Pengembangan Materi Matematika untuk Sekolah Dasar (SD ... · D. Ruang Lingkup Pengembangan Materi Matematika Mata pelajaran matematika pada satuan pendidikan SD/MI meliputi aspek-aspek

Makalah disampaikan pada “Diklat Profesi Guru dalam Jabatan” tanggal 24 Juli

2010 di Hotel Surya, Batu. 1

Pengembangan Materi Matematika

untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)

Berbasis Al-Qur’an

A. Hakikat Matematika

Secara bahasa (lughawi), kata “matematika” berasal dari bahasa Yunani

yaitu “mathema” atau mungkin juga “mathematikos” yang artinya hal-hal yang

dipelajari. Bagi orang Yunani, matematika tidak hanya meliputi pengetahuan

mengenai angka dan ruang, tetapi juga mengenai musik dan ilmu falak

(astronomi). Nasoetion (1980:12) menyatakan bahwa matematika berasal dari

bahasa Yunani “mathein” atau “manthenein” yang artinya “mempelajari”. Orang

Belanda, menyebut matematika dengan wiskunde, yang artinya ilmu pasti.

Sedangkan orang Arab, menyebut matematika dengan „ilmu al hisab, artinya ilmu

berhitung. Di Indonesia, matematika kadang disebut dengan ilmu pasti dan ilmu

hitung.

Secara istilah, sampai saat ini belum ada definisi yang tepat mengenai

matematika. Para ahli filsafat dan ahli matematika telah mencoba membuat

definisi matematika, tetapi sampai sekarang belum ada yang menyatakan bahwa

jawabannya adalah yang terakhir. Belum ada definisi yang disepakati untuk

menjelaskan matematika itu apa. Di antara definisi-definisi yang dibuat para ahli

matematika adalah sebagai berikut.

1. Matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang.

2. Matematika adalah ilmu tentang besaran (kuantitas)

3. Matematika adalah ilmu tentang hubungan (relasi)

4. Matematika adalah ilmu tentang bentuk (abstrak)

5. Matematika adalah ilmu yang bersifat deduktif

6. Matematika adalah ilmu tentang struktur-struktur yang logik.

Definisi-definisi yang ada semuanya benar, berdasar sudut pandang

tertentu. Beragamnya definisi itu dapat disebabkan oleh keluasan wilayah kajian

matematika itu sendiri dan sudut pandang yang digunakan. Dari segi wilayah

kajian, matematika berawal dari lingkup yang sederhana, yang hanya menelaah

tentang bilangan dan ruang. Sekarang matematika sudah berkembang dengan



menelaah hal-hal yang membutuhkan daya pikir dan imajinasi tingkat tinggi. Dari

segi sudut pandang yang digunakan, matematika dapat dilihat dari ruang kajian,

struktur, atau karakter yang lain.

Meskipun sukar untuk menentukan definisi yang tepat untuk matematika,

namun pada dasarnya terdapat sifat-sifat yang mudah dikenali pada matematika.

Ciri khas matematika yang tidak dimiliki pengetahuan lain adalah (1) merupakan

abstraksi dari dunia nyata, (2) menggunakan bahasa simbol, dan (3) menganut

pola pikir deduktif.

Matematika merupakan abstraksi dari dunia nyata. Abstraksi secara bahasa

berarti proses pengabstrakan. Abstrak berarti tidak nyata, lawan dari kata riil.

Abstraksi sendiri dapat diartikan sebagai upaya untuk menciptakan definisi

dengan jalan memusatkan perhatian pada sifat yang umum dari berbagai objek

dan mengabaikan sifat-sifat yang berlainan. Karena matematika merupakan

abstraksi dari dunia nyata, maka objek matematika bersifat abstrak, tetapi dapat

dipahami maknanya. Perhatikan Gambar 1.1 berikut ini.

Gambar 1.1 Objek yang Banyaknya Dua

Ketiga objek tersebut adalah berbeda yaitu mobil, singa, dan dadu, tetapi

mempunyai sifat yang secara umum sama yaitu “banyaknya”. Jadi dikatakan

bahwa masing-masing objek adalah “dua”. Kata “dua” merupakan asbtraksi dari

tiga objek berbeda tersebut yang mewakili “banyaknya”. Hasil abstraksi yang

berupa “dua” sebenarnya tidak nyata (abstrak) dan hanya ada di dalam pikiran.

Untuk menyatakan hasil abstraksi tersebut, diperlukan suatu media

komunikasi atau bahasa. Bahasa yang digunakan dalam matematika adalah bahasa

simbol. Untuk menyatakan bilangan “dua” digunakan simbol “2”. Simbol untuk

bilangan disebut angka. Penggunaan bahasa simbol mempunyai dua keuntungan

yaitu (a) sederhana dan universal, dan (b) mempunyai makna yang luas.

Simbol matematika sangat sederhana dan tidak bertele-tele. Selain itu,

simbol matematika juga bersifat universal. Sebagai contoh dalam materi analisis



real dipelajari materi barisan bilangan real dan di dalamnya terdapat definisi

barisan konvergen. Definisi itu dalam bahasa simbol dinyatakan sebagai berikut..

xn L > 0 no N xn - L< , n no.

