Pitagora

Indice

1 Pitagora 11.1 Pitagora autore del termine “filosofia” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Storia e leggenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Limitazioni alimentari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 L'astensione dalle fave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2 Il vegetarianismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Il pensiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5.1 La metempsicosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5.2 Matematici e Acusmatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5.3 “Scienza” e musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Eredità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Voci correlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Altri progetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Collegamenti esterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Teorema 82.1 Struttura di un teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Tipi di dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Dimostrazione costruttiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Dimostrazione per assurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Dimostrazione per induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 In matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Teorema, legge, assioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Voci correlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Altri progetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Teorema di Pitagora 113.1 Origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Enunciato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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ii INDICE

3.3.1 Dimostrazione di Abu'l-Wafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.2 Dimostrazione di Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.3 Quadrati concentrici di Pomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.4 Dimostrazione di Garfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.5 Con i teoremi di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.1 Applicazioni pratiche dell'enunciato inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Generalizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.1 Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.2 Teorema dei seni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.3 Generalizzazione che non fa uso di trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.4 Generalizzazione a tutte le figure simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Negli spazi prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.1 Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.7 Leggenda di Pitagora e delle piastrelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.8 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.9 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.10 Voci correlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.11 Altri progetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.12 Collegamenti esterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.13 Fonti per testo e immagini; autori; licenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.13.1 Testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.13.2 Immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.13.3 Licenza dell'opera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Capitolo 1

Pitagora

Copia romana del I sec. a.C. di originale greco conservata neiMusei Capitolini di Roma

Pitagora[2] (Samo, tra il 580 e il 570 – Metaponto,495 a.C. circa) è stato un filosofo greco antico. Fumatematico, taumaturgo, astronomo, scienziato, politicoe fondatore a Crotone di una delle più importanti scuo-le di pensiero dell'umanità, che prese da lui stesso il suonome: la Scuola pitagorica.Viene ricordato come fondatore storico della scuola a luiintitolata, nel cui ambito si svilupparono molte conoscen-ze, in particolare quelle matematiche e le sue applicazio-ni come il noto teorema di Pitagora[3]. Il suo pensiero haavuto enorme importanza per lo sviluppo della scienzaoccidentale, perché ha intuito per primo l'efficacia del-la matematica per descrivere il mondo.[4] Le sue dottri-ne segnerebbero la nascita di una riflessione improntataall'amore per la conoscenza.

1.1 Pitagora autore del termine“filosofia”

Pitagora è stato indicato in passato come l'autore del ter-mine "filosofia" (φιλοσοφία) inteso come “amore per lasapienza”. La storia della filosofia fa risalire questa inno-vazione lessicale a fonti come Eraclide Pontico, Cicerone(nelle Tuscolane) e Diogene Laerzio (nelle Vite e dottri-ne dei più celebri filosofi). Autori moderni tra cui WalterBurkert e Christoph Riedweg hannomesso in dubbio que-sta tradizione antica rilevando come intendere modesta-mente il filosofo come colui che ama la sapienza ma nonla possiede, come pretendeva il sophos, il sapiente, perchéquesta appartiene solo agli dei, come, cioè, «un'umile de-finizione della filosofia di raggiungere qualcosa di irrag-giungibile», non corrisponda al senso delle dottrine deipresocratici dove l'interesse fondamentale era la conside-razione della natura, ma come piuttosto sembri una defi-nizione più adeguata alla dottrina platonica. In un fram-mento che si fa risalire ad Eraclito, poi, sarebbe già indi-cato il termine “filosofia” che si ritrova anche in Erodotoche però per l'uso normale che ne fa nelle sue Storie ren-de difficile pensare che questa parola sia nata negli anniventi del V secolo quando probabilmente fu pubblicatala sua opera. Questa attribuzione di modestia del restonon si confaceva al carattere di Pitagora che orgogliosa-mente si poneva come un capo religioso dalla personalitàcarismatica.[5]

1.2 Storia e leggenda

La figura storica di Pitagora, menzionato da scrittorisuoi contemporanei o di poco posteriori come Senofane,Eraclito, Erodoto, sembra essere accertata [7] ma la suafisionomia di filosofo risulta confusa poiché si mesco-la alla leggenda narrata nelle numerose Vite di Pitago-ra, composte nel periodo del tardo neoplatonismo e delneopitagorismo, nelle quali il filosofo viene presentato co-me figlio del dio Apollo.[8] Secondo la leggenda, il no-me risalirebbe etimologicamente ad una parola che signi-ficherebbe “annunciatore del Pizio”, cioè del dio Apol-lo (Πυθαγòρας (Pythagòras), composto da Πυθιος (Py-thios, un epiteto di Apollo) e ἀγορά (agorà, “piazza”);

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2 CAPITOLO 1. PITAGORA

altre fonti identificano il primo elemento con πεἰθω (pèi-thō, “persuadere”), quindi “colui che persuade la piazza”.Si giunse a considerarlo profeta, guaritore, mago e ad at-tribuirgli veri e propri miracoli. Soprattutto in Giamblicoe nei Neoplatonici viene costruita questa immagine so-prannaturale del filosofo quale mito della religiosità paga-na forse in opposizione al dilagante Cristianesimo e allafigura del Cristo.È quasi impossibile distinguere, nell'insieme di dottrinee frammenti a noi pervenuti, non solo ciò che appartieneal pensiero di Pitagora ma neppure, nonostante i tenta-tivi di John Burnet[9], di separare il pensiero del primopitagorismo da quello successivo.Anche Aristotele, che possiamo considerare il primo sto-rico della filosofia, nella difficoltà evidente di identifi-care la dottrina del maestro, parla genericamente de «icosiddetti pitagorici»[10].

1.3 Biografia

Busto di Pitagora. Copia romana, della fine del I sec. a.C., di unoriginale greco della prima età ellenistica o tardo ellenistica.[11]

La vita di Pitagora è avvolta nel mistero, di lui sappiamopochissimo e la maggior parte delle testimonianze che loriguardano sono di epoca più tarda.

Alcuni autori antichi o suoi contemporanei comeSenofane, Eraclito ed Erodoto ci danno testimonianze ta-li da far pensare alla esistenza storica di Pitagora, pur seinserita nella tradizione leggendaria[12].Secondo queste fonti Pitagora nacque nella prima me-tà del VI sec. a.C. nell'isola di Samo, dove fu scola-ro di Ferecide e Anassimandro subendone l'influenzanel suo pensiero. Secondo alcune ricostruzioni,[8] il pa-dre potrebbe essere stato un cittadino facoltoso di nomeMnesarco.[13]

Attribuibile alle leggende sulla vita di Pitagora è il suomatrimonio con Teano, dalla quale avrebbe avuto tre figli,due maschi: Arimnesto, Telauge e una femmina: Damo.Infatti «il nome Teano [può] suggerire abbastanza facil-mente un rapporto con la divinità ..., mentre assai più im-probabili sono i nomi dei figli, maschi e femmine, che egliavrebbe avuto.»[14]

Da Samo Pitagora si trasferì nella Magna Grecia. ACrotone, all'incirca nel 530 a.C., fondò la Scuola pitago-rica. Secondo Russell,[15] il trasferimento di Pitagora sidovette a cause politiche in quanto il filosofo non appro-vava la tirannide di Policrate. Dei suoi viaggi in Egittoe a Babilonia, narrati dalla tradizione dossografica, nonvi sono fonti certe, essi sono ritenuti, almeno in parte,leggendari.Sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono:essendo scoppiata una rivolta dei democratici contro ilpartito aristocratico pitagorico, la casa dove si erano riu-niti gli esponenti più importanti della setta fu incendiata.Si salvarono Archippo e Liside che si rifugiò a Tebe. Se-condo una versione, Pitagora prima della sommossa si eraritirato a Metaponto, dove morì. Secondo altri invece ca-sualmente era assente alla riunione nella casa incendiatae quindi riuscì a salvarsi fuggendo prima a Locri, quindia Taranto e da lì a Metaponto[16] dove morì.[17] SecondoPorfirio (232-305 d.C.):Quasi sicuramente Pitagora non lasciò nulla di scritto ele opere Tre libri e Versi aurei vanno ascritte ad autorisconosciuti, che li scrissero in epoca cristiana o di pocoantecedente.Giamblico (Siria, 245 – 325) fondatore di una scuolaneoplatonica ad Apamea, in Siria, attesta invece[19] che iprimi libri a contenuto pitagorico pubblicati erano operadi Filolao.

