Pengaruh Model Pembelajaran Kooperatif Tipe TGT ...repository.uksw.edu/bitstream/123456789/9874/2/T1_202012074_Full... · 1 pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe tgt berkolaborasi

1

PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TGT

BERKOLABORASI NHT TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA

SISWA KELAS XI MIA SMA ISLAM SUDIRMAN AMBARAWA

JURNAL

Disusun Untuk Memenuhi Syarat Guna Mencapai Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi S1 Pendidikan Matematika

Oleh

WIDIYA ASTUTI

202012074

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2016

2

3

4

5

6

PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TGT

BERKOLABORASI NHT TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA

SISWA KELAS XI MIA SMA ISLAM SUDIRMAN AMBARAWA

Widiya Astuti1

Erlina Prihatnani2

Tri Nova Hasti Yunianta3

Pendidikan Matematika FKIP Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52 – 60 Salatiga, Jawa Tengah 50711 1Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UKSW, e-mail : [email protected]

2Dosen Pendidikan Matematika FKIP UKSW, e-mail : [email protected]

3Dosen Pendidikan Matematika FKIP UKSW, e-mail : [email protected]

Abstrak

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT

berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika dalam materi peluang. Jenis penelitian ini merupakan

penelitian eksperimen semu dengan desain the randomize control group pretest-posttest design. Populasi

dalam penelitian ini adalah semua siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa Semester 2 Tahun

Pelajaran 2015/2016. Pengambilan sampel dilakukan dengan teknik cluster random sampling dan diperoleh

siswa kelas XI MIA 3 (kelas eksperimen) yang diajar dengan model pembelajaran kooperatif tipe TGT

berkolaborasi NHT dan siswa kelas XI MIA 2 (kelas pembanding) yang diajar dengan model pembelajaran

kooperatif tipe TGT yang masing-masing terdiri dari 32 siswa. Instrumen yang digunakan dalam penelitian

ini adalah posttest untuk mengukur hasil belajar matematika siswa. Uji coba validasi instrumen tes meliputi

validasi ahli, validitas butir soal, dan reliabilitas instrumen. Analisis data terdiri dari uji normalitas dengan

uji kolmogorov-smirnov, uji homogenitas dengan uji Levene dan uji beda rerata dengan independent sample

t-test. Semua uji dilakukan pada taraf signifikansi 5% dengan alat bantu perhitungan software SPSS 16.0 for

windows. Uji beda rerata untuk data pretest menghasilkan signifikansi sebesar 0,756 (lebih dari 0,05),

artinya kondisi kemampuan awal kedua kelas seimbang. Adapun analisis data posttest menghasilkan nilai

rata-rata kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dari kelas pembanding (47,53) dengan hasil uji beda rerata

menghasilkan nilai signifikansi mendekati nol yang kurang dari 0,05. Hal ini berarti hasil belajar siswa yang

dikenai model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT secara signifikan lebih baik, sehingga

dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT

terhadap hasil belajar matematika bagi siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa.

Kata Kunci : teams games tournament (tgt), numbered head together (nht), hasil belajar, peluang

PENDAHULUAN

Matematika mempunyai peran yang sangat penting baik dalam kehidupan sehari-hari maupun

dalam pengembangan ilmu pengetahuan lain. Tanpa mengesampingkan pentingnya disiplin ilmu

lain, matematika memberikan sumbangan langsung dan mendasar terhadap bidang ekonomi,

kesehatan, pendidikan, pertahanan, ilmu pengetahuan, teknologi, dan lain-lain. Diperlukan

penguasaan matematika yang kuat guna menguasai dan memanfaatkan teknologi di masa depan

(Mulbar, 2012).

Menurut Bruner (Dahar, 2011:79), siswa dalam belajar matematika hendaknya berpartisipasi

secara aktif dengan konsep dan prinsip-prinsip untuk memperoleh pengalaman dan melakukan

eksperimen-eksperimen. Sejalan dengan itu, Cobb (Suherman, 2003:71) menyebutkan bahwa dalam

mailto:[email protected]



7

belajar matematika, siswa dituntut untuk terlibat aktif dalam mengkonstruksi pengetahuan

matematika. Tujuan pembelajaran matematika adalah untuk membekali peserta didik dengan

kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif serta kemampuan bekerjasama

(Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006).

Pemerintah telah merumuskan standar minimum suatu proses pembelajaran. Standar ini juga

harus digunakan dalam pembelajaran matematika agar tujuan pembelajaran matematika dapat

tercapai. Standar proses minimum tersebut tercantum dalam Permendikbud Nomor 65 Tahun 2013.

Peraturan tersebut menyebutkan bahwa pembelajaran (matematika) hendaknya diselenggarakan

sesuai dengan perencanaan pembelajaran, pelaksanaan proses pembelajaran, serta penilaian proses

pembelajaran untuk meningkatkan efisiensi dan efektivitas ketercapaian kompetensi lulusan. Akan

tetapi tidak semua pembelajaran telah berjalan seperti yang diharapkan.Masih terdapat

pembelajaran matematika yang berfokus pada guru dan tidak memberi ruang siswa untuk aktif

(Sari, 2013).

Guru hendaknya menerapkan model pembelajaran yang memungkinkan siswa untuk dapat

berpartisipasi aktif dalam pembelajaran matematika. Salah satu model pembelajaran yang memberi

kesempatan siswa untuk aktif dalam pembelajaran adalah model pembelajaran kooperatif. Model ini

menuntut siswa untuk bekerja sama dalam belajar dan bertanggung jawab terhadap teman satu

timnya. Proses ini menjadikan siswa lebih aktif dan guru hanya bertindak sebagai fasilitator. Model

pembelajaran kooperatif menurut Slavin (2005: 4) adalah strategi pembelajaran yang mendorong

siswa bekerja sebagai sebuah tim untuk menyelesaikan sebuah masalah, menyelesaikan suatu tugas

atau mengerjakan sesuatu untuk mencapai tujuan bersama. Pembelajaran kooperatif menurut

Jhonson dalam Huda (2011: 31) adalah working together to accomplish shared goal, artinya

pembelajaran dengan cara bekerjasama untuk mencapai tujuan bersama. Meskipun demikian, proses

ini bukan merupakan proses yang mudah dilakukan di kelas.

Salah satu kendala untuk mewujudkan kerja kelompok yang bagus adalah sulitnya guru untuk

memberi dorongan kepada siswa yang mempunyai kemampuan lebih untuk bersedia membantu

teman yang kurang menguasai materi dan mengatasi keengganan atau ketidakmauan siswa yang

kesulitan untuk bertanya. Salah satu tipe model pembelajaran kooperatif yang dapat meminimalisasi

kelemahan ini adalah Teams Games Tournament (TGT).

Pembelajaran kooperatif tipe TGT adalah salah satu tipe pembelajaran kooperatif yang mudah

diterapkan, melibatkan aktivitas seluruh siswa tanpa harus ada perbedaan status, melibatkan peran

siswa sebagai tutor sebaya dengan adanya reinforcement (bertukar informasi) di dalam kelompok

serta mengandung permainan, dimana dalam permainan tersebut terdapat persaingan individu

dengan kemampuan yang setara dalam turnamen (Slavin, 2005). Menurut Slavin (2005: 166),

8

Suprijono (2009: 65), dan Trianto (2010: 84) terdapat lima tahap dalam TGT, yaitu tahap presentasi

di kelas, tahap tim, tahap game, tahap turnamen, dan tahap penghargaan kelompok.

Tahap presentasi di kelas adalah tahap dimana guru menyampaikan materi dalam penyajian

kelas, biasanya dilakukan dengan pengajaran langsung atau dengan ceramah, dan diskusi yang

dipimpin guru. Tahap tim adalah tahap dimana masing-masing kelompok mengerjakan soal dan

memastikan semua anggota kelompok benar-benar belajar. Satu kelompok terdiri dari siswa-siswa

dengan kemampuan yang berbeda (heterogen). Tahap game adalah tahap dimana dari masing-

masing kelompok adu cepat menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru untuk mendapatkan poin

kelompok. Tahap turnamen adalah tahap dimana dari masing-masing anggota kelompok akan

bertanding dengan anggota kelompok lain yang memiliki kemampuan homogen untuk

memperebutkan poin yang akan dibawa kepada kelompoknya. Tahap penghargaan kelompok

adalah tahap pemberian penghargaan kelompok kepada kelompok yang memiliki poin tertinggi

(hasil poin di game dan turnamen).

Salah satu kelemahan model pembelajaran kooperatif tipe TGT adalah pengelompokan siswa

yang dilakukan secara heterogen sehingga besar kemungkinan pada masing-masing kelompok

terdapat siswa yang mendominasi. Hal ini memang berdampak baik pada tahap tim, namun pada

game dominasi siswa tertentu dalam menjawab pertanyaan yang diberikan akan membuat anggota

lainnya tidak berperan aktif dan hanya bergantung pada siswa tersebut. Oleh karena itu, muncul ide

untuk menggabungkan TGT dengan model pembelajaran lain yang dapat mengatasi kelemahan ini.

Model yang dapat digunakan adalah model yang memberikan peluang yang sama kepada setiap

siswa untuk menjawab pertanyaan yang diajukan sehingga tidak ada dominasi siswa tertentu dalam

mewakili kelompoknya. Salah satu model yang memenuhi kriteria tersebut adalah Numbered Head

Together (NHT).

Adapun langkah-langkah model pembelajaran kooperatif tipe NHT menurut Slavin (2005:

256), Suprijono (2009: 92), Kosasih (2010: 61), dan Trianto (2010: 63) adalah: 1) Penomoran, fase

ini guru membagi siswa ke dalam kelompok yang terdiri dari tiga sampai lima orang dan kepada

setiap anggota kelompok diberi nomor antara satu sampai lima; 2) Pengajuan pertanyaan, guru

mengajukan sebuah pertanyaan kepada siswa atau berbentuk arahan; 3) Berpikir bersama, siswa

menyatukan pendapatnya terhadap jawaban pertanyaan itu dan meyakinkan tiap anggota dalam

timnya mengetahui jawaban tim; 4) Pemanggilan nomor, guru memanggil satu nomor tertentu

kemudian siswa yang nomornya sesuai mengacungkan tangannya dan menjawab pertanyaan untuk

guru. NHT dapat digunakan untuk mengecek pemahaman anak terhadap mata pelajaran dengan cara

melibatkan lebih banyak peserta didik menelaah materi yang tercakup sehingga dapat meningkatkan

penguasaan akademik dan kemampuan berpikir kritis.

9

Model pembelajaran kooperatif tipe TGT dan NHT ini mempunyai persamaan yaitu adanya

pembagian kelompok-kelompok kecil dengan kemampuan siswa secara heterogen di setiap

kelompoknya. Pembelajaran kooperatif tipe TGT dan NHT ini mengutamakan kerja sama dan

memberikan kesempatan bagi anggota kelompok untuk saling bertukar pikiran atau informasi

kemudian membuat kesimpulan untuk mendapatkan jawaban yang paling tepat (Slavin, 2005).

Keberhasilan suatu model pembelajaran salah satunya dapat dilihat dari hasil belajar

matematika. Hasil belajar menurut Sudjana (2010) merupakan kemampuan-kemampuan yang

diterima siswa setelah menerima pengalaman belajar. Lebih lanjut Arikunto (2006) menyebutkan

bahwa hasil belajar merupakan penilaian yang dicapai seorang siswa untuk mengetahui sejauh mana

materi pelajaran atau materi yang diajarkan sudah diterima oleh siswa. Dimyati dan Mudjiono

(2006) mengatakan bahwa hasil belajar adalah hasil yang dicapai dalam bentuk angka-angka atau

skor setelah diberi tes pada setiap akhir pelajaran. Adapun hasil belajar menurut Soedijarto (2003)

adalah tingkat penguasaan yang dicapai oleh siswa dalam mengikuti program belajar mengajar

sesuai dengan tujuan pendidikan yang akan diperlihatkan melalui skor yang diperoleh dalam tes.

Beberapa penelitian tentang penerapan model pembelajaran kooperatif tipe TGT terhadap hasil

belajar telah dilakukan, diantaranya penelitian Atik (2011) pada materi logaritma bagi siswa kelas X

MAN, penelitian Yanti (2014) pada materi persamaan garis lurus bagi siswa kelas VIII SMP,dan

penelitian Roji’ah, dkk (2015) pada materi aljabar bagi siswa kelas VIII SMP. Ketiga hasil

penelitian tersebut menunjukkan bahwa TGT dapat menghasilkan hasil belajar yang lebih baik.

