PINM - Laboratorijske vježbe - 2008

8/9/2019 PINM - Laboratorijske vjebe - 2008

1/36

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE I

M A T L A B

to je MATLAB?

MATLAB (od engl. matrix laboratory) je programski paket za numeriko raunanje imodeliranje, a takoer i vii programski jezik namijenjen primjeni u znanosti i tehnici. Kaouvod u laboratorijske vjebe i MATLAB, razmotrimo prvo naine pohrane brojeva u raunalu.

Aritmetika digitalnog elektronikog raunala

Kod zapisa broja u raunskom stroju prvo se suoavamo s problemom unosa velikih brojeva ilibrojeva s mnogo (moda i beskonano mnogo) decimala u fiziki ograniene sklopove.Kako bi se ovim i drugim problemima doskoilo, nastoji se optimalno iskoristitiraspoloivi prostor.

1. Floating point (eksponencijalni, scientific) format realnog broja

U floating point formatu (engl. format pomine toke), brojevi u dekadskom sustavu su oblikaz...z

10x.yy...y , pri emu je znamenka x razliita od nule (broj je normaliziran). Npr, broj1234.5 u formatu pomine toke ima oblik 3101.2345 . Broj x.yy...y naziva se mantisa, a

broj z...z eksponent. Koliko e znamenaka imati mantisa i eksponent ovisi naravno orealizaciji zapisa unutar raunala. Tako malo bolji (tzv. scientific) depni kalkulator koji imaosam mjesta na displeju rezervira est mjesta za zapis znamenaka mantise i dva za zapisznamenaka eksponenta. Na taj nain se na displeju depnog kalkulatora mogu prikazati brojeviod 99109.99999 do 99109.99999 . Najmanji prikazivi pozitivni broj je -99101.00000 . (UMATLAB-u se floating point broj z...z10x.yy...y zapisuje kao z...zx.yy...ye . Npr.

002-1.2340eje0.01234a003,+1.2345eje1234.5 .)

2. Zaokruivanje broja

Broj ...857142857142857142.075 = ne moemo itav pohraniti u raunalo, pa se sluimozaokruivanjem ili rezanjem vika decimala. Zaokruivanjem na pet decimalnih mjestamantise tako dobijemo rezultat 11014286.7 (uinjena greka je 710...85714.2 ), a rezanjem

11014285.7 (greka je 710...14285.7 ), pa je oito da je zaokruivanje mnogo bolja metoda.Raunala i bolji kalkulatori uvijek se slue zaokruivanjem.3. IEEE standard

1


2/36

U digitalnom se raunalu brojevi prikazuju u binarnom brojevnom sustavu (baza mu je 2, aznamenke 0,1). Pria o floating point formatu i zaokruivanju brojeva, lako se prenosi i u

binarni sustav.

Utjecajni ameriki Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) predloio je ovakavstandard za organizaciju podataka u digitalnom raunalu (vrijedi za gotovo sve PC, radnestanice, kao i za najvanije numerike programske pakete koji na njima rade npr. MATLAB,Mathematica, Maple,...).

Brojevi se zapisuju binarno, u nekom od formata pomine toke. Osnovni je format jednostruke preciznosti (single precision format), gdje se brojevi organiziraju u 32-bitnerijei:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 31 32. . .

1 bit za zapis predznaka mantise8 bita za zapis eksponenta

(ukljuujui i njegov predznak)23 bita za zapis mantise

Trik: poto je broj normaliziran, zzyyy ...2.1 , vodea znamenka se ne pamti i podrazumijeva se da je jednaka 1 (uteda). Ovako se mogu zapisati brojevi od otprilike

3810 do 3810 (dekadski), s tonou od otprilike sedam decimala.

Jo ee se koristi tzv. format dvostruke preciznosti (double precision format), gdje su zazapis broja predviena 64 bita, tj:

1 bit za zapis predznaka mantise11 bita za zapis eksponenta i njegovog predznaka52 bita za zapis mantise.

Vodea znamenka se opet ne pamti. Ovako moemo zapisati brojeve reda veliine otprilike od30710 do 30710 , s mantisom od otprilike petnaest dekadskih mjesta iza zareza. U MATLAB-u

emo raditi upravo s formatom dvostruke preciznosti.

S obzirom na mogunosti stroja, koriste se i vei formati, npr. etverostruke preciznosti

(quadruple precision) - rije se sastoji od 128 bita, itd.IEEE aritmetika uvodi jo i brojeve Inf , NaN , eps :

Inf40010 010400 Inf0

1

2


3/36

InfInf +2 InfInf 2 InfInf 5

InfInfInf + InfInfInf InfInf Inf

NaN0

0NaN

Inf

Inf NaNInf 0

NaNInfInf NaNInf 1 NaNNaN3

Broj1652 102204.22 =eps je ocjena greke zaokruivanja u binarnoj floating point

aritmetici dvostruke preciznosti (eps je najmanji pozitivni broj za kojeg je 11 >+eps - uaritmetici raunala).

Kako pokrenuti MATLAB?

1. Ukljuiti raunalo i, po potrebi, ekran.2. Unijeti svoj Username i Password kad se pojavi prozor za identifikaciju, ili kliknuti samo na

OK.

3. Kad raunalo podigne Windowse i ispie sve uobiajene poruke, kliknuti miem redom:Start - Programs - MATLAB for Windows - MATLAB. Otvorit e se MATLAB-ov

prozor.

Zapis brojeva i osnovnih operatora

+ zbrajanje < je manje- oduzimanje je vee/ desno dijeljenje >= je vee ili jednako\ lijevo dijeljenje == je jednako^ potenciranje ~= nije jednako

Specijalne varijable

Ime Znaenje Vrijednost

ans automatski poprima vrijednost izraza kad izraz nije pridruen varijablieps strojni epsilon (ocjena greke zaokruivanja) 5 22 2.2204e-016

Inf + npr. 1/0 ili npr. (1e20)^20NaN Not-a-Number npr. 0/0 ili npr. NaN+3

i imaginarna jedinica (i ) 1pi 3.14159265358979...

Elementarne matematike funkcije ugraene u MATLAB

Ime Znaenje Poziv Rezultatsin sinus sin(3*pi) ans =

3.6738e-016

3


4/36

cos kosinus cos(2*pi/3) ans =-0.5000

tan tangens tan(pi/4) ans =1.0000

asin arkus sinus asin(1) ans =1.5708

acos arkus kosinus acos(1) ans =0

atan arkus tangens atan(1) ans =0.7854

sinh hiperbolni sinus sinh(0) ans =0

cosh hiperbolni kosinus cosh(0) ans =1

tanh hiperbolni tangens tanh(-3) ans =-0.9951

asinh area sinus hiperbolni asinh(1) ans =0.8814

acosh area kosinus hiperbolni acosh(1) ans =0

atanh area tangens hiperbolni atanh(-0.9951) ans =-3.0046

sqrt kvadratni (drugi) korijen sqrt(2) ans =1.4142

exp eksponencijalna funkcija (baza e) exp(1) ans =

2.7183log logaritamska funkcija (baza e) log(1) ans =0

log10 logaritamska funkcija (baza 10) log10(0) Warning: Log of zeroans =-Inf

abs apsolutna vrijednost (modul) abs(3-4*i) ans =5

real realni dio kompleksnog broja real(-3+2*i) ans =-3

imag imaginarni dio kompleksnog broja imag(-3+2*i) ans =2conj kompleksno konjugiranje conj(-3+2*i) ans =

-3.0000 - 2.0000iround zaokruivanje broja

na najblii cijeli brojround(2.3) ans =

2round(3.5) ans =

4PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKA

LABORATORIJSKE VJEBE II

Matrice u MATLAB-u

4


5/36

Kako upisati matricu

Matricu

=

642

121A u MATLAB-u upisujemo naredbom

A=[1 2 -12 4 6]

ili A=[1 2 -1; 2 4 6]

A MATLAB e odgovoriti:

A =1 2 -12 4 6

Aritmetike operacije s matricama

Operacija Znak NapomenaZbrajanje matrica + Matrice moraju biti istih dimenzija.Oduzimanje matrica - Matrice moraju biti istih dimenzija.Mnoenje matrice brojem *Mnoenje matrice matricom * Matrice moraju biti ulanene.Desno dijeljenje matrica / Matricu ne moemo dijeliti matricom! O znaenju ovihLijevo dijeljenje matrica \ znakova opirnije u Dodatku na kraju ove vjebe.Potenciranje matrice ^ Matrica mora biti kvadratna.Transponiranje matrice Mnoenje elemenata dvijumatrica lan po lan

.* Matrice moraju biti istih dimenzija.S lijeve ili desne strane znaka moe biti i broj.

