Physique Tout en Un MPSI PTSI

TOUT-EN UN

Physiquetout-en-un

MPSI | PTSISous la direction de Bernard Salamitodamien JurineStphane Cardinimarie-nolle Sanz

Avec la collaboration de :emmanuel angotanne-emmanuelle BadelFranoiS ClauSSet

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Dunod, Paris, 2013ISBN 978-2-10-070310-4

Conception et cration de couverture : Atelier 3+

Les photos du chapitre 5 ont t ralises par Pierre Canaguier.

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I Signaux physiques 21

1 Oscillateur harmonique 231 Un oscillateur harmonique mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Systme tudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Obtention dune quation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3 Dfinition dun oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Rsolution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Conservation de lnergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Amplitude et priode du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Signal sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1 Dfinition du signal sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Phase instantane, phase initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Priode, frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Une interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Reprsentation de Fresnel (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Dphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Propagation dun signal 471 Signaux physiques, spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.1 Ondes et signaux physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2 Notion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3 Cas dun signal priodique de forme quelconque . . . . . . . . . . . 501.4 Cas dun signal non priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5 Analyse harmonique exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.6 Exemple : analyse de signaux sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

TABLE DES MATIRES

2 Phnomne de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1 Observations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Onde progressive sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Superpositions de deux signaux sinusodaux 791 Interfrences entre deux ondes de mme frquence . . . . . . . . . . . . . . 79

1.1 Somme de deux signaux sinusodaux de mme frquence . . . . . . . 791.2 Phnomne dinterfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2 Ondes stationnaires et modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.1 Superposition de deux ondes progressives de mme amplitude . . . . 882.2 Onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3 Exprience de la corde de Melde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.4 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Onde lumineuse 1191 Londe lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.1 Existence et nature de londe lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.2 Clrit de londe lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.3 Longueurs donde et frquences optiques . . . . . . . . . . . . . . . 120

2 Rcepteurs lumineux, clairement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.1 Comparaison avec les rcepteurs donde sonore . . . . . . . . . . . . 1222.2 Exemples de rcepteurs donde lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . 1232.3 clairement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.4 clairement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3 Les sources lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.1 Les sources de lumire blanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2 Les lampes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3 Faisceau laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4 Rayon lumineux et source ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.1 Exprience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2 Dfinition dun rayon lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3 Propagation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.4 Modle de la source ponctuelle et monochromatique . . . . . . . . . 128

5 La diffraction de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.1 Diffraction par une fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2 Universalit du phnomne de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . 131

2

TABLE DES MATIRES

5 Optique gomtrique 1491 Approximation de loptique gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492 Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.1 Lois de Descartes pour la rflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.2 Lois de Descartes pour la rfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3 Miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.1 Image dun point objet par un miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . 1533.2 Image dun objet par un miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4 Systmes centrs et approximation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.1 Systmes optiques centrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2 Approximation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3 Proprits dun systme centr dans les conditions de Gauss . . . . . 1564.4 Foyers objet, foyers image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5 Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.1 Prsentation des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2 Constructions gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.3 Relations de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.4 Complment : dmonstration des formules de conjugaison . . . . . . 168

6 Applications des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.1 Projection dune image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.2 Le microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.3 La lunette de Galile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.4 La lunette astronomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7 Lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.1 Description et modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.2 Caractristiques optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.3 Dfauts de lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8 Approche documentaire : influence des rglages sur limage produite par unappareil photographique numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2 Influence du diaphragme douverture . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.3 Influence de la distance focale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6 Introduction au monde quantique 2071 La dualit onde-particule de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2071.2 Historique de la dcouverte du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081.3 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3

TABLE DES MATIRES

1.4 Une exprience avec des photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . 2121.5 Franges dinterfrences et photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

2 La dualit onde-particule de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152.1 La longueur donde de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152.2 Expriences dinterfrences de particules . . . . . . . . . . . . . . . 219

3 Fonction donde et probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.1 Analyse dune exprience dinterfrences quantiques . . . . . . . . . 2213.2 Notion de fonction donde et probabilit de dtection . . . . . . . . . 2233.3 Interprtation de lexprience des fentes de Young . . . . . . . . . . 2233.4 Complmentarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4 Lingalit de Heisenberg (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.1 Indtermination quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.2 Exemple : diffraction dune particule par une fente . . . . . . . . . . 2244.3 Lindtermination position-quantit de mouvement . . . . . . . . . . 225

5 Quantification de lnergie dune particule confine . . . . . . . . . . . . . . 2265.1 Notion de quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.2 Particule dans un puits infini 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . 2265.3 Gnralisation : lien entre confinement spatial et quantification . . . . 228

7 Circuits lectriques dans lARQS 2431 Intensit du courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

1.1 Charge lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2431.2 Porteurs de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2441.3 Le courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451.4 Intensit du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2461.5 Mesure de lintensit dun courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471.6 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2481.7 Intensit constante, intensit variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

2 Tension lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482.1 Analogie hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482.2 Notion de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2492.3 Mesure dune tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.4 Tension constante, tension variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.5 Diffrence de potentiel et tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.6 Rfrence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512.7 Additivit des tensions, loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.8 Notation simplifie de la tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3 Circuit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

4

TABLE DES MATIRES

3.1 Circuit ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2533.2 Schma lectrique simplifi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543.3 La terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543.4 Convention gnrateur, convention rcepteur . . . . . . . . . . . . . 2543.5 Lapproximation des rgimes quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . 255

4 Diples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564.2 Diples passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564.3 Diples actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

5 Associations de diples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.1 Association de rsistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.2 Associations de gnrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.3 Diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.4 Diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6 Rsistances de sortie et dentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.1 Rsistance dentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.2 Rsistance de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7 Point de fonctionnement dun circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.1 Caractristique dun diple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.2 Rsolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.3 Rsolution algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8 Puissance et nergie lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.1 Les units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.2 Puissance lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3 Puissance Joule dans une rsistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.4 nergie stocke dans un condensateur ou une bobine . . . . . . . . . 266

8 Circuit linaire du premier ordre 2851 Exemple exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

1.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2851.2 Rgimes transitoire puis permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

2 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2862.1 Simplification du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2862.2 quation diffrentielle sur uC (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2872.3 Units et homognit de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . 2872.4 Rsolution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2882.5 Trac et identification de la constante de temps . . . . . . . . . . . . 2892.6 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5

TABLE DES MATIRES

2.7 Bilan de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.8 Bilan dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

3 Ralisation concrte de lchelon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923.1 Rponse un signal crneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923.2 Modlisation du rgime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4 tude de la tension uR (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.1 Montage tudi et observations exprimentales . . . . . . . . . . . . 2944.2 quation diffrentielle sur uR (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.3 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2964.4 Solution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2964.5 Rgime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5 Exemple de circuit inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.1 Schma du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.2 quation diffrentielle sur i(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2995.3 Homognit de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . 2995.4 Solution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005.5 Bilan de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6 Gnralisation : systmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017 Rgime permanent (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9 Circuit linaire du second ordre 3131 Exemple exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

1.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3131.2 Rgimes transitoire puis permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3131.3 Portraits de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

2 quation diffrentielle sur la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . 3162.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3162.2 Forme canonique de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . 3172.3 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3 Solution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3193.1 Rgime permanent ou tabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3193.2 Solutions homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3193.3 Solution complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

4 Dure du rgime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224.1 Dfinition du temps de rponse TR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224.2 Complment : modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

5 Rponse un signal crneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3245.1 Observations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

6

TABLE DES MATIRES

5.2 Modlisation du rgime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256 Bilan nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3267 Analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10 Rgime sinusodal 3371 Rgimes transitoire et permanent sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372 Rgime permament ou tabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

2.1 Observation loscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3382.2 Mesure dun dphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

3 Systmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3403.1 Mthode des vecteurs de Fresnel (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . . 3403.2 Mthode complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