Simbol ini sederhana dan universal. Sederhana berarti sangat singkat dan

universal berarti bahwa ahli matematika di manapun di bumi ini akan dapat

memahaminya. Coba bandingkan ketika bahasa simbol tersebut diterjemah ke

dalam bahasa Indonesia, berikut:

“Barisan bilangan real (xn) dikatakan konvergen ke bilangan real L

jika untuk setiap bilangan real positif terdapat bilangan asli no

sedemikian hingga jarak xn ke L kurang dari pada saat n lebih

dari atau sama dengan no”.

Kalimatnya menjadi sangat panjang dan hanya dapat dipahami oleh yang mengerti

bahasa Indonesia. Itupun jika yang membaca dapat memahami maknanya.

Simbol dalam matematika juga mempunyai makna yang luas. Karena

luasnya makna yang tersirat, kadang simbol matematika dikatakan tidak bermakna

atau kosong dari arti. Simbol matematika kosong dari makna. Sebagai contoh,

simbol “2” memang mewakili bilangan dua. Tetapi dalam hal ini “dua apa?”.

Simbol itu akan mempunyai makna jika sudah dikaitkan dengan konsep/konteks

tertentu, misalnya 2 buku.

Selain mempunyai sifat bahwa matematika adalah abstrak dan

menggunakan bahasa simbol, matematika bersifat deduktif. Matematika menganut

pola pikir atau penalaran deduktif. Penalaran deduktif adalah pola berpikir yang

didasarkan pada kebenaran-kebenaran yang secara umum sudah terbukti benar.

Kebenaran yang diperoleh dari beberapa contoh khusus yang kemudian

digeneralisasi, masih dikatakan bersifat induktif dan belum diterima kebenarannya

dalam matematika. Kebenaran induktif itu akan diterima setelah dibuktikan

dengan penalaran yang ketat dan logis.

Matematika memang bersifat deduktif, meskipun demikian ahli

matematika juga memperhatikan ilham, dugaan, pengalaman, daya cipta, rasa, dan

fenomena dalam mengembangkan matematika. Kesimpulan dari pengembangan

itu akan diterima setelah ditetapkan atau dibuktikan melalui penalaran logis.



B. Latar Belakang Pengembangan Materi Matematika

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan

teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan

memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi

informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di

bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.

Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan

matematika yang kuat sejak dini.

Mata pelajaran matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik

mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan

berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan

bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki

kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk

bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.

Pendekatan pemecahan masalah merupakan fokus dalam pembelajaran

matematika yang mencakup masalah tertutup dengan solusi tunggal, masalah

terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan masalah dengan berbagai cara

penyelesaian. Untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah perlu

dikembangkan keterampilan memahami masalah, membuat model matematika,

menyelesaikan masalah, dan menafsirkan solusinya.

Dalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai

dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem).

Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap

dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Untuk meningkatkan keefektifan

pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan teknologi informasi dan

komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau media lainnya.

C. Tujuan Pengembangan Materi Matematika

Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki

kemampuan sebagai berikut.



1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan

mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan

tepat, dalam pemecahan masalah

2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi

matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau

menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika

3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah,

merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan

solusi yang diperoleh

4. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media

lain untuk memperjelas keadaan atau masalah

5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu

memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari

matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

D. Ruang Lingkup Pengembangan Materi Matematika

Mata pelajaran matematika pada satuan pendidikan SD/MI meliputi aspek-

aspek sebagai berikut.

1. Bilangan, meliputi

a. Konsep Bilangan

b. Relasi Bilangan

c. Operasi Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional

d. Estimasi

e. Keterbagian, FPB, KPK, Faktorisasi Prima

f. Pangkat dan Akar

g. Konversi Bilangan Pecahan

2. Geometri dan Pengukuran, meliputi

a. Bangun Datar

b. Keliling dan Luas Bangun Datar

c. Bangun Ruang Ruang

d. Jaring-jaring Bangun Ruang

e. Volume Bangun Ruang



f. Koordinat Kartesius

g. Pengukuran & Satuan Ukur

h. Pengukuran Waktu

i. Pengukuran Panjang

j. Pengukuran Massa

k. Pengukuran Luas

l. Pengukuran Sudut

m. Pengukuran Volume

n. Pengukuran Kecepatan

o. Pengukuran Debit

p. Operasi dengan Satuan Ukur

3. Pengolahan Data, meliputi

a. Pengumpulan Data

b. Penyajian Data (Tabel, Diagram, & Histogram)

c. Ukuran Tendesi Sentral

d. Penafsiran Data

E. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Materi Matematika MI

Standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika ini disusun sebagai

landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis,

analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Selain itu

dimaksudkan pula untuk mengembangkan kemampuan menggunakan matematika

dalam pemecahan masalah dan mengkomunikasikan ide atau gagasan dengan

menggunakan simbol, tabel, diagram, dan media lain.

