1

################################################################################ Teoria pola. Wspczesne wprowadzenie. Pierre Ramond Physics Department. University of Florida Tytu oryginau : Field theory. A modern Primer Westview 1981 Tumaczenie wspomagane przekadem rosyjskim - Moskwa MIR 1984

********************************************************************************

Tumaczenie z rosyjskiego: R. Waligra Pierwsze tumaczenie 2012 Ostatnia modyfikacja : 2013-04-20 Tumaczenie caoci ksiki. /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Skrty i oznaczenia zastosowane w tumaczonym tekcie (wasne lub stosowane przez autora ). Przypisy wasne oznaczono symbolami (* ... *) MQ mechanika kwantowa MK mechanika klasyczna CP czasoprzestrze EM elektromagnetyczna, elektromagnetycznej itp. STW, OTW odpowiednio - szczeglna i oglna teoria wzgldnoci KTP kwantowa teoria pola ( ang. QFT ) KLTP klasyczna teoria pola Y-M teoria Yanga-Millsa QCD chromodynamika kwantowa GTU teoria wielkiej unifikacji FD funkcjona dziaania FCT feynmanowska caka po trajektoriach IUO, NIUO odpowiednio inercjalny i nieinercjalny ukad odniesienia rr rwnanie rniczkowe GP grupa Poincarego GL, PL odpowiednio grupa i przeksztacenie Lorentza

********************************************************************************

Wprowadzenie. Dowd renormalizowalnoci teorii Y-M, podany przez tHoofta pocign za sob bujny rozwj metod i zastosowa KTP. Jednake w ostatnich latach nie pojawio si duo podrcznikw zwizanych z tym tematem, zatem pocztkujcy w tej dziedzinie specjalista musi korzysta z prac oryginalnych lub prac przegldowych opisujcych wspomnian dziedzin. Obecnie istnieje oczywicie wiele piknych prac przegldowych, niestety czsto s one pisane nie z myl o pocztkujcych naukowcach, a o specjalistach. Przedstawione tutaj wykady zostay wygoszone w CIT ( kalifornijski instytut technologiczny ) w latach 1978-1980, jako kurs teorii pola dla aspirantw pierwszego roku. Ich celem byo proste wyoenie oblicze, w ktrych zastosowanie ma wspczesna teorii pola i ktre to wykorzystywane s przez specjalistw w omawianej dziedzinie. Z pedagogicznego punktu widzenia w chwili obecnej nie mona ju wyoy w cigu jednego roku nieperturbacyjnej teorii pola czasy jednorocznego wykadu, podstaw KTP odeszy do historii na zawsze. Dlatego, te przedstawiony konspekt wykadw przedstawia tylko wybrany krg zagadnie. Wspczesne wyoenie przedmiotu powinno skada si w skrajnym przypadku z trzech czci : z kursu pierwszego, na ktrym uwag skupi si na strukturze i metodach perturbacyjnych teorii pola. Ma on za zadanie zapozna z teori renormalizacji i obliczaniem diagramw Feynmana w teoriach z cechowaniem. Na drugim kursie przedstawia si zastosowanie teorii z cechowaniem oraz koncentruje si na obliczeniach teorii zaburze w QCD, modelu WeinbergaSalamaGlashowa i by moe na teoriach GTU. Na kursie trzecim wprowadza si techniki nieperturbacyjne. Przedstawione czytelnikowi wykady odnosz si do czci pierwszej. Na pocztku przedstawiamy w nich, na poziomie elementarnym KLTP, przy czym szczegowo rozpatrujemy grup Lorentza, reprezentacje Diraca i Majorany, supersymetri, nastpnie opisujemy metody regularyzacji, teori renormalizacji oraz inne formalne strony omawianego przedmiotu. Cay materia wprowadzamy w postaci oblicze, nie podajemy dowodu renormalizowalnoci, podpowiadamy jedynie, dlaczego wasno ta jest prawdopodobna.

2

Szczeglnie dokadnie rozpatrujemy renormalizacje teorii 4, a o renormalizowalnoci teorii z cechowaniem tylko wspominamy. Przejcie od KLTP do KTP opisano z pomoc feynmanowskiej caki po trajektoriach, co jest szczeglnie dogodne z punktu widzenia zagadnie perturbacyjnych i nieperturbacyjnych. Ponadto dla najprostszych teorii opisano technik obliczania wyznacznikw funkcjonalnych, opart na -funkcjach. Cay materia przedstawiono na tyle szczegowo, aby czytelnik mg przeledzi kady krok wykadu.

Jednake zmuszeni bylimy opuci cay szereg wanych i istotnych zagadnie teoretycznych takich jak, np. podczerwona struktura nienaruszonych teorii z cechowaniem i oblicze w takich teoriach z naruszeniem symetrii. Mamy jednak nadziej, e nasze wykady mog suy jako wprowadzenie w obliczenia perturbacyjne w teoriach z cechowaniem. Na kocu kadego paragrafu umieszczono zadania, przy czym stopie ich trudnoci zaznaczono dodajc gwiazdki. Aby wskaza drog dalszego zgbiania omawianych zagadnie na zakoczenie podajemy spis literatury.

(* w dalszej kolejnoci autor skada tradycyjne podzikowania *)

Passadena, lato 1980 P. Ramond

*************************************************************************************************

Rozdzia 1. Jak zbudowa funkcjona dziaania ?

1. Podstawowe wiadomoci. Jest bardzo przyjemnym i uytecznym przyj do wiadomoci fakt, e wszystkie podstawowe prawa fizyki klasycznej mona wyprowadzi z jednej, jedynej konstrukcji matematycznej nazwanej dziaaniem. Z niej wanie wynikaj klasyczne rwnania ruchu, a analiza warunkw, inwariantnoci dziaania pozwala znale wielkoci zachowane przy ruchu klasycznym. Na dodatek, jak pokazali Dirac i Feynman, rola pojcia dziaania w sposb peny ujawnia si w fizyce kwantowej. Dziki temu zapewniony zostaje jasny i elegancki jzyk uyteczny w opisie przejcia od fizyki klasycznej do kwantowej, jzykiem tym jest feynmanowska caka po trajektoriach (FCT ) (* ang. Feynman path integral (FPT) *). Zatem, nasz cel jest jasny : na pocztku nauczymy si budowa odpowiednie dla naszych celw funkcjonay dziaania (FD), a nastpnie wyprowadzimy kwantowe wasnoci ukadu, opisanego zadanym FD, obliczajc zwizan z nim FCT.

Na pocztku zbadamy FD dla elementarnego ukadu czstki punktowej, ktrej wektor pooenia w chwili t jest dany przez funkcje xi(t ) ( i = 1, 2, 3 ) i ktra porusza si w potencjale niezalenym od czasu V(xi ). Odpowiedni FD dany jest przez wyraenie : t1

S( [xi ] ; t1 , t2 ) dt [ m (dxi /dt ) (dxi /dt ) V(xi ) ] (1.1) t2 Jest on funkcj chwili pocztkowej i kocowej t1, t2 i funkcjonaem od trajektorii xi(t ) przy t1< t < t2 ( wzgldem powtarzajcych si indeksw aciskich prowadzimy sumowanie ) Wszystko to oznacza, e zadanej trajektorii xi(t ) przyporzdkowujemy pewn liczb, nazywan funkcjonaem ( w danym przypadku S ). Argument funkcjonau bdziemy obejmowa nawiasem kwadratowym [ ... ]. Przykadowo, dugo trajektorii jest funkcjonaem trajektorii.

Zobaczmy teraz jak zmienia si S przy maej deformacji trajektorii : xi(t ) xi(t ) + xi(t ) (1.2) Mamy : t2

S[ xi + xi ] = dt [ m d(xi xi )/dt d(xi + xi )/dt V(xi + xi ) ] (1.3) t1

Zaniedbujc czony O(x)2 moemy zapisa : d(xi xi )/dt d(xi + xi )/dt =(dxi /dt ) (dxi /dt ) 2 (d2xi /dt2 ) xi + 2d/dt (xi dxi /dt ) (1.4) V(xi + xi ) V(xi ) + xi iV (1.5) Gdzie : i /xi Zatem :

3

t2

S[ xi + xi ] S[ xi ] + dt xi [ iV m (d2xi /dt2 ) ] + m dt d/dt [ xi ( dxi/dt ) ] (1.6) t1 Ostatnia skadowa jest czonem powierzchniowym. (* surface term *) Moemy si jej pozby, jeli ograniczymy si do wariacji trajektorii zerujcych si w punktach kocowych : xi (t1) = xi( t2 ) = 0 Jeli przyjmiemy ten warunek, to z wymogu staoci dziaania S przy dowolnych xi wynikaj klasyczne rwnania ruchu danego ukadu. Symbolicznie zapiszemy to jako rwno zeru pochodnej funkcjonalnej, okrelonej przez zaleno : S[ xi + xi ] = S[ xi ] + dt xi S/xi + (1.7) Zatem, : S/xi = - [ m (d2xi /dt2 ) + iV ] = 0 (1.8) Zatem ustanowilimy odpowiednio wzajemn midzy rwnaniami ruchu I warunkiem ekstremalnoci dziaania S. Zauwamy jednake, e warunek ekstremalnoci dziaania S prowadzi do caej klasy moliwych trajektorii. Po jakiej z nich w istocie nastpuje ruch, zaley od warunkw brzegowych zadawanych jako wartoci pocztkowe wielkoci xi i dxi /dt .

Nastpnym i najwaniejszym faktem w przedstawionej metodzie jest zauwaenie, obecno odpowiednioci midzy symetriami dziaania S i istnieniem wielkoci zachowanych w procesie ruchu danego ukadu. Podamy przykad. Niech V(xi ) bdzie funkcj dugoci wektora xi tj. wielkoci r = (xi xi )1/2. Wtedy dziaanie S, bdzie inwariantne wzgldem obrotw trjwymiarowego wektora xi , poniewa zaley ono tylko od dugoci samego wektora, ktra przy obrotach nie zmienia si. Przy nieskoczenie maym, dowolnym obrocie mamy : xi = ij xj , ij = - ji ,, przy czym ij nie zaley od czasu (1.9) Poniewa dziaanie S jest inwariantne, to speniona jest rwno S = 0, jednake wczeniej widzielimy, e S skada si z dwch skadowych : pochodnej funkcjonalnej, rwnej zeru dla klasycznej trajektorii i czonu powierzchniowego. Jednake dla danej konkretnej wariacji nie moemy naoy na xi(t ) warunkw granicznych i dlatego inwariantno dziaania S jest rwnowana z rwnaniami ruchu i prowadzi do nastpujcej rwnoci : t2

S = dt d/dt [ m (dxi /dt ) xi ] = ij mxj(dxi /dt ) |t2 t1 (1.10) t1 Poniewa jest to suszne dla dowolnych ij , wielkoci : ij(t ) m [ xi (dxj /dt ) xj (dxi /dt ) ] (1.11) speniaj rwno : ij(t1 ) = ij(t2 ) (1.12) i dlatego zachowuj si one w procesie ruchu. Jak wiadomo, s to oczywicie skadowe momentu pdu. Infinitezymaln form prawa zachowania mona otrzyma, podstawiajc t2 t1.

Dowiedlimy, zatem, w jednym prostym przypadku znamienitego twierdzenia po raz pierwszy sformuowanego przez Emmy Noether, wicego inwariantno ( tutaj akurat wzgldem obrotw ) z prawami zachowania ( tutaj akurat momentu pdu ). Dokonajmy pewnego podsumowania : 1) klasyczne rwnania ruchu otrzymujemy z warunku ekstremalnoci dziaania S 2) warunki graniczne powinny by zadawane zewntrznie 3) symetrie dziaania S maj odpowiednio z wielkociami zachowujcymi si i dlatego odzwierciedlaj podstawowe symetrie ukadu fizycznego. Podany przykad odnosi si do MK. Mona go jednak uoglni na KLTP, np. elektrodynamik maxwellowsk lub OTW Einsteina. Dziaanie jest jedynie pewn konstrukcj matematyczn , a liczba konstrukcji takiego rodzaju jest w zasadzie nieograniczona. Jednake dziaanie powinno opisywa wiat fizyczny, ktry jak zakadamy zbudowany jest w cakowicie okrelony sposb. Zatem, pord wielu moliwych powinien istnie, tej jeden szczeglny FD, ktry prawidowo opisuje to, co zachodzi w rzeczywistoci. Pojawia si wobec tego pytanie jak odrni taki szczeglny FD od innych ? Odpowied podpowiada nam twierdzenie Noether, wskazujcy na zwizek midzy symetriami danego ukadu, a symetriami FD, ktrym go opisujemy. Dobrze s nam znane symetrie w rodzaju tych, ktre wynikaj z STW i ze wszystkich moliwych dziaa powinnimy wybra tylko te, ktre odzwierciedlaj te symetrie. Inne symetrie, w rodzaju np. zachowania adunku elektrycznego,

4

jeszcze bardziej ograniczaj posta szukanego FD. Mamy podstaw zakada, e natura preferuje okrelone typy dziaa, mianowicie te, ktre posiadaj wszelkie inwariantnoci zmieniajcymi si od punktu do punktu. Inwariantnoci tego rodzaju prowadz do teorii z cechowaniem, o ktrych bdziemy jeszcze mwili. Pki, co teraz nauczymy si budowa FD dla ukadw, speniajcych prawa STW. Formaln wasnoci takich ukadw jest inwariantno wzgldem przeksztace nalecych do niejednorodnej grupy Lorentza, lub inaczej grupy Poincarego. Do omwienia tej grupy przejdziemy w nastpnym paragrafie.