Desno dijeljenje elemenatadviju matrica lan po lan

./ Matrice moraju biti istih dimenzija.S lijeve ili desne strane znaka moe biti i broj.

Lijevo dijeljenje elemenatadviju matrica lan po lan

.\ Matrice moraju biti istih dimenzija.S lijeve ili desne strane znaka moe biti i broj.

Potenciranje elemenata dvijumatrica lan po lan

.^ Matrice moraju biti istih dimenzija.S lijeve ili desne strane znaka moe biti i broj.

Primijenimo li koju od elementarnih matematikih funkcija na matricu, ona e se takoerraunati lan po lan. Npr. za [ ]10014=X , rezultat naredbe sqrt(X) bit e matrica[ ]1012 . Indeksiranje matrica takoer se vri na uobiajen nain.Koritenje znaka dvotoke (:)

Dvotoka (engl. colon) vrlo je koristan znak u MATLAB-u. Evo samo nekih primjera njenog

koritenja:

1) Ako npr. drugi redak matrice

=

642

121A elimo pospremiti u varijablu B, koristimo

naredbu

5


6/36

B=A(2,:)

2) Slino, trei stupac iste matrice dat e nam naredba

A(:,3)

3) Matricu = 2

23

20Y , iji su elementi jednoliko rasporeeni, moemo kreirati

naredbomY=0:pi/2:2*pi

Drugaije, ako istu matricu elimo generirati prema broju elemenata, a ne razmaku izmeususjednih elemenata, moemo takoer koristiti

Y=linspace(0, 2*pi, 5)

Matrine funkcije ugraene u MATLAB

Funkcija Argumenti to radizeros(m,n) m, n su prirodni brojevi Generira nul-matricu od m redaka i n stupaca.

eye(n) n je prirodni broj Generira jedininu matricu reda n.diag(X) X je jednoredna

ili jednostupana matricaGenerira dijagonalnu matricu iji su elementiredom elementi od X.

rank(A) A je proizvoljna matrica Rauna rang matrice A.size(A,1) A je proizvoljna matrica Ispisuje broj redaka matrice A.

size(A,2) A je proizvoljna matrica Ispisuje broj stupaca matrice A.sum(A) A je proizvoljna matrica Ako je A jednoredna ili jednostupana, zbraja sve

elemente od A, a ako nije, zbraja ih po stupcima.prod(A) A je proizvoljna matrica Ako je A jednoredna ili jednostupana, mnoi sve

elemente od A, a ako nije, mnoi ih po stupcima.det(A) A je kvadratna matrica Rauna determinantu matrice A.inv(A) A je kvadratna matrica Rauna inverznu matricu matrice A.

U MATLAB -u ima smisla i tzv. prazna matrica [ ] . Ova se vrijednost obino pojavljuje kao

rezultat nebuloznih naredbi, ili izraza koji u sebi ukljuuju praznu matricu. Npr,

X=1:2:0 ima za posljedicu X =[]

Dodatak: Rjeavanje sustava linearnih jednadbi

Ako je sustav zadan u matrinom zapisu BAX = , gdje matrice A i B imaju isti broj redaka

(zbog ulanenosti!), lijevo dijeljenje matrica, (operacija \) slui za rjeavanje tog sustava.Stavljamo: X=A\B

6


7/36

Primjer 1: Rijeimo sustav AX=B, za zadane matrice:

a)

=

542

431

321

A ,

=

7

9

6

B ; b)

=

755

542

431

321

A ,

=

10

7

9

6

B ;

c)

=

7543

5432

5211

A ,

=

7

9

6

B ; d)

=

755

542

431

321

A ,

=

3

7

9

6

B .

Rjeenja:

a) Nakon: A=[1 2 3;-1 3 4;2 4 5];B=[6;9;7];

stavljamo: X=A\B

Dobijemo: X =-1-45

Provjera: A*X

zaista daje: ans =697

b) Kad unesemo nove matrice i

naredbu X=A\B, rezultat je:

X =

-1.0000-4.00005.0000

(provjerite s A*X).

c) U ovom sluaju, dobijemo: X =0

-4.700010.9000-4.1000

to se i opet moeprovjeriti s A*X.

U ovom sluaju sustav zapravo ima beskonano mnogo rjeenja, ali MATLAB kao numerikiprogram izrauna samo jedno od njih. To e se deavati kadgod budemo imali vie od jednogrjeenja.

7


8/36

d) Konano, za posljednji sustavje rezultat dobiven naredbomX=A\B:

X =-2.00000.0000

2.0000

Meutim, provjera s A*X daje: ans =4.000010.00006.00004.0000

to se vrlo razlikujeod naega B.

U emu je stvar? Ovaj sustav ustvari nema rjeenja. Meutim numeriki program poputMATLAB-a ne usudi se davati nesigurne procjene poput ovih o rjeivosti sustava i pokuavasve to je u njegovoj moi da nae bilo kakvo, pa ak i pogreno rjeenje. Zbog toga je dobrodobivena rjeenja uvijek provjeriti.

Napomena: Operacija dijeljenja matrica moe se koristiti i za rjeavanje openitijihmatrinih jednadbi. Tada naredba X=A\B rauna rjeenje Xmatrine jednadbe

AX=B i to stupac po stupac. Opet je potrebno da matrice A i B imaju isti brojredaka.

S druge strane, rjeenje X matrine jednadbe XA=B moemo raunati desnimdijeljenjem, tj. naredbom X=B/A, naravno, ako A i B imaju isti broj stupaca.

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE III

Grafika u MATLAB - u

Jednostavni grafikoni - naredba plot(X)

8


9/36

Pretpostavimo da je

=

3

5

4

2

X jednostupana matrica upisana u MATLAB.

Ovo su rezultati naredbi:

plot(X) plot(X, '*')

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Isto bi dobili da je X bila jednoredna matrica. U sluaju da smo imali

=

126

237

143

121

A

nakon naredbe plot(A) slika bi izgledala:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Crtanje grafa funkcije - naredba plot(X,Y)

Pretpostavimo da treba skicirati graf funkcije4

2 +=x

xy na segmentu [ ]10,10 . Radimo:

x=-10:0.05:10; formiranje matrice x -ova, za koje e se raunati i crtati funkcijske vrijednostiy= x./(x.^2+4); formiranje matrice vrijednosti funkcije u tokama (vorovima) x

plot(x,y) crtanje grafa funkcije, tj. svih zadanih vrijednosti (x(i),y(i)).

Rezultat ovih naredbi vidi se na slici (a).

9


10/36

Ako na jednoj slici elimo crtati grafove vie funkcija, koristimonaredbu

plot(X1,Y1,X2,Y2,...)

Na primjer, ako elimo skicirati ponaanje funkcija1

3,cos, 321 +

===x

yxyxy

na segmentu [ ]6,0 , piemo naredbe:

x=0:0.01:6;y1=sqrt(x);y2=cos(x);y3=3./(x+1);

plot(x, y1, x, y2, x, y3) i dobijemo sliku (b).

-10 -5 0 5 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

slika (a) slika (b)

U crtanju grafova, MATLAB koristi osam razliitih boja, zatim specijalne tipove znakova zaoznaavanje toaka (toka ., plus +, zvjezdica *, krui o, iksi x), a takoer i zacrtanje crta koje spajaju te toke (puna -, isprekidana --, tokasta :, kombinirana -.).

Ako nam zatreba, koordinatnu mreu moemo postaviti (i takoer

izbrisati) naredbom

grid

Primjeri

Zadatak 1. Koristei MATLAB-ovu grafiku, ispitaj ponaanje funkcije521114)(

234 +++= xxxxxf na intervalu [-10,10].

Zadatak 2. Koristei MATLAB-ovu grafiku, ispitaj ponaanje funkcije

2

)(x

exf

=na intervalu [-10,10].

