Le Frido 2017,volume 3

Laurent Claessens

Plusieurs extensions et versions de ce livre.

1. La version courante, régulièrement mise à jour et qui deviendra petit à petit le Frido 2018.Téléchargeable sur

https://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/lefrido.pdf

2. La version la plus complète, contenant des exercices ainsi que de la mathématique de niveaurecherche sur

https://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/mazhe.pdf

3. Et bien entendu les sources LATEX sur github :

https://github.com/LaurentClaessens/mazhe

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(c) 2015 David Revoy pour les illustrations de couverture CC-BY,https://www.peppercarrot.com/

ISBN : 979-10-97085-07-0

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Thèmes

Ceci est une sorte d’index thématique.

1 : intégration2 : suites et séries3 : polynôme de Taylor4 : séries de Fourier5 : normes6 : topologie produit7 : espaces métriques, normés8 : norme opérateur9 : gaussienne10 : produit de compact11 : densité12 : espaces de fonctions13 : fonctions Lipschitz14 : formule des accroissements finis15 : différentiabilité16 : points fixes17 : théorème de Stokes, Green et compagnie18 : permuter des limites19 : applications continues et bornées20 : inégalités21 : connexité22 : suite de Cauchy, espace complet23 : application réciproque24 : tribu, algèbre de parties, λ-systèmes et co.25 : déduire la nullité d’une fonction depuis sonintégrale26 : mesure et intégrale27 : équations différentielles28 : injections29 : logarithme30 : inversion locale, fonction implicite31 : convexité32 : dualité33 : opérations sur les distributions34 : transformée de Fourier35 : convolution

36 : méthode de Newton37 : méthodes de calcul38 : définie positive39 : norme matricielle et rayon spectral40 : série de matrices41 : rang42 : extension de corps et polynômes43 : décomposition de matrices44 : systèmes d’équations linéaires45 : racines de polynôme et factorisation de po-lynômes46 : formes bilinéaires et quadratiques47 : arithmétique modulo, théorème de Bézout48 : polynômes49 : invariants de similitude50 : diagonalisation51 : endomorphismes cycliques52 : déterminant53 : polynôme d’endomorphismes54 : exponentielle de matrice55 : sous-groupes56 : groupe symétrique57 : action de groupe58 : classification de groupes59 : produit semi-direct de groupes60 : théorie des représentations61 : isométries62 : caractérisation de distributions en probabi-lités63 : théorème central limite64 : lemme de transfert65 : probabilités et espérances conditionnelles66 : dénombrements67 : enveloppes68 : équations diophantiennes

Thème 1 : intégration(1) L’existence d’une primitive pour toute fonction continue est le théorème 18.10.(2) La définition d’une primitive est la définition 12.135.(3) Primitive et intégrale, proposition 13.204.(4) Intégrale impropre, définition 13.217.

Thème 2 : suites et séries De façon un peu contre-intuitive, les suites et séries sont surtouttraitées dans le chapitre sur les espaces vectoriels. Section 10.5 pour les suites et 10.6 pour lesséries.

(1) La définition de la somme d’une infinité de termes est donnée par la définition 10.43.(2) La définition de la convergence absolue est la définition 10.45.

3

(3) Convergence d’une série implique convergence vers zéro du terme général, proposition 10.53.(4) Quelque séries usuelles dans R dans la section 10.7.3.Pour les sommes infinies l’associativité et la commutativité dans une série sont perdues. Néan-

moins, il subsiste que(1) si la série converge, on peut regrouper ses termes sans modifier la convergence ni la somme

(associativité) ;(2) si la série converge absolument, on peut modifier l’ordre des termes sans modifier la conver-

gence ni la somme (commutativité, proposition 9.176).Une somme indexée par un ensemble quelconque est la définition 9.178.

Thème 3 : polynôme de Taylor Énoncés :(1) Énoncé : théorème 12.263.(2) De classe C2 sur Rn, proposition 12.267.(3) Avec un reste donné par un point dans sx, ar, proposition 12.271.(4) Le polynôme de Taylor généralise à l’utilisation de toutes les dérivées disponibles le résultat

de développement limité donné par la proposition 12.120.(5) Pour les fonctions holomorphes, il y a le théorème 25.27 qui donne une série de Taylor sur

un disque de convergence.Utilisation :(1) Il est utilisé pour justifier la méthode de Newton autour de l’équation (32.92).(2) On utilise pas mal de Taylor dans les résultats liant extrema et différentielle/Hessienne. Par

exemple la proposition 18.68.

Thème 4 : séries de Fourier— Formule sommatoire de Poisson, proposition 27.9.— Inégalité isopérimétrique, théorème 26.21.— Fonction continue et périodique dont la série de Fourier ne converge pas, proposition 26.18.— Nous allons montrer la convergence de

řkPZ ckpfqeinx vers fpxq dans divers cas :

(1) Si f est continue et périodique, convergence au sens de Cesaro, théorème de Fejèr 26.5.(2) Convergence au sens L2

´r0, 2πs

¯dans le théorème 24.57.

(3) Si f est continue, périodique et sa série de Fourier converge uniformément, théorème26.13.

(4) Si f est périodique et la série des coefficients converge absolument pour tout x, propo-sition 26.14.

(5) Si f est périodique et de classe C1, théorème 26.15.Il est cependant faux de croire que la continuité et la périodicité suffisent à obtenir uneconvergence, comme le montre dans la proposition 26.18.

Thème 5 : normesDéfinition définition 6.31.Équivalence de norme (1) Définition de l’équivalence de norme 10.1.

(2) La proposition 10.2 sur l’équivalence des normes dans Rn.(3) Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes, théorème

10.3.(4) Montrer que le problème a´ b est stable dans l’exemple 32.26.(5) La proposition 10.15 donnant ρpAq ď A utilise l’équivalence de toutes les normes sur

un espace vectoriel de dimension finie.Norme opérateur voir le thème 8.

4

Thème 6 : topologie produit(1) La définition de la topologie produit est 6.5.(2) Pour les espaces vectoriels normés, le produit est donné par la définition 10.73.(3) L’équivalence entre la topologie de la norme produit et la topologie produit est le lemme

10.75.

Thème 7 : espaces métriques, normés(1) Le théorème-définition 6.19 donne la topologie sur un espace métrique.(2) La définition de la convergence d’une suite est la définition 6.4.(3) Dans un espace vectoriel normé, une application est continue si et seulement si elle est

bornée, proposition 10.18.

Thème 8 : norme opérateur Pour la norme matricielle et le rayon spectral, voir le thème 39.(1) Définition 10.5.(2) Définition d’une norme d’algèbre 10.9.(3) Pour des espaces vectoriels normée, être borné est équivalent à être continu : proposition

10.18.(4) Le lemme à propos d’exponentielle de matrice 15.94 donne :

etA ď P`|t|˘

rÿ

i“1etRepλiq. (0.1)

Thème 9 : gaussienne(1) Le calcul de l’intégrale ż

R

e´x2dx “ ?π (0.2)

est fait de deux façons dans l’exemple 13.233. Les deux utilisent le théorème de Fubini13.230.

(2) Le lemme 27.15 calcule la transformée de Fourier de gεpxq “ e´εx2 qui donne gεpξq “`πε

˘d2e´ξ24ε.

(3) Le lemme 27.18 donne une suite régularisante à base de gaussienne.(4) Elle est utilisée pour régulariser une intégrale dans la preuve de la formule d’inversion de

Fourier 27.20

Thème 10 : produit de compact(1) Les produits d’espaces métriques compacts sont compacts ; c’est le théorème de Tykhonov.

Nous verrons ce résultat dans les cas suivants.— R, lemme 6.122.— Produit fini d’espaces métriques compacts, théorème 6.162.— Produit dénombrable d’espaces métrique compacts, théorème 6.164.

Thème 11 : densité(1) Densité des polynômes dans C0`r0, 1s˘, théorème de Bernstein 34.133.(2) Densité de DpRdq dans LppRdq pour 1 ď p ă 8, théorème 24.33.(3) Densité de S pRdq dans l’espace de Sobolev HspRdq, proposition 29.17.(4) Densité de DpRdq dans l’espace de Sobolev HspRdq, proposition 29.19.

Cela est utilisé pour le théorème de trace 29.21.

5

(5) Les applications étagées dans les applications mesurables (qui plus est avec limite crois-sante), théorème fondamental d’approximation 24.36.

(6) Les fonctions continues à support compact dans L2pIq, théorème 24.37.(7) Les polynômes trigonométriques sont denses dans LppS1q pour 1 ď p ă 8. Deux démons-

trations indépendantes par le théorème 26.6 et le théorème 24.51.Les densités sont bien entendu utilisées pour prouver des formules sur un espace en sachant qu’ellessont vraies sur une partie dense. Mais également pour étendre une application définie seulementsur une partie dense. C’est par exemple ce qui est fait pour définir la trace γ0 sur les espaces deSobolev HspRdq en utilisant le théorème d’extension 18.112.

Comme presque tous les théorèmes importants, le théorème de Stone-Weierstrass possède denombreuses formulations à divers degrés de généralité.

— Le lemme 18.1 le donne pour la racine carré.— Le théorème 18.6 donne la densité des polynômes dans les fonctions continues sur un com-

pact.— Le théorème 18.4 est une généralisation qui donne la densité uniforme d’une sous-algèbre

de CpX,Rq dès que X sépare les points.— Le lemme 26.1 est une version pour les polynômes trigonométriques.— Le lemme 18.1 est une cas particulier du théorème 18.6, mais nous en donnons une démons-

tration indépendante afin d’isoler la preuve de la généralisation 18.4. Une version pour lespolynômes trigonométriques sera donnée dans le lemme 26.1.

Thème 12 : espaces de fonctions En ce qui concerne les densités, voir le thème 11.Topologie Les espaces de fonctions sont souvent munis de topologies définies par des semi-

normes.(1) La topologie des semi-normes est la définition 6.190.(2) La définition 28.3 donne les topologies sur C8pΩq, DpKq et DpΩq.(3) La topologie ˚-faible sur D 1pΩq est donnée par la définition 28.10.

L’espace L2`r0, 2πs˘ C’est un espace très important, entre autres parce qu’il est de Hilbertet est bien adapté à la transformée de Fourier.(1) Définition de L2pΩ, µq, 24.53.(2) Le produit scalaire xf, gy est donné en (24.187) et la base trigonométrique est (24.188).(3) La densité des polynômes trigonométriques dans LppS2q est le théorème 24.51 ou le

théorème 26.6, au choix.(4) Une conséquence de cette densité est que le système trigonométrique est une base hil-

bertienne de L2 par le lemme 24.56.L’espace L2 est discuté en analyse fonctionnelle, en 24.5 parce que l’étude de L2 utilise entreautres l’inégalité de Hölder 24.22.Le fait que L2 soit une espace de Hilbert est utilisé dans la preuve du théorème de repré-sentation de Riesz 24.60.

Thème 13 : fonctions Lipschitz(1) Définition : 12.243.(2) La notion de Lipschitz est utilisée pour définir la stabilité d’un problème, définition 32.25.

Thème 14 : formule des accroissements finis Il en existe plusieurs formes :(1) Une version adaptée aux espaces de dimension finie est le théorème 12.241.(2) Pour les fonctions RÑ R en le théorème 12.129.(3) Une généralisation pour les intervalles non bornés : théorème 12.130.(4) Espaces vectoriels normés, théorème 12.229

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Thème 15 : différentiabilité(1) La recherche d’extrema d’une fonction surRn passe par la seconde différentielle, proposition

18.68.(2) Lien entre différentielle seconde (Hessienne) et convexité en la proposition 18.90 et le corol-

laire 18.92.(3) La différentielle est liée aux dérivées partielles par les formules données au lemme 12.178

dfapuq “ BfBu paq “d

dt

”fpa` tuq

ıt“0

“mÿ

i“1uiBfBxi paq “ ∇fpaq·u. (0.3)

Thème 16 : points fixes(1) Il y a plusieurs théorèmes de points fixes.

Théorème de Picard 18.23 donne un point fixe comme limite d’itérés d’une fonctionLipschitz. Il aura pour conséquence le théorème de Cauchy-Lipschitz 18.37, l’équationde Fredholm, théorème 18.28 et le théorème d’inversion locale dans le cas des espacesde Banach 18.47.

Théorème de Brouwer qui donne un point fixe pour une application d’une boule verselle-même. Nous allons donner plusieurs versions et preuves.(a) Dans Rn en version C8 via le théorème de Stokes, proposition 18.31.(b) Dans Rn en version continue, en s’appuyant sur le cas C8 et en faisant un passage

à la limite, théorème 18.32.(c) Dans R2 via l’homotopie, théorème 25.19. Oui, c’est très loin. Et c’est normal parce

que ça va utiliser la formule de l’indice qui est de l’analyse complexe 1.Théorème de Markov-Kakutani 18.35 qui donne un point fixe à une application conti-

nue d’un convexe fermé borné dans lui-même. Ce théorème donnera la mesure de Haar18.36 sur les groupes compacts.

Théorème de Schauder 18.33 qui est une version valable en dimension infinie du théo-rème de Brouwer.

(2) Pour les équations différentielles(a) Le théorème de Schauder a pour conséquence le théorème de Cauchy-Arzela 18.43 pour

les équations différentielles.(b) Le théorème de Schauder 18.33 permet de démontrer une version du théorème de

Cauchy-Lipschitz (théorème 18.37) sans la condition Lipschitz, mais alors sans unicitéde la solution. Notons que de ce point de vue nous sommes dans la même situation quela différence entre le théorème de Brouwer et celui de Picard : hors hypothèse de type«contraction», point d’unicité.

(3) En calcul numérique— La convergence d’une méthode de point fixe est donnée par la proposition 32.47.— La convergence quadratique de la méthode de Newton est donnée par le théorème 32.53.— En calcul numérique, section 32.5— Méthode de Newton comme méthode de point fixe, sous-section 32.6.2.

(4) D’autres utilisation de points fixes.— Processus de Galton-Watson, théorème 36.47.— Dans le théorème de Max-Milgram 23.56, le théorème de Picard est utilisé.

Thème 17 : théorème de Stokes, Green et compagnie(1) Forme générale, théorème 14.48.(2) Rotationnel et circulation, théorème 22.8.

Le théorème de Stokes peut être utilisé pour montrer le théorème de Brower, proposition 18.31.1. On aime bien parce que ça ne demande pas Stokes, mais quand même hein, c’est pas gratos non plus.

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Thème 18 : permuter des limites

(1) Les théorèmes sur les fonctions définies par des intégrales, section 14.10. Nous avons entreautres

(a) BişB f “

şB Bif , avec B compact, proposition 14.72.

(b) Si f est majorée par une fonction ne dépendant pas de x, nous avons le théorème 14.62.(c) Si l’intégrale est uniformément convergente, nous avons le théorème 14.63.(d) Pour dériver

şB gpt, zqdt avec B compact dans R et g : RˆCÑ C, il faut aller voir la

proposition 25.17.

(2) Théorème de la convergence monotone, théorème 13.129.(3) Le théorème de Fubini permet non seulement de permuter des intégrales, mais également

des sommes parce que ces dernières peuvent être vues comme des intégrales sur N munide la tribu des parties et de la mesure de comptage. Nous utilisons cette technique pourpermute une somme et une intégrale dans l’équation (25.122).— le théorème de Fubini-Tonelli 13.227 demande que la fonction soit mesurable et positive ;— le théorème de Fubini 13.230 demande que la fonction soit intégrable (mais pas spécia-

lement positive) ;— le corollaire 13.229 demande l’intégrabilité de la valeur absolue des intégrales partielles

pour déduire que la fonction elle-même est intégrable.

Thème 19 : applications continues et bornées

(1) Une application linéaire non continue : exemple 10.20 de ek ÞÑ kek. Les dérivées partiellessont calculées en (23.131).

(2) Une autre application linéaire non continue en l’exemple 10.21 : la dérivation sur les poly-nômes.

(3) Une application linéaire est bornée si et seulement si elle est continue, proposition 10.18.

Thème 20 : inégalités

Inégalité de Jensen (1) Une version discrète pour f`ř

i λixi˘, la proposition 18.93.

(2) Une version intégrale pour f` şαdµ

˘, la proposition 24.20.

(3) Une version pour l’espérance conditionnelle, la proposition 34.52.Inégalité de Minkowsky (1) Pour une forme quadratique q sur Rn nous avons

aqpx` yq ďa

qpxq `aqpyq. Proposition 9.254.

(2) Si 1 ď p ă 8 et si f, g P LppΩ,A, µq alors f ` gp ď fp ` gp. Proposition 24.26.(3) L’inégalité de Minkowsky sous forme intégrale s’écrit sous forme déballée

„ż

X

´ ż

Y|fpx, yq|dνpyq

¯pdµpxq

1pď

ż

Y

´ ż

X|fpx, yq|pdµpxq

¯1pdνpyq. (0.4)

ou sous forme compacte››››x ÞÑ

ż

Yfpx, yqdνpyq

››››p

ďż

Yfypdνpyq (0.5)

Transformée de Fourier Pour tout f P L1pRnq nous avons f8 ď f1, lemme 27.6.Inégalité des normes Inégalité de normes : si f P Lp et g P L1, alors f ˚ gp ď fpg1,

proposition 24.40.

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Thème 21 : connexité(1) Définition 6.84(2) Le groupe SLpn,Kq est connexe par arcs : proposition 12.333.(3) Le groupe GLpn,Cq est connexe par arcs : proposition 12.334.(4) Le groupe GLpn,Cq est connexe par arcs, proposition 12.334.(5) Le groupe GLpn,Rq a exactement deux composantes connexes par arcs, proposition 12.335.(6) Le groupe Opn,Rq n’est pas connexe, lemme 12.329.(7) Les groupe Upnq et SUpnq sont connexes par arcs, lemme 12.330.(8) Le groupe SOpnq est connexe mais ce n’est pas encore démontré, proposition 12.331.(9) Connexité des formes quadratiques de signature donnée, proposition 18.101.

Thème 22 : suite de Cauchy, espace complet Nous parlons d’espaces topologiques complets.À ne pas confondre avec un espace mesuré complet, définition 13.50.

(1) La définition 6.39 donne la notion de suite de Cauchy dans un espace métrique.(2) La définition 6.37 donne la notion de suite de τ -Cauchy dans un espace vectoriel topologique.(3) Deux espaces métriques (avec une distance) peuvent être isomorphes en tant qu’espaces

topologiques, mais ne pas avoir les mêmes suites de Cauchy, exemple 6.42.(4) La proposition 6.52 donne l’équivalence entre les suites de Cauchy et les suites τ -Cauchy

dans le cas des espaces vectoriels topologiques normés.(5) L’exemple 6.42 est un exemple pire que simplement une suite de Cauchy qui ne converge

pas. Le problème de convergence de cette suite n’est pas simplement que la limite n’est pasdans l’espace ; c’est que la suite de Cauchy donnée ne convergerait même pas dans R.

(6) Le théorème 18.119 est un théorème de complétion d’un espace métrique.Quelque espaces qui sont complets sont listés ci-dessous. Attention : la complétude est bien

une propriété de la norme ; le même ensemble peut être complet pout une norme et pas pour uneautre. Si on vous demande «est-ce que tel espace est complet ?» vous devez répondre en demandant«pour quelle topologie ?» . . . sauf si la topologie est évidente dans le contexte.

(1) Les réels R, théorème 6.57.(2) La proposition 12.299 donne quelque es-

paces complets. Soit X un espace topo-logique métrique pY, dq un espace espacemétrique complet. Alors les espaces(a)

`C0b pX,Y q, .8

˘

(b)`C0

0 pX,Y q, .8˘

(c)`Ck0 pX,Y q, .8

˘

sont complets.

(3) Le lemme 12.300 dit que`C0pA,Bq, .8

˘

est complet dès que A est compact et Best complet.

(4) L’espace DpKq est complet tant pour latopologie des semi-normes que pour la to-pologie métrique (qui sont les mêmes).C’est la proposition 28.7.

(5) L’espace S pΩq est complet et métrisablepar la proposition 28.48.

La limite uniforme d’une suite de fonctions dérivables n’est pas spécialement dérivable. Mêmesi les fonctions sont de classe C8, la limite n’est pas spécialement mieux que continue. En effet,le théorème de Stone-Weierstrass 18.6 nous dit que les polynômes (qui sont C8) sont denses dansles fonctions continues sur un compact pour la norme uniforme. Vous ne pouvez donc pas espérerque

`CppX,Y q, .8

˘soit complet en général.

Thème 23 : application réciproque(1) Définition 6.187.(2) Dans le cas des réels, des exemples sont donnés en 12.7.(3) Continuité, proposition 6.189.(4) Théorème de la bijection 12.41 (qui contient aussi de la continuité).(5) Dérivabilité, proposition 12.42.

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Thème 24 : tribu, algèbre de parties, λ-systèmes et co. Il existe des centaines de notionsde mesures et de classes de parties.

(1) Le plus souvent lorsque nous parlons de mesure est que nous parlons de mesure positive,définition 13.23 sur un espace mesuré avec une tribu, définition 13.1.

(2) Une mesure extérieure est la définition 13.17(3) Une algèbre de partie : définition 13.18. Une mesure sur une algèbre de parties : définition

13.20. L’intérêt est que si on connait une mesure sur une algèbre de parties, elle se prolongeen une mesure sur la tribu engendrée par le théorème de prolongement de Hahn 13.60.

(4) Un λ-système : définition 13.37.(5) Une mesure complexe : définition 13.147.

Thème 25 : déduire la nullité d’une fonction depuis son intégrale Des résultats quidisent que si

şf “ 0 c’est que f “ 0 dans un sens ou dans un autre.

(1) Il y a le lemme 13.123 qui dit ça.(2) Un lemme du genre dans L2 existe aussi pour

şfϕ “ 0 pour tout ϕ. C’est le lemme 24.43.

(3) Et encore un pour Lp dans la proposition 24.65.(4) Si

şfχ “ 0 pour tout χ à support compact alors f “ 0 presque partout, proposition 24.1.

(5) La proposition 24.17 donne f “ 0 dans Lp lorsqueşfg “ 0 pour tout g P Lq lorsque l’espace

est σ-fini.(6) Une fonction h P C8c pIq admet une primitive dans C8c pIq si et seulement si

şI h “ 0.

Théorème 18.11.

Thème 26 : mesure et intégrale(1) Mesure de Lebesgue, définition 13.172(2) Intégrale associée à une mesure, définition 13.113(3) Mesure à densité, définition 13.137.

Thème 27 : équations différentielles L’utilisation des théorèmes de point fixe pour l’existencede solutions à des équations différentielles est fait dans le chapitre sur les points fixes.

(1) Le théorème de Schauder a pour conséquence le théorème de Cauchy-Arzela 18.43 pour leséquations différentielles.

(2) Le théorème de Schauder 18.33 permet de démontrer une version du théorème de Cauchy-Lipschitz (théorème 18.37) sans la condition Lipschitz

(3) Le théorème de Cauchy-Lipschitz 18.37 est utilisé à plusieurs endroits :— Pour calculer la transformée de Fourier de e´x22 dans le lemme 27.15.

(4) Théorème de stabilité de Lyapunov 30.34.(5) Le système proie prédateurs, Lokta-Voltera 30.35(6) Équation de Schrödinger, théorème 30.41.(7) L’équation px´ x0qαu “ 0 pour u P D 1pRq, théorème 28.56.(8) La proposition 30.37 donne un résultat sur y2 ` qy “ 0 à partir d’une hypothèse de crois-

sance.(9) Équation de Hill y2 ` qy “ 0, proposition 30.39.

Thème 28 : injections(1) L’espace de Sobolev H1pIq s’injecte de façon compacte dans C0pIq, proposition 29.8.(2) L’espace de Sobolev H1pIq s’injecte de façon continue dans L2pIq, proposition 29.8.(3) L’espace L2pΩq s’injecte continument dans D 1pΩq (les distributions), proposition 28.13.

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Thème 29 : logarithme(1) L’exemple 15.63 donne une série pour lnp1´ xq.(2) La proposition 9.196 dit que toute matrice complexe admet un logarithme. En particulier

une série explicite est donné pour le logarithme d’un bloc de Jordan.(3) Le logarithme pour les réels strictement positifs est donné en la définition 15.57.(4) Sur les complexes, le logarithme ln : C˚ Ñ C est la définition 25.54. Attention : ce n’est pas

la seule définition possible.(5) La série harmonique diverge à vitesse logarithmique, et la série des inverses des nombres

premiers, c’est encore plus lent : théorème 15.68.

Thème 30 : inversion locale, fonction impliciteDes énoncés (1) Inversion locale dans Rn : théorème 18.46. Pour un Banach c’est le théorème

18.47.(2) Fonction implicite dans un Banach : théorème 18.48.

Des utilisations (1) Utilisé pour montrer que le flot d’une équation différentielle est un Cp-difféomorphisme local, voir 30.30.

(2) Pour le théorème de Von Neumann 18.60.

Thème 31 : convexité L’essentiel des résultats sur les fonctions convexes sont dans la sections18.9.

(1) Définition des fonctions convexes : 18.74 et 18.88 en dimension supérieure.(2) En termes de différentielles, 18.89 pour la différentielle première et 18.92 pour la Hessienne.(3) Une courbe paramétrée convexe est la définition 19.84.(4) L’enveloppe convexe d’une courbe fermée simple et convexe : 19.86.(5) Courbure et convexité d’une courbe paramétrée : section 19.12.4.(6) Une courbe paramétrée convexe est localement le graphe d’une fonction convexe, lemme

19.85.(7) La convexité est utilisée dans la méthode du gradient à pas optimal de la proposition 18.98.

Thème 32 : dualité Ne pas confondre dual algébrique et dual topologique d’un espace vectoriel.Dual topologique et algébrique Ils sont définis par 7.40. Le dual algébrique est l’ensemble

des formes linéaires, et le dual topologique ne considère que les formes linéaires continues(en dimension infinie, les applications linéaires ne sont pas toutes continues).

Topologie Une topologie possible sur le dual d’un espace vectoriel topologique est celle ˚-faiblede la définition 6.196.

Théorèmes de dualité Quelque théorèmes établissent des dualités entre des espaces cou-rants.(1) Le théorème de représentation de Riesz 23.18 pour les espaces de Hilbert.(2) La proposition 24.60 pour les espaces Lp

`r0, 1s˘ avec 1 ă p ă 2.(3) Le théorème de représentation de Riesz 24.64 pour les espaces Lp en général.Tous ces théorèmes donnent la dualité par l’application Φx “ xx, .y.

Thème 33 : opérations sur les distributions(1) Convolution d’une distribution par une fonction, définition par l’équation (28.74).(2) Dérivation d’une distribution, proposition-définition 28.15.(3) Produit d’une distribution par une fonction, définition 28.14.

11

Thème 34 : transformée de Fourier(1) Définition sur L1, définition 27.2.(2) La transformée de Fourier d’une fonction L1pRdq est continue, proposition 27.5.(3) L’espace de Schwartz est stable par transformée de Fourier. L’application F : S pRdq Ñ

S pRdq est une bijection linéaire et continue. Proposition 27.12

Thème 35 : convolution(1) Définition pour f, g P L1, théorème 24.38.(2) Inégalité de normes : si f P Lp et g P L1, alors f ˚ gp ď fpg1, proposition 24.40.(3) ϕ P L1pRq et ψ P S pRq, alors ϕ ˚ ψ P S pRq, proposition 24.87.(4) Les suites régularisantes : limnÑ8 ρn ˚ f “ f dans la proposition 27.17.(5) Convolution d’une distribution par une fonction, définition par l’équation (28.74).

Thème 36 : méthode de Newton(1) Nous parlons un petit peu de méthode de Newton en dimension 1 dans 32.6.(2) La méthode de Newton fonctionne bien avec les fonction convexes par la proposition 32.55.(3) La méthode de Newton en dimension n est le théorème 32.61.(4) Un intervalle de convergence autour de α s’obtient par majoration de |g1|, proposition 32.47.(5) Un intervalle de convergence quadratique s’obtient par majoration de |g2|, théorème 32.53.(6) En calcul numérique, section 32.6.

Thème 37 : méthodes de calcul(1) Théorème de Rothstein-Trager 14.90.(2) Algorithme des facteurs invariants 4.99.(3) Méthode de Newton, théorème 32.61(4) Calcul d’intégrale par suite équirépartie 26.8.

Thème 38 : définie positive(1) Une application bilinéaire est définie positive lorsque gpu, uq ě 0 et gpu, uq “ 0 si et seule-

ment si u “ 0 est la définition 9.23.(2) Un opérateur ou une matrice est défini positif si toutes ses valeurs propres sont positives,

c’est la définition 9.167.(3) Pour une matrice symétrique, définie positive implique xAx, xy ą 0 pour tout x. C’est le

lemme 9.170.(4) Une application linéaire est définie positive si et seulement si sa matrice associée l’est. C’est

la proposition 9.247.Remarque : nous ne définissons pas la notion de matrice définie positive dans le cas d’une matricenon symétrique.

Thème 39 : norme matricielle et rayon spectral(1) Définition du rayon spectral 10.10.(2) Lien entre norme matricielle et rayon spectral, le théorème 10.25 assure que A2 “

aρpAtAq.

(3) Lien entre valeurs propres et norme opérateur : le lemme 10.26 pour les matrices symétriquesstrictement définies positives donne A2 “ λmax.

(4) Pour toute norme algébrique nous avons ρpAq ď A, proposition 10.15.

12

(5) Dans le cadre du conditionnement de matrice. Voir en particulier la proposition 32.104 quiutilise le théorème 10.25.

(6) Rayon spectral et convergence de méthode itérative, proposition 32.140.Une norme matricielle donne une topologie. Il y a donc également des liens entre rayon spectral

et convergence de série. Dans cette optique, pour les séries de matrices, voir le thème 40.

Thème 40 : série de matrices(1) Rayon spectral et norme opérateur : thème 39.(2) Exponentielle de matrices : thème 54.(3) Série entière de matrices : section 15.12.(4) Pour la série

řk A

k “ p1´Aq´1.— Pour un espace de Banach : proposition 10.52.— Pour les matrices nilpotentes : proposition 9.138.— En lien avec le rayon spectral (si et seulement si ρpAq ă 1) dans la proposition 15.90.— Le lemme 15.44 parle de la série entière

řnPN znk “ p1´ zkq´1.

Cette série est utilisée entre autres dans la proposition 32.160 pour prouver qu’une M-matrice irréductible vérifie A´1 ą 0.

Thème 41 : rang(1) Définition 7.22.(2) Le théorème du rang, théorème 7.23(3) Prouver que des matrices sont équivalentes et les mettre sous des formes canoniques, lemme

7.28 et son corollaire 7.29.(4) Tout hyperplan deMpn,Kq coupe GLpn,Kq, corollaire 7.29. Cela utilise la forme canonique

sus-mentionnée.(5) Le lien entre application duale et orthogonal de la proposition 7.45 utilise la notion de rang.(6) Prouver les équivalences à être un endomorphisme cyclique du théorème 9.233 via le lemme

9.232.

Thème 42 : extension de corps et polynômes(1) Définition d’une extension de corps 5.47.(2) Pour l’extension du corps de base d’un espace vectoriel et les propriétés d’extension des

applications linéaires, voir la section 9.13.(3) Extension de corps de base et similitude d’application linéaire (ou de matrices, c’est la

même chose), théorème 9.235.(4) Extension de corps de base et cyclicité des applications linéaires, corollaire 9.234.(5) À propos d’extensions de Q, le lemme 5.111.

Thème 43 : décomposition de matrices(1) Décomposition de Bruhat, théorème 12.352.(2) Décomposition de Dunford, théorème 9.194.(3) Décomposition polaire 12.346 et la proposition 18.56 pour la régularité.

Thème 44 : systèmes d’équations linéaires— Algorithme des facteurs invariants 4.99.— La méthode du gradient à pas optimal permet de résoudre par itérations Ax “ b lorsque A

est symétrique strictement définie positive. Il s’agit de minimiser une fonction bien choisit.Propositions 18.97 pour l’existence et 18.98 pour la méthode.

13

Thème 45 : racines de polynôme et factorisation de polynômes(1) Si A est une anneau, la proposition 4.119 factorise une racine.(2) Si A est un anneau, la proposition 4.121 factorise une racine avec sa multiplicité.(3) Si A est un anneau, le théorème 4.123 factorise plusieurs racines avec leurs multiplicités.(4) Si K est un corps et α une racine dans une extension, le polynôme minimal de α divise tout

polynôme annulateur par la proposition 5.65.(5) Le théorème 5.68 annule un polynôme de degré n ayant n` 1 racines distinctes.(6) La proposition 5.114 nous annule un polynôme à plusieurs variables lorsqu’il a trop de

racines.(7) En analyse complexe, le principe des zéros isolés 25.20 annule en gros toute série entière

possédant un zéro non isolé.(8) Polynômes irréductibles sur Fq.

Thème 46 : formes bilinéaires et quadratiques(1) Les formes bilinéaires ont été définies en 9.22.(2) Forme quadratique, définition 9.242

Thème 47 : arithmétique modulo, théorème de Bézout(1) Pour Z˚ c’est le théorème 3.32.(2) Théorème de Bézout dans un anneau principal : corollaire 4.77.(3) Théorème de Bézout dans un anneau de polynômes : théorème 5.40.(4) En parlant des racines de l’unité et des générateurs du groupe unitaire dans le lemme 3.99.

Au passage nous y parlerons de solfège.(5) La proposition 3.34 qui donne tout entier assez grand comme combinaisons de a et b à

coefficients positifs est utilisée en chaînes de Markov, voir la définition 36.41 et ce qui suit.(6) Calcul effectif du PGCD puis des coefficients de Bézout : sous-sections 3.5.4.1 et 3.5.4.2.

Thème 48 : polynômesCoefficients dans un anneau commutatif (1) Les polynômes à coefficients dans un anneau

commutatif sont à la section 4.10.Coefficients dans un corps (1) Les polynômes à coefficients dans un corps sont à la section

5.3.(2) Nous parlons de l’idéal des polynômes annulateurs dans le théorème 5.37.(3) Le théorème 5.37 dit que KrXs est une anneau principal et que tous ses idéaux sont

engendrés par un unique polynôme unitaire.(4) Le polynôme minimal est irréductible, proposition 5.50.

Polynôme primitif (1) Un polynôme est irréductible sur A si et seulement si irréductible etprimitif sur le corps des fractions, corollaire 4.124.

Thème 49 : invariants de similitude(1) Théorème 9.221.(2) Pour prouver que la similitude d’applications linéaires résiste à l’extension du corps de base,

théorème 9.235.(3) Pour prouver que la dimension du commutant d’un endomorphisme de E est de dimension

au moins dimpEq, lemme 9.232.(4) Nous verrons dans la remarque 9.222 à propos des invariants de similitude que toute matrice

est semblable à la matrice bloc-diagonale constituées des matrices compagnon (définition9.216) de la suite des polynômes minimals.

14

Thème 50 : diagonalisation Des résultats qui parlent diagonalisation(1) Définition d’un endomorphisme diagonalisable : 9.140.(2) Conditions équivalentes au fait d’être diagonalisable en termes de polynôme minimal, y

compris la décomposition en espaces propres : théorème 9.143.(3) Diagonalisation simultanée 9.146, pseudo-diagonalisation simultanée 9.173.(4) Diagonalisation d’exponentielle 9.197 utilisant Dunford.(5) Décomposition polaire théorème 12.346. M “ SQ, S est symétrique, réelle, définie positive,

Q est orthogonale.(6) Décomposition de Dunford 9.194. u “ s ` n où s est diagonalisable et n est nilpotent,

rs, ns “ 0.(7) Réduction de Jordan (bloc-diagonale) 9.224.(8) L’algorithme des facteurs invariants 4.99 donne U “ PDQ avec P et Q inversibles, D

diagonale, sans hypothèse sur U . De plus les éléments de D forment une chaîne d’élémentsqui se divisent l’un l’autre.

Le théorème spectral et ses variantes :(1) Théorème spectral, matrice symétrique, théorème 9.165. Via le lemme de Schur.(2) Théorème spectral autoadjoint (c’est le même, mais vu sans matrices), théorème 9.261(3) Théorème spectral hermitien, lemme 9.159.(4) Théorème spectral, matrice normales, théorème 9.162.

Pour les résultats de décomposition dont une partie est diagonale, voir le thème 43 sur les décom-positions.

Thème 51 : endomorphismes cycliques

(1) Définition 9.113.(2) Son lien avec le commutant donné dans la proposition 9.230 et le théorème 9.233.(3) Utilisation dans le théorème de Frobenius (invariants de similitude), théorème 9.221.

Thème 52 : déterminant

(1) Les n-formes alternées forment un espace de dimension 1, proposition 9.3.(2) Déterminant d’une famille de vecteurs 9.6.(3) Calcul d’un déterminant de taille 2ˆ 2 : équation (9.39).(4) Déterminant d’un endomorphisme 9.9.(5) Interprétations géométriques

(a) À propos d’orthogonalité, le déterminant est très lié au produit vectoriel en dimension3. Et il le généralise en dimension supérieure.i. Liaison au produit vectoriel (orthogonalité) dans la proposition 9.58.ii. En particulier le lemme 9.59 nous dit comment un déterminant donne un vecteur

orthogonal à une famille donnée de vecteurs.(b) Déterminant et aires, volumes

i. Déterminant et mesure de Lebesgue : théorème 13.223.ii. Aire du parallélogramme : proposition 16.49.iii. Volume du parallélépipède avec le produit mixte et le déterminant 3ˆ 3, 16.50.

15

Tant que nous en sommes dans les interprétations géométrique, il faut lier déterminant,produit vectoriel, orthogonalité et mesure en notant que l’élément de volume lors de l’inté-gration en dimension 3 est donné par (14.117) : dS “ TuˆTv qui est la norme du produitvectoriel des vecteurs tangents à la paramétrisation.Nous voyons dans l’équation (14.114) que l’élément de volume pour une partie de dimensionn dans Rm (à l’occasion d’y intégrer une fonction) est donné par un déterminant mettanten jeu les vecteurs tangents de la paramétrisation.

(6) Le déterminant de Vandermonde est à la proposition 9.12. Il est utilisé à divers endroits :(a) Pour prouver que Trpupq “ 0 pour tout p si et seulement si u est nilpotente (lemme

9.136).(b) Pour prouver qu’un endomorphisme possédant dimpEq valeurs propres distinctes est

cyclique (proposition 9.230).

Thème 53 : polynôme d’endomorphismes(1) Endomorphismes cycliques et commutant dans le cas diagonalisable, proposition 9.230.(2) Racine carré d’une matrice hermitienne positive, proposition 12.341.(3) Théorème de Burnside sur les sous groupes d’exposant fini de GLpn,Cq, théorème 9.238.(4) Décomposition de Dunford, théorème 9.194.(5) Algorithme des facteurs invariants 4.99.

Thème 54 : exponentielle de matrice(1) Le lemme à propos d’exponentielle de matrice 15.94 donne :

etA ď P`|t|˘

rÿ

i“1etRepλiq. (0.6)

(2) La proposition 9.197 : si A P Mpn,Rq a un polynôme caractéristique scindé, alors A estdiagonalisable si et seulement si eA est diagonalisable.

(3) La section 15.12.3 parle des fonctions exponentielle et logarithme pour les matrices. Entreautres la dérivation et les séries.

(4) Pour résoudre des équations différentielles linéaires : sous-section 30.6.1.(5) La proposition 9.196 dit que l’exponentielle est surjective sur GLpn,Cq.(6) La proposition 10.89 : si u est un endomorphisme, alors exppuq est un polynôme en u.(7) Calcul effectif : sous-section 9.8.2.(8) Proposition 12.338 : si A PMpn,Cq alors eTrpAq “ detpeAq.

Thème 55 : sous-groupes(1) Théorème de Burnside sur les sous groupes d’exposant fini de GLpn,Cq, théorème 9.238.(2) Sous-groupes compacts de GLpn,Rq, lemme 12.353 ou proposition 12.354.

Thème 56 : groupe symétrique(1) Définition 3.90.(2) La table des caractères du groupe symétrique S4 est donné dans la section 17.5.(3) Le groupe symétrique S4 est le groupe des symétries affines du tétraèdre régulier, proposition

16.17.(4) Le groupe alterné A5 est l’unique groupe simple d’ordre 60, proposition 8.49.(5) La proposition 8.41 donne la position du groupe alterné dans le groupe symétrique : An est

un sous-groupe caractéristique de Sn et l’unique sous-groupe d’indice 2.

16

Thème 57 : action de groupe(1) Définition d’une action de groupe sur un ensemble : 3.72.(2) Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème 21.93.(3) La formule de Burnside (théorème 3.85) parle du nombre d’orbites pour l’action d’un groupe

fini sur un ensemble fini.(4) Des applications de la formule de Burnside : le jeu de la roulette et l’affaire du collier,

16.4.4.1 et 16.4.4.2.

Thème 58 : classification de groupes(1) Structure des groupes d’ordre pq, théorème 8.26.(2) Le groupe alterné est simple, théorème 8.46.(3) Définition 8.6 d’un p-groupe.(4) Théorème de Sylow 8.11.(5) Théorème de Burnside sur les sous groupes d’exposant fini de GLpn,Cq, théorème 9.238.(6) pZpZq˚ » Zpp´ 1qZ, corollaire 5.131.

Thème 59 : produit semi-direct de groupes(1) Définition 3.93.(2) Le corollaire 3.95 donne un critère pour prouver qu’un produit NH est un produit semi-

direct.(3) L’exemple 16.102 donne le groupe des isométries du carré comme un produit semi-direct.(4) Le théorème 8.26 classifie les groupes d’ordre pq (p, q premiers distincts) à grands coups de

produit semi-directs.(5) Le théorème 16.6 donne les isométries de Rn par IsompRnq “ T pnq ˆρ Opnq où T pnq est le

groupe des translations.(6) La proposition 16.8 donne une décomposition du groupe orthogonal Opnq “ SOpnq ˆρ C2

où C2 “ tId, Ru où R est de déterminant ´1.(7) La proposition 11.53 donne AffpRnq “ T pnq ˆρ GLpn,Rq où AffpRnq est le groupe des

applications affines bijectives de Rn.

Thème 60 : théorie des représentations(1) Table des caractères du groupe diédral, section 17.6.(2) Table des caractères du groupe symétrique S4, section 17.5.

Thème 61 : isométries Ne pas confondre une isométrie d’un espace affine avec une isométried’un espace euclidien. Les isométrie d’un espace euclidien préservent le produit scalaire et fixentdonc l’origine (lemme 9.28). Les isométrie des espaces affines par contre conservent les distances(définition 11.54) et peuvent donc déplacer l’origine de l’espace vectoriel sur lequel il est modelé ;typiquement les translations sont des isométries de l’espace affine mais pas de l’espace euclidien.

Parfois, lorsqu’on coupe les cheveux en quatre, il faut faire attention en parlant de Rn : soit onen parle comme d’un espace métrique (muni de la distance), soit on en parle comme d’un espacenormé (muni de la norme ou du produit scalaire).

(1) Définition d’une isométrie pour une forme bilinéaire, 9.27. Pour une forme quadratique :définition 16.2.

(2) Définition du groupe orthogonal 9.48, et le spécial orthogonal SOpnq en la définition 9.51.Le groupe SOp2q est le groupe des rotations, par corollaire 16.81.

(3) Le lemme 16.113 donne à toute rotation une matrice de la forme connue. C’est autour decela que nous définissons les angles.

17

(4) Le groupe orthogonal est le groupe des isométries de Rn, proposition 9.50.(5) Les isométries de l’espace euclidien sont affines, 16.4.(6) Les isométries de l’espace euclidien comme produit semi-direct : IsompRnq » T pnqˆρOpnq,

théorème 16.6.(7) Isométries du cube, section 10.3.(8) Générateurs du groupe diédral, proposition 16.100.

Thème 62 : caractérisation de distributions en probabilités(1) La probabilité conjointe est la définition 34.19.(2) La fonction de répartition est la définition 34.53.(3) La fonction caractéristique est la définition 34.55.

Thème 63 : théorème central limite(1) Pour les processus de Poisson, théorème 38.5.

Thème 64 : lemme de transfert Il s’agit du résultat f 1 “ iξf .(1) Lemme 27.11 sur S pRdq(2) Lemme 29.12 pour L2.

Thème 65 : probabilités et espérances conditionnelles Les deux définitions de base, surlesquelles se basent toutes les choses conditionnelles sont :

— La probabilité conditionnelle d’un événement en sachant un autre : P pA|Bq de la définition34.29.

— L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire sachant une tribu : EpX|Fq de la défi-nition 34.31.

Les autres sont listées ci-dessous.La probabilité conditionnelle d’un événement par rapport à un autre donnée dans la

proposition 34.29 est le nombre

P pA|Bq “ P pAXBqP pBq (0.7)

La probabilité conditionnelle d’un événement vis-à-vis d’une variable aléatoire discrèteest par la définition 34.47 la variable aléatoire donnée par

P pA|Xqpωq “ P pA|X “ Xpωqq. (0.8)

Dans le cas continu, c’est la définition 34.48 :

P pA|Xq “ P pA|σpXqq “ Ep1A|σpXqq. (0.9)

L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire par rapport à une tribu EpX|Fqest la variable aléatoire F-mesurable telle que

ż

BEpX|Fq “

ż

BX (0.10)

pour tout X P F . Si X P L2pΩ,A, P q alors EpX|Fq “ projKpXq où K est le sous-ensemblede L2pΩ,A, P q des fonctions F-mesurables (théorème 34.31). Cela au sens des projectionsorthogonales.

La probabilité conditionnelle d’un événement par rapport à une tribu est la variablealéatoire

P pA|Fq “ Ep1A|Fq. (0.11)

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L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire par rapport à une autre de la dé-finition 34.33 est une variation sur le thème :

EpX|Y q “ EpX|σpY qq, (0.12)

Notons que partout, si X est une variable aléatoire, la notation «sachant X» est un raccourcispour dire «sachant la tribu engendrée par X».

Thème 66 : dénombrements— Coloriage de roulette (16.4.4.1) et composition de colliers (16.4.4.2).— Nombres de Bell, théorème 15.69.— Le dénombrement des solutions de l’équation α1n1 ` . . . αpnp “ n utilise des séries entières

et des décomposition de fractions en éléments simples, théorème 15.47.

Thème 67 : enveloppes(1) L’ellipse de John-Loewner donne un ellipsoïde de volume minimum autour d’un compact

dans Rn, théorème 18.100.(2) Le cercle circonscrit à une courbe donne un cercle de rayon minimal contenant une courbe

fermée simple, proposition 19.83.(3) Enveloppe convexe du groupe orthogonal 12.351.(4) Enveloppe convexe d’une courbe fermée plane comme intersection des demi-plans tangents,

proposition 19.89.

Thème 68 : équations diophantiennes(1) Équation ax` by “ c dans N, équation (3.74).(2) Dans 3.5.7, nous résolvons ax` by “ c en utilisant Bézout (théorème 3.32).(3) L’exemple 4.89 donne une application de la pure notion de modulo pour x2 “ 3y2 ` 8. Pas

de solutions.(4) L’exemple 4.90 résout l’équation x2`2 “ y3 en parlant de l’extension Zri?2s et de stathme.(5) Les propositions 4.94 et 4.96 parlent de triplets pythagoriciens.(6) Le dénombrement des solutions de l’équation α1n1 ` . . . αpnp “ n utilise des séries entières

et des décomposition de fractions en éléments simples, théorème 15.47.(7) La proposition 2.18 donne une bijection N ˆ N Ñ N en résolvant dans N (entre autres)

l’équation k “ y2 ` x pour k fixé.

Table des matières

Thématique 2

Table des matières 19

Index 46

Liste des notations 68

1 Introduction (Vol 1) 731.1 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.2 Auteurs, contributeurs, sources et remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.2.1 Ceux qui ont travaillé sur le Frido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.2.2 Aide directe, mais pas volontairement sur le Frido . . . . . . . . . . . . . . 741.2.3 Des gens qui ont fait un travail qui m’a bien servi . . . . . . . . . . . . . . 74

1.3 Les choses qui doivent vous faire tiquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.4 Les questions pour lesquelles je n’ai pas (encore) de réponse . . . . . . . . . . . . . 75

1.4.1 Mes questions d’algèbre, géométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.4.2 Mes questions de probabilité et statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.4.3 Les preuves à relire par des experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.5 Comment contribuer et aider (math) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.5.1 Niveau facile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.5.1.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.5.2 Niveau moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.5.2.1 Questions d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.5.2.2 Questions de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.5.2.3 Questions de numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.5.3 Niveau difficile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.5.3.1 Questions d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.5.4 Question de numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.5.5 Pour ma culture générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.6 Comment contribuer et aider (LATEX et programmation) . . . . . . . . . . . . . . . 861.6.1 Niveau facile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.6.2 Niveau moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.6.3 Niveau difficile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.7 Sage est là pour vous aider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.7.1 Lancez-vous dans Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.7.2 Exemples de ce que Sage peut faire pour vous . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2 Construction des ensembles de nombres (Vol 1) 892.1 Quelques éléments sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.1.1 Ensemble ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.2 Lemme de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.1.3 Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.1.4 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

19

20 TABLE DES MATIÈRES

2.2 Les naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2.1 La construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2.2 Quelque autres résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.3 Les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.4 Quelques structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.5 Les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.1 Suites de Cauchy dans les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.5.2 Insuffisance des rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.6 Les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.6.1 L’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.6.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.7 Les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3 Théorie des groupes (Vol 1) 1073.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Sous groupe normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2.1 Classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3 Groupe dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.4 Théorèmes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5 Le groupe et anneau des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.5.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.5.2 Sous-groupes de pZ,`q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5.3 PGCD, PPCM et Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5.4 Calcul effectif du PGCD et de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5.4.1 Algorithme d’Euclide pour le PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5.4.2 Algorithme étendu : calcul effectif des coefficients de Bézout . . . 117

3.5.5 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.5.6 Écriture des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.5.7 Équation diophantienne linéaire à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . 1203.5.8 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.6 Indice d’un sous-groupe et ordre des éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.7 Suite de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.8 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.9 Action de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.10 Groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.11 Produit semi-direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.12 Groupe de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.13 Famille presque nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.14 Le groupe des racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.15 Fonction indicatrice d’Euler (première partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.15.1 Introduction par les racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.15.2 Générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4 Anneaux (Vol 1) 1414.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Binôme de Newton et morphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3 Idéal dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.3.1 Résultats supplémentaires sur l’anneau des entiers . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6 Anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.6.1 Caractéristique d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.6.2 Divisibilité et classes d’association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

TABLE DES MATIÈRES 21

4.6.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.6.4 Anneaux intègres et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6.5 Corps des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.7 Anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.8 Anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.8.1 Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.8.2 Anneau noetherien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.9 Anneau euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.9.1 Équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.9.2 Triplets pythagoriciens et équation de Fermat pour n “ 4 . . . . . . . . . . 1594.9.3 Lignes et colonnes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.9.4 Algorithme des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.10 Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.10.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.10.2 Polynôme primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.10.3 Racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.10.4 Quelques identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5 Corps (Vol 1) 1715.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.1.1 Corps ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.1.2 Automorphismes de R et C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.1.3 Corps premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.1.4 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.2 Théorème des deux carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.2.1 Un peu de structure dans Zris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.2.2 Résultats chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3 Polynômes à coefficients dans un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.3.1 Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.3.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.3.3 Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.3.4 Lemme et théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.4 Extension de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.4.1 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.4.2 Racines de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.4.3 Corps de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.4.4 Corps de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.4.5 Clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.6 Extensions séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.7 Idéal maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.5 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.5.1 Polynômes symétriques, alternés ou semi-symétriques . . . . . . . . . . . . 2005.5.2 Polynôme symétrique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.5.3 Relations coefficients racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.6 Polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.6.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.6.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.6.3 Théorème de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.7 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.7.1 Existence, unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.7.2 Symboles de Legendre et carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.7.3 Théorème de Chevalley-Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.7.4 Contenu d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.7.5 Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

22 TABLE DES MATIÈRES

5.7.6 Construction de Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.7.6.1 La version du faignant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.7.6.2 La version plus élaborée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.7.7 Exemple : étude de F16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.7.8 Polynômes irréductibles sur Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.8 Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.8.1 Quelque constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.8.2 Nombres constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.8.3 Polygones constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.8.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.9 Minuscule morceau sur la théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.9.1 Théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6 Topologie générale (Vol 1) 2456.1 Topologie en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.1.1 Définitions basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.1.2 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.1.3 Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.1.4 Topologie métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.1.5 Espace vectoriel topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.2 Espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.2.1 Introduction : norme et valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.2.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506.2.3 Quelque exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.3 Suites de Cauchy, métrique et espaces complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.3.2 Cas d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.3.3 Espace topologique normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.3.4 Espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.4 Topologie sur l’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.5 Base de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.6 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.7 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.7.1 Quelque propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.8 Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.9 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.10 Un peu de topologie réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

6.10.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2666.10.2 Maximum, supremum et compagnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.10.2.1 . . . et quelque exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.10.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.10.3.1 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2736.10.3.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.10.4 Image d’un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766.10.5 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.10.6 Topologie de la droite réelle complétée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.10.7 Limite pointée ou épointée ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.11 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.11.1 Espaces métrisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.11.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.11.3 Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2806.11.4 Distance entre un point et un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.11.5 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2836.11.6 Ensembles enchaînés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

TABLE DES MATIÈRES 23

6.11.7 Produit fini d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2896.12 Ensembles nulle part denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906.13 Encore de la topologie réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.13.1 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.13.2 Intérieur, adhérence et frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.13.3 Point d’accumulation, point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2936.13.4 Limite de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.14 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2946.15 Topologie des semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.15.1 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2976.15.2 Espace CkpR, E1q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

6.16 Espaces de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

7 Espaces vectoriels (Vol 1) 3017.1 Parties libres, génératrices, bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

7.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3057.2.2 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.2.3 Matrices équivalentes et similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3097.3.1 Écriture dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3097.3.2 Changement de base : vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3107.3.3 Changement de base : coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.3.4 Changement de base : matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . 3117.3.5 Changement de base : matrice d’une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . 312

7.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3127.4.1 Orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3127.4.2 Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3137.4.3 Transposée : sans le dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.4.4 Polynômes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3167.4.5 Dual de Mpn,Kq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

8 Classification de certains groupes (Vol 1) 3198.1 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198.2 Un peu de classification de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

8.2.1 Groupe monogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.2.2 Automorphismes du groupe ZnZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3248.2.3 Groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3268.2.4 Groupes d’ordre pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.2.5 Fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8.3 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328.3.1 Décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328.3.2 Le groupe alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.3.3 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.3.4 Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

9 Suite des espaces vectoriels (Vol 1) 3439.1 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

9.1.1 Formes multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.1.2 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.1.3 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.1.4 Déterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3499.1.5 Déterminant de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3499.1.6 Déterminant de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

24 TABLE DES MATIÈRES

9.1.7 Déterminant de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3529.1.8 Matrice de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3529.1.9 Théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3579.2.1 Projection et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3599.2.2 Procédé de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

9.3 Hermitien, orthogonal, adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3629.3.1 Opérateur orthogonal, matrice orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

9.4 Directions conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3649.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3649.4.2 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . . . . . . . . . . 365

9.4.2.1 Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3659.4.2.2 Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3669.4.2.3 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

9.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3679.5.1 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3689.5.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

9.6 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3719.6.1 Boules et sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3719.6.2 Ouverts, fermés, intérieur et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3729.6.3 Point isolé, point d’accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

9.7 Valeur propre et vecteur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3809.8 Polynôme d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

9.8.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3819.8.2 Calcul effectif de l’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 3839.8.3 Polynôme minimal et minimal ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3839.8.4 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

9.9 Diagonalisation et trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939.9.1 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939.9.2 Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3949.9.3 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3979.9.4 Diagonalisation : cas complexe, pas toujours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4009.9.5 Trigonalisation : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4009.9.6 Trigonalisation : cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019.9.7 Diagonalisation : cas complexe, ce qu’on a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4039.9.8 Diagonalisation : cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4059.9.9 Pseudo-réduction simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

9.10 Sommes de familles infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4099.10.1 Convergence commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

9.11 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4139.12 Sous espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

9.12.1 Théorèmes de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4159.12.2 Diverses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4179.12.3 Diagonalisabilité d’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4189.12.4 Valeurs singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

9.13 Extension du corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4209.13.1 Extension des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4209.13.2 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4229.13.3 Rang, polynôme minimal, polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . 425

9.14 Frobenius et Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4269.14.1 Matrice compagnon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4269.14.2 Réduction de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4279.14.3 Forme normale de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

TABLE DES MATIÈRES 25

9.15 Commutant et endomorphismes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4319.15.1 Endomorphisme cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4319.15.2 Commutant : cas diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4329.15.3 Commutant : cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

9.16 Théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4379.16.1 Théorème de Lie-Kolchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

9.17 Formes bilinéaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.17.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.17.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.17.3 Matrice associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.17.4 Dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4439.17.5 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4449.17.6 Ellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

9.18 Théorème spectral auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4469.19 Mini introduction au produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

9.19.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4499.19.2 Application d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

9.20 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . 450

10 Espaces vectoriels normés (Vol 1) 45110.1 Équivalence des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

10.1.1 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45110.1.2 Contre-exemple en dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

10.2 Norme opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45310.2.1 Norme d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45510.2.2 Application linéaire continue et bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45910.2.3 Normes de matrices et d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

10.3 Isométriques du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46210.4 Chiffrement RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

10.4.1 Mise en place par Bob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46410.4.2 Chiffrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46410.4.3 Déchiffrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46510.4.4 Une imprudence à ne pas commettre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46510.4.5 Problèmes calculatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46610.4.6 La solidité de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46610.4.7 Note non mathématique pour doucher l’enthousiasme . . . . . . . . . . . . 466

10.5 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46610.5.1 Limites, convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46610.5.2 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46710.5.3 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

10.6 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46910.7 Série réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

10.7.1 Critères de convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47210.7.2 Critères de convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

10.7.2.1 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47410.7.3 Quelques séries usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47510.7.4 Moyenne de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47610.7.5 Écriture décimale d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

10.8 Produit fini d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48010.8.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48010.8.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48210.8.3 Continuité du produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

10.9 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48410.10Exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

26 TABLE DES MATIÈRES

10.11Mini introduction aux nombres p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48710.11.1La flèche d’Achille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48710.11.2La tortue et Achille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48710.11.3Dans les nombres p-adiques, c’est vrai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

11 Espaces affines (Vol 2) 49111.1 Repères affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49111.2 Classification affine des conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49211.3 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49411.4 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49511.5 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49611.6 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

11.6.1 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49811.6.2 Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50011.6.3 Applications affines et barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

11.7 Repères, coordonnées cartésiennes et barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 50411.7.1 Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50611.7.2 Associativité, coordonnées barycentriques dans un triangle . . . . . . . . . 506

11.8 Structure du groupe des applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50711.9 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

12 Analyse réelle (Vol 2) 51112.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51112.2 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

12.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51212.2.2 Graphe de la fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

12.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51412.3.1 La fonction la moins continue du monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51612.3.2 Approche topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51612.3.3 Continuité de la racine carré, invitation à la topologie induite . . . . . . . . 51812.3.4 Limites en des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52012.3.5 Limites quand tout va bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52012.3.6 Discussion avec mon ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52512.3.7 Limites et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52512.3.8 Théorèmes des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52612.3.9 Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52612.3.10Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

12.4 Espace des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53012.5 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53512.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53712.7 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

12.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53912.7.2 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54012.7.3 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54012.7.4 Règles simples de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

12.8 Limites à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54612.8.1 Règle de l’étau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54712.8.2 Méthode des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54812.8.3 Méthode des coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55012.8.4 Méthode du développement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

12.9 Dérivée : exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55412.9.1 La vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55412.9.2 La tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55512.9.3 L’aire en dessous d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

TABLE DES MATIÈRES 27

12.10Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55712.11Dérivation de fonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

12.11.1Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55812.11.1.1 La fonction fpxq “ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55812.11.1.2 La fonction fpxq “ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55812.11.1.3 La fonction fpxq “ ?x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

12.11.2Calcul de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55912.11.3 Interprétation géométrique : tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56012.11.4 Interprétation géométrique : approximation affine . . . . . . . . . . . . . . . 560

12.12Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56112.12.1Développement limité au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

12.13Dérivation à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56312.13.1Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56312.13.2Quelques formules à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

12.14Dérivation et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56312.14.1Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 56512.14.2Règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56712.14.3À propos de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

12.15Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57012.15.1Graphes de fonctions à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57312.15.2Courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

12.16Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57812.16.1Dérivée partielle et directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

12.16.1.1 Quelques propriétés et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57912.16.2Gradient : direction de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58312.16.3Gradient : orthogonal au plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

12.17Dérivée directionnelle de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58412.18Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

12.18.1Décomposition dans la base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58612.18.2L’isomorphisme musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58712.18.3Différentielles de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58712.18.4Exemple de composée : les coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . 588

12.19Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58912.19.1Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59012.19.2Définition de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59112.19.3Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59212.19.4Pas la différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59212.19.5Continuité, dérivabilité et différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59312.19.6Calcul de valeurs approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59512.19.7Prouver qu’un fonction n’est pas différentiable . . . . . . . . . . . . . . . . 598

12.19.7.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59812.19.7.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59812.19.7.3 Cohérence des dérivées partielles et directionnelle . . . . . . . . . 60112.19.7.4 Un candidat dans la définition (marche toujours) . . . . . . . . . . 602

12.19.8Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60212.19.9Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60312.19.10Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60312.19.11Différentielle de fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60512.19.12Différentielle et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60812.19.13Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60912.19.14Calcul de différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60912.19.15Notes idéologiques quant au concept de plan tangent . . . . . . . . . . . . . 61012.19.16Gradient et recherche du plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

28 TABLE DES MATIÈRES

12.20Calcul différentiel dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61212.20.1Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61212.20.2 (non ?) Différentiabilité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 61312.20.3Dérivation en chaine et formule de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61312.20.4Différentielle partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61712.20.5Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61812.20.6L’inverse, sa différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62112.20.7Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

12.21Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62412.21.1Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

12.22Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62512.23Théorèmes des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62612.24Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62712.25Différentielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

12.25.1 Identification des espaces d’applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . 62912.25.2Fonctions différentiables plusieurs fois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62912.25.3Différentielle seconde, fonction de classe C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63012.25.4Ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

12.26Développement asymptotique, théorème de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63412.26.1Fonctions «petit o» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63512.26.2Autres formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63612.26.3Formule et reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63712.26.4Reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

12.27Développement limité autour de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63712.27.1Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63812.27.2Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63912.27.3Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

12.27.3.1 Linéarité des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 64112.27.3.2 Développement limité d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . 64212.27.3.3 Développement limité d’une fonction composée . . . . . . . . . . . 643

12.28Développement au voisinage de x0 ‰ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64412.29Application au calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64512.30Développement au voisinage de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64612.31Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

12.31.1Critère de Cauchy uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64612.31.2Complétude avec la norme uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64712.31.3Permuter avec les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

12.32Fonctions réelles de deux variables réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65012.32.1Limites de fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65012.32.2Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65112.32.3Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

12.33Les fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65212.34Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65312.35Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

12.35.1Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65412.36Divergence, rotationnel et l’opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65412.37Interprétation de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65712.38Quelques formules de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65912.39Action de groupe et connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65912.40Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

12.40.1Dilatations et transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66212.40.2Connexité de certains groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66712.40.3Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

TABLE DES MATIÈRES 29

12.40.4Racine carré d’une matrice hermitienne positive . . . . . . . . . . . . . . . 67112.40.5Racine carré d’une matrice symétrique positive . . . . . . . . . . . . . . . . 67212.40.6Décomposition polaires : cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67312.40.7Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67512.40.8Décomposition de Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

12.41Sous-groupes du groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

13 Tribus, théorie de la mesure (Vol 2) 68513.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

13.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68513.1.1.1 Tribu induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68613.1.1.2 Tribu borélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68713.1.1.3 Les boréliens de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

13.1.2 Tribu de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68713.2 Théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

13.2.1 Mesure et algèbre de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69013.2.2 Mesure sur un espace mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69213.2.3 Mesure extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69813.2.4 Espace mesuré complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70013.2.5 Prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

13.3 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71013.3.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71013.3.2 D’une tribu à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71013.3.3 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71313.3.4 Régularité d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71413.3.5 Théorème de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

13.4 Mesurabilité des fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71913.4.1 Quelques mots à propos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71913.4.2 Limite supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71913.4.3 Fonctions à valeurs réelles sur un espace mesurable . . . . . . . . . . . . . . 72013.4.4 Fonction étagée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72613.4.5 Fonctions réelle à variables réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

13.5 Intégrale par rapport à une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72913.5.1 Quelque propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73113.5.2 Permuter limite et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

13.5.2.1 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73413.5.2.2 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73513.5.2.3 Convergence dominée de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

13.5.3 Produit d’une mesure par une fonction (mesure à densité) . . . . . . . . . . 73913.5.4 Mesure et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

13.6 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74113.7 Mesure à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

13.7.1 Théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74213.7.2 Mesure complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74413.7.3 Théorème d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

13.8 Tribu produit, mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74513.8.1 Produit d’espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74513.8.2 Le cas des boréliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74613.8.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

13.9 Mesure de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75213.9.1 Mesure et tribu de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75613.9.2 Propriétés de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75713.9.3 Ensemble de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76213.9.4 Ensemble de Vitali (non mesurable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

30 TABLE DES MATIÈRES

13.10Tribu et mesure de Lebesgue sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76513.10.1Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76613.10.2Parties et fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76713.10.3Propriétés d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76713.10.4Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

13.11Propriétés de l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76913.11.1Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76913.11.2Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77013.11.3Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77213.11.4 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

13.12Changement de variables dans une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 77513.12.1Des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77513.12.2Déterminant et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77613.12.3Le théorème et sa démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77713.12.4Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

13.13Théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

14 Intégration (Vol 2) 79314.1 Intégrale sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

14.1.1 Mesure sur une carte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79314.1.1.1 Exemple : la mesure de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

14.1.2 Intégrale sur une carte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79414.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79514.1.4 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79514.1.5 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79714.1.6 Intégrale d’une fonction sur une sous-variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

14.2 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79914.2.1 Chemins de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79914.2.2 Intégrer une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79914.2.3 Intégrer un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80114.2.4 Intégrer une forme différentielle sur un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . 80114.2.5 Intégration d’une forme différentielle sur un chemin . . . . . . . . . . . . . 80214.2.6 Interprétation physique : travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80314.2.7 Intégrer un champs de vecteurs sur un bord en 2D . . . . . . . . . . . . . . 80414.2.8 Intégrer une forme différentielle sur un bord en 2D . . . . . . . . . . . . . . 80414.2.9 Intégrer une forme différentielle sur un bord en 3D . . . . . . . . . . . . . . 80414.2.10 Intégrer d’un champ de vecteurs sur un bord en 3D . . . . . . . . . . . . . 80514.2.11Dérivées croisées et forme différentielle exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

14.3 Surfaces paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80614.3.1 Graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80714.3.2 Intégrale sur une partie de Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

14.4 Intégrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80914.4.1 Intégrale d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

14.5 Intégrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81014.5.1 Aire d’une surface paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81014.5.2 Intégrale d’une fonction sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81114.5.3 Aire d’une surface de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81214.5.4 Intégrale d’une 2-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

14.6 Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81414.7 Divergence, Green, Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

14.7.1 Théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81714.7.2 Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81814.7.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

14.7.3.1 Quelle est la bonne orientation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

TABLE DES MATIÈRES 31

14.8 Résumé des intégrales vues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82114.8.1 L’intégrale d’une fonction sur les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82114.8.2 Intégrale d’une fonction sur un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82114.8.3 Intégrale d’une fonction sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82114.8.4 Intégrale d’une fonction sur un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82214.8.5 Conclusion pour les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82314.8.6 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82314.8.7 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82314.8.8 Conclusion pour les champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82314.8.9 Attention pour les surfaces fermées ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

14.9 Intégrales convergeant uniformément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82514.9.1 Définition et propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82514.9.2 Critères de convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

14.10Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82714.10.1Continuité sous l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82714.10.2Le coup du compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82914.10.3Dérivabilité sous l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82914.10.4Absolue continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83014.10.5Différentiabilité sous l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

14.11Formes différentielles exactes et fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83514.12Théorème d’Abel angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

14.12.1Passage à la limite sous le signe intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84114.12.2 Intégrale en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84114.12.3 Intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84214.12.4La méthode de Rothstein-Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842

14.13Rappel sur les intégrales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84714.14Intégrales le long de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

14.14.1Circulation d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84814.15Circulation d’un champ conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85014.16Intégration de fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

14.16.1 Intégration sur un domaine rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85114.16.2 Intégration sur un domaine non rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 85214.16.3Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

14.16.3.1 Le cas des coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85514.16.3.2 Les coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85614.16.3.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85714.16.3.4 Un autre système utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

14.17Les intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85814.17.1Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

14.18Un petit peu plus formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86114.18.1 Intégration sur un domaine non rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 86114.18.2Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

14.18.2.1 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86314.18.2.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

14.19Aire et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86314.19.1Longueur d’arc de courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86414.19.2Aire de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864

14.20L’aire en dessous d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86414.21Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86614.22Techniques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

14.22.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86814.22.2Changement de variables – pour trouver des primitives . . . . . . . . . . . . 86914.22.3Changement de variables – pour calculer des intégrales . . . . . . . . . . . . 870

32 TABLE DES MATIÈRES

14.22.4 Intégrations des fractions rationnelles réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . 87214.22.5Quelques formules à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

14.23Trucs et astuces de calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87314.23.1Quelques intégrales «usuelles» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87414.23.2Reformer un carré au dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87614.23.3Décomposer en fractions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

14.24Constructions plus naïves de l’intégrale dans le cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . 87714.24.1Mesure de Lebesgue, version rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87714.24.2Pavés et subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87814.24.3 Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88114.24.4 Intégrales partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88114.24.5Réduction d’une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88214.24.6Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88314.24.7 Intégrales multiples, cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88414.24.8Réduction d’une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88514.24.9 Intégrales sur des parties de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88614.24.10Intégrales sur des parties de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88914.24.11Fonctions et ensembles non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

15 Suites et séries de fonctions (Vol 2) 89315.1 Différentielle et dérivée complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89315.2 Série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

15.2.1 Intégration de séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89915.2.2 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

15.3 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90115.3.1 Disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90115.3.2 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90415.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90815.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

15.4 Dénombrement des solutions d’une équation diophantienne . . . . . . . . . . . . . 91115.5 Exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91215.6 Vitesses de xα, de l’exponentielle et du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91915.7 Nombres de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92215.8 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92415.9 Séries entières de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925

15.9.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92515.10Étude d’asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92715.11Développement en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

15.11.1Série génératrice d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92815.11.2Développement en série et Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92915.11.3Resommer une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931

15.11.3.1 Les sommes du typeřn P pnqxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931

15.11.3.2 Les sommes du typeřn x

nP pnq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93215.11.3.3 Sage, primitives et logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . 93415.11.3.4 Nombres de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936

15.12Séries entières de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93615.12.1Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93615.12.2Convergence et rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93615.12.3Exponentielle et logarithme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938

15.13Lemme de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94115.13.1Fonctions plateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94115.13.2Le lemme de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

TABLE DES MATIÈRES 33

16 Trigonométrie, isométries (Vol 3) 94516.1 Isométries de l’espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

16.1.1 Structure du groupe IsompRnq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94516.1.2 Classification des isométries de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94916.1.3 Segment, plan médiateur et équidistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95016.1.4 Isométries du tétraèdre régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950

16.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95116.2.1 Définitions, périodicité et quelque valeurs remarquables . . . . . . . . . . . 95116.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95716.2.3 Très modeste approximation de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95916.2.4 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95916.2.5 Les fonctions tangente et arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96016.2.6 La fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96216.2.7 La fonction arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96416.2.8 Une meilleure approximation de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96516.2.9 Forme trigonométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 96616.2.10Angle entre deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96716.2.11Aire du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968

16.3 Classification des isométries dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96916.3.1 Réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96916.3.2 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97116.3.3 Rotations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97516.3.4 Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97616.3.5 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978

16.4 Isométries dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98116.4.1 Groupes finis d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98516.4.2 Théorème de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98716.4.3 Groupe diédral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

16.4.3.1 Définition et générateurs : vue géométrique . . . . . . . . . . . . . 98816.4.3.2 Générateurs : vue abstraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99016.4.3.3 Classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99316.4.3.4 Le compte pour n pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99416.4.3.5 Le compte pour n impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

16.4.4 Applications : du dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99416.4.4.1 Le jeu de la roulette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99416.4.4.2 L’affaire du collier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995

16.5 Angles et rotations dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99516.5.1 Angles orientés, rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99516.5.2 Angles et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100016.5.3 Sous-groupes finis de SOp2q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001

16.6 Un peu de structure de Opnq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100116.6.1 Valeurs propres dans Opnq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100116.6.2 Sous-groupes finis de SOp3q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004

16.7 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101316.7.1 Les coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

16.7.1.1 Transformation inverse : théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101316.7.1.2 Transformation inverse : pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014

16.7.2 Coordonnées polaires comme changement de variables pour intégrales . . . 101516.7.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017

16.7.3.1 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101716.7.3.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

16.7.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101916.7.5 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019

34 TABLE DES MATIÈRES

16.7.6 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102016.7.7 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102016.7.8 Récapitulatif des changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021

16.7.8.1 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102116.7.8.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102116.7.8.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021

16.7.9 une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

17 Représentations et caractères (Vol 3) 102317.1 Représentations et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023

17.1.1 Crochet de dualité et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 102517.1.2 Groupes non abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102617.1.3 Représentations linéaires des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102617.1.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102717.1.5 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102917.1.6 Caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029

17.2 Équivalence de représentations et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103017.2.1 Représentation régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103217.2.2 Caractères et représentations : suite et fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033

17.3 Représentation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103617.4 Exemple sur le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103617.5 Table des caractères du groupe symétrique S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037

17.5.1 Calculs à partir de rien ou presque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103717.5.2 Représentation de S4 via les isométries du tétraèdre . . . . . . . . . . . . . 103917.5.3 À propos de la représentation ρu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

17.6 Table de caractères du groupe diédral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104117.6.1 Représentations de dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104117.6.2 Représentations de dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104217.6.3 Le compte pour n pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104417.6.4 Le compte pour n impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044

18 Suite de l’analyse (Vol 3) 104518.1 Densité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045

18.1.1 Théorème de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104518.2 Primitive de fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

18.2.1 Théorème taubérien de Hardi-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104918.2.2 Théorème de Müntz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053

18.3 Théorèmes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105618.3.1 Points fixes attractifs et répulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105618.3.2 Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105618.3.3 Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105918.3.4 Théorème de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106118.3.5 Théorème de Markov-Kakutani et mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . 1062

18.4 Théorèmes de point fixes et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106418.4.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106418.4.2 Théorème de Cauchy-Arzella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

18.5 Théorèmes d’inversion locale et de la fonction implicite . . . . . . . . . . . . . . . . 107218.5.1 Mise en situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107218.5.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107318.5.3 Théorème de la fonction implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107618.5.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

18.6 Décomposition polaire (régularité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107918.7 Théorème de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108118.8 Recherche d’extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

TABLE DES MATIÈRES 35

18.8.1 Extrema à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108418.8.2 Extrema libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108518.8.3 Extrema et Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108618.8.4 Un peu de recettes de cuisine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108818.8.5 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

18.9 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109018.9.1 Inégalité des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109118.9.2 Convexité et régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109218.9.3 Dérivées d’une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109218.9.4 Graphe d’une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109418.9.5 Convexité et hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109818.9.6 Quelque inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

18.9.6.1 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110218.9.6.2 Inégalité arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110218.9.6.3 Inégalité de Kantorovitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

18.10Algorithme du gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110418.11Ellipsoïde de John-Loewer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110818.12Formes quadratiques, signature, et lemme de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

18.12.1Lemme de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111518.13Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117

18.13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111718.13.2Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111718.13.3Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118

18.14Prolongement de fonctions et complétion d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . 111918.15Un petit extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125

19 Arc paramétré (Vol 3) 112719.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112719.2 Longueur d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112719.3 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130

