PLACI PLANE

1 Consideratii generale

Placile sunt corpuri ce au o dimensiune, grosimea   orientata dupa axa z, mult mai mica in raport cu celelalte doua (§I.3.1). Acest capitol trateaza cateva probleme simple din domeniul placilor considerate subtiri ce pot prelua solicitarea de incovoiere datorata actiunii fortelor orientate

dupa axa z, perpendiculare pe planul median. Aceste placi indeplinesc conditia  , unde l, de regula orientat dupa x, este latura mica a placii dreptunghiulare  (cealalta latura) iar in cazul placii circulare se face referire la raza R a acestora.

Deformarea placii se evidentiaza din studiul curbarii planului median prin legi de variatie a sagetii w  si a rotirii  ; se face abstractie de extinderea suprafetei mediane ca urmare a solicitarii acesteia.

Ipotezele de calcul din studiul barelor se admit in continuare iar unele se extind la calculul placilor. Se considera ca materialul placii este omogen, izotrop si legea generalizata a lui Hooke in domeniul elastic este satisfacuta. Se adopta o grosime a placii constanta.

Ipoteza lui Bernoulli devine ipoteza lui Kirchoff. Prin aceasta se admite ca punctele aflate pe normala la suprafata mediana raman pe normala la suprafata deformata. Se neglijeaza astfel lunecarile din material comparativ cu rotirea normalei. Inseamna ca punctele materiale ale placii se deplaseaza dupa normalele in planul median, in felul acesta fiind suficient studiul deformarii planului median. Deformatiile fiind mici comparativ cu dimensiuinile placii, se pot scrie intr-o prima etapa ecuatiile de echilibru pentru forma nedeformata. Se observa ca eforturile, si in consecinta tensiunile, nu mai pot fi determinate prin metoda sectiunilor. Se constata ca deformatiile, tensiunile si eforturile pot fi exprimate printr-o functie a rotirii   sau a deplasarii w. Problema consta in a stabili expresia uneia din aceste functii in baza studiului geometric, fizic si mecanic al placii.

2 Studiul placilor plane circulare incarcate simetric

2.1 Studiul geometric

Se considera cazul simplu al unei placi circulare simplu rezemata pe contur, articulata sau incastrata, definita intr-un sistem de referinta cilindric, incarcata simetric cu o sarcina uniform distribuita . Datorita simetriei, pe un cerc de raza oarecare , eforturile sunt aceleasi, dezvoltarea tensiunii avand o variatie identica indiferent de orientarea razei  . Pentru studiu se izoleaza un volum elementar  avand punctul M situat la o raza   de centrul placii si la o distanta   fata de

planul median. Suprafetele volumului elementar sunt: ,  , .

Fig. 1 Placa circulara simplu rezemata pe contur

Simetria placii, a reazemului si a starii de solicitare conduc la o deformare simetrica a placii. Studiul geometric arata ca suprafata mediana plana se modifica intr-o suprafata curba de revolutie cu axa  prin deplasarea punctelor planului median, conform legii lui Kirchoff, numai dupa normala la planul median.

Fig. 2 Studiul geometric al elementului de placa

Punctul M al volumului elementar se deplaseaza cu   pana in punctul M’, iar tangenta la

suprafata deformata ce trece prin punctul mentionat formeaza unghiul   notat cu   cu orizontala, ceea ce exprima rotirea punctului M (rotirea punctului M’D’ in raport cu MD). Punctul B asociat punctului M prin   pe directia   se deplaseaza pe directia   cu  . Pe directia  punctul M se deplaseaza cu  , iar punctul B se deplaseaza cu  .

Prin prisma simetriei se constata ca volumul elementar se poate lungi sau scurta pe directia r  si t, fig. 1; pe directia   avand loc o deplasare   a placii in ansamblul ei, deformarile sunt insignifiante.

Din punct de vedere al lunecarilor simetria cazului studiat este compatibila doar cu lunecarile planelor Sr .

Prin prisma modului de calcul al deformatiilor se pot scrie urmatorele relatii:

in triunghiul M’B’P avand in vedere semnul deplasarilor si rotirilor si tinand cont de faptul ca

deplasarile liniare sunt infinitzetimale ( ,  ):

                                                  ;                                                (1)

lungirea specifica radiala pe directia   are in vedere lungirea calculata prin prisma deplasarii diferentiate a punctelor M si B ce definesc   :

                                       ;                           (XVIII 2)

lungirea specifica circumferentiala pe directia tangentei   la cercul de raza  in punctul M este evidentiata de noua circumferinta de raza   a punctului M’:

                                          ;                             (XVIII 3)

deplasarea u a punctului M situat la distanta  de planul median prin prisma rotirii   a punctului este  .

