PEVNOSTNÍ KRITÉRIA PRO

KOMPOZITNÍ MATERIÁLY

Ing. Jan Krystek

Plzeň 2012

i

OBSAH

OBSAH .................................................................................................................................. i

SEZNAM OZNAČENÍ A ZKRATEK ................................................................................. ii

SEZNAM OBRÁZKŮ ........................................................................................................ iv

SEZNAM TABULEK .......................................................................................................... v

1 ÚVOD .......................................................................................................................... 1

2 Módy porušení dlouhovláknových kompozitů ............................................................ 3

2.1 Porušení vláken ....................................................................................................... 3

2.2 Mezi-vláknové porušení .......................................................................................... 4

2.3 Delaminace .............................................................................................................. 5

3 KRITÉRIA PORUŠENÍ .............................................................................................. 7

3.1 Kritérium maximálních napětí ................................................................................. 9

3.2 Kritérium maximálních deformací ........................................................................ 10

3.3 Hillovo a Tsai-Hillovo kritérium porušení ............................................................ 12

3.4 Hoffmanovo kritérium porušení ............................................................................ 12

3.5 Tsai-Wu kritérium ................................................................................................. 13

3.6 Hashinovo kritérium .............................................................................................. 14

3.7 Puckovo kritérium ................................................................................................. 16

3.8 Kritérium LaRC04 ................................................................................................. 16

4 URČENÍ PEVNOSTNÍCH PARAMETRŮ .............................................................. 22

4.1 Meze pevnosti v tahu – XT a Y

T ............................................................................. 22

4.2 Mezné deformace v tahu – XεT a Yε

T ..................................................................... 24

4.3 Meze pevnosti v tlaku – XC a Y

C ............................................................................ 25

4.4 Mezné deformací v tlaku – XεC a Yε

C ..................................................................... 27

4.5 Podélná smyková pevnost - SL .............................................................................. 28

4.5.1 Smyk – Jednoosý tah ±45° laminátu .............................................................. 28

4.5.2 Smykové testy s dvojitým a trojitým vedením ............................................... 29

4.5.3 Smykový test vzorku s V vrubem (Iosipescu) ............................................... 30

POUŽITÁ LITERATURA ................................................................................................. 31

ii

SEZNAM OZNAČENÍ A ZKRATEK

ASTM American Society for Testing and Materials – mezinárodní

normalizační společnost se sídlem ve West Conshohocken,

Pennsylvania, USA

b [mm] šířka vzorku

E1, E2 [MPa] moduly pružnosti kompozitu ve směru podélném a příčném

F [N] zatěžující síla

Fmax [N] maximální zatěžující síla

FIF, FIM [ - ] indexy porušení pro vlákna a matrici

G12, G13, G23 [MPa] smykové moduly kompozitu v příslušných napěťových rovinách

h [mm] tloušťka vzorku

L [mm] délka vzorku

l0 [mm] počáteční měřená délka

LaRC04 pevnostní kritérium vytvořené v NASA Langley Research Center

v roce 2004

S [MPa] mez pevnosti ve smyku pro izotropní materiál

SL [MPa] podélná mez pevnosti ve smyku

ST [MPa] příčná mez pevnosti ve smyku

x, y, z souřadnicové osy

XC, Y

C, Z

C [MPa] meze pevnosti v tlaku ve směru podélném, příčném a kolmo na

vrstvu

XT, Y

T, Z

T [MPa] meze pevnosti v tahu ve směru podélném, příčném a kolmo na

vrstvu

XεC, Yε

C [MPa] mezné deformace v tlaku ve směru podélném a příčném

XεT, Yε

T [MPa] mezné deformace v tlaku ve směru podélném a příčném

iii

α [°] úhel sklonu roviny porušení vzhledem k rovině dané směry 1 a 3

α0 [°] úhel sklonu roviny porušení při čistém tlaku ve směru příčném

χ [ - ] funkce závislá na L

m2m1ψ2m2 ,, S

ε1, ε2, γ12 [ - ] poměrné deformace v hlavních materiálových směrech a zkos

v rovinně kompozitu

Δl [mm] prodloužení vzorku

Δlmax [mm] maximální prodloužení vzorku

γ1m2m [ - ] zkos v souřadném systému daném směrem vychýlení vláken ze

směru 1

ηL [ - ] koeficient podélného tření materiálu

ηT [ - ] koeficient příčného tření materiálu

φ [°] úhel vychýlení vláken ze směru 1

φc [°] úhel vychýlení vláken při porušení čistým tlakem působícím ve

směru vláken

φc1m2m [ - ] zkos při porušení materiálu čistým tlakem působícím ve směru

vláken

φ0 [°] úhel, při kterém se inicializuje vychýlení vláken ze směru 1

υ12, υ13, υ23 [ - ] Poissonova čísla

σ1, σ2, σ3 [MPa] normálové napětí v kompozitu ve směrech 1, 2, 3

σ12, σ13, σ23 [MPa] smyková napětí v kompozitu v příslušných napěťových rovinách

σn, τL, τ

T [MPa] normálové a tečné napětí v rovině porušení kompozitu

m

n , τTm

, τLm

[MPa] napětí v rovině porušení, která je určena úhlem α

m1ψ3ψ3m2m2m1

m2m2m1m1

,,

,,

[MPa] napětí v souřadnicovém systému, daném úhlem vychýlení vláken φ

313212

3322

,,

,, [MPa] napětí v rovině zborcení určené úhlem ψ

Θ [°] úhel natočení vláken vůči podélné ose vzorku

ψ [°] úhel, o který je rovina, ve které dojde k vychýlení vláken ze

směru 1, natočena vzhledem k rovině 12

iv

SEZNAM OBRÁZKŮ

Obr. 1.1 Materiálové směry v lamině. .................................................................................. 1

Obr. 2.1 Porušení vláken při tahovém zatížení. .................................................................... 3

Obr. 2.2 Porušení vláken při tlakovém zatížení a) přetržení vláken vlivem smyku, b) mikro

zborcení, c) zborcení vlivem smyku nebo vybočení vláken. ..................................................... 4

Obr. 2.3 Mezi-vláknové porušení a) vícesměrového, b) jednosměrového laminátu. ........... 4

Obr. 2.4 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tahu, b) podélném smyku. ....................... 5

Obr. 2.5 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tlaku, b) příčném smyku. ........................ 5

Obr. 2.6 Delaminace laminátu. ............................................................................................. 6

Obr. 3.1 Mezné křivky a) von Mises kritérium [39], b) Tresca kritérium [39], c) porovnání

obou předchozích. ...................................................................................................................... 7

Obr. 3.2 Mezné křivky pro rozdílné pevnosti v tahu a tlaku a) von Mises kritérium [39], b)

Tresca kritérium [39]. ................................................................................................................. 7

Obr. 3.3 Mezné křivky pevnosti kritéria max. napětí pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné

měřítko na osách) ....................................................................................................................... 9

Obr. 3.4 Závislost maximálního zatížení na úhlu vláken vůči podélné ose [27]. ............... 10

Obr. 3.5 Mezná křivka pevnosti kritéria maximálních deformací. ..................................... 11

Obr. 3.6 Porovnání mezných křivek pevnosti. ................................................................... 11