10


11/36

Zadatak 3. Koristei MATLAB-ovu grafiku, ispitaj ponaanje funkcije4

)(2 +

=x

xxf

na intervalu [-10,10].

Zadatak 4. Koristei MATLAB-ovu grafiku, ispitaj ponaanje funkcije4

)(2

=x

xxf



=2

)(x

xxf



=x

xf1

sin)(


Zadatak 7. Koristei MATLAB-ovu grafiku, odredi koliko rjeenja ima jednadba

xe x cos5

1

= na intervalu [0,10].

Zadatak 8. Koristei MATLAB-ovu grafiku, odredi koliko rjeenja ima jednadbaxx 2cos= na skupu pozitivnih realnih brojeva.

Zadatak 9. Koristei MATLAB-ovu grafiku, odredi koliko rjeenja ima jednadbax

ex

x=

+2

1za x>-1.

Zadatak 10. Koristei MATLAB-ovu grafiku, odredi koliko rjeenja ima jednadba2+= xchx na skupu realnih brojeva.

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE IV

1. Uvjetne naredbe (naredbe kontrole toka)

Naredba for

Naredba for slui za ponavljanje odreene naredbe ili niza naredbi unaprijed zadani broj puta. Sintaksa for petlje:

11


12/36

forvarijabla=izraz1:izraz2:izraz3naredbe

end

varijablapoprima vrijednosti od izraz1 doizraz3 s korakom izraz2.(Ako je korak 1, ne moramo ga pisati)

Primjer 1. Zadane su jednoredne matrice x=[-3 3 9 15] i f=[3 5 4 2]. Koristei naredbu for izraunaj:

= 4

1

)()(k

kfkx .

x=-3:6:15;f=[3 5 4 2]s=0for k=1:4

s=s+x(k)*f(k);ends

zadajemo matricu xzadajemo matricu finicijaliziramo s

poinje for-petlja(u kojoj u etiri koraka raunamo s)

petlja zavravaispisujemo konano s

Rezultat:s=

72

Uoi, za zadane x i f, mogli smo umjesto petlje koristiti: s=sum(x.*f)ili: s=x*f '

Primjer 2. Izraunaj

!1!1

!1

1

1 7=

koristei naredbu for.

y=1;for ind=0:9

y=y*(175-ind)/(10-ind);endy

inicijaliziramo ypoinje for-petlja od k koraka(u kojoj se koristi ekonomina formaza raunanje binomnog koeficijenta)ispisujemo konano rezultat y

Rezultatnaredbi:

y=5.7130e+015

Naredba while

Naredba while ponavlja odreenu naredbu ili niz naredbi dok je ispunjen uvjet iz izraza.

Sintaksa while-petlje: while izraznaredbe

end

Napomena: Za izlaz iz petlje (for kao i while) esto se koristi naredba break.Primjer 3: Koristei naredbu while, izraunaj (do na tonost eps) sumu reda

=14

1

n n.

12


13/36

s=0;n=1;d=1;while d>=eps

d=(1/n)^4;s=s+d;

n=n+1;ends

inicijalizacija sume sinicijalizacija indeksa ninicijalizacija doprinosa duvjet: doprinos je vei od tonosti strojadoprinos u n-tom korakusuma u n-tom koraku

n se poveava za 1kraj petljeispiimo konanu sumu s

Rezultat(u dugom formatu):

s=

1.08232323371052

Naredba if:

Naredba if izvrit e navedene naredbe ako je uvjet dan izrazom ispunjen. Mogue je upotrebiti i varijantuif...else. Sintaksa je:

ifizraznaredbe

end

osnovni oblik naredbe if

proireni oblik naredbe if

ifizraznaredbe

else naredbeend

Primjer 4: Koristei naredbu if, skiciraj rjeenja (x,y) nejednadbe 3694 22 + yx .

holdx=linspace(-4,4,100);y=linspace(-4,4,100);for n=1:100

for m=1:100if 4*x(n)^2+9*y(m)^2


14/36

Kako kreiramo jedan m file

U otvorenom MATLAB ovu prozoru, kliknimo miem redom: File New M-file. Pojavit e se prozorteksteditora (u starijim verzijama MATLAB a, to je bio Notepad), u kojem emo pisati nae naredbe.

Kad zavrimo s pisanjem naredbi, trebamo kazati raunalu da kreirani file imenuje i spremi u memoriju sekstenzijom m (da bi ga MATLAB kasnije mogao prepoznati kao mfile i izvriti). Kliknemo li miem slijedFile Set Path, dolazimo do popisa foldera u kojima MATLAB trai svoje mfileove. Mi emo ih pohranjivatiu folder C:\matlabR12\work. Pri pohrani postupamo ovako:

U prozoru Notepada u kojem smo pisali naredbe, miem kliknemo file Save As i zatim:

1. Po potrebipromijenimo direktorij u C:\matlabR12\work.2. Dodijelimo ime i ekstenziju ("ime.m") pod kojim e se file pohraniti u memoriju.3. Kliknemo na Save.

Obini m file (engl. script file)

Ako imamo neki dui niz naredbi, koji nam se u radu ee ponavlja, moemo ga zapisati u obini m file. Prisvakom pozivu imena tog m filea, izvrit e se naredbe koje on sadri.

Svaki od etiri primjera iz prethodne toke mogli smo realizirati pomou obinog m filea.

14


15/36

Funkcijski m file

Funkcijskim mfileom kreiramo novu funkciju. Ovako kreirana funkcija ravnopravna je funkcijamaugraenim u MATLAB-u (kao to su npr. sin, log, det, itd.) Na taj nain moemo prema naoj volji i

potrebama proiriti biblioteku postojeih funkcija. Sintaksa je:

function varijabla=ime funkcije(ulazne varijable)naredbe

U prvom retku mora biti imefunkcije i varijable kojimaoperira.

Ime funkcijskog m-filea mora biti isto kao i ime funkcije koja se njima definira. Samu funkciju pozivamo kaoi svaku drugu funkciju, koristei njeno ime, zagrade, ulazne i izlazne varijable. Varijable mogu biti i brojevi imatrice. Jasno je da broj i tip varijabli u definiciji i pozivu funkcije moraju biti isti.

function [izlazne varijable]=ime funkcije(ulazne varijable)

naredbe

Funkcija moe imati i

vie izlaznih varijabli.

Primjer 1. Napii funkcijski m-file bk.m, koji e raunati:

) !(!

!

knk

n

k

n

=

za zadane prirodne brojeve n, k.

function y=bk(n,k)y=1;for ind=0:k-1

y=y*(n-ind)/(k-ind);end

Definicija funkcije i argumenata.Inicijaliziramo y.Poinje for petlja od k koraka (u kojoj se koristiekonomina forma za raunanje binomnog koeficijenta).Petlja zavrava, u y ostaje konana vrijednost funkcije.

Uoi, mogli smo izbjei for-petlju iskratiti funkciju upotrebom:

function y=bk(n,k)y=prod([n-k+1:n]./[1:k]);

Primjer 2. Napii funkcijski m-file f1.m, koji e raunati funkciju1

100)(

2

3

1 +=x

xxf za zadane vrijednosti x.

function y=f1(x)y=x.^3-100./(x.^2+1);

Najbolje je pretpostaviti da je argument funkcije matrica,tako e uobiajeno raunanje lan po lan vrijediti.

Primjer 3. Napii funkcijski m-file poiss.m, koji e za zadane a, k raunati funkciju

15

ak

ek

akapoiss

=!

),(


16/36

function y=poiss(a,k)for m=1:size(k,1);

for n=1:size(k,2);y(m,n)=exp(-a)*prod(a./[1:k(m,n)]);

endend

Definira se funkcija s argumentima k, a.Dvije petlje osiguravaju da k moe biti

proizvoljna matrica (to e nam trebati ustatistici). Kao izlaz imamo matricu istedimenzije kao k. Kao i prije, izbjegavase direktno raunanje faktorijela.

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE V

Numerika u MATLAB-u

1. Numeriko rjeavanje jednadbi

Problem: Rijeiti jednadbu ( ) 0=xf metodom bisekcije (polovljenja).Teorijska

podloga i dodatni komentari o izolaciji korijena dani su na predavanju.