19.3.1 Formule intégrale de la longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113119.4 Suite du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113519.5 Courbes paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136

19.5.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113619.6 Élément de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138

19.6.1 Élément de longueur : cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113819.6.2 Élément de longueur : polaires (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113819.6.3 Élément de longueur : polaires (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113819.6.4 Approximation de la longueur par des cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140

19.7 Arc géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114219.7.1 Abscisse curviligne et paramétrisation normale . . . . . . . . . . . . . . . . 114319.7.2 Tangente à une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148

19.8 Repère de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115019.8.1 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152

19.9 Hors des coordonnées normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115319.10Tracer des courbes paramétriques dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115619.11Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157

19.11.1Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115719.11.2Courbure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115819.11.3Degré, indice et homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161

19.12Courbes fermées planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116719.12.1Cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116719.12.2Description locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116919.12.3Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1170

36 TABLE DES MATIÈRES

19.12.4Courbure et convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117319.12.5Théorème des quatre sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117419.12.6Le théorème de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176

20 Géométrie hyperbolique (Vol 3) 117720.1 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

20.1.1 Cercles perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117720.1.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178

21 Espaces projectifs (Vol 3) 118321.1 Sous espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118321.2 Espace projectifs comme «complétés» d’espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . 118521.3 Théorème de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118821.4 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189

21.4.1 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118921.4.2 Le groupe projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119021.4.3 Repères projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119121.4.4 Identifications P pK2q vers KY t8u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119521.4.5 Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196

21.5 Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120221.5.1 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120221.5.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203

21.6 La sphère de Riemann P1pCq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120521.6.1 Éléments de géométrie dans P1pCq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205

21.6.1.1 Équation complexe d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120621.6.1.2 Équation complexe d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120621.6.1.3 Cercle-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120721.6.1.4 Rotation-homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120821.6.1.5 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120821.6.1.6 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208

21.6.2 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120921.6.3 Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121421.6.4 Division harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121721.6.5 Groupe circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122121.6.6 Action du groupe modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224

22 Analyse vectorielle (Vol 3) 122922.1 Le théorème de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122922.2 Théorème de la divergence dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233

22.2.1 La convention de sens de parcours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123322.2.2 Théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234

22.3 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123422.4 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123622.5 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238

22.5.1 Base locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123822.5.2 Importance de l’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123822.5.3 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124022.5.4 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124022.5.5 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124122.5.6 Gradient en coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241

22.5.6.1 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124222.5.7 Divergence en coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242

22.5.7.1 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124422.5.7.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244

TABLE DES MATIÈRES 37

22.5.8 Laplacien en coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . 124422.5.9 Rotationnel en coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . 1245

22.5.9.1 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124622.5.9.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246

22.6 Les formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124622.6.1 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124622.6.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124622.6.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247

23 Espaces de Hilbert (Vol 3) 124923.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249

23.1.1 Sous-espace vectoriel fermé ? ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125023.2 Théorème de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125023.3 Systèmes orthogonaux et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253

23.3.1 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125423.3.2 Dual, théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125523.3.3 Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125623.3.4 Base hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125823.3.5 Décomposition dans une base hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126323.3.6 Digression sur les normes opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126723.3.7 Applications linéaires et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268

23.4 Théorème de Kochen-Specker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126923.5 Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270

24 Analyse fonctionnelle (Vol 3) 127524.1 Théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127524.2 Théorème de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127624.3 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278

24.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127824.3.2 L’espace L8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128124.3.3 Quelque identifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128124.3.4 Inégalité de Jensen, Hölder et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128224.3.5 Ni inclusions ni inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128424.3.6 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128624.3.7 Densité des fonctions infiniment dérivables à support compact . . . . . . . . 129024.3.8 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293

24.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129424.4.1 Approximation de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129524.4.2 Densité des polynôme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297

24.5 L’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129924.5.1 Coefficients et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130024.5.2 Dualité et théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . 1302

24.6 Théorèmes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131024.7 Théorème de Tietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131224.8 Espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315

24.8.1 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131624.8.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319

25 Analyse complexe (Vol 3) 132125.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1321

25.1.1 Équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132125.1.2 Intégrales sur des chemins fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132225.1.3 Lacets, indice et homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132525.1.4 Théorème de Cauchy et analycité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326

38 TABLE DES MATIÈRES

25.1.5 Théorème de Brouwer en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132925.1.6 Principe des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133025.1.7 Prolongement de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133125.1.8 Théorème de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331

25.2 Intégrales de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133325.2.1 Mesure de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338

25.3 Conditions équivalentes à l’holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133925.4 Singularités, pôles et méromorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133925.5 Fonctions d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1340

25.5.1 Euler et factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134325.6 Partition d’un entier en parts fixées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134425.7 Exponentielle et logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347

25.7.1 Définition et propriétés de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134725.7.2 Intégrale de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134925.7.3 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351

25.7.3.1 La fonction argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135125.7.3.2 Une définition possible du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . 135425.7.3.3 Pas plus de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135625.7.3.4 Pas d’unicité : autres déterminations de l’argument . . . . . . . . 135725.7.3.5 Pas d’unicité : développement en série . . . . . . . . . . . . . . . . 135825.7.3.6 Pas d’unicité : laquelle choisir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135825.7.3.7 Logarithme comme primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359

25.8 Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136025.9 Théorème de Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136125.10Espaces de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363

26 Série de Fourier (Vol 3) 136726.1 Densité des polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367

26.1.1 Convergence pour les fonctions continues (via Weierstrass) . . . . . . . . . . 136726.1.2 Convergence pour les fonctions continues (via Fejér) . . . . . . . . . . . . . 136726.1.3 Densité dans Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137026.1.4 Suite équirépartie, critère de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371

26.2 Fonctions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137326.3 Coefficients et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374

26.3.1 Le contre-exemple que nous attendions tous . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137726.3.2 Inégalité isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137926.3.3 À propos des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1380

27 Transformation de Fourier (Vol 4) 138327.1 Transformée de Fourier dans L1pRdq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383

27.1.1 Formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138627.2 Transformée de Fourier dans l’espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388

27.2.1 Quelque transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139127.3 Suite régularisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393

27.3.1 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139527.4 Transformée de Fourier sur L2pRdq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397

27.4.1 Extension de L1 X L2 vers L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397

28 Distributions (Vol 4) 140128.1 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401

28.1.1 Dérivée partielle au sens faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140128.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404

28.2.1 Multiplication d’une distribution par une fonction . . . . . . . . . . . . . . 140628.2.2 Dérivée de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406

TABLE DES MATIÈRES 39

28.2.3 Ordre et support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140728.3 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410

28.3.1 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141128.3.2 Distributions associées à des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141128.3.3 Composition avec une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141228.3.4 Transformée de Fourier d’une distribution tempérée . . . . . . . . . . . . . 141228.3.5 Convolution d’une distribution par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 141228.3.6 Approximation de la distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141328.3.7 Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416

28.4 L’espace C8pR,D 1pRdqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141728.4.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419

28.5 L’espace C8pR,S 1pRdqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142028.5.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142028.5.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422

28.6 Une équation de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424

29 Espaces de Sobolev, équations elliptiques (Vol 4) 142729.1 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427

29.1.1 Sur un intervalle de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142729.1.2 Sur un ouvert de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433

29.1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143329.1.3 Espace de Sobolev fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434

29.2 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143729.3 Théorème de plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440

30 Équations différentielles ordinaires (Vol 4) 144530.1 Équation homogène, solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144630.2 Que faire avec fpzqdz “ gptqdt ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144630.3 Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448

30.3.1 Pourquoi la variation des constantes fonctionne toujours ? . . . . . . . . . . 144930.4 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1450

30.4.1 La méthode rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145130.4.2 La méthode plus propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145130.4.3 Les théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451

30.5 Équations linéaires d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145330.5.1 Équations et systèmes linéaire à coefficients constants . . . . . . . . . . . . 145330.5.2 Si les coefficients ne sont pas constants ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454

30.6 Système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145430.6.1 La magie de l’exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145430.6.2 . . .mais la difficulté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145530.6.3 La recette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145530.6.4 Système d’équations linéaires avec matrice constante . . . . . . . . . . . . . 145630.6.5 Système d’équations linéaires avec matrice non constante . . . . . . . . . . 1456

30.7 Réduction de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145630.8 Autour de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458

30.8.1 Fuite des compacts et explosion en temps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 145830.8.2 Écart entre deux conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146030.8.3 Flot d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146130.8.4 Stabilité de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147530.8.5 Système proie et prédateurs : Lokta-Voltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479

30.9 Équation du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148230.9.1 Wronskien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148230.9.2 Avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148230.9.3 Équation y2 ` qptqy “ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483

40 TABLE DES MATIÈRES

30.9.4 Équation de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148430.10Différents types d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487

30.10.1Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148730.10.2Équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148830.10.3Équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148830.10.4Équation différentielle exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488

30.10.4.1 Résolution lorsque tout va bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148830.10.4.2 Facteur intégrant (quand tout ne va pas bien) . . . . . . . . . . . 1489

30.11Distributions pour les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148930.11.1Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1490

30.12Équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149330.13Équations différentielles du premier ordre à variables séparables . . . . . . . . . . . 149630.14Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498

30.14.1Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150030.15Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501

30.15.1Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre homogènesà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501

30.15.2Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants,non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503

30.16Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504

31 Équations aux dérivées partielles (Vol 4) 150731.1 Symbole principal, équation des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150731.2 Méthode des caractéristiques pour l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507

31.2.1 Un exemple complet un peu minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150831.2.2 Un théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510

31.3 Méthode des caractéristique pour l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151331.3.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151331.3.2 Exemple : l’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514

31.4 Classification des équations du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151631.4.1 Problème au limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517

31.5 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151831.6 Quelque exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522

31.6.1 Un changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522

32 Numérique (Vol 4) 152532.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152532.2 Représentations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525

32.2.1 Entier relatif en complément à deux (binaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . 152532.2.2 Représentation en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152732.2.3 Simple précision, IEEE-754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527

32.3 Problèmes pour écrire des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153032.3.1 Troncature : la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153032.3.2 Troncature : le drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153132.3.3 Quelque bonnes règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153232.3.4 Erreur de “cancellation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153232.3.5 Calcul d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153432.3.6 Erreur d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535

32.4 Conditionnement et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153532.4.1 Comment choisir et penser le K ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538

32.5 Un peu de points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153932.5.1 Choix de la fonction à point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153932.5.2 Convergence quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154132.5.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542

TABLE DES MATIÈRES 41

32.6 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154332.6.1 «Justification» par la formule par Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154432.6.2 «Justification» par points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154432.6.3 Convergence de la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154532.6.4 Formalisation de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154732.6.5 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154832.6.6 Exemple de la racine carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154832.6.7 Si multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154932.6.8 Et la dérivée ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154932.6.9 Méthode de Newton : le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549

32.7 Estimation de l’ordre de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155132.8 Autres méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552

32.8.1 Méthode de Schröder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155232.8.2 Halley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552

32.9 Méthode des sécantes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155332.9.1 Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553

32.10Équations algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155432.10.1Résoudre un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155432.10.2Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155532.10.3Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555

32.11Équations non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155632.11.1Méthode de bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557

32.12Efficacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155932.13Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156032.14Approximations de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563

32.14.1Critère d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156332.14.2Base de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156432.14.3Méthode des minima quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156632.14.4Notre espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156732.14.5Droite de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568

32.15Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156932.15.1Perturbation du vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157132.15.2Perturbation de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572

32.16Système linéaires (généralités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157332.16.1Les méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157432.16.2Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575

32.17Système linéaires (méthodes directes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157532.17.1 Inversion de matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157532.17.2Transformation gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157532.17.3Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires . . . . 157732.17.4Méthode de Gauss sans pivot (décomposition LU) . . . . . . . . . . . . . . 157832.17.5Matrice de permutation élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581

32.18Méthode de Gauss avec pivot partiel (décomposition PLU) . . . . . . . . . . . . . 158232.18.1L’idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158232.18.2Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158332.18.3D’un point de vue algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158732.18.4Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589

32.19Résolution de systèmes linéaires (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159232.19.1Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159232.19.2Plusieurs termes indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159232.19.3Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593

32.20Système linéaire (méthodes itératives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159632.20.1La méthode générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597

42 TABLE DES MATIÈRES

32.20.2 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159732.20.3Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159732.20.4Autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597

32.21Indices connectés, matrice irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159732.22Localisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599

32.22.1Matrices à diagonale dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160232.22.2M-matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604

33 Méthodes des différences finies (Vol 4) 160933.1 Problèmes de dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609

33.1.1 Un schéma à cinq points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161033.1.1.1 Poser le système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161033.1.1.2 Propriétés du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612

33.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161433.2 Problèmes de dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615

33.2.1 Discrétisation en croix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161533.2.2 Discrétisation en carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161633.2.3 Résolution de la discrétisation en croix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617

33.3 Consistance, convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161933.3.1 Définitions, mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161933.3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162133.3.3 Consistance, stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162233.3.4 Exemple : schéma à cinq points, laplacien en croix . . . . . . . . . . . . . . 1623

33.4 Autres laplaciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162433.4.1 Travail avec le laplacien à 9 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627

34 Variables aléatoires et théorie des probabilités (Vol 4) 162934.1 Espace de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162934.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1630

34.2.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163034.2.2 Lois conjointes et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163334.2.3 Somme et produit de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . 163434.2.4 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163634.2.5 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163734.2.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163834.2.7 Probabilité conditionnelle : événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163934.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164034.2.9 Probabilité conditionnelle : tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164634.2.10Variables de Rademacher indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164834.2.11Un petit paradoxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1650

34.2.11.1 «Bonjour, je suis l’aînée» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165034.2.11.2 «Bonjour» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165134.2.11.3 Le parent qui répond aux questions . . . . . . . . . . . . . . . . . 165334.2.11.4 À propos des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655

34.2.12 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165534.2.13Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165634.2.14Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165634.2.15Fonction génératrice des moments, transformée de Laplace . . . . . . . . . 165734.2.16Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165834.2.17Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659

34.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166034.4 Loi des grands nombres, théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665

34.4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166534.4.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667

TABLE DES MATIÈRES 43

34.4.3 Marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167034.5 Les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671

34.5.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167134.5.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167234.5.3 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167334.5.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167334.5.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167434.5.6 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167434.5.7 Approximation de la binomiale par une Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 167734.5.8 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167834.5.9 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167934.5.10Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168134.5.11Variable aléatoire de Rademacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168534.5.12Loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168734.5.13 Indépendance, covariance et variance de somme . . . . . . . . . . . . . . . . 1688

34.6 Estimation des grands écarts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168834.7 Simulations de réalisations de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692

34.7.1 Générateur uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169234.7.1.1 Première méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169234.7.1.2 Seconde méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692

34.7.2 Simulation par inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169234.7.2.1 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693

34.7.3 Algorithme de Box-Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169334.7.4 Méthode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169434.7.5 Simuler une loi géométrique à l’ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169634.7.6 Simuler une loi exponentielle à l’ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169634.7.7 Simuler une loi de Poisson à l’ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696

34.8 Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169734.8.1 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169734.8.2 Inverser des lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697

34.9 Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169734.9.1 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698

34.9.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169834.9.1.2 Échantillonnage préférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169934.9.1.3 Méthode de la variable de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170034.9.1.4 Variables antithétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1700

34.10Résultats qui se démontrent avec des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 170034.10.1Nombres normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170034.10.2Théorème de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702

35 Statistiques (Vol 4) 170735.1 Notations et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170735.2 Modèle statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170735.3 Modèles d’échantillonnages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171035.4 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171335.5 Statistiques et estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715

35.5.1 Qualité des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171535.5.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171635.5.3 Méthode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171835.5.4 Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171835.5.5 Estimation d’une fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172035.5.6 Espérance et variance d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723

35.6 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172335.6.1 Région de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726

44 TABLE DES MATIÈRES

35.6.2 Fonction pivotale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172635.6.3 Sondage de proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729

35.7 Estimer une densité lorsqu’on ne sait rien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173035.7.1 Distance entre des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173135.7.2 Estimateur par fenêtres glissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731

35.8 Test d’hypothèses, prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173435.8.1 Exemple : qualité des pièces d’usine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173435.8.2 Exemple : la résistance d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173435.8.3 Vocabulaire et théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173535.8.4 Risque de première et seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173635.8.5 Modèle paramétrique de loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737

35.9 Tests paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173835.10Tests d’adéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739

36 Chaînes de Markov à temps discret (Vol 4) 174536.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174536.2 Chaînes de Markov sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174636.3 Marche aléatoire sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748

36.3.1 Chaînes de Markov homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175036.3.2 Graphe de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175136.3.3 Chaîne de Markov définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751

36.3.3.1 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175136.3.3.2 Exemple : la file de réparation de machines à laver . . . . . . . . . 1753

36.4 Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175336.4.1 Chaînes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175636.4.2 Nombre de visites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757

36.5 Mesure invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176236.6 Convergence vers l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176436.7 Processus de Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766

37 Martingales (Vol 4) 177137.1 Convergence de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177137.2 Temps d’arrêt et martingale terminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177437.3 Décomposition de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177637.4 Problème de la ruine du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778

37.4.1 Le cas où la pièce est truquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177937.4.1.1 Introduction d’une martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177937.4.1.2 Finitude du temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178037.4.1.3 Temps moyen de jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178037.4.1.4 Probabilité de victoire du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781

37.4.2 Le cas où la pièce est non truquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178237.4.2.1 Probabilité de gagner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178237.4.2.2 Temps moyen de jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784

37.4.3 Un petit complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784

38 Processus de Poisson (Vol 4) 178538.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178538.2 Quelques trucs sur la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788

38.2.1 Le théorème central limite pour Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178938.2.2 Feuille 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178938.2.3 Feuille 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178938.2.4 Feuille 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179038.2.5 Simuler des lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1790

TABLE DES MATIÈRES 45

39 Utilisation dans les autres sciences (Vol 4) 179139.1 Démystification du MRUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791

39.1.1 Preuve de la formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179139.1.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792

39.2 Relativité en mécanique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179239.2.1 Relativité du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179239.2.2 Bob et Alice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792

39.3 Invariance de la vitesse de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179339.3.1 Champ de gravitation et électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793

39.3.1.1 Finitude de la vitesse de propagation de la force électrique . . . . 179339.3.1.2 Pourquoi pas la gravitation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793

39.3.2 Support du champ : pas d’éther . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179439.3.3 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794

39.4 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179439.4.1 Ligne d’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179439.4.2 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179539.4.3 Conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179839.4.4 La notion d’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799

39.4.4.1 En mécanique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179939.4.4.2 En mécanique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799

39.4.5 Le cône de lumière d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179939.4.6 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180039.4.7 Dilatation des intervalles de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180039.4.8 Invariance de l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1801

39.4.8.1 Rappel de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 180239.4.8.2 Les transformations de Lorentz (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804

39.4.9 Vitesse limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180639.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806

39.5.1 Le GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180639.5.2 Les ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806

39.6 Mécanique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180639.6.1 Des problèmes, toujours des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180739.6.2 Loi d’addition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180739.6.3 L’action d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180839.6.4 Équivalence entre la masse et l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809

39.7 Principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809

40 Exemples avec Sage (Vol 4) 1811

41 Épilogue : la constante de Weiner (Vol 4) 1831

42 GNU Free Documentation License (Vol 4) 1833

Bibliographie 1841

Index

λ-système, 695p-Sylow, 319p-groupe, 319Éther, 1794Événement, 1799élément

inversibledans un anneau, 142

élémentairepolynôme symétrique, 200

équationaux variations, 1467de Riccati, 1488des classes, 132des orbites, 132différentielleétude qualitative, 1486Hill, 1484homogène, 1487système, 1486

diophantienne, 120, 158, 161Fredholm, 1059orbite-stabilisateur, 131

équation différentiellelinéaire du premier ordre, 1498linéaire du premier ordre, homogène, 1499linéaire du second ordre, 1501linéaire du second ordre, homogène, 1501premier ordre, 1493second ordre, 1494variables séparables, 1496

équation homogène associée, 1499équilibre

point point une équation différentielle, 1475équivalence

de norme, 451étagée

fonction, 726état

apériodique, 1765récurrent, 1754récurrent positif, 1754transitoire, 1754

étranger

dans leur ensemble, 166

abélianisé, 110Abel

angulaire, 838convergence radiale, 906

abscissecurviligne, 1143

absolument continue, 830absorbant, 1753accélération d’un chemin, 1127accroissement, 652accumulation

dans R, 293dans espace vectoriel normé, 379

action, 129adjointe, 130de groupeWedderburn, 209

domaine fondamental, 132fidèle, 129libre, 133transitive, 133

action de groupe, 350sur des matrices, 1115

adhérence, 291, 375affine

application, 494espace, 491sous-espace, 496

affine (application), 309aire, 888algébrique

extension, 184nombre, 191par rapport à une extension de corps, 196

algébriquementindépendant, 242

algèbre, 148de parties, 690engendrée, 148polynômes, 165

algorithme, 1555consistant, 1555

46

INDEX 47

convergeant, 1555facteurs invariants, 163fortement consistant, 1555stable, 1555

alignementdans un espace projectif, 1184

alternégroupe, 334polynôme, 200

alternéeforme linéaire, 343

analytiqueau sens complexe, 1326

angled’une courbe, 1160entre deux droites, 976entre vecteurs, 967orienté de vecteurs, 997

AnneauZnZpolynôme cyclotomique, 205

anneau, 93ZnZ, 209, 213, 329, 464à division, 171de séries formelles, 922utilisation, 1344

euclidienfacteurs invariants, 163

factoriel, 153intègre, 148noetherien, 156principal, 155, 175, 387utilisation, 177

quotient par un idéal, 144apériodique

état d’une chaîne de Markov, 1765chaîne de Markov, 1765

applicationdéfinie positive, 357de classe Ck, 629différentiable, 591, 593, 626, 629, 1074, 1115extrema lié, 1089

en escalier, 880linéairethéorème de Banach-Steinhaus, 1276

mesurable, 694multilinéaire, 484ouverte, 482semi-définie positive, 357tangente, 597

application réciproque, 294approximation

de fonctions

par des polynômes, 1703de l’unité, 1295par polynômes, 1051polynômiale, 1331

arcgéométriques, 1142paramétré, 1127

arc cosinus, 964arc sinus, 962arc tangente, 961archimédien, 94associée

subdivision, 880associés

éléments d’un anneau, 150asymptotiquement pivotale, 1726attractif

point fixe, 1056automorphisme

d’espace vectoriel, 305axiome

du choix, 89

Bézoutanneau principal, 155calcul effectif, 117nombres entiers, 114polynômes, 183

Baireespace, 298théorème, 290, 299tribu, 688

Banachespace, 1249

barycentrecas affine, 497cas vectoriel, 985enveloppe convexe, 501

base, 301canonique de Rm, 304d’un module, 147de Newton, 1564de topologie, 247dénombrable, 259espace métrique, 259

duale, 586espace préhilbertien, 1258hilbertienne, 1258utilisation, 1379

locale, 1238Bergman (espace), 1363Bernoulli, 1671

somme, 1689Berry-Esséen (borne), 1670

48 INDEX

Besselinégalité, 1257

biaisd’estimateur, 1716

bienconditionné, 1536enchaîné, 288

bijection, 294bilinéaire, 484binormale, 1151birégulier

point sur une courbe, 1140birapport, 1196birapport dans CY t8u, 1214Bolzano-Weierstrass

espaces métriques, 283bon

ordre, 90borélienne

fonction, 710tribu, 687

boréliens, 687bord, 292borné, 248

partie de V , 371temps d’arrêt, 1774

bornée, 272différentielle, 625partie de Rm, 535suite, 266

bouleavec semi-normes, 295fermée, 291, 371ouverte, 247, 291, 371

Bruhat (décomposition), 678Burnisde

formule, 133

Cône de lumière, 1799canonique

base, 304décomposition, 91espace affine, 491

Cantorensemble, 762

caractéristiqued’un anneau, 145d’une équation différentielle, 1507polynôme, 389sous-groupe, 107

caractère, 1029abélien, 1023de S4, 1037groupe diédral, 1041

irréductible, 1030cardioïde, 1140carré

dans un corps fini, 213catégorie

ensemble de première, 290Cauchy

critèreuniforme, 647

déterminant, 352formule, 1326produit, 904théorème, 319

Cauchy-Riemann, 1321Cauchy-Schwarz, 357, 1250Cayley

théorème, 319cellule d’un pavage, 879centrale (application), 1030centralisateur, 107, 141centre

d’un anneau, 141d’un groupe, 107d’une rotation, 972

cerclecirconscrit à une courbe, 79, 1167dans la sphère de Riemann, 1206

cercle-droite, 1207cercles

perpendiculaires, 1177Cesaro

moyenn, 476chaîne, 288

de Markov, 1745apériodique, 1765convergence, 1766finie, 1746homogène, 1745irréductible, 1751récurrente positive, 1760régulière, 1747

champconservatif, 850de vecteurs, 801

champ dérivant d’un potentiel, 850changement de variable, 1142Chasles, 491Chemin

classe C2, 799chemin, 799, 1127

dans Rp, 1127circulation, 848clôture algébrique, 191

INDEX 49

classeconjugaisondans S4, 333

d’association, 150de conjugaison, 109

classe C1, 612classe d’association, 150codimension, 305coefficient

de Fourier, 1367coefficients

de Fourier, 1300coefficients binomiaux, 143coercion, 1270coercive, 1104colinéarité, 1183combinaison

convexe, 497combinatoire, 994commutant, 431commutateur

dans un groupe, 109compacité, 283, 285, 289, 1335, 1360

sous-groupes du groupe linéaire, 680théorème de Dini, 649utilisation, 1109théorème de Montel, 1361

compact, 246, 373, 537arc paramétré, 1127Bolzano-Weierstrass dans Rn, 276boule unité, 276et fonction continue, 276, 284fermé et borné, 275implique fermé, 262intervalle ra, bs, 274le coup du, 829localement, 247opérateur, 1275produit dénombrable, 290produit fini, 289quasi, 247relatif, 1275relativement, 247séquentiellement, 247suite exhaustive, 287

complémentà deux, 1526

complémentaire, 90complété

d’un espace métrique, 1123complétion

projective, 1186complétude, 1121, 1123, 1286

de R, 467espaces Lp, 1287

complètefamille de projecteurs, 147

completR, 257corps, 94espace mesuré, 700espace topologique, 252métrique, 252

composante, 652composition

suite de, 125concave, 1090

log-concave, 1097condition initiale, 1494conditionnement

absolu, 1536d’une matrice inversible, 1570relatif asymptotique, 1555

conjuguéséléments d’une extension, 185

connectésindices d’une matrice, 1597, 1598

connexepar arc, 278

connexité, 289définition, 264et intervalles, 273fonction holomorphe, 1330indice d’une courbe, 1325le groupe GL`pn,Rq, 669par arcfonction différentiable, 627

points d’accumulation, 285prolongement analytique, 1125signature d’une forme quadratique, 1112théorème de Runge, 1331théorème des valeurs intermédiaires, 517utilisationBrouwer, 1329

Conservative, 803consistance

estimateur, 1715ordre, 1620

constructibleangle, 237point, 233réel, 233

constructiondes réels, 101

contenu, 167continue, 514

50 INDEX

fonctionen un point, 261

fonction entre espaces métriques, 279fonction entre espaces topologiques, 261fonction réelle, 514forme différentielle, 586sur espace métrique, 519uniformément, 535

continuité, 541fonction définie par une intégrale, 827séquentielle, 280sur un intervalle, 514

contraction, 1056convergeant

schéma discret, 1620convergence

absolue, 469commutative, 409dans un espace vectoriel normé, 467de martingales, 1775de suite, 246en loi, 1660en probabilité, 1660normale, 469ordre, 1551presque sûrement, 1660quadratique, 1541rapidité, 920, 1386, 1387, 1550, 1689série, 469suitedans un corps, 94

suite dans Rm, 293suite numérique, 266, 1051, 1371Abel angulaire, 838

uniforme, 646intégrale, 825série de fonctions, 470théorème de Dini, 649

convergentestimateur, 1715

convexecourbe plane, 1169fonction sur Rn, 1098

convexitébarycentre, 500enveloppe de Opnq, 676fonction, 1090inégalité de Jensen, 1102locale, 1311méthode de Newton, 1546stricte, 1090utilisation, 1109

convolution, 1635, 1768

coordonnéesbarycentriques, 505cartésiennesdans un espace affine, 504

curvilignes, 1238cylindrique, 1020dans un espace affine, 492homogène, 1202sphériques, 1020

corps, 93archimédien, 94complet, 94de décomposition, 191de rupture, 189polynôme cyclotomique, 205

des fractions, 152des fractions rationnellesutilisation, 1344

extension, 193, 201fini, 213, 217, 220Wedderburn, 209

formellement réel, 171ordonné, 94premier, 173

cosinus, 951angle entre deux vecteurs, 967hyperbolique, 924

courbe, 1127étude métrique, 1379de Jordan, 1176, 1379efficacité, 1736fermée, 1157simple, 1157

courbe de niveau, 571, 574courbure, 1151

signée, 1158totale, 1159

covariance, 1638critère

Abel, 902Abel pour intégrales, 826Cauchyuniforme, 647

de Cauchy, 467série alternée, 474Weierstrass, 826série de fonctions, 898

critiqueGalton-Watson, 1768point, 1085point d’un arc, 1140région, 1735valeur, 1736

INDEX 51

cycliqueendomorphisme, 385groupe, 107matrice, 385

cycloïdecoordonnées normales, 1145longueur, 1139

décalage, 1527décimale

décomposition, 479décomposition

Bruhat, 678canonique, 91corps, 191Dunford, 416application, 418exponentielle de matrice, 417

Jordanet exponentielle de matrice, 418

polaire, 674primaire, 415sous-espaces caractéristiques, 415spectrale, 415

dénombrable, 92à l’infini, 247

dénombrement, 994partitions de t1, . . . , nu, 922

dérivégroupe, 109

dérivéeau sens de distributions, 1427dans Sobolev H1pIq, 1427directionnelle, 578, 582distributionnelle, 1406faible, 1401fonction à valeurs dans E1, 298partielle, 578, 580, 651seconde, 563

dérivabilitéfonction définie par une intégrale, 829lemme de Borel, 942

dérivable, 557, 563au sens complexe, 893fonction, 1445

dérivationau sens des distributionSobolev, 1431

déterminant, 343Cauchy, 1054d’un endomorphisme, 348d’une famille de vecteurs, 345de Cauchy, 352et inversibilité, 348

forme linéaire alternée, 343Gram, 352, 1054interprétation géométrique, 776résultant, 354, 842utilisation, 1109Vandermonde, 349

déterminationlogarithme, 1357principale, 1357

développableen série entière, 929

développementasymptotique, 646limitéen zéro, 638fonction holomorphe, 1321premier ordre, 562

Taylor, 1115degré

application S1 Ñ S1, 1161d’un polynôme, 165d’une représentation, 1023extension de corps, 185

densenulle part, 290

densité, 1123conjointe, 1634d’une variables aléatoire, 1630dans un espace de fonctioncritère de Weyl, 1371

de Q dans R, 258utilisation, 1096

de GLpn,Rq dans Mpn,Rq, 669de DpRnq dans L1pRnq, 1318de C8c pRdq dans LppRdq, 1291de L2`r0, 1s˘ dans Lp

`r0, 1s˘, 1292de S`pn,Rq dans S``pn,Rq, 673des fonctions étagées dans Lp, 1291des polynômesdans C0

c r0, 1s, 1703matrices diagonalisables dans Mpn,Cq, 669mesure, 78, 739points extrémaux dans L, 675prolongement, 1121

densité d’une mesure, 739diédral, 995diagonale

dominante, 1602fortement dominante, 1602strictement dominante, 1602

diagonalisable, 397et polynôme minimum scindé, 397exponentielle, 418

52 INDEX

diagonalisationcas complexe, 404cas réel, 406endomorphisme auto-adjoint, 446simultanée, 399

diamètre, 535difféomorphisme, 616, 862, 1017

de classe Ck, 629différence

centrée, 1609divisée, 1565progressive, 1609régressive, 1609

différentiabilité, 627différentiable, 597

dans un Banach, 612deux fois, 629sur un ouvert, 603

différentielle, 591, 592, 612de u ÞÑ u´1, 621partielle, 617totale, 652

dilatation, 662dilatation (matrice), 162dimension, 304

n-formes multilinéaires alternées, 343définition, 304sous espace affine, 496utilisation, 501

direction, 579, 1148sous-espace affine, 496

Dirichletnoyau, 1368théorème, 1368théorème (sur les nombres premiers), 209

disque de convergence, 901, 903distance, 247

associée à une norme, 251compatible, 249entre deux mesures de probabilités, 1731invariante, 249point et ensemble, 282

distingué, 107distribution, 1404

équation de Schrödinger, 1490de Dirac, 1410produit par une fonction, 1406tempérée, 1410

divergence, 655diviseur

dans un anneau, 141de zéro, 148de zéro à droite, 148

polynôme, 166division

euclidienne, 113, 166harmonique, 1217

domaine, 511fondamental d’une action, 132

dominémodèle statistique, 1714

dominéeconvergence (Lebesgue), 738mesure, 743

droitedans la sphère de Riemann, 1206projective, 1183

dualalgébrique, 312d’un espace de Hilbert, 1255de Mpn,Kq, 316de LppΩq, 1309de Lp, 1305topologique, 312

Dunforddécomposition, 416

dyadique, 765

écart-type, 1637échantillon, 1708, 1710effectif

empirique, 1739efficacité

courbe, 1736d’une méthode itérative, 1559

élémentde surface, 811de torsion, 136

élément de surface, 793ellipsoïde, 445elliptique

équation aux dérivées partielles, 1516endomorphisme, 305

auto-adjoint, 446cyclique, 385décompositionpolaire, 674

diagonalisable, 437, 671, 1486Dunford, 416

diagonalisation, 406nilpotentDunford, 416

préservant une forme quadratique, 682sous-espace stable, 416, 1486

engendré, 144λ-système, 695corps et anneau, 186

INDEX 53

idéal dans un anneau, 144sous-espace affine, 496sous-groupe, 108tribu, 686par une variable aléatoire, 1631

ensemblede Cantor, 762différence symétrique, 91infini, 89

entrelacement, 1030enveloppe

convexe, 500équation

différentiellelinéaire, 1448ordinaire d’ordre 1, 1445variables séparées, 1450

générale de degré n, 243équicontinuité, 1275équi-intégrable, 1775équivalence

arcs paramétrés, 1142chemin, 1134classe de fonctions, 1278de représentations, 1030de suites, 468homotopie, 1325norme, 451relation, 91suite de composition, 127

erreur, 1566, 1596assignation, 1530de consistance, 1620discrétisation, 1620quadratique, 1569troncature, 1530

erreur relative, 1530escalier, 726espérance, 1636

conditionnelle, 1640, 1641événement, 1642variable aléatoire, 1646

Espacede Sobolev, 1433

espaceL2

Sobolev, 1431Lp, 1279Banach, 1249de Baire, 298de Bergman, 1363de fonctionsLp, 1287

Sobolev H1, 1431de Hilbertespace de Sobolev H1, 1431

de probabilité, 1629de Schwartz, 1315, 1410de Sobolev, 1427, 1434euclidien, 361métrique, 247base de topologie, 259

mesuré, 692complété, 703

mesurable, 685projectif, 1183propre, 380tangent, 1118topologique, 264métrisable, 279

vectorieldimension, 343

espace vectorieltopologique, 249

estimateur, 1715biais, 1716consistant, 1715convergent, 1715de fonction de répartition, 1721maximum de vraisemblance, 1718

estimationdes grands écarts, 1689

étrangerspolynômes, 166

Euclidealgorithme étendu, 116lemme, 118

euclidienanneau, 156espace, 358

Eulerindicatrice, 139

événement, 1629exact

intervalle de confiance, 1724excès

intervalle de confiance, 1724exhaustive (suite de compacts), 287exponentielle, 916

complexe, 1347convergence, 476de matrice, 418, 486, 938utilisation, 1082

existence, 913rapide, 466unicité, 913

54 INDEX

exposant, 326, 437d’un groupe, 108

extensioncorps de base, 420de corps, 184, 201algébrique, 184, 189finie, 222simple, 186utilisation, 238

isométrie, 1122extrémal

point dans un convexe, 675extrémité

d’un intervalle, 273extrapolation, 1564extrema, 1086

lié, 1089localrelatif, 1088

volume d’un ellipsoïde, 1109extremum, 1115

facteurintégrant, 1489

factorielanneau, 153

factorisationde polynôme, 168, 187

faisceau de droites, 1203famille

sommable, 410Fatou, 737Fejér

noyau, 1368fermé, 245, 292, 373

dans un compact, 262fermeture, 375

séquentielle, 281fidèle (action), 129filtration, 1771fine

subdivision, 1128fixateur, 129flot, 1462, 1507flux

d’un champ de vecteur, 818flux d’un champ de vecteurs, 815fonction, 511

Γ d’Euler, 1341étagée, 1290à décroissance rapide, 1315borélienne, 710caractéristique, 882d’une variable aléatoire, 1656

continueégales, 282par morceaux, 729

convexe, 1090, 1096croissante, 511décroissante, 511définie par une intégrale, 827, 832, 942, 1360

Γ d’Euler, 1341utilisation, 1676

de classe C1, 625de Dirichlet, 1373de Möbius, 231de répartition, 1656en escalier intégrable, 881génératrice, 1657holomorphe, 893, 1360théorème de Montel, 1361

image, 511méromorphe

Γ d’Euler, 1341monotone, 512par morceaux, 729

valeurs vectorielles, 652fonctionnelle

énergie, 1272fondamental

domaine d’une action, 132forme

bilinéaire, 357non dégénérée, 443

différentielle, 586exacte, 835fermée, 835

linéairedifférentielle, 1089

quadratique, 441, 988, 1112, 1114, 1115groupe orthogonal, 682matrice associée, 441

forme canoniquefonction simple, 726

forme linéairealternée, 343

formuleBayes, 1639Burnside, 133d’expulsion (produit vectoriel), 368de Cauchy, 1326Hadamard, 903inversion Möbius, 231probabilité totales, 1639sommatoire de Poisson, 1386Stirling, 468Taylor

INDEX 55

reste intégral, 637utilisation, 1550

Fourier, 1386sérieutilisation, 1379

transforméegroupe abélien fini, 1025

fréquenceempirique, 1739, 1757

fractionrationnelleintégration, 842

fraction rationnelle, 872fractions (corps), 152Fredholm

équation, 1059Frenet

formules, 1152Fresnel

intégrale, 1349Frobénius

réduction, 428Frobenius

morphisme, 146frontière, 292, 378Fubini

théorèmedans Rn, 791

générateur, 107génératrice

partie d’un module, 147géométrie

avec des groupes, 988, 1224avec nombres complexes, 988, 1224

géométriqueavec des nombres complexes, 1379

Galton-Watsonsous-critique, 1768sur-critique, 1768

Gausslemmepolynômes, 184

somme de, 215Gershgorin

disque, 1599Grönwall (lemme), 1445, 1446gradient, 594, 603, 624Gram (déterminant), 352Gram-Schmidt, 361graphe, 511, 560

de transition (chaîne de Markov), 1751fonction, 570fonction de deux variables, 573

groupep-groupe, 319GLpn,Rq, 1114action, 1224utilisation, 682

agissant sur un ensemblediédral, 988

alterné, 334circulaire, 1221dérivé, 109de GLpn,Kq, 667de SLpn,Kq, 667du groupe alterné, 337du groupe symétrique, 335

de Galois, 242de permutation, 1041caractères de S4, 1037

de permutations, 994de torsion, 136des isométriesespace métrique, 248

des symétries, 986diédral, 988, 995générateurs (preuve), 988générateurs (utilisation), 1041

en géométrie, 988et géométrie, 343, 994, 1224isométries du cube, 462

fini, 209, 213, 321, 329, 464, 994alterné, 336diédral, 988Wedderburn, 209

linéaire, 678décomposition polaire, 674enveloppe convexe de Ωpnq, 676hyperplan, 317sous-groupes compacts, 680

modulaire, 1224orthogonal, 363d’une forme quadratique, 682

partie génératrice, 336, 464, 1224permutation, 343, 350, 464, 678diédral, 988

projectif, 1190quotient, 125résoluble, 128spécial orthogonal, 364symétrique, 134action sur un triangle, 1027

groupe dérivéde GLpn,Cq, 661

Hadamardformule, 903

56 INDEX

Hardy-Littlewood (théorème), 1051Hausdorff, 246Heine (théorème), 536hermitien

produit scalaire, 362hessienne, 631Hilbert, 1249holomorphe, 893homéomorphisme, 260homogène

chaîne de Markov, 1745homographie, 1189, 1224

sur CY t8u, 1210homotopie, 1163hyperbolique

équation aux dérivées partielles, 1516hyperplan, 981

de Mpn,Kq, 317sépareau sens strict, 1311

séparerau sens large, 1311

hypothèsealternative, 1735composite, 1735multiple, 1735nulle, 1735simple, 1735

idéalbilatère, 94dans un anneau, 93maximal, 153maximum, 197principalà droite, 153à gauche, 153

identifiable, 1714identité

polarisation, 441image, 511inégalité

arithmético-géométrique, 1102Bessel, 1257Cauchy-Schwarz, 357, 1250de Khintchine, 1686de la moyenne, 626des pentes, 1091Hölder, 1283utilisation, 1637, 1703

isopérimétrique, 1379Jensen, 1102espérance conditionnelle, 1655pour une somme, 1102

version intégrale, 1282Kantorovitch, 1103Markov, 1665Minkowski, 1284triangulaire, 247, 250produit scalaire, 358

incompressiblechamp de vecteur, 657

indécomposablemodule, 147

indépendance, 1633événements, 1630utilisation, 1701, 1778

affine, 504algébrique, 242projective, 1191sous tribus, 1630variables aléatoires, 1631

indicatrice d’Euler, 139indice, 123

d’une courbe dans C, 1325de rotation, 1162

inductif, 90induite

topologie, 375tribu, 686

inférence statistique, 1707infimum, 269injection, 294intégrable, 730

fonction non en escalier, 887fonction positive, 892

intégralecalcul, 1371convergente, 774, 842d’une fonction sur une carte, 794d’une fonction sur une variété, 799d’une forme différentielle, 802fonction en escalier, 881Fresnel, 1349impropre, 773, 774sur un chemin, 799

intégrationfraction rationnelle, 842

intérieur, 291d’un ensemble, 372point, 372

intègreanneau, 148

interpolation, 1564Intervalle, 1799intervalle, 90, 511

fermé, 511

INDEX 57

longueur, 753ouvert, 511

intervalle de confianceasymptotique, 1728

invariantde similitude, 428

invariantemesurepour une chaîne de Markov, 1762

inverse généralisé, 1693inversion, 1178

dans le groupe symétrique, 332inversion dans CY t8u, 1208involution, 399irréductible

chaîne de Markov, 1751dans un anneau, 152module, 147polynôme, 180représentation, 1028

irrationalité?2, 97

isobarycentre, 498isolé

élément de R, 293point dans un espace vectoriel normé, 379

isométried’espaces métriques, 248de forme quadratique, 945de l’espace euclidien R2, 988espace euclidienisométries du cube, 462

forme bilinéaire, 358groupe, 248

isomorphismepZpZq˚ » Zpp´ 1qZ, 213d’anneaux, 93d’espaces topologiques, 260de corps, 93espace affine, 495espace vectoriel normé, 459espaces vectoriels, 305

isotropecône, 444totalement, 444

isotrope (vecteur), 444

jacobien, 624, 654Jordan

chemin, 818courbe, 1379réduction, 430

Jordan-Hölder, 125

Kronecker, 304

lacet, 1325Lagrange

multiplicateur, 1089polynôme, 316théorème, 123

lagrangien, 1089Laplace

transformée, 1657laplacien, 1244Legendre

symbole, 213Leibnitz, 559, 562

applications entre espaces vectoriels normés,617

lemmeBorel, 942d’Euclide, 118de Borel-Cantelli, 1663de Gausscontenu de polynôme, 221pour des entiers, 118

de Morse, 1115de Schreider, 127de Slutsky, 1662de transfert, 711de Zorn, 90des noyaux, 381Fatou, 737Gaussdans un anneau principal, 155polynômes, 184

Grönwall, 1445, 1446Hadamard, 834regroupement, 1633Schur complexe, 401Schur réel, 405

Levi-Civita, 1239libre

action, 133partie, 301partie d’un module, 147

Ligne d’univers, 1795limite, 413

d’ensembles, 694d’une fonction, 260de fonctions holomorphes, 1360de suiteespace topologique, 246

fonction, 260, 539fonction de plusieurs variables, 540inférieure, 719, 720inversion, 922, 1051, 1279, 1360

58 INDEX

permutationutilisation, 1658

suite, 467suite dans Rm, 293suite numérique, 266supérieure, 719, 720unicité, 260

linéaireapplication, 305

Lipschitz, 1056localement, 628

Lipschitzienne, 627localement

intégrable, 773log-concave, 1097logarithme

complexe, 1354dans C, 1351de matrice, 939sur les réels positifs, 917

loiχ2, 1687binomialecomportement asymptotique, 1689

conjointe, 1633d’une variable aléatoire, 1658de Poisson, 1674des grands nombresforte, 1666pour les chaînes de Markov, 1764processus de Poisson, 1786utilisation, 1689, 1701

marginale, 1633normalevecteur gaussien, 1681

parente, 1707, 1708parente d’un échantillon, 1710réciprocité quadratique, 217sans mémoire, 1676Student, 1687

Lokta-Voltera, 1479longueur

élément de, 1138arc géométrique, 1143d’un arc paramétré compact, 1128d’un intervalle, 753d’une arrête, 878

longueur d’arc, 1130

M-matrice, 1604méromorphe, 1340Méthode

de Newton, 1545méthode

des chemins, 548Newton, 1550cas convexe, 1546

métriquediscrète, 248

métrisable, 254maigre, 687maigre (ensemble), 290majorant, 268, 269

essentiel, 1281Markov

inégalité, 1665, 1713martingale, 1771

bornée dans L2pΩq, 1772matrice, 678, 1224

équivalence, 307dans le groupe linéaire, 682

associée à une forme quadratique, 441compagnon, 426creuse, 1574cyclique, 385de dilatation, 162de permutation, 162de similitude, 893de Sylvester, 352de transition, 1745de transvection, 162dense, 1574hermitienneracine carré, 671

jacobienne, 603, 624normale, 404orthogonale, 363permutationélémentaire, 1581

réductible, 1598racine carré, 671semblable, 671semblables, 988, 1114stochastique, 1745symétrique, 1114réelle, 1112

trigonalisable, 400matrices

similitude, 308maximal

idéal, 153maximale

partie orthonormale, 1259maximum, 268, 271

global, 1084local, 1084

mesurable

INDEX 59

application, 694au sens de m˚, 699ensemble, 692fonction, 710Lebesgue, 877

mesureσ-finie, 692absolument continue, 743angle entre vecteurs, 998complexe, 744dans une carte, 793de Borel, 716de comptage, 693, 790de Haar, 1062, 1063de Lebesgue, 756de Radon, 716, 1338extérieure, 689externe, 877finie, 692sur algèbre de partie, 690

image, 713positive, 692probabilité, 1629produit, 750régulière, 716extérieure, 716intérieure, 716

sur algèbre de partie, 690minimum, 271

ensemble ordonné, 89minorant, 269modèle

échantillonnage, 1708, 1710paramétrique, 1708statistique, 1707

modulaire (groupe), 1224module

de continuité, 1120indécomposable, 147irréductible, 147simple, 147sur un anneau, 146

moment, 1636fonction génératrice, 1657

monôme, 165monogène, 107

extension de corps, 186monotonie, 1483morceau

fonction continue ou monotone, 729morphisme

d’algèbres, 148d’anneaux, 93

de corps, 93espace vectoriel normé, 459Frobenius, 146

moyennede Cesaro, 476empirique, 1638empirique d’un échantillon, 1711quadratique, 1637

multiplicateurde Lagrange, 1089

multiplicitéracine d’un polynôme, 168racine de fpxq “ 0, 1544valeur proprealgébrique, 390géométrique, 390

négatif, 103négligeable

partie d’un espace mesuré, 700nabla, 611Newton

méthode, 1550nilpotent, 142niveau de confiance, 1724nombre

complexenorme 1, 209

dénormalisé, 1528de Fermat, 238de Néper, 914normal, 1701normalisée, 1528premier, 113, 175, 209, 213, 329, 464, 920dans leur ensemble, 113deux nombres entre eux, 113théorème des deux carrés, 177

tours d’une courbe plane, 1161nombre premier

polynôme cyclotomique, 205non dénombrable, 92normé

espace vectoriel, 250normal

arc paramétré, 1143endomorphisme, 404nombre, 1701sous-groupe, 107

normal extérieurvecteur, 817

normaleloi réduite, 1680principale, 1151

normalisateur, 107

60 INDEX

norme, 250équivalence, 451d’algèbre, 455d’application linéaire, 453d’une application linéaire, 453euclidienne, 251dans Rm, 449

supremum, 251vecteur, 359

noyaud’une forme bilinéaire, 444Dirichlet, 1368Fejér, 1368

nulle part dense, 290

observation, 1629opérateur

adjoint, 362autoadjoint, 363définit positif, 406hermitien, 363

opérateurscompatibles, 1269

opposéschemins, 1134

orbited’un point sous une action, 129

ordre, 89élément, 108bon ordre, 90d’un groupe, 108d’un polynôme, 167dans un corps, 94de convergence d’un schéma, 1620distribution, 1407partiel, 89sur un anneau factoriel, 153total, 89

orientablevariété, 796

orientation, 795origine

abscisse curviligne, 1143repère affine, 504

orthogonal, 448, 1254coordonnées curviligne, 1238famille de projecteurs, 147matrice, 363opérateur, 363sous-espace, 312vecteur, 359

orthonormé, 449système, 1256

oscillation

d’une fonction, 530d’une fonction en un point, 530

osculateur (cercle), 1156ouvert, 245, 272, 292, 373

dans Rn, 291

pôle, 1005parabolique

équation aux dérivées partielles, 1516parallèle

sous-espaces affines, 496paramétrages

admissible, 1142paramétrisation, 1134

normale, 1143Parseval, 1263partie

génératrice, 301régulière, 638totale, 1256

partie génératrice, 107partition

d’un entier en parts fixées, 1344dénombrable mesurable, 722de l’unité, 798

pavé, 877, 878pavable, 878Pearson

theoreme, 1740peigne de Dirac, 1416permutation, 134

matrice, 162permuter

dérivée et intégraleRn, 832dans R, 829dans R avec les bornes, 831

dérivée et limite, 649différentielle et intégraleRn, 833

intégraleet série, 790

limite et intégrale, 827convergence dominée, 738convergence monotone, 735espace mesuré, 827, 828

série entière et dérivation, 908série entière et intégration, 910somme et intégrale, 736, 899

petit théorème de Fermat, 173PGCD

dans un anneau intègre, 150polynômes, 183

pgcd, 113, 142

INDEX 61

calcul effectif, 116pivotale, 1726plan

projectif, 1183tangent, 612, 652

Plancherel, 1263plongement, 1121Poincaré (demi-plan), 1224point

d’équilibrestable, 1475

pondéré, 497point critique

définition, 1116point fixe, 1768

attractif, 1056Brouwer, 1059Picard, 1057Schauder, 1061

Poissonformule sommatoire, 1386processus, 1785

polarisation (identité), 441polynôme

à plusieurs indéterminées, 220, 355alterné, 200annulateur, 381, 384caractéristique, 389, 403contenu, 167cyclotomique, 203irréductibilité, 205propriétés, 205

d’endomorphisme, 671décomposition de Dunford, 416

de Bernstein, 1703irréductible, 180séparable, 192sur Fq, 232

Lagrange, 316minimal, 188, 383d’un élément d’une extension, 184ponctuel, 384

racines, 201séparable, 192scindé, 181semi-symétrique, 200symétrique, 200, 201, 220, 350, 355élémentaire, 200, 202

trigonométrique, 1298portée

mesure, 743positif, 103potentiel, 806, 850

PPCMdans un anneau intègre, 150

ppcm, 113précision

simple, 1527, 1528préhilbertien, 1249premier

corps, 173deux éléments d’un anneau principal, 154deux polynômes entre eux, 167idéal, 154sous corps, 173

premier temps d’atteinte, 1753premier type

région solide, 890presque

nulle, 136partout, 694surjective, 1312

primitifélément d’un corps, 213élément d’une extension de corps, 186polynôme, 167au sens du pgcd, 167

racine, 225triplet pythagoricien, 159

primitive, 557, 848de fonction continue, 1049et intégrale, 770, 774fonction, 569

principalanneau, 154idéal, 153

principeprolongement analytique, 1125zéros isolés, 1330

Principe de correspondance, 1810probabilité

conditionnelle, 1639problème

aux limites d’évolution, 1517aux limites stationnaires, 1517bien posé, 1517limite de Dirichlet, 1517limite de Von Neumann, 1517

problème de Cauchy, 1494processus

adapté à une filtration, 1771arrêté, 1776croissant prévisible, 1776Galton-Watson, 1766Poisson, 1785sans mémoire, 1676

62 INDEX

produitd’espaces vectoriels normés, 480d’une mesure par une fonction, 78, 739de Cauchy, 904de convolution, 1294et Fourier, 1383

distribution et fonction, 1406espaces mesurés, 752espaces topologiques, 246mixte, 367, 369scalaireen général, 357hermitien, 362sur Mpn,Rq, 461sur Rn, 447

semi-direct, 134tensorielde représentations, 1036

vectoriel, 367, 368produit remarquable, 1333projecteur

dans un module, 147projectif

complétion, 1186droite, 1183, 1184espace, 1183groupe, 1190hyperplan, 1184plan, 1183repère, 1191sous-espace, 1183

projectionorthogonale, 1252

prolongementanalytique, 1125utilisation, 1362

de fonctions, 1121lemme de Borel, 942

méromorphe de la fonction Γ, 1341par continuité, 526, 529dans H1pIq, 1430

par densité, 1121théorème de Hahn, 708

propriété d’intersection non vide, 261puissance

d’un point, 1177d’un test, 1736d’une inversion, 1208

quasi-compact, 247quaternion, 196quotient, 113, 166

dans une suite de composition, 125de groupe, 125

de groupes, 328

réciproquecontinuité, 294dérivabilité, 561

récurrentétat, 1754nul, 1754point d’un système dynamique, 718positif, 1754

réductiond’endomorphisme, 416Frobénius, 428Jordan, 430

réel, 101réflexif, 1309réflexion, 949

dans R2, 969glissée, 978par rapport à un hyperplan, 982

régioncritique, 1735de confiance exact, 1726de rejet, 1735

régularitéd’une mesure, 716extérieure de la mesure de Lebesgue, 759intérieure de la mesure de Lebesgue, 761

régulièresurface, 807

régulierarc, 1140chemin, 818point d’un arc, 1140polyèdre, 950

régulier à droite, 141répulsif

point fixe, 1056résidu

méthode itérative, 1596résolvante, 1456résultant, 353

utilisation, 355, 842règle

du produit nul, 148Règle de Leibnitz, 562racine

carréde matrice hermitienne, 671

carré de matricehermitienne positive, 671

d’un polynôme, 167de l’unité, 136, 205, 209, 437, 988, 1224primitive, 138

INDEX 63

utilisation, 205de polynôme, 188multiple, 1544primitive, 225simple, 1544

racine carré, 518raffinement, 1128

subdivision d’un pavé, 879rang, 306, 343, 988

classe d’équivalence, 308diagonalisation, 406différentielle, 1089utilisation, 1255

rare, 687rayon

de convergence, 901de courbure, 1151de torsion, 1152spectral, 417, 455

recouvrement, 537rectangle

produit de tribus, 745rectifiable, 1128

arc géométrique, 1143rejet

région dans une prise de décision, 1735relèvement, 1161relations

coefficient-racines, 202de Chasles, 491, 866

relativementcompact, 247, 1275

repèreaffine, 504cartésienespace affine, 491

de Frenet, 1151projectif, 1191

Représentationvirgule flottante normalisée, 1527

représentationde groupe finicaractères de S4, 1037

fidèle, 1023groupe diédral, 1041irréductible, 1028produit tensoriel, 1036régulière gauche, 1032virgule fixe, 1527

reste, 113, 166d’un développement limité, 638

risquepremière espèce, 1736

quadratique, 1715seconde espèce, 1736

rotationen dimension 2, 971

rotation-homothétie, 1208rupture

corps, 189

séparé, 246espace topologique, 246

séparable, 1256élément d’une extension, 194espace topologique, 246extension de corps, 194polynôme irréductible, 192polynôme non constant, 192

sépareles points, 1046

sériedans un espace vectoriel normé, 469de Fourier, 1374, 1386utilisation, 1379

de Laurent, 1340de puissance, 901divergence, 469donnant p1´Aq´1, 471entière, 901, 922, 1386Abel angulaire, 838fonctions holomorphes, 1326processus de Markov, 1768utilisation, 1344, 1658

fonctions, 1051, 1386génératrice d’une suite, 929utilisation, 1344

géométrique, 475harmonique, 475nombres, 1051numérique, 920, 922Riemann, 475Taylor, 930

schémaconsistant, 1620

schéma numérique, 1620Schrödinger, 1490Schur (théorème), 1030section, 580

de graphe, 571propriété des, 747

segmentdans Rp, 273dans un espace affine, 498

semblablesmatrices, 393

semi-définie positive, 406

64 INDEX

semi-norme, 295semi-simple

endomorphisme, 386semi-symétrique

polynôme, 200signature

d’une permutation, 332similitude, 893simple

extension de corps, 186fonction, 726groupe, 107module, 147

singularité, 1339effaçable, 1339pôle, 1339

sinus, 951hyperbolique, 924

sinus cardinal, 875solfège, 137solution

générale, 1493particulière, 1493

sommeinférieure, 884partielle, 469supérieure, 884

somme directe (de représentations), 1027somme partielles

Abel angulaire, 838sommet, 1175sous anneau, 144sous arc, 1127sous-additivité

sur algèbre de parties, 690sous-espace

affine engendré par une partie, 496caractéristique, 414

sous-groupecaractéristique, 107distingué, 329dans le groupe alterné, 336

engendré, 108normal, 125, 328

sous-martingale, 1771sous-module, 147sous-suite, 535spectre

d’un endomorphisme, 380matrice hermitienne, 403matrice symétrique réelle, 406

sphère, 371de Riemann, 1205

stabilisateur, 129stabilité

d’un point d’équilibre, 1475Lyapunov, 1475

stable, 1535schéma numérique, 1623

stathmesur Zris, 174

stathme euclidien, 156stationnaire

chaîne de Markov, 1762statistique, 1715statistiques

descriptives, 1707strictement

convexesur Rn, 1098

structurecomplexe, 1158

structure d’anneau canonique, 141Student, 1687, 1728subdivision, 879

associée à une fonction, 880d’un intervalle, 1128

subordonnéenorme, 453

suite, 136équirépartie, 1371critère de Weyl, 1371

arithméticogéométrique, 476définie par itération, 1550de Cauchy, 252dans un corps, 94

de composition, 125de fonctions, 1279théorème de Montel, 1361

de fonctions intégrables, 827, 1360de Jordan-Hölder, 125exacte, 134régularisante, 1393

support, 881d’une permutation, 332distribution, 1407famille d’éléments, 136

supremum, 268, 269d’une suite d’ensembles, 685

sur-martingale, 1771surface paramétrée, 806surjection, 294Sylow

p-Sylow, 319Sylvester (matrice), 352symétrique

INDEX 65

polynôme, 200symbole

de Legendre, 213symbole principal, 1507système

fondamental, 1453orthonormé, 1256trigonométrique, 1257, 1297

tétraèdre, 950tangent

vecteur unitaire, 1151tangente, 960, 1148tangente à un chemin, 1118Tangente hyperbolique, 1804tangente hyperbolique, 925taubérien, 1049taux d’accroissement, 1091Taylor, 634

série entière, 929temps d’arrêt, 1774temps de retour, 1753terminée

martingale, 1775test, 1735

bilatéral, 1736unilatéral, 1736

théorèmeélément primitif, 195, 222, 223accroissements finis, 619dérivée directionnelle, 582dans R, 566forme générale, 626

Ascoli, 1275Bézoutpolynômes, 183utilisation, 353

Baire, 290Banach-Steinhaus, 1276avec semi-normes, 1277

base incomplète, 303Beppo-Levi, 735Bolzano-Weierstrass, 283Bolzano-Weierstrass dans Rn, 276Borel-Cantelli, 1629Borel-Lebesgue, 275Brouwer, 1060dimension 2, 1329

Carathéodory, 501Cauchygroupe, 124

Cauchy-Arzela, 1071Cauchy-Lipschitz, 1064Cayley-Hamilton, 392, 670

central limite, 1667processus de Poisson, 1787

Chevalley-Warning, 220chinois, 179anneau des polynômes, 180anneau principal, 154

Cochran, 1712Cochrane, 1713convergencedominée de Lebesgue, 738monotone, 735

d’Alembert-Gauss, 180décomposition des noyauxet exponentielle de matrice, 383

de Baire, 299de Jordan, 1176de représentation de Riesz, 1255des deux carrés, 177version faible, 175

Dini, 649Dirichlet, 1368forme faible, 209

Doob, 1775du rang, 306extension d’isométrie, 1122extremalié, 1089

Fejér, 1369fonction implicite dans Rn, 1077fonction implicite dans Banach, 1076fondamental du calcul intégral, 770Fubinidans Rn, 791espace mesuré, 786version compacte dans R2, 852

Fubini-Tonelli, 783fuite des compacts, 1459Gausspolynômes, 183

Gauss-Wantzel, 238Glivenko-Cantelli, 1721Hahn-Banach, 1310Hardy-Littlewood, 1051Heine, 536incidence, 1184inversion locale, 1074utilisation, 1089, 1115

isomorphismesecond, 111troisième, 112

isomorphisme de Banach, 1275Jordan, 1379Kronecker, 355

66 INDEX

Lagrange, 123Lie-Kolchin, 439Lokta-Voltera, 1479Markov-Takutani, 1063Montel, 1361Pappusaffine, 1188projectif, 1188

Pearson, 1740petit de Fermat, 173Picard, 1057point fixeBrouwer, 1329

projectioncas vectoriel, 1252partie fermée convexe, 1250

prolongement de Hahn, 708prolongement de Riemann, 1340Radon-Nikodym, 743complexe, 744

représentation de Riesz, 1309Rolle, 565Rothstein-Trager, 842Runge, 1331Schauder, 1061Schur, 1030spectral, 415autoadjoint, 446matrice symétrique, 406matrices normales, 404

stabilité de Lyapunov, 1475Stone-Weierstrass, 1046, 1048Sylvester, 988taubérien, 1049taubérien faible, 840transfert, 1659Tykhonov, 288dénombrable, 290fini, 289

valeurs intermédiaires, 517Von Neumann, 1082Wedderburn, 209Weierstrass, 284

topologie, 245, 375˚-faible, 297, 1405p-adique, 488et semi-normes, 295faible, 455forte, 454induite, 263métrique, 248, 272produit, 246sur DpΩq , 1402

sur DpKq , 1402sur C8pΩq , 1402sur dual topologique, 297usuelle sur Rn, 375

topologiquesomme directe, 1254

torsion, 1152d’un groupe, 136

totale, 1256trace, 1437

dual de Mpn,Kq, 316endomorphisme, 394matrice, 394produit scalaire sur Mpn,Rq, 461unicité pour la propriété de trace, 317

transcendant, 196par rapport à une extension de corps, 196

transforméede Cauchy, 1338de Fourier, 1383, 1656continuité, 1384groupe abélien fini, 1025

Fourierdistribution tempérée, 1412

Laplace, 1657, 1658transformation

Fourier, 1386gaussienne, 1575

transientétat, 1754

transitionprobabilité, 1745

transitive, 133transitoire

état, 1754transposée, 313transvection, 662transvection (matrice), 162transversale, 132tribu, 685

borélienne, 687de Baire, 688de Lebesgue, 756engendrée, 686par un événement, 1631par une application, 711par une variable aléatoire, 1631

induite, 686produit, 745

trigonalisationet polynôme caractéristique, 400simultanée, 439

triplet

INDEX 67

pythagoricien, 159type

finien algèbre, 196espace vectoriel, 302

unicitédes mesures, 697

unipotent, 142unitaire

normale principale, 1151

valeurprincipale (distribution), 1410propre, 380singulière, 420

valeur absoluep-adique, 488

valeur principale, 1351valeur propre

d’une forme quadratique, 443valuation

p-adique, 488d’un polynôme, 166

Vandermonde (déterminant), 349variété, 1089variété

orientée, 796variable

de décision, 1736variable aléatoire, 1630

absolument continue, 1630Bernoullimarche aléatoire, 1748utilisation, 1703

binomialeutilisation, 1778

centrée, 1636de Bernoulliutilisation, 1778

de Rademacher, 1685intégrable, 1636suite de variables aléatoire de Bernoulli, 1766

variance, 1637empirique, 1637, 1711empirique corrigée, 1711vecteur gaussien, 1681

variation des constantes, 1449, 1454vecteur

cyclique, 385gaussien, 1681propre, 380unitaire normal, 1151unitaire tangent, 1149

Vitali (ensemble), 764vitesse d’un chemin, 1127voisinage, 272, 375volume

d’une région solide, 891région bornée dans R3, 888

vraisemblance, 1718

Weinerconstante, 1831

Wronskien, 1482

68 INDEX

Liste des notations

N G Le sous-groupe N est normal dans G, page 107

Algèbre

C1pU,Rnq Les applications une fois continument dérivables, page 625

LpE,F q Ensemble des applications linéaires de E dans F , page 305

KpAq corps contenant K et A, page 186

KrAs anneau contenant K et A, page 186

N0 les naturels non nuls : N0 “ Nzt0u, page 92

Mnˆm l’ensemble des matrices nˆm, page 309

∇f gradient de la fonction f , page 603

projV projection de V ˆW sur V , page 482

SpanpAq l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de A, page 301

dfapuq Application de la différentielle de f sur le vecteur u, page 591

f pnq La n-ième dérivée de la fonction f , page 634

opxq fonction tendant rapidement vers zéro, page 635

ppq idéal engendré par p, page 144

rL : Ks degré d’une extension de corps, page 185

Fp lorsque p est premier, page 173

Fpn corps fini à pn éléments, page 211

Q corps des fractions sur Z, page 152

FracpAq Le corps des fractions de l’anneau A, page 152

FunpX,Y q les applications de X vers Y , page 141

SpEq Les opérateurs auto-adjoints de E, page 446

Un Le groupe des racines nede l’unité., page 136

respP,Qq résultat des polynômes P et Q, page 353?A racine d’une matrice hermitienne positive, page 671

θαpP q la multiplicité de α par rapport à P , page 168

ArXs tous les polynômes de degré fini à coefficients dans A, page 165

AnrXs les polynômes à coefficients dans A et de degré inférieur à n, page 165

CpP q matrice compagnon, page 427

D P D divise P , page 166

69

70 INDEX

Eλpuq Espace propre de u, page 380

matBpqq matrice de q dans la base B, page 1108

UpAq ensemble des inversibles, page 142

Ensembles de matrices

AutpEq automorphisme de l’espace vectoriel E, page 305

EndpEq les endomorphismes de E, page 305

LpE,F q applications linéaires bornées (continues), page 459

Opn,Rq le groupe des matrices orthogonales, page 364

ΩpEq formes quadratiques non dégénérées, page 1111

QpEq formes quadratiques réelles sur E, page 441

Q`pEq formes quadratiques positives, page 1111

Q``pEq formes quadratiques strictement définies positives, page 1111

S`pn,Rq matrices symétriques définies positives, page 406

S``pn,Rq matrices symétriques strictement définies positives, page 406

Sp,qn pRq matrices symétriques réelles de signature pp, qq, page 1111

βpsq Vecteur unitaire de la binormale, page 1151

γ „ g Équivalence d’arcs paramétrés, page 1142

νpsq Vecteur unitaire de la normale principale, page 1151

cpsq rayon de courbure, page 1151

tpsq Torsion, page 1152

Géométrie

px0 : . . . : xnq coordonnées homogènes dans un espace projectif, page 1202

ConvpAq enveloppe convexe, page 500

CrGs combinaisons d’éléments de G à coefficients dans C, page 1027

PGLpEq groupe projectif, page 1190

Bo orthogonal dans le dual, page 312

P pEq l’espace projectif de E, page 1183

P1pCq sphère de Riemann, page 1205

Chaînes de Markov

πpxq lié au temps de retour, page 1757

Probabilités et statistique

σpXq La tribu engendrée par la variable aléatoire X, page 1631

a^ b minpa, bq, page 1775

KX matrice de covariance d’un vecteur gaussien, page 1681

mpAq Ensemble des fonctions A-mesurables, page 710

Théorie des groupes

pGHqg classes à gauche, page 130

INDEX 71

rasp ensemble des a` kp, page 121

rG,Gs groupe dérivé, page 109

rg, hs commutateur dans un groupe, page 109

AffpRnq Le groupe des applications affines bijectives de Rn., page 508

gr groupe engendré, page 107

G groupe des caractères de G, page 1023

σx réflexion par rapport à x, page 949

An groupe alterné, page 334

DpGq groupe dérivé, page 109

Dn groupe diédral, page 988

Gab groupe abélianisé de G, page 110

N ˆφ H produit semi-direct, page 134

Sn le groupe symétrique, page 134

Topologie et théorie des ensembles

AA Le complémentaire de l’ensemble A, page 90

DiampAq Diamètre de la partie A, page 535

BA La frontière de l’ensemble A, page 378

A∆B différence symétrique, page 91

Ac complémentaire de A, page 90

Analyse

IsompXq Le groupe des isométries de X, page 248

µ ! ν La mesure µ est absolument continue par rapport à la mesure ν., page 743

C8`R,S 1pRdq˘ Fonctions à valeurs dans les distributions., page 1489

C8pI,D 1pRdqq fonctions à valeurs dans les distributions, page 1417

pS, F , µq complété de l’espace mesuré pS, F , µq, page 703

LpE,F q Les applications linéaires de E vers F , page 613

LpnqpV,W q L’espace des applications n-linéaires V n ÑW , page 629

argpzq La valeur principale de l’argument de z P C, page 1351

L Les applications linéaires continues de E vers F , page 613

Db l’ensemble de écritures décimales en base b, page 476

R l’ensemble des réels, page 101

R` les réels positifs ou nuls, page 103

exp exponentielle, page 916

H 1 dual, page 1255

lim inf an limite inférieure, page 720

lim sup an limite supérieure, page 720

Lp espace de Lebesgue, sans les classes, page 1278

72 INDEX

µ K ν mesures perpendiculaires, page 743

µ˚ La mesure extérieure associée à la mesure µ, page 698

Bz,Bz dérivées partielles d’une fonction complexe, page 1321

projKpxq projection orthogonale de x sur y, page 1252

σpAq tribu engendrée par D, page 686

DpΩq Les fonctions C8 à support compact sur Ω, page 1404

S 1pRdq espace des distributions tempérées, page 1410

A2pΩq espace de Bergman, page 1363

AK orthogonal d’une partie., page 1254

CcpIq fonctions continues à support compact dans I, page 1293

f „ g fonctions ayant des limites équivalentes, page 548

H1pΩq espace de Sobolev sur Ω, page 1433

H1pIq espace de Sobolev, page 1427

HmpMq espace de Sobolev, page 1434

L1locpIq fonctions intégrables sur les compacts de I, page 1428

Lp espace de Lebesgue avec les classes, page 1279

Miϕ La fonction x ÞÑ xiϕpxq, page 1315

Snf somme partielle de série de Fourier, page 1301

Chapitre 16

Trigonométrie, isométries

16.1 Isométries de l’espace euclidien

Nous considérons l’espace affine euclidien A “ EnpRq modelé sur Rn avec sa métrique usuelle.Un premier grand résultat sera le théorème 16.4 qui dira que les isométries de cet espace sont desapplications linéaires.

16.1.1 Structure du groupe IsompRnq

Exemple 16.1La forme quadratique qpxq “ x2

1 ` x22 donne la norme euclidienne. La forme bilinéaire associée est

bpx, yq “ x1y1 ` x2y2, qui est le produit scalaire usuel. 4

Il ne faudrait pas déduire trop vite que la formule x2 “ qpxq donne une norme dès que q estnon dégénérée. En effet q peut ne pas être définie positive. La forme qpxq “ x2

1 ´ x22 prend des

valeurs positives et négatives. A fortiori dpx, yq “ qpx´ yq ne donne pas toujours une distance.

Définition 16.2.Une isométrie pour la forme quadratique q est une application bijective f : V Ñ V telle queqpx´yq “ q

`fpxq´fpyq˘. Dans les cas où q donne une distance, alors c’est une isométrie au sens

usuel.

Lemme 16.3.Soit q une forme quadratique et b la forme bilinéaire associée par le lemme 9.243. Pour uneapplication bijective f : E Ñ E telle que fp0q “ 0, les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) b`fpxq, fpyq˘ “ bpx, yq pour tout x, y P E ;

(2) q`fpxq ´ fpyq˘ “ qpx´ yq pour tout x, y P E.

Démonstration. Dans le sens direct, en posant x “ y nous trouvons tout de suite qpfpxqq “ qpfq ;ensuite en utilisant la distributivité de b,

q`fpxq ´ fpyq˘ “ b

`fpxq ´ fpyq, fpxq ´ fpyq˘ (16.1a)

“ q`fpxq˘´ 2b

`fpxq, fpyq˘` q`fpyq˘ (16.1b)

“ qpxq ` qpyq ´ 2bpx, yq (16.1c)“ qpx´ yq. (16.1d)

Dans l’autre sens, nous commençons par remarquer que l’hypothèse fp0q “ 0 donne qpxq “

945

946 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

q`fpxq˘. Ensuite nous utilisons l’identité de polarisation (9.563) :

b`fpxq, fpyq˘ “ 1

2“q`fpxq˘` q`fpyq˘´ q`fpx´ yq˘‰ (16.2a)

“ 12“qpxq ` qpyq ´ qpx´ yq‰ (16.2b)

“ bpx, yq. (16.2c)

Théorème 16.4 ([193]).Soit f : E Ñ E une bijection telle que

qpx´ yq “ q`fpxq ´ fpyq˘ (16.3)

pour tout x, y P E. Alors(1) si fp0q “ 0, alors f est linéaire ;(2) si fp0q ‰ 0 alors f est affine 1

Démonstration. Si fp0q “ 0, nous savons par le lemme 16.3 que b`fpxq, fpyq˘ “ bpx, yq. Soit z P E ;

étant donné que f est bijective nous pouvons considérer l’élément f´1pzq P E et calculer

b`fpx` yq, z˘ “ b

`fpx` yq, fpf´1pzqq˘ (16.4a)

“ bpx` y, f´1pzqq (16.4b)“ bpx, f´1pzqq ` bpy, f´1pzqq (16.4c)“ bpfpxq, zq ` bpfpyq, zq (16.4d)“ b

`fpxq ` fpyq, z˘, (16.4e)

donc fpx` yq “ fpxq ` fpyq par le lemme 9.249.De la même façon on trouve b

`fpλxq, z˘ “ b

`λfpxq, z˘ qui prouve que fpλxq “ λfpxq et donc

que f est linéaire.Si fp0q ‰ 0, alors nous posons gpxq “ fpxq ´ fp0q qui vérifie gp0q “ 0 et

q`gpxq ´ gpyq˘ “ q

`fpxq ´ fp0q ´ fpyq ` fp0q˘ “ qpx´ yq. (16.5)

Nous pouvons donc appliquer le premier point à g, déduire que g est linéaire et donc que f estaffine.

Nous pouvons maintenant particulariser tout cela au cas de Rn muni du produit scalaire usuelet de la norme associée pour voir quel résultat nous avons à peine prouvé.

Lemme 16.5 ([194]).Une isométrie est bijective (nous sommes en dimension finie).

Démonstration. Si f : E Ñ E est une isométrie, elle est linéaire par le théorème 16.4. Elle vérifieégalement fpxq “ x, et donc fpxq “ 0 si et seulement si x “ 0, c’est à dire que f est injective.Elle est alors bijective par le corollaire 7.24 du théorème du rang.