Zadania. Uwagi. 1) zadania ukazane s w porzdku wzrostu ich trudnoci. 2) rozwizujcie zadania wykorzystujc FD, nawet, jeli znacie bardziej elementarne sposoby ich rozwiza.

A. 1) Dowie, e przy ruchu, opisywanym dziaaniem : S = dt mx2 , x dx/dt pd jest zachowany. 2) Zakadajc, e V(x1) = v [ 1 cos(r/a )], znale wyraenie dla prdkoci zmiany pdu.

B. Wyprowadzi wyraenie dla prdkoci zmiany ktowego momentu pdu (* angular momentum *) czstki punktowej, poruszajcej si w dowolnym potencjale.

C* Znale inwariantnoci FD w przypadku czstki punktowej, poruszajcej si w potencjale V = - a/r Podpowied. Orbity newtonowskie nie doznaj precesji, co prowadzi do nietrywialne wielkoci zachowanej wektora Rungego-Lenza.

D* Przyjmujc FD jako inwariantny wzgldem jednorodnych translacji w czasie, wyprowadzi wyraenie dla zwizanej z nim wielkoci. Jako przykad wzi czstk punktow, poruszajc si w potencjale niezalenym od czasu. Co si stanie, jeli potencja bdzie zalea od czasu ?

2. Grupa Lorentza ( przegld zagadnienia). W STW postuluje si, e prdko wiata jest jednakowa we wszystkich IUO. Oznacza to, e jeli xi s wsprzdnymi sygnau wietlnego w chwili t, w jednym IUO i sygna ten jest rejestrowany w punkcie xi w chwili t w drugim IUO, to powinna by speniona rwno : s2 c2t2 xixi = c2t2 xixi (2.1) Zbir przeksztace liniowych, wicych ( xi, t ) z ( xi , t ) i zachowujcy wyraenie (2.1), tworzy grup, nazywan grup Lorentza ( zobacz zadanie ). W dalszej kolejnoci wybierzemy taki ukad jednostek, w ktrym c = 1 i wprowadzimy nastpujce oznaczenia : x , = 0, 1, 2, 3 , gdzie x0 = t ( x1, x2, x3 ) = ( xi ) = x tj. x = ( x0, xi ) = ( t, x ) , i = 1, 2, 3 W takich zwartych oznaczeniach wielko s2 mona zapisa nastpujco : s2 = x0x0 xixi xx g (2.2) gdzie tensor metryczny g = g jest rwny zeru we wszystkich przypadkach, oprcz przypadku = , przy czym : g00 = -g11 = -g22 = -g33 = 1 Jeli nie zapisano inaczej, to wzgldem powtarzajcych si indeksw prowadzimy sumowanie. Teraz rwnanie (2.1) przyjmuje posta : gxx = gxx (2.3)

Rozpatrzmy dalej zbir przeksztace liniowych o postaci : x = x = 0 x0 + i xi (2.4) zachowujcych s2. Zachowanie s2 wymusza, ze wielkoci powinny spenia warunek : gxx = g xx = gxx (2.5) Poniewa zaleno (2.5) powinna by speniona przy dowolnym x mamy : g = g (2.6) W wielu zastosowaniach dogodne s oznaczenia macierzowe. x bdziemy rozpatrywali jako wektor kolumnowy i oznacza jako x , a g jako macierz oznaczan jako g, wtedy : s2 = xTgx (2.7)

5

x = Lx (2.8) gdzie : L jest macierz rwnowan wspczynnikom macierzy , przez indeks T oznaczono transponowanie macierzy. Aby macierze L byy macierzami przeksztacenia Lorentza (PL) powinny one spenia zaleno : g = LTgL (2.9) Zbadamy teraz rwnanie (2.9). Po pierwsze, obliczymy wyznacznik obu jego stron : det g = det LT det g det L (2.10) skd moemy wnioskowa, e : det L = 1 (2.11) Przypadek det L = 1 (-1) odpowiada waciwym ( niewaciwym ) PL (* proper, improper *) Przykadowo PL, zadawane macierz liczbow L = g s niewaciwe, fizycznie takim przeksztaceniom odpowiada zamiana : x0 x0 , xi -xi tj. odbicia przestrzenne. Po drugie, wypiszemy skadowe rwnania (2.6) z indeksami 00 : 1 = 0 g 0 = ( 00 )2 ( i0 )2 (2.12) skd wynika, e : | 00 | 1 (2.13) Jeli 00 1, to PL nazywa si ortochronicznym, a 00 -1 odpowiada nieortochronicznym PL. Zatem, wszystkie PL moemy podzieli na cztery kategorie ( zobacz zadanie ) : 1) waciwe ortochroniczne ( zwane ograniczonymi ) (L+ ), det L = +1 , 00 1 2) waciwe nieortochroniczne ( L+ ), det L = +1 , 00 - 1 ; 3) niewaciwe ortochroniczne ( L

-

), det L = -1 , 00 1 4) niewaciwe nieortochroniczne ( L

-

), det L = -1 , 00 - 1

Podamy teraz kilka przykadw. 1) Obroty : x0 = x0 , xi = aijxj , gdzie aij macierz ortogonalna. Macierz L moemy zapisa w postaci blokowej : L = ( 1 0 ) (2.14) ( 0 a ) det L = det a Moliwe s przypadki det a = 1, odpowiadajce obrotom waciwym i niewaciwym, przy tym L odnosi si do L+ i L-

2) Pchnicia (* ang. boosts , std po polsku mwimy busty *) Przeksztacenia : x0 = x0cosh( ) x1sinh( ) x1 = -x0sinh( ) + x1cosh( ) (2.15) x2,3 = x2,3 opisuj pchnicie w kierunku osi 1. Wtedy w zapisie blokowym mamy :

det L cosh2( ) sinh2( ) = 1 , 00 = cosh( ) 1 Takie przeksztacenie naley do typu L+ . Zauwamy, e przechodzc do nowej zmiennej v ( prdko ruchu ukadu odniesienia ), zwizanej z zalenoci : cosh( ) ( 1 v2 )-1/2 , sinh( ) = v( 1 v2 )-1/2 (2.19) otrzymujemy bardziej znan form zapisu omawianego przeksztacenia.

3. Odwrcenie czasu, okrelone jako przeksztacenie : x0 = -x0 , xi = xi Takie przeksztacenie ma det L = -1 i 00 = -1 i naley do kategorii L-

6

4. Cakowite odbicie, okrelone jako przeksztacenie : x = x ,

W tym przypadku det L = +1, 00 = 1 , przeksztacenie naley do kategorii L+ . Cakowite odbicie mona przedstawi jako iloczyn odbicia przestrzennego i czasowego.

Dowolne PL mona przedstawi w postaci iloczynu powyszych czterech przeksztace ( zobacz zadanie ). Moemy zatem, ograniczy si do badania obrotw i pchni. Poniewa moliwe s trzy obroty i trzy pchnicia, po jednym z kierunkw przestrzennych, PL charakteryzowane jest poprzez sze parametrw. Zajmiemy si teraz zbudowaniem odpowiadajcych im szeciu generatorw.

Rozpatrzmy nieskoczenie mae PL : = + (2.20) gdzie : symbol Kroneckera, rwny zeru przy i jeden w pozostaych przypadkach. Podstawienie wyraenia (2.20) do rwnania (2.6) daje z dokadnoci do O() : 0 = g + g (2.21) W celu opuszczenia indeksu wykorzystamy tensor metryczny, przykadowo : x g x = ( x0 x ) (2.22) Wtedy rwnanie (2.21) przyjmuje posta : 0 = + (2.23) tj. tensor antysymetryczny z 4 3/2 = 6 ( tak jak oczekiwalimy ) niezalenymi skadowymi. Wprowadzimy nastpujce generatory hermitowskie : L = i( x x ) (2.24) gdzie : /x = ( /t , ) (2.25) Wtedy mona napisa : x = i L x = x (2.26) atwo zauway, e generatory L tworz algebr Liego : [ L , L ] = i gL - i gL - i gL + i gL (2.27) ktr mona utosami z algebr Liego grupy SO(3, 1). Najoglniejsza reprezentacja generatorw SO(3, 1), speniajcych zalenoci komutacyjne (2.27) ma posta : M i(x x ) + S (2.28) Gdzie : S s operatorami hermitowskimi, ktre tworz t sam algebr Liego co operatory L i ktre komutuj z nimi. Generatory hermitowskie Mij, gdzie i, j = 1, 2, 3 same tworz algebr : [ Mij , Mk ] = i jkMi + i ikMj + i jMik i iMjk (2.29) odpowiadajc grupie obrotw SU(2). Jeli wprowadzimy nowe operatory : Ji ijkMjk (2.30) Gdzie : ijk symbol Leviego-Civity, cakowicie antysymetryczny wzgldem wszystkich swoich indeksw, 123 = +1 to otrzymamy bardziej znane wyraenia. Mamy wtedy : [ Ji , Jj ] = i ijk Jk (2.31) Wprowadzimy teraz generatory pchni : Ki M0i (2.32) Z algebry Liego wynika, e : [ Ki , Kj ] = -i ijk Jk (2.33) [ Ji , Kj ] = i ijk Kk (2.34) Generatory K i J s operatorami hermitowskimi, jednake K s operatorami niezwartymi (* non -compacts generator *) Zalenoci komutacyjne mona rozczepi poprzez wprowadzenie nowych ich kombinacji liniowych : Ni ( Ji + iKi ) (2.35) Chocia s one niehermitowskie , tj. Ni Ni maj t dogodn wasno, e spenione s dla nich proste zalenoci komutacyjne :

7

[ Ni , Nj ] = 0 (2.36) [ Ni , Nj ] = -i ijk Nk (2.37) [ Ni , Nj] = -i ijk Nk (2.38) Oznacza to, e zarwno Ni jak i Ni tworz algebr Liego grupy SU(2). Dlatego, mona wykorzysta dobrze znan teori reprezentacji tej grupy. Z dobrze znanych wynikw tej teorii dla ( spinowej ) grupy SU(2) wynika, w szczeglnoci, e w danym przypadku istniej dwa operatory Casimira ( tj. operatory, ktre komutuj ze wszystkimi generatorami ) : Ni Ni o wartociach wasnych n(n + 1 ) NiNi o wartociach wasnych m(m + 1 ) gdzie : m, n = 0, , 1, 3/2 , ...

Otrzymane reprezentacje oznaczane s poprzez par liczb (n, m ), a stany wewntrz reprezentacji rozrniane s dodatkowo ze wzgldu na wartoci wasne operatorw N3 i N3. Zauwamy, e dwie grupy SU(2) nie s niezalene, poniewa mona je zamienia miejscami, przeprowadzajc operacje zmiany parzystoci P, w wyniku, ktrej otrzymujemy : Ji Ji , Ki Ki

oraz operacje sprzenia hermitowskiego, zmieniajcej znak jednostki urojonej, co powoduje przeksztacenie Ni w Ni.

W przypadku oglnym reprezentacje grupy Lorentza nie s stanami wasnymi, ani operatora parzystoci, ani operatora (sprzenia ) hermitowskiego. Poniewa Ji = Ni + Ni mona utosami spin reprezentacji z liczb m + n. Dla przykadu rozpatrzmy nastpujce reprezentacje : a) (0, 0 ) ; spin jest rwny zeru, skalarna reprezentacja o okrelonej parzystoci ( moe by skalarem lub pseudoskalarem ) b) ( , 0 ) ; spin rwny , lewy spinor ( definicja lewego i prawego spinora jest umowna ) c) (0, ) ; spin rwny , spinor prawy.

Spinory te maj po dwie skadowe ( spin do gry i spin na d ), nazywamy je spinorami Weyla. W przypadku, kiedy wymagane jest uwzgldnienie parzystoci, naley rozpatrywa kombinacje liniow (0, ) ( , 0 ), tworzc spinor Diraca. Istotne w tym jest to, e zadajc te dwie reprezentacje spinorowe, moemy poprzez ich mnoenie zbudowa dowoln inn reprezentacje. Jest to rwnowane zbudowaniu stanw z wyszymi spinami na drodze tworzenia ( kroneckerowskiego ) iloczynu wielu stanw ze spinem z grupy obrotw.

