rozszerzalność termiczna ciał ............................................................................... 72 4.3. Energia wewnętrzna, ciepło i praca ....................................................................... 74 4.4. Gaz doskonały – równanie stanu ........................................................................... 76 4.5. Przemiany gazowe: izotermiczna i izobaryczna .................................................... 78 4.6. Przemiany gazowe: izochoryczna i adiabatyczna .................................................. 80 4.7. Zasada ekwipartycji energii ................................................................................... 82 4.8. Silniki cieplne ........................................................................................................ 84 4.9. Bilans cieplny ........................................................................................................ 86

5. eleKtromAgnetyzm .......................................................................... 88

5.1. Oddziaływanie elektrostatyczne ładunków punktowych ....................................... 885.1.1. Prawo Coulomba, pole elektryczne ............................................................ 885.1.2. Strumień pola elektrycznego, prawo Gaussa ............................................. 90

5.2. Potencjał elektryczny, dipol ................................................................................... 92 5.3. Kondensatory ......................................................................................................... 94 5.4. Natężenie prądu elektrycznego i prawo Ohma ...................................................... 96 5.5. Prawa Kirchhoffa ................................................................................................... 98 5.6. Moc prądu .............................................................................................................. 100


5.7. Elektroliza .............................................................................................................. 102 5.8. Indukcja magnetyczna wokół przewodnika z prądem ........................................... 104 5.9. Oddziaływanie pola magnetycznego na poruszający się ładunek ......................... 106 5.10. Oddziaływanie pola magnetycznego na przewodniki z prądem ............................ 108 5.11. Indukcja elektromagnetyczna ................................................................................ 110 5.12. Prąd przemienny .................................................................................................... 112

6. optyKA ........................................................................................................ 114

6.1. Prawo odbicia, zwierciadła .................................................................................... 114 6.2. Załamanie .............................................................................................................. 116 6.3. Soczewki ................................................................................................................ 118 6.4. Dyfrakcja i interferencja ........................................................................................ 120

7. fizykaatomoWaijądroWa ............................................................ 122

7.1. Dualizm korpuskularno-falowy promieniowania elektromagnetycznego ............. 122 7.2. Fale materii, wytwarzanie promieniowania rentgenowskiego .............................. 124 7.3. Atom wodoru ......................................................................................................... 126 7.4. Rozpady promieniotwórcze ................................................................................... 128 7.5. Teoria względności ................................................................................................ 130

Wielkościfizyczne ..................................................................................... 132

rozWiązaniazadań ...................................................................................... 133

zadaniadodatkoWe ...................................................................................... 147

olimpiada„odiamentoWyindeksaGH”. zadaniazlat2007–2011 ................................................................................... 155


8 • Aparat matematyczny

1. ApArAt mAtemAtyczny

1.1. Wektory: suma, iloczyn skalarny

W fizyce spotykamy zarówno wielkościskalarne (np. masa, objętość, droga, czas, ładunek, napięcie elektryczne, praca, moc), jak i wektorowe (np. prędkość, przyspie-szenie, siła, pęd, natężenie pola). Wielkości skalarne posiadają tylko wartość, wekto-rowe – wartość, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia.

W zadanym układzie wektor definio-wany jest poprzez podanie jego współrzęd-nych:

a = ( , , )a a a1 2 3

Suma wektorów:

a b+ = + + +( , , )a b a b a b1 1 2 2 3 3

Geometrycznie jest to przekątna równole-głoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę wektorów obrazuje druga przekąt-na (patrz rysunki).

Iloczyn skalarny:

a b⋅ ≡ + + == ⋅ ⋅ ≡ ⋅

a b a b a ba b a b

1 1 2 2 3 3

cos a

Jest on zatem równy iloczynowi długości wektora a i składowej wektora b, równoleg-łej do a (b||). Na przykład praca jest iloczy-nem skalarnym siły i przesunięcia.

b

a

a+b b

a

a–b

b

b a

b


Przykład 1.1Sprawdź, że wektory {u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1)} są do siebie prostopadłe.

Rozwiązanie:Dla wektorów wzajemnie prostopadłych iloczyny skalarne są równe zeru, a zatem:

u v u w v w1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, ,

czyli wektory u, v, w są wzajemnie prostopadłe.

Zadanie 1.1.1Znaleźć współczynniki α, β, γ przedstawienia wektora a = (3,2,1) poprzez kombinację liniową wektorów u, v, w z przykładu 1.1. Jakie kąty tworzy wektor a z wektorami u, v, w?