Obr. 3.7 Mezné křivky pevnosti kritéria Tsai-Hill pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné

měřítko na osách). .................................................................................................................... 12

Obr. 3.8 Mezné křivky pevnosti Hoffmanova kritéria pro materiál T300/5208 [39]

(rozdílné měřítko na osách). ..................................................................................................... 13

Obr. 3.9 Mezné křivky pevnosti Tsai-Wu kritéria pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné

měřítko na osách). .................................................................................................................... 14

Obr. 3.10 Mezné křivky pevnosti Hashin kritéria pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné

měřítko na osách). .................................................................................................................... 15

Obr. 3.11 LaRC #1. ............................................................................................................. 16

Obr. 3.12 LaRC #2. ............................................................................................................. 17

v

Obr. 3.13 LaRC #3. ............................................................................................................. 17

Obr. 3.14 LaRC #4. ............................................................................................................. 17

Obr. 3.15 Napětí v rovině porušení [32]. ............................................................................ 19

Obr. 4.1 Vzorky pro zkoušku tahem. .................................................................................. 22

Obr. 4.2 Stanovení tahové pevnosti. ................................................................................... 22

Obr. 4.3 Porušené vzorky - zkouška tahem [25]. ............................................................... 23

Obr. 4.4 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení [1]. .......................................... 24

Obr. 4.5 Stanovení mezné hodnoty tahové deformace. ...................................................... 24

Obr. 4.6 Schéma tlakové zkoušky. ..................................................................................... 25

Obr. 4.7 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení [2]. .......................................... 26

Obr. 4.8 Porušení vzorků při tlakové zkoušce (a) θ =90°, (b) θ =90°, (c) θ =0°, (d) θ =0°

[25]. .......................................................................................................................................... 27

Obr. 4.9 Schéma zkoušky tlakem. ...................................................................................... 27

Obr. 4.10 Porušení vzorku po zkoušce tlakem [25]. .......................................................... 27

Obr. 4.11 Vzorek pro zkoušku dle ASTM D 3518 [3]. ...................................................... 28

Obr. 4.12 Schéma smykového testu s dvojitým vedením [4]. ............................................ 29

Obr. 4.13 Schéma smykového testu s trojitým vedením [4]. ............................................. 30

Obr. 4.14 Schéma smykového testu vzorku s V vrubem [5]. ............................................. 30

SEZNAM TABULEK

Tab. 3.1 Kritérium LaRC04. ............................................................................................... 18

Tab. 4.1 Identifikační kódy porušení [1]. ........................................................................... 23

Tab. 4.2 Identifikační kódy porušení [2]. ........................................................................... 26

1

1 ÚVOD

Schopnost predikovat porušení materiálu patří mezi jednu z nejdůležitějších znalostí

strojního inženýra, bez které nelze navrhovat bezpečné konstrukce a konstrukce

s odpovídající životností při úspoře hmotnosti a ceny. Proto je této problematice obecně

věnována velká pozornost. S rozvojem nových materiálů tato potřeba znalostí roste.

Tato práce se zabývá predikcí porušení kompozitních materiálů. Kompozitním materiálem

obecně chápeme materiál složený alespoň ze dvou odlišných složek [27]. Každá složka má

rozdílné vlastnosti (mechanické, chemické, elektrické atd.). Složky jsou oddělené rozhraním a

dohromady vytvářejí celek jedinečných vlastností.

Nejrozšířenějšími kompozitními materiály jsou kompozitní materiály vyztužené vlákny.

Tyto materiály zpravidla tvoří poddajná a houževnatá matrice a jako vyztužení zde slouží

vlákna (obvykle uhlíková, skelná nebo organická aramidová vlákna). Nejčastěji se jedná o

dlouhá vlákna, jejichž délkové rozměry několikanásobně převyšují rozměry průřezové. Jako

matrice jsou nejběžněji používané polymerní materiály, jako například epoxidová pryskyřice.

Pokud nebude dále uvedeno jinak, pojmem kompozitní materiál budeme chápat výše

uvedený materiál s dlouhými vlákny. Jedna tenká vrstva stejně orientovaných vláken v matrici

se nazývá lamina. Kompozit složený z několika těchto různě orientovaných lamin ze stejného

materiálu se nazývá laminát.

Směr vláken v lamině (podélný směr) je označován indexem 1, kolmý na vlákna a ležící

v rovině vláken (příčný směr) indexem 2, směr kolmý na oba předešlé indexem 3 (Obr. 1.1).

Obr. 1.1 Materiálové směry v lamině.

Běžným materiálovým modelem laminy je model ortotropního materiálu, resp. vzhledem

k materiálové symetrii model příčně izotropního materiálu [10], [27]. Pro popis elastického

chování takovéhoto materiálového modelu je třeba znát 5 nezávislých materiálových

parametrů. Znalost těchto materiálových parametrů je při navrhování konstrukcí naprosto

zásadní. Neméně důležitá je i znalost pevnostních parametrů kompozitních materiálů, bez

2

kterých nelze predikovat porušení. Přesné určení materiálových parametrů však není

jednoduché. Výrobci kompozitních materiálů často udávají pouze některé vlastnosti dílčích

složek materiálu, z kterých je třeba určit materiálové parametry výsledného materiálu. Ve

spoustě případů nejsou známy ani tyto základní vlastnosti dílčích složek a je tedy nutné

provést identifikaci materiálových parametrů výsledného materiálu, např. fitováním

numerických modelů na výsledky experimentu.

První přístupy k modelování poškozování vycházely z modelování poškození izotropních

materiálů, především kovů. U těchto materiálů je ve snaze popsat porušování materiálu

náskok zhruba 150 - 200 let. První věrohodné pevnostní kritérium u homogenních a

izotropních materiálů bylo navrženo Coulombem koncem 18. století [11]. Teprve po zhruba

100 letech dal Mohr kritérium do podoby popsatelné na tzv. Mohrově kružnici [29] a

kritérium je tak známé jako Coulomb-Mohr či Mohr-Coulomb [20].

Problém predikce porušování kompozitních materiálů je velmi komplexní. Porušování je

ovlivněno typem zatížení, materiálem složek (matrice a vlákna), skladbou vrstev, vazbou

mezi složkami a dalším. Porucha se často inicializuje pouze lokálně, v místě jedné vrstvy,

nebo na rozhraní mezi vrstvami. K makroskopickému porušení ve vícesměrovém laminátu

může dojít až po rozšíření poruchy do několika vrstev. Konečné (limitní) porušení nastane

v případě, kdy laminát není nadále schopen přenášet daná zatížení.

První důvěryhodná pevnostní kritéria pro vlákny vyztužené kompozitní materiály byla

navržena v 2. polovině 20. století. Tato pevnostní kritéria dosahovala dobré shody s

experimenty v případě jednoosé napjatosti, nebo pouze v některých případech víceosé

napjatosti. Proto byla a jsou vyvíjena další nová pevnostní kritéria pro kompozitní materiály.