Prin prisma parametrului   ce intervine in ecuatia diferentiala de echilibru a elementului de placa, lungimile specifice se calculeaza astfel:

                                              ,                                 (XVIII 4)

iar   este :

                                                        .                                          (XVIII 5)

  

2.2 Aplicarea legii generalizate a lui Hooke

Asociat deformatiilor  ,  ,  (nesemnificativ) si a lunecarilor posibile doar in planul    datorita simetriei rezulta o dispunere a tensiunilor conform figurii 3.

Fig. 3 Dispunerea tensiunilor

Deoarece  si   rezulta ca   este o suprafata principala iar directia   este indiferenta de marimea solicitarii si de dimensiunile placii circulare fiind o directie principala dupa care se dezvolta o tensiune normala principala.

Se observa:

o variatie a tensiunii radiale   pe directia  ;

tensiune circumferentiala  constanta pe circumferinta;

 deoarece planurile paralele cu planul median se deformeaza fara sa se striveasca intre ele;

o variatie a tensiunii tangentiale   pe directia r din planul Sr.

Se constata ca elementul de placa se afla intr-o stare plana de tensiune, valorile tensiunilor calculandu-se prin prisma legii generalizate a lui Hooke (V.16) pentru o valoare z data, fiind dependente da variabilele   si r.

                             ,                            (6)

                             .                            (7)

2.3 Eforturi in placile circulare

Reprezentarea cumulativa a tensiunilor din sectiunile volumului elementar, se face sub forma cunoscuta a eforturilor.

In cazul placii, efortul nu mai pote fi dedus din exterior prin aplicarea torsorului de reducere. Efortul poate fi dedus functie de solicitarea exterioara pe intreaga circumferinta. Pentru a putea reprezenta efortul pe placa elementara de grosime h, (  din formulele precedente

devine  ), sarcina exterioara uniform distribuita fiind reprezentata de p, se considera intensitatea efortulurilor (efortul pe unitatea de lungime) T1, M1, obtinute din raportarea acestora la lungimea pe care se manifesta (fig. 4).

In cazul studiat conform solicitarii, eforturile moment sunt pozitive, suprafata de dedesubt este intinsa iar efortul forta taietoare pe portiunea considerata este negativ. Marimile si unitatile de masura ale intensitatii eforturilor sunt:

                           [N/m] unde   [N],                         (8)

                   [Nm/m] unde   [Nm],                 (9)

                    [Nm/m] unde   [Nm].               (10)

Fig. 4 Reprezentarea eforturilor

Prin prisma expresiilor lui  si   eforturile si   capata forma:

                  ,              (11)

                  ,              (12)

in care:

                                                 ,                                              (13)

unde  este  modulul de rigiditate cilindrica a placii pe unitatea de lungime;

                                             ,                                         (14)

                                             .                                         (15)

2.4 Studiul static

Din echilibrul fortelor dupa   (pe axa t nu avem eforturi forta, iar dupa axa   efrturile sunt egale si de sens contrar) rezulta:

                                                      ,                                                   (16)

                      .                   (17)

Amplificand cu   si neglijand diferentele de ordinul doi, rezulta:

                                               ,                                            (18)

sau:

                                                ,                                             (19)

                                                  ,                                               (20)

                                                  ,                                               (21)

Prin integrare rezulta:

                                            .                                         (22)

Din calculul integralei rezulta:

                                                   ,                                                (23)

de unde:

                                                      .                                                  (24)

Prin relatia (24) se face legatura dintre solicitarea exterioara p si efortul forta taietoare T.

De mentionat ca in cazul placilor circulare incarcate simetric, forta taietoare   poate fi determinata usor considerand conditiile de echilibru pentru o portiune centrala de forma cilindrica de raza   decupata din placa.

Din echilibrul sarcinii exterioare   cu efortul forta taietoare pe unitatea de

lungime   de pe suprafata laterala a cilindrului de aceeasi valoare pe o circumferinta de raza r, rezulta:

                                              ,                                           (25)

de unde:

                                                      .                                                  (26)

Din echilibrul momentelor in planul   in raport cu punctul A rezulta un echilibru al momentelor (momentele din planul  sunt constante pe intreaga circumferinta, iar in planul  nu exista) sub forma:

                                                     ,                                                  (27)

                      (28)

Amplificand cu   si neglijand diferentiala de ordin superior rezulta ecuatia de echilibru a momentelor sub forma:

                                         .                                      (29)

            Relatia (29) exprima legatura dintre eforturile M si T.