Selain itu, ada pula penelitian yang meneliti pengaruh kolaborasi antara TGT dengan model

lain, diantaranya penelitian Hermia, dkk (2014) dengan model Make A Match, Affan (2015) dengan

model Quiz-Quiz Trade, dan Annisa, dkk (2015) dengan model Kancing Gemerincing. Ketiga

penelitian tersebut juga menyimpulkan bahwa dengan penggunaan model TGT yang berkolaborasi

dengan model-model tersebut menghasilkan hasil belajar yang lebih baik. Penelitian ini dilakukan

pada materi peluang. Hal ini dikarenakan soal terkait peluang memiliki waktu yang singkat dan

lebih cepat pada saat mengerjakan soal team, game, dan turnamen.

Berdasarkan uraian tersebut maka dilakukan penelitian tentang penerapan TGT baik yang

berkolaborasi dengan NHT maupun tidak berkolaborasi dengan NHT. Penelitian ini dilakukan pada

pembelajaran matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa dalam materi

peluang. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh model pembelajaran

kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa kelas XI MIA

SMA Islam Sudirman Ambarawa. Penelitian ini diharapkan dapat mewujudkan proses

pembelajaran yang lebih berfokus pada siswa, sehingga dapat dijadikan referensi yang

10

menginspirasi guru dalam memilih dan menerapkan model pembelajaran yang sesuai dengan

standar proses.

METODE PENELITIAN

Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian eksperimen semu.

Penelitian eksperimen semu adalah penelitian eksperimen yang mempunyai kelompok kontrol,

tetapi tidak dapat berfungsi sepenuhnya untuk mengontrol variabel-variabel luar yang

mempengaruhi pelaksanaan eksperimen (Sugiyono, 2012: 114). Penelitian ini dilaksanakan di SMA

Islam Sudirman Ambarawa yang berlokasi di Jalan Jendral Sudirman No. 2A, Ambarawa 50612.

Populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa

Semester 2 Tahun Pelajaran 2015/2016 yang terdiri dari 128 siswa yang terbagi dalam 4 kelas.

Teknik pengambilan sampel dalam penelitian ini menggunakan teknik Cluster Random

Samplingdan diperoleh dua kelas sampel yaitu kelas XI MIA 3 (kelas eksperimen) yang diajar

dengan model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT dan siswa kelas XI MIA 2

(kelas pembanding) yang diajar dengan model pembelajaran kooperatif tipe TGT, masing-masing

terdiri dari 32 siswa. Pelaksanaan pembelajaran terdiri dari 6 kali pertemuan dimana setiap

pertemuan berlangsung selama 2 jam pelajaran (2 x 45 menit) untuk masing-masing kelas.

Variabel penelitian ini terdiri dari dua jenis yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel

bebas dalam penelitian ini berupa model pembelajaran yang terbagi dua jenis, yaitu model

pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT dan model pembelajaran kooperatif tipe

TGT. Adapun variabel terikat dalam penelitian ini adalah hasil belajar matematika. Desain

penelitian ini menggunakan the randomized control group pretest-posttest design, yaitu

menggunakan dua kelas yang dipilih secara acak, kemudian mengambil data pretest untuk

mengetahui keseimbangan kondisi awal kedua kelompok sampel dan data posttest untuk

mengetahui hasil belajar kedua kelompok sampel setelah diberi perlakuan yang berbeda sebagai

dasar uji hipotesis.

Teknik pengumpulan data menggunakan metode dokumentasi yang digunakan untuk

memperoleh data nilai ulangan tengah semester yang dijadikan data pretest, metode observasi yang

digunakan untuk mengukur pelaksanaan model pembelajaran yang telah dirancang dan untuk

mengetahui aktivitas siswa dalam proses pembelajaran, dan metode tes yang digunakan untuk

mengambil data hasil belajar matematika siswa setelah adanya perlakuan. Instrumen yang

digunakan dalam penelitian ini adalah lembar observasi guru dan tes. Dalam lembar observasi

responden cukup memberikan tanda centang pada kolom “2” bahwa kegiatan dilaksanakan sesuai

aspek dengan sangat baik, kolom “1” bahwa kegiatan dilaksanakan sesuai aspek dengan cukup baik,

11

dan kolom “0” bahwa kegiatan tidak dilaksanakan sesuai aspek yang digunakan untuk mengamati

tingkah laku peneliti sewaktu mengajar. Instrumen tes dalam penelitian ini berupa posttest yaitu tes

yang digunakan untuk mengukur hasil belajar setelah adanya perbedaan perlakuan antara dua

kelompok sampel. Tes berbentuk soal pilihan ganda yang pada awalnya terdiri dari 20 butir yang

terbagi atas empat indikator yaitu mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan

melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian,

permutasi, dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya; menerapkan berbagai konsep dan

prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata; memilih dan menggunakan

aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya; serta

mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam

pemecahan masalah tersebut. Sebelum instrumen tes digunakan terlebih dahulu dilakukan uji

validitas konstruktor yang divalidasi tiga pakar yaitu oleh Marcus Subagya, S.Si., M.Pd., Irnawati,

S.Pd., dan Wagino, S.Pd. Ketiga validator menyatakan bahwa instrumen layak untuk digunakan.

Sedangkan, untuk menentukan nilai hasil belajar berdasarkan hasil pengerjaan tes oleh sampel,

dilakukan uji validitas butir soal dan reliabilitas instrumen. Uji ini menghasilkan 19 butir yang valid

dengan tingkat reliabilitas sebesar 0,813 lebih dari 0,7 (sangat reliabel). Oleh karena itu, hasil

belajar dari sampel hanya diperoleh dari penjumlahan skor 19 butir soal tersebut.

Analisis data dalam penelitian ini terbagi menjadi dua bagianyaitu analisis deskriptif dan

analisis inferensial. Analisis deskriptif digunakan untuk mendeskriptifkan hasil belajar matematika

dari kedua kelas sampel. Sebaran nilai kelompok baik pretest maupun posttest dibagi menjadi 3

kategori, yaitu rendah, sedang, dan tinggi. Penentuan panjang kelas interval untuk masing-masing

kategori yaitu dengan mengurangkan nilai terbesar dikurangi nilai terkecil kemudian dibagi jumlah

kelas interval. Menentukan panjang kelas interval, panjang kelas

(Sugiyono, 2012: 80). Selanjutnya, dilakukan analisis inferensial untuk menguji keseimbangan

kondisi awal dan hipotesis dari penelitian ini.

Hipotesis dalam penelitian ini adalah terdapat pengaruh penggunaan model pembelajaran

kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa kelas XI MIA

SMA Islam Sudirman Ambarawa. Hipotesis penelitian diuji dengan Independent sample t-test

dengan terlebih dahulu menguji normalitas data dengan uji Kolmogorov-Smirnov dan uji

homogenitas dengan Levene’s. Uji normalitas digunakan untuk mengetahui apakah data berasal dari

populasi yang berdistribusi normal atau tidak sedangkan uji homogenitas digunakan untuk menguji

apakah data berasal dari populasi yang homogen atau tidak. Jika hasil uji homogen maka

menggunakan Independent sample t-test dengan tipe Equal variances assumed dan jika hasil uji

12

tidak homogen maka menggunakan Independent sample t-test dengan tipe Equal variances not-

assumed. Keseluruhan uji dilakukan dengan taraf signifikansi 5% menggunakan alat bantu

perhitungan berupa software SPSS 16.0 for windows.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Pelaksanaan Pembelajaran

Pelaksanaan pembelajaran dengan menggunakan model kooperatif tipe TGT berkolaborasi

NHT dilaksanakan selama 6 kali pertemuan yang masing-masing terdiri dari 2 jam pelajaran (2

x 45 menit). Pelaksanaan pembelajaran dalam penelitian ini mengambil materi peluang dengan

kompetensi inti (1) menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, (2) menghayati

dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama,

toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari

solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial

dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia, (3)

memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan

metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,

dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait

penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian

yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah, (4) mengolah,

menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari

yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu

menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. Adapun kompetensi dasar dalam materi peluang

adalah mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh

nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi, dan

kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya; menerapkan berbagai konsep dan prinsip

permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata; memilih dan menggunakan aturan

pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya; serta

mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi

dalam pemecahan masalah tersebut.

1. Pertemuan Pertama

Guru membagi siswa menjadi 8 kelompok secara heterogen berdasarkan peringkatnya,

kemudian siswa diminta bergabung dengan kelompoknya. Selanjutnya, guru membagikan

LKS I kepada siswa dan menjelaskan materi mengenai ruang sampel dan kejadian serta

kaidah pencacahan tentang jalur dengan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan

13

guru wajib menjawab pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team I pada setiap

kelompok dan guru meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai,

selanjutnya guru akan memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib

menuliskan hasil diskusinya di depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya.

Kemudian, guru menjelaskan kaidah pencacahan tentang pelat mobil dan angka dengan

melakukan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab

pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team II pada setiap kelompok dan guru

meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai, selanjutnya guru akan

memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib menuliskan hasil diskusinya di

depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya. Pada akhir kegiatan, guru

menayangkan Game I untuk semua kelompok, namun gurulah yang memilih secara acak

anggota tim yang boleh menjawab. Pemanggilan nomor dilakukan terus menerus oleh guru,

sehingga setiap siswa memiliki peluang untuk menjawab pertanyaan dari guru.

2. Pertemuan Kedua

Guru meminta siswa untuk berkumpul dengan kelompok seperti pada pertemuan

sebelumnya. Guru membagikan LKS II kepada siswa dan menjelaskan materi mengenai

faktorial dengan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab

pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team III pada setiap kelompok dan guru




menayangkan Game II untuk semua kelompok, namun gurulah yang memilih secara acak



3. Pertemuan Ketiga

Guru membagi siswa menjadi 8 kelompok secara homogen berdasarkan peringkatnya,

kemudian siswa diminta bergabung dengan kelompoknya. Guru mengajak siswa bermain

turnamen, dimana guru membagikan kartu soal kepada setiap meja. Siswa mengambil

undian untuk menentukan pembaca soal pertama. Setiap meja memiliki kesepakatan waktu

tersendiri dalam mengerjakan soal turnamen. Siswa yang berhasil menjawab selanjutnya

akan menjadi pembaca dan soal yang tidak bisa dijawab akan diberikan di kotak yang telah

disediakan. Soal turnamen dikerjakan secara bergantian dan semua soal dapat terselesaikan.

Selanjutnya, setelah setiap meja selesai menyelesaikan pertandingan, siswa diminta untuk

14

kembali kekelompok lagi dan menghitung hasil skor setiap kelompok. Pada akhir kegiatan,

guru memberikan penghargaan kelompok kepada kelompok yang memiliki poin tertinggi.

4. Pertemuan Keempat


pertama dan kedua. Guru membagikan LKS III kepada siswa dan menjelaskan materi

mengenai permutasi tentang tempat duduk, duduk berjajar, dan juara dengan tanya jawab

kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab pertanyaan). Guru membagikan

Lembar Kerja Team IV pada setiap kelompok dan guru meminta siswa mengerjakan soal

tersebut. Setelah diskusi selesai, selanjutnya guru akan memanggil salah satu kode dan kode

yang disebutkan wajib menuliskan hasil diskusinya di depan kelas dan menjelaskan kepada

teman-temannya. Kemudian, guru menjelaskan permutasi unsur sama dan permutasi siklis

dengan melakukan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab

pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team V pada setiap kelompok dan guru




menayangkan Game III untuk semua kelompok, namun gurulah yang memilih secara acak



5. Pertemuan Kelima


pertama, kedua, dan keempat. Guru membagikan LKS IV kepada siswa dan menjelaskan

materi mengenai kombinasi dengan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru

wajib menjawab pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team VI pada setiap

kelompok dan guru meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai,

selanjutnya guru akan memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib

menuliskan hasil diskusinya di depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya. Pada

akhir kegiatan, guru menayangkan Game IV untuk semua kelompok, namun gurulah yang

memilih secara acak anggota tim yang boleh menjawab. Pemanggilan nomor dilakukan terus

menerus oleh guru, sehingga setiap siswa memiliki peluang untuk menjawab pertanyaan dari

guru.

6. Pertemuan Keenam

Guru meminta siswa untuk berkumpul dengan kelompok seperti pada pertemuan ketiga.

