Osnovna literatura:

Jurkovi, M.: Matematiko modeliranje inenjerskih procesa i sistema, Tehniki fakultet, Biha, 1999.Jurkovi, M.:Matematiko modeliranje i optimizacija obradnih procesa, Sveuilite u Rijeci, Rijeka, 2000.Jurkovi, M., Reinenjering proizvodnih poduzea-razvoj i modernizacija proizvodnje, Tehniki fakultet, Biha, 2011.Seminsrski raunsko grafiki rad: Modeliranje i simulacija procesa, mentor prof.dr. M. Jurokovi, Tehniki fakultet, Biha, 2002.Jurkovi, M.: Eksperimentalna analiza naprezanja i deformacija / Eksperimentalne metode, 17. poglavlje, str. 279-347. u knjizi Doleek, V., Karabegovi, I. , Martinovi, D., Jurkovi, M., Blagojevi, D., Bogdan, ., Bijelonja, I., Elastostatika II, Tehniki fakultet, Biha, 2004.

1. Kako koristiti teorijska znanja u praktine svrhe?

1. Matematiko modeliranje inenjerskih procesa i sistema ima veliko znaenje u irokom podruju tehnikih znanosti i praksi, kao i u svim drugim oblicima kvantitativnih istraivanja. Moderna se znastvena misao temelji na uvjerenju da teorijske podloge i koncepti imaju realnu osnovu ako se izraavaju u obliku kvantitativnih pokazatelja.. Tada je mogue teorijska znanja efikasno koristiti u praktine svrhe.

2. Kako implementirati znanje u konkretan proizvod, proces ili sistem?

2. Tei se definiranju procesa i sistema u obliku matematikog modela kako bi se ustanovio kvantitativni odnos izmeu ulaznih i izlaznih varijabli obradnog procesa ili sistema. Ovo otvara niz mogunosti da se efekti kao izlazi iz procesa ili sistema mogu predstaviti na osnovi promjene ulaznih varijabli u process ili sistem.

3. to obuhvaa modeliranje i gdje se moe implementirati?

3. Modeliranje u irem smislu obuhvaa sva podruja ovjekova rada i stvaranja. Mogue implementiranje je u optimizaciji obradnih procesa u podruju proizvodnog strojastva, a mogua je implementacija i u drugim znastveno-strunim podrujima kao to su: Procesna tehnika, Energetika Strojogradnja Metalurgija Elektrotehnika Hidraulika Termodinamika i dr.4. ta se podrazumijeva pod modeliranjem i ta je rezultat modeliranja?

4. Pod modeliranjem se podrazumijeva definiranje matematikih modela i drugih prikaza koji su neophodni za optimizaciju, simulaciju, revitalizaciju i upravljanje procesima i sistemima. Modeliranje isto podrazumijeva poznavanje matematikog modela procesa, to je prvi uvjet i plazite za inoviranje i revitalizaciju procesa ili sistema.Rezultat modeliranja i optimizacije obradnih procesa i sistema je jeftinija, kvalitetnija i profitabilnija proizvodnja.

5. Koji su ciljevi modeliranja?

5. Ciljevi modeliranja su:

Poveanje proizvodnosti, Poveanje Ekonominosti, Poveanje Ukupne kvalitete proizvoda ili pojedinih segmenata kvalitete Te smanjenje utroka materijala, energije, vremena obrade I trokova obrade po jedinici proizvoda.6. Koje su tekoe u primjeni analitikih modela?

6. Kod analitikog modela definiranje dovoljno pouzdanih matematikih modela je vrlo sloeno i zahtijeva puno aproksimacija, a tekoa lei u tome to na kraju utie na tanost dobivenog rezultata.

7. Zato se izvodi modeliranje i ta je svrha?

Osnovna svrha modeliranja je definiranje matematikih modela koji e u odgovarajuem stupnju tonosti adekvatno opisati proces ili sistem u cilju: simulacije varijantnih rjeenja, analize i prognoziranja stanja procesa jo u fazi projektiranja definiranja matematikih modela koji su neophodni za optimizaciju procesa i iznalaenje optimalnih rjeenja izgradnje modela upravljanja za dati sistem, odnosno objekt optimizacije znanstvenih istraivanja ili praktine primjene u realnim procesima. (Knjiga Matematiko modeliranje...,strana 6, 1.1 Svrha i cilj modeliranja)

8. ta prethodi tehnolokoj i ekonomskoj optimizaciji procesa?

Tehnoloko oblikovanje i projektiranje modernih procesa obrade zahtjeva analizu svih tehniko-tehnolokih parametara procesa i primjenu znanstvenih metoda u cilju modeliranja i definiranja optimalnih uvjeta obradnih procesa i sistema, u cilju optimizacije, ekonominosti, smanjenja utroka materijala itd. Da bi se navedeni ciljevi ostvarli potrebno je djelovati u pravcu: implementiranja novih i usavravanje postojeih metoda i postupka obrade projektiranja i primjene visokoproizvodnih postupaka obrade i obradnih sistema primjene znanja u procesu projektiranja i optimizacije postupka obrade, to zahtjeva definiranje pouzdanih matematikih modela razvoja i primjene eksperimentalnih metoda revitalizacije proizvodnih tehnologija i proizvoda stalnog inoviranja i revitalizacije proizvodnih tehnologija i proizvoda definiranja empirisko-analitikih i drugih modela potrebnih za optimizaciju i simulaciju procesa i sistema u fazi projektovanja(Knjiga Matematiko modeliranje...,strana 5, 1 Uvod)

9. Zato su potrebni pouzdani matematiki modeli?

Zbog sve vee trine konkurencije svaki proizvod treba proizvesti kvalitetno, jeftino i na vrjeme, to zahtjeva definiranje i realiziranje optimalnog procesa obrade, a ne bilo kakvog. Zato primjeni optimalne tehnologije u datom procesu obrade uvjek treba predhoditi izgradnja dovoljno tonoga i pouzdanoga matematikog modela, jer je to uvjet postojanja skupa vievarijantnih rjeenja iz kojih je mogue definirati optimalno. (Knjiga Matematiko modeliranje...,strana 7, 1.2 Znaenje izgradnje pouzdanih matematikih modela)

10. Koja je razlika izmeu klasinog i modernog procesa rada?

Razlika izmeu klasinog i modernog procesa obrade-rada prikazana je na slici, kod klasinog procesa obrade izostavljena je optimizacija i modeliranje, a tehno-ekonomska karakteristika ne mjenja se, dok kod modernog-savremenog procesa obrade dolazi do optimizacije i modeliranja procesa obrade a tehno-ekonomska karekteristika tei jedinici.

Slika Procesi obrade, a. konvencionalni, b. suvremeni-optimizirani

11. Kako se mogu unaprijediti klasini-konvencionalni procesi rada i koje su koristi od toga?Tehnologije obrade koje se primjenjuju niz godina u odreenom konvencionalnom- standardnom obliku mogu se primjenom odgovarajuih metoda modeliranja inovirati bez znatnijih financiskih ulaganja, ali uz koritenje znanja i informatikih tehnologija. (Knjiga Matematiko modeliranje...,strana 7, 1.2 Znaenje izgradnje pouzdanih matematikih modela)

12. Koje su osnovne metode modeliranja?

Osnovne metode modeliranja mogu biti deterministike i stohastike. Kod deterministikog procesa obrade postoji jednoznana ovisnost izlaznih (upravljanih) veliina od ulaznih veliina tako da deterministiki matematiki model ne sadri poremeejne veliine (poremeajnu veliinu ) pa model procesa ili sistema ima oblik:

Blok shema deterministikog modela

Deterministiki model esto predstavlja priblian i pojednostavljen matematiki opis realnog procesa, meutim osnovna obiljeija svakog realnog objekta ili procesa obrade su skoro redovito stohastika.Stohastiki modeli dolaze u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj nekontroliranih- poremeajnih sluajnih faktora .

Blok shema stohastikog modela

U analizi istraivanja procesa i sistema mogu biti primjenjene neke od sljedeih metoda modeliranja: Analitiko Stohastiko Dimenzionalno Numeriko Raunalno-grafiko Fizikalno Analogno Misaono(Knjiga Matematiko modeliranje...,strana 9, 1.3 Metode i klasifikacija procesa modeliranja)

13. Koja je razlika izmeu deterministikog i stohastikog modela (prikazati)?

Kod deterministikog procesa obrade postoji jednoznana ovisnost izlaznih veliina od ulaznih veliina , tako da deterministiki model ne sadri poremeajne veliine .Model procesa ili sistema ima oblik:

Blok shema deterministikog modela

uz ogranienje:

ili u eksplicitnom obliku uz isto ogranienje : .

Deterministiki model esto predstavlja priblian i pojednostavljen matematiki opis realnog procesa. Meutim, osnovna obiljeja svakog realnog objekta ili procesa obrade su skoro redovito stohastika. To znai, ako se eli dobiti i taan matematiki opis nekog realnog procesa ili sistema, mora se opis definirati u obliku stohastikog modela.Prema tome, deterministiki model moe se koristiti, samo, kada se stohastika obiljeja u realnom procesu ili sistemu manjeg intenziteta ili kada se eli priblian ili pojednostavljen ali dovoljno taan matematiki opis stohastikog procesa ili sistema.Stohastiki modeli (empirijsko-statistiki) dolaze u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj nekontroliranih-poremeajnih sluajnih faktora .

Tako opi matematiki model stohastikog procesa glasi:

uz ogranienje:

ili u eksplicitnom obliku: .

Blok shema stohastikoga modela

14. Kako se izraava deterministiki model?

Deterministiki model se izraava pomou razliitih matematikih struktura, kao to su:. algebarske obine diferencijalne, parcijalne, integralne i dr. jednaine.

15. O kakvom se matematikom modelu radi kad neobuhvaeni parametri ne utjeu na izlazne parametre i kada svakom skupu ulaznih parametara odgovara jednoznano skup izlaznih parametara?

Ako neobuhvaeni parametri ne utjeu na izlazne parametre procesa (varijanta kada se u pravilu moe razmatrati kao isto hipotetiki skup) i ako svakom konkretnom skupu obuhvaenih ulaznih parametara odgovara jednoznano odreeni skup izlaznih parametara, tada se govori o deterministikom matematikom modelu procesa.

16. Koje sve postoje metode modeliranja procesa i sistema?

17. Koji je glavni znaaj stohastikog modeliranja?

Stohastiko modeliranje koristi eksperimentalne rezultate i metode matematike statistike. Ovakvi su modeli veoma korisni u mnogim inenjerskim i znanstvenim istraivanjima (procesi obrade, obradni sistemi, triboloki procesi, tanost i kvaliteta obrade, minimizacija utroka energije, materijala i vremena obrade, procesno inenjerstvo, toplinski procesi itd). Suvremeni pristup modeliranju temelji se na povezivanju teorije i eksperimenta. Osnovna karakteristika stohastikog modela je visok stupanj pouzdanosti i tanosti uz znatne trokove modeliranja, radi potrebne pripreme i realizacije eksperimenta.

18. Kako se dobiju matematiki modeli dimenzionalnim modeliranjem?

Dimenzionalno modeliranje se koristi u mnogim podrujima kao to su: hidrotehnika, aerotehnika, hemijska i procesna tehnika, termodinamika, procesi obrade itd. Teorija dimenzionalnosti, iako ima prostu proceduru primjene, jo uvijek je nedovoljno iskoritena u modeliranju i analizi procesa, posebno kod proizvodni procesa i sistema. Dimenzionalnim modeliranjem se dobiju matematiki modeli sastavljeni od bezdimenzionalnih veliina i eksponenata koji se obrade koritenjem eksperimentalnih rezultata. Dakle i kod modeliranja primjenom teorije dimenzionalnosti eksperimentalno je istraivanje osnova za definiranje matematikih modela u obliku koji e biti pogodan za praktinu primjenu.