1.4 Limitazioni alimentari

1.4.1 L'astensione dalle fave

Una versione della morte di Pitagora è collegataall'idiosincrasia del filosofo e della sua Scuola per le fave,che i pitagorici si guardavano bene dal mangiare,[20] evi-tando anche il semplice contatto. Secondo la leggenda,Pitagora stesso, in fuga dagli scherani di Cilone di Cro-

1.5. IL PENSIERO 3

Pitagora sostiene il vegetarianismo (Pieter Paul Rubens, 1618-1620)

tone, preferì farsi raggiungere ed uccidere piuttosto chemettersi in salvo in un campo di fave.[21]

Esistono due interpretazioni riguardo al divieto di man-giare fave. Quella di Gerald Hart,[22] secondo cui ilfavismo era una malattia diffusa nella zona del crotonesee ciò conferirebbe al divieto una motivazione profilattica-sanitaria. Dunque Pitagora viveva in zone di favismo dif-fuso, e da questo nasceva la sua proibizione igienica; maperché i medici greci non avevano identificato questa pa-tologia? Nell'esperienza quotidiana le fave erano un car-dine dell'alimentazione che tutt'al più causava flatulenzee insonnia e se qualcuno che aveva mangiato fave con-temporaneamente si ammalava i due fatti non venivanocollegati. Se dunque Pitagora dell'astenersi dal mangiarefave ne fa addirittura un precetto morale è perché i grecidel VI secolo a.C. avevano un modo diverso dal nostrodi considerare le malattie nel senso che le riferivano allareligione[23] per cui, come ha messo in luce Claude Lévi-Strauss, le fave erano considerate connesse al mondo deimorti, della decomposizione e dell'impurità, dalle quali ilfilosofo si deve tenere lontano.

1.4.2 Il vegetarianismo

Pitagora è tradizionalmente considerato l'iniziatore delvegetarianismo in Occidente grazie ad alcuni versi del-le Metamorfosi di Ovidio, che lo descrivono come il pri-mo degli antichi a scagliarsi contro l'abitudine di cibarsidi animali, reputata dal filosofo un'inutile causa di stragi,dato che la terra offre piante e frutti sufficienti a nutrirsisenza spargimenti di sangue; Ovidio lega il vegetariani-smo di Pitagora alla credenza nella metempsicosi, secon-do cui negli animali vi è un'anima non diversa da quelladegli esseri umani.[25]

1.5 Il pensiero

Sebbene sembri che Pitagora non abbia scritto nulla[26],tuttavia i suoi discepoli gli attribuirono un'estesa dottrina

Euclide e Pitagora, ovvero la Geometria e l'Aritmetica, formelladel Campanile di Giotto, Luca della Robbia, 1437-1439, Firenze

arrivando anche a scrivere opere a suo nome.

1.5.1 La metempsicosi

In realtà pochi sono gli elementi certi della dottrina pi-tagorica, tra questi quello della metempsicosi su cui lefonti sembrano concordare[27]. Oltre a Dicearco che scri-ve due secoli dopo Pitagora, prima di questi ne parlaAristotele[28] come di un “mito” pitagorico. Platone si ri-ferisce più volte alla dottrina della trasmigrazione delleanime[29] ma non si richiama mai Pitagora ma piuttostoa pitagorici come Filolao[30]. Diogene Laerzio[31] riportaattribuendolo a Senofane[32] un episodio doveDerivato dall'orfismo, nella dottrina pitagorica vi è dun-que un sicuro aspetto religioso, il quale sosteneva latrasmigrazione delle anime che, per una colpa originaria,erano costrette, come espiazione, ad incarnarsi in corpiumani o bestiali sino alla finale purificazione (catarsi).La novità del pensiero di Pitagora rispetto all'orfismo èrappresentato dalla considerazione della conoscenza co-me strumento di purificazione nel senso che l'ignoranza èritenuta una colpa da cui ci si libera con il sapere. Questaparticolarità della dottrina è ritenuta dagli studiosi sicura-mente appartenente a Pitagora che viene tradizionalmen-te definito, a partire da Eraclito, come polymathés (erudi-to) che «...praticò la ricerca più di tutti gli altri uomini»ma la sua fu una sapienza fraudolenta (kakotechnie)[33].Eraclito non specifica quale fosse il contenuto di questasapienza che Porfirio, vissuto secoli dopo Pitagora, s’inca-rica di definire riferendosi al già citato Dicearco, allievodi Aristotele e che quindi scrive di Pitagora due secoli

4 CAPITOLO 1. PITAGORA

dopo di lui[34]. Scrive Porfirio:Porfirio non accenna ad alcun interesse di Pitagora per lamatematica mentre insiste sul problema dell'anima. Que-sto ha fatto pensare che Porfirio e Giamblico (altro tardoautore fonte del pitagorismo), che appartenevano entram-bi alla scuola platonica, abbiano determinato una speciedi sincretismo tra la dottrina pitagorica e quella platonica,una «platonizzazione del pitagorismo»[35]

In che consistesse dunque l'erudizione di Pitagora man-cano notizie certe. Anche sulla prima definizione di sestesso come filosofo (come è stato riferito da Cicero-ne e Diogene Laerzio) attribuita a Pitagora come “coluiche ama il sapere”, ma non lo possiede in quanto solo ildio è sapiente del tutto, c'è chi ha recentemente avanzatoconsiderazioni a favore della tradizione[36].

1.5.2 Matematici e Acusmatici

Secondo le tarde testimonianze di Giamblico[37] ePorfirio[38] nella sua scuola si sarebbe verificata una di-stinzione tra i discepoli, a seconda del loro interesse peri contenuti “scientifici” o mistico-religiosi, in “Matema-tici” (da mathema, scienza) e “Acusmatici” (da akousma,detto orale) tra i quali dopo la morte di Pitagora sarebbeseguita una contesa tra le due fazioni che si attribuivanol'eredità filosofica del maestro[39]. I primi cercavano dirinnovare il Pitagorismo rifacendosi a una presunta dot-trina segreta di Pitagora della quale essi si consideravanoi depositari privilegiati. I “Matematici” sostenevano in-fatti che Pitagora avrebbe insegnato in pubblico ai piùanziani incaricati della guida politica della polis[40], sen-za badare troppo al rigore delle sue affermazioni mentreavrebbe riservato il suo insegnamento più fondato basa-to su i mathémata, ai discepoli più giovani che avevanotempo e voglia di apprendere.[41]. Questa tradizione delladivisione tra i due gruppi di discepoli è stata consideratapoco attendibile e storiograficamente poco fondata[42] macomunque utile a confermare il carattere religioso delladottrina di Pitagora che tendeva a mostrarsi come dotatodi una natura divina e in possesso di poteri magici: il suoinsegnamento praticato dietro a una tenda dava infatti unaspetto oracolare alla sua parola per gli allievi, sempli-ci acusmatici, ascoltatori obbligati a seguire le lezioni insilenzio.[43].È quasi certo che l'insegnamento pitagorico avesse unaspetto mistico-religioso consistente in un addottrina-mento dogmatico, secondo il noto motto della scuola“αὐτὸς ἔφα” o “ipse dixit” (lo ha detto lui)[44] e un conte-nuto che molto probabilmente riguardava gli opposti edi numeri (in quanto principi cosmologici), da intendersiperò, come hanno osservato vari autori, tra cui EdouardSchuré e René Guénon, in un senso non solo quantitativo,ma anche qualitativo e simbolico.[45]

Xilografia medievale che raffigura Pitagora con campane e altristrumenti che suonano in armonia

1.5.3 “Scienza” e musica

Riguardo alle elaborazioni scientifiche attribuite a Pita-gora, gli storici della filosofia non sono in grado di avernecertezza.Le dottrine astronomiche sono sicuramente state elabo-rate dai suoi discepoli nella seconda metà del V sec.a.C.Il teorema per cui il filosofo è famoso era già noto agli an-tichi Babilonesi, ma alcune testimonianze, tra cui Procloriferiscono che Pitagora ne avrebbe intuito la validità,mentre si deve a lui avere indicato come sostanza pri-migenia (archè) l'armonia determinata dal rapporto tra inumeri e le note musicali.Infatti si dovrebbe a lui l'invenzione della scala musicale.Pitagora avrebbe quindi tradotto sperimentalmente la suaintuizione costruendo un monocordo[47]. Egli tese unacorda fra due ponticelli e ricavò l'ottava ponendo unastanghetta esattamente al centro della corda (1:2). Poi nepose un'altra a 2/3 della lunghezza della corda, stabilendocosì l'intervallo di 5a. Sistemando a 3/4 un'altra stanghet-ta trovò così l'intervallo di 4a. La distanza, in termini dialtezza, fra la 4a e la 5a fu per lui molto importante e lachiamò tono.Dobbiamo probabilmente a lui il concetto di divisionedell'ottava. La scala musicale basata su questi intervalli,che nel Medioevo era attribuita correntemente allo stes-so Pitagora, ebbe una particolare importanza teorica, aldi là della pratica musicale: Platone, nel dialogo Timeo,

1.7. NOTE 5

la descrisse come fondamento numerico dell'anima delmondo. Nel corso del Medioevo, sulla base del raccontodella scoperta delle proporzioni numeriche corrisponden-ti agli intervalli musicali, riportato da Boezio e da Proclo,Pitagora fu considerato l'inventore della teoria musicale.

