PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL TUNGGAL DAN

GANDA UNTUK DATA ATRIBUT DALAM PENGAMBILAN

SAMPEL PENERIMAAN

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Ignasius Indra Kurniawan

NIM: 133114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SINGLE AND DOUBLE SAMPLING PLAN FOR ATTRIBUTES IN

ACCEPTANCE SAMPLING

A Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Ignasius Indra Kurniawan

Student Number: 133114023

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iii

Tugas Akhir

PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL TUNGGAL DAN GANDA

UNTUK DATA ATRIBUT DALAM PENGAMBILAN SAMPEL

PENERIMAAN

Disusun oleh:

Nama : Ignasius Indra Kurniawan

NIM : 133114023

Telah disetujui oleh:

Dosen pembimbing Tugas Akhir

Ir. Aris Dwiatmoko, M.Sc. Tanggal:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

Tugas Akhir

PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL TUNGGAL DAN GANDA

UNTUK DATA ATRIBUT DALAM PENGAMBILAN SAMPEL

PENERIMAAN

Disiapkan dan ditulis oleh

Ignasius Indra Kurniawan

NIM : 133114023

Telah dipertahankan di hadapan Panitia Penguji

Pada Tanggal 20 Februari 2019

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : M.V. Any Herawati, M.Si. .................................

Sekretaris : YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. .................................

Anggota : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. .................................

Yogyakarta,

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

(Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Jika tidak ada tantangannya, apalah arti sebuah perjuangan? Jika semua

orang bisa melakukannya, apalah arti sebuah usaha? Kita adalah manusia

yang dipilih Tuhan untuk mengejar mimpi. Jangan berhenti karena patah

hati”

(Fiersa Besari)

Karya ini saya persembahkan untuk:

Tuhan Yang Maha Esa

Bapak, Mama, dan adik saya yang selalu memberi semangat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir yang saya tulis

ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain kecuali yang disebutkan

dalam daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 6 Februari 2019

Ignasius Indra Kurniawan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

vii

ABSTRAK

Perencanaan pengambilan sampel penerimaan merupakan prosedur yang

digunakan untuk mengambil keputusan untuk menerima atau menolak lot produk-

si berdasarkan tingkat kualitas produk yang terdapat dalam suatu lot produksi. Pe-

rencanaan pengambilan sampel penerimaan biasanya diterapkan pada saat bahan

baku berupa lot produksi diterima oleh perusahaan dari pemasok maupun pada

saat perusahaan akan memasarkan produksinya.

Perencanaan pengambilan sampel penerimaan dalam tugas akhir ini dite-

rapkan pada data kualitas produk bahan baku yang diterima perusahaan. Perenca-

naan pengambilan sampel penerimaan pada tugas akhir ini menggunakan peren-

canaan pengambilan sampel tunggal dan ganda. Perencanaan pengambilan sampel

menghasilkan informasi banyaknya ukuran sampel dan bilangan penerimaan yang

sesuai dengan tingkat kualitas yang telah ditetapkan perusahaan. Kemudian dari

ukuran sampel dan bilangan penerimaan tersebut diperoleh probabilitas peneri-

maan, ASN, AOQ, dan ATI yang dapat digunakan untuk mengevaluasi sampel.

Perencanaan pengambilan sampel tunggal dan ganda diterapkan pada studi

kasus industri manufaktur mesin roti. Studi kasus tersebut diambil dari Journal of

Engineering Science and Design Vol:1 No:2 pp.65-71,2010 dengan modifikasi

pada nilai PQL dan CQL. Pada kasus ini perusahaan akan mengambil keputusan

terhadap lot bahan baku produksi mesin roti yaitu bearing cap. Perencanaan pe-

ngambilan sampel tunggal dan ganda yang diterapkan dapat menjadi pertimba-

ngan perusahaan dalam pengambilan keputusan lot produksi yang diterima peru-

sahaan tersebut dari pemasok.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

viii

ABSRACT

Acceptance sampling plan is a procedure to make decisions to accept or

reject lots based on the level of product quality in a production lot. The acceptance

sampling plan is usually applied when the raw material in the form of lots is re-

ceived by the company from the supplier or when the company will sell the pro-

duct.

Acceptance sampling plan in this final project is applied on data quality of

raw materials that the company has received. Acceptance sampling plan in this

final project uses single sampling plan and double sampling plan. Sampling plan

produces the number of sampel sizes and acceptance number that matches the

quality level that the company has set. Then from the sampel size and the accep-

tance number obtained the probability of acceptance, ASN, AOQ, and ATI which

can be used to evaluate the sample.

Single sampling plan and double sampling plan are applied to case study

of the bakery mahines manufacturing industry. The case study is taken from Jour-

nal of Engineering Science and Design Vol:1 No:2 pp.65-71,2010 with modifica-

tions in the PQL and CQL values. In this case the company will make a decision

on the lot of raw material for the production of bakery machines, that is bearing

cap. The single sampling plan and double sampling plan that are applied can be

considered by the company in making production lot decisions that the company

receives from suppliers.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Ignasius Indra Kurniawan

Nomor Mahasiswa : 133114023

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL TUNGGAL DAN GANDA

UNTUK DATA ATRIBUT DALAM PENGAMBILAN SAMPEL

PENERIMAAN

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, menga-

lihkan dalam bentuk medialain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu izin dari saya maupun memberikan

royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal: 6 Februari 2019

Yang menyatakan

Ignasius Indra Kurniawan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas ber-

kat dan rahmat yang diberikan kepada penulis sehingga penulis mampu menyele-

saikan Tugas Akhir ini. Tugas Akhir ini dibuat guna memenuhi syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sa-

nata Dharma.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan Tugas Akhir ini melibatkan ba-

nyak pihak yang membantu penulis dalam menghadapi berbagai macam kesulitan

dan hambatan selama proses penulisan Tugas Akhir. Oleh karena itu pada kesem-

patan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si, M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

2. Bapak Hartono, Ph.D selaku Kaprodi Matematika.

3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Tugas Akhir.

4. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo,S.j., Bapak Dr. rer. Nat. Herry P. Suryawan,

S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-

dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan

kepada penulis selama perkuliahan.

6. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

7. Kedua orang tua, adik, dan saudara-saudara yang telah mendukung penulis

selama penulisan Tugas Akhir.

8. Teman-teman Matematika angkatan 2013.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses

penulisan Tugas Akhir ini.

Semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar

yang baik.

Yogyakarta, 6 Februari 2019

Penulis,

Ignasius Indra Kurniawan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL…………………………………………………..…………...i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS…………………………….ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………….……iii

HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………….iv

HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………….………………..v

HALAMAN KEASLIAN KARYA…………………………….………………...vi

ABSTRAK……………………………………………………………………….vii

ABSTRACT……………………………………………………………………..viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI…....……………….ix

KATA PENGANTAR…………………….…………………….………………...x

DAFTAR ISI………………………..………………………………………….…xi

BAB I PENDAHULUAN………..……….……………………………………….1

A. Latar belakang…………………..………………………….……………...1

B. Rumusan Masalah……………...………………………………………….3

C. Batasan Masalah…………………………………………………………...3

D. Tujuan Penulisan…………………………………………………………..4

E. Metode Penulisan…………………………………………….……………4

F. Manfaat Penulisan……………………………………………...………….4

G. Sistematika Penulisan……………………………………………………...4

BAB II DISTRIBUSI PELUANG DAN PENGENDALIAN MUTU

STATISTIS………………...…………………………….……………….7

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

xii

A. Pendugaan Parameter…….……………………………………………..…7

B. Variabel acak dan sifat-sifatnya….………………………………………..8

1. Peluang Variabel Acak Diskrit.……….……………….……………....9

C. Pengendalian kualitas Statistis…………………………………………...24

D. Rencana Pengambilan Sampel Penerimaan……………………………...26

1. Pengambilan Sampel Tunggal untuk Data Atribut…………………..28

2. Pengambilan Sampel Ganda untuk Data Atribut…………………….29

E. Kurva KO (Karakteristik Operasi)……………………………………….32

F. Pembetulan Pemeriksaan………………………………………………...44

G. Pembatasan Pemeriksaan………………………………………………...46

H. Tingkat dan Resiko……………………………………………………....51

I. Memilih Tingkat Kualitas………………………………………………..54

J. Grafik Pengukuran……………………………………………………….55

K. Menentukan Perencanaan………………………………………………...58

BAB III PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL TUNGGAL DAN

GANDA UNTUK DATA ATRIBUT DAN PENGUKURAN KINERJA

SAMPEL…………....………………………..…………………………..…61

A. Perencanaan Pengambilan Sampel Tunggal untuk Data Atribut………...61

B. Perencanaan Pengambilan Sampel Ganda untuk Data Atribut……..……67

BAB IV PENERAPAN PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL

TUNGGAL DAN GANDA PADA PERUSAHAAN MANUFAKTUR

MESIN ROTI………………………………..……………………………….76

A. Pengedalian Kualitas pada Industri Manufaktur……….…………………..76

B. Penerapan Pengambilan Sampel pada Industri Manufaktur…………….…77

C. Perencanaan Pengambilan Sampel Tunggal dan Kurva Parameter…….…78

D. Perencanaan Pengambilan Sampel Ganda dan Kurva Parameter ……...…81

BAB V PENUTUP…………………………………………….…………………86

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

xiii

A. Kesimpulan………………………………………………………………86

B. Saran……………………………………………………………………...87

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Statistik adalah metodologi yang digunakan untuk mengumpulkan

mengorganisir, menganalisis, menginterpretasikan dan mempresentasikan data

(Ariani, 2004). Dalam dunia industri banyak ditemukan penerapan statistik. Salah

satu fokus utama dalam dunia industri yaitu kualitas produk. Sementara itu, untuk

menjaga konsistensi kualitas produk yang dihasilkan dan sesuai dengan tuntutan

kebutuhan pasar, perlu dilakukan pengendalian kualitas atas aktivitas proses yang

dijalani. Pengendalian kualitas produksi sangat penting dalam proses produksi

terutama dalam pengambilan keputusan saat terjadi ketidaksesuaian dalam suatu

hasil produksi atau proses produksi. Pada umumnya proses produksi diawali

dengan proses penyediaan bahan baku produksi. Bahan baku produksi dapat

diperoleh dari pemasok atau dapat diproduksi sendiri dari perusahaan tersebut.

Bahan baku sangat berpengaruh dalam proses produksi selanjutnya. Kualitas

produksi dapat dinilai dari kualitas bahan baku. Bahan baku yang berkualitas baik

akan menghasilkan kualitas produk yang baik, namun sebaliknya bahan baku

dengan kualitas buruk akan menghasilkan produk dengan kualitas buruk. Dalam

memantau kualitas bahan baku digunakan teknik khusus dalam statistik yaitu

pengendalian kualitas statistik.