Algoritam metode bisekcije

Da bi mogli koristiti metodu bisekcije trebamo prvo nai brojeve a, b takve da f(a) i f(b) imaju razliitepredznake. Ako je funkcija f neprekidna na intervalu [a,b], to znai da e u tom intervalu sigurnoimati barem jednu nultoku c. Pretpostavimo da smo izolirali korijen jednadbe ( ) 0=xf , tj. odredilisegment [a,b] koji sadri jedan i samo jedan korijen c jednadbe. Oznaimo aa =0 , bb =0 .

Izraunamo2

00 ba + (polovimo segment) i

+

2

00 baf .

Ispitujemo u kojoj polovini segmenta lei korijen jednadbe.

1. Ako je 02

00 =

+ baf , uzimamo da je

2

00 bac+

= traeni korijen jednadbe.

2. Ako je 02

00

+ baf i ( )[ ]0

00 sgn2

sgn afba

f =

+

, oznaimo2

001

baa

+= i 01 bb = .

Ako je 02

00

+ baf i ( )[ ]0

00 sgn2

sgn bfba

f =

+, oznaimo 01 aa = i

2

001

bab

+= .

Kako je ( )[ ] ( )[ ]11 sgnsgn bfaf , korijen jednadbe je u segmentu [ ]11,ba na kojem moemo ponovitipostupak polovljenja.Nakon k koraka doli smo do segmenta [ ]kk ba , .

Izraunamo2

kk ba + (polovimo segment) i

+

2

kk baf .

1. Ako je 02

=

+ kk baf , uzimamo da je2

kk bac+

= traeni korijen jednadbe.

16


17/36

2. Ako je 02

+ kk baf i ( )[ ]kkk af

baf sgn

2sgn =

+

, oznaimo2

1kk

k

baa

+=+ i kk bb =+1 .

Ako je 02

+ kk baf i ( )[ ]kkk bfba

f sgn2

sgn =

+, oznaimo kk aa =+1 i

21

kkk

bab

+=+ .

Nakon n-tog koraka doli smo do segmenta [ ]nn ba , , za kojeg vrijedi nn bca . Uobiajeno je za za

priblinu vrijednost korijena jednadbe uzeti2

nn bac += .

Postizanje traene tonosti :

1. nn ab ( )

2log

loglog ab

n (teorijski).

2. Promatranjem kako se ustaljuju znamenke rjeenja (praktino).Primjer 1. Metodom polovljenja odredite priblinu vrijednost korijena jednadbe 0ln 2 =+ xx s tonou

210

= .

Rjeenje:

1. Izolacija korijena (grafiki).Korijen jednadbe 0ln 2 =+ xx oito je nultoka funkcije ( ) 2ln xxxf += (komplicirano crtati graf).Jednostavnije: jednadbu napisati u obliku 2ln xx = i problem svesti na traenje sjecita grafova funkcija

( ) xxf ln1 = i ( )2

2 xxf = .

Sa slike oitamo:5.0=a i 1=b .

Odreivanje broja koraka za postizanjetraene tonosti 210= :

( )=

2log

loglog abn

5.64382log

01.0log5.0log=

=

Dovoljno je uzeti n =6.

2. Primjena metode polovljenja preglednosti radi, moemo formirati tablicu:

( )kaf 0k ka kb

2

kk ba +Predznak od

+

2

kk baf

0 0.5000 1.00007500.0

2

1.00000.5000=

++

1 0.5000 0.7500 0.62502

0.75000.5000 =+ -

2 0.6250 0.7500 6875.02

0.75000.6250=

++

17

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-25

-20

-15

-10

-5

0

5


18/36

3 0.6250 0.6875 6562.02

0.68750.6250=

++

4

0.6250 0.6562 6406.02

0.65620.6250=

+-

5

0.6406 0.6562 0.64842

0.65620.6406 =+

-

6 0.6484 0.6562

Na kraju, stavljamo 0.65232

0.65620.6484=

+c .

Rjeavanje jednadbe ( ) 0=xf uz pomo MATLAB-a

a) Metoda je bisekcije vrlo jednostavna i pregledna, ali neto sporija od drugih, pa je u

standardnom MATLAB-ovu toolbox-u nema. Zato je za potrebe ovih Laboratorijskih vjebi ufolderu C:\matlabR12\work kreiran novi funkcijski m-file bis.m koji radi metodompolovljenja. Funkciju bis pozivamo s:

bis(f, a,b,n) Potrebno je da je funkcija f prethodno zapisana u vidu funkcijskog m-filea(obrati panju na obavezne navodnike!). Ulazni parametri a, b rubovi su

polaznog intervala, a n eljeni broj polovljenja.

Zainteresirani mogu razmotriti sintaksu funkcije bis u folderu C:\matlabR12\work.

Rijeimo ponovo Primjer 1, koristei se ovaj put funkcijom bis i punom MATLAB-ovom preciznou.

Primjer 1. Metodom polovljenja odredite priblinu vrijednost korijena jednadbe 0ln 2 =+ xx stonostima 210= i eps= . Za odabrane a,b, koliko treba polovljenja da bi se postiglatraena tonost?

Rje enje : Da bismo odredili broj korijena i poetnu aproksimaciju, skicirajmo graf funkcije( ) 2+= xxxf ln .

Prvo funkciju zapiemo kao funkcijski m-file f.mu folder C:\matlabR12\work:

i zatim je nacrtamo:

Sa slike je oito da moemo uzeti 5.0=a i 1=b. Sada pozivamo bis za razliite vrijednosti n:

bis('f',0.5,1,1) Rezultati (u dugom formatu): ans = 0.62500000000000bis('f',0.5,1,2) ans = 0.68750000000000bis('f',0.5,1,3) ans = 0.65625000000000bis('f',0.5,1,4) ans = 0.64062500000000

18

function y=f(x)y=log(x)+x.^2;

x=0:0.01:5;plot(x, f(x))grid

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-30

-20

-10

0

10

20

30


19/36

bis('f',0.5,1,5) ans = 0.64843750000000bis('f',0.5,1,6) ans = 0.65234375000000bis('f',0.5,1,10) ans = 0.65307617187500bis('f',0.5,1,30) ans = 0.65291864029132bis('f',0.5,1,50) ans = 0.65291864041920bis('f',0.5,1,100) Toan rezultat ans = 0.65291864041920

Poveavanjem broja polovljenja n dolazi do ustaljivanja (ponavljanja) sve vie znamenaka u rjeenju.Znamenke rjeenja koje se uestalo ponavljaju moemo smatrati tonima. Primjeujemo da je za postizanjetonosti od eps= uz odabrane a,b dovoljno napraviti 47 polovljenja. Za 210= moemo smatrati dase ta tonost postie kad se stabiliziraju prve dvije decimale rjeenja, a to se (tablica) dogaa za n =6

polovljenja.

b) U standardnom MATLAB-ovu toolboxu je i funkcija fzero.

Ponovo je potrebno da naa funkcija f prethodno bude zapisana u vidu funkcijskog m-filea. Sintaksa je:

fzero(f , izraz) Ime funkcije je u navodnicima. Izraz je poetna aproksimacija za traenu nultoku.

Koritenjem funkcije fzero u Primjeru 1 dobili bismo:

fzero('f ',1) rezultat (u dugom formatu): ans = 0.65291864041920

Algoritam funkcije fzero je malko kompliciran, a radi tako da najprije poevi od poetne aproksimacije samtraga za prvom promjenom predznaka funkcije i ako je nae, koristi bisekciju u kombinaciji s jo nekimtehnikama. M-file fzero.m smjeten je u folderu C:\matlab\toolbox\matlab\funfun, i kao takav, moe seotvoriti i pogledati.

c) Ako je ( )xf polinom, moemo koristiti i naredbu roots.

Sjetimo se: ako je ( )xf polinom stupnja n, onda on ima tono n nultoki (koje su openito kompleksne).Traenje ovih nultoki u MATLAB-u obavlja naredba roots.

Najprije, polinom u MATLAB-u trebamo zapisati kao jednorednu matricu koeficijenata. Raunanje vrijednostitog polinoma u zadanim tokama obavlja naredba polyval.(roots.m i polyval.m funkcijski su m-fileovi u folderu C:\matlab\toolbox\matlab\polyfun).

