Cadru didactic titular,

Sef lucr. dr. ing. Carmen-Penelopi Papadatu

Sursa: Papadatu C.P., Prelucrarea plastică a materialelor (I). Plasticitatea materialelor metalice .

Note de curs. ISBN 978-973-627-577-7 (I)

PLASTICITATE

Note de curs. C2.

1.4.Tensiuni pe o suprafațã înclinatã care este parte dintr-un cub elementar

considerat reprezentativ

Starea de tensiuni într-un element de volum al corpului supus

deformãrii în raport cu sistemul de coordonate principale este prezentatã

în figura 1.5.

Figura 1.5. Starea de tensiuni într-un element de volum

Inainte de determinarea tensiunilor pe o suprafațã înclinatã care

este parte dintr-un cub elementar considerat reprezentativ, se va considera

cazul distribuției eforturilor pentru starea de tensiune planã [1], prezentatã

în figura 1.6. In acest caz, σy= 0,τxy = 0, τzy = 0.

Ecuațiile de echilibru pe fiecare direcție a axelor de coordonate vor

fi:

Sx= σx cos αx + τxz cos αz (1.24)

Sz = τzx cos αx + σz cos αz (1.25)

Dar,

αz = π/2 - αx (1.26)

cos αz = sin αx (1.27)

Rezultã urmãtoarele relații:

Sx = σx cos αx+ τxz sin αx (1.28)

Sz = τzx cos αx + σz sin αx (1.29)

Tensiunea totalã este:

S 2

= Sx2 + Sz

2 (1.30)

Inlocuind relațiile (1.28) şi (1.29) în relația (1.30), se obține relația:

S 2

= (σx cos αx+ τxz sin αx)2 + (τzx cos αx + σz sin αx )

2 (1.31)

Tensiunea normalã are urmãtoarea relație:

σn = Sx cos αx + Sz sin αx (1.32)

In final,

τ = (S2 - σn

2 )

1/2 (1.33)

Dacã se considerã o suprafațã înclinatã obținutã prin

secționarea elmentului de volum prismatic ( cu baza un pãtrat) cu un plan

înclinat, a cãrei normalã face cu direcțiile principale (axele de

coordonate) unghiurile: αx,αy, αz, se obține reprezentarea din figura 1.7.

Figura 1.7. Tensiuni pe o suprafațã înclinatã care este parte dintr-un cub

elementar considerat reprezentativ [1]

Fie suprafețele: (aob),(aoc),(boc). Cunoscȃnd tensiunile normale:

σx,σy,σz şi tensiunile tangențiale: τxy,τxz,τyz, se vor putea determina

tensiunile pe suprafața înclinatã (abc).

Astfel, se considerã aria suprafeței înclinate ΔA, şi a suprafețelor

perpendiculare: ΔAx, ΔAy, ΔAz. Se noteazã tensiunile care acționeazã pe

suprafețe cu Sx,Sy,Sz, iar tensiunea totalã care acționeazã pe suprafața ΔA

cu S.

Trebuie precizat cã Sx,Sy,Sz sunt componentele tensiunii totale S,

pe cele trei axe de coordonate.

Ecuațiile de echilibru pe fiecare direcție a axelor de coordonate vor

fi:

SxΔA- σxΔAx - τxy ΔAy - τxz ΔAz = 0. (1.34)

Sy ΔA - τyxΔAx - σyΔAy - τyzΔAz = 0. (1.35)

Sz ΔA - τzxΔAx - τzy ΔAy - σz ΔAz = 0. (1.36)

Din figura 1.7 se observã cã:

ΔAx = ΔA cos σx, (1.37)

ΔAy = ΔA cos σy, (1.38)

ΔAz = ΔA cos σz, (1.39)

Dacã se presupune cã:

ΔA = l (1.40)

Atunci:

Sx=σx cos αx + τxy cos αy + τxz cos αz (1.41)

Sy=τyx cos αx + σy cos αy + τyz cos αz (1.42)

Sz= τzx cos αx + τzy cos αy + σz cos αz (1.43)

Insumȃnd relațiile de mai sus, rezultã:

S 2

= Sx2 + Sy

2+ Sz

2 (1.44)

Dacã se proiecteazã componenetele: Sx,Sy,Sz,pe normala N, rezultã

tensiunea normalã pe suprafața înclinatã consideratã inițial.