4 Impdance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3444.1 Impdance dun diple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3444.2 Diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

5 Rsonance dans un systme du deuxime ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 3485.1 tude exprimentale de uR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3485.2 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.3 Complment : interprtation graphique du facteur de qualit . . . . . 3505.4 Remarque exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.5 tude de uC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.6 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3535.7 Mesures exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

6 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556.1 Fonction de transfert harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556.2 Lien entre quation diffrentielle et transmittance . . . . . . . . . . . 3556.3 Lien avec la transmittance de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

7 Complment : dphasage et rapport des amplitudes dans un systme du deuximeordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.2 Mthode des vecteurs de Fresnel (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . . 3587.3 Mthode complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

11 Analyse frquentielle dun systme linaire 3771 Reprsentation graphique de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . 377

1.1 Le gain en dcibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3771.2 La phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3781.3 Relevs exprimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

7

TABLE DES MATIRES

1.4 Exemples de diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3791.5 Trac la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

2 Diffrents types de fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3822.1 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3822.2 Filtres du deuxime ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3892.3 Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

3 Gabarit (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3973.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3973.2 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993.3 Exemple de ralisation dun gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.4 Cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

12 Filtrage linaire 4091 Rponse dun systme linaire en rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . 409

1.1 Lgitimit de ltude harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4091.2 Cadre de ltude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4091.3 Entre sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4101.4 Entre combinaison linaire de fonctions sinusodales . . . . . . . . 411

2 Contenu spectral dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4122.1 Dcomposition de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4122.2 Complment : phnomne de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

3 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.2 Cas dun signal sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.3 Cas dun signal crneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.4 Comparaison avec un signal constant . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4 Filtrage linaire dun signal non sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4194.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4194.2 Filtrage passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4194.3 Ralisation dun moyenneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.4 Filtrage passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.5 Filtrage passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

5 Rponse indicielle et contenu spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4245.1 Possibilit de discontinuit, valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . 4245.2 Complment : lien avec le thorme de la valeur initiale . . . . . . . 427

6 Approche documentaire : acclromtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

8

TABLE DES MATIRES

II Mcanique 1 453

13 Cinmatique du point 4551 Notion de point en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

1.1 Dfinition dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4551.2 Dfinition dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4551.3 Quand peut-on assimiler un systme un point ? . . . . . . . . . . . 456

2 Reprage dun point du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4562.1 Intrt davoir plusieurs systmes de coordonnes . . . . . . . . . . 4562.2 Reprage dun point sur une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4582.3 Reprage dun point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

3 Reprage dun point dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4623.1 Reprage cartsien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4623.2 Reprage cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4633.3 Reprage sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

4 Cinmatique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4664.1 Notion de rfrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4664.2 Vecteurs position, dplacement, vitesse et acclration . . . . . . . . 468

5 Utilisation des diffrents systmes de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . 4705.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4705.2 Coordonnes cylindro-polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4725.3 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

6 Exemples de mouvements tudis en coordonnes cartsiennes . . . . . . . . 4796.1 Mouvements rectilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4796.2 Mouvements vecteur acclration constante . . . . . . . . . . . . . 4826.3 Mouvement rectiligne sinusodal : mouvement harmonique . . . . . . 484

7 Mouvements circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4857.1 Mouvement circulaire et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4857.2 Gnralisation : mouvement circulaire quelconque . . . . . . . . . . 486

8 Interprtation du vecteur acclration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4878.1 Le vecteur vitesse et sa norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4878.2 Vecteur acclration et variation de la norme de la vitesse . . . . . . . 4888.3 Vecteur acclration et courbure de la trajectoire . . . . . . . . . . . 489

9 tude exprimentale de mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4909.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4909.2 tude exprimentale en coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . 4919.3 tude exprimentale en coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . 495

9

TABLE DES MATIRES

14 Cinmatique du solide 5091 Reprage dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

1.1 Dfinition dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5091.2 Reprage dun solide dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

2 Mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5102.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5102.2 Mouvement dun point dun solide en translation . . . . . . . . . . . 5102.3 Consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4 Deux mouvements de translations remarquables . . . . . . . . . . . . 511

3 Solides en rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5123.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5123.2 Mouvement dun point dun solide en rotation . . . . . . . . . . . . . 5123.3 Consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5133.4 Quelques exemples de rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . . . 514

15 Principes de la dynamique newtonienne 5211 lments cintiques dun point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

1.1 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.2 Quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

2 Les trois lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5232.1 Premire loi de Newton : Principe dinertie . . . . . . . . . . . . . . 5232.2 Deuxime loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique . . 5242.3 Troisime loi de Newton : principe des actions rciproques . . . . . . 526

3 Limite de validit de la mcanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5273.1 Quest-ce quun principe ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5273.2 Les hypothses de la mcanique classique . . . . . . . . . . . . . . . 5273.3 Les limites de la mcanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

4 Premires applications : dtermination dune loi de force . . . . . . . . . . . 5284.1 Dtermination dynamique dune force : mesure de g . . . . . . . . . 5284.2 Dtermination statique dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

5 Classification des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5295.1 Les quatre interactions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5305.2 Forces distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5305.3 Forces de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

6 Rsolution dun problme de mcanique du point . . . . . . . . . . . . . . . 5387 Chute libre dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

7.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5397.2 Chute libre dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

10

TABLE DES MATIRES

7.3 Chute libre avec frottements proportionnels la vitesse . . . . . . . . 5417.4 Chute libre avec frottements proportionnels au carr de la vitesse . . . 5437.5 Comparaison des deux modles de frottements . . . . . . . . . . . . 545

8 Tir dun projectile dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 5458.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5458.2 Tir dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5468.3 Tir en tenant compte de la rsistance de lair . . . . . . . . . . . . . . 549

9 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5519.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5519.2 quation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5519.3 Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5539.4 Cas des oscillations de faibles amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . 553

16 Aspects nergtiques de la dynamique du point 5771 Travail et puissance dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

1.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5771.2 Puissance dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5781.3 Travail lmentaire dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5791.4 Travail dune force au cours dun dplacement . . . . . . . . . . . . 579

2 Premiers exemples de calculs de travaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5802.1 Travail dune force constamment perpendiculaire au mouvement . . . 5802.2 Travail dune force constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5802.3 Travail dune force de frottement de norme constante . . . . . . . . . 580

3 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.1 Dfinition de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.2 Thorme de lnergie cintique en rfrentiel galilen . . . . . . . . 5813.3 Utilisation du thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . 5833.4 Intrt dune approche nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5833.5 tude dun problme laide du thorme de lnergie cintique . . . 583

4 nergie potentielle et forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5854.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5854.2 Exemples de forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5864.3 Exemples de forces non conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

5 nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5895.1 Dfinition de lnergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5895.2 Conservation de lnergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5895.3 Cas gnral : non conservation de lnergie mcanique . . . . . . . . 590

6 tude qualitative des mouvements et des quilibres . . . . . . . . . . . . . . 591

11

TABLE DES MATIRES

6.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5916.2 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5916.3 Analyse du mouvement laide dun graphe nergtique . . . . . . . 5926.4 Analyse des quilibres laide dun graphe nergtique . . . . . . . . 593

7 Portraits de phase et lien avec le profil dnergie potentielle . . . . . . . . . . 5967.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5967.2 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5977.3 Caractristiques principales des portraits de phase . . . . . . . . . . . 599

17 Mouvement dans un puits de potentiel 6151 Mouvement conservatif dans un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . 615

1.1 Mouvement dans un puits de potentiel harmonique . . . . . . . . . . 6151.2 Mouvement dans un puits de potentiel quelconque . . . . . . . . . . 618

2 Mouvements dans un puits de potentiel : influence des frottements . . . . . . 6222.1 quation diffrentielle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 6222.2 quation caractristique et observation . . . . . . . . . . . . . . . . 6232.3 Rsolution : les trois rgimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6242.4 valuation rapide de la dure des diffrents rgimes . . . . . . . . . 6282.5 Aspects nergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