Npr. ako elimo zapisati polinom ( ) 521114 234 +++= xxxxxf ,utipkat emo redom njegove koeficijente: f=[4 -11 1 21 5] f =

4 -11 1 21 5Za traenje svih nultoki tog polinoma,

pozovemo roots:roots(f) ans =

2.0000 + 1.0000i2.0000 - 1.0000i

-1.0000-0.2500

Da bi izraunali npr. ( )1f , koristimo naredbupolyval:

polyval(f,1) ans =20

Ako elimo skicirati taj polinom,koristimo:

19

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20

0

20

40

60

80

100

120


20/36

x=-2:0.1:2;plot(x,polyval(f,x))grid

Primjer 2. Odredite s tonou eps najmanji pozitivni korijen jednadbe1+

3=x

xcos .

Za odabrane a,b, odredi koliko polovljenja treba da se postigne traena tonost?

Rjeenje

Skiciranjem grafova funkcija

( ) xxf cos1 = i ( )1

32 +

=x

xf vidi se

da je traeni korijen u intervalu [ ]6,5

.

Prvo funkciju ( )1

3cos

+=xxxf zapiemo i pohranimo u folder C:\matlabR12\work kao m-file f.m:

function y=f(x)y=cos(x)-3./(x+1);

Zatim pozovemo bis. Ispostavlja se da se traena tonost eps= postie sa n= 46 polovljenja.bis('f',5,6,5) Rezultati (u dugom formatu): ans = 5.20312500000000bis('f',5,6,10) ans = 5.21630859375000bis('f',5,6,20) ans = 5.21603536605835bis('f',5,6,30) ans = 5.21603577258065bis('f',5,6,40) ans = 5.21603577298038bis('f',5,6,50) Toan rezultat ans = 5.21603577298021

Metodu bisekcije moemo ilustrirati i tako da koritenjem naredbe zoom i mia zumiramo sliku, ali bi to

bio spor i neprecizan postupak za efektivno traenje korijena:

20

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


21/36

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE VI

Numerika u MATLAB-u (nastavak)

2. Interpolacija

Problem: Zadane su toke ( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx ,,...,,,,,, 221100 . Trebaodrediti

polinom najmanjeg stupnja, iji graf sadri sve te toke.

Teorija kae da takav polinom postoji i stupanj mu je manji ili jednak n. Naziva seLagrange-ov interpolacioni polinom. Raunamo ga tako da prvo definiramo polinome:

)()) ((

)()) (()(

02010

21

00 0

0

n

nn

jj j

j

xxxxxx

xxxxxx

xx

xxxl

=

=

=

)()) ((

)()) (()(

12101

20

10 1

1

n

nn

jj j

j

xxxxxx

xxxxxx

xx

xxxl

=

=

=

.

.

.

)()) (()()) ((

)(110

110

0

=

=

=

nnnn

nn

njj jn

j

nxxxxxx

xxxxxx

xx

xxxl

Lagrange-ov interpolacioni polinom je tada )(...)()()()( 11000

xlyxlyxlyxlyxL nn

n

k

kkn +++===

.

21

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 60.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

5.205 5.21 5.215 5.22 5.225 5.23

0.47

0.475

0.48

0.485

0.49


22/36

Primjer 1. Za podatke dane u tablici odredite Lagrangeov interpolacioni polinom.

xi -4 -2 -1 2yi 0 4.25 -4.875 -5.25

Rjeenje: Imamo redom:

36

44

)24)(14)(24(

)2)(1)(2(

))()((

))()(()(

23

302010

3210

++=

++++

=

=

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxl

8

863

)22)(12)(42(

)2)(1)(4(

))()((

))()(()(

23

312101

3201

+=

++++

=

=

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxl

9

1644

)21)(21)(41(

)2)(2)(4(

))()((

))()(()(

23

321202

3102

++=

++++

=

=

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxl

72

8147

)12)(22)(42(

)1)(2)(4(

))()((

))()(()(

23

231303

2103

+++=

++++++

=

=

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxl .

Dakle je traeni Lagrangeov interpolacioni polinom =+++= )()()()()( 332211003 xlyxlyxlyxlyxL

5.13375.625.323 += xxx .

Sada emo isti primjer rijeiti uz koritenje MATLAB-a. Lagrangeov interpolacioni polinom rauna direktnonaredba polyfit(x,y,n), gdje su vrijednosti koordinata x i y pohranjene u jednoredne matrice x i y, a

n (= broj toaka - 1) je stupanj traenog polinoma. Polinom dobivamo u vidu jednoredne matricekoeficijenata po potencijama. Imamo, dakle:

x=[-4 -2 -1 2]; Upiemo x-eve.y=[0 4.25 -4.875 -5.25]; Upiemo y-e.

p=polyfit(x,y,3) Stavimo n = 4-1=3.

Ako elimo vidjeti kako dobijeni polinom izgleda na slici, moemo utipkati:

x1=-5:0.05:5; Da bi slika bila ljepa, polinom emo nacrtati preciznije.plot(x,y,'*',x1,polyval(p,x1)) Zadane toke (xi,yi) na slici su oznaene s * slika (1).

Primjer 2. Aproksimirajmo funkciju ( ) xxy cos= Lagrange-ovim interpolacionim polinomom u tokama sapscisama 0, 1, 3, 4, 5. Ocijeni apsolutnu pogreku aproksimacije u toki a) x=2, b)x=-1? Obrazloi.

Rjeenje:

x=[0 1 3 4 5]; Upiemo x-eve.y=cos(x); Izraunamo y-e.

p=polyfit(x,y,4) Polinom je( ) 0000131530079713315002680 234 .x.x.x.x.-xp +++= .

abs(polyval(p,2)-cos(2)) Pogreka Lagrangeovog polinoma u toki 2 je otprilike podnoljivih0.0485 (interpolacija!), a u toki 1 (van intervala) je loih 1.2935.abs(polyval(p,-1)-cos(-1))

x1=-2:0.05:8; To se uoava i na donjoj desnoj slici slika (2).

22

( ) ( ) =+++++++++++=72

814725.5

9

1644875.4

8

86325.4

36

440

23232323 xxxxxxxxxxxx


23/36

plot(x,y,'*',x1,cos(x1),x1,polyval(p,x1)) Toke (xi,yi) opet oznaimo s *.

slika (1)

slika (2)PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKA

LABORATORIJSKE VJEBE VII


3. Metoda najmanjih kvadrata

Problem: Zadane su toke ( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx ,,...,,,,,, 221100 . Trebaodrediti funkciju ( )xf koja dane toke aproksimira u smislu metodenajmanjih kvadrata (tj. tako da je suma kvadrata odstupanja

( )[ ]=

=n

i

ii yxfS0

2

u danim tokama minimalna).

U naem sluaju funkcija e biti polinom ( )xp stupnja nm . Taj polinom odreujemo takoda odredimo za koje koeficijente funkcija S od m+1 varijabli postie lokalni minimum -

vidi Predavanja.

Primjer 1. Metodom najmanjih kvadrata odredi polinom ( )xp stupnja m koji aproksimira toke ( )ii yx , ije su koordinate dane u tablici, ako je: a) m=0, b) m=1, c) m=2.

xi -4.1 -2.9 -2.1 -0.9 -0.2 -0.1yi -2.39 -0.52 -0.27 -0.75 -2.52 -2.13

Rjeenje: Formiramo tablicu:

iix iy

2

ix3

ix4ix ii yx ii yx

2

0 -4.1 -2.39 16.81 -68.921 282.5761 9.799 -40.1759

23

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-50

0

50

100

150

200

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2


24/36

1 -2.9 -0.52 8.41 -24.389 70.7281 1.508 -4.37322 -2.1 -0.27 4.41 -9.261 19.4481 0.567 -1.19073 -0.9 -0.75 0.81 -0.729 0.6561 0.675 -0.60754 -0.2 -2.52 0.04 -0.008 0.0016 0.504 -0.10085 -0.1 -2.13 0.01 -0.001 0.0001 0.213 -0.0213

-10.3 -8.58 30.49 -103.309 373.4101 13.266 -46.4694

a) Stavimo ( ) Axp = , ( ) ( )[ ] ( )==

==5

0

2

0

2

i

i

n

i

ii yAyxpAS . Odredimo lokalni minimum funkcije S:

( ) ( ) ( ) -1.43006

8.58-

6

16020

5

0

5

0

5

0

5

0

2 ======= ==== i

i

i

i

i

i

i

i yAyAyAyAdA

dAS

dA

d.