2.5 Functia   a placii circulare incarcate simetric

Din analiza ecuatiilor de echilibru (21) si (29) se constata ca introducand in (29) eforturile moment sub forma (14) si (15) si avand in vedere ca T1rz poate fi dedus din (21), rezulta o expresie de forma  pentru o incarcare data p si o rigiditate D1 a placii considerate.

Din (29) rezulta:

                   ,                (30)

                 ,              (31)

                                       ,                                    (32)

de unde:

                                          .                                       (33)

Integrand de doua ori expresia (33) rezulta:

                                  .                               (34)

Constante de integrare  si   se determina din conditii la limita pentru fiecare caz concret. Astfel se fac referirile la rotiri, sageti, eforturi, care pot fi stabilite in mijlocul placii, pe conturul de rezemare, pe contururile libere, precum si pe frontiera intervalelor cu incarcari diferite avand in vedere continuitatea fibrei. De asemenea se au in vedere conditiile geometrice in situatiile de simetrie.

Inlocuind pe T1rz (24) prin integrari successive ale ecuatiei (34) rezulta:

                                                                                       (35)

Prin cunoasterea functiei   pot fi determinate momentele incovoietoare pe unitatea de lungime M1tr si M1rt , din expresiile (11) si (12) precum si sageata w din (1). Cunoscand momentele incovoietoare se determina tensiunile din compararea expresiilor (6), (7) si (11), (12), rezulta:

 ; 

                                                                                                                         (36)

 ; 

Pentru   rezulta tensiunile normale maxime din sectiunea de calcul considerata:

                                         si                                       (37)

unde:

 si 

- moment de inertie axial al placii pentru latimea de o unitate;

- modul de rezistenta axial al placii pentru latimea de o unitate;

Se constata ca distributia tensiunilor orientate dupa cele doua directii r si t  variaza liniar pe grosimea placii fiind proportionale cu distanta de la punctul de calcul la suprafata mediana ca in

cazul barelor (Navier). Planul neutru pentru   si   coincide cu suprafata mediana a placii, valorile extreme ale tensiunilor fiind pe suprafetele laterale.

Pentru determinare sagetii w se are in vedere (1) in care se inlocuieste  :

                                                            (38)

                                                                       (39)

3 Determinarea tensiunilor si a sagetii din placile plane circulare incarcate simetric

 3.1 Placa incastrata pe contur

Se considera placa de raza R, grosime h, incastrata pe contur incarcata cu o sarcina uniform distribuita p conform fig. (5).

Expresia functiei   (35) pentru cazul studiat se stabileste in raport de constantele de integrare prin determinarea acestora in baza urmatoarelor conditii:

-       rotirea   in centrul placii (r = 0) este nula, deoarece tangenta la planul deformat este paralela cu planul median al placii nesolicitate:

                                 .                                      (40)

Relatia poate fi indeplinita daca  . Expresia  (35) capata forma:

                                     .                                           (41)

-          din conditia pe contur pusa pentru relatia (41) [II.2]   pentru  , rezulta:

                                    ,                                          (42)

de unde:

                                          .                                                  (43)

Odata stabilite constantele  ,   ale expresiei (35) pentru cazul studiat, acestea capata forma:

                                              .                                           (44)

Se pot stabili valorile eforturilor moment (14), (15) avand in vedere ca:

                           ,  .                        (45)

Fig. 5 Placa incastrata pe contur

Rezulta:

,             (46)

.             (47)

Pentru o placa executata din otel aliat  , se obtine:

                                          ,                                       (48)

                                          .                                       (49)

Diagramele momentelor incovoietoare se construiesc conform relatiilor si au o forma parabolica. Se observa ca in centrul placii momentul incovoietor are aceeasi valoare in orice directie, fig. (5)

Pentru:        

                                  .                                       (50) 

Pentru:        

                            ,                        (51)

                          .                       (52)

Tensiunile normale maxime corespunzatoare valorilor extreme ale eforturilor in cazul otelului aliat ( ),(37), sunt:

-          in centrul placii (r = 0)

          (53)

-          pe contur (r = R)

                       ,                    (54)

                    .                 (55)

Valoarea cea mai mare a tensiunii este pe contur pe directia razei r,  ; in punctele

conturului tensiunea minima este pe directia verticala z, unde  ; astfel tensiunea echivalenta conform teoriei tensiunilor tangentiale maxime, (XI. 14),  pe contur este :

                                                                         (56)

Fig. 6 Placa incastrata pe contur.

Prin prisma celor prezentate la o solicitare extrema fisurile apar in jurul conturului placii de grosime h pe partea  superioara a acesteia.