Guru mengajak siswa bermain turnamen, dimana guru membagikan kartu soal kepada setiap

15

meja. Siswa mengambil undian untuk menentukan pembaca soal pertama. Setiap meja

memiliki kesepakatan waktu tersendiri dalam mengerjakan soal turnamen. Siswa yang

berhasil menjawab selanjutnya akan menjadi pembaca dan soal yang tidak bisa dijawab akan

diberikan di kotak yang telah disediakan. Soal turnamen dikerjakan secara bergantian dan

semua soal dapat terselesaikan. Selanjutnya, setelah setiap meja selesai menyelesaikan

pertandingan, siswa diminta untuk kembali kekelompok lagi dan menghitung hasil skor

setiap kelompok. Pada akhir kegiatan, guru memberikan penghargaan kelompok kepada

kelompok yang memiliki poin tertinggi.

B. Kondisi Awal Hasil Belajar Matematika

Analisis hasil belajar siswa awal menggunakan data nilai Ulangan Tengah Semester (UTS)

matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa Tahun Pelajaran 2015/2016

sebagai pretest. Hasil analisis statistika deskriptif dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1

Hasil Deskriptif Kemampuan Awal Hasil Belajar

N Minimum Maximum Mean Std. Deviation

Eksperimen 32 30.00 95.00 59.8750 14.09129

Pembanding 32 40.00 85.00 58.8125 13.12333

Valid N

(listwise) 32

Tabel 1 menunjukkan bahwa jumlah sampel pada kelas pembanding dan kelas eksperimen

yaitu kelas XI MIA 2 dan XI MIA 3 adalah 32 siswa. Nilai minimum untuk kelas pembanding

(40,00) lebih tinggi dibandingkan kelas eksperimen (30,00). Namun demikian, siswa pada kelas

eksperimen memiliki nilai maksimum (95,00) dan rata-rata (59,88) lebih tinggi dibanding nilai

maksimum kelas pembanding (85,00) dan rata-rata kelas pembanding (58,81). Adapun standar

deviasi siswa pada kelas pembanding (13,12) lebih baik daripada kelas eksperimen (14,09).

Nilai kemampuan awal siswa kelas eksperimen dan kelas pembanding dapat diklasifikasikan

dalam tiga kategori. Hasil sebaran nilai hasil belajar siswa dapat dilihat pada Tabel 2 dan

Gambar 1.

Tabel 2

Pengkategorian Kemampuan Awal Hasil Belajar

Kategori Interval Kelas Eksperimen Kelas Pembanding

Frekuensi Persentase Frekuensi Persentase

Rendah 29,8-51,5 9 14% 11 17%

Sedang 51,6-73,3 17 27% 16 25%

Tinggi 73,4-95,1 6 9% 5 8%

16

Gambar 1. Penyebaran Nilai Kemampuan Awal Hasil Belajar

Berdasarkan Tabel 2 dan Gambar 1, sebagian besar siswa baik pada kelas eksperimen

sebanyak 17 siswa (27%) maupun kelas pembanding sebanyak 16 siswa (25%) masuk dalam

kategori sedang. Meskipun demikian, siswa kelas eksperimen yang masuk dalam kategori tinggi

sebanyak 6 siswa (9%) lebih banyak dari kelas pembanding sebanyak 5 siswa (8%). Adapun

siswa kelas pembanding yang masuk kategori rendah sebanyak 11 siswa (17%) lebih banyak

dari kelas eksperimen sebanyak 9 siswa (14%).

Selain analisis deskriptif, untuk menguji keseimbangan kondisi awal dari hasil belajar

matematika siswa, juga digunakan analisis inferensial. Analisis inferensialterbagi atas 3 uji,

yaitu uji normalitas, uji homogenitas, dan uji independent sample t-test. Adapun hasil uji

normalitas dapat dilihat pada Tabel 3.

Tabel 3

Uji Normalitas Kemampuan Awal Hasil Belajar

Kelas

Kolmogorov-Smirnova

Statistic Df Sig.

Nilai Eksperimen .104 32 .200*

Pembanding .116 32 .200*

a. Lilliefors Significance Correction

*. This is a lower bound of the true significance.

Pada Tabel 3, nilai signifikan hasil uji normalitas dengan uji kolmogorov-smirnovterhadap

hasil belajar pada kelas eksperimen dan kelas pembanding tertulis .200*, artinya nilai signifikan

untuk masing-masing kelompok lebih dari atau sama dengan 0,2. Kedua kelas ini memiliki

signifikan lebih dari 0,05 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua kelas masing-masing

berasal dari populasi yang berdistribusi normal, sehingga dapat dilakukan uji beda rerata dengan

independent sample t-test. Guna menentukan jenis independent sample t-test yang akan

17

digunakan,maka dilakukan uji homogen. Hasil uji homogen dapat dilihat pada Tabel 4 pada

kolom equal variances assumed.

Tabel 4

Hasil Uji Beda Rerata Kemampuan Awal Hasil Belajar

Levene's Test for

Equality of

Variances t-test for Equality of Means

F Sig. T Df

Sig. (2-

tailed)

Mean

Difference

Std. Error

Difference

95% Confidence

Interval of the

Difference

Lower Upper

Nilai awal Equal

variances

assumed

.001 .982 .312 62 .756 1.06250 3.40398 -5.74196 7.86696

Equal

variances

not

assumed

.312 61.689 .756 1.06250 3.40398 -5.74264 7.86764

Berdasarkan Tabel 4, Uji homogenitas menggunakan uji Levene’s menghasilkan nilai

signifikansi 0,982 lebih dari 0,05 yang berarti data berasal dari populasi yang memiliki variansi

sama (homogen). Oleh karena itu, uji independent sample t-test yang digunakan adalah uji

independent sample t-test jenis equal variances assumed. Uji tersebut menghasilkan nilai

signifikan 0,756 (lebih dari 0,05) sehingga dapat disimpulkan bahwa kondisi awal hasil belajar

kedua kelompok sampel seimbang.

C. Kondisi Akhir Hasil Belajar Matematika

Analisis hasil belajar akhir menggunakan data hasilposttestyang diberikan kepada siswa

setelah diberikan perlakuan.Hasil analisis deskriptif posttestdapat dilihat pada Tabel 5.

Tabel 5

Hasil Deskriptif Kemampuan Akhir Hasil Belajar

N Minimum Maximum Mean Std. Deviation

Eksperimen 32 26.00 100.00 67.0000 21.53167

Pembanding 32 16.00 84.00 47.5312 20.11577

Valid N

(listwise) 32

Berdasarkan Tabel 5, terlihat bahwa dari 32 siswa pada kelas eksperimen memiliki nilai

minimum (26,00), maksimum (100,00), dan rata-rata (67,00) lebih baik dibanding nilai

minimum (16,00), maksimum (84,00), dan rata-ratanya (47,53) dari 32 siswa pada kelas

pembanding. Namun jika dilihat dari aspek standar deviasi, maka siswa kelas pembanding lebih

baik karena memiliki standar deviasi (20,11) lebih rendah dibanding standar deviasi pada kelas

eksperimen (21,53). Hasil sebaran nilai hasil belajar siswa dapat dilihat pada Tabel 6 dan

Gambar 2.

18

Tabel 6

Pengkategorian Kemampuan Akhir Hasil Belajar

Kategori Interval Kelas Eksperimen Kelas Pembanding

Frekuensi Persentase Frekuensi Persentase

Rendah 15-43 5 8% 14 22%

Sedang 44-72 11 17% 13 20%

Tinggi 73-101 16 25% 5 8%

Gambar 2. Penyebaran Nilai Kemampuan Akhir Hasil Belajar

Berdasarkan pengkategorian pada Tabel 6 dan Gambar 2, kategori tinggi didominasi oleh

siswa yang berasal dari kelas eksperimen sebanyak 16 siswa (25%), sedangkan siswa kelas

pembanding hanya terdapat 5 siswa (8%). Adapun kategori rendah dan sedang masing-masing

didominasi oleh siswa yang berasal dari kelas pembanding sebanyak 14 siswa (22%) dan 13

siswa (20%), sedangkan siswa yang berasal dari kelas eksperimenhanya terdapat 5 siswa (8%)

dan 11 siswa (17%).

Uji beda rerata kondisi akhir dari kelas eksperimen dan kelas pembanding dilakukan setelah

diberikan perlakuan yang bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat pengaruh hasil belajar

siswa yang dikenai model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT. Hasil uji

normalitas nilai posttest dapat dilihat pada Tabel 7.

Tabel 7

Uji Normalitas Kemampuan Akhir Hasil Belajar

Kelas

Kolmogorov-Smirnova

Statistic Df Sig.

Nilai Eksperimen .127 32 .200*

Pembanding .136 32 .139

a. Lilliefors Significance Correction

*. This is a lower bound of the true significance.

19

Berdasarkan Tabel 7, nilai signifikan untuk hasil belajar pada kelas eksperimen pada kolom

Kolmogorov-Smirnov tertulis .200* hal ini berarti bahwa nilai signifikannya lebih dari atau sama

dengan 0,2, sedangkan nilai signifikan untuk kelas pembanding sebesar 0,139. Kedua kelas ini

memiliki signifikan lebih dari 0,05 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua kelas masing-

masing berasal dari populasi yang berdistribusi normal, maka dapat dilakukan uji selanjutnya

yaitu uji homogenitas dengan Levene’s dan uji beda rerata dengan independent sample t-test

untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh hasil belajar pada kedua kelas. Hasil perhitungan

dapat dilihat pada Tabel 8.

Tabel 8

Hasil Uji Beda Rerata Kemampuan Akhir Hasil Belajar

Levene's Test

for Equality of

Variances t-test for Equality of Means

F Sig. T Df

Sig. (2-

tailed)

Mean

Difference

Std. Error

Difference

95% Confidence

Interval of the

Difference

Lower Upper

Nilai

akhir

Equal

variances

assumed

.246 .622 3.738 62 .000 19.46875 5.20894 9.05623 29.88127

Equal

variances

not

assumed

3.738 61.715 .000 19.46875 5.20894 9.05528 29.88222

Berdasarkan Tabel 8, nilai signifikan pada uji homogenitas menggunakan uji Levene’s

antara kelas eksperimen dan kelas pembanding sebesar 0,622 (lebih dari 0,05)yang berarti data

kedua kelompok berasal dari populasi yang memiliki variansi sama (homogen).Oleh karena itu,

uji independent sample t-test yang digunakan adalah uji independent sample t-test jenis equal

variances assumed. Uji initertulis .000,artinya nilai signifikan mendekati nol yang kurang dari

0,05. Hal ini berarti pada kondisi akhir (setelah diberikan perlakuan) kedua kelompok sampel

memiliki perbedaan rata-rata yang signifikan dan karena rata-rata skor kemampuan hasil belajar

matematika kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dibandingkan kelas pembanding (47,53),

maka dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT

berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam

Sudirman Ambarawa.

D. Pembahasan

Hasil analisis data pretest dengan uji Independent sample t-test menghasilkan nilai

signifikansi sebesar 0,756 (lebih besar dari 0,05).Hal ini berarti kelas eksperimen dan kelas

pembanding memiliki kemampuan awal yang sama (seimbang). Pelaksanaan pembelajaran

20

terdiri dari 6 kali pertemuan untuk proses penerapan model dan 1 kali pertemuan untuk proses

tes dimana setiap pertemuan berlangsung selama 2 jam pelajaran (2 x 45 menit) untuk masing-

masing kelas. Pembelajaran pada kelas eksperimen yaitu kelas XI MIA 3 diberi perlakuan

dengan menggunakan model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT sedangkan

pada kelas pembanding yaitu kelas XI MIA 2 diberi perlakuan dengan model pembelajaran

kooperatif tipe TGT.

Peneliti sudah menggunakan pedoman sesuai sintaks TGT dan NHT, serta telah melakukan

dengan baik. Hal ini dapat dilihat dari hasil lembar observasi yang diisi oleh guru kelas XI MIA

SMA Islam Sudirman Ambarawa sebagai observer yang mengamati peneliti dalam

melaksanakan pembelajaran di kelas. Peneliti sebagai guru telah menghasilkan persentase rata-

rata sebesar 93,45% masuk dalam kriteria sangat baik. Hal ini menunjukkan bahwa peneliti

telah dapat mempersiapkan media pembelajaran sebelum pelajaran dimulai, menginformasikan

materi yang akan dipelajari serta menyampaikan tujuan pembelajaran sebesar 24,16%,

selanjutnya peneliti telah melakukan pembentukkan kelompok, penomoran, presentasi kelas,

memberikan soal team, game, turnamen, dan penghargaan kelompok sebesar 55,56%, serta

peneliti menyimpulkan materi pelajaran yang telah dilaksanakan dan menyampaikan materi

yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya sebesar 13,73%.