Pengendalian kualitas statistik merupakan teknik penyelesaian masalah

yang digunakan untuk memonitor, mengendalikan, menganalisis, mengelola dan

memperbaiki produk dan proses menggunakan metode-metode statistik (Ariani,

2004). Pengendalian kualitas statistik secara garis besar digolongkan menjadi dua,

yaitu pengendalian proses statistik dan perencanaan pengambilan sampel peneri-

maan produk. Perencanaan pengambilan sampel penerimaan produk adalah

prosedur yang digunakan dalam mengambil keputusan terhadap produk-produk

yang datang atau yang sudah dihasilkan perusahaan (Mitra, 1993). Dalam

praktiknya kerap kali perusahaan tidak mengadakan inspeksi terhadap produk

tersebut atau bahkan mengadakan 100% inspeksi terhadap produk tersebut, se-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

2

hingga perusahaan harus mengeluarkan biaya yang besar untuk melakukan 100%

inspeksi. Oleh karena itu prosedur perencanaan pengambilan sampel penerimaan

sangat dibutuhkan dalam proses produksi.

Perencanaan pengambilan sampel penerimaan dibagi menjadi dua, yaitu

perencanaan pengambilan sampel penerimaan untuk data variabel dan perenca-

naan pengambilan sampel penerimaan untuk data atribut. Data variabel

merupakan karakteristik kualitas yang dapat diukur dalam skala numerik. Contoh

data variabel adalah diameter pipa, panjang balok kayu dan lain sebagainya. Data

atribut merupakan karekteristik kualitas yang sesuai dengan spesifikasi atau tidak

sesuai dengan spesifikasi. Data atribut digunakan apabila tidak dapat dilakukan

pengukuran secara numerik. Contoh data atribut adalah jumlah komponen yang

tidak disolder, jumlah plastik yang berlubang, jumlah kertas dengan warna yang

pudar, dan lain sebagainya.

Perencanaan pengambilan sampel penerimaan untuk data atribut dibagi

menjadi beberapa prosedur, yaitu perencanaan pengambilan sampel tunggal,

perencanaan pengambilan sampel ganda, perencanaan pengambilan sampel darab,

dan perencanaan pengambilan sampel sekuensial. Dalam tugas akhir ini akan

dibahas mengenai perencanaan pengambilan sampel tunggal dan ganda untuk data

atribut.

Perencanaan pengambilan sampel tunggal adalah prosedur menerima atau

menolak lot yang berisi sekumpulan produk, dimana sampel dengan n unit dipilih

secara random dari lot tersebut. Perencanaan pengambilan sampel tunggal terdiri

dari sampel berukuran n dan bilangan penerimaan c. Prosedur perencanaan

pengambilan sampel tunggal bekerja sebagai berikut: Pilih n produk secara

random dari lot. Jika terdapat c atau lebih sedikit produk yang cacat di dalam

sampel itu, maka lot tersebut dapat diterima. Jika terdapat lebih dari c produk

yang cacat di dalam sampel itu, maka lot tersebut dapat ditolak.

Perencanaan pengambilan sampel ganda adalah prosedur menerima atau

menolak lot yang berisi sekumpulan produk, yang menerapkan dua kali pengam-

bilan sampel secara random dari lot tersebut. Prosedur pengambilan sampel ganda

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3

bekerja sebagai berikut: Ambil sampel pertama. Apabila keputusan jelas, diterima

atau ditolak maka proses pengambilan dan pengujian sampel berhenti. Apabila

tidak jelas keputusannya, maka diambil sampel yang kedua tanpa ada pengemba-

lian atau perbaikan dari sampel pertama.

Dalam perencanaan pengambilan sampel tunggal akan dicari probabilitas

penerimaan lot terhadap bagian lot yang cacat. Probabilitas tersebut disajikan

dalam bentuk kurva yang disebut Kurva Karakteristik Operasi (KO).

Dalam pengambilan sampel penerimaan terdapat pembetulan pemeriksaan

terhadap lot yang ditolak. Tujuan penggunaan program tersebut untuk

memberikan jaminan tentang kualitas rata-rata bahan yang digunakan dalam

tingkat operasi produksi berikutnya.

Pada tugas akhir ini perencanaan pengambian sampel tunggal dan ganda

akan diterapkan pada data yang diambil dari Journal of Engineering Science and

Design Vol:1 No:2 pp.65-71, 2010 dengan modifikasi pada nilai PQL dan CQL.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam makalah ini yaitu:

1. Bagaimana proses perencanaan pengambilan sampel tunggal dan ganda

untuk data atribut?

2. Bagaimana menganalisis data yang diperoleh dari perencanaan pengambi-

lan sampel tunggal dan ganda untuk data atribut?

3. Bagaimana menentukan kesimpulan terhadap sampel yang telah dianalisis

pada perencanaan pengambilan sampel tunggal dan ganda untuk data

atribut?

C. Batasan Masalah

Permasalahan yang dirumuskan dalam tugas akhir ini adalah:

1. Prosedur pengambilan sampel yang digunakan dalam tugas akhir ini

menggunakan perencanaan pengambilan sampel tunggal dan ganda.

2. Data yang digunakan dalam tugas akhir ini menggunakan data atribut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4

3. Distribusi probabilitas yang digunakan dalam tugas akhir ini

menggunakan distribusi probabilitas diskrit.

4. Kurva karakteristik operasi yang digunakan pada tugas akhir ini menggu-

nakan kurva karakteristik operasi tipe B.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dalam penulisan makalah ini, yaitu:

1. Mempelajari bagaimana proses pengambilan sampel dengan metode

perencanaan pengambilan sampel tunggal untuk data atribut.

2. Menganalisis data dari sampel yang diperoleh.

3. Mengambil kesimpulan dari data yang telah dianalisis.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan dalam makalah ini adalah studi pustaka menggunakan

buku-buku dan jurnal. Penulisan makalah ini juga disertai dengan studi kasus

dalam menunjang praktik penerapannya. Tugas akhir ini menggunakan program R

untuk mengolah data.

F. Manfaat Penulisan

Dengan melakukan pengambilan sampel tunggal dan ganda terhadap

produk, kita dapat memperoleh besarnya probabilitas terhadap produk yang sesuai

dengan kriteria atau tidak sesuai dengan kriteria, sehingga dapat dilakukan

keputusan menolak atau menerima produk tersebut.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam makalah ini terdiri dari:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

5

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II DISTRIBUSI PELUANG DAN PENGENDALIAN KUALITAS

STATISTIK

A. Pendugaan Parameter

B. Variabel Acak dan Sifat-sifatnya

C. Pengendalian Kualitas Statistis

D. Rencana Pengambilan Sampel Penerimaan

E. Kurva KO (Karakteristik Operasi)

F. Pembetulan Pemeriksaan

G. Pembatasan Pemeriksaan

H. Tingkat dan Resiko

I. Memilih Tingkat Kualitas

J. Grafik Pengukuran

K. Menentukan Perencanaan

BAB III PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL TUNGGAL DAN

GANDA UNTUK DATA ATRIBUT DAN PENGUKURAN KI-

NERJA SAMPEL

A. Perencanaan Pengambilan Sampel Tunggal untuk Data Atribut

B. Perencanaan Pengambilan Sampel Ganda untuk Data Atribut

BAB IV PENERAPAN PERENCANAAN PENGAMBILAN SAMPEL

TUNGGAL DAN GANDA PADA PERUSAHAA MANUFAK-

TUR MESIN ROTI

A. Pengendalian Kualitas pada Industri Manufaktur

B. Penerapan Pengambilan Sampel pada Industri Manufaktur

C. Perencanaan Pengambilan Sampel Tunggal dan Kurva Parameter

D. Perencanaan Pengambilan Sampel Ganda dan Kurva Parameter

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

6

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

7

BAB II

DISTRIBUSI PELUANG DAN PENGENDALIAN MUTU STATISTIS

A. Pendugaan parameter

Salah satu tujuan dari banyak penelitian statistis adalah menduga nilai dari

satu atau lebih parameter. Parameter merupakan deskripsi numerik yang menciri-

kan populasi. Mean populasi, variansi populasi, dan simpangan baku populasi me-

rupakan contoh parameter. Untuk menduga nilai parameter digunakan prosedur

pendugaan. Misalnya, produsen mesin cuci ingin menduga proporsi 𝑝 dari mesin

cuci yang diperkirakan gagal sebelum masa garansi berakhir.

Definisi 2.1

Penduga adalah aturan, yang sering dinyatakan sebagai rumus, yang memberitahu

bagaimana menghitung nilai dugaan berdasarkan pengukuran dari sampel.

Terdapat dua jenis pendugaan, yaitu:

1. Pendugaan titik:

Penentuan nilai tunggal yang dengan baik menduga parameter sasaran.

Contoh:

Rata-rata sampel yang dinyatakan dengan rumus

adalah salah satu penduga titik dari rata-rata populasi 𝜇 dan ukuran sampel

𝑛

2. Penduga selang:

Pendugaan suatu selang nilai yang dengan peluang yang besar memuat pa-

rameter sasaran. Penduga selang biasanya disebut selang kepercayaan.

Penduga selang adalah penentuan batas-batas selang yang disebut dengan

batas bawah dan batas atas yang dihitung berdasarkan pengukuran sampel

𝑋 = 1

𝑛 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

8

dan hasilnya mempunyai peluang tertentu memuat parameter yang diduga.

Penduga selang biasanya disebut selang kepercayaan. Batas atas dan ba-

wah dari selang kepercayaan disebut batas kepercayaan atas dan batas ke-

percayaan bawah. Peluang selang kepercayaan memuat parameter dilam-

bangkan dengan 1 − 𝛼 yang disebut dengan koefisien kepercayaan.

Peluang (1 − 𝛼) adalah koefisien kepercayaan. Hasil pendugaan

interval acak yang didefinisikan sebagai [𝜃 𝐿 , 𝜃 𝑈] disebut sebagai selang

kepercayaan dua sisi.

Misalkan 𝜃 𝐿 dan 𝜃 𝑈 adalah batas bawah kepercayaan dan batas atas

kepercayaan (acak), untuk parameter 𝜃. Maka

𝑃 𝜃 𝐿 < 𝜃 < 𝜃 𝑈 = 1 − 𝛼,

Sedangkan selang kepercayaan satu sisi adalah selang kepercayaan sisi

bawah berbentuk 𝜃 𝐿 ,∞ sedemikian sehingga

𝑃 𝜃 𝐿 ≤ 𝜃 = 1 − 𝛼

atau

selang kepercayaan sisi atas berbentuk (−∞,𝜃 𝑈] sedemikian sehingga

𝑃 𝜃 ≤ 𝜃 𝑈 = 1 − 𝛼

B. Variabel acak dan sifat-sifatnya

Definisi 2.2

Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang domainnya merupakan ruang sam-

pel.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

9

1. Peluang Variabel Acak Diskrit

Definisi 2.3

Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari kemung-

kinan nilainya adalah terbilang.

Contoh 2.1:

Toni dan Roni memainkan permainan lempar koin. Kedua sisi koin diberi label H

dan T. Kemudian koin dilemparkan sebanyak dua kali. Jika koin menunjukkan

label H pada pelemparan pertama dan kedua, Toni mendapatkan 2 dolar. Jika koin

menunjukkan label T pada pelemparan pertama dan kedua, Toni mendapatkan 1

dolar. Jika menunjukkan label yang berbeda pada pelemparan pertama dan kedua,

Toni tidak mendapatkan hadiah (0 dolar). Variabel acak X didefinisikan sebagai

hadiah yang akan didapat Toni. Tentukan kemungkinan niali variabel acak X!