Rezultã:

σn = Sx cos αx + Sy cos αy + Sz cos αz (1.45)

Tensiunea tangențialã poate fi calculatã cu relația urmãtoare,

conform [1]:

τ = (S2 - σn

2 )

1/2 (1.46)

1.5. Ecuații diferențiale de echilibru în coordonate carteziene

. Fie un element de volum cubic care are laturile: dx,dy,dz. Asupra

fețelor cubului acționeazã tensiunile normale σi, ca în figura 1.8. Corpul

de aflã în echilibru. De aceea sunt respectate ecuațiile forțelor care

acționeazã asupra corpului considerat (cubul elementar), pe cele trei

direcții principale: oX,Oy, Oz.

Figura 1.8. Variațiile eforturilor unitare pe suprafețele unui element

de volum (cub elementar)

Pe direcția Ox vom avea relația:

(σx + 𝜕σx

𝜕𝑥 dx) dydz – σxdydz + (τxy +

𝜕τxy

𝜕𝑦dy) dxdz - τxy dxdz + (τxz

+𝜕τxz

𝜕𝑧 dz) dxdy - τxz dxdy = 0. (1.47)

Pe direcția Oy vom avea relația:

(σy + 𝜕σy

𝜕𝑦 dy) dxdz – σydxdz + (τxz +

𝜕τxz

𝜕𝑥dz) dxdy - τxy dydz + (τyz

+𝜕τyz

𝜕𝑧 dz) dxdy – τyz dzdy = 0. (1.48)

La fel se calculeazã şi pe direcția Oz.

Impãrțind relațiile (1.47),(1.48),.. cu dxdydz, rezultã ecuațiile:

Starea de tensiune poate fi:

a). Stare de tensiune spațialã, care poate fi, la rȃndul ei: de compresiune

multilateralã, de întindere multilateralã sau, de întindere-compresiune.

b). Stare de tensiune planã.

c). Stare de tensiune liniarã.

Schemele stãrii de tensiuni ajutã la aprecierea calitativã a

comportãrii la deformare a unui material în condiții de utilizare, în

comparație cu comportarea sa la deformare plasticã în condiții de

laborator.

Observații:

Pasticitatea maximã a materialului metalic se întȃlneşte în cazul

compresiunii multilaterale neuniformã.

Dacã tensiunile normale principale sunt egale atunci deformarea

plasticã nu poate avea loc.

Cu cȃt tensiunile de compresiune sunt mai mari decȃt cele de

întindere, cu atȃt capacitatea de deformare plasticȃ a materialului metalic

respectiv este mai mare.

1.8. Viteza de deformatie

Definiție. Viteza de deformație reprezintã variația gradului de deformare în

raport cu timpul. Se exprimã prin derivata deformației cu timpul, la un

moment dat:

= dε / dt (1.52)

Dar,

dε = dl / l (1.53)

şi

v = dl/dt (1.54)

Dacã înlocuim în relația (1.52), rezultã:

= dl / l dt = v / l, (1.55)

unde v este viteza de deplasare a elementului activ al sculei de deformare

care vine în contact direct cu semifabricatul.

Se poate scrie tensorul vitezei de deformație astfel:

B. Criteriul von Mises (al plasticitãții)

Enunț: Se considerã cã se ajunge la starea limitã dacã invariantul

de ordinal 2 al deviatorului de tensiuni atinge o anumitã valoare,

constantã pentru materialul analizat, în funcție de condițiile de deformare

respective.

Expresia matematicã a criteriului devine:

J2 = k2

(1.58)

Dar,

J2 = S1·S2 + S2· S3 + S3· S1 (1.59)

Spre exemplu, se considerã un corp supus deformãrii plastice prin

laminare. Tensorul si deviatorul tensiunilor vor avea expresiile:

Inlocuind S1, S2 si S3, se obține urmãtoarea relație:

Unde:

J2 = Lf = Energia potențialã de modificare a formei corpului supus

acțiunii de deformare;

σ1, σ2, σ3 = tensiuni normale principale;

k = limita de curgere în cazul forfecãrii pure;

σY = σc = limita la curgere în cazul solicitãrii uniaxiale la tracțiune.

