98
PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Birgitta Lucy Christabella NIM: 143114003 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2018 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS

MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Birgitta Lucy Christabella

NIM: 143114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

i

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS

MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Birgitta Lucy Christabella

NIM: 143114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

ii

NUMERICAL SOLUTION TO THE BURGERS EQUATION

USING SOME FINITE VOLUME METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Reguirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written By:

Birgitta Lucy Christabella

Student ID: 143114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Semua akan indah pada waktunya.”

“Kamu bisa!! Jangan pernah meragukan dirimu sendiri!!!”

“Karena masa depan sungguh ada, dan harapanmu tidak akan hilang.

Amsal 28:13”

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa memberikan berkat-Nya disetiap langkah

saya dan kedua orang tua tercinta, Widodo dan Mimin Sumiati, yang selalu

mendoakan saya serta memberikan yang terbaik untuk saya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

viii

ABSTRAK

Persamaan Burgers merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik

nonlinear. Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan yang rumit yaitu

dari sistem persamaan Navier-Stokes. Persamaan Burgers terbagi menjadi dua

yaitu persamaan Burgers inviscid dan persamaan Burgers viscid. Persamaan

Burgers mempunyai solusi eksak yang sulit ditemukan secara analitis. Oleh

karena itu, skripsi ini membahas mengenai penyelesaian numeris persamaan

Burgers.

Metode numeris yang akan digunakan adalah metode volume hingga.

Metode volume hingga untuk persamaan Burgers inviscid adalah metode up-wind

non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

MacCormack, Godunov. Metode untuk persamaan Burgers viscid adalah metode

volume hingga parabolik. Metode tersebut digunakan untuk mencari solusi akhir

persamaan Burgers. Lebih lanjut, galat dan waktu komputasi di setiap simulasi

untuk uji metode juga didokumentasikan.

Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dari ketujuh

metode tersebut. Selain itu, juga dibandingkan setiap nilai galat absolut dan waktu

komputasi dari solusi persamaan Burgers inviscid. Metode dikatakan baik secara

numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu

dan diskontinu dengan tidak menunjukkan adanya osilasi semu (artifisial), nilai

galat absolutnya kecil, serta waktu penjalanan simulasi yang singkat. Dengan

demikian, dari hasil yang diperoleh dalam skripsi ini dapat ditemukan suatu

metode numeris yang cepat dan akurat untuk menyelesaikan persamaan Burgers.

Kata kunci: persamaan Burgers, metode volume hingga, Burgers inviscid,

Burgers viscid.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

ix

ABSTRACT

Burgers equation is a nonlinear hyperbolic partial differential equation.

Burgers equation appears as a simplified version of the complex Navier-Stokes

equation system. Burgers equation is categorized into two types, namely, inviscid

Burgers and viscid Burgers. The solution of the Burgers equation is hard to find

analytically. Therefore, this thesis discusses the numerical solution of Burgers

equation.

The finite volume methods to inviscid Burgers equations is the up-wind

non-conservative, up-wind conservative, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

MacCormack, and Godunov methods. The method for the viscid Burgers equation

is the parabolic finite volume method. Those methods will be used to find the

final solution of Burgers equation. Furthermore, errors and running times of

simulations to solve the Burgers equation will be explained in every simulation of

the method.

Results were analyzed by looking at the simulations produced by the seven

methods. In addition, we compare each of the absolute errors and computation

(running) times of the inviscid Burgers equation solution. The method can be said

good numerically for the simulation results, if the method is able to solve

continuous and discontinuous problems and does not indicate the existence of

artificial oscillations, the absolute error is small, and the running time is short.

Therefore, from the results in this thesis we obtain a fast and accurate numerical

method for solving the Burgers equation.

Keyword: Burgers equation, finite volume method, inviscid Burgers, viscid

Burgers.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat,

rahmat serta Roh Kudus yang telah dicurahkan kepada penulis sehingga penulis

dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik dan lancar. Skripsi ini merupakan

salah satu syarat yang harus dipenuhi penulis untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains (S.Si), terkhusus pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Banyak sekali tantangan serta kesulitan yang penulis alami dalam

penulisan skripsi ini. Berkat penyertaan Tuhan, serta rasa keyakinan yang kuat,

dan dukungan dari berbagai pihak, penulis mampu melewati semuanya. Dengan

demikian penulis ingin mengucapkan terima kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,

S.Si., M.Si., dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen Program

Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat semasa

penulis menimba ilmu di Program Studi Matematika, Universitas Sanata

Dharma.

5. Bapak/ibu dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

membantu penulis melengkapi keperluan yang penulis butuhkan semasa

perkuliahan, serta berdinamika bersama dan memberikan semangat kepada

penulis.

6. Kedua orang tua dan adik yang selalu menemani, dan tanpa lelah memberikan

semangat serta doa dalam setiap langkah penulis.

7. Aditya Bayu Kristanto yang selalu sabar, mau menjadi pendengar setiap cerita

penulis, memberikan motivasi, dan nasehat yang luar biasa.

8. Dera, Gladys, Jiska, Kresna, Joni, Gesa, Thesa, Sinta, Maulani, Anna, Ervan,

Etri, Monic, Eka, Bowo, Nando, dan Efrem yang telah menjadi teman serta

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. vii

ABSTRAK ......................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

A. Latar Belakang .................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3

C. Batasan Masalah ................................................................................. 3

D. Tujuan Masalah .................................................................................. 3

E. Manfaat Masalah ................................................................................ 3

F. Metode Penulisan ............................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 4

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL TERKAIT ............. 6

A. Turunan ............................................................................................... 6

B. Integral ................................................................................................ 9

C. Pengertian Diferensial ........................................................................ 13

D. Hukum Konservasi ............................................................................. 16

E. Persamaan Burgers ............................................................................. 17

F. Persamaan Euler ................................................................................. 18

G. Turunan Numerik ............................................................................... 19

H. Menentukan Orde Galat ...................................................................... 25

I. Metode Volume Hingga ..................................................................... 26

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

xiii

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN BURGERS .............. 29

A. Penurunan Persamaan Navier Stokes Menjadi Persamaan Burgers

Satu Dimensi ..................................................................................... 29

B. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers

Inviscid ................................................................................................ 34

C. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers

Viscid ................................................................................................... 38

BAB IV DISKUSI HASIL PENYELESAIAN .................................................. 41

A. Diskusi Hasil Penyelesaian ................................................................. 41

B. Pengamatan Galat ............................................................................... 46

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 55

A. Kesimpulan ......................................................................................... 55

B. Saran ................................................................................................... 56

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 57

LAMPIRAN ....................................................................................................... 58

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan

suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Berdasarkan banyaknya variabel bebas

yang terlibat, persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu persamaan

diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa

adalah persamaan diferensial yang hanya memuat satu variabel bebas. Jika dalam

persamaan diferensial memuat lebih dari satu variabel bebas, persamaan tersebut

merupakan persamaan diferensial parsial. Salah satu bentuk persamaan diferensial

parsial adalah persamaan Burgers.

Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan model yang rumit,

yaitu sistem persamaan Navier-Stokes. Sistem persamaan Navier-Stokes

merupakan suatu model matematika untuk aliran gelombang fluida yang bersifat

nonlinear. Menurut Landajuela (2011), sistem persamaan Navier-Stokes

berbentuk

0 v (1.1a)

0)()( 2 vpvvv t (1.1b)

dengan adalah fungsi skalar massa jenis fluida, adalah fungsi skalar

kekentalan (viscosity) fluida, p adalah fungsi skalar tekanan yang bergantung

pada variabel x , y , dan ,z dan v adalah vektor kecepatan dalam arah sumbu ,x

y , dan z . Sistem persamaan tersebut bisa disederhanakan menjadi satu

persamaan Burgers. Akan tetapi, satu persamaan tersebut masih bersifat nonlinear.

Jadi, sifat dasar dari sistem persamaan Navier-Stokes itu masih terkandung dalam

persamaan Burgers. Artinya, persamaan Burgers merupakan persamaan

gelombang sederhana yang memuat sifat nonlinear dari pergerakan gelombang

tersebut. Dalam fenomena alam, persamaan Burgers dapat digunakan pada

masalah mekanika fluida, khususnya sebagai model persamaan untuk kecepatan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

2

aliran fluida dan gerak gelombang. Selain digunakan pada masalah mekanika

fluida, persamaan Burgers juga muncul pada masalah arus lalu lintas, seperti arus

gelombang kendaraan.

Dalam skripsi ini penulis akan membahas mengenai penyelesaian numeris

persamaan Burgers secara cepat dan akurat. Cepat berarti waktu komputasinya

singkat dan akurat artinya nilai kesalahannya kecil. Persamaan Burgers terbagi

menjadi dua yaitu persamaan Burgers viscid dan persamaan Burgers inviscid.

Menurut Landajuela (2011), persamaan Burgers viscid berbentuk

xxxt uuuu (1.2)

dengan 0 adalah konstanta viskositas, t adalah variabel waktu, x adalah var-

iabel ruang dan u adalah variabel terikat yang bergantung pada x dan t . Persa-

maan Burgers inviscid berbentuk

0 xt uuu (1.3)

dengan .0t Persamaan (1.3) dapat ditulis menjadi persamaan hukum kekekalan

berbentuk

0)]([ xt ufu (1.4)

dengan 2

)(2u

uf . Jadi, persamaan (1.3) dapat ditulis ulang menjadi

.02

2

x

t

uu (1.5)

Persamaan Burgers mempunyai solusi eksak yang sulit dicari secara anali-

tis, sehingga diperlukan cara lain yaitu dengan menggunakan metode numeris.

Metode numeris yang akan digunakan adalah metode volume hingga, Persamaan

Burgers inviscid menggunakan metode numeris volume hingga up-wind non-

konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack,

Godunov dan untuk persamaan Burgers viscid menggunakan metode volume

hingga parabolik. Jika metode tersebut berhasil menyelesaikan persamaan Burgers

dengan baik diharapkan metode tersebut dapat menyelesaikan masalah-masalah

yang lebih rumit. Metode tersebut bisa diterapkan untuk menyelesaikan persa-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

3

maan yang lebih rumit seperti sistem persamaan Navier-Stokes, sistem persamaan

gelombang air dangkal dan model arus lalu lintas.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah sebagai

berikut:

1. Bagaimana menyederhanakan sistem persamaan Navier-Stokes menjadi

persamaan Burgers?