Kelas I, Semester 1

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Bilangan

1. Melakukan penjumlahan

dan pengurangan

bilangan sampai 20

1.1 Membilang banyak benda

1.2 Mengurutkan banyak benda

1.3 Melakukan penjumlahan dan pengurangan

bilangan sampai 20

1.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan penjumlahan dan pengurangan

sampai 20




Geometri dan Pengukuran

2. Menggunakan

pengukuran waktu dan

panjang

2.1 Menentukan waktu (pagi, siang, malam),

hari, dan jam (secara bulat)

2.2 Menentukan lama suatu kejadian

berlangsung

2.3 Mengenal panjang suatu benda melalui

kalimat sehari-hari (pendek, panjang) dan

membandingkannya


dengan waktu dan panjang

3. Mengenal beberapa

bangun ruang

3.1 Mengelompokkan berbagai bangun ruang

sederhana (balok, prisma, tabung, bola, dan

kerucut)

3.2 Menentukan urutan benda-benda ruang

yang sejenis menurut besarnya

Kelas I, Semester 2

Standar kompetensi Kompetensi Dasar

Bilangan


dan pengurangan

bilangan sampai dua

angka dalam pemecahan

masalah

4.1 Membilang banyak benda

4.2 Mengurutkan banyak benda

4.3 Menentukan nilai tempat puluhan dan

satuan


bilangan dua angka

4.5 Menggunakan sifat operasi pertukaran dan

pengelompokan

4.6 Menyelesaikan masalah yang melibatkan

penjumlahan dan pengurangan bilangan

dua angka


5. Menggunakan

pengukuran berat

5.1 Membandingkan berat benda (ringan,

berat)


dengan berat benda

6. Mengenal bangun datar

sederhana

6.1 Mengenal segitiga, segi empat, dan

lingkaran

6.2 Mengelompokkan bangun datar menurut

bentuknya

Kelas II, Semester 1





Bilangan


dan pengurangan

bilangan sampai 500

1.1 Membandingkan bilangan sampai 500

1.2 Mengurutkan bilangan sampai 500

1.3 Menentukan nilai tempat ratusan, puluhan,

dan satuan


bilangan sampai 500


2. Menggunakan

pengukuran waktu,

panjang dan berat dalam

pemecahan masalah

2.1 Menggunakan alat ukur waktu dengan

satuan jam

2.2 Menggunakan alat ukur panjang tidak baku

dan baku (cm, m) yang sering digunakan

2.3 Menggunakan alat ukur berat


dengan berat benda

Kelas II, Semester 2


Bilangan

3. Melakukan perkalian

dan pembagian bilangan

sampai dua angka

3.1 Melakukan perkalian bilangan yang

hasilnya bilangan dua angka

3.2 Melakukan pembagian bilangan dua angka

3.3 Melakukan operasi hitung campuran


4. Mengenal unsur-unsur

bangun datar sederhana

4.1 Mengelompokkan bangun datar

4.2 Mengenal sisi-sisi bangun datar

4.3 Mengenal sudut-sudut bangun datar

Kelas III, Semester 1


Bilangan

1. Melakukan operasi

hitung bilangan sampai

tiga angka

1.1 Menentukan letak bilangan pada garis

bilangan


tiga angka

1.3 Melakukan perkalian yang hasilnya

bilangan tiga angka dan pembagian

bilangan tiga angka


1.5 Memecahkan masalah perhitungan

termasuk yang berkaitan dengan uang





2. Menggunakan pengu-

kuran waktu, panjang

dan berat dalam

pemecahan masalah

2.1 Memilih alat ukur sesuai dengan fungsinya

(meteran, timbangan, atau jam)

2.2 Menggunakan alat ukur dalam pemecahan

masalah

2.3 Mengenal hubungan antar satuan waktu,

antar satuan panjang, dan antar satuan berat

Kelas III, Semester 2


Bilangan

3. Memahami pecahan

sederhana dan penggu-

naannya dalam

pemecahan masalah

3.1 Mengenal pecahan sederhana

3.2 Membandingkan pecahan sederhana

3.3 Memecahkan masalah yang berkaitan

dengan pecahan sederhana


4. Memahami unsur dan

sifat-sifat bangun datar

sederhana

4.1 Mengidentifikasi berbagai bangun datar

sederhana menurut sifat atau unsurnya

4.2 Mengidentikasi berbagai jenis dan besar

sudut

5. Menghitung keliling,

luas persegi dan persegi

panjang, serta

penggunaannya dalam

pemecahan masalah

5.1 Menghitung keliling persegi dan persegi

panjang

5.2 Menghitung luas persegi dan persegi

panjang


dengan keliling, luas persegi dan persegi

panjang

Kelas IV, Semester 1


Bilangan

1. Memahami dan menggu-

nakan sifat-sifat operasi

hitung bilangan dalam

pemecahan masalah

1.1 Mengidentifikasi sifat-sifat operasi hitung

1.2 Mengurutkan bilangan

1.3 Melakukan operasi perkalian dan

pembagian


1.5 Melakukan penaksiran dan pembulatan

1.6 Memecahkan masalah yang melibatkan

uang




2. Memahami dan menggu-

nakan faktor dan keli-

patan dalam pemecahan

masalah

2.1 Mendeskripsikan konsep faktor dan

kelipatan

2.2 Menentukan kelipatan dan faktor bilangan

2.3 Menentukan kelipatan persekutuan terkecil

(KPK) dan faktor persekutuan terbesar

(FPB)


