Persamaan Maxwell

Modul 1-2 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dan gelombang elektromagnetik

1.1 The Displacement Current

Jika kawat pembawa arus memiliki simetri tertentu, medan magnet dapat diperoleh

menggunakan hukum Ampere:

(1.1.1)

Persamaan menyatakan bahwa integral garis dari medan magnet di sekitar lup

tertutup sembarang sama dengan encI0μ dimana adalah arus konduksi yang

mengalir pada permukaan yang dibatasi oleh lintasan tertutup. Sebagai tambahan,

sebagai konsekuensi hukum induksi Faraday, perubahan medan magnet dapat

menghasilkan medan listrik:

encI

(1.1.2)

Sebaliknya, perubahan medan listrik dapat menghasilkan medan magnet, dan suku

kanan Eq. (1.1.1) harus dimodifikasi untuk merefleksikan simetri antara E dan B.

Untuk memperlihatkan bagaimana medan magnet dapat dihasilkan dengan medan

listrik yang berubah terhadap waktu, kita fikirkan kapasitor yang sedang di-charge.

Selama proses charging, intensitas medan listrik bertambah terhadap waktu dan lebih

banyak muatan terakumulasi pada pelat. Arus konduksi pembawa muatan juga

menghasilkan medan magnet. Untuk menerapkan hukum Ampere menghitung

medan ini, dipilih kurva C seperti Figure 1.1.1 sebagai lup Amperian.

Elektromagnetika Telekomunikasi


Figure 1.1.1 Permukaan S1 dan S2 dibatasi oleh kurva C.

Jika permukaan S1 yang dibatasi oleh permukaan datar, maka arus yang dilingkup

adalah . Bila kita memilih S2 menjadi permukaan yang dibatasi oleh kurva,

maka karena tidak ada arus yang lewat. Sehingga terdapat kontradiksi

dalam memilih permukaan yang dilingkup kurva C secara tepat. Maxwell

menyelesaikan masalah ini dengan menambahkan pada bagian kanan hukum

Ampere suku tambahan:

II enc =

0=encI

(1.1.3)

yang disebut “displacement current.” Suku ini menyatakan perubahan fluks listrik.

Sehingga hukum Ampere (atau Ampere-Maxwell) menjadi

(1.1.4)

Asal displacement current dapat dipahami sebagai berikut:

Figure 2.1.2 Displacement through S

2



Pada Figure 1.1.2, fluks listrik melewati S2 diberikan dengan persamaan

(1.1.5)

Dimana A adalah luas pelat kapasitor. Dari Eq. (1.1.3), displacement current

berhubungan dengan laju pertambahan muatan pada pelat

(1.1.6)

Meskipun demikian, suku pada sisi kanan sama dengan arus konduksi, I.

Sehingga, disimpulkan bahwa arus konduksi melalui S1 secara detil sama dengan

displacement current yang melewati S2,

dtdQ /

dII = . Dengan hukum Ampere-Maxwell,

kontradiksi dalam pemilihan permukaan yang dibatasi lup Amperian dapat diatasi.

2.2 Gauss’s Law for Magnetism Hukum Gauss untuk magnetika

Hukum Gauss untuk elektrostatika menyatakan bahwa fluks listrik melalui permukaan

tertutup sebanding dengan muatan yang dilingkupi (Figure 1.2.1a). Garis medan

listrik berasal dari muatan positif dan berakhir di muatan negative. Untuk kesetaraan

magnetik akan ada yang menulis

(1.2.1)

dimana adalah muatan magnetic (monopole) yang dilingkupi permukaan

Gaussian. Akan tetapi monopole magnetic yang terisolasi tidak pernah ditemukan.

Sehingga dan hukum Gauss untuk magnetika menjadi

mQ

0=mQ

(1.2.2)

Hal ini berimplikasi bahwa jumlah garis medan magnet yang memasuki permukaan

tertutup sama dengan jumlah garis medan yang meninggalkan permukaan. Ini berarti



tidak ada sumber. Garis harus kontinyu tanpa awal dan titik akhir. Dalam

kenyataannya, sebagaimana pada Figure 1.2.1(b) untuk batangan magnet, garis

medan yang berasal dari kutub utara ke kutub utara di luar magnet kembali lagi di

dalam magnet dan membentuk lup tertutu.