Nous notons ici T pnq le groupe des translations sur Rn. Un élément de T pnq est une translationτv donnée par un vecteur v et agissant sur Rn par

τv : Rn Ñ Rn

x ÞÑ x` v. (16.6)

Ce groupe est isomorphe au groupe abélien pRn,`q, et nous allons souvent identifier τv à v.Si vous ne voulez pas savoir ce qu’est un produit semi-direct de groupes, vous pouvez lire

seulement le point (1) du théorème suivant, et passer directement à la remarque 16.7.

1. Lemme 11.48.

16.1. ISOMÉTRIES DE L’ESPACE EUCLIDIEN 947

Théorème 16.6.Un peu de structure sur IsompRnq.

(1) L’applicationψ : T pnq ˆOpnq Ñ IsompRnq

pv,Λq ÞÑ τv ˝ Λ(16.7)

est une bijection. Ici, T pnq est le groupe des translations de Rn.(2) Un couple pv,Λq P T pnq ˆ SOpnq agit sur x P Rn par

pv,Λqx “ Λx` v (16.8)

au sens où ψpv,Λqx “ Λx` v.(3) En tant que groupes,

IsompRnq » T pnq ˆρ Opnq (16.9)

où ρ représente l’action adjointe de Opnq sur T pnq et ˆρ dénotes le produit semi-direct dela définition 3.93.

Démonstration. Point par point.(1) Prouvons que l’application proposée est injective et surjective. Notons aussi que ce point

ne parle pas de structure de groupe, mais seulement d’une bijection en tant qu’ensembles.Injection Si ψpv,Λq “ ψpw,Λ1q alors en appliquant sur x “ 0 nous avons tout de suite

v “ w. Et ensuite Λ “ Λ1 est immédiat.Surjection Une isométrie g P IsompRnq est une application g : Rn Ñ Rn telle que dpx, yq “

d`gpxq, gpyq˘. Dans le cas de Rn cela se traduit par

x´ y “ ››gpxq ´ gpyq››, (16.10)

Vu que x ÞÑ x est une forme quadratique, elle tombe sous le coup du théorème 16.4,ce qui nous permet de dire que g est affine. Or par définition une application est affinelorsqu’elle est la composée d’une translation et d’une application linéaire.

(2) C’est seulement le fait que pτv ˝ Λqx “ τv`Λx

˘ “ Λpxq ` v.(3) Nous allons étudier l’application

ψ : T pnq ˆρ Opnq Ñ IsompRnq. (16.11)

Le produit semi-direct est bien définit Il faut montrer que

ρ : Opnq Ñ Aut`T pnq˘

Λ ÞÑ AdpΛq (16.12)

est correcte.D’abord pour Λ P Opnq, nous avons bien ρΛpτvq P T pnq parce qu’en appliquant à x P Rn,

pΛτvΛ´1qpxq “ Λ`τvpΛ´1xq˘ “ Λ

`Λ´1x` v˘ “ x` Λpvq “ τΛpvqpxq. (16.13)

Donc ρΛpτvq “ τΛpvq.De plus, ρΛ P Aut

`T pnq˘ parce que

ρΛ`τv ˝ τw

˘ “ ρΛpτvq ˝ ρΛpτvq, (16.14)

comme on peut aisément vérifier que les deux membres sont égaux à τΛpv`wq.ψ est une bijection Cela est déjà vérifié.

948 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

ψ est un homomorphisme Nous avons d’une part

ψ`pv, gqpw, hq˘ “ ψ

`vρgpwq, gh

˘ “ τv ˝ g ˝ τw ˝ g´1 ˝ g ˝ h “ τv ˝ g ˝ τw ˝ h. (16.15)

Et d’autre part,ψpv, gq ˝ ψpw, hq “ τv ˝ g ˝ τw ˝ h, (16.16)

ce qui est la même chose.

Remarque 16.7.Notons au passage la loi de groupe sur les couples qui est donnée, pour tout v, v1 P Rn, Λ,Λ1 PSOpnq, par

pv,Λq· pv1,Λ1q “ pΛv1 ` v,ΛΛ1q (16.17)

comme le montre le calcul suivant :

pv,Λq· pv1,Λ1qx “ pv,ΛqpΛ1x` v1q (16.18a)“ ΛΛ1x` Λv1 ` v (16.18b)“ pΛv1 ` v,ΛΛ1qx. (16.18c)

Proposition 16.8 ([195]).Soit n ě 1 et un élément R de Opnq de déterminant ´1 tel que R2 “ Id. En posant C2 “ tId, Runous avons

Opnq “ SOpnq ˆρ C2 (16.19)

Démonstration. Notons que pourR nous pouvons prendre par exemple px1, . . . , xnq ÞÑ p´x1, x2, . . . , xnq.Ce que nous allons montrer être un isomorphisme est :

ψ : SOpnq ˆ C2 Ñ OpnqpA, hq ÞÑ Ah.

(16.20)

Injectif Soient A,B P SOpnq et h, k P C2 tels que ψpA, hq “ ψpB, kq, c’est à dire tels queAh “ Bk. Vu que detpAq “ detpBq “ 1 nous avons detphq “ detpkq. Mais comme C2contient un élément de déterminant 1 et un élément de déterminant ´1, nous avons h “ k.De là A “ B.

Surjectif Soit X P Opnq. Si detpXq “ 1 alors X P SOpnq et X “ ψpX,1q. Si par contredetpXq “ ´1 alors XR P SOpnq parce que detpXRq “ 1 et nous avons

ψpXR,Rq “ XR2 “ X. (16.21)

Homomorphisme Nous avons

ψ´pA, hqpB, kq

¯“ ψ

`AρhpBq, hk

˘ “ AphBh´1qhk “ AhBk, (16.22)

tandis queψpA, hqψpB, kq “ AhBk, (16.23)

qui est la même chose.

Lemme 16.9 ([196]).Si n ě 3, alors toute droite est intersection de deux plans non isotropes.

Proposition 16.10 ([195]).Si une isométrie de Rn fixe un ensemble F de points, alors elle fixe l’espace affine engendrée parF .

16.1. ISOMÉTRIES DE L’ESPACE EUCLIDIEN 949

Démonstration. Soit f P IsompRnq fixant F . Par le théorème 16.4, c’est une application affine etl’ensemble Fixpfq des points fixés par f est un sous-espace affine de Rn, grâce à la proposition11.50.

Donc Fixpfq est un espace affine contenant F . Vu que l’espace affine engendré par F estl’intersection de tous les espace affines contenant F , il est en particulier contenu dans Fixpfq.Corollaire 16.11.Si f et g sont des isométries de Rn qui coïncident sur F , alors elles coïncident sur l’espace affineengendré par F .

Démonstration. Nous considérons h “ g´1 ˝f qui est une isométrie de Rn fixant F . Elle fixe donc,par la proposition 16.10, l’espace affine engendré par F . Or tout point fixé par h est un point surlequel g et f coïncident.

16.1.2 Classification des isométries de R

Définition 16.12.Soit x P R ; nous notons σx la réflexion par rapport à x, c’est à dire

σxpyq “ 2x´ y. (16.24)

Théorème 16.13 ([195]).Toute isométrie de R est composée d’au plus 2 réflexions. Plus précisément toute isométrie de Rest dans une des trois catégories suivantes :

— l’identité (0 réflexions),— les réflexions,— les translations (2 réflexions)

Démonstration. Nous divisions la preuve en fonction du nombre de points fixés par l’isométrief P IsompRq.f fixe deux points distincts Alors elle fixe l’espace affine engendrée par ces deux points par

la proposition 16.10. Donc f fixe tout R et est l’identité.f fixe un unique point Soit x l’unique point fixé par f et considérons y ‰ x. Vu que x “ fpxq

et que f est une isométrie,

d`x, fpyq˘ “ d

`fpxq, fpyq˘ “ dpx, yq. (16.25)

Donc fpyq est à égale distance de x que y. Autrement dit, fpyq est soit y soit σxpyq. Maiscomme x est unique point fixe, fpyq “ σxpyq. Ce raisonnement étant valable pour touty ‰ x nous avons f “ σx.

f n’a pas de points fixes Soit x P R et y “ x`fpxq2 . Nous posons g “ σy ˝ f . Alors x est un

point fixe de g parce que

gpxq “ σy`fpxq˘ “ 2y ´ fpxq “ x. (16.26)

Donc soit g est l’identité soit g est une réflexion (par les points précédents). La possibilitég “ Id est exclue parce que cela ferait f “ σy alors que f n’a pas de points fixes. Donc gest une réflexion ; et comme x est un point fixe de g nous avons g “ σx. Au final

f “ σy ˝ σx. (16.27)

Montrons que cela implique que f est une translation :

σyσxpzq “ σyp2x´ zq “ 2y ´ 2x` z “ z ` 2py ´ xq. (16.28)

Donc σy ˝ σx est la translation de vecteur 2py ´ xq.

950 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

16.1.3 Segment, plan médiateur et équidistance

Lemme 16.14.Un point M est sur la médiatrice du segment rA,Bs si et seulement si M ´A “ M ´B.Lemme 16.15.Soient A et B de points de R3. Alors le plan médiateur du segment rA,Bs est le lieu des points deR3 à être équidistants de A et B.

Démonstration. Nous nommons σ ce plan.Soit X un point équidistant de A et B. Alors dans le plan pA,B,Xq, le triangle ABX est isocèle

en X, et la hauteur issue de X coupe perpendiculairement rA,Bs en son milieu. Cela prouve queX est dans le plan médiateur du segment rA,Bs (lemme 16.14).

Mettons au contraire que X est dans le plan médiateur de rA,Bs. Nous avons pX,Mq K pA,Bq.Donc le triangle A,B,X est isocèle en X et donc X est équidistant de A et B.

16.1.4 Isométries du tétraèdre régulier

Définition 16.16.Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers identiques donttous les sommets joignent le même nombre d’arrêtes.

Le tétraèdre est une pyramide à base triangulaire dont toutes les faces sont des triangleséquilatéraux.

Proposition 16.17 (Isométries affines du tétraèdre régulier).Soit un tétraèdre régulier T et son groupe d’isométries affines IsopT q (définition 11.54). Alors

IsopT q » S4 (16.29)

où S4 est le groupe des permutations de quatre objets.

Démonstration. Commençons par prouver qu’une isométrie préserve les sommets : l’image d’unsommet est un sommet. Pour cela nous considérons g P IsopT q et nous supposons que l’imaged’un sommet x soit à l’intérieur d’une arrête. Soient gpyq et gpzq deux points distincts de cettearrête situés à égale distance de gpxq. Cela est possible parce que g est une bijection de R3. Aussi :y ‰ z. Mais une application affine préserve l’alignement (vous ne le croyez pas ? regardez la formedonnée par le lemme (11.48)), donc x, y et z foment un triangle isocèle en x de points alignés etappartenant à T . Cela est impossible si x est un sommet.

Donc l’image d’un sommet est un sommet. Si nous numérotons les sommets x1,. . . , x4, nousobtenons un morphisme de groupe ϕ : IsompT q Ñ S4 qui envoie g sur la permutation qui envoie 1sur le numéro du sommet gpx1q, 2 sur le numéro du sommet gpx2q, etc.Le morphisme ϕ est injectif Supposons ϕpg1q “ ϕpg2q. Alors g´1

1 ˝ g2 est une isométrie depR3, dq qui fixe les quatre sommets. Une application affine R4 Ñ R3 fixant 4 point estl’identité par le lemme 11.45. Donc g´1

1 g2 “ Id, ce qui prouve que g1 “ g2. Vous noterezque nous utilisons l’unicité de l’inverse dans un groupe.

ϕ est surjectf Nous savons que S4 est engendré par les transpositions (proposition 8.38). Or lestranspositions sont dans l’image de ϕ. En effet, notons les sommets de notre tétraèdre parA, B, D et D et considérons la transposition AØ B. Elle est l’image par ϕ de la réflexionselon le plan σ, médiateur du segment rA,Bs. Pour nous assurer de cela, nous devons nousassurer que C et D appartiennent à σ. Cela est le contenu du lemme 16.15.

Conclusion L’application ϕ est un morphisme bijectif, c’est à dire un isomorphisme.

16.18.Lorsque le tétraèdre a son barycentre en l’origine de R3, l’isomorphisme ϕ : IsopT q Ñ S4 donne

16.2. TRIGONOMÉTRIE 951

une représentation de dimension 3 de S4. Nous allons calculer les caractères de S4 en la section17.5 sans avoir besoin de savoir que l’une des représentations de dimension 3 est cella que nousvenons de trouver via le groupe des isométries du tétraèdre. Nous allons cependant également ycalculer les caractères de la représentations ϕ, pour le sport.

Plus de détails en 17.5.2.

16.2 Trigonométrie

16.2.1 Définitions, périodicité et quelque valeurs remarquables

Proposition-définition 16.19 (Défintion du cosinus et du sinus).La série

cospxq “8ÿ

n“0

p´1qnp2nq! x

2n (16.30)

définit une fonction cos : RÑ R de classe C8. Nous l’appelons cosinusLa série

sinpxq “8ÿ

n“0

p´1qnp2n` 1q!x

2n`1 (16.31)

définit une fonction sin : RÑ R de classe C8. Nous l’appelons sinus

Démonstration. La série entière définissant cospxq a pour coefficients

an “#

0 si n est impairp´1qn2n! si n est pair.

(16.32)

Nous pouvons la majorer par la série entière donnée par les coefficients

bn “#

1n! si n est impairp´1qn2n! si n est pair.

(16.33)

Quelle que soit la parité de k nous avons toujours

|bk`1bk| “ 1

k ` 1 , (16.34)

de telle sorte que la formule d’Hadamard (15.60) nous donne R “ 8 pour la sérieř8k“0 bkx

k. Afortiori 2 le rayon de convergence pour la série du cosinus est infini.

L’assertion concernant le sinus se démontre de même.En ce qui concerne le fait que les fonctions sin et cos sont de classe C8 sur R, il faut invoquer

le corollaire 15.43.

Lemme 16.20.En ce qui concerne la dérivation, nous avons

sin1 “ cos (16.35a)cos1 “ ´ sin . (16.35b)

Démonstration. Il s’agit de se permettre de dériver terme à terme (proposition 15.41) les sériesqui définissent le sinus et le cosinus.

Lemme 16.21.Les fonctions sinus et cosinus vérifient

cos2pxq ` sin2pxq “ 1 (16.36)

pour tout x P R.2. Remarque 15.25.

952 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Démonstration. Posons fpxq “ sin2pxq ` cos2pxq et dérivons :

f 1pxq “ 2 sinpxq cospxq ` 2 cospxqp´q sinpxq “ 0. (16.37)

La fonction f est donc constante par le corollaire 12.133. Nous avons donc pour tout x :

fpxq “ fp0q “ sin2p0q ` cos2p0q “ 1. (16.38)

Le dernier calcul s’obtient en substituant directement x par zéro dans les séries : sinp0q “ 0 etcosp0q “ 1.

Lemme 16.22.Nous avons la formule

eix “ cospxq ` i sinpxq (16.39)

pour tout x P R.Démonstration. Il faut partir de la définition de l’exponentielle (15.121), et remarquer que ik vaut1, i, ´1, ´i. Donc un terme sur deux est imaginaire pur et parmi ceux-là, un sur deux est positif.À bien y regarder, les termes imaginaires purs forment la série du sinus et ceux réels la série ducosinus.

Lemme 16.23.Nous avons les formules d’addition d’angles

cospa` bq “ cospaq cospbq ´ sinpaq sinpbq (16.40a)sinpa` bq “ cospaq sinpbq ` sinpaq cospbq (16.40b)cospa´ bq “ cospaq cospbq ` sinpaq sinpbq (16.40c)

pour tout a, b réels.

Démonstration. Nous utilisons la formule d’addition dans l’exponentielle, proposition (15.151) etla formule (16.39) avant de séparer les parties réelles et imaginaires :

eipa`bq “ eiaeib “ cospaq cospbq ´ sinpaq sinpbq ` i` cospaq sinpbq ` sinpaq cospbq˘. (16.41)

Cela est également égal àcospa` bq ` i sinpa` bq. (16.42)

En identifiant les parties réelle et imaginaires, nous obtenons les formules (16.40a) et (16.40c)annoncées.

Pour la formule (16.40c), il suffit de se souvenir que sinp´bq “ ´ sinpbq et cosp´bq “ cospbq (cesdeux égalités sont immédiatement visibles sur les développements en série : l’un a uniquement despuissances paires et l’autre impaires) et d’écrire (16.40a) avec ´b au lieu de b.

Corollaire 16.24.Les formules suivantes pour les duplications d’angles s’ensuivent :

cosp2aq “ cos2paq ´ sin2paq (16.43a)sinp2aq “ 2 cospaq sinpaq. (16.43b)

Démonstration. Poser b “ a dans les relations du lemme 16.23.

Lemme 16.25.Un sous-groupe de pR,`q est soit dense dans R soit de la forme pZ pour un certain réel p ‰ 0.

16.2. TRIGONOMÉTRIE 953

Démonstration. Soit A, un sous groupe de pR,`q qui ne soit pas dense. Soit un intervalle sa, brqui n’intersecte pas A (si vous voulez frimer, vous noterez ici que nous utilisons le fait que lesintervalles ouverts forment une base de la topologie de R). Si d “ |b´ a|, l’ensemble A ne contientpas deux éléments séparés par strictement moins de d. Soit p, le plus petit élément strictementpositif de A ; nous avons p ě d (parce que 0 P A de toutes façons).

Vu que A est un groupe nous avons pZ Ă A.Pour l’inclusion inverse, si x P A est hors de pZ, il existe un y P pZ avec |x´ y| ă p. Et donc

le nombre |x´ y| est dans A tout en étant plus petit que p. Contradiction.

Proposition 16.26 ([197]).La fonction cos est périodique et le nombre T ą 0 est une période si et seulement si cospT q “ 1 etsinpT q “ 0.

Démonstration. Plusieurs étapes.La fonction cosinus n’est pas toujours positive Supposons d’abord que cospxq ą 0 pour

tout x P R. Dans ce cas, la fonction sin est strictement croissante. Mais les deux fonctionssont bornées par 1 du fait de la formule cos2pxq`sin2pxq “ 1. La fonction sin étant croissanteet bornée, elle est convergente vers un réel par la proposition 12.88 :

limxÑ8 sinpxq “ ` (16.44)

pour un certain ` ą 0. Avec ça nous avons aussi (pour cause de dérivée) limxÑ8 sin1pxq “ 0,c’est à dire limxÑ8 cospxq “ 0. Mais vu que cos2pxq`sin2pxq “ 1 nous avons limxÑ8 sinpxq “1. Mézalor limxÑ8 cos1pxq “ ´1, ce qui donne que la fonction cos n’est pas bornée. Celaest impossible. Nous en déduisons que cospxq n’est pas toujours positive.

Il existe T ą 0 tel que cospT q “ 1 et sinpT q “ 0 Par ce que nous venons de faire, il exister ą 0 tel que cosprq “ 0. Pour cette valeur, nous avons aussi obligatoirement sinprq “ ˘1.Nous avons aussi, en utilisant les formules (16.40),

cosp2rq “ cos2prq ´ sin2prq “ ´1 (16.45a)sinp2rq “ 2 cosprq sinprq “ 0. (16.45b)

et par conséquentcosp4rq “ cos2p2rq ´ sin2p2rq “ 1 (16.46a)

sinp4rq “ 2 cosp2rq sinp2rq “ 0. (16.46b)Donc T “ 4r fonctionne.

Si T est une période Nous entrons dans le vif de la preuve. Soit un T ą 0 tel que cospx`T q “cospxq pour tout x P R. Avec la formule d’addition d’angle 3 dans le cosinus nous cherchonsun T tel que

cospx` T q “ cospxq cospT q ´ sinpxq sinpT q “ cospxq (16.47)et donc tel que

cospxq` cospT q ´ 1˘ “ sinpxq sinpT q. (16.48)

Nous dérivons cette équation :´ sinpxq` cospT q ´ 1

˘ “ cospxq sinpT q. (16.49)Nous multiplions chacune des deux équations (16.48) et (16.49) par sinpxq et cospxq pourobtenir les quatre relations suivantes :

cos2pxq` cospT q ´ 1˘´ sinpxq cospxq sinpT q “ 0 (16.50a)

´ sinpxq cospxq` cospT q ´ 1˘´ cos2pxq sinpT q “ 0 (16.50b)

sinpxq cospxq` cospT q ´ 1˘´ sin2pxq sinpT q “ 0 (16.50c)

sin2pxq` cospT q ´ 1˘´ sinpxq cospxq sinpT q “ 0 (16.50d)

3. Rien ne nous empêche de donner ce nom à ces formules, mais seriez vous capable de définir précisément le mot«angle» ?

954 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

En faisant (16.50a) moins (16.50d) nous trouvons cospT q “ 1. Et en sommant (16.50b) avec(16.50c) nous avons ´ sinpT q “ 0.

Si T ą 0 est tel que sinpT q “ 0 et cospT q “ 1 Alors la formule d’addition d’angle donne toutde suite

cospx` T q “ cospxq. (16.51)

À de niveau nous croyons avoir prouvé que cos était périodique et que la période est donnéepar

mintT ą 0 tel que sinpT q “ 0, cospT q “ 1u. (16.52)Or rien n’est moins sûr parce qu’il pourrait arriver que ce minimum n’existe pas, c’est à dire quel’infimum soit zéro. Autrement dit, il peut arriver que l’ensemble des périodes soit dense. Plusprécisément, soit P Ă R l’ensemble des périodes de cos. C’est un sous-groupe de pR,`q et lelemme 16.25 nous dit que P est soit dense dans R soit de la forme pZ pour un p ą 0.

Si P est dense, soit t P R et une suite ptnq dans P telle que tn Ñ t. Pour tout x et tout n nousavons

cospx` tnq “ cospxq, (16.53)Vu que la fonction cosinus est continue, nous pouvons passer à la limite et écrire cospx`tq “ cospxq.Cela étant valable pour tout x et pour tout t, la fonction cosinus est constante. Or nous savonsque ce n’est pas le cas, donc P n’est pas dense. Donc cosinus est périodique.

Définition 16.27 (Le nombre π).Le nombre π ą 0 est donné par

2π “ mintT ą 0 tel que cospx` T q “ cospxq @xu. (16.54)

Par ce qui a été dit dans la démonstration nous avons aussi

2π “ mintT ą 0 tel que sinpT q “ 0, cospT q “ 1u. (16.55)

Notons que tout ceci ne nous donne pas la plus petite indication d’ordre de grandeur de la valeurde π. Cela peut encore être 0.1 autant que 500.

Proposition 16.28 ([197]).Des propriétés à la chaîne à propos des sinus, cosinus et de leurs périodes.

(1) Le nombre 2π est le plus petit tel que" cosp2πq “ 1 (16.56a)

sinp2πq “ 0. (16.56b)

(2) Le nombre 2π est également la période de la fonction sin.(3) Nous avons cospπq “ ´1 et sinpπq “ 0.(4) Pour tout a P R nous avons

cospa` πq “ ´ cospπq (16.57a)sinpa` πq “ ´ sinpπq. (16.57b)

(5) Le nombre π est le plus petit T ą 0 tel que cospT q “ ´1 et sinpT q “ 0.(6) Nous avons

" cospπ2q “ 0 (16.58a)sinpπ2q “ 1. (16.58b)

(7) Nous avons les formules" cospx` π2q “ ´ sinpxq (16.59a)

sinpx` π2q “ cospxq (16.59b)pour tout x P R.

16.2. TRIGONOMÉTRIE 955

(8) Le nombre π2 est le plus petit T vérifiant sinpT q “ 1, cospT q “ 0.(9) Nous avons les valeurs

$’&’%

cosp3π2 q “ 0 (16.60a)

sinp3π2 q “ ´1. (16.60b)

(10) Le nombre π2 est le plus petit T ą 0 tel que cospT q “ 0.

Démonstration. C’est parti.(1) Le fond de la proposition 16.26 est que toutes les périodes T ą 0 vérifient cospT q “ 1 et

sinpT q “ 0. La définition de π est que c’est la plus petite période.(2) En utilisant le fait que l’une est la dérivée de l’autre, si T est une période de cos nous avons

sinpx` T q “ ´ cos1px` T q (16.61a)

“ ´ limεÑ0

cospx` T ` εq ´ cospx` T qε

(16.61b)

“ ´ limεÑ0

cospx` εq ´ cospxqε

(16.61c)

“ ´ cos1pxq (16.61d)“ sinpxq. (16.61e)

Nous déduisons que toute période de cos est une période de sin. De la même façon, nouspouvons prouver le contraire : toute période de sin est une période de cos.

(3) D’un côté nous avonscosp2πq “ cos2pπq ´ sin2pπq “ 1 (16.62)

parce que cosp2πq “ cosp0q “ 1. Vu que cospπq et sinpπq sont bornés par ´1 et 1, nousdevons avoir sinpπq “ 0 et cospπq “ ˘1.Mais d’un autre côté, le nombre 2π est le plus petit T vérifiant cospT q “ 1, sinpT q “ 0.Donc avoir cospπq “ 1 n’est pas possible. Nous concluons

" cospπq “ ´1 (16.63a)sinpπq “ 0. (16.63b)

(4) Il s’agit d’utiliser les formules d’addition d’angles du lemme 16.23 pour calculer cospa` πqet sinpa` πq en tenant compte du fait que cospπq “ ´1 et sinpπq “ 0.

(5) Soit a P s0, πr tel que cospaq “ ´1 et sinpaq “ 0. Alors nous avons

cospa` πq “ ´ cospπq “ 1 (16.64a)sinpa` πq “ ´ sinpπq “ 0, (16.64b)

ce qui donnerait a` π P sπ, 2πr dont le cosinus est 1 et le sinus est zéro. Mais nous savonsdéjà que 2π est le minimum pour cette propriété.

(6) Nous avons´ 1 “ cospπq “ cos2pπ2q ´ sin2pπ2q, (16.65)

donc cospπ2q “ 0 et sin2pπ2q “ 1, ce qui donne sinpπ2q “ ˘1.Nous devons départager le ˘. Pour cela nous savons que sin1p0q “ cosp0q “ 1, donc il existeε ą ε tel que pour tout x P s0, εr nous avons 0 ă cospxq ă 1 et 0 sinpxq ă 1. Nous choisissonsε plus petit que π2 .Supposons que sinpπ2q “ ´1. Le théorème des valeurs intermédiaires 12.21 dit qu’il existex0 P sε, π2r tel que sinpx0q “ 0. Pour cette valeur de x0 nous devons aussi avoir cospx0q “

956 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

˘1. Mais vu que 2π est minium pour avoir cos “ 1 et sin “ 0 nous devons avoir cospx0q “´1. Alors nous avons aussi

cospx0 ` πq “ cospx0q cospπq ´ sinpx0q sinpπq “ ´ cospx0q “ 1 (16.66a)sinpx0 ` πq “ cospx0q sinpπq ` sinpx0q cospπq “ sinpx0q “ 0. (16.66b)

Encore une fois par minimalité de 2π, cela ne va pas. Conclusion : sinpπ2q “ 1.(7) Il s’agit encore d’utiliser les formules d’addition d’angle en tenant compte du fait que

cospπ2q “ 0 et sinpπ2q “ 1.(8) Supposons x0 P s0, π2r tel que sinpx0q “ 1 et cospx0q “ 0. En utilisant les formules (16.59)

nous avons

cospx0 ` π2q “ ´1 (16.67a)sinpx0 ` π2q “ 0, (16.67b)

avec x0 ` π2 ă π. Cela contredirait la minimalité de π.(9) Il s’agit d’utiliser les formules (16.59) :

cosp3π2 q “ cospπ ` π2q “ ´ sinpπq “ 0 (16.68a)

sinp3π2 q “ sinpπ ` π2q “ cospπq “ ´1. (16.68b)

(10) Si cospx0q “ 0 alors sinpx0q “ ´1 (parce que sinpx0q “ 1 est déjà exclu). Alors cospx0 `π2q “ 1 et sinpx0 ` π2q “ 0, ce qui est également impossible.

Tout cela nous permet d’écrire le tableau de variations de sinus et cosinus.

Proposition 16.29.L’application

γ : r0, 2πr Ñ S1 Ă R2

t ÞÑ `cosptq, sinptq˘ (16.69)

est une bijection continue.

Démonstration. La continuité découle de la continuité des composantes. Le fait que l’image de γsoit dans S1 découle immédiatement du fait que sin2` cos2 “ 1.

Pour la bijection, il faut injectif et surjectif.Injectif Soient x1 ă x2 tels que sinpx1q “ sinpx2q et cospx1q “ cospx2q. Supposons pour fixer

les idées que sinpx1q ą 0 et cospx1q ą 0 : si ce n’est pas le cas, il faut traiter séparément les4 possibilités de combinaisons de signes.Nous avons obligatoirement x1, x2 P r0, π2 r. Vu que sinpx1q “ sinpx2q, il existe par le théo-rème de Rolle 12.127 un élément c P sx1, x2r tel que sin1pcq “ 0, c’est à dire cospcq “ 0. Celacontredirait la proposition 16.28(10) à moins que x1 “ x2.

Surjectif Soient x, y tels que x2 ` y2 “ 1. Supposons pour varier les plaisirs que x ă 0 ety ą 0. Vu que la fonction cos va de 0 à ´1 lorsque x va de π2 à π, le théorème des valeursintermédiaires donne t P rπ2, πs tel que cosptq “ x. Pour cette valeur de x nous avons

cos2pxq ` sin2pxq “ 1, (16.70)

et donc sin2pxq “ y2, ce qui donne sinpxq “ ˘y. Mais pour x P rπ2, πs nous avons sinptq ą 0.Par conséquent sinptq “ y.

16.2. TRIGONOMÉTRIE 957

Lemme 16.30.Nous avons les valeurs remarquables

sinpπ4 q “ cospπ4 q “?

22 . (16.71)

Je crois que vous devriez pouvoir faire la preuve tout seul. Si ça ne va pas, contactez-moi.

16.2.2 Exemples

Nous mettons ici quelque exemples concernant les fonctions trigonométriques, qui n’ont pas puêtre mis dans les chapitres le plus adapté, parce que ces derniers sont plus haut dans la table desmatière.

Exemple 16.31(Taylor)Le développement du cosinus est donné par

cospxq “ 1´ x2

2 ` x4

4! ´x6

6! ¨ ¨ ¨ (16.72)

Nous avons donc l’existence d’une fonction h1 P opx2q telle que cospxq “ 1 ´ x2

2 ` h1pxq. Il existeaussi une autre fonction h2 P opx4q telle que cospxq “ 1´ x2

2 ` x4

4! ` h2pxq. 4

Exemple 16.32(Limite et prolongement par continuité)La fonction

fpxq “ cospxq ´ 1x

(16.73)

n’est pas définie en x “ 0, mais en la limite

limxÑ0

cospxq ´ 1x

(16.74)

nous reconnaissons la limite définissant la dérivée du cosinus en 0, c’est à dire que

limxÑ0

cospxq ´ 1x

“ sinp0q “ 0. (16.75)

Nous avons donc le prolongement par continuité

fpxq “#

cospxq´1x si x ‰ 0

0 sinon.(16.76)

Encore une fois, le graphe de la fonction f ne présente aucune particularité autour de x “ 0.

´6 π ´4 π ´2 π 2 π 4 π 6 π

´12

12

4

958 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Exemple 16.33(Un calcul heuristique de limite)Soit à calculer la limite suivante :

limxÑ0

e´2 cospxq`2 sinpxq?e2 cospxq`2 ´ 1

. (16.77)

La stratégie que nous allons suivre pour calculer cette limite est de développer certaines partiesde l’expression en série de Taylor, afin de simplifier l’expression. La première chose à faire est deremplacer eypxq par 1` ypxq lorsque ypxq Ñ 0. La limite devient

limxÑ0

`´ 2 cospxq ` 3˘

sinpxqa´2 cospxq ` 2. (16.78)

Nous allons maintenant remplacer cospxq par 1 au numérateur et par 1 ´ x22 au dénominateur.Pourquoi ? Parce que le cosinus du dénominateur est dans une racine, donc nous nous attendons àce que le terme de degré deux du cosinus donne un degré un en dehors de la racine, alors que dudegré un est exactement ce que nous avons au numérateur : le développement du sinus commencepar x.

Nous calculons donc

limxÑ0

sinpxqc´2

´1´ x2

2

¯` 2

“ limxÑ0

sinpxqx

“ 1. (16.79)

Tout ceci n’est évidement pas très rigoureux, mais en principe vous avez tous les éléments en mainpour justifier les étapes. 4

Proposition 16.34 ([198]).Soient des fonction f, g : I Ñ R de classe C1 sur l’ouvert I de R telles que f2` g2 “ 1. Soit t0 P Iet θ0 tel que fpt0q “ cospθ0q et gpt0q “ sinpθ0q.

Alors il existe une unique fonction continue θ : I Ñ R telle que$’&’%

θpt0q “ θ0 (16.80a)f “ cos ˝θ (16.80b)g “ sin ˝θ. (16.80c)

Démonstration. Nous commençons par l’existence, en passant par les nombres complexes. Soith : I Ñ C définie par h “ f ` ig. Nous avons hh “ 1 et nous définissons

θptq “ θ0 ´ iż t

t0

h1psqhpsqds. (16.81)

Cette intégrale existe pour tout t parce que les fonctions f et g étant de classe C8, elles sontbornées sur le compact rt0, ts. De plus θ est une fonction continue parce que c’est une primitive(proposition 13.204) 4.

La dérivée de θ est la fonction s ÞÑ ´ih1psqhpsq.Utilisant la formule du lemme 16.22 sur la forme trigonométrique des nombres complexes, nous

calculons :d

dt

”he´iθ

ıt“0

“ e´iθph1 ´ hθ1q “ e´iθph1 ´ ihp´iqh1hq “ 0. (16.82)

Par conséquent il existe c P C tel que he´iθ “ c. Mais hpt0q “ fpt0q` igpt0q “ cospθ0q` i sinpθ0q “eiθ0 , du coup

hpt0qe´iθpt0q “ c (16.83)

4. En réalité nous appliquons la proposition 9.29 à chacune des parties réelles et imaginaires de la fonctions ÞÑ h1psqhpsq.

16.2. TRIGONOMÉTRIE 959

donne immédiatement c “ 1, ou encore eiθptq “ hptq, c’est à dire que

f ` ig “ cos ˝θ ` i sin ˝θ, (16.84)

ce qu’il fallait pour l’existence.Pour l’unicité nous supposons avoir une autre fonction, α qui satisfait aux exigences. Pour tout

t P I nous avonseiθptq “ eiαptq. (16.85)

Il existe donc une fonction n : I Ñ N telle que θptq “ αptq ` 2nptqπ. Par continuité de θ et α, lafonction n doit être constante, mais vu que θpt0q “ αpt0q nous avons n “ 1.

16.2.3 Très modeste approximation de π

Nous sommes en droit de vouloir une valeur approchée de π.

Lemme 16.35.Nous avons l’approximation numérique

2?

2 ă π ă 4. (16.86)

Démonstration. Grace au lemme 16.30 nous savons que la fonction sin passe de 0 à?

22 sur unintervalle de taille π4 avec une dérivé majorée par 1. Par conséquent

π

4 ą?

22 (16.87)

et donc 5

π ą 2?

2 » 2.82 (16.88)

De plus la fonction sin passe de 0 à?

22 sur un intervalle de taille π4 avec une dérivée majoréepar

?22, donc

π

4 ă?

22?22 , (16.89)

ce qui donneπ ă 4. (16.90)

Pour avoir une meilleur approximation de π, nous pouvons remarquer que π P s2.82, 4r, etque cet intervalle est suffisamment petit pour ne pas recouvrir l’intervalle correspondant pour 2π.L’équation cospxq “ ´1 possède donc une unique solution dans cet intervalle (et cette solution estπ). Nous pouvons donc faire une dichotomie pour trouver la valeur de π, pourvu que nous ayonsune façon d’évaluer des valeurs de cospxq de façon pas trop ridicule.

16.2.4 Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 représenté à la figure 16.1. Sa longueur est2π.

Nous verrons plus tard que la longueur de l’arc de cercle intercepté par un angle θ est égal àθ. Les radians sont donc l’unité d’angle les plus adaptés au calcul de longueurs sur le cercle.

5. Sérieusement, êtes vous capables de trouver une approximation de?

2 en ne vous basant que sur des chosesvues jusqu’ici ?

960 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

‚

‚sinpθq

cospθqθ

P

Figure 16.1 – Le cercle trigonométrique.

16.2.5 Les fonctions tangente et arc tangente

Définition 16.36.La fonction tangente est :

tanpxq “ sinpxqcospxq (16.91)

où sin et cos sont de la définition 16.19.

La fonction tangente n’est pas définie sur les points de la forme x “ π2 ` kπ, k P Z. Une

interprétation géométrique, qui justifie le nom, est donnée sur la figure 16.2.

θϕ

‚ tanpθq

‚ tanpϕq

Figure 16.2 – Interprétation géométrique de la fonction tangente. La tangente de l’angle θ estpositive (et un peu plus grande que 1) tandis que celle de la tangente de l’angle ϕ est négative.

Proposition 16.37.La fonction

tan : s´π2 ,π

2 r Ñ R

x ÞÑ tanpxq(16.92)

est une bijection.

Démonstration. Le cosinus ne s’annulant pas sur l’intervalle donné, la fonction est bien définie.Nous avons

limxÑπ2´

tanpxq “ `8 (16.93)

16.2. TRIGONOMÉTRIE 961

parce que la limite du sinus est 1 est celle du cosinus est zéro par les valeurs positives. Le mêmeraisonnement donne la limite en ´π2 qui vaut ´8. Le théorème des valeurs intermédiaires 6 ditque la fonction tangente est alors surjective sur R.

Par ailleurs en utilisant les règles de calcul comme la dérivation du quotient 12.115(3) noustrouvons

tan1pxq “ tan2pxq ` 1, (16.94)

ce qui nous donne une dérivée partout strictement positive, et donc une fonction strictementcroissante et donc injective.

Le graphe de la fonction tangente est sur la figure 16.3.

´52 π ´2 π ´3

2 π ´π ´12 π 1

2 π π 32 π 2 π 5

2 π

´5

´4

´3

´2

´1

1

2

3

4

5

Figure 16.3 – Le graphe de la fonction tangente.

En ce qui concerne la bijection réciproque nous avons le théorème suivant.

Théorème 16.38.La fonction

arctan : RÑı´π2 ,

π

2

”

x ÞÑ arctanpxq(16.95)

nommée arc tangente est

(1) impaire et strictement croissante sur R.(2) dérivable sur R de dérivée

arctan1pxq “ 11` x2 . (16.96)

Démonstration. La fonction sinus étant impaire (visible sur son développement de définition (16.31)),et la fonction cosinus étant paire, la fonction tangente est impaire et sa réciproque l’est tout autant.

La fonction arc tangente est également dérivable (donc continue) par la proposition 12.42 parceque la fonction tangente l’est. Notons qu’ici nous nous sommes restreint à s´π2, π2r. Sinon, lerésultat est faux.

La formule proposée pour la dérivée provient également de la proposition 12.42 et de la dérivéede la tangente :

6. Théorème 12.21.

962 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Lemme 16.39.Nous avons la valeur remarquable

arctanp1?3q “ π

6 . (16.97)

Le nombre arctanpx0q se calcule en cherchant l’angle θ P r´π2 ,

π2 s dont la tangente vaut x0.

Nous obtenons le tableau de valeurs suivant :

x 0 1?3 1

?3

arctanpxq 0 π6

π4

π3

En ce qui concerne la représentation graphique de la fonction x ÞÑ arctanpxq, elle s’obtient «enretournant» la partie entre ´π

2 et π2 du graphique de la fonction tangente :

´5 ´4 ´3 ´2 ´1 1 2 3 4 5

´12 π

12 π

16.2.6 La fonction arc sinus

Nous voulons étudier la fonction

sin : RÑ r´1, 1sx ÞÑ sinpxq (16.98)

et sa réciproque éventuelle.La fonction sinus est continue sur R mais n’est pas bijective : elle prend une infinité de fois

chaque valeur de J “ r´1, 1s. Pour définir une bijection réciproque de la fonction sinus en utilisantle théorème 12.41, nous devons donc choisir un intervalle à partir duquel la fonction sinus estmonotone. Nous choisissons l’intervalle

I “ r´π2 ,π

2 s. (16.99)

La fonctionsin : r´π2 ,

π

2 s Ñ r´1, 1sx ÞÑ sinpxq

(16.100)

est une bijection croissante et continue. Nous avons donc le résultat suivant.

Théorème 16.40 (Définition et propriétés de arc sinus).Nous nommons arc sinus la bijection inverse de la fonction sin : I Ñ J . La fonction

arcsin : r´1, 1s Ñ r´π2 ,π

2 sx ÞÑ arcsinpxq

(16.101)

ainsi définie est(1) continue et strictement croissante ;(2) impaire : pour tout x P r´1, 1s nous avons arcsinp´xq “ ´ arcsinpxq.

16.2. TRIGONOMÉTRIE 963

Démonstration. Nous prouvons le fait que arcsin est impaire. Un élément de l’ensemble de défi-nition de arcsin est de la forme y “ sinpxq avec x P r´π2, π2s. La relation (12.45) s’écrit dansnotre cas

x “ arcsin`

sinpxq˘. (16.102)

Nous écrivons d’une part cette équation avec ´x au lieu de x :

´ x “ arcsin`

sinp´xq˘ “ arcsin`´ sinpxq˘ “ arcsinp´yq; (16.103)

et d’autre part nous multiplions (16.102) par ´1 :

´ x “ ´ arcsin`

sinpxq˘ “ ´ arcsinpyq. (16.104)

En égalisant les valeurs (16.103) et (16.104) nous trouvons

arcsinp´yq “ ´ arcsinpyq, (16.105)

ce qui signifie que arcsin est une fonction impaire.

Notons que cette preuve repose sur le fait que tout élément de l’ensemble de définition de lafonction arc sinus peut être écrit sous la forme sinpxq pour un certain x.

Si x0 P r´1, 1s est donné, calculer arcsinpx0q revient à trouver un angle θ0 dans r´π2 ,

π2 s pour

lequel sinpθ0q “ x0. Un tel angle sera forcément unique.

Remarque 16.41.La définition de arc sinus découle du choix de l’intervalle I, qui est une convention. Il aurait étépossible de faire un choix différent : pourriez vous trouver la réciproque de la fonction sinus surl’intervalle rπ2, 3π2s ? Le mieux est de l’écrire comme une translatée de arc sinus, en utilisant lefait que sinus est une fonction périodique.

Exemple 16.42Pour calculer arcsinp1q, il faut chercher un angle entre ´π

2 et π2 ayant 1 pour sinus : résoudre

sinpθq “ 1. La solution est θ “ π2 et nous avons donc arcsinp1q “ π

2 . 4

À l’aide des valeurs remarquables de la fonction sinus nous obtenons le tableau suivant devaleurs remarquables pour l’arc sinus.

x 0 12

?2

2

?3

2 1arcsinpxq 0 π

6π4

π3

π2

Les autres valeurs remarquables peuvent être déduites du fait que l’arc sinus est une fonctionimpaire.

En ce qui concerne la dérivabilité de la fonction arc sinus, en application de la proposition12.42 elle est dérivable en tout y “ sinpxq tel que sin1pxq ‰ 0, c’est à dire tel que cospxq ‰ 0. Orcospxq “ 0 pour x “ ˘π

2 , ce qui correspond à y “ sinp˘π2 q “ ˘1. La fonction arc sinus est donc

dérivable sur s´1, 1r. Nous avons donc la propriété suivante pour la dérivabilité.

Proposition 16.43.La fonction arc sinus est continue sur r´1, 1s et dérivable sur s´1, 1r. Pour tout y P s´1, 1r, ladérivée est donnée par la formule (12.54), qui dans ce cas s’écrit

arcsin1pyq “ 1cos

`arcsinpyq˘ “

1a1´ y2

. (16.106)

La dernière égalité viens du fait que si x “ arcsinpyq alors y “ sinpxq et cospxq “a1´ sin2pxq “a

1´ y2.Pour comprendre la dernière égalité, remarquer que dans le dessin suivant, θ “ arcsinpyq, donc

y “ sinpθq, et x “ cospθq.

964 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

θ ‚x

‚y

Notons enfin que le graphe de la fonction arc sinus est donné à la figure 16.4.

´1 1

´π

´12 π

12 π

π

Figure 16.4 – Le graphe de la fonction x ÞÑ arcsinpxq

16.2.7 La fonction arc cosinus

Nous voulons étudier la fonction

cos : RÑ r´1, 1s (16.107)

et son éventuelle réciproque. Encore une fois il n’est pas possible d’en prendre la réciproque glo-bale parce que ce n’est pas une bijection ; ne fut-ce que parce qu’elle est périodique (proposition16.26). Nous choisissons de considérer l’intervalle r0, πs sur lequel la fonction cosinus est continueet strictement monotone décroissante.

Nous avons alors le résultat suivant :

Proposition-définition 16.44.Pour définir la fonction arcsinus.

(1) La fonctioncos : r0, πs Ñ r´1, 1s (16.108)

est une bijection continue strictement décroissante.(2) Sa bijection réciproque est la fonction

arccos : r´1, 1s Ñ r0, πs (16.109)

nommée arc cosinus.

16.2. TRIGONOMÉTRIE 965

(3) La fonction arc cosinus est continue, strictement décroissante.(4) Elle est dérivable et pour tout y P s´1, 1r, sa dérivée est donnée par

arccos1pyq “ 1´ sin

`arccospyq˘ “

´1a1´ y2

. (16.110)

Démonstration. La fonction cosinus est continue et même de classe C8 par la proposition 16.19.Elle est strictement décroissant parce que sa dérivée (´ sin) y est strictement positive (strictementà dans l’intérieur du domaine).

Le fait que arc cosinus soit une bijection continue strictement monotone est dans le théorèmede la bijection 12.41. La dérivabilité et la formule sont de la proposition 12.42.

Pour y0 P r´1, 1s, trouver la valeur de arccospy0q revient à résoudre l’équation cospx0q “ y0.Cela nous permet de construire une tableau de valeurs :

x ´1 ´?

32 ´

?2

2 ´12 0 1

2

?2

2

?3

2 1arccospxq π 5π

634π

23π

12π

π3

14π

16π 0

Remarque 16.45.Certes la fonction cosinus est paire (vue sur R), mais la fonction arc cosinus ne l’est pas car elleest une bijection entre r´1, 1s et r0, πs.

Exemple 16.46Cherchons arccosp1

2q. Il faut trouver un angle θ P r0, πs tel que cospθq “ 12 . La solution est θ “ π

3 .Donc arccosp1

2q “ π3 .

Il n’est cependant pas immédiat d’en déduire la valeur de arccosp´12q. En effet θ “ arccosp´1

2qsi et seulement si cospθq “ ´1

2 avec θ P r0, πs. La solution est θ “ 2π3 . 4

En ce qui concerne la représentation graphique, il suffit de tracer la fonction cosinus entre 0 etπ puis de prendre le symétrique par rapport à la droite y “ x.

´1 1 2 3 4

´12 π

12 π

π

32 π

16.2.8 Une meilleure approximation de π

Nous avions laissé le nombre π avec l’approximation assez minable de 2?

2 ă π ă 4 en le lemme16.35. Nous pouvons maintenant faire nettement mieux.

Le lemme 16.39 donnearctanp1?3q “ π6 (16.111)

966 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

et l’idée est de donner un développement de arctan autour de zéro, de l’évaluer en 1?3 et d’égaliserle résultat à π6. Tout cela donne lieu à des calcules peut-être fastidieux, mais comme un gars l’afait dès l’an 1424[199] pour trouver 16 décimales corrects, nous faisons comme si c’était facile.

Le développement en série de Taylor 12.677 d’arc tangente autour de x “ 0 est donné par

arctanpxq “8ÿ

k“0

p´1qkx2k`1

2k ` 1 , (16.112)

valable pour x P s´1, 1r. Avec cela nous avons

arctanp 1?3q “

8ÿ

k“0

p´1qkp2k ` 1q3k ˆ

1?3“ π

6 , (16.113)

et doncπ “ 6?

3

8ÿ

k“0

p´1qkp2k ` 1q3k . (16.114)

Pour donner une idée du fait que ça fonctionne pas mal, voici le calcul pour quelque termes :

1

2 SageMath version 7.3, Release Date: 2016 -08 -043 Type " notebook () " for the browser -based notebook interface.4 Type " help () " for help .5

6 sage: n(taylor(arctan(x),x,0,5)(1/ sqrt (3)))*67 3.156181471569958 sage: n(taylor(arctan(x),x,0,10) (1/ sqrt (3)))*69 3.14260474566308

10 sage: n(taylor(arctan(x),x,0,20) (1/ sqrt (3))*6-pi)11 -2.14265171338823e-612 sage: n(taylor(arctan(x),x,0,58) (1/ sqrt (3))*6-pi)13 8.88178419700125e-16

tex/sage/sageSnip012.sage

Calculer 5 termes donne déjà 3.15. Et on est à 10´6 de la bonne réponse avec 20 termes. Et avec58 termes, on n’est à 10´16.

Problèmes et choses à faire

Pour bien faire, il faudrait étudier le reste et donner un encadrement.

16.2.9 Forme polaire ou trigonométrique des nombres complexes

Un nombre complexe étant représenté par deux nombres, on peut le représenter dans un planappelé « plan de Gauss ». La plupart des opérations sur les nombres complexes ont leur interpré-tation géométrique dans ce plan.

Dans le plan de Gauss, le module d’un complexe z représente la distance entre 0 et z. Onappelle argument de z (noté arg z) l’angle (déterminé à 2π près) entre le demi-axe des réels positifset la demi-droite qui part de 0 et passe par z. Le module et l’argument d’un complexe permettentde déterminer univoquement ce complexe puisqu’on a la formule

z “ a` bi “ |z| pcospargpzqq ` i sinpargpzqqqL’argument de z se détermine via les formules

a

|z| “ cospargpzqq b

|z| “ sinpargpzqq

16.2. TRIGONOMÉTRIE 967

ou encore par la formuleb

a“ tanpargpzqq en vérifiant le quadrant.

La vérification du quadrant vient de ce que la tangente ne détermine l’angle qu’à π près.

16.2.10 Angle entre deux vecteurs

Si a et b sont des réels, l’inégalité |a| ď b peut se développer en une double inégalité

´ b ď a ď b. (16.115)

L’inégalité de Cauchy-Schwarz (9.94) devient alors

´ XY ď X ·Y ď XY . (16.116)

Si X ‰ 0 et Y ‰ 0, nous en déduisons

´ 1 ď X ·Y

XY ď 1. (16.117)

Il existe donc par la proposition 16.44 un angle θ P r0, πs tel que

cospθq “ X ·Y

XY . (16.118)

Définition 16.47.L’angle ainsi défini est l’angle entre X et Y . La définition (16.118) est souvent utilisée sous laforme

X ·Y “ XY cospθq. (16.119)

Notez que les angles sont toujours des angles plus petits ou égaux à 180˝.La longueur de la projection du point P sur la droite horizontale va naturellement être égale

à cospθq. En effet, si nous notons X un vecteur horizontal de norme 1, cette projection est donnépar P ·X. Mais en reprenant l’équation (16.119), nous voyons que

P ·X “ P X cospθq, (16.120)

tandis qu’ici nous avons P “ X “ 1.Nous appelons sinpθq la longueur de la projection sur l’axe vertical.Quelques dessins nous convainquent que

sinpθ ` 2πq “ sinpθq cospθ ` 2πq “ sinpθq,sinpθ ` π

2 q “ cospθq cospθ ` π

2 q “ ´ sinpθq,sinpπ ´ θq “ sinpθq cospπ ´ θq “ ´ cospθq.

(16.121)

Le théorème de Pythagore nous montre aussi l’importante relation

sin2pθq ` cos2pθq “ 1. (16.122)

Quelques valeurs remarquables pour les sinus et cosinus :

sin 0 “ 0, sin π6 “12 , sin π4 “

?2

2 , sin π3 “?

32 , sin π2 “ 1, sin π “ 0

cos 0 “ 1, cos π6 “?

32 , cos π4 “

?2

2 , cos π3 “12 , cos π2 “ 0, cosπ “ ´1

(16.123)

Nous pouvons prouver simplement que sinp30˝q “ 12 et cosp30˝q “

?3

2 en s’inspirant de la figure16.5.

968 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

60

30

‚A

‚B ‚ C‚H

Figure 16.5 – Un triangle équilatéral de côté 1.

16.2.11 Aire du parallélogramme

Remarque 16.48.Le nombre ab sinpθq est l’aire du parallélogramme formé par les vecteurs a et b, comme cela sevoit sur la figure 16.6.

a

b‚

h

θ ‚

Figure 16.6 – Calculer l’aire d’un parallélogramme.

Proposition 16.49.Nous avons

aˆ b “ ab sinpθq (16.124)

où θ P r0.πs est l’angle formé par a et b.

Démonstration. En utilisant la décomposition du produit vectoriel, nous avons

aˆ b2 “∣∣∣∣∣a2 a3b2 b3

∣∣∣∣∣2

`∣∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣∣2

`∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣∣2

“ pa2b3 ´ b2a3q2 ` pa1b3 ´ a3b1q2 ` pa1b2 ´ a2b1q2“ pa2

1 ` a22 ` a2

3qpb21 ` b22 ` b23q ´ pa1b1 ` a2b2 ` a3b3q2“ a2b2 ´ pa· bq2“ a2b2 ´ a2b2 cos2pθq“ a2b2`1´ cos2pθq˘

“ a2b2 sin2pθq.

(16.125)

D’où le résultat. Nous avons utilisé la formule de la définition (16.47) donnant l’angle en fonctiondu produit scalaire.

16.50.Si les vecteurs a, b et c ne sont pas coplanaires, alors la valeur absolue du produit mixte (voiréquation (9.173)) a· pbˆ cq donne le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs a, b etc.

16.3. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES DANS R2 969

En effet si ϕ est l’angle entre bˆc et a, alors la hauteur du parallélépipède vaut a cospϕq parceque la direction verticale est donnée par bˆ c, et la hauteur est alors la «composante verticale» dea. Par conséquent, étant donné que bˆ c est l’aire de la base, le volume du parallélépipède vaut 7

V “ bˆ ca cospϕq. (16.126)

Or cette formule est le produit scalaire de a par bˆ c ; ce dernier étant donné par le déterminantde la matrice formée des composantes de a, b et c grâce à la formule (9.173).

La valeur absolue du déterminant ∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣∣ (16.127)

est l’aire du parallélogramme déterminé par les vecteursˆa1a2

˙et

ˆb1b2

˙. En effet, d’après la re-

marque 16.48, l’aire de ce parallélogramme est donnée par la norme du produit vectoriel¨˝a1a20

˛‚ˆ

¨˝b1b20

˛‚“

∣∣∣∣∣∣∣ex ey eza1 a2 0b1 b2 0

∣∣∣∣∣∣∣ “∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣∣ ez, (16.128)

donc la norme aˆ b est bien donnée par la valeur absolue du déterminant (16.127).

16.3 Classification des isométries dans R2

16.3.1 Réflexions

Soit un espace vectoriel E de dimension 2 muni d’un produit scalaire 8. Cela pourrait très bienêtre R2, mais nous allons nous efforcer de l’appeler E pour rester un peu général.

Lemme-définition 16.51 (Caractérisation des réflexions).Soit une droite ` de R2. Il existe une unique application f : R2 Ñ R2 telle que

(1) fpxq “ x pour tout x P `.(2) f échange les côtés de `.(3) f laisse invariants les droites perpendiculaires à ` et les cercles dont le centre est sur `.

Cette application est la réflexion d’axe `.

Démonstration. Soit x hors de ` et p la droite perpendiculaire à ` et passant par x. Nous avonsfpxq P p. En nommant P l’intersection entre ` et p, nous considérons le cercle SpP, Pxq qui estun cercle dont le centre est sur `. Il contient x et donc fpxq P SpP, Pxq.

Donc fpxq P p X SpP, Pxq. L’intersection entre un cercle et une droite contient de façongénérique deux point. L’un est x, mais fpxq “ x n’est pas possible parce que x est hors de ` et fdoit inverser les côtés de `. Donc fpxq est l’autre.

Cela prouve l’unicité. En ce qui concerne l’existence, il suffit de noter que la réflexion σ` satisfaitles contraintes.

Lemme 16.52.Soit une droite ` est A P E. Alors

σ`pAq “ 2 proj`pAq ´A (16.129)

où proj` est l’opération de projection orthogonale sur la droite `.7. Le calcul de ce volume mériterait une certaine réflexion, surtout à partir du moment où nous avons décidé de

définir les fonctions trigonométriques à partir de son développement (définition 16.19).8. Définition 9.24.

970 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Démonstration. Nous posons fpXq “ 2 proj`pXq ´ X et nous allons montrer que f “ σ` envérifiant les conditions de la définition 16.51. Nous nous gardons bien de faire un raisonnementdu type «nous allons montrer que f et σ` coïncident sur deux points, et sont donc égales par lecorollaire 16.11» parce que nous ne savons pas encore que σ` est une application affine, ni mêmeque c’est une isométrie.

Si X P ` alors proj`pXq “ X et nous avons fpXq “ 2X ´X “ X. Donc ` est conservée.En ce qui concerne les deux côtés de `, il existe une application linéaire s : E Ñ R et une

constante c P R telles qu’en posant `pXq “ spXq ` c, la droite ` soit le lieux des points X tels que`pXq “ 0. Un côté de la droite est ` ă 0 et l’autre côté est ` ą 0. Nous avons :

``fpAq˘ “ `

`2 proj`pAq ´A

˘(16.130a)

“ sp2 proj`pAq ´Aq ` c (16.130b)“ 2s

`proj`pAq

˘´ spAq ` c (16.130c)“ s

`proj`pAq

˘´ spAq (16.130d)“ ´c´ spAq (16.130e)“ ´`pAq (16.130f)

où nous avons utilisé le fait que, proj`pAq étant sur `, s`proj`pAq

˘ ` c “ 0. Nous avons donc``fpAq˘ “ ´`pAq, ce qui indique que A et fpAq sont de part et d’autre de `.Si d est une droite perpendiculaire à ` et si A P d alors fpAq “ 2 proj`pAq ´A “

`proj`pAq ´

A˘`A P d parce que proj`pAq P d du fait que d soit précisément perpendiculaire à `. Nous avons

aussi utilisé le fait que si A,B,C P d alors pB ´ Aq ` C P d ; pensez que B ´ A est un vecteurdirecteur et que C est un point de d.

Enfin soit K P ` et un cercle SpK, rq centré en K. Soit A P SpK, rq ; nous devons vérifier quefpAq “ SpK, rq. Le segment rA, fpAqs est par définition perpendiculaire à `. Soit M , le milieu, quiest sur la droite `. Les triangles AMK et fpAqMK sont rectangles en M , et AM “ MfpAq.Le théorème de Pythagore donne AK “ fpAqK. Donc le cercle centré en K est donc préservépar f .

Nous en déduisons que f “ σ`.

Proposition 16.53 ([200]).Une réflexion est une isométrie de pE, dq où dpA,Bq “ A´B.Démonstration. Soient A,B P E ; il faut vérifier que A ´ B “ σ`pAq ´ σ`pBq. Pour cela nousécrivons

B ´A “ B ´ proj`pBqlooooooomooooooon“a

` proj`pBq ´ proj`pAqloooooooooooomoooooooooooon“b

` proj`pAq ´Alooooooomooooooon“c

. (16.131)

Vu que b K a et b K c nous avons

B ´A “ xB ´A,B ´Ay “ a2 ` 2xa, cy ` b2 ` c2. (16.132)

Nous pouvons faire le même jeu avec σ`pBq´σ`pAq en tenant compte du fait que proj``σ`pXq

˘ “proj`pXq et que

σ`pAq ´ proj`pAq “ 2 proj`pAq ´A´ proj`pAq “ ´`A´ proj`pAq

˘. (16.133)

Là nous avons utilisé le lemme 16.52. Ce que nous trouvons est que

σ`pBq ´ σ`pAq “ ´a` b´ c, (16.134)

et donc encore une fois

σ`pBq ´ σ`pAq “ a2 ´ 2xa, cy ` b2 ` c2. (16.135)

16.3. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES DANS R2 971

Remarque 16.54.Il faut bien comprendre que si l’axe de la réflexion ne passe par par 0 (le zéro de l’espace vectorielnormé pE, .q), la réflexion n’est pas une isométrie de pE, .q au sens où nous n’avons pas σ`pxq “x.Lemme 16.55.Si A1 est l’image de A par σ` alors ` est la médiatrice du segment rA,A1s.Démonstration. Soit M P `. Nous avons

A´M2 “ proj`pAq ´A2 ` proj`pAq ´M2 (16.136)

parce que A ´ projellpAq K M ´ proj`pAq. Par ailleurs, vu que σ`pAq “ 2 proj`pAq ´ A et queproj`pAq “ proj`pA1q,

proj`pAq ´A “ proj`pA1q ´A1. (16.137)

Nous avons doncσ`pAq ´M2 “ A´M2, (16.138)

ce qui prouve que M est sur la médiatrice de rA1, As par le lemme 16.14.

16.56.Si l est une droite dans R2, nous avons la réflexion σl P IsompR2q d’axe l. Cela est une isométrie etdonc une application affine par le théorème 16.4. Le lemme suivant détermine comment la réflexionσ` se décompose en une translation et une application linéaire.

Lemme 16.57.Soit une droite `. Alors

σ` “ τ2w ˝ σ`0 (16.139)

où `0 est la droite parallèle à ` passant par l’origine, et w est le vecteur perpendiculaire à ` tel que`0 “ `` v.Démonstration. Il faut trouver trois points non alignés sur lesquels les deux applications coïncident ;cela suffira par le corollaire 16.11.

Pour tous les points de `0, l’égalité fonctionne parce que si x P `0,σ`pxq “ x` 2w, (16.140)

tandis queσ`0pxq ` 2w “ x` 2w (16.141)

du fait que σ`0pxq “ x.Si x P `, alors

σ`pxq “ x (16.142)

tandis queσ`0pxq ` 2w “ x´ 2w ` 2w “ x. (16.143)

Donc les applications affines σ` et x ÞÑ σ`0pxq ` 2w coïncident sur ` et `0. Elles coïncident doncpartout.

16.3.2 Rotations

Définition 16.58 (Rotation en dimension 2).Une rotation d’un espace euclidien de dimension 2 est une composée de deux réflexions d’axesnon parallèles. L’identité est une rotation.

16.59.Quelque remarques à propos de cette définition.

972 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

(1) Attention : nous ne parlons pas encore de rotations «vectorielles» : ici le centre de la rotation(que nous n’avons pas encore défini) peut ne pas être 0.

(2) Dans la même veine : plus tard, lorsque nous saurons que les rotations sont des isométriesde pE, dq où dpX,Y q “ X ´ Y , nous allons en réalité beaucoup plus souvent parlerde rotations centrées en l’origine qu’en un point quelconque. C’est pourquoi à partir de16.69 nous dirons le plus souvent «rotation» pour «rotation centrée en 0». D’où les énoncéscomme «les rotations sont les matrice orthogonales» (corollaire 16.81) , qui stricto senusde la définition 16.58 sont faux.

(3) Une rotation est composée de deux réflexions d’axes non parallèles. Il est cependant troptôt pour décréter que l’intersection de ces axes est le centre de la rotation. Rien ne dit eneffet pour l’instant que deux décompositions différentes de la même rotation, avec des axesdifférents donnent le même point d’intersection.

(4) Pourquoi ajouter l’identité ? Pour avoir un groupe. Dans le cas vectoriel, il est suffisant dedemander d’être une composée de deux réflexions, parce que toutes les réflexions vectoriellesont des axes qui s’intersectent en 0. Le cas des axes parallèles est seulement le cas des axesconfondus et revient à l’identité.Si nous voulons avoir un groupe même pour les rotations centrées ailleurs qu’en zéro, nousdevons ajouter «à la main» l’identité.

Toutes ces remarques se résument par : «tout devient compliqué du fait que nous voulonsconsidérer également les rotations centrées ailleurs qu’en zéro». En se contentent du cas vectoriel,de nombreuses choses sont plus simples.

Corollaire 16.60.Si A ‰ B dans E alors il existe une unique réflexion envoyant A sur B.

Démonstration. En ce qui concerne l’existence, la réflexion dont l’axe est la médiatrice de rA,Bsfait l’affaire. En ce qui concerne l’unicité, le lemme 16.55 nous dit que si A est envoyé sur B, l’axeest forcément la médiatrice de rA,Bs.Lemme 16.61 ([194]).La rotation r “ σ1 ˝σ2, si elle est différente de l’identité, ne fixe que le point d’intersection `1X `2.Démonstration. Nous nommons O “ `1 X `2. Soit A P E, et supposons que rpAq “ A. Nous avonsσ1 ˝ r “ s2 et donc

σ1pAq “ pσ1 ˝ rqpAq “ s2pAq. (16.144)

On pose B “ σ1pAq. Alors σ1 et σ2 envoient tout deux A sur B.Si A “ B alors A est fixé par σ1 et donc appartient à `1. Même chose pour A est fixé par σ2

et donc A P `2. Cela donne A “ B “ O, et donc le point fixé par r est O.Si A ‰ B alors il existe une unique réflexion envoyant A sur B (corollaire 16.60). L’unicité

signifie que σ1 “ σ2. Dans ce cas, r “ σ1 ˝ σ2 “ Id.

16.62.La rotation σ1 ˝σ2 laisse évidemment fixé le point `1X `2. Si σ1 ˝σ2 “ σa ˝σb alors rien n’oblige lesaxes de σ1 et σ2 d’être identiques à ceux que σa et σb. Mais l’intersection `1X `2 doit être la mêmeque l’intersection `a X `b parce que c’est l’unique point fixé par la composée. Cela nous permet deposer les définition suivante.

Définition 16.63.Le centre d’une rotation (autre que l’identité) est l’unique point fixé par la rotation.

Comme expliqué dans 16.62, le centre de la rotation s’obtient en l’écrivant comme composéede deux réflexions et en considérant le point d’intersection des axes.

Lemme 16.64.Les rotation sont des isométries pour la distance : X ´ Y “ rpXq ´ rpY q.

16.3. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES DANS R2 973

Démonstration. Si r “ σ1 ˝σ2, en utilisant le fait que σ1 et σ2 sont des isométries de pE, dq (16.53)nous avons :

dpX,Y q “ d`σ2pXq, σ2pY q

˘ “ d`σ1σ2pXq, σ1σ2pY q

˘ “ d`rpXq, rpY q˘. (16.145)

Ce lemme nous dit qu’une rotation de centre O vérifie OX “ OrpXq pour tout X.

Proposition 16.65 ([194]).Soient A,B,O P E tels que AO “ BO ‰ 0. Alors il existe une unique rotation r centrée en Otelle que rpAq “ B.

Problèmes et choses à faireAttention : la preuve qui suit contient de nombreuses galipettes et improvisations personnelles. Relisez-la attentivement avant de la prendre pourargent comptant.

La difficulté tient essentiellement à ce que cette preuve traite de façon vectorielle (tous les points sont des éléments de E) un énoncé qui estessentiellement affine : tous les points doivent être vus comme vecteurs partant de O.

Si vous comparez la preuve donnée ici avec celle de [194], vous remarquerez que dans ce dernier, seule la partie «A et O son alignés» est

présente. C’est parce que lui, il se met directement dans le cas vectoriel et O “ 0. Il a donc une preuve un tout petit peu moins générale, mais au

moins ses isométries sont linéaires et non affines.

Démonstration. Existence et unicité séparément.Existence Si A “ B, l’identité fait l’affaire. Sinon, A´O “ B´O implique que la médiatrice

de rA,Bs contient O. Soit σm la réflexion selon cette médiatrice. La rotation σm ˝ σpAOqconvient.

Unicité Soit r une rotation de centre O et telle que rpAq “ B. Si A “ B alors r “ Idparce qu’une rotation autre que l’identité ne fixe que son centre par le lemme 16.61. Noussupposons que A ‰ B.Nous posons g “ σm ˝ r. Alors gpAq “ σmpBq “ A parce que σmpBq “ A et rpAq “ B. Celasignifie que g est une isométrie qui fixe A.

Si A et O ne sont pas alignés Attention : ici O est un point de E, pas le zéro de l’espacevectoriel E. Lorsqu’on dit que A et O ne sont pas alignés, nous parlons bien d’alignementavec le zéro de E.Nous avons gpAq “ A et gpOq “ O. Donc g coïncide avec σpAOq en deux points nonalignés, c’est à dire en deux points pour lesquels l’espace engendré est tout E. Nous endéduisons que g “ σpAOq.

Si A et O sont alignés Soit maintenant un point C tel que A´O K C ´O et

OC “ OA “ OB. (16.146)

Vu que g est une isométrie pour la distance sur E, pas pour la norme, nous ne pouvonspas écrire gpC ´ Oq K gpA ´ Oq à partir de C ´ O K A ´ O. Nous décomposonsgpXq “ spXq ` G où s est linéaire sur E. Il est vite vu que s est une isométrie depE, .q :

X ´ Y “ gpXq ´ gpY q “ spXq `G´ spyq ´G “ spXq ´ spY q “ spX ´ Y q(16.147)

pour tout X,Y P E. Nous avons de plus gpAq “ A et gpOq “ O, ce qui donne O “spOq `G et A “ spAq `G. En égalisant les valeurs de G nous avons

O ´ spOq “ A´ spAq. (16.148)

Vu que s est une isométrie (une vraie) nous avons

spA´Oq K spC ´Oq, (16.149)

974 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

mais spA´Oq “ spAq ´ spOq “ A´O par (16.148). Donc

A´O K spC ´Oq. (16.150)

Nous en concluons que spC ´Oq “ ˘pC ´Oq. Parce que les vecteurs ˘pC ´Oq sont lesdeux seuls de norme AO “ CO à être perpendiculaire à A´O. Rappel : la définitionde C et le fait que nous soyons en dimension 2.oEst-il possible d’avoir spC ´Oq “ C ´O ? Cela donnerait

gpA´Oq “ spAq ´ spOq `G “ spAq ´O `O ´ spOq `G “ A´O `G (16.151a)gpC ´Oq “ C ´O `G, (16.151b)

ce qui signifierait que g et τG coïncideraient sur les points A ´ O et C ´ O, et doncseraient égaux par le corollaire 16.11. Cela est cependant impossible parce que g fixe aumoins les points A et O alors que la translation ne fixe aucun point. Nous en déduisonsspC ´Oq “ ´pC ´Oq.Nous avons aussi, parce que pAOq est une droite passant par l’origine que

σpAOqpA´Oq “ A´O (16.152)

et parce que C ´O est perpendiculaire à cette droite :

σpAOqpC ´Oq “ ´pC ´Oq. (16.153)

Nous avons donc quand même que g et σpAOq coïncident sur deux points non alignés :A´O et C ´O.

Dans tous le cas, g “ σpAOq. Nous avons donc

σpOAq “ σm ˝ r, (16.154)

et donc r est fixé àr “ σm ˝ σpOAq. (16.155)

16.66.Anticipons un peu et faisons semblant de déjà connaitre les matrices et les fonctions trigono-métriques. La proposition 16.65 nous dit qu’il existe une seule rotation amenant A sur B. Vouspourriez objecter que le point p1, 0q peut être amené sur p0,´1q soit par la rotation d’angle 3π2,soit par celle d’angle ´π2. Il n’en est rien parce que ces deux rotations sont les mêmes ! Pensez-y.En tant qu’application R2 Ñ R2, la rotation R3π2 est égale à R´π2.

Une rotation donnée peut être écrite de beaucoup de façons comme composée de deux réflexions.En fait d’autant de façons qu’il y a de réflexions.

Proposition 16.67 ([194]).Soit une rotation r de E centrée en O. Pour toute réflexion σ` telle que le centre de r soit sur `,il existe une réflexion σ1 tells que r “ σ1 ˝ σ`. Il existe aussi une réflexion σ2 telle que r “ σ` ˝ s2.

Démonstration. Si r “ Id c’est bon avec s1 “ s2 “ σ`. Sinon nous considérons A ‰ O sur `, etB “ rpAq. Nous savons que B ‰ A parce que O est le seul point de E fixé par r (proposition16.61). Il existe une réflexion (unique) σ1 faisant σ1pAq “ B, et c’est le réflexion dont l’axe est lamédiatrice de rA,Bs. Le point O est sur cette médiatrice parce que les rotations sont des isométriesde pE, dq (lemme 16.64).

La rotation σ1 ˝ σ` vérifiepσ1 ˝ σ`qpAq “ σ1pAq “ B. (16.156)

16.3. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES DANS R2 975

Or OA “ OB, donc il y a unicité de la rotation centrée en O portant A sur B (proposition16.65) ; nous avons donc r “ σ1 ˝ σ`.

En ce qui concerne r “ σ` ˝ σ2, il faut appliquer ce que nous venons de faire à la rotation r´1 :il existe σ2 tel que r´1 “ σ2 ˝ σ`, ce qui donne

r “ σ` ˝ σ2. (16.157)

Proposition 16.68 ([194]).Les rotations basées en O forment un groupe abélien.

Démonstration. L’identité est une rotation par définition. En ce qui concerne l’inverse, si r “ σ1σ2alors r´1 “ σ2σ1. Nous commençons maintenant les choses pas tout à fait évidentes.Composition Soient des rotations r, r1 centrées en O. Soit également une réflexion σ dont l’axe

contient O. Alors la proposition 16.67 nous donne l’existence de σ1 et σ2 tels que r “ σ1σet r1 “ σσ2. Avec ça, la composition donne

rr1 “ σ1σσσ2 “ σ1σ2, (16.158)

qui est encore une rotation.Commutativité Soient deux rotations r et r1 ainsi que des décompositions r “ σ1σ, r1 “ σσ2.

Nous avons

rr1 “ σ1σ2 (16.159a)r1r “ σσ2σ2σ. (16.159b)

Vu que t “ σ2σ1 est une rotation nous pouvons encore appliquer la proposition 16.67 pouravoir t “ σ2σ1 “ σσ3. Avec ça,

r1r “ σσσ3σ “ σ3σ. (16.160)Mais aussi rr1 “ σ1σ2 “ t´1 “ σ3σ. Nous avons donc bien rr1 “ r1r, et le groupe estcommutatif.

16.3.3 Rotations vectorielles

16.69.Jusqu’à présent nous avons parlé de rotations «affines». Parmi elles, Les rotations centrées en 0(zéro, l’origine de E comme espace vectoriel) sont de particulière importance. Ce sont des ap-plications linéaires, et même des isométries. Dans la suite, nous allons souvent dire simplement«rotation» pour dire «rotation centrée en 0».

Vu que nous allons maintenant prendre un point de vue plus vectoriel, nous allons noter lespoints de E avec des lettres comme x, y, u, v et plus avec des majuscules, comme quand on avaitun point de vue affin. En même temps, nous allons noter les applications E Ñ E par des lettrescomme A et ne plus écrire les parenthèses. Bref, nous écrivons Au au lieu de rpAq.Lemme 16.70.En dimension 2, les réflexions (vectorielles, c’est à dire dont l’axe passe par 0) ont un déterminant´1.

Démonstration. Soit une réflexion d’axe `. Prenons une base orthonormale de E constituée de e1sur ` et de e2 K `. Alors σ`pe1q “ e1 et σ`pe2q “ ´e2. la formule du déterminant donne

detpσ`q “ e1`σ`pe1q

˘e1`σ`pe2q

˘´ e2`σ`pe1q

˘e1`σ`pe2q

˘ “ 1ˆ p´1q ´ 0ˆ 0 “ ´1. (16.161)

Nous utilisons de façon cruciale le fait que le calcul du déterminant ne dépende pas de la basechoisie, lemme 9.8.

