Piergiorgio Odifreddi, "C'¨ spazio per tutti"

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Leggi le prime pagine dell'ultimo saggio del matematico e scrittore Piergiorgio Odifreddi, "C'è spazio per tutti". Il grande racconto della geometria e una straordinaria occasione per riscoprire vecchie conoscenze come Pitagora, Euclide e Archimede.

Text of Piergiorgio Odifreddi, "C'¨ spazio per tutti"

  • C spazio per tutti

    Qual l geomtra che tutto saffige per misurar lo cerchio...

    Ai geomtri della mia famiglia: mio padre Santo, i miei zii Alfonso e Domenico, mia sorella Paola, e mio cugino Sergio. E me stesso...

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  • Stai per cominciare a leggere la storia della geometria: cio, lo sviluppo nel tempo del concetto di spazio. uno studio anti-co, per iniziare il quale risaliremo a quattromila anni fa, e visiteremo insieme le antiche civilt degli egizi e degli in-diani. Ci concentreremo poi a lungo sui Greci di duemila anni fa, e termineremo infine con gli arabi e gli europei degli ultimi secoli.

    La nostra storia partir dalle prime testimonianze che ci sono rimaste. Ma poich esse ci mostrano una matema-tica ormai gi ben sviluppata, dovremo tenerci la curiosi-t su ci che devesserci stato prima: un percorso proba-bilmente molto pi lungo, tortuoso e incerto, di cui per si sono perse le tracce.

    Peccato, perch cos non potremo sapere come si arri-vati a concepire e sviluppare i concetti che saranno i pro-tagonisti della nostra storia. anzitutto, gli oggetti della geometria: punti, segmenti, angoli, rette, curve, figure, superfici e solidi. Poi, le loro misure: lunghezze, aree e volumi. e infi-ne, i loro contenitori: i piani e lo spazio.

    Un po infantile, questa geometria

    un paio di modi per rimediare forse ci sarebbero, ma qui potremo solo accennarvi, perch appartengono a discipline diverse dalla matematica. il primo di questi modi chiede-re aiuto alla psicologia, per capire come i concetti geometri-

    Introduzione

    Facciamo un po di spazio

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  • C spazio per tutti6

    ci si sviluppano nel bambino e nelladolescente, nella spe-ranza che la storia individuale dei singoli uomini ricalchi, almeno parzialmente, quella collettiva dellumanit.

    in questo campo, il lavoro pionieristico stato fatto dallo svizzero Jean Piaget, che per sessantanni ha stu-diato a fondo lo sviluppo della concezione logica, mate-matica e fisica del mondo, dalla nascita dellindividuo alla sua maturit. Nel 1948 egli ha riassunto i risultati geometrici delle sue ricerche in due ponderosi volumi, intitolati La rappresentazione dello spazio nel bambino e La geometria spontanea del bambino. e la sorpresa stata che, nonostante la speranza manifestata poco sopra, lindi-viduo arriva alle nozioni geometriche seguendo un per-corso che procede in direzione esattamente contraria a quello delle scoperte effettuate nel corso della storia che racconteremo.

    Pi precisamente, agli inizi il bambino piccolo in gra-do di distinguere fra loro le forme, e riesce presto a dise-gnare diversamente oggetti che hanno forme diverse: ad esempio, una persona e una casa. Ci vogliono per alcuni anni perch egli sviluppi la capacit di disegnare gli ogget-ti nella corretta relazione spaziale: ad esempio, una per-sona al livello del terreno, invece che sul tetto o per aria, alla maniera di Chagall. e devono passare ancora altri anni perch si acquisti infine labilit di disegnare in sca-la, con le corrette relazioni fra le dimensioni: ad esempio, facendo una persona pi piccola di una casa e pi gran-de di un cane.

    i tre stadi corrispondono sostanzialmente a tre tipi di geometria (topologica ottocentesca, proiettiva rinascimen-tale e metrica greca) sui quali ci soffermeremo via via nel-la nostra storia, ma appunto in ordine inverso. il che con-ferma il sospetto che alla storia scritta della geometria in particolare, e della matematica in generale, manchi tutta una parte iniziale, che corrisponde al periodo primitivo e, letteralmente, preistorico.

    Forse la si potrebbe parzialmente recuperare osservan-do lo sviluppo della matematica nelle piccole societ senza

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    scrittura, che ancora esistono negli angoli remoti del glo-bo: una sorta di Etnomatematica, come nel titolo di due vo-lumi pubblicati qualche anno fa, uno di ubiratan Dam-brosio del 1990 e laltro di Marcia ascher del 1991. Si tratta per soltanto di abbozzi preliminari, non ancora parago-nabili agli studi sistematici sulla psicologia dello svilup-po di Piaget e della sua scuola.

    Chiss che senso ha

    il secondo modo per ovviare alla mancanza della sto-ria iniziale della geometria invece scomodare la fisiolo-gia, per cercare di dedurre dalla struttura del nostro cor-

    Marc Chagall, La passeggiata, 1917-18.

