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Chapitre 7
PHONONS ET
VIBRATIONS DES
RESEAUX
INTRODUCTION A LA PHYSIQUE DES MATERIAUX
Pr. A. Belayachi Universit Mohammed V Agdal Facult
des Sciences Rabat Dpartement de Physique - L.P.M
[email protected]
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1. Dfaut du modle du rseau statique Lors des tudes faites dans
les prcdents chapitres nous avons considr que les atomes, ions et
molcules constituant le rseau cristallin taient immobiles, fixes et
rigides. Cependant ce modle ne peut tre valable qu temprature
nulle. A T , chaque ion doit avoir une nergie thermique, et par
consquent, un certain mouvement autour de sa position dquilibre.
Dans la thorie quantique des solides mme temprature nulle, le modle
du rseau statique est incorrect, car le principe dincertitude de
Heisenberg fait que . implique que les ions localiss possdent une
certaine quantit de mouvement quadratique moyenne non nulle.
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Le modle du rseau statique choue dans le
traitement de beaucoup de faits exprimentaux
quon peut regrouper en trois grandes catgories:
1. Echecs dans lexplication des proprits
dquilibre:
- carts dans les calculs des nergie de cohsion
de cristaux molculaires (Chapitre 5: Energie de
cohsion des solides, Devoir 5);
- existence de la dilatation thermique;
- origine de chaleur spcifique cv du rseau;
- fusion des solides.
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2. Echecs dans lexplication des proprits de transport:
- dpendance en temprature du temps de relaxation
lectronique;
- cart par rapport la loi de Wiedmann-Franz (Chapitre 4:
Classification lectrique des matriaux);
- existence de la supraconductivit (Chapitre 4: Classification
lectrique des matriaux);
- conductivit thermique des isolants;
- transmission du son par les solides (Chapitre 6: Constante
dlasticit et ondes lastiques).
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3. Echecs dans lexplication des interactions de
divers types de rayonnements avec le solide:
- rflectivit des cristaux ioniques;
- diffusion inlastique de la lumire par les
phonons;
- diffusion des neutrons.
Dans ce qui suit, on considre que le cristal nest
plus statique mais assujetti des vibrations
lastiques. Chaque atome, ion ou molcule est
anim dun mouvement oscillatoire autour dune
position dquilibre. Lobjectif est de dterminer
la frquence w de londe vibratoire en fonction de son vecteur
donde .
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2. Approximation du cristal harmonique Dans le traitement
classique des vibrations du rseau nous ferons deux hypothses:
On suppose que la position dquilibre moyenne de
chaque ion ou atome est un site du rseau de Bravais, qui
reprsente la position moyenne et non pas sa position instantane
fixe.
On suppose que les dplacements u de chaque atome ou ion partir
de sa position dquilibre se font sur des longueurs petites devant
lespacement interatomique. Ceci conduit une thorie simple
lapproximation harmonique partir de laquelle on peut extraire des
rsultats quantitatifs prcis qui sont souvent en excellent accord
avec les proprits observes dans les solides.
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3. Thorie classique du cristal harmonique
3.1 Vibrations dune chane monoatomique
Nous supposons quune onde lastique de vecteur
donde se propage dans une direction telle que les polarisations
en soient purement ou
longitudinales (dplacement colinaire ) ou
transversales (dplacement perpendiculaire ). us+1 us+2 us-1 us-2
us
us+2 us+1 us
us-1 us-2
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3.2 Relation de dispersion
Soit Cp la constante de rappel entre latome s et latome s + p,
est soumis laction de tous les atomes p, p s. La force rsultante
exerce sur latome dindice scrit:
= +
La deuxime loi de newton donne:
=
En identifiant les deux relations on obtient:
= +
(1)
(2)
(3)
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Cest une quation diffrentielle linaire du
second ordre, o M reprsente la masse dun
atome. On cherche une solution de cette quation
diffrentielle sous la forme dune onde plane
monochromatique damplitude u0 et de vecteur
donde .