19.Gdje i zato se koristi numeriko modeliranje?

Numeriko modeliranje se koristi za: modeliranje naprezanja i deformacija u podruju elastinih, elasto-plastinih i plastinih deformacija, proraun sila optereenja sistema i alata, simulaciju procesa i izbor optimalne konstrukcije ili varijante procesa obrade.

Uz pomo ove metode mogue je definirati matematike modele i izvesti simulacije rjeenja bez provedbe eksperimentalnih istraivanja i izrade prototipnih sistema, to znatno skrauje vrijeme prorauna, analize, projektiranja procesa i pojeftinjuje poslove koji prethode aplikaciji.

20.ta je osnovni cilj modeliranja, ta se definira modeliranjem i kako se prikazuju ovisnost parametara?

Osnovni cilj modeliranja je definiranje matematikih modela i drugih prikaza koji su neophodni za optimizaciju, simulaciju, revitalizaciju iI upravljanje procesima i sistemima. Ili drugim rijeima, osnovni je cilj izgradnja matematikih modela koji e u odgovarajuem stanju tanosti adekvatno opisati process ili sistem, u cilju: Simulacije varijantnih rjeenja, analize i prognoziranja stanja procesa jo u fazi projektiranja, Definiranja matematikih modela koji su neophodni za optimizaciju procesa i iznalaenje optimalnih rjeenja, Izgradnje modela upravljanja za dati sistem, tj. objekt optimizacije, Znanstvenih istraivanja i/ili praktine primjene u realnim procesima.

21.Koji su glavni koraci algoritma razvoja matematikog modela?

POETAKFormalizirano opisivanje procesaIdentifikacija mikro procesaAnaliza ulazno-izlaznih parametaraUtvrivanje skupa Xi Zi Yi i=1,2,3,...Definiranje granice parametaraMatematiko opisivanje procesaFormiranje matematikog modela mikro procesaSinteza matematikih modela mikro procesaAnaliza adekvatnosti i pouzdanosti matematikog modelaDefiniranje algoritmaIspitivanje toka funkcijeRjeavanje sistema jednadbiRaunaloRaunalo

Opi algoritam razvoja matematikog modela

22.ta podrazumjeva matematiko opisivanje realnog procesa ili sistema?

Matematiko opisivanje realnog procesa obrade podrazumijeva matematiko opisivanje svih elementarnih procesa prikazanih u obliku funkcija i jednadbi (funkcija postojanosti alata, funkcija istroenosti alata, funkcija otpora u procesu obrade, funkcija kvalitete obraene povrine,), sintezu matematikih modela pojedinih elementarnih procesa u jedinstveni matematiki model te njihovo povezivanje definiranjem dodatnih punkcija.

23.Kako se izvodi identifikacija parametara procesa?

Identifikacija parametara procesa i sistema izvodi se analizom procesa na temelju poznatih teorijskih podataka o konkretnom procesu ili slinom procesu kada je konkretni proces nedovoljno poznat. Identifikacija parametara procesa moe se izvesti i eksperimentalnim putem kada se iz ukupnog skupa identificiranih utjecajnih parametara izabere jedan broj parametara koji se definiraju kao nezavisno promjenjive ulazne veliine (Xi), a ostali se parametri, iako mogu biti nezavisno promjenjive veliine u postupku modeliranja, tretiraju kao konstante.

OBRADAK (materijal, stanje oblik)ALAT (materijal, vrsta, geometrija)STROJ (tanost, snaga, pogon, upravljanje)TRIBOLOGIJA(sredstvo za hlaenje i podmazivanje)VRSTA PROCESA OBRADE(tokarenje, glodanje, buenje, izvlaenje, istiskivanje, zavarivanje, ...)UVJETI PROCESA OBRADE(brzina, posmak, dubina, temperatura, deformacija, postojanost, trenje,...)Dinamika procesa (ukupne i specifine sile, momenti)Energetika procesa (utoak, stupanj iskoristivosti)Otpornost troenju (temperatura, trenje, trajnost)Geometrija obraene povrine i tanost oblikaKvaliteta obraene povrine, hrapavostOtpadak materijala, oblik, stupanj iskoristivost, potekoeVrijeme obrade, trokovi direktnog i indirektnog ivog rada

ULAZNE KARAKTERISTIKE IZLAZNE KARAKTERISTIKE PROCESA KARAKTERISTIKE

Sl. Analiza i identifikacija parametara procesa obrade

24.Prikai identifikaciju ulaznih i izlaznih parametara procesa odreenom blok emom.

Identifikacija parametara procesa obrade skidanjem strugotine

PROCESAgvsarOElementi reima obradeGB, TFi(i=1, 2, 3)ARaOSSMSHPKonstanteZavisno promjenjive izlazne veliineNezavisno promjenjive ulazne veliine

Blok shema ovisi o vrsti procesa obrade, broju utjecajnih parametara, cilju istraivanja I sloenosti pretpostavljenog modela.25. O emu ovisi blok ema procesa?Blok shema procesa ovisi o vrsti procesa obrade, broju utjecajnih parametara, cilju istraivanja i sloenosti pretpostavljenog modela. Izlaznih parametara procesa moe biti vie ili samo jedan, to ovisi od postavljenog cilja modeliranja.

26. Kako se vri izbor tipa modela i koji su modeli najbolji?

Do modela se moe doi na razliite naine , meutim osnovno je pitanje u kojoj mjeri taj odabrani model adekvatno opisuje stanje procesa obrade.Osnovni tipovi matematikih modela su deterministiki i stohastiki.U smislu odabira osnovnog tipa matemtikog modela izbor zavisi o omjeru utjecaja sluajnih varijabli.

Pri izboru modela za aproksimaciju eksperimentalnih rezultata trae se modeli koji najbolje opisuju realni proces ili sistem. Funkcija modela moe biti, prava linija, parabola drugog ili treeg reda, hiperbola, logaritamska funkcija

Za izbor tipa modela ne postoji opte pravilo ve da za svaki istraivaki proces ili sistem treba izabrati model a zatim izvriti provjeru njegove tanosti i adekvatnosti u odnosu na realni proces.

Sliku 2.7 primjeri izbora matematikog modela ovisno o grupiranju eksperimentalnih rezultata.Str 27-28

27. ta je induktivni, a to deduktivni put u razradi matematikih modela?

Postoji vie naina da se izgradi model sistema, od kojih su najznaajniji sljedei pristupi: 1. Deduktivni pristup (polazi od opteg ka posebnom). 2. Induktivni pristup (za razliku od prethodnog, polazi od posebnog da bi se dolo do opteg).

Deduktivni pristup: Ovaj pristup pretpostavlja primjenu optih iskustava koja su steena prilikom modeliranja razliitih specifinih procesa. Uz to, pristup koristi i prethodno znanje o razmatranom procesu, koje se zasniva na poznavanju fizikih zakona koji definiu matematike relacije izmeu relevantnih varijabli u idealizovanom modelu procesa sa idealizovanim fizikim komponentama. Na primer, u idealizovanim fizikim komponentama tijelo odgovarajue mase se tretira kao takasto, uz zanemarivanje njegovih dimenzija, protoci su laminarni, koncentracije su homogeno raspodeljene u rezervoaru, mjeavine su idealne i sl. Fiziki zakoni se obino izraavaju u obliku algebarskih i/ili diferencijalnih jednaina.

Induktivni pristup: U optem sluaju se ne raspolae sa dovoljno apriornog znanja da bi se parametri u usvojenoj strukturi modela procenili adekvatno. U takvim situacijama koriste se tehnike parametarske identifikacije sistema, koje koriste mjerenja ulaza i izlaza sistema da bi estimirale (procijenile) vrijednosti parametara u modelu. Postupak identifikacije zasniva se i na nekim dodatnim pretpostavkama, kao to su, na primjer, klasa linearnih modela, selekcija ulazno/izlaznih varijabli, red modela i sl. Sam postupak pribavljanja informacija o sistemu naziva se indukcija. U navedenom sluaju postavlja se prirodno i pitanje izbora kriterijuma za poreenje razliitih modela u uslovima kada su mjerenja na procesu prisutna.

Ponekad je mogue da se model sistema izvede samo na osnovu deduktivnog pristupa, koristei odgovarajue fizike zakone i procenjene vrijednosti parametara, na bazi fizikih gabarita. Takav model naziva se bijeli model ili white-box model.U nekim sluajevima ne postoji adekvatno apriorno znanje o realnom procesu, te model mora da se postavi na osnovu raspoloive mjerne informacije o ulazu i izlazu sistema, ne posjedujui adekvatnu informaciju o internoj strukturi i internim relacijama u sistemu. Tako izveden model naziva se crni model ili black-box model. Izmeu ova dva granina sluaja nalazi se model u formi sive kutije ili gray-box model, koji je u sebe ukljuio svu moguu raspoloivu apriornu informaciju o realnom procesu.

28. Pri definiranju analitikog matematikog modela ta je izvor informacija i to prethodi opisivanju procesa?

Kod analitikog modeliranja i definiranja analitikih matematikih modela (AMM) polazni objekt promatranja i izvor informacija nije uvijek realni proces, ve neka apstrakcija u vidu integralnog ili asimptotskog matematikog modela. Tanost AMM se moe prihvatiti samo poreenjem dobivenih analitikih i eksperimentalnih vrijednosti istraivanih parametara procesa ili sistema. Matematikom opisivanju svakog procesa prethodi faza idealizacije tj. uproivanja stvarnog procesa.

29. Koje su osnovne faze analitikog opisivanja procesa?

Analitiko modeliranje je postupak definiranja jednadbi stanja procesa ili sistema u obliku matematikih formulacija s primjenom nunih aproksimacija I pojednostavljenja kako bi se process modeliranja doveo do cilja I dobio prikladan model za inenjersko-tehniku praksu.Osnovni koraci su: definiranje ulaznih tehnolokih parametara, podjela ulaznih tehnolokih parametara na obuhvaene i neobuhvaene podjela obuhvaenih tehnolokih parametara na promjenjive i konstante u okviru promatranog modela, definiranje jednadbe veze ulazno-izlaznih parametara procesa, izbor i primjena konkretnih analitikih i fizikalnih zakona koji odreuju jednadbu veze rjeenje sistema jednadbi veze ispitivanje i provejra tanosti i pouzdanosti modela.

30. ta sadri blok ema algoritma razrade analitikog modela?

Slika algoritma razrade analitikog modela, dr. prof. Jurkovi, str. 34.

Algoritam razrade analitikog modela sadri:

1. Poetak2. Informacije o opim zakonima procesa obrade i informacije prethodnih istraivanja i intuitivni zakljuci. 3. Skup utjecajnih ulaznih tehnolokih faktora4. Blok formiranih varijabli i konstanti, odnosno izabrani faktori5. Jednadbe veze ulaznih i izlaznih faktora, izbor odgovarajuih fizikalnih i konkretnih zakona6. Sumu ulaznih fizikalnih faktora7. Znanstvena informacija o metodama realiziranja8. Rjeenje sistema jednadbi9. Empirike informacije i razvijanje modela (konkretni analitiki zakon)10. Provjera tanosti (pouzdanosti) modela11. Ispis modela 12. Kraj

31. Kako nastaje analitiki model?

Analitiko modeliranje je postupak definiranja jednadbi stanja procesa ili sistema u obliku matematikih formulacija s primjenom nunih aproksimacija i pojednostavljenja kako bibse proces modeliranja doveo do cilja i dobio prikladan model za ininjersko tehmiku primjenu.