Podamy dwa przykady. a) Iloczyn ( , 0 ) (0, ) = ( , ) daje reprezentacje ze spinem 1 o czterech skadowych. W oznaczeniach tensorowych zapisywane byoby to jako 4-wektor. b) Iloczyn (, 0 ) (, 0 ) = ( 0 , 0 ) ( 1, 0 ). Skalarna reprezentacja zadana jest tutaj poprzez antysymetryczny iloczyn. Nowa reprezentacja (1, 0 ) opisywana jest przez antysymetryczny samodualny tensor drugiego rzdu, tj. przez tensor B , speniajcy warunki : B = B (2.39) B = B (2.40) Gdzie : symbol Leviego-Civity w czterech wymiarach, cakowicie antysymetryczny, przy czym 0123 = +1 Reprezentacja (0, 1) odpowiada tensorowi antysamodualnemu : B = - i B (2.41) Przykadowo, maxwellowski tensor natenia pola F przeksztaca si wzgldem grupy Lorentza jak ( 0, 1 ) ( 1, 0 ).

Na zakoczenie podkrelmy jeden wany moment. Zamy, e rozpatrujemy PL w tzw. przestrzeni Euklidesa, gdzie zmienna t zamieniona jest na wielko it ( 1t ). Wtedy zalenoci komutacyjne zostaj zachowane t tylko rnic, e g zamienia si na symbol delty Kroneckera W wyniku, czego dochodzimy do algebry Liego grupy SO(4), tj. grupy obrotw w czterech wymiarach. W takim przypadku rozczepienie na dwie komutujce grupy SU(2) osigane jest z pomoc kombinacji hermitowskich Ji Ki Takie dwie grupy SU(2) s cakowicie niezalene, poniewa nie mog by one przeksztacone w siebie poprzez sprzenie. Parzysto moe wiza te dwie grupy, jednak w przestrzeni Euklidesa, gdzie kierunki s rwnowane, jest to ju znacznie mniej interesujce.

8

Zadania. A. Pokacie, e PL speniaj aksjomaty grupy, tj. jeli L1 i L2 s dwoma PL, to rwnie ich iloczyn L1L2 jest PL ; istnieje przeksztacenie tosamociowe ; jeli L jest PL, to L-1 rwnie jest PL. B. Pokacie, e det L i znak wielkoci 00 s inwariantami przeksztacenia PL i z tego powodu mog by wykorzystane w celu klasyfikacji PL.

C. Pokacie, e jeli L jest ograniczonym PL ( det L = +1 , 00 > 1 ), to wszystkie PL mog by zapisane w postaci : L odbicie przestrzenne dla L

-

L odbicie czasu dla L-

L odbicie przestrzenne dla odbicie czasowe dla L+

D. Pokacie, e ograniczone przeksztacenie Lorentza mona jednoznacznie przedstawi w postaci iloczynu pchnicia i obrotu.

E*. Zadanie o przetasowaniu indeksw. Pokacie, e skadowe samodualnego antysymetrycznego tensora drugiego rzdu przeksztacaj si jeden przez drugi, tj. nieprzywiedlnie wzgldem grupy Lorentza.

3. Grupa Poincarego. Drug fundamentaln zasad jest inwariantno zachowania izolowanego ukadu fizycznego wzgldem jednorodnych translacji w przestrzeni i czasie. ( aby uwzgldni oddziaywania grawitacyjne, zasad t naley uoglni na dowolne translacje ). Takie przeksztacenie zapisujemy w postaci : x x = x + a (3.1) gdzie : a dowolny stay 4-wektor. Ogln grup inwariantnoci jest zatem 10-cio parametrowa grupa, nazywana grup Poincarego, dla ktrej : x x = x + a (3.2) Translacje (3.1) nie komutuj z PL. Rozwamy, bowiem dwa kolejne przeksztacenia grupy Poincarego (GP) z parametrami ( 1, a1 ) i ( 2, a2 ) : x 1 x + a1 2 1 x + 2 a1+ a2 (3.3) Widzimy, wic, e parametry translacji doznaj obrotu. Nie ma w tym niczego dziwnego, poniewa tak wanie by w przypadku 4-wektorw. Podobne zwizanie grupy translacji z grup, Lorentza nazywa si iloczynem normalnym. Tym niemniej, jak wynika z samej nazwy, przeksztacenia GP tworz grup ( zobacz zadanie A ). Aby otrzyma algebr generatorw tej grupy, zauwaymy, e zmiana wsprzdnych punktu wiata x przy nieskoczenie maej translacji moe by zapisana w postaci : x = iPx (3.4) iPx = (3.5) gdzie parametr.

Wielkoci : P = i (3.6) s to generatory hermitowskie. Oczywicie komutuj one ze sob : [ P , P ] = 0 (3.7) ale nie komutuj one z generatorami grupy Lorentza : [ M , P ] = igP + igP (3.8) Poprzez zalenoci komutacyjne (3.7) i (3.8) jak rwnie poprzez zalenoci komutacyjne dla M definiowana jest algebra Liego grupy Poincarego. Dugo PP wektora P jest oczywicie inwariantna wzgldem przeksztace Lorentza i dlatego na mocy wzoru (3.7) jest operatorem Casimira. Nie jest jednak oczywiste jak zbudowa drugi operator Casimira, jednake jak tylko, co zauwaylimy jak taki operator moe suy dugo dowolnego 4-wektora, komutujcego z generatorami P. Takim 4-wektorem jest 4-wektor Pauliego-Lubaskiego W : W = P M (3.9)

9

Z uwzgldnieniem wzorw (3.7) i (3.8) oraz faktem antysymetrii symbolu Levi-Civity otrzymujemy : [ W , P ] = 0 (3.10) a poniewa W przeksztaca si tak jak 4-wektor, otrzymujemy : [ M , W ] = -igW + igW (3.11) Dlatego te dugo WW danego wektora jest inwariantem Casimira. Najoglniejsze wyraenia dla dziesiciu generatorw grupy Poincarego s nastpujce : P = i M = i ( x x ) + S Tak, e : W = i S (3.12) Teoria reprezentacji GP zostaa opracowana przez Wignera. Jej reprezentacje dziel si na trzy klasy. 1. Warto wasna operatora PP m2 jest liczb dodatni i rzeczywist. Wtedy warto wasna operatora WW jest rwna m2s(s + 1), gdzie s spin s = 0, , 1, .... Takie reprezentacje indukowane s poprzez mas m i spin s. Stany wewntrz tej reprezentacji rozrniane s poprzez trzy skadowe spinu s3 = -s, -s + 1, ... , s 1 , jak rwnie poprzez cige wartoci Pi. Fizycznie taki stan odpowiada czstce o masie m i spinie s, trjwymiarowym pdem pi i rzutem spinu s3. Masywne czstki o spinie s maj 2s + 1 stopni swobody.

2. Warto wasna operatora PP jest rwna zeru, co odpowiada czstce o zerowej masie spoczynkowej. Przy tym warto wasna operatora WW jest rwnie rwna zero, a poniewa PW = 0 to operatory W i P s proporcjonalne. Wspczynnik proporcjonalnoci nazywa si skrtnoci i jest on rwny s, gdzie s = 0, , 1, 3/2 , ... jest spinem reprezentacji. Zatem, czstki bezmasowe o spinie s 0 posiadaj dwa stopnie swobody. Dodatkowo s one rozrniane poprzez trzy wartoci ich pdu wzdu osi x, y, z. Przykadem czstek, podpadajcych pod t kategorie jest foton o spinie 1 i dwoma stanami o skrtnoci 1 (* jest to oczywicie polaryzacja *) neutrino o skrtnoci i grawiton o dwch stanach polaryzacyjnych 2.

3. PP = 0, ale spin przyjmuje wartoci cige. Dugo wektora W jest rwna minus kwadratowi pewnej liczby dodatniej. Taki tym reprezentacji opisuje czstki o zerowej masie spoczynkowej i o nieskoczonej liczbie stanw polaryzacji, indukowanych przez zmienn cig. Jak si wydaje takie reprezentacje nie s realizowane w przyrodzie.

Jeli chodzi o szczegy, to odsyam czytelnika do artykuu : V. Bargman , E. P. Wigner [1]. Istniej rwnie reprezentacje tachionowe o PP < 0, ktrych nie bdziemy rozpatrywali.

Istniej rwnie i inne reprezentacje GP, ale s one nie unitarne. MQ dopuszcza utosamienie ze stanami czstek tylko reprezentacji unitarnych. Reprezentacje wignerowskie s nieskoczenie wymiarowe, co odpowiada czstkom o nieograniczonych pdach. Uytecznie jest porwna ten przypadek z przypadkiem, jaki otrzymalimy dla grupy Lorentza, gdzie mwilimy o skoczenie wymiarowych, ale nie unitarnych reprezentacjach. Wprowadzajc pojcie pola bdziemy mogli wykorzysta takie reprezentacje.

Zadania. A. Pokacie, e przeksztacenia (3.2) tworz grup. B. Pokacie, e jeli PP = m2 > 0 , to warto wasna operatora WW jest rwna tak jak to zapisalimy m2s(s + 1). B*. Znajdcie reprezentacje generatorw GP na powierzchni przestrzennopodobnej x0 = 0 w przypadku, kiedy m2 = 0 i s = 0. Podpowied. Podstawiajc x0 = 0 naley wyrazi wielko sprzon P0 poprzez pozostae zmienne. W tym celu wykorzystajcie operator Casimira. Nastpnie wyracie wszystkie generatory GP poprzez xi ,Pi oraz m2. [ Zobacz rwnie artyku [2] ] C. Rozwicie poprzednie zadanie dla przypadku powierzchni przestrzennopodobnej x3 = 0. D**. Rozwicie zadanie C dla przypadku s 0, m2 > 0.

10

(* Dodatek 1.1 Algebra grupy Poincarego- przegld zagadnienia. Zobacz dodatki do ksiki : P. West Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji

Grupa przeksztace czasoprzestrzeni. Oglne przeksztacenie dziaajce w przestrzeni Minkowskiego ma, jak wiemy posta : X = X + B (D3.1.1) Gdzie : ( 00 , 01 , 02 , 03 ) - macierz 4 4 obrotw i odbi przestrzennych oraz pchni lorentzowskich (10 , 11 , 12 , 13 ) = ( 20 , 21 , 22 , 23 ) (30 , 31 , 32 , 33 ) det

= 1 W szczeglnoci moemy zapisa nastpujce macierze : ( 1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia przestrzennego ( 0, -1, 0, 0 ) P = ( 0, 0, -1, 0 ) ( 0 , 0, 0, 0 )

( -1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia odwrcenia czasu ( 0, 1, 0, 0 ) T = ( 0, 0, 1, 0 ) ( 0 , 0, 0, 1 ) B = ( B0 ) - macierz kolumnowa translacji czasoprzestrzennych ( B1 ) ( B2 ) ( B3 ) jest znan ju macierz Lorentza L. Macierz ta jest macierz ortogonaln, zatem : ( macierz odpowiada za obroty czasoprzestrzenne i odbicia , macierz wyrazw wolnych B odpowiada za translacje przesunicia czasoprzestrzenne ) LT L = ; = diag ( 1, -1, -1, -1 ) (D3.1.2) Wzr (D3.1.1) okrela ogln posta transformacji przestrzeni M. Transformacj o tej postaci nazywa si : Transformacj Poincarego. Jednorodne przeksztacenia Poincarego tj. przeksztacenia o postaci : X = X (D3.1.3) Nazywamy oglnymi przeksztaceniami Lorentza. Zbir wszystkich transformacji Poincarego tworzy grup ( grupa transformacji Poincarego ), zbir wszystkich jednorodnych transformacji Poincarego rwnie tworzy grup ( podgrup grupy Poincarego nazywamy j grup Lorentza ).