= exp
+ = exp +
- tant le paramtre du rseau;
- exp dsigne la fonction exponentielle;
- la pulsation de londe monochromatique.
(4)
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On remplace les expressions de la relation (4) dans (3) ce qui
donne:
=
()
En simplifiant on obtient:
=
De plus = , ce qui donne:
=
>
=
cos >
(5)
(6)
(7)
(8)
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Si linteraction se limite au premiers proches
voisins, la relation (8) devient:
=
cos
=
sin
=
sin
Appele relation de dispersion. On choisit positive pour un rseau
stable. Les figures 1 et 2
donnent les reprsentations graphiques des
relations (10) et (11).
(9)
(10)
(11)
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Figure 1: Reprsentation de la relation de dispersion = pour un
chane monoatomique avec interaction entre premiers proches voisins
.
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Figure 2: Reprsentation de la relation de dispersion = pour un
chane monoatomique avec interaction entre premiers proches voisins
.
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La fonction est priodique et de priode
, elle
prend toutes les valeurs possibles pour:
Ce domaine de valeur de est confondu avec la premire zone de
Brillouin de la chane linaire (Chapitre 1: Les rseaux direct et
rciproque), les
valeurs extrmes de sont
. Par consquent, le
dplacement des atomes de la chane linaire peut toujours tre
dcrit par un vecteur donde situ dans la premire zone de Brillouin.
Aux limites:
=
la solution:
= exp
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ne reprsente pas une onde mobile mais une onde
stationnaire. Pour cette onde deux atomes voisins
vibrent en opposition de phase, suivant que
lindice est pair ou impair. Les ondes ne se dplacent ni vers la
gauche ni vers la droite.
3.3 Vitesse de groupe
Pour un paquet donde la vitesse de groupe est
dfinie par:
=
A trois dimensions on a:
=
(12)
(13)
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Elle reprsente la vitesse de transmission de
lnergie dans le milieu. Daprs la relation (11)
on peut calculer vg:
=
=
La vitesse de groupe est nulle aux limites de la
premire zone de Brillouin, ce qui confirme que
londe nest pas une onde de propagation mais
une onde stationnaire.
(14)
(15)
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Figure 3: Vitesse de groupe g en fonction du module du vecteur
donde . A la limite de la premire zone de Brillouin la vitesse de
groupe est nulle.
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4. Vibrations dune chane diatomique
Considrons une chane diatomique, de
paramtre de rseau a, avec deux atomes de
masses respectives M1 et M2 (M1>M2). On
suppose que chaque atome interagit avec ses
proches voisins avec la mme constante de
rappel C, on note u le dplacement de latome de
masse M1 et v le dplacement de latome de
masse M2. On suppose quune onde lastique de
vecteur donde se propage dans la chane.
a
us vs vs-1
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Les quations de mouvement des atomes
scrivent:
= +
= + +
On cherche des solutions ayant la forme donde
de propagation damplitudes u et v.
=
=
On substitue (17) dans (16).
(16)
(17)
-
= +
= +
Le systme dquations linaires homognes
deux inconnues u et v na de solutions non nulles
que si le dterminant du systme est nul.
+
+
=
On obtient alors une quation :
+
+
=
Cest une quation bicarr en w.
(18)
(19)
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On rsout lquation par le changement de variable:
=
=
+
+
- Lexpression avec le signe traduit la relation de dispersion
pour la branche acoustique. Au
voisinage de 0, la vitesse de groupe est constante et
gale la vitesse du son.
- Lexpression de avec le signe + traduit la relation de
dispersion pour la branche optique.
(20)
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Figure 4: Branches optique et acoustique pour une chane linaire
diatomique .
Branche optique
Branche acoustique
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La figure 4 ci-dessus montre que les solutions
ondulatoires nexistent pas pour les valeurs de w
tel que:
![Electrons, Phonons, Magnons [Kaganov M.I., MIR]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/55cf854b550346484b8c7171/electrons-phonons-magnons-kaganov-mi-mir.jpg)