Kod analitikog modeliranja i definiranja analitikih matematikih modela (AMM) polazni objekt promatranja i izvor informacija nije uvijek realni proces, ve neka apstrakcija u vidu integralnog ili asimptotskog matematikog modela. Matematikom opisivanju svakog procesa prethodi faza idealizacije, tj. uproivanja stvarnog procesa. Ipak, kao i svaki model, i matematiki model treba to bolje odravati realni ili pretpostavljeni proces, s tim da s matematikog stajalita bude upotrebljiv. Osnovni su koraci matematikog opisivanja procesa obrade:

Definiranje ulaznih tehnolokih parametara Podjela ulaznih tehnolokih parametara na obuhvaene i neobuhvaene Podjela obuhvaenih tehnolokih parametara na promjenljive i konstantne u okviru promatranog modela Definiranje jednadbe veze ulazno izlaznih parametara procesa Izbor i primjena konkretnih analitikih i fizikalnih zakona koji odreuju jednadbu veze Rjeenje sistema jednadbi veze Ispitivanje i provjera tanosti i pouzdanosti modela

32. ta se koristi za linearizaciju matematikog analitikog modela i kako se to izvodi?

Za odreivanje lineariziranog matematikog modela koriste se prvi lanovi Taylorova ili Mac-Laurinova reda. Pretpostavka je da su ispunjeni uvjeti za linearizaciju funkcije sile rezanja F, tj. da je funkcija f(x) = f(F) neprekinuta i diferencijabilna u odgovarajuem podruju.

Mac- Laurinov red:

odnosno Taylorov red:

33. ta je empirijsko statistiko modeliranje?

Radi dobijanja pouzdanog matematikog modela vri se statistika obrada eksperimentalnih podataka. Kada se u modelu koriste empirijski podaci kao rezultat se dobiva eksperimentalni matematiki model, odnosno stohastiki model.

Procesi obrade su kao i drugi procesi u tehnici stohastikog karaktera pa se koristi empirijsko statistiko modeliranje, koje daje tanije rezultate u odnosu na druge metode modeliranja. Stohastiki ili empirijsko statistiki model polazi od ope funkcije izlazne karakteristike procesa:

34. Kako izgleda funkcija signifikantnih i nesignifikantnih parametara i ta su oni?

Prethodna funkcija se nakon selekcije poremeajnih (nesignifikantnih) dijelova moe rastaviti na dvije funkcije:

ili

- funkcija kontroliranih (signifikantnih) parametara

- funkcija nekontroliranih (nesignifikantnih) parametara Definira i sluajnu greku eksperimentalnog ispitivanja, odnosno sluajnu greku mjerenja.

35. ta sadri ema razrade stohastikog modela?

ema razrade stohastikog modela sadri:

Informacije o objektu istraivanja Eksperiment Matematiku teoriju plana eksperimenta Sluajne eksperimentalne podatke Matricu eksperimenta Realizaciju Analizu i obradu rezultata Definiranje modela Provjeru adekvatnosti Ispis modela

36. Postupak razrade stohastikog matematikog modela (od poetka do ispisa modela).

Identifikacija skupa svih parametara procesa ili sistema Iz izdvajaju se promjenljivi parametri , a oni se dijele na regulirani parametri i na - neregulirani parametri Odreuju se granice variranja parametara u uvjetima realnog procesa ili sistema Nakon toga se odluuje o metodi izvoenja eksperimenta (pasivni ili aktivni) Ako se promjena izvodi po unaprijed utvrenom planu, onda je eksperiment aktivni Sluajne oscilacije na granicama ne utjeu na Ako nije mogua realizacija matrice eksperimenta, koriste se sluajni eksperimentalni podaci, pri emu se nesistematski izvodi kombinacija promjenljive veliime i . Tada je dobro smanjiti tehnoloke zahtjeve, te dopustiti oscilacije parametara u irim granicama, nego je to sluaj u realnom procesu. Postupak se zavrava obradom prikupljenih eksperimentalnih podataka i provjerom adekvatnosti dobivenog modela.

(ema je prikazana u knjizi prof. dr. Jurkovia, str. 45.)

37. ta su sluajne varijable, koje su njihove osobine i kako se ukljue u model?

Sluajne varijable su nekontrolirani poremeajni faktori koji se javljaju u procesu ili sistemu.Stohastiki model dolazi u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj tih faktora.Sluajne varijable se nazivaju jo i stohastike varijable.

38. Kakav moe biti eksperiment za formiranje stohastikog modela i koja je razlika izmeu njih?

Razrada stohastikog modela temelji se na statistikoj obradi eksperimentalnih podataka. Metode definiranja stohastikih modela mogu biti utemeljene na obradi sluajnih eksperimentalnih podataka koada uvjeti eksperimenta nisu programirani (pasivni eksperiment) i na obradi podataka kada su uvjeti eksperimenta programirani primjenom matematike teorije planiranja eksperimenta (aktivni eksperiment).Prednost prve metode je mogunost razrade matematikog modela procesa bez promjene postojeeg reima rada sistema ili procesa. Pasivni eksperiment se obino primjenjuje za determinirane pojave, gdje model vrlo esto predstavlja priblian opis realnog procesa. Kvaliteta aproksimacije podataka pasivnog eksperimenta uglavnom ovisi od izbora tipa jednadbe aproksimacije. Ovako dobivene aproksimativne jednadbe esto ne zadovoljavaju usvojene kriterije tanosti modela. Zbog toga se znatno vie koriste aktivni eksperimenti.Drugom metodom se definira tani matematiki model s minimalnim brojem eksperimentalnih podataka, to se postie programiranom promjenom ulaznih parametara s unaprijed utvrenim granicom variranja u uvjetima realnog procesa.

IZVOR: Knjiga Jurkovia str. 4539. Kako se izvodi identifikacija parametara za formiranje stohastikog modela (prikazati korak po korak)?

Definiranje stohastikog modela poinje identifikacijom skupa svih parametara .Iz tog skupa ( ) izdvajaju se promjenljivi parametri , a oni se dijele na regulirani parametri i na - neregulirani parametri. Zatim se odreuju se granice variranja parametara u uvjetima realnog procesa ili sistemaNakon toga se odluuje o metodi izvoenja eksperimenta (pasivni ili aktivni)

40. Postupak obrade rezultata eksperimenta.

Obrada rezultata eksperimenta je zavrni dio eksperimentalnog istraivanja, a sastoji seiz provjere podataka, odreivanja greke eksperimenta ili njenog mjerila, provjere hipoteze isreivanje rezultata u obliku u kome e biti prikazani. Pri ovome se tei da se iz rezultatadobije to vie informacija i da su one to vjerodostojnije.U inenjerskim eksperimentima se najee zahtijeva kvantitativno prikazivanje rezultatau obliku funkcije ili grakona, to omoguuje savremena raunarska tehnika.

41. Postupak obrade rezultata stohastikog eksperimenta.

Slika obrade rezultata stohastikog eksperimenta, dr. prof. M. Jurkovi, str. 46.

1. Poetak2. Izbor oblika matematikih modela i proraun koeficijenata regresije3. Proraun disperzije paralelnih eksperimenata4. Provjera homogenosti disperzija po kriteriju Cochran-a:Ukoliko uvjet homogenosti disperzija nije ispunjen, vraamo se na 2.Ukoliko je uvjet homogenosti disperzija ispunjen, prelazimo na 5.5. Izraunavanje greke eksperimenta6. Proraun disperzije koeficijenata regresije7. Provjera znaajnosti b, po kriteriju tudenta:Ukoliko uvjet po Studentu nije ispunjen, vraamo se na 2.Ukoliko je uvjet po Studentu ispunjen, prelazimo na 8.8. Provjera disperzije adekvatnosti i kriterija Fisher-a9. Provjera adekvatnosti modela po kriteriju Fisher-a:Ukoliko uvjet po Fisheru nije zadovoljen, vraamo se na 2.Ukoliko je uvjet po Fisheru zadovoljen, prelazimo na 10.10. Model je adekvatan11. Kraj.

42. ta je homogenost disperzije eksperimenta, kako se ispituje i koji su potrebni podaci?

Provjera homogenosti disperzije eksperimenta se izvodi nakon eksperimenta. Ponavljanjem eksperimenta pri konstantnim vrijednostima ulaznih parametara moe se utvrditi razlika u dobivenim numerikim izlaznim vrijednostima.Promjenom vrijednosti ulaznih parametara i ponavljanjem eksperimenta dobije se matrica rezultata izlaznih vrijednosti. Provjera homogenosti disperzije za odreeni nivo pouzdanosti izvodi se po Cochranovu kriteriju:

- tablina vrijednost po Cochranovu kriteriju za stupnjeve slobode . - stupanj slobode broj ponavljanja u uzorku, N broj uzoraka

43. to je provjera homogenosti disperzije eksperimenta i kako se izvodi?

43. Provjera homogenosti disperzije eksperimenta izvodi se pomou Cochranova i Fisherova kriterija.

Cochranov kriterij:

Kh = max Sj / sj Kt (fj,N)gdje je:Kt tablina vrijednost po Cochranovu kriteriju za stupnjeve slobode fj i Nfi stupanj slobode (fj = nj 1)nj broj ponavljanja u uzorkuN broj uzoraka

Fisherov kriterij:

F = S1 / S2 Ft (f1,f2)iliF = S2 / S1 Ft (f2,f1)

Ft tablina vrijednost po kriteriju Fishera za stupnjeve slobode f1 i f2 ili f2 i f1f1 = (n1-1) stupanj slobode prvog uzorkaf2 = (n2-1) stupanj slobode drugog uzorka

Ne znam ta je provjera disperzije eskperimentaIzvor: Knjiga str 47 48

44. Pomou ega se provjerava homogenost varijanci i kako?

44. Provjera homogenosti varijanci se izvodi pomou Fisherovog kriterija za distribucije koje su priblino normalne. Po ovom kriteriju usporeuju se disperzije za dvije serije mjerenja i za sluaj da su dobiveni rezultati sluajni, nezavisni i normalno rasporeene veliine. Ako je disperzija prve serije 1, a druge serije 2, odnosno varijance S1 i S2 tada je za F-razdiobu i stupnjeve slobode (n1-1) i (n2-1):

F = =

Izvor: Knjiga str 48

45. Kako se odredi stupanj slobode eksperimenta ako je broj pokusa od 1...N i ako su po tri ponavljanja u svakome pokusu?

45. Ukupni stupanj slobode fE greke eksperimenta ovisi o nainu ponavljanja pokusa. Tako za procjenu greke eksperimenta za broj pokusa od 1...N i ako su po tri ponavljanja u svakome pokusu ide:

2. JEDNAKO PONAVLJANJE MJERENJA n1 = n2 = ... = nj = nN

suma kvadrata:

ukupan stupanj slobode fE = N(n-1)

Za na primjer bi bilo n=3 fE = N(n-1) = N(3-1) = 2N

Ne znam jel taan rezultat 2NIzvor: Izvedeno str. 55,56 i 57

46. Kako se izvodi ocjena greke eksperimenta?

46. Standardna devijacija ili kako se jo naziva standardna greka slui za raunsku ocjenu tanosti obavljenih mjerenja:

=

Napomena: sva formula ide pod korijen Izvor: Knjiga str. 54

47. Kakva sve mogu biti ponavljanja mjerenja i zato se izvode?

47. Pri izvoenju eksperimenta broj ponavljanja mjerenja i moe biti jednak ili razliit u svih j uzoraka, to ovisi o planu eksperimenta. Tako imamo:

1. razliito ponavljanje mjerenja n1 n2 ... nj nN2. jednako ponavljanje mjerenja n1 = n2 = ... = nj = nN3. ponavljanje samo u jednoj taki eksperimenta j=14. ponavljanje u jednoj taki (i) puta

Izvodi se zbog odreivanja sume kvadrata i ukupnog stupnja slobode fE.

Izvor: Knjiga str. 55

48. Kako se odredi varijanca greke (proraun greke) eksperimenta?

48. Varijanca greke mjerenja eksperimenta odreuje se izrazom:

S =

Izvor: Knjiga str. 55

49. ta je podruje pouzdanosti i ta znae granice pouzdanosti (prikazati emu)?