976 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Proposition 16.71.Les rotations 9 sont

(1) des applications orthogonales au sens de la définition 9.47,(2) des applications de déterminant 1,

Démonstration. Nous avons, pour tout u P E l’égalité de la norme u et Au par le lemme 16.64appliqué à Y “ 0. En terme de produits scalaires nous avons alors xAu,Auy “ xu, uy, et donc

xA˚Au, uy “ u2. (16.162)

En particulier si teiui“1,...,n est une base orthonormée de E nous avons

pA˚Aeiqi “ ei2 “ 1, (16.163)

ce qui donne A˚Aei ě 1, avec égalité si et seulement si A˚Aei “ ei. Ici nous avons utilisé le faitque xx, eiy “ xi, et le fait que pour tout i nous ayons x ě |xi|, avec égalité seulement si x est unmultiple de ei.

Par ailleurs l’inégalité de Cauchy-Schwarz 9.25 nous donne

u2 “ |xA˚Au, uy| ď A˚Auu (16.164)

et doncu ď A˚Au. (16.165)

Encore une fois, en appliquant cela à u “ ei nous trouvons 1 ď A˚Aei. Vu que nous avionsdéjà l’inégalité dans l’autre sens, A˚Aei “ 1. Et le cas d’égalité est uniquement possible avecA˚Aei “ ei.

Donc pour tout i de la base nous avons A˚Aei “ ei. Nous avons donc A˚A “ Id et l’applicationA est orthogonale.

En ce qui concerne le déterminant, les réflexions sont de déterminant ´1 par le lemme 16.70,donc A “ σ1 ˝ σ2 est de déterminant 1. Nous avons utilisé le fait que le déterminant était unmorphisme : proposition 9.10(1).

Remarque 16.72.Nous ne savons pas encore que les rotations forment tout le groupe SOp2q des endomorphismesorthogonaux de déterminant 1. Il faudra attendre le corollaire 16.81 pour le savoir.

Lemme 16.73.L’application ´ Id est une rotation.

Démonstration. Soit une base orthonormée te1, e2u de E et la rotation r “ σ1σ2 où σi est laréflexion le long de l’axe `i “ tteiutPR. Faut-il vous prouver que r “ ´ Id ? La réflexion σ2 retournela composante y d’un vecteur écrit dans la base te1, e2u sans toucher à la composante x. La réflexionσ1 fait le contraire.

16.3.4 Angle

Avant d’aborder la classification des isométries, nous devons parler de l’angle entre deux droites.Si `1 et `2 sont deux droites, alors il est bien clair deux angles peuvent prétendre être «l’angle entre`1 et `2». De plus chacun de ces deux angles sont doubles parce que si α peut prétendre être l’angleentre `1 et `2, alors ´α peut également prétendre.

Lemme-définition 16.74.Si `1 et `2 sont deux droites sécantes au point O et si x P `1 n’est pas O, alors il existe un uniqueα P r0, πr tel que ROpαqx P `2. La valeur de α ne dépend pas du choix du point x P `1.

Cet angle α est l’angle de `1 à `2.9. Centrées en 0, nous ne le répéterons pas !

16.3. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES DANS R2 977

Remarque 16.75.Nous ne parlons pas de l’angle entre `1 et `2 mais bien de l’angle de `1 à `2. L’ordre des droitesest important.

16.76.Pour la suite, ROpαq est la rotation d’angle α autour du point O tandis que Rpαq est la rotationd’angle α autour de l’origine. En termes matriciels, la rotation d’angle α est donnée par

Rpαq “ˆ

cospαq ´ sinpαqsinpαq cospαq

˙, (16.166)

Lemme 16.77 ([1]).Soit A P R2 et une droite `1. Soit `2 une droite passant par A et intersectant `1 en O. Alors

σ`1pAq “ ROp´2αqA (16.167)

où α est l’angle de `1 à `2.

Démonstration. Nous allons utiliser des coordonnées autour de O. Il existe un vecteur v tel que

A “ O ` v (16.168)

Par définition de l’angle α, la droite `2 s’obtient par rotation d’angle α depuis la droite `1. Doncle point

B “ ROp´αqA (16.169)est sur `1.

Nous allons prouver que le point

D “ ROp´2αqA (16.170)

est D “ σ`1A.Nous commençons par montrer que la droite pDAq est perpendiculaire à `1, c’est à dire que

pD ´Aq· pB ´Oq “ 0. (16.171)

En utilisant le fait queROpαqpO `Xq “ O `RpαqX, (16.172)

nous avons

D ´A “ ROp´2αqpO ` vq ´ pO ` vq “ O `Rp´2αqv ´O ´ v “ Rp´2αqv ´ v (16.173)

et de la même façon,B ´O “ Rp´αqv. (16.174)

Notons que tous les O se sont simplifiés et qu’il ne reste que des rotation usuelles. En utilisant lefait que Rpαq est une isométrie, nous pouvons alors calculer

pD ´Aq· pB ´Oq “ xRp´2αqv ´ v,Rp´αqvy (16.175a)“ xRp´αqv ´Rpαqv, vy. (16.175b)

En utilisant la matrice de rotation (16.166) nous trouvons`Rp´αq ´Rpαq˘v “

ˆ2 sinpαqv2´2 sinpαqv1

˙(16.176)

et doncx`Rp´αq ´Rpαq˘v, vy “ 0. (16.177)

Le point D est bien sûr la droite perpendiculaire à `1 et passant par A. Mais vu que D estobtenu à partir de A par une rotation, le point D est également sur le cercle de rayon OA etcentré en O. Ce cercle possède exactement deux intersections avec cette droite. Le premier est Aet le second est σ`1pAq. Vu que D n’est pas A, nous avons D “ σ`pAq.

978 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

16.3.5 Classification

Théorème 16.78 ([195]).Toute isométrie du plan est une composition d’au plus 3 réflexions.

Démonstration. Encore une fois nous décomposons la preuve en fonction du nombre de pointsfixes.Si f n’a pas de points fixes Soit x P R2 et l, la médiatrice du segment rx, fpxqs. Par construc-

tion, fpxq “ σlpxq. Nous posons g “ σl ˝ f , et nous avonsgpxq “ x. (16.178)

Donc nous avons f “ σl ˝ g avec x P Fixpgq.Si f a un unique point fixe Soit x cet unique point fixe. Soit y ‰ x et l la médiatrice de

ry, fpyqs. En posant g “ σl ˝ f nous avons

gpyq “ y (16.179)

et gpxq “ x parce qued`x, fpyq˘ “ d

`fpxq, fpyq˘ “ dpx, yq, (16.180)

ce qui donne que x est à égale distance de y et de fpyq, c’est à dire que x P l et parconséquent gpxq “ pσl ˝ fqpxq “ σlpxq “ x.Donc g fixe x et y et donc toute la droite pxyq.

Si f fixe une droite Soit l une droite fixée par f , et soient x, y P l et z R l (avec x ‰ y). Lefait que x et y soient des points fixes de f implique

#d`x, fpzq˘ “ dpx, zq (16.181a)

d`y, fpzq˘ “ dpy, zq (16.181b)

ce qui signifie que fpzq est sur l’intersection des deux cercles 10 S`x, dpx, zq˘ et S`y, dpy, zq˘,

et comme ce sont deux cercles centrés sur la droite l, les intersections sont liées par σl.Autrement dit, les intersections sont z et σlpzq.Si fpzq “ z alors f fixe trois points non alignés et fixe dont R2, c’est à dire f “ Id.Si par contre fpzq “ σlpzq alors les isométries f et σl coïncident sur trois points et coïncidentdonc partout par le corollaire 16.11 : f “ σl.

Conclusion Nous avons montré que si Fixpfq a dimension m, alors il existe une droite pourlaquelle f “ σl ˝ g avec dim

`Fixpgq˘ ą m. Donc il faux au maximum trois pas pour avoir

dim`

Fixpgq˘ “ 2 c’est à dire pour avoir g “ Id.

Définition 16.79.Une réflexion glissée est une transformation du plan de la forme τv ˝ σ` où le vecteur v estparallèle à la droite `.

Théorème 16.80 ([195]).Les isométries du plan sont exactement

(1) l’identité (composée de 0 réflexions),(2) les réflexions,(3) les translations (composées de 2 translations d’axes parallèles),(4) les rotations (composées de 2 réflexions d’axes non parallèles),(5) les réflexions glissées (composées de 3 réflexions)

10. L’intersection existe pare que dpx, zq ` dpy, zq ą dpx, yq.

16.3. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES DANS R2 979

Démonstration. Nous savons déjà que f P IsompR2q est une composée de 0, 1, 2 ou 3 réflexions.Zéro réflexions Alors c’est l’identité. Ce n’est pas très profond.Une réflexion Alors f est une réflexion. Toujours pas très profond.Deux réflexions Soit f “ σ`1 ˝ σ`2 . Maintenant ça s’approfondit un bon coup.

Nous supposons d’abord que `1 ‖ `2. Dans ce cas nous allons prouver que f “ τ2v où v estle vecteur perpendiculaire à `1 tel que `1` v “ `2. Nous allons utiliser le lemme 16.57 pourmontrer que σ`1 ˝ σ`2 “ τ2v. Nous avons

`1 “ `0 ` w (16.182a)`2 “ `0 ` w ` v (16.182b)

où w est un vecteur perpendiculaire à `1 et `0 est la droite passant par l’origine et parallèleà `1 et `2. Avec cela,

pσ`1 ˝ σ`2qpxq “ σ`1`σ`0pxq ` 2w

˘(16.183a)

“ σ`0`σ`0pxq ` 2w

˘` 2pv ` wq (16.183b)“ x` σ`0p2wqlooomooon

´2w

`2v ` 2w (16.183c)

“ x` 2v. (16.183d)

Donc si f est composée de deux réflexions d’axes parallèles, alors f est une translation.Toujours dans le cas où f est composée de deux réflexions, nous supposons que f “ σ`2 ˝σ`1avec `1 et `2 non parallèles. Nous notons O le point d’intersection, et nous allons voir quef “ ROp2αq où α est l’angle de `1 à `2 donné par le lemme 16.74.Soit x P `1. Alors

fpxq “ σ`2pxq, (16.184)

et le lemme 16.77 nous donne un moyen de calculer σ`2pxq parce que `1 est une droitepassant par x et coupant `1 au point O. Le lemme dit que σ`2pxq “ ROp2αq. Remarque :c’est bien 2α et non ´2α parce qu’il s’agit de l’angle de `2 à `2 ; il y a inversion des numérosentre ici et l’énoncé du lemme.Nous avons donc bien fpxq “ ROp2αqx pour x P `1.Si y P `2 alors

fpyq “ σ`2`ROp´2αqy˘ (16.185)

Nous posons z “ σ`1pyq “ ROp´2αqy. Soit la droite `3 passant par O et z. Vu queROp2αqz “ y P `2, l’angle de `3 à `2 est 2α. Par conséquent

σ`2pzq “ RO`´ 2ˆ p´2αq˘z “ ROp4αqz “ ROp4αqROp´2αqy “ ROp2αqy. (16.186)

Donc les transformations f et ROp2αq coïncident pour tous les points des droites `1 et `2,qui ne sont pas parallèles. Cela prouve que f “ ROp2αq.

Trois réflexions Nous écrivons f “ σ`3 ˝σ`2 ˝σ`1 . Nous allons transformer cela progressivementen une symétrie glissée en passant par plusieurs étapes :(1) f “ σ` ˝ τv,(2) f “ τv ˝ σ`,(3) f “ τv ˝ σ` avec v ‖ `.À chacune de ces étapes, v et ` vont changer. La dernière est une réflexion glissée.Nous commençons par supposer `2 ‖ `3. Dans ce cas, σ`3 ˝ σ`2 est une translation, commenous l’avons déjà vu. Alors f “ τv ˝ σ`1 et nous sommes déjà dans le cas (2).Nous supposons que `2 n’est pas parallèle à `3. Dans ce cas, si O “ `2 X `3 nous avons

σ`3 ˝ σ`2 “ ROp2αq (16.187)

980 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

où α est l’angle de `2 à `3. En réalité tant que l’angle de `13 à `12 est α nous avons

σ`13 ˝ σ`12 “ σ`3 ˝ σ`2 “ ROp2αq. (16.188)

Nous choisissons `12 parallèle à `1, de telle sorte à ce que σ`12 ˝σ`1 soit une translation. Alorsnous avons

f “ σ`3 ˝ σ`2 ˝ σ`1 “ σ`3 ˝ σ`12 ˝ σ`11 “ σ`3 ˝ τv. (16.189)

où v est le vecteur de la translation en question.Nous avons donc prouvé que toute composition de trois réflexions peut être écrite soit sousla forme (1) soit sous la forme (2).Nous prouvons à présent que toute transformation de la forme (1) peut être écrite sous laforme (2). Plus précisément nous allons prouver que si ` est une droite, v un vecteur et `0la droite parallèle à ` passant par l’origine, alors

σ` ˝ τv “ τσ`0 pvq ˝ σl (16.190)

D’abord nous savons que σ`pxq “ σ`0pxq`2w où w est le vecteur tel que ` “ `0`w. Ensuitec’est un simple calcul utilisant le fait que σ`0 est linéaire :

pσ` ˝ τvqpxq “ σlpx` vq “ σ`0pxq ` σ`0pvq ` 2w, (16.191)

etpτσ`0 pvq ˝ σ`qpxq “ σ`0pvq ` σ`pxq “ σ`0pvq ` σ`0pxq ` 2w. (16.192)

L’égalité est faite.Nous montrons maintenant que toute transformation de la forme (2) peut être mise sous laforme (3). Soit donc f “ τv ˝ σ` où v et ` ne sont pas spécialement parallèles.Pour cela nous décomposons v “ v1 ` v2 avec v1 K ` et v2 ‖ ` et nous posons `1 “ `` 1

2v1.Nous montrons que— τv ˝ σ` “ τv2 ˝ σ`1— v2 ‖ `1.Pour le deuxième point, v2 ‖ ` et bien entendu `1 ‖ `. Donc v2 ‖ `1.Soit `0 la droite parallèle à ` et `1 et passant par l’origine. Soit aussi le vecteur w tel que` “ `0 ` w. Alors nous avons

"σ` “ σ`0 ` 2w (16.193a)σ`1 “ σ`0 ` 2w ` v1 (16.193b)

Nous avonspτv ˝ σ`qpxq “ v ` σ`0pxq ` 2w (16.194)

et

pτv2 ˝ σ`1qpxq “ v2 ` σ`0pxq ` 2w ` v1 (16.195a)“ σ`0pxq ` v ` 2w (16.195b)

où dans la dernière ligne, nous avons regroupé v1 ` v2 “ v. Et voila.

Corollaire 16.81 ([1]).Les rotations vectorielles forment exactement le groupe SOp2q.Démonstration. Nous savons déjà de la proposition 16.71 que les rotations (composées de 2 ré-flexions, par la définition 16.58) sont toutes des applications de SOp2q.

Pour l’autre sens, une application de SOp2q est une isométrie et est donc, par le théorème 16.80une des choses suivantes :

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 981

— identité— réflexion— translation— réflexion glissée— rotation (composée de réflexions d’axes non parallèles).

L’identité est possible et c’est une rotation. La réflexion est impossible parce qu’une réflexionlinéaire (non affine) est de déterminant ´1 (lemme 16.70). Une translation c’est impossible parceque les éléments de SOp2q laissent invariant un point alors que les translations ne laissent aucunpoint invariant.

Quid des réflexions glissées ? Vue la forme (16.129) de la réflexion, la réflexion glissée τv ˝ σ` apour formule

αpxq “ pτv ˝ σ`qpxq “ v ` 2 proj`pxq ´ x. (16.196)

Nous allons étudier les conditions nécessaires pour que cela décrive un élément de SOp2q, et nousallons voir que c’est impossible.

D’abord si ` passe par l’origine, alors αp0q “ v et nous devons avoir v “ 0. Dans ce cas α “ σ`,ce qui n’est pas possible parce que α doit avoir un déterminant 1 alors que la réflexion a undéterminant ´1.

Donc ` ne passe pas par l’origine. La condition αp0q “ 0 impose v “ ´2 proj`p0q. Alorsαpxq “ ´2 proj`p0q ` 2 proj`pxq ´ x. (16.197)

Le calcul de α`proj`p0q

˘donne :

α`proj`p0q

˘ “ ´2 proj`p0q ` 2 proj``proj`p0q

˘´ proj`p0q. (16.198)

Vu que la projection de la projection est la projection, cela se réduit à

α`proj`p0q

˘ “ ´ proj`p0q. (16.199)

Le vecteur proj`p0q est donc renversé par l’action de α.Considérons une base orthonormale te1, e2u de E où e1 est un multiple de norme 1 de proj`p0q.

Le déterminant de α pour cette base est 11 :

detpαq “ xe1, αpe1qyxe2, αpe2qy ´ xe1, αpe2qyxe2, αpe1qy. (16.200)

Là dedans nous avons xe1, αpe1qy “ ´1 et xe2, αpe1qy “ 0, et le tout doit faire 1. Donc

xe2, αpe2qy “ ´1, (16.201)

ce qui implique que αpe2q “ ´e2. En particulier α “ ´ Id. Nous avons prouvé jusqu’ici que si αest une réflexion glissée dans SOp2q alors α “ ´ Id.

Même pas besoin de se poser de grandes questions sur savoir si il est possible de construire unesymétrie glissée égale à ´ Id (c’est pas possible), il suffit de dire que de toutes façons, ´ Id est toutde même une rotation (lemme 16.73).

Il reste les rotations. Tout élément de SOp2q est une rotation.

16.4 Isométries dans Rn

Définition 16.82.Un hyperplan de Rn est un sous-espace affine de dimension n´ 1.

Lemme-définition 16.83.Si un hyperplan H de Rn est donné, et si x P Rn, il existe un unique point y P Rn tel que

(1) x´ y K H,

11. La définition 9.6 avec la formule (9.17).

982 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

(2) Le segment rx, ys coupe H en son milieu.La réflexion σH est l’application σH : Rn Ñ Rn qui à x fait correspondre ce y.

Démonstration. Il faut vérifier que les conditions données définissent effectivement un unique pointde Rn. Soit H0 le sous-espace vectoriel parallèle à H et une base orthonormée te1, . . . , en´1u deH0. Nous complétons cela en une base orthonormée de Rn avec un vecteur en. Si H “ H0 ` v,quitte à décomposer v en une partie parallèle et une partie perpendiculaire à H, nous avons

H “ H0 ` λen (16.202)

pour un certain λ.Une droite passant par x et perpendiculaire à H est de la forme t ÞÑ x` ten. Si x “ řn

i“1 xieialors l’unique point de cette droit à être dans H est le point tel que xnen ` ten “ λen, c’est à diret “ ´xn. L’unique point y sur cette droite à être tel que rx, ys coupe H en son milieu est celui quicorrespond à t “ ´2xn.

Notons au passage que cette preuve donne une formule pour σH :

σHpxq “n´1ÿ

i“1xiei ´ xnen. (16.203)

Il s’agit donc de changer le signe de la composante perpendiculaire à H.

Lemme 16.84.Dans cette même base si H0 est l’hyperplan parallèle à H et passant par l’origine, nous écrivonsH “ H0 ` λen pour un certain λ. Alors

σH “ σH0 ` 2λen. (16.204)

Démonstration. Un élément x P Rn peut être décomposé dans la base adéquate en x “ xH`xnen.Nous savons de la formule (16.203) que

σHpxq “ xH ´ xnen. (16.205)

Mais vu que σH0pxHq “ xH ´ 2λen nous avons

σH0pxq ` 2λen “ σH0pxH ` xnenq ` 2λeN “ xH ´ 2λen ´ xnen ` 2λen “ xH ´ xnen. (16.206)

Le lemme suivant est une généralisation du fait que tous les points de la médiatrice d’unsegment sont à égale distance des deux extrémités du segment (très utile lorsqu’on étudie lestriangles isocèles).

Lemme 16.85 ([195]).Soient deux points distincts x0, y0 P Rn l’ensemble H Ă Rn donné par

H “ tx P Rn tel que dpx, x0q “ dpx, y0qu. (16.207)

Alors H est l’hyperplan orthogonal au vecteur v “ y0 ´ x0 et H passe par le milieu du segmentrx0, y0s.Démonstration. Nous savons que

dpx, x0q2 “ xx´ x0, x´ x0y “ x2 ` x02 ´ 2xx, x0y, (16.208)

ou encorex02 ´ y02 “ 2xx, x0 ´ y0y. (16.209)

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 983

En posant v “ y0 ´ x0 et en considérant la forme linéaire

β : Rn Ñ R

x ÞÑ xx, vy, (16.210)

Nous avons x P H si et seulement si βpxq “ 12`y02´x02

˘ “ λ. En d’autres termes, H “ β´1pλq.Par la proposition 11.22 la partie H est un sous-espace affine. C’est même un translaté de kerpβq,et comme kerpβq est l’espace vectoriel des vecteurs perpendiculaires à v, nous avons dimpHq “dim

`kerpβq˘ “ n´ 1.

Le fait que H contienne le milieu du segment rx0, y0s est par définition.

Pour le lemme suivant, et pour que la récurrence se passe bien nous disons que l’ensemble videest un espace vectoriel de dimension ´1.

Lemme 16.86.Si f P IsompRnq satisfait

dim`

Fixpfq˘ “ n´ k (16.211)

alors f peut être écrit comme composition d’au plus k réflexions hyperplanes.

Démonstration. Nous faisons une récurrence sur k ě 0.Pour l’initialisation, si k “ 0 alors dim

`Fixpfq˘ “ n, c’est à dire que f fixe tout Rn, autant

dire que f est l’identité, une composition de zéro réflexions.Pour la récurrence, nous supposons que le lemme est démontré jusqu’à k ě 0. Soit donc

f P IsompRnq tel quedim

`Fixpfq˘ “ n´ pk ` 1q. (16.212)

Vu que k ě 0, la dimension de Fixpfq est strictement plus petite que n, donc il existe un x0 P Rn

tel que fpx0q ‰ x0. Nous posons

H “ tx P Rn tel que dpx, x0q “ d`x, fpx0q

˘u. (16.213)

Par le lemme 16.85, ce H est l’hyperplan orthogonal à v “ fpx0q ´ x0 et passant par le milieu dusegment rx0, fpx0qs.

Nous posons g “ σH ˝ f . Vu que gpx0q “ σHpfpx0qq “ x0, ce x0 est un point fixe de g. Le faitque σH

`fpx0q

˘ “ x0 est vraiment la définition de l’hyperplan H.Nous avons donc

x0 P FixpgqzFixpfq. (16.214)

Mais nous prouvons de plus que Fixpfq Ă Fixpgq. En effet si y P Fixpfq alors y P H parce que

dpy, x0q “ d`fpyq, fpx0q

˘ “ d`y, fpx0q

˘. (16.215)

Vu que y P H nous avons y P Fixpgq parce que

gpyq “ σH`fpyq˘ “ σHpyq “ y. (16.216)

Tout cela pour dire que l’ensemble Fixpgq est strictement plus grand que Fixpfq. Et comme cesont des espaces affines nous pouvons parler de dimension :

dim`

Fixpgq˘ ą dim`

Fixpfq˘. (16.217)

Par hypothèse de récurrence, l’application g peut être écrite comme composition de k réflexions.Donc l’application

f “ σH ˝ g (16.218)

est une composition de k ` 1 réflexions.

984 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Lemme 16.87.Soit un hyperplan H et un vecteur v de Rn. Nous avons

τv ˝ σH ˝ τ´1v “ στvpHq. (16.219)

Démonstration. Pour ce faire nous considérons une base adaptée. Les vecteurs te1, . . . , en´1uforment une base orthonormée de H0 et en complète en une base orthonormée de Rn. Soit H0l’hyperplan parallèle à H et passant par l’origine ; nous avons, pour un certain λ P R,

H “ H0 ` λen (16.220)

D’un autre côté, le vecteur v peut être décomposé en v “ v1 ` v2 où v1 K H et v2 ‖ H. Alors

τvpHq “ H ` v “ H ` v2 “ H0 ` λen ` v2. (16.221)

Nous pouvons maintenant utiliser le lemme 16.84 pour exprimer la transformation στvpHq :

στvpHqpxq “ σH0pxq ` 2λen ` 2v2 (16.222)

Mais d’autre part,

pτv ˝ σH ˝ τ´1v qpxq “ v ` σHpx´ vq “ v ` σH0px´ vq ` 2λen. (16.223)

Vue la décomposition de v “ v1 ` v2 nous avons σH0pvq “ ´v1 ` v2 et donc

pτv ˝ σH ˝ τ´1v qpxq “ v ` σH0pxq ` v1 ´ v2 ` 2λen “ σH0 ` 2v1 ` 2λen. (16.224)

Les expressions (16.222) et (16.224) coïncident, d’où l’égalité recherchée.

Théorème 16.88 ([195]).Toute isométrie de Rn peut être écrite comme composition d’au plus n` 1 réflexions.

Une isométrie de Rn préserve l’orientation si et seulement si est elle composition d’un nombrepair de réflexions.

Démonstration. La première partie de ce théorème n’est rien d’autre que le lemme 16.86 parce quele pire cas est celui où le fixateur de f est réduit à l’ensemble vide, et dans ce cas l’application fest une composition de n` 1 réflexions.

Pour la seconde partie nous définissons

ε : IsompRnq Ñ t˘1uτv ˝ α ÞÑ detpαq (16.225)

où nous nous référons à la décomposition unique d’un élément de IsompRnq sous la forme τv ˝ αavec α P Opnq donnée par le théorème 16.6(3).

Le noyau de ε est alors la partie

kerpεq “ Rn ˆAd SOpnq. (16.226)

Une isométrie f préserve l’orientation si et seulement si εpfq “ 1. Vu que toutes les isométries sontdes composition de réflexions (première partie), il nous suffit de montrer que εpεHq “ ´1 pourqu’une isométrie préserve l’orientation si et seulement si elle est composition d’un nombre pair deréflexions.

Nous commençons par prouver que pour tout vecteur v, ε`σH

˘ “ ε`στvpHq

˘. Pour cela nous

utilisons le lemme 16.87 et le fait que ε est un homomorphisme :

εpστvpHqq “ εpτvqεpσHqεpτ´1v q “ εpσHq (16.227)

parce que la partie linéaire d’une translation est l’identité (et donc εpτvq “ 1 pour tout v).

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 985

Nous avons donc εpσHq “ εpσH0q. En ce qui concerne σH0 , dans la base adaptée la matrice est

σH0 “

¨˚˚

1. . .

1´1

˛‹‹‹‚, (16.228)

dont le déterminant est ´1.

Pour en savoir plus sur le groupe des isométries, il faut lire le théorème de Cartan-Dieudonnédans [196].

16.4.1 Groupes finis d’isomorphismes

Définition 16.89.Si X est une partie finie de Rn, le barycentre de X est le point

BX “ 1|X|

ÿ

xPXx (16.229)

où |X| est le cardinal de X.

Cela est à mettre en relation avec la définition dans le cadre affine 11.24.

Lemme 16.90 ([195]).Soit une partie finie X de Rn et une application affine f P AffpRnq. Alors

fpBXq “ BfpXq. (16.230)

Démonstration. Nous savons que toute application affine est une composée de translation et d’uneapplication linéaire : f “ τv ˝ g avec v P Rn et g P GLpn,Rq. Nous vérifions le résultat séparémentpour τv et pour g.

D’une part,

BτvpXq “1

|τvpXq|ÿ

yPτvpXqy “ 1

|X|ÿ

xPXpx` vq “ Bx ` 1

|X|ÿ

xPXv “ Bx ` v “ τvpBXq. (16.231)

Nous avons utilisé le fait que X et τvpXq possèdent le même nombre d’éléments, ainsi que le faitd’avoir une somme de |X| termes tous égaux à v.

D’autre part,BgpXq “ 1

|X|ÿ

xPXgpxq “ g

` 1|X|

ÿ

xPXx˘ “ gpBXq (16.232)

où nous avons utilisé la linéarité de g dans tous ses retranchements.

Proposition 16.91.Points fixes d’un sous-groupe.

(1) Soit H un sous-groupe finie de IsompRnq. Alors il existe v P Rn tel que fpvq “ v pour toutf P H.

(2) Si H est un sous-groupe de IsompRnq n’acceptant pas de points fixes, alors il est infini.

Démonstration. Le groupe H agit sur Rn, et si x P Rn nous pouvons considérer son orbite Hx,qui est une partie finie de Rn. Considérons son barycentre

v “ BHx (16.233)

Soit f P H. Alors fpvq “ fpBHxq “ BfpHxq “ BHx “ v, donc v est fixé par H.La seconde affirmation n’est rien d’autre que la contraposée de la première.

986 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Proposition 16.92.À propos de groupes finis d’isométries.

(1) Tout sous groupe finie de IsompRnq est isomorphe à un sous-groupe fini de Opnq.(2) Tout sous-groupe fini de Isom`pRnq est isomorphe à un sous-groupe fini de SOpnq.

Démonstration. Soit H un sous-groupe fini de IsompRnq et v P Rn un élément fixé par H (commegarantit par la proposition 16.91). Nous posons

φ : H Ñ IsompRnqf ÞÑ τ´1

v ˝ f ˝ τv.(16.234)

φ est un homomorphisme Les opération du type φ “ Adpτvq sont toujours des homomor-phismes.

φ consiste à extraire la partie linéaire Si f “ τw ˝ g alors

φpfqpxq “ pτ´v ˝ τw ˝ g ˝ τvqpxq (16.235a)“ τw´vpgpxq ` gpvqq (16.235b)“ gpxq ` gpvq ´ v ` w (16.235c)

Mais gpvq ` w “ fpvq et nous savons que fpvq “ v. Donc il ne reste que φpfqpxq “ gpxq.φ est injective Si f “ τw ˝ g vérifie φpfq “ Id, il faut en particulier que g “ Id. Mais H est

fini et ne peut donc pas contenir de translations non triviales. Donc w “ 0 et f “ Id.Donc φ est une injection à valeur dans les transformation linéaires de IsompRnq. Autrement dit, φest un isomorphisme entre H et son image, laquelle image est dans Opnq.

En ce qui concerne la seconde partie, si f P Isom`pRnq, alors φpfq y est aussi, tout en étantlinéaire. Donc φpfq P SOpnq.

L’extraction de la partie linéaire est injective ? Certe c’est prouvé, mais on peut se demander cequ’il se passe si H contient deux éléments qui ont la même partie linéaire. Cela n’est pas possibleparce si f1 “ τw1 ˝ g et f2 “ τw2 ˝ g sont dans H alors f1f

´12 “ τw1`w2 est également dans H, ce

qui n’est pas possible si H est fini.

Définition 16.93 (Groupe de symétrie d’une partie de Rn[195]).Si Y est une partie de Rn, nous définissons le groupe des symétries de Y par

SympY q “ tf P IsompRnq tel que fpY q “ Y u. (16.236)

Nous définissons aussi le groupe des symétries propres de Y par

Sym`pY q “ tf P Isom`pRnq tel que fpY q “ Y u. (16.237)

Théorème 16.94 ([195]).Soit Y Ă R2 tel que le groupe Sym`pY q soit fini d’ordre n. Alors c’est un groupe cyclique d’ordren.

Si Sym`pY q est fini, alors SympY q est soit cyclique d’ordre n soit isomorphe au groupe diédrald’ordre 2n.

Démonstration. Nous savons déjà par la proposition 16.92 que Sym`pY q est isomorphe à un sous-groupe H` d’ordre n de SOp2q. Vérifions que ce groupe est cyclique. Si n “ 1, c’est évident. Sin ě 2 alors nous savons que H` est constitué de rotations d’angles dans r0, 2πr et vu que c’est unensemble fini, il possède une rotation d’angle minimal (à part zéro). Notons α0 cet angle.

Nous montrons que H` est engendré par la rotation d’angle α0. Soit une rotation d’angle α.Étant donné que α0 ă α nous pouvons effectuer la division euclidienne 12 de α par α0 et obtenir

α “ kα0 ` β (16.238)

12. Théorème 3.25.

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 987

avec β ă α0. Mézalors Rpβq “ RpαqRpα0q´k est également un élément du groupe. Cela contreditla minimalité dès que β ‰ 0. Avoir β “ 0 revient à dire que α est un multiple de α0, ce qui signifieque le groupe H` est cyclique engendré par α0.

Notons au passage que nous avons automatiquement α0 “ 2πn parce qu’il faut Rpα0qn “ Id.

Nous avons prouvé que Sym`pY q est cyclique d’ordre n.Nous étudions maintenant le groupe SympY q. Par la proposition 16.92 nous avons un homo-

morphisme injectifφ : SympY q Ñ Op2q, (16.239)

et en posant H “ φ`

SympY q˘ nous avons un isomorphisme de groupes φ : SympY q Ñ H. Noussavons aussi que ce φ se restreint en

φ : Sym`pY q Ñ H` Ă SOp2q (16.240)

où H` “ φ`

Sym`pY q˘ “ H X SOp2q. Le groupe H` est cyclique et est engendré par la rotationRp2πnq.

Supposons un instant que H Ă SOp2q. Alors nous avons H “ H` et φ est un isomorphismeentre SympY q et le groupe cyclique engendré par Rp2πnq.

Nous supposons à présent que H n’est pas un sous-ensemble de SOp2q. Quelles sont les iso-métries de R2 qui ne sont pas de déterminant 1 ? Il faut regarder dans le théorème 16.80 quellessont les isométries contenant un nombre impair de réflexions. Ce sont les réflexions et les réflexionsglissées. Or il ne peut pas y avoir de réflexions glissées dans un groupe fini parce que si f est uneréflexion glissée, tous les fk sont différents.

Nous en déduisons que siH n’est pas inclus à SOp2q, il contient une réflexion que nous nommonsσ. Nous allons en déduire que H » H` ˆAd C2 où C2 “ tId, σu. Si h P H nous pouvons écrire

h “ phσεqσε (16.241)

pour n’importe quelle valeur de ε, et en particulier pour ε “ ˘1.Si h P SOp2q alors nous écrivons h “ hε0 et si h R SOp2q nous écrivons h “ phσqσ. Vu que

hσ P SOp2q, cette dernière écriture est encore de la forme SOp2q ˆ C2. Quoi qu’il en soit toutélément de H s’écrit comme un produit

H “ H`C2. (16.242)

Cette décomposition est unique parce que si h1c1 “ h2c2 alors h´12 h1 “ c2c

´11 , et comme h´1

2 h1 PH` nous avons c2c

´11 P H` et donc c1 “ c2. Partant nous avons aussi h1 “ h2. Pour avoir le produit

semi-direct il faut encore montrer queAdpC2qH` Ă H`. Le seul cas à vérifier estAdpσqH` Ă H`.Vu que les éléments de H` sont caractérisés par le fait d’avoir un déterminant positif, nous avons

AdpσqRpαq “ σRpαqσ´1 P H`. (16.243)

Remarque 16.95.Tout ceci est cohérent avec le théorème de Burnside 9.238 parce que le sous-groupe fini de SOpnqengendré par la rotation Rp2πnq est un groupe d’exposant fini, à savoir que si h est dans cegroupe, hn “ Id.

16.4.2 Théorème de Sylvester

Théorème 16.96 (de Sylvester).Soit Q une forme quadratique réelle de signature pp, qq. Alors pour toute base orthonormée on a

p “ Cardti tel que Qpeiq ą 0u (16.244a)q “ Cardti tel que Qpeiq ă 0u. (16.244b)

988 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Le rang de Q est p` q.Si A est la matrice de Q dans une base, alors il existe une matrice inversible P telle que

P tAP “¨˝´1q

1p0

˛‚. (16.245)

16.4.3 Groupe diédral

16.4.3.1 Définition et générateurs : vue géométrique

Définition 16.97.Le groupe diédral Dn est le groupe des isométries de R2 laissant invariant un polygone régulierà n côtés.

Le groupe diédral peut être vu comme le stabilisateur de l’ensemble

te2ikπn, k “ 0, . . . , n´ 1u (16.246)

dans le groupe des isométries affines de C˚.Si f P Dn, alors fpe2ikπnq doit être l’un des e2ik1πn, et vu que f conserve les longueurs dans

C, nous devons avoir1 “ dp0, e2ikπnq “ d

`fp0q, e2ik1πn˘. (16.247)

Donc fp0q est à l’intersection de tous les cercles de rayon 1 centrés en les e2ikπn, ce qui montre quefp0qq0 (dès que n ě 3). Par conséquent notre étude du groupe diédral ne doit prendre en compteque les isométries vectorielles de R2. En d’autres termes

Dn Ă Op2,Rq. (16.248)

Proposition 16.98 ([201]).Le groupe Dn contient un sous groupe cyclique d’ordre 2 et un sous groupe cyclique d’ordre n.

Démonstration. Si s est la réflexion d’axe R, alors s est d’ordre 2. De plus s est bien dans Dn

parce ques`e2kiπn˘ “ e2pn´kqiπn. (16.249)

De la même façon, la rotations d’angle 2πn, que l’on note r, agit sur les racines de l’unité etengendre un le groupe d’ordre n des rotations d’angle 2kπn.

Notons que la conjugaison complexe ne fait pas spécialement partie du groupe Dn. En effetpour n “ 3 par exemple les points fixes sont A1 “ p1, 0q, A2 “ p´1

2 ,?

32 q et A3 “ p1

2 ,´?

32 q. La

conjugaison complexe envoie évidemment A1 sur A1, mais pas du tout A2 sur A3.

Proposition 16.99 ([201]).Nous avons psrq2 “ Id.

Démonstration. Si zn “ 1, alors

psrsrqz “ srse2iπnz “ sr`e´2πinz˘ “ sz “ z. (16.250)

Proposition 16.100 ([201]).Le groupe diédral Dn est engendré par s et r. De plus tous les éléments de Dn s’écrivent sous laforme s ˝ rm.

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 989

Démonstration. Nous considérons les points A0 “ 1 et Ak “ e2kiπn avec k P t1, . . . , n ´ 1u. Parconvention, An “ A0. L’action des éléments s et r sur ces points est

rpAkq “ Ak`1 (16.251a)spAkq “ An´k. (16.251b)

Cette dernière est l’équation (16.249).Soit f P Dn. Étant donné que c’est une isométrie de R2 avec un point fixe (le point 0), f est

soit une rotation soit une réflexion.Supposons pour commencer que un des Ak est fixé par f . Dans ce cas f a deux points fixes :

O et Ak et est donc la réflexion d’axe pOAkq. Dans ce cas, nous avons f “ s ˝ rn´2k. En effet

s ˝ rn´2kpAkq “ spAk`n´2kq “ spAn´kq “ Ak. (16.252)

Donc O et Ak sont deux points fixes de l’isométrie f ; donc f est bien la réflexion sur le bon axe.Nous passons à présent au cas où f ne fixe aucun des Ak.(1) Supposons que f soit une rotation. Si fpAkq “ Am, alors l’angle de la rotation est

2pm´ kqπn

, (16.253)

et donc f “ rm´k, qui est de la forme demandée.(2) Supposons à présent que f soit une réflexion d’axe ∆. Cette fois, ∆ ne passe par aucun

des points Ak, par contre ∆ passe par 0. Nous commençons par montrer que ∆ doit être lamédiatrice d’un des côtés rAp, Ap`1s du polygone. Vu que ∆ passe par O et n’est aucune desdroites pOAkq, cette droite passe par l’intérieur d’un des triangles OApAp`1 et intersectedonc le côté correspondant.Notre tâche est de montrer que ∆ coupe rAp, Ap`1s en son milieu. Dans ce cas, ∆ seraautomatiquement perpendiculaire parce que le triangle OApAp`1 est isocèle en O. Nommonsl la longueur des côtés du polygone, P “ ∆ X rAp, Ap`1s, x “ dpAp, P q et δ “ dpAp,∆q.Vu que f est la symétrie d’axe ∆, nous avons aussi d

`fpApq,∆

˘ “ δ et d`Ap, fpApq

˘ “ 2δ.D’autre part, par la définition de la distance, δ ă x. Si x ă l

2 , alors δ ă δ2 et donc

d`Ap, fpApq

˘ ă l. Or cela est impossible parce que le polygone ne possède aucun sommet àdistance plus courte que l de Ap.De la même manière si x ą l

2 , nous raisonnons avec Ap`1 pour obtenir une contradiction.Nous en concluons que la seule possibilité est x “ l

2 , et donc fpApq “ Ap`1. Montrons alorsque f “ s˝rn´2p´1. Il faut montrer que c’est une réflexion qui envoie Ap sur Ap`1. D’abordc’est une réflexion parce que

detpsrn´2p´1q “ detpsqdetprn´2p´1q “ ´1 (16.254)

parce que detpsq “ ´1 alors que detprkq “ 1 parce que r est une rotation dans SOp2q.Ensuite nous avons

s ˝ rn´2p´1pApq “ spAp`n´2p´1q “ spAn´p´1q “ An´pn´p´1q “ Ap`1. (16.255)

Donc s ˝ rn´2p´1 est bien une réflexion qui envoie Ap sur Ap`1.

Corollaire 16.101.La liste des éléments de Dn est

Dn “ t1, r, . . . , rn´1, s, sr, . . . , srn´1u (16.256)

et |Dn| “ 2n.

990 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Démonstration. Nous savons par la proposition 16.100 que tous les élément de Dn s’écrivent sousla forme rk ou srk. Vu que r est d’ordre n, il ne faut considérer que k P t1, . . . , n´1u. Les éléments1, r,. . . , rn´1 sont tous différents, et sont (pour des raisons de déterminant) tous différents dessrk. Les isométries srk sont toutes différentes entre elles pour essentiellement la même raison :

srkpApq “ spAp`kq “ An´p`k (16.257)

donc si k ‰ k1, srkpApq ‰ srk1pApq. La liste des éléments de Dn est donc

Dn “ t1, r, . . . , rn´1, s, sr, . . . , srn´1u (16.258)

et donc |Dn| “ 2n.

Exemple 16.102Nous considérons le carré ABCD dans R2 et nous cherchons les isométries de R2 qui laissent lecarré invariant. Nous nommons les points comme sur la figure 16.7. La symétrie d’axe vertical estnommée s et la rotation de 90 degrés est notée r.

‚A ‚B

‚C

‚D

s

Figure 16.7 – Le carré dont nous étudions le groupe diédral.

Il est facile de vérifier que toutes les symétries axiales peuvent être écrites sous la forme ris.De plus le groupe engendré par s agit sur le groupe engendré par r parce que

psrs´1qpA,B,C,Dq “ srpB,A,D,Cq “ spA,D,C,Bq “ pB,C,D,Aq, (16.259)

c’est à dire srs´1 “ r´1. Nous sommes alors dans le cadre du corollaire 3.95 et nous pouvons écrireque

D4 “ grprq ˆσ grpsq. (16.260)4

16.4.3.2 Générateurs : vue abstraite

16.103.Nous allons montrer queDn peut être décrit de façon abstraite en ne parlant que de ses générateurs.Nous considérons un groupe G engendré par des éléments a et b tels que

(1) a est d’ordre 2,(2) b est d’ordre n avec n ě 3,(3) abab “ e.

Nous allons prouver que ce groupe doit avoir la même liste d’éléments que celle du corollaire 16.101.

Proposition 16.104 ([201]).Le groupe G n’est pas abélien.

Démonstration. Nous savons que abab “ e, donc abab´1 “ b´2, mais b´2 ‰ e parce que b estd’ordre n ą 2. Donc abab´1 ‰ e. En manipulant un peu :

e ‰ abab´1 “ pabqpba´1q´1 “ pabqpbaq´1 (16.261)

parce que a´1 “ a. Donc ab ‰ ba.

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 991

Lemme 16.105 ([201]).Pour tout k entre 1 et n´ 1 nous avons

Adpaqbk “ abka´1 “ abka “ b´k. (16.262)

Démonstration. Nous faisons la démonstration par récurrence. D’abord pour k “ 1, nous devonsavoir aba “ b´1, ce qui est correct parce que par construction de G nous avons abab “ e. Ensuitenous supposons que le lemme tient pour k et nous regardons ce qu’il se passe avec k ` 1 :

abk`1ba “ abkba “ abkaloomoonb´k

abaloomoonb´1

“ b´kb´1 “ b´pk`1q. (16.263)

Proposition 16.106.L’élément a n’est pas une puissance de b.

Démonstration. Supposons le contraire : a “ bk. Dans ce cas nous aurions

e “ pabqpabq “ bk`1bk`1 “ b2k`2 “ b2kb2 “ a2b2 “ b2, (16.264)

ce qui signifierait que b est d’ordre 2, ce qui est exclu par construction.

Proposition 16.107 ([201]).La liste des éléments de G est donnée par

G “ t1, b, ¨ ¨ ¨ , bn´1, a, ab, . . . , abn´1u “ taεbku ε“0,1k“0,...,n´1

(16.265)

Les éléments de ces listes sont distincts.

Démonstration. Étant donné que a n’est pas une puissance de b, les éléments 1, a, b,. . . , bn´1 sontdistincts. De plus si k et m “ k ` p sont deux éléments distincts de t1, . . . , n ´ 1u, nous avonsabk ‰ abm parce que si abk “ abk`p, alors a “ abp avec p ă n, ce qui est impossible. Pour la mêmeraison, abk ‰ e, et abk ‰ bm.

Au final les éléments 1, a, b, . . . , bn´1, ab, . . . , abn´1 sont tous différents. Nous devons encore voirqu’il n’y en a pas d’autres.

Par définition le groupe G est engendré par a et b, donc tout élément x P G s’écrit x “am1bk1 . . . amrbkr pour un certain r et avec pour tout i, ki P t1, . . . , n ´ 1u (sauf kr qui peut êtreégal à zéro) et mi “ 1, sauf m1 qui peut être égal à zéro. Donc

x “ ambk1abk2a . . . bkr´1abkr (16.266)

où m et kr peuvent éventuellement être zéro. En utilisant le lemme 16.105 sous la forme bkia “ab´ki , quitte à changer les valeurs des exposants, nous pouvons passer tous les a à gauche et tousles b à droite pour finir sous la forme x “ akbm.

Donc non, il n’existe pas d’autres éléments dans G que ceux déjà listés.

Lemme 16.108 ([1]).Tout élément de G s’écrit de façon unique sous la forme aεbk ou bkaε avec ε “ 0, 1 et k “0, . . . , n´ 1.

Démonstration. Nous commençons par la forme aεbk. L’existence est la proposition 16.107. Pourl’unicité nous supposons aεbk “ aσbl et nous décomposons en 4.ε “ 0, σ “ 0 Alors bk “ bl. Mais b étant d’ordre n et k, l étant égaux au maximum à n´1, cette

égalité implique k “ l.ε “ 0, σ “ 1 Alors bk “ abl, ce qui donne a “ bk´l, ce qui est interdit par la proposition 16.106.ε “ 1, σ “ 0 Même problème.

992 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

ε “ 1, σ “ 1 Encore une fois bk “ bl implique k “ l.

En ce qui concerne la forme bkaε, l’existence est à montrer. Soit l’élément g “ aεbk et cherchons àle mettre sous la forme blaσ. Si ε “ 0 c’est évident. Sinon ε “ 1 et nous avons par le lemme 16.105

abk “ b´ka´1 “ b´kbna “ b´ka. (16.267)

En ce qui concerne l’unicité, nous refaisons 4 cas pour bkaε “ blaσ comme précédemment et ils setraitement exactement comme précédemment.

Théorème 16.109.Les groupes G et Dn sont isomorphes.

Démonstration. Nous utilisons l’application

ψ : GÑ Dn

akbm ÞÑ skrm.(16.268)

C’est évidemment bien défini et bijectif, mais c’est également un homomorphisme parce que sinous calculons ψ sur un produit, nous devons comparer

ψ`ak1bm1ak2bm2

˘(16.269)

avecψ`ak1bm1

˘ψ`ak2bm2

˘ “ sk1rm1sk2rm2 . (16.270)

Vu que Dn et G ont les mêmes propriétés qui permettent de permuter a et b ou s et r, l’expressionà l’intérieur du ψ dans (16.269) se simplifie en akbm avec les même k et n que l’expression à droitedans (16.270) ne se simplifie en skrm.

Corollaire 16.110.Toutes les propriétés démontrées pour G sont vraies pour Dn. En particulier, avec quelques redites :

(1) Le groupe Dn peut être défini comme étant le groupe engendré par un élément s d’ordre 2et un élément r d’ordre n´ 1 assujettis à la relation srsr “ e.

(2) Le groupe Dn n’est pas abélien.(3) Pour tout k P t1, . . . , n´ 1u nous avons srks “ r´k.(4) L’élément s ne peut pas être obtenu comme une puissance de r.(5) La liste des éléments de Dn est

Dn “ t1, r, . . . , rn´1, s, sr, . . . , srn´1u (16.271)

(6) Le groupe diédral Dn est d’ordre 2n.

Proposition 16.111.En posant Cn “ trkuk“0,...,n´1 et C2 “ taεuε“0,1, nous pouvons exprimer Dn comme le produitsemi-direct

Dn “ Cn ˆρ C2 (16.272)

où ρ désigne l’action adjointe.

Démonstration. L’isomorphisme est :

ψ : Cn ˆρ C2 Ñ Dn

pbk, aεq ÞÑ bkaε.(16.273)

16.4. ISOMÉTRIES DANS RN 993

Action adjointe L’application ρaε “ Adpaεq est toujours un homomorphisme. Vu que aε estsoit e soit a, nous allons nous restreindre à a et oublier l’exposant ε. Il faut montrerqueAdpaq P AutpCnq. En utilisant le lemme 16.105,

Adpaqbk “ abka´1 “ b´k “ bn´k. (16.274)

L’application Adpaq : Cn Ñ Cn est donc bijective et homomorphique. Ergo isomorphisme.Injectif Si ψpbk, aεq “ ψpbl, aσq, alors par unicité du lemme 16.108 nous avons k “ l et ε “ σ.Surjectif Par la partie «existence» du lemme 16.108.Homomorphisme L’homomorphisme est toujours de mise lorsque l’on prend deux sous-groupes

d’un même groupe (ici le groupe des isométries de R2) et que l’on tente de faire un produitsemi-direct en utilisant l’action adjointe. Dans notre cas, le calcul est :

ψ`pbk, aεqpbl, aσq˘ “ bkρaεpblqaε`σ “ bkaεbla´εaε`σ “ bkaεblaσ “ ψpbk, aεqψpbl, aσq.

(16.275)

16.4.3.3 Classes de conjugaison

Pour les classes de conjugaison du groupe diédral nous suivons [202].D’abord pour des raisons de déterminants 13, les classes des éléments de la forme rk et de la

forme srk ne se mélangent pas. Nous notons Cpxq la classe de conjugaison de x, et y·x “ yxy´1.Les relations que nous allons utiliser sont

srks “ r´k (16.276a)rs “ sr´1 “ srn´1. (16.276b)

La classe de conjugaison qui ne rate jamais est bien entendu Cp1q “ 1. Nous commençons lesvraies festivités Cprmq. D’abord rk · rm “ rm, ensuite

psrkq· rm “ srkrmr´ks´1 “ srms´1 “ r´m. (16.277)

DoncCprmq “ trm, r´mu. (16.278)

À ce niveau il faut faire deux remarques. D’abord si m ą n2 , alors Cprmq est la classe de Cn´m

avec n ´m ă n2 . Donc les classes que nous avons trouvées sont uniquement à lister avec m ă n

2 .Ensuite si m “ n

2 alors rm “ r´m et la classe est un singleton. Cela n’arrive que si n est pair.Nous passons ensuite à Cpsq. Nous avons

rk · s “ rksr´k “ ssrksr´k “ sr´kr´k “ srn´2k, (16.279)

et

psrkq· s “ srksloomoonr´k

r´ks´1 “ r´2ks “ rn´2ks “ srpn´1qpn´2kq “ srn2´2kn´n`2k “ sr2k. (16.280)

doncCpsq “ tsrn´2k, sr2kuk“0,...,n´1. (16.281)

Ici aussi l’écriture n’est pas optimale : peut-être que pour certains k il y a des doublons. Nousreportons l’écriture exacte à la discussion plus bas qui distinguera n pair de n impair. Notons justeque si n est pair, l’élément sr n’est pas dans la classe Cpsq.13. Vous notez qu’ici nous utilisons un argument qui utilise la définition de Dn comme isométries de R2. Si nous

avions voulu à tout prix nous limiter à la définition «abstraite» en termes de générateurs, il aurait fallu trouver autrechose.

994 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Nous en faisons donc à présent le calcul en gardant en tête le fait qu’il n’a de sens que si n estpair. D’abord

s· psrq “ ssrs “ rs “ srn´1. (16.282)

Ensuitepsrkq· psrq “ srksrr´ks “ r´2k`1s “ sr2k´1. (16.283)

Avec k “ n2 , cela rend s· psrq, donc pas besoin de le recopier. Nous avons

Cpsrq “ tsr2k´1uk“1,...,n´1. (16.284)

16.4.3.4 Le compte pour n pair

Si n est pair, nous avons les classes

Cp1q “ t1u 1 élément (16.285a)

Cprmq “ trm, rm´1u pour 0 ă m ă n

2n

2 ´ 1 fois 2 éléments (16.285b)

Cprn2q “ trn2u 1 élément (16.285c)

Cpsq “ tsr2kuk“0,...,n2´1n

2 éléments (16.285d)

Cpsrq “ tsr2k`1uk“0,...,n2´1n

2 éléments. (16.285e)

Au total nous avons bien listé 2n éléments comme il se doit, dans n2 ` 3 classes différentes.

16.4.3.5 Le compte pour n impair

Si n est impair, nous avons les classes

Cp1q “ t1u 1 élément (16.286a)

Cprmq “ trm, rm´1u pour 0 ă m ă n´ 12

n´ 12 fois 2 éléments (16.286b)

Cpsq “ tsrkuk“0,...,n´1 n éléments (16.286c)

Au total nous avons bien listé 2n éléments comme il se doit, dans n`32 classes différentes.

16.4.4 Applications : du dénombrement

16.4.4.1 Le jeu de la roulette

Soit une roulette à n secteurs que nous voulons colorier en q couleurs[203]. Nous voulons savoirle nombre de possibilités à rotations près. Soit d’abord E l’ensemble des coloriages possibles sanscontraintes ; il y a naturellement qn possibilités. Sur l’ensemble E, le groupe cycliqueG des rotationsd’angle 2πn agit. Deux coloriages étant identiques si ils sont reliés par une rotation, la réponse ànotre problème est donné par le nombre d’orbites de l’action de G sur E qui sera donnée par laformule du théorème de Burnside 3.85.

Nous devons calculer Card`

Fixpgq˘ pour tout g P G. Soit g, un élément d’ordre d dans G. Sig agit sur la roulette, chaque secteur a une orbite contenant d éléments. Autrement dit, g divisela roulette en nd secteurs. Un élément de E appartenant à Fixpgq doit colorier ces nd secteursde façon uniforme ; il y a qnd possibilités.

Il reste à déterminer le nombre d’éléments d’ordre d dans G. Un élément de G est donné par unnombre complexe de la forme e2ikπn. Les éléments d’ordre d sont les racines primitives 14 dièmesde l’unité. Nous savons que –par définition– il y a ϕpdq telles racines primitives de l’unité. Bref ily a ϕpdq éléments d’ordre d dans G.

14. Une racine non primitive 8ième de l’unité est par exemple i. Certes i8 “ 1, mais i4 “ 1 aussi. Le nombre i estd’ordre 4.

16.5. ANGLES ET ROTATIONS DANS R2 995

La formule de Burnside nous donne maintenant le nombre d’orbites :1n

ÿ

d|nϕpdqqnd. (16.287)

Cela est le nombre de coloriage possibles de la roulette à n secteurs avec q couleurs.

16.4.4.2 L’affaire du collier

Nous avons maintenant des perles de q couleurs différentes et nous voulons en faire un collier àn perles. Cette fois non seulement les rotations donnent des colliers équivalents, mais en outre lessymétries axiales (il est possible de retourner un collier, mais pas une roulette). Le groupe agissantsur E est maintenant le groupe diédral 15 Dn conservant un polygone a n sommets.

Nous devons séparer le cas n impair du cas n pair.Si n est impair, alors les axes de symétries passent par un sommet par le milieu du côté opposé.

Le groupe Dn contient n symétries axiales. Nous avons donc maintenant

|G| “ 2n. (16.288)

Nous écrivons la formule de Burnside

CardpΩq “ 12n

ÿ

gPGCard

`Fixpgq˘. (16.289)

Si g est une rotation, le travail est déjà fait. Si g est une symétrie, nous avons le choix de la couleurdu sommet par lequel passe l’axe et le choix de la couleur des pn ´ 1q2 paires de sommets. Celafait

qqpn´1q2 “ qn`1

2 (16.290)

possibilités. Nous avons donc

CardpΩq “ 12n

¨˝ÿ

d|nqndϕpdq ` nq n`1

2

˛‚. (16.291)

Si n est pair, le choses se compliquent un tout petit peu. En plus de symétries axiales passantpar un sommet et le milieu du côté opposé, il y a les axes passant par deux sommets opposés. Pourcolorier un collier en tenant compte d’une telle symétrie, nous pouvons choisir la couleur des deuxperles par lesquelles passe l’axe ainsi que la couleur des pn´2q2 paires de perles. Cela fait en tout

q2qn´2

2 “ qn`2

2 . (16.292)

Le groupe G contient n2 tels axes.Notons que cette fois G ne contient plus que n2 symétries passant par un sommet et un côté.

L’ordre de G est donc encore 2n. La formule de Burnside donne

CardpΩq “ 12n

˜ÿ

dnϕpdqqnd ` n

2 qpn`2q2 ` n

2 qn2

¸. (16.293)

16.5 Angles et rotations dans R2

16.5.1 Angles orientés, rotations

Nous avons défini les rotations planes en 16.58, et montré que pour les rotations vectorielles,nous avions en réalité le groupe SOp2q en le corollaire 16.81. Il est temps de donner une formematricielle aux rotations et de lier cela aux fonctions trigonométriques.

15. Définition 16.97.

996 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Lemme 16.112.Si A P Op2q alors il existe un unique θ P r0, 2πr et un unique ε “ ˘1 tels que

A “ˆ

cospθq ´ε sinpθqsinpθq ε cospθq

˙(16.294)

Démonstration. Soit une matrice A “ˆa bc d

˙et imposons qu’elle soit dans Op2q. Le fait que A

soit orthogonale imposeˆa cb d

˙ˆa bc d

˙“

ˆa2 ` c2 ab` cdab` cd b2 ` d2

˙“

ˆ1 00 1

˙. (16.295)

Nous avons alors le système$’&’%

a2 ` b2 “ 1 (16.296a)b2 ` d2 “ 1 (16.296b)ab` cd “ 0 (16.296c)

La proposition 16.29 nous permet de déduire qu’il existe un unique θ P r0, 2πr tel que a “ cospθq,c “ sinpθq, ainsi que plusieurs α P R tel que b “ cospαq, d “ sinpαq.

Note : si nous voulons α P r0, 2πr, alors il y a unicité. Ici nous ne nous attachons pas à cettecontrainte ; nous savons qu’il en existe plusieurs, et nous allons en fixer un en fonction de θ. Le αainsi fixé ne sera peut-être pas dans r0, 2πr, mais ce ne sera pas grave.

Les angles θ et α sont alors liés par la contrainte

cospθq cospαq ` sinpθq sinpαq “ 0. (16.297)

Utilisant l’identité (16.40c) cela signifie que cospθ ´ αq “ 0. Donc

α P tθ ` π

2 ` kπukPZ. (16.298)

Si k est pair, ça donne

cospαq “ ´ sinpθq (16.299a)sinpαq “ cospθq (16.299b)

et alorsA “

ˆcospθq ´ sinpθqsinpθq cospθq

˙. (16.300)

Si au contraire k est impair, alors

cospαq “ sinpθq (16.301a)sinpαq “ ´ cospθq, (16.301b)

etA “

ˆcospθq sinpθqsinpθq ´ cospθq

˙. (16.302)

Nous avons démontré qu’une matrice de Op2q était forcément d’une des deux formes (16.300)ou (16.302). Il est maintenant facile de vérifier que ces deux matrices sont effectivement dansOp2q.Lemme 16.113.Toute rotation s’écrit (dans la base canonique) de façon unique sous la forme

ˆcospθq ´ sinpθqsinpθq cospθq

˙(16.303)

avec θ P r0, 2πr.

16.5. ANGLES ET ROTATIONS DANS R2 997

Démonstration. Vu que SOp2q est la partie de Op2q constitué des matrices de déterminant 1,nous pouvons reprendre la forme donnée par le lemme 16.112 et fixer ε par la contrainte sur ledéterminant.

Nous avons, en utilisant la relation du lemme 16.21,

detˆ

cospθq ´ε sinpθqsinpθq ε cospθq

˙“ ε, (16.304)

et donc il faut et suffit de fixer ε “ 1.

Corollaire 16.114 ([1]).Nous avons une bijection

ψ : SOp2q Ñ r0, 2πrˆ

cospθq ´ sinpθqsinpθq cospθq

˙ÞÑ θ,

(16.305)

et un isomorphisme de groupe

ϕ : SOp2q Ñ Up1q “ teiθuθPRˆcospθq ´ sinpθqsinpθq cospθq

˙ÞÑ eiθ.

(16.306)

Démonstration. La première assertion est une paraphrase du lemme 16.113. Pour la seconde, ilfaut vérifier que c’est bien un morphisme et une bijection.

Pour le morphisme, ce sont les formules d’addition d’angle du lemme 16.23 qui jouent. En cequi concerne la bijection. . .Surjection Vu que eiθ`2kiπ “ eiθ, tout élément de Up1q est exponentielle de iθ pour un θ P

r0, 2πr.Injection Nous avons ϕpAq “ ϕpBq lorsque les formes matricielles de A et B sous forme

trigonométrique sont avec des angles différents d’un multiple de 2π. Vu que les fonctionstrigonométriques sont périodiques, nous avons A “ B parce que leurs matrices sont égales.

Proposition 16.115 ([204]).Si u et v sont des vecteurs unitaires 16 de R2 alors il existe une unique rotation 17 f telle quefpuq “ v.

Démonstration. C’est la proposition 16.65 appliquée à O “ p0, 0q.Notons l’unicité. Nous ne faisons pas de différences entre Rθ et Rθ`2π et les autres Rθ`2kπ.

En particulier si une rotation T est donnée, dire «T “ Rθ» ne définit pas un nombre θ de façonunivoque. Par contre ça définit une classe modulo 2π, c’est à dire un élément θ P R2π.

Nous avons déjà défini le groupe SOp2q en la définition 9.51 et nous avons déterminé ses matricesdans R2 en le lemme 16.113.

La proposition 16.115 donne une application

T : S1 ˆ S1 Ñ SOp2q. (16.307)

Et nous avons une relation d’équivalence sur S1ˆS1 donnée par pu, vq „ pu1, v1q si et seulement siil existe g P SOp2q telle que gpuq “ u1 et gpvq “ v1.

Définition 16.116 (Angle orienté[204]).Les classes de S1 ˆ S1 pour cette relation d’équivalence sont les angles orientés de vecteurs.Nous notons ru, vs la classe de pu, vq.16. De norme 1.17. Définition 16.58.

998 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Proposition 16.117.Nous avons T pu, vq “ T pu1, v1q si et seulement si pu, vq „ pu1, v1q.Démonstration. En utilisant la commutativité du groupe SOp2q nous avons équivalence entre lesaffirmations suivantes :

— pu, vq „ pu1, v1q— T pu, u1q “ T pv1, v1q— T pu, u1q ˝ T pu1, vq “ T pv, v1q ˝ T pu1, vq— T pu, vq “ T pu1, v1q.

Proposition 16.118.Nous avons une bijection

S : S1 ˆ S1

„ Ñ SOp2qru, vs ÞÑ T pu, vq.

(16.308)

Démonstration. En plusieurs points.S est bien définie En effet si ru, vs “ rz, ts alors T pu, vq “ T pz, tq.Injectif Si Sru, vs “ Srz, ts alors T pu, vq “ T pz, tq, qui implique pu, vq „ pz, tq par la proposition

16.117.Surjectif Nous avons Rθ “ T pu,Rθuq.

Définition 16.119 (Somme d’angles orientés[204]).Si ru, vs et rz, ts sont des angles orientés, nous définissons la somme par

ru, vs ` rz, ts “ S´1´Sru, vs ˝ Srz, ts

¯. (16.309)

Lemme 16.120.Quelque propriétés des angles plats liées à la somme.

(1) pS1 ˆ S1q „ est un groupe commutatif.(2) Relations de Chasles :

ru, vs ` rv, ws “ ru,ws. (16.310)

(3) ´ru, vs “ rv, us.Démonstration. Pour la relation de Chasles, ça se base sur la propriété correspondante sur T :

ru, vs ` rv, ws “ S´1´T pu, vq ˝ T pv, wq

¯(16.311a)

“ S´1`T pu,wq˘ (16.311b)“ ru,ws. (16.311c)

Pour l’inverse, la vérification est que

ru, vs ` rv, us “ ru, us “ 0. (16.312)

Définition 16.121.La mesure de l’angle orienté ru, vs est rθs2π si T ru, vs “ Rθ.

16.5. ANGLES ET ROTATIONS DANS R2 999

Notons dans cette définition qu’écrire T ru, vs “ Rθ dans SOp2q ne définit pas θ, mais seulementsa classe modulo 2π. C’est pour cela que la mesure de l’angle orienté n’est également définie quemodulo 2π.

Pour la suite nous allons nous intéresser à des vecteurs qui ont, dans l’idée, un point de départet un point d’arrivée. Si A,B P R2 nous notons

ÝÝÑAB “ B ´A

B ´A . (16.313)

C’est le vecteur unitaire dans la direction «de B vers A».

Théorème 16.122 (Théorème de l’angle inscrit[205]).Soit un cercle Γ de centre O et trois points distincts A,B,M P Γ. Alors

2pÝÝÑMA,ÝÝÑMBq P pÝÑOA,ÝÝÑOBq2π (16.314)

où l’indice 2π indique la classe modulo 2π.

Démonstration. Le triangle MOA est isocèle en O, donc les angles à la base sont égaux. Et deplus la somme des angles est dans rπs2π. Bon, entre nous, nous savons que la somme des anglesest exactement π, mais comme nous n’avons pas défini les angles autrement que modulo π, nousne pouvons pas dire mieux. Donc

2pÝÝÑAB,ÝÑAOq ` pÝÝÑOB,ÝÑOAq P rπs2π. (16.315)

Il faut être sûr de l’orientation de tout cela. Le nombre pÝÝÑAB,ÝÑAOq est l’angle qui sert à amener ÝÝÑABsur ÝÑAO. Vu que nous l’avons choisit dans le sens trigonométrique, il faut bien prendre les autresdans le sens trigonométrique et utiliser pÝÑOA,ÝÝÑOBq et non pÝÝÑOB,ÝÑOAq.

‚A

‚B

‚O

De la même manière sur le triangle MOB nous écrivons

2pÝÝÑMB,ÝÝÑMOq ` pÝÝÑOM,

ÝÝÑOBq P rπs2π. (16.316)

Nous faisons la différence entre les deux équations en nous souvenant que´pÝÝÑMB,ÝÝÑMOq “ pÝÝÑMO,

ÝÝÑMBq

et les relations de Chasles du lemme 16.120(2) nous avons :

2pÝÝÑMA,ÝÝÑMBq ` pÝÝÑOB,ÝÑOAq P r0s2π. (16.317)

16.123.Comment exprimer le fait qu’un angle orienté soit égal à θ modulo π alors que les angles orientéssont des classes modulo 2π ? Nous ne pouvons certainement pas écrire

pu, vq “ rθsπ (16.318)

parce que pu, vq est un élément de S1ˆS1 alors que rθsπ est un ensemble de nombres. Nous pouvonsécrire

ru, vs Ă rθsπ. (16.319)

1000 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

C’est cohérent parce que nous avons des deux côtés des ensembles de nombres. Les opérationspermises sont l’égalité ou l’inclusion. L’égalité entre les deux ensembles n’est pas possible parceque la différence minimale ente deux éléments dans ru, vs est 2π alors que celle dans rθsπ est π.

Si u et v forment un angle droit, nous avons

ru, vs “ tπ2 ` 2kπukPZ. (16.320)

Et cela est bien un sous-ensemble de rπ2sπ.Pour exprimer que la différence entre deux angles orientés diffèrent de π nous devrions écrire :

ru, vs Ă ra, bsπ (16.321)

où le membre de droite signifie la classe modulo π d’un représentant de ra, bs.Nous allons cependant nous permettre d’écrire

ru, vs “ ra, bsπ (16.322)

voire carrémentpu, vq “ pa, bqπ. (16.323)

Cette dernière égalité devant être comprise comme voulant dire que l’angle pour passer de u à vest soit le même que celui pour alle de a à b soit ce dernier plus π.

Théorème 16.124 ([205]).Soient 4 points distincts du plan A,B,C,D. Ils sont alignés ou cocycliques 18 si et seulement si

pÝÑCA,ÝÝÑCBq “ pÝÝÑDA,ÝÝÑDBqπ. (16.324)

Nous allons seulement démontrer l’implication directe.

Démonstration. Si les quatre points sont alignés nous avons rÝÑCA,ÝÝÑCBs “ r0s2π et rÝÝÑDA,ÝÝÑDBs “r0s2π. En particulier nous avons

rÝÑCA,ÝÝÑCBs “ rÝÝÑDA,ÝÝÑDBs (16.325)

et a fortiori l’égalité modulo π au lieu de 2π.Nous nous relâchons en termes de notations. Si les quatre points sont cocycliques, nous pouvons

utiliser le théorème de l’angle inscrit 16.122 dans les triangles ABC et ADB :

2pÝÑCA,ÝÝÑCBq “ pÝÑOA,ÝÝÑOBq2π (16.326a)2pÝÝÑDA,ÝÝÑDBq “ pÝÑOA,ÝÝÑOBq2π, (16.326b)

ce qui donne 2pÝÑCA,ÝÝÑCBq “ 2pÝÝÑDA,ÝÝÑDBq2π et donc

pÝÑCA,ÝÝÑCBq “ pÝÝÑDA,ÝÝÑDBqπ. (16.327)

Comme annoncé, nous ne faisons pas la preuve dans l’autre sens ; elle peut être trouvéedans [205].

16.5.2 Angles et nombres complexes

Les nombres complexes peuvent être repérés par une norme et un angle, ce qui en fait un terrainpropice à l’utilisation des angles orientés. Nous en ferons d’ailleurs usage dans C “ CY t8u pourparler d’alignement, de cocyclicité et de birapport dans la proposition 21.85.

Soient deux éléments z1, z2 P C. Nous les écrivons sous la forme z1 “ r1eiθ1 et z2 “ r2eiθ2 ;remarquons que cela ne définit θi qu’à 2π près. Nous avons

rz1, z2s “ rθ2 ´ θ1s2π. (16.328)

18. C’est à dire sur un même cercle.

16.6. UN PEU DE STRUCTURE DE OpNq 1001

Soient maintenant a, b, c, d P C. Nous écrivons ÝÑab le vecteur unitaire dans le sens «de a vers b»,c’est à dire un multiple positif bien choisi du nombre b´a. Nous notons θab l’argument du nombrecomplexe b´ a, et nous avons encore

rÝÑab,ÝÑcds “ rθab ´ θcds. (16.329)

Avec toutes ces notations, ce qui est bien est que les produits et quotients de nombres complexesse comportent très bien par rapport aux angles : l’argument de ab est θa ´ θb et en particulierl’argument de

a´ bc´ d (16.330)

est dans la classe de l’angle orientérÝÑba,ÝÑdcs. (16.331)

16.5.3 Sous-groupes finis de SOp2qLemme 16.125 ([1]).Tout sous groupe fini de SOp2q est cyclique.Démonstration. Soit uns sous-groupe fini G de SOp2q. Nous savons que SOp2q est isomorphe àUp1q par le corollaire 16.114, et en bijection avec r0, 2πr. Vu que G est fini, l’ensemble Gzteu ilpossède, dans r0, 2πr un élément minimum non nul. Soit g0 ce minimum.

Soit un élément g1 de G qui ne serait ni l’identité ni un multiple de g0. En particulier tousles nombres du type g1 ´ kg0 sont dans G (l’image de G dans r0, 2πr en fait). Si g1 n’est pas unmultiple de g0, il n’en reste pas moins que g1 “ λg0 ; alors en prenant pour k la partie entière deλ, l’élément g1 ´ kg0 est plus petit que g0. Contradiction.

16.6 Un peu de structure de Opnq16.6.1 Valeurs propres dans OpnqProposition 16.126 ([206]).Soit une matrice A P Opnq. Si λ P C est une valeur propre de A, alors λ est également une valeurpropre de A, et de plus |λ| “ 1.

Démonstration. Dire que λ P C est une valeur propre de A signifie qu’il exist x P Cn (non nul) telque Ax “ λx. Vu que les éléments de la matrice A sont réels,

Ax “ Ax “ Ax “ λx “ λx. (16.332)

Donc λ est une valeur propre de A pour le vecteur propre x.Soit λ une valeur propre de A de vecteur propre x. Alors nous avons d’une part

xAx,Axy “ xAtAx, xy “ xx, xy, (16.333)

et d’autre partxAx,Axy “ xλx, λxy “ |λ|2xx, xy. (16.334)

Vu que x ‰ 0 nous avons aussi xx, xy ‰ 0. Par conséquent |λ|2 “ 1 et |λ| “ 1.

Lemme 16.127 ([206]).Soit un espace vectoriel euclidien E de dimension finie et une isométrie f de E. Soit F un sous-espace de E stable par f . Alors FK est stable par f .

Démonstration. La restriction fF : F Ñ F est encore une isométrie ; elle est donc inversible : pourtout y P F , il existe x P F tel que y “ fpxq. Soit a P FK ; nous montrons que fpaq P FK. Soit doncy P F et calculons :

xy, fpaqy “ xfpxq, fpaqy “ xx, a, y “ 0 (16.335)parce que x P FK.

1002 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Proposition 16.128 ([206]).Soit une isométrie f : R3 Ñ R3.

(1) L’application linéaire f possède au moins une valeur propre réelle qui vaut ˘1.(2) Il existe une base orthonormée de R3 dans laquelle la matrice de f est de la forme

¨˝λ 0 00 cospθq ´ε cospθq0 sinpθq ε cospθq

˛‚ (16.336)

avec ε, λ “ ˘1 et θ P r0, 2πr.Démonstration. Le polynôme caractéristique de f , donné par detpf ´ λ Idq, est à coefficients réelset de degré 3. Il possède dont au moins une solution réelle par le corollaire 5.191. Soit donc unevaleur propre réelle λ de χf ; par le lemme 16.126 nous avons λ “ ˘1. Soit u1 le vecteur proprecorrespondant. Nous notons F l’espace engendré par u1.

Nous avons fpF q “ F et donc fpFKq “ FK par le lemme 16.127. Soit une base orthonorméetu2, u3u de FK et la matrice B de la restriction fp à FK. Vu que l’application fp est une isométriede FK, la matrice B est, par le lemme 16.112, de la forme

B “ˆ

cospθq ´ε sinpθqsinpθq ε cospθq

˙(16.337)

pour un certain θ P r0, 2πr et ε “ ˘1.Dans la base tu1, u2, u3u de R3, la matrice de f est alors

ˆλ 00 B

˙, (16.338)

comme annoncé.

Pour classifier les isométries de R3, nous pouvons nous baser sur les possibilités de la matricedonne dans le lemme 16.128. Il y a essentiellement quatre possibilités suivant les valeurs de λ “ ˘1et ε “ ˘1.Si ε “ λ “ 1 Alors la matrice est

A “¨˝

1 0 00 cospθq ´ sinpθq0 sinpθq cospθq

˛‚ (16.339)

et l’isométrie correspondante est la rotation d’angle ´θ autour de la droite de u1.Si ε “ λ “ ´1 Alors la matrice est

A “¨˝´1 0 00 cospθq sinpθq0 sinpθq ´ cospθq

˛‚ (16.340)

Cette application est plus subtile, parce que même dans le plan Spanpu2, u3q, ce n’est pasune rotation. Nous allons montrer qu’il s’agit d’une réflexion autour de la droite d’angleθ2 dans le plan Spanpu2, u3q. Nous nommons D cette droite. Dans la base tu1, u2, u3u, lespoints de cette droite sont de la forme 19

`0, cospθ2q, sinpθ2q˘. (16.341)

L’image de u1 par cette réflexion est ´u1, c’est clair.

19. Les plus acharnés remarquerons que tu1, u2, u3u est un ensemble, qui est une base. Mais un ensemble n’est pasordonné, alors que pour écrire l’équation de droite qui suit, nous supposons un ordre. Je laisse au tel lecteur le soinde trouver une bonne notation.