Porušování kompozitních materiálů je také ovlivněno strukturou těchto materiálů. Jedním

ze základních rozdělení pevnostních kritérií je rozdělení v závislosti na měřítku [24]

úroveň atomů – 10-9

m [28]

velikost vlákna – 10-6

m [17], [22], [31]

tloušťka laminy – 10-4

m [7], [13], [20]

tloušťka laminátu – 10-3

m [13], [20]

Ve strojním inženýrství jsou rozhodující a nejvýznamnější makroskopická měřítka

(tloušťka laminy a laminátu). Porušování kompozitních materiálů z makroskopického

hlediska je věnována tato práce.

3

2 MÓDY PORUŠENÍ DLOUHOVLÁKNOVÝCH KOMPOZITŮ

K porušení laminátu může dojít buď poškozením jedné nebo více lamin laminátu. Toto

poškození se nazývá „intra-laminární“ poškození. V případě poškození oddělením vedlejší

laminy se jedná o mezilaminární poškození. Poškození se podle závažnosti rozděluje na

počáteční a konečné. Počátečním porušením chápeme lokální porušení (jedné nebo více

vrstev), zatížení se rozloží mezi neporušené vrstvy laminátu, který je i nadále schopen

přenášet dané zatížení.

2.1 Porušení vláken

Tah nebo tlak ve směru vláken způsobí v lamině porušení vláken.

V případě tahového zatížení laminy může pro porušení vláken nastat pouze jeden typ

porušení vláken – přetržení vláken (Obr. 2.1).

Obr. 2.1 Porušení vláken při tahovém zatížení.

V případě zatížení tlakem ve směru vláken může nastat jeden ze tří níže uvedených typů

porušení:

přetržení vláken vlivem smyku („fiber fracture“) - Obr. 2.2a

mikro zborcení („micro-buckling“) - Obr. 2.2b

zborcení vlivem smyku („buckling due to shear“) neboli vybočení („kinking“) -

Obr. 2.2c

Nejběžnějším módem porušením je právě zborcení vlivem smyku nebo vybočení vláken.

Vysoké hodnoty tlakového zatížení způsobí vysoká vnitřní smyková napětí, ty vedou

k vybočení či zborcení vláken. Typ porušení je závislý na mikrostruktuře materiálu (např. zda

obsahuje mikrotrhliny, zda jsou všechna vlákna skutečně rovnoběžná apod.).

4

Obr. 2.2 Porušení vláken při tlakovém zatížení a) přetržení vláken vlivem smyku, b) mikro zborcení, c) zborcení

vlivem smyku nebo vybočení vláken.

2.2 Mezi-vláknové porušení

Mezi vláknové porušení kompozitu („Inter Fiber Failure“ – IFF) je porušení laminy

napříč tloušťkou. Toto porušení je následkem porušení soudržnosti matrice (kohezní

porušení), případně porušení na rozhraní matrice a vlákna (adhezní porušení). Porušení

vznikne v jedné vrstvě laminátu a je zastaveno přilehlou vrstvou s odlišnou orientací vláken

(Obr. 2.3a). V případě jednosměrového laminátu nastává limitní porušení napříč celou

tloušťkou laminátu (Obr. 2.3b).

Obr. 2.3 Mezi-vláknové porušení a) vícesměrového, b) jednosměrového laminátu.

Příčné tahové zatížení (směr 2) generuje mezi-vláknové porušení v rovině porušení, která

je rovnoběžná se směrem vláken (Obr. 2.4a). Obdobně je tomu v případě podélného

smykového napětí (τ12) (Obr. 2.4b).

5

Obr. 2.4 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tahu, b) podélném smyku.

V případě příčného tlakového zatížení (směr 2) (Obr. 2.5a) nebo příčných smykových

napětí (τ23 a τ31) (Obr. 2.5b) nastává mezi-vláknové porušení v rovině rovnoběžné s vlákny,

ale nerovnoběžné s rovinou určenou směry 1 a 3. Porušení v této rovině nesníží schopnost

laminy přenášet zatížení na nulovou hodnotu, ale významně ovlivňuje vedlejší vrstvy. Rovina

porušení vytvoří klín, ten působí na vedlejší vrstvy zatížením kolmo na vrstvy. Toto zatížení

je významné při delaminaci. Na rozdíl od mezi-vláknového porušení laminy při příčném tahu

či podélném smyku (Obr. 2.4) vede obvykle porušení laminy vlivem příčného tlakového

zatížení nebo příčných smykových napětí (Obr. 2.5) ke konečnému porušení laminátu.

Obr. 2.5 Mezi-vláknové porušení při a) příčném tlaku, b) příčném smyku.

2.3 Delaminace

Rozlišujeme tři základní módy namáhání (Obr. 2.1). Delaminace obvykle nastává

oddělením mezi vrstvami, které je zapříčiněno napětím kolmo na vrstvu (směr 3) nebo

příčnými smykovými napětími (τ23 a τ31). Hlavními příčinami bývá existence vad v laminátu

vzniklých při výrobě. Delaminace roste buď únavovým zatížením, nebo postupným

navyšováním statického zatížení.

6

Obr. 2.6 Delaminace laminátu.

7

3 KRITÉRIA PORUŠENÍ

Nejzákladnější dělení kritérií porušení podle měřítka je zmíněno v úvodu. My se budeme

v této kapitole zabývat pouze makromechanickými kritérii pro porušení na úrovni laminy a

laminátu. Jedná se především o kritéria pro jednosměrové kompozity. První pevnostní kritéria

pro kompozitní materiály se inspirovala přístupy u izotropních materiálů. Jedno

z nejpoužívanějších kritérií porušení pro izotropní materiál je von Mises kritérium. Mezná

křivka pro rovinu s nulovým smykovým napětím (σ12 = 0) je pro toto kritérium znázorněna na

Obr. 3.1a. Na obrázku Obr. 3.1b je zobrazeno Tresca kritérium, kde je porušení definováno

maximálním smykovým napětím. Na obrázku Obr. 3.1c je srovnání obou uvedených kritérií.

Obr. 3.1 Mezné křivky a) von Mises kritérium [39], b) Tresca kritérium [39], c) porovnání obou předchozích.

Modifikace von Misesovo kritéria pro případ rozdílných pevností v tahu a tlaku je ukázána

na Obr. 3.2a. Modifikace Tresca kritéria je zobrazena na Obr. 3.2b. Kritérium maximálních

napětí v 1. a 3. kvadrantu mají rozdílné hodnoty. Ve 2. a 4. kvadrantu se již nejedná o

kritérium maximálních smykových napětí, ale o jednoduchou lineární spojnici bodů

odpovídajících tahové a tlakové pevnosti (X T a Y

T).

Obr. 3.2 Mezné křivky pro rozdílné pevnosti v tahu a tlaku a) von Mises kritérium [39], b) Tresca kritérium [39].

8

Při tvorbě prvních kritérií pro kompozitní se materiál přepokládal homogenní materiál

(není rozlišení vlákno a matrice) a průběh napětí lineární až do porušení. Vznikla tak

jednoduchá kritéria maximálního napětí a maximální deformace [10], [27]. Tato kritéria patří

do skupiny neinteraktivních kritérií, u nichž neexistuje vazba mezi normálovými složkami

napětí a ani mezi složkami normálových a smykových napětí.