2. Bagaimana mencari penyelesaian numeris persamaan Burgers menggunakan

metode volume hingga up-wind non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-

Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, Godunov dan volume hingga

parabolik?

C. Batasan Masalah

Pembahasan skripsi ini dibatasi pada masalah satu dimensi dan mencari

penyelesaian numeris persamaan Burgers dengan metode volume hingga up-wind

non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

MacCormack, Godunov dan volume hingga parabolik.

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini

adalah sebagai berikut:

1. Mendapatkan persamaan Burgers dari hasil penyederhanaan sistem persa-

maan Navier-Stokes.

2. Menyelesaikan secara numeris persamaan Burgers menggunakan metode vol-

ume hingga.

E. Manfaat penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah penulis

akan memperoleh metode penyelesaian persamaan Burgers secara cepat dan aku-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

4

rat. Metode tersebut diharapkan dapat menyelesaikan masalah-masalah yang lebih

rumit, seperti sistem persamaan Navier-Stokes, persamaan gelombang air dangkal

dan model arus lalu lintas.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal

yang berkaitan dengan penyelesaian numeris persamaan Burgers menggunakan

metode volume hingga, serta praktik simulasi dengan program komputer

menggunakan bahasa pemograman MATLAB. Beberapa acuan yang akan dipakai

penulis, misalnya Debnath (2012) dan LeVeque (1992).

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL TERKAIT

A. Turunan

B. Integral

C. Pengertian Diferensial

D. Hukum Konservasi

E. Persamaan Burgers

F. Persamaan Euler

G. Turunan Numerik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

5

H. Menentukan Orde Galat

I. Metode Volume Hingga

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN

BURGERS

A. Penurunan Persamaan Navier-Stokes Menjadi Persamaan Burgers Satu

Dimensi

B. Metode Volume Hingga untuk Persamaan Burgers Inviscid

C. Metode Volume Hingga untuk Persamaan Burgers Viscid

BAB IV DISKUSI HASIL PENYELESAIAN

A. Diskusi Hasil Penyelesaian

B. Pengamatan Galat

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

6

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan dibahas mengenai landasan teori dari skripsi ini.

Landasan teori yang digunakan dalam skripsi ini adalah turunan, integral,

persamaan diferensial, hukum konservasi, persamaan Burgers, persamaan Euler,

turunan numeris, dan metode volume hingga.

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai turunan dengan menggunakan

referensi dari Purcell dan Varberg (1987).

Definisi 2.1

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca “ f aksen”) yang nilainya

pada titik c didefinisikan

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

asalkan limit ini ada dan bukan atau (Purcell dan Varberg, 1987).

Contoh 2.1

Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg (1987):

Andaikan .613)( xxf Cari ).4(f

Penyelesaian:

h

fhff

h

)4()4(lim)4('

0

13

13lim

13lim

]6)4(13[]6)4(13[lim

0

0

0

h

h

h

h

h

h

h

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

7

Definisi 2.2

Definisi turunan (derivatif) di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut

(Purcell dan Varberg, 1987):

Diberikan fungsi fDf : maka turunan (derivatif) dari fungsi f pada

titik c adalah

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

atau misalkan hcx , sehingga cx menggantikan h . Jadi,

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

dengan syarat nilai limit ini ada.

Contoh 2.2

Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg (1987):

Gunakan definisi terakhir untuk mencari )(' cg jika .)3(

2)(

xxg

Penyelesaian:

cx

cx

cx

cgxgcg

cxcx

3

2

3

2

lim)()(

lim)('

cxcx

xc

cx

1.

)3)(3(

)3(2)3(2lim

cxcx

cx

cx

1.

)3)(3(

)(2lim

)3)(3(

2lim

cxcx

2)3(

2

c

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

8

Teorema 2.1

Jika )(' cf ada, maka f kontinu di c (Purcell dan Varberg, 1987). Bukti

dapat dilihat pada buku karangan Purcell dan Varberg (1987) yang berjudul

Kalkulus dan Geometri Analitis edisi kelima (jilid 1).

Teorema 2.2

Misalkan )(ufy dan )(xgu . Jika g terdiferensiasikan di x dan f

terdiferensiasikan di )(xgu , maka fungsi komposit gf , yang didefinisikan

oleh )),(())(( xgfxgf adalah terdiferensiasikan di x dan

)())(()()( xgxgfxgf

yaitu

)())(()))((( xgxgfxgfDx

atau

dx

du

du

dy

dx

dy

(Purcell dan Varberg, 1987).

Contoh 2.3

Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg(1987):

Jika 602 )142( xxy , carilah yDx.

Penyelesaian:

Kita misalkan y sebagai pangkat ke-60 suatu fungsi x , yaitu

60uy dan 142 2 xxu

Fungsi sebelah luar adalah 60)( uuf dan fungsi bagian dalam adalah

142)( 2 xxxgu . Jadi,

))(( xgfDyD xx

)()( xguf

)44)(60( 59 xu

)44()142(60 592 xxx

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

9

B. Integral

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi serta contoh tentang integral

yang menggunakan referensi Purcell dan Varberg (1987), Verberg dkk (2006) dan

Thomas (2010).

Definisi 2.3

Jika diberikan suatu fungsi )(xf pada suatu interval I dan berlaku

)()( xfxF untuk suatu )(xF , maka )(xF adalah suatu anti turunan dari fungsi

)(xf .

Contoh 2.4

Contoh ini diambil dari buku Varberg dkk (2006).

Carilah suaatu anti-turunan fungsi 34)( xxf pada ),( .

Penyelesaian:

Fungsi 6)( 4 xxF memenuhi 34)(' xxF , ini juga adalah suatu anti-turunan

dari 34)( xxf . Pada kenyataannya, CxxF 4)( , dengan C konstanta

sebarang, adalah suatu anti-turunan dari 34x pada ),( .

Contoh 2.5

Carilah anti-turunan umum dari 2)( xxf pada ),( .

Penyelesaian:

Fungsi 3)( xxF bukan anti-turunannya, karena turunannya adalah 23x . Tetapi

ini menyarankan 3

3

1)( xxF , memenuhi

233

1)( xxF . Oleh karena itu, anti-

turunan umumnya adalah .3

1 3 Cx

Teorema 2.3

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecil 1 , maka

Cr

xdxx

rr

1

1

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

10

Bukti dapat dilihat di buku Varberg dkk (2006) yang berjudul Calculus.

Teorema 2.4

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan

andaikan k suatu konstanta. Maka

(i). )(xkf )(xfkdx dx ;

(ii). )()( xgxf )(xfdx )(xgdx dx ;

(iii). )()( xgxf )(xfdx )(xgdx dx .

Bukti dapat dilihat pada buku Varberg dkk (2006) yang berjudul Calculus.

Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Sebelumnya kita telah mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f

untuk memperoleh suatu fungsi baru F . Kita tuliskan

)(xf CxFdx )(

Dan ini adalah benar, asalkan )()( xfxF . Dalam bahasa diferensial,

)()( xfxF detara dengan )()( xfxdF dx . Sehingga kita dapat memandang

rumus )(xf CxFdx )( sebagai

)(xdF CxF )(

Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperoleh

fungsi tersebut (tambah suatu konstanta) (Purcell dan Varberg, 1987).

Contoh 2.6

Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg (1987):

Carilah suatu fungsi bagi kurva yang melalui )2,1( dan yang

kemiringannya pada setiap titik kurva sama dengan dua kali absis (koordinat x )

titik itu.

Penyelesaian:

Kondisi yang harus berlaku di setiap titik ),( yx pada kurva adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

11

xdx

dy2

kita mencari suatu fungsi )(xfy yang memenuhi persamaan ini dan kondisi

tambahan bahwa 2y bilamana 1x . Kita sarankan dua cara memperhatikan

masalah ini.

Metode 1:

Persamaan bentuk )(/ xgdxdy , kita amati bahwa y harus berupa suatu

anti turunan dari )(xg , yakni

)(xgy dx

dalam kasus kita

xy 2 Cxdx 2

Metode 2:

Pikirkan dxdy / sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua

ruas dari xdxdy 2/ dikali dengan dx , diperoleh

xdy 2 dx

Selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan,

xdy 2 dx

2

2

1 CxCy

12

2 CCxy

Cxy 2

Seperti yang kita peroleh, metode yang kedua berhasil dalam aneka rupa masalah.

Definisi 2.4 (Integral tentu, Purcell dan Varberg (1987))

Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup ],[ ba .

Jika

i

n

i

iP

xxf

1

0)(lim

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

12

ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada ],[ ba . Lebih lanjut b

adxxf )(

disebut intergal tentu (atau intergal riemann) f dari a ke b , diberikan oleh

b

ai

n

i

iP

xxfdxxf1

0)(lim)( .

Keterangan lebih jauh dapat dibaca pada buku Purcell (1987) yang berjudul

Kalkulus dan Geometri Analitis edisi kelima.

Teorema 2.5

Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada ],[ ba dan andaikan F

searang anti turunan dari f di sana. Maka,

b

aaFbFdxxf ).()()(

Bukti dapat dilihat pada buku Purcell dan Varberg (1987).

Contoh 2.7

Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg(1987):

Tentukan integral fungsi 264)( xxxf pada interval tertutup ]2,1[ .

Penyelesaian:

Integral tak tentunya adalah

.2264)( 322 CxxdxxxxF

dengan C sebarang konstan.

Dapat diperiksa )()( xfxF , sebagai berikut:

).(64)3.2(2.2)22(

)( 2232

xfxxxxdx

xxd

dx

dFxF

Karena f kontinu pada interval ]2,1[ dan )()( xfxF , maka

.12)1.(2)1.(22.22.2)1()2()64(2

1

32322 FFdxxx

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

13

C. Pengertian Diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas tentang persamaan diferensial yang

menggunakan referensi dari Bedient dan Rainville (1969) dan Ross (1989).

Persamaan diferensial yang akan dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan

diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, tingkatan

persamaan diferensial, dan persamaan diferensial linear/tak linear.