1.6 Eredità

Pitagora, dettaglio della Scuola d'Atene (1511) di RaffaelloSanzio

Platone eredita da Pitagora l'idea dell'importanza dellamatematica come linguaggio per descrivere il mondo,pur mantenendola nell'ambito metafisico ma ripulendoladal pesante bagaglio misticheggiante in cui era immersa.L'astronomia della scuola pitagorica, che continua nellavisione del cosmo di Platone[48], sarà destinata a diven-tare un modello di scienza, che, attraverso Copernico,sarà alla base della scienza moderna. L'influenza delprogetto pitagorico-platonico è esplicita sugli scienzia-ti della rivoluzione scientifica moderna, come Galileo eKeplero.[49]

1.7 Note[1] Russell, Storia della filosofia occidentale, Vol. I, p. 56.

[2] Il nome deriverebbe, secondo una probabile etimologia,dal greco Πυθαγòρας, Pythagòras, da πεἰθω, pèithō, per-suadere + ἀγορά, agorà, piazza; colui che persuade lapiazza.

[3] Tale “teorema” è inserito alla proposizione 47 del I librodegli Στοιχεῖα (Elementi) di Euclide (IV-III sec. a.C.).L'attribuzione a Pitagora di detto “teorema” la si deve

tuttavia esclusivamente al “commento” che compose perquesta opera Proclo (V secolo d.C.) che, a sua volta, si ri-faceva alla testimonianza di un oscuro Apollodoro il qua-le avrebbe sostenuto che Pitagora, dopo la scoperta del“teorema” avrebbe sacrificato un bue. Anche se è proba-bile che il “saggio” di Samo si sia interessato ad argomen-ti matematici e di filosofia della natura occorre ricordareche «fino a Platone e Aristotele inclusi, non esiste ombradi prova diretta che permetta di qualificare Pitagora comefilosofo della natura o come matematico».(Carl Huffman,Pitagorismo in Il sapere greco- dizionario critico, vol. II p.483).

[4] Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora aNewton , Edizione Muzzio, Roma, 2003

[5] Christoph Riedweg, Pitagora: vita, dottrina e influenza,Vita e Pensiero, 2007 p.25

[6] DK 14 A 8a; in Pitagora, Versi aurei. Seguiti dalle vite diPorfirio e Fazio, da testi pitagorici e da lettere di donne pi-tagoriche, a cura di S. Fumagalli, Mimesis, Milano, 1996,p. 72.

[7] Enciclopedia Italiana Treccani alla voce corrispondente

[8] Russell, Storia della filosofia occidentale, Vol. I, p. 49.

[9] J. Burnet, Antica filosofia greca pp.37 e sgg.

[10] Aristotele, Metafisica, 985b

[11] In modo originale Pitagora viene rappresentato con uncopricapo formata da una fascia di tessuto intrecciata aldi sopra di un berretto probabilmente in cuoio. Secondoquanto riferisce Eliano (Varia historia, XII, 32) il filoso-fo era solito vestire all'orientale ed adoperare una benda(tenia (fascia)|tenia]] annodata intorno alla testa, simile aquanto è ancora oggi il copricapo indossato nel Nord Afri-ca e nel vicino e medio Oriente. Questa specie di turban-te stabilisce un collegamento con la tradizione sviluppatadall'età ellenistica in poi secondo cui Pitagora sarebbe sta-to un mediatore culturale tra Occidente ed India (MuseoArcheologico Nazionale di Napoli)

[12] Pitagora, in Dizionario di filosofia, Istitutodell'Enciclopedia Italiana, 2009. URL consultato il16 dicembre 2015.

[13] Silvio Accame, Scritti minori, vol. III, Ed. di Storia eLetteratura, Roma 1990, p. 1163, nota 27

[14] Rita Cuccioli Melloni, Ricerche sul pitagorismo: Biografiadi Pitagora, Compositori, 1969, p.8

[15] Russell, Storia della filosofia occidentale, Vol. I, p. 50.

[16] Metaponto, frazione del comune di Bernalda in provinciadi Matera

[17] Cioffi et alii, I filosofi e le idee, Vol. I, Ed. BrunoMondadori 2004 p. 46.

[18] Porfirio, Vita di Pitagora (ΜΑΛΧΟϒ Η ΒΑΣΙΛΕΩΣΠϒΘΑΓΟΡΟϒ ΒΙΟΣ), 57

[19] Christoph Riedweg in Pitagora: vita, dottrina e influenza,Vita e Pensiero, 2007 cita Giamblico in Vita di Pitagora,p. 199

6 CAPITOLO 1. PITAGORA

[20] Russell, Storia della filosofia occidentale, Vol. I, pp. 50-51.

[21] Diogene Laerzio, Vite dei filosofi, VIII, I.

[22] InDescriptions of blood and blood disorders before the ad-vent of laboratory studies (British Journal of Haematology,2001, 115, 719-728

[23] Mirko Grmek, Le malattie all'alba della civiltà occidenta-le, Il Mulino 1985

[24] Dal De re publica, III, 1, 19; citato in Claudio Tugno-li (a cura di), Zooantropologia. Storia, etica e pedago-gia dell'interazione uomo/animale, FrancoAngeli, Milano2003, p. 21n.

[25] Erica JoyMannucci, La cena di Pitagora, Carocci editore,Roma 2008, pp. 15-19.Ovidio attribuisce queste parole a Pitagora: «Smettetela,uomini, di profanare i vostri corpi con cibi empi! Ci sonole messi, ci sono alberi stracarichi di frutti, ci sono turgidigrappoli d'uva sulle viti! Ci sono erbe dolci e tenere [...].La terra nella sua generosità vi propone in abbondanzablandi cibi e vi offre banchetti senza stragi e sangue [...].Che enorme delitto è ingurgitare viscere altrui nelle pro-prie, far ingrassare il proprio corpo ingordo a spese di altricorpi, e vivere, noi animali, della morte di altri animali!Ti par possibile che tra tanto ben di dio che produce laterra, ottima tra le madri, a te non piaccia masticare altrocoi tuoi denti crudeli che carne ferita, riportando in vogale abitudini dei Ciclopi?» (da Le metamorfosi, libro XV,72-93; citato in Erica Joy Mannucci, op. cit. , p. 16)Diogene Laerzio sostiene inoltre che Pitagora fosse solitomangiare pane e miele al mattino e verdure crude la sera;in più implorava i pescatori affinché ributtassero in ma-re quello che avevano appena pescato. (cfr. AA.VV., Lagrande cucina | Vegetariana, RCS, Milano 2005, p. 142.ISSN 1824-5692)

[26] DL VIII, 6.8, 14 A 19; Giamblico, A 17; Galeno, A 18

[27] Enciclopedia Garzanti di filosofia, Milano 1981 p.705

[28] De anima 407b20 = 58 B 39 DK, p. 955 tr. it.

[29] Menone, 81 AD; Fedone, 70 A, ecc.

[30] Platone, Fedone, 61b

[31] VIII, 36, pp. 301-303 tr. it.

[32] 21 B 7 DK

[33] 22 B 129 DK, p. 373 tr. it.

[34] 14 A 8a DK (Porfirio, Vita di Pitagora, 19), pp. 225-227tr. it

[35] Christoph Riedweg, Pitagora. Vita, dottrina e influenza,Editore: Vita e Pensiero 2007 p.34

[36] Cfr. Riedweg Christoph, in Pitagora. Vita, dottrina einfluenza, Editore: Vita e Pensiero 2007

[37] V. P., 81 sg.

[38] V. P., 37

[39] Bruno Centrone, Introduzione a i Pitagorici, Laterza, 1996pp.81 e sgg.