16.6. UN PEU DE STRUCTURE DE OpNq 1003

Faisons en détail l’image de u3. Nous devons démontrer que la droite D coupe le segmentru3, Apu3qs perpendiculairement en son milieu.

Dans le plan Spanpu2, u3q nous avons u3 “ˆ

01

˙et Apu3q “

ˆsinpθqcospθq

˙. Le milieu du segment

ru3, Apu3qs est le point

M “ˆ

sinpθq2 ,

1´ cospθq2

˙. (16.342)

Les formules de duplication d’angle du corollaire 16.24 nous permettent d’écrire sinpθqet cospθq en fonction de sinpθ2q et cospθ2q, et donc d’exprimer le point M de la façonsuivante :

M “ˆ

cospθ2q sinpθ2q, 1´ `cos2pθ2q ´ sin2pθ2q˘

2

˙(16.343a)

“ `cospθ2q sinpθ2q, sin2pθ2q˘ (16.343b)

“ sinpθ2q` cospθ2q, sinpθ2q˘. (16.343c)

Ce point fait donc partie de la droite D. La droite D coupe le segment ru3, Apu3qs en sonmilieu.En ce qui concerne l’orthogonalité, nous calculons le produit scalaire

`Apu3q ´ u3

˘·

ˆcospθ2qsinpθ2q

˙“ sinpθq cospθ2q ´ `

1` cospθq˘ sinpθ2q “ 0 (16.344)

où nous avons encore utilisé les duplications d’angles et le fait que 1 “ cos2pθ2q` sin2pθ2q(lemme 16.21).

Si ε “ ´1 et λ “ 1 Alors la matrice est

A “¨˝

1 0 00 cospθq sinpθq0 sinpθq ´ cospθq

˛‚. (16.345)

C’est la symétrie orthogonale par le plan engendré par u1 et v “ cospθ2qu2 ` sinpθ2qu3.Le vecteur u1 est bien évidemment préservé par A. En ce qui concerne le vecteur v,

Apvq “ cospθ2q¨˝

0cospθqsinpθq

˛‚` sinpθ2q

¨˝

0´ sinpθqcospθq

˛‚“

¨˝

0cospθ2qsinpθ2q

˛‚“ v. (16.346)

Nous avons sauté quelque étapes de calcul mettant en scène les formules de duplicationd’angle : exprimer cospθq “ cos2pθ2q ´ sin2pθ2q et sinpθq “ 2 cospθ2q sinpθ2q.Pour achever, nous devons trouver un vecteur w perpendiculaire au plan, et montrer qu’ilest envoyé par A sur ´w. Un vecteur w “ xu1 ` yu2 ` zu3 est perpendiculaire au plan siles deux égalités suivantes sont satisfaites :

`cospθ2qu2 ` sinpθ2qu3

˘· pxu1 ` yu2 ` zu3q “ 0 (16.347a)

u1 · pxu1 ` yu2 ` zu3q “ 0. (16.347b)

Nous avons immédiatement x “ 0 et ensuite la relation

y cospθ2q ` z sinpθ2q “ 0. (16.348)

En ne regardant que les deux dernières composantes pour alléger l’écriture,

Apwq “ y

ˆcospθqsinpθq

˙` z

ˆsinpθq´ cospθq

˙. (16.349)

1004 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Le but est de montrer que cela est égal à ´y cospθ2q ´ z sinpθ2q.Notons c “ cospθ2q et s “ sinpθ2q. Alors Apwq2 “ ypc2 ´ s2q ` 2zcs. Évacuons tout desuite les deux cas limite : si c “ 0 alors Apwq2 “ ´y (parce que s “ ˘1) et c’est bon. Sis “ 0, alors Apwq2 “ y, mais la relation (16.348) donne y “ 0, donc c’est bon aussi. Dansla cas générique, z “ ´yc2 et

Apwq2 “ ypc2 ´ s2q ´ 2csycs“ ´ypc2 ` s2q “ ´y. (16.350)

En ce qui concerne Apwq3, c’est très similaire :

Apwq3 “ 2ysc´ zpc2 ´ s2q. (16.351)

Avec z “ 0 c’est ´z, donc c’est bon. Avec c “ 0 c’est z mais z “ 0. Et pour le cas générique,la substitution y “ ´zsc donne le résultat.

Si ε “ 1 et λ “ ´1 Alors la matrice est

A “¨˝´1 0 00 cospθq ´ sinpθq0 sinpθq cospθq

˛‚. (16.352)

Cela est la composition entre la symétrie de plan Spanpu2, u3q et la rotation d’angle θ dansce plan.

16.6.2 Sous-groupes finis de SOp3qLemme 16.129 ([1]).Points fixes pour SOp3q.

(1) Tout élément de SOp3q possède une droite de point fixes.(2) Tout élément non trivial de SOp3q possède une seule droite de points fixes.

Démonstration. Le polynôme caractéristique d’un élément de SOp3q est de degré trois et possèdedont (en comptant les multiplicités) trois racines dont une réelle par le corollaire 5.191. Vu quenous sommes en dimension impaire, le coefficient du terme de degré 3 est ´1 et le polynômecaractéristique de g P SOp3q s’écrit

χgpXq “ ´pX ´ λ1qpX ´ λ1qpX ´ sq (16.353)

avec s “ ˘1 que nous allons tout de suite fixer. Nous savons que detpgq “ χgp0q mais aussi quedetpgq “ 1. Donc

1 “ detpgq “ χgp0q “ λ1λ1s “ s. (16.354)

Tout cela pour dire que tout élément de SOp3q possède une valeur propre égale à 1, et donc unedroite de points fixes.

Pour continuer, supposons que g possède deux droites distinctes de points fixes. En particulierg fixe un plan. Une base orthonormée de R3 peut être choisie en prenant deux vecteurs e1, e2 dansce plan et un vecteur e3 perpendiculaire au plan.

Vu que g est une isométrie, la base reste orthonormée sous l’action de g. Donc g a pour matrice¨˝

1 0 00 1 00 0 ˘1

˛‚. (16.355)

Pour que le déterminant soit 1, il faut que la matrice soit l’identité.

Proposition 16.130 ([1, 207, 34, 208, 209]).Les sous-groupes finis de SOp3q sont :

16.6. UN PEU DE STRUCTURE DE OpNq 1005

(1) les groupes cycliques ZnZ,(2) les groupes diédraux Dn,(3) le groupe alterné A4,

(4) le groupe alterné A5

(5) le groups symétrique S4.

Démonstration. Soit G, un sous-groupe fini de SOp3q. Par la proposition 9.50, les éléments de Gsont des isométries de R3, et le lemme 16.129 dit que tout élément de G possède une droite depoints fixes.

Un point de la sphère unité fixé par g P G est un pôle de g. Nous nommons Ω l’ensemble despôles des éléments non triviaux de G.Une action Le groupe G agit sur Ω. En effet si x P Ω, alors x est fixé par un élément g.

Montrons que hpxq est également fixé par un élément de G. Par dur : ph´1ghqhpxq “ hpxq ;donc hpxq est un pôle de h´1gh.

Les fixateurs sont cycliques Nous montrons à présent que pour tout x P Ω, le sous-groupeFixpxq est cyclique. Soit donc x P Ω, le plan orthogonal σ “ SpanpxqK et h P Fixpxq. Nousavons hpσq “ σ. En effet si y P σ nous avons

0 “ y·x “ hpyq·hpxq “ hpyq·x, (16.356)

donc hpyq est perpendiculaire à x. L’inclusion inverse se démontre de même : si y P σ alorsy “ h

`h´1pyq˘ alors que h´1pyq P σ.

La restriction de h à σ est une isométrie de σ. Prenant une isométrie f : σ Ñ R2, l’applica-tion

ϕ : Fixpxq Ñ SOp2qh ÞÑ f ˝ h ˝ f´1.

(16.357)

est un morphisme injectif de groupes. En effet nous avons d’une part

ϕphh1q “ f ˝ h ˝ h1 ˝ f´1 “ fhf´1fh1f´1 “ ϕphqϕph1q, (16.358)

d’où le morphisme. Et d’autre part, si ϕphq “ ϕph1q alors f ˝ h ˝ f´1 “ g ˝ h1 ˝ f´1, quidonne immédiatement h “ h1.Nous en déduisons que Fixpxq est isomorphe à un sous-groupe de SOp2q (l’image de ϕ). Lelemme 16.125 en fait un groupe cyclique.

Taille des fixateurs Soient Ωi les orbites. Si x, y P Ωi alors nous montrons que |Fixpxq| “|Fixpyq| avec la bijection

ϕ : Fixpxq Ñ Fixpyqh ÞÑ g´1hg

(16.359)

où g est choisit de façon à avoir y “ gpxq (possible parce que x et y sont dans la mêmeorbite). Cela est surjectif parce que si k P Fixpxq alors k “ ϕpgkg´1q et l’on vérifie quegkg´1 P Fixpyq. L’application ϕ est également injective parce que si ghg´1 “ gh1g´1 alorsh “ h1.

Un peu de notations Vu que tous les fixateurs des éléments d’une orbite ont la même taille(finie), nous pouvons noter

ni “ |Fixpxiq| (16.360)

pour xi P Ωi. Nous notons également r le nombre d’orbites de G.La formule de Burnside du théorème 3.85, avec les notations d’ici, donne

r “ 1|G|

ÿ

gPG|Fixpgq|. (16.361)

Une belle formule Soit l’ensemble

A “ tpg, xq tel que g P Gzteu, x P Fixpgqu (16.362)

1006 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

où par Fixpgq nous entendons les pôles de G fixés par g.Il y a |G| ´ 1 possibilités pour la composante g, mais chaque élément g ‰ e possède exac-tement deux pôles, donc l’ensemble A contient exactement 2p|G| ´ 1q éléments.Nous pouvons calculer le nombre d’éléments dans A d’une autre façon : pour chaque x P Ωnous avons |Fixpxq| ´ 1 éléments de Gzteu qui fixent x. Donc

|A| “ÿ

xPΩ

`|Fixpxq| ´ 1˘. (16.363)

Mais |Fixpxq| est constant sur les orbites. Nous coupons donc la somme sur Ω en plusieurssommes sur les orbites Ωi :

|A| “rÿ

i“1

ÿ

xPΩi

`|Fixpxq| ´ 1˘ “

ÿ

i

|Ωi|pni ´ 1q. (16.364)

En égalisant les deux façons de calculer |A|, nous déduisons la formule

2`|G| ´ 1

˘ “ÿ

i

|Ωi|pni ´ 1q. (16.365)

Nous utilisons ensuite la relation orbite-stabilisateur, proposition 3.78 : |Fixpxiq||Ωi| “ |G| ;la formule (16.365) devient

2`|G| ´ 1

˘ “ÿ

i

|G| ´ÿ

i

|G|ni“ r|G| ` |G|

ÿ

i

1ni, (16.366)

ou encore, en simplifiant par |G| :

2´ 2|G| “ r ´

ÿ

i

1ni“

rÿ

i“1

ˆ1´ 1

ni

˙. (16.367)

Nous pouvons aussi repartir de (16.365) et sommer de façon plus simpleři |Ωi| “ |Ω| pour

obtenir2`|G| ´ 1

˘ “ r|G| ´ |Ω| (16.368)

où Ω est l’ensemble des pôles de Gzteu.Quelles sont les possibilités ? Les nombres |G|, r et ni sont des entiers. Nous allons vois qu’il

n’y a pas des centaines de possibilités pour satisfaire la relation (16.367). D’abord, pourtoute valeur de |G| (strictement plus grande que 1),

1 ď 2´ 2|G| ă 2. (16.369)

Ensuite, si g fixe x alors g´1 fixe également x, de sorte que ni “ |Fixpxiq| ě 2 pour tout i.Donc tous les termes dans la somme à droite de (16.367) sont dans r12 , 1r. Nous avons doncau minimum deux termes, et au maximum trois. Autrement dit : r “ 2 ou r “ 3.

Si r “ 2 Le plus simple est de repartir de (16.368). En posant r “ 2 nous trouvons tout de suite|Ω| “ 2. Il y a donc exactement deux pôles pour l’action de G sur la sphère unité.Tous les éléments de G laissent donc le même axe invariant et G est un sous groupe desisométries du plan qui lui est perpendiculaire. Autrement dit, G est un sous-groupe fini deSOp2q et donc cyclique par le lemme 16.125.

Les possibilités pour r “ 3 Nous devons voir les solutions entières pn1, n2, n3, |G|q de

2´ 2|G| “ 3´ 1

n1´ 1n2´ 1n3ă 2. (16.370)

16.6. UN PEU DE STRUCTURE DE OpNq 1007

Il faut en particulier que1n1` 1n2` 1n3ą 1, (16.371)

ce qui signifie qu’au moins un des ni doit être 1 ou 2, mais qu’il n’est pas possible que tousles ni soient plus grands ou égaux à 3. Vu que ni “ |Fixpxiq| ě 2, nous en déduisons qu’aumoins un des ni doit valoir 2. Nous posons donc n1 “ 2.De plus, nous savons que les ni doivent diviser |G|. Donc |G| est pair.

Si n2 “ 2 Nous sommes dans le cas r “ 3, n1 “ 2, n2 “ 2. Nous avons

1n3“ 2|G| , (16.372)

mais aussi n3 “ |G||Ω3| d’où nous déduisons que |Ω3| “ 2. Nous avons donc une orbite àdeux éléments. Soit Ω3 “ tx, yu avec x ‰ y.Le groupe Fixpxq est un groupe à |G|2 éléments. Il est donc normal par le lemme 3.59.Si g P G est tel que gpxq “ y alors nous avons Fixpyq “ g Fixpxqg´1, mais comme Fixpxqest normal nous avons Fixpxq “ Fixpyq. Donc tous les éléments de Fixpxq fixent x et y. Legroupe Fixpxq est donc un sous-groupe de SOp2q est est cyclique comme vu plus haut.Mais de plus nous avons forcément y “ ´x parce qu’un élément de G qui fixe un point fixeégalement l’opposé. Vu que Ω3 “ tx,´xu, il existe s P G tel que spxq “ ´x. Évidemment, sn’est pas dans Fixpxq et les points fixes de s ne sont pas parmi x et ´x. Donc l’élément s2

a au moins 4 points fixes : les deux de s ainsi que x et ´x. Il a donc au moins deux droitesde points fixes et est donc l’identité : s2 “ e.De plus, vu que spyq doit être égal soit à x soit à y, et vu que spxq “ y, l’injectivité de sdonne spyq “ x.Soit a, un générateur de Fixpxq. Nous allons montrer que G “ grps, saq. Nous avons déjà

psaqpxq “ spxq “ y (16.373a)psaqpyq “ spyq “ x. (16.373b)

Donc sa inverse x et y. Mais sa a ses propres deux points fixes (qui ne sont ni x ni y).L’élément psaq2 a deux quatre points fixes sur la sphère unitié : x, y et les deux de sa. Nousen déduisons que psaq2 “ e.Nous nous souvenons que a est un générateur Fixpxq. Mais a “ s· sa, donc ak “ pssaqk.Nous en déduisons que grps, saq contient au moins Fixpxq.D’autre part si h et h1 sont des éléments distincts dans Fixpxq, alors sh et sh1 sont deséléments distincts de grps, saq qui ne sont pas dans Fixpxq. Autrement dit, la partie

A “ tsh tel que h P Fixpxqu (16.374)

est une partie de même cardinal que Fixpxq tout en n’ayant aucune intersection avec Fixpxq(note : l’identité n’est pas dans A). Mais |Fixpxq| “ |G|2, donc A Y Fixpxq “ G. Etjustement AYG Ă grps, saq. Nous en déduisons que grps, saq “ G.Le théorème 16.109 nous assure que le groupe G est alors le groupe diédral parce que leséléments s et sa vérifient les relations données en 16.103.

Si r “ 3, les autres cas possibles Nous repartons de (16.367) en posant r “ 3. Nous obte-nons ceci :

1` 2|G| “

1n1` 1n2` 1n3. (16.375)

Nous avons déjà vu que n1 “ 2 était obligatoire, et que tous les cas où deux des ni sontégaux à 2 sont déjà couverts. Donc n2 et n3 vallent 3 ou plus.Nous trions les ni dans l’ordre croissant. Si n2 “ 4 ou plus, alors n3 vaut 4 ou plus. Mais

12 `

14 `

14 “ 1 ă 1` 2

|G| . (16.376)

1008 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Donc n3 “ 3 est obligatoire. Nous avons alors l’inégalité suivante qui restreint n3 :

1n3“ 1

6 `3|G| ą

16 . (16.377)

Donc n3 est 3, 4 ou 5.Les derniers cas à couvrir sont :— pn1, n2, n3q “ p2, 3, 3q. Dans ce cas, 7

6 “ 1` 2|G| , donc |G| “ 12.

— pn1, n2, n3q “ p2, 3, 4q. Dans ce cas, |G| “ 24.— pn1, n2, n3q “ p2, 3, 5q. Dans ce cas, |G| “ 60.

Le cas p2, 3, 3q Nous utilisons les relations ni|Ωi| “ |G| pour savoir la taille des orites. Nousavons :(1) 2|Ω1| “ 12, donc |Ω1| “ 6, 3|Ω2| “ 12, donc |Ω2| “ 4, 3|Ω3| “ 12, donc |Ω3| “ 4.Nous avons G· Ω2 “ Ω2. D’une part parce que, par définition d’une orbite, G· Ω2 Ă Ω2,et d’autre part parce que si x P Ω2, alors g´1pxq P Ω2 et g

`g´1pxq˘ “ x ; donc Ω2 est bien

dans l’image de Ω2 par G. Nous avons donc un morphisme s : G Ñ SΩ2 que nous allonsimmédiatement voir comme

s : GÑ S4 (16.378)

où S4 est le groupe des permutations de t1, 2, 3, 4u.Voyons que s est injective. Si spgq “ sphq, alors spgh´1q “ Id. Autrement dit, l’élément sh´1

de G est l’identité sur Ω2 qui contient 4 éléments. Fixant 4 points (au moins), l’élémentsh´1 est l’identité. Par conséquent

s : GÑ spGq Ă S4 (16.379)

est un isomorphisme entre G et un sous-groupe de S4. Mais |G| “ 12 et |S4| “ 24, donc Gest d’indice deux dans S4 et est donc le groupe alterné A4 par la proposition 8.41(3).

Le cas p2, 3, 4q Nous avons |G “ 24| et les orbites ont pour taille :— 2|Ω1| “ 24, donc |Ω1| “ 12,— 3|Ω2| “ 24, donc |Ω2| “ 8,— 4|Ω3| “ 24, donc |Ω3| “ 6.

Ω2 vient par paires Soit x P Ω tel que |Fixpxq| “ 3. Alors x P Ω2 parce que x est forcémentdans un des Ωi et tout élément xi de Ωi vérifie |Fixpxiq| “ ni. Mais comme les élémentsde SOp3q sont des applications linéaires, ceux qui fixent x fixent également ´x. Celapour dire que si x P Ω2, alors ´x P Ω2. Nous avons donc quatre éléments distincts a1,a2, a3 et a4 tels que

Ω2 “ t˘a1,˘a2,˘a3,˘a4u. (16.380)

Action sur les couples Nous prétendons que G agit sur l’ensemble des couples t˘aiu.C’est encore la linéarité qui joue : l’élément gpaiq est forcément un des ˘ak (éventuel-lement k “ i). Si gpaiq “ ak, alors gp´aiq “ ´ak. Autrement dit, pour tout i, il existeun k tel que g

`tai,´aiu˘ “ tak,´aku. Cette association i ÞÑ k est bijective (sinon g ne

serait pas bijective), et fournit donc un morphisme de groupes

s : GÑ S4. (16.381)

s est injective Nous prouvons à présent que spgq “ Id si et seulement si g “ e. Dans unsens c’est évident : gpeq “ Id. Dans l’autre sens, nous devons prouver que si gpaiq P ˘aipour tout i alors g “ e.Si gpaiq “ ai pour tout i, alors g stabilise 4 points et l’affaire est pliée. Nous supposonsqu’au moins un des ai n’est pas stabilisé par g. Pour fixer les idées nous disons que c’esta1. Nous avons donc gpa1q “ ´a1. (oui : gpa1q “ ´a1 et non ˘ak pour un autre k parceque nous sommes sous l’hypothèse que g stabilise les couples)

16.6. UN PEU DE STRUCTURE DE OpNq 1009

L’élément g2 fixe tout Ω2 ; donc g2 “ e. Nommons ˘b les points fixes de g. Si b P Ω2alors |Fixpbq| “ 3, c’est à dire que les éléments de G qui fixent b sont dans un grouped’ordre 3, et le corollaire 3.55 nous indique que ces éléments ne peuvent être que d’ordre1 ou 3, pas deux. Nous en déduisons que b n’est pas dans Ω2 et donc que gpaiq “ ´aipour tout i.Jusqu’à présent nous avons prouvé que si g P kerpsq est non trivial, alors gpaiq “ ´aipour tout i.Soit maintenant h P G. Vu que Ω2 est une orbite, hpaiq P Ω2 et nous notons hpaiq “ εakavec ε “ ˘1 et éventiellement k “ i ou éventiellement pas. Nous avons :

ph´1ghqpaiq “ εph´1gqpakq “ ´εh´1pakq “ ´ε2ai “ ´ai. (16.382)

Donc g et h´1gh ont même restriction à Ω2. En particulier h´1ghg´1 est l’identité surΩ2 et est donc l’identité.Pour tout h nous avons g “ h´1gh. Les points fixes de h´1gh sont ˘h´1pbq, mais aussi˘b. Nous avons donc égalité d’ensemble thpbq,´hpbqu “ tb,´bu pour tout h P G (notezle changement de notation h Ñ h´1). Cela signifie que tb,´bu est une orbite de G.Maizon’a pas d’orbites de cardinal deux ; contradition. Nous en déduisons que e estl’unique élément de kerpsq.

Conclusion La partie spGq est un sous-groupe de S4 isomorphe à G. Mais au niveau descardinaux, |G| “ 24 en même temps que |S4| “ 24. Donc G » spGq » S4.

Nous passons au cas p2, 3, 5q, et comme ça va être long et douloureux 20, nous sautons un niveaud’indentation.

Au niveau du cardinal de G,12 `

13 `

15 “ 1` 2

|G| , (16.383)

donc |G| “ 60. Et pour les orbites, |Ω1| “ 30, |Ω2| “ 20, |Ω3| “ 12.La proposition 8.49 nous indique que le seul groupe simple d’ordre 60 est le groupe A5. Nous

allons donc nous atteler à prouver que G est simple. Vous êtes prêts ?

Fixateurs et ordres Tous les éléments de G sont dans un fixateur de type Fixpxq, et commel’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe (corollaire 3.55), tous les éléments de G ontun ordre 2, 3 ou 5. Nous sommes dans un cas très particuliers parce que— Les trois nombres 2, 3 et 5 sont des nombres premiers distincts. Donc «diviser ni» signifie

pratiquement «être égal à ni», surtout lorsqu’on parle de l’ordre d’un élément, qui nepeut pas être 1.

— Il existe une seule orbite de chaque taille.Nous notons Gpniq l’ensemble des éléments de G d’ordre ni. Les parties Gpniq ne contiennentpas l’identité.

g P Gpniq implique Fixpgq Ă Ωi Si g P Gpniq et x P Fixpgq alors x P Ωi. En effet x P Fixpgqsignifie gpxq “ x et donc aussi g P Fixpxq. Donc l’ordre de g divise |Fixpxq|, alors quel’ordre de g est ni et que les possibilités pour |Fixpxq| sont exactement les ni, lesquels sontpremiers entre eux. Donc |Fixpxq| “ ni et x P Ωi.

|Fixpxq| “ ni implique x P Ωi Comme plus haut, g P Fixpxq implique que l’ordre de g diviseni et est donc égal à ni. Autrement dit, g P Gpniq. De plus g P Fixpxq implique x P Fixpgq.Par le cas juste au-dessus nous déduisons x P Ωi.

a et ´a dans la même orbite Nous avons évidemment Fixpaq “ Fixp´aq du fait que leséléments de G sont des applications linéaires. Si |Fixpaq| “ ni alors a P Ωi et aussi|Fixp´aq| “ |Fixpaq| “ ni et aussi ´a P Ωi.

20. Mais pas autant que le théorème 30.28, cependant.

1010 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Nombre de Fixpxiq Soient a, b P Ωi. Nous avons |Fixpaq| “ |Fixpbq| “ ni et Fixpaq “ Fixpbq siet seulement si b “ ´a parce qu’un élément qui fixe a et b fixe automatiquement a, b, ´a,et ´b. Aucun élément non trivial ne peut fixer quatre points distincts. Autrement dit,

Fixpaq X Fixpbq “#

Fixpaq si a “ ˘bteu sinon.

(16.384)

Chaque élément xi P Ωi a son fixateur (il y en aurait |Ωi| “ 60ni), mais ces fixateurs sontégaux deux à deux, donc il y a seulement 60

2ni groupes distincts de la forme |Fixpxiq| avecxi P Ωi.

Récapitulatif En reprenant ce que nous venons de dire avec i “ 1, 2, 3 nous trouvons :(1) n1 “ 2, avec |Ω1| “ 30 et 15 groupes du type Fixpx1q avec x1 parcourant Ω1.(2) n2 “ 3, avec |Ω2| “ 20 et 10 groupes du type Fixpx2q avec x2 parcourant Ω2.(3) n3 “ 5, avec |Ω3| “ 12 et 6 groupes du type Fixpx3q avec x3 parcourant Ω3.Un élément non trivial de G se trouve forcément dans un et un seul de ces sous-groupes.Plus précisément, si g P Gpniq alors g est dans un des Fixpxiq avec xi P Ωi.Comptons pour être sûr de ne pas s’être trompé. Chacune des lignes décrit 30 éléments deG ; par exemple pour la seconde ligne donn 10 groupes de taille |Fixpx2q| “ n2 “ 3. Maistout ces groupes ont pour intersection exactement teu. Donc le comptage des éléments sefait comme suit :

3ˆ 30´ 15´ 10´ 6` 1. (16.385)Le dernier `1 est parce que nous aurions décompté l’identité une fois de trop. Bref, on abien 60 éléments comme il se doit.

Un ensemble à calculer deux fois Soient les ensembles A2, A3 et A5 définis par

Ai “ tpg, aq P Gpniq ˆ Ωi tel que gpaq “ au (16.386)

où Gpniq est la partie de G des éléments d’ordre ni.Nous avons

|Ai| “ÿ

gPGpniq|Fixpgq X Ωi|. (16.387)

Mais les éléments de Gpniq sont d’ordre ni, et par ce que nous avons dit plus haut, tous leséléments de Fixpgq sont dans Ωi. Donc Fixpgq X Ωi “ Fixpgq. Nous avons alors

|Ai| “ÿ

gPGpniq|Fixpgq| “ 2|Gpniq| (16.388)

parce que |Fixpgq| “ 2 pour tout g.En compatant |Ai| dans l’autre sens, nous avons

|Ai| “ÿ

xPΩi|Fixpxq XGpniq| (16.389)

Vu que x P Ωi, les éléments de Fixpxq sont d’ordre ni 21 (sauf e), et comme Gpniq estjustement l’ensemble des éléments d’ordre ni dans G nous avons FixpxqXGpniq : Fixpxqzteu.Cela pour dire que

|Ai| “ÿ

xPΩi

´|Fixpxq| ´ 1

¯(16.390a)

“ÿ

xPΩi|Fixpxq| ´

ÿ

xPΩi1 (16.390b)

“ÿ

xPΩini ´ |Ωi| |Fixpxq| “ ni pcq x P Ωi (16.390c)

“ |Ωi|ni ´ |Ωi| “ |G| ´ |Ωi|. (16.390d)

21. Encore et toujoure parce que les éléments de Fixpxq ont un ordre qui divise |Fixpxq| “ ni et que ni est premier,et que nous avons exclu l’identité.

16.6. UN PEU DE STRUCTURE DE OpNq 1011

En égalisant cela à la valeur 2|Gpniq| déjà trouvée, nous déduisons les valeurs des |Gpniq| :

|Gpniq| “ |G| ´ |Ωi|2 . (16.391)

Nous avons alors(1) |Gp2q| “ 15(2) |Gp3q| “ 20(3) |Gp5q| “ 24

Les Sylow de G Les p-Sylow sont définis en 8.6, et le super théorème qui répond à toutes lesquestions est le théorème 8.11. Dans notre cas, les diviseurs premiers de |G| “ 60 sont 2, 3et 5. Il faut faire attention au 2 parce que sa plus haute puissance dans la décompositionde 60 est 4 et non 2. Nous avons :(1) Un 2-Sylow est un sous-groupe d’ordre 4.(2) Un 3-Sylow est un sous-groupe d’ordre 3.(3) Un 5-Sylow est un sous-groupe d’ordre 5.Entre autres :(1) Les 10 sous-groupes Fixpx2q avec x2 P Ω2 sont des 3-Sylow de G.(2) Les 6 sous-groupes Fixpx3q avec x3 P Ω3 sont des 5-Sylow de G.(3) Les 15 sous-groupes Fixpx1q avec x1 P Ω1 sont d’ordre 2 et ne sont donc pas des 2-Sylow

de G.Tous les 3-Sylow et les 5-Sylow Nous avons déjà trouvé 10 3-Sylow et 6 5-Sylow. Nous mo-

trons à présent qu’il n’y en a pas d’autres. Le théorème de Sylow 8.11(4) nous indique quele nombre n3 de 3-Sylow est :— diviseur de 60,— dans r1s3— au moins 10.Les diviseurs de 60 sont :

1, 5, 3, 15, 2, 10, 6, 30, 4, 20, 12, 60. (16.392)

Le seul qui vérifie toutes les conditions est 10. Donc G possède seulement 10 3-Sylow et ilssont tous de la forme Fixpx2q avec x2 P Ω2.Même raisonnement pour les 5-Sylow : il faut— diviseur de 60,— dans r1s5— au moins 6.La seule possibilité est 6.

Sous-groupe normal Soit H, un sous-groupe normal de G. Notre but étant de prouver queG est simple, nous voulons prouver que H est soit teu soit G. Nous supposons que H estnon trivial, et nous allons prouver que H “ G.Le théorème de Lagrange 3.54(1) nous dit que |H| divise |G|. Le nombre |H| ne peut doncavoir que 2, 3 et 5 comme facteurs premiers. Avec une mention spéciale pour le 2 : |H|pourrait être divisible aussi par 4.

Diviseurs de |H| Soit un sous-groupe normal H de G. Vu que c’est un sous-groupe sont ordredivise celui de G (encore et toujours le théorème de Lagrange 3.54), et donc les facteurspremiers de |H| ne peuvent être que 2, 3 et 5.

Si |H| est divisible en 3 Alors H contient au moins un 3-Sylow. Mais nous avons vu que les3-Sylow de H sont les 3-Sylow de G. Donc H contient tous les 3-Sylow de G, parce que les3-Syow sont conjugués et H est normal.

1012 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

Soit E l’ensemble des sous-groupes de H. Vu qu’il est normal, H agit sur E par conjugaison,et les 3-Sylow forment une orbite. Si α est un 3-Sylow, la formule des classes (proposition3.78(2)) nous donne

|H| “ |Fixpαq||Oα|. (16.393)Mais l’orbite Oα de α est l’ensemble des 3-Sylow, de sorte que |Oα| “ 10. Donc |H| estdivisible en 10.Mais il y a pire : H contient au moins les 10 sous-groupes Fixpx2q pour x2 P Ω2. Ce sont 10groupes de |Fixpx2q| “ 3 éléments. En décomptant e qui est dans l’intersection, cela fait

10ˆ |Fixpx2q| ´ 10` 1 “ 21 (16.394)

éléments. Donc H contient au moins 21 éléments. Le nombre |H| est donc :— diviseur de 60— multiple de 10— au moins 21.Donc c’est 30 ou 60.

Si |H| est divisible en 5 Le même raisonnement tient et |H| est 30 ou 60.Nous restons avec les possibilités |H| égal à 2, 4, 30 ou 60.Si |H| “ 4 Alors H contient au moins un 2-Sylow. Un 2-Sylow de H est un sous-groupe conte-

nant 4 éléments qui sont d’ordre 2m. Le seulm possible dans G estm “ 1. Vu qu’un 2-Sylowde H contient 4 éléments, nous sommes dans le cas où H est un 2-Sylow. Il est donc le seul2-Sylow de H parce que H est normal et que tous les 2-Sylow sont conjugués.Mais tous les sous-groupes d’ordre 2 sont contenus dans un 2-Sylow. En particulier tous les15 groupes Fixpx1q sont dans l’unique 2-Sylow H qui est soit-disant d’ordre 4. IL y a là unebelle impossibilité.Donc le cas |H| “ 4 est hors-concours.

Si |H| “ 2 Alors H “ te, gu avec g2 “ e. Si h P G, l’élément hgh´1 ne peut être que e ou g(parce que H est normal). Le premier cas est g “ e, et le second donne gh “ hg. Donc gest dans le centre de G : il commute avec tous les éléments de G.Vu que g P Gp2q, nous avons que les éléments a P Fixpgq sont forcément dans Ω1 parce queles points dont les fixateurs sont formés d’éléments d’ordre 2 sont dans Ω1. Soit h P G. Nousavons g “ hgh´1 et donc aussi

`hgh´1˘`hpaq˘ “ hgpaq “ hpaq, (16.395)

donc hpaq et ´hpaq sont des points fixes de hgh´1. Ce sont donc également de points fixesde g. Nous en déduisons que g a pour points fixes les points a, ´a, hpaq et ´hpaq. Vu queg n’est pas e, ces quatre points ne peuvent pas être distincts. Vu que hpaq ne peut pas être´hpaq, nous avons forcément hpaq “ ˘a.Donc l’orbite de a ne contiendrait que 2 éléments. Pas possible.

Si |H| “ 30 À part |H| “ 60, le dernier cas à traiter est |H| “ 30. Nous rappellons obligeamentque(1) |Gp2q| “ 15(2) |Gp3q| “ 20(3) |Gp5q| “ 24.Si H possède 30 éléments, le théorème de Sylow dit que H contient au moins un 3-Sylowet un 5-Sylow, et donc tous. Vu que pour 3 et 5, les Sylow de H et de G sont les mêmeset bien idéntifiés, nous allons nous baser dessus. Le sous-groupe H contient tous les 3 et5-Sylow, donc le comptage des éléments est :

10ˆ |Fixpx2q| ` 6ˆ |Fixpx3q| ´ 15 “ 45. (16.396)

Nous aurions aussi pu ajouter `4´ 1 pour compter au moins un 2-Sylow.Donc dès que H compte 30 éléments, il en compte 45 et donc 60 parce qu’il n’y a pas dediviseurs de 60 entre 45 et 60.

16.7. COORDONNÉES POLAIRES 1013

Problèmes et choses à faire

La démonstration des groupes finis de SOp3q est longue. Je me demande si il n’y a pas moyen de faire plus court. Par exemple [207] utilise le

théorème de Cauchy 3.56 que je n’utilise pas. D’autre part, toutes les références me semble utiliser plus ou moins implicitement le fait que si le

sous-groupe normal H contient un élément de Gpniq, alors il les continent tous. J’avoue ne pas trop comprendre pourquoi.

16.7 Coordonnées polaires

16.7.1 Les coordonnées polaires

On a vu qu’un point M dans R2 peut être représenté par ses abscisses x et ses ordonnées y.Nous pouvons également déterminer le même pointM en donnant un angle et une distance commemontré sur la figure 16.8.

px, yq

θ

r

1

1

2

Figure 16.8 – Un point en coordonnées polaires est donné par sa distance à l’origine et par l’anglequ’il faut avec l’horizontale.

Le même point M peut être décrit indifféremment avec les coordonnées px, yq ou bien avecpr, θq.Remarque 16.131.L’angle θ d’un point n’étant a priori défini qu’à un multiple de 2π près, nous convenons de toujourschoisir un angle 0 ď θ ă 2π. Par ailleurs l’angle θ n’est pas défini si px, yq “ p0, 0q.

La coordonnée r est toujours positive.

En utilisant la trigonométrie, il est facile de trouver le changement de variable qui donne px, yqen fonction de pr, θq :

"x “ r cospθq (16.397a)y “ r sinpθq. (16.397b)

16.7.1.1 Transformation inverse : théorie

Voyons la question inverse : comment retrouver r et θ si on connait x et y ? Tout d’abord,r “

ax2 ` y2 (16.398)

parce que la coordonnée r est la distance entre l’origine et px, yq. Comment trouver l’angle ? Noussupposons px, yq ‰ p0, 0q. Si x “ 0, alors le point est sur l’axe vertical et nous avons

θ “#π2 si y ą 03π2 si y ă 0

(16.399)

Notez que si y ă 0, conformément à notre convention θ ě 0, nous avons noté 3π2 et non ´π

2 .Supposons maintenant le cas général avec x ‰ 0. Les équations (16.397) montrent que

tanpθq “ y

x. (16.400)

Nous avons doncθ “ tan´1

´yx

¯. (16.401)

La fonction inverse de la fonction tangente est celle définie plus haut.

1014 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

16.7.1.2 Transformation inverse : pratique

Le code suivant utilise Sage.

1 # ! / usr / bin / sage - python2 # -* - coding : utf8 -* -3

4 from sage. all import *5

6 def PointToPolaire(x,y):7 x=SR(x)8 y=SR(y)9 r = sqrt(x**2+y**2)

10 if x == 0:11 if y > 0:12 alpha = pi/213 if y < 0:14 alpha = 3*pi/215 if y == 0 :16 raise ValueError ," Pas d ’ angle pour le point (0 ,0) !! "17 else :18 alpha = atan(y/x)19 if (x < 0) and (y == 0) :20 alpha = pi21 if (x < 0) and (y > 0) :22 alpha = alpha + pi23 if (x < 0) and (y < 0 ) :24 alpha = alpha + pi25 alpha=alpha.simplify_trig ()26 return (r,alpha)27

28 print PointToPolaire (1,1)29 print PointToPolaire (-2,1)30 print PointToPolaire (6* sqrt (3)/2,3)

tex/frido/calculAngle.py

Son exécution retourne :(sqrt(2), 1/4*pi)(sqrt(5), pi - arctan(1/2))(6, 1/6*pi)

Notez que ce sont des valeurs exactes. Ce ne sont pas des approximations, Sage travaille de façonsymbolique.

Voici un tableau qui rappelle les valeurs à retenir pour les fonctions sinus, cosinus et tangente.

x sinpxq cospxq tanpxq0 0 1 0π6 12 ?

32 ?33

π6 12 ?32 ?

33π4 ?

22 ?22 1

π3 ?32 12 ?

3π2 1 0 N.D.

où «N.D.» signifie «non défini».Rappelons le graphe de la fonction sinus :

16.7. COORDONNÉES POLAIRES 1015

´52 π ´2 π ´3

2 π ´π ´12 π 1

2 π π 32 π 2 π 5

2 π

´1

1

celui de la fonction cosinus :

´52 π ´2 π ´3

2 π ´π ´12 π 1

2 π π 32 π 2 π 5

2 π

´1

1

Lemme 16.132.Pour toute valeur de x P R on a | sinpxq| ď |x|.Démonstration. Nous séparons des cas en fonction des valeurs.

— Si 0 ď x ď π2 alors le sinus de x est la longueur du cathète verticale du triangle rectanglede sommets O “ p0, 0q, A “ pcospxq, sinpxqq et B “ pcospxq, 0q. Le triangle de sommets A,B et C “ p1, 0q est aussi rectangle et nous savons que chacun des cathètes ne peut pas êtreplus long que l’hypoténuse. Donc sinpxq est inférieur à la longueur du segment AC. À sontour le segment AC ne peut pas être plus long que l’arc de cercle ŐA0C, car le chemin le pluscourt entre deux points du plan est toujours donné par un morceau de droite. La longueurde l’arc de cercle " AC est par définition la mesure en radiants de l’angle zAOC, qui est xet on a l’inégalité sinpxq ď x.

— Si ´π2 ď x ď 0 le même raisonnement que au point précédent permet de conclure quesinpxq ď |x|.

— Nous savons par ailleurs que la fonction sinus prend ses valeurs dans l’intervalle r´1, 1s etdonc pour tout x tel que |x| ě π2 ” 1, 57 . . . on a forcement | sinpxq| ď |x|.

16.7.2 Coordonnées polaires comme changement de variables pour intégrales

Le théorème 13.224 manque un peu d’exemples. Nous allons en voir quelque uns maintenant.

Exemple 16.133Coordonnées polaires : On veut évaluer l’intégrale de la fonction fpx, yq “ x2`y2 sur la régionV suivante :

V “ tpx, yq P R2 |x2 ` y2 ď 1, x ą 0, y ą 0u.On peut faire le calcul directement,

ż

Vfpx, yq dV “

ż 1

0

ż ?1´x2

0x2 ` y2 dy dx “

ż 1

0x2a

1´ x2 ` p1´ x2q32

3 dx

mais c’est un peu ennuyeux. On peut simplifier beaucoup les calculs avec un changement devariables vers les coordonnées polaires. Dans ce cas, on sait bien que le difféomorphisme à utiliserest φpr, θq “ pr cos θ, r sin θq. Le jacobien Jφ est

Jφpr, θq “ˇˇ cos θ sin θ´r sin θ r cos θ

ˇˇ “ r, (16.402)

1016 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

qui est toujours positif. La fonction f peut s’écrire comme fpφpr, θqq “ r2 et φ´1pV q “s0, 1sˆs0, π2r.La formule du changement de variables nous donne

ż

Vfpx, yq dV “

ż π2

0

ż 1

0r3dr dθ “

ż π2

0

14 dθ “

π

8 .

4

Exemple 16.134Coordonnées cylindriques : On veut calculer le volume de la région A définie par l’intersectionentre la boule unité et le cylindre qui a pour base un disque de rayon 12 centré en p0, 12q

A “ tpx, y, zq P R3 |x2 ` y2 ` z1 ď 1u X tpx, y, zq P R3 |x2 ` py ´ 12q2 ď 14u.

On peut décrire A en coordonnées cylindriques

A “!pr, θ, zq Ps0,`8rˆr´π, πrˆR |

´ π2 ă θ ă π, 0 ă r ď sin θ, ´a

1´ r2 ď z ďa

1´ r2).

(16.403)

Le jacobien de ce changement de variables, Jcyl, est

Jcylpr, θq, z “ˇˇˇ

cos θ sin θ 0´r sin θ r cos θ 0

0 0

ˇˇˇ “ r, (16.404)

qui est toujours positif. Le volume de A est doncż

R3χApx, y, zq dV “

ż π2

´π2

ż sin θ

0

ż ?1´r2

´?1´r2rdz dr dθ “ 2π

8 ` 89 .

4

Exemple 16.135Volume d’un solide de révolution : Soit g : ra, bs Ñ R` une fonction continue et positive. Ondit que le solide A décrit par

A “!px, y, zq P R3 | z P ra, bs,

ax2 ` y2 ď g2pzq

)

est un solide de révolution. Afin de calculer son volume, on peut décrire A en coordonnées cylin-driques,

A “ pr, θ, zq Ps0,`8rˆr´π, πrˆR | a ď z ď b, 0 ă r2 ď g2pzq( .Le jacobien de ce changement de variables est Jcyl “ r, comme dans l’exemple précédent. Levolume de A est donc

ż

R3χApx, y, zq dV “

ż b

a

ż π

´π

ż gpzq

0r dr dθ dz “

ż b

aπg2pzq dz.

Cette formule peut être utilisée pour tout solide de révolution. 4

Exemple 16.136Coordonnées sphériques : On veut calculer le volume du cornet de glace A

A “!px, y, zq P R3 | px, yq P S2,

ax2 ` y2 ď z ď

a1´ x2 ´ y2

).

16.7. COORDONNÉES POLAIRES 1017

On peut décrire A en coordonnées sphériques.

A “ tpρ, θ, φq Ps0,`8rˆr´π, πrˆr0, πr | 0 ă φ ď π4, 0 ă ρ ď 1u.

Le jacobien de ce changement de variables Jsph est

Jsphpρ, θ, φq “ˇˇˇ

cos θ sinφ sin θ sinφ cosφ´ρ sin θ sinφ ρ cos θ sinφ 0ρ cos θ cosφ ρ sin θ cosφ ´ρ sinφ

ˇˇˇ “ ρ2 sinφ, (16.405)

Le volume de A est doncż

R3χApx, y, zq dV “

ż π

´π

ż π4

0

ż 1

0ρ2 sinφdρ dφ dθ “ 2π

3

ˆ1´ 1?

2

˙.

4

16.7.3 Changement de variables

Le domaine E “ tpx, yq P R2 tel que x2`y2 ă 1u s’écrit plus facilement E “ tpr, θq tel que r ă1u en coordonnées polaires. Le passage aux coordonnées polaire permet de transformer une inté-gration sur un domaine rond à une intégration sur le domaine rectangulaire s0, 2πr ˆ s0, 1r. Laquestion est évidement de savoir si nous pouvons écrire

ż

Ef “

ż 2π

0

ż 1

0fpr cos θ, r sin θqdrdθ. (16.406)

Hélas, non ; la vie n’est pas aussi simple.

Théorème 16.137.Soit g : A Ñ B un difféomorphisme. Soient F Ă B un ensemble mesurable et borné et f : F Ñ R

une fonction bornée et intégrable. Supposons que g´1pF q soit borné et que Jg soit borné sur g´1pF q.Alors ż

Ffpxqdy “

ż

g´1pF qf`gpxq

˘ |Jgpxq|dx (16.407)

Pour rappel, Jg est le déterminant de la matrice jacobienne (aucun lien de parenté) donnéepar

Jg “ detˆBxg1 Byg1Bxg2 Btg2

˙. (16.408)

Un difféomorphisme est une application g : A Ñ B telle que g et g´1 : B Ñ A soient de classeC1.

16.7.3.1 Coordonnées polaires

Les coordonnées polaires sont données par le difféomorphisme

g : s0,8r ˆ s0, 2πr Ñ R2zDpr, θq ÞÑ `

r cospθq, r sinpθq˘ (16.409)

où D est la demi droite y “ 0, x ě 0. Le fait que les coordonnées polaires ne soient pas undifféomorphisme sur tout R2 n’est pas un problème pour l’intégration parce que le manque dedifféomorphisme est de mesure nulle dans R2. Le jacobien est donné par

Jg “ detˆBrx BθxBry Bθy

˙“ det

ˆcospθq ´r sinpθqsinpθq r cospθq

˙“ r. (16.410)

1018 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

‚P

Figure 16.9 – Passage en polaire pour intégrer sur un morceau de cercle.

Exemple 16.138Montrons comment intégrer la fonction fpx, yq “ a

1´ x2 ´ y2 sur le domaine délimité par ladroite y “ x et le cercle x2`y2 “ y, représenté sur la figure 16.9. Pour trouver le centre et le rayondu cercle x2 ` y2 “ y, nous commençons par écrire x2 ` y2 ´ y “ 0, et ensuite nous reformons lecarré : y2 ´ y “ py ´ 1

2q2 ´ 14 .

Le passage en polaire transforme les équations du bord du domaine en

cospθq “ sinpθqr2 “ r sinpθq. (16.411)

L’angle θ parcours donc s0, π4r, et le rayon, pour chacun de ces θ parcours s0, sinpθqr. La fonctionà intégrer se note maintenant fpr, θq “ ?1´ r2. Donc l’intégrale à calculer est

ż π4

0

˜ż sinpθq

0

a1´ r2r rd

¸. (16.412)

Remarquez la présence d’un r supplémentaire pour le jacobien.Notez que les coordonnées du point P sont p1, 1q. 4

16.7.3.2 Coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques sont données par$&%

x “ r cos θ sinϕ r P s0,8ry “ r sin θ sinϕ avec θ P s0, 2πrz “ r cosϕ φ P s0, πr.

(16.413)

Le jacobien associé est Jgpr, θ, ϕq “ ´r2 sinϕ. Rappelons que ce qui rentre dans l’intégrale est lavaleur absolue du jacobien.

Si nous voulons calculer le volume de la sphère de rayon R, nous écrivons doncż R

0dr

ż 2π

0dθ

ż π

0r2 sinpφqdφ “ 4πR “ 4

3πR3. (16.414)

Ici, la valeur absolue n’est pas importante parce que lorsque φ P s0, π, r, le sinus de φ est positif.Des petits malins pourraient remarquer que le changement de variable (16.413) est encore une

paramétrisation de R3 si on intervertit le domaine des angles :

θ : 0 Ñ π

φ : 0 Ñ 2π,(16.415)

alors nous paramétrons encore parfaitement bien la sphère, mais hélasż R

0dr

ż π

0dθ

ż 2π

0r2 sinpφqdφ “ 0. (16.416)

16.7. COORDONNÉES POLAIRES 1019

Pourquoi ces «nouvelles» coordonnées sphériques sont-elles mauvaises ? Il y a que quand l’angleφ parcours s0, 2πr, son sinus n’est plus toujours positif, donc la valeur absolue du jacobien n’estplus r2 sinpφq, mais r2 sinpφq pour les φ entre 0 et π, puis ´r2 sinpφq pour φ entre π et 2π. Doncl’intégrale (16.416) n’est pas correcte. Il faut la remplacer par

ż R

0dr

ż π

0dθ

ż π

0r2 sinpφqdφ´

ż R

0dr

ż π

0dθ

ż 2π

πr2 sinpφqdφ “ 4

3πR3 (16.417)

16.7.4 Coordonnées polaires

Soit T la fonction de s0,`8rˆR dans R2ztp0, 0qu définie parT : s0,`8rˆR Ñ R2ztp0, 0qu

pr, θq ÞÑ pr cos θ, r sin θq, (16.418)

Cette fonction est surjective. Elle est bijective sur chaque bande de la forme s0,`8rˆra´π, a`πr. Sia “ 0 l’inverse de T est la fonction T´1px, yq “ pax2 ` y2, arctgpyxqq. Soit P “ px, yq un élémentdans R2, on dit que r “ a

x2 ` y2 est le rayon de P et que θ “ arctgpyxq est son argumentprincipal. L’origine ne peut pas être décrite en coordonnées polaires parce que si son rayon estmanifestement zéro, on ne peut pas lui associer une valeur univoque de l’angle θ.

Exemple 16.139L’équation du cercle de rayon a et centre p0, 0q en coordonnées polaires est r “ a. 4

Exemple 16.140Une équation possible pour la demi-droite x “ y, x ą 0, est θ “ π4. 4

16.7.5 Coordonnées cylindriques

Soit T la fonction de s0,`8rˆR2 dans R3ztp0, 0, 0qu définie parT : s0,`8rˆRˆR Ñ R3ztp0, 0, 0qu

pr, θ, zq ÞÑ pr cos θ, r sin θ, zq, (16.419)

Cette fonction est surjective. Elle est bijective sur chaque bande de la forme s0,`8rˆra´ π, a`πrˆR, a dans R. Il n’y a presque rien de nouveau par rapport aux coordonnées polaires. Lescoordonnées cylindriques sont intéressantes si on décrit un objet invariant par rapport aux rotationsautour de l’axe des z.

Exemple 16.141Il faut savoir ce que décrivent les équations les plus simples en coordonnées cylindriques,

— r ď a, pour a constant dans s0,`8r, est le cylindre de hauteur infinie qui a pour axe l’axedes z et pour base le disque de rayon a centré à l’origine,

— r “ a est la surface du cylindre,— θ “ b est un demi-plan ouvert et sa fermeture contient l’axe des z,— z “ c est un plan parallèle au plan x-y.

4

Exemple 16.142Un demi-cône qui a son sommet en l’origine et pour axe l’axe des z est décrit par z “ dr. Si d estpositif il s’agit de la moitié supérieure du cône, si d ă 0 de la moitié inférieure. 4

Exemple 16.143De même, la sphère de rayon a et centrée à l’origine est l’assemblage des calottes z “ ?a2 ´ r2 etz “ ´?a2 ´ r2. 4

1020 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

16.7.6 Coordonnées sphériques

Soit T la fonction de s0,`8rˆR2 dans R3ztp0, 0, 0qu définie par

T : s0,`8rˆRˆR Ñ R3ztp0, 0, 0qupρ, θ, φq ÞÑ pρ cos θ sinφ, ρ sin θ sinφ, ρ cosφq, (16.420)

Cette fonction est surjective. Elle est bijective sur chaque bande de la forme s0,`8rˆra´ π, a`πrˆrb ´ π2, b ` π2r, a et b dans R. Si a “ 0 et b “ ´π2 la fonction inverse T´1 est donnéedonnée

T : R3ztp0, 0, 0qu Ñ s0,`8rˆr´π, πrˆr0, πrpx, y, zq ÞÑ

ˆax2 ` y2 ` z2, arctg y

x , arccosˆ

z?x2`y2`z2

˙˙.

(16.421)

Soit P un point dans R3. L’angle φ est l’angle entre le demi-axe positif des z et le vecteur ÝÝÑOP , ρest la norme de ÝÝÑOP et θ est l’argument en coordonnées polaires de la projection de ÝÝÑOP sur le planx-y.

Remarque 16.144.Dans la littérature, les angles θ et φ sont parfois inversés (voire, changent de nom, par exempleϕ au lieu de φ). Il faut donc être très prudent lorsqu’on veut utiliser dans un cours des formulesdonnées dans un autre cours.

Exemple 16.145Il faut connaître le sens des équations plus simples,

— ρ ď a, pour a constant dans s0,`8r, est la boule fermée de rayon a centrée à l’origine,— ρ “ a est la sphère de rayon a centrée à l’origine,— θ “ b est un demi-plan ouvert et sa fermeture contient l’axe des z,— φ “ c est un demi-cône qui a son sommet à l’origine et pour axe l’axe des z. Si c est positif

il s’agit de la moitié supérieure du cône, si d ă 0 de la moitié inférieure.

4

16.7.7 Coordonnées cylindriques et sphériques

Les coordonnées cylindriques sont un perfectionnement des coordonnées polaires. Il s’agitsimplement de donner le point px, y, zq en faisant la conversion px, yq ÞÑ pr, θq et en gardant le z.Les formules de passage sont

$’&’%

x “ r cospθq (16.422a)y “ r sinpθq (16.422b)z “ z. (16.422c)

Les coordonnées sphériques sont ce qu’on appelle les «méridiens» et «longitudes» en géo-graphie. Les formules de transformation sont

$’&’%

x “ ρ sinpθq cospϕq (16.423a)y “ ρ sinpθq sinpϕq (16.423b)z “ ρ cospθq (16.423c)

avec 0 ď θ ď π et 0 ď ϕ ă 2π.

Remarque 16.146.Attention : d’un livre à l’autre les conventions sur les noms des angles changent. N’essayez doncpas d’étudier par cœur des formules concernant les coordonnées sphériques trouvées autre part.

16.7. COORDONNÉES POLAIRES 1021

Par exemple sur le premier dessin de wikipédia, l’angle ϕ est noté θ et l’angle θ est noté Φ. Maisvous noterez que sur cette même page, les convention de noms de ces angles changent plusieursfois.

Trouvons le changement inverse, c’est à dire trouvons ρ, θ et ϕ en termes de x, y et z. D’abordnous avons

ρ “ax2 ` y2 ` z2. (16.424)

Ensuite nous savons quecospθq “ z

ρ(16.425)

détermine de façon unique 22 un angle θ P r0, πs. Dès que ρ et θ sont connus, nous pouvons poserr “ ρ sin θ et alors nous nous trouvons avec les équations

"x “ r cospϕq (16.426a)y “ r sinpϕq, (16.426b)

qui sont similaires à celles déjà étudiées dans le cas des coordonnées polaires.

16.7.8 Récapitulatif des changements de variables

En pratique, nous retiendrons les formules suivantes :

16.7.8.1 Coordonnées polaires

"x “ r cos θ (16.427a)y “ r sin θ (16.427b)

avec r P s0,8r et θ P r0, 2πr. Le jacobien vaut r.

16.7.8.2 Coordonnées cylindriques

$’&’%

x “ r cos θ (16.428a)y “ r sin θ (16.428b)z “ z (16.428c)

avec r P s0,8r, θ P r0, 2πr et z P R. Le jacobien vaut r.

16.7.8.3 Coordonnées sphériques

$’&’%

x “ ρ cos θ sinφ (16.429a)y “ ρ sin θ sinφ (16.429b)z “ ρ cosφ (16.429c)

avec ρ P s0,8r, θ P r0, 2πr et φ P r0, πr. Le jacobien vaut ´ρ2 sinpφq.N’oubliez pas que lorsqu’on effectue un changement de variables dans une intégrale, la valeur

absolue du jacobien apparaît.Cependant notre convention de coordonnées sphériques fait venir sinpφq avec φ P r0, πr ; vu que

le signe de sinpφq y est toujours positif, cette histoire de valeur absolue est sans grandes conséquent.Ce n’est pas le cas de toutes les conventions possibles.

22. Le problème ρ “ 0 ne se pose pas ; pourquoi ?

1022 CHAPITRE 16. TRIGONOMÉTRIE, ISOMÉTRIES

16.7.9 une limite

Proposition 16.147.Nous avons la limite

limxÑ0

sinpxqx

“ 1. (16.430)

Démonstration. On commence par observer que la fonction gpxq “ sinpxqx est un rapport entre deux

fonction impaires et est donc une fonction paire. Nous pouvons alors nous réduire à considérer lecas où x est positif. La première étape de cette preuve nous dit que gpxq ď 1 pour tout x P R`,˚.

Nous voulons étudier le comportement de g dans un voisinage de 0. Nous pouvons alors supposerque x soit inférieur à π2. SoitD “ p1, tanpxqq. On voit très bien dans le dessin que l’aire du trianglede sommets O, D et C est supérieure à l’aire du secteur circulaire de sommets O, A et C. Cesdeux aires peuvent être calculées très facilement et nous obtenons

sinpxq2 cospxq ě

x

2 .

À partir de cette dernière inégalité nous pouvons écrire

1 ě sinpxqx

ě cospxq.

En prenant la limite lorsque x tend vers 0 dans les trois membres de l’inégalité la règle de l’étaunous permet d’obtenir la limite remarquable (16.430).

Chapitre 17

Représentations et caractères

17.1 Représentations et caractères

Définition 17.1.Une représentation est fidèle si elle est injective en tant que application GÑ GLpV q. Ce ne sontpas chacun des ρpgq qui doivent être injectifs. La dimension de V est le degré de la représentationpV, ρq.Définition 17.2.Si G est un groupe, l’ensemble des homomorphismes HompG,C˚q est un groupe pour la multipli-cation. Un élément de HompG,C˚q est un caractère abélien. Le nom «abélien» vient du fait quele caractère prenne ses valeurs dans C˚. Nous notons G “ HompG,C˚q.Théorème 17.3.Soit G un groupe abélien fini. Alors G est isomorphe à G.

L’isomorphisme n’est pas canonique.

Démonstration. Étant donné la structure des groupes abéliens finis donnée par le théorème 8.24,nous commençons par nous concentrer sur G “ ZnZ. Nous allons montrer que

HompZnZq » Un “ tξ P C tel que ξn “ 1u. (17.1)

Pour cela nous avons l’isomorphisme

ψ : HompZ,C˚q Ñ C˚

f ÞÑ fp1q. (17.2)

Notons que si f P HompZ,C˚q, alors fpkq “ fp1qk, donc ψ est bien un isomorphisme. Cela nousamène à définir

ϕ : Hom´pZnZ,`q, pC˚n· q

¯Ñ Un

g ÞÑ fp1q.(17.3)

Remarquons que pour tout f P HompZnZ,C˚q on a bien fp1qn “ 1. En effet si rks P ZnZ, alorsf`rks˘ “ fp1qk et en particulier

fp1qn “ fprnsq “ fp0q “ 1. (17.4)

Donc fp1q P Un. Le ϕ est injective parce que si fp1q “ gp1q alors f “ g du fait que fpkq “ fp1qk “gp1qk “ gpkq.

Nous en sommes à avoir prouvé que ˆZnZ » Un. Il faudrait encore montrer que Un » ZnZ.Pour cela nous nous rappelons du lemme 3.98 nous ayant raconté que le groupe Un des racines del’unité était cyclique et d’ordre n. Il est donc bien isomorphe à ZnZ.

1023

1024 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Passons au cas oùG » Zd1Zˆ Zd2Zˆ . . .ˆ ZnkZ. (17.5)

Dans ce cas nous montrons que

α :ką

i“1HompZdiZ,C˚q Ñ HompG,C˚q

αpχ1, . . . , χkqpg1, . . . , gkq “ χ1pg1q . . . χkpgkq.(17.6)

Ce α est injectif parce qu’en appliquant l’égalité

αpχ1, . . . , χkq “ αpχ11, . . . , χ1kq (17.7)

à l’élément g “ p9, . . . , 1, . . . , 0q alors nous trouvons χip1q “ χ1ip1q parce que χjp0q “ 1. Du coupχi “ χ1i.

L’application α est en plus surjective. En effet si χ P HompG,C˚q, alors nous définissonsχipgiq “ χp0, . . . , gi, . . . , 0q, (17.8)

et nous avons alors αpχ1, . . . , χkq “ χ.Nous devons encore montrer que α est un homomorphisme. Si χ, χ1 P Śk

i“1 HompFdi ,C˚q,alors

αpχχ1qpg1, . . . , gkq “ pχ1χ11qpg1q . . . pχkχ1kqpgkq (17.9a)

“ χ1pg1q . . . χkpgkqχ11pg1q . . . χ1kpgkq (17.9b)“ αpχqpg1, . . . , gkqαpχ1qpg1, . . . , gkq (17.9c)“ `

αpχqαpχ1q˘pg1, . . . , gkq. (17.9d)

Donc αpχχ1q “ αpχqαpχ1q.Théorème 17.4.Soit G un groupe abélien fini. Les groupes G et ˆ

G sont isomorphes et un isomorphisme canoniqueest donné par α : g ÞÑ fg donné par

fgpχq “ χpgq. (17.10)

Démonstration. D’abord fg est bien un caractère de G parce que

fgpχχ1q “ pχχ1qpgq “ χpgqχ1pgq “ fgpχqfgpχ1q. (17.11)

Le fait que α soit un homomorphisme de groupes est direct :

fgg1pχq “ χpgg1q “ χpgqχpg1q “ fgpχqfg1pχq “ pfgfg1qpχq. (17.12)

D’autre part nous savon que G et ˆG ont le même cardinal. Il suffit donc de prouver l’injectivité

de α pour être sûr de la bijectivité. Pour cela nous devons prouver que si g ‰ e alors fg ‰ fe. Noussavons que pour tout caractère χ P G, fepχq “ χpeq “ 1. Donc pour tout g P Gzteu, nous devonstrouver χ P G tel que χpgq ‰ 1.

En vertu de ce que nous connaissons sur la structure des groupes abéliens finis (théorème 8.24),nous commençons G “ ZnZ et considérons le caractère donné par χpr1sq “ e2iπn. Ce χ est unisomorphisme entre G et Upnq ; nous n’avons χprksq “ 0 que si rks “ rns “ r0s. Pour rappel dansZnZ, le neutre est e “ 0 et non e “ 1.

Passons au cas général :G » Zn1Zˆ . . .ˆ ZnkZ (17.13)

Si g “ pg1, . . . , gkq est non nul dans G, alors il existe i tel que gi ‰ 0 et on prend

χpg1, . . . , gkq “ χipgiq (17.14)

où χi est le caractère χipr1sq “ e2πini . Ce χ est alors un caractère non trivial de G.

17.1. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES 1025

17.1.1 Crochet de dualité et transformée de Fourier

Si G est un groupe abélien, nous définissons le crochet de dualité entre G et G par

x., .y : Gˆ GÑ C˚

xg, χy “ χpgq. (17.15)

Notons que l’image de ce crochet n’est pas C˚ entier, mais seulement le groupe unitaire Upnq oùn est l’exposant 1 de G.

Si f, g sont des applications de G dans C, alors on leur associe le produit scalaire

xf, gy “ 1|G|

ÿ

sPGfpsqgpsq. (17.16)

Lemme 17.5.Les caractères de G forment une base orthonormée de CG pour ce produit scalaire.

Démonstration. Étant donné que les χpsq sont des nombres complexe de module 1, nous avonsχpsqχpsq “ 1 et par conséquent xχ, χy “ 1.

Si par contre χ ‰ χ1, alors il existe sPG tel que χps0q ‰ χ1ps0q. Dans ce cas en effectuant unchangement de variable sÑ s0s dans la sommation,

xχ, χ1y “ 1|G|

ÿ

sPGχpsqχ1psq (17.17a)

“ 1|G|

ÿ

sPGχps0sqχ1ps0sq (17.17b)

“ 1|G|χps0qχ1ps0q

ÿ

sPGχpsqχ1psq. (17.17c)

Donc nous avons trouvéxχ, χ1y`1´ χps0qχ1ps0q

˘ “ 0. (17.18)Mais vu que χps0q ‰ χps10q, la parenthèse est non nulle (pour rappel χps0q est un complexe demodule 1) et par conséquent xχ, χ1y “ 0.

Nous déduisons immédiatement que les caractères forment une famille libre parce que siři χi “

0 (la somme est sur tous les caractères), alors en prenant le produit scalaire avec χk,ÿ

i

aixχk, χiy “ 0, (17.19)

et donc ak “ 0.Les caractères forment donc un système libre orthonormé. De plus l’espace engendré à la bonne

dimension parce que le cardinal de l’ensemble des caractères est la dimension (complexe) de l’espacedes fonction de G dans C parce que, en utilisant l’isomorphisme entre G et G,

Card G “ CardpGq “ dimCCG. (17.20)

La première

Du fait que les caractères forment une base orthonormée, nous pouvons écrire, pour touteapplication f : GÑ C,

f “ÿ

χPGxχ, fyχ. (17.21)

À une fonction f : GÑ C nous associons la transformée de Fourier

f : GÑ C

χ ÞÑ xχ, fy. (17.22)

1. Définition 3.15.

1026 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Nous avons donc aussi une espèce de formule d’inversion

f “ÿ

χPGfpχqχ (17.23)

qui n’est qu’une réécriture de 17.21.

17.1.2 Groupes non abéliens

Nous avons vu que le groupe des caractères G contenait toute l’information sur un groupeabélien. Malheureusement, pour les groupes non abéliens, ça ne va pas suffire, et nous allonsintroduire la notion de représentations, dont les caractères seront un cas particulier de dimensionun.

Proposition 17.6.Soit G un groupe (pas spécialement abélien). Nous avons

G » Hom`GDpGq,C˚˘. (17.24)

Démonstration. Ce qui fait fonctionner la preuve est le fait que si f : G Ñ C˚ est un homomor-phisme, alors f s’annule sur DpGq. L’isomorphisme est

ψ : GÑ Hom`GDpGq,C˚˘

ψpfqrgs “ fpgq. (17.25)

Cette application est bien définie parce que si f est un homomorphisme,

fpgklk´1l´1q “ fpgq. (17.26)

D’autre part ψ est un homomorphisme de groupe parce que

ψpf1f2qrgs “ pf1f2qpgq “ f1pgqf2pgq “ ψpf1qrgsψpf2qrgs “`ψpf1qψpf2q

˘rgs. (17.27)

Pour l’injectivité de ψ, soit f1 et f2 telles que ψpf1q “ ψpf2q. Alors pour tout g P G nous avons

ψpf1qrgs “ ψpf2qrgs (17.28)

et donc f1pgq “ f2pgq.Enfin ψ est surjective. En effet, soit f P Hom

`GDpGq,C˚˘. Alors nous obtenons ψpfq “ f en

posantfpgq “ f rgs. (17.29)

Il faut juste vérifier que le f ainsi défini est dans G, c’est à dire que fpg1g2q “ fpg1qfpg2q.Cette proposition nous montre que

G “ GDpGq, (17.30)

alors que GDpGq est abélien ; il n’est donc pas tellement possible que G contienne beaucoupd’informations intéressantes sur G.

17.1.3 Représentations linéaires des groupes finis

Si dimV “ 1, alors GLpV q “ C˚ et les représentation sont les caractères abéliens.

Exemple 17.7Considérons le triangle équilatéral A,B,C, par exemple donné par les points

$’’’’’’&’’’’’’%

A “ 1 (17.31a)

B “ p´12 ,?

32 q (17.31b)

C “ p´12 ,´

?3

2 q (17.31c)

(17.31d)

17.1. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES 1027

Dans la base (pas orthonormée) tA,Bu de R2, ces trois points sont donnés par

A “ˆ

10

˙B “

ˆ01

˙C “

ˆ´1´1

˙. (17.32)

Le groupe symétrique S3 agit sur le triangle par permutation des sommets. Vues dans la basetA,Bu, les transpositions correspondent aux matrices

pA,Bq ш

0 11 0

˙(17.33a)

pA,Cq ш´1 0´1 1

˙(17.33b)

pB,Cq ш

1 ´10 ´1

˙. (17.33c)

La permutation pA,B,Cq s’écrit comme pA,B,Cq “ pA,CqpA,Bq et on lui associe la matrice

pA,B,Cq ш

0 ´11 ´1

˙. (17.34)

C’est bien le produit des matrices de pA,Cq et de pA,Bq. De la même façon nous avons

pBACq ă `` ą (17.35)

<++> 4

Si pV, ρq et pV 1, ρ1q sont deux représentations du groupe G, alors nous définissons la sommedirecte par

`V ‘ V 1, ρ‘ ρ1˘ donné par

pρ‘ ρ1qpgq “ˆρpgq 0

0 ρ1pgq˙P GLpV ‘ V 1q. (17.36)

Nous noterons souvent 2V pour la représentations pV, ρq‘pV, ρq et plus généralement l’écriture

V “ài

kiWi (17.37)

signifiera la représentation somme de ki termes de la représentation Wi. Ici encore un abus estcommis entre la représentation pρi,Wiq et l’espace Wi.

17.1.4 Module

Nous considérons la C-algèbre GrCs des combinaisons (formelles) d’éléments de G à coefficientsdans G, c’est à dire l’ensemble

CrGs “ tÿ

sPGassu (17.38)

avec le produit hérité de la bilinéarité :ÿ

sPG

ÿ

tPGasbtst “

ÿ

s

ÿ

t

asbs´1tt, (17.39)

et la sommepÿ

s

assq `ÿ

t

btt “ÿ

sPGpas ` bsqs. (17.40)

Le tout est une C-algèbre agissant sur V par˜ÿ

s

ass

¸v “

ÿ

sPGasρpsqv P V (17.41)

Les sous-modules indécomposables seront les représentations irréductibles.

1028 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Définition 17.8.La représentation pV, ρq du groupe G est irréductible si les seuls sous-espaces invariants de Vsous ρpGq sont V et t0u.

Exemple 17.9La représentation de S3 sur R2 donnée par les permutations des sommets d’un triangle équilatéraldonnée dans l’exemple 17.7 est irréductible. 4

La question qui vient est de savoir si une représentation possédant des sous-espaces invariantspeut être écrite comme la somme de représentations irréductibles.

Proposition 17.10.Soit pV, ρq une représentation linéaire de dimension finie d’un groupe fini 2. Si W1 est un sous-espace stable 3, alors il existe un sous-espace W2 également stable et tel que V “W1 ‘W2.

Toute représentation linéaire est décomposable en représentations irréductibles.

Démonstration. Soit P : V Ñ V un projecteur sur W1, c’est à dire que P 2 “ P et P pV q “ W1.Pour construire un tel projecteur, on peut par exemple prendre un supplémentaire de W1 dans Vpuis utiliser la décomposition 4. Nous considérons l’opérateur

PG “ 1|G|

ÿ

gPGρpgq ˝ P ˝ ρpgq´1. (17.42)

Prouvons que ce PG est encore un projecteur. D’abord pour tout g P G nous avons

ρpgqPGρpgq´1 “ 1|G|

ÿ

sPGρpgsqPρpgsq´1 “ PG. (17.43)

La dernière égalité est un changement de variables dans la somme 5. Cela signifie que PGρ “ ρPG.Nous avons même PGP “ P parce que si v PW1, alors

PGpvq “ 1|G|

ÿ

sPGρpsqP ρpsq´1vlooomooon

PW1

(17.44a)

“ 1|G|

ÿ

s

ρpsqρpsq´1v (17.44b)

“ v. (17.44c)

Avec cela nous pouvons conclure que P 2G “ PG parce que

PG ˝ PG “ 1|G|

ÿ

g

PGρpgqPρpgq´1 (17.45a)

“ 1|G|

ÿ

g

ρpgqPGPρpgq´1 (17.45b)

“ 1|G|

ÿ

g

ρpgqPρpgq´1 (17.45c)

“ PG. (17.45d)

Donc PG est un projecteur, est stable sous les conjugaisons par ρpgq et commute avec ρpgq. Nousdécomposant Id de façon évidente en

Id “ PG ` pId´PGq. (17.46)2. La démonstration marche aussi pour les groupes compacts, mais il faudrait des intégrales.3. c’est à dire si ρ n’est pas irréductible.4. Ou encore prendre une base de W1, l’étendre en une base de V et définir P comme l’annulation des coefficients

des vecteurs «complétant» la base.5. Et c’est ça qui demande un peu de technique pour écrire la preuve dans le cas d’un groupe compact : il faut

une mesure de Haar.

17.1. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES 1029

Étant donné que l’opérateur PG commute avec tous les ρpgq, les noyaux de PG et Id´PG sont dessous-espaces invariants. Vu que PG est un projecteur, nous avons qpPGq “ 0 avec qpXq “ X2´X.Pour appliquer le lemme des noyaux (théorème 9.102), nous remarquons que qpXq “ XpX ´ 1q etdonc

V “ kerPG ‘ kerpPG ´ 1q. (17.47)

Si nous posons W2 “ kerPG, il reste à voir que kerpPG1q “W1. D’abord W1 Ă kerpPG´ Idq parceque si w PW1, ce dernier étant stable,

PGw “ 1|G|

ÿ

gPGρpgqP ρpgq´1wlooomooon

PW1

(17.48a)

“ 1|G|

ÿ

gPGw (17.48b)

“ w. (17.48c)

Pour prouver l’inclusion inverse, nous savons que PG et P sont des projecteurs tels que PGP “ P ,ce qui signifie que l’image de PG est inclue à celle de P , c’est à dire à W1. Mais ImagepPGq “kerp1´ PGq, donc

kerp1´ PGq “ ImagepPGq Ă ImagepP q “W1. (17.49)

La représentation ρ se décompose donc en deux sous-représentations pρ,W1q et ρ,W2. Si l’unedes deux n’est pas irréductible, le processus peut recommencer. Vu que la dimension de V est finie,toute représentation se décompose en une somme finie de représentation irréductibles.

17.1.5 Structure hermitienne

Soit pρ, V q une représentation de G sur un espace vectoriel complexe V . Nous voulons munirV d’un produit scalaire hermitien (définition 9.41) tel que les opérateurs ρpgq soient tous desisométries. C’est à dire que nous voudrions définir xu, vyG de telle sorte à avoir

xρpgqu, ρpgqvyG “ xu, vyG (17.50)

pour tout g P G. Nous commençons par considérer un produit hermitien x., .y quelconque et puisnous définissons

xu, vyG “ 1|G|

ÿ

gPGxρpgqu, ρpgqvy. (17.51)

Nous devons vérifier que c’est un produit. La seule des conditions dont la vérification n’est pasimmédiate est celle de positivité. Pour tout g P G et tout v P V , nous avons xρpgqv, ρpgqvy estpositif et nul si et seulement si ρpgqv “ 0. Étant donné que ρpeqv “ v, parmi les termes de lasomme

xu, uyG “ 1|G|

ÿ

gPGxρpgqv, ρpgqvy, (17.52)

au moins un est strictement positif (pourvu que v ‰ 0) ; les autres sont positifs ou nuls. Parconséquent xv, vyG “ 0 si et seulement si v “ 0.

Donc les groupes finis peuvent être vus comme des parties de groupes d’isométrie. De la mêmefaçon, en utilisant une mesure de Haar pour faire la moyenne, nous pouvons plonger les groupescompacts dans des groupes unitaires.

