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Planche 1
PREPRE--DIMENSIONNEMENT DES CHAPESDIMENSIONNEMENT DES CHAPES
1. Généralités
1.1 Présentation
1.2 Répartition des efforts
1.3 Modes de rupture
2. Pré-dimensionnement d ’une chape
2.1 Données
2.2 Dimensionnement de la pièce mâle
2.3 Dimensionnement de la pièce femelle
2.4 Dimensionnement de l ’axe
2.5 Application numérique
2.6 Dimensionnement de la semelle
Planche 2
Plan du cours : Calcul des assemblages : Pré-dimensionnement des chapes
3. Remarques
3.1 Effort appliqué
3.2 Effort admissible
3.3 Dimensionnement de l ’axe
3.4 Coefficient de sécurité
3.5 Bague rotulée
Planche 3
1. Généralités :
1.1 Présentation
Les liaisons par chape sont principalement utilisées :
- dans les accrochages des mâts réacteurs sur la voilure,
- pour les bielles intérieures des caissons de voilure (nervures à bielles),
- pour les traverses de plancher inter-rails,
- les ferrures de portes,
- …
Ces liaisons comportent en général :
- une pièce mâle ou tenon (indice 1)
- une pièce femelle (indice 2),
- un axe (indice 3),
- éventuellement une bague pour
éviter les contacts directs avec l ’axe.
Pièce femelle de la liaison par chape: Pièce 2
Axe : Pièce 3
Pièce mâle de la liaison par chape : Pièce 1
Bague : Pièce 4
Planche 4
1.2 Répartition des efforts
Dans le cas simple où le trou est centré sur la bissectrice du profil
externe de la chape :
- la direction axiale est définie comme étant cette
bissectrice,
- la direction transverse est définie comme étant la
perpendiculaire à la direction axiale.
Direction axiale bissectrice
Direction transverse
Dans certains cas, le trou n ’est pas placé sur la bissectrice. Selon la distance entre le centre de
l ’alésage et la bord de la pièce, la direction axiale peut alors être tracée soit dans une direction
parallèle à la bissectrice soit dans la direction du minimum matière.
Direction axiale
bissectrice
Direction axiale
bissectrice
Direction transverse
Planche 5
1.3 Modes de rupture
a/ Rupture de la chape sous effort axial
La rupture peut se produire :
- soit en traction : une concentration de
contraintes en bord de trou entraîne une rupture dans
une section approximativement perpendiculaire à la
direction axiale et située de part et d ’autre du trou.
- soit par une combinaison de matage et
cisaillement : les contraintes de matage et de
cisaillement se combinent pour provoquer la rupture
dans des plans disposés à ±40° par rapport à la
direction axiale.
Direction axiale
bissectrice
40°
Direction axiale
Planche 6
b/ Rupture de la chape sous effort transverse
Sous un effort transverse, le mode de rupture est plus complexe : il s ’agit d ’une combinaison de plusieurs
modes dont :
- le cisaillement de la matière entre le trou et le bord externe de la chape au droit de l ’effort,
- la flexion localisée de ce même segment de matière,
De plus, une faiblesse sur l ’un de ces modes est compensée par l ’ensemble des autres : localement les
chemins d ’effort peuvent varier. On choisit ainsi le terme générique de rupture transverse pour désigner
cette combinaison.
Cisaillement au droit de la charge
F F
Flexion + rupture en traction due à
la contrainte annulaire
Planche 7
c/ Cas particulier des chapes à œil
Dans le cas particulier des chapes à œil, la rupture est située en générale à la liaison entre l ’anneau de
la chape et le reste de la pièce. Il s ’agit essentiellement d ’une rupture causée par des contraintes de
traction annulaire.
Direction axiale
Remarque :
En général, l ’effort n’est ni purement axial, ni purement transverse, on parle alors « d’effort oblique »,
l’effort comporte une composante axiale et une composante transverse.
On calcule indépendamment les 2 types d ’effort, puis on les combine pour déterminer la marge pour
un effort oblique.
Planche 8
2. Pré-dimensionnement d ’une chape de reprise de bielle d ’un caisson central de voilure
2.1 Données
F
Les efforts introduits par la bielle sont de l ’ordre de 20 tonnes en compression pour les cas de rafale positive.
Les charges pour le cas de rafale négative sont de -0.5 fois les charges pour le cas de rafale positive.
On suppose que l ’effort est suivant la bissectrice de la chape (effort purement axial).
Le coefficient de sécurité est de 1.3.
avec : d : le diamètre de l ’axe
D : le « grand diamètre » de la chape
e1 : l ’épaisseur de la pièce mâle
e2 : l ’épaisseur de la pièce femelle
R
r
Question préliminaire : quel est le cas dimensionnant ?