Jawab:

Ruang sampel percobaan adalah 𝐴 = { 𝐻,𝑇 , 𝑇,𝐻 , 𝑇,𝑇 , 𝐻,𝐻 }. Setiap ele-

men pada ruang sampel A dipetakan ke B, maka kemungkinan nilai variabel acak

𝑋 dapat dipetakan sebagai berikut:

Jadi, nilai 𝑋 adalah 0, 1, atau 2.

A

𝑋

B

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

10

Definisi 2.4

Misalkan X adalah variabel acak diskrit dengan fungsi peluang 𝑝(𝑥). Maka nilai

harapan dari X, E(X), adalah

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑝 𝑥 .

𝑥

Definisi 2.5

Jika X adalah variabel acak dengan mean 𝐸 𝑋 = 𝜇, maka variansi dari variabel

acak X, yang dinotasikan dengan 𝑉(𝑋), didefinisikan sebagai nilai harapan dari

𝑋 − 𝜇 2.

𝑉 𝑋 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2]

Standar deviasi dari X adalah 𝑉 𝑌 .

Teorema 2.1

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi peluang 𝑝(𝑥) dan 𝑔 𝑋

adalah fungsi dari 𝑋, dan 𝑐 merupakan konstanta. Maka

𝐸 𝑐𝑔 𝑋 = 𝑐𝐸 𝑔 𝑋 .

Bukti:

𝐸 𝑐𝑔 𝑋 = 𝑐𝑔 𝑥 𝑝 𝑥 = 𝑐 𝑔 𝑥 𝑝 𝑥 = 𝑐𝐸[𝑔 𝑋 ]

𝑥𝑥

Teorema 2.2

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi peluang 𝑝 𝑥 dan 𝑔1(𝑋),

𝑔2 𝑋 ,… ,𝑔𝑘 𝑋 adalah 𝑘 buah fungsi dari 𝑋. Maka

𝐸 𝑔1 𝑋 + 𝑔2 𝑋 + ⋯+ 𝑔𝑘 𝑋 = 𝐸 𝑔1 𝑋 + 𝐸 𝑔2 𝑋 + ⋯+ 𝐸 𝑔𝑘 𝑋 .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

11

Bukti

Misalkan 𝑘 = 2.

𝐸 𝑔1 𝑋 + 𝑔2 𝑋 = [𝑔1 𝑥 +

𝑥

𝑔2 𝑥 ]𝑝(𝑥)

= [𝑔1 𝑥 𝑝 𝑥 + 𝑔2 𝑥 𝑝 𝑥 ]

𝑥

= 𝑔1 𝑥 𝑝 𝑥 + 𝑔2 𝑥 𝑝(𝑥)

𝑥𝑥

= 𝐸 𝑔1 𝑋 + 𝐸 𝑔2 𝑋

Teorema 2.3

Misalkan X adalah variabel acak dengan fungsi peluang 𝑝(𝑥) dan mean 𝐸 𝑋 = 𝜇

maka

𝑉 𝑋 = 𝜎2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2.

Bukti:

Dengan menggunakan Teorema 2.2 maka

𝜎2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2

= 𝐸(𝑋2) − 𝐸(2𝜇𝑋) + 𝐸 𝜇2

Perhatikan bahwa 𝜇 adalah konstan dan dengan menerapkan Teorema 2.1 dan 2.2

pada suku kedua dan suku ketiga, masing-masing kita memiliki

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝐸 𝑋 + 𝜇2.

Karena 𝐸 𝑋 = 𝜇 maka

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇2 + 𝜇2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

12

a. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial merupakan distribusi peluang diskrit yang berasal dari

percobaan Binomial. Percobaan Binomial terdiri dari pengamatan berulang suatu

percobaan yang ulangannya identik dan independen, dan dapat menghasilkan satu

kemungkinan dari dua hasil.

Definisi 2.6

Percobaan Binomial memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Percobaan terdiri atas 𝑛 ulangan yang identik.

2. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua kemungkinan, yaitu sukses S,

atau gagal G.

3. Peluang sukses pada ulangan tunggal sama dengan nilai 𝑝 dan tetap sama

dari ulangan satu ke ulangan lainnya. Peluang gagal yaitu sama dengan

𝑞 = (1 − 𝑝).

4. Ulangan bersifat saling bebas.

5. Variabel acak 𝑋 merupakan banyaknya sukses yang diamati selama 𝑛

ulangan.

Definisi 2.7

Misalkan 𝑝 (peluang sukses) adalah peluang pengamatan sampel sesuai dengan

karakteristik dalam percobaan, maka peluang variabel acak 𝑋 bernilai 𝑥 adalah

Binomial, yaitu

𝑝(𝑋 = 𝑥) = 𝑝 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 x = 0, 1, …n (2.1)

Parameter distribusi Binomial tersebut adalah n dan p, dengan n adalah bi-

langan bulat positif dan 0 ≤ 𝑝 ≤ 1.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

13

Teorema 2.4

Misalkan X adalah variabel acak Binomial dengan n ulangan dan peluang sukses

p. Maka

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 dan 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝

Bukti:

Dengan Definisi 2.4 dan Definisi 2.7

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑝 𝑥 = 𝑥 𝑛

𝑥 𝑝𝑥

𝑛

𝑥=0𝑥

𝑞𝑛−𝑥

Karena jumlah suku pertama adalah 0 maka,

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

= 𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥 − 1 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

= 𝑛 𝑛 − 1 !

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥 − 1 !𝑝𝑝𝑥−1

𝑛

𝑥=1

𝑞𝑛−𝑥

= 𝑛𝑝 𝑛 − 1 !

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥 − 1 !𝑝𝑥−1𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

Misalkan 𝑧 = 𝑥 − 1 maka,

𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝑛 − 1 !

𝑛 − 𝑧 + 1 ! 𝑧!𝑝𝑧𝑞𝑛−(𝑧+1)

𝑛−1

𝑧=0

= 𝑛𝑝 𝑛 − 1 !

𝑛 − 1 − 𝑧 ! 𝑧!𝑝𝑧𝑞𝑛−1−𝑧

𝑛−1

𝑧=0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

14

= 𝑛𝑝 𝑛 − 1

𝑧

𝑛−1

𝑧=0

𝑝𝑧𝑞𝑛−1−𝑧

Karena 𝑝 𝑧 = 𝑛−1𝑧 𝑝𝑧𝑞𝑛−1−𝑧 adalah fungsi peluang dengan (𝑛 − 1) percobaan.

𝑝 𝑧 = 1𝑧 , sehingga diperoleh

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝

Dari Teorema 2.3 telah diketahui bahwa 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝐸 𝑋2 − 𝑋 = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)

Sehingga

𝐸 𝑋2 = 𝐸 𝑋 𝑋 − 1 + 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋 𝑋 − 1 + 𝜇

Dalam kasus ini

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=0

Karena suku pertama dan kedua pada suku diatas adalah nol (pada saat 𝑥 = 0 dan

𝑥 = 1) maka,

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=2

= 𝑥 𝑥 − 1 𝑛!

𝑥 𝑥 − 1 𝑥 − 2 ! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=2

= 𝑛!

𝑥 − 2 ! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=2

= 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 !

𝑥 − 2 ! 𝑛 − 𝑥 !𝑝2𝑝𝑥−2𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

15

= 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2 𝑛 − 2 !

𝑥 − 2 ! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥−2𝑞^(𝑛 − 𝑥)

𝑛

𝑥=2

Misalkan 𝑧 = 𝑥 − 2, maka

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2 𝑛 − 2 !

𝑧 + 2 − 2 ! 𝑛 − 𝑧 + 2 !𝑝𝑧+2−2𝑞𝑛− 𝑧+2

𝑛−2

𝑧=0

= 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2 𝑛 − 2 !

𝑧! 𝑛 − 2 − 𝑧 !𝑝𝑧𝑞𝑛−2−𝑧

𝑛−2

𝑧=0

= 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2 𝑛 − 2

𝑧 𝑝2𝑞𝑛−2−𝑧

𝑛=2

𝑧=0

Karena 𝑝 𝑧 = 𝑛−2𝑧 𝑝2𝑞𝑛−2−𝑧 adalah fungsi peluang Binomial dengan 𝑛 − 2

percobaan. 𝑝 𝑧 = 1𝑛−2𝑧=0 , maka

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2

Sehingga

𝐸 𝑋2 = 𝐸 𝑋 𝑋 − 1 + 𝜇 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2 + 𝑛𝑝

Maka

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑝2 + 𝑛𝑝 − 𝑛2𝑝2

= 𝑛𝑝 𝑛 − 1 𝑝 + 1 − 𝑛𝑝 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ▄

Contoh 2.2:

Suatu perusahaan akan memasarkan produknya kepada konsumen. Sebelum pro-

duk tersebut dipasarkan, perusahaan melakukan pemeriksaan terhadap kualitas

produk tersebut, khususnya pada kualitas produk yang tidak sesuai dengan karak-

teristik yang telah ditetapkan perusahaan tersebut. Dalam pemeriksaan tersebut

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

16

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x

) =

Pro

bab

ilita

s ca

cat

x

x

diketahui peluang item tak sesuai 𝑝 sebesar 0.1 dengan banyaknya sampel 𝑛 sebe-

sar 10 dan x adalah banyaknya item tak sesuai. Berapakah peluang akan mempe-

roleh 3 item tak sesuai?

Jawab:

𝑃 𝑋 = 3 = 𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

= 10!

3! 10 − 3 !0.13 1 − 0.1 10−3

= 10!

3! 7!0.130.97

≈ 0.0574

Selengkapnya perhitungan 𝑝(𝑥) dapat dilihat pada tabel berikut

Tabel 2.1. Peluang x item tak sesuai

𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7

𝑝(𝑥) 0.3487 0.3874 0.1937 0.0574 0.0112 0.0015 0.0001 0.0000

Tabel distribusi peluang di atas dapat disajikan pada grafik distribusi Binomial

dalam Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Distribusi Binomial dengan n = 10 dan p = 0.01

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

17

b. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson menyedikan model yang baik untuk distribusi peluang

banyaknya 𝑋 peristiwa langka yang terjadi dalam ruang, waktu, volume, atau di-

mensi lainnya. Distribusi Poisson merupakan model yang baik untuk distribusi

probabilitas banyaknya 𝑋 kecelakaan mobil, kecelakaan industri, atau jenis kece-

lakaan lainnya dalam satuan waktu tertentu. Contoh lain dari variabel acak dengan

pendekatan distribusi Poisson adalah banyaknya panggilan telepon yang ditangani

oleh switchboard dalam interval waktu, banyaknya partikel radioaktif yang mem-

busuk dalam periode waktu tertentu, banyaknya kesalahan yang dibuat juru ketik

dalam mengetik halaman, dan banyaknya mobil yag menggunakan jalan akses ja-

lan bebas hambatan dalam interval sepuluh menit.

Definisi 2.8

Variable acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter 𝜆 jika dan

hanya jika fungsi probabilitasnya

𝑝 𝑥 =𝜆𝑥

𝑥!𝑒−𝜆 ,

𝑥 = 0, 1, 2,… , 𝜆 > 0

Teorema 2.5

Jika X adalah variabel acak yang berdistribusi Poisson dengan parameter 𝜆, maka

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝜆 dan 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝜆.