( 1, 0 , 0 , 0 ) ( 0 , ) = ( 0 , R ) - przykad macierzy czystych obrotw. ( 0 , ) gdzie macierz R moe mie posta : R = Rx() = ( 1 0 0 ) ( 0 cos() sin() ) ( 0 -sin() cos() ) lub R = Ry() = ( cos() 0 -sin() ) ( 0 1 0 ) ( sin() 0 cos() ) lub R = Rz() = ( cos() sin() 0 ) ( -sin() cos() 0 ) ( 0 0 1 )

11

( , - , 0 , 0 ) ( - , , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - przykadowa macierz pchnicia w kierunku osi Ox ( 0 , 0 , 0 , 1 )

( , 0, - , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 0 ) = ( - , 0 , , 0 ) - przykadowa macierz pchnicia w kierunku osi Oy ( 0 , 0 , 0 , 1 )

( , 0, 0 , - ) ( 0 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - przykadowa macierz pchnicia w kierunku osi Oz ( - ,0 , 0 , )

Moemy rwnie wykorzysta macierze obrotw hiperbolicznych ( = tgh() ) : ( cosh () , 0 , 0 , - sinh () ) = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 , 0 ) ( -sinh (), 0 , 0 , cosh () ) lub ( cosh () , sinh (), 0, 0 ) = ( -sinh (), cosh (), 0, 0 ) ( 0 , 1 , 1, 0 ) ( 0 , 0 , 0, 1 )

Zbir oglnych transformacji Lorentza, dla ktrych det L = +1 nazywa si zbiorem dodatnich transformacji Lorentza Zbir te oznaczamy nastpujco : L+(M) ( zbir ten tworzy grup ) Transformacje nalece do tego zbioru zachowuj orientacje czterowektorw. Zbir oglnych transformacji Lorentza, dla ktrych det L = -1 nazywa si zbiorem ujemnych transformacji Lorentza Zbir te oznaczamy nastpujco : L

-

(M) ( zbir ten nie tworzy grupy ) Transformacje nalece do tego zbioru nie zachowuj orientacji czterowektorw ( zawieraj odbicia czasoprzestrzenne ). Oczywicie mamy : L(M) = L+(M) L-(M) Mona pokaza, e dla wszystkich transformacji Lorentza speniony jest warunek : | 00 | 1 W zalenoci od znaku elementu 00 , zbir L(M) moemy podzieli na dwa podzbiory : Jeli : 00 + 1 mwimy o zbiorze ortochronicznych transformacji Lorentza, ktry oznaczamy : L (M) Jeli : 00 - 1 mwimy o zbiorze antychronicznych transformacji Lorentza, ktry oznaczamy : L (M) Pod wpywem transformacji ortochronicznych znak wsprzdnej zerowej ( czasowej ) wektorw czasowych nie ulega zmianie tj. transformacje te zachowuj orientacje czasu przeprowadzaj wektory skierowane ku przyszoci ( czasowe i zerowe ) na wektory skierowane ku przyszoci ( czasowe i zerowe ) Grupa Lorentza jest, wic sum czterech skadowych : L+ = L+ L odpowiada : det = +1 , 00 + 1 ; ( dodatnia ortochroniczna ) L+ = L+ L odpowiada : det = +1 , 00 - 1 ; ( dodatnia antychroniczna ) L

-

= L-

L odpowiada : det = -1 , 00 + 1 ; ( ujemna ortochroniczna ) L

-

= L-

L odpowiada : det = -1 , 00 - 1 ; ( ujemna antychroniczna ) Jak wida, tylko przeksztacenie L+ zawiera w sobie przeksztacenie jednostkowe , nazywamy je przeksztaceniem waciwym Lorentza. Do tego zbioru przeksztace, jak atwo zauway, naley rwnie wprowadzone wczeniej szczeglne przeksztacenie Lorentza, do ktrego odnosz si rwnie zwyke trjwymiarowe ortogonalne obroty.

12

Zbiory przeksztace : L+ , L- , L- nie zawieraj przeksztacenia jednostkowego i stanowi przeksztacenia tzw. niewaciwe. Dowolny element kadego z tych zbiorw nie moe by w sposb cigy przeprowadzony w inny z tych zbiorw. Grupa Poincarego jest grup 10-cio parametrow. Grupa Lorentza jest grup 6-cio parametrow ( mamy 10 liniowo niezalenych rwna na 16 elementw macierzy L ). Grupa Lorentza jest szecioparametrow grup Liego, niezwart, poniewa nie ma transformacji odpowiadajcej granicznej wartoci prdkoci c.

Grupa Lorentza jest grup Liego, oznaczamy j standardowo jako O(1, 3) ( lub dla sygnatury ( +++-) jako O(3, 1) ) Grupa L+ jest grup Liego, oznaczamy j zazwyczaj jako SO(1, 3) ( lub, jeli stosujemy sygnatur ( +++ -) SO(3,1) ). Zatem dekompozycja grupy O(3, 1 ) jest nastpujca : O(3,1 ) = { SO(1, 3), P SO(1, 3), T SO(1, 3), P T SO(1, 3) } Grupa SO(3, 1) skada si z dwch niespjnych skadowych : SO(3,1 ) = { SO(1, 3), PT SO(1, 3) }

Mona pokaza, e zbir przeksztace Poincarego o macierzy ( , B ) tj. macierzy o postaci : ( 00 , 01 , 02 , 03 , 04 ) (10 , 11 , 12 , 13 , 14 ) = ( 20 , 21 , 22 , 23 , 24 ) (30 , 31 , 32 , 33 , 34 ) ( 0 0 0 0 1 ) rwnie tworzy grup. Symbolicznie przeksztacenia Poincarego oznacza si jako ( , ) ( oczywicie konkretne oznaczenie jest kwesti wyboru ). Iloczyn w grupie Poincarego okrelany jest za pomoc nastpujcej zalenoci : ( 1, 1 ) ( 2, 2 ) = ( 12 , 12 + 1 ) Element odwrotny do elementu ( , ) ma posta : ( , )-1 = ( -1 , -1 ) Elementem neutralnym jest przeksztacenie o postaci : ( 1, 0 )

Jak ju wiemy dla grup Liego wprowadza si pojecie generatora danej grupy G ( o skadowych gik() ) : Ij = ( gik /j )i = 0 (D3.1.4) Czsto wprowadza si rwnie (lub zamiast ) infinitezymalny operator hermitowski : Jk = i Ik i ( gik /j )i = 0 ; i jednostka urojona Dowolne przeksztacenie infinitezymalne moemy zapisa z uyciem takich generatorw : G() = 1 + Ij () lub G() = 1 + i Ij () ; nieskoczenie may parametr. Przeksztacenie skoczone o parametrze moemy zoy z nieskoczenie wielu nastpujcych po sobie transformacji infinitezymalnych o parametrze = /N , N : G() = lim ( 1 + i I(/N) )N = eiI N Jeeli grupa opisana jest wieloma niezalenymi parametrami r , to posiada ona tyle samo generatorw Ir , a skoczone przeksztacenie przyjmuje posta : G(r ) = ei r Ir Wielko : n

Xr (x /r ) | r = 0 /x (D3.1.5) =0 nazywamy operatorem infinitezymalnym danej grupy Liego zalenej od r parametrw. ( czsto nazywamy ja rwnie generatorem grupy G )

Operatory hermitowskie speniaj warunek : [ Jx , Jy ] = i xyz Jz ; gdzie xyz - symbol Leviego-Civity Symbol : [ , ] jest to komutator [ Jx , Jy ] Jx Jy Jy Jx ; oczywicie x, y, z = 1, 2, 3

13

Generatory pchni maj, zatem posta : S1= ( Rx()/ ) |=0 = ( 0 0 0 ) ( 0 0 -1 ) ( 0 1 0 )

S2= ( Ry()/ ) |=0 = ( 0 0 1 ) ( 0 0 0 ) (-1 0 0 )

S3= ( Rz()/ ) |=0 = ( 0 -1 0 ) ( 1 0 0 ) ( 0 0 0 ) Oczywicie, aby otrzyma operatory hermitowskie naley powysze macierze przemnoy przez i. Uwaga. Konkretny symbol dla oznaczenia powyszych komutatorw moe by inny np. Ji. Infinitezymalne obroty moemy zada nastpujco : Rx() = 1 + i Sx(), Rx() = ei Jx Ry() = 1 + i Sy(), Ry() = ei Jy Rz() = 1 + i Sz(), Rz() = ei Jz ( oczywicie Sx Jx ... ) Mamy nastpujce relacje komutacyjne : [ Jx , Jy ] = i Jz , [ Jy , Jz ] = i Jx , [ Jz , Jx ] = i Jy (D3.1.6) Zalenoci te z dokadnoci do czynnika pokrywaj si z reguami komutacyjnymi dla operatorw skadowych momentu pdu w mechanice kwantowej. A tak moemy uzyska z powrotem macierz Rz() korzystajc z jej generatora :

Generatory pchni maj posta : K1= ( x()/ ) |=0 = -i ( 0 1 0 0 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )

K2 = ( y()/ ) |=0 = -i ( 0 0 1 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )

K3 = ( z()/ ) |=0 = -i ( 0 0 0 1 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 )

Generatory Si s generatorami czystych obrotw, generatory Ki s generatorami pchni- boostw. Mona pokaza, e speniaj one nastpujce zalenoci : [ Ki , Kj ] = - ijk Sk (D3.1.7a,b,c) [ Si , Sj ] = ijk Sk [ Si , Kj ] = ijk Kk ( Uwaga. zamiast oznaczenia S spotka moemy oznaczenie I lub J )

14

Wraz z generatorami J, K wygodnie jest zdefiniowa operatory : Ai = ( Ji + iKi ) , Bk = ( Ji iKi ) , i = 1, 2, 3

Relacje komutacyjne przyjmuj teraz posta : [ Ai , Ak ] = i ikj Aj [ Bi , Bk ] = i ikj Bj [ Ai , Bk ] = 0

Oglnie moemy powiedzie, e badanie danej grupy mona sprowadzi do badania jej generatorw, a struktura danej grupy bdzie zbadana, jeli zbadamy relacje komutacyjne zachodzce midzy jej generatorami. Zamiast wyrae macierzowych J, K wielokrotnie dogodnie jest wprowadzi te wielkoci w postaci operatorw rniczkowych (infinitezymalnych) , typu (D3.1.5). Posta takich operatorw dla macierzy obrotw jest nastpujca ( zobacz rwnie wzr (D3.1.8) ) :

Jx = -i ( y /z z /y ) Jy = -i ( z /x x /z ) Jz = -i ( x /y y /x ) Operatory infinitezymalne pchni, maj posta : Kx = i ( t /x x /t ) Ky = i ( t /y y /t ) Kz = i ( t /z z /t ) ( relacje komutacyjne tych operatorw s takie same jak dla generatorw ) Z teorii grup wynika, e we wszystkich reprezentacjach danej grupy generatory speniaj te same relacje komutacyjne Rne reprezentacje numerowane s wartociami wasnymi niezmiennikw w danej grupie, utworzonymi z ich generatorw. Takie niezmienniki nazywa si operatorami Casimira. Najwaniejsz ich wasnoci jest komutowanie z kadym elementem grupy, z czego wynika, e musz one by proporcjonalne do jednoci grupowej. W przypadku grupy obrotw operatorem Casimira jest suma kwadratw generatorw, czyli operator kwadratu momentu pdu : I2 = I12 + I22 + I32 Wartoci wasne kwadratu momentu pdu, jak wiadomo z mechaniki kwantowej wynosz j( j + 1 ), gdzie j to liczba kwantowa, ktra moe przyjmowa wartoci , 1, 3/2, 2, .... Zatem, rne reprezentacje moemy numerowa dyskretn liczb j. Grupa obrotw posiada, wic nieskoczenie wiele unitarnych reprezentacji skoczenie wymiarowych. Operatorami infinitezymalnymi i hermitowskimi grupy obrotw, speniajcymi relacje (D3.1.6) s wielkoci : Xmn = - i (xm n xn m ) (D3.1.8)

Operatory infinitezymalne grupy Lorentza. W szczeglnoci operatorami inifinitezymalnymi grupy Lorentza s operatory o postaci : L = i (x x ) ; , = 0, 1, 2, 3 Z ktrych tylko 6 jest niezalenych : L01 , L02 , L03 , L12 , L23 , L31. Operatory te speniaj nastpujce relacje komutacyjne : [ L , L ] = i L - i L - i L + i L ( Uwaga. czsto zastpuje si elementy metryki Minkowskiego oglniejsz metryk Riemanna g ) L M = ( 0 K1 K2 K3 ) ( -K1 0 -J3 J2 ) ( -K2 J3 0 -J1 ) ( -K3 -J2 J1 0 ) lub: M0i = Ki , Mij = - ijk Jk

Z szeciu niezalenych generatorw M daje si skonstruowa dwa zestawy niezalenych operatorw Nk oraz N+k , k = 1, 2, 3. S one sprzone wzgldem siebie po hermitowsku i speniaj jednakowe warunki komutacyjne postaci [ Jx , Jy ] = i xyz Jz tj. : [ Nm , N+k ] = 0 [ Nm , Nk ] = i mkn Nn

15

[ N+m , N+k ] = i mkn N+k Zalenoci te definiuj algebr Liego grupy Lorentza.