17.1.6 Caractères

Définition 17.11.Soit pV, ρq une représentation linéaire du groupe G. Le caractère de ρ est la fonction

χρ : GÑ C

s ÞÑ Tr`ρpsq˘. (17.53)

1030 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Par invariance cyclique de la trace, nous avons

χρpsts´1q “ χρptq, (17.54)

ce qui fait que le caractère est une fonction constante sur les classes de conjugaison.D’après sa fiche wikipédia, le marquis de Sade, passionné de théâtre, faisait des représentations qui avaient du caractère.

Un caractère irréductible est un caractère d’une représentation irréductible.

Définition 17.12.Une application f : GÑ C est centrale si elle est constante sur les classes de conjugaison.

Les traces sont des applications centrales.L’ensemble des fonctions centrales sur un groupe fini (ou tout au moins ayant un nombre fini

de classes de conjugaison) est un C-espace vectoriel de dimension égale au nombre de classes, etnous pouvons mettre le produit scalaire

xf, gy “ 1|G|

ÿ

sPGfpsqgpsq. (17.55)

C’est une forme hermitienne sur l’espace des fonction centrales.

17.2 Équivalence de représentations et caractèresCette section prend des éléments des articles lemme de Schur, caractère d’une représentation,

fonction centrale et trace de wikipédia.Nous disons que les deux représentations pV, ρq et pV 1, ρ1q sont équivalentes s’il existe une

bijection linéaire f : V Ñ V 1 telle que

f ˝ ρ “ ρ1 ˝ f. (17.56)

Nous disons alors que f entrelace ρ et ρ1.

Théorème 17.13 (Théorème de Schur).Si pV, ρq et pV 1, ρ1q sont des représentations irréductibles non équivalentes alors la seule applicationlinéaire f : V Ñ V 1 entrelaçant ρ et ρ1 est la fonction nulle.

En d’autres termes, soit les représentations sont équivalentes (et il y a un isomorphisme), soitil n’y a même pas un homomorphisme.

Démonstration. Soit f P LpV, V 1q telle que f ˝ρ “ ρ1 ˝f . Alors ker f est un sous-espace stable sousρpGq, et Imagepfq est un sous-espace de V 1 stable par ρ1pGq. Par irréductibilité, nous avons quekerpfq “ t0u ou V . Même chose pour Imagepfq. Il y a deux possibilités.

(1) Si kerpfq “ t0u, alors Imagepfq ‰ t0u et alors Imagepfq “ V 1. Du coup f est injective etsurjective, c’est à dire est un isomorphisme.

(2) Si kerpfq “ V , alors f “ 0.

Corollaire 17.14 (Schur pour les représentations sur C).Soit pV, ρq une représentation irréductible, alors l’ensemble

EndGpV, ρq “ tf P EndpV q tel que ρ ˝ f “ f ˝ ρu (17.57)

est l’ensemble des homothéties.

Démonstration. Soit f P EndGpV, ρq. Vu que l’espace est sur C, l’endomorphisme f a une valeurpropre λ. L’opérateur g “ f´λ1 est aussi un opérateur d’entrelacement de ρ alors que kerpgq ‰ t0upar définition de valeur propre. Du coup kerpgq “ V , ce qui signifie que f est l’isométrie de rapportλ : f “ λ Id.

17.2. ÉQUIVALENCE DE REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES 1031

Lemme 17.15.Si pρ, V q et pρ1, V 1q sont des représentations équivalentes de caractères χ et χ1, alors χ “ χ1.

Démonstration. Si A : V Ñ V 1 est un isomorphisme d’espace vectoriel entrelaçant ρ et ρ1, c’est àdire si pour tout g, ρ1pgqA “ Aρpgq, alors ρ1pgq “ AρpgqA´1 et

χ1pgq “ Tr`ρ1pgq˘ “ Tr

`AρpgqA´1˘ “ Tr

`ρpgq˘ (17.58)

parce que la trace est un invariant de similitude (lemme 9.135).

Lemme 17.16.Si χ est le caractère de la représentation complexe pV, ρq du groupe fini G, alors pour tout g P Gnous avons χpg´1q “ χpgq.Démonstration. Par le corollaire 3.55 au théorème de Lagrange, nous avons g|G| “ e et donc entant qu’opérateur, ρpgq|G| “ 1. Les valeurs propres de ρpgq sont donc des racines de l’unité. Sinous notons λi ces valeurs propres, alors χpgq “ ř

i λi, et en considérant la matrice dans sa basede diagonalisation (lemme de Schur complexe, 9.152), nous voyons que

χpg´1q “ Tr`ρpgq´1˘ “

ÿ

i

1λi. (17.59)

Mais λi étant une racine de l’unité nous avons 1λi“ λi, ce qui fait que

χpg´1q “ÿ

i

λi “ χpgq. (17.60)

Proposition 17.17.Soient deux représentations irréductibles complexes pV, ρq et pV 1, ρ1q du même groupe fini G, et χet χ1 leurs caractères respectifs. Nous avons

(1) xχ, χ1y “ 0 si ρ et ρ1 ne sont pas équivalentes.(2) xχ, χ1y “ 1 si les représentations sont équivalentes.

Démonstration. Nous considérons les bases te1, . . . , enu de V et tf1, . . . , fmu de V 1. Puis nousconsidérons la matrice F pk, lq “ Ekl PMm,npCq où pour rappel, Ekl est la matrice de composantespEklqij “ δkiδlj . Nous posons

FGpk, lq “ 1|G|

ÿ

gPGρpgq ˝ F pk, lq ˝ ρ1pgq´1. (17.61)

En nous permettant de ne pas réécrire les indices k et l de F et FG, nous montrons que FG entrelaceρ et ρ1 :

FG ˝ ρ1ptq “ 1|G|

ÿ

sPGρpsq ˝ F ˝ ρ1ps´1q ˝ ρptq (17.62a)

“ 1|G|

ÿ

s

ρpsqFρ1ps´1tq (17.62b)

“ 1|G|

ÿ

k

ρptkqFρ1pk´1q (17.62c)

“ 1|G|ρptq

ÿ

k

ρpkqFρ1pk´1q (17.62d)

“ ρptq ˝ FG. (17.62e)

Dans ce calcul nous avons effectué le changement de variables k “ ps´1tq´1 qui donne s “ tk.

1032 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Par ailleurs nous avons´ρpgqF pk, lqρ1pg´1q

¯ij“

nÿ

r“1

mÿ

s“1ρpgqirF pk, lqrsρ1pg´1qsj (17.63a)

“ÿ

rs

ρpgqirδkrδlsρ1pg´1qsj (17.63b)

“ ρpgqikρ1pg´1qlj , (17.63c)

et par conséquentFGpk, lqij “ 1

|G|ÿ

gPGρpgqikρ1pg´1qlj . (17.64)

Si χ et χ1 sont les caractères de ρ et ρ1, alors nous avons le produit (17.55) qui donne

xχ, χ1y “ 1|G|

ÿ

gPGχpgqχ1pgq (17.65a)

“ 1|G|

ÿ

g

χpgqχ1pg´1q lemme 17.16 (17.65b)

“ 1|G|

ÿ

g

nÿ

i“1

mÿ

j“1ρpgqiiρ1pg´1qjj (17.65c)

“ÿ

ij

FGpi, jqij par (17.64). (17.65d)

Si les représentations ρ et ρ1 ne sont pas équivalentes, le fait que FG en soit un opérateur d’entre-lacement implique par le théorème de Schur 17.13 que FG “ 0 et donc xχ, χ1y “ 0.

Si au contraire les représentation sont équivalentes, alors le lemme 17.15 nous dit que χ “ χ1et nous reprenons la définition :

xχ, χy “ 1|G|

ÿ

g

χpgqχpgq “ 1|G|

ÿ

gPG1 “ 1 (17.66)

parce que les nombres χpgq sont des racines de l’unité.

17.2.1 Représentation régulière

Nous notons λ la représentation régulière gauche, agissant sur le K-espace vectoriel desfonctions GÑ K par ´

λpgqf¯pgq “ fpg´1hq. (17.67)

D’autre part nous considérons les fonction δg : GÑ K (ici K est R ou C ou pire) définie par

δgphq “#

1 si g “ h

0 sinon.(17.68)

La représentation régulière agit sur les fonctions δs de la façon suivante :

λpgqδs “ δgs (17.69)

parce que`λpgqδs

˘phq “ δspg´1hq “ δgsphq.Lemme 17.18.Le caractère de la représentation régulière gauche est donné par

χλ “ |G|δe. (17.70)

17.2. ÉQUIVALENCE DE REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES 1033

Démonstration. Appliquer l’équation (17.70) fonctionne parce que χλpeq est la dimension de l’es-pace des fonctions sur G, c’est à dire |G|. Si par contre g ‰ e, alors λpgq est une matrice depermutation (dans la base des δh) et a donc tous ses éléments diagonaux nuls.

Si ρ est une représentation et si f est une fonction sur le groupe, alors nous considéronsl’opérateur

ρf “ÿ

gPGfpgqρpgq. (17.71)

Proposition 17.19 ([210]).Si pρ, V q est une représentation irréductible et si f est une fonction centrale sur G, alors l’opérateurρf est une homothétie de V de rapport

1dimV

ÿ

gPGfpgqχpgq (17.72)

où χ est le caractère de ρ.

Démonstration. Nous commençons par voir que ρf entrelace ρ. En effet,

ρptq´1 ˝ ρf ˝ ρptq “ÿ

g

fpgqρpt´1gtq (17.73a)

“ÿ

h

fptht´1qρpgq h “ t´1gt (17.73b)

“ÿ

h

fphqρphq (17.73c)

“ ρf (17.73d)

où en écrivant fptht´1q “ fphq, nous avons utilisé le fait que f était centrale. Étant donné que ρfentrelace une représentation irréductible, le lemme de Schur (17.13) nous indique que ρf est unehomothétie. Soit k le facteur d’homothétie. Alors d’une part Trpρf q “ nk. D’autre part,

Trpρf q “ Tr`ÿ

g

fpgqρpgq˘ (17.74a)

“ÿ

g

fpgqTr`ρpgq˘ (17.74b)

“ÿ

g

fpgqχpgq. (17.74c)

Du coup effectivementk “ 1

n

ÿ

gPGfpgqχpgq. (17.75)

17.2.2 Caractères et représentations : suite et fin

Lemme 17.20.Un groupe fini n’a (à équivalence près) qu’un nombre fini de représentations irréductibles.

Démonstration. Les caractères irréductibles forment un système orthonormé (proposition 17.17)et donc libre parmi les fonctions centrales. Donc il y a au plus autant de caractères irréductiblesque la dimension de l’espace des fonctions centrales ; et ce dernier est de dimension finie donnéepar le nombre de classes de conjugaison de G.

Nous savons que les caractères de deux représentations irréductibles sont égaux. Étant donnéqu’il n’existe qu’un nombre fini de représentations irréductibles, il existe un nombre fini de carac-tères irréductibles. Nous pouvons donc fixer les notations suivantes. Les caractères irréductiblesseront notés tϕiui“1,...,h et nous noterons pσi,Wiq une représentation ayant le caractère ϕi.

1034 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Théorème 17.21 ([210]).Soit pρ, V q une représentation de G de caractère χ. Alors sa décomposition en représentationsirréductibles est donnée par

pV, ρq “hài“1

kipWi, σiq (17.76)

avec ki “ xχ, ϕiy. En particulier, à permutation près des facteurs, la décomposition d’une repré-sentation en représentations irréductibles est unique.

Démonstration. La décomposition de χ en caractères irréductibles est donnée par χ “ ři kiϕi ; en

prenant le produit de cette égalité avec ϕj et en tenant compte de l’othonormalité des caractèresirréductibles,

xχ, ϕjy “ÿ

i

kixϕi, ϕjy “ kj . (17.77)

Le théorème suivant est ce qui nous permet de dire que l’étude des caractères et l’étude desreprésentations, c’est la même chose.

Théorème 17.22.Soit G un groupe fini 6.

(1) Deux représentations sont équivalentes si et seulement si elles ont même caractères.(2) Si χ est le caractère d’une représentation, alors

(a) xχ, χy P N(b) xχ, χy “ 1 si et seulement si la représentation est irréductible.

Démonstration. Nous démontrons chaque point séparément.(1) Le fait que deux représentations équivalentes aient même caractère est le lemme 17.15.

Nous montrons l’autre sens. Si pρ, V q et pρ1, V 1q sont deux représentations irréductibles dedécompositions

V “ài

kiWi (17.78a)

V 1 “ài

k1iWi, (17.78b)

alors si χ “ χ1, nous avons ki “ k1i et les représentations sont identiques.(2) Soit pρ, V q une représentation ayant χ comme caractère. En posant ki “ xχ, ϕiy nous avons

la décomposition en représentations irréductibles

V “ài

kiWi, (17.79)

et aussixχ, χy “ x

ÿ

i

kiϕi,ÿ

j

kjϕjy “ÿ

i

k2i P N. (17.80)

Ce nombre est de plus égal à 1 si et seulement si tous les termes de la somme sont nuls saufun qui vaudrait 1. Ce cas donne une représentation irréductible.

Proposition 17.23.Si pλ,Rq est la représentation régulière gauche de décomposition en représentations irréductibles

R “ài

kiWi, (17.81)

alors6. Nous sommes depuis longtemps dans l’étude des représentations des groupes finis.

17.2. ÉQUIVALENCE DE REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES 1035

(1) ki “ dimWi,(2)

řipdimWiq2 “ |G|,

(3) pour tout g P G, řipdimWiqϕipgq “ 0 7.(4) Si tpni, ϕiqu est la liste des couples dimension,caractère des représentations irréductibles

non équivalentes, alors pour tout s P Gzteu nous avons řpi“1 niϕipsq “ 0 où la somme porte

sur les représentations irréductibles non équivalentes.

Démonstration. Nous notons r le caractère de la représentation régulière gauche. Nous avons

ki “ xr, ϕiy “ 1|G|

ÿ

sPGrpsqϕipsq “ ϕipeq. (17.82)

Mais ϕipeq “ dimWi P R, donc nous avons bien ki “ dimWi. Le caractère de la représentationrégulière peut alors s’exprimer de deux façons :

|G|δe “ÿ

i

pdimWiqϕi. (17.83)

En évaluant cette égalité en e nous trouvons directement

|G| “ÿ

i

pdimWiq2, (17.84)

et en l’évaluant en s ‰ e, nous trouvons

0 “ÿ

i

pdimWiqϕipsq. (17.85)

Le théorème suivant est valable pour les groupes finis (comme toute cette section).

Théorème 17.24 ([210]).Les caractères irréductibles χ1, . . . , χh forment une base orthonormé des fonctions centrales sur G.

Démonstration. Nous savons déjà qu’ils forment un système orthonormé. Considérons le sous-espace H “ Spantϕiui“1,...,h de l’espace des fonctions centrales sur G. En vertu de la proposition7.41, il nous suffit de prouver que HK “ 0. Soit donc f , une fonction centrale appartenant à HK.Pour tout i, nous avons xf, ϕiy “ 0 et donc aussi xf , ϕiy “ 0.

Considérant une représentation irréductible pσ,W q de caractère ϕ, nous savons par la proposi-tion 17.19 que l’opérateur

σf “ÿ

g

fpgqϕpgq (17.86)

est une homothétie de rapport xf , ϕydimW “ 0. Étant donné que toute les représentations sontdes sommes directes de représentations irréductibles, en réalité l’opérateur ρf est nul pour toutereprésentation ρ. En particulier pour la représentation régulière,

0 “ λf pδtq “ÿ

gPGfpgqλpgqpδtq “

ÿ

g

fpgqδft. (17.87)

En écrivant cette égalité avec t “ e et puis en appliquant à k P G nous trouvons

0 “ÿ

g

fpgqδgpkq “ fpkq. (17.88)

Donc f “ 0 et f est nulle.7. Cette propriété est appelée «orthogonalité des colonnes» pour une raison qui apparaîtra au moment de com-

pléter le tableau (17.110).

1036 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Corollaire 17.25.Le nombre de représentations irréductibles non équivalentes d’un groupe fini est égal à son nombrede classes de conjugaison.

Démonstration. Le nombre de classes de conjugaison est la dimension de l’espace des fonctionscentrales qui elle-même est égale au nombre de caractères irréductibles par le théorème 17.24.Enfin deux caractères irréductibles sont égaux si et seulement si les représentations sous-jacentessont équivalentes.

Corollaire 17.26.Toutes les représentations irréductibles d’un groupe abélien sont de dimension 1.

Démonstration. Le corollaire 17.25 nous dit qu’il y a autant de représentations unitaires qu’iln’y a de représenations irréductibles (non équivalentes). Mais les classes de conjugaisons sont dessingletons (lemme 3.18). Nous avons donc exactement |G| représentations irréductibles lorsque Gest abélien.

Mais d’autre part la proposition 17.23(2) donneřipdimWiq2 “ |G| lorsque la somme parcours

les représentations irréductibles. Il y a |G| termes à la somme, donc tous les termes doivent être1.

17.3 Représentation produit tensorielSoient ρ et φ, deux représentations d’un groupe G sur des espaces vectoriels V et W . La

représentation produit tensoriel est la représentation

ρb φ : GÑ GLpV bW qpρb φqpgqpv b wq “ ρpgqv b φpgqw. (17.89)

Pour trouver son caractère, nous considérons une base teiu de V et une base teαu de W , et la basetei b eαu de V bW . Donc

pρb φqpgqpei b eαq “ ρpgqei b φpgqeα. (17.90)

Nous devons savoir quelle est la composante «ei b eα» de cette dernière expression, et c’est évi-demment

ρpgqiiραα, (17.91)

ce qui nous amène à dire que

Trpρb φqpgq “ÿ

i

ÿ

α

ρpgqiiφpgqαα “ Tr`ρpgq˘Tr

`φpgq˘, (17.92)

c’est à dire au final queχρbφ “ χρχφ. (17.93)

17.4 Exemple sur le groupe symétriqueSoit G “ S3, un des premiers groupes finis non abéliens. On en a une représentation de dimen-

sion deux en tant que permutation des sommets d’un triangle équilatéral, donnée dans l’exemple17.7 ; nous notons ρ cette représentation.

Nous y avons aussi la représentation de signature donnée par

ε : S3 Ñ GLpCqσ ÞÑ εpσq Id .

(17.94)

Et enfin il y a la représentation triviale. Ce sont les trois représentations irréductibles ; pour rappelil y a autant de représentations irréductibles que de classes de conjugaison (corollaire 17.25).

17.5. TABLE DES CARACTÈRES DU GROUPE SYMÉTRIQUE S4 1037

Classe de conjugaison taille χ1 χε χρId 1 1 1 2

pA,Bq 3 1 ´1 0pA,B,Cq 2 1 1 ´1

Nous calculons par exemple le produit scalaire

xχ1, χεy “ 16`1 ·χ1pIdqχεpIdq ` 3 ·χ1pA,BqχεpA,Bq ` 2 ·χ1pA,B,CqχεpA,B,Cq

˘(17.95a)

“ 0. (17.95b)

D’autre part nous avons aussi

xχρ, χρy “ 16p1 · 2 · 2` 3 · 0` 2 · 1q “ 1. (17.96)

17.5 Table des caractères du groupe symétrique S4

Pour la table des caractères de S4, voir [2].

17.5.1 Calculs à partir de rien ou presque

Nous savons que les classes de conjugaison dans S4 sont caractérisées par la structure desdécompositions en cycles (proposition 8.34). Elles sont données dans l’exemple 8.36.

Nous avons donc 5 classes de conjugaison, et il nous faut donc 5 représentations irréductiblesnon équivalentes (corollaire 17.25) dont nous allons chercher les caractères.

La première est la représentation triviale de dimension 1 ; nous notons χ1 son caractère et nousavons la ligne

dimension Id p12q p123q p1234q p12qp34qχ1 1 1 1 1 1 1 (17.97)

Ensuite nous avons la signature qui est un morphisme non trivial ε : Sn Ñ t´1, 1u. Nous avonsalors la ligne

dimension Id p12q p123q p1234q p12qp34qχε 1 1 ´1 1 ´1 1 (17.98)

Une troisième représentation pas trop compliquée à trouver est celle

ρp : S4 Ñ GLp4,Cqρppσqei “ eσpiq.

(17.99)

Cela n’est pas une représentation irréductible parce que C4 se décompose en deux sous-espacesstables :

D “ Spanp1, 1, 1, 1q (17.100a)H “ tx P C4 tel que x1 ` x2 ` x3 ` x4 “ 0u. (17.100b)

La représentation induite sur D est la représentation triviale. Puis sur H, elle induit une autrereprésentations que nous allons noter ρs.

Nous allons à présent déduire le caractère de la représentation ρs et prouver qu’elle est irré-ductible. Il est cependant possible de sauter cette étape en échange d’un certain travail sur lesisométries du tétraèdre. Voir la proposition 16.17 et ensuite

Nous avons la décomposition ρp “ ρ1 ‘ ρs et donc

χp “ χ1 ` χs. (17.101)

1038 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Nous savons déjà χ1. Le caractère χp n’est pas très compliqué parce que χppσq est une matrice depermutation des vecteurs de base. Donc la matrice ρppσq a un 1 sur la diagonale pour les i tels queσpiq “ i. Nous avons donc

χppIdq “ 4 χpp12q “ 2 (17.102a)χp

`p12qp34q˘ “ 0 χpp123q “ 1 (17.102b)χpp1234q “ 0. (17.102c)

Le caractère χs peut être calculé par simple soustraction :dimension Id p12q p123q p1234q p12qp34q

χs 3 3 1 0 ´1 ´1 (17.103)

Avant d’ajouter cette ligne au tableau des représentations irréductibles nous devons savoir si ρs enest une. Pour cela, tant que nous avons son caractère nous pouvons utiliser le critère du théorème17.22 :

xχs, χsy “ 1|S4|

ÿ

σPS4

χspσq2. (17.104)

Nous avons tout de suite |S4| “ 4 · 3 · 2 “ 24 et puis

24xχs, χsy “ 32 ` 6 · 12 ` 8 · 02 ` 6 · p´1q2 ` 3 · p´1q2 “ 24, (17.105)

donc oui, le caractère est irréductible parce que xχs, χsy “ 1. Et nous pouvons donc ajouter laligne (17.103) à notre tableau. Par ailleurs, nous notons qu’elle est de dimension 3.

Pour le reste nous savons qu’il y a autant de représentations irréductibles que de classes deconjugaison, de telle sorte qu’il ne manque que deux représentations irréductibles. De plus laproposition 17.23 nous dit que si ni est la dimension de la ie représentation irréductible, alors

|S4| “ÿ

i

n2i . (17.106)

Dans notre situation, si nous nommons n1 et n2 les dimensions des deux représentations qui nousmanquent, nous avons 24 “ n2

1 ` n22 ` p12 ` 12 ` 32q, c’est à dire n2

1 ` n22 “ 13. Il n’y a pas des

tonnes de sommes de deux carrés qui font 13. Il y a n1 “ 2 et n2 “ 3, et c’est tout.Nous recherchons donc encore une représentation de dimension 2 et une de dimension 3. Pour

cela nous allons un peu regarder les produits tensoriels qui s’offrent à nous. Pour faire une dimension3, il faut faire le produit d’une de dimension 1 par une de dimension 3. Là encore le choix est trèslimité et nous demande d’essayer

ρW “ ρs b ρε (17.107)qui agit sur l’espace V2 b Vε par

ρW pgqpv b xq “ ρspgqv b ρεpgqx. (17.108)

Pour savoir son caractère nous utilisons la petite formule toute simple (17.93) : nous multiplionscase par case les tableaux (17.103) et (17.98) :

dimension Id p12q p123q p1234q p12qp34qχW 3 3 ´1 0 1 ´1 (17.109)

Avant de réellement ajouter cette ligne au tableau, nous devons nous assurer qu’elle est bienirréductible. Nous utilisons le même critère : xχW , χW y “ 1, donc c’est bon.

Pour trouver le dernier caractère, que nous nommerons χu, il ne faut pas beaucoup d’imagina-tion. Il suffit d’utiliser les relations d’orthogonalité du théorème 17.24, en sachant que la dimensionest 2 et qu’alors χW pIdq “ 2, c’est pas trop compliqué :

dimension Id p12q p123q p1234q p12qp34qχ1 1 1 1 1 1 1χε 1 1 ´1 1 ´1 1χs 3 3 1 0 ´1 ´1χW 3 3 ´1 0 1 ´1χu 2 2 b c d e

(17.110)

17.5. TABLE DES CARACTÈRES DU GROUPE SYMÉTRIQUE S4 1039

Les relations d’orthogonalité des colonnes de la propriété 17.23 nous permettent de calculer lescoefficients manquants. En pratique, il suffit de prendre le produit scalaire de chaque ligne avec lapremière et d’égaler avec zéro. Nous trouvons b “ 0, c “ 1, d “ 0, et e “ 2. Le tableau final est :

dimension Id p12q p123q p1234q p12qp34qχ1 1 1 1 1 1 1χε 1 1 ´1 1 ´1 1χs 3 3 1 0 ´1 ´1χW 3 3 ´1 0 1 ´1χu 2 2 0 ´1 0 2

(17.111)

Notons que nous sommes parvenus à remplir la dernière ligne sans rien savoir de la représen-tation qui va avec. Nous allons cependant donner une interprétation géométrique et fixer cettereprésentation comme agissant sur le triangle équilatéral en 17.30.

17.5.2 Représentation de S4 via les isométries du tétraèdre

Une des représentations trouvées (la représentation ρs) peut être vue comme le groupe IsopT qdes isométries affine du tétraèdre. Nous avons vu en la proposition 16.17 qu’il existe un isomor-phisme de groupe S4 » IsopT q lorsque T est un tétraèdre régulier de R3.

Si le barycentre de T est situé à l’origine deR3, alors les éléments de IsopT q sont des applicationslinéaires parce que

— les affinités laissent invariantes les barycentres (proposition 11.37),— les affinités qui laissent l’origine invariante sont linéaires (corollaire 11.49).

Nous allons à présent calculer la trace de cette représentation, en utilisant le fait que nous laconnaissions explicitement. Nous savons que les caractères sont constants sur les classes de conju-gaison ; nous allons donc écrire une matrice par classe de conjugaison (qui sont données dansl’exemple 8.35).

Pour tout cela nous allons considérer un tétraèdre dont le centre (isobary) est en p0, 0, 0q etune base de R3 formée de trois sommets e1, e2 et e3. Vu que l’isobarycentre des quatre sommesest en p0, 0, 0q, le quatrième somme est forcément le point de coordonnées e4p´1,´1,´1q, de tellesorte que e1 ` e2 ` e3 ` e4 “ 0.

Les transpositions Quelle isométrie de R3 permute deux sommets du tétraèdre sans bougerles autres ? Pour permuter les sommets e1 et e2 en laissant e3 et e4, c’est le symétrie parrapport au plan médiateur de re1, e2s. Ce plan passe par les sommets e3 et e4, parce que letétraèdre étant régulier, les points e3 e4 sont équidistants de e1 et e2. Le lemme 16.15 ditqu’alors ces points dont partie du plan médiateur.Dans notre base, la matrice de la transposition précédemment nommée p12q est

¨˝

0 1 01 0 00 0 1

˛‚, (17.112)

dont la trace est 1. Donc χsp12q “ 1.Les bitranspositions La bitransposition p12qp34q est le produit des transpositions selon les

plans médiateur de re1, e2s et re3, e4s. Ces deux plans sont perpendiculaires, et l’intersectionest la droite qui passe par les milieux. Cette droite est perpendiculaire aux deux segmentsen même temps. La matrice est : ¨

˝0 1 ´11 0 ´10 0 ´1

˛‚ (17.113)

parce que e1 ÞÑ e2, e2 ÞÑ e1 et e3 ÞÑ e4. Pour rappel, la matrice est formée des images desvecteurs de base. Cela donne

χs`p12qp34q˘ “ ´1. (17.114)

1040 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

Les 3-cycles La symétrie qui permute cycliquement les point e1, e2 et e3 est la rotation d’angle2π3 dans le plan formé par les extrémités de ces trois vecteurs. Heureusement, la trace estinvariante par changement de base ; donc nous pouvons calculer la trace d’une rotationd’angle 2π3 dans n’importe quelle base. Par exemple :

χs`p12qp34q˘ “ Tr

¨˝

1 0 00 cosp2π3q sinp2π3q0 ´ sinp2π3q cosp2π3q

˛‚“ 1` 2 cosp2π3q “ 0. (17.115)

Notons que, sans cette interprétation géométrique, nous y arrivons aussi facilement : dansnotre base le 3-cycle est e1 ÞÑ e2 ÞÑ e3 ÞÑ e1, donc la matrice est :

¨˝

0 0 11 0 00 1 0

˛‚, (17.116)

dont la trace est manifestement nulle : χs`p123q˘ “ 0.

Le 4-cycle Il fait e1 ÞÑ e2 ÞÑ e3 ÞÑ e4 ÞÑ e1, dont la matrice est¨˝

0 0 ´11 0 ´10 1 ´1

˛‚, (17.117)

et la trace est χs`p1, 2, 3, 4q˘ “ ´1.

Nous avons retrouvé les caractères de la représentation ρs, et nous pouvons vérifier qu’elle estirréductible.

17.5.3 À propos de la représentation ρu

Nous nous penchons à présent sur la représentations ρu dont nous ne savons rien à part qu’elleest de dimension 2 et son caractère.

Lemme 17.27.Nous avons ρupsq “ Id pour tout s P V4.

Démonstration. Tous les éléments de V4 sont conjugués (à part l’identité, mais pour elle le résultatest clair), donc il suffit de prouver le résultat pour un élément quelconque.

L’endomorphisme ρu`p12qp34q˘ est un endomorphisme d’ordre 2 sur R2 dont la trace est 2.

Imposons donc ˆa bc d

˙“

ˆa bc d

˙“

ˆ1 00 1

˙(17.118)

sous la contrainte a` d “ 2. La résolution est assez rapide et donne b “ c “ 0, a “ d “ 1.Vous voulez une démonstration plus technologique ? Remarquez que l’opérateurA “ ρu

`p12qp34q˘vérifie A2 “ 1, donc le polynôme X2´1 est un polynôme annulateur de A. Il est peut-être minimalou peut être pas, mais en tout cas le polynôme minimal divise celui-là et donc est soit X ´ 1 soitX ` 1 soit X2 ´ 1. Dans les trois cas il est scindé à racines simples, et l’endomorphisme A estdiagonalisable par le théorème 9.143(3).

Mais comme A2 “ 1, les valeurs propres (ce qui est sur la diagonale) de A ne peuvent être que˘1. La trace étant 2, les éléments diagonaux ne peuvent être que 1. Et A “ Id.

Le groupe V4 définit en 8.50 est normal dans S4, donc le quotient S4V4 est un groupe par lelemme 3.51.

Lemme 17.28.L’application

ρu : S4V4 Ñ GLp2,Rqrgs ÞÑ ρupgq (17.119)

est bien définie et donne une représentation irréductible de S4V4.

17.6. TABLE DE CARACTÈRES DU GROUPE DIÉDRAL 1041

Démonstration. Montrons que c’est bien définit. Si s P V4 nous devons prouver que ρupgsq “ρupgq. Vu que ρu est un homomorphisme (c’est une représentation), et que ρupsq “ Id nous avonsdirectement

ρupgsq “ ρupgqρupsq “ ρupgq. (17.120)

Nous devons prouver que la représentation ρu est irréductible. Si un sous espace non trivialSpanpxq était stabilisé par ρu, il serait également stabilisé par ρu. Mais comme ρu est irréductible,elle ne stabilise personne.

Lemme 17.29.Le groupe S4V4 est un groupe non-abélien, isomorphe à S3.

Démonstration. Le groupe S4V4 a une représentation irréductible de dimension 2, et n’est doncpas abélien par le corollaire 17.26.

Il contient |S4||V4| “ 244 “ 6 éléments (théorème de Lagrange 3.54). Or 6 “ 3 ˆ 2, doncle groupe S4V4 est dans le cas non-abélien du théorème 8.26(2). Cette partie parle d’unicité dugroupe non-abélien d’ordre 6. Or S3 est un groupe non-abélien d’ordre 6, donc S4V4 est isomorpheà S3.

Attention : il n’est pas correct de dire que S4V4 est un sous-groupe de S4 juste parce que c’estun quotient de S4 ; ce n’est en général pas vrai (exemple 3.52).

17.30.Nous sommes maintenant aptes à identifier la représentation ρu. D’abord nous nous rappelons de lareprésentation ρs : S4 Ñ IsopT q de S4 sur le tétraèdre. Ensuite si A est un sommet dudit tétraèdreet que S3 Ă S4 est la partie qui fixe A alors nous avons une représentation

ρs : S3 Ñ IsopT q (17.121)

qui agit en réalité sur le triangle équilatéral T 1 opposé au sommet A.Nous avons finalement la chaine d’homomorphismes de groupes

S4projÝÑ S4V4

»ÝÑ S3ρsÝÑ IsopT 1q (17.122)

Cela est donc une représentation S4 Ñ IsopT 1q. Elle est de dimension 2 et est irréductible (ellecontient les rotations d’angle 2π3 qui ne fixent aucune direction). Elle est donc la représentationρu qui est la seule irréductible de dimension 2.

Nous avons donc montré que la représentation ρu dont nous ne savions rien est la représentationde S4 sur un triangle équilatéral obtenue à partir de celle de S4 sur le tétraèdre, en fixant un point.

<++>

17.6 Table de caractères du groupe diédral

Cette section vient de [2] ; nous avons comme but d’établir la table des caractères des repré-sentations complexes du groupe diédral Dn.

17.6.1 Représentations de dimension un

Nous nous occupons des représentations de Dn sur C. Les applications linéaires C Ñ C sontseulement les multiplications par des nombres complexes. Nous cherchons donc ψ : Dn Ñ C˚.

Nous savons que Dn est généré 8 par s et r. Vu que s2 “ 1, nous avons

ψpsq2 “ ψps2q “ ψp1q “ 1, (17.123)

8. Voir proposition 16.100 et tout ce qui suit.

1042 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

donc ψpsq P t´1, 1u. Nous savons aussi que srsr “ 1, donc

ψpsq2ψprq2 “ 1, (17.124)

ce qui donne ψprq P t´1, 1u.Nous avons donc quatre représentations de dimension un données par

ψprq “ 1 ψprq “ ´1ψpsq “ 1 ρ`` ρ`´ψpsq “ ´1 ρ´` ρ´´

Attention au fait que nous devons aussi avoir la relation ψprqn “ ψprnq “ 1. Donc ψprq doit êtreune racine ne de l’unité. Nous allons donc devoir avoir un compte différent selon la parité de n.Nous en reparlerons à la fin, au moment de faire les comptes. En ce qui concerne les caractèrescorrespondants,

rk srk

χ`` 1 1χ`´ p´1qk p´1qkχ´` 1 ´1χ´´ p´1qk p´1qk`1

Étant donné qu’ils sont tous différents, ce sont des représentations deux à deux non équivalentes,lemme 17.15.

17.6.2 Représentations de dimension deux

Nous cherchons maintenant les représentations ρ : Dn Ñ EndpC2q. Ici nous supposons connue laliste des éléments de Dn donnée par le corollaire 16.101. Soit ω “ e2iπn et h P Z ; nous considéronsla représentation ρphq de Dn définie par

ρphqprkq “ˆωhk 00 ω´hk

˙(17.125a)

ρphqpstkq “ˆ

0 ω´hkωhk 0

˙. (17.125b)

Cela donne bien ρphq sur tous les éléments de Dn par la proposition 16.100. Nous pouvons res-treindre le domaine de h en remarquant d’abord que ρphq “ ρph`nq, et ensuite que les représentations

ρphq et ρp´hq sont équivalentes. Un opérateur d’entrelacement est donné par T “ˆ

0 11 0

˙, et il est

facile de vérifier que Tρphqpxq “ ρ´hpxqT avec x “ rk puis avec x “ srk.Donc ρphq » ρp´hq » ρpn´hq et nous pouvons restreindre notre étude à 0 ď h ď n

2 .Nous allons séparer les cas n “ 0, h “ n2 et les autres. En effet si nous notons par commodité

a “ ωh, alors un vecteur px, yq est vecteur propre de ρphqpsq et de ρphqprq si et seulement s’il vérifieles systèmes d’équations

$&%ax “ λx (17.126a)1ay “ λy (17.126b)

et$&%

1ay “ µx (17.127a)

ax “ µy (17.127b)

avec λ et µ des nombres non nuls. Une représentation sera réductible si et seulement si ces deuxsystèmes acceptent une solution non nulle commune. Il est vite vu que si x ‰ 0 et y ‰ 0, alorsa2 “ 1, ce qui signifie h “ 0 ou h “ n2. Sinon, il n’y a pas de solutions, et la représentationassociée est irréductible.

17.6. TABLE DE CARACTÈRES DU GROUPE DIÉDRAL 1043

(1) h “ 0. Nous avons

ρp0qprkq “ˆ

1 00 1

˙ρp0qpsrkq “

ˆ0 11 0

˙, (17.128)

donc le caractère de cette représentation est χp0qprkq “ 2 et χp0qpsrkq “ 0. Donc nous avons

χp0q “ χ`` ` χ´`. (17.129)

Il y a maintenant (au moins) quatre façons de voir que la représentation ρp0q est réductible.Première méthode Trouver un opérateur d’entrelacement. Pour cela nous calculons les

matrices :

Sprq “ pρ`` ‘ ρ´`qprkq “ˆρ``prkq 0

0 ρ´`prkq˙“

ˆ1 00 1

˙(17.130a)

Spsrkq “ pρ`` ‘ ρ´`qpsrkq “ˆρ``psrkq 0

0 ρ´`psrkq˙“

ˆ1 00 ´1

˙(17.130b)

(17.130c)

Nous cherchons une matrice T telle que TSprkq “ ρp0qprkqT et TSpsrkq “ ρp0qpsrkqT .Étant donné que Sprkq “ 1 “ ρp0qprkq, la première contrainte n’en est pas une. Nous

pouvons vérifier qu’avec T “ˆ

1 11 ´1

˙, nous avons bien

T

ˆ1 00 ´1

˙“

ˆ0 11 0

˙. (17.131)

Donc ce T entrelace ρ``‘ρ´` avec ρp0q qui sont donc deux représentations équivalentes.Donc ρp0q est réductible et ça ne nous intéresse pas de la lister.

Seconde méthode Invoquer le théorème 17.22(1) pour dire que, les caractères étant égaux,les représentations sont équivalentes.

Troisième méthode Utiliser le théorème 17.22(2) et calculer xχp0q, χp0qy :

xχp0q, χp0qy “ 1|Dn|

ÿ

gPDn|χp0qpgq|2 (17.132a)

“ 12n

`4` 0` 4pn´ 1q˘ (17.132b)

“ 2. (17.132c)

Ici le 4 est pour le 1, le zéro est pour les termes srk et 4pn´ 1q est pour les n´ 1 termesrk. Vu que le résultat n’est pas 1, la représentation ρp0q n’est pas irréductible.

Quatrième méthode Regarder les solutions des systèmes (17.126) et (17.127) dont nousavons parlé plus haut.

La première méthode a l’avantage d’être simple et ne demander aucune théorie particulièreà part les définitions. La seconde méthode est la plus rapide, mais demande un théorème trèspuissant. La troisième utilise également un théorème assez avancé, mais a l’avantage sur lesdeux autres méthodes de ne pas avoir besoin de savoir a priori un candidat décompositionde ρ0q ; cette méthode est applicable même sans faire la remarque que χp0q “ χ`` ` χ´`.Quoi qu’il en soit, nous ne listons pas χp0q dans notre table de caractères.

(2) h “ n2. Vu que ωn2 “ eiπ “ ´1, nous avons

ρpn2qprkq “ˆp´1qk 0

0 p´1qk˙

ρpn2qpsrkq “ˆ

0 p´1qkp´1qk 0

˙, (17.133)

1044 CHAPITRE 17. REPRÉSENTATIONS ET CARACTÈRES

et donc

χpn2qprkq “ 2p´1qk (17.134a)χpn2qpsrkq “ 0. (17.134b)

Il est vite vu que χpn2q “ χ`´ ` χ´`. Ergo la représentation ρpn2q n’est pas irréductible.(3) 0 ă h ă n

2 . Dans ce cas nous avons ωh ‰ ω´h, et en regardant les systèmes d’équationsdonnés plus haut, nous voyons que ρphqpsq et ρphqprq n’ont pas de vecteurs propres communs.Donc ces représentations sont irréductibles.Nous devons cependant encore vérifier si elles sont deux à deux non équivalentes. Supposonsque pour h ‰ h1 nous ayons une matrice T P GLp2,Cq telle que TρphqprqT´1 “ ρph1qprq. Celaimpliquerait en particulier que les matrices ρphqprq et ρph1qprq aient même valeurs propres.Nous aurions donc tωh, ω´hu “ tωh1 , ω´h1u. Mais cela est impossible avec 0 ă h ă h1 ă n

2 .Donc toutes ces représentations sont distinctes.

Le caractère de la représentation ρphq est χphqprkq “ ωhk ` ω´hk “ 2 cos`2πhk

n

˘.

Nous ajoutons donc la ligne suivante à notre liste :

rk srk

χphq 2 cos`2πhk

n

˘0

17.6.3 Le compte pour n pair

Nous avons 4 représentations de dimension 1 puis n2 ´ 1 représentations de dimension 2. En

tout nous avonsn

2 ` 3 (17.135)

représentations irréductibles modulo équivalence. Cela fait le compte en vertu des classes de conju-gaisons listées en 16.4.3.4. Pour rappel, le nombre de représentations non équivalentes est égal aunombre de classes de conjugaison par le corollaire 17.25. Notons que c’est cela qui justifie le faitque nous ne devons pas chercher d’autres représentations. Nous sommes sûrs de les avoir toutestrouvées.

17.6.4 Le compte pour n impair

Nous avions fait mention plus haut du fait que si ψ est une représentation de dimension 1, lenombre ψprq devait être une racine ne de l’unité. Donc en dimension 1 nous avons seulement lesreprésentations ρ`` et ρ´`. Pour celles de dimension 2, nous en avons n´1

2 . En tout nous avonsdonc

n` 32 (17.136)

représentations irréductibles modulo équivalence. Cela fait le compte en vertu des classes de conju-gaisons listées en 16.4.3.5.

Chapitre 18

Suite de l’analyse

18.1 Densité des polynômes

18.1.1 Théorème de Stone-Weierstrass

Voir le thème 11.Note : le lemme 18.1 est utilisé dans la démonstration du théorème 18.4 ; c’est pour cela que

nous l’avons isolé.

Lemme 18.1.Il existe une suite de polynômes sur r0, 1s convergeant uniformément vers la fonction racine carré.

Démonstration. Nous donnons cette suite par récurrence :

P0ptq “ 0 (18.1a)

Pn`1ptq “ Pnptq ` 12`t´ Pnptq2

˘. (18.1b)

Nous commençons par montrer que pour tout t P r0, 1s, Pnptq P r0,?ts. Pour P0, c’est évident.

Ensuite nous avons

Pn`1ptq ´?t “ Pnptq ´

?t` 1

2pt´ Pnptq2q (18.2a)

“ `Pnptq ´

?t˘ˆ

1´ 12t´ Pnptq2Pnptq ´

?t

˙(18.2b)

“ `Pnptq ´

?t˘ˆ

1´?t` Pnptq

2

˙(18.2c)

ď 0 (18.2d)

parce que?t ď 1 et Pnptq ď 1 par hypothèse de récurrence.

Nous savons au passage que Pnptq est une suite réelle croissante parce que t ´ Pnptq2 ě t ´p?tq2 “ 0. La suite Pnptq est donc croissante et majorée par

?t ; elle converge donc. Les candidats

limites sont déterminés par l’équation

` “ `` 12pt´ `

2q, (18.3)

dont les solutions sont ` “ ˘?t. La suite étant positive, nous avons une convergence ponctuellede Pn vers la racine carré. Cette suite étant une suite croissante de fonctions continues sur uncompact, convergeant ponctuellement vers une fonction continue, la convergence est uniforme parle théorème de Dini 12.302.

Lemme 18.2.Soit K, un compact de R et fn une suite de fonctions sur K convergeant uniformément vers f .Soit g : X Ñ K une fonction depuis un espace topologique K. Alors fn ˝ g converge uniformémentvers f ˝ g.

1045

1046 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Démonstration. En effet, pour tout x P X nous avons

pfn ˝ gq ´ pf ˝ gq8 “ supxPX

fn`gpxq˘´ f`gpxq˘ ď fn ´ f8. (18.4)

Par conséquent, si ε 0 est donné, il suffit de choisir n de telle sorte à avoir fn ´ f8 ă ε et nousavons pfn ˝ gq ´ pf ˝ gq8 ď ε.

Définition 18.3.Nous disons qu’une algèbre A de fonctions sur un espace X sépare les points de X si pour toutx1 ‰ x2 il existe g P A telle que gpx1q ‰ gpx2q.

Nous pouvons maintenant énoncer et démontrer une forme nettement plus générale du théorèmede Stone-Weierstrass.

Théorème 18.4 (Stone-Weierstrass[211]).Soit X, un espace compact et Hausdorff et A une sous algèbre de CpX,Rq contenant une fonctionconstante non nulle. Alors A est dense dans

´CpX,Rq, .8

¯si et seulement si A sépare les points

de X.Nous pouvons remplacer R par C si de plus l’algèbre A est auto-adjointe : g P A implique

g P A.

Démonstration. Nous allons écrire la démonstration en plusieurs étapes (dont la première est lelemme 18.1).

Première étape Pour tout x ‰ y P X et pour tout α, β P R, il existe une fonction f P A telleque fpxq “ α et fpyq “ β.En effet, vu que A sépare les points nous pouvons considérer une fonction g P A telle quegpxq ‰ gpyq et ensuite poser

fpzq “ α` α´ βgpyq ´ gpxq

`gpzq ´ gpxq˘. (18.5)

Les constantes faisant partie de A, cette fonction f est encore dans A.Seconde étape Pour tout n-uples de fonctions f1, . . . , fn dans A, les fonctions minpf1, . . . , fnq

et maxpf1, . . . , fnq sont dans A.Nous le démontrons pour n “ 2 ; le reste allant évidemment par récurrence. Soient f, g P A.Étant donné que

maxpf, gq “ f ` g2 ` |f ´ g|2 (18.6a)

minpf, gq “ f ` g2 ´ |f ´ g|2 , (18.6b)

if suffit de montrer que si f P A alors |f | P A. Si f est nulle, c’est évident ; supposons quef ‰ 0 et posons M “ f8 ‰ 0. Pour tout x P X nous avons

fpxq2M2 P r0, 1s. (18.7)

Nous considérons alors la suitehn “ Pn ˝ f2

M2 (18.8)

où Pn est une suite de polynômes convergent uniformément vers la racine carré (voir lemme18.1). Le lemme 18.2 nous assure que hn converge uniformément vers |f |

M dans CpX,Rq.Étant donné que A est également une algèbre, hn est dans A pour tout n et la limite s’ytrouve également (pour rappel, la fermeture A est celle de la topologie de la convergenceuniforme).

18.1. DENSITÉ DES POLYNÔMES 1047

Troisième étape Soit ε ą 0, f P CpX,Rq et x P X. Il existe une fonction gx P A telle que"gxpxq “ fpxq (18.9a)gxpyq ď fpyq ` ε (18.9b)

pour tout y P X.Soit z P Xztxu et une fonction hz telle que hzpxq “ fpxq et hzpzq “ fpzq. Une telle fonctionexiste par une des étapes précédentes. Étant donné que f et hz sont continues, il existe unvoisinage ouvert Vz de z sur lequel

hzpyq ď fpyq ` ε (18.10)

pour tout y P Vz. Nous pouvons sélectionner un nombre fini de points z1, . . . , zn tels que lesouverts Vz1 , . . . , Vzn recouvrent X (parce que X est compact, de tout recouvrement par desouverts, nous extrayons un sous recouvrement fini.). Nous posons

gx “ minphz1 , . . . , hznq P A. (18.11)

Si y P X, nous sélectionnons le i tel que hzipyq ď fpyq ` ε et nous avonsgxpyq ď hzipyq ď fpyq ` ε. (18.12)

Étape finale Soit ε ą 0 et f P CpX,Rq. Pour chaque x P X nous considérons une fonctiongx P A telle que

"gxpxq “ fpxq (18.13a)gxpyq ď fpyq ` ε (18.13b)

pour tout y P X. Les fonctions f et gx sont continues, donc il existe un voisinage ouvertWx de x sur lequel

gxpyq ě fpyq ´ ε. (18.14)

De ces Wx nous extrayons un sous recouvrement fini de X : Wx1 , . . . ,Wxm et nous posons

ϕ “ maxpgx1 , . . . , gxnq P A. (18.15)

Si y P X, il existe un i tel que

ϕpyq ě gxipyq ě fpyq ´ ε. (18.16)

La première inégalité est le fait que ϕ est le maximum des gxk , et la seconde est le choix dei. Donc pour tout y P X nous avons

fpyq ´ ε ď ϕpyq ď fpyq ` ε. (18.17)

La première inégalité est ce que l’on vient de faire. La seconde est le fait que pour touti nous ayons gxipyq ď fpyq ` ε ; le fait que ϕ soit le maximum sur les i ne change pasl’inégalité.Le fait que les inégalités (18.17) soient vraies pour tout y P X signifie que ϕ´ f8 ď ε, etdonc que f P ¯A “ A.

Tout cela prouve que CpX,Rq Ă A. L’inclusion inverse est le fait que CpX,Rq est fermé pourla norme .8, étant donné qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue.

Corollaire 18.5 ([1]).Soit B, la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 dans Rn. La partie C8pB,Rnq est dense dans`CpB,Bq, .8

˘.

1048 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Démonstration. Soit f P CpB,Bq et ε ą 0. La fonction donnant la composante i est une fonctionfi P CpB,Rq et il existe donc, par le théorème de Stone-Weierstrass 18.4, une fonction gi PC8pB,Rq telle que gi ´ fi8 ď ε.

La fonction g dont les composantes sont les gi ainsi construits vérifie g ´ f8 ď nε.

Attention toutefois que rien n’assure que les fonctions construites par le corollaire 18.5 prennentleurs valeurs dans B.

Le théorème suivant est un des énoncés les plus classiques de Stone-Weierstrass. Il découleévidement du théorème général 18.4 (encore qu’il faut alors bien comprendre qu’il faut traiter lafonction x ÞÑ ?

x séparément). Il en existe cependant une preuve indépendante.

Théorème 18.6.Soit f , une fonction continue de l’intervalle compact ra, bs à valeurs dans R. Alors pour tout ε ą 0,il existe un polynôme P tel que P ´ f8 ă ε.

Autrement dit, les polynômes sont denses dans Cra, bs pour la norme uniforme.

Corollaire 18.7.Si X Ă R est compact et de mesure finie 1, alors l’ensemble des polynômes est denses dans`CpX,Rq, .2

˘.

Démonstration. Si f est une fonction dans CpX,Rq et si ε ě 0 est donné alors nous pouvonsconsidérer un polynôme P tel que f ´ P 8 ď ε. Dans ce cas nous avons

f ´ P 22 “ż

X|fpxq ´ P pxq|2dx ď

ż

Xε2dx “ ε2µpXq (18.18)

où µpXq est la mesure de X (finie par hypothèse).

18.2 Primitive de fonction continue

Proposition 18.8 ([212]).Soit un intervalle compact K de R et une suite pfnq de fonctions continues sur K telles quefn

unifÝÑ f . Si chacune des fonctions fn a une primitive sur K alors f également.

Démonstration. Soit x0 P K et les primitives Fn choisies 2 pour avoir F 1nfn et Fnpx0q “ 0. Nousallons voir que pFnq est une suite de Cauchy dans

`K, .8

˘. Soient n,m P N et x P K. Nous avons

Fn ´ Fm8 ď Fnpxq ´ Fmpxq (18.19a)“ pFn ´ Fmqpxq (18.19b)ď F 1n ´ F 1mrx,x0sx´ x0 (18.19c)

où nous avons utilisé le théorème des accroissements finis 12.229. Vu que x P K et que K est borné,x´ x0 est majoré par diampKq et

Fn ´ FmK ď fn ´ fmK diampKq. (18.20a)

Vu que pfnq est de Cauchy, si n et m sont assez grands, cela tend vers zéro. La suite pFnq convergedonc vers une certaine fonction F .

Le théorème 12.303 nous permet de permuter la limite et la dérivée pour conclure que F 1 “ fet donc que f a une primitive sur K.

1. Dans R cette hypothèse est évidemment superflue par rapport à l’hypothèse de compacité ; mais ça suggèredes généralisations . . .

2. Les fonctions Fn étant dérivables sont continues.

18.2. PRIMITIVE DE FONCTION CONTINUE 1049

Proposition 18.9 ([212]).Soit un intervalle ouvert I de R et une fonction f : I Ñ R qui admet une primitive sur toutcompact de I. Alors f a une primitive sur I.

Démonstration. Nous considérons une suite exhaustive 3 de compacts Kn pour I et x0 P K0. Nousconsidérons aussi Fn la primitive de f sur Kn telle que Fnpx0q “ 0 (possible parce que x0 P Kn

pour tout n). Les fonctions Fn sont des restrictions les une des autres, et nous pouvons définir

F : I Ñ R

x ÞÑ Fnpxq si x P Kn.(18.21)

Nous avons évidemment F px0q “ 0 et nous allons prouver que F est une primitive de f sur I.Soit x P I vu que I est ouvert, nous pouvons choisir n0 tel que x P IntpKn0q. Les fonctions F etFn0 sont égales sur Kn et donc sur un ouvert autour de x. Par conséquent F est dérivable en x etF 1pxq “ F 1n0pxq “ fpxq.

Théorème 18.10.Soit I un intervalle ouvert de R. Une fonction continue sur I admet une primitive 4 sur I.

Démonstration. Sur chaque compact de I, la fonction f est limite uniforme de polynômes 5 (théo-rème de Stone-Weierstrass 18.6). Donc f est primitivable sur tout compact de I (proposition 18.8)et donc sur I par la proposition 18.9.

Proposition 18.11.Soit I un intervalle borné ouvert de R. Une fonction h P C8c pIq admet une primitive dans C8c pIqsi et seulement si

şI h “ 0.

Démonstration. Si une primitive H de h est à support compact, alorsż

Ih “ Hpbq ´Hpaq “ 0´ 0 “ 0. (18.22)

Pas de problèmes dans ce sens.Supposons maintenant que

şI h “ 0. Le fait que h admette une primitive dans C8pIq est

évident : toute fonction continue admet une primitive 6. SoitH une telle primitive et H “ H´Hpbq.Alors Hpbq “ 0 et

Hpaq “ Hpaq ´Hpbq “ ´ż

Ih “ 0. (18.23)

Nous rappelons que le support d’une fonction est la fermeture de l’ensemble des points de non-annulation.

Supposons que le support de h soit inclus dans rm,M s Ă sa, br. En prenant des nombres m1 etM 1 tels que a ă m1 ă m et M ăM 1 ă b (nous insistons sur le caractère strict de ces inégalités), lafonction h est nulle sur ra,m1s et sur rM 1, bs ; la fonction H doit donc y être constante. Mais nousavons déjà vu que Hpaq “ Hpbq “ 0. Donc l’ensemble des points sur lesquels H n’est pas nul estinclus à sm1,M 1r et donc est strictement (des deux côtés) inclus à I.

18.2.1 Théorème taubérien de Hardi-Littlewood

Un théorème taubérien est un théorème qui compare les modes de convergence d’une série.

3. Voir le lemme 6.156.4. Définition 12.135.5. Si tu veux te passer de Stone-Weierstrass, tu peux prouver que toute fonction continue sur un compact est

limite uniforme de fonctions affines par morceaux, par exemple. Voir [212].6. Théorème 18.10.

1050 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Lemme 18.12.Si f et g sont des fonctions continues, alors spxq “ maxtfpxq, gpxqu est également une fonctioncontinue.

Démonstration. Soit x0 et prouvons que s est continue en x0. Si fpx0q ‰ gpx0q (supposons fpx0q ągpx0q pour fixer les idées), alors nous avons un voisinage de x0 sur lequel f ą g et alors s “ f surce voisinage et la continuité provient de celle de f .

Si au contraire fpx0q “ gpx0q “ spx0q alors si panq est une suite tendant vers x0, nous prenonsN tel que

ˇfpanq ´ fpx0q

ˇ ď ε pour tout n ą N et M tel queˇgpanq ´ gpx0q

ˇ ď ε pour tout n ąM .Alors pour tout n ą maxtN,Mu nous avons

ˇspanq ´ spx0q

ˇ ď ε, (18.24)

d’où la continuité de s en x0.

La proposition suivante dit que si une fonction connaît un saut, alors on peut le lisser par unefonction continue.

Proposition 18.13.Soit f continue sur ra, x0r et sur rx0, bs avec fpx´0 q ă fpx0q. En particulier nous supposons quefpx´q existe et est finie. Alors pour tout ε ą 0, il existe une fonction continue s telle que sur ra, bson ait s ď f et ż b

aspxq ´ fpxq dx ď ε. (18.25)

Démonstration. Nous notons A la taille du saut :

A “ fpx0q ´ fpx´0 q. (18.26)

Quitte à changer a et b, nous pouvons supposer que

fpxq ă fpx0q ` A

3 (18.27)

pour x P ra, x0r etf ą fpx0q ` 2A

3 (18.28)

pour x P rx0, bs. C’est le théorème des valeurs intermédiaires qui nous permet de faire ce choix.Soit mpxq la droite qui joint le point

`x0 ´ ε, fpx0 ´ εq

˘au point

`x0, fpx`0 q

˘. Nous posons

spxq “

$’&’%

fpxq si x ă x0 ´ εmaxtmpxq, fpxqu si x0 ´ ε ď x ď x0

fpxq si x ą x0.

(18.29)

En vertu des différents choix effectués, c’est une fonction continue. En effet

spx0 ´ εq “ maxtfpx0 ´ εq, fpx0, εqu “ fpx0 ´ εq (18.30)

etspx0q “ maxtmpx0q, fpx`0 qu “ fpx`0 q (18.31)

parce que mpx0q “ fpx`0 q. En ce qui concerne l’intégrale, si nous posons

M “ supx,yPra,bs

|fpxq ´ fpyq|, (18.32)

nous avons ż b

as´ f “

ż x0

x0´εs´ f ď εM. (18.33)

18.2. PRIMITIVE DE FONCTION CONTINUE 1051

Lemme 18.14.Pour tout polynôme P , nous avons la formule

limxÑ1´

p1´ xq8ÿ

n“0xnP pxnq “

ż 1

0P pxqdx. (18.34)

Démonstration. D’abord pour P “ 1, la formule se réduit à la série harmonique connue. Ensuitenous prouvons la formule pour le polynôme P “ Xk et la linéarité fera le reste pour les autrespolynômes. Nous avons

p1´ xqÿ

n

xnxkn “ p1´ xqÿ

n

px1`kqn “ 1´ x1´ x1`k “

11` x` ¨ ¨ ¨ ` xk . (18.35)

DonclimxÑ1´

p1´ xqÿ

n

xnP pxnq “ 11` k . (18.36)

Par ailleurs, c’est vite vu que ż 1

0xkdx “ 1

k ` 1 . (18.37)

Théorème 18.15 (Hardy-Littlewood[209]).Soit panq une suite réelle telle que

(1) ann tends vers une constante,

(2) F pxq “ ř8n“0 anx

n a un rayon de convergence ě 1,(3) limxÑ1´ F pxq “ l.

Alorsř8n“0 an “ l.

Démonstration. Quitte à prendre la suite b0 “ a0 ´ l et bn “ an, on peut supposer l “ 0.Soit Γ l’ensemble des fonctions

γ : r0, 1s Ñ R (18.38)

telles que(1)

ř8n“0 anγpxnq converge pour 0 ď x ă 1,

(2) limxÑ1´řně0 anγpnq “ 0.

Ce Γ est un espace vectoriel.Les polynômes sont dans Γ Soit γptq “ ts. Pour 0 ď x ă 1 nous avons

8ÿ

n“0anγpxnq “

8ÿ

n“0anx

ns ă8ÿ

n“0anx

n. (18.39)

Donc la condition de convergence est vérifiée. En ce qui concerne la limite,

limxÑ1´

8ÿ

n“0anx

ns “ limxÑ1´

F pxsq “ 0 (18.40)

parce que par hypothèse, limxÑ1´ F pxq “ 0.Définition de la fonction qui va donner la réponse Nous considérons la fonction g “ 1r 12 ,1s,

c’est à dire

gptq “#

0 si 0 ď t ă 121 si 12 ď t ď 1.

(18.41)

1052 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Nous montrons que si g P γ, alors le théorème est terminé. Si 0 ď x ď 1, on a 0 ď xn ă 12dès que

n ą ´ lnp2qlnpxq (18.42)

avec une note comme quoi lnpxq ă 0, donc la fraction est positive. Nous désignons par Nx lapartie entière de ce n adapté à x. L’idée est que la fonction gpxnq est la fonction indicatricede 0 ď n ď Nx, et donc

ÿ

ně0angpxnq “

Nxÿ

n“0an. (18.43)

Mais si xÑ 1´, alors Nx Ñ8, donc

limNÑ8

Nÿ

n“0an “ lim

xÑ1´

Nxÿ

n“0an “ lim

xÑ1´

ÿ

nPNangpxnq, (18.44)

et cela fait zéro si g P Γ.Approximation de g par des polynômes Nous considérons la fonction

hptq “ gptq ´ ttp1´ 1q “

#1t´1 si t P r0, 12r1t si t P r12, 1s. (18.45)

La seconde égalité est au sens du prolongement par continuité. La fonction h est une fonctionnon continue qui fait un saut de ´2 à 2 en x “ 12. En vertu de la proposition 18.13 (unpeu adaptée), nous pouvons considérer deux fonctions continues s1 et s2 telles que

s1 ď h ď s2 (18.46)

et ż 1

0s2 ´ s1 ď ε. (18.47)

Notons que l’inégalité s1 ď s2 doit être stricte sur au moins un petit intervalle autour dex “ 12. Soient P1 et P2, deux polynômes tels que P1 ´ s18 ď ε et P2 ´ s28 ď ε (icila norme supremum est prise sur r0, 1s). C’est le théorème de Stone-Weierstrass (18.6) quinous permet de le faire.Nous posons aussi 7

Q1 “ P1 ` ε (18.48a)Q2 “ P2 ´ ε. (18.48b)

Nous avons ż 1

0Q1 ´Q2 ď

ż 1

0Q1 ´ P1 ` P1 ´ P2 ` P2 ´Q2. (18.49)

Pour majorer cela, d’abord Q1 ´ P1 “ P2 ´Q2 “ ε, ensuite,

P1 ´ P2 “ P1 ´ s1 ` s1 ´ s2 ` s2 ´ P2 (18.50)

dans lequel nous avons P1 ´ s1 ď ε, s2 ´ P2 ď ε etş10 s1 ´ s2 ď ε. Au final, nous posons

q “ Q2 ´Q1 et nous avons ż 1

0q ď 5ε. (18.51)

Enfin nous posons aussiRipxq “ x` xp1´ xqQi. (18.52)

7. À ce niveau, je crois qu’il y a une faute de frappe dans [209].

18.2. PRIMITIVE DE FONCTION CONTINUE 1053

Ces polynômes vérifient Rip0q “ 0, Rip1q “ 1 et

R1 ď g ď R2 (18.53)

parce queQ1 ď P1 ď h ď P2 ď Q2 (18.54)

ett` tp1´ tqQ1 ď t` tp1´ tqhptqloooooooomoooooooon

gptqď t` tp1´ tqQ2. (18.55)

Preuve que g est dans Γ D’abord si 0 ď x ă 1, xN ă 12 pour un certain N , et alors gpxN q “

0. Du coup la série8ÿ

n“0angpxnq “

Nÿ

n“0an (18.56)

est une somme finie qui converge donc.D’autre part nous prenonsM tel que |an| ă M

n pour tout n. Nous majoronsřnPN angpxnq en

utilisant R1. Mais vu que R1 est un polynôme, nous pouvons dire que |ř8n“0 anR1pxnq| ď ε

en prenant x P rλ, 1r et λ assez grand. Nous avons :ˇˇˇ8ÿ

n“0angpxnq

ˇˇˇ ď

ˇˇˇ8ÿ

n“0angpxnq ´

8ÿ

n“0anR1pxnq

ˇˇˇ`

ˇˇˇ8ÿ

n“0anR1pxnq

ˇˇˇloooooooomoooooooon

ďε

(18.57a)

ď ε`8ÿ

n“0|an|pg ´R1qpxnq (18.57b)

ď ε`8ÿ

n“0|an|pR2 ´R1qpxnq (18.57c)

ď ε`M8ÿ

n“0

xnp1´ xnqn

pQ2 ´Q1qpxnq R2 ´R1 “ xp1´ xqpQ2 ´Q1q(18.57d)

“ ε`M8ÿ

n“0

xnp1´ xnqn

qpxnq (18.57e)

ď ε`Mp1´ xqÿ

n

xnqpxnq (18.57f)

où la ligne (18.57f) provient d’une majoration sauvage de 1n par 1 et de 1´ xn par 1´ x.Par le lemme 18.14, nous avons alors

limxÑ1´

|ÿ

n

angpxnq| ď ε`Mż 1

0q ď 6ε. (18.58)

18.2.2 Théorème de Müntz

Théorème 18.16 (Théorème de Müntz[213, 214, 215]).Soit C0

`r0, 1s˘, l’espace des fonctions continues sur r0, 1s muni de la norme .8 ou .2 et unesuite pαnq strictement croissante de nombres positifs. Nous notons φλ la fonction x ÞÑ xλ.

AlorsSpant1, φαnu (18.59)

est dense dans C0`r0, 1s˘ si et seulement si

8ÿ

n“2

1αn“ `8. (18.60)

1054 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Nous prouvons le théorème pour la norme .2.Démonstration. Soit m P R` ; nous notons ∆N pmq la distance entre φm et Spantφα1 , . . . , φαN u.Cette distance peut être évaluée avec le déterminant de Gram (proposition 9.15)

∆N pmq2 “ Gpφm, φα1 , . . . , φαN qGpφα1 , . . . , φαN q

. (18.61)

Pour calculer cela nous avons besoin des produits scalaires 8

xφa, φby “ż 1

0xa`bdx “ 1

a` b` 1 . (18.62)

Pour avoir des notation plus compactes, nous notons α0 “ m. Donc nous avons à calculer ledéterminant

Gpφm, φα1 , . . . , φαN q “ det´

1αi`αj`1

¯(18.63)

où i, j “ 0, . . . , N . Nous reconnaissons un déterminant de Cauchy (proposition 9.16) en posant,dans 1

αi`αj`1 , ai “ αi et bj “ αj ` 1. Étant donné que bj ´ bi “ aj ´ ai, nous avons

Gpφm, φα1 , . . . , φαN q “ś

0ďiăjďN pαj ´ αiq2śNi“0

śNj“0pαi ` αj ` 1q. (18.64)

Nous séparons maintenant les termes où i ou j sont nuls. En ce qui concerne le dénominateur, ilfaut prendre tous les couples pi, jq avec i et j éventuellement égaux à zéro. Nous décomposant celaen trois paquets. Le premier est p0, 0q ; le second est p0, iq (chaque couple arrive en fait deux foisparce qu’il y a aussi pi, 0q) ; et le troisième sont les i, j tous deux différents de zéro :

p2m` 1qź

ij

pαi ` αj ` 1qź

i

pαi `m` 1q2. (18.65)

Notons que dans le produit central, le carré est contenu dans le fait qu’on écritśij et non

śiăj .

Nous avons donc

Gpφm, φα1 , . . . , φαN q “śiăjpαi ´ αjq2

śipαi ´mq2

p2m` 1qśijpαi ` αj ` 1qśipαi `m` 1q2 . (18.66)

Le calcul de Gpφα1 , . . . , φαN q est plus simple 9 :

Gpφα1 , . . . , φαN q “śiăjpαi ´ αjq2śijpαi ` αj ` 1q . (18.67)

En divisant l’un par l’autre il ne reste que les facteurs comprenant m et en prenant la racine carré,

∆N pmq “ 1?2m` 1

Nź

i“1

ˇˇ αi ´mαi `m` 1

ˇˇ . (18.68)

Nous passons maintenant à la preuve proprement dite. Supposons que V “ Spantφαi , i P Nuest dense. Si m est un des αi, il peut évidemment être approché par les φαi . Mais vue la densitéde V , un φm avec m ‰ αi (pour tout i) alors φm peut également être arbitrairement approché parles φαi , c’est à dire que

limNÑ8∆N pmq “ 0. (18.69)

Nous posonsun “ ln

ˆαn ´m

αn `m` 1

˙(18.70)

8. C’est ici qu’on se particularise à la norme .2.9. Je crois qu’il y a une faute de frappe dans le dénominateur de [213].

18.2. PRIMITIVE DE FONCTION CONTINUE 1055

et nous prouvons que la sérieřn un diverge. En effet nous nous souvenons de la formule lnpabq “

lnpaq ` lnpbq, de telle sorte que la N esomme partielle deřn un est

lnˆ

α1 ´mα1 `m` 1 · . . . · αN ´m

αN `m` 1

˙“ ln

`?2m` 1∆N pmq

˘, (18.71)

qui tends vers ´8 lorsque N Ñ8.Si la suite pαnq est majorée et plus généralement si nous n’avons pas αn Ñ8, alors évidemment

la sérieřn

1αn

diverge. Nous supposons donc que limnÑ8 αn “ 8. Nous avons aussi 10

un “ lnˆ

αn ´mαn `m` 1

˙“ ln

ˆ1´ 2m` 1

αn `m` 1

˙„ ´2m` 1

αn. (18.72)

Une justification est donné à l’équation (12.164). Ce que nous avons surtout estÿ

n

un „ ´p2m` 1qÿ

n

1αn. (18.73)

Étant donné que la série de gauche diverge, celle de droite diverge 11.Nous faisons maintenant le sens opposé : nous supposons que la série

řn 1αn diverge et nous

nous posonsV “ Spantφαn tel que n P Nu. (18.74)

Il suffit de prouver que φm P V pour tout m parce qu’un corollaire du théorème de Stone-Weierstrass 18.7 montre que Spantφk tel que k P Nu est dense dans C pour la norme .2.

Si αn Ñ8, nous avons :un „ 2m` 1

αnÑ 0 (18.75)

et alors ∆N pmq Ñ 0. Dans ce cas nous avons immédiatement φm P V .Si par contre αn ne tend pas vers l’infini, nous repartons de l’expression (18.68), nous posons

0 ă α “ supi αi et nous calculons :

?2m` 1∆N pmq “

Nź

i“1

|αi ´m|αi `m` 1 (18.76a)

ďNź

i“1

αi `mαi `m` 1 (18.76b)

“Nź

i“1

ˆ1´ 1

αi `m` 1

˙(18.76c)

ďNź

i“1

ˆ1´ 1

α`m` 1

˙(18.76d)

“ˆ

1´ 1α`m` 1

˙N. (18.76e)

Cette dernière expression tend vers 0 lorsque N Ñ8.

Remarque 18.17.Certaines sources 12 citent le théorème de Müntz comme ceci (avec un implicite que αi ‰ 0) :

Spant1, φαiu “ C`r0, 1s˘ô

ÿ

iě1

1αi“ `8. (18.77)

10. Je crois qu’il y a une faute de signe dans la dernière expression de [214].11. Nous utilisons le fait que si un “

řvn en tant que suites et si

řn un diverge, alors

řn vn diverge.

12. Dont le rapport du jury 2014

1056 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Que penser de la présence explicite du 1 (c’est à dire de φ0) ou non dans l’ensemble ?Première chose : la présence éventuelle de φ0 est la raison pour laquelle nous faisons commencer

la somme à i “ 2 et non i “ 1. Dans le même ordre d’idée, si Spantφαiu est dense, alors en prenantn’importe quelle queue de suite, ça reste dense.

Prouvons donc l’énoncé (18.77). Si Spant1, φαiu est dense, alors en posant β1 “ 0, βi “ αi´1notre théorème prouve que

ř8β“2

1βi“ `8, cela est exactement que

ř8i“1

1αi“ `8. Dans l’autre

sens, siřiě1

1αi“ `8, alors nous avons aussi

řiě2

1αi“ `8 et notre théorème dit que Spantφαiu

est dense. A fortiori, Spant1, φαiu est dense.

Exemple 18.18Nous savons depuis le théorème 15.68 que la somme des inverses des nombres premiers diverge.4

18.3 Théorèmes de point fixe

18.3.1 Points fixes attractifs et répulsifs

Définition 18.19.Soit I un intervalle fermé de R et ϕ : I Ñ I une application C1. Soit a un point fixe de ϕ.Nous disons que a est attractif s’il existe un voisinage V de a tel que pour tout x0 P V la suitexn`1 “ ϕpxnq converge vers a. Le point a sera dit répulsif s’il existe un voisinage V de a tel quepour tout x0 P V la suite xn`1 “ ϕpxnq diverge.Lemme 18.20 ([216]).Soit a un point fixe de ϕ.

(1) Si |ϕ1paq| ă 1 alors a est attractif et la convergence est au moins exponentielle.(2) Si |ϕ1paq| ą 1 alors a est répulsif et la divergence est au moins exponentielle.

Démonstration. Si |ϕ1paq ă 1| alors il existe k tel que |ϕ1paq| ă k ă 1 et par continuité il existeun voisinage V de a dans lequel |ϕ1pxq| ă k pour tout x P V . En utilisant le théorème desaccroissements finis nous avons

|xn ´ a| “ˇfpxn´1 ´ aq

ˇ ď k|xn´1 ´ a| (18.78)

et par récurrence|xn ´ a| ď kn|x0 ´ a|. (18.79)

Le cas |ϕ1paq ą 1| se traite de façon similaire.

Remarque 18.21.Dans le cas |ϕ1paq| “ 1, nous ne pouvons rien conclure. Si ϕpxq “ sinpxq nous avons sinpxq ă x etle point a “ 0 est attractif. A contrario, si ϕpxq “ sinhpxq nous avons | sinhpxq| ą |x| et le pointa “ 0 est répulsif.

18.3.2 Picard

Définition 18.22.Une application f : pX, .Xq Ñ pY, .Y q entre deux espaces métriques est une contraction si elleest k-Lipschitz pour un certain 0 ď k ă 1, c’est à dire si pour tout x, y P X nous avons

fpxq ´ fpyqY ď kx´ yX . (18.80)

Théorème 18.23 (Picard [217, 218] 13.).Soit X un espace métrique complet et f : X Ñ X une application contractante, de constante de13. Il me semble qu’à la page 100 de [218], l’hypothèse H1 qui est prouvée ne prouve pas Hn dans le cas n “ 1.

Merci de m’écrire si vous pouvez confirmer ou infirmer. La preuve donnée ici ne contient pas cette «erreur».

18.3. THÉORÈMES DE POINT FIXE 1057

Lipschitz k. Alors f admet un unique point fixe, nommé ξ. Ce dernier est donné par la limite dela suite définie par récurrence

"x0 P X (18.81a)xn`1 “ fpxnq. (18.81b)

De plus nous pouvons majorer l’erreur par

xn ´ x ď kn

1´ k xn ´ xn´1 ď kn

1´ k x1 ´ x0. (18.82)

Soit r ą 0, a P X tels que la fonction f laisse la boule K “ Bpa, rq invariante (c’est à dire quef se restreint à f : K Ñ K). Nous considérons les suites punq et pvnq définies par

"u0 “ v0 P K (18.83a)un`1 “ fpvnq, vn`1 P Bpun, εq. (18.83b)

Alors le point fixe ξ de f est dans K et la suite pvnq satisfait l’estimation

vn ´ ξ ď kn

1´ k u1 ´ u0 ` ε

1´ k . (18.84)

La première inégalité (18.82) donne une estimation de l’erreur calculable en cours de processus ;la seconde donne une estimation de l’erreur calculable avant de commencer.