[40] Christoph Riedweg, Pitagora: vita, dottrina e influenza,Vita e Pensiero ,2007 p.28

[41] Konrad Gaiser, La dottrina non scritta di Platone: studi sul-la fondazione sistematica e storica delle scienze nella scuolaplatonica, Vita e Pensiero, 1994 p.257

[42] Isnardi Parente, Pitagorici, III, p.

[43] Aristotele, Frammenti. Opere logiche e filosofiche, a curadi Marcello Zanatta, BUR pp. 298-299

[44] Il detto compare nel De natura deorum (I,5,10) di MarcoTullio Cicerone, il quale, parlando dei pitagorici, ricordacome fossero soliti citare la loro somma autorità, Pitago-ra, con la frase ipse dixit, per poi criticare tale formula inquanto elimina la capacità di giudizio dello studente.

[45] Paolo Scroccaro, Pitagora:la dottrina dei numeri e degliopposti

[46] Massimo Donà, Filosofia della musica, Bompiani

[47] Riccardo Viagrande, Manuale di storia ed estetica dellamusica, Casa Musicale Eco, 2004, p.40

[48] Oriano Spazzoli, Universo di sfere:astronomia e cosmolo-gia degli antichi Greci

[49] Cfr. Sito web italiano per la filosofia - Università di Bari -Laboratorio di epistemologia

1.8 Bibliografia• Graziano Biondi, La favola di Euforbo e Pitagora,manifestolibri, Roma 2009.

• Bruno Centrone, Introduzione a I pitagorici, Roma-Bari: Laterza, 1996.

• Kitty Gail Ferguson, La musica di Pitagora. Lanascita del pensiero scientifico, Editore: Longanesi2009.

• Carmelo Fucarino, Pitagora e il vegetarianesimo,Editore: Giannone A. 1982.

• Christiane L. Joost-Gaugier,Pitagora e il suo influssosul pensiero e sull'arte, Editore Arkeios, 2008.

• Leonida Lazzari, Pitagora, Editrice Pitagora, Bolo-gna 2007.

• Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitago-ra a Newton, Edizione Muzzio, Roma, 2003.

• Alfonso Mele, Pitagora : filosofo e maestro di verità,Roma: Scienze e lettere, 2013.

• Piergiorgio Odifreddi, Pitagora, Euclide e la na-scita del pensiero scientifico Gruppo EditorialeL'Espresso, Roma 2012.

1.11. COLLEGAMENTI ESTERNI 7

• Giovanni Reale (a cura di), I presocratici. Primatraduzione integrale con testi originali a fronte del-le testimonianze e dei frammenti di Hermann Diels eWalther Kranz, Milano: Bompiani, 2006.

• Christoph Riedweg, Pitagora. Vita, dottrina einfluenza, Editore: Vita e Pensiero 2007.

• Augusto Rostagni, Il verbo di Pitagora, Editore: IlBasilisco 1982.

• Bertrand Russell, Storia della filosofia occidentale,traduzione di Luca Pavolini, Milano, TEA, 2014[1948], ISBN 978-88-502-0514-1.

• Maria Timpanaro Cardini, Pitagorici, Testimonian-ze e frammenti, 3 volumi, Editore: La Nuova Italia,1969.

1.9 Voci correlate• Religione dell'antica Grecia: Pitagora e il pitagori-smo

• Apollonio di Tiana

• Geometria sacra

• Neopitagorismo

• Teano (filosofa)

• Terna pitagorica

• Teorema di Pitagora

• Tavola pitagorica

1.10 Altri progetti

• Wikisource contiene una pagina dedicata aPitagora

• Wikiquote contiene citazioni di o su Pitagora

• Wikimedia Commons contiene immagini oaltri file su Pitagora

1.11 Collegamenti esterni• Pitagora: La metemsomatosi, sul portale RAIFilosofia, filosofia.rai.it.

• (EN) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson,Pitagora, su MacTutor, University of St Andrews,Scotland.

Capitolo 2

Teorema

Il teorema di Pitagora ha più di 350 dimostrazioni.

Un teorema è una proposizione che, a partire da con-dizioni iniziali arbitrariamente stabilite, trae delle con-clusioni, dandone una dimostrazione. I teoremi svolgo-no un'importantissima funzione nella matematica, nellafisica e in generale in tutte le materie scientifiche. Teore-ma in greco significa: ciò che si guarda, su cui si specu-la (θεώρημα); sul piano etimologico ha la medesima de-rivazione di teoria (dal verbo θεωρέω theoréo, “guardo,

osservo”).

2.1 Struttura di un teorema

Un teorema è composto da una o più ipotesi, una tesi eduna dimostrazione della tesi.

• Le ipotesi sono le condizioni iniziali su cui si vuo-le ragionare, esse sono puramente arbitrarie e nonhanno motivo di essere dimostrate.

• La tesi è la conseguenza delle ipotesi, in un teorematutte le volte che si verificano le condizioni inizialidescritte nelle ipotesi allora si verifica anche la tesi.

• Un teorema, per essere tale, deve contenere una di-mostrazione, cioè un insieme di implicazioni lo-giche che possano assicurare che le ipotesi impli-chino la tesi. Per ottenere una dimostrazione sod-disfacente possono essere seguiti diversi schemi di-mostrativi come la dimostrazione per induzione, ladimostrazione per assurdo oppure la dimostrazionecostruttiva.

2.2 Tipi di dimostrazione

Esistono principalmente tre tipi di dimostrazione: la di-mostrazione costruttiva, la dimostrazione per assurdo e ladimostrazione per induzione.

2.2.1 Dimostrazione costruttiva

La dimostrazione costruttiva si svolge utilizzando le con-dizioni iniziali delle ipotesi per ottenere, tramite una seriedi implicazioni logiche, le condizioni della tesi.Se per esempio volessimo dimostrare in modo costruttivoche se si prendono due numeri pari a e b (ipotesi) allorala loro somma a + b sarà anch'essa un numero pari (tesi)possiamo dire che il fatto che a e b siano pari implicache li si possa scrivere come a = 2×n e b = 2×m, questoimplica che la loro somma sia uguale a a + b = 2×n + 2×m= 2×(n + m) che è un numero pari.

8

2.3. IN MATEMATICA 9

Partendo dall'ipotesi, attraverso una serie di implicazionilogiche abbiamo ottenuto la tesi.

2.2.2 Dimostrazione per assurdo

La dimostrazione per assurdo viene fatta ipotizzando chela tesi sia sbagliata e dimostrando che una tesi sbagliataimplichi delle asserzioni che entrano in contrasto con leipotesi.Se per esempio volessimo dimostrare per assurdo che sesi prendono due numeri reali a e b diversi da 0 (ipotesi)allora la loro somma a + b sarà diversa dalla loro diffe-renza a - b (tesi) ipotizziamo che la tesi sia sbagliata equindi che la somma dei due numeri sia uguale alla lorodifferenza: a + b = a - b, questo implica che a + b - a = -bche a sua volta implica che b=-b ma questo, nell'insiemedei numeri reali, è vero solo se b è uguale a 0 e questo èassurdo perché in contrasto con l'ipotesi che a e b sianodiversi da zero.Abbiamo negato la tesi e, tramite delle implicazioni lo-giche, abbiamo ottenuto delle condizioni che entrano incontrasto con le ipotesi.

2.2.3 Dimostrazione per induzione

La dimostrazione per induzione ometodo di induzione vie-ne utilizzata per i teoremi che asseriscono che gli elemen-ti di un certo insieme numerabile posseggono una parti-colare proprietà. Se si riesce a dimostrare che il teoremavale per il primo elemento dell'insieme e che, se il teore-ma vale per un elemento qualsiasi, allora vale anche peril successivo allora la tesi è stata dimostrata.L'idea intuitiva con cui si può comprendere il senso delmetodo di induzione è quella di un “effetto domino”, af-finché le tessere da domino disposte lungo una fila cadanotutte sono sufficienti due condizioni:

• che cada la prima tessera;

• che ogni tessera sia posizionata in modo tale checadendo provochi la caduta della successiva.

