Pembahasan Soal

SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SBMPTN 2016 TKD SAINTEK

Matematika IPA Kode Soal 252

dan dengan sumbu- . Nilai adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Ingat,

Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung lingkaran. Misal lingkaran berpusat di dan garis singgung lingkaran dapat dinyatakan dalam , maka jari-jari lingkaran adalah:

Perhatikan,

Terdapat dua lingkaran pada soal, yaitu:

(i)

-

(ii)

-

Perhatikan ilustrasi berikut,

Karena panjang jari-jari kedua lingkaran adalah sama, maka besar gradien dari garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari garis yang melalui kedua pusat lingkaran.

Sehingga, gradien garis singgung persekutuan dua lingkaran yang dimaksud sama dengan gradien garis yang melalui titik dan yaitu:

8 X

Y

8

O

TRIK SUPERKILAT:

8 X

Y

8

O

(0, )

= +

Dari sketsa gambar kita akan segera tahu bahwa besar sudut , sehingga kita akan cepat tahu juga bahwa segitiga pada gambar siku-siku sama kaki,

sehingga .

8 X

Y

8

O

= +

1. Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran

Halaman 1

Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud adalah persamaan garis lurus dengan gradien yang melalui adalah:

Jari-jari lingkaran yaitu dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung , yaitu:

Sehingga, nilai atau

Jadi, nilai .

Halaman 2

2. Segitiga siku-siku di . Titik pada sehingga dan . Jika dan maka ....

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Cara 1: Aturan Kosinus

Ingat,

Pada suatu segitiga seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:

Perhatikan segitiga ,

Karena segitiga dan siku-siku B maka berlaku teorema Pythagoras,

Sekarang perhatikan segitiga , berlaku aturan kosinus,

Nilai dapat dicari menggunakan identitas trigonometri,

TRIK SUPERKILAT:

2

3

1

5

26

Luas dapat dicari dengan dua cara

menggunakan rumus

,

maupun rumus sinus:

2

= 3

1

= 5

= 26

Halaman 3

Cara 2: Rumus Pengurangan Dua Sudut Sinus

Ingat,

Rumus pengurangan dua sudut sinus:

Perhatikan segitiga dan serta sudut dan ,

Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,

Perhatikan baik-baik bahwa .

Sehingga,

Nilai dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai ,

Halaman 4

3. Fungsi untuk

dan

naik pada

interval ....

A. B. C. D. E.

Pembahasan:

Ingat,

Fungsi naik pada apabila

Perhatikan,

Misal,

Maka,

Syarat fungsi naik adalah , sehingga:

Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai pada garis bilangan berikut

Karena nilai pertidaksamaan

yang diminta adalah negatif, maka daerah

penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah .

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan apa gunanya syarat berikut pada soal?????

dan

Jelas pada nilai tersebut fungsi tidak terdefinisi, dan naik turunnya fungsi sudah semestinya akan terpotong pada nilai tersebut. Jawaban A, C, dan E pasti salah. Tersisa pilihan jawaban B atau D saja yang mungkin benar.

Sekarang tinggal cek aja apakah fungsi naik atau turun menggunakan dua nilai pada interval jawaban:

Karena , maka pada interval 0 sampai fungsi turun. Karena yang ditanyakan interval fungsi naik, jadi jelas bahwa jawaban yang benar pastilah D.

Halaman 5

4. Suatu transformasi terdiri dari pencerminan terhadap , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu . Jika dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah ....

A. B. C. D. E.

Pembahasan:

Cara 1: Pemetaan Transformasi

Ingat,

Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:

Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:

Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:

Sehingga,

Jadi, apabila titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah:

Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena akan ribet banget kalau sampe f . H .

Mari kita periksa,

Perhatikan, ternyata transformasi adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:

Jadi, bayangan titik terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah .

TRIK SUPERKILAT: Titik potong dan sudut yang dibentuk oleh garis dan sumbu berturut-turut adalah dan , sehingga komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis dilanjutkan oleh sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar

Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula. Jadi, bayangan titik adalah tetap . S .! Gampang kan?

Halaman 6

Cara 2: Matriks Transformasi

Ingat,

Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:

Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap garis :

Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:

Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu :

Misal,

Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:

Jadi, apabila titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah:

Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai .?

Mari kita periksa terlebih dahulu,

Perhatikan, karena , maka nilai adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:

Maka, bayangan titik terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah:

Jadi, bayangan titik terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah .

Halaman 2

Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Sifat komposisi pencerminan dua garis saling berpotongan)

Ingat,

Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan menghasilkan rotasi, dengan:

Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis. Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan

garis kedua.

Perhatikan sketsa grafik di bawah,

Titik potong antara garis dan sumbu ( adalah titik . Sudut yang dibentuk antara garis dengan sumbu adalah .

Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,

Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis dilanjutkan oleh sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar .

Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan:

;

Dan mengingat sifat sudut rotasi , maka:

Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula.

Jadi, bayangan titik adalah tetap .

Halaman 2

5. Diketahui kubus . . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Jika adalah sudut antara bidang dan garis maka nilai ....

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut,

Tantangan di soal ini adalah bagaimana mencari sudut yang dibentuk antara garis dan bidang, sedangkan tidak dapat dilihat secara langsung titik tembus garis pada bidang tersebut.

Alternatif langkah penyelesaiannya adalah:

(i) Bidang diperluas dan garis diperpanjang sedemikian sehingga garis dapat menembus bidang di suatu titik tembus, sehingga sudut antara garis dan bidang dapat diamati dan dihitung yaitu sudut yang dibentuk antara garis dan proyeksi garis pada bidang. Perhatikan ilustrasi di samping!

(ii) Bidang atau garis dapat digeser asalkan masih tetap sejajar dengan bidang atau garis semula. a) Garis dapat kita geser ke

bidang dasar, sehingga garis berhimpit dengan garis . Sehingga, sudut yang terbentuk antara garis dan bidang dapat diwakili oleh sudut antara garis dan bidang . Perhatikan ilustrasi berikut:

b) Bidang dapat kita geser menjadi bidang , ini dapat dilakukan karena bidang sejajar bidang . Sehingga, sudut antara garis dan bidang dapat diwakili oleh sudut antara garis dan bidang . Perhatikan ilustrasi berikut:

A B

C D

E F

G H

P

M

N Q

A B

C D

E F

G H

P

M

N

𝜶

Q

R

TRIK SUPERKILAT: Apabila kita geser FH ke dasar maka jelas terlihat bahwa sudut . Perhatikan gambar berikut:

A B

C D

E F

G H

P

M

N Q

A B

C D

E F

G H

P

M

N

Q

𝜶

A B

C D

E F

G H

P

M

N

Q

Asumsi kita bahwa sudut , maka nilai sinus sudut pasti lebih

besar dari

, dan hanya ada dua

jawaban yang mungkin benar, yaitu jawaban A dan B. Jawaban B hanya sedikit lebih besar

dari

dan bisa dipertimbangkan

.. S A .

Halaman 3

Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP menjadi bidang ACH.

Perhatikan gambar berikut,

Sudut adalah sudut antara garis dan bidang .

Jadi,

Nah, berarti kita tinggal mencari panjang adalah panjang rusuk kubus, dan merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku .

Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang .

Perhatikan, titik merupakan titik potong antara diagonal dan diagonal , maka

.

Panjang dapat dicari pada segitiga siku-siku , yaitu:

Jadi,

A B

C D

E F

G H

P

M

N

𝜶

Q

R

Halaman 2

6. Jika sisa pembagian oleh adalah , dan sisa pembagian

oleh adalah , maka = ....

A. 33 B. 43 C. 53 D. 63 E. 73

Pembahasan:

Cara 1: R S B B “ ”

Ingat,

Rumus pembagian suku banyak,

dimana,

yang dibagi; pembagi; hasil bagi; sisa pembagian

Perhatikan,

Sisa pembagian oleh adalah , maka:

Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian

oleh

dalam bentuk , maka kita harus dapat menemukan bentuk

terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:

Perhatikan bentuk

berikut,

Jadi, sisa pembagian

oleh sama artinya juga dengan mencari

sisa pembagian oleh . Oleh karena itu, mari kita jabarkan terlebih dahulu bentuk sehingga diperoleh:

Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun “ ”:

TRIK SUPERKILAT: dibagi oleh bersisa dibagi oleh bersisa

dibagi oleh bersisa

Karena dibagi bersisa , Maka , sehingga

Halaman 3

Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:

Jadi, nilai

Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Horner Modifikasi)

S “ ” sisa pembagian oleh pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat diperoleh dengan Horner Modifikasi.

Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:

Maka,

Angka kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi. Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa.

Hasil sisa pembagian oleh dapat dilihat pada perhitungan Horner Modifikasi berikut:

Hasil Sisa Pembagian

Jadi,

Sisa pembagian oleh adalah

Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:

Jadi, nilai

Langkah-langkah Horner Modifikasi: Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9. 9 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 27, . Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6. 6 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 18, .

(Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu .) Kolom ketiga dijumlahkan, hasilnya 16. Kolom keempat dijumlahkan, hasilnya . Kolom kelima dijumlahkan, hasilnya .

Halaman 4

7. Grafik

berada di bawah grafik jika ....

A. B. C. D. E.

Pembahasan:

Cara 1: Pertidaksamaan Eksponen

Ingat,

Pada pertidaksamaan eksponen, berlaku:

Untuk , maka:

.

Perhatikan,

Grafik

berada di bawah grafik , maka:

f H f

f

f

Jadi, grafik

berada di bawah grafik jika .

Tambahan:

Pemfaktoran bentuk menggunakan metode Horner.

Perhatikan, karena jumlah semua koefisien adalah , maka salah satu faktornya adalah , sehingga:

Jadi,

TRIK SUPERKILAT: Karena untuk dan nilai , maka jelas dan , tidak bisa v . Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?

Bukti: Untuk , maka

Untuk , maka

Halaman 5

Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Cek Interval Pilihan Jawaban)

Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat , , dan . Tidak terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana yang benar.

Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen.

Oke, mari kita coba.

Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini.

Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut:

Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban. Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval

mana saja yang menyebabkan

bernilai benar.

Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan

adalah .

Kedua, cek apakah , , dan pada pilihan jawaban menyebabkan

nilai

.

Lihat pada Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) di bawah ini:

Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban)

Kedua, cek apakah , , dan pada pilihan jawaban menyebabkan

nilai

.

Mari kita periksa:

Jadi, karena untuk dan nilai

, maka sangatlah

jelas bahwa dan v . Perhatikan pilihan jawaban yang tersedia,

Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?

0 1 3

Untuk , maka

Untuk

, maka

Untuk , maka

Untuk maka

Untuk , maka

Untuk , maka

Untuk , maka

Untuk , maka

Halaman 6

8. ....

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Ingat,

Konsep dasar limit trigonometri:

Perhatikan,

Bentuk

mungkin akan banyak disalahpahami menjadi

.

Padahal, bukanlah sudut dari sinus.

Jadi, biar tidak salah paham maka dipindah ke depan .

Sehingga,

.

Maka, bentuk limit akan menjadi,

Jadi,

TRIK SUPERKILAT: Abaikan dan coret sin terlebih dahulu. Dan keluarkan pada pembilang.

Halaman 7

9. Jika dalam suatu barisan geometri

dan , maka

....

A. B. C. D. E.

Pembahasan:

Cara 1: Barisan dan Deret Geometri

Ingat,

Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:

S

Perhatikan,

Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .

f H f

Jadi,

Tambahan:

Pemfaktoran menggunakan metode Horner.

Perhatikan karena .

Jadi, kemungkinan nilai adalah .

jelas tidak mungkin, sehingga kita pilih ,

Jadi,

TRIK SUPERKILAT:

Karena

dan , maka

Maka

Halaman 8

Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Feeling dan Cek Angka pada Pilihan Jawaban)

Ingat,

Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:

S

Perhatikan,

Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .

. S .

.

Jadi,

Halaman 9

10. Misalkan . Jika nilai minimum dan maksimum pada selang berturut-turut adalah dan , maka ....

A. 3 B. 19 C. 20 D. 83 E. 100

Pembahasan:

Ingat,

Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi pada interval adalah sebagai berikut:

(i) Menentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu dan . (ii) Menentukan nilai pada interval yang menyebabkan nilai maksimum

atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya. (iii) Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang

diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum.

Perhatikan,

Pada soal diberikan batas interval , maka hitung nilai dan .

Perhatikan lagi , maka turunan pertama dan kedua adalah:

Lalu, tentukan nilai dari syarat fungsi stasioner, yaitu ,

Kemudian menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua .

Periksa jenis stasioner di atau ,

Untuk , maka

Karena , maka memiliki titik belok di .

Untuk , maka

Karena , maka memiliki titik balik minimum di .

Jadi, dari syarat stasioner hanya diperoleh nilai minimum yaitu :

Sehingga dengan membandingkan nilai , diperoleh:

Nilai minimum, Nilai maksimum,

Jadi, .

TRIK SUPERKILAT: Dari uji turunan pertama, dan batas interval diperoleh garis bilangan:

0 1

+ 2 2

′

1

2

2

Nilai minimum pastilah , dan nilai maksimum di antara dua nilai atau . Setelah diperiksa ternyata, dan , jadi nilai maksimum adalah Sehingga, dan Jadi,

Halaman 10