dengan KPK dan FPB


3. Menggunakan

pengukuran sudut,

panjang, dan berat dalam

pemecahan masalah

3.1 Menentukan besar sudut dengan satuan

tidak baku dan satuan derajat

3.2 Menentukan hubungan antar satuan waktu,

antar satuan panjang, dan antar satuan berat


dengan satuan waktu, panjang dan berat


dengan satuan kuantitas

4. Menggunakan konsep

keliling dan luas bangun

datar sederhana dalam

pemecahan masalah

4.1 Menentukan keliling dan luas jajargenjang

dan segitiga


dengan keliling dan luas jajargenjang dan

segitiga

Kelas IV, Semester 2


Bilangan

5. Menjumlahkan dan

mengurangkan bilangan

bulat

5.1 Mengurutkan bilangan bulat

5.2 Menjumlahkan bilangan bulat

5.3 Mengurangkan bilangan bulat


6. Menggunakan pecahan

dalam pemecahan

masalah

6.1 Menjelaskan arti pecahan dan urutannya

6.2 Menyederhanakan berbagai bentuk pecahan

6.3 Menjumlahkan pecahan

6.4 Mengurangkan pecahan


dengan pecahan

7. Menggunakan lambang

bilangan Romawi

7.1 Mengenal lambang bilangan Romawi

7.2 Menyatakan bilangan cacah sebagai

bilangan Romawi dan sebaliknya





8. Memahami sifat bangun

ruang sederhana dan

hubungan antar bangun

datar

8.1 Menentukan sifat-sifat bangun ruang

sederhana

8.2 Menentukan jaring-jaring balok dan kubus

8.3 Mengidentifikasi benda-benda dan bangun

datar simetris

8.4 Menentukan hasil pencerminan suatu

bangun datar

Kelas V, Semester 1


Bilangan


hitung bilangan bulat

dalam pemecahan

masalah

1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat

termasuk penggunaan sifat-sifatnya,

pembulatan, dan penaksiran

1.2 Menggunakan faktor prima untuk

menentukan KPK dan FPB


bilangan bulat

1.4 Menghitung perpangkatan dan akar

sederhana


dengan operasi hitung, KPK dan FPB


2. Menggunakan

pengukuran waktu,

sudut, jarak, dan

kecepatan dalam

pemecahan masalah

2.1 Menuliskan tanda waktu dengan

menggunakan notasi 24 jam

2.2 Melakukan operasi hitung satuan waktu

2.3 Melakukan pengukuran sudut

2.4 Mengenal satuan jarak dan kecepatan


dengan waktu, jarak, dan kecepatan

3. Menghitung luas bangun

datar sederhana dan

menggunakannya dalam

pemecahan masalah

3.1 Menghitung luas trapesium dan layang-

layang


dengan luas bangun datar

4. Menghitung volume

kubus dan balok dan

menggunakannya dalam

pemecahan masalah

4.1 Menghitung volume kubus dan balok


dengan volume kubus dan balok

Kelas V, Semester 2





Bilangan

5. Menggunakan pecahan

dalam pemecahan

masalah

5.1 Mengubah pecahan ke bentuk persen dan

desimal serta sebaliknya

5.2 Menjumlahkan dan mengurangkan

berbagai bentuk pecahan

5.3 Mengalikan dan membagi berbagai bentuk

pecahan

5.4 Menggunakan pecahan dalam masalah

perbandingan dan skala


6. Memahami sifat-sifat

bangun dan hubungan

antar bangun

6.1 Mengidentifikasi sifat-sifat bangun datar

6.2 Mengidentifikasi sifat-sifat bangun ruang

6.3 Menentukan jaring-jaring berbagai bangun

ruang sederhana

6.4 Menyelidiki sifat-sifat kesebangunan dan

simetri


dengan bangun datar dan bangun ruang

sederhana

Kelas VI, Semester 1


Bilangan


hitung bilangan bulat

dalam pemecahan

masalah

1.1 Menggunakan sifat-sifat operasi hitung

termasuk operasi campuran, FPB dan KPK

1.2 Menentukan akar pangkat tiga suatu

bilangan kubik

1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan

operasi hitung termasuk penggunaan akar

dan pangkat


2. Menggunakan

pengukuran volume per

waktu dalam pemecahan

masalah

2.1 Mengenal satuan debit


dengan satuan debit

3. Menghitung luas segi

banyak sederhana, luas

lingkaran, dan volume

prisma segitiga

3.1 Menghitung luas segi banyak yang

merupakan gabungan dari dua bangun datar

sederhana

3.2 Menghitung luas lingkaran

3.3 Menghitung volume prisma segitiga dan

tabung lingkaran




Pengolahan Data

4. Mengumpulkan dan

mengolah data

4.1 Mengumpulkan dan membaca data

4.2 Mengolah dan menyajikan data dalam

bentuk tabel

4.3 Menafsirkan sajian data

Kelas VI, Semester 2


Bilangan


hitung pecahan dalam

pemecahan masalah

5.1 Menyederhanakan dan mengurutkan

pecahan

5.2 Mengubah bentuk pecahan ke bentuk

desimal

5.3 Menentukan nilai pecahan dari suatu

bilangan atau kuantitas tertentu

5.4 Melakukan operasi hitung yang melibatkan

berbagai bentuk pecahan

5.5 Memecahkan masalah perbandingan dan

skala


6. Menggunakan sistem

koordinat dalam

pemecahan masalah

6.1 Membuat denah letak benda

6.2 Mengenal koordinat posisi sebuah benda

6.3 Menentukan posisi titik dalam sistem

koordinat Kartesius

Pengolahan Data

7. Menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan

data

7.1 Menyajikan data ke bentuk tabel dan

diagram gambar, batang dan lingkaran

7.2 Menentukan rata-rata hitung dan modus

sekumpulan data

7.3 Mengurutkan data termasuk menentukan

nilai tertinggi dan terendah

7.4 Menafsirkan hasil pengolahan data

F. Arah Pengembangan

Standar kompetensi dan kompetensi dasar menjadi arah dan landasan

untuk mengembangkan materi pokok, kegiatan pembelajaran, dan indikator

pencapaian kompetensi untuk penilaian. Dalam merancang kegiatan pembelajaran

dan penilaian perlu memperhatikan Standar Proses dan Standar Penilaian.