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    po e dei nostri sensi i concetti su cui essa si basa. Questa volta, nella speranza di dimostrare che non potevano es-sere altro che cos.

    i nostri sensi sicuramente intervengono nel processo di formazione dei concetti geometrici, ma ovviamente non vi sono coinvolti tutti allo stesso modo. Quelli chimici, come il gusto e lolfatto, non hanno in pratica nessuna influen-za sulla nostra percezione dello spazio. Ne hanno invece una essenziale quelli fisici, come la vista, ludito e il tat-to. e la vista la fa naturalmente da padrona, come dimo-stra lo stretto legame che ha unito lottica e la geometria fin dallantichit.

    Questo legame si basa su due semplici fatti. Da una par-te, c laccidente fisiologico di avere due occhi che guar-dano entrambi nella stessa direzione. Le due immagini che essi forniscono sono simili, ma diverse: lo si pu consta-tare facilmente, tenendo fisso lo sguardo su un oggetto e chiudendo alternativamente gli occhi.

    Dallaltra parte, c una necessit geometrica, che per ora ci limitiamo a enunciare con il nome pomposo di cri-terio ALA (Angolo-Lato-Angolo): un triangolo completamente determinato da un lato e dai due angoli a esso adiacenti.

    Nella visione, il lato la distanza tra i due occhi, che fissa. i due angoli sono ricavati dal cervello, in base alle differenze delle due immagini. e poich questi tre dati determinano lintero triangolo, il cervello ne ricava automaticamente anche la distanza delloggetto. il che

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    dimostra, di passaggio, che anche coloro che pensano e dicono di non capire niente di matematica, in realt la conoscono e la usano sistematicamente, senza neppure accorgersene!

    dunque proprio la geometria a permetterci di per-cepire la profondit, attraverso la cosiddetta visione bi-noculare. Se avessimo un occhio solo, come i ciclopi, o ne avessimo due ai lati della testa, come gli uccelli, non disporremmo di due immagini dello stesso oggetto da integrare, e vedremmo il mondo appiattito e senza pro-fondit. Se invece fossimo strabici, le due immagini sa-rebbero troppo diverse per poter essere integrate, e la nostra visione del mondo si sdoppierebbe. Se infine si inceppasse il meccanismo di integrazione cerebrale fra le immagini, il mondo diventerebbe un incomprensibi-le garbuglio, come le immagini 3D non osservate nella maniera e alla distanza corrette.

    Bench la visione binoculare sia la massima responsa-bile della nostra sensazione di profondit dello spazio, non certo lunica. Ludito stereofonico ce ne fornisce un indizio complementare, basato su un principio diverso. Questa volta le due orecchie effettuano due rilevazioni diverse di ciascun suono, e il cervello in grado di de-durne la direzione di provenienza in base allo scarto tra i tempi di arrivo.

    Fra laltro, il suono pu aggirare gli ostacoli, a differen-za della luce, che si propaga solo in linea retta. Non c dunque bisogno che le orecchie siano dirette nella stes-sa direzione, come gli occhi, per essere in grado di forni-re un udito stereofonico. Serve invece che siano poste alla massima distanza possibile, per permettere scarti tempo-rali maggiori, e questo spiega perch esse siano state sele-zionate ai lati estremi della testa.

    Visione binoculare e udito stereofonico si integrano a vicenda nel fornirci la sensazione di profondit del-lo spazio, e ci permettono di costruire unimmagine so-stanzialmente bidimensionale del mondo. una vera per-cezione tridimensionale la acquistiamo invece tramite il

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    movimento della testa, grazie al meccanismo dei cana-li semicircolari: tre strutture, ovviamente fatte a forma di semicerchio, e ripiene di un fluido gelatinoso in cui sono sospese delle formazioni calcaree chiamate otoliti, sas-solini dellorecchio.

    Questi canali costituiscono un vero e proprio organo di un senso, che in genere non si enumera tra i magnifici cin-que, ma che altrettanto importante di essi: lequilibrio. i tre canali sono infatti disposti su tre piani perpendicolari fra loro, e ci forniscono informazioni sulla posizione nel-lo spazio della testa e del corpo, in base al movimento sui tre piani degli otoliti.

    Precisamente, la forza di gravit fa continuamente sci-volare gli otoliti nel fluido verso il basso. Muovendosi, essi stimolano delle ciglia che si trovano sulle pareti dei cana-li. e le ciglia stimolate, a loro volta, informano il cervel-lo dei movimenti degli otoliti. il tutto costituisce unaltra bellimpresa matematica complessiva, sia computaziona-le che geometrica, alla faccia di quegli squilibrati che so-stengono di non capire nulla di matematica!

    Da ultimo, anche gli organi del senso del tatto contri-buiscono alla costruzione della nostra immagine del mon-do, in almeno due modi. anzitutto, varie parti del corpo forniscono delle naturali unit di misura assolute, alle quali possiamo riportare tutte le lunghezze. Non a caso, nel cor-so della storia si sono usate unit quali i pollici, i piedi e le braccia, le prime due delle quali rimangono tuttora in uso