Per dare un esempio di dimostrazione per induzione pos-siamo dimostrare che se n è un numero naturale maggioredi 0 (ipotesi) allora il numero n + n2 è pari (tesi). Possia-mo notare che questo teorema asserisce che gli elemen-ti dell'insieme dei numeri naturali maggiori di 0, che ènumerabile, possiedono una particolare proprietà. Dimo-striamo quindi che il teorema è valido per il primo ele-mento dell'insieme: se n = 1 allora n + n2 = 1 + 12 = 2che è un numero pari. Ora dimostriamo che se il teoremaè vero per un qualsiasi numero naturale kmaggiore di 0 èvero anche per il numero successivo k + 1. Quindi ipotiz-ziamo che se k è un numero naturale maggiore di 0 allorak + k2 è un numero pari. Per il numero successivo k + 1

possiamo dire che (k + 1) + (k + 1)2 = k + 1 + k2 + 2k +1 = (k + k2) + 2(k + 1) è anch'esso un numero pari datoche 2(k + 1) è pari, (k + k2) è un numero che avevamoipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari èpari.

2.3 In matematica

In matematica per teorema, strettamente, si intende unenunciato che viene dimostrato nell'ambito di una teoriaformale (come ogni altra proposizione derivabile dagliassiomi della teoria mediante un procedimento dimostra-tivo) e che in un'esposizione sistematica della teoria vienepresentato come risultato di rilievo. Le altre implicazionilogiche che vengono dimostrate in matematica vengonochiamate corollari se la loro dimostrazione viene eseguitagrazie alle implicazioni di un teorema, lemmi se le loroimplicazioni sono necessarie per la dimostrazione di unteorema, si usa inoltre il termine proposizione per tuttequelle implicazioni logiche tra due predicati che hannouna rilevanza inferiore a quella di un teorema.La distinzione fra teoremi e semplici proposizioni del-la teoria è materia opinabile e può dipendere in partedalla tradizione, in parte dalla semplicità dell'enunciatoe quindi alla facilità di comprenderne il senso e di ricor-darlo, in parte da valutazioni sul numero e sul peso delleconseguenze che possono ricavarsi da una proposizione.In matematica tutte quelle affermazioni ritenute verema per le quali non si dispone di una dimostrazionesoddisfacente vengono chiamate congetture.

2.4 Teorema, legge, assioma

È utile distinguere la differenza tra i termini utilizzatimolto spesso nelle scienze esatte: teorema, legge, assioma.

• Si dice teorema una proposizione dimostrata pervia logica attraverso una sequenza (finita) diimplicazioni logiche, del tipoA → B → C → D ossia A → D

dove A è un assioma del sistema o una proposizio-ne dimostrata ultimamente in forza di assiomi. Unesempio è il teorema di Pitagora o il teorema diTalete

• Si dice legge una relazione matematica estrapolata apartire da dati empirici e in grado di spiegare con unsufficiente grado di precisione un'osservazione spe-rimentale (come il moto dei corpi, le maree, ecc.).Un esempio è la legge di Coulomb per l'elettrostaticao le leggi di Newton per la dinamica.

• Si dice assioma (o postulato, benché i due concettiandrebbero distinti) una proposizione non dimostra-ta (e non dimostrabile per definizione) ma assunta

10 CAPITOLO 2. TEOREMA

per vera in quanto ritenuta evidente o comunque in-dispensabile nello sviluppo assiomatico di un siste-ma. Non può esistere un sistema totalmente privo diassiomi. Un esempio sono gli assiomi di Peano per lamatematica, o gli assiomi di Zermelo-Fraenkel perla teoria degli insiemi.

2.5 Voci correlate• Dimostrazione - dimostrazione matematica

• Progetto:Matematica/Elenco di voci sui teoremi

• Congettura

• Teoria#Matematica

• Logica matematica

• Problemi irrisolti in matematica

2.6 Altri progetti

• Wikiquote contiene citazioni di o su teorema

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario«teorema»

• Wikimedia Commons contiene immagini oaltri file su teorema

Capitolo 3

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due quadraticostruiti sui cateti (blu e rosso) è uguale all'area del quadratocostruito sull'ipotenusa (viola).

Animazione a prova del Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria eu-clidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i latidi un triangolo rettangolo ed è una versione limitata adessi del teorema di Carnot.

3.1 Origine

Visualizzazione del caso del triangolo (3,4,5) contenuta nel testocinese Chou Pei Suan Ching (scritto tra il 200 a.C. e il 200 d.C.)

Quello che modernamente conosciamo come teoremadi Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo ematematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma nonla sua dimostrazione) era già noto[1] ai babilonesi, edera conosciuto anche in Cina e sicuramente in India, co-me dimostrano molte scritture fra cui lo Yuktibhāṣā e ilBaudhāyana Sulbasūtra. La dimostrazione del teorema èinvece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

3.2 EnunciatoIn ogni triangolo rettangolo il quadrato costrui-to sull'ipotenusa è equivalente all'unione deiquadrati costruiti sui cateti.

oppure:

In ogni triangolo rettangolo l'area del quadra-to costruito sull'ipotenusa è uguale alla sommadelle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Si può notare come in altre lingue (segnatamente in in-glese, francese e spagnolo) la definizione del teorema diPitagora non ingeneri alcun dubbio circa il corretto uti-lizzo degli aggettivi "equivalente" al posto di "uguale" eviceversa. Infatti in tali idiomi nella definizione del teore-ma non si fa riferimento ai “quadrati costruiti sui cateti”

11

12 CAPITOLO 3. TEOREMA DI PITAGORA

o al “quadrato costruito sull'ipotenusa” ma più ridutti-vamente ci si riferisce ai “quadrati (delle lunghezze) deicateti” o al “quadrato (della lunghezza) dell'ipotenusa”.Questa circostanza consente il solo e semplice utilizzo deitermini "equal" (in inglese), "égal" (in francese), "igual"(in spagnolo) nelle rispettive definizioni del teorema.In italiano, viceversa, se si vuole usare l'aggettivo “ugua-le” invece di “equivalente” bisogna necessariamente rife-rirsi o “alle aree dei quadrati/area del quadrato” costrui-ti rispettivamente sui cateti e sull'ipotenusa (area intesacomemisura della estensione di una superficie), oppureci si deve riferire ai “quadrati delle lunghezze dei cateti”e al “quadrato della lunghezza dell'ipotenusa”.La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dalfatto che, in assenza del termine "costruito", la parola“quadrato” può definire sia la superficie della figura geo-metrica in quanto tale, sia la generica operazione di ele-vamento alla seconda potenza. Nella lingua inglese la me-desima ambivalenza è mitigata dal fatto che per definireil quadrato inteso come superficie è possibile utilizzare iltermine "foursquare" invece del termine "square".

Dato un triangolo rettangolo di lati a , b e c , ed indicandocon c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teoremaè espresso dall'equazione:

a2 + b2 = c2,

o, in alternativa, risolvendolo per c :

√a2 + b2 = c.

Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

√c2 − b2 = a,

e

√c2 − a2 = b.

Se la terna a, b, c è costituita da numeri interi essa sichiama terna pitagorica.Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verifica-no questa proprietà è rettangolo: questo teorema, conla sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato degliElementi.

3.3 Dimostrazioni

Animazione di una dimostrazione

La dimostrazione classica del teorema di Pitagora com-pleta il primo libro degli Elementi di Euclide, e ne co-stituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulatodelle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclideee nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimo-strazione del teorema è immediatamente preceduta dalladimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenzastessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle pa-rallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questoaspetto del problema è in genere trascurato nella didatti-ca contemporanea, che tende spesso ad assumere comeovvia l'esistenza dei quadrati.La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nelriempire uno stesso quadrato di lato uguale alla sommadei cateti prima con quattro copie del triangolo rettango-lo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattrocopie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti suicateti, come in figura.Essendo il teorema uno dei più noti della storia della ma-tematica, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totalealcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agentidi cambio, per esempio un presidente statunitense James

3.3. DIMOSTRAZIONI 13

A. Garfield e Leonardo da Vinci. Per questo teorema so-no state classificate dallo scienziato statunitense ElishaScott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono sta-te pubblicate nel 1927 nel suo libro The PythagoreanProposition.

3.3.1 Dimostrazione di Abu'l-Wafa

Dimostrazione di Abu'l-Wafa' i Perigal

La dimostrazione attribuita al matematico e astronomopersiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C.[2][3]e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal (trovatanel 1835-1840[4], pubblicata nel 1872 e successivamen-te nel 1891[5]) si basa sulla scomposizione del quadra-to costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine:tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo cen-tro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, sipuò ricomporre in maniera da incorporare l'altro qua-drato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nellafigura. Questo procedimento è legato al problema dellatrisezione del quadrato.