18 Mouvement dune particule charge dans un champ lectrique ou magntique 6511 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

1.1 Rappel de lexpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6511.2 Diffrence fondamentale entre la composante lectrique et la compo-

sante magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.3 Ordre de grandeur et consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

2 Mouvement dans un champ lectrique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 6532.1 quation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6532.2 tude de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6542.3 Acclration dune particule charge par un champ lectrique . . . . 656

3 Mouvement dans un champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6593.1 Le mouvement est uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6593.2 tude de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

4 Quelques applications de ces mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6624.1 Exprience de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6624.2 Spectromtre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6644.3 Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

5 Approche documentaire : limites relativistes en microscopie lectronique . . 667

12

TABLE DES MATIRES

III Mcanique 2 683

19 Moment cintique et solide en rotation 6851 Observations prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

1.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6851.2 Notion intuitive de bras de levier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

2 Moment cintique dun point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6862.1 Dfinition du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

3 Moment cintique dun solide ou dun systme de points . . . . . . . . . . . 6893.1 Cas dun systme dformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6893.2 Cas dun solide en rotation par rapport un axe . . . . . . . . . . . . 690

4 Moment dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.1 Moment dune force par rapport un point O . . . . . . . . . . . . . 6924.2 Moment dune force par rapport un axe orient . . . . . . . . . . 693

5 Loi du moment cintique pour un point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . 6955.1 Loi du moment cintique par rapport un point fixe . . . . . . . . . . 6955.2 Cas de conservation du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . 6965.3 Loi du moment cintique par rapport un axe fixe . . . . . . . . . . 696

6 Loi du moment cintique pour un solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . 6976.1 Loi scalaire du moment cintique pour un solide . . . . . . . . . . . 6976.2 Cas de conservation du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . 6986.3 Couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

7 Application aux dispositifs rotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6997.1 Liaison pivot daxe (Oz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7007.2 Notions sur les moteurs et les freins dans les dispositifs rotatifs (PTSI) 701

8 Pendule pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7028.1 Position du problme et quation du mouvement . . . . . . . . . . . 7028.2 Oscillations de faible amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7038.3 Intgrale premire du mouvement et tude qualitative . . . . . . . . . 7038.4 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7048.5 Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

9 nergie dun solide en rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . . . . . . . 7069.1 nergie cintique dun solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . 7079.2 Puissance dune force applique sur un solide en rotation . . . . . . . 7079.3 Loi de lnergie cintique pour un solide indformable . . . . . . . . 708

20 Mouvement dans un champ de force centrale. Champs newtoniens. 7171 Force centrale conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

13

TABLE DES MATIRES

1.1 Quest-ce quune force centrale conservative ? . . . . . . . . . . . . . 7171.2 Exemples de forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . 7181.3 Observations de mouvements force centrale conservative . . . . . . 720

2 Gnralits sur les forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . 7212.1 Consquence du caractre central de la force . . . . . . . . . . . . . 7212.2 Consquence du caractre conservatif de la force . . . . . . . . . . . 724

3 Cas particulier de lattraction gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 7253.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7253.2 tude qualitative du mouvement radial . . . . . . . . . . . . . . . . 726

4 tude directe de la trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7274.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7274.2 tude partir du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . 7284.3 Application aux satellites gostationnaires . . . . . . . . . . . . . . . 7304.4 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7334.5 Complment : autres trajectoires envisageables (MPSI) . . . . . . . . 735

IV Thermodynamique 753

21 Systme thermodynamique lquilibre 7551 Descriptions microscopique et macroscopique de la matire . . . . . . . . . . 755

1.1 Les phases solide, liquide et gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7551.2 Lagitation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7561.3 chelles microscopique, msoscopique et macroscopique . . . . . . . 7571.4 Le point de vue de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 757

2 Systme thermodynamique, variables dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7582.1 Systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7582.2 Variables dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

3 quilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.2 quilibre thermodynamique local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.3 Conditions dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

4 quation dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7644.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7644.2 quation dtat dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7644.3 quation dtat dune phase condense idale . . . . . . . . . . . . . 766

5 nergie interne, capacit thermique volume constant . . . . . . . . . . . . 7675.1 Lnergie interne U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

14

TABLE DES MATIRES

5.2 La capacit thermique volume constant CV . . . . . . . . . . . . . 7685.3 Cas dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7685.4 Cas dune phase condense incompressible . . . . . . . . . . . . . . 769

6 Vitesse quadratique moyenne (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7706.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7706.2 Expression en fonction de la temprature . . . . . . . . . . . . . . . 7716.3 Ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne . . . . . . . . . 771

7 Corps pur diphas en quilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.1 Changements dtat physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.2 Diagramme de phases (P,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.3 Variables dtat dun systme diphas . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

8 tude de lquilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7778.1 Pression de vapeur saturante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7778.2 Variation de Psat avec T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7788.3 Temprature dbullition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7788.4 Diagramme de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7798.5 Composition du mlange liquide-gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7808.6 Point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.7 Le stockage des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

22 nergie change par un systme au cours dune transformation 7951 Transformation thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

1.1 Transformation, tat initial, tat final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7951.2 Diffrents types de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7961.3 Influence du choix du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

2 Travail des forces de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7992.1 Expression gnrale du travail de la pression extrieure . . . . . . . . 7992.2 Cas particulier dun fluide en coulement . . . . . . . . . . . . . . . 8022.3 Travail des forces de pression dans deux cas particuliers . . . . . . . 8032.4 Travail des forces de pression dans le cas dune transformation m-

caniquement rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8043 Transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8073.2 Les trois modes de transfert thermique (PTSI) . . . . . . . . . . . . . 8073.3 Transformation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8093.4 Notion de thermostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8103.5 Retour sur les transformations monotherme et isotherme . . . . . . . 8113.6 Choix dun modle : adiabatique ou isotherme ? . . . . . . . . . . . . 811

15

TABLE DES MATIRES

23 Premier principe. Bilans dnergie. 8191 Le premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819

1.1 nergie dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8191.2 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 8201.3 Obtention de la valeur du transfert thermique . . . . . . . . . . . . . 8211.4 Transfert thermique dans une transformation isochore sans travail

autre que celui de la pression et sans variation dnergie cintique . . 8221.5 Exemples dapplication du premier principe . . . . . . . . . . . . . . 822

2 La fonction dtat enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8262.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8262.2 Premier principe pour une transformation monobare avec quilibre

mcanique dans ltat initial et ltat final . . . . . . . . . . . . . . . 8272.3 Transfert thermique dans une transformation isobare sans travail autre

que celui de la pression et sans variation dnergie cintique . . . . . 8272.4 Enthalpie dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8282.5 Enthalpie dune phase condense indilatable et incompressible . . . . 8302.6 Enthalpie dun systme diphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8312.7 Variations denthalpie isobares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

3 Mesures de grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8353.1 Le calorimtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8353.2 Dtermination dune capacit thermique massique . . . . . . . . . . 8363.3 Dtermination dune enthalpie de changement dtat . . . . . . . . . 8373.4 Mesure de la valeur en eau du calorimtre . . . . . . . . . . . . . . . 838

24 Deuxime principe. Bilans dentropie. 8491 Le deuxime principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

1.1 Transformations irrversibles et transformations rversibles . . . . . 8491.2 Le deuxime principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 852

2 Entropie dun chantillon de corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8532.1 Entropie dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8542.2 Entropie dune phase condense indilatable et incompressible . . . . 8572.3 Entropie dun systme diphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

3 Exemples de bilans dentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8603.1 Mthode gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8603.2 Exemple 1 : dtente de Joule - Gay Lussac . . . . . . . . . . . . . . 8603.3 Exemple 2 : mise en contact avec un thermostat . . . . . . . . . . . . 8613.4 Exemple 3 : compression dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . 8633.5 Exemple 4 : chauffage par effet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