Podruje pouzdanosti je podruje izmeu granica pouzdanosti. Granice pouzdanosti podrazumijevaju granicu, unutar koje se moe s odabranom statistikom vjerovatnou P i uz pretpostavku normalne razdiobe greaka, oekivati stvarna vrijednost izmjerene veliine. ematski se moe prikazati:Grafiki se moe prikazati na sljedei nain:

2,58 2,58 y1,96 1,96 y3,29 3,29 yf(x)f(x)f(x)

50. Objasniti i prikazati metodu najmanjih kvadrata i njenu primjenu!

Metoda najmanjih kvadrata jedna je od metoda teorije greaka koja se koristi za ocjenu nepoznatih veliina na temelju rezultata mjerenja. Moe se koristiti i za priblino predstavljanje unaprijed zadane funkcije ili analizu eksperimentalnih podataka.Regresijska analiza ima zadatak da pronae metodu za odreivanje vrijednosti koeficijenata 0 i 1 regresijske funkcije (x) prave linije: yi = 0 + 1xi + i, za i = 1, 2, ... n, a osigurava optimalnu aproksimaciju promjene veliine X pomou funkcije (x). Odnosno trai se ona linija koja najbolje aproksimira eksperimantalne rezultate iz grupe moguih regresijskih pravih linija.To se moe prikazati:

Graf predstavlja metodu najmanjih kvadrata, i ona se koristi za odreivanje b1 i b0. Uvjet je dasuma kvadrata vertikalnih odstupanja empirijskih vrijednosti yi od regresijske prave i bude minimalna. to znai da je:

Cilj je da se regresijska funkcija po pretpostavki (yi) i po realnom poklapaju, da bi greke bile to manje. Sa ovom metodom se moe izraditi model, ali jednostavni.

51. Za poznatu funkciju y = b + ax prikazati numeriku obradu rezultata!

Ako je funkcija y = b + ax, a ako pretpostavimo da je apsolutna greka y = y yt, metodom najmanjih kvadrata sljedi:

gdje su:yN rezultati nezavisno promjenljivih veliinaxN nivo nezavisno promjenljivih faktorayt - tana vrijednost zavisnoo promjenljive veliine za odreeni nivo xy stvarno izmjenjena vrijednost koja sadri i sluajnu greku

52. Za nepoznatu funkciju prikazati numeriku obradu rezultata!

Na osnovu eksperimentalnih rezultata moe se na vie naina odrediti funkcija. Ako se nacrta grafiko rjeenje tako da suma kvadrata odstojanja svih taaka od prve crte bude minimalna. Tada se po Gaussovu principu ( metodi najmanjih kvadrata) uzima odstojanje b, jer je lake za raunanje.

Pa je suma razlike kvadrata za jednadbu regresijske prave: y = k + bx. Treba da bude minimalna to znai:

Zamjenom vrijednosti za k, ako je k = , sljedi da je:

I vidimo da pravac jednadbe prolazi kroz taku .

53. Koji se koristi kriterij za ocjenu linearnosti funkcije regresije?

Za ocjenu linearnosti funkcije, provjera se vri disperznom analizom. Provjerava se vri na taj nain da se odredi ukupno rasipanje q koje se sastoji od rasipanja srednjih vrijednosti i oko regresijske prave q1 i rasipanja vrijednosti unutar grupe q2, tako da je q = q1 + q2.Kriterij koji se koristi za ocjenu linearnosti je fisherov kriterij:

Ako je FL < Ft tada je regresijska prava linearna.Gdje su:Ft- tablina vrijednostn parovi vrijednosti r grupa s istom vrijednou xr broj grupe sa istom vrijednosti za x

54. Kako se sa dovoljno tanosti moe prihvatiti polinom za aproksimaciju neke funkcije?

Za svaku neprekidnu funkciju y=f(x) u zadanom intervalu x (x0, x1) moe se s dovoljno tanosti aproksimirati polinom n-tog reda, za dovoljno veliko n i dovoljno tano odreene koeficijente polinoma.Kada se eksperimentalni podaci n parova (xi, yi), za i= 1, 2, ... n, predstave u ravnini, odredi se krivulja koja najbolje aproksimira dati skup. Trai se krivulja koja je najblia svakoj taki na dijagramu rasipanja. to je rasprenost podataka vea, ima i vie greaka.

55. ta je teorijska krivulja polinoma, a to empirijska i kakva je njihova usaglaenost?

Teorijska krivulja polinoma je krivulja dobivena pomou teorijskog matematikog modela koji najblie pokazuje prirodu procesa ili pojave dok je empirijska krivulja ona nastala spajanjem dovoljnog broja vrijednosti dobivenih eksperimentom.Ukoliko je dobra usaglaenost polinoma kao matematikog modela i vrijednosti dobivenih eksperimentom postie se vei broj koeficienata koji polinom definiraju.Ali treba pomenuti da usaglaenost teorijske krivulje sa empirijskom ne znai u isto vrijeme i usalaenost sa funkcijom regresije. Dakle ima sluajeva kada poveanjem stupnja polinoma postiemo suprotan efekat od traenog tj. udaljenje od linije regresije.

Milan Jurkovi: Matematiko modeliranje inenjerskih procesa i sistema, mainski fakultet Biha 1999. p.75

56. Kako se trai polinom (model) koji e najbolje aproksimirati dati proces (navesti metode)?

Polinom (model) koji e najbolje aproksimirati dati proces trai se tako da se eksperimentalni podaci n parova (,), i=1,2,3,...,n predstave u ravnini, te se onda prema obliku krivulje koju formiraju te take odredi model koji najbolje odraava zakonitosti statistike razdiobe dobivenih empirijskih rezultata.(slika 4.8)

Kako ne postoji jedinstvena metoda za izbor oblika analitike funkcije, preporuka je da se u svakom konkretnom sluaju trai matematiki model (polinom) koji e na to manje parametara bolje aproksimirati dati proces ili sistem.

Metode su: Experimentalna (empirijska) metoda: polazi od eksperimentalnih podataka gdje se iz dovoljno velikog broja eksperimentalnih rezultata moe dovoljno tano uoiti tip polinoma koji najbolje opisuje funkciju regresije. Teorijska metoda: polazi od toga da su eksperimentalni podaci matematike veliine u kojima se izraavaju odreeni konkretni fizikalni procesi ili pojave, te se slui podacima ranijih istraivanja slinih procesa ili pojava.

Ib.p.73-76

57. Koja su tri osnovna koraka u definiranju matematikog modela?

Tri su osnovna koraka u definiranju funkcije, odnosno matematikog modela:-izbor regresijskog modela- izraunavanje parametara j za izabrani model metodom najmanjih kvadrata-provjera tanosti i adekvatnosti regresijskog modela.Ib.p.76,

58. Prikazati teorijske i grafiki realne koeficijente regresijskog modela?

Kada je mehanizam procesa nepoznat matematiki model prikazujemo u obliku polinoma:

Y= + + +

U ovom matematikom modelu teorijski koeficienti regresijskog modela su: koficienti linijskog utjecaja, koeficient kvadratnog utjecaja, dvofaktorne interakcija, - viefaktorne interakcije funkcije regresije.

= + + + U ovom matematikom modelu realni koeficienti regresijskog modela su:, , , )Ib.p.77,

59. Ako polinom aproksimira odreeni proces na to se svodi rjeavanje datog problema?

Npr ukoliko je polinom treeg reda:y = + + + + + + + + + Ukoliko polinom aproksimira odreeni proces rjeavanje se svodi na izraunavanje koeficienta bi.Ib.p.78

60. Koji su kriteriji pri izboru nezavisnih promjenljivih varijabli u blok emu?

Izbor utjecajnih faktora procesa ili sistema izvodi se na osnovu prethodnog poznavanja istraivanog podruja, literaturnih podataka o datom procesu i iskustvo istraivaa, takoe vrsta procesa cilju modeliranja, eksperimentu, intuiciji istraivaa, posjedovanju odgovarajue opreme.Kriteriji kod izbora nezavisnih promjenjivih variabli u blok emu su:-najprije se nabroje svi utjecajni faktori koji imaju utjecaj na izlazne parametre procesa-zatim se taj broj smanji (reducira, optimizira) na one koji imaju najvei utjecaj.-njihov broj ovisi o vrsti obradnog procesa (buenje, bruenje, glodanje tokarenje itd)

Identifikacija parametara procesa i sistema se izvodi analizom procesa na temelju poznatih teorijskih podataka o konkretnom procesu ili slinom kada je konkretni proces nedovoljno poznat.Ib.p.22 i 78

61. Koje postoje metode kodiranja fizikalnih varijabli?

Postoje dvije metode kodiranja fizikalnih varijabli:

a) aritmetiko ib) logoritamsko kodiranje.

Aritmetiko kodiranje

Prilikom kodiranja uzimaju se varijable x koje sami izaberemo ili ih uzmemo po preporuci nekog strunjaka koji je kompetentan iz tog podruja.Kodirane vrijednosti varijabli, bez obzira na njihovu fizikalnu mjernu jedinicu (m/s, N/mm2, m, i sl.) izraene su s dvjema vrijednostima +1 i -1. Maksimalnim vrijednostima dajemo vrijednost +1 dok minimalnim dajemo -1. U situaciji kada imamo srednji nivo, kodirana vrijednost je nula. Kodiranje se u ovom sluaju (aritmetiko) izvodi pomou izraza:

= gdje su:

Xi kodirana vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli, gdje je i-broj nezavisno promjenljivih varijabli ( i = 1,2,3..), xi fizikalna vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli na gornjem ili donjem nivou,x0 i fizikalna vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli u centru plana, tj. nulta srednja vrijednost,xi interval granice fizikalnih vrijednosti varijabli od srednje take do maksimalne odnosno minimalne vrijednosti varijable.

Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom:

Primjer kodiranja varijabli ( ovo pretpostavljam da nee trebati ali eto nek se nae)

x1=1= 500 N/mm2-maksimalna veliina i 300 N/mm2-minimalna veliina iz izraza da je srednja vrijednost N/mm2 pa da je

kodirana vrijednost = za sluaj jednog pokusa u drugom sluaju

= ovo je bio sluaj gdje imamo dvije izmjerene vrijednosti od kojih smo jednu uzeli za maksimalnu 500 N/mm2 a drugu za minimalnu. U ovom sluaju matrica plana eksperimenta ima sljedei oblik:

Broj pokusaN=2n=4Fizikalne vrijednostiKodirane vrijednosti

x1= 1x2= (deform.)X1X2

15001.0+1-1

23001.0-1-1

35002.5+1+1

43002.5-1+1

Logoritamsko kodiranje

Ako imamo polinomski matematiki model poznat i iskazan opim modelom:

R= tada se logaritmiranjem dobije izraz

gdje su : f1, f2 nezavisno promjenljivi parametri

nepoznati koeficijenti.

Ako se izrazu izvri zamjena

pa umjesto , i tada se dobiva polinom sljedeeg oblika;

Za i-ti nezavisni parametar ili odnosno ili zamjenom u jednaini = dobiva se izraz za kodiranje u sljedeem obliku = za vrijednost:

fi = fimax dobiva se Xi=+1,fi=fimin dobiva se Xi=-1 i fi=fisr dobiva se Xi=0

Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom

Sve fizikalne vrijednosti varijabli procesa prevode se u kodirane vrijednosti bez obzira to znaenja fizikalnih varijabli mogu biti razliita (N/mm2,mm,m/s itd.). Prema tome, podruje variranja nezavisno promjenljivih veliina xi zavisi od vrste procesa, svrhe i cilja modeliranja i zahtjeva koje je postavio istraiva. IZVOR KNJIGA ( Matematiko modeliranje inenjer.................... ) STR.80 .i 81.