Definisi 2.5 (Persamaan Diferensial)

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang melibatkan turunan

dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap variabel-variabel bebas (Ross,

1989).

Contoh 2.8

Persamaan di bawah ini adalah beberapa contoh dari persamaan diferensial

(Ross, 1989):

,0

2

2

2

dx

dyxy

dx

yd

(2.1)

,sin352

2

4

4

txdt

xd

dt

xd

(2.2)

,ut

u

s

u

(2.3)

.02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

(2.4)

Definisi 2.6

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang

melibatkan turunan biasa dari satu variabel tak bebas atau variabel terikat yang

bergantung pada satu variabel bebas (Ross, 1989).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

14

Contoh 2.9

Contoh dari persamaan diferensial biasa ditunjukkan oleh persamaan (2.1)

dan (2.2). Persamaan (2.1) adalah persamaan diferensial biasa dengan variabel x

adalah suatu variabel bebas, dan y adalah variabel tak bebas. Pada persamaan

(2.2) adalah persamaan diferensial biasa dengan t adalah variabel bebas,

sedangkan x adalah variabel tak bebas.

Definisi 2.7

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan diferensial yang

melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas atau variabel

terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1989).

Contoh 2.10

Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah contoh dari persamaan diferensial

parsial. Pada persamaan (2.3) variabel s dan t merupakan variabel bebas dan

variabel u merupakan variabel tak bebas. Pada persamaan (2.4) terdapat variabel

bebas x dan t , sedangkan variabel tak bebasnya adalah variabel u .

Definisi 2.8

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang

muncul dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan umum dari orde

persamaan diferensial berbentuk

0),...,,,( )( nyyyxF (2.5)

disebut persamaan diferensial biasa order ke- n (Ross, 1989).

Contoh 2.11

Persamaan (2.1) adalah contoh persamaan diferensial biasa orde dua dan

persamaan (2.2) adalah contoh persamaan diferensial biasa orde empat.

Persamaan (2.3) adalah contoh persamaan diferensial parsial order satu dan

persamaan (2.4) adalah contoh persamaan diferensial parsial orde dua.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

15

Definisi 2.9

Sebuah persamaan (2.5) disebut linear jika fungsi F adalah fungsi linear

dari variabel )(,...,, nyyy . Persamaan diferensial biasa linear dari orde n , dapat

dinyatakan dalam bentuk

)()()(...)()( 11

1

10 xbyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa nnn

n

n

n

(2.6)

dimana 0a tidak sama dengan nol (Ross, 1989).

Contoh 2.12

Contoh ini diperoleh dari buku Bedient dan Rainville (1963)

,062

2

ydx

dy

dx

yd

(2.7)

023 yyy (2.8)

Persamaan (2.7) dan (2.8) adalah persamaan diferensial biasa linear orde

dua. Dalam persamaan (2.7) dan (2.8) variabel y adalah variabel tak bebas.

Perhatikan y dan turunan-turunannya terjadi hanya dengan pangkat satu saja dan

tidak ada perkalian dari y atau turunan dari y .

Definisi 2.10

Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.6)

dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear (Ross, 1989).

Contoh 2.12

Contoh persamaan diferensial biasa tak linear (Ross, 1989):

,065

3

2

2

y

dx

dy

dx

yd

(2.9)

,065 2

2

2

ydx

dy

dx

yd

(2.10)

.0652

2

ydx

dyy

dx

yd

(2.11)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

16

Persaman (2.9) bukan persamaan diferensial biasa linear karena terdapat

bentuk

3

dx

dy yang melibatkan pangkat tiga dari turunan pertama. Persamaan

(2.10) adalah persamaan diferensial biasa tak linear karena variabel tak bebas atau

variabel terikat y terdapat pangkat kedua dalam bentuk 26y . Persamaan (2.11)

adalah persamaan diferensial biasa tak linear karena terdapat bentuk dx

dyy yang

melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas dengan turunannya.

D. Hukum Konservasi

Pada subbab ini akan dibahas mengenai hukum konservasi menurut

LeVeque (2014):

Hukum konservasi satu dimensi adalah persamaan diferensial parsial yang

berbentuk

( ) ( ( ))

(2.12)

dengan ( ) adalah fungsi fluks. Persamaan (2.12) dapat ditulis juga dalam

bentuk

( ) ( )

Definisi 2.11

Bentuk integral dari hukum konservasi dengan interval yaitu

∫ ( ) ( ( )) ( ( ))

(2.13)

Persamaan (2.13) merupakan bentuk integral dasar dari hukum konservasi dan

mengukur kerapatan dari suatu kuantitas kekal. Persamaan (2.3) dapat ditulis

∫ ( ) ( ( ))

|

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

17

Persamaan untuk dapat diselesaikan apabila fungsi ( ) ditentukan dan

persamaan ini harus memenuhi interval [ ] untuk sebarang nilai dan .

Persamaan ini sulit jika diselesaikan secara langsung, dengan demikian terlebih

dahulu akan diubah ke dalam bentuk persamaan diferensial. Diasumsikan bahwa

( ) dan adalah fungsi mulus, sehingga

∫ ( )

( ( ))

(2.14)

atau

∫ [

( )

( ( ))]

(2.16)

Dikarenakan persamaan (2.16) harus sama dengan nol untuk semua nilai dan

, maka integral dari persamaan tersebut harus sama dengan nol. Sehingga,

diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut

( )

( ( ))

(2.17)

Dengan demikian persamaan (2.17) dapat ditulis kembali menjadi

( ) ( ( ))

E. Persamaan Burgers

Pada subbab ini akan dibahas mengenai persamaan Burgers menurut

LeVeque (1992).

Perhatikan persamaan skalar nonlinear (1.4):

0)]([ xt ufu Ref. (1.4)

dimana )(uf adalah fungsi tak linear dari .u Asumsikan bahwa )(uf adalah

fungsi cembung, 0)( uf untuk semua u (atau, sama baiknya, f adalah fungsi

cekung dengan 0)( uf untuk semua ).u

Sejauh ini masalah model yang paling terkenal di bidang ini adalah

persamaan Burgers, dimana )(uf menjadi persamaan (1.3):

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

18

0 xt uuu Ref. (1.3)

Persamaan tersebut disebut “persamaan Buergers inviscid”, karena persamaan

yang dipelajari oleh Burgers juga mencakup istilah viscous:

xxxt uuuu Ref. (1.2)

Ini adalah model paling sederhana yang mencakup sifat nonlinear dan

viscous dari dinamika fluida.

F. Persamaan Euler

Diingat bahwa adalah densitas, v kecepatan, E energi total, dan p

tekanan gas. Persamaan kontinuitas adalah

.0)( tt v (2.18)

Debit aliran massa (fluks massa) diberikan oleh v . Secara umum, untuk setiap

jumlah z yang digerakkan dengan arus akan ada konstribusi terhadap aliran untuk

z dari bentuk zv . Dengan demikian, persamaan momentum memiliki konstribusi

bentuk 2)( vvv dan persamaan energi memiliki konstribusi fluks Ev .

Selain adveksi, ada kekuatan pada cairan yang menyebabkan percepatan

yang disebabkan oleh hukum Newton, oleh karena itu ada perubahan dalam

momentum. xp merupakan gradien tekanan. Diberikan persamaan momentum

dari penggabungan xp dengan fluks advektif, yaitu

.0)()( 2 xt pvv (2.19)

Energi total E sering didekomposisi sebagai

,2

1 2 evE (2.20)

e adalah energi internal. Variabel e yang merupakan energi bagian dalam

(internal) persatuan massa, disebut sebagai energi internal spesifik. Energi internal

mencakup energi rotasi dan vibrasi dan kemungkinan bentuk energi lainnya dalam

situasi yang lebih rumit. Dalam persamaan Euler diasumsikan bahwa gas berada

dalam kesetimbangan kimia dan termodinamika dan bahwa energi internal adalah

fungsi tekanan dalam kerapatan yang diketahui:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

19

).,( pee (2.21)

Ini adalah “persamaan keadaan” untuk gas, yang bergantung pada gas

yang sedang dipelajari. Dengan tidak adanya kekuatan dari luar, pekerjaan

dilakukan hanya oleh kekuatan tekanan dan sebanding dengan gradien vp .

Hukum konservasi untuk energi total dalam satu dimensi berbentuk sebagai

berikut

.0)]([ xt pEvE (2.22)

Menempatkan persamaan ini bersama memberikan sistem persamaan Euler

.0

)(

2

xtpEv

pv

v

E

v

(2.23)

Dalam ruang dua dimensi, persamaan Euler berbentuk

0

)()(

2

2

yxtpEv

pv

uv

v

pEv

uv

pv

v

E

v

u

(2.24)

dimana ),( vu adalah kecepatan fluida dua dimensi.

G. Turunan Numerik

Pada subbab ini akan dibahas mengenai penurunan numeris beserta contoh

dan penjelasannya mengenai tiga hampiran dalam menghitung turunan numerik

yaitu hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda pusat

menggunakan referensi dari Munir (2015).

Definisi 2.10

Suatu turunan fungsi didefinisikan dengan

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

Seringkali fungsi )(xf tidak diketahui secara eksplisit, tetapi hanya memiliki

beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini tidak dapat ditentukan nilai turunan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

20

fungsi secara analitis. Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun )(xf diketahui

secara eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga menentukan fungsi turunannya

merupakan pekerjaan yang sulit dan tidak praktis, misalnya pada fungsi-fungsi

berikut ini:

a. ,

)cos(

2)sin(

)3tan()2cos()(

2

x

xex

xxxxf

x

b. )4ln()( 2)22( xxexf x .

Untuk kedua kasus di atas, perhitungan nilai turunan dapat dikerjakan

secara numeris (numerical differentiation atau numerical derivative). Nilai

turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran.

Tiga Hampiran dalam Menghitung Turunan Numerik

Pengertian turunan adalah limit dari hasil bagi selisih, yaitu pengurangan

dua buah nilai yang benar )()( xfhxf dan membaginya dengan bilangan

yang kecil )(h . Misal diberikan nilai-nilai x di hx 0,

0x , dan hx 0, serta

nilai fungsi untuk nilai-nilai x tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah

),( 11 fx , ),( 00 fx , dan ),( 11 fx , yang dalam hal ini hxx 01 dan hxx 01

.