Rozwiązanie:dane: u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1), a = (3,2,1)szukane: α, β, γ, u a v a w a, , , , ,

a u v w

u vu w a2 1 9 4 1 14; ,

a u u v w u u a uu

22

3 2 02

52

a v a vv

................................. ............. 2212

..................

a w ................................. .............. ........... .................. 1

a u u a u a a ua ua u

cos , , arc cos arc cos ,52 7

19 1

v a, ............................ arc cos ............12 7

...........

w a, ............................ .............................. ,74 5

Zadanie 1.1.2Wykaż, że: a b a b a b

Uwaga: skorzystaj z porównania kwadratów sumy i różnicy wektorów:( )a b a b2 2 22a b oraz ( )a b a b2 2 22a b

Istnieją dwa rodzaje ładunków: dodat-nie i ujemne. Potarta laska szklana ładuje się dodatnio, natomiast laska ebonitowa – ujemnie. Jedną z najbar-dziej fundamentalnych zasad fizyki jest sformułowana przez B. Franklina w 1747 roku zasada zachowania ła-dunku, stwierdzająca, że w układzie zamkniętym wypadkowy ładunek bę-dzie wielkością stałą. Ładunki różnych znaków mogą się kompensować.

R.A. Millikan wykazał doświadczalnie, że ładunek swobodny jest wielokrotno-ścią ładunku elementarnego

e ≈ 1,602 · 10–19 CPrawo Coulomba: dwa ładunki różno-imienne przyciągają się, a równoimien-ne odpychają się z siłą proporcjonalną do iloczynu wielkości tych ładunków i odwrotnie proporcjonalną do kwadra-tu ich wzajemnej odległości:

F rk q qr r1 2

2

gdzie stała k ≈ 9 · 109 N · m2/C2

Często stałą k zastępujemy przenikal-nością elektryczną próżni:

012

2

21

48 85 10

k, C

N mNatężenie pola jest stosunkiem siły do wartości tzw. ładunku próbnego, i dla ładunku punktowego Q wyraża się worem:

E F rq

Qr r

14 2

Natężenie pola jest skierowane od ła-dunku dodatniego do ujemnego.

Przykład 5.1.1Dwie małe, jednakowe kulki zawieszono na dwóch identycznych nitkach, zaczepionych w jednym punkcie. Kulki te naładowano sumarycznym ładunkiem Q. Dla jakiego rozkładu ładunków między kulkami kąt, jaki utworzą nitki, będzie maksymalny?

Rozwiązanie:dane: Qszukane: q1, q2

Ponieważ siła ciężkości P = mg jest stała, maksymalny kąt będzie odpowiadał mak-symalnej wartości siły F wzajemnego od-działywania ładunków. Z kolei siła F jest proporcjonalna do iloczynu q1 i q2.Załóżmy, że q1 = q,to: q2 = Q − q, wtedy:

q q q Q q q Q q q Q1 2 1 22 2

( ) max

Zadanie 5.1.1.1Dwa ładunki, 10–5 C i 4 · 10–5 C, znajdują się w odległości 10 cm od siebie. W którym punkcie natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

Rozwiązanie:dane: q1 = 10–5 C, q2 = 4 · 10–5 C, a = 10 cmszukane: x

Z uwagi na wektorowy charakter, natężenia pola elektrycznego mogą się kompensować tylko na linii łączącej obydwa ładunki.

W punkcie A: k qx

k qa x

12

22( )

Stąd: q2 ⋅ x2 = ...................................................

oraz: (q2 − q1) ⋅ x2 + ........................................ = 0

............................................................... 2 1 2a q q

Dodatni pierwiastek równania:

xq q

................................................... 1 2 qq q

a1

2 1....................

Dla ujemnego pierwiastka równania natężenia pól są zgodnie skierowane, więc się do-dają.

Zadanie 5.1.1.2W narożach kwadratu znajdują się jednakowe ładunki o wartościach 5 · 10–5 C. Jaki ładunek należy umieścić w środku kwadratu, aby układ był w równowadze?