3.3.2 Dimostrazione di Airy

Esiste anche una dimostrazione poetica, dell'astronomoSir George Airy, in inglese:

"I am, as you can see,a² + b² − abWhen two triangles on me stand,

Dimostrazione di Airy

Square of hypothenuse is plann'dBut if I stand on them insteadThe squares of both sides are read."

di cui una traduzione letterale è

"Come potete vedere, sonoa² + b² − abQuando ci sono due triangoli sopra di meÈ rappresentato il quadrato dell'ipotenusaMa se invece sto io sopra di loroSi leggono i quadrati dei due lati"

I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangolisono quelli rossi, i secondi quelli blu.Sia quella di Perigal sia quest'ultima sono puramentegeometriche, ossia non richiedono alcuna definizione dioperazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e disegmenti.

3.3.3 Quadrati concentrici di Pomi

Dimostrazione geometrica basata su due quadrati con-centrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa ( c ) ealla somma dei due cateti ( a+ b ).Come si vede dalla figura, tolti i quattro triangoli rettan-goli (in giallo di area (ab)/2 ) al quadrato più grande,che corrisponde all'area (a + b)2 , si ottiene il quadratopiù piccolo, rappresentato in bianco, che equivale inveceall'area c2 .Quindi

(a+ b)2 − 4(ab)/2 = c2,

14 CAPITOLO 3. TEOREMA DI PITAGORA

Dimostrazione con quadrati concentrici

da cui risolvendo si ottiene

a2 + b2 = c2.

Questa dimostrazione, utilizzando il passaggio algebricodel quadrato della somma di due numeri, ha una rappre-sentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lospostamento e sovrapposizione di forme come le altredimostrazioni geometriche formulate.

3.3.4 Dimostrazione di Garfield

Un'altra dimostrazione geometrica, nella cui costruzio-ne non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 daGarfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidentedegli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfieldcommentò il suo risultato: “Questo è qualcosa su cui i duerami del parlamento potranno essere d'accordo”.La dimostrazione segue sostanzialmente il metodo usatonella dimostrazione di Pomi, applicato però a metà figura,considerando cioè il trapezio anziché il quadrato:

consideriamo una copia del triangolo rettango-lo in questione, ruotata di 90 gradi in mododa allineare i due cateti differenti (nella figu-ra a lato il rosso ed il blu). Si uniscono poi gliestremi delle ipotenuse, ottenendo un trapezio.Uguagliando l'area del trapezio alla somma diquelle dei tre triangoli rettangoli, si dimostra ilteorema.

In formule, detto a il cateto rosso, b il blu e c l'ipotenusa,e ricordando la potenza del binomio

Dimostrazione di Garfield

(a+ b)2

2=

ab

2+

ab

2+

c2

2⇒ a2 + b2 = c2

3.3.5 Con i teoremi di Euclide

Dimostrazione con Euclide

Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Eu-clide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa, di lunghezza h .Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezzap e q . Il teorema di Euclide fornisce le relazioni

a

p=

c

a,b

q=

c

b,

da cui

3.5. GENERALIZZAZIONI 15

a2 = cp, b2 = cq

e quindi

a2 + b2 = c(p+ q) = c2.

3.4 Inverso

Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizio-ne 48 del primo libro degli Elementi di Euclide): “Se inun triangolo di lati a , b e c vale la relazione a2+ b2 = c2

, allora il triangolo è rettangolo”.Dimostrazione. Sia T un triangolo di lati a , b e c taleche a2 + b2 = c2 . Consideriamo un secondo triangolorettangolo T ′ che abbia i cateti pari ad a e b (è semprepossibile costruire un triangolo rettangolo dati i due ca-teti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa deltriangolo T ′ sarà pari a

√a2 + b2 , ossia sarà uguale al

lato c del triangolo T . I due triangoli T e T ′ risulteran-no dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza,avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma alloraanche il triangolo T sarà rettangolo (CVD).Un corollario del teorema di Pitagora consente di deter-minare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangoloo ottusangolo. Là dove c è scelto come ipotenusa, il latopiù lungo dei tre, e a+ b > c (altrimenti non avremo untriangolo), valgono le seguenti relazioni:

• se a2 + b2 = c2 , allora il triangolo è rettangolo

• se a2 + b2 > c2 , allora il triangolo è acutangolo

• se a2 + b2 < c2 , allora il triangolo è ottusangolo

3.4.1 Applicazioni pratiche dell'enunciatoinverso

L'enunciato inverso fornisce anche un sistema per co-struire un angolo retto (o per controllare la quadraturadi un angolo già esistente) in situazioni pratiche, come latopografia o l'agrimensura.A titolo di esempio, con una fune di lunghezza pari allasomma di una terna pitagorica (diciamo 12, somma di 5,4 e 3, in una qualche unità di misura) sarebbe sufficientedisporre le due porzioni minori della corda (quelle di mi-sura 4 e 3) ad un certo angolo fra loro; se gli estremi del-la fune, disposta infine in forma triangolare, si chiudono,si saprà che l'angolo compreso fra le due porzioni mino-ri della corda (a questo punto i due cateti) è certamenteretto.

3.5 Generalizzazioni

Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in varimodi. Solitamente, una generalizzazione è una relazio-ne che si applica a tutti i triangoli, e che applicata aitriangoli rettangoli risulta essere equivalente al teoremadi Pitagora.

3.5.1 Teorema del coseno

Un triangolo qualsiasi.

Una generalizzazione del teorema di Pitagora è il teoremadel coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (nonnecessariamente retto). In un triangolo con vertici eangoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:

AB2= AC

2+BC

2 − 2AC ·BC cos γ.

Nel caso in cui γ sia retto, vale cos γ = 0 e quindil'enunciato è equivalente al teorema di Pitagora. Il ter-mine aggiuntivo può essere interpretato come il prodottoscalare dei vettori CA e CB .

3.5.2 Teorema dei seni

Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei latidi un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questarelazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cuiquesto sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente alteorema di Pitagora (benché in modo meno immediatorispetto al teorema del coseno).Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsia-si, con le notazioni come in figura, valgono le relazioniseguenti:

a

sinα =b

sinβ =c

sin γ = 2R.

16 CAPITOLO 3. TEOREMA DI PITAGORA

Il teorema dei seni mette in relazione lunghezze dei lati e angoliopposti.

Elevando al quadrato:

c2 = a2sin2 γsin2 α

, b2 = a2sin2 βsin2 α

.

Sommando i termini si ottiene:

c2 + b2 = a2sin2 γ + sin2 β

sin2 α.

Quando α è un angolo retto, si ottiene β = π/2 − γ equindi

sin2 γ + sin2 βsin2 α

= sin2(π/2−β)+sin2 β = cos2 β+sin2 β = 1.

Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora

c2 + b2 = a2.

3.5.3 Generalizzazione che non fa uso ditrigonometria

Generalizzazione del teorema di Pitagora.

È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un trian-golo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometrichequali il seno ed il coseno. Dato un triangolo ABC comein figura, si tracciano due segmenti che collegano il verti-ce A con due punti g e h contenuti nel segmento oppostoBC (oppure in un suo prolungamento), in modo tale chegli angoli AgB e AhC siano entrambi uguali all'angoloα del vertice A . La figura mostra un caso in cui l'angoloα è ottuso: se è acuto, i due punti g e h sono in ordine in-verso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possonouscire dal segmento BC .Vale la relazione seguente:

AB2+AC

2= BC · (Bg + hC).

Quando α è un angolo retto, i punti g e h coincidono e siottiene il teorema di Pitagora

AB2+AC

2= BC · (Bg + hC) = BC

2.

La relazione generale può essere dimostrata sfruttando lasimilitudine fra i triangoliABC , gBA e hAC , che portaalle relazioni

AB

BC=

Bg

AB,

AC

BC=

hC

AC.

Si ottiene quindi

AB2= BC ·Bg, AC

2= BC · hC.

Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazioneiniziale.

3.5.4 Generalizzazione a tutte le figuresimili

Il Teorema di Pitagora continua a valere quando su ognilato di un triangolo rettangolo si costruiscono figure similitra loro anche non regolari. Il suo enunciato diventa:In ogni triangolo rettangolo, l'area di un qualunquepoligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa èuguale alla somma delle aree dei poligoni, simili aquello costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.Dimostrazione

Siano:

a e b i catetic l'ipotenusaA1 l'area del poligono costruito su aA2 l'area del poligono costruito su bA3 l'area del poligono costruito su c .

