PHY3813H: Mécanique Quantique Avancée

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    05-Jan-2017

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  • PHY3813H: McaniqueQuantique Avance

    David London

    Universite de Montreal

    hiver 2006

    PDF: http://www.lps.umontreal.ca/london/london.html

    Mecanique Quantique Avancee p. 1

  • Plan du Cours Bureau : V-210 Tlphone : 343-5836 courriel : london@lps.umontreal.ca heures de bureau : jeudi, 10h00 11h00, ou par rendez-vous

    Horaire, local du cours:

    Cours: lundi, 11h30 13h30, Z-260 Cours: mardi, 9h30 11h30. Z-260 TP: mercredi, 8h30 10h30, Z-245

    Modalits dvaluation:

    Devoirs (8) : 20% Examen Intra (lundi, 20 fvrier, 11h30 13h30, Z-245) : 30% Examen Final (lundi, 24 avril, 9h00 12h00, Z-240): 50%

    Mecanique Quantique Avancee p. 2

  • Rfrences:

    Mcanique Quantique, tome II, Cohen-Tannoudji, Diu et Lalo. Quantum Physics, S. Gasiorowicz, Introductory Quantum Mechanics, R.L. Liboff, autres textes en rserve la bibliothque.

    Matire:

    addition de moments cintiques (coefficients de Clebsch-Gordan), oprateurs tensoriels, thorme de Wigner-Eckart, particules identiques, perturbations indpendantes du temps, mthode des variations, atome dhydrogne: structures fine et hyperfine, perturbations dpendantes du temps, diffusion.

    Mecanique Quantique Avancee p. 3

  • Correcteur/Dmonstrateur:

    Philippe Hamel: Bureau : V-207 Tlphone : 343-6111 x0769 courriel : philippe.hamel@umontreal.ca

    Hlne Paquette: Bureau : V-207 Tlphone : 343-6111 x0769 courriel : paquetteh@lps.umontreal.ca

    IL FAUT POSER DES QUESTIONS! Cest la seule faon dapprofondirles nouveaux concepts de la mcanique quantique et dvelopper sonintuition.

    Cest important dassister aux cours. Mes notes ne donnent quunaperu de la matire. Je les augmenterai en classe avec desexplications dtailles. De plus, il est conseill de consulter lesrfrences.

    Mecanique Quantique Avancee p. 4

  • Table des Matieres Postulats pg. 7 Principe de Superposition pg. 10 E.C.O.C. pg. 11 Revue du Moment Angulaire pg. 12 Conservation du Moment Angulaire pg. 14 Addition de Moments Cintiques pg. 22 Coefficients de Clebsch-Gordan pg. 38 Isospin pg. 44 Oprateurs Tensoriels pg. 46 Thorme Wigner-Eckart pg. 53 Particules Identiques pg. 65 Perturbations Indpendantes du Temps pg. 76 Mthode des Variations pg. 108 Le Vrai Atome dHydrogne pg. 136

    Mecanique Quantique Avancee p. 5

  • Effet Zeeman pg. 154 Effet Stark pg. 161 Muonium/Positronium pg. 164 Perturbations Dpendantes du Temps pg. 169 Perturbations Adiabatiques pg. 196 Perturbations Brusques pg. 199 Ondes lectromagntiques pg. 206 Coefficients dEinstein pg. 221 La Rgle dOr de Fermi pg. 224 Temps de Vie pg. 236 Diffusion pg. 250 Diffusion: Particules Identiques pg. 272 Thorme Optique pg. 282 Approximation de Born pg. 286

    Mecanique Quantique Avancee p. 6

  • Postulats

    chaque quantit physique mesurable A on associe un oprateurhermitique A. Les valeurs propres dun oprateur hermitique sontrelles.

    Lors dune mesure de A, les rsultats possibles sont les valeurspropres de A, an:

    A n = an n .

    n est la fonction propre de A correspondant la valeur proprean.

    On suppose quon mesure lobservable A et quon trouve la valeuran. Cette mesure laisse le systme dans ltat n. (On appellecela leffondrement de la fonction donde.)

    Mecanique Quantique Avancee p. 7

  • Ltat dun systme un temps t donn est reprsent par unefonction donde (~r, t) continue. Toute information sur le systmeest contenue dans la fonction donde.

    La probabilit quune particule dcrite par la fonction donde(~r, t) se trouve dans llment de volume d3r est donne par:

    P (~r, t) d3r = |(~r, t)|2 d3r .

    Pour un systme dans ltat (~r, t), la valeur moyenne dunobservable A au temps t est

    A =d3r (~r, t) A (~r, t) .

    Lincertitude sur la mesure de lobservable A est dfinie commetant:

    A =A2 A2 .

    Mecanique Quantique Avancee p. 8

  • La fonction donde dun systme se dveloppe dans le tempsselon lquation de Schroedinger:

    i~

    t(~r, t) = H(~r, t) .

    Particules identiques: on considre une fonction donde dcrivantun systme contenant des particules identiques. Sous despermutations de ces particules, cette fonction donde doit tre soitsymtrique, soit antisymtrique.

    Symtrique: particules de spin entier (bosons),

    Antisymtrique: particules de spin 12 -entier (fermions).

    Mecanique Quantique Avancee p. 9

  • Principe de Superposition

    On suppose quon connat la fonction donde (x). Si on mesurelobservable A, quels rsultats peut-on trouver, et avec quellesprobabilits?

    Pour rpondre cette question, on suit la dmarche suivante. Ondveloppe (x) en fonction des tats propres de A. Si les valeurs

    propres an de A sont discrtes, on a:

    (x) =

    n

    bn n(x) , bn =

    dxn(x)(x) .

    Une mesure de A donne le rsultat an avec probabilit |bn|2.