( ) 4300.1= xp

b) ( ) BAxxp += , ( ) ( )[ ] ( )==

+==5

0

2

0

2,

i

ii

n

i

ii yBAxyxpBAS . Odredbeni sustav za A,B je:

( ) ( ) ( ) ===== =+=+=+=5

0

5

0

5

0

2

5

0

5

0

2 020,i

ii

i

i

i

ii

i

ii

i

ii yxxBxAxyBAxyBAxA

BASA

( ) ( ) ( ) ====

=+=+=+

= 5

0

5

0

5

0

5

0

26020,

i

i

i

i

i

ii

i

ii yBxAyBAxyBAxB

BASB

tj.

=

=

=6+

=

- 1 .B

- 0 .

- 8 . 5 81 0 . 3

1 3 . 2 6 61 0 . 33 0 . 4 9 A

BA

BA ( ) 1.6261-0.1142 = xxp .

c) ( ) CBxAxxp ++= 2 , ( ) ( )( ) ( )25

0

2

2

0

,, ==

++==i

iii

n

i

ii yCBxAxyxpCBAS . Odredbeni sustav je:

( ) ( ) == ===

=++=++

= 5

0

25

0

5

0

235

0

45

0

2200,,

i

ii

i i

ii

i

i

i

iii yxxCxBxAyCBxAxA

CBASA

( ) ( ) == ===

=++=++

= 5

0

5

0

5

0

25

0

35

0

2200,,

i

ii

i i

ii

i

i

i

iii yxxCxBxAyCBxAxB

CBASB

( ) ( ) ====

=++=++

= 5

0

5

0

5

0

25

0

22600,,

i

i

i

i

i

i

i

iii yCxBxAyCBxAxC

CBASC

=

=

=

=+

=+

=+

- 2 . 5

- 2 . 3

- 0 . 5

8 . 5 8-61 0 . 33 0 . 4 9

1 3 . 2 6 63.1 03 0 . 4 91 0 3 . 3 0 9

- 4 6 . 4 6 9 43 0 . 4 91 0 3 . 3 0 93 7 3 . 4 1 0 1

C

B

A

CBA

CBA

CBA

( ) 2.5972-3232255510 2 x.x.xp = .

Sada emo isti primjer rijeiti koritenjem MATLAB-a. Koeficijente polinoma ( )xp rauna naredbapolyfit(x,y,m), gdje su vrijednosti koordinata n toaka pohranjene u jednoredne matrice x i y, a nm jestupanj traenog polinoma. (U sluaju da stavimo nm = , dobili bismo Lagrangeov interpolacioni polinom zate toke.) Polinome dobivamo u vidu jednorednih matrica koeficijenata po potencijama. Imamo, dakle:

24


25/36

x=[ -4.1 -2.9 -2.1 -0.9 -0.2 -0.1] Upiemo x-eve.y=[-2.39 -0.52 -0.27 -0.75 -2.52 -2.13]; Upiemo y-e.

p=polyfit(x,y,m) Stavljamo razliite m (m=0,1,2,...,n).

Primjer 2. Neka su vrijednostiapscisa i ordinata x i y desettoaka zadane tablicom. Aproksimirajmo ove toke polinomima stupnjeva m=0,1,2,...,9 u smislu metodenajmanjih kvadrata.

xi 1.00 2.00 3.50 4.00 4.80 6.20 8.00 8.90 9.20 9.80yi 1.55 -2.18 0.37 1.15 -11.38 -0.08 -6.79 -0.57 -0.22 -0.39

Rjeenje: Aproksimirajmo

x=[1 2 3.5 4 4.8 6.2 8 8.9 9.2 9.8] Upiemo x-eve.y=[1.55 -2.18 0.37 1.15 -11.38 -0.08 -6.79 -0.57 -0.22 -0.39] Upiemo y-e.

p=polyfit(x,y,m) Probajmo m=0,1,2,...,9.

Skiciramo li dobivene polinome naredbama: x1=1:0.05:10;

plot(x,y,'*',x1,polyval(p,x1))

25

Nacrtamo li ova tri polinoma naintervalu [-4.2,0],dobijemo:

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2


26/36

m=0 m=1

m=2 m=9(Lagrangeov interpolacioni polinom)

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE VIII


4. Numerika integracija

Problem: Za zadanu funkciju f(x) i granice a, b (a


27/36

(jednostavna) Simpsonova [ ] [ ] 166.6667491004513

14

3210

==++ yyyh

I

c) 10=n ,( )

2.010

11 ===n

abh ,

trapezna formula daje:

( )[ ]921100 ...22

yyyyyh

I +++++

= -156.7463,

a Simpsonova:

( ) ( )[ ]842931100 ...2...43

yyyyyyyyh

I +++++++++

= -157.0795.

Problem emo sada rjeavati uz pomo MATLAB-a. Trapezna iSimpsonova formula, postoje u vidu nestandardnih funkcijskihm-fileova trapez.m i simpson.m u folderu

C:\matlabR12\work. Pozivaju se s:

trapez(ime funkcije,a,b,n) i simpson(ime funkcije,a,b,n),

gdje je ime podintegralne funkcije f (kao m-filea, standardnog ili ne) opet u navodnicima, a,b donja i gornjagranica integracije, a n broj podintervala na koje dijelimo osnovni interval [a,b] (kod Simpsonove formule nmora biti paran!).

U Primjeru 1. tako prvo moramo funkciju ( )1

1002

3

+=x

xxf zapisati i pohraniti u folder

C:\matlabR12\work kao funkcijski m-file f.m. Sintaksa je, sjetimo se:

function y=f(x)y=x.^3-100./(x.^2+1);

Pozivanjem m-fileova trapez.m i simpson.m za 10,2,1=n lako se moemo uvjeriti da je prethodni raunispravan. Ako elimo provjeriti koliki n treba uzeti da bi se znamenke aproksimacije rjeenja stabilizirale,uzimamo i vee n .

Naredba trapez('f',-1,1,1000000) daje ans =-1.570796251229354e+002

Simpson simpson('f',-1,1,520) je puno bolji ans =-1.570796326794897e+002

(*) Za numeriko integriranje, MATLAB standardno koristi dvije naredbe: quad i quad8. Sintaksa je:

quad(ime funkcije,a,b) i quad8(ime funkcije,a,b)

27

iix iy

0 -1.0 -51.00001 -0.8 -61.48762 -0.6 -73.74543 -0.4 -86.27094 -0.2 -96.16185 0.0 -100.00006 0.2 -96.14587 0.4 -86.14298 0.6 -73.31349 0.8 -60.4636

10 1.0 -49.0000


28/36

Navodnici u pozivu naredbi su obavezni. Funkcija koja se integrira mora postojati u memoriji kao m-fileistog imena. Po volji se moe dodati i etvrti argument, koji predstavlja tolerancu (inae je toleranca 310 ).

Koritenjem quad('f',-1,1,eps) dobijamo Recursion level limit reached inquad.Singularity likely.

Recursion level limit reached inquad. Singularity likely.

ans =-1.570796326794897e+002

Dok quad8('f',-1,1,eps) odmah daje ans =-1.570796326794897e+002

U novijim verzijama MATLAB a, quad8 je zamijenila naredba quadl, s istim parametrima.

PRIMIJENJENA I NUMERIKA MATEMATIKALABORATORIJSKE VJEBE IX

Deskriptivna statistika manipulacija statistikim podacima

1. Diskretna statistika obiljeja

Pretpostavimo da je zadan niz statistikih podataka Nxxx ,...,, 21 , neka su raaa ,...,, 21 meusobno razliite vrijednosti tog statistikog niza u uzlaznom poretku i neka sufrekvencije tih vrijednosti redom rfff ,...,, 21 . Ovako organizirani podaci lako se

prikazuju tabelarno i grafiki.