Wielkość Symbol Wartość

Prędkość światła w próżni C 2,99792458 ⋅ 108 m ⋅ s−1

Przenikalność magnetyczna0

4π ⋅ 10−7 H ⋅ m−1

Przenikalność elektryczna próżni 00

21c 8,8542 ⋅ 10−12 F ⋅ m−1

Stała w prawie Coulomba k= 14 0

8,9876 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2

Stała Plancka h 6,6261 ⋅ 10−34 J ⋅ s

Elektryczny ładunek elementarny e 1,6022 ⋅ 10−19 C

Masa spoczynkowa elektronu me 9,1094 ⋅ 10−31 kg

Masa spoczynkowa protonu mp 1,6726 ⋅ 10−27 kg

Masa spoczynkowa neutronu mn 1,6749 ⋅ 10−27 kg

Stała Rydberga R 1,0974 ⋅ 107 m−1

Liczba Avogadro NA 6,0221 ⋅ 1023 mol−1

Stała Boltzmanna k 1,3807 ⋅ 10−23 J ⋅ K−1

Stała gazowa R = NA · k 8,3145 J ⋅ mol−1 ⋅ K−1

Stała grawitacji G 6,6726 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2

Stała Faraday’a F = NA · e 9,6485 ⋅ 104 C ⋅ mol−1

Średnia odległość Księżyca od Ziemi RZK 3,84 ⋅ 108 m

Atomowa jednostka masy u 1,6605 ⋅ 10−27 kg

Objętość molowa gazu doskonałego Vm 22,414 dm3/mol

Masa Ziemi MZ 5,97 ⋅ 1024 kg

Średni promień Ziemi RZ 6,38 ⋅ 106 m

1.1.2

dane: a, b, |a + b| = |a − b|; szukane: ∠(a, b)

(a + b)2 = (a − b)2 ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b (a ≠ 0, b ≠ 0)

1.2.2

dane: a = (0, 1, 2), b = (2, 1, 1); szukane: V

V a b c( )1 1 00 1 22 1 1

1 4 2 3

1.3.2

dane: r01 = (–3, 0) cm, r02 = (0, –3) cm, v1 = (2, 0) cm/s, v2 = (0, 3) cm/s

szukane: r2 – r1, t

a) r1 = r01 + v1t = (−3 + 2t, 0); r2 = r02 + v2t = (0, −3 + 3t);

Δr = r2 − r1 = (3 − 2t, −3 + 3t)

b) dd

srt

t0 15131

r1(t1) ≈ (−0,69, 0) cm; r2(t1) ≈ (0, 0,46) cm;

1.4.2

dane: P0 = 200 W, T = 0,02 s, P t P tT

( ) sin02 2 ; szukane: W

W P t t PT

t t P t TT

tT T

( ) sin sind d0

00

20

2 12 4

4

0

12

20

TP T J

2010/11

11. Na ławie optycznej ustawiono w kolejności jeden za drugim następujące obiekty: zwierciadło płaskie, przedmiot świecący, soczewkę skupiającą o ogniskowej f oraz ekran. Przedmiot świecący znajdujący się pomiędzy zwierciadłem a soczewką, umieszczono dokładnie w ognisku soczewki oraz w odległości d od zwierciadła. Ekran służy do obserwacji powstającego obrazu rzeczywistego. Oblicz położenie obrazu oraz jego powiększenie. Zrób wykres zależności powiększenia od stosunku d/f.

12. Soczewkę wypukłą o jednakowych promieniach krzywizny, R1 = R2 = 6 cm, wykonano z materiału, którego współczynnik załamania wynosi n = 6/5. Oblicz ogniskową soczewki po zanurzeniu jej w wodzie (nw = 4/3). W którym miejscu powstaje obraz przedmiotu umieszczonego również w wodzie na osi optycznej soczewki, jeżeli odległości przedmiotu od soczewki jest równa długości tejże ogniskowej? Przedstaw na rysunku bieg promieni świetlnych i konstrukcję obrazu.

13. Cienka soczewka płasko-wypukła została zrobiona za szkła o współczynniku załamania n = 1,5. Promień krzywizny powierzchni wypukłej soczewki wynosi R = 50 mm. Płaska powierzchnia soczewki ściśle dotyka podstawy walca wykonanego z tego samego szkła. Długość walca wynosi L. W jakiej odległości f od płaskiej powierzchni soczewki skupi się wiązka promieni równoległych do osi optycznej, padająca od strony wypukłej powierzchni soczewki? Rozważ dwa przypadki: (a) długiego walca (duże L), tj. gdy punkt skupienia promieni znajduje się wewnątrz walca oraz (b) krótkiego walca, kiedy promienie skupiają się po wyjściu z walca. Przeprowadź obliczenia dla promieni przyosiowych, dla których kąty padania i załamania są na tyle małe, że spełniają relacje: sin(α) ≈ tg(α) ≈ α [rad]. Ile wynosi ogniskowa cienkiej soczewki, tj. dla L = 0? Zrób wykres zależności f (L).

Documents

Podstawy fizyki w zadaniach