G. Pembelajaran Matematika

Dalam mempelajari matematika dikenal objek-objek dalam belajar

matematika. Objek yang dipelajari dalam matematika itu dibedakan menjadi 4,

yaitu fakta (fact), ketrampilan (skill), konsep, dan prinsip (Bell, 1978:108).

Fakta adalah sebarang kesepakatan dalam matematika, misalnya simbol-

simbol matematika. “2” adalah fakta yang digunakan sebagai simbol untuk kata

“dua”. “+” adalah fakta yang digunakan sebagai simbol untuk operasi

penjumlahan. “sin” adalah fakta yang digunakan sebagai simbol untuk suatu jenis

fungsi dalam trigonometri. Fakta dalam matematika, dipelajari melalui berbagai

teknik belajar hafalan (rote learning) seperti menghafal, latihan (drill), praktik, tes

cepat (timed test), permainan (game) dan kontes (Bell, 1978:108).

Keterampilan (skill) adalah prosedur-prosedur atau operasi-operasi yang

siswa atau matematisi diharapkan dapat menggunakannya dengan cepat dan

akurat. Skill ditandai dengan sejumlah aturan atau perintah, atau ditandai oleh

rangkaian prosedur yang terurut yang biasa disebut algoritma. Skill dipelajari

melalui demonstrasi dan sejumlah drill dan praktik, misalnya penggunaan lembar

kerja, mengerjakan di papan, kerja kelompok, dan permainan (Bell, 1978:108).

Pengetahuan mengenai fakta dan prosedur oleh Hiebert dan Lefevre

(dalam Hiebert, 1986;6) disebut pengetahuan prosedural. Kemampuan untuk

melakukan rumus-rumus atau prosedur-prosedur tanpa mengetahui mengapa

rumus itu dapat berfungsi oleh Skemp (1987:166) disebut pemahaman

instrumental.

Konsep adalah ide abstrak yang memungkinkan seseorang untuk

mengklasifikasi suatu objek atau kejadian dan kemudian menentukan apakah

objek atau kejadian itu merupakan contoh dan bukan contoh dari ide abstrak

tersebut. Konsep dipelajari melalui definisi atau pengamatan (Bell, 1978:108-

109).

Pengetahuan mengenai apa sesuatu itu oleh Dahar (1988:49) disebut

pengetahuan deklaratif. Saling keterkaitan antara konsep oleh Van de disebut

pengetahuan konseptual. Menurut Hiebert dan Lefevre (dalam Hiebert, 1986:3-

4), pengetahuan konseptual adalah saling keterkaitan antara satuan-satuan

informasi, yang dapat berupa fakta dan konsep. Van de Walle (1990:6)



menyebutkan bahwa jika terjadi saling keterkaitan antara fakta, antara konsep, dan

antara fakta dan konsep maka akan terbentuk pemahaman relasional. Skemp

(1987:166) mengartikan pemahaman relasional sebagai kemampuan untuk

menghasilkan aturan atau prosedur khusus dari saling keterkaitan konsep

matematika yang lebih umum. Menurut Skemp (1987:166), kemampuan untuk

menghubungkan simbol-simbol dan notasi-notasi matematika (fakta) dengan

konsep matematika dan kemampuan mengkombinasikan fakta dan konsep ke

dalam jaringan penalaran logis adalah pemahaman formal atau pemahaman logis.

Prinsip adalah rangkaian konsep disertai dengan keterkaitan antar konsep-

konsep itu. Prinsip biasanya berupa teorema atau dalil-dalil. Prinsip dipelajari

melalui proses inkuiri, penemuan terbimbing (guided discovery), diskusi

kelompok, problem solving, atau pemainan (Bell, 1978:109).

Hal yang perlu diperhatikan bahwa fakta mempunyai peranan penting.

Meskipun demikian, untuk mengenal fakta perlu didahului dengan pengenalan

konsepp. Fakta tidak lain adalah bahasa symbol untuk mewakili suatu konsep

tertentu. Jika fakta dikenal sebelum konsep, maka makna dibalik fakta akan

hilang. Fakta tidak akan mewakili apa-apa dan akan menjadi sia-sia.

Materi matematika itu sungguh tersusun rapi, ada urutan-urutannya mulai

yang rendah sampai ke yang tinggi atau mulai yang tinggi baru ke yang rendah.

Tepatnya, matematika itu bersifat hirarkis. Implikasi dari sifat hirarkis ini adalah

pemahaman pada suatu konsep akan mempengaruhi pemahaman pada konsep

berikutnya yang berkaitan. Seseorang yang mempelajari suatu materi B dan belum

memahami materi A yang mendasari materi B, maka akan sulit bahkan tidak

mungkin untuk memahami materi B (Hudojo, 1979:93). Hirarki yang dimulai dari

konsep rendah (eksklusif) ke konsep yang lebih tinggi (inklusif) diprakarsai oleh

Robert Gagne.