Bukti

Dengan menggunakan Definisi 2.8, maka

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑝 𝑥

𝑥

= 𝑥𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

∞

𝑥=0

.

Karena jumlah suku pertama adalah 0, maka

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

18

𝐸(𝑋) = 𝑥𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

∞

𝑥=1

=

𝜆𝑥𝑒−𝜆

(𝑥 − 1)!

∞

𝑥=1

=

𝜆𝜆𝑥−1𝑒−𝜆

(𝑥 − 1)!

∞

𝑥=1

= 𝜆

𝜆𝑥−1𝑒−𝜆

(𝑥 − 1)!

∞

𝑥=1

Misalkan 𝑧 = 𝑥 − 1 maka

𝐸 𝑋 = 𝜆 𝜆𝑧𝑒−𝜆

𝑧!

∞

𝑧=0

Karena 𝑝 𝑥 = 𝜆𝑧𝑒−𝜆/𝑧! adalah fungsi peluang untuk variabel acak Poisson dan

𝑝 𝑧 = 1∞𝑧=0 , dengan demikian diperoleh

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝜆

Dari Teorema 2.3 telah diketahui bahwa 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝐸 𝑋2 − 𝑋 = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)

Sehingga

𝐸 𝑋2 = 𝐸 𝑋 𝑋 − 1 + 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋 𝑋 − 1 + 𝜇

Dalam kasus ini

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

∞

𝑥=0

Karena suku pertama dan kedua adalah nol (pada saat 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1) maka

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

19

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

∞

𝑥=2

= 𝑥 𝑥 − 1 𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥 𝑥 − 1 (𝑥 − 2)!

∞

𝑥=2

= 𝜆𝑥𝑒−𝜆

(𝑥 − 2)!

∞

𝑥=2

Misalkan 𝑧 = 𝑥 − 2, maka

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝜆𝑧+2𝑒−𝜆

𝑧!

∞

𝑧=0

= 𝜆2 𝜆𝑧𝑒−𝜆

𝑧!

∞

𝑧=0

Karena 𝑝 𝑥 = 𝜆𝑧𝑒−𝜆/𝑧! adalah fungsi peluang untuk variabel acak Poisson dan

𝑝 𝑧 = 1∞𝑧=0 , maka

𝐸 𝑋 𝑋 − 1 = 𝜆2

sehingga

𝐸 𝑋2 = 𝐸 𝑋 𝑋 − 1 + 𝜇 = 𝜆2 + 𝜆

maka

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

= 𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2

= 𝜆

Contoh 2.3:

Jika dalam produksi pelat logam rata-rata tingkat cacat permukaan pelat logam

adalah 0,2 cacat/unit, tentukan peluang unit berikutnya tidak memiliki cacat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

20

Jawab:

Misalkan 𝑋 adalah banyaknya cacat permukaan pelat logam

𝑃(𝑋 = 0) = 𝜆𝑥

𝑥!𝑒−𝜆

= 0.20

0!𝑒−0.2

= 𝑒−0.2

≈ 0,8187

Jadi, peluang unit berikutnya tidak memiliki cacat adalah 81,87%

c. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrik merupakan distribusi peluang diskrit yang di-

gunakan dalam percobaan yang bersifat tidak independen dengan ukuran sampel

𝑛 yang relatif besar terhadap ukuran populasi 𝑁, dimana 𝑟 obyek sebagai kejadian

sukses dan 𝑁 − 𝑟 obyek sebagai kejadian gagal.

Definisi 2.10

Variabel acak 𝑋 dikatakan variabel acak yang berdistribusi Hipergeometrik jika

dan hanya jika fungsi probabilitasnya

𝑝 𝑥 = 𝑟𝑥 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

dengan x adalah bilangan bulat 0, 1, 2,…, n , 𝑥 ≤ 𝑟 dan 𝑛 − 𝑥 ≤ 𝑁 − 𝑟

Teorema 2.6

Jika 𝑋 adalah variabel acak yang berdistribusi Hipergeometrik, maka

𝜇 = 𝐸(𝑋) =𝑛𝑟

𝑁

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

21

dan

𝜎2 = 𝑉(𝑋) =𝑛𝑟

𝑁 1 −

𝑟

𝑁

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

Bukti:

Dengan Definisi 2.6 dan Definisi 2.9

𝐸(𝑋) = 𝑥𝑝(𝑥)

𝑥

= 𝑥 𝑟𝑥 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=0

Karena jumlah suku pertama adalah 0 maka,

𝐸(𝑋) = 𝑥 𝑟𝑥 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑥

𝑟! 𝑟 − 𝑥 ! 𝑥!

𝑁−𝑟𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑥

𝑟 𝑟 − 1 ! 𝑟 − 𝑥 ! 𝑥 𝑥 − 1 !

𝑁−𝑟𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑟

𝑟 − 1 ! 𝑟 − 1 − 𝑥 + 1 ! 𝑥 − 1 !

𝑁−𝑟𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

=

𝑟 𝑟 − 1 !

𝑟 − 1 − 𝑥 − 1 ! 𝑥 − 1 ! 𝑁−𝑟𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑟 𝑟−1

𝑥−1 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑟 𝑟−1𝑥−1

𝑁−𝑟𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

Misalkan 𝑚 = 𝑥 − 1, maka

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

22

𝐸(𝑋) = 𝑟

𝑁𝑛

𝑟 − 1

𝑚

𝑁 − 1 − (𝑟 − 1)

𝑛 − 1 −𝑚

𝑛−1

𝑚=0

= 𝑟

𝑁𝑛

𝑟−1𝑚

𝑁−1−(𝑛−1)𝑘−1−𝑚

𝑁−1𝑛−1

𝑁 − 1

𝑛 − 1

𝑛−1

𝑚=0

= 𝑟 𝑁−1

𝑛−1

𝑁𝑛

= 𝑟𝑛

𝑁

Dari Teorema 2.4 telah diketahui bahwa

𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸 𝑋 ]2

Dalam kasus ini

𝐸(𝑋2) = 𝑥2 𝑟

𝑥 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑥𝑟 𝑟−1

𝑥−1 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

= 𝑟 𝑥 𝑟−1

𝑥−1 𝑁−𝑟

𝑛−𝑥

𝑁𝑛

𝑛

𝑥=1

Misalkan 𝑚 = 𝑥 − 1, maka

𝐸(𝑋2) = 𝑟 (𝑚 + 1) 𝑟−1

𝑚 𝑁−𝑟

𝑛−1−𝑚

𝑁𝑛

𝑛−1

𝑚=0

= 𝑟

𝑁𝑛 𝑚

𝑟 − 1

𝑚

𝑁 − 1 − (𝑟 − 1)

𝑛 − 1 − 𝑚 +

𝑛−1

𝑚=0

𝑚 𝑟 − 1

𝑚

𝑁 − 1 − (𝑟 − 1)

𝑛 − 1 − 𝑚

𝑛−1

𝑚=0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

23

= 𝑟

𝑁𝑚 𝑟 − 1 (𝑛 − 1)

(𝑁 − 1) 𝑁 − 1

𝑛 − 1 +

𝑁 − 1

𝑛 − 1

= 𝑟

𝑁𝑛 𝑁 − 1

𝑛 − 1

𝑟 − 1 (𝑛 − 1)

(𝑁 − 1)+ 1

= 𝑟 𝑁−1𝑛−1

𝑁𝑛

𝑟 − 1 (𝑛 − 1)

(𝑁 − 1)+ 1

= 𝑟𝑛

𝑁 𝑟 − 1 (𝑛 − 1)

(𝑁 − 1)+ 1

Maka

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸 𝑋 ]2

= 𝑟𝑛

𝑁 𝑟 − 1 (𝑛 − 1)

(𝑁 − 1)+ 1 −

𝑟2𝑛2

𝑁2

= 𝑟𝑛

𝑁 𝑟 − 1 (𝑛 − 1)

(𝑁 − 1)+ 1 −

𝑟𝑛

𝑁

= 𝑟𝑛

𝑁 𝑟𝑛𝑁 − 𝑟𝑁 − 𝑛𝑁 + 𝑁 + 𝑁2 − 𝑁 − 𝑟𝑛𝑁 + 𝑟𝑛

𝑁(𝑁 − 1)

= 𝑟𝑛

𝑁2 𝑁 − 1 (𝑁2 − 𝑟𝑁 − 𝑛𝑁 + 𝑟𝑛)

= 𝑟𝑛

𝑁2 𝑁 − 1 [𝑁 𝑁 − 𝑟 − 𝑛 𝑁 − 𝑟 ]

= 𝑟𝑛

𝑁2 𝑁 − 1 [ 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 𝑟 ]

= 𝑟𝑛

𝑁 𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

𝑁 − 𝑟

𝑁

= 𝑟𝑛

𝑁 1 −

𝑟

𝑁

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

Distribusi hipergeometrik adalah model peluang yang cocok untuk pemili-

han sampel acak 𝑛 item tanpa pengembalian dari suatu lot dengan 𝑁 item yang 𝑟

di antaranya tidak sesuai atau rusak. Dalam penerapan ini, 𝑥 biasanya menunjuk-

kan banyak item yang tak sesuai yang terdapat di dalam sampel itu.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

24

Contoh 2.4:

Suatu lot memuat 100 item, yang 5 di antaranya tidak sesuai persyaratan. Jika 10

item dipilih secara acak tanpa pengembalian, berapakah peluang akan menda-

patkan paling banyak satu item yang tidak sesuai dalam sampel itu?

Jawab:

Peluang akan mendapatkan paling banyak satu item yang tidak sesuai dalam sam-

pel itu adalah 𝑃 𝑥 ≤ 1

𝑃{𝑥 ≤ 1} = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃{𝑥 = 1}

= 5

0 95

10

10010

+ 5

1 95

9

10010

= 0,923

Jadi, peluang akan mendapatkan paling banyak satu item yang tidak sesuai dalam

sampel itu adalah 0,923.

C. Pengendalian Kualitas Statistis

Pengendalian Kualitas Statistis merupakan teknik analisis statistis dalam

mengatur proses produksi yang didasarkan atas sampel produk yang diamati. Pe-

ngendalian kualitas statistis telah dimulai pada tahun 1920an. Pada tahun 1924

konsep peta pengendali mulai dikembangkan oleh Walter A. Shewhart. Pada ta-

hun 1950an dan 1960an pengembangan pengendalian kualitas berkembang pesat.

Kualitas barang dan jasa merupakan faktor utama yang menentukan kiner-

ja suatu perusahaan. Produk dan jasa yang berkualitas adalah produk dan jasa

yang sesuai dengan apa yang diinginkan konsumennya. Menurut Perbendaharaan

istilah ISO 8402 dan Standar Nasional Indonesia (SNI 19-8402-1991), kualitas

adalah keseluruhan ciri dan karakteristik produk atau jasa yang kemampuannya

dapat memuaskan kebutuhan, baik yang dinyatakan secara tegas maupun tersa-

mar. Istilah kebutuhan diartikan sebagai spesifikasi yang tercantum dalam kontrak

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

25

maupun kriteria-kriteria yang harus didefinisikan terlebih dahulu. Jadi, secara ga-

ris besar kualitas adalah keseluruhan ciri atau karakterisik produk atau jasa yang

tujuannya untuk memenuhi kebutuhan dan harapan pelanggan.