Dále bylo odvozeno několik již interaktivních kritérií zahrnujících vazbu mezi složkami

normálových napětí i mezi normálovými a smykovými složkami napětí. Z interaktivních

kritérií zde jmenujme alespoň některá, která jsou obsažena v běžných komerčních

konečnoprvkových systémech: Hill [27], Tsai-Wu [38], [39], Hashin [16], [17] a Puck [34],

[35].

V roce 1980 vzniklo první z tzv. direct mode kritérií – Hashin. Direct mode kriteria se

vyznačují tím, že popisují několik druhů, tzv. módů, porušení. Každý tento mód popisují

nezávislou podmínkou. Kritérium Hashin rozeznává čtyři módy porušení. Porušení v tahu

v podélném směru (směr vláken), porušení v tahu v příčném směru, porušení v tlaku ve směru

podélném a porušení v tlaku ve směru příčném. Do skupiny direct mode kritérií patří dále

například Puckovo kritérium či kritérium LaRC [14], [15], [32], [37].

V literatuře [18] jsou obsaženy výsledky z tzv. World Wide Failure Exercise (WWFE).

Práce na tomto projektu začali v roce 1998. V této práci je hodnoceno 19 teorií porušování

pro jednosměrové dlouhovláknové kompozitní materiály. Tyto různé teorie byly hodnoceny

především z hlediska jejich schopnosti predikovat porušení v konkrétním případě. Bylo

navrženo několik experimentů, ve většině případů statické zkoušky, jejichž výstupem byly

hodnoty maximálních sil, při nichž docházelo k porušení materiálu. Dalšími testy byly

únavové testy a testy při změně teploty. Podrobný přehled testovaných kritérií je uveden v

[19], [21]. Velmi dobrých výsledků dosahovalo například kritérium Puck. Nevíhodou tohoto

kritéria je to, že obsahuje parametry, které nemají žádnou fyzikální podstatu. Hodnoty těchto

konstant se stanovují především ze zkušeností nebo ze speciálních testů. Ve WWFE nebyl

stanoven žádný definitivní závěr, který z přístupů, či která z teorií je nejlepší pro obecnou

predikci porušení materiálu. Jedním z důvodů je nedostatek vhodných a spolehlivých

experimentálních dat pro plné zhodnocení různých teorií.

9

3.1 Kritérium maximálních napětí

Kritérium maximálních napětí [27] je nejjednodušším kritériem pro kompozitní materiály.

I přestože je toto kritérium neinteraktivní, tudíž nezahrnuje vazbu mezi jednotlivými složkami

napětí, patří mezi v praxi nejpoužívanější kritéria. A to právě především díky jeho velmi

snadnému použití.

Podle kritéria maximálních napětí dojde k porušení v případě, kdy jedna ze složek napětí

dosáhne příslušné meze pevnosti daného materiálu. Pro rovinou napjatost (σ1, σ2 a σ12) je

možné napsat pevnostní podmínky v tomto tvaru

,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,112

L

12

L

2

T

2

C

1

T

1

C

SSYYXX (3.1)

kde σ1 a σ2 jsou normálová napětí v hlavních materiálových směrech, σ12 je smykové napětí

v rovině vrstvy, XC je mez pevnosti v tlaku ve směru podélném, X

T je mez pevnosti v tahu ve

směru podélném, YC je mez pevnosti v tlaku ve směru příčném, Y

T je mez pevnosti v tahu ve

směru příčném a SL je podélná smyková pevnost.

K porušení dojde, jakmile nebude splněna alespoň jedna z těchto šesti podmínek. Mezní

křivky pevnosti jsou ve třech navzájem kolmých rovinách ve tvaru obdélníka (Obr. 3.3).

Obr. 3.3 Mezné křivky pevnosti kritéria max. napětí pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné měřítko na osách)

Jsou-li složky napětí vyjádřeny v souřadnicovém systému O(x, y, z), zatímco složky mezí

pevností jsou vyjádřeny v hlavních materiálových směrech O(1, 2, 3) je třeba složky napětí σx,

10

σy a σxy transformovat do souřadnicového systému O(1, 2, 3). Více k tomuto je uvedeno v

[27]. Z Obr. 3.4 je zřejmé, že pro mezní hodnotu napětí ve směru osy x platí tři vztahy, které

jsou funkcí úhlu Θ (natočení vláken vůči ose x). Pro malé úhly Θ je maximální zatížení

závislé na pevnosti v tahu ve směru podélném XT. S rostoucím úhlem je maximální zatížení

ovlivňováno pevností ve smyku SL. Pro velké úhly je pak rozhodujícím faktorem pro porušení

mez pevnosti v tahu ve směru příčném YT.

Obr. 3.4 Závislost maximálního zatížení na úhlu vláken vůči podélné ose [27].

3.2 Kritérium maximálních deformací

Toto kritérium je analogické k předchozímu. K porušení dojde v případě, kdy jedna ze

složek vektoru deformace dosáhne mezné hodnoty deformace. Pro případ rovinné napjatosti

lze opět zapsat šest podmínek pevnosti ve tvaru

,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,112

L

12

L

2

T

2

C

1

T

1

C

εεεεεε SSYYXX

(3.2)

kde ε1 a ε2 jsou složky deformace v materiálových směrech, γ12 je zkos, XεC je mezná

deformace v tlaku ve směru podélném, XεT je mezná deformace v tahu ve směru podélném,

YεC je mezná deformace v tlaku ve směru příčném, Yε

T je mezná deformace v tahu ve směru

příčném a SεL je mezný zkos.

Při platnosti Hookeova zákona je možno tyto podmínky přepsat [27] do tvaru

11

,1 ,1

,1 ,1

,1 ,1

12

L

12

L

1122

T

1122

C

2121

T

2121

C

SS

YY

XX

(3.3)

kde ν12 je Poissonovo číslo.

Mezní křivka pevnosti v souřadnicích normálových napětí (σ1, σ2) je ve tvaru kosodélníka

(Obr. 3.5). Na Obr. 3.6 je srovnání obou neinteraktivních kritérií (maximálních napětí a

maximálních deformací)

Obr. 3.5 Mezná křivka pevnosti kritéria maximálních deformací.

Obr. 3.6 Porovnání mezných křivek pevnosti.

Připomeňme, že obě uvedená kritéria patří mezi neinteraktivní. Jejich nedostatkem je, že

nezahrnují vazby mezi normálovými složkami napětí a mezi normálovými a smykovými

složkami napětí, přičemž právě na kombinaci různých složek napětí může záviset porušení.

Při jednoosém namáhání neinteraktivita sice nehraje významnou roli, při víceosém namáhání

12

je třeba mít toto na zřeteli. Z těchto důvodů bylo třeba zavést kritéria, která by tento

nedostatek odstranila. Vznikala tak kritéria založená na energetických přístupech.

3.3 Hillovo a Tsai-Hillovo kritérium porušení

Hillovo kritérium vychází z von Misesovy podmínky pro izotropní materiál. Hill tuto

podmínku rozšířil pro ortotropní materiály a v podmínce uvažoval stejné pevnosti v tahu a

tlaku (XT=X

C atd.). Pro případ rovinné napjatosti má Hillovo podmínka tvar

1111

2

L

12212T2T2T

2

T

2

2

T

1

SZYXYX

, (3.4)

kde XT,Y

T,Z

T jsou meze pevnosti v hlavních materiálových směrech.