Démonstration. Nous commençons par l’unicité du point fixe. Si a et b sont des points fixes, alorsfpaq “ a et fpbq “ b. Par conséquent

fpaq ´ fpbq “ a´ b, (18.85)

ce qui contredit le fait que f soit une contraction.En ce qui concerne l’existence, notons que si la suite des xn converge dans X, alors la limite

est un point fixe. En effet en prenant la limite des deux côtés de l’équation xn`1 “ fpxnq, nousobtenons ξ “ fpξq, c’est à dire que ξ est un point fixe de f . Notons que nous avons utilisé ici lacontinuité de f , laquelle est une conséquence du fait qu’elle soit Lipschitz. Nous allons donc porternos efforts à prouver que la suite est de Cauchy (et donc convergente parce que X est complet).Nous commençons par prouver que xn`1 ´ xn ď knx0 ´ x1. En effet pour tout n nous avons

xn`1 ´ xn “ fpxnq ´ fpxn´1q ď kxn ´ xn´1. (18.86)

La relation cherchée s’obtient alors par récurrence. Soient q ą p. En utilisant une somme télesco-pique,

xq ´ xp ďq´1ÿ

l“pxl`1 ´ xl (18.87a)

ď˜q´1ÿ

l“pkl

¸x1 ´ x0 (18.87b)

ď˜ 8ÿ

l“pkl

¸x1 ´ x0. (18.87c)

Étant donné que k ă 1, la parenthèse est la queue d’une série qui converge, et donc tend vers zérolorsque p tend vers l’infini.

En ce qui concerne les inégalités (18.82), nous refaisons une somme télescopique :

xn`p ´ xn ď xn`p ´ xn`p´1 ` ¨ ¨ ¨ ` xn`1 ´ xn (18.88a)ď kpxn ´ xn´1 ` kp´1xn ´ xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` kxn ´ xn´1 (18.88b)“ kp1` ¨ ¨ ¨ ` kp´1qxn ´ xn´1 (18.88c)

ď k

1´ k xn ´ xn´1. (18.88d)

1058 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

En prenant la limite pÑ8 nous trouvons

ξ ´ xn ď k

1´ k xn ´ xn´1 ď k

1´ k x1 ´ x0. (18.89)

Nous passons maintenant à la seconde partie du théorème en supposant que f se restreigneen une fonction f : K Ñ K. D’abord K est encore un espace métrique complet, donc la premièrepartie du théorème s’y applique et f y a un unique point fixe.

Nous allons montrer la relation par récurrence. Tout d’abord pour n “ 1 nous avons

v1 ´ ξ ď v1 ´ u1 ` u1 ´ ξ ď ε` k

1´ k u1 ´ u0 (18.90)

où nous avons utilisé l’estimation (18.89), qui reste valable en remplaçant x1 par u1 14. Nouspouvons maintenant faire la récurrence :

vn`1 ´ ξ ď vn`1 ´ un`1 ` un`1 ´ ξ (18.91a)ď ε` kvn ´ ξ (18.91b)

ď ε` kˆ

kn

1´ k u1 ´ u0 ` ε

1´ k˙

(18.91c)

“ ε

1´ k `kn`1

1´ k u1 ´ u0. (18.91d)

Remarque 18.24.Ce théorème comporte deux parties d’intérêts différents. La première partie est un théorème depoint fixe usuel, qui sera utilisé pour prouver l’existence de certaines équations différentielles.

La seconde partie est intéressante d’un point de vie numérique. En effet, ce qu’elle nous enseigneest que si à chaque pas de calcul de la récurrence xn`1 “ fpxnq nous commettons une erreur d’ordrede grandeur ε, alors le procédé (la suite pvnq) ne converge plus spécialement vers le point fixe, maistend vers le point fixe avec une erreur majorée par εpk ´ 1q.Remarque 18.25.Au final l’erreur minimale qu’on peut atteindre est de l’ordre de ε. Évidemment si on commet unefaute de calcul de l’ordre de ε à chaque pas, on ne peut pas espérer mieux.

Remarque 18.26.Si f elle-même n’est pas contractante, mais si fp est contractante pour un certain p P N alors laconclusion du théorème de Picard reste valide et f a le même unique point fixe que fp. En effetnommons x le point fixe de f : fppxq “ x. Nous avons alors

fp`fpxq˘ “ f

`fppxq˘ “ fpxq, (18.92)

ce qui prouve que fpxq est un point fixe de fp. Par unicité nous avons alors fpxq “ x, c’est à direque x est également un point fixe de f .

Si la fonction n’est pas Lipschitz mais presque, nous avons une variante.

Proposition 18.27.Soit E un ensemble compact 15 et si f : E Ñ E est une fonction telle que

fpxq ´ fpyq ă x´ y (18.93)

pour tout x ‰ y dans E alors f possède un unique point fixe.14. Elle n’est cependant pas spécialement valable si on remplace xn par un.15. Notez cette hypothèse plus forte

18.3. THÉORÈMES DE POINT FIXE 1059

Démonstration. La suite xn`1 “ fpxnq possède une sous suite convergente. La limite de cette soussuite est un point fixe de f parce que f est continue. L’unicité est due à l’aspect strict de l’inégalité(18.93).

Théorème 18.28 (Équation de Fredholm).Soit K : ra, bs ˆ ra, bs Ñ R et ϕ : ra, bs Ñ R, deux fonctions continues. Alors si λ est suffisammentpetit, l’équation

fpxq “ λ

ż b

aKpx, yqfpyqdy ` ϕpxq (18.94)

admet une unique solution qui sera de plus continue sur ra, bs.Démonstration. Nous considérons l’ensemble F des fonctions continues ra, bs Ñ ra, bs muni de lanorme uniforme. Le lemme 12.300 implique que F est complet. Nous considérons l’applicationΦ: F Ñ F donnée par

Φpfqpxq “ λ

ż b

aKpx, yqfpyqdy ` ϕpxq. (18.95)

Nous montrons que Φp est une application contractante pour un certain p. Pour tout x P ra, bsnous avons

Φpfq ´ Φpgq8 ď Φpfqpxq ´ Φpgqpxq (18.96a)

“ |λ|›››ż b

aKpx, yq`fpyq ´ gpyq˘dy

››› (18.96b)

ď |λ|K8|b´ a|f ´ g8 (18.96c)

Si λ est assez petit, et si p est assez grand, l’application Φp est donc une contraction. Elle possèdedonc un unique point fixe par le théorème de Picard 18.23.

18.3.3 Brouwer

Proposition 18.29.Soit f : ra, bs Ñ ra, bs une fonction continue. Alors f accepte un point fixe.

Démonstration. En effet si nous considérons gpxq “ fpxq´x alors nous avons gpaq “ fpaq´ a ě 0et gpbq “ fpbq ´ b ď 0. Si gpaq ou gpbq est nul, la proposition est démontrée ; nous supposons doncque gpaq ą 0 et gpbq ă 0. La proposition découle à présent du théorème des valeurs intermédiaires12.21.

Exemple 18.30La fonction x ÞÑ cospxq est continue entre r´1, 1s et r´1, 1s. Elle admet donc un point fixe. Parconséquent il existe (au moins) une solution à l’équation cospxq “ x. 4

Proposition 18.31 (Brouwer dans Rn version C8 via Stokes).Soit B la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 de Rn et f : B Ñ B une fonction C8. Alors fadmet un point fixe.

Démonstration. Supposons que f ne possède pas de points fixes. Alors pour tout x P B nousconsidérons la ligne droite partant de x dans la direction de fpxq (cette droite existe parce que xet fpxq sont supposés distincts). Cette ligne intersecte BB en un point que nous appelons gpxq.Prouvons que cette fonction est Ck dès que f est Ck (y compris avec k “ 8).

Le point gpxq est la solution du système$’&’%

gpxq ´ fpxq “ λ`x´ fpxq˘ (18.97a)

gpxq2 “ 1 (18.97b)λ ě 0. (18.97c)

1060 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

En substituant nous obtenons l’équation

Pxpλq “ λ`x´ fpxq˘` fpxq2 ´ 1 “ 0, (18.98)

ou encoreλ2x´ fpxq2 ` 2λ

`x´ fpxq˘· fpxq ` fpxq2 ´ 1 “ 0. (18.99)

En tenant compte du fait que fpxq ă 1 (pare que les images de f sont dans B), nous trouvonsque Pxp0q ď 0 et Pxp1q ď 0. De même limλÑ8 Pxpλq “ `8. Par conséquent le polynôme de seconddegré Px a exactement deux racines distinctes λ1 ď 0 et λ2 ě 1. La racine que nous cherchons estla seconde. Le discriminant est strictement positif, donc pas besoin d’avoir peur de la racine dans

λpxq “ ´`x´ fpxq˘· fpxq ` ?∆x

x´ fpxq2 (18.100)

où∆x “ 4

´`x´ fpxq˘· fpxq

¯2 ´ 4x´ fpxq2`fpxq2 ´ 1˘. (18.101)

Notons que la fonction λpxq est Ck dès que f est Ck ; et en particulier elle est C8 si f l’est.En résumé la fonction g ainsi définie vérifie deux propriétés :(1) elle est C8 ;(2) elle est l’identité sur BB.

La suite de la preuve consiste à montrer qu’une telle rétraction sur B ne peut pas exister 16.Nous considérons une forme de volume ω sur BB : l’intégrale de ω sur BB est la surface de BB

qui est non nulle. Nous avons alors

0 ăż

BBω “

ż

BBg˚ω “

ż

Bdpg˚ωq “

ż

Bg˚pdωq “ 0 (18.102)

Justifications :— L’intégrale

şBB ω est la surface de BB et est donc non nulle.

— La fonction g est l’identité sur BB. Nous avons donc ω “ g˚ω.— Le lemme 14.9.— La forme ω est de volume, par conséquent de degré maximum et dω “ 0.

Un des points délicats est de se ramener au cas de fonctions C8. Pour la régularisation parconvolution, voir [219] ; pour celle utilisant le théorème de Weierstrass, voir [220].

Théorème 18.32 (Brouwer dans Rn version continue).Soit B la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 de Rn et f : B Ñ B une fonction continue 17.Alors f admet un point fixe.

Démonstration. Nous commençons par définir une suite de fonctions

fkpxq “ fpxq1` 1

k

. (18.103)

Nous avons fk ´ f8 ď 11`k où la norme est la norme uniforme sur B. Par le théorème de

Weierstrass 18.5 il existe une suite de fonctions C8pB,Rq que nous nommons gk telles que

gk ´ fk8 ď 11` k . (18.104)

16. Notons qu’il n’existe pas non plus de rétractions continues sur B, mais pour le montrer il faut utiliser d’autresméthodes que Stokes, ou alors présenter les choses dans un autre ordre.17. Une fonction continue sur un fermé de Rn est à comprendre pour la topologie induite.

18.3. THÉORÈMES DE POINT FIXE 1061

Vérifions que cette fonction gk soit bien une fonction qui prend ses valeurs dans B :

gkpxq ď gkpxq ´ fkpxq ` fkpxq (18.105a)

ď 11` k `

fpxq1` 1

k

(18.105b)

ď 11` k `

11` 1

k

(18.105c)

“ 1. (18.105d)

Par la version C8 du théorème (proposition 18.31), gk admet un point fixe que l’on nomme xk.Étant donné que xk est dans le compact B, quitte à prendre une sous suite nous supposons

que la suite pxkq converge vers un élément x P B. Nous montrons maintenant que x est un pointfixe de f :

fpxq ´ x “ fpxq ´ gkpxq ` gkpxq ´ xk ` xk ´ x (18.106a)ď fpxq ´ gkpxq ` gkpxq ´ xkloooooomoooooon

“0

`xk ´ x (18.106b)

ď 11` k ` xk ´ x. (18.106c)

En prenant le limite k Ñ8 le membre de droite tend vers zéro et nous obtenons fpxq “ x.

18.3.4 Théorème de Schauder

Une conséquence du théorème de Brouwer est le théorème de Schauder qui est valide en di-mension infinie.

Théorème 18.33 (Théorème de Schauder[221]).Soit E, un espace vectoriel normé, K un convexe compact de E et f : K Ñ K une fonctioncontinue. Alors f admet un point fixe.

Démonstration. Étant donné que f : K Ñ K est continue, elle y est uniformément continue. Sinous choisissons ε alors il existe δ ą 0 tel que

fpxq ´ fpyq ď ε (18.107)

dès que x ´ y ď δ. La compacité de K permet de choisir un recouvrement fini par des ouvertsde la forme

K Ăď

1ďiďpBpxj , δq (18.108)

où tx1, . . . , xpu Ă K. Nous considérons maintenant L “ Spantfpxjq tel que 1 ď j ď pu et

K˚ “ K X L. (18.109)

Le fait que K et L soient convexes implique que K˚ est convexe. L’ensemble K˚ est égalementcompact parce qu’il s’agit d’une partie fermée de K qui est compact (lemme 6.75). Notons enparticulier que K˚ est contenu dans un espace vectoriel de dimension finie, ce qui n’est pas le casde K.

Nous allons à présent construire une sorte de partition de l’unité subordonnée au recouvrement(18.108) sur K (voir le lemme 14.10). Nous commençons par définir

ψjpxq “#

0 si x´ xj ě δ

1´ x´xjδ sinon.

(18.110)

1062 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

pour chaque 1 ď j ď p. Notons que ψj est une fonction positive, nulle en-dehors de Bpxj , δq. Enparticulier la fonction suivante est bien définie :

ϕjpxq “ ψjpxqřpk“1 ψkpxq

(18.111)

et nous avonsřpj“1 ϕjpxq “ 1. Les fonctions ϕj sont continues sur K et nous définissons finalement

gpxq “pÿ

j“1ϕjpxqfpxjq. (18.112)

Pour chaque x P K, l’élément gpxq est une combinaison des éléments fpxjq P K˚. Étant donné queK˚ est convexe et que la somme des coefficients ϕjpxq vaut un, nous avons que g prend ses valeursdans K˚ par la proposition 11.23.

Nous considérons seulement la restriction g : K˚ Ñ K˚ qui est continue sur un compact contenudans un espace vectoriel de dimension finie. Le théorème de Brouwer nous enseigne alors que g aun point fixe (proposition 18.32). Nous nommons y ce point fixe. Notons que y est fonction du εchoisit au début de la construction, via le δ qui avait conditionné la partition de l’unité.

Nous avons

fpyq ´ y “ fpyq ´ gpyq (18.113a)

“pÿ

j“1ϕjpyqfpyq ´

pÿ

j“1ϕjpyqfpxjq (18.113b)

“pÿ

j“1ϕpjqpyq`fpyq ´ fpxjq

˘. (18.113c)

Par construction, ϕjpyq ‰ 0 seulement si y ´ xj ď δ et par conséquent seulement si fpyq ´fpxjq ď ε. D’autre par nous avons ϕjpyq ě 0 ; en prenant la norme de (18.113) nous trouvons

fpyq ´ y ďpÿ

j“1ϕjpyq

`fpyq ´ fpxjq

˘ ďpÿ

j“1ϕjpyqε “ ε. (18.114)

Nous nous souvenons maintenant que y était fonction de ε. Soit ym le y qui correspond à ε “ 2´m.Nous avons alors

fpymq ´ ym ď 2´m. (18.115)

L’élément ym est dans K˚ qui est compact, donc quitte à choisir une sous suite nous pouvonssupposer que ym est une suite qui converge vers y˚ P K 18. Nous avons les majorations

fpy˚q ´ y˚ ď fpy˚q ´ fpymq ` fpymq ´ ym ` ym ´ y˚. (18.116)

Si m est assez grand, les trois termes du membre de droite peuvent être rendus arbitrairementpetits, d’où nous concluons que

fpy˚q “ y˚ (18.117)

et donc que f possède un point fixe.

18.3.5 Théorème de Markov-Kakutani et mesure de Haar

Définition 18.34.Soit G un groupe topologique. Une mesure de Haar sur G est une mesure µ telle que

(1) µpgAq “ µpAq pour tout mesurable A et tout g P G,18. Notons que même dans la sous suite nous avons fpymq ´ ym ď 2´m, avec le même «m» des deux côtés de

l’inégalité.

18.3. THÉORÈMES DE POINT FIXE 1063

(2) µpKq ă 8 pour tout compact K Ă G.

Si de plus le groupe G lui-même est compact nous demandons que la mesure soit normalisée :µpGq “ 1.

Le théorème suivant nous donne l’existence d’une mesure de Haar sur un groupe compact.

Théorème 18.35 (Markov-Katutani[222]).Soit E un espace vectoriel normé et L, une partie non vide, convexe, fermée et bornée de E1. SoitT : LÑ L une application continue. Alors T a un point fixe.

Démonstration. Nous considérons un point x0 P L et la suite

xn “ 1n` 1

nÿ

i“0T ix0. (18.118)

La somme des coefficients devant les T ipx0q étant 1, la convexité de L montre que xn P L. Nousconsidérons l’ensemble

C “č

nPNtxm tel que m ě nu. (18.119)

Le lemme 6.150 indique que C n’est pas vide, et de plus il existe une sous suite de pxnq qui convergevers un élément x P C. Nous avons

limnÑ8xσpnqpvq “ xpvq (18.120)

pour tout v P E. Montrons que x est un point fixe de T . Nous avons

pTxσpkq ´ xσpkqqv “›››T 1

1` σpkqσpkqÿ

i“0T ix0pvq ´ 1

1` σpkqσpkqÿ

i“0T ix0pvq

››› (18.121a)

“››› 11` σpkq

σpkqÿ

i“0T i`1x0pvq ´ T ix0pvq

››› (18.121b)

“ 11` σpkq

››T σpkq`1x0pvq ´ x0pvq›› (18.121c)

ď 2Mσpkq ` 1 (18.121d)

où M “ řyPL ypvq ă 8 parce que L est borné. En prenant k Ñ8 nous trouvons

limkÑ8

`Txσpkq ´ xσpkq

˘v “ 0, (18.122)

ce qui signifie que Tx “ x parce que T est continue.

Le théorème suivant est une conséquence du théorème de Markov-Katutani.

Théorème 18.36.Si G est un groupe topologique compact possédant une base dénombrable de topologie alors G accepteune unique mesure de Haar normalisée. De plus elle est unimodulaire :

µpAgq “ µpgAq “ µpAq (18.123)

pour tout mesurables A Ă G et tout élément g P G.

1064 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

18.4 Théorèmes de point fixes et équations différentielles

18.4.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz

Nous démontrons ici deux théorèmes de Cauchy-Lipschitz. De nombreuses propriétés annexesseront démontrées dans le chapitre sur les équations différentielles, section 30.8.

Théorème 18.37 (Cauchy-Lipschitz[223, 224]).Nous considérons l’équation différentielle

"y1ptq “ f

`t, yptq˘ (18.124a)

ypt0q “ y0 (18.124b)

avec f : U “ I ˆΩ Ñ Rn où I est ouvert dans R et Ω ouvert dans Rn. Nous supposons que f estcontinue sur U et localement Lipschitz 19 par rapport à y.

Alors il existe un intervalle J Ă I sur lequel la solution au problème est unique. De plus toutesolution du problème est une restriction de cette solution à une partie de J . La solution sur J (dite«solution maximale») est de classe C1.

Démonstration. Nous divisions la preuve en plusieurs étapes (même pas toutes simples).Cylindre de sécurité et espace fonctionnel Précisons l’espace fonctionnel F adéquat. Soient

V et W les voisinages de t0 et y0 sur lesquels f est localement Lipschitz. Nous considéronsles quantités suivantes :(1) M “ supVˆW f ;(2) r ą 0 tel que Bpy0, rq Ă V

(3) T ą 0 tel que Bpt0, T q ĂW et T ă rM .Nous considérons alors l’ensemble

F “ C0`Bpt0, T q, Bpy0, rq˘

(18.125)

que nous munissons de la norme uniforme. Par le lemme 12.300 l’espace`F , .8

˘est

complet.Une application Φ: F Ñ F Si y est une solution de l’équation différentielle considérée, elle

vérifieyptq “ y0 `

ż t

t0

f`u, ypuq˘du. (18.126)

Ceci nous incite à considérer l’opérateur Φ: F Ñ F défini par

Φpyqptq “ y0 `ż t

t0

f`u, ypuq˘du. (18.127)

Pour que l’application Φ soit utile nous devons montrer que pour tout y P F ,— l’application Φpyq est bien définie,— pour tout t P Bpy0, rq nous avons Φpyqptq P Bpt0, T q,— l’application Φpyq : Bpt0, T q Ñ Bpy0, rq est continue.Attention : nous ne prétendons pas que Φ elle-même soit continue. C’est parti.

Φpyq est bien définie Il faut montrer que l’intégrale converge. Le calcul de Φpyqptq ne sefait qu’avec t P Bpt0, T q. Vu que u prend ses valeurs dans rt0, ts et que y P F , le nombreypuq est toujours dans Bpy0, rq. Ceci pour dire que dans l’intégrale, la fonction f n’estconsidérée que sur rt0, ts ˆ Bpy0, rq Ă V ˆ W . La fonction f est donc uniformémentmajorable, et l’intégrale ne pose pas de problèmes.

19. Définition 12.246. Notons que nous ne supposons pas que f soit une contraction.

18.4. THÉORÈMES DE POINT FIXES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1065

Φpyqptq P Bpt0, T q Prouvons que Φpyqptq P Bpy0, rq. Pour cela, notons que

|Φpyqptq ´ y0| ďż t

t0

|f`u, ypuq˘|du ď |t´ t0|f8. (18.128)

Étant donné que t P Bpt0, T q nous avons |t´ t0| ď rM et donc |Φpyqptq ´ y0| ď r.Φpyq est continue Nous pourrions invoquer le théorème 14.62, mais nous allons le faire à

la main. Soit s0 P Bpt0, T q et prouvons que Φpyq est continue en s0. Pour cela nousprenons s P Bps0, δq et nous calculons :

|Φpyqpsq ´ Φpyqps0q| ďż s

s0

|f`u, ypuq˘|du ď |s0 ´ s|f8. (18.129)

C’est le fait que f soit bornée dans le cylindre de sécurité qui fait en sorte que cela tendevers zéro lorsque sÑ s0.

L’équation (18.126) signifie que y est un point fixe de Φ. L’espace F étant complet lethéorème de point fixe de Picard (théorème 18.23) s’applique. Nous allons montrer qu’ilexiste un p P N tel que Φp soit contractante. Par conséquent Φp aura un unique point fixequi sera également unique point fixe de Φ par la remarque 18.26.

Contractante Prouvons donc que Φp est contractante pour un certain p. Pour cela nous com-mençons par montrer la formule suivante par récurrence :

››Φppxqptq ´ Φppyqptq›› ď kp|t´ t0|pp! x´ y8 (18.130)

pour tout x, y P F , et pour tout t P Bpt0, T q. Pour p “ 0 la formule (18.130) est vérifiéeparce que x ´ y8 est le supremum de xptq ´ yptq pour t P Bpt0, T q. Supposons que laformule soit vraie pour p et calculons pour p` 1. Pour tout t P Bpt0, T q nous avons

››Φp`1pxqptq ´ Φp`1pyqptq›› ż t

t0

››f`u,Φppxqpuq˘´ f`u,Φppyqpuq˘››du

ˇˇ (18.131a)

ż t

t0

kΦppxqpuq ´ Φppyqpuqduˇˇ (18.131b)

ż t

t0

kkp|t´ t0|

p! x´ y8ˇˇ (18.131c)

“ kp`1|t´ t0|p`1

pp` 1q! x´ y8. (18.131d)

Justifications :— (18.131b) parce que f est Lipschitz.— (18.131c) par hypothèse de récurrence.La formule (18.130) est maintenant établie. Nous pouvons maintenant montrer que Φp estune contraction pour un certain p. Pour tout t P Bpt0, T q nous avons

Φppxqptq ´ Φppyqptq ď kp

t! |t´ t0|px´ y8 ď kpT p

p! x´ y8 (18.132)

où nous avons utilisé le fait que |t´ t0|p ă T p. En prenant le supremum sur t des deux côtésil vient

Φppxq ´ Φppyq8 ď kpT p

p! x´ y8. (18.133)

Le membre de droite tend vers zéro lorsque p Ñ 8 parce que k ă 1 et T pp! Ñ 0 20. Nousconcluons donc que Φp est une contraction pour un certain p.

20. C’est le terme général du développement de eT qui est une série convergente.

1066 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Conclusion L’unique point fixe de Φ est alors l’unique solution continue de l’équation diffé-rentielle (18.124). Par ailleurs l’équation elle-même y1 “ fpt, yq demande implicitement quey soit dérivable et donc continue. Nous concluons que l’unique point fixe de Φ est l’uniquesolution de l’équation différentielle donnée. Cette dernière est automatiquement C1 parceque si y est continue alors u ÞÑ fpu, ypuqq est continue, c’est à dire que y1 est continue.

Unicité Nous passons maintenant à la partie «prolongement maximum» du théorème. Soientx1 et x2 deux solutions maximales du problème (18.124) sur des intervalles I1 et I2 respec-tivement. Les intervalles I1 et I2 contiennent Bpt0, rq sur lequel x1 “ x2 par unicité.Nous allons maintenant montrer que pour tout t ě t0 pour lequel x1 ou x2 est défini, x1ptqet x2ptq sont définis et sont égaux. Le raisonnement sur t ď t0 est similaire.Supposons que l’ensemble des t ě t0 tels que x1 “ x2 soit ouvert à droite, c’est à dire soitde la forme rt0, br. Dans ce cas, soit x1 soit x2 (soit les deux) cesse d’exister en b. En effet sinous avions les fonctions xi sur rt0, b` εr alors l’équation x1 “ x2 définirait un fermé dansrt0, b ` εr. Supposons pour fixer les idées que x1 cesse d’exister : le domaine de x1 (parmiles t ě 0) est rt0, br et sur ce domaine nous avons x1 “ x2. Dans ce cas x1 pourrait êtreprolongé en x2 au-delà de b. Si x1 et x2 s’arrêtent d’exister en même temps en b, alors nousavons bien x1 “ x2.Nous devons donc traiter le cas où x1 “ x2 sur rt0, bs alors que x1 et x2 existent sur rt0, b`εrpour un certain ε.Nous pouvons appliquer le théorème d’existence locale au problème

"y1 “ fpt, yq (18.134a)ypbq “ x1pbq. (18.134b)

Il existe un voisinage de b sur lequel la solution est unique. Sur ce voisinage nous devonsdonc avoir x1 “ x2, ce qui contredit le fait que x1 ‰ x2 en dehors de rt0, bs.Donc x1 et x2 existent et sont égaux sur au moins I1 Y I2.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz donne existence et unicité d’une solution maximale. Cepen-dant cette solution peut ne pas exister partout où les hypothèses sur f sont remplies. En d’autrestermes, il peut arriver que f soit Lipschitz jusqu’à t1, mais que la solution maximale ne soit définieque jusqu’en t2 ă t1. Ce cas fait l’objet du théorème d’explosion en temps fini 30.18.

Sous quelque hypothèses nous pouvons nous assurer de l’existence d’une solution unique surtout R.

Théorème 18.38 (Cauchy-Lipschitz global[225, 2]).Soit un intervalle I de R, y0 P Rn, t0 P I et une fonction continue f : I ˆRn Ñ Rn telle que pourtout compact K dans I, il existe k ą 0 tel que

fpt, y1q ´ fpt, y2q ď ky1 ´ y2 (18.135)

pour tout t P K et y1, y2 P Rn.Alors le problème

"y1ptq “ f

`t, yptq˘ (18.136a)

ypt0q “ y0 (18.136b)possède une unique solution y : I Ñ Rn sur I.

Démonstration. Soit un intervalle compact K dans I et contenant t0. Nous notons ` le diamètrede K. Sur l’espace E “ C0pK,Rnq nous considérons la topologie uniforme : pE, .8q. C’est unespace complet par le lemme 12.300 (nous utilisons le fait que Rn soit complet, théorème 6.57).Nous allons utiliser l’application suivante :

Φ: E Ñ E

Φpyqptq “ y0 `ż t

t0

f`s, ypsq˘ds (18.137)

18.4. THÉORÈMES DE POINT FIXES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1067

Démontrons quelque faits à propos de Φ.La définition fonctionne bien Nous devons commencer par prouver que cette application

est bien définie. Si y P E alors f et y sont continues ; l’application s ÞÑ f`s, ypsq˘ est donc

également continue. L’intégrale de cette fonction sur le compact rt0, ts ne pose alors pas deproblèmes. En ce qui concerne la continuité de φpyq sous l’hypothèse que y soit continue,

Φpyqptq ´ Φpyqpt1q ďż t1

tfps, ypsqqds ďM |t´ t1| (18.138)

où M est une majoration de s ÞÑ f`s, ypsq˘8,K .

Si y est solution alors Φpyq “ y Supposons que y soit une solution de l’équation différentielle(18.136). Alors, vu que y1ptq “ f

`t, yptq˘ nous avons :

yptq “ y0 `ż t

t0

y1psqds “ y0 `ż t

t0

f`s, ypsq˘ds “ Φpyqptq. (18.139)

Si Φpyq “ y alors y est solution Nous avons, pour tout t :

yptq “ y0 `ż t

t0

f`s, ypsq˘ds. (18.140)

Le membre de droite est dérivable par rapport à t, et la dérivée fait f`t, yptq˘. Donc le

membre de gauche est également dérivable et nous avons bien

y1ptq “ f`t, yptq˘. (18.141)

De plus ypt0q “ y0 `şt0t0. . . “ y0.

Nous sommes encore avec K compact et E “ C0pK,Rnq muni de la norme uniforme. Nousallons montrer que Φ est une contraction de E pour une norme bien choisie.Une norme sur E Pour y P E nous posons

yk “ maxtPK

`e´k|t´t0|yptq˘. (18.142)

Ce maximum est bien définit et fini parce que la fonction de t dedans est une fonctioncontinue sur le compact K. Cela est également une norme parce que si yk “ 0 alorse´k|t´t0|yptq “ 0 pour tout t. Étant donné que l’exponentielle ne s’annule pas, yptq “ 0pour tout t.

Équivalence de norme Nous montrons que les normes .k et .8 sont équivalentes 21 :

y8e´k` ď yk ď y8 (18.143)

pour tout y P E. Pour la première inégalité, ` ě |t´ t0| pour tout t P K, et k ą 0, donc

yptqe´k` ď e´k|t´t0|yptq. (18.144)

En prenant le maximum des deux côtés, y8e´k` ď yk.En ce qui concerne la seconde inégalité dans (18.143), k|t´ t0| ě 0 et donc e´k|t´t0| ă 1.

Vu que les normes .8 et .k sont équivalentes, l’espace pE, .kq est tout autant complet quepE, .8q. Nous démontrons à présent que Φ est une contraction dans pE, kq.

Soient y, z P E. Si t ě t0 nous avons

Φpyqptq ´ Φpzqptq ďż t

t0

f`s, ypsq˘´ f`s, zpsq˘ds (18.145a)

ď k

ż t

t0

ypsq ´ zpsqds. (18.145b)

21. Définition 10.1

1068 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Il convient maintenant de remarquer que

yptq “ e´k|t´t0|ek|t´t0|yptq ď ykek|t´t0|. (18.146)

Nous pouvons avec ça prolonger les inégalités (18.145) par

Φpyqptq ´ Φpzqptq ď ky ´ zkż t

t0

ek|s´t0|ds “ ky ´ zkż t

t0

ekps´t0qds (18.147)

où nous avons utilisé notre supposition t ě t0 pour éliminer les valeurs absolues. L’intégralepeut être faite explicitement, mais nous en sommes arrivés à un niveau de fainéantise tellementinconcevable que

1

2 SageMath version 7.3, Release Date: 2016 -08 -043 Type " notebook () " for the browser -based notebook interface.4 Type " help () " for help .5

6 sage: var( ’a ,b , k ’)7 (a, b, k)8 sage: f(x)=exp(-k*x)9 sage: f.integrate(x,a,b)

10 e^(-a*k)/k - e^(-b*k)/k

tex/sage/sageSnip014.sage

Au final, si t ě t0,Φpyqptq ´ Φpzqptq ď y ´ zk

`ekpt´t0q ´ 1

˘. (18.148)

Si t ď t0, il faut retourner les bornes de l’intégrale avant d’y faire rentrer la norme parce que ş1

0 f ďş10 f, mais ça ne marche pas avec ş0

1 f. Pour t ď t0 tout le calcul donne

Φpyqptq ´ Φpzqptq ď y ´ zk`ekpt0´tq ´ 1

˘. (18.149)

Les deux inéquations sont valables a fortiori en mettant des valeurs absolues dans l’exponentielle,de telle sorte que pour tout t P K nous avons

e´k|t0´t|φpyqptq ´ Φpzqptq ď y ´ zk`1´ e´k|t0´t|˘. (18.150)

En prenant le supremum sur t,

Φpyq ´ Φpzqk ď y ´ zkp1´ e´k`q, (18.151)

mais 0 ă p1´ee´k`q ă 1, donc Φ est contractante pour la norme .k. Vu que pE, .kq est complet,l’application Φ y a un unique point fixe par le théorème de Picard 18.23.

Ce point fixe est donc l’unique solution de l’équation différentielle de départ.

Existence et unicité sur I Il nous reste à prouver que la solution que nous avons trouvéeexiste sur I : jusqu’à présent nous avons démontré l’existence et l’unicité sur n’importe quelcompact dans I.Soit une suite croissante de compacts Kn contenant t0 (par exemple une suite exhaustivecomme celle du lemme 6.156). Nous avons en particulier

I “8ď

n“0Kn. (18.152)

18.4. THÉORÈMES DE POINT FIXES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1069

Existence sur I Soit yn l’unique solution sur Kn. Il suffit de poser

yptq “ ynptq (18.153)

pour n tel que t P Kn. Cette définition fonctionne parce que si t P KnXKm, il y a forcémentun des deux qui est inclus à l’autre et le résultat d’unicité sur le plus grand des deux donneynptq “ ymptq.

Unicité sur I Soient y et z des solutions sur I ; vu que I n’est pas spécialement compact, letravail fait plus haut ne permet pas de conclure que y “ z.Soit t P I. Alors t P Kn pour un certain n et y et z sont des solutions sur Kn qui estcompact. L’unicité sur Kn donne yptq “ zptq.

18.39.Il y a d’autres moyens de prouver qu’une solution existe globalement sur R. Si f est globalementbornée, le théorème d’explosion en temps fini donne quelque garanties, voir 30.20.

Le théorème suivant donne une version du théorème de Cauchy-Lipschitz lorsque la fonction fdépend d’un paramètre. Ce théorème n’utilise rien de fondamentalement nouveau. Nous le donnonsseulement pour montrer que l’on peut choisir l’espace F de façon un peu maligne pour élargir lerésultat. Si vous voulez un théorème de Cauchy-Lipschitz avec paramètre vraiment intéressant,allez voir le théorème 30.31.

Théorème 18.40 (Cauchy-Lipschitz avec paramètre[1, 226]).Soit un intervalle ouvert I de R, un connexe ouvert Ω de Rn et un intervalle ouvert Λ de Rd. Soitune fonction f : I ˆ Ω ˆ Λ Ñ Rn continue et localement Lipschitz en Ω. Soient t0 P I, y0 P Ω etλ0 P Λ. Il existe un voisinage compact de pt0, y0, λ0q sur lequel le problème

"y1λptq “ f

`t, yλptq, λ

˘(18.154a)

yλpt0q “ y0 (18.154b)

possède une unique solution. De plus pt, λq ÞÑ yλptq est continue 22.

Démonstration. Problèmes et choses à faireCeci est une idée de la preuve. Je n’ai pas vérifié toutes les étapes. Soyez prudent.

D’abord nous avons un voisinage compact V ˆ Bpy0, rq ˆ Λ0 de pt0, y0, λ0q sur lequel f estbornée. Ensuite nous récrivons l’équation différentielle sous la forme

$&%ByBt pt, λq “ f

`t, ypt, λq, λ˘ (18.155a)

ypt0, λq “ y0. (18.155b)

pour une fonction y : V ˆ Λ0 Ñ Rn.Nous posons F “ C0`V ˆ Λ0,Rn

˘et nous y définissons l’application

Φ: F Ñ F

Φpyqpt, λq “ y0 `ż t

t0

f`s, yps, λq, λ˘ds. (18.156)

Il y a plein de vérifications à faire[226], mais je parie que Φ est bien définie, et que une de sespuissances est une contraction de pF , .8q. L’unique point fixe est une solution de notre problèmeet est dans C0, donc pt, λq ÞÑ ypt, λq “ yλptq est de classe C0, c’est à dire continue.

22. Ici, la surprise est que ce soit continu par rapport à λ. Le fait qu’elle le soit par rapport à t est clair depuis ledépart parce que c’est finalement rien d’autre que le Cauchy-Lipschitz vieux et connu.

1070 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

18.41.Ce théorème marque un peu la limite de ce que l’on peut faire avec la méthode des points fixesdans le cadre de Cauchy-Lipschitz : nous sommes limités à la continuité de la solution parce que lesespaces Cp ne sont pas complets 23. Il n’y a donc pas d’espoir d’adapter la méthode pour prouverque si f est de classe Cp alors pt, λq ÞÑ yλptq est de classe Cp. On peut, à λ fixé prouver quet ÞÑ yλptq est de classe Cp (utiliser une récurrence), mais pas plus.

La régularité C1 de y par rapport à la condition initiale sera l’objet du théorème 30.28. Cerésultat n’est vraiment pas facile et utilise des ingrédients bien autres qu’un point fixe. Ensuite larégularité Cp par rapport à la condition initiale et par rapport à un paramètre seront presque descadeaux (proposition 30.29 et 30.31).

Exemple 18.42([227])Nous savons que le théorème de Picard permet de trouver le point fixe par itération de la contractionà partir d’un point quelconque. Tentons donc de résoudre

"y1ptq “ yptq (18.157a)yp0q “ 1 (18.157b)

dont nous savons depuis l’enfance que la solution est l’exponentielle. Partons donc de la fonctionconstante y0 “ 1, et appliquons la contraction (18.137) :

u1 “ 1`ż 1

0u0psqds “ 1` t. (18.158)

Ensuiteu2 “ 1`

ż t

0p1` sqds “ 1` t` t2

2 . (18.159)

Et on voit que les itérations suivantes vont donner l’exponentielle.Nous sommes évidemment en droit de se dire que nous avons choisi un bon point de départ.

Tentons le coup avec une fonction qui n’a rien à voir avec l’exponentielle : u0pxq “ sinpxq.Le programme suivant permet de faire de belles investigations numériques en partant d’à peu

près n’importe quelle fonction :

1 # ! / usr / bin / sage - python2 # -* - coding : utf8 -* -3

4 from sage. all import *5

6 x=var( ’x ’)7

8 def Phi(f):9 prim=f.integrate ()

10 return 1+prim(x)-prim (0)11

12 f=sin(x)13

14 for i in range (1,30):15 print (i,f)16 f=Phi(f)17

18 g=f(x)-exp(x)19 plot(g,(x,-10,10)).show()

23. Par exemple, le théorème de Stone-Weierstrass 18.6 nous dit que la limite uniforme de polynômes (de classeC8) peut n’être que continue. Voir aussi le thème 22.

18.4. THÉORÈMES DE POINT FIXES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1071

tex/sage/picard_exp.py

Ce programme fait 30 itérations depuis la fonction sinpxq pour tenter d’approximer exppxq.Pour donner une idée, après 7 itérations nous avons la fonction suivante :

160x

5 ` 124x

4 ` 12x

2 ` 2x´ sinpxq ` 1. (18.160)

Nous voyons que les coefficients sont des factorielles, mais pas toujours celles correspondantes à lapuissance, et qu’il manque certains termes par rapport au développement de l’exponentielle quenous connaissons. Bref, le polynôme qui se met en face de sinpxq s’adapte tout seul pour compenser.

Et après 30 itérations, ça donne quoi ? Voici un graphe de l’erreur entre u30pxq et expp30q :

´10 ´8 ´6 ´4 ´2 2 4 6 8 10

´ 3200

´ 1100

´ 1200

1200

1100

Pour donner une idée, expp10q » 22000. Donc il y a une faute de 0.01 sur 22000. Pas mal.

4

18.4.2 Théorème de Cauchy-Arzella

Théorème 18.43 (Cauchy-Arzela[217]).Nous considérons le système d’équation différentielles

"y1 “ fpt, yq (18.161a)ypt0q “ y0. (18.161b)

avec f : U Ñ Rn, continue où U est ouvert dans RˆRn. Alors il existe un voisinage fermé V det0 sur lequel une solution C1 du problème (18.161) existe.

Idée de la démonstration. Nous considéronsM “ f8 et K, l’ensemble des fonctionsM -Lipschitzsur U . Nous prouvons que pK, .8q est compact. Ensuite nous considérons l’application

Φ: K Ñ K

Φpfqptq “ x0 `ż t

t0

f`u, fpuq˘du. (18.162)

Après avoir prouvé que Φ était continue, nous concluons qu’elle a un point fixe par le théorème deSchauder 18.33.

1072 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Remarque 18.44.Quelque remarques.

(1) Les théorème de Cauchy-Lipschitz et Cauchy-Arzella donnent des existences pour des équa-tions différentielles du type y1 “ fpt, yq. Et si nous avons une équation du second ordre ?Alors il y a la méthode de la réduction de l’ordre qui permet de transformer une équationdifférentielle d’ordre élevé en un système d’ordre 1.

(2) Ces théorèmes posent des conditions initiales : la valeur de y est donnée en un point, et laméthode de la réduction de l’ordre permet de donner l’existence de solutions d’un problèmed’ordre k en donnant les valeurs de yp0q, y1p0q, . . . ypk´1qp0q. C’est à dire de la fonction etde ses dérivées en un point. Rien n’est dit sur l’existence de conditions aux bords.

Ces deux points sont illustrés dans les exemples 30.15 et 30.16.

18.5 Théorèmes d’inversion locale et de la fonction implicite

18.5.1 Mise en situation

Dans un certain nombre de situation, il n’est pas possible de trouver des solutions explicitesaux équations qui apparaissent. Néanmoins, l’existence «théorique» d’une telle solution est souventdéjà suffisante. C’est l’objet du théorème de la fonction implicite.

Prenons par exemple la fonction sur R2 donnée par

F px, yq “ x2 ` y2 ´ 1. (18.163)

Nous pouvons bien entendu regarder l’ensemble des points donnés par F px, yq “ 0. C’est le cercledessiné à la figure 18.1.

‚ P

‚P 1

‚Q

‚x

Figure 18.1 – Un cercle pour montrer l’intérêt de la fonction implicite. Si on donne x, nous nepouvons pas savoir si nous parlons de P ou de P 1.

Nous ne pouvons pas donner le cercle sous la forme y “ ypxq à cause du ˘ qui arrive quandon prend la racine carrée. Mais si on se donne le point P , nous pouvons dire que autour de P , lecercle est la fonction

ypxq “a

1´ x2. (18.164)

Tandis que autour du point P 1, le cercle est la fonction

ypxq “ ´a

1´ x2. (18.165)

Autour de ces deux point, donc, le cercle est donné par une fonction. Il n’est par contre pas possiblede donner le cercle autour du point Q sous la forme d’une fonction.

Ce que nous voulons faire, en général, est de voir si l’ensemble des points tels que

F px1, . . . , xn, yq “ 0 (18.166)

18.5. THÉORÈMES D’INVERSION LOCALE ET DE LA FONCTION IMPLICITE 1073

peut être donné par une fonction y “ ypx1, . . . , xnq. En d’autre termes, est-ce qu’il existe unefonction ypx1, . . . , xnq telle que

F`x1, . . . , xn, ypx1, . . . , xnq

˘ “ 0. (18.167)

Plus généralement, soit une fonction

F : D Ă Rn ˆRm Ñ Rm

px, yq ÞÑ `F1px, yq, . . . , Fmpx, yq

˘ (18.168)

avec x “ px1, . . . , xnq et y “ py1, . . . , ymq. Pour chaque x fixé, on s’intéresse aux solutions dusystème de m équations F px, yq “ 0 pour les inconnues y ; en particulier, on voudrait pouvoirécrire y “ ϕpxq vérifiant F px, ϕpxqq “ 0.

18.5.2 Théorème d’inversion locale

Lemme 18.45.Soit E un espace de Banach (métrique complet) et O un ouvert de E. Nous considérons uneλ-contraction ϕ : O Ñ E. Alors l’application

f : x ÞÑ x` ϕpxq (18.169)

est un homéomorphisme entre O et un ouvert de E. De plus f´1 est Lipschitz de constante pluspetite ou égale à p1´ λq´1.

Cette proposition utilise le théorème de point fixe de Picard 18.23, et sera utilisée pour démon-trer le théorème d’inversion locale 18.47.

Démonstration. Soient x1, x2 P O. Nous posons y1 “ fpx1q et y2 “ fpx2q. En vertu de l’inégalitéde la proposition 6.32 nous avons

››fpx2q ´ fpx1q›› “ ››x2 ` ϕpx2q ´ x1 ´ ϕpx1q

›› (18.170a)

졡x2 ´ x1 ´

››ϕpx2q ´ ϕpx1q››ˇˇ (18.170b)

ě p1´ λqx2 ´ x1. (18.170c)

À la dernière ligne les valeurs absolues sont enlevées parce que nous savons que ce qui est àl’intérieur est positif. Cela nous dit d’abord que f est injective parce que fpx2q “ fpx1q impliquex2 “ x1. Donc f est inversible sur son image. Nous posons A “ fpOq et nous devons prouver queque f´1 : AÑ O est continue, Lipschitz de constante majorée par p1´ λq´1 et que A est ouvert.

Les inéquations (18.170) nous disent que

››f´1py1q ´ f´1py2q›› ď y1 ´ y2

1´ λ , (18.171)

c’est à dire quef´1`Bpy, rq˘ Ă B

`f´1pyq, r

1´ λ˘, (18.172)

ce qui signifie que f´1 est Lipschitz de constante souhaitée et donc continue.Il reste à prouver que fpOq est ouvert. Pour cela nous prenons y0 “ fpx0q dans fpOq est nous

prouvons qu’il existe ε tel que Bpy0, εq soit dans fpOq. Il faut donc que pour tout y P Bpy0, εq,l’équation fpxq “ y ait une solution. Nous considérons l’application

Ly : x ÞÑ y ´ ϕpxq. (18.173)

Ce que nous cherchons est un point fixe de Ly parce que si Lypxq “ x alors y “ x` ϕpxq “ fpxq.Vu que ››Lypxq ´ Lypx1q

›› “ ››ϕpxq ´ ϕpx1q›› ď λx´ x1, (18.174)

1074 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

l’application Ly est une contraction de constante λ. Par ailleurs x0 est un point fixe de Ly0 , doncen vertu de la caractérisation (12.635) des fonctions Lipschitziennes,

Ly0

`Bpx0, δq

˘ Ă B`Ly0px0q, λδ

˘ “ Bpx0, λδq. (18.175)

Vu que pour tout y et x nous avons Lypxq “ Ly0pxq ` y ´ y0,

Ly`Bpx0, δq

˘ “ Ly0

`Bpx0, δq

˘` py ´ y0q Ă Bpx0, λδq ` py ´ y0q Ă Bpx0q, λδ ` y ´ y0. (18.176)Si ε ă p1 ´ λqδ alors λδ ` y ´ y0 ă δ. Un tel choix de ε ą 0 est possible parce que λ ă 1. Pourune telle valeur de ε nous avons

Ly`Bpx0, δq

˘ Ă Bpx0, δq. (18.177)

Par conséquent Ly est une contraction sur l’espace métrique complet Bpx0, δq, ce qui signifie queLy y possède un point fixe par le théorème de Picard 18.23.

Le théorème d’inversion locale s’énonce de la façon suivante dans Rn :

Théorème 18.46 (Inversion locale dans Rn).Soit f P CkpRn,Rnq et x0 P Rn. Si dfx0 est inversible, alors il existe un voisinage ouvert U de x0et V de fpx0q tels que f : U Ñ V soit un Ck-difféomorphisme. (c’est à dire que f´1 est égalementde classe Ck)

Nous allons le démontrer dans le cas un peu plus général (mais pas plus cher 24) des espacesde Banach en tant que conséquence du théorème de point fixe de Picard 18.23.

Théorème 18.47 (Inversion locale dans un espace de Banach[228]).Soit une fonction f P CppE,F q avec p ě 1 entre deux espaces de Banach. Soit x0 P E tel que dfx0

soit une bijection bicontinue 25. Alors il existe un voisinage ouvert V de x0 et W de fpx0q tels que(1) f : V ÑW soit une bijection,(2) f´1 : W Ñ V soit de classe Cp.

Démonstration. Nous commençons par simplifier un peu le problème. Pour cela, nous considéronsla translation T : x ÞÑ x` x0 et l’application linéaire

L : Rn Ñ Rn

x ÞÑ pdfx0q´1x(18.178)

qui sont tout deux des difféomorphismes (L en est un par hypothèse d’inversibilité). Quitte àtravailler avec la fonction k “ L ˝ f ˝ T , nous pouvons supposer que x0 “ 0 et que dfx0 “ 1. Pourcomprendre cela il faut utiliser deux fois la formule de différentielle de fonction composée de laproposition 12.480 :

dk0puq “ dLpf˝T qp0q´dfT p0qdT0puq

¯. (18.179)

Vu que L est linéaire, sa différentielle est elle-même, c’est à dire dLpf˝T qp0q “ pdfx0q´1, et parailleurs dT0 “ 1, donc

dk0puq “ pdfx0q´1´dfx0puq

¯“ u, (18.180)

ce qui signifie bien que dk0 “ 1. Pour tout cela nous avons utilisé en plein le fait que dfx0 étaitinversible.

Nous posons g “ f ´ 1, c’est à dire gpxq “ fpxq ´ x, qui a la propriété dg0 “ 0. Étant donnéque g est de classe C1, l’application 26

dg : E Ñ GLpF qx ÞÑ dgx

(18.181)

24. Sauf la justification de la régularité de l’application A ÞÑ A´1

25. En dimension finie, une application linéaire est toujours continue et d’inverse continu.26. Ici GLpF q est l’ensemble des applications linéaires, inversibles et continues de F dans lui-même. Ce ne sont

pas spécialement des matrices parce que nous n’avons pas d’hypothèses sur la dimension de F , finie ou non.

18.5. THÉORÈMES D’INVERSION LOCALE ET DE LA FONCTION IMPLICITE 1075

est continue. En conséquence de quoi nous avons un voisinage U 1 de 0 pour lequel

supxPU 1

dgx ă 12 . (18.182)

Maintenant le théorème des accroissements finis 12.229 (12.241 pour la dimension finie) nousindique que pour tout x, x1 P U 1 nous avons 27

gpx1q ´ gpxq ď supaPrx,x1s

dga· x´ x1 ď 12x´ x

1, (18.183)

ce qui prouve que g est une contraction au moins sur l’ouvert U 1. Nous allons aussi donner uneidée de la façon dont f fonctionne : si x1, x2 P U 1 alors

x1 ´ x2 “ gpx1q ´ fpx1q ´ gpx2q ` fpx2q (18.184a)ď gpx1q ´ gpx2q ` fpx1q ´ fpx2q (18.184b)

ď 12x1 ´ x2 ` fpx1q ´ fpx2q, (18.184c)

ce qui montre quex1 ´ x2 ď 2fpx1q ´ fpx2q. (18.185)

Maintenant que nous savons que g est contractante de constante 12 et que f “ g`1 nous pouvons

utiliser la proposition 18.45 pour conclure que f est un homéomorphisme sur un ouvert U (partiede U 1) de E et f´1 a une constante de Lipschitz plus petite ou égale à p1´ 1

2q´1 “ 2.Nous allons maintenant prouver que f´1 est différentiable et que sa différentielle est donnée

par pdf´1qfpxq “ pdfxq´1.Soient a, b P U et u “ b ´ a. Étant donné que f est différentiable en a, il existe une fonction

α P opuq telle quefpbq ´ fpaq ´ dfapuq “ αpuq. (18.186)

En notant ya “ fpaq et yb “ fpbq et en appliquant pdfaq´1 à cette dernière équation,

pdfaq´1pyb ´ yaq ´ u “ pdfaq´1`αpuq˘. (18.187)

Vu que dfa est bornée (et son inverse aussi), le membre de droite est encore une fonction β ayantla propriété limuÑ0 βpuqu “ 0 ; en réordonnant les termes,

b´ a “ pdfaq´1pyb ´ yaq ` βpuq (18.188)

et doncf´1pybq ´ f´1pyaq ´ pdfaq´1pyb ´ yaq “ βpuq, (18.189)

ce qui prouve que f´1 est différentiable et que pdf´1qya “ pdfaq´1.La différentielle df´1 est donc obtenue par la chaine

df´1 : fpUq f´1// U 1 df // GLpF q Inv // GLpF q (18.190)

où l’application Inv : GLpF q Ñ GLpF q est l’application X ÞÑ X´1 qui est de classe C8 par lethéorème 12.232. D’autre part, par hypothèse df est une application de classe Ck´1 et donc auminimum C0 parce que k ě 1. Enfin, l’application f´1 : fpUq Ñ U est continue (parce que laproposition 18.45 précise que f est un homéomorphisme). Donc toute la chaine est continue etdf´1 est continue. Cela entraine immédiatement que f´1 est C1 et donc que toute la chaine estC1.

Par récurrence nous obtenons la chaine

df´1 : fpUq f´1

Ck´1// U 1 df

Ck´1// GLpF q Inv

C8// GLpF q (18.191)

qui prouve que df´1 est Ck´1 et donc que f´1 est Ck. La récurrence s’arrête ici parce que df n’estpas mieux que Ck´1.27. Ici nous supposons avoir choisi U 1 convexe afin que tous les a P rx, x1s soient bien dans U 1 et donc soumis à

l’inéquation (18.182), ce qui est toujours possible, il suffit de prendre une boule.

1076 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

18.5.3 Théorème de la fonction implicite

Nous énonçons et le démontrons le théorème de la fonction implicite dans le cas d’espaces deBanach.

Théorème 18.48 (Théorème de la fonction implicite dans Banach[141]).Soient E, F et G des espaces de Banach et des ouverts U Ă E, V Ă F . Nous considérons unefonction f : U ˆ V Ñ G de classe Cr telle que 28

dyfpx0,y0q : F Ñ G (18.192)

soit un isomorphisme pour un certain px0, y0q P U ˆ V .Alors nous avons des voisinages U0 de x0 dans E et W0 de fpx0, y0q dans G et une fonction

de classe Crg : U0 ˆW0 Ñ V (18.193)

telle quef`x, gpx,wq˘ “ w (18.194)

pour tout px,wq P U0 ˆW0.Cette fonction g est unique au sens suivant : il existe un voisinage V0 de y0 tel que si px, yq P

U0ˆV0 et w PW0 satisfont à fpx, yq “ w alors y “ gpx,wq. Autrement dit, la fonction g : U0ˆW0 ÑV0 est unique.

Démonstration. Nous commençons par considérer la fonction

Φ: U ˆ V Ñ E ˆGpx, yq ÞÑ `

x, fpx, yq˘ (18.195)

et sa différentielle

dΦpx0,y0qpu, vq “d

dt

”`x0 ` tu, fpx0 ` tu, y0 ` tvq

˘ıt“0

(18.196a)

“ˆd

dt

”x0 ` tu

ıt“0

,d

dt

”fpx0 ` tu, y0 ` tvq

ıt“0

˙(18.196b)

“ `u, dfpx0,y0qpu, vq

˘. (18.196c)

Nous utilisons alors la proposition 12.227 pour conclure que

dΦpx0,y0qpu, vq “`u, pd1fqpx0,y0qpuq ` pd2fqpx0,y0qpvq

˘, (18.197)

mais comme par hypothèse pd2fqpx0,y0q : F Ñ G est un isomorphisme, l’application dΦpx0,y0q : E ˆF Ñ E ˆ G est également un isomorphisme. Par conséquent le théorème d’inversion locale 18.47nous indique qu’il existe un voisinage O de px0, y0q et P de Φpx0, y0q tels que Φ: O Ñ P soit unebijection et Φ´1 : P Ñ O soit de classe Cr. Vu que P est un voisinage de

Φpx0, y0q “`x0, fpx0, y0q

˘, (18.198)

nous pouvons par 10.78 le choisir un peu plus petit de telle sorte à avoir P “ U0 ˆW0 où U0 estun voisinage de x0 et W0 un voisinage de fpx0, y0q. Dans ce cas nous devons obligatoirement aussirestreindre O à U0 ˆ V0 pour un certain voisinage V0 de y0. L’application Φ´1 a obligatoirementla forme

Φ´1 : U0 ˆW0 Ñ U0 ˆ V0

px,wq ÞÑ `x, gpx,wq˘ (18.199)

28. La notation dy est la différentielle partielle de la définition 12.226.

18.5. THÉORÈMES D’INVERSION LOCALE ET DE LA FONCTION IMPLICITE 1077

pour une certaine fonction g : U0 ˆW0 Ñ V . Cette fonction g est la fonction cherchée parce qu’enappliquant Φ à (18.199),

px,wq “ Φ`x, gpx,wq˘ “

´x, f

`x, gpx,wq˘

¯, (18.200)

qui nous dit que pour tout x P U0 et tout w PW0 nous avons

f`x, gpx,wq˘ “ w. (18.201)

Si vous avez bien suivi le sens de l’équation (18.199) alors vous avez compris l’unicité. Sinon,considérez px, yq P U0 ˆ V0 et w PW0 tels que fpx, yq “ w. Alors

`x, fpx, yq˘ “ px,wq et

Φpx, yq “ px,wq. (18.202)

Mais vu que Φ: U0 ˆ V0 Ñ U0 ˆW0 est une bijection, cette relation définit de façon univoquel’élément px, yq de U0 ˆ V0, qui ne sera autre que gpx,wq.

Le théorème de la fonction implicite s’énonce de la façon suivante pour des espaces de dimensionfinie.

Théorème 18.49 (Théorème de la fonction implicite en dimension finie).Soit une fonction F : Rn ˆRm Ñ Rm de classe Ck et pα, βq P Rn ˆRm tels que

(1) F pα, βq “ 0,(2) BpF1,...,Fmq

Bpy1,...,ymq ‰ 0, c’est à dire que pdyF qpα,βq est inversible.Alors il existe un voisinage ouvert V de α dans Rn, un voisinage ouvert W de β dans Rm et uneapplication ϕ : V ÑW de classe Ck telle que pour tout x P V on ait

F`x, ϕpxq˘ “ 0. (18.203)

De plus si px, yq P V ˆW satisfait à F px, yq “ 0, alors y “ ϕpxq.

Remarque 18.50.Notons que cet énoncé est tourné un peu différemment en ce qui concerne le nombre de variablesdont dépend la fonction implicite : comparez

f`x, gpx,wq˘ “ w (18.204a)F`x, ϕpxq˘ “ 0. (18.204b)

Le deuxième est un cas particulier du premier en posant

F px, yq “ fpx, yq ´ fpx0, y0q (18.205)

et donc en considérant w comme valant la constante fpx0, y0q ; dans ce cas la fonction g ne dépendplus que de la variable x.

Exemple 18.51La remarque 18.50 signifie entre autres que le théorème 18.48 est plus fort que 18.49 parce quele premier permet de choisir la valeur d’arrivée. Parlons de l’exemple classique du cercle et de lafonction fpx, yq “ x2 ` y2. Nous savons que

fpα, βq “ 1. (18.206)

Alors le théorème 18.48 nous donne une fonction g telle que

fpx, gpx, rqq “ r (18.207)

1078 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

tant que x est proche de α, que r est proche de 1 et que g donne des valeurs proches de β.L’énoncé 18.49 nous oblige à travailler avec la fonction F px, yq “ x2` y2´ 1, de telle sorte que

F pα, βq “ 0, (18.208)

et que nous ayons une fonction ϕ telle que

F px, ϕpxqq “ 0. (18.209)

La fonction ϕ ne permet donc que de trouver des points sur le cercle de rayon 1. 4

18.5.4 Exemple

Le théorème de la fonction implicite a pour objet de donner l’existence de la fonction ϕ.Maintenant nous pouvons dire beaucoup de choses sur les dérivées de ϕ en considérant la fonction

x ÞÑ F`x, ϕpxq˘. (18.210)

Par définition de ϕ, cette fonction est toujours nulle. En particulier, nous pouvons dériver l’équation

F`x, ϕpxq˘ “ 0, (18.211)

et nous trouvons plein de choses.Prenons par exemple la fonction

F`px, yq, z˘ “ zez ´ x´ y, (18.212)

et demandons nous ce que nous pouvons dire sur la fonction zpx, yq telle que

F`x, y, zpx, yq˘ “ 0, (18.213)

c’est à dire telle quezpx, yqezpx,yq ´ x´ y “ 0. (18.214)

pour tout x et y P R. Nous pouvons facilement trouver zp0, 0q parce que

zp0, 0qezp0,0q “ 0, (18.215)

donc zp0, 0q “ 0.Nous pouvons dire des choses sur les dérivées de zpx, yq. Voyons par exemple pBxzqpx, yq. Pour

trouver cette dérivée, nous dérivons la relation (18.214) par rapport à x. Ce que nous trouvons est

pBxzqez ` zezpBxzq ´ 1 “ 0. (18.216)

Cette équation peut être résolue par rapport à Bxz :

BzBxpx, yq “

1ezp1` zq . (18.217)

Remarquez que cette équation ne donne pas tout à fait la dérivée de z en fonction de x et y, parceque z apparaît dans l’expression, alors que z est justement la fonction inconnue. En général, c’estla vie, nous ne pouvons pas faire mieux.

Dans certains cas, on peut aller plus loin. Par exemple, nous pouvons calculer cette dérivée aupoint px, yq “ p0, 0q parce que zp0, 0q est connu :

BzBxp0, 0q “ 1. (18.218)

Cela est pratique pour calculer, par exemple, le développement en Taylor de z autour de p0, 0q.

18.6. DÉCOMPOSITION POLAIRE (RÉGULARITÉ) 1079

Exemple 18.52Est-ce que l’équation ey`xy “ 0 définit au moins localement une fonction ypxq ? Nous considéronsla fonction

fpx, yq “ˆ

xey ` xy

˙(18.219)

La différentielle de cette application est

dfp0,0qpuq “ d

dt

”fptu1, tu2q

ıt“0

“ d

dt

ˆtu1

etu2 ` t2u1u2

˙

t“0“

ˆu1u2

˙. (18.220)

L’application f définit donc un difféomorphisme local autour des points px0, y0q et fpx0, y0q. Soitpu, 0q un point dans le voisinage de fpx0, y0q. Alors il existe un unique px, yq tel que

fpx, yq “ˆ

xey ` xy

˙“

ˆu0

˙. (18.221)

Nous avons automatiquement x “ u et ey ` xy “ 0. Notons toutefois que pour que ce procédédonne effectivement une fonction implicite ypxq nous devons avoir des points de la forme pu, 0qdans le voisinage de fpx0, y0q. 4

18.6 Décomposition polaire (régularité)

18.53.Nous allons montrer que l’application

f : S``pn,Rq Ñ S``pn,RqA ÞÑ ?

A(18.222)

est une difféomorphisme.Cependant S``pn,Rq n’est pas un ouvert de Mpn,Rq et nous ne savons pas ce qu’est la

différentielle d’une application non définie sur un ouvert. Nous allons donc en réalité montrer quel’application racine carré existe sur un voisinage de chacun des points de S``pn,Rq. Et commeune union quelconque d’ouverts est un ouvert, la fonction f sera bien définie sur un ouvert deMpn,Rq.Lemme 18.54.L’application

f : S``pn,Rq Ñ S``pn,RqA ÞÑ A2 (18.223)

est un C8-difféomorphisme.

Démonstration. Prouvons d’abord que f prend ses valeurs dans S``pn,Rq. Si A P S``pn,Rqalors par la diagonalisation 9.165 elle s’écrit A “ QDQ´1 où D est diagonale avec des nombresstrictement positifs sur la diagonale. Avec cela, A2 “ QD2Q´1 où D2 contient encore des nombresstrictement positifs sur la diagonale.

L’application f étant essentiellement des polynôme en les entrées de A, elle est de classe C8.Passons à l’étude de la différentielle. Comme mentionné en 18.53 nous allons en réalité voir f

sur un ouvert de Mpn,Rq autour de A P S``pn,Rq. Par conséquent si A P S``pn,Rq,

df : S``pn,Rq Ñ L`Mpn,Rq,Mpn,Rq˘ (18.224a)

dfA : Mpn,Rq ÑMpn,Rq. (18.224b)

1080 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Le calcul de dfA est facile. Soit u P Mpn,Rq et faisons le calcul en utilisant la formule du lemme(12.178) :

dfApuq “ d

dt

”fpA` tuq

ıt“0

(18.225a)

“ d

dt

”A2 ` tAu` tuA` t2u2

ıt“0

(18.225b)

“ Au` uA. (18.225c)

Nous allons utiliser le théorème d’inversion locale 18.47 à la fonction f . Dans la suite, A est unematrice de S``pn,Rq.dfA est injective Soit M P Mpn,Rq dans le noyau de dfA. En posant M 1 “ A´1MQ nous

avons M “ QM 1Q´1 et on applique dfA à QM 1Q´1 :

dfApQM 1Q´1q “ Q`DM `MD

˘Q´1. (18.226)

où D “

¨˚λ1

. . .λn

˛‹‚ avec λi ą 0. La matrice D est inversible. Nous avons M 1 “

´DM 1D´1, et en coordonnées,

M 1ij “ ´

ÿ

kl

DikM 1klD´1lj (18.227a)

“ ´ÿ

kl

λiδikM1kl

1λjδlj (18.227b)

“ ´λiλiM 1ij . (18.227c)

C’est à dire que M 1ij “ ´ λi

λjM 1ij avec ´ λi

λjă 0. Cela implique M 1 “ 0 et par conséquent

M “ 0.dfA est surjective Soit N P Mpn,Rq ; nous cherchons M P Mpn,Rq tel que dfApMq “ N .

Nous posons N 1 “ Q´1NQ et M “ QM 1Q´1, ce qui nous donne à résoudre dfDpM 1q “ N 1.Passons en coordonnées :

pDM 1 `M 1Dqij “ÿ

k

pδikλiM 1kj `M 1

ikδkjλjq (18.228a)

“M 1ijpλi ` λjq (18.228b)

où λi ` λj ‰ 0. Il suffit donc de prendre la matrice M 1 donnée par

M 1ij “

1λi ` λjN

1ij (18.229)

pour que dfApM 1q “ N 1.

Le théorème d’inversion locale donne un voisinage V de A dans Mpn,Rq et un voisinage W deA2 dans Mpn,Rq tels que f : V Ñ W soit une bijection et f´1 : W Ñ V soit de même régularité,en l’occurrence C8.

Remarque 18.55.Oui, il y a des matrices non symétriques qui ont une unique racine carré.

La proposition suivante, qui dépend du le théorème d’inversion locale par le lemme 18.54, donneplus de régularité à la décomposition polaire donnée dans le théorème 12.346.

18.7. THÉORÈME DE VON NEUMANN 1081

Proposition 18.56 (Décomposition polaire : cas réel (suite)).L’application

f : Opn,Rq ˆ S``pn,Rq Ñ GLpn,RqpQ,Sq ÞÑ SQ

(18.230)

est un difféomorphisme de classe C8.

Démonstration. Si M est donnée dans GLpn,Rq alors la décomposition polaire 29 M “ QS estdonnée par S “ ?MM t et Q “MS´1. Autrement dit, si nous considérons la fonction de décom-position polaire

f : Opn,Rq ˆ S``pn,Rq Ñ GLpn,Rq (18.231)alors

f´1pMq “ `Mp?MM tq´1,

?MM t

˘. (18.232)

Nous avons vu dans le lemme 18.54 que la racine carré était un C8-difféomorphisme. Le resten’étant que des produits de matrice, la régularité est de mise.

18.7 Théorème de Von NeumannLemme 18.57 ([2]).Soit G, un sous groupe fermé de GLpn,Rq et

LG “ tm PMpn,Rq tel que etm P G@t P Ru. (18.233)

Alors LG est un sous-espace vectoriel de Mpn,Rq.Démonstration. Si m P LG, alors λm P LG par construction. Le point délicat à prouver est lefait que si a, b P LG, alors a ` b P LG. Soit a P Mpn,Rq ; nous savons qu’il existe une fonctionαa : RÑM telle que

eta “ 1` ta` αaptq (18.234)et

limtÑ0

αptqt“ 0. (18.235)

Si a et b sont dans LG, alors etaetb P G, mais il n’est pas vrai en général que cela soit égal à etpa`bq.Pour tout k P N nous avons

eakebk “ˆ1` a

k` αap1

kq˙ˆ

1` b

k` αbp1

kq˙“ 1` a` b

2 ` βˆ

1k

˙(18.236)

où β : RÑM est encore une fonction vérifiant βptqtÑ 0. Si k est assez grand, nous avons››››a` bk

` βp1kq›››› ă 1, (18.237)

et nous pouvons profiter du lemme 15.92 pour écrire alors´eakebk

¯k “ ek ln`1`a`b

k`βp 1

kq˘. (18.238)

Ce qui se trouve dans l’exponentielle est

k

„a` bk

` αp1kq ` σ

ˆa` bk

` αp1kq˙

. (18.239)

Les diverses propriétés vues montrent que le tout tend vers a` b lorsque k Ñ8. Par conséquent

limkÑ8

´eakebk

¯k “ ea`b. (18.240)

Ce que nous avons prouvé est que pour tout t, etpa`bq est une limite d’éléments dans G et est doncdans G parce que ce dernier est fermé.29. Proposition 12.346.

1082 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Vu que LG est un sous-espace vectoriel deMpn,Rq, nous pouvons considérer un supplémentaireM .

Lemme 18.58.Il n’existe pas se suites pmkq dans Mzt0u convergeant vers zéro et telle que emk P G pour tout k.

Démonstration. Supposons que nous ayons mk Ñ 0 dans Mzt0u avec emk P G. Nous considéronsles éléments εk “ mkmk qui sont sur la sphère unité de GLpn,Rq. Quitte à prendre une sous-suite,nous pouvons supposer que cette suite converge, et vu que M est fermé, ce sera vers ε P M avecε “ 1. Pour tout t P R nous avons

etε “ limkÑ8 e

tεk . (18.241)

En vertu de la décomposition d’un réel en partie entière et décimale, pour tout k nous avons λk P Zet |µk| ď 1

2 tel que tmk “ λk ` µk. Avec ça,

etε “ limkÑ8 exp

´ t

mkmk

¯“ lim

kÑ8 eλkmkeµkmk . (18.242)

Pour tout k nous avons eλkmk P G. De plus |µk| étant borné et mk tendant vers zéro nous avonseµkmk Ñ 1. Au final

etε “ limkÑ8 e

tεk P G (18.243)

Cela signifie que ε P LG, ce qui est impossible parce que nous avions déjà dit que ε PMzt0u.Lemme 18.59.L’application

f : LG ˆM Ñ GLpn,Rql,m ÞÑ elem

(18.244)

est un difféomorphisme local entre un voisinage de p0, 0q dans Mpn,Rq et un voisinage de 1 dansexp

`Mpn,Rq˘.

Notons que nous ne disons rien de eMpn,Rq. Nous n’allons pas nous embarquer à discuter si ceserait tout GLpn,Rq 30 ou bien si ça contiendrait ne fut-ce que G.

Démonstration. Le fait que f prenne ses valeurs dans GLpn,Rq est simplement dû au fait que lesexponentielles sont toujours inversibles. Nous considérons ensuite la différentielle : si u P LG etv PM nous avons

dfp0,0qpu, vq “ d

dt

”f`tpu, vq˘

ıt“0

“ d

dt

”etuetv

ıt“0

“ u` v. (18.245)

L’application df0 est donc une bijection entre LG ˆM et Mpn,Rq. Le théorème d’inversion locale18.47 nous assure alors que f est une bijection entre un voisinage de p0, 0q dans LG ˆM et sonimage. Mais vu que df0 est une bijection avec Mpn,Rq, l’image en question contient un ouvertautour de 1 dans exp

`Mpn,Rq˘.

Théorème 18.60 (Von Neumann[2, 229, 230]).Tout sous-groupe fermé de GLpn,Rq est une sous-variété de GLpn,Rq.

Démonstration. Soit G un tel groupe ; nous devons prouver que c’est localement difféomorphe àun ouvert de Rn. Et si on est pervers, on ne va pas faire localement difféomorphe à un ouvert deRn, mais à un ouvert d’un espace vectoriel de dimension finie. Nous allons être pervers.

Étant donné que pour tout g P G, l’applicationLg : GÑ G

h ÞÑ gh(18.246)

30. Vu les dimensions y’a tout de même peu de chance.

18.7. THÉORÈME DE VON NEUMANN 1083

est de classe C8 et d’inverse C8, il suffit de prouver le résultat pour un voisinage de 1.Supposons d’abord que LG “ t0u. Alors 0 est un point isolé de lnpGq ; en effet si ce n’était

pas le cas nous aurions un élément mk de lnpGq dans chaque boule Bp0, rkq. Nous aurions alorsmk “ lnpakq avec ak P G et donc

emk “ ak P G. (18.247)

De plus mk appartient forcément à M parce que LG est réduit à zéro. Cela nous donnerait unesuite mk Ñ 0 dans M dont l’exponentielle reste dans G. Or cela est interdit par le lemme 18.58.Donc 0 est un point isolé de lnpGq. L’application ln étant continue 31, nous en déduisons que 1est isolé dans G. Par le difféomorphisme Lg, tous les points de G sont isolés ; ce groupe est doncdiscret et par voie de conséquence une variété.

Nous supposons maintenant que LG ‰ t0u. Nous savons par la proposition 15.91 que

exp: Mpn,Rq ÑMpn,Rq (18.248)

est une application C8 vérifiant d exp0 “ Id. Nous pouvons donc utiliser le théorème d’inversionlocale 18.47 qui nous offre donc l’existence d’un voisinage U de 0 dansMpn,Rq tel queW “ exppUqsoit un ouvert de GLpn,Rq et que exp: U ÑW soit un difféomorphisme de classe C8.

Montrons que quitte à restreindre U (et donc W qui reste par définition l’image de U par exp),nous pouvons avoir exp

`U X LG

˘ “ W XG. D’abord exppLGq Ă G par construction. Nous avonsdonc exp

`U XLG

˘ ĂW XG. Pour trouver une restriction de U pour laquelle nous avons l’égalité,nous supposons que pour tout ouvert O dans U ,

exp: O X LG Ñ exppOq XG (18.249)

ne soit pas surjective. Cela donnerait un élément de OXALG dont l’image par exp n’est pas dans G.Nous construisons ainsi une suite en considérant une boule Bp0, 1

k q inclue à U et xk P Bp0, 1k qXALG

vérifiant exk P G. Vu le choix des boules nous avons évidemment xk Ñ 0.L’élément exk est dans eMpn,Rq et le difféomorphisme du lemme 18.59 32 nous donne plk,mkq P

LGˆM tel que elkemk “ exk . À ce point nous considérons k suffisamment grand pour que exk soitdans la partie de l’image de f sur lequel nous avons le difféomorphisme. Plus prosaïquement, nousposons

plk,mkq “ f´1pexkq (18.250)

et nous profitons de la continuité pour permuter la limite avec f´1 :

limkÑ8plk,mkq “ f´1` lim

kÑ8 exk˘ “ f´1p1q “ p0, 0q. (18.251)

En particulier mk Ñ 0 alors que emk “ exke´lk P G. La suite mk viole le lemme 18.58. Nouspouvons donc restreindre U de telle façon à avoir

exp`U X LG

˘ “W XG. (18.252)

Nous avons donc un ouvert de LG (l’ouvert U XLG) qui est difféomorphe avec l’ouvert W XG deG. Donc G est une variété et accepte LG comme carte locale.

Remarque 18.61.En termes savants, nous avons surtout montré que si G est un groupe de Lie d’algèbre de Lie g,alors l’exponentielle donne un difféomorphisme local entre g et G.

31. Par le lemme 15.92.32. Il me semble que l’utilisation de ce lemme manque à l’avant-dernière ligne de la preuve chez [2].

1084 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

18.8 Recherche d’extrema

18.8.1 Extrema à une variable

Définition 18.62.Soit f : A Ă R Ñ R et a P A. Le point a est un maximum local de f s’il existe un voisinage Ude a tel que fpaq ě fpxq pour tout x P U XA. Le point a est un maximum global si fpaq ě gpxqpour tout x P A.

La proposition basique à utiliser lors de la recherche d’extrema est la suivante :

Proposition 18.63.Soit f : A Ă RÑ R et a P IntpAq. Supposons que f est dérivable en a. Si a est un extremum local,alors f 1paq “ 0.