Pengendalian kualitas memegang kendali sebagai alat manajemen yang

merupakan katrakteristik penting dari suatu produk yang diamati, dinilai, dan di-

bandingkan dengan beberapa jenis standar. dalam pengendalian kualitas banyak

melibatkan prosedur pengambilan sampel dan prinsip-prinsip statistis lainnya.

Pengguna utama dari pengendalian kualitas adalah perusahaan industri. Program

pengendalian kualitas merupakan sarana yang efektif dalam meningkatkan keun-

tungan.

Pada kasus tertentu karakteristik kualitas tidak dapat dengan mudah dinya-

takan secara numerik. Dalam hal ini, biasanya terdapat standar spesifikasi yang

menjadi pedoman dalam menyatakan karakteristik kualitas. Istilah “sesuai dengan

karakteristik” dan “tidak sesuai dengan karakteristik” seringkali digunakan untuk

mengidentifikasi produk yang diamati. Karakteristik yang tidak dapat dinyatakan

secara numerik ini dinamakan sifat (atribut). Contoh karakteristik kualitas yang

merupakan sifat yaitu terdapat noda pada kertas dalam produksi kertas, sobekan

pada plastik dalam produksi plastik

Terdapat dua jenis ketidaksesuaian, yaitu

1. Cacat.

Cacat adalah sifat tidak memenuhi persyaratan yang terkait dengan peng-

gunaan yang dimaksud atau yang ditentukan. Dengan kata lain, karakteris-

tik kualitas berada dalam tingkat keparahan yang cukup untuk menyebab-

kan produk atau layanan terkait tidak memenuhi persyaratan penggunaan

normal atau wajar. Istilah cacat mengacu pada karakteristik kualitas pro-

duk. Produk cacat masih bisa diperbaiki dan biaya yang dikeluarkan lebih

rendah dari nilai jual setelah produk tersebut diperbaiki.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

26

2. Rusak.

Rusak adalah sifat item dengan satu atau lebih cacat. Dengan kata lain, su-

atu unit produk atau layanan yang mengandung setidaknya satu cacat, atau

memiliki beberapa ketidaksempurnaan yang menyebabkan suatu unit gagal

memenuhi persyaratan penggunaan normal atau wajar yang dapat diterima.

Istilah rusak mengacu pada produk (atau komponen). Produk rusak bi-

asanya sudah tidak bisa diperbaiki kembali, atau jika dilakukan perbaikan

maka biaya yang dikeluarkan sama dengan atau melebihi biaya mempro-

duksi satu produk baru.

Contoh 2.5:

Kualitas suatu produk ditentukan oleh karakteristik kualitas berikut:

1) Panjang

2) Diameter

Pada suatu kasus ditemukan produk dengan panjang yang tidak sesuai spe-

sifikasi. Sehingga, dapat dikatakan bahwa produk tersebut memiliki satu cacat.

Pada kasus lain ditemukan produk dengan panjang dan diameter yang ti-

dak sesuai dengan spesifikasi. Sehingga, dapat dikatakan bahwa produk tersebut

memiliki dua cacat. Pada kasus ini produk dapat dikatakan rusak karena memuat

dua cacat.

D. Rencana pengambilan sampel penerimaan

Suatu perusahaan mendapat kiriman 5000 komponen dari pemasok baru

untuk digunakan dalam pembuatan laptop. Sebelum menerima komponen terse-

but, perusahaan akan mempertimbangkan kualitasnya. Apakah komponen tersebut

layak diterima dan dimasukkan kedalam inventaris perusahaan? Bagaimana peru-

sahaan menentukan keputusannya? Terdapat tiga metode yang dapat digunakan

dalam pengambilan keputusan terhadap suatu produk, yaitu 1) tidak mengadakan

inspeksi terhadap produk tersebut, 2) mengadakan 100% inspeksi terhadap produk

tersebut, atau 3) dengan sampel penerimaan. Penerimaan sampel dapat dilakukan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

27

selama inspeksi bahan baku yang datang, komponen, dan perakitan pada berbagai

fase dalam proses operasi, atau selama inspeksi produk akhir.

Pengambilan sampel penerimaan adalah keputusan untuk menerima atau

menolak suatu lot atau populasi berdasarkan hasil dari pemeriksaan sebagian lot /

populasi saja (sampel). Masalah dasar yang terkait pengambilan sampel peneri-

maan adalah sebagai berikut: setiap kali suatu perusahaan menerima pengiriman

produk (bahan mentah) dari pemasok, keputusan harus dibuat tentang penerimaan

atau penolakan produk. Untuk membuat keputusan seperti itu, perusahaan memi-

lih sampel dari lot, mengukur karakteristik kualitas yang ditentukan, dan berda-

sarkan hasil pemeriksaan memutuskan antara:

a.) Menerima lot (mengirimkannya ke jalur produksi)

b.) Menolak lot (mengirimkannya kembali ke pemasok)

c.) Mengambil sampel lain sebelum memutuskan (jika hasilnya tidak konklu-

sif)

Lot adalah suatu periode produksi atau unit produksi yang dapat diidenti-

fikasikan dengan kode yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2.

Apabila tidak ada kode identifikasi, suatu lot didefinisikan sebagai:

a.) Kuantitas produk yang diproduksi pada kondisi yang sama.

b.) Kuantitas produk pada perusahaan yang sama dan tidak lebih dari satu hari

produksi.

c.) Kuantitas produk yang sama dari produsen yang sama untuk pengambilan

sampel di lokasi tetap.

Gambar 2.2. Lot produksi

item produksi dalam lot

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

28

Terdapat beberapa alasan pengambilan sampel ini digunakan dalam pro-

duksi, yaitu jika:

a.) Populasi / lot yang akan diuji berukuran besar.

b.) Waktu pengujiannya singkat.

c.) Jumlah tenaga kerja sedikit.

d.) Biaya untuk melakukan pengujian terbatas (mahal).

e.) Pengujian bersifat merusak.

Terdapat dua klasifikasi perencanaan pengambilan sampel, yaitu atribut

dan variabel. Kasus atribut sesuai dengan situasi di mana pemeriksaan hanya me-

nentukan apakah produk tersebut “baik” atau “buruk”. Klasifikasi lain dalam pe-

ngambilan sampel penerimaan adalah pada teknik pengambilan sampelnya, yaitu

pengambilan sampel tunggal, sampel ganda, dan banyak. Namun, pada tugas akhir

ini hanya akan membahas pengambilan sampel tunggal dan ganda untuk data atri-

but.

1. Pengambilan sampel tunggal untuk data atribut

Pengambilan sampel tunggal adalah perencanaan pengambilan

sampel dimana keputusan untuk menerima atau menolak lot berdasarkan

pada pemeriksaan satu kali penarikan sampel.

Penerapan dari perencanaan pengambilan sampel tunggal data atri-

but sangat sederhana. Hal tersebut melibatkan pengambilan sampel acak

dengan ukuran 𝑛 dari lot berukuran 𝑁. Sampel dimaksudkan untuk mewa-

kili lot itu sendiri (pengambilan sampel Tipe A) atau proses yang diguna-

kan untuk menghasilkan lot (pengambilan sampel Tipe B). Banyaknya 𝑑

rusak (atau cacat) yang ditemukan dibandingkan dengan bilangan peneri-

maan 𝑐. Bilangan penerimaan adalah maksimum banyaknya produk rusak

yang diperbolehkan dalam sampel penerimaan lot. Jika banyaknya rusak

yang ditemukan kurang dari atau sama dengan 𝑐, maka lot diterima. Ope-

rasi perencanaan tersebut diilustrasikan pada Gambar 2.3

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

29

Gambar 2.3. Prosedur untuk pengambilan sampel tunggal data atribut

Ilustrasi perencanaan pengambilan sampel tunggal sebagai berikut:

Suatu perusahaan ingin melakukan pemeriksaan salah satu lot yang telah

diterima dari pemasok. Lot tersebut berisikan 10000 bahan baku dan akan

dilakukan pengambilan sampel dari lot tersebut sebanyak 89 bahan baku.

Perusahaan tersebut mempunyai ketentuan batas maksimum bahan baku

rusak yang diperbolehkan adalah 2 bahan baku. Setelah melakukan peme-

rikasaan pada 89 bahan baku tersebut, perusahaan hanya menemukan 1

bahan baku yang rusak. Jadi, karena bahan baku rusak yang ditemukan ti-

dak melebihi batas maksimum yang diperbolehkan, maka pada kasus ter-

sebut lot dapat diterima.

2. Pengambilan sampel ganda untuk data atribut

Pengambialan sampel ganda adalah suatu perencanaan pengambi-

lan sampel dimana keputusan untuk menerima atau menolak lot berdasar-

kan pada pemeriksaan dua kali penarikan sampel. Pengambilan sampel

ganda dapat dilakukan apabila pengambilan sampel tunggal tidak cukup

memberikan informasi.

Penerapan perencanaan pengambilan sampel ganda mengharuskan

bahwa sampel pertama berukuran 𝑛1 diambil secara acak dari lot (biasanya

diasumsikan berukuran besar). Banyaknya produk rusak 𝑑 dihitung dan

Lot diterima

𝑛 sampel benda

𝑑 > 𝑐

Lot ditolak

𝑑 ≤ 𝑐

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

30

dibandingkan dengan bilangan penerimaan sampel pertama 𝑎1 dan bila-

ngan penolakan 𝑟1. Bilangan penolakan adalah minimum banyaknya pro-

duk yang tidak sesuai dengan karakteristik untuk membuat keputusan pe-

nolakan.

Jika 𝑑1 ≤ 𝑎1, maka lot diterima

Jika 𝑑1 ≥ 𝑟1, maka lot ditolak

Jika 𝑎1 < 𝑑1 < 𝑟1, maka dilakukan pengambilan sampel kedua

Jika diperlukan, diambil sampel kedua berukuran 𝑛2. Banyaknya rusak 𝑑2

dalam sampel kedua ditentukan. Total banyaknya rusak

𝐷2 = 𝑑1 + 𝑑2

dibandingkan dengan bilangan penerimaan 𝑎2 dan bilangan penolakan 𝑟2

untuk sampel kedua. Dalam pengambilan sampel ganda 𝑟2 = 𝑎2 + 1 untuk

memastikan keputusan pada sampel kedua.

Jika 𝐷2 ≤ 𝑎2, maka lot diterima

Jika 𝐷2 ≥ 𝑟2, maka lot ditolak

Pelaksanaan perencanaan ditunjukkan pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4. Prosedur untuk pengambilan sampel ganda data atribut

𝑛1 sampel benda

𝑛2 sampel benda

𝑎1 < 𝑑1 < 𝑟1

Lot diterima Lot ditolak

𝑑1 ≤ 𝑎1 𝑑1 ≥ 𝑟1

𝐷2 = 𝑑1 + 𝑑2 ≤ 𝑎2 𝐷2 = 𝑑1 + 𝑑2 ≥ 𝑟2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

31

Apabila sampel pertama yang diambil pada pengambilan sampel

ganda lebih kecil dari sampel yang diambil pada pengambilan sampel

tunggal dan keputusan untuk menolak atau menerima pada pengambilan

sampel ganda dapat diputuskan pada sampel pertama, maka secara rata-

rata banyaknya produk yang diperiksa pada pengambilan sampel ganda le-

bih sedikit dibandingkan dengan pengambilan sampel tunggal karena pada

penambilan sampel ganda menerapkan prosedur pembatasan pemeriksaan.