Hasil analisis data posttest dengan ujiIndependent sample t-testtipe equal variances

assumed menghasilkan nilai signifikansi mendekati nol yang kurang dari 0,05. Hal ini berarti

terdapat perbedaan yang signifikan antara rerata kedua kelompok sampel dan karena rata-rata

kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dari kelas pembanding (47,53), maka disimpulkan

terdapat pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil

belajar matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa. Hal ini sesuai dengan

hipotesis penelitian dan sesuai pula dengan hasil penelitian Hermia, dkk (2014)dengan model

Make A Match,Affan (2015) dengan model Quiz-Quiz Trade, dan Annisa, dkk (2015) dengan

model Kancing Gemerincing.

Tahapan model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT diawali dengan

pembagian kelompok. Pada model ini setiap anggota kelompok akan diberi nomor. Penomoran

ini merupakan identitas dari setiap individu yang akan digunakan pada tahap-tahap selanjutnya.

Model pembelajaran TGT tidak hanya mengelompokkan siswa secara heterogen dalam satu

kelompok, namun model ini mempunyai satu karakteristik yang membedakan sekaligus

menunjukkan keunggulan model TGT dibanding model pembelajaran kooperatif lain yaitu

adanya kontrol persaingan individu dengan tingkat yang relatif homogen melalui kegiatan

turnamen. Setiap anggota kelompok mempunyai tanggungjawab yang sama pada keberhasilan

21

kelompoknya dengan memikul beban kapasitas yang sama yaitu harus bertanding dengan teman

yang memiliki kemampuan relatif sama.

Tahap presentasi kelas dimana guru menyampaikan materi dengan melakukan tanya jawab.

Pada tahap pelaksanaan TGT tidak diatur bahwa setiap anggota dari masing-masing kelompok

harus berpartisipasi aktif, sehingga diskusi tersebut hanya terjadi antara guru dan siswa

berkemampuan tinggi. Hal tersebut tidak terjadi jika menggunakan model TGT berkolaborasi

NHT. Model kolaboratif ini ada prosedur bahwa setiap siswa punya peluang terpilih secara acak

untuk menjawab pertanyaan dari guru yang kodenya terpilih dalam proses pemanggilan. Prinsip

ini bisa digunakan saat guru melakukan diskusi melalui tanya jawab pada tahap presentasi di

kelas. Pemilihan secara acak “penjawab” pertanyaan guru akan membuat semua siswa fokus

dalam pembelajaran dan punya tanggungjawab yang sama untuk memikirkan jawaban dari

pertanyaan guru.

Hal yang sama juga akan dilakukan guru pada tahap tim dan game. Pada tahap tim

merupakan tahap pertandingan antar kelompok tim dan tahap game masing-masing kelompok

adu cepat menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru untuk mendapatkan poin kelompok. Pada

model kolaborasi ini kelompok tidak boleh menentukan wakil tim yang akan menjawab

pertanyaan, namun gurulah yang memilih secara acak anggota tim yang boleh menjawab.

Pemanggilan nomor secara acak dilakukan secara terus menerus sehingga setiap siswa dalam

kelompok baik yang memiliki kemampuan tinggi, sedang, atau rendah mendapatkan peluang

untuk menjawab pertanyaan dari guru. Hal ini tidak terjadi pada model pembelajaran kooperatif

tipe TGT saja, dimana siswa yang mewakili kelompok untuk menjawab pertanyaan adalah

siswa yang mempunyai kemampuan tinggi pada kelompok tersebut, sedangkan siswa yang

memiliki kemampuan di bawahnya tidak mau maju untuk mewakili kelompoknya. Sehingga,

tidak memfasilitasi siswa yang mempunyai kemampuan kurang namun akan semakin memberi

peluang siswa berkemampuan tinggi untuk mendominasi.

Meskipun materi dan latihan soal yang digunakan kedua kelompok sampel sama, namun

pada kelas eksperimen siswa dituntut untuk aktif dalam diskusi kelompok karena adanya

peluang yang sama kepada setiap siswa untuk menjawab pertanyaan yang diajukan, sehingga

setiap siswa dituntut untuk memahami penyelesaian soal. Adapun pada kelas pembanding

“penjawab” yang mewakili kelompok tidak ditentukan oleh guru.

PENUTUP

Analisis hasil belajar nilai posttest menggunakan uji independent sample t-test dengan tipe

equal variances assumed menghasilkan nilai signifikansi mendekati nol yang kurang dari 0,05

22

dengan rata-rata nilai kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dibanding rata-rata nilai kelas

pembanding (47,53). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh model

pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa

kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa.

Atas dasar simpulan ini, maka disarankan kepada guru untuk dapat menerapkan model

pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT pada materi peluang bagi siswa kelas XI

SMA, selain itu disarankan bagi guru untuk mendesain pembelajaran serupa pada materi lainnya

sebagai upaya menciptakan proses pembelajaran yang memenuhi standar proses. Adapun bagi

peneliti lainnyadisarankan untuk melakukan penelitian selanjutnya, misalkan meneliti pengaruh

kolaborasi TGT dengan NHT terhadap motivasi belajar atau keaktifan belajar siswa.

DAFTAR PUSTAKA

Affan Afian. 2015. “Penerapan Pembelajaran Kooperatif Model Team Game Tournament

Kolaborasi Quiz-Quiz Trade untuk Meningkatkan Hasil Belajar, Keaktifan Belajar dan Self

Esteem”. Jurnal Inspirasi Pendidikan. Diakses melalui: http://www.ejurnal.com/2015

/09/penerapanpembelajaran-kooperatif.htmlpada tanggal 6 April 2016.

Annisa Swastika, dkk. 2015. “Eksperimentasi Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams Games

Tournament (TGT) dengan Teknik Kancing Gemerincing pada Pokok Bahasan Bangun Ruang

Sisi Datar Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas VIII SMP Negeri Se-

kabupaten Wonogiri Tahun Pelajaran 2013/2014”.Journal of Systems. 3(10). Diakses melalui:

http://jurnal.fkip.uns.ac.id pada tanggal 6 April 2016.

Arikunto, Suharsimi. 2006. Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik. Jakarta: PTRineka

Cipta.

Atik Liulin Nuha. 2011. Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe TGT (Teams Games

Tournament) dalam Materi Pokok Logaritma Guna Meningkatkan Motivasi Belajar dan Hasil

Belajar Peserta Didik Kelas X A MAN Semarang 2 Semester Gasal Tahun Pelajaran 2009-

2010. Skripsi. Semarang: Fakultas Tarbiyah Institut Agama Islam Negeri Walisongo.

Dahar, Ratna Willis. 2011. Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Erlangga.

Dimyati dan Mudjiono. 2006. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: PT Rineka Cipta.

Hermia Kurnia Putri, dkk. 2014. “Efektivitas Model Pembelajaran Kolaborasi Antar TGT dan Make

A Match terhadap Hasil Belajar Geografi”. Jurnal Penelitian Geografi (JPG). 2(1). Diakses

melalui: http://jurnal.fkip.unila.ac.id/index.php/JPG/article/view/3613 pada tanggal 6 April

2016.

Huda, Miftahul. 2011. Cooperative Learning: Metode, Teknik, Struktur dan Model Terapan.

Yogyakarta: Pustaka Pelajar.

Kosasih, Andreas. 2010. Optimalisasi Belajar dan Pembelajaran. Salatiga: Widya Sari Press.

Mulbar, Usman. 2012. Aktivitas dalam Pembelajaran Matematika Realistik di Sekolah Menengah

Pertama (Perangkat PMR yang Secara Eksplisit Melibatkan Metakognisi Siswa).

Roji’ah, dkk.2015. “Pengaruh Model Pembelajaran Teams Games Tournament (TGT) Terhadap

Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas VIII MTs Thamrin Yahya Rambah Hilir pada Materi

http://www.ejurnal.com/2015%20/09/penerapanpembelajaran-kooperatif.html

http://www.ejurnal.com/2015%20/09/penerapanpembelajaran-kooperatif.html

http://jurnal.fkip.uns.ac.id/

http://jurnal.fkip.unila.ac.id/index.php/JPG/article/view/3613

23

Operasi Aljabar”. Jurnal Pendidikan Matematika. 1(1). Diakses melalui: http://ejournal.upp.

ac.id/index.php/mtkfkip/article/view/258 pada tanggal 3 Juli 2015.

Sari, N. M. 2013. “Kemampuan Metakognisi dan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP

dalam Pembelajaran Matematika dengan Metode Eksplorasi”. Jurnal Pendidikan Matematika.

1(1). Diakses melalui: http://jurnal.stkip-pgrisumbar.ac.id/MHSMAT/index.php/mat20121/

article/view/ 28 pada tanggal 3 Juli 2015.

Slavin, Robert E. 2005. Cooperative Learning: Teori, Riset, dan Praktik. Bandung: Nusa Media.

Soedijarto. 2003. Pengembangan Profesionalisme Guru. Bandung: IKIP.

Sudjana, Nana. 2010. Penilaian Hasil Proses Belajar Mengajar. Bandung: PT Remaja Rosdakarya.

Sugiyono. 2012. Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

Suherman, Erman. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: JICA-UPI.

Suprijono, Agus. 2009. Cooperative Learning: Teori dan Aplikasi PAIKEM. Yogyakarta: Pustaka

Pelajar.

Trianto. 2010. Mendesain Model Pembelajaran Inovatif – Progresif: Konsep, Landasan, dan

Implementasinya pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Kencana

Prenada Media Group.

Yanti, Annisa Rahmi, dkk. 2014. “Pengaruh Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams Games

Tournament terhadap Hasil Belajar Matematika di Kelas VIII SMPN 2 Bukit Tinggi Tahun

Pelajaran 2013/2014”. Jurnal Pendidikan Matematika. 3(1). Diakses melalui:

http://ejournal.unp.ac.id/students/index.php/pmat/article/download/1197/889 pada tanggal 3

Juli 2015.

http://jurnal.stkip-pgrisumbar.ac.id/MHSMAT/index.php/mat20121/%20article/view/%2028

http://jurnal.stkip-pgrisumbar.ac.id/MHSMAT/index.php/mat20121/%20article/view/%2028

http://ejournal.unp.ac.id/%20students/index.php/pmat/article/download/1197/889

24

25

LEMBAR KERJA GURU

PERTEMUAN I

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan.

Ruang sampel dilambangkan dengan huruf “S”.

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel.

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

1. Kejadian sederhana adalah kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.

2. Kejadian majemuk adalah kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel.

Contoh 1

Sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah :

a. Ruang sampel percobaan tersebut.

b. Titik sampel percobaan tersebut.

c. Kejadian muncul sisi angka mata dadu ganjil.

Penyelesaian :

Diagram pohon 1

2

3

4

5

6

DADU

26

a. Ruang sampel

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

b. Titik sampel

1, 2, 3, 4, 5, 6

c. Kejadian muncul mata dadu ganjil

{ 1, 3, 5 }

KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara

suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan

dengan aturan penjumlahan, aturan perkalian.

Contoh 2

Dari kota Kendari ke kota Makassar ada 2 jalan dan dari kota Makassar ke kota Poso ada 3 jalan.

Ada berapa cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar?

Penyelesaian :

Hasil yang mungkin : a1, a2, a3, b1, b2, b3

Jadi, banyak cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar adalah

.

a

b

1

3

2 Kendari

Poso

Makassar

27

TEAM I

Kelompok 1 dan 5

1. Tiga uang logam dilempar satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut!

2. Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan ada 3 jalur bis antara kota B dan kota C. Ada

berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B

dengan menggunakan jalur bis yang sama?

Kelompok 2 dan 6

1. Tulislah ruang sampel pada percobaan melempar dua buah dadu satu kali!

2. Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan ada 3 jalur bis antara kota B dan kota C. Ada

berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang-pergi dari kota A ke kota C melalui

kota B dengan menggunakan jalur bis yang berbeda?

Kelompok 3 dan 7

1. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah kejadian munculnya

sisi gambar dan mata dadu sembarang!

2. Sebuah gudang memiliki 6 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar,

berapa macam rute yang mungkin dapat dilalui jika pintu keluar boleh sama dengan pintu saat

masuk?

Kelompok 4 dan 8

1. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah kejadian munculnya

sembarang sisi mata uang dan mata dadu ganjil!

2. Sebuah gudang memiliki 6 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar,

berapa macam rute yang mungkin dapat dilalui jika pintu keluar berbeda dengan pintu saat

masuk?

28

Contoh 3

Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang sama serta

diikuti 3 angka yang sama dengan angka pertama tidak boleh nol?