Tsai zjednodušil Hillovu podmínku pro případ jednosměrových kompozitů, kdy uvažoval

YT

= ZT. Tím se podmínka pevnosti zjednoduší na tvar

1T

21

2

L

12

2

T

2

2

T

1

XSYX

. (3.5)

Na Obr. 3.7 jsou vyobrazeny mezné křivky porušení dle kritéria Tsai-Hill ve třech

rovinách. Měřítko pro napětí ve směru vláken je přibližně pětkrát menší než pro napětí ve

směru příčném nebo než pro smykové napětí.

Obr. 3.7 Mezné křivky pevnosti kritéria Tsai-Hill pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné měřítko na osách).

3.4 Hoffmanovo kritérium porušení

Hoffman zobecnil Hillovo kritérium pro případ rozdílných mezí pevností v tahu a tlaku.

Pro rovinou napjatost v rovině vrstvy lze Hoffmanovu podmínku porušení napsat ve tvaru

13

12

2

122CT

TC

1CT

TC

CT

21

CT

2

2

CT

2

1

LSYY

YY

XX

XX

XXYYXX

. (3.6)

Na Obr. 3.8 jsou vyobrazeny mezné křivky porušení dle Hoffmanova kritéria ve třech

rovinách.

Obr. 3.8 Mezné křivky pevnosti Hoffmanova kritéria pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné měřítko na osách).

3.5 Tsai-Wu kritérium

Tsai a Wu navrhli kritérium ve tvaru polynomu [27]. S předpokladem, že plocha

poškození bude obsahovat pouze složky napětí nikoliv složky deformace, sestavili pro

anizotropní materiál podmínku ve tvaru

,6,...,2 ,1 , ,1jiijii jiff (3.7)

kde fi a fij jsou tenzory pevnosti prvního a druhého řádu. Pro parametry fi a fij určené pomocí

experimentů (zejména stanovení pevností pro jednotlivé způsoby zatěžování) lze pevnostní

podmínku Tsai-Wu pro rovinnou napjatost zapsat ve tvaru

121111

CT

21*

122L

2

12

CT

2

2

CT

2

12CT1CT

XXf

SYYXXYYXX

, (3.8)

kde *

21f je vazební koeficient, který může být vyjádřen následovně

,112

1 2

CT

CTTC

CT

CTTC

2

*

12

YY

XXYY

YY

XXXXf (3.9)

14

kde σ je zatížení (napětí), při kterém dojde k porušení při dvouosém testu. Vazební koeficient

*

21f je považován za empirický koeficient. V případě, že 2/1*

21 f přejde pevnostní

podmínka Tsai-Wu (3.8) do tvaru Hoffmanova kritéria (3.6). Na Obr. 3.9 jsou vyobrazeny

mezné křivky porušení dle Tsai-Wu kritéria ve třech rovinách.

Obr. 3.9 Mezné křivky pevnosti Tsai-Wu kritéria pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné měřítko na osách).

3.6 Hashinovo kritérium

Toto kritérium bylo původně vyvíjeno pro jednosměrové polymerní kompozity. Je to

jedno z prvních kritérií, které rozlišovalo několik módů porušení, zde konkrétně čtyři.

Kritérium bylo sepsáno jako dvojdimenzionální. Na Obr. 3.10 jsou vyobrazeny mezné křivky

porušení dle Hashin kritéria ve třech rovinách.

Módy porušení Hashinova kritéria jsou následující

porušení vláken v tahu při σ1 ≥ 0

12L

2

12

2

T

1

SX

(3.10)

porušení vláken v tlaku při σ1 < 0

1

2

C

1

X

(3.11)

15

porušení matrice v tahu při σ22 > 0

1

2

L

12

2

T

22

SY

(3.12)

porušení matrice v tlaku při σ22 < 0

12

12

2

L

12

2

T

22

C

22

T

C

SSYS

Y . (3.13)

Obr. 3.10 Mezné křivky pevnosti Hashin kritéria pro materiál T300/5208 [39] (rozdílné měřítko na osách).

Při rozšíření pro prostorovou napjatost jsou podmínky porušení následující

porušení vláken v tahu při σ1 ≥ 0

12L

2

13

2

12

2

T

1

SX

(3.14)

porušení vláken v tlaku při σ1 < 0

1

2

C

1

X

(3.15)

16

porušení matrice v tahu při (σ22 + σ33) > 0

1

2L

2

13

2

12

2T

3322

2

23

2T

2

3322

SSY

(3.16)

porušení matrice v tlaku při (σ22 + σ33) < 0

1

4 1

2 2L

2

13

2

12

2T

3322

2

23

2T

2

3322

C

3322

T

C

SSSYS

Y . (3.17)

3.7 Puckovo kritérium

Puckovu kritériu je věnována pozornost v práci [9], která vznikala současně s touto

publikací.

3.8 Kritérium LaRC04

Tato kapitola je převzata z autorovy diplomové práce [26].

Jedná se o moderní pevnostní kritérium, které bylo vytvořeno v NASA Langley Research

Center v roce 2004 [32]. Toto kritérium je odvozeno pro plně 3D napěťový stav. Výsledkem

kritéria je hodnota indexu porušení 1,0FI . Je-li tento index roven 1, znamená to, že dojde

k porušení.

Kritérium LaRC04 rozeznává šest módů porušení.

LaRC #1

Dle toho módu nastane vlivem tahu příčně na vlákna k porušení matrice (Obr. 3.11).

Obr. 3.11 LaRC #1.

LaRC #2

Vlivem tlaku ve směru příčném na vlákna dojde k porušení matrice pod určitým úhlem.

Z obrázku Obr. 3.12 je patrný smysl natočení roviny zlomu vzhledem k rovině dané směry 1 a

3 o úhel α.

17

Obr. 3.12 LaRC #2.

LaRC #3

Vlivem tahu ve směru vláken dojde k prostému přetržení vláken (Obr. 3.13).

Obr. 3.13 LaRC #3.

LaRC #4

Vlivem tlaku ve směru vláken a ve směru příčném na vlákna dojde k vychýlení vláken

z jejich podélného směru (směr 1) a jejich následnému porušení. Na obrázku Obr. 3.14 je

znázorněna rovina, v níž dojde k vychýlení vláken ze směru 1 o úhel φ, tato rovina je

natočená od roviny dané směry 1 a 2 o úhel ψ.

Obr. 3.14 LaRC #4.

LaRC #5

Vlivem tlaku ve směru vláken a tlaku ve směru příčném na vlákna dojde k vychýlení

vláken a k porušení matrice pod určitým úhlem.

LaRC #6

Vlivem tlaku ve směru vláken a tahu ve směru příčném na vlákna dojde k vychýlení

vláken a jejich následnému porušení a dále následuje porušení matrice mezi vlákny.

18

V tabulce Tab. 3.1 jsou formulovány jednotlivé módy, včetně prvního přiblížení pro módy

LaRC#1 a LaRC#6, které je nutné použít při neznalosti konstanty g vyjadřující poměr energií

nutných k iniciaci šíření trhliny v materiálu.

Symboly FIM a FIF jsou indexy porušení pro matrici a vlákna.

Tab. 3.1 Kritérium LaRC04.