Grupa Poincarego. W skad generatorw grupy Poincarego wchodzi 6 operatorw infinitezymalnych grupy Lorentza L , oraz dodatkowo 4 generatory translacji : P = -i Operatory te komutuj ze sob, tj. : [ P , P ] = 0 oraz speniaj zaleno : [ L , P ] = i P + i P Pena algebra grupy Poincarego ma, zatem posta : [ L , L ] = i L - i L - i L + i L [ L , P ] = i P + i P [ P , P ] = 0

Grupa Poincarego posiada dwa operatory Casimira ( operatory W2 i P2 komutuj z generatorami grupy Poincarego ) : C1 = P P

C2 = W W Gdzie : W = L P - wektor Pauliego-Lubaskiego Mona pokaza, e [10] : W P = 0 , [ W, P ] = 0 W2 = - M M P2 + M M P P [ L , W ] = i ( g W g W ) [ W , W ] = i W P *)

4. Zachowanie pl lokalnych pod dziaaniem grupy Poincarego. Rozpatrzmy dowoln funkcj punktu czasoprzestrzennego P. W jednym IUO, w ktrym to punktowi P odpowiadaj wsprzdne x bdzie to funkcja f(x ), w drugim IUO, gdzie punktowi P odpowiadaj wsprzdne x, bdzie to funkcja f (x ), co wynika z tego, ze zaleno funkcjonalna, oglnie mwic, zaley od wyboru ukadu odniesienia. Zmian funkcji przy nieskoczenie maym przeksztaceniu wsprzdnych zapiszemy w postaci : f = f (x ) f (x ) = f ( x + x ) f (x ) = f (x ) f(x ) + x f + O(x2 ) (4.1) Z dokadnoci do O(x ) mona zamieni wielko f na wielko f . Wtedy : f = 0f + x f (4.2) gdzie poprzez 0f oznaczylimy zmian funkcji w danym punkcie x : 0f = f (x ) f (x ) (4.3) Drugi czon we wzorze (4.2) nazywa si czonem przenoszcym (* transport term *). Rwno (4.2) mona formalnie zapisa jako zaleno operatorow : = 0 + x (4.4) Przy translacjach w CP pole lokalne nie zmienia si, tj. : f = 0 = 0f + f (4.5) lub : 0f = - f = -i Pf (4.6) gdzie : P operator okrelony wzorem (3.6). Przy przeksztaceniach Lorentza sytuacja jest bardziej zoona i dla jej wyjanienia rozpatrzymy kilka przykadw.

16

a) Pole skalarne. Zbudujmy pewn funkcj (x) wsprzdnych x , przyjmujcych jedn i t sam warto przy pomiarze w rnych IUO, zwizanych PL, tj. : (x ) = (x ) (4.7) Poprzez taki warunek definiujemy pewne pole skalarne ( wzgldem PL ). W przypadku przeksztacenia nieskoczenie maego, wykorzystujc wzory (4.7) i (4.2) znajdujemy, e : 0 = = 0 + x (4.8) gdzie x zadane s wzorem (2.26). Podstawiajc : 0 = - M (4.9) i porwnujc z (4.8) widzimy, e reprezentacje generatorw grupy Lorentza M w przypadku pola skalarnego wyraaj si prosto poprzez i( x x ). To oznacza, e wprowadzony wczeniej operator S , dziaajc na pole skalarne daje zero. W jaki sposb pojawia si nietrywialne S , moemy zobaczy rozpatrujc konstrukcje (x). Zauwamy, e wyraenie to jest skalarem ze wzgldu na translacje, tak jak i , co wynika z tego, e operator pochodnej nie zmienia si przy translacjach ( oczywicie, tylko przy jednorodnych translacjach ). Mamy zatem : = [ , ] + (4.10) Poniewa jest skalarem lorentzowskim, wielko x jest rwna zeru. Ze wzoru (4.4) widzimy, e : [ , ] = [ 0 , ] + [ x , ] (4.11) Operator 0 nie zmienia wielkoci x i dlatego komutuje z , jednake do x si to nie odnosi. Obliczenie ostatniego komutatora daje nam : [ , ] = (4.12) Zbierajc wszystkie otrzymane wyniki, znajdujemy, e : 0 = - i L i ( S ) (4.13) gdzie : ( S ) = i( gg gg ) (4.14) Jak atwo si przekona, znalezione operatory speniaj te same zalenoci komutacyjne, co generatory L. Porwnujc zaleno (4.13) z form kanoniczn : 0 ( cokolwiek ) = i M ( cokolwiek ) (4.15) otrzymujemy reprezentacje generatorw lorentzowskich dla pola . Pole, przeksztacajce si jak (x ) nazywa si polem wektorowym. Zauwamy, e rola czci spinowej M zawiera si w przestawieniu indeksw.

Pole tensorowe z wieloma indeksami lorentzowskimi bdzie si przeksztacao rwnie wedug prawa (4.13). Dziaanie operatora S na takie pole bdzie przedstawiao si jako suma wyrae typu (4.14), po jednym na kady indeks. Przykadowo, dziaanie operatora S na tensor drugiego rzdu B dane jest wzorem : ( S B ) = i( gB gB + gB gB ) (4.16) Teraz ju atwo zbudowa z pl skalarnych pewne inwarianty wzgldem grupy Poincarego. S to dowolne funkcje skalarne (x), takie, jak n , cos( (x) ) itp. ; (x), ( ) () itp. ( zobacz zadanie ) Jednake wielko x bdc lorentz -inwariantn nie jest poincare -inwariantna.

b) Pola spinorowe. Spinorowe reprezentacje GL ( , 0 ) i ( 0, ) realizowane s przez dwuskadnikowe zespolone spinory. Spinory takie oznaczymy jako L(x) i R(x). Dwuznaczne indeksy spinorowe nie s wypisane w postaci jawnej. [ W literaturze indeksy spinorowe L-typu oznaczane s kropk na grze, a indeksy R-typu bez kropki ]. Przeksztacenia spinorw zapiszemy w nastpujcej postaci : L(x) L(x ) = LL(x ) dla ( , 0 ) R(x) R(x ) = RR(x ) dla ( 0, ) gdzie : L, R macierze 2 2 o elementach zespolonych. W przypadku, kiedy przeksztacenie jest obrotem, jawna posta macierzy L, R jest znana ze spinorowych reprezentacji grupy SU(2) : L, R = e i (obrt ) (4.17)

17

i parametry obrotu, i macierze hermitowskie 2 2 macierze Pauliego : 1 = ( 0 1 ) , 2 = ( 0 i ) , 3 = ( 1 0 ) (4.18) ( 1 0 ) ( i 0 ) ( 0 1 ) Macierze te speniaj nastpujc zaleno : ij = ij + iijkk (4.19) Identyfikujc generatory obrotw Ji z i, moemy zapisa rwnie w podobnej 22-formie rwnie generatory pchni. Wiemy ju, e generatory Ki nie powinny by unitarne, poniewa rozczepienie na dwie SU(2)-grupy jest nieunitarne. Przedstawienie tych generatorw w postaci : K = - i (4.20) spenia wszystkie wymogi zalenoci komutacyjnych. Dlatego moemy zapisa : L = e ( i ) (4.21) gdzie : parametry pchnicia, zwizane z generatorami K.

Poniewa reprezentacje ( , 0 ) i ( 1, ) zwizane s midzy sob przeksztaceniem parzystoci, mona znajc L zbudowa R , zmieniajc znak parametrw pchnicia : R = e ( + i ) (4.22) Powysze wyraenia dla R, L daj moliwo wyprowadzenia szeregu wanych wasnoci. Po pierwsze wida, e R i R zwizane s midzy sob poprzez zaleno :

R-1 = R (4.23) Po drugie, na mocy wasnoci macierzy Pauliego : 2i2 = (i )* (4.24) gdzie gwiazdk oznaczono sprzenie zespolone, moemy zapisa nastpujc zaleno : 2L2 = e- i*( + i ) R* (4.25) Po trzecie, z hermitowsko sprzonego rwnania (4.24) z uwzgldnieniem hermitowskoci macierzy Pauliego wynika, e LT = 2L-12 (4.26) skd : 2LT2L= 1 lub LT2L= 2 (4.27) Taka sama rwno jest suszna dla R. Wszystkie te zalenoci bd nam potrzebne przy budowie wyrae inwariantnych lorentzowsko, zawierajcych pola spinorowe. W charakterze pierwszego zastosowania, wykorzystamy sprzone rwnanie (4.25), pokaemy , e przy PL spenione s zalenoci : 2L* 2L* L* = 2L* 22 L* = R2L* (4.28) Wzr (4.28) pokazuje, e jeli zadany jest spinor L , przeksztaca si jak ( , 0 ), to mona zbudowa zwizany z nim spinor 2L* przeksztacajcy si jak ( 0, ). Dokadnie tak samo, jeli spinor R przeksztaca si jak ( 0, ), to spinor 2R* przeksztaca si jak ( , 0 ).

Wczeniej zauwaylimy, e mona zbudowa reprezentacje skalarn, biorc antysymetryczny iloczyn dwch reprezentacji ( , 0 ). Teraz moemy to pokaza to w sposb jawny. Niech L i L bd dwoma spinorami, przeksztacajcymi si wedug reprezentacji ( , 0). Jak wynika ze wzoru (4.27), przy PL : LT2L LTLT2L L = LT2L (4.29) Jest to wanie szukany skalar.

Z punktu widzenia teorii grup iloczyn skalarny pojawia si jako iloczyn antysymetryczny, dlatego biorc L = L powinnimy otrzyma wniosek, ze skalarny inwariant nie powinien istnie. W jawnej postaci znajdujemy, e : LT2L = ( L1 L2 ) ( 0 i ) ( L1 ) = - iL1L2 + iL2L1 (4.30) ( i 0 ) ( L2 ) wyraenie to zeruje si, jeli L1 i L2 s zwykymi liczbami. Jednake jeeli wemiemy w charakterze L1 i L2 liczby Grassmanna, antykomutujce ze sob, to taki inwariant skalarny bdzie mia niezerow warto.

18

W istocie, jak zobaczymy dalej, pola spinorowe mog by rozpatrywane jako klasyczne liczby Grassmanna. G-liczby ( jak bdziemy je oznaczali ) mona traktowa jak zwyke liczby z wyjtkiem tego, e wszystkie one antykomutuj. Jeli i - s G-liczbami , to : ( )* = ** Moemy rwnie wzi L= 2L* , wtedy inwariant przyjmie posta : i( 2 L* )T2L = -i RL (4.31) Ani jeden z takich inwariantw nie jest rzeczywisty. Zamieniajc L na R ( oraz na odwrt ), otrzymamy sprzone zespolenie inwarianty.

Z dwch spinorw moemy zbudowa rwnie reprezentacje, odpowiadajc 4-wektorowi. Najprostsz droga prowadzc do tego celu bdzie rozpoczcie od spinora L ~ ( , 0 ), poniewa mona z niego skonstruowa spinor ( 0, ), a nastpnie pomnoy te dwa spinory. Wiadomo, ze wielko LL jest inwariantna ze wzgldu na rotacje, ktre przedstawiane s poprzez operatory unitarne, dziaajce na spinory. Nie jest ona jednak inwariantna ze wzgldu na pchnicia, poniewa : LL Re L LL + L L + O(2 ) (4.32) Jednake dodatkowo pojawiajca si wielko przeksztaca si wedug zasady : Li L Re ie L = Li L + j L{ i , j }L + O(2 ) = Li L + jLL + O(2 ) (4.33) gdzie : { , } oznacza antykomutator. Zatem, pod dziaaniem pchni dwie wymienione wielkoci przeksztacaj si jedna w drug : LL = iLiL , LiL = iLL (4.34) ,a wzgldem obrotw wielko LiL zachowuje si jak 3-wektor. Porwnajmy zalenoci (4.34) z prawem przeksztacenia 4-wektora : V = V (4.35) gdzie : 0i = -vi s parametrami pchnicia. Wynika z tego, e wielko : iLL = i ( LL , LiL ) (4.36) jest 4-wektorem. Przez 0 oznaczamy macierz jednostkow 2 2. Rozpoczynajc od R I zmieniajc znak skadowych przestrzennych mona otrzyma inny 4-wektor : i R R i ( RR , RiR ) (4.37) Te dwa wektory s rzeczywiste, poniewa L i R s zmiennymi Grassmanna : ( LR )* = LTR* = - RL i ich suma ( rnica ), posiada dodatni ( ujemn ) parzysto.

Kady z tych 4-wektorw, w kombinacji z drugim takim wektorem, moe da inwariant lorentzowski. Jak ju widzielimy, najprostszym 4-wektorem jest operator pochodnej , ktry na dodatek jest jeszcze translacyjnie inwariantny. Poniewa operator ten moe dziaa na dowolne z pl, otrzymujemy nastpujce biliniowe wzgldem pl spinorowych inwarianty : R R , R R , L L , L L (4.38) Przyjmujemy, e operator pochodnej dziaa prawostronnie i tylko na najblisz sobie wielko.