Terdapat tiga pendekatan dalam menghitung nilai )( 0xf :

1. Hampiran Beda Maju

Diketahui fungsi )( 0xfy . Selanjutnya akan ditunjukkan )( 0xf .

Dengan menggunakan hampiran beda maju

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00

h

xfhxf )()( 00

h

ff 01

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

21

2. Hampiran Beda Mundur

Diketahui fungsi )( 0xfy . Selanjutnya akan ditunjukkan )( 0xf .

Dengan menggunakan hampiran beda mundur

h

hxfxfxf

h

)()(lim)( 00

00

h

hxfxf )()( 00

h

ff 10

3. Hampiran Beda Pusat

Diketahui fungsi )( 0xfy . Selanjutnya akan ditunjukkan )( 0xf .

Dengan menggunakan hampiran beda pusat

h

hxfhxfxf

h 2

)()(lim)( 00

00

h

hxfhxf

2

)()( 00

h

ff

2

11

Rumusan Turunan dengan Deret Taylor

Dalam bagian ini akan dibahas mengenai rumusan turunan deret Taylor,

mengambil referensi dari Munir (2015).

Misalkan diberikan ),( ii fx , ni ,...,2,1,0 , yang dalam hal ini

ihxxi 0

dan

)( ii xff

dimana shxxi 0, untuk s R dengan ketiga pendekatan yang disebutkan di

atas yaitu beda maju, beda mundur, dan beda pusat.

1. Hampiran Beda Maju

Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

22

)( 1ixf ...)(!2

)()(

!1

)()(

2

11

i

ii

i

ii

i xfxx

xfxx

xf

Subsitusikan ( ) dan penulisan ( ) dapat ditulis

diperoleh

...2

2

1 iii fh

fhff

(2.25)

atau ditulis

...2

2

1 iiii fh

fffh

kedua ruas dibagi dengan , diperoleh

...2

1

i

ii

i fh

h

fff

(2.26)

Karena ...2

fh

adalah bilangan yang sangat kecil dan diasumsikan tidak

berpengaruh di nilai if sehingga persamaan (2.26) dapat ditulis sebagai berikut

)(1 hOh

fff ii

i

(2.27)

yang dimana hal ini, )(2

)( tfh

hO , untuk suatu t di dalam interval 1 ii xtx

Untuk nilai-nilai f di 0x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:

)(01

0 hOh

fff

Dimana, dalam hal ini )(2

)( tfh

hO , dengan interval 10 xtx menyatakan

bahwa turunan numeris dengan hampiran beda maju dan mempunyai keakuratan

tingkat satu atau ditulis )(hO .

2. Hampiran Beda Mundur

Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :

)( 1ixf ...)(!2

)()(

!1

)()(

2

11

i

ii

i

ii

i xfxx

xfxx

xf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

23

Subsitusikan ( ) dan penulisan ( ) dapat ditulis

diperoleh

...2

2

1 iiii fh

fhff (2.28)

atau

...2

2

11 iiii fh

fffh

kedua ruas dibagi dengan , diperoleh

...2

1

i

ii

i fh

h

fff

(2.29)

Karena ...2

fh

adalah bilangan yang sangat kecil dan diasumsikan tidak

berpengaruh di nilai if sehingga persamaan (2.29) dapat ditulis sebagai berikut

)(1 hOh

fff ii

i

(2.30)

yang dimana hal ini, )(2

)( tfh

hO , untuk suatu t di dalam interval

.1 ii xtx

Nilai-nilai f di 0x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:

)(10

0 hOh

fff

dimana, dalam hal ini )(2

)( tfh

hO , dengan interval 01 xtx menyatakan

bahwa turunan numeris dengan hampiran beda mundur dan mempunyai

keakuratan tingkat satu atau ditulis )(hO .

3. Hampiran Beda Pusat

Kurangkan persamaan (2.31) dengan persamaan (2.34):

...

2...

2

22

11 iiiiiiii fh

fhffh

fhfff

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

24

dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan kita peroleh

....3

23

11 iiii fh

fhff

atau

....3

23

11 iiii fh

fffh

...62

211

i

ii

i fh

h

fff (2.31)

Karena ...6

2

ifh

adalah bilangan yang sangat kecil dan tidak berpengaruh di

nilai if sehingga persamaan (2.31) dapat ditulis sebagai berikut

)(2

211 hOh

fff ii

i

(2.32)

yang dimana hal ini, )(6

)(2

tfh

hO , untuk suatu t di dalam interval

11 ii xtx

Untuk nilai-nilai f di 1x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:

)(2

211

0 hOh

fff

Dimana, dalam hal ini, )(6

)(2

tfh

hO dengan interval 11 xtx menyatakan

bahwa turunan numeris dengan hampiran beda pusat dan mempunyai keakuratan

tingkat dua atau ditulis )( 2hO .

Berikut ini akan ditunjukan tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di

atas, yang akan diperlihatkan pada gambar 2.1, sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

25

(a) (b)

(c)

Gambar 2.1 Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris yaitu (a) Hampiran beda

maju, (b) Hampiran beda mundur, dan (c) Hampiran beda pusat.

H. Menentukan Orde Galat

Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, kita dapat

langsung memperoleh rumus galat tersebut. Tetapi denga polinom interpolasi kita

harus mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor (Munir, 2015).

Contoh 2.11

Eh

ffxf

2)( 11

0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

26

Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan

deret Taylor di sekitar 0x :

h

ffxfE

2

)()( 11

0

...

62...

622

10

3

0

2

000

3

0

2

000 fh

fh

fhffh

fh

fhfh

f

...

62

2

10

3

00 fh

fhh

f

...6

0

2

00 fh

ff

...6

0

2

fh

)(6

2

tfh

, dengan interval 11 xtx

).( 2hO

Jadi, hampiran beda pusat memiliki galat )(6

2

tfh

E , 11 xtx , dengan

orde )( 2hO

I. Metode Volume Hingga

Pada subbab ini akan dibahas mengenai metode volume hingga

menggunakan referensi LeVeque (2014):

Dipandang persamaan diferensial parsial hukum kekekalan dengan bentuk

( )

Di dalam ruang satu dimensi, metode volume hingga didasarkan pada

pengelompokan domain ruang menjadi interval-interval (grid sel), seperti tampak

pada gambar 2.2.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

27

Gambar 2.2. Ilustrasi grid sel domain ruang.

Di sini

atau . Domain waktu didiskritkan

menjadi

dengan . Misalkan sel ke dinotasikan sebagai berikut

(

),

Nilai merupakan pendekatan rata-rata dari kuantitas ( ) pada domain

waktu dan interval ruang ke :

∫ ( )

∫ ( )

⁄ ⁄

.

Skema integral dari hukum kekekalan diberikan oleh

∫ ( ) ( ( ⁄ )) ( ( ⁄ ))

.

Dengan mengintegralkan persamaan di atas terhadap waktu dari ke ,

diperoleh

∫ ( ) ⁄

∫ ( ) ⁄

∫ ( ( ⁄ ))

∫ ( ( ⁄ ))

𝑥𝑖 3

𝑥𝑖

𝑥𝑖

𝑥𝑖

𝑥𝑖

𝑥𝑖

𝑥𝑖 3

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

28

Persamaan tersebut dibagi dengan diperoleh

∫ ( ) ⁄

∫ ( ) ⁄

[∫ ( ( ⁄ )) ∫ ( ( ⁄ ))

]

Hal ini menunjukkan bahwa nilai rata-rata dalam sel diperbaharui dalam

satu satuan waktu. Secara umum, kita tidak dapat menentukan integral waktu dari

sisi kanan persamaan di atas, dikarenakan ( ⁄ ) bervariasi dengan waktu

sepanjang setiap tepi sel, dan tidak memiliki solusi eksaknya. Akan tetapi, hal ini

menunjukkan untuk mempelajari metode numerik seperti berikut

(

),

di sini

adalah pendekatan dari fungsi fluks ( ( )) dalam selang waktu

[ ] pada titik ⁄ , diperoleh

∫ ( ( ⁄

))

Persamaan di atas merupaka skema volume hingga untuk persamaan diferensial

parsial hukum kekekalan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

29

BAB III

METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN BURGERS

Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai metode volume hingga. Metode

tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan Burgers.

A. Penurunan Persamaan Navier Stokes Menjadi Persamaan Burgers Satu

Dimensi

Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan model yang rumit.

Salah satu contohnya adalah sistem persamaan Navier-Stokes. Sistem persamaan

Navier-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari

suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk

persamaan diferensial yang menerangkan pergerakan dari suatu fluida. Menurut

Landajuela (2011), sistem persamaan Navier stokes berbentuk

0 v (1.1a) (1.1)

0)()( 2 vpvvv t (1.1b)

dengan

adalah fungsi skalar massa jenis fluida (kerapatan fluida),

adalah fungsi skalar kekentalan (viscosity) fluida,

p adalah fungsi skalar tekanan yang bergantung pada variabel x , y , dan ,z dan

v adalah vektor kecepatan dalam arah sumbu ,x y , dan z .

Pada bagian ini akan dibahas mengenai penurunan sistem persamaan

Navier-Stoke menjadi persamaan Burgers menggunakan referensi dari Schlesser

dan Griffiths (2009). Titik awal untuk analisis ini adalah persamaan konservasi

multidimensi yang ditulis dalam bentuk konservatif sebagai berikut,

0)]([ ufut (3.1)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

30

dimana u adalah vektor kuantitas yang dilestarikan, yang biasanya mencakup

massa, momentum, atau energi. Suku dari persamaan (3.1) adalah tu merupakan

laju perubahan kuantitas terhadap waktu, dan )]([ uf merupakan laju

perubahan fluks (aliran) dari kuantitas yang dikekalkan ke dalam atau luar volume

yang dipandang.