C. Criteriul Tresca –Saint Venant al plasticitãții

(Ipoteza tensiunii tangențiale maxime)

Acest criteriu presupune cã materialul trece în domeniul plastic

ajungȃnd la starea limitã atunci când tensiunea tangențialã maximã (τmax)

atinge o anumitã valoare criticã, constantã pentru materialul analizat şi

independentã de starea de tensiuni.

Matematic, acest criteriu de exprimã astfel:

Sau, plecȃnd de la relația:

τmax.= ± (σ1- σ3) · 0,5 = k (1.63)

Rezultã: ± (σ1- σ3) = 2k (1.64)

Dacã solicitarea este la întindere simplã, atunci

σ1 = σc ; σ2 = σ3 = 0 (1.65)

unde σc este limita de curgere a materialului, în condițiile de deformare

date.

Bibliografie cursuri

[1].Dinel Tanase., Prelucrarea plastica a materialelor, Editura Galateea, 2002, ISBN 973-95566-2-0.

[2]. Dinel Tanase si Cananau Nicolae, Tehnologia deformarii plastice, Galati University Press, 2010, ISBN 978-606-8008-72-1.

[3]. Dima Ovidiu – Tehnologia materialelor, Note de curs, 2007-2013.

[4]. Popinceanu, N, Gafițanu, M., Diaconescu, E., Cretu, S, Probleme fundamentale ale contactului de rostogolire, Editura Tehnicã, Bucureşti, 1985.

[5].*** SR EN 10002. Incercarea la tracţiune.

[6]. Solomon,L.- Elasticitate liniarã.Introducere matematicã în statica solidului elastic, Editura Academiei RSR, Bucuresti, 1969.

[7]. Ciuprina, F.- Materiale electrotehnice, Note de curs, Bucureşti, 2001

[8]. http://www.rasfoiesc.com/educatie/chimie

[9]. Popa, C., Stiința materialelor, Note de curs, Universitatea Tehnicã Cluj-Napoca.

[10]. Cazimirovici E., Teoria deformãrii plastice, Editura Didacticã şi Pedagogicã, Bucureşti, 1981

[11]. Popescu, V., Dragan, I., Alexandru, T., Tehnologia forjãrii, Editura Tehnicã, Bucureşti, 1980.

[12]. Drãgan, I. Tehnologia deformãrilor plastice , Editura Didacticã şi Pedagogicã, Bucureşti, 1976.

[13]. Cãnãnãu, N., Teoria deformãrii plastice, vol.1, Universitatea „Dunãrea de Jos’ din Galați, 1994.

[14]. Geru,N. , Teoria structuralã a proprietãților metalelor, Editura Didacticã şi Pedagogicã, Bucureşti, 1980.

[15]. Geru,N. , Metalurgie fizicã, Editura Didacticã şi Pedagogicã, Bucureşti, 1981.

[16]. Amza, Gh., Tehnologia materialelor, Editura Printech, Bucureşti, 2006.

[17]. Adrian, N., Badea,S, Bazele proceselor de deformare plasticã, Editura Tehnicã, Bucureşti, 1983.

[18]. Tabãrã, V., s.a, Maşini pentru prelucrãri prin deformare, Editura Didacticã şi Pedagogicã, Bucureşti, 1979.

[19]. Cãnãnãu, N., Tehnologia materialelor, Note de curs 2002-2008.

[20]. Papadatu,C.P., Studii şi cercetãri privind influența vitezei de rãcire asupra proprietãților şi structurii oțelurilor, Proiect de diplomã, Universitatea „Dunãrea de Jos” din Galați, 1994.

[21]. Papadatu,C.P., Cercetãri privind ameloprarea proprietãților şi creşterea fiabilitãții unor oțeluri utilizate în industria metalurgicã, Teza de doctorat, 2006.