Ako su zadane razliite vrijednosti raaa ,...,, 21 statistikog niza s pripadnim

frekvencijamarfff ,...,, 21 , onda je ==

r

kkfN 1 ukupan broj podataka u nizu, a

aritmetika sredina tog niza je =

==r

k

kk faN

Xsv1

1. Nadalje, disperzija statistikog niza je

2

1

22 )(1

svfaN

dr

k

kk == =

, a njegova standardna devijacija dsd == . Ovo su osnovne

numerike karakteristike (parametri) statistikog niza.

Primjer 1. Brojanje poziva na nekoj telefonskoj centrali vreno je automatski u jednakim vremenskim

intervalima od jedne minute. Centrala u jednoj minuti moe primiti najvie est poziva. Statistiki niz sastojise od broja poziva koji su pristigli u minutama jednog sata: 2, 3, 5, 3, 0, 3, 0, 5, 4, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 3, 4, 1,0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 5, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1. Sredimo

podatke i izraunajmo numerike karakteristike ovog statistikog niza.

28


29/36

Rjeenje: Prebrojimo li koliko se puta pojavljuju vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6, dolazimo do njihovihfrekvencija i formiramo slijedeu tablicu:

ka kf kk fa kk fa

2

0 6 0 01 4 4 4

2 6 12 243 17 51 1534 13 52 2085 8 40 2006 6 36 216

N= 60 195 805

Sad su: 25.319560

11

1

==== =

r

k

kk faN

Xsv ,

2.854225.3805601)(1 22

1

22 ==== = svfaNdr

k

kk , 1.6894=== dsd .

Iskoristimo sada MATLAB u sreivanju i preglednom prikazu ovog statistikog niza.

x=[2,3,5,3,0,3,0,5,4,4,6,3,4,6,3,5,6,3,4,1,0,3,4,5,6,3,0,...3,0,4,1,2,0,3,4,5,3,5,3,2,3,4,5,3,6,4,3,2,4,2,1,3,4,5,6,4,...3,4,2,1]

Podatke unesemo (uoi: tri ili vie tokicaznae nastavak naredbe u slijedeem redu),

sort(x) pa ih sortiramo po veliini

i dobijemo:ans =Columns 1 through 12

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2Columns 13 through 24

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3Columns 25 through 36

3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4Columns 37 through 48

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5Columns 49 through 60

5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6

Ovu rutinu sreivanja bitno emo pojednostaviti ako sjednemo i napiemo programi poput ovoga:

function [a,f]=af(x) Ova funkcija kreira jednoredne matrice a i f x=sort(x); j=1; broj=1; meusobno razliitih vrijednosti raaa ,...,, 21 for k=2:size(x,2) statistikog niza Nxxx ,...,, 21 poredanih po

veliiniif x(k)==x(k-1), broj=broj+1; i pripadnih frekvencija rfff ,...,, 21 .else f(j)=broj; a(j)=x(k-1); broj=1; j=j+1; end

a(j)=x(k); f(j)=broj; Funkcija af pohranjena je kao m-file af.m u

end folder C:\matlabR12\work.

[a,f]= af(x) odmah daje tablicu a = 0 1 2 3 4 5 6f = 6 4 6 17 13 8 6

29


30/36

Numerike karakteristike niza sada raunamo koritenjem MATLAB-a:

N=sum(f) U Primjeru 1 tako bi dobili: N = 60sv=a*f /N sv = 3.2500d=(a.^2)*f /N-sv^2 d = 2.8542

sd=sqrt(d) sd = 1.6894

Ova se krivulja naziva poligonomfrekvencija.

2. Kontinuirana statistikaobiljeja

Neka je zadan niz statistikih podataka Nxxx ,...,, 21 kontinuiranog statistikog obiljeja.Podatke grupiramo u razrede [ [ [ ]rr aaaaaa ,,,,,, 12110 i neka su ti razredi

ekvidistantni, irina c. Oznaimo s rsss ,...,, 21 sredine razreda. Ako frekvencije razredaoznaimo redom sa rfff ,...,, 21 ponovno smo u mogunosti podatke pregledno

prikazati.

Znamo da je =

=r

k

kfN1

ukupan broj podataka u nizu. Za aritmetiku sredinu tog niza

sada uzimamo =

==r

k

kk fsN

Xsv1

1. Nadalje, disperziju tog statistikog niza raunamo kao

2

1

22 )(1

svfs

N

dr

k

kk ==

= , a njegovu standardnu devijaciju kao dsd == .

Primjer 1. Mjerenjem teina [kg] trideset purana u nekom peradarniku, dobiveni su ovi podaci:8.22, 6.03, 5.81, 7.23, 5.67, 4.90, 6.97, 8.65, 8.44, 7.57, 6.89, 6.60, 6.85, 5.52, 5.14, 6.97, 7.98, 5.70, 5.09,7.22, 5.54, 8.06, 7.33, 5.94, 6.47, 7.24, 6.59, 5.83, 7.58, 6.15. Organizirajmo ove podatke u r=5 razreda, azatim izraunajmo numerike karakteristike ovog statistikog niza.

Rjeenje: Uoavamo da je najmanja vrijednost u nizu 4.90, a najvea 8.65. Kako imamo pet razreda, njihova

je irina 75.0

5

90.465.8=

=c . Formiramo tablicu:

30

0 1 2 3 4 5 64

6

8

10

12

14

16

18

Skicirajmo sada frekvencije f uovisnosti o vrijednostima a:

plot(a,f)


31/36

RAZREDI

kkaa

1

SREDINE

RAZREDA ksFREKVENCIJE

kf kk fs kk fs

2

4.90 5.65 5.2750 5 26.3750 139.12815.65 6.40 6.0250 7 42.1750 254.10446.40 7.15 6.7750 7 47.4250 321.30447.15 7.90 7.5250 6 45.1500 339.7538

7.90 8.65 8.2750 5 41.3750 342.3781 N= 30 202.5000 1396.6688

Raunamo: 6.7500202.500030

11

1

==== =

r

k

kk fsN

Xsv ,

0.99316.75001396.668830

1)(

1 22

1

22 ==== =

svfsN

dr

k

kk , 0.9966=== dsd .

Prouavanje statistikog niza lake je ako koristimo MATLAB.

x=[8.22, 6.03, 5.81, 7.23, 5.67, 4.90, 6.97, 8.65, 8.44, 7.57, 6.89, 6.60, 6.85, 5.52,...5.14, 6.97, 7.98, 5.70, 5.09, 7.22, 5.54, 8.06, 7.33, 5.94, 6.47, 7.24, 6.59, 5.83, 7.58, 6.15]

Unesemopodatke.

Podatke opet moemo sortirati pjeice, a moemo se posluiti i slijedeim funkcijskim m-fileom:

function [s,f,c]=sfc(x,r) Ova funkcija dijeli podatke iz statistikog nizax=sort(x); Nxxx ,...,, 21 u r razreda, rauna irinu c tihnajmanji=x(1); najveci=x(size(x,2)); razreda i potom kreira jednoredne matricec=(najveci-najmanji)/r; aritmetikih sredina rsss ,...,, 21 razreda idg=najmanji:c:najveci-c; gg=dg+c; pripadnih frekvencija rfff ,...,, 21 .s=(dg+gg)/2; j=1; f=zeros(1,size(s,2));for k=1:size(x,2)

if j==r, f(j)=size(x,2)-k+2; break, endwhile x(k)>=gg(j) Funkcija sfc pohranjena je kao m-file sfc.m u

if j


32/36

sd=sqrt(d) sd = 0.9966

PRIMIJENJENA I NUMERIKAMATEMATIKA

LABORATORIJSKE VJEBE X

Prilagoavanje teoretske statistike razdiobe empirikim podacima

32

Skicirajmo jo frekvencije f uovisnosti o vrijednostima s

plot(s,f)

(tj. poligon frekvencija):

est je prikaz podataka i pomoutzv. histograma frekvencija:

bar(s,f)

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.55

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7


33/36

Problem: Zadan je skup vrijednosti statistikog niza i pripadne frekvencije. Uzpretpostavku da su ti podaci distribuirani prema nekoj od poznatih razdioba, odreditikoja razdioba najbolje opisuje njihovo ponaanje.

a) Binomna razdioba

Za binomnu razdiobu s parametrima n N i [ ]1,0p karakteristino je da suvrijednosti ka -ova 0,1,2,,n. Ako je X sluajna varijabla distribuirana po binomnoj

razdiobi, onda je { } ( )knk pp

k

nkXP

== 1 vjerojatnost da ona poprimi upravo

vrijednost k (k=0,1,2,,n), njeno je oekivanje EX=np, a varijanca VarX=np(1-p).