62. Prikazati osnovnu matricu kodiranja i poloaj taaka pokusa matrice?

Kad se god pravi plan eksperimenta onda se pored matrice napravi i prikaz eksperimentalne take matrice plana kao to je prikazano na sljedeoj slici:

Slika. Shema kodiranja i poloaj taaka matrice plana 2k s baznom takom (0,0)

Ovo je najjednostavniji plan gdje su varijable x1 i x2 i ispod imamo etiri take 1,2,3,4 i u sredini taka nula. Sve ovo s koordinatnog sistema s gornje slike bilo bi prikazano i u matrici koja bi izgledala ovako. Osnovna matrica kodiranja Nj-brojmjerenja i pokusaKodirne vrijednostiPrirodne vrijednostiyj-izmjerene veliine

x1x2v (m/s)mi uzimamos (m)mi uzimamov (m/s)

s (m)

taka 1-1-1501000y11y12

taka 2+1-11001000Y21Y22

taka 3-1+1502000Y31Y32

taka 4+1+11002000Y41Y42

y11 - prvi red prvo mjerenje, y12 - prvi red drugo mjerenje,

Ovdje postoje dvije mogunosti jedna da ponavljanje eksperimenta izvodimo u vrhovima kvadrata i u tom sluaju matrica bi izgledala kao to je gore prikazano.

U sluaju da ponavljanje eksperimenta izvodimo u sredini plana tj. u nultoj taci mi bi u matricu morali dopisati 5 i 6 pa bi ona izgledala ovako;

Nj-brojmjerenja i pokusaKodirne vrijednostiPrirodne vrijednostiyj-izmjerene veliine

x1x2v (m/s)mi uzimamos (m)mi uzimamov (m/s)

s (m)

taka 1-1-1501000y11y12

taka 2+1-11001000y21y22

taka 3-1+1502000y31y32

taka 4+1+11002000y41y42

5. pokus*00751500

6. pokus00751500

*- mjerenje izvodimo u nultoj taci plana tj. sredini plana

ta ovo u stvari znai, to znai da ako bi brzina bila npr. 50 m/s (x1) to je -1 a ako bi bila 100 m/s (drugi sluaj) to bi bilo +1 pa bi nula bila 75 m/s (srednja vrijednost) i ako stavimo da je put 1000 m pa je u prvom sluaju (- i -) 1000 m a recimo u etvrtom mjerenju (+ i +) 2000 m tada bi nula bila 1500 m.

U sluaju da ponavljanja izvodimo u vrhovima kvadrata imali bi vie ponavljanja u gornjem dijelu matrice npr. y11 y12.......... i matrica bi izgledala kao u to je ve prikazana na prednjoj strani odgovora a u sluaju da ponavljanje vrimo u nultoj taki onda bi u gornjem dijelu imali samo jedno mjerenje jer nam je ponavljanje u sredini plana i matrica bi izgledala kao to je gore prikazano.

ODGOVOR NA OVO PITANJE SAM IZVEO IZ KNJIGE SA STRANE 81. KAO I S PREDAVANJA ODRANIH 22.12. 2011. godine.

63. Kako se iz analitikog izraza koji je praktino neupotrebljiv:

moe dobiti odgovarajui upotrebljivi matematiki model ?

Odgovarajui upotrebljivi model moe se dobiti logoritmiranjem izraza, i nakon e biti;

nakon logoritmiranja dobija se sljedei izraz;

gdje su : v,s,a i k nezavisno promjenljivi parametri

nepoznati koeficijenti.

Ako se na izrazu izvri zamjena

pa umjesto , ,, i tada se dobiva polinom sljedeeg oblika;

Za i-ti nezavisni parametar ili odnosno ili zamjenom u jednaini = dobiva se izraz za kodiranje u sljedeem obliku = za vrijednost:

xi =xfimax dobiva se Xi=+1,xi=ximin dobiva se Xi=-1 i xi=xisr dobiva se Xi=0

Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom

ODGOVOR NA OVO PITANJE SAM IZVEO IZ KNJIGE SA STRANE 81.(nalazi se ogledni primjer koji moe posluiti u vie namjena) KAO I S PREDAVANJA ODRANIH 05.01.. 2012. godine.

64. ta su modeli prvog reda i kako se mogu prikazati?

Za definiranje linearnih modela primjenjuje se plan eksperimenta prvog reda. Najvie koriten plan je potpuni faktorni plan eksperimenta (PFE) u kojem se svaki nivo jednog faktora kombinira sa svim nivoima ostalih faktora (varijabli). Za dobijenje linearnog modela minimalan broj nivoa variranja je r = 2. U tom sluaju matrica potpunog faktornog plana eksperimenta ima oblik N = rk = 22 = 4, gdje je k broj nezavisno promjenjivi faktora (varijabli), a N broj redova matrice eksperimenta koji odgovara broju pokusa.Dvofaktorni matematiki model (dvofaktorna matrica)Za dvofaktorne matematike modele izvode se dvofaktorini eksperimenti s brojem pokusa N = 22 = 4. U narednoj tablici prikazana je matrica dvofaktornog eksperimenta s djelovanjem interakcija X1,X2. Matrica bez djelovanja interakcija spada u grupu jednostavnih eksperimenata i modela.

Matrica plana eksperimenta 22

Broj pokusa NjKodirane vrijednosti faktoraVektor izlaza yJ

X0X1X2X1 X2

1+1-1-1+1Y1

2+1+1-1-1Y2

3+1-1+1-1Y3

4+1+1+1+1Y4

Koeficijenti

b0xij

b1xmj

b2xij xmj

b12

Matematiki modely = b0+x0+b1+x1+b2x2

y = b0+x0+b1+x1+b2x2+b12+x1x2

Poloaj taaka dvofaktornog plana eksperimenta 22 s baznom takom (0,0) prikazan je na sljedeoj slici;

Slika. Shema kodiranja i poloaj taaka matrice plana 2k s baznom takom (0,0)

U opem sluaju je : yj = b0x0j + b1x1j+b2x2j za j = 1,2,.....,N.

Za odreivanje koeficijenata b0, b1, b2 moe se koristiti metoda najmanji kvadrata, gdje je potrebno odrediti sumu kvadrata odstupanja teoretskih vrijednosti yj od stvarnih yj Za ostatak formula iz knjige koje se veu na ovaj dio, profesor je na predavanju odranog 22.12. 2011. godine rekao da ne treba uiti napamet, i tom prilikom kao vano spomenuo formulu 4.70 str. 86. u knjizi iz tog razloga to se ona direktno vee za model y = b0+x0+b1+x1+b2x2 . Na osnovu te formule mi moemo odrediti koeficijente b0, bi, i b12 pa sam je i ja stavio kao bitan element u odgovoru na ovo pitanje a ona glasi;

jer je uvijek X0j = 1

za i = 1,2,

za 1 i < m k = 2

gdje je aritmetika sredina eksperimentalnih rezultata mjerenja u pojedinim takama plana kada postoji ponavljanje pokusa, odnosno kada ponavljanja pokusa nama i .

ODGOVOR NA OVO PITANJE IZVEO SAM IZ KNIGE SA str. 82.-86. KAO I SA PREDAVANJA ODRANIH 22.12. 2011. godine.

65. Kako izgleda matrica eksperimenta sa tri varijable?

BrojpokusaNjKodirane vrijednosti faktora matrica planaVektorizlazayj

X0X1X2X3 X1 X2 X1 X3 X2 X3 X1 X2 X3

1+1-1-1-1+1+1+1-1y1

2+1+1-1-1-1-1+1+1y2

3+1-1+1-1-1+1-1+1y3

4+1+1+1-1+1-1-1-1y4

5+1-1-1+1+1-1-1+1y5

6+1+1-1+1-1+1-1-1y6

7+1-1+1+1-1-1+1-1y7

8+1+1+1+1+1+1+1+1y8

Koef.viestrukeregresije

b0b1b2b3

b12

b13

b3

b123

Matematikimodely = b0x0 + b1x1 + b2x2 + b3x3

y = b0x0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3

66. Prikazati grafiki i matrino funkciju Yj = Yj(X1, X2, X3) ako se ponavljanje za procjenu greke eksperimenta izvodi u baznoj taki (0,0) eksperimenta?

Za trofaktorni matematiki model (k=3) ortogonalna plan matrica je sastavljena od N=2k+n=23+4=8+4=12 pokusa.Matrica plana eksperimentaBroj pokusa NjKodirane vrijednosti faktora matrica planaVektor izlaza Yj

X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3X1X2X3

1+1-1-1-1+1+1+1-1y1

2+1+1-1-1-1-1+1+1y2

3+1-1+1-1-1+1-1+1y3

4+1+1+1-1+1-1-1-1y4

5+1-1-1+1+1-1-1+1y5

6+1+1+1+1-1+1-1-1y6

7+1-1-1+1-1-1+1-1y7

8+1+1+1+1+1+1+1+1y8

9+10000000y9

10+10000000y10

11+10000000y11

12+10000000y12

Koeficijenti viestruke refresijeb0b1b2

b3b12b13b23b123

Matematiki modely= b0x0+b1x1+b2x2+b3x3

y= b0x0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b123x1x2x3

67. ta treba provjeriti da bi odreeni matematiki model bio prihvatljiv?

Da bi odreeni matematiki model bio prihvaen mora se provjeriti signifikantnost njegovih koeficijenata i adekvatnost samog modela. Prilikom provjere signifikantnosti koeficijenata polinoma, svi faktori Xi uz koje se nalaze nesignifikantni koeficijenti se iskljuuju iz modela.Signifikantnost se provjerava na osnovu kriterija Studenta (t-test) ili Fishera (F-test).Adekvatnost se provjerava testom Fishera.

68. Koje su osobine ortogonalnih planova?

Ortogonalni planovi moraju zadovoljiti sljedee uvjete: Uvjet simetrinosti prema kojem su sve nezavisno promjenjive veliine simetrino rasporeene u odnosu na centar eksperimenta:

Uvjet normativnosti prema kojem je suma kvadrata elemenata za sve stupce matrice jednaka broju pokusa N.

Uvjet ortogonalnosti

69. Koja je karakteristika ortogonalnih u odnosu na druge planove?

Ortogonalni planovi u odnosu na druge planove imaju sljedea obiljeja: raspored eksperimentalnih taaka u eksperimentalnom prostoru je optimalan, broj eksperimentalnih taaka je minimalan, to daje manje trokove i krae vrijeme ispitivanja, koliina dobivenih informacija je maksimalna, matematika obrada eksperimentalnih rezultata je jednostavna.

70. Kako se ispituje znaajnost koeficijenata modela?

a) Ponavljanje pokusa u centralnoj taki plana

Za ispitivanje znaajnosti koeficijenata modela se koriste kriteriji Studenta (t-test) i Fishera (F-test).

F-kriterij je odreen uvjetom:

Procjena greke koeficijenata modela:

Stepen slobode koeficijenata je , pa slijedi:

Procjena greke u centralnoj taki plana eksperimenta se dobije iz izraza:

gdje je:

stepen slobode u centralnoj taki plana, aritmetika sredina rezultata mjerenja eksperimentalnih vrijednosti u nultoj taki plana.

Prema odreenim stepenima slobode, i , kao i na osnovu odabranog praga znaajnosti (, gdje je P pouzdanost modela), odredi se veliina , te uporedi sa .

Drugi nain provjere signifikantnosti koeficijenata modela je Studentov t-kriterij.Opi uvjet glasi:

ili:

gdje je: tablina vrijednost za stepen slobode i odabrani prag znaajnosti podruje pouzdanosti koeficijenata modela ili greka u ocjeni koeficijenata

b) Ponavljanje jednog broja pokusa

Provjera signifikantnosti koeficijenata modela s ponavljanjem jednog broja pokusa se odreuje prema t-kriteriju Studenta. Provjerava se uvjet: ili

Varijanca greke se dobija prema izrazu:

gdje je:

ukupni stupanj slobode broj ponavljanja pokusa u j-tom redu matrice, kada je isti broj ponavljanja

71. Kako se ispituje adekvatnost modela?

a) Ponavljanje pokusa u centralnoj taki plana U opem sluaju, adekvatnost modela se provjerava usporedbom eksperimentalno dobivenih vrijednosti i vrijednosti izraunatih iz modela . Uvjet adekvatnosti je odreen Fkriterijem: ako je

ako je

Ako se dobije da je , tada matematiki model adekvatno opisuje analizirani obradni proces.