Při uvažování lineárního konstitutivního vztahu lze získat hodnoty napětí a konstant

užitých v podmínkách porušení uvedených v tabulce Tab. 3.1 pomocí vztahů uvedených v

[23].

Přesné určení hodnoty funkce L

1m2m2m2ψ ,, S je popsáno v [32]. Při nedostatku

experimentálních dat lze použít prvního přiblížení módu LaRC#1 a LaRC#6.

Úhel, pod kterým dojde k porušení matrice jen vlivem tlaku ve směru příčném na vlákna,

je pro většinu jednosměrových kompozitů s uhlíkovými vlákny 0 = 53° 5°. Koeficient

příčného tření materiálu lze vyjádřit

0

T

2tan

1

, ( 3.18 )

LaRC#1, 2 0

2

T

2

T

2M 1

Yg

YgFI

LaRC#1, první přiblížení

2

L

12

2

T

2M

SYFI

LaRC#2, 2 0 nebo 3 0; 1 -YC

2

n

LL

L2

n

TT

T

M

SSFI

LaRC#3, 1 0 T

1F

XFI

LaRC#4, 1 0; 2m2m 0

2

2m2m

LL

1m2mF

SFI

LaRC#5, 2 0 nebo 3 0; 1 -YC

2

m

n

LL

Lm2

m

n

TT

Tm

M

SSFI

LaRC#6, 1 0; 2m2m 0

2

T

2m2m

T

2m2mFM 1

Yg

YgFI

LaRC#6, první přiblížení

2

L

1m2m

2

T

2m2mFM

SYFI

19

a příčná pevnost ve smyku

0

000

CT

2tan

cossin cos

YS , ( 3.19 )

a v případě chybějících experimentálních dat lze uvažovat koeficient podélného tření

materiálu

T

TLL

SS

. ( 3.20 )

Napětí v rovině porušení, která se určí nalezením takového z intervalu 0,, pro které

bude FIM (mód LaRC#2) maximální, lze vypočíst ze vztahů

2sin2cos22

233232

n

,

2cos2sin2

2332T

, ( 3.21 )

2sin2cos 1312

L .

Význam těchto napětí a úhlu je patrný z obrázku Obr. 3.15.

Obr. 3.15 Napětí v rovině porušení [32].

Úhel, při kterém se inicializuje vychýlení vláken ze směru 1

C

1m2m

C0 , ( 3.22 )

20

kde c je vychýlení vláken při porušení čistým tlakem působícím ve směru vláken a C

1m2m je

zkos v případě porušení materiálu čistým tlakem ve směru vláken. Tyto veličiny lze určit

ze vztahů

.

,

2

411

arctan

12

CCc

1m2m

C

L

C

LL

C

L

C

G

X

X

S

X

S

X

S

( 3.23 )

Úhel (Obr. 3.14) je dán vztahem

32

232arctan

2

1

. ( 3.24 )

Napětí v rovině, ve které dojde k vychýlení vláken ze směru 1 (určené úhlem ) se

vypočtou ze vztahů

.sincos

,0

,sincos

,

,2sin2cos22

1213ψ31

ψ3ψ2

1321ψ12

ψ2ψ232ψ3ψ3

233232

ψ2ψ2

( 3.25 )

Potom bude úhel, o který se vychýlí vlákna ze směru 1

1m2m

0

12ψ

12ψ

, ( 3.26 )

kde 1m2m je zkos v souřadném systému daném směrem vychýlení vláken. Jeho velikost je

dána vztahem

0

ψ2ψ2112

2ψ112

0

1m2m

G

G

.

( 3.27 )

21

Nyní je možné vyčíslit napětí v souřadném systému, který je dán úhlem vychýlení vláken

.cos

,sincos

,2cos2sin2

,

,2sin2cos22

1ψ3m1ψ3

1ψ3ψ3ψ22m3ψ

2ψ1

ψ2ψ21

1m2m

1m1mψ2ψ212m2m

2ψ1

ψ2ψ21ψ2ψ21

1m1m

( 3.28 )

Pro kombinovaný mód LaRC#6 je uvažováno porušení vláken jen v případě

2

C

1

X . ( 3.29 )

Napětí v rovině porušení, která je určena úhlem , lze vypočíst ze vztahů

.sincos

,2sin2sin2

,2sin2cos22

m1ψ321

Lm

2m3ψ

ψ3ψ32m2mTm

2m3ψ

ψ3ψ32m2mψ3ψ32m2mm

n

mm

( 3.30 )

22

4 URČENÍ PEVNOSTNÍCH PARAMETRŮ

V této kapitole jsou uvedeny způsoby určení základních pevnostních parametrů, jejichž

znalost je nezbytná pro predikci porušení.

4.1 Meze pevnosti v tahu – XT a Y

T

Meze pevnosti v tahu ve směru vláken XT a ve směru příčném na vlákna Y

T se zpravidla

určují pomocí zkoušek tahem dle ASTM D 3039 [1]. Jedná se o zkoušku kompozitu ve tvaru

plochých podélných vzorků (Obr. 4.1).

Obr. 4.1 Vzorky pro zkoušku tahem.

Vzorky pro určení meze pevnosti v tahu ve směru vláken XT obsahují pouze vlákna ve

směru podélném (θ = 0°). Vzorky pro určení meze pevnosti v tahu ve směru příčném na

vlákna YT obsahují pouze vlákna ve směru příčném (θ = 90°). Pevnosti se stanoví jako

maximální tahová síla vztažená na počáteční průřez vzorku (Obr. 4.2). Na obrázku (Obr. 4.3)

je ukázka vzorků po tahové zkoušce pro úhly θ = 0° a θ = 90°.

Obr. 4.2 Stanovení tahové pevnosti.

23

Obr. 4.3 Porušené vzorky - zkouška tahem [25].

Vzorky je nutné opatřit na obou stranách obou konců hliníkovými příložkami (Obr. 4.1),

aby nedocházelo k porušování vzorků v čelistech vlivem jejich drsného povrchu. Příložky

jsou ke vzorku lepeny lepidly s vysokou smykovou pevností.

Norma ASTM D 3039 dále definuje přípustné a nepřípustné typy porušení (Obr. 4.7). Pro

každý testovaný vzorek by měl být určen tzv. identifikační kód porušení. Jedná se o označení

porušení zahrnující informaci o módu, oblasti a místa porušení. Identifikační kódy se skládají

ze tří znaků. První udává mód porušení, druhý rozsah porušení a třetí místo porušení. Význam

znaků je popsán v Tab. 4.2. Jednotlivá písmena jsou odvozená z anglických výrazů.

Ukázky porušených vzorků po zkouškách tlakem je zobrazeno na Obr. 4.8.

Tab. 4.1 Identifikační kódy porušení [1].

První znak Druhý znak Třetí znak

Mód porušení Kód Oblast porušení Kód Místo porušení Kód

šikmý A mezi příložkami I dole B

delaminace D u příložek A nahoře T

čelisti, příložky G < 1x šířka od čelisti W vlevo L

boční L střed měřené oblasti G vpravo R

mnohonásobný mód M(x,y,z) vícenásobná M střed M

podélné štěpení S různé V různé V

výbušný X neznámé U neznámé U

ostatní O

24

Obr. 4.4 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení [1].