16

TABLE DES MATIRES

3.6 Exemple 5 : solidification dun liquide surfondu . . . . . . . . . . . . 867

25 Machines thermiques 8851 Machine monotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8852 Machines thermiques dithermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

2.1 Gnralits sur les machines dithermes . . . . . . . . . . . . . . . . 8862.2 Moteur thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8872.3 Machine frigorifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8892.4 Pompe chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

3 tude de cycles thoriques rversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8913.1 Cycle de Carnot pour un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8913.2 Cycle de Carnot pour un systme diphas . . . . . . . . . . . . . . . 893

4 tude de machines thermiques relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8944.1 Moteur explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8944.2 Machine frigorifique (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

V Induction et forces de Laplace 927

26 Le champ magntique 9291 Carte de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

1.1 Les champs en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9291.2 Un champ vectoriel permet de dcrire une interaction distance . . . 9301.3 Units et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9301.4 Topographie du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.5 Quelques cartes de champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

2 Moment magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372.1 Vecteur surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372.2 Dfinition du moment magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372.3 Moment magntique dun aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372.4 Lignes de champ dun moment magntique . . . . . . . . . . . . . . 938

27 Actions dun champ magntique 9431 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

1.1 Force de Laplace sur une tige en translation . . . . . . . . . . . . . . 9431.2 Puissance de la force Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

2 Couple magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9442.1 Expression du Couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9442.2 Puissance de laction de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

17

TABLE DES MATIRES

2.3 Complment : tablissement du couple . . . . . . . . . . . . . . . . 9443 Action dun champ magntique sur un aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . 946

3.1 Orientation dun aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9463.2 Positions dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9473.3 Application : la boussole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9473.4 Effet moteur dun champ magntique tournant . . . . . . . . . . . . 948

28 Lois de linduction 9571 Flux magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

1.1 Dfinition du flux magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9571.2 Orientation dune surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9581.3 Unit de flux magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

2 Expriences dinduction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9592.1 Exprience historique de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9592.2 Expriences avec un aimant et une bobine . . . . . . . . . . . . . . . 9602.3 Le phnomne dinduction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . 9612.4 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961

3 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.1 Rgle du flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.2 Convention dalgbrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.3 Exceptions la rgle du flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.4 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963

29 Circuit fixe dans un champ magntique variable 9711 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971

1.1 Inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.2 Calcul dune inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9731.3 Circuit lectrique quivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.4 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.5 Mesure dune inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9751.6 tude nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975

2 Deux circuits en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9762.1 Inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9762.2 Circuits lectriques quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9772.3 tude harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9782.4 tude nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979

3 Transformateur de tension (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9803.1 Constitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980

18

TABLE DES MATIRES

3.2 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9803.3 Normalisation et orientation des courants . . . . . . . . . . . . . . . 9813.4 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9833.5 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983

30 Circuit mobile dans un champ magntique stationnaire 9991 Conversion de puissance mcanique en puissance lectrique . . . . . . . . . 999

1.1 Rails de Laplace gnrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9991.2 Freinage par induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10041.3 Alternateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005

2 Conversion de puissance lectrique en puissance mcanique . . . . . . . . . 10082.1 Rails de Laplace moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10082.2 Haut-parleur lectrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.3 Machine courant continu entrefer plan (PTSI) . . . . . . . . . . . 1014

VI Appendices 1045

A Mesures et incertitudes 10471 Mesure dune grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047

1.1 Reprsentation dune grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . 10471.2 Mesure dune grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

2 Incertitudes et intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.1 Notion dintervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.2 valuation dune incertitude-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10522.3 Incertitude-type compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055

3 Prsentation dun rsultat exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10563.1 Notation dun rsultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10563.2 Chiffres significatifs et arrondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

4 Validit dun rsultat exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10584.1 Comparaison entre une valeur mesure et une valeur de rfrence . . 10584.2 Vrification dune relation linaire entre des donnes . . . . . . . . . 1058

B Outils mathmatiques 10631 quations algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

1.1 Systme linaire de n quations p inconnues . . . . . . . . . . . . . 10631.2 quation non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

2 quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10662.1 quation diffrentielle linaire dordre 1 coefficients constants . . . 1066

19

TABLE DES MATIRES

2.2 quation diffrentielle linaire homogne dordre 2 coefficientsconstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

2.3 quation diffrentielle linaire dordre 2 coefficients constants, avecun second membre non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

2.4 Autres quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10773 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080

3.1 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10803.2 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.3 Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10843.4 Primitive et intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10853.5 Reprsentation graphique dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . 10883.6 Dveloppement en srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

4 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10914.1 Projection dun vecteur, produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 10914.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10934.3 Transformations gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10954.4 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10984.5 Courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11024.6 Longueurs, aires et volumes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 11044.7 Barycentre dun systme de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105

5 Trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11075.1 Angle orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11075.2 Fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11085.3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

6 Gradient dun champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11136.1 Champ scalaire f et surfaces iso- f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11136.2 Drives partielles et diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11136.3 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114

20

Premire partie

Signaux physiques

21

1

On appelle signal physique une grandeur physique dpendant du temps. Dans cette partie ducours, on sintressera surtout des signaux priodiques. Un signal priodique est un signalqui se reproduit identique lui-mme au cours du temps. Le plus fondamental des signauxpriodiques est le signal sinusodal.Dans ce chapitre, on introduit un modle physique qui produit un signal sinusodal appelloscillateur harmonique. Les adjectifs harmonique et sinusodal sont synonymes : on ren-contre parfois les expressions signal harmonique ou oscillateur sinusodal .Lexemple tudi dans ce chapitre est un oscillateur harmonique mcanique. Cependant onretrouve ce modle dans bien dautres domaines de la physique, notamment llectricit.

1 Un oscillateur harmonique mcanique1.1 Systme tudiLe systme mcanique oscillant le plus simple est une masse accroche un ressort.On considre dans ce paragraphe un mobile de masse m qui se dplace sans frottement lelong dune tige horizontale (figure 1.1). Sa position est repre par labscisse x de son centredinertie G mesure sur laxe (Ox) matrialis par la tige. On choisit de placer lorigine delaxe (Ox) de manire que G concide avec O dans la position dquilibre (voir figure 1.1).

quilibre mouvement

OO

x

xxGG

RR

mgmgF

Figure 1.1 Un exemple doscillateur harmonique mcanique.

CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE

1.2 Obtention dune quation diffrentiellea) Forces sexerant sur le systmeLe ressort exerce sur le mobile une force qui scrit :

F =kxux ,

o k est la constante de raideur du ressort. Cette force est une force de rappel : son sens estoppos au sens du dplacement du mobile par rapport sa position dquilibre (la positionx = 0). Lorsque x est positif, la force est de sens oppos ux et inversement. On trouveraplus de renseignements sur la force dun ressort dans le chapitre Principes de la dynamiquenewtonienne.Le mobile est aussi soumis son poids mg ainsi qu une raction R de la tige. Ces deuxforces sont verticales et nont pas dinfluence sur le mouvement qui est horizontal.

b) Application du principe fondamental de la dynamiqueLe mouvement du mobile est rgi par le principe fondamental de la dynamique (ou troisimeloi de Newton), qui scrit :

dpdt =

F

o p est la quantit de mouvement du mobile. En notant vG la vitesse instantane du centredinertie G du mobile, on a :

p = mvG = mdxdtux .

Dans cette relation, dxdt est la drive de la fonction x(t). On noterad2xdt2 la drive seconde de

cette fonction. Le principe fondamental de la dynamique conduit donc la relation, vrifie

chaque instant : ddt

(m

dxdtux)=kxux , soit : md

2x

dt2ux =kxux , soit aprs simplification :

d2xdt2 =

km

x. (1.1)

La relation qui vient dtre obtenue est appele quation diffrentielle. Une quation dif-frentielle est une relation entre une fonction x(t) et ses drives par rapport au temps dxdt ,d2xdt2 ..., qui est vrifie chaque instant. Ici, on a trouv une quation du deuxime ordre, carlordre de drivation le plus grand qui apparat dans lquation (le seul ici, mais il pourrait yen avoir plusieurs) est gal deux.