Disperzija adekvatnosti se odreuje iz izraza: ili

gdje je: broj stepeni slobode koji se odnosi na disperziju adekvatnosti izraunata vrijednost iz formiranog matematikog modela, suma kvadrata koeficijenata suma kvadrata, odnosno greka pokusa tablina vrijednost F-razdiobe za odreenu vrijednost greke ako je , tada je i ako je , tada je i

b) Ponavljanje jednog broja pokusa

Adekvatnost modela je odreena F-kriterijem: ako je

ako je

Vrijednost disperzije adekvatnosti odreuje se prema izrazu:

gdje je: stepen slobode koji se odnosi na disperziju adekvatnosti

varijanca greke pokusa,

ukupan stepen slobode broj ponavljanja pokusa u j-tom redu matrice, kada je isti broj ponavljanja

72. Koji je najznaajniji kriterij za izbor matematikog modela i kako se primjenjuje?

Najznaajniji kriterij za izbor matematikog modela je koeficijent viestruke regresije. Kada dva ili vie modela dobro opisuju proces, odluka o najboljem modelu se donosi na osnovu vrijednosti koeficijenta viestruke regresije. Ovaj koeficijent je dodatni pokazatelj za ocjenu adekvatnosti modela. Ovo posebno vai kod pokusa kod kojih je rasipanje rezultata pokusa u centralnoj taki plana razmjerno veliko ili razmjerno malo, pa se na temelju F-testa ne moe donijeti valjana odluka o adekvatnosti modela.

a) Ponavljanje u centralnoj taki pokusa

Za ispitivanje veze izmeu zavisno promjenjivih veliina i nezavisno promjenjivih veliina se koristi koeficijent viestruke regresije:

gdje je: vrijednosti eksperimentalnih rezultata izraunate vrijednosti iz dobivenih modela aritmetika sredina svih eksperimentalnih rezultata

Vrijednost ovog koeficijenta se uvijek nalazi u granicama . Ako je R=1, onda model u potpunosti opisuje rezultate eksperimenta, a ako je R=0, onda izmeu varijabli i ne postoji nikakva meusobna povezanost. Kvadrirana vrijednost odreuje kvalitetu i pouzdanost modela. Ako je , to znai da se varijabiliteta pripisuje djelovanju varijable .

b) Ponavljanje jednakog broja pokusa

Koeficijent viestruke regresije se rauna prema izrazu:

gdje su: aritmetika sredina vrijednosti eksperimentalnih rezultata u j-toj taki plana pokusa, odnosno u j-tom redu matrice - aritmetika sredina svih eksperimentalnih rezultata pokusa

73. Kako se odreuje podruje pouzdanosti modela?

ZA PONAVLJANJE POKUSA U CENTRALNOJ TAKI PLANA:Podruje pouzdanosti modela odredi se opim izrazom:

; i = 0,1,2,...,kili

odnosno

; i = 0,1,2,...,kgdje su:

- nepoznati keoficijenti poetnog modela, koji aproksimira konani model, odnosno koeficijenti aproksimiranog modela (, odnosno kada greka mjerenja )

IZVOR: Knjiga Jurkovia str. 94 i 95

ZA PONAVLJANJE JEDNAKOG BROJA POKUSA:Izraunavanje podruja pouzdanosti modela:

; i = 0,1,2,...,kili

gdje je:

- tablina vrijednost t-kriterija

IZVOR: Knjiga Jurkovia str. 97

74. ta je koeficijent determinacije i ta opisuje?

Koeficijent determinacije odreuje kvalitetu i pouzdanost modela. Koeficijent determinacije oznaava se sa R = r2, gdje je R pokazatelj zajednikih faktora - udjela kod dva obiljeja X i Y koja su ukljuena u korelacijsku analizu. Npr. r = 0,32= 0,09 = R, ili npr. r = 0,62= 0,36 = Rkoeficijent determinacije. to je korelacija manja npr. 0,3 koeficijent determinacije je znaajno manji nego kad je korelacija vea npr. 0,6 ( R = 9%, odnosno 36% ). Ako je , to znai da se 96,5% varijabiliteta pripisuje djelovanju varijabli Xi.

75. Koji su potrebni podaci za odreivanje adekvatnosti modela?Podaci koji su potrebni za odreivanje adekvatnosti modela su izraunata vrijednost iz formiranog matematikog modela, odnosno i vrijdnost koja je dobivena eksperimentalno, odnosno . Dakle, u opem sluaju adekvatnost modela se provjerava usporedbom eksperimentalno dobivenih vrijednosti i vrijednosti izraunatih iz modela

76. Kakve su parcijalne ortogonalne matrice i to se s njima postie?

Primjenom nepotpunog ortogonalnog plana (NFE) mogue je smanjiti broj potrebnih pokusa u potpunom planu prvog reda, a da se pri tome zadre svojstva ortogonalnosti i normalnosti matrice plana. Rastavljanjem potpunog plana na paran broj blokova pokusa n=2, n=4 ili n=8 dobiju se parcijalni ortogonalni planovi prvog reda, tako da je broj eksperimenta taaka:

77. Kako se formira parcijalna matrica 2^(k-1) ?

Postupak formiranja parcijalne matrice poinje s potpunim planom, dakle, ako je k=3, poinjemo s potpunim planom . Poto je k=3, potrebna su nam 3 faktora, ali u planu imamo samo 2. Stoga se uvodi smjena jedne od kolona plana . Obino se odabire neki od meusobnih interakcija glavnih faktora.

1-1-11

2-11-1

31-1-1

4111

U ovom sluaju, smjena e biti , mada je takoer mogla i biti -.Novi plan koji je parcijalni faktorni plan glasi:

1-1-11

2-11-1

31-1-1

4111

Odnos predstavlja generator plana. Kontrast J=1 se dobije kada odnos pomnoimo s (jer je ), gdje emo dobiti J=1=.

78. Koja je metodologija formiranja parcijalnog ortogonalnog plana?

Metodologija formiranja parcijalnog ortogonalnog plana sastoji se u definiranju generirajuih odnosa, tako se za plan 23-1 mogu napisati dva mogua odnosa: i .Mnoenjem sa dobiva se:

Kako je , to je , te je odnosno ova veliina se definira kao kontrast koji odreuje dvojnost efekta, odnosno njihovu povezanost. Tako se mnoenjem prethodne jednaine s dobiva:

to znai da je utjecaj od povezan s utjecajem itd. Kontrast uvijek ima vrijednost J=1.Takoer vai: .

79. Treba prikazati matricu parcijalnog plana za sluaj da je PFP: N = 2^6, dok je NFP(parcijalni ili nepotpuni plan) N=2^(k-p), gdje je p = 3.

Poinjemo od potpunog plana eksperimenta za 3 varijable, s 23 eksperimenata:

11-1-1-1111-1

211-1-1-1-111

31-11-1-11-11

4111-11-1-1-1

51-1-111-1-11

611-11-11-1-1

71-111-1-11-1

811111111

U ovom sluaju imamo 3 varijable, a treba nam 6, te stoga moramo dodati 3 nove varijable. Nove varijable postaju kolone u kojima su odnosi vie varijabli. U ovom sluaju, stavit emo da je , i . Ovo su generatori plana. Pored ovih generatora su se mogli iskoristiti i negirane vrijednosti, dakle, , i .Novi plan eksperimenta(samo glavne varijable) izgleda ovako:

11-1-1-1111

211-1-1-1-11

31-11-1-11-1

4111-11-1-1

51-1-111-1-1

611-11-11-1

71-111-1-11

81111111

Ne znam treba li ova daljnja analiza, al' neka ima ako zatreba.Cijena voenja eksperimenta po parcijalnom planu je nemogunost razlikovanja efekata dvaju ili vie varijabli. Naprimjer, efekat varijable moe biti spojen s efektom . Stoga se mora izvesti analiza tih veza.Generatori gornje matrice su: , i . Iz njih se dobijaju kontrasti J.

Kvadrat svake varijable je 1, dakle . Poto imamo 3 generatora, moramo izvriti njihovu kombinaciju mnoenjem i tako dobiti grupu konanih kontrasta:

Na osnovu kontrasta moemo odrediti koji efekti odreuju vrijednost pojedinanih koefijenata.Gornji plan eksperimenta s osnovnim/glavnim efektima i meusobnim vezama izgleda ovako:

...

11-1-1-111111-1-1-11-1-1-1-1-1-1111-1111Dalje eljene kombinacije ovih 6 varijabli

211-1-1-1-11-1-1-1-11111-111-11-1-1111-1

31-11-1-11-1-111-11-1-11-11-11-11-111-11

4111-11-1-11-11-1-1-11-1-1-111-1-11-11-1-1

51-1-111-1-11-1-111-1-1111-1-1-1-1111-1-1

611-11-11-1-11-11-1-11-11-11-1-11-1-11-11

71-111-1-11-1-111-11-1-11-1-111-1-1-111-1

811111111111111111111111111

Svaka od ovih kolona bi se trebala izraziti na osnovu kontrasta. Postupak se sastoji u mnoenju kontrasta s kolonom.

Npr. za , mnoimo konstraste s

Prema ovome uz bi trebao biti sljedei koeficijent:

Vidimo da je on isprepleten s koeficijentima vieg reda. Tako bi se trebali prei sve kolone gornje tabele, s tim da se analizom jedne kolone, automatski analiziraju i druge kolone. Npr., gornjom analizom za smo pokrili i kolone . Obino se koeficijenti koji idu uz faktore vieg reda (umnoak vie od 3 varijable) odbacuju kao vrlo mali.

80. Kada se sve uvode varijable vieg reda?

Model viega reda se koriste kada je poznato da istraivani problem nee moi biti predstavljen linearnom funkcijom ili kada dobiveni linearni model ne zadovoljava provjeru adekvatnosti, odnosno kada je potrebna vea tanost matematikog modela istraivanog procesa. Tada se uvode varijable vieg reda suglasno stepenu zakrivljenosti povrine funkcije reagiranja i razvija se optimalna struktura plana vieg reda.

81. ta je znaajno za faktorne planove drugog reda? Izbor optimalnih planova pri definiranju modela drugog reda znatno je sloeniji nego kod linearnih modela. Ovi planovi ne odgovaraju vanim kriterijima optimalnosti. Ako se ispuni uvjet ortogonalnosti kod planova drugog reda se istovremeno naruavaju naela normalnosti i rotatabilnosti. Za planove drugog reda kriterij rotatabilnosti je vie znaajan jer doputa minimiziranje sistemske greke koja je vezana za neadekvatno predstavljanje rezultata eksperimenta modelima drugog reda. Ipak, u svakom konkretnom sluaju treba uzeti u obzir stvarne uvjete procesa i na osnovu njih definirati kriterij optimalnosti i izabrati odgovarajui plan pokusa.

82. Kako izgleda matrica i model drugoga reda za k=2?

1-1-1111

21-1-111

3-11-111

411111

50020

6- 0020

70002

80- 002

900000

83. Kakva je povezanost izmeu planova i modela prvog i drugog reda?

Modeli drugog reda sadre bazni 2k dio eksperimetnta koji se koristi i kod linearnog modela, ali s tim da se na osnovni dio plana dodaju nove take koje su simetrino postavljenje oko centra eksperimenta.Izmeu planova prvog i drugog reda postoji odreena veza, koja se moe iskazati injenicom da se planovi drugog reda nadograuju na planove prvog reda, tako da se ve postojei skup taaka iz plana prvog reda koristi u planu drugog reda. Dakle, ako matematiki model prvog reda od 2k ne zadovoljava, koriste se dodatni pokusi na novim nivoima koji e se iskoristiti za izraunavanje utjecaja drugog reda.

