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7/21/2019 Penasr job serio Pensar.pdf

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Série de Fourier

GRUPO 1 | 3

ÍNDICE

I: TEORIA 5

SÉRIES DE FOURIER E TRIGONOMÉTRICA 6

SERIES TRIGONOMÉTRICAS 6

Definição 1. 6

T EOREMA 1. 1 ( SOBRE DECOMPOSIÇÃO DE UMA FUNÇÃO PAR E IMPAR ). 7

SÉRIES DE FOURIER 8

Teorema de Derichlet. 8

Definição 1.2 9

DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO EM SÉRIE DE FOURIER NO INTERVALO DE 0 . 9

1.2.1. DECOMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES EM SÉRIES DE F OURIER NO INTERVALO DE

– 10

DECOMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES EM SÉRIES DE F OURIER NO INTERVALO DE ). 11

II: PRÁTICA 12

CONCLUSÃO 18

BIBLIOGRAFIA 19

INTRODUÇÃO



Série de Fourier

GRUPO 1 | 4

Neste trabalho abordar-se a sobre o devido tratamento, formas resolução de problemasenvolvendo a série de Fourier.



Série de Fourier

GRUPO 1 | 5

I: TEORIA



Série de Fourier

GRUPO 1 | I: TEORIA 6

SÉRIES DE FOURIER E TRIGONOMÉTRICA

Series trigonométricas

Definição 1.

Denomina-se série trigonométrica uma série da forma ∑ assim temos a expressão (1).

Portanto, as constantes , (n=1,2,3,...)são coeficientes da série supracitadatrigonométrica

Se a série (1) convergir a sua soma é uma função periódica de período 2

, isto é, f(x) = f(x +2

)

Determinação dos coeficientes de séries de Four ier da função f (x), i sto é, , ;

Se a função f(x) é periódica de periodo 2, então pode se representar por uma série

trigonométrica convergente para a função f(x), no intervalo ( ou seja: f(x) = ∑ expressão (2).

Portanto , integrando em ambos membros da expressão (2) no intervalo de (

teremos:∫ ∫ ∫ ∑ .

∫ ∫ ∫ ∫ )

Desenvolvendo o integral acima em ambos membros estaremos perante, a determinar oscoeficientes de série de Fourier da função ∫ ∫ = ∫ = ∫ =

∫ , desta igualdade, ∫

A seguir para determinar multiplicamos em ambos membros da expressão (2), por ; ∫ ∑



Série de Fourier


Então integrando no intervalo de (,

teremos: ∫ ∫ ∫ ∫ ).

Nisto, calculando o integral acima em ambos membros teremos: para o integral ∫ – sera igual a 0, isto é ∫ Se n = k, teremos a seguinte situação para o segundo integral: ∫ =

∫ = ∫ +

∫ = Logo: ∫ .

Da igualdade acima teremos:

∫

Para o terceiro integral teríamos. ∫

se n = k, teremos: ∫

Vamos fazer o mesmo que fizemos para calcular para achar o , mas desta vezmultiplicando na expressão (2), por

∫ ∑ .

Se n = k, teremos: para o integral, ∫ sera iqual a zero, ∫ .

Teremos também para o segundo integral a mesma situação, isto é, igual a zero.∫ Já para o terceiro integral teremos: ∫ ∫

∫ = ∫ ∫ = ∫ ∫ = .

Logo

∫

, da igualidade teremos:

∫

(5)

Teorema 1. 1 ( sobre decomposição de uma função par e impar ).

Se for uma função par, periódica de período , e integrável em ( , então a suasérie de Fourier é dada por:

Para o 1º teremos o seguinte Caso:

Se for par então:



Série de Fourier


∑ , onde = ∫ e ∫

Para o 2º teremos o seguinte Caso :

Se for impar, então:

~∑ dx, omde ∫

Ex: Seja f: IR → IR periódica de período definida por = 9x, para .Desenvolva em série de Fourier a função dada.

Resolução:

Uma vez que

=

+

+

sinkx), tratando-se duma função impar teremos o

desenvolvimento em seno, isto é,

∫ = ∫

Integrando por partes teremos:

∫ = + ∫ = +

= logo ∫ = = = (k

(k + 1 portanto a série de Fourier temos:

∑ =∑ k + 1 = 2∑ k + 1 , se k = 2n – 1

Logo teremos: 2∑ 2n .

Séries de Fourier

Teorema de Derichlet.

Diz se uma função satisfaz as condições de DERICHLET em um intervalo ( a, b), se nesteintervalo a função:

a) Está uniformemente restrita, isto é, para , onde M é constante.

b) Não tem mais que um número finito de pontos de descontinuidade todos eles da primeiraespécie ( isto é, em cada ponto de descontinuidade ξ, a função tem um limite finitoa esquerda e um limite finito a direita.



Série de Fourier


S [f] (x) = + ∑ ,

c) Não tem mais que um número finito de pontos extremos. E deve se ter em mente ques[f](x) convergir uniformemente a f em todo intervalo fechado em que f e continua.

