PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ... numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu dan diskontinu dengan tidak menunjukkan adanya osilasi semu

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS

MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Birgitta Lucy Christabella

NIM: 143114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS

MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Birgitta Lucy Christabella

NIM: 143114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

NUMERICAL SOLUTION TO THE BURGERS EQUATION

USING SOME FINITE VOLUME METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Reguirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written By:

Birgitta Lucy Christabella

Student ID: 143114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Semua akan indah pada waktunya.”

“Kamu bisa!! Jangan pernah meragukan dirimu sendiri!!!”

“Karena masa depan sungguh ada, dan harapanmu tidak akan hilang.

Amsal 28:13”

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa memberikan berkat-Nya disetiap langkah

saya dan kedua orang tua tercinta, Widodo dan Mimin Sumiati, yang selalu

mendoakan saya serta memberikan yang terbaik untuk saya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

viii

ABSTRAK

Persamaan Burgers merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik

nonlinear. Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan yang rumit yaitu

dari sistem persamaan Navier-Stokes. Persamaan Burgers terbagi menjadi dua

yaitu persamaan Burgers inviscid dan persamaan Burgers viscid. Persamaan

Burgers mempunyai solusi eksak yang sulit ditemukan secara analitis. Oleh

karena itu, skripsi ini membahas mengenai penyelesaian numeris persamaan

Burgers.

Metode numeris yang akan digunakan adalah metode volume hingga.

Metode volume hingga untuk persamaan Burgers inviscid adalah metode up-wind

non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

MacCormack, Godunov. Metode untuk persamaan Burgers viscid adalah metode

volume hingga parabolik. Metode tersebut digunakan untuk mencari solusi akhir

persamaan Burgers. Lebih lanjut, galat dan waktu komputasi di setiap simulasi

untuk uji metode juga didokumentasikan.

Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dari ketujuh

metode tersebut. Selain itu, juga dibandingkan setiap nilai galat absolut dan waktu

komputasi dari solusi persamaan Burgers inviscid. Metode dikatakan baik secara

numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu

dan diskontinu dengan tidak menunjukkan adanya osilasi semu (artifisial), nilai

galat absolutnya kecil, serta waktu penjalanan simulasi yang singkat. Dengan

demikian, dari hasil yang diperoleh dalam skripsi ini dapat ditemukan suatu

metode numeris yang cepat dan akurat untuk menyelesaikan persamaan Burgers.

Kata kunci: persamaan Burgers, metode volume hingga, Burgers inviscid,

Burgers viscid.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ix

ABSTRACT

Burgers equation is a nonlinear hyperbolic partial differential equation.

Burgers equation appears as a simplified version of the complex Navier-Stokes

equation system. Burgers equation is categorized into two types, namely, inviscid

Burgers and viscid Burgers. The solution of the Burgers equation is hard to find

analytically. Therefore, this thesis discusses the numerical solution of Burgers

equation.

The finite volume methods to inviscid Burgers equations is the up-wind

non-conservative, up-wind conservative, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,

MacCormack, and Godunov methods. The method for the viscid Burgers equation

is the parabolic finite volume method. Those methods will be used to find the

final solution of Burgers equation. Furthermore, errors and running times of

simulations to solve the Burgers equation will be explained in every simulation of

the method.

Results were analyzed by looking at the simulations produced by the seven

methods. In addition, we compare each of the absolute errors and computation

(running) times of the inviscid Burgers equation solution. The method can be said

good numerically for the simulation results, if the method is able to solve

continuous and discontinuous problems and does not indicate the existence of

artificial oscillations, the absolute error is small, and the running time is short.

Therefore, from the results in this thesis we obtain a fast and accurate numerical

method for solving the Burgers equation.

Keyword: Burgers equation, finite volume method, inviscid Burgers, viscid

Burgers.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat,

rahmat serta Roh Kudus yang telah dicurahkan kepada penulis sehingga penulis

dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik dan lancar. Skripsi ini merupakan

salah satu syarat yang harus dipenuhi penulis untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains (S.Si), terkhusus pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Banyak sekali tantangan serta kesulitan yang penulis alami dalam

penulisan skripsi ini. Berkat penyertaan Tuhan, serta rasa keyakinan yang kuat,

dan dukungan dari berbagai pihak, penulis mampu melewati semuanya. Dengan

demikian penulis ingin mengucapkan terima kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,

S.Si., M.Si., dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen Program

Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat semasa

penulis menimba ilmu di Program Studi Matematika, Universitas Sanata

Dharma.

5. Bapak/ibu dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

membantu penulis melengkapi keperluan yang penulis butuhkan semasa

perkuliahan, serta berdinamika bersama dan memberikan semangat kepada

penulis.

6. Kedua orang tua dan adik yang selalu menemani, dan tanpa lelah memberikan

semangat serta doa dalam setiap langkah penulis.

7. Aditya Bayu Kristanto yang selalu sabar, mau menjadi pendengar setiap cerita

penulis, memberikan motivasi, dan nasehat yang luar biasa.

8. Dera, Gladys, Jiska, Kresna, Joni, Gesa, Thesa, Sinta, Maulani, Anna, Ervan,

Etri, Monic, Eka, Bowo, Nando, dan Efrem yang telah menjadi teman serta

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. vii

ABSTRAK ......................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

DAFTAR ISI ..........................................................................