Primjer 1. arulje se proizvode na pokretnoj traci. U pravilnim vremenskim razmacima vri se kontrolaproizvodnje, i to tako da se nasumce odabere osam arulja i potom testira koliko ih je neispravnih. Rezultativelikog broja testiranja dani su u donjoj tablici. Naite odgovarajue teoretske frekvencije uz pretpostavku da

je broj neispravnih arulja distribuiran po binomnoj razdiobi.

BROJ DEFEKTNIH

PROIZVODAkak =

PRIPADNE

FREKVENCIJE

kf

0 951 2382 3223 2884 1215 816 327 168 4

Prema tome, kreiramo jednorednu matricu a-ova a=0:8zatim jednorednu matricu frekvencija f f=[95 238 322 288 121 81 32 16 4]

Zadajemo broj n n=8 i n = 8Raunamo ukupni broj podataka N, N=sum(f) dobijemo N = 1197

potom aritmetiku sredinu sv, sv=a*f '/ N rezultate: sv = 2.4820i parametarp p=sv/n p = 0.3103

Da odredimo vjerojatnosti { } ( )knk

ppk

nkXP

== 1 , koristimo tablice ili funkcijski m-file binomna.m,

kojeg smo za potrebe ovih vjebi kreirali i pohranili u folder C:\matlabR12\work.

Jo nam ostaje nai teoretske frekvencije ft: ft=round(N*binomna(n,p,a))round je decimalne brojeve zaokruio na cijele

33

Zadatak rjeavamo ovako (v. Predavanja):

- odmah vidimo da je n=8, a ukupni broj podataka

=

=n

k

kfN0

=1197;

- izraunamo aritmetiku sredinu =

=n

k

kk faN

sv0

1,

pa je interpretiramo kao oekivanje teoretskebinomne razdiobe s parametrima n i p;

- dakle je p=sv/n, pa raunamo { }kXPNftk == ,

gdje je { } ( )knk

ppk

nkXP

== 1 .


34/36

Konano dobijemo ft =61 221 347 313 176 63 14 2 0

b) Poissonova razdioba

Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ka su svi prirodni brojevi i nula. Ako je Xsluajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametrom >0, onda je

{ } == ek

kXPk

!vjerojatnost da ona poprimi upravo vrijednost 0Nk , oekivanje joj

je EX=, a varijanca VarX= .

Rezultati brojanja dani su u donjoj tablici.

Primjer 2. Provedeno je brojanje stranaka koje u toku jednog sata obave posao na jednom alteru Splitskebanke. Frekvencija kf oznaava broj onih sati u kojima slubenica podmiri tono ka stranaka.Rezultati brojanja dani su u donjoj tablici. Uz pretpostavku da se gornji podaci ravnaju po Poissonovojrazdiobi, za svaku vrijednost ka izraunajte odgovarajuu teoretsku frekvenciju kft .

BROJ

STRANAKAkak =

PRIPADNE

FREKVENCIJE

kf

0 36

1 1012 1503 2214 3125 2366 1517 888 329 14

10 6

11 312 113 1

Prema tome, kreiramo jednorednu matricu a-ova a=0:13zatim jednorednu matricu frekvencija f f=[36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1]

Raunamo dakle ukupni broj podataka N, N=sum(f) imamo N = 1352

potom aritmetiku sredinu sv (tj. ) sv=a*f '/N sv = 4.0784

Jo nam ostaju teoretske frekvencije ft: ft=round(N*poisson(sv,a))round je decimalne brojeve zaokruio na cijele

34


- izraunamo ukupni broj podataka =

=13

0k

kfN ;


=13

0

1

kkk fa

Nsv ,

pa je interpretiramo kao oekivanje teoretskePoissonove razdiobe s parametrom ;

- dakle je parametar =sv, pa potom raunamo

{ }kXPNftk == , gdje je { } == ek

kXPk

!.

Da izraunamo vjerojatnosti { }kXP = sluimo setablicama ili funkcijskimm-fileom poisson.mkreiranim posebno za ove vjebe i pohranjenim ufolder C:\work.


35/36

Konano dobijemo ft =23 93 190 259 264 215 146 85 43 20 8 3 1 0

Koliko je ova aproksimacija dobra moemo provjeriti

crtanjem grafikona empirikih i teoretskih frekvencijau ovisnosti o a-ovima. Koristimo naredbu plot(a,f,a,ft,--)(Teorijske frekvencije oznaimo izlomljenom crtom.)

c) Normalna razdioba

Za razliku od binomne i Poissonove razdiobe koje su diskretne, kod normalne razdiobe podaci mogu teoretski poprimiti bilo koju realnu vrijednost. Ako je X sluajnavarijabla distribuirana po normalnoj razdiobi s parametrima i 2 , onda je njenooekivanje EX= , a varijanca (disperzija) VarX= 2 .Primjer 3. Mjerenjem postotnog udjela sumpora u eljeznoj rudi ustanovljeno je da oneienost variraizmeu 4.30 i 9.80 posto i podaci su grupirani u 11 razreda prema tablici. Normalnu razdiobu prilagoditetim empirikim podacima.

RAZREDI

kkaa

1

FREKVENCIJE

kf

4.30 4.80 24.80 5.30 85.30 5.80 195.80 6.30 51

35


- odredimo prvo irinu c i sredine razreda ks ;

- izraunamo ukupni broj podataka =

=11

1k

kfN ;


=11

1

1

kkk fs

Nsv ,

disperziju 211

1

2)(

1svfs

Nd

kkk =

=i standardnu

devijaciju dsd = .

0 2 4 6 8 10 12 140

50

100

150

200

250

300

350


36/36

6.30 6.80 866.80 7.30 917.30 7.80 757.80 8.30 538.30 8.80 428.80 9.30 18

9.30 9.80 4

Ako elimo raditi u MATLAB-u, kreiramo c, c=0.5zatim dvije jednoredne matrice, dg i gg u koje dg=[4.30:c:9.30]

pohranimo donje i gornje granice razreda, gg=[4.80:c:9.80]zatim jednorednu matricu frekvencija f f=[2 8 19 51 86 91 75 53 42 18 4]i na kraju matricu sredina razreda s s=(dg+gg)/2

Raunamo dakle ukupni broj podataka N, N=sum(f) i N = 449

potom aritmetiku sredinu sv, sv=s*f /N dobijemo sv = 7.1747disperziju d d=(s.^2)*f /N-sv^2 rezultate: d = 0.9265i standardnu devijaciju sd sd=sqrt(d) sd = 0.9626

Aritmetiku sredinu sv sada interpretiramo kao oekivanje teoretske sluajne varijable X , a sd kaonjenu standardnu devijaciju . Onda teoretske frekvencije moemo izraunati kao

{ }

==

11

kkkkk

aaNaXaPNft , gdje je ( ) dtex

x t

= 2

2

2

1

funkcija

distribucije vjerojatnosti jedinine normalne razdiobe. Vrijednosti funkcije ( )x moemo pronai utablicama, ili izraunati pozivanjem funkcijskogm-filea fi.mkreiranog posebno za ove vjebe i pohranjenogu folder C:\matlabR12\work. U kreiranju tog m-filea posluili smo se Matlabovom ugraenom funkcijom erf,

( ) dtexerfx

t =0

22

(Matlab integral rauna priblino, numerikom integracijom). Oito je

( )

+

=+

==

1

22

1

2

1

22

1

2

12

2

xerf

xerfdtex

x t

. Vrijednosti funkcije ( )x1 inverzne funkciji

( )x raunat emo koristei m-file fiinv.mkoji se takoer nalazi u folderu C:\matlabR12\work.Tako kreiramo jednorednu matricuteoretskih frekvencija ft naredbom: ft=round(N*(fi((gg-sv)/sd)-fi((dg-sv)/sd)))

Konano dobijemo: ft =2 8 23 47 75 91 85 61 34 14 5

36

Documents

PINM - Laboratorijske vježbe - 2008