Definição 1.2

A série trigonométrica formado pelos coeficientes (3), (4) e (5), chama-se série de Fourier dafunção .

Os coeficientes definidos pelos fórmulas (3), (4) e (5) denomina-se coeficientes de Séries deFourier da função Ex: Desenvolva em séries de Fourier no intervalo de – , para = – 1 e nos intervalos de 0

∫ = ∫ – ∫ = – + = 0

∫ = – ∫ +

∫ = – +

= 0

∫ = –

∫ + ∫ =

–

– +

= –

= (1

Se k for par, teremos: (1 = 0, k = 2n

Se k for impar, teremos: (1 =

, K = 2n –

Logo = + + sinkx)

= ∑ = =

Decomposição da função

em série de Fourier no intervalo de 0

.

A função decompõe se tanto em séries de cossenos ou em séries de senos, pois podemos terum desenvolvimento de forma par ou impar.

Exemplo: Desenvolva a função = no intervalo 0 em séries de seno.

Resolução: Como o pedido é desenvolver a função = em séries incompleta de Fourierneste caso em ordem a senos, estaremos neste caso a achar o coeficiente .



Série de Fourier


∫ =

∫

Integrando por partes temos:

Sabendo que , substituindo na expressão (2) teremos a seguinte série de Fourier

∑

.

1.2.1. Decomposição de funções em séries de Fourier no intervalo de –

Se uma função satisfaz as condições de DIRICHLET no intervalo – ), decomprimento 2, para os pontos de continuidade da função, pertencentes a este intervalo se

verificará o seguinte desenvolvimento: = + + +

+ ... +

+

.

Do desenvolvimento acima teremos:

= +

+ sin

) e os coeficientes (3), (4) e (5) serão calculados

pelas seguintes fórmulas:

∫

∫

∫

Nos pontos de descontinuidade da função nos extremos de intervalo , a soma desérie de Fourier é determinada igualmente como se faz quando se desenvolve no intervalo de(.



Série de Fourier


Decomposição de funções em séries de Fourier no intervalo de ).

No caso em que a função se desenvolve em séries de Fourier em um intervaloarbitrário ) de comprimento , os limites de integração dos coeficientes devem ser substituidos respectivamente por

Assim teremos: = + + + +...+

+ .

Que corresponde a: = +

+ sin

)

Exemplo:

Desenvolva em série de Fourier a função se Resolução:

Primeiro teremos que determinar o , no intervalo acima dado.

, neste caso e , substituindo o teremos: => => .

∫

∫

∫



Série de Fourier

GRUPO 1 | II: PRÁTICA 12

II: PRÁTICA

1. Desenvolver em series de fourier, no intervalo ( –

f(x) = , a0 = ? ak =? ak = ?

f (x) + ∑ +

∫ dx ; ∫ ∫

∫

∫

= 2

Asseguir vamos integral por parte:

porque a função é par.

∑

se: k=2n – 1



Série de Fourier


2. Desenvolver a função em séries incompletas de Fourier no intervalo indicado em série de

senos de arcos múltiplos;

Resolução:

|

Se

Então

3. utilizando o desenvolvimento em seno da função no intervalo [0; π] calcule a

soma da série

∑

Por ser em desenvolvimento de seno

|



Série de Fourier


Se Então

Como

4. Desenvolver em série de Fourier, no intervalo de (0; π), a função .

|

|



Série de Fourier


∑



Série de Fourier


5.Desenvolver a função em séries de Fourier, no intervalo indicado

∫ ∫

[ ]

( ) ( ) (

) (

)

| ( ) ( ) |

( ) ( )

[|

|

] ( ) ( ) [| |]



Série de Fourier


[ ]

( ) ( )

( ) ( )

|

( ) ( ) |

( ) ( ) [| | ]

( ) ( ) [| |] ( ) ( ) |



Série de Fourier

GRUPO 1 | CONCLUSÃO 18

CONCLUSÃOAo fim deste trabalho verificou-se métodos de resolução de problemas envolvendo a série deFourier pela forma trigonométrica.



Série de Fourier

GRUPO 1 | 19

BIBLIOGRAFIADEMIDOVITCH, B, BARANENKOR, G, et all, Problemas e Exercícios de AnáliseMatemática, Mir Moscovo, 1ª edição, 1977, URSS.

DEMIDOVITCH, B, BARANENKOR, G, et all, Problemas e Exercícios de AnáliseMatemática, Mir Moscovo, 2ª edição, 1978, URSS.

PISKUNOV,N, Cálculo Diferêncial e Integral, Mir Moscovo, 3ª edição, 1977, URSS.

Disponível em :

lwww.ime.usp.br/~oliveira/serieFourierwww.dt.fee.unicamp.br/

~www/.../node237.html

www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/sousa/SeriesFourier

http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/sousa/SeriesFourier






Série de Fourier

GRUPO 1 | BIBLIOGRAFIA 20

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