Planche 9
2.2 Dimensionnement de la pièce mâle
Pour dimensionner , la pièce mâle, il est nécessaire de vérifier :
- la tenue en traction,
- la tenue en cisaillement,
- la tenue en matage.
a/ Tenue en traction F
F/2 F/2
On a : avec :
soit : (1)
S
FTadm
1e)*dD(S
1e*dDF
Tadm
Rupture en traction
Planche 10
b/ Tenue en cisaillement
On a : avec :
soit : (2)
S
Fadm 1
22e)*
dD(S
1
2e*dD
F*
adm
Remarque : la surface cisaillée considérée en pré-dimensionnement est inférieure à la surface cisaillée
réelle (cas conservatif)
Surface cisaillée réelle
Surface cisaillée considérée en pré-
dimensionnement
Rupture en cisaillement
40°
Planche 11
On a : avec :
soit : (3)
S
Fm
1e*dS
1e*dF
m
c/ Tenue en matage
Planche 12
On obtient donc un système de 3 équations à 3 inconnues :
1e*dDF
Tadm
1
2e*dD
F*
adm
1e*dF
m
La résolution de ce système ne permet pas de déterminer les caractéristiques de la pièce mâle.
En effet :
(A)
)(*3
1MISESVONTadmadm
TamdTamdadm
FFF
*3*2
*2donc
(1)
(2)
(3)
L ’équation (1) est toujours vérifiée par l ’équation (2), on se ramène donc à un système de 2
équations à 3 inconnues.
Lors d ’un dimensionnement « avion », il est nécessaire de vérifier que la condition
est effective. Tadmadm *
3
1
Planche 13
2.2 Dimensionnement de la pièce femelle
Le calcul est identique au précédent mais un effort appliqué repris par 2 pièces :
Fappliqué sur une pièce = F/2
2.3 Dimensionnement de l ’axe
L ’axe est dimensionné en cisaillement et en flexion.
On a : avec :
soit : (4)
S
Fadm
4
2dS
24d
.
F*
adm
a/ Tenue en cisaillement
Planche 14
On a : avec :
vI
Mfadm
64
4dI
64
24d.
)d(*b.F
adm
b.FMf
2
dv
.
*b.Fd
adm
323
b/ Tenue en flexion
Avec b : le bras de levier donné par :
g : le jeu entre les pièces mâle et femelle.
gee
b 42
21
Soit :
D ’où : (5)
Planche 15
La chape est en aluminium avec : MPaTadm 435
MPaadm 270
MPam 600
2.5 Application numérique
L ’axe est en acier avec : MPaTadm 1100
MPaadm 660
MPam 1650
Déterminer : - le diamètre de l ’axe
- le diamètre de la chape mâle
- l ’épaisseur de la chape
Planche 16
L ’équation (4) donne :
soit :
78250660
31100000442 .*
.**
.
F*d
adm
mm.d 8315
L ’équation (5) donne :
soit : mm.d 9122
9120371100
313210100000323 .*
.***
*
*b*Fd
adm
Le diamètre de l ’axe est donc de 23 mm.
Remarque : l ’épaisseur des chapes n ’étant pas connue, le bras de levier a été fixé à 10 mm.
Il sera nécessaire de vérifier cette hypothèse dès que les épaisseurs des pièces mâle et femelles
auront été déterminées.
Planche 17
L ’équation (3) donne :
soit :
La chape a donc une épaisseur de 10 mm
mm.e 4291
mm.*
.*
d*
Fe
m
42923600
3110000011
L ’équation (2) donne :
soit :
Le rayon de la chape est donc de 60 mm.
Remarque : il faut dimensionner également la pièce femelle. Cette pièce étant constituée de 2 sous-
ensembles si l ’on utilise les mêmes caractéristiques, la pièce sera sur-dimensionnée. Pour gagner de la
masse, il sera alors nécessaire de refaire le calcul pour optimiser l ’épaisseur e2 et le grand diamètre D2.
De même, il est nécessaire de vérifier la tenue de l ’axe pour le cas de rafale positive ainsi que la
tenue en matage des pièces pour cette même charge.
mm.D 29119
mm.*
.**d
e*
F*D
adm
291192310270
3110000022
1
Planche 18
Pour le cas charge en rafale positive, l ’axe du raidisseur ne supporte pas les charges appliqués.
Il est donc impératif de modifier le diamètre de l ’axe et par suite le le diamètre extérieur et l ’épaisseur de la
chape.
On obtient donc :
d ’après (5) :
soit d=29mm
d ’après (4) :
soit e=15mm
d ’après (2) :
soit D=94mm
*
.***
.