Wskazane inwarianty lorentzowskie nie s rzeczywiste, mona jednake utworzy ich rzeczywiste kombinacje, np. : L L L L L L (4.39) oraz analogiczne wyraenie, w ktrym L zamieniono na R , a na . Jeli parzysto jest istotna, to naley poczy reprezentacje ( , 0 ) i ( 0, ). Poniewa nie mona przyrwnywa spinora L do spinora 2L* nie dochodzc do sprzecznoci lub do warunku L = 0, koniecznym jest zbudowanie czteroskadnikowego spinora (* czterospinora *) nazywanego spinorem Diraca : = ( L ) (4.40) ( R ) dla ktrego operacja inwersji przestrzennej jest dobrze okrelona :

19

P : P = ( R ) = ( 0 1 ) 0 (4.41) ( L ) ( 1 0 ) gdzie wprowadzono macierz 4 4 0. Z pomoc operatorw rzutowych : ( 1 5 ) (4.42) gdzie ( w formie 2 2 blokowej ) : 5 = ( 1 0 ) (4.43) ( 0 -1 ) mona zrzutowa spinor Diraca na lewy lub prawy spinor.

Wszystkie zbudowane wczeniej inwarianty mona wyrazi przez spinory Diraca. Przykadowo : RL + LR = 0 (4.44) gdzie : = 0 spinor diracowsko sprzony. (* sprzenie Pauliego *) Poniewa wielko (4.44) jest inwariantem lorentzowskim, to spinor przeksztaca si kontragradientnie wzgldem . Analogicznie : ( L L + R R ) = (4.45) gdzie wprowadzono macierz 4 4 : i = ( 0 -i ) (4.46) ( -i 0 ) Poniewa wielko (4.45) jest inwariantem lorentzowskim, indeks dla -macierzy jest istotnym indeksem 4-wektorowym. Jest jasne, e s to macierze Diraca w reprezentacji Weyla. Speniaj one zaleno : { , } = 2g (4.47) Macierz 5 zwizana jest z pozostaymi macierzami gamma poprzez wzr : 5 = i 0123 (4.48) Uwzgldniajc rwnowano spinorw L i 2R* ze wzgldu na przeksztacenia Lorentza, moemy zbudowa odpowiedni spinor Diraca : C ( 2R* ) (4.49) ( -2L* ) Zauwamy, e : ( C )C = (4.50) Spinor C nazywa si adunkowo sprzonym (* charge conjugate spinor *) Poniewa 2L* przeksztaca si tak samo jak R , to mona zbudowa specjalny typ czteroskadnikowego spinora, nazywany spinorem Majorany : M ( L ) (4.51) ( -2L* ) Jest on adunkowo sprzony.

Spinor Majorany, jest spinorem Weyla, zapisanym w formie czteroskadnikowej. Nad fizyczn interpretacj tego spinora zastanowimy si, kiedy zbudujemy z pl spinorowych FD. Teraz zauwaymy tylko, e spinor Majorany lub Weyla opisuje obiekty o dwukrotnie mniejszej liczbie stopni swobody ni spinor Diraca.

Jak zauwaylimy pod koniec paragrafu 2, w przestrzeni Euklidesa nie mona powiza ze sob dwch grup SU(2), tworzcych ( euklidesow ) GL. Teraz moemy pokaza dlaczego tak wanie jest. Kada z grup SU(2) realizuje si poprzez operatory unitarne i dlatego mamy wyraenia : L EL e( + ) (4.52) R ER e( ) (4.52) skd wida, e midzy EL i ER nie ma adnego zwizku. Zatem, w przestrzeni Euklidesa nie istniej spinory Majorany, co wynika z tego, e nie mona zwiza EL i ER. Jednake mamy swobod wyboru EL lub ER w oddzielnoci i moemy nawet utworzy spinor Diraca E , rozumiejc, oczywicie, e wprowadzona powyej operacja sprzenia adunkowego przestaje istnie.

20

c) Pole wektorowe. Pole wektorowe przeksztaca si zgodnie z reprezentacj ( , ). Widzielimy ju jak dziaa operator S na dowolne pole wektorowe A(x). Do tego moemy doda jeszcze, e istnieje druga reprezentacja pola wektorowego w postaci macierzy hermitowskiej 2 2 : A A = ( A0 + A3 A1 + iA2 ) (4.53) ( A1 iA2 A0 A3 ) PL okrelone s jako takie przeksztacenia przy ktrych zachowany jest warunek A = A i wielko det A pozostaje inwariantna. Mona rozway szereg inwariantw, takich jak np. A(x )A(x), A(x )A(x) , A(x )A(x) , A(x) itp. Poniewa dla zadanej reprezentacji okrelona jest parzysto, to moemy zdefiniowa zarwno pola wektorowej jak i pseudowektorowe.

d) Pole o spinie 3/2. Pole o spinie 3/2 moemy zdefiniowa na rne sposoby, w zalenoci od tego jaka rol powinna odgrywa parzysto. Jeden z moliwych sposobw polega na tym, aby utworzy iloczyny trzech reprezentacji ( , 0 ) : ( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 ) = ( 3/2 , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 ) (4.54) Iloczyn cakowicie symetryczny odpowiada spinowi 3/2 ( dwa przestawienia ( , 0 ) posiadaj mieszan symetri ). Zatem, pole o spinie 3/2 przedstawia si jako pole cakowicie symetryczne wzgldem przestawienia trzech jego indeksw spinorowych L-rodzaju. Wasnoci transformacyjne takiego pola otrzymujemy na drodze odpowiedniego uoglnienia dziaania operatora S na indeks L-rodzaju ( zobacz zadanie ). W tym przypadku stany wasne operatora parzystoci dane s przez kombinacje reprezentacji ( 3/2, 0 ) (0, 3/2 ). Jednake taka reprezentacja jest bardzo nieczytelna ze wzgldu na du ilo indeksw w symbolu pola. Bardziej dogodna reprezentacja pola o spinie 3/2 dana jest poprzez iloczyn wektora i spinora : ( , ) ( , 0 ) = ( 1, ) ( 0 , ) (4.55) Odpowiednia wielko polowa posiada 4-wektorowe i spinorowe indeksy. Stanem wasnym operatora parzystoci w tym przypadku bdzie czteroskadnikowe pole Rarity-Schwingera : = ( L ) (4.56) ( R ) ( opuszczono indeksy spinorowe ) Pole zapisane w taki sposb opisuje wszystkie stany, zawarte w iloczynie (4.55), razem z ich partnerami ze wzgldu na parzysto. Zatem, naley w sposb lorentz- inwariantny odrzuci zbdne skadowe ( , ) ( , 0 ), w tym celu nakadamy na pole dodatkowe warunki : L ) = R = 0 (4.57) lub, z wykorzystaniem macierzy Diraca : = 0 (4.58) Mona zbudowa te same typy kowariantw i inwariantw, co w przypadku spinorowym, z t tylko rnic, e teraz mamy jeszcze jeden indeks wektorowy. Przykadowymi inwariantami s : LT 2 L , RT 2 R , R L , ... (4.59) Wykorzystujc zbir wektorw : L L , R R (4.60) w kombinacji z operatorem utworzymy inwarianty o postaci : L L itd. (4.61) Rzeczywistym, skalarnym inwariantem jest kombinacja : ( L L R R ) = 5 (4.62) Obecno znaku minus, lub co na jedno wychodzi, macierzy 5 podyktowane jest przez wasnoci tensora ze wzgldu na przeksztacenie parzystoci. Na zakoczenie zauwaymy, e w przypadku pola o spinie na pola Rarity-Schwingera mona naoy warunki Majorany.

21

e) pole o spinie 2. Rwnie w tym przypadku istnieje wiele sposobw opisu pola o spinie 2 : ( 2, 0 ) , (0, 2) , ( 1, 1). Wybierzemy ten ostatni sposb. Taka reprezentacja wynika dla iloczynu : ( , ) ( , ) = [ (0, 0) ( 1, 1 ) ]S [ (0, 1) ( 1, 0 ) ]A (4.63) gdzie poprzez indeksy S, A oznaczono odpowiednio czci symetryczn i antysymetryczn. Zatem, pole o spinie 2 moe by opisane poprzez symetryczny tensor drugiego rzdu h. ladowi tego tensora odpowiada skadowa skalarna, ktr mona odrzuci, nakadajc warunek bezladowoci : g h (x) = 0 (4.64) Inwarianty moemy atwo zbudowa poprzez nasycenie (* saturating *) indeksw wektorowych i wykorzystanie operatora . Oto przykady : h h , h h , h h , ... (4.65) Takie pole tensorowe pojawia si w OTW, gdzie wykorzystuje si je dla opisu grawitonw.

Na zakoczenie tego paragrafu, zauwaymy jeszcze, e mona zbudowa wiele innych pl, posiadajcych okrelone wasnoci ze wzgldu na PL. Omwilimy dokadnie tylko te pola, ktre wykorzystywane s w opisie konkretnych zjawisk fizycznych. S to te pola, ktrym moemy przyporzdkowa czstki fundamentalne. I tak, spinorom Diraca przyporzdkowujemy naadowane fermiony ( elektron, mion, lepton , kwarki ), spinorom Weyla neutrina : elektronowe, mionowe i neutrino . Polom wektorowym przyporzdkowujemy foton, gluony ( noniki oddziaywania silnego ), bozony W ( noniki oddziaywania sabego ). Polu tensorowemu odpowiada grawiton ( nonik oddziaywania grawitacyjnego ).

Zadania A. Znajdcie w jawnej postaci wynik dziaania operatora S na L i R. B. Wyracie wynik dziaania operatora S na spinor Diraca poprzez macierze Diraca, tj. w postaci nie zalenej od reprezentacji. C. Zbudujcie jawne wyraenie dla pola, biliniowego ze wzgldu na spinory L i L i przeksztacajcego si zgodnie z reprezentacj (1, 0). Czy mona zbudowa takie pole tylko z pola L ?. D. Wykorzystujc macierze L i R znajdcie form, ktr przyjmuj PL dziaajce na macierz (4.53). E. Wychodzc z pl L(x) i A(x) zbudujcie w skrajnym przypadku dwa inwarianty, do ktrych wchodz oba te pola. F. Znajdcie reprezentacje macierzy Diraca, w ktrej skadowe spinora Majorany s rzeczywiste. ( Taka reprezentacja nazywa si reprezentacj Majorany ).

5. Oglne wasnoci dziaania. W poprzednich paragrafach zaznajomilimy si z tym w jaki sposb zbudowa wyraenie inwariantne wzgldem GP, skadajce si z pl, o okrelonych wasnociach transformacyjnych ze wzgldu na GP. Teraz moemy poczy takie inwarianty w wyraenia skadajce si na FD, ktry to z kolei moe suy jako podstawa mniej lub bardziej uytecznych w fizyce teorii. Wymaganie inwariantnoci wzgldem GP gwarantuje, e takie teorie bd automatycznie speniay zasady STW. Jednake zapoznajc si gbiej z takimi konstrukcjami, zobaczymy, e otrzymujemy bardzo wiele wariantw takich teorii, zatem jeden tylko warunek inwariantnoci wzgldem GP nie jest wystarczajcy, aby wyrni waciwe dziaanie, ktre opisywaoby wiat. Sprbujemy teraz zacieni krg naszych poszukiwa i wyliczymy pewne sztucznie nakadane warunki, ktre to jak wyjanimy dalej s wystarczajce na to, aby uzyska uyteczne teorie.

1) Wykorzystamy FD o postaci : 2

S d4x (5.1) 1 gdzie : 1 , 2 granice cakowania, Wielko : d4x = dt dx1dx2dx3 (5.2) jest miar cakowania w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Niekiedy, w zwizku z matematycznym formalizmem bdziemy zmieniali liczb wymiarw CP lub nawet, bdziemy rozpatrywali miar w przestrzeni Euklidesa, gdzie d4x zamieniamy na miar euklidesowa : d4x- = dx0-dx1-dx2-dx3- (5.3) przy czym : dx0- = ix0 , xi- = xi.

22

Wyraenie podcakowe nazywa si gstoci lagranjanu lub krcej lagranjanem (* oczywicie z matematycznego punktu widzenia gsto lagranjanu i lagranjan s to dwie rne wielkoci, jednake w teorii pola czsto zamiast o gstoci lagranjanu mwi si krtko- lagranjan *) Lagranjan jest funkcj tylko pl i ich pochodnych, przez co zapewniamy translacyjn inwariantno. Oprcz tego, zaley on od pl, branych tylko w jednym punkcie CP x, nastpstwem czego jest lokalny charakter teorii pola. Jest jasne, ze taki wybr jest najprostszym z moliwych, atwo wyobrazi sobie nielokaln teori pola, jednake jak zapewne czytelnik si domyla, bdzie ona znacznie bardziej zoona. Jednakowo nasza wiara w lokaln teori pola jest tak silna, ze przyjmujemy tak teori nawet dla opisu zjawisk nielokalnych !

2) Wymagamy, aby funkcjona S by rzeczywisty. Wymg ten jest cakowicie konieczny w celu uzyskania zadowalajcych KTP, w ktrych zachowane jest prawdopodobiestwo. Potencja zespolony w fizyce klasycznej oznacza znikanie tj. przeksztacenie materii w nico, jest zatem jasne, e taka wasno jest nieodpowiednia.