Di dalam kasus model mekanika fluida sederhana, u dalam persamaan

(3.1), diasumsikan bahwa semua fluida mempunyai massa dan momentum,

didefinisikan sebagai

,

vu

vv

vu )(f

Bagian u dan )(uf dari persamaan (3.1) memberikan persamaan Euler

0).( vt Kontinuitas (3.2a)

0).()( pvvv t Momentum (3.2b)

dimana adalah operator diferensial yang diterapkan pada vektor massa v

dalam persamaan kontinuitas, dan pada skalar (tekanan, p ) dan besaran yang

merupakan perluasan dari vektor )( vv dalam persamaan momentum. Diketahui

bahwa adalah operator bebas koordinat, artinya hal tersebut dapat dinyatakan

dalam sistem koordinat ortogonal 3D. Misalnya, dalam koordinat Cartesian,

(nabla) adalah

.,,

zyxzyxkji

Karena kerapatan fluida adalah skalar, dan dengan

),,(z zyxyx vvvvvvv kji , maka

)()( zyx vvvzyx

v kjikji

.)()()(

z

v

y

v

x

v zyx

Dengan demikian, persamaan kontinuitas dalam bentuk skalar, yang berasal dari

persamaan (3.2a) menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

31

0)()()(

z

v

y

v

x

v

t

zyx

(3.3)

Perhatikan bahwa untuk kepadatan konstan (incompressible) fluida,

0

t

sehingga persamaan (3.2a)

0)()()(

zv

yv

xv

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

vzyx

zyxzyx

atau (turunan dari nol)

0

z

v

y

v

x

v zyx

0 v (1.1a)

Sekarang perhatikan kesetimbangan momentum persamaan (3.2b), akan

dimulai dengan suku

).( vv

Hasil dari vv adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor orde dua (ada

sembilan komponen), sehingga

xz

xy

xx

vv

vv

vv

vv

ik

jj

ii

yz

yy

yx

vv

vv

vv

jk

jj

ji

zz

zy

zx

vv

vv

vv

jk

jj

ji

dan menerapkan , sehingga

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

vvz

vvy

vvx

vvz

vvy

vvx

vvz

vvy

vvx

vv

k

j

i

)(

Kemudian, menggunakan hasil vektor di atas pada persamaan momentum

0)()( pvvv t

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

32

dan menyamakan komponen yang sesuai,

0

x

pvv

zvv

yvv

xv

tzxyxxxx

(i komponen) (3.4a)

y

pvv

zvv

yvv

xv

tzyyyxyy

(j komponen) (3.4b)

z

pvv

zvv

yvv

xv

tzzyzxzz

(k komponen) (3.4c)

Persamaan (3.4a) sampai (3.4c) dapat disederhanakan melalui persamaan

kontinuitas (3.3), misal untuk contoh adalah persamaan (3.4a), dapat ditulis

sebagai

)()()()()()( xxxzxyxxxx v

xvv

tv

zvv

yvv

xv

tv

0)()(

x

pv

zvv

yv xzxy

atau

x

vv

t

v

z

v

y

v

x

v

tv x

xxzyx

x )()()(

0

x

p

z

vv

y

vv x

zx

y

dan 0)()()(

z

v

y

v

x

v

tv zyx

x

melalui persamaan kontinuitas

(3.3). Hasil ini dapat digeneralisasikan ke

.0. pvvt (3.5)

Dengan demikian ,0.).()( pvvpvvv tt sehingga

persamaan (1.1b) dapat ditulis sebagai berikut

0. 2 vpvvt

dan ketahui bahwa .2

2

2

2

2

22

zyx

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

33

Perhatikan bahwa adalah skalar, dan dapat diterapkan ke vektor, seperti

pada persamaan (3.5), atau dapat diterapkan ke skalar. Dengan penyederhanaan

komponen dari persamaan (3.5) dengan dikombinasikan dengan memberikan

bentuk

02

2

2

2

2

2

y

v

y

v

x

v

x

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v xxxxz

xy

xx

x

Jika kita mempertimbangkan masalah satu dimensi tanpa gradien tekanan,

sehingga diasumsikan tekanan bernilai nol (0), persamaan di atas diperoleh

02

2

x

v

x

vv

t

v xxx

x

persamaan di atas dapat dibagi dengan , sehingga diperolah

02

2

x

v

x

vv

t

v xxx

x

atau

02

2

x

u

x

uu

t

u , dengan

dan xvu

(3.6)

atau

2

2

x

u

x

uu

t

u

atau

.xxxt uuuu

Ref. (1.2)

dengan viscositas menuju 0, nilai 0

sehingga persamaan di atas

menjadi

0

x

uu

t

u

atau .0 xt uuu Ref.(1.3)

Persamaan (1.2) merupakan persamaan Burgers viscid dan persamaan

(1.3) merupakan persaaan Burgers inviscid.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

34

B. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers Inviscid

Pada subbab ini dibahas mengenai metode volume hingga untuk

penyelesaian persamaan Burgers inviscid. Metode volume hingga yang digunakan

yaitu up-wind non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-

Wendroff, MacCormack, dan Godunov, menggunakan referensi dari Caughey

(2002), Debnath (2012), Landajuela (2011), LeVeque(1992), dan Whitham

(1974).

1. Up-wind Non-konservatif

Diberikan persamaan Burgers inviscid (1.3) sebagai berikut (LeVeque

(1992):

0 xt uuu Ref. (1.3)

Metode upwind untuk 0 xt uuu (dengan asumsi 0n

ju untuk semua nj, )

adalah

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UUUh

kUU 1

1

(3.7)

dengan mengambil nilai awal sebarang, misalnya 2))1(2(

0 )( xexu dan adalah

delta ( ), adalah delta )( x .

2. Up-wind Konservatif

Persyaratan bahwa suatu metode berada dalam bentuk konservasi, yang

berarti memiliki bentuk sebagai berikut (LeVeque, 1992):

)],...,,()([ 11,...,1,

1 n

qj

n

pj

n

pj

n

qj

n

pj

n

pj

n

j

n

j UuUFuuUFh

kUU

(3.8)

dengan adalah delta ( ), adalah delta )( x .

Untuk beberapa fungsi F dari sebanyak 1 qp data . F disebut

fungsi fluks numeris. Dalam kasus yang paling sederhana, 0p dan 1q

sehingga persamaan (3.8) menjadi

)].,(),([ 11

1 n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UUfuUfh

kUU

(3.9)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

35

Jika mempertimbangkan hukum konservasi untuk persamaan Burgers, yaitu

0)]([ xt ufu

Diperoleh metode konservasi yang disebut skema up-win konservatif:

.1

1 n

j

n

j

n

j

n

j UfUfh

kUU

(3.10)

dengan .2

1)( 2uuf

3. Lax-Friedrichs

Metode Lax-Friedrichs nonlinear mengambil bentuk

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UfUfh

kUUU 1111

1

22

1

.

Metode ini dapat ditulis dalam bentuk konservasi (3.9) dengan cara mengambil

111

2

1

2, jjjjjj UfUfUU

k

hUUF .

Sehingga untuk persamaan Burgers dengan 2

2

1)( uuf yang dimiliki menjadi

.2

1

2

1

22

1 2

1

2

111

1

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UUh

kUUU (3.11)

4. Lax-Wendroff

Metode Lax-Wendroff untuk persamaan 0 xt uuu mempunyai

bentuk

),2(2

)(2

11

2

2

2

11

1 n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UUUAh

kUUA

h

kUU

dengan )()( ufuA .

Karena ),()( ufuA maka bentuk konservatif dari Lax-Wendroff adalah

n

j

n

jj

n

j

n

jj

n

j

n

j

n

j

n

j UfUfAUfUfAh

kUfUf

h

kUU 1

2

11

2

12

2

11

1

22

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

36

dimana 2

1j

A adalah matriks yang dinilai pada 12

1 j

n

j UU . Sahingga untuk

persamaan Burgers yang kita punya uuf )( menjadi

2

1

2

1

22

112

22

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2

1

2

u

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UUUUUUUUh

kUU

h

kUU

5. MacCormack

Metode lain dari tipe yang sama dikenal sebagai metode MacCormack.

Metode MacCormack adalah variasi dari skema dua langkah Lax-Wendroff yang

bentuknya lebih sederhana:

n

j

n

j

n

jj UfUfh

kUU 1

*

*

1

**1

22

1

jjj

n

j

n

j UfUfh

kUUU

Sehingga untuk persamaan Burgers inviscid dengan 2

2

1)( uuf yang dimiliki

menjadi

22

1

*1

2

1

2

1 n

j

n

j

n

jj

n

j UUh

kUUU

(3.12)

2*

1

2**1 )(2

1)(

2

1

2)(

2

1jjj

n

j

n

j UUh

kUUU (3.13)

dengan

2

1

2

1

*

12

1

2

1 n

j

n

j

n

jj UUh

kUU .

6. Godunov

Misalkan n

jU adalah solusi numerik pada langkah waktu (iterasi) ke- n .

Kemudian didefinisikan sebuah fungsi ),(ˆ txu n untuk 1 nn ttt . Pada

ntt ,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

37

,),(ˆ n

j

n Utxu ,22

hxx

hx jj .1,....,2 nj

Solusi numerik pada iterasi berikut, didefinisikan perkiraan 1n

ju oleh rata-rata

1,ˆntxu pada interval

22

hj

hj

xxx

,

1

1 ,ˆ1

2

2

n

nx

x

n

j txuh

uhj

hj

dx . (3.12)

Persamaan (3.9) dapat dengan mudah dihitung menggunakan bentuk integral dari

hukum konservasi. Karena nu diasumsikan sebagai solusi eksak, sehingga

diperoleh

1,ˆ2

2

n

nx

xtxu

hj

hj

dx n

nx

xtxu

hj

hj

,ˆ2

2

dx

dttxufdttxuf hj

nt

thj

nt

t

n

n

n

n

,ˆ,ˆ22

11

Persamaan di atas dibagi dengan , menjadi

1,ˆ1

2

2

n

nx

xtxu

h

hj

hj

dx n

nx

xtxu

h

hj

hj

,ˆ1

2

2

dx

dttxufdttxufh

hj

nt

thj

nt

t

n

n

n

n

,ˆ,ˆ1

22

11

Diketahui bahwa n

jn

n Utxu ,ˆ dimana

txu hj

n ,ˆ2

dan

txu hj

n ,ˆ2

konstan

selama interval 1, nn tt yang didapat sebagai berikut

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j UUFUUFh

kUU ,, 11

1

dimana fluks numerik F didefinisikan oleh ( ) ( )

dimana

didefinisikan sebagai berikut

Jika VU maka

*u {

jika

𝑈 𝑉

>

Dalam kasus lain

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

38

Jika VU maka

*u

{

>

C. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers Viscid

Pada subbab ini dibahas mengenai metode volume hingga untuk

penyelesaian persamaan Burgers viscid menggunakan referensi dari Landajuela

(2011):

Persamaan Burgers viscid

xxxt uuuu (1.2)

yang juga dapat ditulis sebagai berikut

xxxt uufu )]([ (1.4)

dengan 2

)(2u

uf .