3.7. LEGGENDA DI PITAGORA E DELLE PIASTRELLE 17

e

k = a/b il rapporto tra i catetih = c/b il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto b

Per il teorema di Pitagora in forma classica risulta:

c2 = a2 + b2 = k2b2 + b2 = b2(1 + k2)

e quindi

c2/b2 = 1 + k2

Ricordando che se due poligoni simili hanno 2 lati cor-rispondenti in rapporto h allora le loro superfici sono inrapporto h2 , avendo definito h = c/b , risulta

A3 = A2h2 = A2c

2/b2 = A2(1 + k2)

Avendo inoltre definito uguale a k il rapporto tra i duecateti, per il motivo precedente risulta uguale a k2 il rap-porto tra le aree dei poligoni simili costruiti su di essi,ovvero:

A1 = k2A2

Quindi:

A1 +A2 = k2A2 +A2 = (1 + k2)A2

E quindi

A1 +A2 = A3

Come volevasi dimostrare.

3.6 Negli spazi prehilbertiani

Il teorema di Pitagora può essere “generalizzato” a spa-zi vettoriali di qualsiasi dimensione, come lo spazio eu-clideo di dimensione 3 o superiore, o uno spazio vet-toriale su corpo complesso, continuando a valere anchesu funzioni viste come somme infinite di vettori comenell'analisi funzionale, finché sia possibile definire un pro-dotto scalare, rendendo lo spazio vettoriale uno spazioprehilbertiano.La dimostrazione è semplice, e l'enunciato del teorema è:“La somma dei quadrati delle norme di due vettori orto-gonali è uguale al quadrato della norma del loro vettoresomma”, ovvero v ⊥ u ⇒ ∥v∥2 + ∥u∥2 = ∥v + u∥2 .

3.6.1 Dimostrazione

Per definizione di ortogonalità, il prodotto scalare fra v eu è nullo e commuta. L'enunciato del teorema è equiva-lente, per la definizione di norma euclidea, a < u, u >+ < v, v >=< u + v, u + v > . Svolgendo il prodottoscalare al secondo membro sfruttando la sua bilinearitàe ricordando che il prodotto scalare fra u e v è nullo, ilteorema risulta provato.

3.7 Leggenda di Pitagora e dellepiastrelle

Rappresentazione grafica del teorema.

Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulatoil suo teorema mentre stava aspettando un'udienza daPolicrate. Seduto in un grande salone del palazzo diSamo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadra-te del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rottaperfettamente su di una diagonale, così da formare duetriangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangolirettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali.Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla diagonaledi rottura della piastrella, un quadrato avente come lati lediagonali delle piastrelle circostanti.La dimostrazione è la seguente:

• l'area di ciascuna delle piastrelle adiacenti ai catetiera di: 2 mezze piastrelle (=1 piastrella);

• la somma delle due aree era quindi di: 4 mezzepiastrelle (=2 piastrelle);

• l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (diagona-le della piastrella) era di: 4 mezze piastrelle.[6]

18 CAPITOLO 3. TEOREMA DI PITAGORA

3.8 Note

[1] Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fossenoto agli antichi Egizi. Carl B. Boyer esclude questa ipote-si, basandosi sull'assenza del teorema dai papiri matemati-ci rinvenuti. Si veda l'opera di Boyer citata in bibliografia,a pag. 20 dell'edizione italiana.

[2] (EN) Alpay Özdural (1995). Omar Khayyam, Mathema-ticians, and “conversazioni” with Artisans. Journal of theSociety of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995

[3] (EN) Alpay Özdural, Mathematics and Arts: Connectionsbetween Theory and Practice in the Medieval IslamicWorld, Historia Mathematica, Volume 27, Issue 2, May2000, Pages 171-201.

[4] (EN) Vedi appendice di L. J. Rogers’ 1897 publication.Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygonsin Modular Network. Proceedings London MathematicalSociety. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735.

[5] (EN) Geometric Dissections and Transpositions

[6] Leggenda di Pitagora e delle piastrelle di Policrate

3.9 Bibliografia

• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori,Milano, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6

• Gino Loria, Le scienze esatte nell'antica Grecia, 2^ed, Milano 1914

3.10 Voci correlate

• Geometria

• Aritmogeometria

• Numero

• Radice quadrata

• Trigonometria

• Ipotenusa

• Teorema del coseno

• Identità di Parseval

3.11 Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini oaltri file su Teorema di Pitagora

3.12 Collegamenti esterni• (EN) 54 dimostrazioni del teorema di Pitagora,faculty.umb.edu.

• alcune animazioni grafiche di differenti dimo-strazioni del teorema di Pitagora, demonstra-tions.wolfram.com.

• Animazione della dimostrazione di Euclide, walter-fendt.de.

• Teorema di Pitagora, in Thesaurus del Nuovosoggettario, BNCF, marzo 2013.

3.13. FONTI PER TESTO E IMMAGINI; AUTORI; LICENZE 19

3.13 Fonti per testo e immagini; autori; licenze

3.13.1 Testo• Pitagora Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Pitagora?oldid=88070452 Contributori: Renato Caniatti, Twice25, Snowdog, Sbisolo, Ha-

shar, Suisui, Giomol, Blakwolf, Mackley, Carlo.Ierna, Archenzo, Gac, Leonard Vertighel, Alberto da Calvairate, Laurentius, Ary29, Hellis,Oscar, M7,Marius~itwiki, Salvatore Ingala, Retaggio, Paginazero, Lukius, Gubbubu, Snowolf, MM, Cruccone, ZeroBot, F. Cosoleto, Gion-nico, Angelosante, Luki-Bot, AmonSûl, Malemar, Mitchan, YurikBot, Simoz, Cloj, Stemby, Vipera, Accurimbono, Jorunn, FlaBot, Cruc-coBot, Al Pereira, Senpai, Lumage, Gpvosbot, .snoopy., Elwood, Rago, Codas, Sir marek, Eumolpo, Salli, Sailko, Klaudio, Clyde~itwiki,Luckyz, Torsolo, Otrebor81, ZioNicco, IlPisano, Trixt, Squattaturi, Syrio, Yuma, Assianir, Davide21, Ignisdelavega, AttoRenato, Johnlong,Thijs!bot, Martinosacchi, Vitomar, Clear~itwiki, Escarbot, Filbot, Jaqen, AndreA, Vituzzu, Bramfab, MalafayaBot, Baroc, Ranma25783,Frazzone, Gierre, MelancholieBot, RevertBot, RolloBot, Snow Blizzard, Guido Magnano, Tirinto, Cotton, DodekBot, Alkalin, Henrykus,TXiKiBoT, Biobot, VolkovBot, LukeWiller, Antiedipo, Abbot, Abisys, Idioma-bot, YuBot, Olandobot, Cesalpino, AlnoktaBOT, Onto-raul, Beechs, YonaBot, Formica rufa, Spinoziano, SieBot, Kronin, Nikbot, Filos96, Melos, Phantomas, Pablowsky, OKBot, Zepekeno,Pracchia-78, STBot~itwiki, Ferdinando Scala, Tia solzago, Travertino, Villese92, Airon90, Lissen, Buggia, M&A, Artisto, Restu20, DrZimbu, Ripebot, SteveR2, Bottuzzu, No2, Ticket 2010081310004741, WikiKiwi, Superzen, FixBot, SilvonenBot, Sanremofilo, Xinstal-ker, IagaBot, Demart81, Guidomac, Beren94, Luckas-bot, Ippo94, MystBot, FrescoBot, Mateola, MapiVanPelt, Paolo ecofilosofia, Ptbot-gourou, Markos90, Razzabarese, Jotterbot, Adert, AttoBot, Liceozucchi, Midnight bird, Amolarte, Luca Visentin, ArthurBot, Updown,Delasale, Amendola90, Xqbot, AushulzBot, Euphydryas, Catasoft, RibotBOT, Exorcist Z, L736E, Andrea Jagher, Melquíades, BenzolBot,Frigotoni, TobeBot, Dega180, Uno nessuno e 100000, Pitagorals, LuigiPetrella, Alexmar983, EmausBot, ZéroBot, Ormone111, JackieBot,Taueres, Abisys.bot, Marluk, Shivanarayana, Superninobot, ChuispastonBot, ZimbuBot, Bradipo Lento, WikitanvirBot, BohemianRhap-sody, Fcarbonara, MerlIwBot, NewLibertine, Vagobot, Atarubot, DARIO SEVERI, Aplasia, Nuovopitagorico, Apollineo!, Marco tricoli,Botcrux, Suormaria1945, Epìdosis, ValterVBot, JarektBot, Addbot, Giovanni cocco, Vegetable, Euparkeria, Dimitrij Kasev, Albyfaghe,Rotbot, Rp33z, Marco De Leonibus, Dan Kenshi, Adalhard Waffe, Valerio Bozzolan bot, Tommaso.Franconeri01 e Anonimo: 306