4.2 Mezné deformace v tahu – XεT a Yε

T

Mezné deformace v tahu ve směru vláken XεT a ve směru příčném na vlákna Yε

T se

stanovují ze stejných zkoušek jako výše uvedené meze pevnosti v tahu XT a Y

T. Mezné

deformace v tahu se určí z maximální hodnoty prodloužení Δlmax a počáteční měřené délky l0

(Obr. 4.5)

Obr. 4.5 Stanovení mezné hodnoty tahové deformace.

25

Případně lze mezní deformace v tahu určit pomocí experimentálně získaných pevností XT

a YT při jednoosých namáháních. Při platnosti Hookeova zákona je vztah mezi napětím a

deformací

1

TT

εE

XX ,

2

TT

εE

YY . (4.1)

4.3 Meze pevnosti v tlaku – XC a Y

C

Meze pevnosti v tlaku ve směru vláken XC a ve směru příčném na vlákna Y

C se určují

pomocí zkoušek tlakem dle ASTM D 3410 [2]. Stejně jako u pevností v tahu i zde se jedná o

zkoušky kompozitu ve tvaru plochých podélných vzorků (Obr. 4.6). Vzorky pro určení meze

pevnosti v tahu ve směru vláken XC obsahují pouze vlákna ve směru podélném (θ = 0°).

Vzorky pro určení meze pevnosti v tlaku ve směru příčném na vlákna YC obsahují pouze

vlákna ve směru příčném (θ = 90°). Nevýhodou této zkoušky je potřeba speciálních tlakových

čelistí s vedením (Obr. 4.6).

Obr. 4.6 Schéma tlakové zkoušky.

Ve zmíněné normě ASTM D 3410 jsou definovány přípustné a nepřípustné typy porušení

(Obr. 4.7). Stejně jako u zkoušek tahem by měl být pro každý vzorek určen tzv. identifikační

kód porušení. Význam znaků pro porušení zkouškou tlakem je popsán v Tab. 4.2. Jednotlivá

písmena jsou odvozená z anglických výrazů.

Ukázky porušených vzorků po zkouškách tlakem je zobrazeno na Obr. 4.8.

26

Obr. 4.7 Přípustné a nepřípustné módy a oblasti porušení [2].

Tab. 4.2 Identifikační kódy porušení [2].

První znak Druhý znak Třetí znak

Mód porušení Kód Oblast porušení Kód Místo porušení Kód

šikmý A u příložek A nahoře T

napříč tloušťky H mezi příložkami I střed M

příčný střih T střed měřené oblasti G dole B

roztřepení B vícenásobná M vlevo L

rozdrcení konce C lepidlo u příložky T vpravo R

delaminace D různé V různé V

vzpěr E neznámé U neznámé U

po tloušťce K

boční L

mnohonásobný mód M(x,y,z)

podélné štěpení S

výbušný X

ostatní O

Určení příčné meze pevnosti v tlaku YC je možné i zkouškou tlakem, jejíž schéma je

znázorněno na (Obr. 4.9). Tato zkouška je mnohem jednodušší, než výše popsaná zkouška

tlakem a nevyžaduje žádné speciální čelisti. Porušení vzorku po tlakové zkoušce je zobrazeno

na Obr. 4.10.

27

Obr. 4.8 Porušení vzorků při tlakové zkoušce (a) θ =90°, (b) θ =90°, (c) θ =0°, (d) θ =0° [25].

Obr. 4.9 Schéma zkoušky tlakem.

Obr. 4.10 Porušení vzorku po zkoušce tlakem [25].

4.4 Mezné deformací v tlaku – XεC a Yε

C

Přímé experimentální určení mezních deformací v tlaku ve směru vláken XεC a ve směru

příčném na vlákna YεC je poměrně obtížné. Vzhledem k velmi malé měřené délce (kvůli

vyloučení vzpěru) nelze většinou využít pro měření prodloužení extenzometr. Vyhodnocování

28

prodloužení z příčníků bývá velmi nepřesné. K vyhodnocení prodloužení lze využít např.

metodu digitální korelace obrazu [12], [36].

Stejně jako u mezních deformací v tahu lze určit mezní deformace v tlaku pomocí

experimentálně získaných pevností XC a Y

C při jednoosých namáháních. Při platnosti

Hookeova zákona je vztah mezi napětím a deformací

1

CC

εE

XX ,

2

CC

εE

YY . (4.2)

4.5 Podélná smyková pevnost - SL

Experimentální určení podélné smykové pevnosti je možné několika různými zkouškami:

jednoosý tah laminátu ±45° [3]

smykové testy s dvojitým a trojitým vedením [4]

smykové testy vzorku s V vrubem (Iosipescu [5], s vedením [6])

Vzhledem k různosti zkoušek je vhodné, uvádět kromě hodnoty i typ zkoušky, pomocí níž

byla tato hodnota určena.

4.5.1 Smyk – Jednoosý tah ±45° laminátu

Zkouška dle normy ASTM D 3518 [3] nevyžaduje žádné speciální čelisti. Mezi další

výhody patří u této zkoušky tvarová jednoduchost vzorků (Obr. 4.11). Podélná smyková

pevnost se stanoví ze vztahu

bh

FS

2

maxL , (4.3)

kde Fmax je maximální tahové zatížení, b je šířka vzorku a h je tloušťka vzorku.

Obr. 4.11 Vzorek pro zkoušku dle ASTM D 3518 [3].

29

4.5.2 Smykové testy s dvojitým a trojitým vedením

Smykové zkoušky s dvojitým (Obr. 4.12) a trojitým vedením (Obr. 4.13) definuje norma

ASTM D 4255 [4]. Tyto zkoušky jsou vhodné pro jednosměrové lamináty s orientací vláken

v podélném či příčném směru. U obou smykových zkoušek s vedením jsou vyžadovány

speciální čelisti a vzorky jsou větší než v předchozím případě a musí být opatřeny příslušným

počtem děr, to samozřejmě zvyšuje výrobní náklady vzorků. Podélná smyková pevnost se

stanoví ze vztahů uvedených v obrázcích Obr. 4.12 a Obr. 4.13.

Obr. 4.12 Schéma smykového testu s dvojitým vedením [4].

30

Obr. 4.13 Schéma smykového testu s trojitým vedením [4].

4.5.3 Smykový test vzorku s V vrubem (Iosipescu)

Tento typ zkoušek je popsán v normě ASTM D 5379 [5]. Vzorek s V vrubem je zatěžován

pomocí speciálních ohybových čelistí. Schéma této zkoušky je znázorněno na obrázku Obr.

4.14. Podélná smyková pevnost se stanoví ze vztahu

hw

FS

maxL , (4.4)

Obr. 4.14 Schéma smykového testu vzorku s V vrubem [5].

31

POUŽITÁ LITERATURA

[1] ASTM International: D 3039 Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix

Composite Materials. ASTM International, USA.

[2] ASTM International: D 3410 Standard Test Method for Compressive Properties of Polymer Matrix

Composite Materials with Unsupported Gage Section by Shear Loading. ASTM International, USA.

[3] ASTM International: D 3518 Standard Test Method for In-Plane Shear Response of Polymer Matrix

Composite Materials by Tensile Test of a ±45° Laminate. ASTM International, USA.