Selanjutnya, kita mengintegrasikan persamaan (1.4) dari 2

1j

x ke 2

1j

x dan

menulis kembali persamaan (1.4), sehingga kita memperoleh

t

x

xu

j

j

21

21

21

21

21

21

)(

j

j

j

j

x

x

x

xx ufudx (3.13)

Sekarang kita akan mencari perkiraan dari masing-masing suku pada persamaan

(3.10). Kita mempunyai bahwa

tu

21j

21-j

x

x ,, htx

dt

dudx j

h

txutxu

h

txutxutxutxuu

jjjj

jxjx

x

xx

j

j

,,,,,,

11

21

21

21

21

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

39

h

txutxutxu jjj ,,2, 11

dan

txuftxufufjj

x

x

j

j

,,)(2

12

12

1

21

Setelah kita mempunyai perkiraan dari masing-masing suku dipersamaan

(3.13), kemudian kita akan subsitusikan perkiraan tersebut ke dalam persamaan

(3.13), sehingga

htxdt

duj ),(

h

txutxutxu jjj ,,2, 11 =

txuftxuf

jj,,

21

21

dari persamaan di atas kita bagi dengan h dan mengambil )(tu j menjadi fungsi

),( txu j , kita akan mendapatkan sistem persamaan diferensial biasa, yaitu

.2

2

1

2

1

2

11

h

UfUf

h

UUU

dt

dU jjn

j

n

jjj

atau

,2

2

1

2

1

2

111

h

UfUf

h

UUUkUU

n

j

n

jn

j

n

j

n

jn

j

n

j

dimana kita ambil

n

jUf

2

1 untuk rata-rata dari n

jUf dan n

jUf 1 , serta nilai

dari adalah 0.01. Sehingga untuk persamaan Burgers (1.3) kita mempunyai

.222

11

2

111

h

UfUfUfUf

h

UUUkUU

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

jn

j

n

j

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

40

Di sini untuk persamaan Burgers:

( ) (

) ,

( ) (

) ,

( ) (

) .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

41

BAB IV

DISKUSI HASIL PENYELESAIAN

Dalam bab ini akan dijelaskan hasil dari penyelesaian dan hasil galat dari

persamaan Burgers secara numeris menggunakan metode volume hingga.

A. Diskusi Hasil Penyelesaian

Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan hasil penurunan sistem persamaan

Navier-Stokes menjadi persamaan Burgers satu dimensi dan metode untuk

penyelesaiannya. Hasil dari penurunan sistem persamaan Navier-Stokes tersebut,

kita mendapatkan bentuk yang sederhana yaitu persamaan Burgers. Persamaan

Burgers terbagi menjadi dua yaitu inviscid (persamaan 1.3) dan viscid (persamaan

1.2). Persamaan Burgers inviscid adalah kasus khusus persamaan gelombang

nonlinear terutama dalam mekanika fluida. Persamaan Burgers inviscid dapat

diselesaikan menggunakan metode volume yaitu up-wind non-konservatif, up-

wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, dan Godunov.

Sedangkan persamaan Burgers viscid merupakan persamaan sederhana

yang mengcakup sifat nonlinear dan viscous dari dinamika fluida dengan nilai

0 . Persamaan Burgers viscid dapat diselesaikan menggunakan metode

volume hingga parabolik. Berikut ini akan menjelaskan mengenai hasil simulasi

dari metode yang digunakan dalam skripsi ini yaitu untuk penyelesaian persamaan

Burgers dengan metode volume hingga. Dengan nilai awal 2))1(2(

0 )( xexu ,

domain ruang 1010 x , dihitung saat ,,.......,1 tNn iterasi akan berakhir

saat , dimana

, 01,0x dan xt 5,0 . Kondisi batas

ini adalah ( ) ( ) dan ( ) ( ) .

Kondisi awal persamaan Burgers sebelum menggunakan metode volume

hingga ditunjukkan pada gambar 4.1.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

42

Gambar 4.1. Kondisi nilai awal persamaan Burgers.

Selanjutnya akan ditunjukkan gambar grafik dari hasil simulasi terakhir

persamaan Burgers menggunakan metode volume hingga, sebagai berikut:

Gambar 4.2. Solusi numeris persamaan Burgers inviscid menggunakan skema

up-wind non-konservatif.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

43

Gambar 4.3. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid

menggunakan skema up-wind konservatif.

Gambar 4.4. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid

menggunakan skema Lax-Friedrichs.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

44

Gambar 4.5. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid

menggunakan skema Lax-Wendroff.

Gambar 4.6. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid

menggunakan skema MacCormack.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

45

Gambar 4.7. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid

menggunakan skema Godunov.

Gambar 4.8. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers viscid.

Perhatikan gambar 4.2 sampai 4.8. Terlihat bahwa semakin bertambahnya

waktu, solusi akhir menggunakan metode volume hingga up-wind non-

konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack,

Godunov untuk persamaan Burgers inviscid dan volume hingga parabolik untuk

persamaan Burgers viscid, hasil simulasinya akan berjalan ke arah kanan atau

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

46

condong ke depan. Dilihat gambar 4.2 menjelaskan bahwa hasil simulasi

diskontinu dan tidak berosilasi, sedangkan gambar 4.3 terlihat hasil simulasinya

bersifat diskontinu dan tidak ada osilasi. Sehingga gambar 4.3 terlihat sempurna.

Pada gambar 4.4, 4.7, dan 4.8 terlihat bahwa hasil simulasinya tidak terdapat

osilasi, tetapi bersifat kontinu. Sedangkan jika kita lihat pada gambar 4.5 dan 4.6,

menunjukkan hasil simulasi terdapat osilasi dan diskontinu. Selanjutnya akan

dibahas mengenai hasil galat dan waktu komputasi yang akan ditunjukan pada

subbab pengamatan galat.

B. Pengamatan Galat

Pada subbab ini akan dibahas mengenai hasil galat dan waktu komputasi

dari setiap metode yang digunakan pada skripsi penulis. Dipilih nilai awal untuk

solusi numeris dan . Masalah nilai awal untuk persamaan

Burgers dengan kondisi awal dari

( ) { >

dengan solusi masalah nilai awal ini adalah

( ) {

>

Kondisi batas ini adalah ( ) ( ) dan ( ) ( ) . Di

sini diambil domain ruang 20 x dan domain waktu 20 t . Simulasi ini

menggunakan nilai 1,.......,2 xNj dihitung saat tNn ,.......,1 , iterasi akan

berakhir saat . Dimana adalah banyaknya titik ruang, adalah

banyaknya titik waktu

, 01,0x dan xt 5,0 .

Dalam perhitungan galat penulis menggunakan galat rata-rata yang

diperoleh dari rata-rata jumlahan semua nilai galat absolut di semua titik dari

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

47

solusi numeris. Pengamatan galat dapat dilihat pada gambar 4.9 sampai 4.15 dan

tabel 4.1 sampai 4.7, sebagai berikut:

Pengamatan Galat Burgers Inviscid

Pada bagian ini akan dibahas mengenai hasil simulasi dan galat untuk

persamaan Burgers inviscid, diantaranya sebagai berikut:

1. Up-wind Non-konservatif

Gambar 4.9. Grafik masalah nilai awal skema up-wind non-konservatif

Gambar 4.9 memperlihatkan bahwa penyelesaian metode up-wind non-

konservatif memiliki selisih numeris dan eksak yang cukup besar. Dengan kata

lain, solusi numerisnya cukup jauh dari solusi eksaknya. Ini terjadi karena metode

up-wind non-konservatif tidak bisa dijalankan. Artinya metode up-wind non-

konservatif gagal menyelesaikan persamaan Burgers.

Tabel 4.1. Galat dan waktu

skema up-wind non-konservatif

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.4975 6.818089

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

48

Dari tabel 4.1 tampah bahwa penyelesaian numeris menggunakan metode up-wind

non-konservatif memiliki galat yang cukup besar hampir mendekati 0.5, dengan

waktu 6.818089 detik.

2. Up-wind Konservatif

Gambar 4.10. Grafik masalah nilai awal skema up-wind konservatif

Terlihat pada gambar 4.10 bahwa solusi numeris dengan metode up-wind

konservatif hampir sempurna mendekati solusi eksaknya. Hasil tersebut juga

ditunjukkan pada tabel 4.2, yang membuktikan bahwa nilai galatnya kecil.

Tabel 4.2. Galat dan waktu

skema up-wind konservatif

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.0024 6.696206

Dari tabel 4.2 terlihat bahwa penyelesaian numeris dengan metode up-

wind konservatif memiliki galat yang kecil yaitu 0.0024 dengan waktu 6.696206

detik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

49

3. Lax-Friedrichs

Gambar 4.11. Grafik masalah nilai awal skema Lax-Friedrichs

Gambar 4.11 memperlihatkan bahwa sebagian solusi numeris melewati

solusi eksaknya. Dengan kata lain, hasil simulasi solusi numeris berpotongan

dengan solusi eksaknya. Galat dan waktu komputasi dapat dilihat pada table 4.3.

Tabel 4.3. Galat dan waktu

skema Lax-Friedrichs

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.0133 6.854580

Table 4.3 menunjukan besarnya galat cukup besar dengan waktu cukup besar juga

yaitu 6.854580 detik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

50

4. Lax-Wendroff

Gambar 4.12. Grafik masalah nilai awal skema Lax-Wendroff

Jika kita lihat gambar 4.12, terlihat bahwa hasil simulasi numeris metode

Lax-Wendroff terdapat osilasi. Pada gambar terlihat selisih solusi numeris dan

eksaknya sangat kecil. Dengan kata lain, solusi numeris berosilasi mendekati

solusi eksaknya.