84. Obrazloiti ukupan broj pokusa N = ? za rotatabilni plan koji ma k = 3 varijable.

Rotatabilni plan sadri bazni dio plana , simetrino postavljene take i take ponavljanja u centru plana . Vrijednost broja ponavljanja u centralnoj taki eksperimenta se isitava iz tabele parametara za rotatabilne planove. Za k=3, moe imati vrijednost 6 ili 9. Dakle, ukupan broj pokusa N za rotabilni plan s k=3 varijable iznosi:

Za , , dok je za , broj taaka iznosi: .

85. Koja je osnovna osobina modeliranja pomou centralnog kompozicijskog plana?

Osnovna osobina modeliranja pomou centralnog kompozicijskog plana je to faktori imaju samo dva nivoa, tako da se lako nastavljaju na linearni model. Ukupan je broj potrebnih pokusa . Dakle, za k=2 faktora plan ima pokusa i za podudara se potpunim faktornim planom s jednom centralnom takom. Svi ovi planovi imaju osnovu plana 2k, osim za k=5, gdje je osnova plana polublok 25, tj. plan se dobiva iz 24 uz dodavanje stupaca

86. Prikazati geometrijsku interpretaciju centralnog kompozicijskog plana?

Ovo je geometrijski prikaz centralnog kompozicijskog plana drugog reda za k=2 faktora.

87. Prikazati matricu centralnog kompozicijskog plana drugog reda, ako je Yj = Yj(X1,X2).

Ako je N= 2k+2k+n0; sljedi da je N=9, jer je k=2, a n0=1.

NjX0X1X2X1X2X12X22yj

1111111y1

21-11-111y2

311-1-111y3

41-1-1111y4

510020y5

61- 0020y6

710002y7

810- 002y8

9100000y9

88. Prikazati matricu centralnog kompozicijskog plana za k=3 i n0 = 1.Budui da je N= 2k+2k+n0 , N=15 NjX0X1X2X3X1X2X1X3X2X3X12X22X32yj

11111111111y1

21-111-1-11111y2

311-11-11-1111y3

41-1-111-1-1111y4

5111-11-1-1111y5

61-11-1-11-1111y6

711-1-1-1-11111y7

81-1-1-1111111y8

9100000200y9

101-00000200Y10

11100000020Y11

1210-0000020Y12

13100000002Y13

14100-000002Y14

151000000000Y15

Prikazana matrica plana nije ortogonalna, jer je:

Str 123

89. ta znai veliina u centralnom kompozicijskom planu modeliranja?

Veliina , u centralnom kompozicijskom planu modeliranja, znai simetrine take. Kod tih taaka su u tablicama nulte take, zbog matrice, kada se pomou i 2 matrica proiruje. Kod interakcija nema (kod npr. X1X2 u tablici), ali se 2 javlja kod kvadrata (npr. X12).

90. ta je rotatabilni plan modeliranja i ta mu je bazni dio plana?

Rotatabilni plan je specijalni oblik centralnog kompozicijskog plana koji se vrlo esto primjenjuje u modeliranju i adaptivnom upravljanju u procesima s vie varijabli.Ovi planovi pored aplikativnih osobina imaju i svojstva optimalnosti, tako da su pogodni za optimizaciju obradnih procesa, sistema, alata, itd.

Ovaj plan, kao i centralni kompozicijski plan, sadri bazni dio plana , simetrino postavljene take oko centra plana i take ponavljanja u centru plana.

91. ime su odreeni rotatabilni planovi?

Rotatabilni planovi matematiki su odreeni sljedeim vrijednostima:

Uvjet rotatabilnosti:

odnosno:

ili

Iz uvjeta rotatabilnosti dobijaju se koordinate toaka na centralnim osama.

92. ta je polazite (od ega se polazi) kod rotatabilnih planova za odreivanje veliina: , p, N i n0?

Ukupan broj pokusa N i n0 ovisi o broju varijabli k, veliine i veliine p, (p=0,1,2).Broj pokusa iznosi: Parametar p odreuje da li radimo s potpunim ili parcijalnim faktornim planom.Parametar se odreuje iz jednakosti:

Za lake pronalaenje vrijednosti N, n0 i koristi se tabela u kojoj za odreenu vrijednost k i p se moe nai pripadajua vrijednost N, n0 i , kao i parametara i koji slue za izraun koeficijanata modela regresije .

93. Prikazati grafik i matricu rotatabilnog plana za k=2 i n0 = 1.

Ne postoji rotatabilni plan za k = 2 i n0=1, stoga dajem grafik i matricu rotatabilnog plana za k = 2 i n0=5. Ukupan broj pokusa:

1 Matrica eksperimenta

11-1-1111

211-111-1

31-1111-1

4111111

5100000

6100000

7100000

8100000

9100000

1011.41402.000

111-1.41402.000

12101.41402.00

1310-1.41402.00

1 Grafik plana

94. Koja je glavna razlika u odreivanju koeficijenata polinoma rotatabilnog plana i ostalih planova modeliranja?

Odreivanjem koeficijenata modela dobiva se podatak o utjecaju parametara Xi na izlaznu veinu Y razmatranog procesa.

Kod ortogonalnih viefaktornih planova dobije se dijagonalna matrica gdje su svi regresijski koeficienti nezavisni jedan od drugoga.

Za odreivanje koeficienta modela regresije koristimo sljedee izraze:

= +

= , i=1,2,3,...

= , 1 i < m k

= + i=1,2,3,...

Jedna od razlika je parametar koji ovisi o broju variabli k i broju ponavljanja pokusa

Str 77-78, 90,13295. Grafiki prikazati rotatabilni plan za varijable X1 i X2.

96. Kako se provjerava signifikantnost koeficijenata bi bim bii matematikog modela rotatabilnog plana?

Provjera signifikantnosti koeficijenata bi, bim, bii se vri prema t-kriteriju Studenta. Izraunavaju se greke u ocjeni koeficjenata i, , te se provjerava da li koeficijenti pripadaju podruju pouzdanosti:

Dakle, koeficijent je signifikantan ako je zadovoljen uvjet:

odnosno:

gdje je: priblina vrijednost greke pokusa,

dijagonalni i nedijagonalni elementi korelacijske matrice ili matrice greaka , koji se odrede iz tablice 4.18, tablice parametara za rotatabilne planove

tt - tablina vrijednost t-kriterija Studenta

97. Kako se provjerava adekvatnost matematikog modela rotatabilnog plana?Adekvatnost matematikog modela prema F- kriteriju Fishera odreena je uvjetom:

Za ocjenu adekvatnosti uzima se prema prethodnom izrazu vea izraunata vrijednost Fa. Vrijednost Ft(fa, fo) odredi se iz tablice F kriterija za stupnjeve sobode fa i fo ili fo i fa. Disperzija odredi se prema izrazu:

Stupanj slobode se u ovom sluaju odredi prema:fa= N 0,5 (k+2) (k+1) f0 (Fornula 4.155)Vrijednost fa moe se odrediti i prema izrazu: fa = N - f0 - k, (Formula 4.156)gdje je: k - broj signifikantnih koeficijenata dobivenog modela, odnosno broj koeficijenata u modelu po kojem se izraunava vrijednost .Dakako, obino su vrijednosti fa izraunate prema izrazima (4.155) i (4.156) razliite.98. Kako se ispituje adekvatnost matematikog modela (prikazati mogua rjeenja)?Za ispitivanje adekvatnosti matematikog modela potrebno je izvesti disperzijsku analizu, to zahtijeva ponavljanje pokusa mjerenja u pojedinim takama plana. Ponavljanje se pokusa izvodi po odreenom sistemu, tako da moe biti: Ponavljanje pokusa samo u centralnoj taki ortogonalnog plana (n0), [Opirnije-Strana 93.u knjizi] Ponavljanje jednakog broja pokusa u svakoj taki ortogonalnog plana (n1 = n2 = n2 = ... = nN) [Opirnije-Strana 97.u knjizi] Ponavljanje razliitog broja pokusa (n1 n2 n3 ... nN) u takama ortogonalnog plana 99. Kada i gdje se koriste rotatabilni matematiki planovi drugog reda?

Rotatabilni plan je specijalni oblik centralnog kompozicijskog plana koji se vrlo esto primjenjuje u modeliranju i adaptivnom upravljanju u procesima s vie varijabli. Ovi planovi pored aplikativnih osobina imaju i svojstva optimalnosti, tako da su pogodni za optimizaciju obradnih procesa, sistema, alata, itd.100. Na emu se zasniva teorija dimenzionalnosti?Teorija dimenzionalnosti se zasnima na Buckinghamovoj teoremi, gdje svaka jednaina koja opisuje neko fizikalno stanje mora biti dimenzionalno homogena, tako da se on za jednu pojavu moe napisati u obliku:f (P, R, X, Y) = 0,odnosno pomou model polinomskog tipa:1 C2

101. Koji je postupak odreivanja dimenzionalnih grupa?Dimenzionalna homogenost za prvi lan ima oblik:P = C Ako je broj jednadbi vei ili jednak broju nepoznatih eksponenata dobiju se rjeenja:a = , b = , g = ,odnosno P = C .Meutim, ako je broj nepoznatih eksponenata vei od broja jednadbi, tada se dvije nepoznate izraze treom:a = 1+1 g, b = 2+2 g,te je P = C .102. Kako se odreuju bezdimenzionalne grupe kod modeliranja primjenom teorije dimenzionalnosti (postupak procedura)?1. Sastavi se pregled svih utjecajnih parametara (x1, x2, ..., xn) na proces ili sistem. Ako se ukljue parametri koji nemaju utjecaj na proces dimenzionalna analiza e pokazati da oni ne spadaju ni u jednu niti u vie dimenzionalnih grupa ili e eksperiment pokazati da su parametri sluajni. Neka su parametri: F, v, , V, , tj. n=5.2. Izabere se odnovni mjerni sistem fizikalnih veliina: M (masa), L (duina), i T (vrijeme). Tako e biti:za brzinu v = ,za silu F = = ML [kgm],za volumen V = LLL = [],za gustou = , itd.3. Izvri se izbor dimenzija nezavisnih parametara, npr. sila F (), brzina v ( ), naprezanje ( ), volumen V ( ), gustoa ( ).4. Izaberu se ponavljajui parametri m = 3, tako da ovaj broj mora biti jednak broju dimenzija r, koji izmeu sebe ne mogu dati dimenzionalnu grupu, npr. F, , V.5. Odredi se broj bezdimenzionalnih grupa n m = 2 i postavi se dimenzionalna jednaina kombiniranjem parametara izabranih u etvrtom koraku.6. Provjeri se je li svaka dobivena grupa bezdimenzionalna.

103. Koji su osnovni mjerni sistemi fizikalnih veliina koji se koriste u dimenzionalnom modeliranju?

Osnovni mjerni sistemi fizikalnih veliina koji se koriste u dimenzionalnom modeliranju su :

M (masa), L (duina) i T (vrijeme) pa je :

za brizinu ,

za silu

za volumen ,

za gustou itd.104. Prikazati strukturnu vezu ulaznih i izlaznih veliina kod dimenzionalnog modeliranja.

Plastino teenje metala u procesu valjanja ovisi od niza utjecajnih faktora, to se pomou pokazatelja irenja Kbfmoe predstaviti strukturnom vezom ulazno izlaznih veliina, pri emu je:Kbf =f ( P1, P2, P3, ..., Pn), odnosnoKbf =f ( d, h1, l, D (R), h, , s, v1, T, , m, S, i j).