3) Wymagamy, aby z dziaania S wynikay klasyczne rwnania ruchu, zawierajce pochodne nie wysze od drugiego rzdu. W ukadach klasycznych, opisywanych przez rr wyszego rzdu, zazwyczaj wystpuj rozwizania nieprzyczynowe. Dobrze znanym przykadem takiego faktu jest rwnanie Lorentza- Diraca w elektrodynamice. Jest to rr trzeciego rzdu, uwzgldniajce reakcje promieniowania i cechujce si takimi nieprzyczynowymi zjawiskami, jak przyspieszenie czstek a do ich oddziaywania z wasnym promieniowaniem. Aby speni postawiony warunek, rozpatrujemy takie lagranjany , ktre zawieraj nie wicej ni dwa operatory . Na skutek tego klasyczne rwnania ruchu ( brane w kwadracie w przypadku pl spinorowych ) bd zawieray operator dziaajcy na pole o postaci . W przypadku, kiedy rwnanie ruchu przeksztacaj si w warunek na wartoci wasne tego operatora, mwimy, e mamy do czynienia ze swobodna teori pola, co wynika z tego, e operator moemy utosami z operatorem Casimira GP, a rwnania ruchu ograniczaj nasz wybr do reprezentacji, odpowiadajcych czstce ( swobodnej ).

4) Przyjmujemy, ze dziaanie S jest inwariantne wzgldem GP ( tak jak to ju mwilimy wczeniej ) 5) Mog wystpowa dodatkowe wymagania inwariantnoci dziaania S. Jak si okazao przy opracowywaniu teorii z cechowaniem, FD powinien by inwariantny wzgldem niestandardowych przeksztace, zawierajcych nowe stopnie swobody, podobne do adunku elektrycznego, adunku sabego, adunku kolorowego oraz innych adunkw, ktre by moe jeszcze zostan odkryte. Teorie z cechowaniem budujemy w oparci o FD inwariantne wzgldem lokalnych przeksztace ( tj. zalenych od x ), realizujcych takie wewntrzne stopnie swobody. Pniej omwimy dokadniej to zagadnienie.

W teorii klasycznej dziaanie ma w peni okrelony wymiar ML2 T-1momentu pdu lub, co rwnowane staej . W ukadzie naturalnym jednostek, w ktrym =1, dziaanie S jest bezwymiarowe. Zatem, gsto lagranjanu w czterech wymiarach ma naturaln jednostk L-4.

Rozpatrzmy dziaanie : 2

S( 1, 2 [ ] ) d4x ( , m ) (5.4) 1 gdzie: (x) dowolne lokalne pole lub dowolny zbir takich pl (mog to by pola skalarne, wektorowe lub spinorowe ; wszystkie indeksy dla takich pl opucilimy ) 1 i 2 s granicami obszaru cakowania. Zmiana dziaania S przy dowolnej zmianie o wielko jest nastpujca : 2

S = d4x = (5.5) 1 2

= d4x [ (/ ) + / ( ) ( ) ] (5.6) 1 Poniewa przy tej wariacji x si nie zmienia, mamy : ( ) = ( ) (5.7)

23

Wyraenie (5.6) mona przeksztaci do postaci : 2 2

S = d4x [ (/ ) (/ ( )] + d4x (/ ( ) (5.8) 1 1 Ostania skadowa jest czonem powierzchniowym, ktry mona przepisa w postaci caki powierzchniowej : d [ / ( ] (5.9) gdzie : powierzchnia graniczna, d element tej powierzchni.

Wymagamy teraz, aby wariacja bya rwna zeru na powierzchni . Z wymogu stacjonarnoci dziaania S przy dowolnej zmianie , rwnej zero na granicach wariacji, otrzymujemy rwnania Eulera : (/ ( ) / = 0 ktre przedstawia sob klasyczne rwnania pola dla ukadu opisywanego przez dziaanie S.

Wyraenie (5.10) mona rozpatrywa jako pochodna funkcjonaln dziaania S po . Jeszcze raz podkrelimy, e jest ona dobrze okrelona tylko dla takich wariacji, ktre zeruj si na granicy obszaru cakowania. Jako jedn z waniejszych wasnoci odrzucania czonu powierzchniowego zauwamy, e mona otrzyma te same rwnania ruchu, zadajc lagranjan w postaci : = + (5.11) o dowolnym .

Podobna zmiana lagranjanu prowadzi do zmiany S, cakowicie zalenej od wyboru warunkw brzegowych dla pl wchodzcych do ( taka swoboda nie wystpuje w przypadku rozwaania pola grawitacyjnego ) Przeksztacenie wice i w MK nazywa si przeksztaceniem kanonicznym. Zauwamy rwnie, e dodanie do lagranjanu wielkoci staej nie zmienia charakteru ukadu klasycznego, ale ma wpyw na zwizek danego ukadu z polem grawitacyjnym, poniewa taki dodatek generuje nieskoczon energi.

Zobaczmy teraz, jak zmienia si dziaanie w wyniku pki, co nie skonkretyzowanej jeszcze ( ale i nie dowolnej ) zmiany wsprzdnych x i pl . Zmianie wsprzdnych odpowiada zmiana miary cakowania, zadana wzorem Jakobiego : (d4x ) = d4x x (5.12) Std wynika, e : 2

S = d4x ( x + ) (5.13) 1 Z uwzgldnieniem wzoru (4.4) otrzymamy : = x + 0 = (5.13) = x + ( / ) 0 + (/ ( )0 (5.15) Poniewa 0 jest zmian tylko samej funkcji, to mamy : 0 =[ 0 , ] + 0 = (5.16) = 0 (5.17) Proste obliczenia prowadz do wyraenia : = x + [ (/) (/ ( ) ] 0 + [ (/ ( )0 ] (5.18) Wprowadzajc klasyczne rwnania ruchu, moemy zmian dziaania zapisa w postaci : 2

S = d4x { x + x + [ / ( )] 0 } = (5.19) 1 2

= d4x {x + [ / ( )] 0 } (5.20) 1

24

Wariacje 0 moemy wyrazi rwnie przez , piszc : 2

S = d4x { [ g [ / ( )] ] x + [ / ( )] } (5.21) 1 Wyrazimy teraz wariacje wsprzdnych i pl poprze parametry globalne ( tj. nie zalene od x ) : x = ( x/a ) a (5.22) = ( /a ) a (5.23) Indeks a numeruje tutaj parametry przeksztacenia. Zatem : 2

S = d4x { [ g [ / ( )] ] (x/a ) + [ / ( )] ( / a ) } a (5.24) 1 Jeli dziaanie jest inwariantne wzgldem przeksztace (5.22) i (5.23), to wynika z tego, e gsto prdu : ja { g [ / ( )] ] (x/a ) [ / ( )] ( / a ) (5.25) jest zachowana , tj. : ja = 0 (5.26) To rwnanie zachowania jest nastpstwem tego, ze wyraenie (5.24) jest suszne dla wszystkich a . Zatem, dowiedlimy dla KLTP twierdzenie Noether, wice rwnanie zachowania z inwariantnoci dziaania.

Jeli jednak dziaanie nie jest zachowane, to powysze rwnanie zachowania przestaje by suszne. Przykadowo przy a = 0 ma ono prost posta : ja = - / a (5.27)

Zamy teraz, e znalelimy zbir przeksztace (5.22) i (5.23), pozostawiajcych dziaanie inwariantne. Scakujmy obie strony rwnoci (5.26) w granicach nieskoczonych wzgldem kierunkw przestrzennych i granicy skoczonej w kierunku czasowym. Wtedy : T2 T2 T2

0 = dx0 d3x ja = dx0 /x0 d3x j0a + = dx0 d3x i j0a (5.28) T1 T1 - T1 Jeli granice przestrzenne wybrano w odpowiedni sposb, to ostatni czon zeruje si. W wyniku tego mamy :

0 = dx3 j0a ( T1, x ) dx3 j0a ( T2, x ) (5.29) -

Odpowiednio do tego, adunki okrelone poprzez wzr :

Qa(T ) dx3 j0a ( T, x ) (5.30)

nie s zalene od czasu, poniewa powysze rozwaania s suszne niezalenie od wybranych granic cakowania w czasie. Zatem : dQa/dt = 0 (5.31) Z warunku S = 0 udao si nam wyprowadzi istnienie adunkw zachowanych.

W przypadku, kiedy parametry przeksztace s bezwymiarowe, jak np. w przypadku PL i przeksztace wewntrznych ( ale nie translacji ), otrzymywane prdy zawsze maj wymiar L-D+1 w D wymiarach, tak wic okazuj si bezwymiarowe.

Zauwamy dalej, e prd zachowany jest okrelony niejednoznacznie mona do niego zawsze doda czterowymiarow dywergencje antysymetrycznego tensora ta. Wida to szczeglnie wyranie, jeli uwzgldnimy wzr (5.11). Oprcz tego, poniewa ja jest zachowany tylko po wykorzystaniu rwna ruchu, mamy swobod dodania do niego dowolnej wielkoci, zerujcej si na mocy rwna ruchu. Jest to istotne w szczeglnoci wtedy, gdy a jest indeksem lorentzowskim, jak rwnie w przypadku translacji, dla ktrych : x = ; x/a g ( a = ) (5.32) i w przypadku PL, dla ktrych :

25

x = x ; x/a ( g x g x ) (5.33)

W ostatnim przypadku parametr a zamienilimy na antysymetryczn par indeksw [].

Na zakoczenie zauwamy, ze przeksztacenie, pozostawiajce inwariantnym dziaanie S, moe zmienia lagranjan na dywergencje zupen, a to oznacza, ze operacji symetrii towarzyszy przeksztacenie kanoniczne. W teorii kwantowej, gdzie nie moemy ju polega na rwnaniach ruchu, stwierdzenie o zachowaniu prdu traci swoje znaczenie, ale zamienia si ono na odpowiednie zalenoci midzy funkcjami Greena, zwanymi tosamociami Warda.

Zadania. A. Pokacie, e przeksztacenia konforemne : x = ( 2x x g xx ) c gdzie : c jest pewnym nieskoczenie maym 4-wektorem, wraz ze zbiorem dylatacji x = x , gdzie : jest pewn nieskoczenie ma wielkoci, wraz z przeksztaceniami GP, tworz 15-parametryczn grup ( nazywa si ona grup konforemn ). Znajdcie generatory tej grupy oraz ich zalenoci komutacyjne.

B. Dylatacje i GP tworz razem tzw. grup Weyla. Przy dylatacji pole o wymiarze d przeksztaca si zgodnie z zasad : = d Zakadajc, ze dziaanie S jest inwariantne ze wzgldu na grup Weyla i zawiera pole , znajdcie prd zachowany, odpowiadajcy dylatacji.

6. Dziaanie dla pl skalarnych. Gsto lagranjanu, zawierajca tylko jedno pole skalarne (x), zapisuje si w najoglniejszej postaci jako : = (x) (x) V((x) ) (6.1) gdzie wspczynnik jest czysto umowny, V jest pewn funkcj skalarn.

Pierwsza skadowa nazywa si czonem kinetycznym, a druga potencjalnym. Czon kinetyczny posiada szersz ni czon potencjalny grup inwariantw jest on inwariantny wzgldem przesuni pola : + a, gdzie : a dowolna staa. Dlatego te w czterech wymiarach (x) posiada naturalny wymiar L-1 ( lub wymiar masy ). W teorii klasycznej forma funkcji V((x) ) nie jest niczym ograniczona. Najprostszym przykadem jest lagranjan o postaci : 0 = (x) (x) m22 (6.2) gdzie : m posiada wymiar masy. Takie dziaanie opisuje czstk swobodn o masie m ( jak to pokaemy pniej, wychodzc od caki po trajektoriach )

Zauwamy, e lagranjan 0 jest inwariantny rwnie wzgldem dyskretnego przeksztacenia symetrii : (x) - (x) (6.3) Bardziej zoonym przykadem jest lagranjan : = 0 (/4!)4 (6.4) opisujcy teori z samooddziaywaniem.

Zauwamy, e jest parametrem bezwymiarowym ( w czterech wymiarach ). Znak minus zapewnia dodatnio funkcji V ( dla dodatniego ). Takie dziaanie prowadzi akceptowalnej KTP. Innym przykadem jest lagranjan Sinus-Gordona (* Sine- Gordon lagrangian *) : = (x) (x) + (m4/ ) [ cos( /m) 1 ] (6.5) gdzie : jest bezwymiarow sta. Przy /m

26

Postpujc zgodnie z wskazwkami wyoonymi w poprzednim paragrafie, moemy zbudowa wielko zachowan.