Tabel 4.4. Galat dan waktu

skema Lax-Wendroff

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.0046 10.080987

Terlihat pada table 4.4, galat dari metode Lax-Wendroff cukup kecil yaitu 0.0046

dengan waktu 10.080987 detik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

51

5. MacCormack

Gambar 4.13. Grafik masalah nilai awal skema MacCormack

Gambar 4.13 sekilas terlihat hampir mirip dengan gambar 4.12.

Perbedaanya terlihat dari besarnya osilasi yang ada pada hasil simulasi solusi

numerisnya. Gambar 4.13 terdapat osilasi yang lebih kecil atau amplitudo osilasi

lebih pendek dari pada gambar 4.12. Dengan kata lain, solusi numeris mendekati

solusi eksaknya dengan adanya pergerakan osilasi yang kecil atau pendek.

Tabel 4.5. Galat dan waktu

skema MacCormack

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.0029 8.638803

Terlihat pada table 4.5 metode MacCormack memiliki galat yang lebih

kecil dari pada menggunakan metode Lax-Wendroff yang terdapat osilasi yang

lebih panjang atau lebih besar, dengan nilai galat 0.0029 dengan waktu sebesar

8.638803 detik. Dengan kata lain, semakin kecil osilasi yang ada pada solusi

numeris dan semakin mendekati solusi eksaknya metode tersebut memiliki

memiliki nilai galat yang semakin kecil.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

52

6. Godunov

Gambar 4.14. Grafik masalah nilai awal skema godunov

Perhatikan Gambar 4.14, gambar tersebut terlihat mirip dengan gambar

4.10. Terlihat sama juga bahwa selisih solusi numeris dan eksaknya kecil. Dengan

kata lain, solusi numeris dengan metode Godunov hampir sempurna mendekati

solusi eksaknya seperti metode up-wind konservatif.

Tabel 4.6. Galat dan waktu

skema Godunov

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.0024 9.752869

Terlihat pada table 4.6 metode ini memiliki galat yang sama dengan galat

dari metode up-wind konservatif yaitu 0.0024. Bedanya adalah waktu

komputasinya. Metode Godunov memiliki waktu komputasi yang lebih lama jika

dibandingkan dengan metode up-wind konservatif yaitu 9.752869.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

53

Pengamatan Galat Burgers Viscid

Pada bagian ini akan dibahas mengenai Pengamatan galat dari persamaan

Burgers viscid. Hasil dari simulasi dan perhitungan menggunakan program

MATLAB diperoleh.

Gambar 4.15. Grafik masalah nilai awal persamaan Burgers viscid.

Jika kita lihat gambar 4.15 di atas, terlihat bahwa hasil simulasi bergerak

ke arah kanan. Memperlihatkan bahwa sebagian simulasi solusi numeris melewati

solusi eksaknya. Dengan kata lain, hasil simulasi solusi numeris berpotongan

dengan solusi eksak dengan galat cukup besar. Dapat dilihat menggunakan tabel

4.7.

Tabel 4.7. Galat dan waktu

persamaan Burgers viscid

Galat Waktu (Satuan Detik)

0.0133 138.646412

Terlihat bahwa metode parabolik dalam penyelesaian persamaan Burgers viscid

dengan memiliki galat sebesar 0.0133 dengan waktu 138.646412 detik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

54

Jika dikumpulkan dan ditulis ulang menjadi satu, diperoleh data nilai galat

dan waktu dari tujuh metode sesuai hasil yang diperoleh di atas, yaitu pada tabel

4.8.

Tabel 4.8. Galat dan waktu komputasi persamaan Burgers menggunakan

metode volume hingga.

Metode Numeris

Volume Hingga

Rata-rata Galat Waktu (detik)

Skema up-wind non-

konsercatif 0.4975 6.818089

Skema up-wind

konservatif 0.0024 6.696206

Skema Lax-Friedrichs 0.0133 6.854580

Skema Lax-Wendroff 0.0046 10.080987

Skema MacCormack 0.0029 8.638803

Skema Godunov 0.0024 9.752869

Parabolik 0.0133 138.646412

Dari data di atas, bahwa untuk persamaan Burgers inviscid, metode

volume hingga up-wind konservatif dan Godunov memiliki rata-rata galat yang

paling kecil dibandingkan kelima metode lainnya. Tetapi, dari kedua metode yang

memiliki galat terkecil tersebut, metode volume hingga up-wind konservatif yang

lebih unggul karena perhitungan waktunya lebih singkat dibandingkan dengan

metode volume hingga Godunov dan metode lainnya. Sehingga, metode volume

hingga up-wind konservatif adalah metode terbaik dengan perhitungan cepat dan

akurat untuk penyelesaian persamaan Burgers inviscid, apabila dibandingkan

dengan metode-metode lainnya dalam skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

55

BAB V

PENUTUP

Dalam bab ini akan disajikan kesimpulan atas pembahasan dari bab-bab

sebelumnya serta saran yang akan ditujukan untuk peneliti selanjutnya.

A. Kesimpulan

Dalam skripsi ini penulis telah berhasil menyederhanakan sistem

persamaan Navier-Stokes menjadi persamaan Burgers satu dimensi. Diketahui

bahwa persamaan Burgers terbagi menjadi dua yaitu inviscid dan viscid. Dilihat

pada bab-bab sebelumnya penulis telah menyelesaikan persamaan Burgers

menggunakan beberapa metode numeris sesuai dengan masalah yang ada yaitu

metode volume hingga up-wind non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-

Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, Godunov yang diaplikasikan untuk

persamaan Burgers bersifat inviscid dan metode volume hingga parabolik yang

diaplikasikan untuk persamaan Burgers viscid.

Seiring berjalanannya waktu solusi numeris dari ke-tujuh metode di atas

akan berjalan dari kiri ke kanan. Dalam skripsi ini metode up-wind konservatif

merupakan metode terbaik untuk penyelesaian numeris persamaan Burgers

inviscid. Metode tersebut memiliki sifat simulasi diskontinu dan tidak ada osilasi,

serta nilai galatnya sangat kecil dengan waktu komputasi yang singkat. Dari hasil

yang diperoleh untuk penyelesaian persamaan Burgers viscid dengan ,

metode volume hingga parabolik yang digunakan pada skripsi ini kurang baik,

dikarenakan metode tersebut memiliki galat yang cukup besar, apabila dipakai

sebagai pendekatan solusi persamaan Burgers inviscid.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk menyelesaikan

persamaan Burgers dari penyederhanaan sistem persamaan Navier-Stokes, metode

volume hingga up-wind konservatif cukup akurat dan cepat untuk persamaan

Burgers inviscid dan metode volume hingga parabolik untuk persamaan Burgers

viscid dengan nilai ( ) merupakan metode yang kurang akurat.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

56

B. Saran

Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak sekali

kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang

melanjutkan penelitian ini. Skripsi ini hanya membahas mengenai penyelesaian

persamaan Burgers satu dimensi. Penulis berharap kelak akan ada yang

melanjutkan penelitian ini di ruang dimensi yang lebih tinggi, dan dapat

menggunakan metode lainnya untuk penyelesaian persamaan Burgers inviscid dan

menggunakan metode lain yang lebih akurat untuk persamaan Burgers viscid.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

57

DAFTAR PUSTAKA

Bedient, P. E., dan Rainville, E. D. (1969). A Short Course in Differential

Equations. New York: The Macmillan.

Caughey, A. D., dan Hafes, M. M. (2002). Frontiers of Computational Fluid

Dynamics. New Jersey: World Scientific.

Debnath, L. (2012). Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and

Engineers. 3rd

Edition. New York: Springer.

Landajuela, M. (2011). Burgers Equation. Paris: Basque Center for Applied

Mathematics.

LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservations Laws. Second

Edition. Basel: Birkhauser.

LeVeque, R. J. (2014). Finite Volume Method for Hyperbolic Problems.

Cambridge: Cambridge University Press.

Munir, R. (2015). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

Purcell, E. J. dan Verberg, D. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis edisi

kelima. Jakarta: Erlangga.

Ross, S. L. (1989). Introduction to Ordinary Differential Equations. Fourth

Edition. New York: Wiley.

Schiesser, W. E., dan Griffiths, G. W. (2009). A Compendium of Partial

Differential Equation Models Method of Lines Analysis with Matlab. New

York: Cambridge University Press.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson

Education.

Varberg, D., Purcell, E. J., dan Rigdon, S.E. (2006). Calculus. New York:

Pearson.

Whitham, G. B. (1974). Linear and Nonlinear Waves. Canada: John Wiley &

Sons.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

58

LAMPIRAN

Berikut ini adalah code pada program MATLAB untuk solusi numeris

menggunakan metode volume hingga.