Slika: Strukturna veza ulazno izlaznih veliina

Promjer obratka d, izlazna debljina valjanog komada h1, kontaktna duina l, promjer valjaka D idreuju zonu deformacije. Mehanike karakteristike m i kemijski sastav S definiraju osnovni materijal, dok apsolutna deformacija h, relativni stupanj deformacije , srednja brzina deformacije s, brzina valjanja v1 i temperatura T odreuju termomehanike faktore koji detaljnije opisuju tehnoloki proces plastine obrade. Parametri i i j odreuju stanje na kontaktnoj povrini i napregnuto stanje u radnoj zoni obratka.

105. ta je rang matrice r =? kod dimenzionalnog modeliranja?

Rang matrice r je minimalni broj varijabli ijim se jedinicama mogu izraziti jedinice svih n varijabli, odnosno r je najvei broj dimenzionalnih varijabli od n koje izmeu sebe ne mogu dati dimenzionalne grupe.Kod primjera matematikog modela procesa plastinog teenja, rang matrice je dimenzije r=2, tako da je broj nezavisnih grupa m=n-r=9-2=7.

106. Prikazati primjer odreivanja bezdimenzionalnih grupa i kako se odreuju eksponenti ovih grupa.

Faktorski pokazatelj plastinog teenja:

Pokazatelj plastinog teenja:

Osnovne fizikalne veliine za masu M, duinu L i vrijeme T odreuju jedinicu brzine valjanja v(LT1), brzinu deformacije i komponenti glavnih naprezanja Imajui u vidu Buckinghamov teorem da se svaka dimenzionalna homogena funkcija od n-dimenzionalnih varijabli moe iskazati preko (n-r) bezdimenzionalnih grupa mogue je postaviti dimenzionalnu matricu homogenog sistema jednadbi:aieigifiiimipisiui

dDv1

M000001111

L11110-1-1-1-1

T000-1-1-2-2-2-2

Rang matrice: r=2Broj nezavisnih grupa: m=n-r=9-2=7.Homogeni sistem linearnih jednadbi:Za Za Za Za slijedi odnosno te je

tako je:

Koeficijenti odreuju se analitikim putem iz eksperimentalnih rezultata.

107. Znaaj i zato slue eksperimentalne metode?

Eksperimentalne metode se uglavnom razvijaju za rjeavanje nelinearnih problema u mehanikim konstrukcijama. Eksperimentalne metode omoguuju analizu naprezanja, deformacija, pomaka (izduenja) i sila optereenja u realnim uvjetima prakse, za razliku od analitikih i numerikih metoda koje uvijek polaze od odgovarajuih pretpostavki i aproksimacija to utjee na tonost i pouzdanost dobivenih rezultata. Eksperimentalne metode omoguuju analizu konstrukcije po pitanju njene nosivosti, stabilnosti, lokalne koncentracije naprezanja, mehanizma loma, napregnutih stanja, optimizacije oblika i utede materijala s obzirom na stanje rasporeda deformacija i naprezanja.Eksperimentalne metode imaju posebno znaenje u analizi sloenih problema kada su znatne tekoe u primjeni analitikih ili numerikih metoda, to se obino javlja u konstrukcijama gdje su izraene koncentracije naprezanja usljed zareza, djelovanja koncentriranih sila, ekstremne promjene geometrijskog oblika elementa konstrukcije itd.

108. Klasfikacija eksperimentalnih metoda.

Vanije eksperimentalne metode su: fotoelasticimetrija tenzometrija metoda krhkih lakova optike metode: holografija,interferometrija .. metoda analogije metoda akustike emisije metoda rendgenskog zraenja.

109. Na emu se temelji metoda elektrootpornih mjernih traka?

Metoda elektrootpornih mjernih traka temelji se na metodama eksperimentalne analize naprezanja i deformacija, a gdje se dobije niz podataka bitnih za analizu konstrukcje, tehnikog sistema ili bilo kojeg objekta izloenog djelovanju optereenja.

110. Gdje se primjenjuju metode eksperimentalne analize?

Metode eksperimentalne analize se primjenjuju na :

stvarnim realnim objektima ili sistemima, modelima u laboratorijskim uvjetima i kombinirano, ovisno o realnim mogunostima.

111. Kriteriji za izbor mjerne metode eksperimentalne analize.

Eksperimentalne metode omoguuju analizu naprezanja, deformacija, pomaka (izduenja) isila optereenja u realnim uvjetima prakse, za razliku od analitikih i numerikih metodakoje uvijek polaze od odgovarajuih pretpostavki i aproksimacija to utjee na tonost i pouzdanost dobivenih rezultata. Dakako, usavrene su analitike i posebno numerikemetode, tako da su te razlike u odnosu na rezultate dobivene eksperimentom sve manje.Meutim, eksperimentalne metode su nezamjenjive i to je sigurna dopunska mogunost dase doe do pouzdanih podataka o stanju deformacija, naprezanja ili pomaka, koji su bitniza cjelovitu analizu konstrukcije. Jedna od navedene tri veliine dobivene eksperimentalnoje dovoljna da se na temelju poznatih jednadbi iz Teorije elastinosti odrede ostale dvijeveliine, uz uvjet poznavanja mehanikih osobina materijala.Eksperimentalne metode omoguuju analizu konstrukcije po pitanju njene nosivosti,stabilnosti, lokalne koncentracije naprezanja, mehanizma loma, napregnutih stanja,optimizacije oblika i utede materijala s obzirom na stanje rasporeda deformacija inaprezanja.

112. Metodologija izrade plana i priprema ispitivanja.

Knjiga Elastostatika drugi dio strana 280, Slika 17.1.

113. Osnovni princip rada mjerne trake.

Elektrootporne mjerne trake rade na principu elektrinog otpora struje koja kroz njihprotie, gdje pod utjecajem sile, odnosno mehanikog optereenja, dolazi do promjeneelektrinog otpora. Mjerenja deformacija, odnosnoizduenja, su stalno prisutna u inenjerskoj praksi, posebno u irokom podrujukonstrukcijskih elemenata (elini, betonski i drugi), strojogradnji, mostogradnji, industrijiprevoznih sredstava (industrija automobila, eljeznikih vagona), procesnoj industriji itd.

114. Fizikalni princip rada mjerne trake.

Mjernu traku ini tanka ica koja je savijena nekoliko puta i zaljepljena kvalitetnimljepilom na nosei elemenat, koji moe biti od sintetike mase, metalne folije, papira, itd.Mjerna traka je naljepljena na konstrukciju tako da se deformacije konstrukcije prenose naosjetljivi dio mjerne trake (slika 17.2). Princip mjerenja deformacija temelji se na osobini ice da mjenja elektrini otpor proporcionalno promjeni duine. Deformacija konstrukcije prenosi se na osjetljivi iani dio mjerne trake, pri emu se rad mjerne trake temelji na linearnom odnosu izmeu promjene elektrinog otpora i mehanike dilatacije (izduenja).

115. Prikazati odnos izduenja i promjene elektrinog otpora.

- specifini otpor ice L duina ice CD2 popreni presjek

Ako se provodnik optereti aksijalnom silom svaka veliina u predhodno navedenom izrazu mjenja svoju veijednost to se moe u opem sluaju prikazati:

Dijeljenjem izraza dobija se:

Odnosno prestavlja reletivnu promjenu elektrinog otpora provodnika njegovim

relativnim izduenjem.

116. ta je faktor mjerne trake?

Faktor trake je funkcija dizajna mjerne trake, kao i legure koritene za izradu mreemjerne trake, njene termo mehanike osobine, i u manjoj mjeri temperature mjerenja.

117. O emu ovisi koeficijent osjetljivost mjerne trake Kt?

Koeficjent osjetljivosti Kt ovisi o prvobitnom otporu R i izmjeni promjena otpora R.

118. Ako je deformacija = 1=1000D iE = 2,1 * 10^5 N/((mm)^2) , koliko je naprezanje =?

119. Kako se kompenzira utjecaj toplinske deformacije pri mjerenju?

Za kompenzaciju naprezanja uslijed savijanja i izvijanja ili za kompenzaciju toplotnihdilatacija na elastini element se postavljaju etiri kompenzacione mjerne trakedijametralno suprotno i spojene naizmjenino. Ovako se osigurava potpuna kompenzacija ipoveava osjetljivost pretvaraa.120. Kakve postoje standardne mjerne trake?

Standardne mjerne trake: A=1,4 20 mm (obino 10 mm), B=1,4 10 mm (obino 5-6 mm), C= 6 33 mm ( obino 20 25 mm),D= 5- 15mm ( obino 10 mm)

121. Koje su specijalne mjerne trake?Specijalne mjerne trake se koriste kada se mjere izduenja preko granice razvlaenja, a mogu se upotrijebiti samo jedanput, jer prelaze iz elastinog u plastino stanje. Specijalne mjerne trake su:a) Mjerna traka za velika izduenja,b) elina traka za niske i poviene temperature,c) Temperaturno-samokompenzirajua mjerna traka,d) Temperaturno vanjski kompenzirana mjerna traka,e) Mjerna traka za visoke temperature sa termootporom,f) Membranska mjerna traka.122. Koji su uvjeti za izbor mjernih traka?Uvjet za izbor mjerne trake je da se one primjenjuje za mjerenje manjih otpora. Osim toga uvjet je da omoguava da se deformacije konstrukcije prenose na osjetljivi dio mjerne trake. Standardne mjerne trake se mogu primjeniti kada se mjere izduenja maksimalno do 2%, jer se do tada ponaaju elastino. Ako se mjere izduenja od 8% do 15% primjenjuju se specijalne mjerne trake. Treba znati da dio strukture na kome se lijepe trake mora imati linearnu karakteristiku.123. Objasni oznaavanje mjerne trake koja ima oznaku: L Y 11 3/120.Mjerna traka za eksperimentalnu analizu razliitih oblika. L jednostruka traka, Y serija (materijal trake poliamid/constantan), 1 vrsta i poloaj veze, 1 materijal na koji idu trake feritni elik, 3 dimenzija trake(A), 120 otpor R=120 124. Koji je zadatak Vitsonovog mosta?Zadatak Vitsonovog mosta jeste mjerenje promjene otpora pomou instrumenta koji je konstruiran na osnovu Vitsonovog mosta, a koji se napaja jednosmjernom strujom.

125. Prikaz i opis Vitsonovog mosta.Vitsonov most je pogodan za mjerenje manjih veliina elektrinog otpora, ime je ispunjen uvjet za primjenu u tehnici pomou mjernih traka. U granama mosta su otpori R1, R2, R3 i R4, gdje se u postupku mjerenja nalaze mjerne trake. Kada je mjernih traka manje od etiri, tada u granama mosta gdje nema mjernih traka dolaze pasivni otpornici. Za sluaj uravnoteenog Vitsonovog mosta otpori u granama mosta su podeeni tako da je napon UAC=0, te je protok struje iAC=0, pa je:R1R3=R2R4 iliNavedeni odnos koristi nultu metodu za mjerenje promjene otpora. Pri promjeni otpora mjerne trake R1 za R1 nastae neuravnoteenje mosta. Za uravnoteenje mosta treba promjeniti otpor R4 za R4. Prije optereenja most je bio u ravnotei tj.R1R3=R2R4 odnosno Mjerenjem vrijednosti R4 i za poznati odnos R2/R3 odredi se vrijednost R1, odnosno dilatacija na mjestu gdje je priljepljena mjerna traka.UE napajanje mostaUA izlazni naponUA =0 uravnoteeni Vitsonov mostRg otpor galvanometra

Vitsonov most126. Kako se odreuje-registruje izlazni napon na Vitsonovom mostu?U opem sluaju optereenja odnos izlaznog napona i napona napajanja mosta glasi:

Za sluaj: R1=R2=R3=R4 ili R1 : R2=R4 : R3 : (UA/UE) = 0a i za uvjet da Ri