Penyelesaian :

Contoh 4

Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibentuk bilangan ribuan. Tentukan :

a. Banyak bilangan ribuan yang dapat dibentuk (pengulangan diperbolehkan)

b. Banyak bilangan ribuan berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)

c. Banyak bilangan ribuan ganjil berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)

d. Banyak bilangan ribuan yang lebih dari 3.000 (pengulangan diperbolehkan)

Penyelesaian :

a. Bilangan ribuan (pengulangan diperbolehkan)

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan

6 7 7 7

b. Bilangan ribuan berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)


6 6 5 4

c. Bilangan ribuan ganjil berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)


5 5 4 3

29

d. Bilangan ribuan yang lebih dari 3.000


4 7 7 7

Bilangan yang lebih dari 3.000 dimulai dari 3.001 (bilangan 3.000 tidak termasuk) sehingga

bilangan yang dapat dibentuk .

Secara Umum dapat Dirumuskan :

Misalkan :

peristiwa 1 dapat terjadi dalam n1 cara


peristiwa 3 dapat terjadi dnalam n3 cara

.

.

.

peristiwa k dapat terjadi dalam nk cara

banyak cara k peristiwa dapat dilaksanakan secara berurutan adalah :

cara

30

TEAM II

Kelompok 1 dan 8

1. Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang

berbeda serta diikuti 3 angka yang sama dengan angka pertama tidak boleh nol?

2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan dengan pengulangan.

Berapa banyak bilangan ribuan yang lebih dari 4.500?

Kelompok 2 dan 7

1. Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang

sama serta diikuti 3 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh nol?

2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan.

Berapa banyak bilangan ribuan yang lebih dari 4.500?

Kelompok 3 dan 6

1. Sebuah pelat nomor polisi Semarang dimulai dengan huruf H diikuti empat angka dengan

angka pertama tidak boleh nol dan diakhiri dua huruf yang sama, terakhir huruf A. Berapa

cara pelat nomor polisi dapat terbentuk?

2. Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi tiga angka yang

dibentuk dari lima angka 1, 3, 5, 7, dan 9 dengan pengulangan?

Kelompok 4 dan 5

1. Sebuah pelat nomor polisi Semarang dimulai dengan huruf H diikuti empat angka dengan

angka pertama tidak boleh nol dan diakhiri dua huruf yang berbeda, terakhir huruf A.

Berapa cara pelat nomor polisi dapat terbentuk?

2. Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi tiga angka yang

dibentuk dari lima angka 1, 3, 5, 7, dan 9 tanpa pengulangan?

31

GAME I

1. Seorang ingin pergi dari kota A ke kota C. Pada jalur utara ia harus melalui kota B dan apabila

diambil jalur selatan ia harus melalui kota D. Dari kota A ke kota B ada 3 jalur, sedangkan dari

kota B ke kota C terdapat 2 jalur. Untuk ke kota D dari kota A ada 2 jalur dan dari kota C ke

kota D ada 4 jalur. Banyak jalur alternatif yang dapat dilalui dari kota A ke kota C adalah . . .

a. 8 jalur c. 12 jalur e. 16 jalur

b. 10 jalur d. 14 jalur

2. Banyak bilangan antara 1.000 dan 4.000 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6

dengan tidak ada angka yang sama adalah . . .

a. 72 c. 96 e. 180

b. 80 d. 120

3. Soni akan membuat password yang terdiri atas satu angka selain nol dan diikuti 3 huruf berbeda

dengan huruf kedua harus huruf vokal. Banyak password yang mungkin dibuat Sonia dalah . . .

a. 26.000 c. 28.125 e. 30.420

b. 27.000 d. 29.250

4. Seorang ibu akan pergi ke undangan, memiliki 3 stel baju yang layak digunakan, 3 pasang

sepatu dan 2 buah tas. Pilihan pasangan baju, sepatu, dan tas yang dapat digunakan ke undangan

tersebut adalah . . .

a. 8 c. 18 e. 28

b. 10 d. 20

5. Dari angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan. Banyaknya

bilangan yang dapat dibuat kurang dari 400 adalah . . .

a. 40 c. 55 e. 80

b. 45 d. 72

6. Banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 2, 4, 5,

7, 8, dan 9. Apabila angka-angka itu tidak boleh berulang adalah . . .

a. 64 c. 128 e. 366

b. 120 d. 360

32

7. Dari Jakarta ke Surabaya terdapat 4 jalan berlainan yang dapat ditempuh. Dari Surabaya ke Bali

terdapat 3 jalan berlainan yang dapat ditempuh. Cara seseorang dapat mengadakan perjalanan

pulang-pergi dari Jakarta ke Bali melalui Surabaya dengan menggunakan jalan yang sama

adalah . . .

a. 72 c. 120 e. 144

b. 85 d. 210

8. Bila kita perhatikan nomor rumah yang terdiri atas dua angka, tanpa angka nol maka banyaknya

rumah yang dimaksud dengan nomor ganjil ada . . .

a. 90 c. 40 e. 5

b. 45 d. 9

9. Banyaknya bilangan yang kurang dari 1.000 tetapi jumlah angka penyusunannya sama dengan 6

adalah . . .

a. 25 c. 27 e. 29

b. 26 d. 28

10. Rido mempunyai 3 baju berwarna merah, biru, dan cokelat. Ia juga memiliki 2 celana warna

hitam dan putih berbeda. Banyaknya baju dan celana yang dapat dipakai dengan pasangan

berbeda adalah . . .

a. 3 c. 6 e. 12

b. 4 d. 9

11. Dari 5 buah angka, yaitu 0, 2, 3, 5, dan 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka.

Banyak bilangan dengan angka-angka tidak boleh berulang adalah . . .

a. 54 c. 96 e. 192

b. 72 d. 156

12. Sebuah rumah makan mempunyai 6 menu makanan dan 10 menu minuman. Banyaknya

pasangan menu makanan dan minuman yang dapat disajikan adalah . . .

a. 16 c. 32 e. 60

b. 30 d. 40

13. Tersedia 12 gambar yang berbeda, 4 dari gambar tersebut akan dipasang dalam sebuah baris.

Banyaknya cara yang dapat dikerjakan adalah . . .

a. 11.088 c. 11.080 e. 11.890

b. 11.880 d. 11.980

33

14. Dari angka 2, 3, 4, 6, 7, 8, dan 9 akan dibuat bilangan ribuan berlainan. Banyaknya bilangan

genap adalah . . .

a. 480 c. 720 e. 1.273

b. 840 d. 1.372

15. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang

disusun oleh angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak nol, banyak kupon

yang dapat dibuat adalah . . .

a. 600 c. 610 e. 625

b. 605 d. 620

PERTEMUAN II

FAKTORIAL

Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial).

n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai

berikut :

dengan dan

Contoh 1

Hitunglah nilai dari :

a. b. c.

Penyelesaian :

a.

b.

c.

34

Contoh 2


a. b. c. d.

Penyelesaian :

a.

b.

c.

d.

Contoh 3

Tulislah dalam bentuk notasi faktorial

a. b. c.

Penyelesaian :

a.

b.

c.

35

Contoh 4

Tentukan nilai n, jika

Penyelesaian :

Kesimpulan

1. atau

2. Jika n = I diperoleh

sehingga dan

36

TEAM III

Kelompok 1 dan 7

1. Hitunglah

2. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial

3. Tentukan n, jika

Kelompok 2 dan 8

1. Hitunglah


3. Tentukan n, jika

Kelompok 3 dan 5

1. Hitunglah


3. Tentukan n, jika

Kelompok 4 dan 6

1. Hitunglah


3. Tentukan n, jika

37

GAME II

1. Hitunglah

a. 60 c. 270 e. 330

b. 720 d. 300

2. Hitunglah

a. 55 c. 165 e. 336

b. 112 d. 275


a. c. e.

b. d.


a. c. e.

b. d.

5. Sederhanakan

a. c. e.

b. d.

6. Hitunglah

a. 200 c. 273 e. 741

b. 250 d. 714


a. c. e.

b. d.

38

8. Hitunglah

a. 280 c. 285 e. 458

b. 295 d. 488

9. Hitunglah

a. 1.260 c. 2.260 e. 3.560

b. 1.560 d. 3.600

10. Hitunglah

a. 6.500 c. 6.720 e. 6.870

b. 6.670 d. 6.270


a. c. e.

b. d.

12. Hitunglah

a. 376 c. 566 e. 764

b. 476 d. 656


a. c. e.

b. d.

14. Hitunglah

a. 168 c. 350 e. 375

b. 250 d. 355

15. Tentukan n, jika

a. 5 c. 7 e. 9

b. 6 d. 8

39

PERTEMUAN III

TURNAMEN I

1. Jalur penerbangan sebuah pesawat udara dari Bali ke Jakarta dapat melalui 3 jalur, dari Jakarta

ke Medan dapat melalui 2 jalur, dan dari Medan ke London melalui 4 jalur. Banyaknya jalur

penerbangan yang dapat dipilih untuk penerbangan dari Bali ke London melalui Jakarta dan

Medan adalah . . .

a. 20 jalur c. 24 jalur e. 62 jalur

b. 22 jalur d. 54 jalur

2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan dengan pengulangan.

Banyak bilangan ribuan genap yang dapat dibentuk adalah . . .

a. 432 cara c. 1.296 cara e. 216 cara

b. 864 cara d. 864 cara

3. Hitunglah

a. 504 c. 480 e. 450

b. 840 d. 660


a. c. e.

b. d.

5. Tentukan n, jika

a. 5 c. 7 e. 9

b. 6 d. 8

40

6. Bilangan terdiri atas 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan

bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angka tidak boleh berulang) adalah . . .

a. 20 c. 80 e. 360

b. 40 d. 120


a. c. e.

b. d.

8. Hitunglah

a. 45 c. 65 e. 85

b. 50 d. 75

9. Hitunglah

a. 420 c. 240 e. 430

b. 440 d. 320

10. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan. Banyak

bilangan ribuan yang merupakan kelipatan 5 adalah . . .

a. 360 c. 24 e. 216

b. 120 d. 60

11. Hitunglah

a. 210 c. 360 e. 650

b. 150 d. 630

12. Tentukan nilai n, jika

a. 5 c. 7 e. 9

b. 6 d. 8

41

13. Seseorang ingin melakukan pembicaraan telepon di sebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara

dan ada 6 buah nomor yang akan dihubungi . Banyak

pasangan kamar bicara dengan nomor telepon yang akan dihubungi adalah . . .

a. 24 c. 32 e. 10

b. 42 d. 12

14. Hitunglah

a. 456 c. 478 e. 360

b. 567 d. 576


a. c. e.

b. d.

16. Hitunglah

a. 10 c. 25 e. 40

b. 20 d. 30

17. Dari angka 0, 2, 4, 5, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan yang terdiri atas 3 angka berbeda. Banyak

bilangan yang dapat dibentuk bilangan ganjil adalah . . .

a. 64 c. 48 e. 94

b. 125 d. 84

18. Hitunglah

a. 14 c. 16 e. 18

b. 15 d. 17

19. Hitunglah

a. 270 c. 120 e. 210

b. 720 d. 180

20. Tentukan nilai n, jika

a. 4 c. 6 e. 8

b. 5 d. 7

42

PERTEMUAN IV

PERMUTASI

Definisi

Permutasi adalah cara membentuk susunan terurut (urutan di perhatikan) dari sebagian atau

seluruh anggota himpunan yang disediakan.

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah

(P(n, r) = )!rn(

!n

untuk r ≤ n.

Rumus

P(n, r) = nPr =

Contoh 1

Tiga orang guru masuk ruang rapat. Tempat yang masih kosong ada 5 kursi, berapa cara mereka

dapat menempati 5 kursi tersebut ?

Penyelesaian :

Contoh 2

Terdapat 4 orang perempuan dan 3 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku panjang,

jika orang laki-laki harus duduk di pinggir. Ada berapa urutan orang tersebut duduk?

Penyelesaian :

43

Contoh 3

Pada lomba Matematika yang diselenggarakan sebuah perguruan tinggi terkemuka terseleksi 17

finalis. Dari 17 finalis tersebut akan dipilih masing-masing 1 orang yang menjadi juara I, II, dan

III. Berapa banyak kemungkinan susunan juara yang terbentuk ?

Penyelesaian :

TEAM IV

Kelompok 1 dan 6

1. Terdapat 5 orang perempuan dan 4 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku

panjang, jika orang perempuan harus duduk di pinggir. Ada berapa urutan orang tersebut

duduk?

2. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri atas 10 regu peserta akan dipilih juara I, II, dan III.

Berapa banyak susunan juara yang terbentuk ?

Kelompok 2 dan 9

1. Ada berapa cara 3 pria dan 2 wanita dapat duduk dalam satu baris?

2. Dari 12 orang pengurus suatu organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, dan

sekretaris. Berapa banyak cara pemilihan pengurus organisasi?

Kelompok 3 dan 7

1. Ada berapa cara jika ketiga pria dan kedua wanita tersebut masing-masing duduk

berdampingan?

2. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri atas 12 regu peserta akan dipilih juara I dan II.

Berapa banyak susunan juara yang terbentuk ?

44

Kelompok 4 dan 8

1. Ada 3 pria dan 2 wanita duduk dalam satu baris. Berapa cara jika duduknya berselang-seling

pria wanita?

2. Di sebuah sekolah ada 10 orang guru yang dicalonkan untuk mengisi posisi ketua, wakil

ketua, bendahara, dan sekretaris. Berapa banyaknya cara yang dapat digunakan untuk

mengisi posisi tersebut?

Permutasi dari n unsur yang mengandung qp dan r unsur yang sama

Rumus

Keterangan :

n = banyaknya elemen seluruhnya

p = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama

Contoh 1

Tentukan banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk dari kata DADU !

Penyelesaian :

Terdapat 4 huruf, huruf D sebanyak 2, huruf A sebanyak 1, dan huruf U sebanyak 1.

Banyaknya susunan huruf adalah :

kata

45

Contoh 2

Ada berapa cara 9 buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang,

jika ada 3 buku yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang mungkin?

Penyelesaian :

cara

PERMUTASI SIKLIS

Definisi

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

Rumus

Banyaknya permutasi melingkar n unsur atau

Contoh 3

Sekelompok siswa yang terdiri dari 4 orang duduk melingkar sebuah meja bundar. Berapa cara

lima orang siswa duduk mengelilingi meja bundar tersebut ?

Penyelesaian :

cara.

Contoh 4

Dalam suatu rapat osis yang terdiri dari 5 orang dalam posisi yang melingkar. Jika ketua, wakil

ketua harus selalu duduk bersebelahan. Berapa formasi duduk yang bisa dibentuk ?

46

Penyelesaian :

TEAM V

Kelompok 1 dan 7

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari KOMBINASI?

2. Ada berapa cara 7 buku Biologi yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang

memanjang, jika ada 4 buku Biologi yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan

yang mungkin?

3. Fania mempunyai 7 bunga yang berbeda akan ditanam dalam taman yang berbentuk

lingkaran, jika ada 2 bunga harus ditanam berdampingan. Berapa cara menanam bunga

tersebut?

Kelompok 2 dan 6

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari MATEMATIKA?

2. Ada berapa cara 8 buku PKN yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang

memanjang, jika ada 2 buku PKN yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang

mungkin?

3. Terdapat 6 pohon yang berbeda dapat ditanam dalam taman yang berbentuk lingkaran, jika

ada 3 pohon harus ditanam berdampingan. Berapa cara menanam pohon tersebut?

Kelompok 3 dan 9

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari KALKULUS?

2. Ada berapa cara 6 buku Kimia yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang

memanjang, jika ada 3 buku Kimia yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang

mungkin?

3. Andi, Budi, Anisa, Fendy, Asoka, dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja, jika

Anisa dan Fendy selalu berdampingan. Berapakah banyak cara mereka dapat duduk

mengelilingi meja tersebut?

47

Kelompok 4 dan 8

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari PENCACAHAN?

2. Ada berapa cara 9 buku Fisika yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang

memanjang, jika ada 4 buku Fisika yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang

mungkin?

3. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 7 orang dalam posisi yang melingkar, jika

ketua dan wakil ketua kelompok duduk berdampingan. Berapa banyak cara mereka dapat

duduk melingkar?

GAME III

1. Dari 7 orang pengurus suatu organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, dan sekretaris.

Banyak cara pemilihan pengurus adalah . . .

a. 120 c. 210 e. 840

b. 250 d. 420

2. Bu Tuti mengundang 7 orang temannya untuk makan malam. Mereka duduk melingkar

mengelilingi meja makan. Jika dari 7 orang tersebut terdapat sepasang suami istri sehingga

harus duduk berdampingan, banyak cara mereka duduk melingkar mengelilingi meja makan

adalah . . .

a. 5.040 c. 720 e. 240

b. 120 d. 420

3. Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah . . .

a. 20 c. 126 e. 120

b. 24 d. 132

4. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 8 orang dalam posisi yang melingkar, jika ketua,

wakil ketua, dan sekretaris duduk berdampingan. Banyak cara mereka dapat duduk melingkar

adalah . . .

a. 720 c. 270 e. 4.050

b. 120 d. 5.040

48

5. Terdapat 3 orang Indonesia, 2 orang Belanda, dan 2 orang Jerman. Banyak urutan jika

duduknya berjajar berkelompok menurut kewarganegarannya adalah . . .

a. 7 c. 24 e. 42

b. 12 d. 144

6. Pada lomba Fisika yang diselenggarakan sebuah perguruan tinggi terkemuka terseleksi 10


III. Banyak kemungkinan susunan juara yang terbentuk adalah . . .

a. 720 c. 210 e. 250

b. 270 d. 120

7. Enam orang akan berjajar untuk foto bersama. Banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi

adalah . . .

a. 36 c. 720 e. 5.040

b. 360 d. 1.440

8. Banyaknya cara menyusun huruf pada kata “MERDEKA” dengan syarat huruf A selalu di

depan dan huruf M selalu di belakang adalah . . .

a. 36 c. 42 e. 240

b. 60 d. 120

9. Terdapat 3 orang perempuan dan 3 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku panjang,

jika orang laki-laki harus duduk di pinggir. Banyak urutan orang tersebut duduk adalah . . .

a. 9 c. 36 e. 144

b. 24 d. 120

10. Terdapat enam orang guru masuk ruang rapat dan hanya tersedia empat kursi. Banyak urutan

orang tersebut duduk adalah . . .

a. 360 c. 120 e. 60

b. 210 d. 90

11. Ada berapa cara 7 buku berbeda yang terdiri dari 3 buku Matematika, 2 buku Kimia, dan 2 buku

Fisika dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang, jika buku tersebut harus satu

kelompok. Banyak penyusunan buku yang mungkin adalah . . .

a. 24 c. 120 e. 420

b. 144 d. 210

49

12. Terdapat 6 pohon yang berbeda dapat ditanam dalam taman yang membentuk lingkaran.

Banyak cara seseorang menanam pohon tersebut adalah . . .

a. 120 c. 280 e. 360

b. 210 d. 720

13. Nilai n yang memenuhi adalah . . .

a. 5 c. 7 e. 9

b. 6 d. 8

14. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata FILIPINA adalah . . .

a. 5.270 c. 6.270 e. 40.320

b. 5.720 d. 6.720

15. Banyak cara mengatur 4 orang laki-laki dan 4 perempuan duduk mengelilingi meja bundar jika

setiap orang perempuan duduk di antara dua orang laki-laki (berselang-seling) adalah . . .

a. 36 c. 96 e. 576

b. 144 d. 256

PERTEMUAN V

KOMBINASI

Definisi Kombinasi

Kombinasi adalah cara memilih (tidak memperhatikan urutan) r unsur berbeda yang diambil

dari n unsur yang tersedia.

Rumus Kombinasi ( r ≤ n )

50

Disediakan huruf X, Y, dan Z

Permutasi dari 3 huruf diambil dua-dua Kombinasi dari 3 huruf diambil dua-dua

XY

YX berbeda

6 permutasi

YZ

ZY berbeda

ZX

XZ berbeda

Urutan diperhatikan

XY = YX

YZ = ZY 3 kombinasi

ZX = XZ

Urutan tidak diperhatikan

Contoh 1

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 pemain. Berapa macam susunan

dapat dipilih?

Penyelesaian:

Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak

diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang

Contoh 2

Sebuah kelompok seni tari terdiri atas 6 pria dan 5 wanita. Kelompok ini akan mengirimkan 3

pria dan 2 wanita untuk mengikuti festival. Hitunglah banyak cara yang dapat dilakukan untuk

memilih 5 wakil, jika :

51

a. Setiap anggota kelompok berhak dipilih

b. Seorang wakil wanita sudah pasti dipilih

c. Ada 2 anggota pria yang sakit (tidak dapat dipilih)

Penyelesaian :

a.

b.

c.

Contoh 3

Sebuah kotak berisi 5 bola biru dan 9 bola merah. Dari kotak tersebut diambil 3 bola sekaligus

secara acak. Tentukan banyak cara pengambilan jika bola yang diambil :

a. Ketiganya berwarna merah

b. Ketiganya berwarna biru

c. Tepat 2 bola biru

d. Minimal 1 bola merah

Penyelesaian :

a.

b.

c.

d.

52

Contoh 4

Seorang siswa diminta mengerjakan 12 soal dari soal nomor 40 sampai 60. Jika soal bernomor

ganjil harus dikerjakan, berapa banyak pilihan soal yang dapat diambil siswa tersebut?

Penyelesaian :

TEAM VI

Kelompok 1 dan 5

1. Suatu tim sepak bola terdiri dari 11 orang akan dipilih dari 15 pemain. Berapa macam

susunan dapat dipilih?

2. Di dalam almari berisi 6 baju merah, 4 baju putih, dan 5 baju biru. Dari almari tersebut

diambil tiga baju sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan tiga baju terdiri

dari 2 baju merah dan 1 baju putih?

Kelompok 2 dan 8

1. Sebuah kotak berisi 10 kartu kuning dan 6 kartu merah. Dari kotak tersebut diambil empat

kartu sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan jika kartu yang diambil

keempatnya berwarna kuning?

2. Sebuah kotak berisi 8 kelereng kuning, 5 kelereng merah, dan 6 kelereng hijau. Dari kotak

tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan tiga

kelereng paling sedikitnya terdapat 2 kelereng hijau?

Kelompok 3 dan 6

1. Suatu tim takraw terdiri dari 6 orang akan dipilih dari 13 pemain. Berapa macam susunan

dapat dipilih?

2. Di meja terdapat 8 buah buku novel, 6 buku komik, dan 5 buku dongeng. Diambil empat

buku sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan jika buku yang diambil 2 buku

novel, 1 buku komik, dan 1 buku dongeng?

53

Kelompok 4 dan 7

1. Sebuah kotak terdapat 10 bolpoint hitam dan 12 bolpoint biru. Dari kotak tersebut diambil

tiga bolpoint sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan jika bolpoint yang

diambil ketiganya berwarna biru?

2. Sebuah kantong berisi 5 buah naga, 7 buah apel, dan 8 buah mangga. Dari kantong tersebut

diambil tiga buah sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan tiga buah paling

sedikitnya terdapat 2 buah apel?

GAME IV

1. Dalam sebuah pertemuan yang dihadiri oleh 10 orang anggota, akan dipilih 3 orang untuk

berbicara. Banyak cara memilih ketiga orang tersebut adalah . . .

a. 720 c. 240 e. 72

b. 360 d. 120

2. Dalam suatu ruangan terdapat 40 orang. Setiap orang saling bersalaman, banyaknya salaman

yang dilakukan seluruhnya adalah . . .

a. 1.560 c. 835 e. 780

b. 1.630 d. 870

3. Suatu perusahaan yang baru berdiri akan membeli 10 kendaraan yang terdiri atas 2 truk, 3

mobil, dan 5 motor. Jika ada 5 merk truk, 7 merk mobil, dan 8 merk motor, banyak cara untuk

memilih 10 kendaraan tersebut adalah . . .

a. 280 c. 8.400 e. 1.411.200

b. 6.950 d. 19.600

4. Andre beserta 9 orang temannya akan membentuk suatu tim bola voli yang terdiri atas 6 orang.

Banyak tim yang mungkin dibentuk adalah . . .

a. 126 c. 210 e. 252

b. 162 d. 216

5. Di meja terdapat 8 potongan kue dan 10 potongan semangka. Andi akan mengambil 2 potongan

kue dan 3 potongan semangka. Banyak cara Andi mengambil 2 potongan kue dan 3 potongan

semangka adalah . . .