                                                            (57)

                         Din (1) se deduce sageata w sub forma  (39), cunoscand    din expresia

(43) si  . Rezulta:

                                        .                                     (58)

Pentru determinarea lui   se pune conditia:

-          pentru   sageata ; rezulta:

                             ,   .                          (59)

Expresia sagetii pentru placa circulara incarcata simetric cu o sarcina uniform distribuita, incastrata pe contur este:

                                      .                                   (60)

Sageata maxima este pe mijlocul placii (w0) r =0 si are marimea:

                                                .                                             (61)

3.2 Placa simplu rezemata pe contur

Se considera placa definita in paragraful pecedent numai ca este simplu rezemata pe contur, fig.

(7). Deoarece si in aceste caz  , expresia functiei   are forma (41).

Conditia pentru determinarea constantei C1 are in vedere faptul ca pe contur (marginea

placii) pentru  ,   (are loc o rotire a marginii placii).

Tensiunea   (6) se calculeaza prin prisma functiei   (41) avand in vedere ca:

                                                 ,                                             (62)

                                              .                                           (63)

Pentru valoarea cea mai mare a tensiunii pe suprafetele laterale,  , rezulta:

                                      (64)

Pentru  ,  (adica paranteza are valoarea zero) se obtine:

                                    .                                 (65)

De unde:

                                            .                                         (66)

In aceste conditii expresia lui   capata forma:

                                  .                               (67)

Fig. 7 Placa simplu rezemata pe contur.

Se pot stabili valorile eforturilor moment (14), (15), avand in vedere ca:

                ,                 (68)

                .            (69)

Rezulta:

                   ,                (70)

                                 ,                                      (71)

                      ,                  (72)

                                  .                               (73)

Pentru o placa executata din otel aliat  , se obtine:

                                    ,                                         (74)

                                         .                                      (75)

Ca si in cazul placii incastrate diagramele momentelor incovoietoare au o forma parabolica, iar in centrul placii momentul incovoietor are aceeasi valoare in orice directie, fig. (7).

Din relatiile (71), (73) se determina valorile momentelor incovoietoare in sectiunile din centrul si marginea placii.

-          in centrul placii ( )

                                         .                                      (76)

-          pe contur ( )

                                       ,                                   (77)

                            ,                         (78)

                                    .                                          (79)

Tensiunile normale maxime corespunzatoare valorilor extreme ale eforturilor in cazul otelului aliat ( ),(77), sunt:

-          in centrul placii

                   .                (80)

-          pe contur

                 ,  .                   (81)

Tensiunea normala este maxima in centrul suprafetei inferioare a placii si are aceeasi valoare pe

oricare directie a razei; tensiunea minima este pe directia z,  .  Tensiunea echivalenta conform teoriei tensiunilor tangentiale maxime, [XI. 14],  in centrul placii este:

                                     .                                  (82)

Fisurile apar in centrul suprafetei inferioare a placii, fig. (8).

Fig. 8 Fisuri pe suprafata posterioara

Cunoscand expresia rotirii  , (67), se determina sageata w, (39), cunoscand C1, (66) si C2=0:

                          .                             (83)

Se pune conditia ca deplasarea w sa fie nula pe contur r = R, w = 0.

Rezulta:  . De unde:

                                                       (84)

Expresia sagetii este:

                     .                       (85)

Sageata maxima este pe mijlocul placii (w0) pentru r = 0 si are marimea:

                                           .                                        (86)

4 Placi plane dreptunghiulare

4.1 Incovoierea placilor plane dreptunghiulare

Placile plane dreptunghiulare au o larga raspandire regasindu-se in elementele de carcasa, pereti de rezervoare, elemente din corpul navei, etc.

Calculul acestora este mult mai dificil deoarece parametrii ce reflecta solicitarea, tensiunile si sageata, se determina prin prisma unei functii de doua variabile independente x,y in loc de o variabila r ca in cazul placilor circulare. Functia reflecta deformarea suprafetei mediane si este sub forma unei ecuatii diferentiale cu derivate partiale a carei solutie este data de regula printr-o serie.

In cazul placii dreptunghiulare incarcate cu o sarcina uniform distribuita p normala pe placa, se utilizeaza relatia lui Sophie-Germaine sub forma:

                                       .                                    (87)

Rezolvarea ecuatiei (87)  este tratata pe larg in literatura de specialitate, in continuare prezentandu-se cateva rezultate finale pentru situatii intalnite frecvent, pentru o sarcina uniform distribuita p normala pe placa de grosimea h.