Berbeda dengan Gagne, David P Ausubel menyatakan hirarki yang

berbeda. Hirarki yang diajukan Ausubel dimulai dari konsep yang inklusif menuju

konsep yang eksklusif yang disebut subsumer. Melalui prinsip differensiasi

progresif (progressive differentiation), Ausubel menyatakan bahwa konsep yang

paling inklusif dan general hendaknya disampaikan pertama kali, dan selanjutnya

secara terus-menerus dijabarkan ke dalam konsep-konsep yang detil dan khusus



(Bell, 1978:134). Meskipun berbeda, kedua ahli tersebut sama-sama mengakui

bahwa matematika bersifat hirarkis. Ada urutan-urutan materi dalam matematika.

Jika berdasarkan pada hirarki yang diprakarsai Gagne, maka orang yang

akan mempelajari materi perkalian, harus paham terlebih dahulu materi

penjumlahan. Hal ini karena perkalian itu tidak lain adalah penjumlahan berulang.

Sedangkan Ausubel, tidak eksplisit menjelaskan urutan-urutan cara belajar

matematika. Ausubel hanya menjelaskan bahwa untuk materi matematika tertentu,

dapat ditelusuri materi-materi yang berada di bawah materi tersebut. Sebagai

contoh untuk materi fungsi, maka dapat ditarik materi yang berada di bawahnya,

yaitu konsep himpunan dan relasi. Hirarki Ausubel ini sangat penting terutama

jika disajikan dalam bentuk atau pembentukan peta konsep (concepts mapping).

Jika dalam berwudhu adalah istilah tertib, urutannya benar, maka dalam

belajar matematika juga dapat dikatakan harus tertib. Kalau tidak tertib, maka

hasilnya akan berupa hafalan, bukan pemahaman. Hafalan dalam hal ini adalah

bahwa ilmu yang ada di otak akan menjadi satuan-satuan yang terisolasi, yang

saling asing, dan tidak mempunyai saling keterkaitan dan saling keterhubungan.

Hafalan terjadi karena pengetahuan baru tidak dibangun berdasarkan pengetahuan

sebelumnya yang telah ada di otak atau mental siswa (Dahar, 1988:134).

Pengetahuan sekedar dimasukkan ke otak siswa tanpa memperhatikan susunan

dan urutan materi.

Pemahaman dikatakan terjadi jika pengetahun yang ada dalam otak tidak

tersimpan sebagai satuan yang terisolasi, tetapi menjadi satuan-satuan yang

terkoneksi satu dengan yang lain. Pemahaman terjadi karena pengetahuan baru

dibangun berdasarkan pengetahuan yang telah ada di otak siswa sehingga

terbentuk hubungan dan saling keterkaitan antara materi. Pengetahuan yang

tersimpan dalam otak yang kaya dengan saling keterkaitan antar satuan-satuan

pengetahuan membentuk struktur mental yang oleh Piaget disebut dengan skema

(scheme) (Hudojo, 1979:82).

Menurut Jean Piaget, pengembangan skema melalui dua proses, yaitu

assimilasi dan akomodasi. Assimilasi adalah proses masuknya atau menyatunya

informasi baru ke dalam skema tanpa mengubah struktur skema yang telah ada.

Akomodasi adalah proses masuknya informasi baru ke dalam skema, yang



didahului dengan pengaturan kembali atau modifikasi informasi sebelumnya

untuk mengakomodasi informasi baru atau bahkan terjadi pembentukan skema

yang benar-benar baru (Hudojo, 1979:83).

Matematika memang bersifat abstrak, yang berarti bahwa objek-objek

matematika diperoleh melalui abstraksi dari fakta-fakta atau fenomena dunia

nyata. Karena objek matematika merupakan hasil abstraksi dunia nyata, maka

matematika dapat ditelusuri kembali berdasarkan proses abstraksinya. Hal inilah

yang mendasari bagaimana cara mempelajari matematika.

Belajar matematika perlu dilakukan secara bertahap menuju level

abstraksi. Dengan demikian matematika perlu dipelajari melalui tahapan nyata

(konkret), setengah nyata (semi konkret), dan abstrak. Penyajian matematika

secara konkret dapat berupa masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata

(realistik/kontekstual). Bahasa yang digunakan adalah bahasa sehari-hari yang

dekat dengan kehidupan. Masalah yang disajikan perlu diselesaikan untuk

menemukan suatu konsep atau prinsip. Jadi aktivitas matematika adalah aktivitas

penemuan (discovery) melalui pemecahan masalah (problem solving). Sehingga

dikatakan bahwa inti kegiatan belajar matematika adalah pemecahan masalah.

Masalah yang diajukan dalam belajar matematika adalah masalah realistik

(berkaitan dengan kehidupan nyata) dan relevan (menggambarkan kegunaan

matematika dan sesuai tahap berpikir). Masalah yang diajukan bukan masalah

yang hanya dapat diselesaikan dengan satu cara, tetapi dapat diselesaikan dengan

banyak cara, metode, dan pendekatan serta yang memungkinkan diperoleh solusi

yang beragam. Masalah yang dapat diselesaikan dengan banyak cara, metode, dan

pendekatan serta yang memungkinkan diperoleh solusi yang beragam demikian

disebut dengan masalah open-ended, masalah divergen, atau masalah berakhir

terbuka.

Masalah realistik tidak selalu berupa masalah yang berkaitan dengan

kehidupan dunia nyata. Maslah realistik dapat juga berupa masalah yang hanya

dapat direalkan dalam pikiran siswa. Masalah realistik adalah masalah yang

kadang sangat komplek dan sulit dihadirkan di dalam kelas. Untuk mengatasi hal

ini, kadang diperlukan suatu media yang konkret dan dapat menggambarkan

fenomena yang ada dalam masalah tersebut. Media ini disebut model dunia nyata



(media semikonkret) yang dapat berupa gambar. Dengan demikian, dari konteks

yang konkret pembelajaran matematika memasuki konteks yang semi konkret.