54

a. 148 c. 1.680 e. 3.360

b. 1.090 d. 2.180

6. Sebuah kotak berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng kuning. Dari kotak tersebut diambil tiga

kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil ketiganya

berwarna merah adalah . . .

a. 20 c. 15 e. 35

b. 25 d. 30

7. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Dari kelompok tersebut

dibentuk suatu panitia yang terdiri dari 5 orang secara acak. Banyak cara pembentukkan panitia

paling sedikit terdapat 4 orang pria adalah . . .

a. 3.960 c. 6.160 e. 5.752

b. 4.752 d. 4.572

8. Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan

nomor 5 harus dikerjakan, banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah. . .

a. 4 c. 6 e. 10

b. 5 d. 9

9. Sebuah kotak terdapat 5 pensil biru dan 4 pensil hijau. Dari kotak tersebut diambil tiga pensil

sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika sekurang-kurangnya 2 pensil biru

adalah….

a. 150 c. 84 e. 50

b. 100 d. 80

10. Suatu tim bola basket terdiri dari 4 orang akan dipilih dari 11 pemain. Banyaknya susunan yang

dapat dipilih adalah . . .

a. 300 c. 450 e. 530

b. 330 d. 500

11. Dari warna merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu akan dibuat beberapa warna baru.

Warna baru tersebut diperoleh dengan mencampurkan dua warna yang berlainan. Banyaknya

warna baru yang dapat dibuat adalah . . .

a. 21 c. 28 e. 56

b. 14 d. 42

55

12. Nilai n yang memenuhi n C 2 = 100 C 98 adalah . . .

b. 98 c. 100 e. 102

c. 99 d. 101

13. Suatu tim karya ilmiah terdiri atas 5 orang siswa putra dan 6 siswa putri. Akan dibentuk tim

kecil terdiri atas 3 orang untuk mewakili lomba karya ilmiah. Jika tim harus beranggotakan

paling sedikit 1 putri, banyak cara memilih anggota tim tersebut adalah. . .

a. 155 c. 200 e. 695

b. 75 d. 600

14. Sebuah kotak berisi 7 bola kuning dan 9 bola biru. Dari kotak tersebut diambil tiga bola

sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika bola yang diambil 2 bola kuning dan 1

bola biru adalah . . .

a. 504 c. 378 e. 189

b. 210 d. 119

15. Dari kelompok guru ada 5 guru matematika dan 7 guru fisika. Akan dibuat tim kerja yang terdiri

atas 2 guru matematika dan 3 guru fisika. Banyak cara untuk membuat tim jika dua guru fisika

tidak boleh ikut dalam tim itu adalah . . .

a. 350 c. 210 e. 250

b. 140 d. 100

PERTEMUAN VI

TURNAMEN II

1. Dalam latihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri. Banyak

pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda campuran adalah . . .

a. 52 c. 48 e. 92

b. 84 d. 79

2. Lima anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka adalah Andre, Monika, Susan, Dhea, dan

Reza. Jika Reza harus berdiri di salah satu ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . .

a. 48 c. 108 e. 140

b. 78 d. 128

56

3. Tujuh siswa kelas X dan delapan siswa kelas XI akan membentuk suatu delegasi yang terdiri

atas 5 orang. Jika setiap kelas diwakili oleh sedikitnya 2 siswa, banyak cara membentuk

delegasi tersebut adalah . . .

a. 1.176 c. 1.256 e. 2.156

b. 2.165 d. 2.566

4. Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria dan 7 wanita, dipilih 2 pria dan 3 wanita, banyaknya

cara pemilihan tersebut adalah . . .

a. 1.557 c. 1.595 e. 5.715

b. 1.575 d. 5.175

5. Dari 7 pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan

bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah . . .

a. 210 c. 252 e. 420

b. 250 d. 840

6. Suatu kelompok pengajian ibu-ibu mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap pengajian

duduknya melingkar, banyaknya cara posisi ibu-ibu dalam duduk melingkar adalah . . .

a. 720 c. 3.528 e. 3.628.800

b. 1.008 d. 362.880

7. Dari 10 orang finalis karya tulis akan dipilih juara I, II, dan III. Banyaknya cara memilih urutan

adalah . . .

a. 7 c. 120 e. 720

b. 30 d. 240

8. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata STATISTIKA adalah . . .

a. 151.200 c. 75.600 e. 85.600

b. 76.500 d. 86.500

9. Ada berapa cara 8 buku Biologi yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang

memanjang, jika ada 4 buku Biologi yang selalu bersama-sama. Banyak penyusunan buku

Kimia yang mungkin adalah . . .

a. 2.880 c. 2.800 e. 2.890

b. 2.088 d. 2.980

57

10. Seorang siswa diminta mengerjakan 10 soal dari soal nomor 20 sampai 35. Jika soal bernomor

ganjil harus dikerjakan, banyak pilihan soal yang dapat diambil siswa tersebut adalah . . .

a. 32 c. 21 e. 14

b. 28 d. 16

11. Dalam suatu ruangan terdapat tujuh orang dan hanya tersedia empat kursi. Banyaknya cara

memilih urutan adalah . . .

a. 35 c. 840 e. 360

b. 120 d. 480

12. Sebuah kotak terdapat 9 buah apel dan 6 buah jeruk. Dari kotak tersebut diambil 3 buah

sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika buah yang diambil minimal 1 buah apel

adalah . . .

a. 216 c. 300 e. 435

b. 275 d. 325

13. Sebuah kotak berisi 8 kelereng hijau dan 6 kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil empat

kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil

keempatnya berwarna hijau adalah . . .

d. 45 c. 50 e. 70

e. 56 d. 65

14. Nilai n yang memenuhi n P 5 = 9 × (n - 1) P 4 adalah . . .

a. 9 c. 17 e. 20

b. 12 d. 19

15. Sembilan buah permata berbeda ukuran yang terdiri atas 2 permata berwarna merah, 1 permata

berwarna hijau, dan yang lainnya berwarna putih akan disusun menjadi sebuah gelang. Jika

permata hijau disusun diantara permata merah, banyak cara menyusun permata tersebut adalah .

. .

a. 720 c. 120 e. 60

b. 240 d. 1.440

16. Kelompok tani Suka Maju terdiri atas 6 orang yang berasal dari dusun A dan 8 orang yang

berasal dari dusun B. jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang dari dusun B untuk

mengikuti penelitian di tingkat Kabupaten, banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi

adalah . . .

58

a. 840 c. 560 e. 120

b. 720 d. 350

17. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri atas 4 anak kelas X, 5 anak kelas XI, dan 6

anak kelas XII. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri atas ketua dari kelas XII,

wakil ketua dan sekretaris harus dari kelas yang sama. Wakil ketua dan sekretaris tidak boleh

dari kelas XII. Banyak kemungkinan susunan pimpinan ada . . . cara.

a. 156 c. 546 e. 720

b. 192 d. 600

18. Banyaknya diagonal pada bangun datar segi-10 adalah . . .

a. 22 c. 35 e. 47

b. 25 d. 45

19. Dari 20 siswa yang lolos seleksi akan dipilih 3 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba

cerdas cermat. Banyak cara untuk memilih ketiga siswa tersebut adalah . . .

a. 6.840 c. 2.320 e. 1.140

b. 2.440 d. 1.820

20. Diketahui 5 buku yang berbeda. Dari 5 buku tersebut diambil 3 buku dan diletakkan secara

berderetan. Banyak cara mengambil dan meletakkan buku tersebut adalah . . .

a. 10 c. 40 e. 120

b. 20 d. 60

59

LEMBAR KERJA SISWA I

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan.

Ruang sampel dilambangkan dengan huruf “S”.

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel.

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

3. Kejadian sederhana adalah kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.

4. Kejadian majemuk adalah kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel.

Contoh 1

Sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah :

d. Ruang sampel percobaan tersebut.

e. Titik sampel percobaan tersebut.

f. Kejadian muncul sisi angka mata dadu ganjil.

Penyelesaian :

Diagram pohon

1

2

3

4

5

DADU

6

60

d. Ruang sampel

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

e. Titik sampel

1, 2, 3, 4, 5, 6

f. Kejadian muncul mata dadu ganjil

{ 1, 3, 5 }

KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara

suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan

dengan aturan penjumlahan, aturan perkalian.

Contoh 2

Dari kota Kendari ke kota Makassar ada 2 jalan dan dari kota Makassar ke kota Poso ada 3 jalan.

Ada berapa cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar?

Penyelesaian :

Hasil yang mungkin : a1, a2, a3, b1, b2, b3

Jadi, banyak cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar adalah

.

KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM I

a

b

1

3

2 Kendari

Poso

Makassar

61

Contoh 3

Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang sama serta

diikuti 3 angka yang sama dengan angka pertama tidak boleh nol?

Penyelesaian :

Contoh 4

Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibentuk bilangan ribuan. Tentukan :

e. Banyak bilangan ribuan yang dapat dibentuk (pengulangan diperbolehkan)

f. Banyak bilangan ribuan berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)

g. Banyak bilangan ribuan ganjil berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)

h. Banyak bilangan ribuan yang lebih dari 3.000 (pengulangan diperbolehkan)

Penyelesaian :

a. Bilangan ribuan (pengulangan diperbolehkan)


6 7 7 7

b. Bilangan ribuan berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)


6 6 5 4

c. Bilangan ribuan ganjil berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)


5 5 4 3

62

d. Bilangan ribuan yang lebih dari 3.000


4 7 7 7

Bilangan yang lebih dari 3.000 dimulai dari 3.001 (bilangan 3.000 tidak termasuk) sehingga

bilangan yang dapat dibentuk .

Secara Umum dapat Dirumuskan :

Misalkan :



peristiwa 3 dapat terjadi dnalam n3 cara

.

.

.

peristiwa k dapat terjadi dalam nk cara

banyak cara k peristiwa dapat dilaksanakan secara berurutan adalah :

cara

KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM II

KEGIATAN SELANJUTNYA GAME I

63

LEMBAR KERJA SISWA II

FAKTORIAL

Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial).

n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai

berikut :

dengan dan

Contoh 1


b. b. c.

Penyelesaian :

d.

e.

f.

64

Contoh 2


b. b. c. d.

Penyelesaian :

e.

f.

g.

h.

Contoh 3


b. b. c.

Penyelesaian :

d.

e.

f.

65

Contoh 4

Tentukan nilai n, jika

Penyelesaian :

Kesimpulan

1. atau

2. Jika n = I diperoleh

sehingga dan

KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM III

KEGIATAN SELANJUTNYA GAME II

PERTEMUAN BERIKUTNYA TURNAMEN I

66

LEMBAR KERJA SISWA III

PERMUTASI

Definisi

Permutasi adalah cara membentuk susunan terurut (urutan di perhatikan) dari sebagian atau

seluruh anggota himpunan yang disediakan.

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah

(P(n, r) = )!rn(

!n

untuk r ≤ n.

Rumus

P(n, r) = nPr =

Contoh 1

Tiga orang guru masuk ruang rapat. Tempat yang masih kosong ada 5 kursi, berapa cara mereka

dapat menempati 5 kursi tersebut ?

Penyelesaian :

67

Contoh 2

Terdapat 4 orang perempuan dan 3 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku panjang,

jika orang laki-laki harus duduk di pinggir. Ada berapa urutan orang tersebut duduk?

Penyelesaian :

Contoh 3

Pada lomba Matematika yang diselenggarakan sebuah perguruan tinggi terkemuka terseleksi 17


III. Berapa banyak kemungkinan susunan juara yang terbentuk ?

Penyelesaian :

KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM IV

Permutasi dari n unsur yang mengandung qp dan r unsur yang sama

Rumus

68

Keterangan :

n = banyaknya elemen seluruhnya

p = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama

Contoh 1

Tentukan banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk dari kata DADU !

Penyelesaian :

Terdapat 4 huruf, huruf D sebanyak 2, huruf A sebanyak 1, dan huruf U sebanyak 1.

Banyaknya susunan huruf adalah :

kata

Contoh 2

Ada berapa cara 9 buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang,

jika ada 3 buku yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang mungkin?

Penyelesaian :

cara

PERMUTASI SIKLIS

Definisi

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

Rumus

Banyaknya permutasi melingkar n unsur atau

69

Contoh 3

Sekelompok siswa yang terdiri dari 4 orang duduk melingkar sebuah meja bundar. Berapa cara

lima orang siswa duduk mengelilingi meja bundar tersebut ?

Penyelesaian :

cara.

Contoh 4

Dalam suatu rapat osis yang terdiri dari 5 orang dalam posisi yang melingkar. Jika ketua, wakil

ketua harus selalu duduk bersebelahan. Berapa formasi duduk yang bisa dibentuk ?

Penyelesaian :

KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM V

KEGIATAN SELANJUTNYA GAME III

70

LEMBAR KERJA SISWA IV

KOMBINASI

Definisi Kombinasi

Kombinasi adalah cara memilih (tidak memperhatikan urutan) r unsur berbeda yang diambil

dari n unsur yang tersedia.

Rumus Kombinasi ( r ≤ n )

Disediakan huruf X, Y, dan Z

Permutasi dari 3 huruf diambil dua-dua Kombinasi dari 3 huruf diambil dua-dua

XY

YX berbeda

6 permutasi

YZ

ZY berbeda

ZX

XZ berbeda

Urutan diperhatikan

XY = YX

YZ = ZY 3 kombinasi

ZX = XZ

Urutan tidak diperhatikan

71

Contoh 1

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 pemain. Berapa macam susunan

dapat dipilih?