A. SOLUSI NUMERIS METODE VOLUME HINGGA

Code MATLAB Kondisi Nilai awal Persamaan Burgers

%Kondisi Awal Persamaan Burgers

clear

clear all

dx=0.01;

x = -10:dx:10

u = exp(-(2*(x-1)).^2)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel(‘u(x,0)’)

ylim([0 1])

title('Kondisi Nilai Awal')

1. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga Up-wind Non-konservatif.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume

hingga

% "Skema Up-wind non-konservatif"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

dx = 0.01; %delta x(ruang)

dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

59

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(0.0000000001)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

for n = 1:Nt

u0 = u;

for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (skema Up-win non-konservatif)

u(j) =(u0(j)) - (dt/(dx))*(u0(j))*(u0(j) - u0(j-1));

end

% syarat batas (boundary condition)

u(1) = 0;

u(Nx) = 0;

%mengeplot gambar (memunculkan gambar)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris dengan Skema Up-win non-

konservatif')

pause (0.00000001)

waktu = waktu + dt

end

2. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga Up-wind Konservatif.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Volume

hingga

% "Skema Up-wind non-konservatif"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

60

close all

dx = 0.01; %delta x(ruang)

dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(0.0000000001)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

for n = 1:Nt

u0 = u;

for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (skema Up-win konservatif)

u(j) =(u0(j)) - dt/(dx)*(0.5*u0(j)^2 -0.5*u0(j-

1)^2);

end

u(1) = 0; u(Nx) = 0;% syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris dengan Skema Up-win konservatif')

pause (0.00000001)

waktu = waktu + dt

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

61

3. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga Lax-Friedrichs.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume

hingga

% "Skema Lax-Friedrichs"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

dx = 0.01; %delta x(ruang)

dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(0.0000000001)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

for n = 1:Nt

u0 = u;

for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (skema Lax-Friedrichs)

u(j)=0.5*(u0(j-1)+u0(j+1)) -

dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2 - 0.5*u0(j-1)^2);

end

u(1) = 0; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris dengan Skema Lax-Friedrichs')

pause (0.00000001)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

62

waktu = waktu + dt

end

4. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga Lax-Wendroff.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume

hingga

% "Skema Lax-Wendroff"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

dx = 0.01; %delta x(ruang)

dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-1*(2*(x-1)).^2); % nilai awal

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(0.000001)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

for n = 1:Nt

u0 = u;

for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (skema Lax-Wendroff)

a=dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j-1)^2);

b=((1/2)*(u0(j)+u0(j+1))*(0.5*u0(j+1)^2-

0.5*u0(j)^2));

c=((1/2)*(u0(j)+u0(j-1))*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-

1)^2));

u(j)=u0(j)-(a)+((dt^2)/(2*(dx^2)))*(b-(c));

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

63

end

u(1) = 0; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris dengan Skema Lax-Wendroff')

pause (0.00000001)

pause (0.000001)

waktu= waktu + dt

end

5. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga MacCormack.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume

hingga

% "Skema MacCormack"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

dx = 0.01; %delta x(ruang)

dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(1)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

for n = 1:Nt

u0 = u;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

64

for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (Skema MacCormack)

us=u0(j)-((dt/dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j)^2));

ub=u0(j-1)-((dt/dx)*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-1)^2));

u(j) =0.5*(u0(j)+us)-((dt/(2*dx))*(0.5*us^2-

0.5*ub^2));

end

u(1) = 0; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris dengan Skema MacCormack')

pause (0.00000001)

end

6. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga Godunov.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume

hingga

% "Skema Godunov"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

dx = 0.1; %delta x(ruang)

dt = 0.05*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(0.0001)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

65

waktu = 0;

for n = 1:Nt

u0 = u;

for j = 2:Nx-1 %untuk iterasi rumus

% untuk menentukan ub sehingga fka dapat dihitung

if u0(j)>= u0(j+1)

if ((u0(j)+u0(j+1))/2)>0

ub=u0(j);

else

ub=u0(j+1);

end

else

if u0(j)>0

ub=u0(j);

elseif u0(j+1)<0

ub=u0(j+1);

else

if u0(j)<=0<=u0(j+1)

ub=0;

end

end

end

fka=((ub)^2)/2;

% untuk menentukan ub sehingga fki dapat dihitung

if u0(j-1)>=u0(j)

if ((u0(j-1)+u0(j))/2)>0

ub=u0(j-1);

else

ub=u0(j);

end

else

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

66

if u0(j-1)>0

ub=u0(j-1);

elseif u0(j)<0

ub=u0(j);

else

if u0(j-1)<=0<=u0(j)

ub=0;

end

end

end

fki=((ub)^2)/2;

%for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (Skema Godunov)

u(j)=u0(j)-(dt/dx)*(fka-fki);

end

% syarat batas (boundary condition)

u(1) = 0;

u(Nx) = 0;

% diplot gambarnya untuk waktu t=n*dt

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris dengan Skema Godunov')

pause(0.001)

waktu = waktu + dt

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

67

7. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode

Volume Hingga untuk PDP Parabolik.

%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Volume

Hingga

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)

x = -10:dx:10; % domain ruang

u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal

plot(x, u) % gambar nilai awal

pause(0.0000000001)

tFinal = 5; % t akhir perhitungan

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

D=0.01; %nilai epsilon

waktu=0;

for n = 1:Nt

u0 = u;

for j = 2:Nx-1

% RUMUS ITERASI (Skema Parabolik)

u(j) = u0(j)+ dt*((D*((u0(j+1)-(2*u0(j))+u0(j-

1))/(dx^2)))+(((0.5*(u0(j)^2+u0(j-1)^2))-

(0.5*(u0(j)^2+u0(j+1)^2)))/dx)); % RUMUS ITERASI

end

u(1) = 0; u(Nx) = 0;% syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

ylim([0 1])

title('Solusi Numeris Persamaan Burgers Viscid')

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

68

pause (0.00000001)

waktu = waktu + dt

end

B. CODE MATLAB MASALAH NILAI AWAL (RIEMAN PROBLEM),

MANCARI GALAT DAN WAKTU

1. Up-wind Non-konservatif

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% "Skema Up-wind Non-konservatif"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

69

else

u(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'p-')

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

end

%iterasi rumus

for j = 2:Nx-1

%skema Up-win non-konservatit

u(j) =(u0(j)) - dt/(dx)*(u0(j))*(u0(j) - u0(j-

1));

end

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

70

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.25])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi numeris dengan skema up-win non-konservatif')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

2. Up-wind Konservatif

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% "Skema Up-wind konservatif"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

71

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

else

u(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'p-')

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

end

%iterasi rumus

for j = 2:Nx-1

%skema Up-win konservatit

u(j) =(u0(j)) - dt/(dx)*(0.5*u0(j)^2 -0.5*u0(j-

1)^2);

end

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

72

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.25])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi numeris dengan skema up-win konservatif')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

3. Lax-Friedrichs

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% "Skema Lax-Friedrichs"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

73

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

else

u(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'p-')

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

74

end

%iterasi rumus

for j = 2:Nx-1

%skema Lax-Friedrichs

u(j) = 0.5*(u0(j-1)+u0(j+1)) -

dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2 - 0.5*u0(j-1)^2);

end

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.25])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi Numeris dengan Skema Lax-Friedrichs')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

75

4. Lax-Wendroff

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% "Skema Lax-Wendroff"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

else

u(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'p-')

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

76

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

end

%iterasi rumus

for j = 2:Nx-1

%skema Lax-Wendroff

a=dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j-1)^2);

b=((1/2)*(u0(j)+u0(j+1))*(0.5*u0(j+1)^2-

0.5*u0(j)^2));

c=((1/2)*(u0(j)+u0(j-1))*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-

1)^2));

u(j)=u0(j)-(a)+((dt^2)/(2*(dx^2)))*(b-(c));

end

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

77

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.25])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi numeris dengan skema Lax-Wendroff')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

5. MacCormack

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% "Skema MacCormack"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

Clear

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

78

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

else

u(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'p-')

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

end

%iterasi rumus

for j = 2:Nx-1

%skema MacCormack

us=u0(j)-((dt/dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j)^2));

ub=u0(j-1)-((dt/dx)*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-

1)^2));

u(j) =0.5*(u0(j)+us)-((dt/(2*dx))*(0.5*us^2-

0.5*ub^2));

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 93: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

79

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.25])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi numeris dengan skema MacCormack')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

6. Godunov

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% "Skema Godunov"

% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella

clear

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 94: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

80

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

else

u(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'p-')

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 95: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

81

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

end

%iterasi rumus

%penyelesaian persamaan burgers menggunakan metode

godunov

for j = 2:Nx-1

%syarat dalam metode godunov untuk persamaan

burgers

%(mencari ub untuk menentukan fki dan fka)

if u0(j)>= u0(j+1) % untuk menentukan ub sehingga

fka dapat dihitung

if ((u0(j)+u0(j+1))/2)>0

ub=u0(j);

else

ub=u0(j+1);

end

else

if u0(j)>0

ub=u0(j);

elseif u0(j+1)<0

ub=u0(j+1);

else

if u0(j)<=0<=u0(j+1)

ub=0;

end

end

end

fka=((ub)^2)/2;

% untuk menentukan ub sehingga fki dapat dihitung

if u0(j-1)>=u0(j)

if ((u0(j-1)+u0(j))/2)>0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 96: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

82

ub=u0(j-1);

else

ub=u0(j);

end

else

if u0(j-1)>0

ub=u0(j-1);

elseif u0(j)<0

ub=u0(j);

else

if u0(j-1)<=0<=u0(j)

ub=0;

end

end

end

fki=((ub)^2)/2;

%skema godunov

u(j)=u0(j)-(dt/dx)*(fka-fki);

end

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 97: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

83

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.25])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi Numeris dengan Skema Godunov')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

7. Metode Volume Hingga untuk PDP Parabolik

%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu

persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga

% by Sudi Mungkasih & Birgitta Lucy Christabella

clear

close all

tic

dx = 0.01;%delta x(ruang)

dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)

x = 0:dx:2; % domain ruang

tFinal = 2; % t akhir perhitungan

t=0:dt:tFinal; %domain waktu

Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu

Nx = length(x); % banyaknya titik ruang

waktu=0;

%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai

ukiri dan ukanan

ukiri=1;

ukanan=0;

% Menggambar fungsi nilai awal

u = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=0

u(i)=ukiri;

else

u(i)=ukanan;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 98: PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu

84

end

end

plot(x,u,'p-')

for n = 1:Nt

u0 =u;

%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)

for i=2:Nx-1

if x(i)<= (t/2)

u(i)=1;

elseif x(i)> (t/2)

u(i)=0;

end

%iterasi rumus

for j = 2:Nx-1

%skema Parabolik

D=0.01; %nilai epsilon

umin=(0.5*(0.5*u0(j)^2+0.5*u0(j-1)^2));

uplus=(0.5*(0.5*u0(j)^2+0.5*u0(j+1)^2));

u(j) = u0(j)+ (dt*((D*((u0(j+1)-(2*u0(j))+u0(j-

1))/(dx^2)))+((umin-uplus)/(dx))));

end

end

u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)

plot(x,u)

ylim([0 1.5])

pause (0.00001)

waktu = waktu + dt

end

%solusi eksak saat t=2

% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak

uex = 0*x;

for i=1:Nx;

if x(i)<=1

uex(i)=ukiri;

else

uex(i)=ukanan;

end

end

plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')

ylim([0 1.5])

legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')

xlabel('x')

ylabel('u(x,t)')

title('Solusi numerik untuk Burgers viscid')

errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx

toc

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI