Click here to load reader

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ... numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu dengan tidak menunjukkan adanya osilasi semu

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ... numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu...

  • PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS

    MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA

    SKRIPSI

    Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

    Memperoleh Gelar Sarjana Sains

    Program Studi Matematika

    Oleh :

    Birgitta Lucy Christabella

    NIM: 143114003

    PROGRAM STUDI MATEMATIKA

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

    UNIVERSITAS SANATA DHARMA

    YOGYAKARTA

    2018

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • i

    PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS

    MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA

    SKRIPSI

    Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

    Memperoleh Gelar Sarjana Sains

    Program Studi Matematika

    Oleh :

    Birgitta Lucy Christabella

    NIM: 143114003

    PROGRAM STUDI MATEMATIKA

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

    UNIVERSITAS SANATA DHARMA

    YOGYAKARTA

    2018

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • ii

    NUMERICAL SOLUTION TO THE BURGERS EQUATION

    USING SOME FINITE VOLUME METHODS

    THESIS

    Presented as Partial Fulfillment of the

    Reguirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

    Mathematics Study Program

    Written By:

    Birgitta Lucy Christabella

    Student ID: 143114003

    MATHEMATICS STUDY PROGRAM

    DEPARTMENT OF MATHEMATICS

    FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

    SANATA DHARMA UNIVERSITY

    YOGYAKARTA

    2018

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • v

    HALAMAN PERSEMBAHAN

    “Semua akan indah pada waktunya.”

    “Kamu bisa!! Jangan pernah meragukan dirimu sendiri!!!”

    “Karena masa depan sungguh ada, dan harapanmu tidak akan hilang.

    Amsal 28:13”

    Karya ini kupersembahkan untuk:

    Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa memberikan berkat-Nya disetiap langkah

    saya dan kedua orang tua tercinta, Widodo dan Mimin Sumiati, yang selalu

    mendoakan saya serta memberikan yang terbaik untuk saya.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • viii

    ABSTRAK

    Persamaan Burgers merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik

    nonlinear. Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan yang rumit yaitu

    dari sistem persamaan Navier-Stokes. Persamaan Burgers terbagi menjadi dua

    yaitu persamaan Burgers inviscid dan persamaan Burgers viscid. Persamaan

    Burgers mempunyai solusi eksak yang sulit ditemukan secara analitis. Oleh

    karena itu, skripsi ini membahas mengenai penyelesaian numeris persamaan

    Burgers.

    Metode numeris yang akan digunakan adalah metode volume hingga.

    Metode volume hingga untuk persamaan Burgers inviscid adalah metode up-wind

    non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

    MacCormack, Godunov. Metode untuk persamaan Burgers viscid adalah metode

    volume hingga parabolik. Metode tersebut digunakan untuk mencari solusi akhir

    persamaan Burgers. Lebih lanjut, galat dan waktu komputasi di setiap simulasi

    untuk uji metode juga didokumentasikan.

    Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dari ketujuh

    metode tersebut. Selain itu, juga dibandingkan setiap nilai galat absolut dan waktu

    komputasi dari solusi persamaan Burgers inviscid. Metode dikatakan baik secara

    numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu

    dan diskontinu dengan tidak menunjukkan adanya osilasi semu (artifisial), nilai

    galat absolutnya kecil, serta waktu penjalanan simulasi yang singkat. Dengan

    demikian, dari hasil yang diperoleh dalam skripsi ini dapat ditemukan suatu

    metode numeris yang cepat dan akurat untuk menyelesaikan persamaan Burgers.

    Kata kunci: persamaan Burgers, metode volume hingga, Burgers inviscid,

    Burgers viscid.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • ix

    ABSTRACT

    Burgers equation is a nonlinear hyperbolic partial differential equation.

    Burgers equation appears as a simplified version of the complex Navier-Stokes

    equation system. Burgers equation is categorized into two types, namely, inviscid

    Burgers and viscid Burgers. The solution of the Burgers equation is hard to find

    analytically. Therefore, this thesis discusses the numerical solution of Burgers

    equation.

    The finite volume methods to inviscid Burgers equations is the up-wind

    non-conservative, up-wind conservative, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

    MacCormack, and Godunov methods. The method for the viscid Burgers equation

    is the parabolic finite volume method. Those methods will be used to find the

    final solution of Burgers equation. Furthermore, errors and running times of

    simulations to solve the Burgers equation will be explained in every simulation of

    the method.

    Results were analyzed by looking at the simulations produced by the seven

    methods. In addition, we compare each of the absolute errors and computation

    (running) times of the inviscid Burgers equation solution. The method can be said

    good numerically for the simulation results, if the method is able to solve

    continuous and discontinuous problems and does not indicate the existence of

    artificial oscillations, the absolute error is small, and the running time is short.

    Therefore, from the results in this thesis we obtain a fast and accurate numerical

    method for solving the Burgers equation.

    Keyword: Burgers equation, finite volume method, inviscid Burgers, viscid

    Burgers.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • x

    KATA PENGANTAR

    Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat,

    rahmat serta Roh Kudus yang telah dicurahkan kepada penulis sehingga penulis

    dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik dan lancar. Skripsi ini merupakan

    salah satu syarat yang harus dipenuhi penulis untuk memperoleh gelar Sarjana

    Sains (S.Si), terkhusus pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan

    Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

    Banyak sekali tantangan serta kesulitan yang penulis alami dalam

    penulisan skripsi ini. Berkat penyertaan Tuhan, serta rasa keyakinan yang kuat,

    dan dukungan dari berbagai pihak, penulis mampu melewati semuanya. Dengan

    demikian penulis ingin mengucapkan terima kepada:

    1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains

    dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing skripsi.

    2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika.

    3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

    4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,

    S.Si., M.Si., dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen Program

    Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat semasa

    penulis menimba ilmu di Program Studi Matematika, Universitas Sanata

    Dharma.

    5. Bapak/ibu dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

    membantu penulis melengkapi keperluan yang penulis butuhkan semasa

    perkuliahan, serta berdinamika bersama dan memberikan semangat kepada

    penulis.

    6. Kedua orang tua dan adik yang selalu menemani, dan tanpa lelah memberikan

    semangat serta doa dalam setiap langkah penulis.

    7. Aditya Bayu Kristanto yang selalu sabar, mau menjadi pendengar setiap cerita

    penulis, memberikan motivasi, dan nasehat yang luar biasa.

    8. Dera, Gladys, Jiska, Kresna, Joni, Gesa, Thesa, Sinta, Maulani, Anna, Ervan,

    Etri, Monic, Eka, Bowo, Nando, dan Efrem yang telah menjadi teman serta

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • xii

    DAFTAR ISI

    HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

    HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii

    HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

    HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

    HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ v

    PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi

    LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. vii

    ABSTRAK ......................................................................................................... viii

    ABSTRACT ....................................................................................................... ix

    KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

    DAFTAR ISI ..........................................................................