Penyelesaian:

Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak

diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang

Contoh 2

Sebuah kelompok seni tari terdiri atas 6 pria dan 5 wanita. Kelompok ini akan mengirimkan 3

pria dan 2 wanita untuk mengikuti festival. Hitunglah banyak cara yang dapat dilakukan untuk

memilih 5 wakil, jika :

a. Setiap anggota kelompok berhak dipilih

b. Seorang wakil wanita sudah pasti dipilih

c. Ada 2 anggota pria yang sakit (tidak dapat dipilih)

Penyelesaian :

a.

b.

c.

72

Contoh 3

Sebuah kotak berisi 5 bola biru dan 9 bola merah. Dari kotak tersebut diambil 3 bola sekaligus

secara acak. Tentukan banyak cara pengambilan jika bola yang diambil :

a. Ketiganya berwarna merah

b. Ketiganya berwarna biru

c. Tepat 2 bola biru

d. Minimal 1 bola merah

Penyelesaian :

a.

b.

c.

d.

73

Contoh 4

Seorang siswa diminta mengerjakan 12 soal dari soal nomor 40 sampai 60. Jika soal bernomor

ganjil harus dikerjakan, berapa banyak pilihan soal yang dapat diambil siswa tersebut?

Penyelesaian :

KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM VI

KEGIATAN SELANJUTNYA GAME IV

PERTEMUAN BERIKUTNYA TURNAMEN II

74

Kisi-Kisi Soal Posttest

Mata Pelajaran : Matematika Wajib

Kelas/Semester : XI/2

Kompetensi Inti :

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong,

kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai

bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan

lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam

pergaulan dunia.

3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan

metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,

dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait

penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian

yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan

kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar :

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

2.2 Mampu mentransformasikan diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis

dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggungjawab, rasa ingin tahu, jujur, dan berperilaku peduli

lingkungan.

3.13 Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata

serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi, dan kombinasi)

melalui diagram atau cara lainnya.

3.14 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah

nyata.

4.10 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata

serta memberikan alasannya.

4.11 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi

dalam pemecahan masalah tersebut.

75

Materi : Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

Jenis Soal : Pilihan Ganda

Jumlah Soal : 20 Soal

Alokasi Waktu : 90 menit

No Indikator Sub Indikator Jumlah

Soal

Contoh Soal

1. Menyelesaikan

soal yang

berhubungan

dengan aturan

pencacahan

Menentukan

banyaknya

cara suatu

percobaan

yang

berhubungan

dengan

permasalahan

sehari-hari

5 Jalur penerbangan sebuah pesawat udara dari Bali

ke Jakarta dapat melalui 5 jalur, dari Jakarta ke

Medan dapat melalui 4 jalur, dan dari Medan ke

London melalui 3 jalur. Banyaknya jalur

penerbangan pulang-pergi yang dapat dipilih

untuk penerbangan dari Bali ke London melalui

Jakarta dan Medan dengan menggunakan jalur

penerbangan yang berbeda adalah . . .

a. 3.400 c. 3.800 e. 1.440

b. 3.600 d. 4.410

Shinta mempunyai baju warna merah, hijau, biru,

dan ungu, celana warna hitam, putih, dan coklat.

Shinta juga mempunyai sepatu warna hitam dan

coklat. Banyak pasangan baju, celana, dan sepatu

yang dapat dipakai Shinta adalah . . .

a. 24 c. 42 e. 62

b. 32 d. 54

Sebuah pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika

setiap pelat memuat 2 huruf yang berbeda serta

diikuti 3 angka yang berbeda dengan angka

pertama tidak boleh nol adalah . . .

a. 585.000 c. 421.200 e. 234.000

b. 438.048 d. 608.400

Menentukan

banyaknya

cara suatu

percobaan

yang

berhubungan

dengan

bilangan

Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk

bilangan ribuan tanpa pengulangan. Banyak

bilangan ribuan genap yang dapat dibentuk adalah

. . .

a. 24 c. 60 e. 75

b. 42 d. 72

Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9

akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan.

Banyak bilangan ribuan yang kurang dari 3.000

dan genap adalah . . .

a. 560 c. 840 e. 504

b. 640 d. 448

Menyelesaikan

soal yang

berhubungan

dengan

faktorial

Menentukan

nilai faktorial

5 Hitunglah

a. 55 c. 65 e. 75

b. 60 d. 70

Hitunglah

a. 150 c. 216 e. 376

76

b. 126 d. 276

Menuliskan

perkalian

dalam bentuk

faktorial


a. c. e.

b. d.


a. c. e.

b. d.

Menentukan

nilai sebuah

variabel jika

dari suatu

persamaan

yang

melibatkan

operasi

faktorial

Nilai n yang memenuhi adalah . . .

a. 8 c. 10 e. 12

b. 9 d. 11

2. Menyelesaikan

soal yang

berhubungan

dengan

permutasi

Menentukan

nilai

persamaan

permutasi

5 Diketahui (n+1) P 2 = (n-1) P 2 . Nilai 2n + 5 adalah. . .

a. 5 c. 7 e. 9

b. 6 d. 8

Menentukan

permutasi r

unsur yang

diambil dari n

unsur yang

berbeda

Enam anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka

adalah Fandi, Shinta, Lidya, Febri, Fanny, dan

Satria. Jika Shinta harus berdiri di salah satu

ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . .

a. 120 c. 210 e. 720

b. 180 d. 240

Dari 8 pengurus sebuah organisasi akan dipilih

seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan

bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut

adalah . . .

a. 1.860 c. 2.800 e. 3.860

b. 1.680 d. 2.680

Menentukan

permutasi dari

beberapa

elemen yang

sama

Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari

kata MATEMATIKA adalah . . .

a. 75.600 c. 181.440 e. 184.400

b. 151.200 d. 5.040

Menentukan

permutasi

siklis

Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 9

orang dalam posisi yang melingkar, jika ketua,

wakil ketua, dan sekretaris duduk berdampingan.

Banyak cara mereka dapat duduk melingkar

adalah . . .

77

a. 40.320 c. 4.320 e. 720

b. 40.230 d. 5.040

3. Menyelesaikan

soal yang

berhubungan

dengan

kombinasi

Dipilih r unsur

berbeda yang

diambil dari n

unsur yang

tersedia

5 Dari 15 siswa yang lolos seleksi akan dipilih 4

siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba cerdas

cermat. Banyak cara untuk memilih keempat siswa


a. 32.760 c. 2.365 e. 1.365

b. 32.670 d. 1.356

Dari dua

kelompok

masing-masing

dipilih r unsur

berbeda yang

diambil dari `n

unsur yang

tersedia pada

masing-masing

kelompok

Dalam latihan bulutangkis terdapat 10 orang

pemain putra dan 8 orang pemain putri. Banyak

pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda

campuran adalah . . .

a. 45 c. 80 e. 95

b. 56 d. 90

Sebuah kotak berisi 12 kelereng hijau dan 9

kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil empat

kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara

pengambilan jika kelereng yang diambil


a. 495 c. 549 e. 621

b. 459 d. 126

Dari dua

kelompok

masing-masing

dipilih minimal

r unsur berbeda

yang diambil

dari n unsur

yang tersedia

pada masing-

masing

kelompok

Enam siswa kelas X dan tujuh siswa kelas XI akan

membentuk suatu delegasi yang terdiri atas 5

orang. Jika setiap kelas diwakili oleh sedikitnya 2

siswa, banyak cara membentuk delegasi tersebut

adalah . . .

a. 6.300 c. 525 e. 945

b. 5.040 d. 420

Sebuah kotak terdapat 7 buah apel dan 5 buah

jeruk. Dari kotak tersebut diambil 3 buah

sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan

jika buah yang diambil minimal 1 buah apel

adalah . . .

a. 35 c. 135 e. 70

b. 105 d. 210

78

POSTTEST

SOAL UJI KOMPETENSI DASAR

PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

BEKERJA SAMA DENGAN SMA ISLAM

SUDIRMAN AMBARAWA

Petunjuk Pengisian :

1. Isilah data identitas (Nama, No.absen, dan Kelas) pada lembar jawab yang diberikan.

2. Waktu mengerjakan soal adalah 90 menit.

3. Kerjakan soal dengan memberi tanda silang (X) di lembar jawaban yang telah diberikan.

4. Siswa tidak diperbolehkan menggunakan kalkulator, membuka buku catatan, buku cetak, dan

sumber lainnya.

5. Bekerjalah dengan kemampuan sendiri dan berlatih kejujuran.

Berilah tanda silang (X) pada salah satu jawaban a, b, c, d, dan e yang kamu anggap benar!

1. Jalur penerbangan sebuah pesawat udara dari Bali ke Jakarta dapat melalui 5 jalur, dari Jakarta

ke Medan dapat melalui 4 jalur, dan dari Medan ke London melalui 3 jalur. Banyaknya jalur

penerbangan pulang-pergi yang dapat dipilih untuk penerbangan dari Bali ke London melalui

Jakarta dan Medan dengan menggunakan jalur penerbangan yang berbeda adalah . . .

a. 3.400 c. 3.800 e. 1.440

b. 3.600 d. 4.410

2. Shinta mempunyai baju warna merah, hijau, biru, dan ungu, celana warna hitam, putih, dan

coklat. Shinta juga mempunyai sepatu warna hitam dan coklat. Banyak pasangan baju, celana,

dan sepatu yang dapat dipakai Shinta adalah . . .

a. 24 c. 42 e. 62

b. 32 d. 54

3. Sebuah pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang berbeda serta

diikuti 3 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh nol adalah . . .

a. 585.000 c. 421.200 e. 234.000

b. 438.048 d. 608.400

4. Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan. Banyak

bilangan ribuan genap yang dapat dibentuk adalah . . .

a. 24 c. 60 e. 75

b. 42 d. 72

5. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa

pengulangan. Banyak bilangan ribuan yang kurang dari 3.000 dan genap adalah . . .

79

a. 560 c. 840 e. 504

b. 640 d. 448

6. Hitunglah

a. 55 c. 65 e. 75

b. 60 d. 70

7. Hitunglah

a. 150 c. 216 e. 376

b. 126 d. 276


a. c. e.

b. d.


a. c. e.

b. d.

10. Nilai n yang memenuhi adalah . . .

a. 8 c. 10 e. 12

b. 9 d. 11

11. Diketahui (n+1) P 2 = (n-1) P 2 . Nilai 2n + 5 adalah . . .

a. 5 c. 7 e. 9

b. 6 d. 8

12. Enam anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka adalah Fandi, Shinta, Lidya, Febri, Fanny, dan

Satria. Jika Shinta harus berdiri di salah satu ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . .

a. 120 c. 210 e. 720

b. 180 d. 240

13. Dari 8 pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan

bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah . . .

a. 1.860 c. 2.800 e. 3.860

b. 1.680 d. 2.680

80

14. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA adalah . . .

a. 75.600 c. 181.440 e. 184.400

b. 151.200 d. 5.040

15. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 9 orang dalam posisi yang melingkar, jika ketua,

wakil ketua, dan sekretaris duduk berdampingan. Banyak cara mereka dapat duduk melingkar

adalah . . .

a. 40.320 c. 4.320 e. 720

b. 40.230 d. 5.040

16. Dari 15 siswa yang lolos seleksi akan dipilih 4 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba

cerdas cermat. Banyak cara untuk memilih keempat siswa tersebut adalah . . .

a. 32.760 c. 2.365 e. 1.365

b. 32.670 d. 1.356

17. Dalam latihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Banyak

pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda campuran adalah . . .

a. 45 c. 80 e. 95

b. 56 d. 90

18. Sebuah kotak berisi 12 kelereng hijau dan 9 kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil empat

kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil


a. 495 c. 549 e. 621

b. 459 d. 126

19. Enam siswa kelas X dan tujuh siswa kelas XI akan membentuk suatu delegasi yang terdiri atas 5

orang. Jika setiap kelas diwakili oleh sedikitnya 2 siswa, banyak cara membentuk delegasi


a. 6.300 c. 525 e. 945

b. 5.040 d. 420

20. Sebuah kotak terdapat 7 buah apel dan 5 buah jeruk. Dari kotak tersebut diambil 3 buah

sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika buah yang diambil minimal 1 buah apel

adalah . . .

a. 35 c. 135 e. 70

b. 105 d. 210

Documents

Pengaruh Model Pembelajaran Kooperatif Tipe TGT ...repository.uksw.edu/bitstream/123456789/9874/2/T1_202012074_Full... · 1 pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe tgt berkolaborasi