1.3 Dfinition dun oscillateur harmoniqueLquation diffrentielle (1.1) est une quation diffrentielle doscillateur harmonique.

24

UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MCANIQUE

On appelle oscillateur harmonique un systme physique dcrit par une grandeur x(t)dpendant du temps et vrifiant une quation diffrentielle de la forme :

d2xdt2 =

20 x(t) (1.2)

o 0 est une constante relle positive qui est appele pulsation propre de loscillateurharmonique et qui sexprime en rad.s1.

Remarque

Lunit de 0 se dduit de lhomognit de lquation diffrentielle. En effet, la driveseconde par rapport au temps a pour dimension physique la dimension de x divise parun temps au carr. Donc 20 a la dimension des s2 et 0 a la dimension des s1. Leradian na pas de dimension physique.

La masse accroche au ressort du paragraphe prcdent est un oscillateur harmonique mca-nique, de pulsation :

0 =

km.

On en verra dautres exemples, en mcanique ou en lectricit.

1.4 Rsolution de lquation diffrentiellea) Position du problmeRsoudre une quation diffrentielle consiste trouver lexpression de la fonction inconnuex(t) qui vrifie cette relation. Mais lquation ne dtermine pas de manire unique x(t). Parmiles fonctions qui la vrifient, on doit choisir celle qui respecte des conditions initiales quisont connues a priori.Pour une quation du deuxime ordre, comme lquation dun oscillateur harmonique, lesconditions initiales consistent en la donne : de la valeur de la fonction inconnue linstant initial t = 0 : x(0),

de la valeur de la drive premire de la fonction inconnue linstant initial :(

dxdt

)t=0

.

On va rsoudre cette quation dans le cas du mobile accroch au ressort. Les condition ini-tiales sont : la position initiale : x(0) = x0,

la vitesse initiale :(

dxdt

)t=0

= v0.

b) Solutions dans deux cas particuliersCas o x0 = 0 et v0 = 0. On considre la fonction :

x(t) = x0 cos(0t) (1.3)

25


o x0 est une constante. On a alors, en utilisant des formules classiques de drivation (voirlappendice mathmatique) :dxdt =x0 sin(0t),

d2xdt2 =

ddt (0x0 sin(0t)) =

20 x0 cos(0t) =20 x(t) =

km

x(t).

Ainsi cette fonction x(t) vrifie lquation diffrentielle (1.1). quelle situation physique la solution trouve correspond-elle? Les conditions initiales v-rifies sont :

x(0) = x0 cos(0) = x0 et(

dxdt

)t=0

= x0 sin(0) = 0.

Il sagit du cas o on lche le mobile dans la position x = x0 sans lui communiquer de vitesseinitiale. Dans ce cas, x(t) oscille entre x0 et x0 puisque la fonction cosinus oscille entre 1et 1 (voir figure 1.2).

Cas o x0 = 0 et v0 = 0 On peut imaginer une autre manire de lancer le mobile : sanslcarter de sa position dquilibre, lui communiquer une vitesse v0ux . Quelle est alors la loidu mouvement x(t) ? Les conditions initiales que doit vrifier cette solution sont :

x(0) = 0 et(

dxdt

)t=0

= v0.

La fonction : x(t) = bsin(0t), o b est une constante est aussi une solution de lquationdiffrentielle du mouvement comme le montre le calcul suivant :dxdt = 0bcos(0t),

d2xdt2 =

ddt (0bcos(0t)) =

20 bsin(0t) =20 x(t) =

km

x(t).

Elle vrifie les conditions initiales si : x(0) = bsin(0) = 0, et si :(

dxdt

)t=0

=0bcos(0) = v0.

Il faut donc que : b = v0

. Finalement, la solution de lquation diffrentielle correspondant ces conditions initiales est :

x(t) =v00

sin(0t). (1.4)

Cette solution x(t) oscille entre v00

etv00

puisque la fonction sinus oscille entre 1 et 1(voir figure 1.2).

c) Solution pour des conditions initiales quelconquesOn peut vrifier facilement que la somme des deux solutions prcdemment trouves,

x(t) = x0 cos(0t)+v00

sin(0t), (1.5)

est aussi une solution de lquation diffrentielle et quelle vrifie les conditions initiales

x(0) = x0 et(

dxdt

)t=0

= v0. On a ainsi la solution pour un jeu de conditions initiales quel-conque. Sur la figure 1.2 on voit que x(t) oscille entre deux valeurs opposes A et A.

26


0 t

x0v00

A

x0A

v00

T0

x(t)

Figure 1.2 Reprsentation graphique de x(t) en fonction de t. En gris clair : casx0 = 0 et v0 = 0 ; en gris fonc : cas x0 = 0 et v0 = 0 ; en noir : cas x0 = 0 et v0 = 0. La

priode des oscillations est T0 =20

= 2

m

k (voir paragraphe 2).

d) Gnralisation

La solution de lquation de loscillateur harmonique (1.2) est de la forme :

x(t) = acos(0t)+ bsin(0t)

o a et b sont des constantes fixes par les conditions initiales.

1.5 Conservation de lnergie mcaniqueLorsquil est en mouvement le mobile possde une nergie cintique qui se calcule par laformule :

Ec =12

mv2 =12

m

(dxdt

)2.

Le ressort quant lui na pas de masse donc pas dnergie cintique, mais il possde unenergie appele nergie potentielle lie sa dformation et dont on admettra ici lexpression :

Ep =12

kx2.

La somme de ces deux nergies est lnergie mcanique :

Em = Ep +Ec =12

kx2 + 12

m

(dxdt

)2.

Que valent ces nergies au cours du temps ?Si lon injecte la solution x(t) = x0 cos(0t)+ v0

0sin(0t) dans les expressions prcdentes

27


on trouve :

Ec(t) =12

m(0x0 sin(0t)+ v0 cos(0t))2

=12

m(20 x

20 sin2(0t)+ v20 cos2(0t) 20x0v0 cos(0t)sin(0t)

),

et :

Ep(t) =12

k(

x0 cos(0t)+v00

sin(0t))2

=12

k(

x20 cos2(0t)+

v202

sin2(0t)+ 2x0v00

cos(0t)sin(0t))

=12

m(20 x

20 cos

2(0t)+ v20 sin2(0t)+ 20x0v0 cos(0t)sin(0t)

),

en utilisant la relation k = m20 . Lnergie mcanique scrit :

Em(t) = Ep(t)+Ec(t)

=12

m(20 x

20(cos2(0t)+ sin2(0t)

)+ v20

(cos2(0t)+ sin2(0t)

))=

12

m(20 x

20 + v

20)=

12

k(

x20 +v2020

)=

12

kx20 +12

mv20.

(1.6)

en utilisant encore la relation k =m20 . Lnergie mcanique est donc constante dans le temps.On reconnat dans la dernire expression la valeur de lnergie mcanique linstant initial.Ce rsultat est cohrent avec le fait que lon tudie un systme idalis dont lamortisse-ment est nglig : on ne prend en compte aucun type de frottement. Cest pourquoi il y aconservation de lnergie mcanique.

Remarque

Dans les deux cas particuliers du paragraphe b) on fournit son nergie au systme : sous forme dnergie potentielle uniquement quand x0 = 0 et v0 = 0 ; sous forme dnergie cintique uniquement quand x0 = 0 et v0 = 0.

Lquation diffrentielle (1.1) peut tre tablie partir de la relation de conservationde lnergie mcanique : Em =

12

m

(dxdt

)2+

12

kx(t)2 = constante. En effet, il vientsi lon drive par rapport au temps :

mdxdt

d2xdt2 + kx(t)

dxdt = 0,

ce qui redonne lquation diffrentielle (1.1), aprs simplification par le terme dxdt .