Figure 1.2.1 Gauss’s law for (a) electrostatics, and (b) magnetism.

1.3 Persamaan Maxwell

Empat persamaan yang membentuk dasar fenomena elektromagnetika:

Hukum Persamaan Interpretasi fisis

Fluks listrik melalui suatu

permukaan tertutup sebanding

dengan muatan yang dilingkupi

Perubahan fluks magnetic

menghasilkan medan listrik

Fluks magnetic total melalui

suatu permukaan tertutup

adalah nol

Arus listrik dan perubahan fluks

listrik menghasilkan medan

magnet

Semuanya dikenal sebagai persamaan Maxwell. Dapat pula ditulis dapat bentuk

diferensial:


Modul 1-2 Persamaan Maxwell Dengan sumber Tanpa keberadaan sumber

0,0 == IQ

dimana ρ dan J adalah muatan bebas dan densitas arus konduksi.

Konsekuensi penting persamaan Maxwell, seperti akan dilihat, adalah prediksi

keberadaan gelombang elektromagnetik yang berjalan dengan kecepatan cahaya

00/1 εμ=c . Alasannya adalah karena fakta bahwa perubahan medan listrik

menghasilkan medan magnet dan sebaliknya, dan kapling antara kedua medan

membawa pada terbentuknya gelombang elektromagnetik. Prediksi ini dikonfirmasi

oleh H. Hertz pada 1887.

1.4 Plane Electromagnetic Waves

Untuk mengamati sifat gelombang elektromagnetik, fikirkan gelombang

elektromagnetik yang merambat pada arah +x, dengan medan listrik E mengarah ke

arah +y dan medan magnet B pada arah +z, seperti ditunjukkan 2.4.1 di bawah. Yang

dibahas di sini adalah gelombang bidang dimana E dan B uniform pada setiap bidang

yang tegak lurus terhadap arah perambatan. Gelombang adalah transversal karena

kedua gelombang tegak lurus terhadap arah rambah, yang menuju ke arah perkalian

silang E x B.



Figure 1.4.1 A plane electromagnetic wave

Menggunakan persamaan Maxwell akan diperoleh hubungan antara besar medan.

Untuk ini, fikirkan lup persegi pada bidang xy, seperti pada Figure 2.4.2. Diketahui

vektor satuan normal terhadap lup pada arah positif z, . kn ˆˆ =

Figure 1.4.2 Spatial variation of the

electric field

Figure 1.4.3 Spatial variation of the

magnetic field

Menggunakan hukum Faraday

(2.4.1)

Sisi kiri dapat dituliskan dengan

(1.4.2)

Dimana perluasannya dapat dibuat

(1.4.3)

Di sisi lain, laju perubahan fluks magnetic pada sisi kanan diberikan dengan



(1.4.4)

Menyamakan kedua persamaan dan dibagi dengan luas yxΔΔ menghasilkan

(1.4.5)

Syarat kedua pada hubungan antara medan listrik dan magnet dapat dideduksi

menggunakan persamaan Ampere-Maxwell:

(1.4.6)

Fikirkan lup persegi pada bidang xz yang digambarkan pada Figure 2.4.3, dengan

normal satuan . Integral garis dari medan magnet adalah jn ˆˆ =

(1.4.7)

Di sisi lain, turunan waktu dari fluks listrik adalah

(2.4.8)

Menyamakan dua persamaan dan dibagi dengan zxΔΔ diperoleh

(2.4.9)

Hasil menunjukkan bahwa medan listrik yang berubah terhadap waktu dihasilkan oleh

medan magnet yang berubah secara spasial. Menggunakan Eqs. (2.4.4) dan (2.4.8),

diverifikasi bahwa medan listrik dan magnet memenuhi persamaan gelombang satu

dimensi. Untuk menunjukkan ini, pertama dilakukan turunan parsial dari Eq. (1.4.5)

terhadap x, dan turunan parsial lain dari Eq. (1.4.9) terhadap t:



Perhatikan sifat interchange dari diferensiasi parsial:

(1.4.11)

Dengan cara yang sama, lakukan turunan parsial dari Eq. (1.4.9) terhadap x

menghasilkan, dan turunan parsial lainnya dari Eq. (1.4.5) terhadap t menghasilkan

Hasil dapat diringkaskan dengan :

(1.4.2)

Ingat bahwa bentuk umum dari persamaan gelombang satu dimensi diberikan

dengan

(1.4.14)

Dimana v adalah laju perambatan dan ),( txψ adalah fungsi gelombang, terlihat jelas

bahwa Ey dan Bz memenuhi persamaan gelombang dan merambat dengan

kecepatan cahaya:

Disimpulkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Spektrum

gelombang elektromagnetik ditunjukkan pada Figure 1.4.4.



Figure 1.4.4 Electromagnetic spectrum

2.4.1 Persamaan gelombang satu dimensi

Setiap fungsi yang berbentuk )( vtx ±ψ memenuhi persamaan gelombang satu

dimensi yang ditunjukkan pada Eq. (1.4.14). Coba buktikan !!. Persamaan gelombang

adalah satu contoh persamaan diferensial linier, yang berarti bahwa ),(1 txψ dan

),(2 txψ adalah solusi terhadap persamaan gelombang, maka ),(),( 21 txtx ψψ ±

adalah juga solusi. Implifikasinya bahwa gelombang elektromagnetik mematuhi

prinsip superposisi. Satu kemungkinan solusi terhadap persamaan gelombang

adalah

(1.4.21)

Dimana medan adalah sinusoidal dengan amplitude E0 dan B0. Jumlah gelombang

angular k berhubungan dengan panjang gelombang λ dengan persamaan

(2.4.22)

Dan frekuensi angular ω adalah



(1.4.23)

Dimana f adalah frekuensi linier. Pada ruang hampa gelombang merambat dengan

kecepatan cahaya ν=c. Perilaku karakteristik dari gelombang elektromagnetik

sinusoidal diilustrasikan dalam Figure 1.4.5.

Figure 1.4.5 Plane electromagnetic wave propagating in the +x direction.

Kita lihat E dan medan B selalu satu fasa (mencapai maksima dan minima pada

waktu yang sama). Untuk memperoleh hubungan antara amplitudo medan E0 dan Bo,

kita gunakan Eqs. (1.4.4) dan (1.4.8). Mengambil turunan parsial akan menghasilkan

(1.4.24)

dan

(1.4.25)

Yang berimplikasi 00 BkE ω= atau

(1.4.26)

Dari Eqs. (2.4.20) dan (2.4.21), secara mudah diperlihatkan bahwa besar dari medan

pada sembarang jarak dihubungkan dengan



(1.4.27)

Mari kita ringkaskan fitur penting gelombang elektromagnetik pada Eq. (1.4.21):

1. Gelombang adalah transversal karena baik medan E dan B tegak lurus terhadap

arah rambat, yang mengarah pada hasil perkalian silang BE × .

2. Medan E dan B tegak lurus satu sama lain. Sehingga perkalian titiknya hilang

0=• BE .

3. Rasio besar dan amplitude medan adalah

4. Laju rambat dalam vakum setara dengan kecepatan cahaya 00/1 εμ=c .

5. Gelombang elektromagnetik mematuhi prinsip superposisi.

1.5 Standing Electromagnetic Waves

Mari kita periksa situasi dimana terdapat dua gelombang elektromagnetik bidang

sinusoidal, satu berjalan pada arah +x, dengan

(1.5.1)

Dan yang lainnya berjalan pada arah -x, dengan

(1.5.2)

Untuk mempermudah, diasumsikan bahwa gelombang elektromagnetik ini memiliki

amplitude yang sama ),( 0201002010 BBBEEE ==== dan juga panjang gelombang

),( 2121 ωωω ==== kkk . Menggunakan prinsip superposisi, medan listrik dan

medan magnet dapat dituliskan sebagai berikut,

(2.5.3)



dan

(1.5.4)

Menggunakan identitas

(1.5.5)

Persamaan di atas dapat dituliskan ulang sebagai

(1.5.6)

dan

(1.5.7)

Dapat diperiksa bahwa medan total dan masih memenuhi

persamaan gelombang pada Eq. (1.4.2), meskipnun tidak lagi memiliki bentuk

),( txE y ),( txBz

tkx ω± . Gelombang yang dijelaskan oleh Eqs. (1.5.6) dan (1.5.7) adalah standing

waves, yang tidak merambat tetapi hanya berosilasi pada ruang dan waktu.

Pertama diperiksa ketergantungan medan terhadap ruang. Eq. (1.5.6)

memperlihatkan bahwa medan listrik total tetap nol pada setiap waktu jika atau 0=kx

(1.5.8)

Bidang yang mengandung titik-titik ini disebut nodal planes dari medan listrik. Di sisi

lain, ketika 1sin ±=kx atau

(1.5.9)

Amplitude medan berada pada maksimumnya. Bidang yang mengandung titik-titik ini

disebut anti-nodal planes dari mdan listrik. Perhatikan bahwa di antara dua nodal

planes, terdapat sebuah anti-nodal plane, dan sebaliknya.



Untuk medan magnet, nodal planes harus mengandung titik-titik yang sesuai kondisi

. Ini menghasilkan 0cos =kx

(1.5.10)

Mirip dengan itu, anti-nodal planes untuk B mengandung titik-titik yang memenuhi

atau 1cos ±=kx

(1.5.11)

Sehingga, kita melihat bahwa sebuah nodal plane dari medan magnet

berkorespondensi dengan sebuah anti-nodal plane dari medan magnet dan

sebaliknya.

Untuk ketergantungan waktu, Eq. (1.5.6) memperlihatkan bahwa medan listrik nol

dimanapun saat 0sin =tω , atau

(1.5.12)

Dimana ωπ /2/1 == fT adalah periode. Meskipun demikian, ini adalah kondisi

maksimum untuk medan magnet. Sehingga, tidak seperti gelombang elektromagnetik

berjalan dimana medan listrik dan magnet selalui sefasa, pada standing

electromagnetic waves, kedua medan berbeda fasa 90 derajat.

Standing electromagnetic waves dapat dibentuk dengan confining gelombang

elektromagnetik di antara konduktor reflector sempurna, sepeti diperlihatkan pada

Figure 2.4.6.



Figure 1.4.6 Formation of standing electromagnetic waves using two perfectly

reflecting conductors.

1.6 Poynting Vector

Pada bagian sebelumnya sudah dipelajari bahwa medan listrik dan magnet

menyimpan energi. Sehingga, energi dapat juga dibawa dengan gelombang

elektromagnetik yang mengandung keduanya. Fikirkan sebuah gelombang

elektromagnetik bidang melewati elemen volume kecil seluas A dan ketebalan dx,

seperti pada Figure 1.6.1.

Figure 1.6.1 Electromagnetic wave passing through a volume element

Energi total pada elemen volume diberikan dengan

(2.6.1)



dimana

(1.6.2)

Adalah densitas energi yang berhubungan dengan medan listrik dan magnet. Karena

gelombang elektromagnetik merambat dengan kecepatan cahaya c, waktu yang

diperlukan untuk bergerak melalui elemen volume adalah cdxdt /= . Sehingga dapat

diperoleh laju perubahan energi persatuan luas, dilambangkan dengan S sebagai

berikut

(1.6.3)

Satuan SI dari S adalah W/m2. Perhatikan bahwa cBE = dan 00/1 εμ=c ,

persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai

(1.6.4)

Secara umum, laju aliran energi persatuan luas dapat dijelaskan dengan Poynting

vector S (after the British physicist John Poynting), yang didefinisikan sebagai

(1.6.5)

Yang menunjuk pada arah rambat. Karena E dan B tegak lurus, maka besar S adalah

(1.6.6)

Sebagai contoh, misalkan komponen listrik dari gelombang elektromagnetik bidang

adalah jtkxEE ˆ)cos(0 ω−= . Komponen magnetik terkait adalah

ktkxBB ˆ)cos(0 ω−= dan arah rambat adalah +x. Poynting vector dapat diperoleh

dengan



Figure 1.6.2 Poynting vector for a plane wave

Seperti diharapkan, S menunjuk kea rah rambat gelombang (lihat Figure 1.6.2).

Intensitas gelombang, I, didefinisikan sebagai rerata waktu dari S, diberikan dengan

(1.6.8)

Dimana kita menggunakan

(1.6.9)

Untuk menghubungkan intensitas dengan densitas energi, pertama perhatikan

kesetaraan antara densitas energi listrik dan magnetic:

(1.6.10)

Rerata densitas energi total menjadi

(1.6.11)

Sehingga, intensitas dihubungkan dengan densitas energi dengan

(1.6.12)


Documents

Persamaan Maxwell