[4] ASTM International: D 4255 Standard Test Method for In-Plane Shear Properties of Polymer Matrix

Composite Materials by the Rail Shear Method. ASTM International, USA.

[5] ASTM International: D 5379 Standard Test Method for Shear Properties of Composite Materials by the

V-Notched Beam Method. ASTM International, USA.

[6] ASTM International: D 7078 Standard Test Method for Shear Properties of Composite Materials by V-

Notched Rail Shear Method. ASTM International, USA.

[7] Basu, S.,

[8] Waas, A. M., Ambur, D. R.: Compressive Failure of Fiber Composites under Multi-axial Loading.

Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006, Vol. 54, p. 611-634. ISSN 0022-8223.

[9] Bek, L.: Kritérium porušení Puck pro dlouhovláknové kompozintí materiály. ZČU v Plzni. 2012.

[10] Berthelot, J. M.: Composite Materials. New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 9780387984261

[11] Coulomb, C. A.: In Nemories de Mathematique et de Physique. Academic Royal des Sciences par diver

sans. 1773, Vol. 7, p. 343-382.

[12] Daika, A.: Měření deformací pomocí digitální korelace obrazu. Bakalářská práce. ZČU v Plzni. 2011

[13] Daniel, I. M., Luo, J., Schubel, P. M. et al.: Interfiber/interlaminar Failure of Composites under Multi-

axial States of Stress. Composites Science and Technology. 2009, Vol. 69, p. 764-771. ISSN 0266-3538.

[14] Dávila, C. G., Camanho, P. P.: Failure criteria for FRP laminates in plane stress. NASA Langley

Research Center, Hampton, Virginia, USA, NASA/TM-2003-212663, Science report, 2003.

[15] Dávila, C. G., Jaunky, N., Groswarni, S.: Failure criteria for FRP laminates in plane stress. NASA

Langley Research Center, Hamplton, Virginia, USA, AIAA 2003-991, 11:5380-5390.

[16] Hashin Z.: Failure Criteria for Unidirectional Fibre Composites. ASME Journal of Applied Mechanics.

1980, Vol. 47 (2), p. 329-334. ISSN 0021-8936.

[17] Hashin, Z., Rotem, A. A: Fatigue Failure Criterion for Fiber-Reinforced Materials. Journal of

Composite Materials. 1973, Vol. 7, p. 448-464. ISSN 0021-9983.

[18] Hinton, M. J., Kaddour, A. S., Soden, P. D.: Failure Criteria in Fibre Reinforced Polymer Composites:

The World-Wide Failure Exercise. First edition. ELSEVIER, 2004, 1255 p. ISBN 0-08-044475-X.

[19] Hinton, M. J., Soden, P. D.: Prediction failure in composite laminates: the background to the exercise.

Composites Science and Technology, Vol. 55, pp. 1001-1010, 1998.

[20] Christensen, R. M.: Stress Based Failure Criteria for Materials Science and Engineering.

www.failurecriteria.com, 2010.

[21] Kaddour, A. S., Hinton, M. J., Sodden, P. D.: A comparison of the predictive capabilities of current

failure theories for composite laminates: additional contribution. Composite Science and Technology

64, ELSEVIER, 2004, 28, 449-476.

[22] Kim, B. R., Lee, H. K.: An RVE-based Micromechanical Analysis of Fiber-reinforced Composites

Considering Fiber Size Dependency. Composite Structures. 2009, Vol. 90, p. 418-427. ISSN 0263-8223.

[23] Kottner, R.: Spojování kompozitních a kovových strojních částí z hlediska tuhosti a pevnosti. Disertační

práce, ZČU v Plzni, 2007.

[24] Kottner, R.: Strength prediction of composite structural elements under multi-axial stress state. Návrh

projektu P101_11_P108_PC_PD1, 2010

32

[25] Krystek, J., Kroupa, T., Kottner, R.: Identification of mechanical properties from tensile and

compression tests of unidirectional carbon composite. Experimental Stress Analysis 2010, May 31 –

June 3, 2010, Velké Losiny, Czech Republic.

[26] Krystek, J.: Návrh a výpočet hnacího dvojkolí pro lokomotivu z nestandardních materiálů z hlediska

tuhosti a pevnosti. Diplomová práce, ZČU v Plzni, 2008.

[27] Laš, V.: Mechanika kompozitních materiálů. Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň, 2. vydání, 2008.

[28] Li, C., Chou, T.: Failure of Carbon Nanotube/polymer Composites and the Effect of Nanotube

Waviness. Composites: Part A. 2009, Vol. 40, p. 1580-1586. ISSN 1359-835X.

[29] Mohr, O.: Welche Unstande Bedingen die Elastizitasgrenze und den Bruch eines Materials. Zeitschrift

des Vereines Deutscher Ingenieure. 1900, Vol. 44, p. 1524-2530.

[30] Navaid, M. R.: Global sensitivity analysis of parameters in Puck's failure theory for laminated

composite. Thesis, San Diego State University, 2010.

[31] Ogihara, S., Koyanagi, J.: Investigation of Combined Stress state Failure Criterion for Glass

Fiber/epoxy Interface by the Cruciform Specimen Method. Composites Science and Technology. 2010,

Vol. 70, p. 143-150. ISSN 0266-3538.

[32] Pinho, S. T., Dávila, C. G., Camanho, P. P., Iannucci, L., Robinson, P.: Failure Models and Criteria for

FRP Under In-Plane or Three-Dimensional Stress States Including Shear Non-Linearity. Research

report, NASA/TM-2005-213530, NASA Langley Research Center, 2005, 69 p.

[33] Pinho, S. T., Iannucci, L., Robinson, P.: Physically-based Failure Models and Criteria for Laminated

Fibre-reinforced Composites with Emphasis on Fibre Kinking: Part I: Development. Composites: Part

A. 2006, Vol. 37, p. 63-73. ISSN 1359-835X.

[34] Puck, A., Kopp, J., Knops, M.: Guidelines for the determination of the parameters in Puck’s action

plane strength criterion. Elsevier, Composites Science and Technology 62, 2002, 8:371-378.

[35] Puck, A., Schürmann, H.: Failure Analysis of FRP Laminates by Means of Physically Based

Phenomenological Models. Composites Science and Technology. 1998, Vol. 58, p. 1045-1067. ISSN

0266-3538.

[36] Sánchez-Arévalo, F. M, Pulos, G.: Use of digital image correlation to determine the mechanical

bahaviour of materials. Elsevier Inc., 2008.

[37] Silvestre, T. P., Dávila, G. C., Camanho, P. P., Iannucci, L., Robinson, O.: Failure models and criteria

for FRP under in-plane or three-dimensional stress state including shear non-linearity. Research report,

NASA/TM-2005-213530, NASA Langley Research Center VA 23681 USA, 2005.

[38] Tsai, S. W., Wu, E. M.: A General Theory of Strength for Anisotropic Materials. Journal of Composite

Materials. 1971, Vol. 5, p. 58-80. ISSN 0021-9983.

[39] Tsai, S. W.: Strength and Life of Composite. Department of Aeronautics and Astronautics, Stanford

University, Stanford, CA 94305-4035. ISBN 978-0-9819143-0-5.