Pada tahap berikutnya digunakan bahasa matematika (bahasa simbol)

untuk menyerderhanakan permasalahan. Penggunaan bahasa simbol merupakan

tanda bahwa pembelajaran sudah berada pada tahap abstrak. Pemecahan masalah

selanjutnya dilakukan dalam lingkup matematika dengan penalaran logis dan

ketat. Proses abstraksi dari tahap konkret, semikonkret, dan abstrak oleh Jerome

Bruner juga disebut tahap enactive, iconic, dan symbolic (Dahar,1988:124).

Urutan tahap-tahap tersebut tidak selalu dari konkret, semi konkret, dan abstrak.

Penggerakan tahap-tahap dapat dimulai dari mana saja sesuai kebutuhan. Berikut

ini contoh cara mempelajari matematika sesuai tahap yang dijelaskan untuk materi

sistem persamaan linear.

Tahap Enaktif (Konkret): Masalah disajikan dalam bahasa dunia nyata.

Ali membeli dua buku dan satu pensil dan harus membayar Rp.7.500,-.

Ani membeli satu buku dan satu pencil yang sama. Ani membayar Rp10.000,- dan

mendapat uang kembali Rp.4000,-. Jika Amir membeli dua buku dan dua pencil

yang sama, berapa harus membayar?

Tahap Ikonik (Semikonkret): Masalah disajikan dalam bentuk gambar.

Tahap Simbolik (Abstrak): Masalah disajikan dalam bentuk simbol.

7.500 + =

+ = 10.000 – 4.000

+ = ?



2x + y = 7500

x + y = 10000 – 4000

2x + 2y = ?

Pada contoh di atas, terlihat bahwa bahasa matematika lebih sederhana.

H. Pengembangan Materi Matematika MI dari Al-Qur’an

Telah dijelaskan bahwa mata pelajaran matematika pada satuan

pendidikan SD/MI meliputi aspek-aspek sebagai berikut.

1. Bilangan, meliputi konsep bilangan, relasi bilangan, operasi bilangan

bulat dan bilangan rasional, estimasi, keterbagian, FPB, KPK, faktorisasi

prima, pangkat dan akar, serta konversi bilangan pecahan.

2. Geometri dan Pengukuran, meliputi bangun datar, keliling dan luas

bangun datar, bangun ruang ruang, jaring-jaring bangun ruang, volume

bangun ruang, koordinat kartesius, pengukuran & satuan ukur, pengukuran

waktu, panjang, massa, luas, sudut, volume, kecepatan, dan debit, serta

operasi dengan satuan ukur.

3. Pengolahan Data, meliputi pengumpulan data, penyajian data, ukuran

tendesi sentral, dan penafsiran data.

Berkaitan dengan bilangan, dalam Al-Quran disebutkan sebanyak 38

bilangan berbeda. Dari 38 bilangan tersebut, 30 bilangan merupakan bilangan

bulat dan 8 bilangan merupakan bilangan pecahan (rasional). 30 bilangan asli

yang disebutkan dalam Al-Qur‟an adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20,

30, 40, 50, 60, 70, 80, 99, 100, 200, 300, 1000, 2000, 3000, 5000, 50000, dan

100000. Sedangkan 8 bilangan rasional yang disebutkan dalam Al-Qur‟an adalah

3

2 (Tsulutsa),

2

1(Nisf),

3

1 (Tsuluts),

4

1 (Rubu’),

5

1 (Khumus),

6

1 (Sudus),

8

1

(Tsumun), dan 10

1 (Mi’syar).

Setelah ada bilangan, apa yang dapat dikerjakan dengan bilangan-bilangan

tersebut. Tentunya belum lengkap jika hanya membicarakan bilangan. Perlu ada

sesuatu yang dapat digunakan untuk membandingkan dua bilangan.

Membandingkan atau relasi bilangan biasanya dilakukan pada sepasang bilangan

dengan aturan tertentu. Dalam matematika terdapat beberapa macam relasi

bilangan, yaitu



a. Relasi sama dengan (=)

b. Relasi lebih dari (>)

c. Relasi kurang dari (<)

d. Relasi lebih dari atau sama dengan (≥), dan

e. Relasi kurang dari atau sama dengan (≤).

Relasi bilangan dalam Al-Qur‟an, disebutkan dalam beberapa redaksi,

misalnya,

a. Adnaa (kurang dari), misal dalam surat Al-Mujadilah ayat 7, surat An-Najm

ayat 9, dan surat Al-Muzzammil ayat 20.

b. Aktsara (lebih dari), misal dalam surat Al-Mujadalah ayat 7 dan surat An-

Nisa‟ ayat 12.

c. Fauqa (lebih dari), misal dalam surat An-Nisa‟ ayat 11.

Relasi hanya dapat membandingkan antara suatu bilangan dengan bilangan

yang lain. Adanya bilangan dan relasi belum lengkap, jika tidak dapat melakukan

suatu aksi pada pasangan bilangan yang diberikan. Melakukan aksi pada pasangan

bilangan dapat dinamakan operasi. Operasi yang paling sederhana adalah operasi

hitung dasar bilangan. Operasi hitung dasar meliputi penjumlahan (+),

pengurangan (-), perkalian (x), dan pembagian (:).