Prosedur pembatasan pemeriksaan akan dijelaskan lebih lanjut pada sub-

bab selanjutnya. Dengan demikian, biaya pemeriksaan pada pengambilan

sampel ganda lebih rendah dari pengambilan sampel tunggal.

Ilustrasi perencanaan pengambilan sampel ganda sebagai berikut:

Suatu perusahaan ingin melakukan pemeriksaan salah satu lot yang telah

diterima dari pemasok. Lot tersebut berisikan 10000 bahan baku dan akan

dilakukan pengambilan sampel pertama dari lot tersebut sebanyak 60 ba-

han baku. Andaikan perusahaan tersebut mempunyai ketentuan bilangan

penerimaan dan penolakan pada sampel pertama adalah 1 dan 4 bahan ba-

ku. Setelah melakukan pemeriksaan pada 60 bahan baku sampel pertama

tersebut, perusahaan menemukan 3 bahan baku yang rusak. Jadi, karena

bahan baku rusak yang ditemukan pada sampel pertama berada di antara

bilangan penerimaan dan penolakan, maka perusahaan tersebut memu-

tuskan untuk melakukan pengambilan sampel kedua. Pada pengambilan

sampel kedua, perusahaan mengambil sampel sebanyak 60 bahan baku.

Namun, bilangan penerimana dan penolakan pada pengambilan sampel

kedua berbeda de-ngan sampel pertama yaitu 4 dan 5 bahan baku. Setelah

melakukan pemeriksaan pada 60 bahan baku sampel kedua tersebut, peru-

sahaan hanya menemukan 1 bahan baku yang rusak. Total terdapat 4 ba-

han baku rusak yang ditemukan pada pengambilan sampel pertama dan

kedua. Jadi, karena total bahan baku rusak yang ditemukan tidak melebihi

bilangan penerimaan pada sampel kedua, maka lot tersebut dapat diterima.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

32

Perencanaan pengambilan sampel dapat dinilai pada setiap proporsi rusak

𝑝 yang masuk, oleh lima ukuran dasar sebagaimana didefinisikan dalam Standar

ISO 3534-2 (2006).

1. Peluang penerimaan (𝑃𝑎 )

Peluang bahwa suatu lot akan diterima berdasarkan perencanaan pengam-

bilan sampel yang diberikan.

2. ASN (Average Sample Number)

Rata-rata unit sampel per lot yang digunakan untuk membuat keputusan

(diterima atau tidak diterima)

3. AOQ (Average Outgoing Quality)

Kualitas yang diharapkan dari produk yang keluar setelah penggunaan

rencana pengambilan sampel penerimaan untuk nilai yang diberikan dari

kualitas produk yang masuk

4. AOQL (Average Outgoing Quality Level)

Batas kualitas maksimum pada kurva AOQ dari kualitas yang masuk

5. ATI (Average Total Inspection)

Rata-rata banyaknya item-item yang diperiksa per lot, termasuk pemerik-

saan 100% item-item dalam lot yang tidak diterima. Dengan kata lain, ATI

merupakan rata-rata banyaknya unit yang diperiksa per lot termasuk item-

item keseluruhan yang diperiksa pada lot yang ditolak.

Pengukuran dalam perencanaan menyediakan informasi yang bermanfaat

dalam memperkirakan kualitas produk secara individu dan kualitas jangka pan-

jang.

E. Kurva KO (Karakteristik Operasi)

Kurva Karakteristik Operasi merupakan kurva peluang penerimaan terha-

dap produk yang dihasilkan. Kurva ini menggambarkan peluang akan menerima

lot terhadap proporsi lot yang rusak. Suatu dasar penggunaan peluang sampling

penerimaan bermula dari menggambarkan kemungkinan suatu lot melewati peme-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

33

riksaan sampel yang terdiri dari proporsi rusak yang diberikan. Rencana pengam-

bilan sampel yang paling sederhana adalah sebagai berikut:

1. Ambil sebuah bagian dari lot sebagai sampel

2. Jika sampel baik, lot diterima

3. Jika sampel rusak, lot ditolak

Perencanaan ini memiliki ukuran sampel (𝑛) sama dengan satu dan bila-

ngan penerimaan (𝑐) sama dengan nol, yaitu lot dikatakan baik bila sampel tidak

rusak (𝑛 = 1, 𝑐 = 0). Peluang berperan pada keadaan jika lot rusak dicampur

dengan yang baik. Misalkan setengah dari lot rusak, maka peluang menarik keluar

bagian rusak dari lot akan menjadi 50:50 dan kita memiliki 50% peluang peneri-

maan. Tetapi apabila seperempat barang rusak maka peluang penerimaannya ada-

lah 75%, karena terdapat tiga perempat bagian baik pada lot. Apabila terdapat tiga

perempat bagian buruk maka peluang menemukan bagian yang baik adalah 25%.

Karena lot memiliki banyak kemungkinan proporsi rusak dari 0 sampai 1, maka

untuk menggambarkan perilaku dari rencana pengambilan sampel ini digunakan

kurva karakteristik operasi yang merupakan penggambaran peluang penerimaan

(accept) terhadap nilai-nilai kemungkinan dari proporsi rusak (defective). Kurva

dengan perencanaan 𝑛 = 1 dan 𝑐 = 0 ditunjukkan pada Gambar 2.5.

Dapat diketahui bahwa untuk setiap proporsi rusak 𝑝, peluang penerimaan

𝑃𝑎 merupakan komplemen dari 𝑝; yaitu

𝑃𝑎 = 1 − 𝑝

Hal tersebut hanya berlaku untuk perencanaan 𝑛 = 1, 𝑐 = 0. Jadi Kurva

KO berlaku sebagai representasi dari kinerja rencana terhadap kemungkinan pro-

porsi alternatif yang rusak. Dari kurva dapat diketahui bahwa semakin besar pro-

porsi rusak maka peluang penerimaan semakin kecil, dan sebaliknya. Dari kurva,

lot yang memiliki proporsi rusak lebih besar dari 0.75 memiliki kurang dari 25%

kemungkinan untuk diterima dan lot dengan kurang dari 0.25 bagian rusak memi-

liki lebih besar dari 75% kemungkinan lolos.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

34

Gambar 2.5. Kurva Operasi Karakteristik dengan 𝑛 = 1 dan 𝑐 = 0

Kurva KO memberikan sekilas karakterisasi kinerja potensial dari perenca-

naan, menggambarkan bagaimana melakukan perencanaan untuk setiap bagian

sesuai dengan karakteristik yang ditampilkan.

Asumsikan sampling berasal dari lot yang sangat besar dengan proses pro-

duksi yang lebih baik. Misalkan perencanaan dengan 𝑛 = 5, 𝑐 = 0, maka peluang

penerimaan 𝑃𝑎 untuk setiap proporsi sesuai dengan karakteristik 𝑝 dapat dihitung

sebagai

𝑃𝑎 = 𝑛!

𝑑! 𝑛 − 𝑑 !𝑝𝑑

𝑐

𝑑=0

(1 − 𝑝)𝑛−𝑑 𝑑 = 0, 1,… , 𝑐

= 5!

0! 5 − 0 !𝑝0(1 − 𝑝)5−0

= 5!

5!(1 − 𝑝)5

= (1 − 𝑝)5

P(p

ener

imaa

n)

Proporsi rusak

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

35

karena semua bagian harus baik dalam sampel berukuran 5 untuk penerimaan.

Kurva KO digambarkan menggunakan perhitungan 𝑃𝑎 untuk berbagai nilai 𝑝 yang

disajikan pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2. Tabel 𝑷𝒂 dengan 𝒏 = 𝟓 dan 𝒄 = 𝟎

𝑝 0.005 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

(1 − 𝑝) 0.995 0.990 0.950 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500

𝑃𝑎 0.9752 0.9510 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0312

Grafik 𝑃𝑎 dalam tabel diatas disajikan dalam Gambar 2.6. Grafik diproduksi de-

ngan menggunakan perangkat lunak R (listing program terdapat pada lampiran 1)

Gambar 2.6. Kurva KO dengan 𝑛 = 5, 𝑐 = 0

Dari Gambar 2.6 dan Tabel 2.2, jika produsen dapat mempertahankan pro-

porsi rusak kurang dari 0.01, produk akan diterima 95% dari perencanaan. Jika

produk yang diajukan mengandung 13% rusak, maka

𝑃𝑎 = (1 − 𝑝)5

= 1 − 0.13 5

= 0.875 ≈ 0.5

P(p

ener

imaa

n)

Proporsi rusak

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

36

karena 𝑃𝑎 dari 13% adalah 0.5 sehingga akan mempunyai 50:50 kesempatan pene-

rimaan. Hal tersebut biasa digunakan untuk menunjukkan proporsi rusak. Dalam

kurva KO Terdapat beberapa titik peluang khusus yang disajikan dalam Tabel 2.3.

Tabel 2.3. Istilah titik peluang khusus dalam kurva KO

𝑃𝑎 Indeks Kualitas Singkatan Titik Peluang

0.95 Acceptable Quality

Level AQL 𝑝0.95

0.50 Indifference Quali-

ty IQ 𝑝0.50

0.10

Lot Tolerance Per-

cent Defective

(10% limiting qua-

lity)

LTPD [LQ(0.10)] 𝑝0.10

Titik-titik tersebut merupakan ringkasan kinerja sampel. AQL umumnya

digunakan sebagai titik 95% dari peluang penerimaan. LTPD mengacu pada titik

peluang 10% dari kurva KO dan umumnya berhubungan dengan persentase keru-

sakan. Rencana pengendalian parameter lain dari distribusi menyebabkan mun-

culnya istilah limiting quality (LQ), biasanya diawali dengan titik pengendalian.

Dengan demikian, “batas kualitas 10%” adalah LTPD.

Kurva KO menunjukkan posisi yang berlawanan antara produsen dan kon-

sumen. Produsen biasanya tertarik dalam menjamin bahwa lot yang baik akan di-

terima sedangkan konsumen menginginkan keyakinan alasan bahwa lot yang bu-

ruk akan ditolak. Dari hal tersebut, terdapat istilah Producer’s Quality Level

(PQL) dan berhubungan dengan resiko produsen 𝛼 dan Consumer’s Quality Level

(CQL) yang berhubungan dengan resiko konsumen 𝛽. Gambar 2.7. menunjukkan

PQL dan CQL dalam kurva KO.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

37

Gambar 2.7. PQL dan CQL dalam kurva KO

1. Titik-titik khusus pada kurva KO

Penjual biasanya tertarik untuk mengetahui berapakah tingkat kualitas lot

atau proses yang akan menghasilkan peluang penerimaan yang tinggi. Misalnya,

penjual mungkin tertarik pada titik peluang penerimaan 0,95. Sebaliknya, konsu-

men mungkin tertarik pada sisi lain kurva KO. Yakni, berapakah tingkat kualitas

lot atau proses yang akan menghasilkan peluang penerimaan rendah.