1) Przy nieskoczenie maej translacji, dla ktrej x = i = 0 rwnania (5.25) i (5.26) przyjmuj posta : j = - g + (6.7) j = 0 (6.8) Widzimy, e w tym przypadku j jest tensorem symetrycznym, nazywamy go tensorem energii-pdu. Odpowiedni adunek zachowany ma posta : P = d3x j0 = d

3x ( - g0 + 0 ) (6.9) Poniewa P0 jest energi ukadu, gsto energii zadana jest poprzez wyraenie : j00 = + 0 0 = (6.10) = 0 0 + + V() (6.11) wyraenie to bdzie dodatnio okrelone, jeli V > 0. Konfiguracja pl, ktra prowadzi do najmniejszej wartoci j00 odpowiada stanowi podstawowemu. Poniewa czony z pochodnymi daj dodatni wkad, taka konfiguracja pojawia si zawsze dla pola statycznego c ( 0c = ic = 0 ) i w tym przypadku gsto energii jest wartoci potencjau V(c ) dla tego konkretnego pola.

2) Przy przeksztaceniach Lorentza zachowany prd Noether reprezentuje sob wielko trjwymiarow : j = - ( g + )( g x gx ) = (6.12) = j x jx (6.13) Odpowiednie adunki zachowane s to generatory PL : M = d3x j0 = d3x ( j0

x j0x ) (6.14) Zachowanie tych adunkw jest nastpstwem inwariantnoci dziaania wzgldem przeksztace GP.

W charakterze przykadu zastosowania twierdzenia Noether do takich przeksztace, wzgldem ktrych dziaanie S nie jest obowizkowo inwariantne, rozpatrzymy nieskoczenie ma dylatacje : x = x , = - (6.15) Prd Noether ma teraz posta : jD = ( g + ) x + = (6.16) = jx + 2 (6.17) Wykorzystujc wzr (6.8), otrzymujemy, e : jD = j + 2 (6.18) Jeli = (/4!)4 , to atwo dowie, e dywergencja prdu jD jest rwna zero ( dla czterech wymiarw zobacz zadanie ). Jednake, jeli do dodamy czon masowy m22 ,to jego wkad okae si rwny : jD = m2 2 0 (6.19) Przyczyn tego, e prd jD w tym przypadku przestaje by zachowany, jest taka, ze w lagranjanie pojawia si parametr wymiarowy.

Przypomnijmy, e posta tensora j jest niejednoznaczna. W charakterze przykadu ilustrujcego ten fakt, rozpatrzmy nastpujce wyraenie : j + a ( g ) 2 (6.20) gdzie : a bez wymiarowa liczba. Przy tym cigle jeszcze speniony jest warunek : = 0 (6.21) Ustalmy pewn warto a, wymagajc aby w teorii inwariantnej wzgldem dylatacji tensor posiada zerowy lad. Jeli wzi dla przykadu lagranjan (6.4) o m2 = 0, to : = ( 1 + 6a) ( - ) (6.22) skd otrzymujemy, e a = - 1/6. Oprcz tego, rnica wielkoci i j jest czonem powierzchniowym, nie zmieniajcym adunkw zachowanych. Mona teraz zdefiniowa nowy prd dylatacji w postaci : j'D x (6.23)

27

Z uwzgldnieniem wzoru (6.21) znajdujemy : jD = (6.24) Z czego wynika, e inwariantno wzgldem dylatacji jest rwnowana bezladowoci tensora . Nowy prd dylatacji zwizany jest ze starym poprzez zaleno : jD = xj 1/6 x( g )2 = jD 2 1/6 x( g )2 = = jD + 1/6 ( x x )2 (6.25) ktr otrzymujemy, jeli wykorzystamy wzr (6.17). Wida, e te dwa prdy rni si midzy sob o poow dywergencji i dlatego adunek dylatacji nie zmienia si. Tensor nazywa si nowego ulepszonego tensora energii-pdu (* new improved energy momentum tensor *) ( zobacz [ 3, 4 ] ). Rnica tensorw i j oraz wektorw jD i jD przedstawia sob czony powierzchniowe. (* surface terms *)

Ukazane nowe formy tensora energii-pdu oraz prdu dylatacji mona otrzyma w kanoniczny sposb, jeli do lagranjanu pola skalarnego dodamy czon powierzchniowy o postaci , gdzie : = 1/6 ( x x )2 (6.26) Dodanie takiego czonu odpowiada pewnemu przeksztaceniu kanonicznemu. W teoriach polowych dla pl o wyszych spinach inwariantno wzgldem dylatacji jest zawsze zwizana z bezladowoci tensora energii-pdu. Jak to zobaczymy dalej, nawet jeli inwariantno wzgldem dylatacji przysuguje wejciowemu lagranjanowi, jest ona naruszona poprzez efekty kwantowe.

Teoria pola z wieloma polami skalarnymi w wielu aspektach jest analogiczna do teorii przedstawionej powyej, pojawiaj si jednak pewne nowe interesujce symetrie. Dla przykadu rozpatrzmy N rzeczywistych pl skalarnych a , gdzie a = 1, ... , N, oraz lagranjan : N = a a (6.27) a=1 Oprcz standardowych inwariantnoci, taki lagranjan jest inwariantny wzgldem globalnych ( tj. nie zalenych od x ) obrotw N rzeczywistych pl skalarnych, przeprowadzajcych jedno pole w drugie : a = ab b , ab = -ba (6.28) W wyniku czego pojawia si N(N 1 ) noetherowskich prdw zachowanych : jab = a b ba (6.29) Jest to przykad symetrii wewntrznych, pojawiajcych si w wyniku obecnoci pl jednego typu. Jeli dan teori uzupenimy potencjaem, zalenym tylko od inwariantnej ze wzgldu na obroty dugoci a a , to wewntrzna inwariantno wzgldem obrotw zostaje zachowana.

Zadania. A. Pokacie, e w czterech wymiarach dywergencja prdu kanonicznego dylatacji jest rwna zero, jeli : = (/4!)4

B. Wyprowadcie w D wymiarach wyraenie dla dywergencji prdu dylatacji, jeli : = V().

B*. Kanoniczny tensor energii-pdu w przypadku oglnym powinien by symetryczny. Pokacie, ze zawsze mona znale czon B antysymetryczny przy zamianach lub , taki, e tensor Belinfantego : jB = j + B jest symetryczny, a zachowany prd noetherowski dla PL zapisujemy w postaci : j = ( jBx jBx ) Podpowied. Dla pola skalarnego B = 0, tak e wielko ta odpowiednio do S

D*. Znajdcie dla przeksztacenia konforemnego. Pokacie, e dziaanie : S = d4x Jest inwariantne ze wzgldu na przeksztacenia konforemne. Zbudujcie zachowany prd noetherowski.

28

E. Wyprowadcie wyraenie dla prdw zachowanych, odpowiadajcych przeksztaceniom (6.28), jeli lagranjan zadany jest w postaci (6.27).

7. Dziaanie dla pl spinorowych. W niniejszym paragrafie zajmiemy si budowa wyrae dla dziaa, zawierajcych spinorowe pola Grassmanna L i R. Jeli wykorzystamy wyniki uzyskane w paragrafie 4, to najprostsze formy spinorowego czonu kinetycznego bd nastpujce : L = L L , L = *L (7.1) R = R- R , R = *R (7.2) lub, jeli jest istotna parzysto : Dirac = - = (7.3) = R + L (7.4) W przypadku szczeglnym, kiedy R = -2 *L atwo pokaza, e lagranjan R jest rwnowany L z dokadnoci do dywergencji zupenej ( zobacz zadanie A ). Zatem, jeli M jest czterospinorem Majorany, lagranjan moemy zapisa w postaci : Majorana = -M M (7.5) co jest rwnowane z L, o czym mona si przekona wykorzystujc grassmannowskie wasnoci spinora L. W literaturze czsto moemy spotka czon kinetyczny (7.3) zapisany tak, e operator pochodnej dziaa tylko prawostronnie i nie obecny jest czynnik . Chocia na pierwszy wzgld taka forma lagranjanu jest rna od formy (7.3), to rnica sprowadza si do dywergencji zupenej. Podobna rnica nie ma znaczenia do tej pory, pki ukad nie oddziauje z polem grawitacyjnym.

Z ukazanych powyej wyrae wynika, e w D wymiarach pole spinorowe posiada wymiar L- ( D 1), w czterech wymiarach wymiar pl spinorowych jest rwny 3/2. Ukazane czony kinetyczne s inwariantne wzgldem przeksztace konforemnych ( zobacz zadanie F ), tak jak miao to miejsce w przypadku czonu kinetycznego pola skalarnego, oprcz tego czony te posiadaj wasne inwarianty fazowe. Rozpatrzmy przykadowo, lagranjan L ( to samo odnosi si do R ). Poniewa L jest spinorem zespolonym, mona podda go przeksztaceniu fazowemu : L ei L (7.6) pozostawiajcym L inwariantnym, jeli tylko nie zaley od x. Dla lagranjanu Diraca (7.3) istniej dwa takie inwarianty. Wykorzystujc zapis czteroskadnikowy, mona je rozdzieli na oglne przeksztacenie fazowe : ei (7.7) i przeksztacenie chiralne : ei5 (7.8) Na koniec, podobnie jak w przypadku skalarnym, dziaanie z = L ( lub R ) jest inwariantne wzgldem staego przesunicia pl, poniewa : L ( L + L ) = L + ( L L L L ) (7.9) Na podstawie twierdzenia Noether mona zbudowa prdy zachowane odpowiadajce przeksztaceniom (7.7) i (7.8) : j = i- = iL L + i R- R (7.10) j5 = i- 5 = iL L i R- R (7.11) Odpowiadajce im adunki zachowane maj posta : Q = i d3x - 0 = i d3x ( LL + RR ) (7.12) Q5 = i d3x - 05 = i d3x ( LL RR ) (7.13) Dla pola Majorany istniej tylko przeksztacenia chiralne, poniewa pole R jest sprzone tylko do pola L i dlatego przeksztacenia fazowe pl L i R s przeciwnie skierowane.

Z pl spinorowych mona zbudowa inne niekinetyczne kwadratowe inwarianty ( paragraf 4 ). Wykorzystujc tylko pole L, otrzymujemy : mL = im ( LT2L + L 2*L ) (7.14) mL5 = m ( LT2L L 2*L ) (7.15) gdzie : m parametr o wymiarze masy ( w dowolnej liczbie wymiarw )

29

Wyraenia (7.15) i (7.16) s to tzw. czony masowe. Poniewa dla opisania spinora Majorany M mona wykorzysta pole L , a wyraenie (7.14) moe suy jako czon masowy dla spinora Majorany. Wyraenie (7.14) zapisane w czteroskadnikowych oznaczeniach nazywa si mas Majorany.

Zatem, obecno tylko jednego pola L jeszcze nie gwarantuje bezmasowoci, tak jak to si czsto twierdzi. ( przykadowo odnosi si to do modelu WeinbergaSalamaGlashowa oddziaywa sabych i EM, w ktrym to neutrino opisuje si dwuskadnikowym lewym spinorem bez prawego partnera. W tym przypadku bezmasowo neutrina jest wynikiem braku okrelonych bozonw Higgsa, a zachowanie liczby fermionowej pozostawia neutrino bezmasowe nawet po uwzgldnieniu poprawek promienistych ) Uwagi te staj si szczeglnie wane w zwizku z tym, e neutrino przyjto opisywa lewym polem. Zauwamy, e wyraenie mL narusza symetri cig wzgldem przeksztace fazowych (7.6), pozostaje tylko symetria dyskretna L L W oznaczeniach Majorany : mL = - im - M (7.16) mL5 = - m -M5M (7.17) Jeli s obecne oba pola L i R , to mona zbudowa jeszcze dwa inwarianty kwadratowe, co prowadzi do wyrae : mD = im - = im ( LTR + R L ) (7.18) mD5 = m-5 = m ( LTR R L ) (7.19) S one inwariantne ze wzgldu na oglne przeksztacenie fazowe (7.7), ale nie s inwariantne ze wzgldu na przeksztacenie chiralne (7.8), przy ktrym : ei5 , - = 0 -ei5 (7.20) Zatem : mD im-e2i5 (7.21) Stosujc wzr (5.27) znajdujemy, e : j5 = - 2m- 5 (7.22) poniewa dywergencja prdu j, okrelonego wzorem (7.10) pozostaje rwna zero. Nie naley z tego wnioskowa, e nie mona zbudowa kwadratowych po polach dirackowskich czonw nie zawierajcych pochodnych i zachowujcych inwariantno chiraln. Poniszy przykad demonstruje bowiem taki fakt.

Rozpatrzmy wyraenie : (x) (x)(x) + i(x)(x) 5(x) (7.23) rwne sumie mD i mD5 , ale ze wspczynnikami, zalenymi teraz od x. Aby zachowa inwariantno chiraln wielkoci i powinny przy przeksztaceniach chiralnych transformowa si w nastpujcy sposb : [ (x) + i5(x) ] [ (x) + i5(x) ] = e-i5 [ (x) + i5(x)] e-i5 (7.24) Przy nieskoczenie maych pola i obracaj si przechodzc jedno w drugie : = +2 , = - 2