Selain berbicara bilangan dan relasi bilangan, ternyata Al-Qur‟an juga

berbicara tentang operasi hitung dasar pada bilangan. Operasi hitung dasar pada

bilangan yang disebutkan dalam Al-Qur‟an adalah operasi penjumlahan,

pengurangan, dan pembagian.

a. Operasi Penjumlahan, misal dalam surat Al-Kahfi ayat 25, surat Al-A‟raf

ayat 142, dan surat Al-Baqarah ayat 196 dan 234.

b. Operasi Pengurangan, misal dalam surat Al-Ankabut ayat 14

c. Operasi Pembagian, misal dalam ayat yang memuat bilangan pecahan.

Berkaitan dengan operasi hitung bilangan, ternyata Al Qur‟an tidak

berbicara tentang operasi perkalian.

Walaupun Al-Qur‟an tidak berbicara operasi perkalian bilangan secara

eksplisit (tegas), ternyata Al-Qur‟an memberikan suatu gambaran yang akan

memunculkan operasi perkalian bilangan. Pada surat Al-Baqarah ayat 261, Al-

Qur‟an menjelaskan.



Artinya: Perumpamaan (nafkah yang dikeluarkan oleh) orang-orang yang

menafkahkan hartanya di jalan Allah adalah serupa dengan sebutir

benih yang menumbuhkan tujuh bulir, pada tiap-tiap bulir seratus biji.

Allah melipat gandakan (ganjaran) bagi siapa yang Dia kehendaki. Dan

Allah Maha Luas (karunia-Nya) lagi Maha Mengetahui.

Pada QS Al-Baqarah ayat 261 dijelaskan bahwa 1 biji akan menumbuhkan 7

batang, dan tiap-tiap batang terdapat 100 biji. Karena operasi penjumlahan telah

disebutkan dalam Al-Qur‟an, maka untuk menentukan keseluruhan biji, seseorang

dapat melakukan dengan cara menghitung

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 700.

Penjumlahan 100 berulang sebanyak 7 kali sehingga diperoleh 700. Konsep

penjumlahan berulang inilah yang sebenarnya merupakan konsep operasi

perkalian bilangan. Jadi pernyataan

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 7 x 100

Dengan demikian, munculnya operasi perkalian bilangan bersumber dari operasi

penjumlahan, yaitu penjumlahan berulang.

Al-Qur‟an diturunkan sekitar abad ke-6 Masehi, yang pada saat itu belum

ditetapkan satuan-satuan baku untuk pengukuran. Dengan demikian, jika Al-

Qur‟an berbicara masalah pengukuran, maka satuan ukur yang digunakan adalah

satuan-satuan tradisional yang berlaku saat itu, khususnya di daerah Mekah dan

Madinah. Berdasarkan kajian penulis, ternyata Al-Qur‟an juga berbicara tentang

pengukuran. Pengukuran yang disebutkan dalam Al-Qur‟an meliputi pengukuran

panjang (QS An-Najm ayat 9 dan Al-Haaqqah ayat 32), pengukuran waktu (QS

An-Naml ayat 39, 40, Al-Baqarah ayat 228, Al-Haaqqah ayat 7, An-Nisa‟ ayat 92,

Al-Ankabut ayat 14), pengkuran luas (QS Ali Imron ayat 133, Al-Hadid ayat 21),

pengukuran berat (QS Al-Zalzalah ayat 7, 8, As-Saba‟ ayat 22, An-Nisa‟ ayat 40,

Al-Anbiyaa‟ ayat 47, Luqman ayat 16), dan pengukuran kecepatan (QS An-Naml

ayat 88).



Daftar Pustaka

Abdussakir. 2006. Ada Matematika dalam Al-Qur’an. Malang: UIN Malang Press

Bartle, R.G dan Sherbert, D.R.. 1982. Introduction to Real Analysis. New York:

John Wiley & Sons, Inc.

Bell, Frederick H.. 1978. Teaching Learning Mathematics: In Secondary Schools.

Iowa: Wm. C. Brown Company.

Dahar, R.W.. 1988. Teori-teori Belajar. Jakarta: P2LPTK

Hiebert, James. 1986. Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of

Mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publisher.

Hudojo, Herman. 1979. Pengembangan Kurikulum Matematika &

Pelaksanaannya di Depan Kelas. Surabaya: Usaha Nasional.

Kennedy, L.M. dan Tipps, Steve. 1994. Guiding Children’s Learning of

Mathematics, Seventh Edition. California: Wadsworth Publishing

Company.

Nasoetion, Andi H.. 1980. Landasan Matematika. Jakarta: PT Bhratara Karya

Aksara

NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston: The

NCTM, Inc.

Skemp, Richard R.. 1987. The Psychology of Learning Mathematics. New Jersey:

Lawrence Earlbaum Associates.

Soedjadi, R.. 2001. Pemanfaatan Realitas dan Lingkungan dalam Pembelajaran

Matematika. Makalah Disampaikan dalam Seminar Nasional “Realistic

Mathematics Education (RME)“ di UNESA, tanggal 24 Pebruari.

Van de Walle, John A.. 1990. Elementary School Mathematics: Teaching

Developmentally. New York: Longman

Documents

Pengembangan Materi Matematika untuk Sekolah Dasar (SD ... · D. Ruang Lingkup Pengembangan Materi Matematika Mata pelajaran matematika pada satuan pendidikan SD/MI meliputi aspek-aspek