AQL menunjukkan tingkat kualitas yang terendah bagi proses penjual

yang akan dipandang dapat diterima sebagai rata-rata proses. Kerap kali konsu-

men akan merancang prosedur sampling sedemikian hingga kurva KO memberi-

kan peluang penerimaan yang tinggi pada AQL. Biasanya AQL tidak dimaksud-

kan sebagai spesifikasi produk ataupun nilai sasaran proses produksi penjual, teta-

pi hanyalah suatu standar guna menilai lot.

𝑃𝑎

PQL CQL

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

38

Konsumen juga akan tertarik pada sisi lain kurva KO. Yakni, perlindungan

yang diperoleh lot berkualitas rendah masing-masing. Dalam keadaan seperti itu,

konsumen dapat membuat LTPD, yaitu tingkat kualitas terendah dalam masing-

masing lot yang akan diterima oleh konsumen. Persen sesuai dengan karakteristik

toleransi lot bukan karakteristik perencanaan sampling, tetapi tingkat kualitas lot

yang diterapkan oleh konsumen. Nama lain untuk LTPD adalah rejectable quality

level (RQL) dan limiting quality level (LQL).

2. Kurva KO Tipe A dan Tipe B

Dalam pembentukan kurva KO diasumsikan bahwa sampel berasal dari lot

yang berukuran besar, atau sampel diambil dari lot yang dipilih secara acak dari

suatu proses. Dalam keadaan ini, distribusi Binomial adalah distribusi peluang

yang digunakan untuk menghitung peluang penerimaan lot. Kurva KO semacam

itu dikenal sebagai kurva KO tipe B.

Kurva KO tipe A digunakan untuk menghitung peluang penerimaan bagi

lot terpisah berukuran berhingga. Andaikan bahwa lot itu berukuran 𝑁, ukuran

sampel 𝑛, dan bilangan penerimaan 𝑐. Distribusi sampling banyaknya benda tak

sesuai dalam sampel adalah distribusi Hipergeometrik.

Gambar 2.8 menunjukkan kurva KO tipe A bagi perencanaan sampling

tunggal dengan 𝑛 = 50, 𝑐 = 1, dengan ukuran lot 𝑁 = 500. Peluang penerimaan

yang mendefinisikan kurva KO dihitung menggunakan distribusi Hipergeometrik.

Kurva KO tipe A untuk 𝑁 = 2000, 𝑛 = 50, dan 𝑐 = 1 ditunjukkan dalam kurva

ini juga. Umumnya, jika ukuran lot bertambah besar, ukuran lot mempunyai dam-

pak yang menurun pada kurva KO. Biasanya, jika ukuran lot paling sedikit 10 kali

ukuran sampel; 𝑛

𝑁≤ 0,10 , kurva KO tipe A dan tipe B benar-benar tidak terbe-

dakan. Sebagai gambaran, kurva KO tipe B untuk perencanaan sampling 𝑛 = 50,

𝑐 = 1 juga ditunjukkan dalam Gambar 2.8, ini identik dengan kurva KO tipe A

berdasarkan ukuran lot 𝑁 = 2000. Simulasi gambar untuk masing-masing grafik

dapat dilihat di Lampiran 2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

39

Gambar 2.8. Kurva KO tipe A dan tipe B

Kurva KO tipe A akan selalu di bawah kurva KO tipe B. Yakni, jika uku-

ran KO tipe B digunakan sebagai pendekatan bagi kurva tipe A, peluang peneri-

maan yang dihitung bagi kurva tipe B akan selalu lebih tinggi dari yang akan di-

capai jika sekitarnya kurva tipe A digunakan. Tetapi, perbedaan ini hanya signifi-

kan apabila ukuran lot relatif kecil terhadap ukuran sampel. Untuk selanjutnya,

kurva KO tipe A tidak akan dibahas dalam tugas akhir ini, karena dalam tugas

skhir ini hanya menerapkan pengambilan sampel penerimaan dengan kurva KO

tipe B.

3. Segi-segi lain tingkah laku kurva KO

Ada dua pendekatan untuk merancang perencanaan sampling yang dijum-

pai dalam praktek yang mempunyai implikasi tertentu bagi tingkah laku kurva

KO. Pendekatan ini adalah penggunaan perencanaan sampling dengan bilangan

penerimaan nol (𝑐 = 0), dan penggunaan ukuran sampel yang merupakan persen-

tase tetap dari ukuran lot.

Pel

uan

g p

ener

imaa

n, 𝑃 𝑎

Proporsi lot rusak, 𝑝

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

40

Gambar 2.9 menunjukkan beberapa kurva KO perencanaan sampling pe-

nerimaan dengan 𝑐 = 0. Dengan membandingkan Gambar 2.9 dengan Gambar

2.8, mudah untuk melihat bahwa perencanaan dengan bilangan penerimaan nol

mempunyai kurva KO yang sangat berbeda bentuknya dengan kurva KO perenca-

naan sampling dengan 𝑐 > 0. Umumnya, perencanaan sampling dengan 𝑐 = 0

mempunyai kurva KO yang konveks di seluruh rentangnya. Sebagai akibat bentuk

ini, peluang penerimaan mulai menurun sangat cepatnya, meskipun untuk nilai-

nilai bagian sesuai dengan karakteristik lot yang kecil. Hal ini sangat berat pada

penjual dan dalam beberapa keadaan, mungkin sangat tidak ekonomis bagi kon-

sumen. Andaikan tingkat kualitas yang dapat diterima adalah 1%. Hal ini berarti

bahwa akan menerima lot yang sesuai dengan karakteristik 1% atau lebih baik.

Perhatikan bahwa jika digunakan perencanaan sampling 𝑛 = 89, 𝑐 = 1, peluang

penerimaan lot pada AQL adalah

𝑃𝑎 = 𝑛!

𝑑! 𝑛 − 𝑑 !𝑝𝑑

𝑐

𝑑=0

(1 − 𝑝)𝑛−𝑑

= 89!

𝑑! 𝑛 − 𝑑 !0.01𝑑

1

𝑑=0

(1 − 0.01)89−𝑑

= 0.776345

≈ 0.78

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

41

Gambar 2.9. Kurva KO bagi perencanaan sampling tunggal dengan 𝑐 = 0 dan 𝑛

yang bervariasi

P(p

ener

imaa

n)

P(p

ener

imaa

n)

P(p

ener

imaa

n)

Proporsi rusak

Proporsi rusak

Proporsi rusak

𝑛 = 50 𝑛 = 100

𝑛 = 200

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

42

Sebaliknya, jika perencanaan 𝑛 = 89, 𝑐 = 0 yang digunakan, peluang penerimaan

pada AQL sekitar

𝑃𝑎 = 𝑛!

𝑑! 𝑛 − 𝑑 !𝑝𝑑

𝑐

𝑑=0

(1 − 𝑝)𝑛−𝑑

= 89!

0! 89 − 0 !0.010(1 − 0.01)89−0

= 0.40882

≈ 0.41

Yakni, hampir 60% lot kualitas AQL akan ditolak jika kita menggunkan bilangan

penerimaan nol. Jika lot yang ditolak dikembalikan kepada penjual, maka banyak

sekali lot yang tidak semestinya dikembalikan, mungkin menimbulkan kelamba-

tan produksi pada tempat produksi konsumen. Jika konsumen menyaring atau

memeriksa 100% semua lot yang ditolak, banyak sekali lot berkualitas yang dapat

diterima akan tersaring.

Gambar 2.10 menyajikan kurva KO perencanaan yang ukuran sampelnya

merupakan persentase yang tetap dari ukuran lotnya. Kekurangan pokok dari pen-

dekatan ini adalah ukuran sampel yang berbeda memberikan tingkat perlindungan

yang berbeda. Tidak masuk akal tingkat perlindungan yang disenangi konsumen

untuk suku atau komponen yang kritis akan berubah-ubah jika ukuran lot berubah-

ubah.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

43

Gambar 2.10. Kurva KO perencanaan sampling dengan ukuran sampel 10% dari

ukuran lot

P(p

ener

imaa

n)

P(p

ener

imaa

n)

P(p

ener

imaa

n)

Proporsi rusak (𝑛 = 100) Proporsi rusak (𝑛 = 500)

Proporsi rusak (𝑛 = 1000)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

44

F. Pembetulan pemeriksaan

Program pengambilan sampel penerimaan biasanya memerlukan tindakan

pembetulan pemeriksaan jika lot ditolak. Lot yang ditolak dapat ditangani dengan

beberapa cara seperti 1) mengambil bentuk pemeriksaan 100% atau menyaring lot

yang ditolak, dengan semua item rusak yang ditemukan disisihkan untuk dikerja-

kan kembali berikutnya, 2) dikembalikan kepada penjual, atau 3) diganti dari sim-

panan produk yang diketahui baik.

Skema pengambilan sampel penerimaan yang menggabungkan 100% pe-

meriksaan lot yang ditolak disebut skema pemeriksaan. Average Outgoing Quality

(AOQ) digunakan secara luas untuk menilai perencanaan pengambilan sampel

pembetulan. AOQ adalah kualitas rata-rata jangka panjang yang dikirim ke kon-

sumen dalam pemeriksaan 100% dari lot yang ditolak, dengan asumsi item rusak

yang ditemukan diganti dengan yang baik. Maka dalam lot berukuran N, terdapat

1. 𝑛 item dalam sampel setelah pemeriksaan tidak memuat item yang rusak,

karena semua item rusak yang ditemukan diganti

2. 𝑁 − 𝑛 item yang jika lot ditolak juga tidak memuat item rusak

3. 𝑁 − 𝑛 item yang jika lot diterima memuat 𝑝(𝑁 − 𝑛) item rusak

Jadi, lot yang keluar dari pemeriksaan mempunyai banyaknya unit rusak yang di-

harapkan sama dengan 𝑃𝑎𝑝(𝑁 − 𝑛), yang dapat dinyatakan dalam Average Out-

going Quality atau

𝐴𝑂𝑄 =𝑃𝑎𝑝(𝑁 − 𝑛)

𝑁

(2.2)

dan bila ukuran sampel sangat kecil dengan proporsi ukuran sampel 𝑛 𝑁~0 , ma-

ka rumusnya menjadi

𝐴𝑂𝑄 = 𝑝𝑃𝑎 (2.3)

Nilai maksimum dari AOQ atas semua kemungkinan nilai item rusak di-

sebut Average Outgoing Quality Level (AOQL). AOQL menunjukkan maksimal

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

45

jangka panjang rata-rata yang diterima konsumen dalam operasi perencanaan pe-

meriksaan.