Fig. 9.a Placa simplu rezemata

Daca placa este simplu rezemata pe contur, fig. (9.a), sageata maxima din centrul placii x= y= 0 este:

                                                 .                                              (88)

Fig. 9.b Placa incastrata pe contur

Momentul incovoietor maxim pe unitatea de lungime se dezvolta in centrul placii (x= y= 0) fiind cel care produce rotirea in planul xz (M1xy), ceea ce inseamna ca fibrele paralele cu latura mai scurta l sunt cele mai solicitate:

                                                  ,                                               (89)

de unde:

                                      .                                   (90)

Fisura, la fel ca la placile circulare, se dezvolta in centrul suprafetei inferioare a placii solicitata la tensiuni de intindere din incovoiere.

Coeficientii k1, k2, k3 pentru  cazul cu valoarea coeficientului lui Poisson υ = 0,3 sunt prezentati in tabelul 1, functii de raportulL/l.

Tabelul 1. Valoarea coeficientilor k1, k2, k3 in functie de raportul laturilor L/l.

L/l 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 3 4 5 ∞k1 0,0433 0,0616 0,0770 0,0906 0,1017 0,1106 0,1336 0,1400 0,1416 0,1422k2 0,0479 0,0626 0,0753 0,0862 0,0948 0,1017 0,1189 0,1235 0,1246 0,1250k3 0,2874 0,3756 0,4518 0,5172 0,5688 0,6102 0,7134 0,7410 0,7476 0,7500

Daca placa este incastrata pe contur (9.b) sageata maxima din centru placii x= y= 0 este:

                                                  .                                               (91)

Momentul incovoietor maxim pe unitatea de lungime are aceeasi orientare ca in cazul placii simplu rezemate M1xy si se dezvolta in centrul placii x= y= 0.

                                                   ,                                                (92)

de unde,

                                      .                                   (93)

Spre deosebire de placile circulare incastrate fisura se dezvolta in centrul suprafetei inferioare a placii.

Coeficientii k’1, k’2, k’3 sunt prezentate in tabelul 2, functie de raportul L/l.

Tabelul 2. Valoarea coeficientilor k’1, k’2, k’3 in functie de raportul laturilor L/l.

L/l 1 1,25 1,5 1,75 2 ∞k1 0,0138 0,0199 0,0240 0,0264 0,0277 0,0284k2 0,0513 0,0655 0,0757 0,0817 0,0829 0,0838k3 0,3078 0,3990 0,4542 0,4902 0,4974 0,5028

4.2 Incovoierea cilindrica a placilor plane dreptunghiulare

Se considera o placa simplu rezemata pe contur, solicitata cu o sarcina normala pe placa de intensitate constanta pe directia y(directia laturii mari L) si variabila pe directia x. Se constata ca suprafata curbata a placii ia forma unui cilindru avand generatoarea paralela cu axa Oy. Teoretic doar pentru L = ∞ placa se incovoaie cilindric; totusi pentru situatia in care L>3l rezultatele obtinute considerand incovoierea cilindrica a placii sunt acceptabile.

Problema se rezolva si daca se ia placa simplu rezemata numai pe laturile paralele cu directia y, fig.(10). Calculul poate fi redus la calculul unei grinzi de latime mare. Studiul se face considerand o fasie izolata avand latimea egala cu o unitate. Aceasta fasie reprezinta o grinda de sectiune transversala dreptunghiulara 1xh, de lungime l, simplu rezemata,in care se dezvolta efortul moment incovoietor M1xy cu tensiuni σx≠0.

Particularitatea este ca sectiunea transversala a grinzi nu se poate deforma din cauza fasiilor invecinate. In aceasta situatie avem o stare plana de deformare in care:

                                               .                                           (94)

Se admite conditia impusa grinzilor, si anume ca materialul nu este solicitat pe directia grosimii placii (inaltimea grinzii), adica:

                                                                                           (95)

Fig. 10 Placa simplu rezemata pe laturile paralele

In acest caz legea generalizata a lui Hooke (V.10)  se scrie:

                                               (96)

Prima ecuatie a sistemului se mai scrie:

                                               ,                                           (97)

de unde   si  , iar EP este modulul de elasticitate al materialului pentru o fasie de placa.

                                                                                           (98)

Fig. 11 Tensiuni in incovoierea cilindrica

Rezulta ca in cazul placii se inlocuieste modulul de elasticitate E cu modulul de elasticitate al materialului pentru o fasie de placaEP. Astfel ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate se scrie:

                                           .                                        (99)

Notatia D1 a fost folosita in relatia  (13).

                                                                                   (100)

In concluzie toate calculele se deruleaza ca la o grinda simplu rezemata de latime egala cu unitatea si de rigiditate EP.