28


1.6 Amplitude et priode du mouvementa) Amplitude du mouvementLamplitude A du mouvement est la valeur maximale atteinte par x(t). Dans le cas o x0 = 0et v0 = 0, A = x0 ; dans le cas o x0 = 0 et v0 = 0, A = v0

0. Quelle est lexpression de A dans

le cas gnral o x0 = 0 et v0 = 0 ?On peut utiliser la conservation de lnergie : lorsque x(t) passe par la valeur maximale A, sadrive est nulle donc lnergie cintique est nulle. Par suite :

Em =12

kA2 + 0.

Lexpression (1.6) de lnergie mcanique conduit alors :

A =

x20 +

v2020

.

b) PriodeComme on lobserve sur la figure 1.2, le mouvement du mobile est oscillatoire et priodique :les valeurs de x(t) se rptent intervalle rgulier. Mathmatiquement cela provient de lapriodicit des fonctions cosinus et sinus : cos( +2)= cos et sin( +2) = sin . Alors :

cos(0t) = cos(0t + 2) = cos(

0

(t +

20

)),

et de mme : sin(0t) = sin(

0

(t +

20

)). Ainsi, on a :

x(t) = x(t +T0) avec T0 =20

= 2

m

k . (1.7)

Cette relation signifie que le mouvement est priodique de priode T0. La priode ne d-pend pas de lamplitude du mouvement, cest la proprit disochronisme des oscillationsde loscillateur harmonique. On peut alors parler de priode de loscillateur harmonique. T0augmente avec la masse m du mobile et diminue avec la constante de raideur k du ressort, cequi est intuitif.

29


2 Signal sinusodal2.1 Dfinition du signal sinusodal

Un signal sinusodal est un signal de la forme :

s(t) = Acos(t +).

o A et sont des constantes positives et une constante. est la pulsation du signal, A son amplitude, et sa phase initiale.

Un signal sinusodal peut aussi tre crit sous la forme :

s(t) = acos(t)+ bsin(t),

o a et b sont deux constantes. Cest sous cette forme quon lobtient naturellementen rsolvant lquation diffrentielle de loscillateur harmonique.Il faut savoir trouver la valeur de lamplitude et de la phase initiale de ce signal.La relation de trigonomtrie cos( + ) = cos cos sin sin (voir appendicemathmatique) permet dcrire : Acos(t +) = Acos cos(t)Asin sin(t).On en dduit :

cos = aA

et sin = bA

do A =

a2 + b2, (1.8)

puisque cos2 + sin2 = 1.Pour dterminer on peut utiliser la mthode suivante qui donne une valeur com-prise entre et : il sagit de arccos

( aA

)si sin > 0 et de arccos

( aA

)si

sin < 0.

2.2 Phase instantane, phase initialeLargument de la fonction cosinus est appele phase instantane.Le signal oscille entre A et A : il vaut A aux instants o la phase instantane est gale 2no n est un entier, il vaut A aux instants o elle est gale (2n+1) , il vaut 0 et a une pentengative aux instants o elle est gale

(2n+ 1

2

) , et il vaut 0 et a une pente positive aux

instants o elle est gale (

2n 12

) . Ceci est illustr sur la figure 1.3.

La phase initiale donne la valeur de dpart du signal t = 0. Elle dpend de loriginedes temps choisie. De plus, le cosinus tant une fonction priodique de priode 2 , la phaseinitiale nest dfinie qu un multiple entier de 2 prs. On peut ainsi toujours se ramener une phase initiale comprise entre et .

30

SIGNAL SINUSODAL

0 t

s(t)

2n (2n+1)(2n1)(

2n+ 12

)

(2n 1

2

)

A

A

T

t+

Figure 1.3 Signal sinusodal. La valeur de la phase instantane t + est indiqueen certains points, n est un entier.

2.3 Priode, frquencea) DfinitionsUn signal physique s(t) est priodique sil se rpte dans le temps. Sa priode T est la pluspetite dure telle que :

s(t +T ) = s(t).

La frquence du signal :

f = 1T

est le nombre de rptitions du signal par unit de temps.La priode T se mesure en secondes (symbole s) ; la frquence f se mesure en hertz (symboleHz) : 1Hz = 1s1.

b) Relations entre pulsation, priode et frquenceOn a vu plus haut quun signal sinusodal est priodique de priode :

T =2

.

31


Sa frquence est donc relie la pulsation par les formules :

f = 2

ou = 2 f .

c) Deux autres expressions du signal sinusodalLe signal sinusodal s(t) = Acos(t +) peut scrire aussi :

s(t) = Acos(

2 tT+

)ou s(t) = Acos(2 f t +).

2.4 Une interprtation gomtrique

0

s(t)X

Y O

M0

M

tH

t t

Figure 1.4 Mouvement circulaire et signal sinusodal.

On peut donner du signal sinusodal s(t) = Acos(t +) une image gomtrique. On consi-dre le cercle de rayon A centr lorigine du repre orthonorm (OXY ) (voir figure 1.4)et sur le cercle le point M0 tel que langle entre le vecteur directeur uX de laxe (OX) et levecteur

OM0 vaut . Soit un point M se dplaant sur le cercle avec la vitesse angulaire etpassant par M0 linstant initial. Langle entre le vecteur

OM et laxe (OX) linstant t est (t) = t + et labscisse de ce point est

XM(t) = OH = OM cos (t) = Acos(t +) = s(t).

Le signal sinusodal est ainsi labscisse dun point tournant la vitesse angulaire .

32

SIGNAL SINUSODAL

2.5 Reprsentation de Fresnel (MPSI)a) Dfinition du vecteur de Fresnel

On associe au signal s(t) = Acos(t +) un vecteur appel vecteur de Fresnel, qui aune norme gale A et qui fait, linstant t, langle t + avec laxe des abscisses.

Ce vecteur tourne autour de lorigine la vitesse angulaire (voir figure 1.5). Il sagit duvecteur

OM du paragraphe prcdent. Dans cet ouvrage le vecteur de Fresnel associ ausignal s(t) est not S .

X

Y

S

1

DS

t+

12

D2S

Figure 1.5 Reprsentation de Fresnel dun signal sinusodal et ses deux premiresdrives. Les vecteurs DS et D2S ont t multiplis respectivement par 1 et

12

pourune question dhomognit.

b) Vecteur de Fresnel du signal drivLa drive par rapport au temps dun signal sinusodal s(t) = Acos(t + ) est aussi unsignal sinusodal, en effet :

dsdt =Asin(t +) = Acos

(t + +

2

).

Lamplitude de dsdt est gale lamplitude de s(t) multiplie par et sa phase initiale est

gale la phase initiale de s(t) augmente de 2

. Ainsi :

Le vecteur de Fresnel associ dsdt sobtient partir du vecteur de Fresnel associ s(t)en effectuant les oprations suivantes :

on tourne le vecteur dun angle 2

dans le sens trigonomtrique, on multiple la norme du vecteur par (voir figure 1.5).

33


Le vecteur de Fresnel relatif dsdt sera notDS.

Si on drive le signal deux fois, on tourne le vecteur dun angle et on multiplie sa norme

par 2. Ainsi le vecteur de Fresnel D2S associ d2s

dt2 est :

D2S =2S .

Cette relation nest autre que lquation diffrentielle de loscillateur harmonique de pulsationpropre dont le signal sinusodal est solution. Elle est visualise sur la figure 1.5.

2.6 Dphasagea) Dphasage entre deux signaux sinusodauxOn considre deux signaux sinusodaux : s1(t)=A1 cos(1t+1) et s2(t)=A2 cos(2t+2).On appelle dphasage du signal s2 par rapport au signal s1 la diffrence entre leurs phasesinstantanes :

(t) = (2t +2) (1t +1) = (2 1)t +21.Le dphasage est visible dans la reprsentation de Fresnel : il sagit de langle allant duvecteur

S1 au vecteur S2 (voir figure 1.6).

1t+12t+2

O X

YS1

S2

Figure 1.6 Dphasage entre deux signaux sinusodaux.