*b.Fd
adm 1100
313210200000323
29600
3120000011
*
.*
d*
Fe
m
2915270
3110000022
*
.**d
e.
FD
adm
Planche 19
2.6 Dimensionnement de la semelle
La chape est liée au panneau par des fixations f 6.35 mm.
La contrainte admissible des fixations est de 1000 Mpa. La contrainte de pré-tension est égale à 70% de la
contrainte admissible.
Le coefficient de sécurité , à Charge Extrême, est de 1.5.
Le décollement de la chape n’est pas autorisé.
Calculer la longueur et la largeur de la semelle pour un pas entre fixations de 4f.
Remarques : Les fixations assurent la liaison entre la chape, soumise à un effort de traction, et le panneau.
Les fixations sont donc dimensionnées pour résister à l’arrachement.
Pour calculer les dimensions de la semelle de la chape, il faut déterminer au préalable le nombre de fixations
nécessaires pour faire passer l’effort de traction..
Ce type de calcul préliminaire permet de définir rapidement l’encombrement de la chape.
Planche 20
Rappel sur les efforts de pré-tension (cf cours sur les éclissages piano) :
Fx = effort de traction
appliqué
x dans le boulon
Fp
(effort de pré-tension)
2
4
f
.
F* prétension
2
4
f
.
F* traction
Planche 21
a/ Calcul du nombre de fixations nécessaires pour assurer le maintien de la chape :
S
F
F
Ssoit avec : sécuritéappliqué K*FF
700.*traction.admtensionpré
4
2'
fixfixfix
d.*nS*nS
D ’ou : 2
4'
fix
fixd.*
*F
S*
Fn
9 fixations f 6.35 sont nécessaires pour assurer le maintien de la chape sur le panneau.
90.*dd '
35890356701000
4511000002
.).*.(**.*
*.*n fix
Planche 22
b/ Dimensionnement de la semelle
Les 9 fixations seront réparties de la façon suivante : 4 fixations sur 2 rangées et une rangée de 2 fixations
Le pas entre 2 fixations étant de 5 f , on en déduit :
L = 4*5f = 4*5*6.35 =127 mm
l = 3*5f = 3*5*6.35 =95.25 mm
127 mm
96
mm
Planche 23
3. Remarques
3.1 Effort appliqué
L ’effort appliqué est rarement un effort axial pur. On décompose alors cet effort en un effort axial et un
effort transverse. L ’effort appliqué est appelé « effort oblique ».
On vérifie la tenue de la structure dans ces 2 directions avec :
Effort axial bissectrice
Effort transverse
Effort oblique
a
a cos*FF obliqueaxial
a sin*FF obliquetransverse
Planche 24
3.2 Effort admissible (calculs précis hors prédim)
L ’effort admissible, pour dimensionner les chapes est l’effort minimal admissible en traction ou en
cisaillement/matage.
Pour déterminer les contraintes admissibles en traction, il est nécessaire de calculer le
coefficient de sur-contrainte en bord de trou. Ce coefficient peut être donné par des abaques ou
calculer par la méthode de Neuber (coefficient de sur-contrainte élasto-plastique).
Les chapes étant des pièces démontables, il est nécessaire de faire travailler les matériaux qui la
composent dans le domaine élastique pour éviter toutes déformations permanentes qui
rendraient leur démontage impossible.
Planche 25
3.3 Dimensionnement de l ’axe
L’axe doit être démontable, il faut donc vérifier que le matériau travaille toujours dans le domaine élastique
pour éviter toutes déformations plastiques.
Pour un dimensionnement plus précis, le calcul du bras de levier réel de l’axe doit tenir compte du
phénomène de « peaking » : la déformation locale de flexion provoque une concentration des pressions de
contact près des faces externes de la pièce mâle et des faces internes de la pièce femelle. Ce coefficient de
« peaking » est donné par des abaques.
F
F/2 F/2
Distribution uniforme des pressions de contact Concentrations des pressions de contact
(« peaking »)
F
F/2 F/2
Parties inactives sur
les épaisseurs
Planche 26
3.4 Coefficient de sécurité
Les chapes constituent souvent des passages d’effort uniques, il est donc nécessaire de prendre des marges
lors du dimensionnement notamment par la prise en compte de facteur de ferrure (« fitting factor ») imposé
par les organismes de certification.
On préconise le plus souvent :
- soit un fitting factor de 1.15 qui augmente l ’effort appliqué,
- soit d ’obtenir des marges minimum de 20%.
3.5 Bague rotulée
Les bagues rotulées ont une double fonction. Elles permettent de
- limiter les frottements entre l ’axe et les pièces mâle et femelle,
- de reprendre des efforts hors-plan (Fappliqué*sin 5°).
5°
Plan de chargement
rotule Tenon Axe