    Pour le cas o les valeurs propres de A sont continues, la dmarcheest similaire, sauf quil faut remplacer la sommation par une intgrale.

    Mecanique Quantique Avancee p. 10

  • E.C.O.C.Si deux oprateurs commutent, ils ont des tats propres communs.

    Remarque: ceci ne veut pas dire que tous les tats propres sontcommuns, mais on peut trouver des tats propres communs.

    E.g.

    A =

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 2

    , B =

    1 0 0

    0 2 0

    0 0 3

    , C =

    1 1 0

    1 1 0

    0 0 1

    [A,B] = 0 = vecteurs propres communs:

    1

    0

    0

    ,

    0

    1

    0

    ,

    0

    0

    1

    [A,C] = 0 = vecteurs propres communs: 12

    1

    1

    0

    , 1

    2

    1

    10

    ,

    0

    0

    1

    Mais [B,C] 6= 0 = / un ensemble de vecteurs propres communs.

    Mecanique Quantique Avancee p. 11

  • On considre loprateur H dun systme dont les valeurs propres (lesnergies) sont E. On suppose quil y a des dgnrescences.Cest--dire: il y a plus dun tat avec une nergie donne E. a veutdire que si on mesure lnergie et on trouve E, on ne connat pas ltatavec certitude.

    On amliore la situation en considrant un deuxime oprateur A quicommute avec H. Les deux oprateurs ont des tats proprescommuns. Ces tats sont caracteriss par les valeurs propres E et a.En mesurant ces deux observables, on peut distinguer les tats.

    Supposons quil y ait encore des dgnrescences (i.e. il y a plus duntat avec les mmes valeurs propres). Donc on considre un autreoprateur B qui commute avec H et A. On continue de cette faonjusqu ce que tout tat soit bien dfini par les valeurs propresE, a, b, ... Les oprateurs finaux H, A, B, ... sappelle un EnsembledOprateurs qui Commutent (E.C.O.C.). La mesure de ces oprateursdonne linformation maximale sur le systme.

    Mecanique Quantique Avancee p. 12

  • Revue du Moment Angulaire

    Mcanique classique: le moment angulaire orbital est une constantedu mouvement, i.e. Lx, Ly, Lz tous conservs.

    Mcanique quantique: composantes de ~L ne commutent pas:

    [Li, Lj ] = i~ ijkLk .

    = on ne peut pas mesurer simultanment les 3 composantes dumoment angulaire.

    On peut mesurer simultanment ~L2 et une composante de ~L (e.g. Lz):[~L2, Lz] = 0 = on cherche des tats propres communs ~L2 et Lz.

    un moment angulaire intrinsque: le spin ~S. part le fait quil peutprendre des valeurs 12 -entires (le moment angulaire orbital ne prend

    que des valeurs entires), ~S agit comme ~L = dsormais on utilise lesymbole ~J pour le moment angulaire gnral.

    Mecanique Quantique Avancee p. 13

  • tats propres communs ~J2 et Jz: |j,m:~J2 |j,m = j(j + 1)~2 |j,m ,Jz |j,m = m~ |j,m .

    j est entier ou 12 -entier, j, j + 1, ... m ... j 1, j.

    Oprateurs dchelle:J = Jx iJy ,

    oJ |j,m = ~

    j(j + 1) m(m 1) |j,m 1 .

    Cas spcial important: spin- 12 . Il y a deux tats, spin + et spin :|+

    12

    12

    et |

    12 12

    . Dans la base {|+ , |}, on a

    ~S =1

    2~~ , o x =

    (0 1

    1 0

    ), y =

    (0 ii 0

    ), z =

    (1 0

    0 1

    ).

    Mecanique Quantique Avancee p. 14

  • Conservation du Moment Angulaire

    Moment angulaire conserv si [H,Lz] = 0 et [H, ~L2] = 0. On considreune particule dont le potentiel est V (r). Nous avons

    Lz = xpy ypx = i~(x

    y y

    x

    ).

    Lz est-il conserv?

    LHamiltonien est

    H = ~2

    2m~2 + V (r) , ~2 =

    2

    x2+

    2

    y2+

    2

    z2.

    Il faut calculer [H,Lz]: 2 parties, [~2, Lz], [V (r), Lz]

    Mecanique Quantique Avancee p. 15

  • (i) [~2, Lz]:[2

    z2,

    (x

    y y

    x

    )]= 0 .

    [2

    x2,

    (x

    y y

    x

    )]=

    2

    x2

    (x

    y y

    x

    )(x

    y y

    x

    )2

    x2

    termes proportionnels y sannulent.

    =

    x

    (

    y+ x

    2

    xy

    ) x

    3

    x2y

    =2

    xy+

    2

    xy+ x

    3

    x2y x

    3

    x2y

    = 22

    xy.

    Mecanique Quantique Avancee p. 16

  • [2

    y2,

    (x

    y y

    x

    )]=

    2

    y2

    (x

    y y

    x

    )(x

    y y

    x

    )2

    y2

    termes proportionnels x sannulent.

    =

    y

    ( x

    y 2

    xy

    )+ y

    3

    xy2

    = 2

    xy

    2

    xy y

    3

    xy2+ y

    3

    xy2

    = 2 2

    xy.

    [~2, Lz] = 0 .

    Mecanique Quantique Avancee p. 17

  • (ii) [V (r), Lz], o r =x2 + y2 + z2:

    [V (r),

    (x

    y y

    x

    )]= V (r)

    (x

    y y

    x

    )(x

    y y

    x

    )V (r)

    = xV (r)y

    + yV (r)

    x

    = xVr

    r

    y+ y

    V

    r

    r

    x

    =V

    r

    (yr

    x xr

    y

    )

    =V

    r