Quand les deux signaux sinusodaux ont la mme frquence (soit 1 = 2) leur dphasageest constant dans le temps et gal la diffrence de leurs phases initiales :

= 2 1.Dans la suite on se place uniquement dans ce cas et on appelle la pulsation des deux signaux(1 = 2 = ).

b) Valeurs remarquables du dphasageLes signaux sont dits en phase si est gal 0 ou 2n avec n entier. Dans ce cas :

cos(t +2) = cos(t +1 + 2n) = cos(t +1).

34

SIGNAL SINUSODAL

Les deux signaux passent par leurs valeurs maximales ou leur valeurs minimales en mmetemps, sannulent en mme temps. Les vecteurs de Fresnel ont chaque instant mme direc-tion et mme sens (voir figure 1.7).

t+1O X

YS1S2

s1s2

t

Figure 1.7 Signaux sinusodaux de mme frquence en phase.

Les signaux sont dits en opposition phase si est gal ou (2n+1) avec n entier. Dansce cas :

cos(t +2) = cos(t +1 +(2n+ 1)) = cos(t +1 +) =cos(t +1).

un instant o lun des signaux passe par sa valeur maximale, lautre passe par sa valeurminimale. Il sannulent en mme temps mais lun en croissant et lautre en dcroissant. Lesvecteurs de Fresnel ont chaque instant la mme direction mais sont de sens opposs (voirfigure 1.8).

t+1O X

YS1

S2

s1

s2

t

Figure 1.8 Signaux sinusodaux de mme frquence en opposition de phase.

Les signaux sont dits en quadrature de phase si est gal 2

ou

(2n 1

2

)

avec n entier. Alors :

cos(t +2) = cos(

t +1 +(

2n 12

)

)= cos

(t +1 2

)=sin(t +1).

un instant o lun des signaux passe par sa valeur maximale, lautre passe par zro etrciproquement. Les vecteurs de Fresnel sont orthogonaux chaque instant. On parle de

35


quadrature avance ou quadrature retard selon que s2 est en avance ( =+2 + 2n)ou en retard ( =

2+ 2n) sur s1 (voir figures 1.9 et 1.10).

t+1O X

YS1S2

s1

s2

t

Figure 1.9 Signaux sinusodaux de mme frquence en quadrature de phase. s2 esten avance sur s1.

t+1O X

YS1

S2

s1

s2t

Figure 1.10 Signaux sinusodaux de mme frquence en quadrature de phase. s2est en retard sur s1.

Remarque

La drive dun signal sinusodal s(t) est en quadrature avance sur s(t). La driveseconde est en opposition de phase par rapport s(t). Un signal dont s(t) est la drive(soit une primitive de s(t)), est en quadrature retard sur s(t).

c) Mesure dun dphasageExprimentalement on peut visualiser un signal en fonction du temps laide dun oscillo-scope ou bien dune carte dacquisition relie un ordinateur. Pour cela, le signal doit treune tension lectrique. Si le signal que lon veut tudier nest pas une tension, on utilise uncapteur qui fournit une tension proportionnelle ce signal.

36

SIGNAL SINUSODAL

s1s2

tt1 t2 t3

||T

Figure 1.11 Mesure du dphasage entre deux signaux sinusodaux.

La courbe donnant le signal au cours du temps est appele forme donde. Dans le cas dunsignal sinusodal, on dduit de la forme donde : lamplitude A, en mesurant la valeur maximale smax et la valeur minimale smin, par la

formule : A = smax smin2

(attention ne pas oublier le facteur 12

) ; la priode T , en mesurant les dates t1 et t2 > t1 de deux annulations successives du signal

avec la mme pente (voir figure 1.11), par la formule : T = t2 t1.La phase initiale dun seul signal sinusodal a peu dintrt pratique car elle dpend du choixde lorigine des temps. En revanche, le dphasage entre deux signaux sinusodaux de mmefrquence est souvent une information importante.Le dphasage est li au dcalage temporel entre les deux signaux. En effet :

cos(t +2) = cos(t +1 +) = cos(

(t +

)+1

)= cos((t + )+1),

formule o apparat le dcalage temporel entre les deux signaux :

=

.

La mesure de conduit la valeur de . Pour cela on repre : deux dates t1 et t2 conscutivesen lesquelles la courbe s2 sannule avec la mme pente, une date t3 la plus proche possible det2 o le signal s1 sannule avec une pente du mme signe (voir figure 1.11). On en dduit : la priode du signal : T = t2 t1 ; le dcalage temporel : = t3 t2 ; le dphasage de s2 par rapport s1 : = = 2

t3 t2t2 t1 .

La valeur du dphasage obtenue par cette mthode est comprise entre et + . Elle estpositive si s2(t) est en avance sur s1(t) (cas de la figure 1.11) et ngative si s2(t) est en retard.

Il faut contrler le signe du rsultat en observant le chronogramme : s2 est en avancesur s1 si, entre t1 et t2, il atteint son maximum avant s1.

37


d) Utilisation de loscilloscope en mode XY Lorsquon utilise une oscilloscope en mode XY on observe une courbe forme par lespoints donc labscisse est X(t) = s1(t) et lordonne Y (t) = s2(t).Dans le cas o s1(t) et s2(t) sont deux signaux sinusodaux, cette courbe est, pour un dpha-sage quelconque, une ellipse (voir annexe mathmatique).Si ces signaux sont en phase on a : s2(t) =

A2A1

s1(t) soit Y (t) =A2A1

X(t). La courbe observeest donc une droite de pente positive.

Si ces signaux sont en opposition phase on a : s2(t) = A2A1 s1(t) soit Y (t) = A2A1

X(t). Lacourbe observe est donc une droite de pente ngative.

Lutilisation de loscilloscope en mode XY permet de reprer facilement des signauxen phase ou en en opposition de phase :

quelconque =0 =

38

SIGNAL SINUSODAL

SAVOIRS quation diffrentielle de loscillateur harmonique expression de la pulsation de loscillateur constitu par une masse accroche un ressort dfinitions dun signal sinusodal, de son amplitude, sa pulsation, sa phase initiale relations entre la pulsation, la frquence et la priode reprsentation de Fresnel

SAVOIR-FAIRE tablir lquation diffrentielle dune masse accroche un ressort rsoudre lquation diffrentielle dun oscillateur harmonique avec des conditions ini-

tiales donnes trouver lamplitude et la phase initiale de la solution vrifier la conservation de lnergie mcanique reconnatre lamplitude, la phase initiale, la priode, la frquence, la pulsation dun si-

gnal sinusodal donn trouver la phase instantane un instant o le signal est maximal, minimal, nul dessiner une reprsentation de Fresnel (MPSI) dterminer exprimentalement un dphasage

MOTS-CLS oscillateur harmonique signal sinusodal amplitude pulsation

priode frquence phase dphasage

vecteur de Fresnel conservation de lnergie

SYNTHSE

39

Exer

cice

s CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE

SENTRANER

1.1 Reconnatre un oscillateur harmonique ()1. La tension lectrique v(t) aux bornes dun oscillateur quartz (tel quon en trouve dans lesmontres) vrifie lquation diffrentielle : d

2v

dt2 +Av(t) = 0 avec A = 4,239.1010 USI. Quelle

est lunit de A ? Quelle est la frquence de cet oscillateur ?2. Un lectron de masse me = 9,11.1031 kg et de charge q = 1,61.1019 C est pig lintrieur dun dispositif tel que son nergie potentielle est Ep =

12

qV0d2 z

2 o V0 =5,0 V etd = 6,0 mm. On sintresse un mouvement de llectron selon laxe (Oz).

a. Exprimer lnergie mcanique de llectron en fonction des donnes et de z(t) de dzdt .b. On suppose que lnergie mcanique est constante dans le temps. Calculer la frquence

des oscillations de llectron selon (Oz) dans le pige.