Dalam penerapan skema pembetulan diperlukan rata-rata pemeriksaan per

lot, termasuk dalam pemeriksaan 100% dari lot yang ditolak yang disebut Average

Total Inspection (ATI) yang terdiri dari n sampel pada setiap lot ditambah

(𝑁 − 𝑛) unit sisa dari lot yang ditolak, sehingga

ATI = 𝑛 + 1 − 𝑃𝑎 (𝑁 − 𝑛)

= 𝑃𝑎𝑛 + 1 − 𝑃𝑎 𝑁 (2.4)

ATI menunjukkan rata-rata banyaknya sampel yang diinspeksi setiap unit

yang dihasilkan. Apabila produk yang dihasilkan tidak ditemukan adanya kesala-

han atau ketidaksesuaian, maka produk tersebut akan diterima melalui perenca-

naan sampel yang dipilih dan hanya sebanyak 𝑛 unit yang akan diinspeksi. Disisi

lain, apabila dari produk yang dihasilkan memiliki 100% produk yang mengalami

ketidaksesuaian, maka banyaknya unit yang diinspeksi akan sebanyak 𝑁 unit,

dengan asumsi produk yang mengalami ketidaksesuaian atau kesalahan tersebut

disaring. Untuk kualitas produk yang berada di antara kedua sisi ekstrim tersebut,

rata-rata banyaknya unit yang diinspeksi akan bervariasi di antara kedua nilai, se-

hingga ATI dapat digunakan dalam keadaan tersebut.

Contoh 2.6:

Akan dilakukan perencanaan pengambilan sampel dengan 𝑛 = 10, 𝑐 = 1 yang

digunakan pada persediaan berkelanjutan dengan ukuran lot 20 dari produsen

yang sama, dalam situasi pengambilan sampel Tipe B. Tentukan AOQ, ATI, dan

AOQL dari sampel tersebut!

Jawab:

𝑝 𝑃𝑎 (1 − 𝑛/𝑁) 𝐴𝑂𝑄 (1 − 𝑃𝑎)(𝑁 − 𝑛) 𝐴𝑇𝐼

0.001 1.000 0.500 0.000 0.000 10.000

0.050 0.914 0.500 0.023 0.861 10.861

0.100 0.736 0.500 0.037 2.639 12.639

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

46

0.150 0.544 0.500 0.041 4.557 14.557

0.200 0.376 0.500 0.038 6.242 16.242

0.250 0.244 0.500 0.031 7.560 17.560

0.300 0.149 0.500 0.022 8.507 18.507

0.350 0.086 0.500 0.015 9.140 19.140

0.400 0.046 0.500 0.009 9.536 19.536

0.450 0.023 0.500 0.005 9.767 19.767

0.500 0.011 0.500 0.003 9.893 19.893

Dari tabel tersebut terlihat bahwa AOQ maksimum adalah 0.041 yaitu pada

𝑝 = 0.15. Untuk mencari AOQL dapat dilakukan pengujian pada beberapa nilai 𝑝

yang terdekat dengan 𝑝 = 0.15 yang ditunjukkan pada tabel berikut

𝑝 𝑃𝑎 (1 − 𝑛/𝑁) 𝐴𝑂𝑄

0.13 0.620 0.500 0.0403

0.14 0.582 0.500 0.0407

0.15 0.544 0.500 0.0408

0.16 0.508 0.500 0.0406

0.17 0.473 0.500 0.0402

Dengan menggunakan pembulatan tiga angka desimal, maka 𝐴𝑂𝑄𝐿 dari sampel

tersebut adalah 0.041 pada 𝑝 = 0.15. Jadi, secara rata-rata dalam jangka panjang

konsumen tidak akan pernah menemui barang rusak yang lebih besar dari 4,1%.

G. Pembatasan pemeriksaan

Pembatasan pemeriksaan adalah prosedur yang digunakan untuk menghen-

tikan pemeriksaan setelah keputusan diperoleh. Pembatasan pemeriksaan diguna-

kan untuk menghemat pemeriksaan, sehingga dalam prosedur ini tidak mengha-

ruskan pemeriksaan keseluruhan terhadap sampel yang diambil.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

47

Sama seperti banyaknya prosedur untuk membuang lot, ada beberapa cara

untuk memperlakukan sampel itu sendiri. Berikut ini merupakan beberapa prose-

dur pemeriksaan dalam perencanaan pengambilan sampel tunggal dengan ukuran

sampel 𝑛 dan bilangan penerimaan 𝑐:

1. Pemeriksaan lengkap

Dalam pemeriksaan lengkap, semua item dalam sampel 𝑛 diperiksa

Ilustrasi:

Suatu lot akan diperiksa dengan mengambil 10 sampel pemeriksaan secara

acak dengan menggunakan prosedur pemeriksaan lengkap, maka dalam

prosedur ini 10 sampel tersebut diperiksa secara keseluruhan.

2. Pemeriksaan semi terbatas (Semicurtailed)

Dalam pemeriksaan semi terbatas, pemeriksaan dihentikan apabila ba-

nyaknya kerusakan yang ditemukan melebihi bilangan penerimaan. Semua

unit diperiksa jika lot diterima.

Ilustrasi:

Suatu lot akan diperiksa dengan mengambil 10 sampel pemeriksaan secara

acak menggunakan prosedur pemeriksaan semi terbatas. Dalam pemerik-

saan ini telah ditentukan bilangan penerimaan 1. Pemeriksaan sampel ter-

sebut disajikan dalam tabel berikut dengan keterangan sampel rusak yang

dilambangkan dengan r dan keterangan sampel baik yang dilambangkan

dengan b

Sampel ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Keterangan b b b b b r b r

Dalam tabel diatas sampel ke-9 dan ke-10 tidak diperiksa karena telah di-

temukan kerusakan ke dua pada sampel ke-8 yang telah melebihi bilangan

penerimaan. Sehingga pemeriksaan dihentikan pada sampel ke-8. Jadi,

dengan mekanisme pemeriksaan semi terbatas lot ditolak.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

48

3. Pemeriksaan terbatas penuh (Fully curtailed)

Dalam pemeriksaan terbatas penuh, pemeriksaan dihentikan apabila ba-

nyaknya kerusakan yang ditemukan melebihi bilangan pemeriksaan 𝑐 atau

banyaknya item tak rusak ditemukan melebihi 𝑛 − 𝑐. Singkatnya, peme-

riksaan dihentikan setelah keputusan dibuat.

Ilustrasi:

Suatu lot akan diperiksa dengan mengambil 10 sampel pemeriksaan secara

acak menggunakan prosedur pemeriksaan terbatas penuh. Dalam pemerik-

saan ini telah ditentukan bilangan penerimaan 3. Pemeriksaan sampel ter-

sebut disajikan dalam tabel berikut dengan keterangan sampel rusak yang

dilambangkan dengan r dan keterangan sampel baik yang dilambangkan

dengan b

Sampel ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Keterangan b r r b b r b r

Dalam tabel diatas sampel ke-9 dan ke-10 tidak diperiksa karena telah di-

temukan kerusakan ke empat pada sampel ke-8 yang telah melebihi bila-

ngan penerimaan. Sehingga pemeriksaan dihentikan pada sampel ke-8. Ja-

di dengan mekanisme pemeriksaan terbatas penuh lot ditolak. Atau dengan

cara lain

Sampel ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Keterangan b b b B b b b b

Dalam tabel diatas sampel ke-9 dan ke-10 tidak diperiksa karena item tak

rusak yang ditemukan telah melebihi 𝑛 − 𝑐 = 10 − 3 = 7. Sehingga pe-

meriksaan dihentikan pada sampel ke-8. Jadi dengan mekanisme pemerik-

saan terbatas penuh lot ditolak.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

49

Perbedaan antara pemeriksaan semi terbatas dengan pemeriksaan terbatas

penuh terletak pada prosedur menghentikan pemeriksaannya. Pada pemeriksaan

semi terbatas prosedur tersebut dihentikan apabila produk rusak yang ditemukan

melebihi bilangan penerimaan. Namun, dalam pemeriksaan terbatas penuh, apabi-

la hingga pemeriksaan ke 𝑛 − 𝑐 belum juga ditemukan kerusakan, maka pemerik-

saan dapat dihentikan.

Dalam pembatasan pemeriksaan, banyaknya unit yang sungguh-sungguh

diperiksa berasal dari suatu variabel acak. Terdapat rumus yang dapat digunakan

untuk menentukan rata-rata banyaknya item per lot yang diperiksa yang dihitung

dengan menggunakan rumus ASN (Average Sample Number). Rumus tersebut

merupakan rata-rata jumlah item yang diperiksa per lot. Rumus ASN untuk peren-

canaan pengambilan sampel tunggal seperti yang diberikan oleh Statistical Re-

search Group, Columbia University (1942) digunakan yaitu

1. Semi terbatas

𝐴𝑆𝑁𝑐 = 𝑛𝐹 𝑐 𝑛 +𝑐 + 1

𝑝(1 − 𝐹 𝑐 + 1 𝑛 + 1 ) (2.5)

2. Terbatas penuh

𝐴𝑆𝑁𝑓𝑐 =𝑛 − 𝑐

𝑞𝐹 𝑐 𝑛 + 1 +

𝑐 + 1

𝑝(1 − 𝐹 𝑐 + 1 𝑛 + 1 ) (2.6)

dengan 𝑥 banyaknya item rusak dan 𝐹 𝑥 𝑛 = 𝑝 𝑋 ≤ 𝑥 𝑛 adalah fungsi peluang

kumulatif X untuk ukuran sampel 𝑛 tertentu.

Penggunaan pembatasan pemeriksaan tidak disarankan dalam perencanaan

pengambilan sampel tunggal karena dalam perencanaan pengambilan sampel

tunggal sulit memperkirakan rata-rata proses dari data tersebut dan biasanya da-

lam pengambilan sampel tunggal menggunakan pemeriksaan lengkap pada sampel

tetap. Apabila pembatasan pemeriksaan digunakan dalam perencanaan pengambi-

lan sampel tunggal, maka hasinya akan bias. Sebagai contoh, andaikan bahwa bi-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

50

langan penerimaan sama dengan satu. Jika dua produk pertama dalam sampel ter-

sebut rusak, dan proses penerimaan diputus, maka taksiran produk rusak dalam lot

adalah 100%. Sehingga hasil dari keputusan tersebut bias. Prosedur pembatasan

pemeriksaan dalam perencanaan pengambilan sampel ganda diterapkan pada

sampel kedua, sedangkan pada sampel pertama dilakukan pemeriksaan lengkap.

Penduga tak bias rata-rata proporsi (𝑝 ) rusak dari proses dalam pembata-

san pemeriksaan dilakukan dengan menggunakan metode Girshck et al. (1946)

sebagai berikut

Misalkan:

𝑐 adalah bilangan penerimaan

𝑑 adalah banyaknya item rusak yang ditemukan

𝑈 adalah banyaknya unit yang telah diperiksa

maka

1. Terbatas penuh

Jika lot ditolak maka 𝑝 =𝑐

𝑈 − 1 (2.7)

Jika lot diterima maka 𝑝 =𝑑

𝑈 − 1 (2.8)

2. Semi terbatas

Jika lot ditolak maka 𝑝 =𝑐

𝑈 − 1 (2.9)

Jika lot diterima maka 𝑝 =𝑑

𝑈 (2.10)

Contoh 2.7:

Pemeriksaan pengambilan sampel dengan 𝑛 = 10, 𝑐 = 1 digunakan dalam peme-

riksaan semi terbatas dan kerusakan kedua ditemukan pada pemeriksaan item ke

enam. Hitunglah ASN!

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

51