• Teorema Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema?oldid=86396030 Contributori: Frieda, Robbot, Blakwolf, Alberto da Calvairate,Ary29, Parerga, M7, Salvatore Ingala, Lukius, Simone, Marco106~itwiki, FrAnCiS, Biopresto, M7bot, Nick1915, MartinoK, Etrosh, Sun-Bot, CruccoBot, Elwood, Eumolpo, SashatoBot, Piddu, Thijs!bot, Quatar, Giovannigobbin, .anacondabot, JAnDbot, Toobazbot, RolloBot,Rei-bot, TXiKiBoT, VolkovBot, Avesan, Abbot, AlnoktaBOT, SieBot, Phantomas, OKBot, Trikke, Buggia, Alexbot, SilvonenBot, Discan-to, CarsracBot, Guidomac, Luckas-bot, Tino, FrescoBot, Red Power, Yonidebot, Xqbot, Almabot, Marzedu, RibotBOT, Ermy2, Kami-na, IndyJr, RedBot, Dega180, Horcrux92, Peppo, GrouchoBot, EmausBot, ZéroBot, ChuispastonBot, Orderlast, Christihan, MerlIwBot,Kiril99, Lazzarus1964, Lucarosty, Botcrux, Legobot, Addbot, Dldkkdjd, Freeezer e Anonimo: 22

• Teorema di Pitagora Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Pitagora?oldid=87825658 Contributori: Alfio, Iron Bishop, Sno-wdog, Sbisolo, Suisui, G.defrancesco, Blakwolf, Cassioli, Ruthven, .mau., Alberto da Calvairate, Laurentius, Hellis, Frack, Nihil, Gauss,Marcok, Pitagora~itwiki, M7, DanGarb, Salvatore Ingala, Retaggio, Alfiobot, TierrayLibertad, Daniele.Brundu, Pokipsy76, Luisa, Luki-Bot, DaVid83, Alec, YurikBot, M7bot, Michele Altamore, SunBot, CruccoBot, Al Pereira, Ayanami Rei, Jalo, Ylebru, Ubaldopernigo,Eskimbot, Elwood, Fabior1984, Rojelio, Sir marek, Eumolpo, Amarvudol, Sannita, Klaudio, SashatoBot, Puxanto, Piddu, Lupo rosso, Piz-zo1981, Johnlong, Thijs!bot, Osk, Newton16, Riccardobot, Mess, Giovannigobbin, Sesquipedale, Nicoli, JAnDbot, Vituzzu, 27182, Mala-fayaBot, Frazzone, Maquesta, MelancholieBot, RevertBot, Numbo3, Toobazbot, Snow Blizzard, Tirinto, Wolland, Supernino, EH101, Cot-ton, Alkalin, Henrykus, TXiKiBoT, Aibot, VolkovBot, LukeWiller, Synthebot, Zetti ~, Cesalpino, AlnoktaBOT, Wisbot, Beechs, YonaBot,BotMultichill, SieBot, Filos96, Phantomas, Pracchia-78, Dark~itwiki, Azrael555, Roberto Mura, CristianCantoro, Buggia, M&A, Gab.pr,AnjaManix, Ramatteo, Dr Zimbu, Alecs.bot, Engineer123, Bottuzzu, Sandrobt, Austro, Ticket 2010081310004741, Kibira, Gggg81, Fix-Bot, RobotQuistnix, SilvonenBot, Eustace Bagge, Discanto, IncolaBot, Demart81, Guidomac, Luckas-bot, Nallimbot, FrescoBot, Mapi-VanPelt, Jotterbot, AttoBot, Yonidebot, ArthurBot, Marco Bernardini, Xqbot, Rodomonte21, Euphydryas, Whatnwas, RibotBOT, L736E,Melquíades, DryMartini, RCantoroBot, Usweb, Frigotoni, Mapelli Fabrizio, TobeBot, Dega180, Michele-sama, Dinamik-bot, Ripchip Bot,Progmath271, Mandella85, Michi81, GrouchoBot, Nubifer, Wuzihong, EmausBot, ZéroBot, GnuBotmarcoo, Blanvill, Tenan, AleksanderSestak, Taueres, Shivanarayana, ChuispastonBot, Bradipo Lento, CocuBot, Cece1969, Wikimanu997, Matte pinky, AvicBot, Tonchino,Fringio, The Polish Bot, Justincheng12345-bot, JYBot, Botcrux, PiccolaKatty2000, AlessioBot, Epìdosis, Adalingio, Fra1994kobe, Add-bot, Euparkeria, Mat4free, Dimitrij Kasev, L cotrozzi, Mazewaxie, Nemoeximius, Bobraistlin, Antonio Mette, Adalhard Waffe, Bellamato,Tommaso16, Diego Marra e Anonimo: 280

3.13.2 Immagini• File:Airy_tdp.gif Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/it/a/a3/Airy_tdp.gif Licenza: Public domain Contributori: ? Artistaoriginale: ?

• File:Chinese_pythagoras.jpg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Chinese_pythagoras.jpg Licenza: Publicdomain Contributori: ? Artista originale: ?

• File:Commons-logo.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licenza: Public domain Con-tributori: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions used to be slightlywarped.) Artista originale: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created byReidab.

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• File:Crystal_Clear_app_konquest.png Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Crystal_Clear_app_konquest.png Licenza: LGPL Contributori: All Crystal Clear icons were posted by the author as LGPL on kde-look; Artista originale: EveraldoCoelho and YellowIcon;

• File:Exquisite-kfind.png Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Exquisite-kfind.png Licenza: GPL Contributori:www.kde-look.org Artista originale: Guppetto

20 CAPITOLO 3. TEOREMA DI PITAGORA

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Questa immagine è resa disponibile dalla biblioteca digitale Gallica con il numero identificativo di bpt6k58171q.f36Artista originale: sconosciuto<a href='https://www.wikidata.org/wiki/Q4233718' title='wikidata:Q4233718'><img alt='wikidata:Q4233718' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png' wid-th='20' height='11' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x'data-file-width='1050' data-file-height='590' /></a>

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• File:Pythagorean.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svg Licenza:CC-BY-SA-3.0 Contribu-tori: Transwikied from en:. Originally created by en:User:Michael Hardy, then scaled, with colour and labels being added by en:User:Wapcaplet, transformed in svg format by fr:Utilisateur:Steff, changed colors and font by de:Leo2004 Artista originale: en:User:Wapcaplet

• File:Pythagorean_Proof_(3).PNG Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/Pythagorean_Proof_%283%29.PNGLicenza: CC BY-SA 3.0 Contributori: Opera propria Artista originale: Brews ohare

• File:Rtriangle.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Rtriangle.svg Licenza: CC-BY-SA-3.0 Contributori: ?Artista originale: ?

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• File:Science-symbol-2.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/75/Science-symbol-2.svg Licenza: CC BY 3.0Contributori: en:Image:Science-symbol2.png Artista originale: en:User:AllyUnion, User:Stannered

3.13. FONTI PER TESTO E IMMAGINI; AUTORI; LICENZE 21

• File:TRIANGOLO2.jpg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/TRIANGOLO2.jpg Licenza: Public domainContributori: Own work by User:Michele Altamore Artista originale: User:Michele Altamore

• File:TeoremaPitagoraAlt.gif Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/it/c/ce/TeoremaPitagoraAlt.gif Licenza: Public domainContributori: ? Artista originale: ?

• File:Triangle_and_circumcircle_with_notations.png Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/86/Triangle_and_circumcircle_with_notations.png Licenza: Public domain Contributori: ? Artista originale: ?

• File:Triangolo_con_vertici,_altezza_e_un_angolo.png Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Triangolo_con_vertici%2C_altezza_e_un_angolo.png Licenza: Public domain Contributori: ? Artista originale: ?

• File:Wikiquote-logo.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikiquote-logo.svg Licenza: Public domainContributori: Opera propria Artista originale: Rei-artur

• File:Wikisource-logo.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg Licenza: CC BY-SA 3.0Contributori: Rei-artur Artista originale: Nicholas Moreau

• File:Wiktionary_small.svg Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Wiktionary_small.svg Licenza:CCBY-SA 3.0Contributori: ? Artista originale: ?

3.13.3 Licenza dell'opera• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0