1.2 Mouvement sinusodal ()On filme avec une webcam le mobile tudi dans le premier paragraphe. A laide dun logicielpermettant de relever image aprs image la position de G, on trouve que G passe par saposition dquilibre, avec une vitesse dans le sens de (Ox), linstant t1 = 1,44 0,03 s etquil passe ensuite pour la premire fois au milieu entre la position dquilibre et la positiondlongation maximale linstant t2 = 2,52 0,1 s.1. Calculer la priode des oscillations.2. Pourquoi na-t-on pas choisi de mesurer linstant o le mobile passe par la position dlon-gation maximale ?

1.3 Vibration dun diapason ()Un diapason vibre la frquence du La4 soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo lampli-tude du mouvement de lextrmit des branches A = 0,5 mm. Quelle est la vitesse maximalede lextrmit du diapason ? Quelle est lacclration maximale de ce point ?1.4 nergie de loscillateur harmonique ()

Lnergie mcanique dun oscillateur harmonique scrit : Em(t) =12

m20 x2 +

12

m

(dxdt

)2.

On suppose quil ny a aucun phnomne dissipatif : lnergie mcanique est donc constante.1. En utilisant la conservation de lnergie, retrouver lquation diffrentielle de loscillateurharmonique.2. On suppose que x(t)=Acos(0t+). Exprimer lnergie cintique et lnergie potentielleen fonction de m, 0, A et cos(2t+2). On utilisera les formules : cos2 =

12(1+cos(2))

et sin2 = 12(1 cos(2)). Vrifier que lnergie mcanique est bien constante.

40

Exer

cice

sAPPROFONDIR

3. Tracer sur un mme graphe les courbes donnant lnergie cintique et lnergie potentielleen fonction du temps. Quelle est la frquence de variation de ces nergies ?

1.5 Caractristiques de signaux sinusodaux ()1. Donner lamplitude, la priode, la frquence et la phase initiale des signaux suivants :

a. x(t) = 15cos(100t+ 0,5) ;b. x(t) = 5sin(7,854.106t) ;c. x(t) = 2sin(120t 4 ) ;d. x(t) = 15cos(2,0.103t) 5sin(2,0.103t) (indication : utiliser la reprsentation de

Fresnel).2. Quelle est la phase initiale dun signal sinusodal qui vaut la moiti de sa valeur maximaleet crot linstant t = T4 o T est la priode ?

1.6 Dtermination dun dphasage ()La figure reprsente un cran doscilloscopeavec deux signaux sinusodaux de mme fr-quence s1(t) (en noir) et s2(t) (en gris). La ligneen tiret reprsente le niveau zro pour les deuxsignaux. Une division de laxe des temps cor-respond 20 ms.

1. Dterminer la frquence des signaux.2. Caculer le dphasage de s2 par rapport s1.3. Quelle est la phase de s1 au point le plus gauche de lcran ?

APPROFONDIR

1.7 Vibration dune molcule ()La frquence de vibration de la molcule de chlorure dhydrogne HCl est f = 8,5.1013 Hz.On donne les masse atomiques molaires : MH = 1 gmol1 et MCl = 35,5 gmol1, ainsi quele nombre dAvogadro :NA = 6,02.1023 mol1.On modlise la molcule par un atome dhydrogne mobile reli un atome de chlore fixepar un ressort de raideur k.1. Justifier lhypothse dun atome de chlore fixe.2. Calculer k.3. On admet que lnergie mcanique de la molcule est gale 1

2h f o h = 6,63.1034 Js

est la constante de Planck. Calculer lamplitude du mouvement de latome dhydrogne.4. Calculer sa vitesse maximale.

41

Exer

cice

s CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE

1.8 Un modle dlasticit dune fibre de verre ()Le verre est un matriau trs dur. On peut toutefois le dformer lgrement sans le casser : onparle dlasticit. Rcemment, des expriences de biophysique ont t menes pour tudierlADN. Le capteur utilis tait simplement une fibre optique en silice amincie lextrmitde laquelle on accroche un brin dADN. Lexprience consistait suivre la dformation deflexion de la fibre. La masse volumique du verre est = 2500 kg.m1.

Y kFF

La fibre de verre de longueur et de diamtred est encastre horizontalement dans une pa-roi immobile. Au repos, la fibre est horizon-tale (on nglige son poids). Quand on appliqueune force verticale F (on supposera que la forceF reste verticale tout au long de lexprience) lextrmit libre de la fibre, celle-ci est d-forme. Lextrmit est dplace verticalementdune distance Y que lon appelle la flche (voirfigure).La flche Y est donne par la relation suivante (on notera la prsence du facteur numrique7, sans dimension, qui est en fait une valeur approche pour plus de simplicit) : 7

3FEd4 , o

E est appel module dYoung du verre. Pour les applications numriques on prendra pour lemodule dYoung E = 7.1010 S.I..

1. Quelle est lunit S.I. du module dYoung E ?2. En considrant uniquement la force F , montrer que lon peut modliser la fibre de verre parun ressort de longueur vide nulle et de constante de raideur k dont on donnera lexpressionanalytique en fonction de E , d et .3. Calculer numriquement k pour une fibre de longueur = 7 mm et de diamtre d = 10 m.

On a tous fait lexprience suivante : faire vibrer une rgle ou une tige lorsquune deses extrmits est bloque. On cherche ici trouver les grandeurs pertinentes qui fixentla frquence des vibrations. Lextrmit de la tige vaut Y (t) linstant t. On admet quelors des vibrations de la fibre, lnergie cintique de la fibre de verre est donne par lex-

pression Ec = d2(

dYdt

)2. Son nergie potentielle lastique lorsque la flche vaut Y est :

Ep =12

Ed473

Y 2.

4. crire lexpression de lnergie mcanique de la fibre en ngligeant lnergie potentiellede pesanteur.5. Justifier que lnergie mcanique se conserve au cours du temps. En dduire lquationdiffrentielle qui rgit les vibrations de la fibre.6. Quelle est lexpression de la frquence propre de vibration dune tige de verre de moduledYoung E , de longueur et de diamtre d ?7. Calculer numriquement la frquence des vibrations dune fibre de verre de longueur 7 mmet de diamtre 0,01 mm.

42

Exer

cice

sCo

rrig

s

CORRIGS

CORRIGS

1.1 Reconnatre un oscillateur harmonique

1. A se mesure en s2. Lquation diffrentielle est celle dun oscillateur harmonique de

pulsation =

A donc de frquence f = 2

=

A

2= 32,77 kHz.

2. a. Lnergie mcanique est la somme de lnergie cintique Ec =12

me

(dzdt

)2et de

lnergie potentielle donne, soit : Em =12

me

(dzdt

)2+

12|qV0|

d2 z2, car qV0 = (q)(V0) =

|qV0|.b. Lnergie mcanique tant conserve, dEmdt = me

d2zdt2

dzdt +

|qV0|d2

dzdt z(t) = 0, soit aprs

simplification par dzdt et division par m :d2zdt2 +

|qV0|med2

z(t) = 0.

On reconnat lquation dun oscillateur harmonique de pulsation = |qV0|

med2et donc de

frquence f = 12

|qV0|med2

= 25.106 Hz = 25 MHz.

1.2 Mouvement sinusodal

1. Le mobile passe par sa position dquilibre avec une vitesse dans le sens positif t1.Daprs la figure 1.3 du cours la phase du signal x(t) t = t1 est = 2 . La loi horaire dumouvement est donc : x(t) = Acos

((t t1) 2

)= Asin((t t1)).

2. A linstant t2, x(t2) =A2 , donc sin((t2 t1)) =

12 , soit (t2 t1) = arcsin

(12

)=

3 .

Ainsi : = 3(t2 t1) do T =2

= 6(t2 t1) = (6,48 24) s.

Pour encadrer le rsultat il faut le calculer avec les valeurs extrmes des donnes.Par exemple la valeur maximale de T est : 6 (2,52 + 0,1 (1,44 0,03)) =6,72 s.

3. La mesure de linstant de passage la position dlongation maximale est imprcise car lavitesse du mobile sannule cet instant.

1.3 Vibration dun diapasonLa loi horair

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