La réciproque n’est pas vraie, comme le montre l’exemple de la fonction x ÞÑ x3 en x “ 0 : sadérivée est nulle et pourtant x “ 0 n’est ni un maximum ni un minimum local.

Cette proposition ne sert donc qu’à sélectionner des candidats extremum. Afin de savoir si cescandidats sont des extrema, il y a la proposition suivante.

Proposition 18.64.Soit f : I Ă RÑ R, une fonction de classe Ck au voisinage d’un point a P Int I. Supposons que

f 1paq “ f2paq “ . . . “ f pk´1qpaq “ 0, (18.253)

et quef pkqpaq ‰ 0. (18.254)

Dans ce cas,(1) Si k est pair, alors a est un point d’extremum local de f , c’est un minimum si f pkqpaq ą 0,

et un maximum si f pkqpaq ă 0,(2) Si k est impair, alors a n’est pas un extremum local de f .

Note : jusqu’à présent nous n’avons rien dit des extrema globaux de f . Il n’y a pas grand choseà en dire. Si un point d’extremum global est situé dans l’intérieur du domaine de f , alors il seraextremum local (a fortiori). Ou alors, le maximum global peut être sur le bord du domaine. C’estce qui arrive à des fonctions strictement croissantes sur un domaine compact.

Une seule certitude : si une fonction est continue sur un compact, elle possède une minimumet un maximum global par le théorème 6.126.

Soit une fonction f : I Ñ R, et soit a P I. Si f 1paq ą 0, alors la tangente au graphe de f au point`a, fpaq˘ sera une droite croissante (coefficient directeur positif). Cela ne veut pas spécialementdire que la fonction elle-même sera croissante, mais en tout cas cela est un bon indice.

Exemple 18.65Si fpxq “ x2, il est connu que f 1pxq “ 2x. Nous avons donc que f 1 est positive si x ě 0 et f 1 ą estnégative si x ă 0. Cela correspond bien au fait que x2 est décroissante sur s´8, 0r et croissantesur s0,8r. 4

Sur la figure 18.2, nous avons dessiné la fonction fpxq “ x cospxq et sa dérivée. Nous voyons quepartout où la dérivée est négative, la fonction est décroissante tandis que, inversement, partout oùla dérivée est positive, la fonction est croissante.

Les extrema de la fonction f sont donc placés là où f 1 change de signe. En effet si f 1pxq ă 0pour x ă a et f 1pxq ą 0 pour x ą a, la fonction est décroissante jusqu’à a et est ensuite croissante.Cela signifie que la fonction connait un creux en a. Le point a est donc un minimum de la fonction.

Attention cependant. Le fait que f 1paq “ 0 ne signifie pas automatiquement que f a un maxi-mum ou un minimum en a. Nous avons par exemple tracé sur la figure 18.3 les fonctions x3 et sadérivée. Il est à noter que, conformément à ce que l’on pense, certes la dérivée s’annule en x “ 0,mais elle ne change pas de signe.

18.8. RECHERCHE D’EXTREMA 1085

´32 π ´π ´1

2 π 12 π π 3

2 π

´3

´2

´1

1

2

3

4

5

Figure 18.2 – La fonction fpxq “ x cospxq en bleu et sa dérivée en rouge.

´2 ´1 1 2

´4

´2

2

4

6

Figure 18.3 – La dérivée de x3 s’annule en x “ 0, mais ce n’est ni un minimum ni un maximum.

18.8.2 Extrema libre

Définition 18.66.Un point a à l’intérieur du domaine d’une fonction f : A Ă Rn Ñ R est un point critique de florsque dfpaq “ 0.

Ces points sont analogues aux points où la dérivée d’une fonction sur R s’annule. Les pointscritiques de f sont dons les candidats à être des points d’extremum.

Dans le cas d’une fonction de deux variables,l la proposition 12.259 nous permet de voir pd2fqacomme étant la matrice

d2fpaq “˜

d2fdx2 paq d2f

dx dy paqd2fdy dxpaq d2f

dy2 paq

¸. (18.255)

Dans le cas d’une fonction C2, cette matrice est symétrique.

Proposition 18.67 ([231]).Soit un ouvert Ω de Rn et a P Ω. Soit une fonction f : Ω Ñ R différentiable en a. Si a est unextremum local de f , alors a est un point critique de f .

Démonstration. Nous supposons que a est un maximum local (ce sera la même chose si a est un

1086 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

minimum). Soit r ą 0 tel que fpxq ď fpaq pour tout x P Bpa, rq (et tel que cette boule reste dansΩ). Soit u P Rn assez petit pour que a˘u P Bpa, rq de sorte que la définition suivante ait un sens :

g : r´1, 1s Ñ R

t ÞÑ fpa` tuq (18.256)

Cette fonction est différentiable en t “ 0 (composée de fonctions différentiables, proposition 12.189)et a un maximum local en t “ 0. Donc g1p0q “ 0 par la proposition 18.63. Donc

0 “ d

dt

”fpa` tuq

ıt“0

“ dfapuq. (18.257)

18.8.3 Extrema et Hessienne

Proposition 18.68 ([1, 232, 233]).Soit un ouvert Ω de Rn et une fonction f : Ω Ñ R deux fois différentiable ainsi que a P Ω.

(1) Si a est un point critique de f et si il existe r tel que pd2fxq est semi-définie positive pourtout x P Bpa, rq alors f possède un minimum local en a.

(2) Si a est un point critique 33 de f , et si d2fa est strictement définie positive 34, alors a estun minimum local strict de f ,

(3) Si a est un minimum local, alors pd2fqa est semi définie positive.

Démonstration. Nous subdivisons la preuve.

(1) Soit h tel que a ` h P Bpa, rq. Nous allons montrer que fpaq ď fpa ` hq ; cela montreraque x “ a est un minimum local. Pour cela nous utilisons un développement de Taylor : ilexiste c P sa, a` hr tel que

fpa` hq “ fpaq ` dfaphq ` 12pd

2fqcph, hq ě fpaq (18.258)

parce que par hypothèse pd2fqc est définie positive et parce que dfa “ 0.(2) La forme bilinéaire d2fa est strictement définie positive, donc il existe α ą 0 tel que

d2faph, hq ą αh2 (18.259)

pour tout h. Nous écrivons encore Taylor : il existe une fonction ε telle que limhÑ0 εphq “ 0et

fpa` hq “ gpaq ` dfaphq ` 12pd

2fqaph, hq ` h2εphq. (18.260)

En tenant compte du fait que dfa “ 0,

fpa` hq ą fpaq ` h2`12α` εphq

˘. (18.261)

La limite de ε nous dit qu’il existe r ą 0 tel que εphq ă 12α pour tout h P Bp0, rq. Pour

ces valeurs de h nous avonsfpa` hq ą fpaq. (18.262)

Donc a est un minimum local strict de f .

33. Définition 18.66.34. La fonction f est de classe C2, donc les dérivées croisées sont égales et d2f est symétrique. La définition 9.167

s’applique donc.

18.8. RECHERCHE D’EXTREMA 1087

(3) Si a est un minimum local, nous savons déjà que dfa “ 0 par la proposition 18.67. Nousécrivons le développement de Taylor de f à l’ordre 2 de la proposition 12.267 :

fpa` hq “ fpaq ` dfaphq ` 12pd

2fqaph, hq ` h2αphq. (18.263)

En prenant h assez petit pour que a ` h ne sorte pas de la boule dans laquelle a est unminimum, nous avons fpa` hq ´ fpaq ą 0. Donc

12pd

2fqaph, hq ` h2αphq ą 0 (18.264)

Nous divisons cela par h2 et notons eh “ hh :12pd

2fqapeh, ehq ` αphq ą 0. (18.265)

À la limite h Ñ 0, le premier terme est constant tandis que le deuxième tend vers zéro. Àla limite,

pd2fqapeh, ehq ě 0. (18.266)

La caractérisation du lemme 9.170(2) nous dit alors que pd2fqa est semi-définie positive.

La partie (3) est tout à fait comparable au fait bien connu que, pour une fonction f : RÑ R,si le point a est minimum local, alors f 1paq “ 0 et f2paq ą 0.

Notons que le point (3) ne parle pas de minimum strict, et donc pas de matrice strictementdéfinie positive.

Exemple 18.69(Proposition 18.68(2) sans point critique)L’hypothèse de point critique pour l’utilisation de la stricte définition positive de d2fa est néces-saire. Soit en effet la fonction

fpxq “ x2 ` x. (18.267)

Elle vérifie f2p0q “ 2, de telle sorte que sa différentielle seconde en zéro soit strictement définiepositive. Le point x “ 0 n’est cependant même pas un minimum local. Entre autres parce quef 1p0q “ 1 ‰ 0. 4

La méthode pour chercher les extrema de f est donc de suivre le points suivants :(1) Trouver les candidats extrema en résolvant ∇f “ p0, 0q,(2) écrire d2fpaq pour chacun des candidats(3) calculer les valeurs propres de d2fpaq, déterminer si la matrice est définie positive ou néga-

tive,(4) conclure.Une conséquence de la proposition 9.244(3) 35 est que si detM ă 0, alors le point a n’est pas

un extrema dans le cas où M “ d2fpaq par le point (3) de la proposition 18.68.

Exemple 18.70Soit la fonction fpx, yq “ x4` y4´ 4xy. C’est une fonction différentiable sans problèmes. D’abordsa différentielle est

df “ `4x3 ´ 4y; 4y3 ´ 4xq, (18.268)

et la matrice des dérivées secondes est

M “ d2fpx, yq “ˆ

12x2 ´4´4 12y2

˙. (18.269)

35. La matrice d2fpaq est toujours symétrique quand f est de classe C2.

1088 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Nous avons fd “ 0 pour les trois points p0, 0q, p1, 1q et ´1,´1.Pour le point p0, 0q nous avons

M “ˆ

0 ´4´4 0

˙, (18.270)

dont les valeurs propres sont 4 et ´4. Elle n’est donc semi-définie ou définie rien du tout. Doncp0, 0q n’est pas un extremum local.

Au contraire pour les points p1, 1q et p´1,´1q nous avons

M “ˆ

12 ´4´4 12

˙, (18.271)

dont les valeurs propres sont 16 et 8. La matrice d2f y est donc définie positive. Ces deux pointssont donc extrema locaux. 4

18.8.4 Un peu de recettes de cuisine

(1) Rechercher les points critiques, càd les px, yq tels que#BfBx px, yq “ 0BfBy px, yq “ 0

En effet, si px0, y0q est un extrémum local de f , alors BfBx px0, y0q “ 0 “ BfBy px0, y0q.

(2) Déterminer la nature des points critiques : «test» des dérivées secondes :

On pose Hpx0, y0q “ B2f

Bx2 px0, y0qBf2

By2 px0, y0q ´ˆ B2f

BxBy px0, y0q˙2

(a) Si Hpx0, y0q ą 0 et B2fBx2 px0, y0q ą 0 ùñ px0, y0q est un minimum local de f .

(b) Si Hpx0, y0q ą 0 et B2fBx2 px0, y0q ă 0 ùñ px0, y0q est un maximum local de f .

(c) Si Hpx0, y0q ă 0 ùñ f a un point de selle en px0, y0q.(d) Si Hpx0, y0q “ 0 ùñ on ne peut rien conclure.

18.8.5 Extrema liés

Soit f , une fonction sur Rn, et M Ă Rn une variété de dimension m. Nous voulons savoirquelle sont les plus grandes et plus petites valeurs atteintes par f sur M .

Pour ce faire, nous avons un théorème qui permet de trouver des extrema locaux de f sur lavariété. Pour rappel, a PM est une extrema local de f relativement à l’ensemble M s’il existeune boule Bpa, εq telle que fpaq ď fpxq pour tout x P Bpa, εq XM .

Théorème 18.71 (Extrema lié [209]).Soit A, un ouvert de Rn et

(1) une fonction (celle à minimiser) f P C1pA,Rq,(2) des fonctions (les contraintes) G1, . . . , Gr P C1pA,Rq,(3) M “ tx P A tel que Gipxq “ 0@iu,(4) un extrema local a PM de f relativement à M .

Supposons que les gradients ∇G1paq, . . . ,∇Grpaq soient linéairement indépendants. Alors a “px1, . . . , xnq est une solution de ∇Lpaq “ 0 où

Lpx1, . . . , xn, λ1, . . . , λrq “ fpx1, . . . , xnq `rÿ

i“1λiGipx1, . . . , xnq. (18.272)

Autrement dit, si a est un extrema lié, alors ∇fpaq est une combinaisons des ∇Gipaq, ou encoreil existe des λi tels que

dfpaq “ÿ

i

λidGipaq. (18.273)

18.8. RECHERCHE D’EXTREMA 1089

La fonction L est le lagrangien du problème et les variables λi sont les multiplicateurs deLagrange.

Démonstration. Si r “ n alors les vecteurs linéairement indépendantes ∇Gipaq forment une basede Rn et donc évidemment les λi existent. Nous supposons donc maintenant que r ă n. Nousnotons pziqi“1...n les coordonnées sur Rn.

La matrice ¨˚BG1Bz1 paq ¨ ¨ ¨ BG1Bzn paq... . . . ...BGrBz1 paq ¨ ¨ ¨ BGrBzn paq

˛‹‚ (18.274)

est de rang r parce que les lignes sont par hypothèses linéairement indépendantes. Nous nommonspyiqi“1,...,r un choix de r parmi les pziq tels que

det

¨˚BG1By1

. . . BG1Byr... . . . ...BGrBy1

. . . BGrByr

˛‹‚‰ 0. (18.275)

Nous identifionsRn àRsˆRr dans lequelRr est la partie générée par les pyiqi“1,...,r. Nous nommonspxjqj“1,...,s les coordonnées surRs. Autrement dit, les coordonnées surRn sont x1, . . . , xs, y1, . . . , yr.Dans ces coordonnées, nous nommons a “ pα, βq avec α P Rs et β P Rr.

Si nous notons G “ pG1, . . . , Grq, le théorème de la fonction implicite (théorème 18.48) nousdit qu’il existe un voisinage U 1 de α P Rn, un voisinage V 1 de β P Rr et une fonction ϕ : U 1 Ñ V 1de classe C1 telle que si px, yq P U 1 ˆ V 1, alors

gpx, yq “ 0 (18.276)

si et seulement si y “ ϕpxq. Nous posons maintenant

ψpxq “ px, ϕpxqq (18.277a)hpxq “ f

`ψpxq˘. (18.277b)

Nous avons ψpαq “ a et ψpxq P M pour tout x P U 1. La fonction h a donc un extrema local en αet donc les dérivées partielles de h y sont nulles. Cela signifie que

0 “ BhBxi pαq “

nÿ

j“1

BfBxj

BxjBxi `

rÿ

k“1

BfByk

BϕkBxi , (18.278)

c’est à direBfBxi pαq `

rÿ

k“1

BfByk paq

BϕkBxi pαq “ 0 (18.279)

pour tout i “ 1, . . . , s. D’autre part pour tout k, la fonction lkpxq “ Gk`x, ϕpxq˘ est constante et

vaut zéro ; ses dérivées partielles sont donc nulles :

BlBxi pαq “

BGkBxi pαq `

rÿ

k“1

BGkByk paq

BϕkBxi pαq “ 0 (18.280)

pour tout i “ 1, . . . , s et k “ 1, . . . , r.Les s premières colonnes de la matrice

¨˚˚˝

BfBx1

¨ ¨ ¨ BfBxs

BfBy1

¨ ¨ ¨ BfByrBG1Bx1

¨ ¨ ¨ BG1BxsBG1By1

¨ ¨ ¨ BG1Byr......

......

......

BGrBx1¨ ¨ ¨ BGrBxs

BGrBy1¨ ¨ ¨ BGrByr

˛‹‹‹‹‚

(18.281)

1090 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

s’expriment en terme des r dernières. La matrice est donc au maximum de rang r. Notons que lapremière ligne est ∇f et les r suivantes sont les ∇Gi. Vu que ces lignes sont des vecteurs liés, ilexiste µ0, . . . , µr tels que

µ0∇f `rÿ

i“1µi∇Gi “ 0. (18.282)

Par hypothèse les ∇Gi sont linéairement indépendants, ce qui nous dit que µ0 ‰ 0. Donc nousavons ce qu’il nous faut :

∇fpaq “ÿ

i

µiµ0

∇Gipaq. (18.283)

Notons qu’au vu de l’expression (18.273), le fait que les formes tdGipaqu1ďiďr forment unepartie libre dans pRnq˚ implique que les λi sont uniques.

La proposition suivante est la même que 18.71.

Proposition 18.72.Soit U , un ouvert de Rn et des fonctions de classe C1 f, g1, . . . , gr : U Ñ R. Nous considérons

Γ “ tx P U tel que g1pxq “ . . . “ grpxq “ 0u. (18.284)

Soit a un extrémum de f |Γ. Supposons que les formes dg1, . . . , dgr soient linéairement indépen-dantes en a. Alors il existe λ1, . . . , λr dans R tel que

dfa “rÿ

i“1λipdgiqa. (18.285)

En pratique les candidats extrema locaux sont tous les points où les gradients ne sont paslinéairement indépendants, plus tous les points donnés par l’équation ∇L “ 0. Parmi ces candidats,il faut trouver lesquels sont maxima ou minima, locaux ou globaux.

L’existence d’extrema locaux se prouve généralement en invoquant de la compacité, et eninvoquant le lemme suivant qui permet de réduire le problème à un compact.

Lemme 18.73.Soit S, une partie de Rn et C, un ouvert de Rn. Si a P IntS est un minimum local relatif à SXC,alors il est un minimum local par rapport à S.

Démonstration. Nous avons que @x P Bpa, ε1q X S X C, fpxq ě fpxq. Mais étant donné que Cest ouvert, et que a P C, il existe un ε2 tel que Bpa, ε2q Ă C. En prenant ε “ mintε1, ε2u, noustrouvons que fpxq ě fpaq pour tout x P Bpa, εq X pS X Cq “ Bpa, εq X S.

18.9 Fonctions convexesDéfinition 18.74 ([234]).Une fonction f d’un intervalle I de R vers R est dite convexe lorsque, pour tous x1 et x2 de Iet tout λ dans r0, 1s nous avons

f`λx1 ` p1´ λqx2

˘ ď λ fpx1q ` p1´ λq fpx2q (18.286)

Si l’inégalité est stricte, alors nous disons que la fonction f est strictement convexe.Une fonction est concave si son opposée est convexe.

18.75 ([235]).Les différents résultats pour les fonctions convexes s’adaptent généralement sans mal aux fonctionsstrictement convexes. Une nuance cependant : de même que les fonctions dérivables convexes sontcelles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ontune dérivée strictement croissante (proposition 18.79). En revanche, il ne faudrait pas croire quela dérivée seconde d’une fonction dérivable strictement convexe est nécessairement une fonction à

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1091

valeurs strictement positives (voir théorème 18.80) : la dérivée d’une fonction strictement croissantepeut s’annuler occasionnellement, ou plus exactement peut s’annuler sur un ensemble de pointsd’intérieur vide. Penser à x ÞÑ x4 pour un exemple de fonction strictement convexe dont la dérivéeseconde s’annule.

18.9.1 Inégalité des pentes

Dans l’étude des fonctions convexes nous allons souvent utiliser la fonction taux d’accroisse-ment qui est, pour α dans le domaine de convexité de f définie par

τα : Iztαu Ñ R

x ÞÑ fpxq ´ fpαqx´ α .

(18.287)

Proposition 18.76 (Inégalité des pentes[236]).Soit f une fonction convexe sur un intervalle I Ă R. Alors pour tout a ă b ă c dans I nousavons 36

fpbq ´ fpaqb´ a ď fpcq ´ fpaq

c´ a ď fpcq ´ fpbqc´ b . (18.288)

En d’autres termes,τapbq ď τapcq ď τbpcq, (18.289)

c’est à dire que τ est croissante en ses deux arguments.

Démonstration. D’abord les inégalités a ă b ă c impliquent 0 ă b´ a ă c´ a et donc

λ “ b´ ac´ a ă 1. (18.290)

L’astuce est de remarquer que p1´ λqa` λc “ b. Donc λ a toutes les bonnes propriétés pour êtreutilisé dans la définition de la convexité :

f`p1´ λqa` λc˘ ď λfpcq ` p1´ λqfpaq, (18.291)

c’est à direfpbq ´ fpaq ď λ

`fpcq ´ fpaq˘ (18.292)

ou encore, en remplaçant λ par sa valeur :

fpbq ´ fpaqb´ a ď fpcq ´ fpaq

c´ a . (18.293)

Cela fait déjà une des inégalités à savoir.D’autre part en partant de ´a ă ´b ă ´c nous posons

0 ă λ “ c´ bc´ a. (18.294)

Nous avons à nouveau b “ p1´ λqc` λa et nous pouvons obtenir la seconde inégalité

fpcq ´ fpaqc´ a ď fpcq ´ fpbq

c´ b . (18.295)

36. Les inégalités sont strictes si la fonction f est strictement convexe.

1092 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Géométriquement, l’inégalité des pentes se comprend facilement : le coefficient angulaire de lacorde du graphe augmente. Donc si x ă y ă z, le coefficient moyen entre x et y est plus petit quecelui entre x et z qui est plus petit que celui entre y et z.

Donc si le coefficient angulaire moyen entre a et b ` u vaut celui entre a et b, ce coefficientne peut qu’être constant entra a et b : sinon il serait plus grand entre b et b ` u et la moyennesur a Ñ b ` u serait plus grande que sa moyenne sur a Ñ b. Mais avoir un coefficient angulaireconstant signifie être une droite.

En résumé, si une fonction est convexe et non strictement convexe, alors son graphe est unedroite. C’est en gros cela que la proposition 18.83 clarifiera.

18.9.2 Convexité et régularité

Lemme 18.77 ([235]).Une fonction convexe sur un ouvert

(1) y admet des dérivées à gauche et à droite en chaque point,(2) y est continue.

Démonstration. Soit I “ sa, br un intervalle sur lequel f est convexe et α P I. Nous allons prouverque f est continue en α. Nous considérons τα le taux d’accroissement définit par (18.287) ; c’estune fonction croissante comme précisé dans l’inégalité des trois pentes 18.76 et de plus ταpxq estbornée supérieurement par ταpbq pour x ă α et inférieurement par ταpaq pour x ą α. Les limitesexistent donc et sont finies par la proposition 12.88. Autrement dit les limites

limxÑα`

fpxq ´ fpαqx´ α “ lim

xÑα`ταpxq “ inf

tąα ταptq (18.296a)

limxÑα´

fpxq ´ fpαqx´ α “ lim

xÑα´ταpxq “ sup

tăαταptq. (18.296b)

existent et sont finies, c’est à dire que la fonction f admet une dérivée à gauche et à droite.Pour tout x nous avons les inégalités

ταpaq ď fpxq ´ fpαqx´ α ď ταpbq. (18.297)

En posant k “ maxtταpaq, ταpbqu nous avonsˇfpxq ´ fpαqˇ ď k|x´ α|. (18.298)

La fonction est donc Lipschitzienne et par conséquent continue par la proposition 12.245.

Remarque 18.78.Les dérivées à gauche et à droite ne sont a priori pas égales. Penser par exemple à une fonctionaffine par morceaux dont les pentes augmentent à chaque morceau.

18.9.3 Dérivées d’une fonction convexe

Proposition 18.79 ([237, 238, 1]).Une fonction dérivable sur un intervalle I de R

(1) est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante sur I.(2) est strictement convexe si et seulement si sa dérivée est strictement croissante sur I

Démonstration. Pour la preuve de (1) et (2), nous allons démontrer les énoncés «non stricts» etindiquer ce qu’il faut changer pour obtenir les énoncés «stricts».

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1093

Sens direct Nous supposons que f est convexe. Soient a ă b dans I et x P sa, br. D’aprèsl’inégalité des pentes 18.76,

fpxq ´ fpaqx´ a ď fpbq ´ fpaq

b´ a ď fpbq ´ fpxqb´ x . (18.299)

En faisant la limite xÑ a nous avons

f 1paq ď fpbq ´ fpaqb´ a (18.300)

et la limite xÑ b donnefpbq ´ fpaq

b´ a ď f 1pbq. (18.301)

Ici les inégalités sont non a priori strictes, même si f est strictement convexe : même avecdes inégalités strictes dans (18.299), le passage à la limite rend l’inégalité non stricte. Quoiqu’il en soit nous avons

f 1paq ď f 1pbq. (18.302)

Sens direct : strict Nous savons déjà que f 1 est croissante. Si (18.302) était une égalité, alorsf 1 serait constante sur sa, br parce qu’en prenant c entre a et b nous aurions f 1paq ď f 1pcq ďf 1pbq avec f 1paq “ f 1pbq. Donc f 1paq “ f 1pcq. Avoir f 1 constante sur un intervalle est contraireà la stricte convexité.

Sens réciproque Nous supposons que f 1 est croissante et nous considérons a ă b dans I ainsique λ P r0, 1s. Nous posons x “ λa` p1´ λqb, et nous savons que a ď x ď b. Le théorèmedes accroissements finis 12.129 donne c1 P sa, xr et c2 P sx, br tels que

f 1pc1q “ fpxq ´ fpaqx´ a (18.303)

etf 1pc2q “ fpbq ´ fpxq

b´ x . (18.304)

Et en plus c1 ă c2. Vu que f 1 est croissante nous avons f 1pc1q ď f 1pc2q et doncfpxq ´ fpaq

x´ a ď fpbq ´ fpxqb´ x . (18.305)

En remplaçant x par sa valeur en termes de λ, a et b nous avons x´ a “ p1´ λqpb´ aq etb´ x “ λpb´ aq, et l’inégalité (18.305) nous donne

fpxq ď λfpaq ` p1´ λqfpbq. (18.306)

Sens réciproque : strict Si f 1 est strictement croissante, nous avons f 1pc2q ă f 1pc2q et lesinégalité suivantes sont strictes, ce qui donne

fpxq ă λfpaq ` p1´ λqfpbq. (18.307)

Théorème 18.80 ([237]).Une fonction f de classe C2 est convexe si et seulement si f2 est positive.

Démonstration. La fonction est C2, donc f2 est positive si et seulement si f 1 est croissante (pro-position 12.125) alors que la proposition 18.79 nous jure que f sera convexe si et seulement si f 1est croissante.

Remarque 18.81.Une fonction peut être strictement convexe sans que sa dérivée seconde ne soit toujours strictementpositive. En exemple : x ÞÑ x4 est strictement convexe alors que sa dérivée seconde s’annule enzéro.

1094 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Exemple 18.82Quelques exemples utilisant le théorème 18.80(1) La fonction x ÞÑ x2 est convexe parce que sa dérivée seconde est la constante (positive) 2.(2) La fonction x ÞÑ 1

x est convexe sur R`zt0u (sa dérivée seconde est 2x´3).(3) La fonction exponentielle est également convexe.(4) La fonction ln est concave parce que la dérivée seconde de ´ ln est 1

x2 qui est strictementpositif.

4

18.9.4 Graphe d’une fonction convexe

L’idée principale du graphe d’une fonction convexe est qu’il est toujours au dessus du graphede ses tangentes (lorsqu’elles existent). Lorsqu’elles n’existent pas, le lemme 18.77 donne des coef-ficients directeurs de droites qui vont rester en dessous du graphe de la fonction.

Proposition 18.83 ([239]).Une fonction convexe est strictement convexe si et seulement s’il n’existe aucun intervalle delongueur non nulle sur lequel elle coïncide avec une fonction affine.

Démonstration. Si sur l’intervalle (non réduit à un point) rx, ys, la fonction convexe f coïncideavec une fonction affine, alors fptq “ at` b et pour λ P s0, 1r nous avons

f`λx` p1´ λqy˘ “ aλx` ap1´ λqy ` b “ λfpxq ` p1´ λqfpyq (18.308)

où nous avons remplacé b par λb ` p1 ´ λqb. Par conséquent la fonction n’est pas strictementconvexe.

Nous supposons maintenant que la fonction convexe f n’est pas strictement convexe sur l’in-tervalle I. Il existe x ‰ y P I et λ P s0, 1r tels que

f`λx` p1´ λqy˘ “ λfpxq ` p1´ λqfpyq. (18.309)

Nous posons z “ λx`p1´λqy et u P sx, zr pour écrire des inégalités des pentes entre x ă u ă z ă y.Plus précisément si nous notons a Ñ b la pente de a à b, c’est à dire a Ñ b “ fpbq´fpaq

b´a , alors lesinégalités des pentes pour x ă u ă z puis u ă z ă y donnent

xÑ z ď uÑ z ď z Ñ y. (18.310)

Voyons maintenant qu’en réalité z Ñ y “ xÑ z. En effet en replaçant

fpyq “ fpzq ´ λfpxq1´ λ (18.311)

ety “ λx

1´ λ (18.312)

dans l’expression z Ñ y “ fpyq´fpzqy´z nous obtenons

z Ñ y “ fpyq ´ fpzqy ´ z “ fpzq ´ fpxq

z ´ x “ xÑ z. (18.313)

Les inégalités (18.310) sont donc des égalités :

fpzq ´ fpxqz ´ x “ fpzq ´ fpuq

z ´ u “ fpyq ´ fpzqy ´ z . (18.314)

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1095

Nous avons donc montré que le nombre a “ fpzq´fpuqz´u ne dépend pas de u. Nous avons alors

fpzq ´ fpuq “ apz ´ uq (18.315)

ou encore :fpuq “ fpzq ´ apz ´ uq, (18.316)

ce qui signifie que sur sx, zr, la fonction f est affine.

Proposition 18.84.Une fonction dérivable sur un intervalle I de R est convexe si et seulement si son graphe est audessus de chacune de ses tangentes.

Démonstration. Sens direct Soient x, y P I. Nous voulons :

fpyq ě fpxq ` f 1pxqpy ´ xq. (18.317)

Étant donné que nous aurons besoin, dans le quotient différentiel de quelque chose commefpx` tq ´ fpxq nous écrivons la définition (18.286) de la convexité en inversant les rôles dex et y et en manipulant un peu :

f`ty ` p1´ tqx˘ ď tfpyq ` p1´ tqfpxq (18.318a)

f`x` tpy ´ xq˘ ď tfpyq ` p1´ tqfpxq (18.318b)

f`x` tpy ´ xq˘ “ fpxq ď tfpyq ´ tfpxq (18.318c)

Nous divisons par t :f`x` tpy ´ xq˘´ fpxq

tď fpyq ´ fpxq. (18.319)

Le passage à la limite tÑ 0 donne

py ´ xqf 1pxq ď fpyq ´ fpxq, (18.320)

ce qu’il fallait.Sens inverse Pour tout x, y P I nous supposons avoir

fpyq ě fpxq ` f 1pxqpy ´ xq. (18.321)

Si nous supposons x ‰ y et si nous posons z “ λx` p1´ λqy nous voulons prouver que

fpzq ď λfpxq ` p1´ λqfpyq. (18.322)

Pour cela nous écrivons l’inégalité (18.321) avec les couples px, zq et py, zq :

fpxq ě fpzq ` f 1pzq1px´ zq (18.323a)fpyq ě fpzq ` f 1pzq1py ´ zq (18.323b)

En multipliant la première par λ et la seconde par p1´ λq et en sommant,

λfpxq ` p1´ λqfpyq ě λfpzq ` λf 1pzqpx´ zq ` p1´ λqfpzq ` p1´ λqf 1pzqpy ´ zq(18.324a)

“ fpzq ` f 1pzq`λpx´ zq ` p1´ λqpy ´ zq˘ (18.324b)“ fpzq. (18.324c)

1096 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Proposition 18.85 ([1]).Soit f : R Ñ R une fonction convexe et a P R. Il existe une constante ca P R telle que pour toutx nous ayons

fpxq ´ fpaq ě capx´ aq. (18.325)

Autrement dit, le graphe de la fonction f est toujours au dessus de la droite d’équation

y “ fpaq ` capx´ aq. (18.326)

Démonstration. Les dérivées à gauche et à droite de f données par le lemme 18.77 sont les candidatstout cuits pour être coefficient directeur de la droite que l’on cherche. Nous allons prouver qu’enposant

ca “ inftąa τaptq, (18.327)

la droite y “ fpaq ` capx´ aq répond à la question 37.Nous devons prouver que le nombre ∆x “ fpxq ´ `

fpaq ` capx´ aq˘est positif pour tout x.

Si x ą a Nous divisons par x´ a et nous devons prouver que ∆xx´a est positif :

∆x

x´ a “fpxq ´ fpaq

x´ a ´ ca (18.328a)

“ τapxq ´ inftąa τaptq (18.328b)

ě 0 (18.328c)

parce que tÑ τaptq est croissante et que x ą a.Si x ă a Nous divisons par x´ a et nous devons prouver que ∆x

x´a est négatif :

∆x

x´ a “fpxq ´ fpaq

x´ a ´ ca (18.329a)

“ τapxq ´ inftąa τaptq (18.329b)

ď 0 (18.329c)

parce que tÑ τaptq est croissante et que x ă a.

Proposition 18.86 ([1]).Si g est une fonction convexe, il existe deux suites réelles panq et pbnq telles que

gpxq “ supnPNpanx` bnq. (18.330)

Démonstration. Pour u P R nous considérons apuq et bpuq tels que la droite ypxq “ apuqx ` bpuqvérifie ypuq “ gpuq et ypxq ď gpxq pour tout x. Cela est possible par la proposition 18.85. Il s’agitd’une droite coupant le graphe de g en x “ u et restant en dessous. Nous considérons alors punqune suite quelconque dense dans R (disons les rationnels pour fixer les idées) et nous posons

"an “ apunq (18.331a)bn “ bpunq. (18.331b)

Si q P Q alors anx ` bn ď gpxq pour tout n et gpqq est le supremum qui est atteint pour le n telque un “ q. Si maintenant x n’est pas dans Q il faut travailler plus.

37. En prenant l’autre, c1a “ suptăa τaptq, ça fonctionne aussi. En pensant à une fonction affine par morceaux, onremarque qu’en choisissant un nombre entre les deux, nous avons plus facilement une inégalité stricte dans (18.325).

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1097

Nous prenons pqnq, une sous-suite de pqnq convergeant vers x et N suffisamment grand pourque pour tout n ě N on ait |qn´x| ď ε et |gpqnq´gpxq| ď ε ; cela est possible grâce à la continuitéde g (lemme 18.77). Ensuite les sous-suites panq et pbnq sont celles qui correspondent :

anqn ` bn “ gpqnq. (18.332)

Nous considérons la majoration

|anx` bn ´ gpxq| ď |anx` bn ´ panqn ` bnq| ` |anqn ` bn ´ gpqnq|looooooooooomooooooooooon“0

` |gpqnq ´ gpxq|looooooomooooooonďε

(18.333a)

ď |an||x´ qn| ` ε (18.333b)“ ε

`|an| ` 1˘. (18.333c)

Il nous reste à montrer que |an| est borné par un nombre ne dépendant pas de n (pour les n ą N).Vu que la droite de coefficient directeur an et passant par le point

`qn, gpqnq

˘reste en dessous

du graphe de g, nous avons pour tout n et tout y P R l’inégalité

gpyq ě anpy ´ qnq ` gpqnq P anBpy ´ x, εq `B`gpxq, ε˘. (18.334)

Si an n’est pas borné vers le haut, nous prenons y tel que Bpy ´ x, εq soit minoré par un nombrek strictement positif et nous obtenons

gpyq ě kan ` l (18.335)

avec k et l indépendants de n. Cela donne gpyq “ 8. Si au contraire an n’est pas borné vers le bas,nous prenons y tel que Bpy´x, εq est majoré par un nombre k strictement négatif. Nous obtenonsencore gpyq “ 8.

Nous concluons que |an| est bornée.Lemme 18.87 ([2]).L’application

φ : S``pn,Rq Ñ R

A ÞÑ detpAq (18.336)

est log-convave, c’est à dire que l’application ln ˝φ est concave 38. De façon équivalente, si A,B PS`` et si α` b “ 1, alors

detpαA` βBq ě detpAqα detpBqβ. (18.337)

Ici S`` est l’ensemble des matrices symétriques strictement définies positives, définition 9.167.

Démonstration. Nous commençons par prouver que l’équation (18.337) est équivalente à la log-concavité du déterminant. Pour cela il suffit de remarquer que les propriétés de croissance etd’additivité du logarithme donnent l’équivalence entre

ln´

detpαA` βBq¯ě ln

´detpαAq

¯` ln

´detpβBq

¯, (18.338)

etdetpαA` βBq ě detpAqα detpBqβ. (18.339)

Le théorème de pseudo-réduction simultanée, corollaire 9.173, appliqué aux matrices A et Bnous donne une matrice inversible Q telle que

"B “ QtDQ (18.340a)A “ QtQ (18.340b)

38. La définition 15.57 du logarithme ne fonctionne que pour les réels strictement positifs. C’est le cas du déter-minant d’une matrice réelle symétrique strictement définie positive.

1098 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

avec

D “

¨˚λ1

. . .λn

˛‹‚, (18.341)

λi ą 0. Nous avons alors

detpAqα detpBqβ “ detpQq2α detpQq2β detpDqβ “ detpQq2 detpDqβ (18.342)

(parce que α` β “ 1) et

detpαA`βBq “ detpαQtQ`βQtDQq “ det`Qtpα1`βDqQ˘ “ detpQq2 detpα1`βDq. (18.343)

L’inégalité (18.339) qu’il nous faut prouver se réduit donc à

detpα1` βDq ě detpDqβ. (18.344)

Vue la forme de D nous avons

detpα1` βDq “nź

i“1pα` βλiq (18.345)

etdetpDqβ “ ` nź

i“1λi˘β. (18.346)

Il faut donc prouver quenź

i“1pα` βλiq ě

` nź

i“1λi˘β. (18.347)

Cette dernière égalité de produit sera prouvée en passant au logarithme. Vu que le logarithme estconcave par l’exemple 18.82, nous avons pour chaque i que

lnpα` βλiq ě α lnp1q ` β lnpλiq “ β lnpλiq. (18.348)

En sommant cela sur i et en utilisant les propriétés de croissance et de multiplicativité du loga-rithme nous obtenons successivement

nÿ

i“1lnpα` βλiq ě β

ÿ

i

lnpλiq (18.349a)

ln`ź

i

pα` βλiq˘ ě ln

´`ź

i

λi˘β¯ (18.349b)

ź

i

pα` βλiq ě`ź

i

λi˘β, (18.349c)

ce qui est bien (18.347).

18.9.5 Convexité et hessienne

Définition 18.88.Soit une partie convexe U de Rn et une fonction f : U Ñ R.

(1) La fonction f est convexe si pour tout x, y P U avec x ‰ y et pour tout θ P s0, 1r nousavons

f`θx` p1´ θqy˘ ď θfpxq ` p1´ θqfpyq. (18.350)

(2) Elle est strictement convexe si nous avons l’inégalité stricte.

Proposition 18.89 ([233]).Soit Ω ouvert dans Rn et U convexe dans Ω, et une fonction différentiable f : U Ñ R.

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1099

(1) La fonction f est convexe sur U si et seulement si pour tout x, y P U ,fpyq ě fpxq ` dfxpy ´ xq. (18.351)

(2) La fonction f est strictement convexe sur U si et seulement si pour tout x, y P U avec x ‰ y,

fpyq ą fpxq ` dfxpy ´ xq. (18.352)

Démonstration. Nous avons quatre petites choses à démontrer.(1) sens direct Soit une fonction convexe f . Nous avons :

f`p1´ θqx` θy˘ ď p1´ θqfpxq ` θfpyq, (18.353)

doncf`x` θpy ´ xq˘´ fpxq ď θ

`fpyq ´ fpxq˘ (18.354)

Vu que θ ą 0 nous pouvons diviser par θ sans changer le sens de l’inégalité :

f`x` θpy ´ xq˘´ fpxq

θď fpyq ´ fpxq. (18.355)

Nous prenons la limite θ Ñ 0`. Cette limite est égale à a limite simple θ Ñ 0 et vaut (parceque f est différentiable) :

BfBpy ´ xqpxq ď fpyq ´ fpxq, (18.356)

et aussidfxpy ´ xq ď fpyq ´ fpxq (18.357)

par le lemme 12.178.(1) sens inverse Pour tout a ‰ b dans U nous avons

fpbq ě fpaq ` dfapb´ aq. (18.358)

Pour x ‰ y dans U et pour θ P s0, 1r nous écrivons (18.358) pour les couples `θx`p1´θqy, y˘et

`θx` p1´ θqy, x˘. Ça donne :

fpyq ě f`θx` p1´ θqy˘` dfθx`p1´θqy

`θpy ´ xq˘, (18.359)

etfpxq ě f

`θx` p1´ θqy˘` dfθx`p1´θqy

`p1´ θqpx´ yq˘. (18.360)

La différentielle est linéaire ; en multipliant la première par p1´ θq et la seconde par θ et enla somme, les termes en df se simplifient et nous trouvons

θfpxq ` p1´ θqfpyq ě f`θx` p1´ θqy˘. (18.361)

(2) sens direct Nous avons encore l’équation (18.355), avec une inégalité stricte. Par contre,ça ne va pas être suffisant parce que le passage à la limite ne conserve pas les inégalitésstrictes. Nous devons donc être plus malins.Soient 0 ă θ ă ω ă 1. Nous avons p1 ´ θqx ` θy P rx, p1 ´ ωqx ` ωys, donc nous pouvonsécrire p1´ θqx` θy sous la forme p1´ sqx` s`p1´ ωqx` ωy˘. Il se fait que c’est bon pours “ θω (et aussi que nous avons θω ă 1). Donc nous avons

f`p1´ θqx` θy˘ “ f

´p1´ θ

ωqx` θ

ω

`p1´ ωqx` ωy˘¯

(18.362a)

ă p1´ θ

ωqfpxq ` θ

ωf`p1´ ωqx` ωy˘. (18.362b)

1100 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Cela nous permet d’écrire

f`p1´ θqx` θy˘´ fpxq

θă f

`p1´ ωqx` ωy˘ω

ă fpyq ´ fpxq. (18.363)

Le seconde inégalité est le pendant de (18.355). Maintenant en passant à la limite pour θnous conservons une inégalité stricte par rapport à fpyq ´ fpxq :

dfxpy ´ xq ă fpyq ´ fpxq. (18.364)

Avant de lire la proposition suivante, il faut relire la proposition 12.259 et ce qui s’y rapporte.Lire aussi la remarque 18.81 qui indique qu’il n’y a pas de réciproque dans l’énoncé (2).

Proposition 18.90 ([233]).Soit une fonction f : Ω Ñ R deux fois différentiable sur l’ouvert Ω de Rn et un convexe U Ă Ω.

(1) La fonction f est convexe sur U si et seulement si

pd2fqxpy ´ x, y ´ xq ě 0 (18.365)

pour tout x, y P U .(2) Si pour tout x ‰ y dans U nous avons

pd2fqxpy ´ x, y ´ xq ą 0 (18.366)

alors la fonction f est strictement convexe sur U .

Remarque 18.91.Notons que la condition (18.365) n’est pas équivalente à demander pd2fqxph, hq ě 0 pour tout h.En effet nous ne demandons la positivité que dans les directions atteignables comme différence dedeux éléments de U . La partie U n’est pas spécialement ouverte ; elle pourrait n’être qu’une droitedans R3. Dans ce cas, demander que f (qui est C2 sur l’ouvert Ω) soit convexe sur U ne demandeque la positivité de pd2fqx appliqué à des vecteurs situés sur la droite U .

Démonstration. Il y a trois parties à démontrer.(1) sens direct Soit une fonction convexe f sur U . Soient aussi x, y P U et h “ y ´ x. Nous

utilisons ma version préférée de Taylor 39 : celui de la proposition 12.267 :

fpx` thq “ fpxq ` tdfxphq ` t2

2 pd2xqph, hq ` t2h2αpthq (18.367)

avec limsÑ0 αpsq “ 0. Le fait que f soit convexe donne

0 ď fpx` thq ´ fpxq ´ tdfxphq, (18.368)

et donc0 ď t2

2 pd2fqxph, hq ` f2h2αpthq. (18.369)

En multipliant par 2 et en divisant par t2,

0 ď pd2fqxph, hq ` 2h2αpthq. (18.370)

En prenant tÑ 0 nous avons bien pd2fqxpy ´ x, y ´ xq ě 0.

39. Si vous présentez ceci au jury d’un concours, vous devriez être capable de raconter ce que signifie d2f , etpourquoi nous l’utilisons comme une 2-forme.

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1101

(1) sens inverse Soient x, y P U . Nous écrivons Taylor en version de la proposition 12.268 :

fpyq “ fpxq ` dfxpy ´ xq ` 12pd

2fqzpy ´ x, y ´ xq (18.371)

pour un certain z P sx, yr. En vertu de ce qui a été dit dans la remarque 18.91 nous nepouvons pas évoquer l’hypothèse (18.365) pour conclure que pd2fqzpy ´ x, y ´ xq ě 0. Il ya deux manières de nous sortir du problème :— Trouver s P U tel que y ´ x “ s´ z.— Trouver un multiple de y ´ x qui soit de la forme y ´ x.La première approche ne fonctionne pas parce que s “ y ´ x ` z n’est pas garanti d’êtredans U ; par exemple avec x “ 1, z “ 2, y “ 3 et U “ r0, 3s. Dans ce cas s “ 4 R U .Heureusement nous avons z “ θx ` p1 ´ θqy, donc z ´ x “ p1 ´ θqpy ´ xq. Dans ce cas labilinéarité de pd2fqz donne 40

fpyq “ fpxq ` dfxpy ´ xq ` 12

1p1´ θq2 pd

2fqzpz ´ x, z ´ xqlooooooooooooooooooomooooooooooooooooooon

ě0

. (18.372)

Nous en déduisons que f est convexe par la proposition 18.89(1).(2) Le raisonnement que nous venons de faire pour le sens inverse de (1) tient encore, et nous

avonsfpyq “ fpxq ` dfxpy ´ xq ` 1

21

p1´ θq2 pd2fqzpz ´ x, z ´ xq

looooooooooooooooooomoooooooooooooooooooną0

(18.373)

d’où nous déduisons la stricte convexité de f par la proposition 18.89(2).

Corollaire 18.92.Soit un ouvert Ω de Rn et une fonction deux fois différentiable f sur Ω.

(1) La fonction f est convexe si et seulement si pour tout x, la matrice hessienne d2fx estsemi-définie positive.

(2) Si pour tout x de Ω, la matrice hessienne d2fx est strictement définie positive, alors f eststrictement convexe.

Démonstration. Nous pouvons voir ce résultat comme une conséquence directe de la proposition18.90 en posant U “ Ω. Nous allons cependant en donner une démonstration directe.

Soit a P Ω et posons la fonction

g : Ω Ñ R

x ÞÑ fpxq ´ fpaq ´ pdfqapx´ aq. (18.374)

Nous allons calculer des différentielles de f , et une chose importante à comprendre est que ladifférentielle de la fonction x ÞÑ dfapx´aq ne fait pas intervenir la différentielle seconde de f ; c’estla différentielle de a ÞÑ dfapxq qui demanderait la différentielle seconde de f . Ici la point a étantdonné, dfa est une application linéaire sans histoires. En particulier, dfapx´ aq “ dfapxq ´ dfapaq.

La fonction g vérifie :(1) gpaq “ 0,(2) dgx “ dfx´ dfa, parce que la différentielle de x ÞÑ dfapxq est x ÞÑ dfapxq en vertu du lemme

12.217.(3) dga “ 0. Le point a est un point critique de g.(4) d2gx “ d2fx parce que la différentielle de x ÞÑ dfa est nulle.

40. Si vous avez bien suivi, la bilinéarité est contenue dans la proposition 12.259.

1102 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Ceci étant dit, nous pouvons commencer avec la preuve.(1) sens direct Nous supposons que f est convexe. Alors gpxq ě 0 pour tout x par la carac-

térisation 18.89(1). Cela signifie que x “ 0 est un minimum global de g. Par conséquent laproposition 18.68(3) nous dit que la Hessienne d2fa est semi-définie positive.

(1) sens inverse Nous sommes dans le cas de la proposition 18.68(1). Le point x “ a est unminimum local de g, ce qui signifie que gpxq ě 0 pour tout x de Ω. Encore une fois lacaractérisation 18.89(1) nous permet de conclure.

(2) La fonction g vérifie les conditions de 18.68(2), donc x “ 0 est un minimum local strict deg. La caractérisation 18.89(2) nous fait conclure que f est strictement convexe.

18.9.6 Quelque inégalités

18.9.6.1 Inégalité de Jensen

Proposition 18.93 (Inégalité de Jensen).Soit f : R Ñ R une fonction convexe et des réels x1,. . . , xn. Soient des nombres positifs λ1,. . . ,λn formant une combinaison convexe 41. Alors

f`ÿ

i

λixi˘ ď

ÿ

i

λifpxiq. (18.375)

Démonstration. Nous procédons par récurrence sur n, en sachant que n “ 2 est la définition de laconvexité de f . Vu que

nÿ

k“1λkxk “ λnxn ` p1´ λnq

n´1ÿ

k“1

λkxk1´ λn , (18.376)

nous avons

f` nÿ

k“1λkxk

˘ ď λnfpxnq ` p1´ λnqf` n´1ÿ

k“1

λkxk1´ λn

˘. (18.377)

La chose à remarquer est que les nombres λk1´λn avec k allant de 1 à n ´ 1 forment eux-mêmes

une combinaison convexe. L’hypothèse de récurrence peut donc s’appliquer au second terme dumembre de droite :

f` nÿ

k“1λkxk

˘ ď λnfpxnq ` p1´ λnqn´1ÿ

k“1

λk1´ λn fpxkq “ λnfpxnq `

n´1ÿ

k“1λkfpxkq. (18.378)

18.9.6.2 Inégalité arithmético-géométrique

La proposition suivante dit que la moyenne arithmétique de nombres strictement positifs estsupérieure ou égale à la moyenne géométrique.

Proposition 18.94 (Inégalité arithmético-géométrique[240]).Soient x1,. . . , xn des nombres strictement positifs. Nous posons

ma “ 1npx1 ` ¨ ¨ ¨ ` xnq (18.379)

etmg “ n

?x1 . . . xn (18.380)

Alors mg ď ma et mg “ ma si et seulement si xi “ xj pour tout i, j.

41. Définition 11.25.

18.9. FONCTIONS CONVEXES 1103

Démonstration. Par hypothèse les nombres ma et mg sont tout deux strictement positifs, de tellesorte qu’il est équivalent de prouver lnpmgq ď lnpmaq ou encore

1n

`lnpx1q ` ¨ ¨ ¨ ` lnpxnq

˘ ď lnˆx1 ` ¨ ¨ ¨ ` xn

n

˙. (18.381)

Cela n’est rien d’autre que l’inégalité de Jensen de la proposition 18.93 appliquée à la fonction lnet aux coefficients λi “ 1

n .

18.9.6.3 Inégalité de Kantorovitch

Proposition 18.95 (Inégalité de Kantorovitch[241]).Soit A une matrice symétrique strictement définie positive dont les plus grandes et plus petitesvaleurs propres sont λmin et λmax. Alors pour tout x P Rn nous avons

xAx, xyxA´1x, xy ď 14

ˆλminλmax

` λmaxλmin

˙2x4. (18.382)

Démonstration. Sans perte de généralité nous pouvons supposer que x “ 1. Nous diagonalisons 42la matrice A par la matrice orthogonale P P Opn,Rq : A “ PDP´1 et A´1 “ PD´1P´1 où D estune matrice diagonale formée des valeurs propres de A.

Nous posons α “ ?λminλmax et nous regardons la matrice1αA` tA´1 (18.383)

dont les valeurs propres sontλiα` α

λi(18.384)

parce que les vecteurs propres de A et de A´1 sont les mêmes (ce sont les valeurs de la diagonalede D). Nous allons quelque peu étudier la fonction

θpxq “ x

α` α

x. (18.385)

Elle est convexe en tant que somme de deux fonctions convexes. Elle a son minimum en x “ α etce minimum vaut θpαq “ 2. De plus

θpλmaxq “ θpλminq “cλminλmax

`cλmaxλmin

. (18.386)

Une fonction convexe passant deux fois par la même valeur doit forcément être plus petite quecette valeur entre les deux 43 : pour tout x P rλmin, λmaxs,

θpxq ďcλminλmax

`cλmaxλmin

. (18.387)

Nous sommes maintenant en mesure de nous lancer dans l’inégalité de Kantorovitch.axAx, xyxA´1x, xy ď 1

2

ˆxAx, xyα

` αxA´1x, xy˙

(18.388a)

“ 12x`Aα` αA´1˘x, xy (18.388b)

ď 12

›››`Aα` αA´1˘xx (18.388c)

ď 12A

α` αA´1 (18.388d)

Justifications :42. Théorème spectral 9.165.43. Je ne suis pas certain que cette phrase soit claire, non ?

1104 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

— 18.388a par l’inégalité arithmético-géométrique, proposition 18.94. Nous avons aussi inséréα 1α dans le produit sous la racine.

— 18.388c par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, théorème 9.25.— 18.388d par la définition de la norme opérateur de la proposition 10.5

La norme opérateur est la plus grande des valeurs propres. Mais les valeurs propres de Aα`αA´1

sont de la forme θpλiq, et tous les λi sont entre λmin et λmax. Donc la plus grande valeur proprede Aα` αA´1 est θpxq pour un certain x P rλmin, λmaxs. Par conséquent

axAx, xyxA´1x, xy ď 12A

α` αA´1 ď

cλminλmax

`cλmaxλmin

. (18.389)

18.10 Algorithme du gradient à pas optimalUne idée pour trouver un minimum à une fonction est de prendre un point p au hasard, calculer

le gradient ∇fppq et suivre la direction ´∇fppq tant que ça descend. Une fois qu’on est «dans lecreux», recalculer le gradient et continuer ainsi.

Nous allons détailler cet algorithme dans un cas très particulier d’une matrice A symétrique etstrictement définie positive.

— Dans la proposition 18.97 nous montrons que résoudre le système linéaire Ax “ ´b estéquivalent à minimiser une certaine fonction.

— La proposition 18.98 donnera une méthode itérative pour trouver ce minimum.

Définition 18.96.Si X est un espace vectoriel normé et f : X Ñ R Y t˘8u nous disons que f est coercive sur ledomaine non borné P de X si pour tout M P R, l’ensemble

tx P P tel que fpxq ďMu (18.390)

est borné.

En langage imagé la coercivité de f s’exprime par la limite

limxÑ8xPP

fpxq “ `8. (18.391)

Nous rappelons que S``pn,Rq est l’ensemble des matrice symétriques strictement définiespositives définies en 9.168.

Proposition 18.97.Soit A P S``pn,Rq et b P Rn. Nous considérons l’application

f : Rn Ñ R

x ÞÑ 12xAx, xy ` xb, xy.

(18.392)

Alors :(1) Il existe un unique x P Rn tel que Ax “ ´b.(2) Il existe un unique x˚ P Rn minimisant f .(3) Ils sont égaux : x “ x˚.

Démonstration. Une matrice symétrique strictement définie positive est inversible, entre autresparce qu’elle se diagonalise par des matrices orthogonales (qui sont inversibles) et que la matricediagonalisée est de déterminant non nul : tous les éléments diagonaux sont strictement positifs.Voir le théorème spectral symétrique 9.165.

D’où l’unicité du x résolvant le système Ax “ ´b pour n’importe quel b.

18.10. ALGORITHME DU GRADIENT À PAS OPTIMAL 1105

f est strictement convexe La fonction f s’écrit

fpxq “ 12ÿ

kl

Aklxlxk `ÿ

k

bkxk. (18.393)

Elle est de classe C2 sans problèmes, et il est vite vu que B2fBxiBxj “ Aij , c’est à dire que A est

la matrice hessienne de f . Cette matrice étant strictement définie positive par hypothèse,la fonction f est strictement convexe par le corollaire 18.92(2).

f est coercive Montrons à présent que f est coercive. Nous avons :

|fpxq| “ ˇ12xAx, xy ` xb, xy

ˇ(18.394a)

ě 12 |xAx, xy| ´ |xb, xy| (18.394b)

ě 12λmaxx

2 ´ bx (18.394c)

Pour la dernière ligne nous avons nommé λmax la plus grande valeur propre de A et utiliséCauchy-Schwarz pour le second terme. Nous avons donc bien |fpxq| Ñ 8 lorsque x Ñ 8et la fonction f est coercive.

Soit M une valeur atteinte par f . L’ensembletx P Rn tel que fpxq ďMu (18.395)

est fermé (parce que f est continue) et borné parce que f est coercive. Cela est donc compact 44et f atteint un minimum qui sera forcément dedans. Cela est pour l’existence d’un minimum.

Pour l’unicité du minimum nous invoquons la convexité : si x1 et x2 sont deux points réalisantle minimum de f , alors

f

ˆx1 ` x2

2

˙ă 1

2fpx1q ` 12fpx2q “ fpx1q, (18.396)

ce qui contredit la minimalité de fpx1q.Nous devons maintenant prouver que x vérifie l’équation Ax “ ´b. Vu que x est minimum

local de f qui est une fonction de classe C2, le théorème des minima locaux 18.67 nous indiqueque x est solution de ∇fpxq “ 0. Calculons un peu cela avec la formule

dfxpuq “ d

dt

”fpx`tuq

ıt“0

“ 12`xAx, uy`xAu, xy˘`xb, uy “ xAx, uy`xb, uy “ xAx`b, uy. (18.397)

Donc demander dfxpuq “ 0 pour tout u demande Ax` b “ 0.

Proposition 18.98 (Gradient à pas optimal).Soit A P S``pn,Rq (A est une matrice symétrique strictement définie positive) et b P Rn. Nousconsidérons l’application

f : Rn Ñ R

x ÞÑ 12xAx, xy ` xb, xy.

(18.398)

Soit x0 P Rn. Nous définissons la suite pxkq parxk`1 “ xk ` tkdk (18.399)

où— dk “ ´p∇fqpxkq— tk est la valeur minimisant la fonction t ÞÑ fpxk ` tdkq sur R.Alors pour tout k ě 0 nous avons

xk ´ x ď K

ˆc2pAq ´ 1c2pAq ` 1

˙k(18.400)

où c2pAq “ λmaxλmin

est le rapport ente la plus grande et la plus petite valeur propre 45 de la matrice

44. Théorème 6.12345. Cela est certainement très lié au conditionnement de la matrice A, voir la proposition 32.104.

1106 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

A et x est l’unique élément de Rn à minimiser f .

Démonstration. Décomposition en plusieurs points.Existence de x Le fait que x existe et soit unique est la proposition 18.97.Si p∇fqpxkq “ 0 D’abord si ∇fpxkq “ 0, c’est que xk`1 “ xk et l’algorithme est terminé : la

suite est stationnaire. Pour dire que c’est gagné, nous devons prouver que xk “ x. Pour celanous écrivons (à partir de maintenant «xk» est la kecomposante de x qui est une variable,et non le xk de la suite)

fpxq “ 12ÿ

kl

Aklxlxk `ÿ

k

bkxk (18.401)

et nous calculons BfBxi paq en tenant compte du fait que BxkBxi “ δki. Le résultat est que

pBifqpaq “ pAx` bqi et donc que

p∇fqpaq “ Aa` b. (18.402)

Vu que A est inversible (symétrique définie positive), il existe un unique a P Rn qui vérifiecette relation. Par la proposition 18.97, cet élément est le minimum x.Cela pour dire que si a P Rn vérifie p∇fqpaq “ 0 alors a “ x. Nous supposons donc à partirde maintenant que ∇fpxkq ‰ 0 pour tout k.

tk est bien défini Pour t P R nous avons

fpxk ` tdkq “ fpxkq ` 12 t

2xAdk, dky ` txAxk ` blooomooon“´dk

, dky “ 12 t

2xAdk, dky ´ tkdk2 ` fpxkq.

(18.403)qui est un polynôme du second degré en t. Le coefficient de t2 est 1

2xAdk, dky ą 0 parce quedk ‰ 0 et A est strictement définie positive. Par conséquent la fonction t ÞÑ fpxk ` tdkqadmet bien un unique minimum. Nous pouvons même calculer tk parce que l’on connaîtpas cœur le sommet d’une parabole :

tk “ ´xAxk ` b, dkyxAdk, dky “ dk2xAdk, dky (18.404)

parce que dk “ ´∇fpxkq “ ´pAxk ` bq.La valeur de dk`1 Par définition, dk`1 “ ´∇fpxk`1q “ ´pAxk`1`bq. Mais xk`1 “ xk` tkdk,

doncdk`1 “ ´Axk ´ tkAdk ´ b “ dk ´ tkAdk (18.405)

parce que ´Axk ´ b “ dk.Par ailleurs, xdk`1, dky “ 0 parce que

xdk`1, dky “ xdk, dky ´ tkxdk, Adky “ dk2 ´ dk2xAdk, dkyxdk, Adky “ 0 (18.406)

où nous avons utilisé la valeur (18.404) de tk.Calcul de fpxk`1q Nous repartons de (18.403) où nous substituons la valeur (18.404) de tk :

fpxk`1q “ fpxkq ` 12

dk4xAdk, dky ´

dk4xAdk, dky “ fpxkq ´ 1

2dk4

xAdk, dky . (18.407)

Encore du calcul . . . Vu que le produit xAdk, dky arrive tout le temps, nous allons étudierxA´1dk, dky. Le truc malin est d’essayer d’exprimer ça en termes de x et f “ fpxq. Pourcela nous calculons fpxq :

f “ fpxq “ fp´A´1bq “ ´12xb, A

´1by. (18.408)

18.10. ALGORITHME DU GRADIENT À PAS OPTIMAL 1107

Ayant cela en tête nous pouvons calculer :

xA´1dk, dky “ xA´1pAxk ` bq, Axk ` by (18.409a)“ xxk, Axky ` xA´1b, Axky ` xb, xky ` xA´1b, byloooomoooon

´2f

(18.409b)

“ xxk, Axky ` 2xxk, by ´ 2f (18.409c)“ 2

`fpxkq ´ f

˘(18.409d)

où nous avons utilisé le fait que xx,Ayy “ xAx, yy parce que A est symétrique.Erreur sur la valeur du minimum Nous voulons à présent estimer la différence fpxk`1q´ f .

Pour cela nous mettons en facteur fpxkq ´ f dans fpxk`1´ fq ; et d’ailleurs c’est pour celaque nous avons calculé xA´1dk, dky : parce que ça fait intervenir fpxkq ´ f .

fpxk`1q ´ f “ fpxkq ´ 12

dk4xAdk, dky ´ f (18.410a)

“ `fpxkq ´ f

˘˜

1´ 12

dk4xAdk, dky

`fpxkq ´ f

˘¸

(18.410b)

“ `fpxkq ´ f

˘ˆ1´ dk4

xAdk, dkyxA´1dk, dky˙. (18.410c)

Nous traitons le dénominateur à l’aide de l’inégalité de Kantorovitch 18.95. Nous avonsdk4

xAdk, dkyxA´1dk, dky ědk4

14

ˆac2pAq ` 1?

c2pAq

˙2dk4

“ 4c2pAqpc2pAq ` 1q2 . (18.411)

Mettre cela dans (18.410c) est un calcul d’addition de fractions :

fpxk`1q ´ f ď`fpxkq ´ f

˘ˆc2pAq ´ 1c2pAq ` 1

˙2. (18.412)

Par récurrence nous avons alors

fpxkq ´ f ď`fpx0q ´ f

˘ˆc2pAq ´ 1c2pAq ` 1

˙2k. (18.413)

Notons qu’il n’y a pas de valeurs absolues parce que f étant le minimum de f , les deuxcôtés de l’inégalité sont automatiquement positifs.

Erreur sur la position du minimum Nous voulons à présent étudier la norme de xk ´ x.Pour cela nous l’écrivons directement avec la définition de f en nous souvenant que b “´Ax :

fpxkq ´ f “ 12xAxk, xky ` xAx, xky `

12xAx, xy ` xAx, xy (18.414a)

“ 12xAxk, xky ´ xAx, xky `

12xAx, xy (18.414b)

“ 12xAxk, xky ´

12xAx, xky ´

12xAx, xky `

12xAx, xy (18.414c)

“ 12

´xApxk ´ xq, xky ` xAx, x´ xky

¯(18.414d)

“ 12

´xApxk ´ xq, pxk ´ xqy

¯(18.414e)

où à la dernière ligne nous avons fait xAx, x´ xky “ xx, Apx´ xkqy en vertu de la symétriede A.Les produits de la forme xAy, yy sont majorés par λminy2 parce que λmin est la plus grandevaleur propre de A. Dans notre cas,

fpxkq ´ f ě 12λminxk ´ x

2 (18.415)

1108 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Conclusion En combinant les inéquations (18.415) et (18.413) nous trouvons

12λminxk ´ x

2 ď fpxkq ´ f ď`fpx0q ´ f

˘ˆc2pAq ´ 1c2pAq ` 1

˙2k, (18.416)

c’est à dire

xk ´ x ďd

2`fpx0q ´ f

˘

λmin ` 1

2k

. (18.417)

Notons que lorsque c2pAq est proche de 1 la méthode converge rapidement. Par contre si c2pAqest proche de zéro, la méthode converge lentement.

18.11 Ellipsoïde de John-LoewerSoit q une forme quadratique sur Rn ainsi que B une base orthonormée de Rn dans laquelle la

matrice de q est diagonale. Dans cette base, la forme q est donnée par la proposition 9.246 :

qpxq “ÿ

i

λixi (18.418)

où les λi sont les valeurs propres de q.Plus généralement nous notons matBpqq la matrice de q dans la base B de Rn.

Proposition 18.99.Soit B une base orthonormée de Rn et l’application 46

D : QpRnq Ñ R

q ÞÑ det`matBpqq

˘.

(18.419)

Alors :(1) La valeur et D ne dépend pas du choix de la base orthonormée B.(2) La fonction D est donnée par la formule Dpqq “ś

i λi où les λi sont les valeurs propres deq.

(3) La fonction D est continue.

Démonstration. Soit q une forme quadratique sur Rn. Nous considérons B une base de diagonali-sation de q :

qpxq “ÿ

i

λixi (18.420)

où les xi sont les composantes de x dans la base B. Par définition, la matrice matBpqq est la matricediagonale contenant les valeurs propres de q.

Nous considérons aussi B1, une autre base orthonormées de Rn. Nous notons S “ matB1pqq ;étant symétrique, cette matrice se diagonalise par une matrice orthogonale : il existe P P Opn,Rqtelle que

S “ PmatBpqqP t; (18.421)

donc detpSq “ detpPP tq det`

diagpλ1, . . . , λnq˘ “ λ1 . . . λn. Ceci prouve en même temps que D ne

dépend pas du choix de la base et que sa valeur est le produit des valeurs propres.Passons à la continuité. L’application déterminant det : SnpRnq Ñ R est continue car po-

lynôme en les composantes. D’autre par l’application matB : QpRnq Ñ SnpRq est continue parla proposition 9.245. L’application D étant la composée de deux applications continues, elle estcontinue.46. L’ensemble QpEq est l’ensemble des formes quadratiques sur E.

18.11. ELLIPSOÏDE DE JOHN-LOEWER 1109

Proposition 18.100 (Ellipsoïde de John-Loewner[2]).Soit K compact dans Rn et d’intérieur non vide. Il existe une unique ellipsoïde 47 (pleine) devolume minimal contenant K.

Démonstration. Nous subdivisons la preuve en plusieurs parties.À propos de volume d’un ellipsoïde Soit E un ellipsoïde. La proposition 9.258 et son co-

rollaire 9.259 nous indiquent que

E “ tx P Rn tel que qpxq ď 1u (18.422)

pour une certaine forme quadratique strictement définie positive q. De plus il existe unebase orthonormée B “ te1, . . . , enu de Rn telle que

qpxq “nÿ

i“1aix

2i (18.423)

où xi “ xei, xy et les ai sont tous strictement positifs. Nous nommons Eq l’éllipsoïde associéeà la forme quadratique q et Vq son volume que nous allons maintenant calculer 48 :

Vq “żři aix

2iă1

dx (18.424)

Cette intégrale est écrite de façon plus simple en utilisant le C1-difféomorphisme

ϕ : Eq Ñ Bp0, 1qx ÞÑ

´x1?a1, . . . , xn

?an

¯.

(18.425)

Le fait que ϕ prenne bien ses valeurs dans Bp0, 1q est un simple calcul : si x P Eq, alorsÿ

i

ϕpxq2i “ÿ

i

aix2i ă 1. (18.426)

Cela nous permet d’utiliser le théorème de changement de variables 13.224 :

Vq “żři aix

2iă1

dx “ 1?a1 . . . an

ż

Bp0,1qdx. (18.427)

La dernière intégrale est le volume de la sphère unité dans Rn ; elle n’a pas d’importanceici et nous la notons V0. La proposition 18.99 nous permet d’écrire Vq sous la forme

Vq “ V0aDpqq . (18.428)

Existence de l’ellipsoïde Nous voulons trouver un ellipsoïde contenantK de volume minimal,c’est à dire une forme quadratique q P Q``pRnq telle que— Dpqq soit maximal— qpxq ď 1 pour tout x P K.Nous considérons l’ensemble des candidats semi-définis positifs.

A “ tq P Q` tel que qpxq ď 1@x P Ku. (18.429)

Nous allons montrer que A est convexe, compact et non vide dans QpRnq ; il aura ainsiun maximum de la fonction continue D définie sur QpRnq. Nous montrerons ensuite que lemaximum est dans Q``. L’unicité sera prouvée à part.

47. Définition 9.256.48. Le volume ne change pas si nous écrivons l’inégalité stricte au lieu de large dans le domaine d’intégration ;

nous le faisons pour avoir un domaine ouvert.

1110 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Non vide L’ensemble K est compact et donc borné par M ą 0. La forme quadratiqueq : x ÞÑ x2M2 est dans A parce que si x P K alors

qpxq “ x2

M2 ď 1. (18.430)

Convexe Soient q, q1 P A et λ P r0, 1s. Nous avons encore λq ` p1´ λqq1 P Q` parce que

λqpxq ` p1´ λqq1pxq ě 0 (18.431)

dès que qpxq ě 0 et q1pxq ě 0. D’autre part si x P K nous avons

λqpxq ` p1´ λqq1pxq ď λ` p1´ λq “ 1. (18.432)

Donc λq ` p1´ λqq1 P A.Fermé Pour rappel, la topologie de QpRnq est celle de la norme (9.564). Nous considérons

une suite pqnq dans A convergeant vers q P QpRnq et nous allons prouver que q P A, desorte que la caractérisation séquentielle de la fermeture (proposition 6.139) conclue queA est fermé. En nommant ex le vecteur unitaire dans la direction x nous avons

ˇqpxqˇ “ ˇx2qpexq

ˇ ď x2Npqq, (18.433)

de sorte que notre histoire de suite convergente donne pour tout x :ˇqnpxq ´ qpxq

ˇ ď x2Npqn ´ qq Ñ 0. (18.434)

Vu que qnpxq ě 0 pour tout n, nous devons aussi avoir qpxq ě 0 et donc q P Q` (semi-définie positive). De la même manière si x P K alors qnpxq ď 1 pour tout n et doncqpxq ď 1. Par conséquent q P A et A est fermé.

Borné La partie K de Rn est borné et d’intérieur non vide, donc il existe a P K et r ą 0tel que Bpa, rq Ă K. Si par ailleurs q P A et x P Bp0, rq nous avons a ` x P K et doncqpa` xq ď 1. De plus qp´aq “ qpaq ď 1, donc

aqpxq “

bq`x` a´ a˘ ďa

qpx` aq `aqp´aq ď 2 (18.435)

par l’inégalité de Minkowski 9.254. Cela prouve que si x P Bp0, rq alors qpxq ď 4. Si parcontre x P Bp0, 1q alors rx P Bp0, rq et

0 ď qpxq “ 1r2 qprxq ď

4r2 , (18.436)

ce qui prouve que Npqq ď 4r2 et que A est borné.

L’ensemble A est compact parce que fermé et borné, théorème de Borel-Lebesgue 6.123.L’application continue D : QpRnq Ñ R de la proposition 18.99 admet donc un maximumsur le compact A. Soit q0 ce maximum.Nous montrons que q0 P Q``pRdq. Nous savons que l’application f : x ÞÑ x2

M2 est dans Aet que Dpfq ą 0. Vu que q0 est maximale pour D, nous avons

Dpq0q ě Dpfq ą 0. (18.437)

Donc q0 P Q``.Unicité S’il existe une autre ellipsoïde de même volume que celle associée à la forme quadratique

q0, nous avons une forme quadratique q P Q`` telle que qpxq ď 1 pour tout x P K. C’est àdire que nous avons q0, q P A tels que Dpq0q “ Dpqq.

18.12. FORMES QUADRATIQUES, SIGNATURE, ET LEMME DE MORSE 1111

Nous considérons la base canonique Bc deRn et nous posons S “ matBcpqq, S0 “ matBcpq0q.Étant donné que A est convexe, pq0` qq2 P A et nous allons prouver que cet élément de Acontredit la maximalité de q0. En effet

D

ˆq ` q0

2

˙“ det

ˆS ` S0

2

˙(18.438)

Nous allons utiliser le lemme 18.87 qui dit que le logarithme est log-concave sous la formede l’équation (18.337) avec α “ β “ 1

2 :

D

ˆq ` q0

2

˙“ det

ˆS ` S0

2

˙ąa

detpSqadetpS0q “ detpS0q “ Dpq0q. (18.439)

Nous avons utilisé le fait que Dpq0q “ Dpqq qui signifie que detpS0q “ detpSq. L’inéquation(18.439) contredit la maximalité de Dpq0q et donne donc l’unicité.

18.12 Formes quadratiques, signature, et lemme de MorseSoit pE, .Eq un espace vectoriel réel normé de dimension finie n. L’ensemble des formes qua-

dratiques réelles 49 sur E est vu comme l’ensemble des matrices symétriques SnpRq ; il sera notéQpEq et le sous-ensemble des formes quadratiques non dégénérées est SnpRq XGLpn,Rq qui seranoté ΩpEq. Nous rappelons que la correspondance est donnée de la façon suivante. Si A P SnpRq,la forme quadratique associée est qA donnée par qApxq “ xtAx.

Nous noterons encore Q`pEq les formes quadratiques positives sur E et Q``pEq les formesquadratiques strictement définies positives sur E.

Sur QpEq nous mettons la norme

Npqq “ supxE“1

|qpxq|, (18.440)

qui du point de vue de SnpRq estNpAq “ sup

xE“1|xtAx|. (18.441)

Notons que à droite, c’est la valeur absolue usuelle sur R.Nous savons par le théorème de Sylvester (théorème 16.96) que dans Mpn,Rq, toute matrice

symétrique de signature pp, qq est semblable à la matrice

1p,q “¨˝1p

1p0n´p´q

˛‚. (18.442)

Donc deux matrices de Sn sont semblables si et seulement si elles ont la même signature (même sielles ne sont pas de rang maximum, cela soit dit au passage). Si nous notons Sp,qn pRq l’ensembledes matrices réelles symétriques de signature pp, qq, alors

Sp,qn pRq “ tP tAP tel que P P GLpn,Rqu (18.443)

où A est une quelconque ce ces matrices.Nous voudrions en savoir plus sur ces ensembles. En particulier nous aimerions savoir si la

signature est une notion «stable» au sens où ces ensembles seraient ouverts dans Sn. Pour celanous considérons l’action de GLpn,Rq sur Sn définie par

α : GLpn,Rq ˆ SnpRq Ñ SnpRqpP,Aq ÞÑ P tAP

(18.444)

49. Définition 9.242.

1112 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

faite exprès pour que les orbites de cette action soient les ensembles Sp,qn pRq.La proposition suivante montre que lorsque p` q “ n, c’est à dire lorsqu’on parle de matrices

de rang maximum, les ensembles Sp,qn pRq sont ouverts, c’est à dire que la signature d’une formequadratique est une propriété «stable» par petite variations des éléments de matrice. Notons toutde suite que si le rang n’est pas maximum, le théorème de Sylvester dit qu’elle est semblable à unematrice diagonale avec des zéros sur la diagonale ; en modifiant un peu ces zéros, on peut modifierévidemment la signature.

Proposition 18.101 ([2]).Soit pE, .Eq un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors

(1) les formes quadratiques non dégénérées forment un ouvert dans l’ensemble des formes qua-dratiques,

(2) les ensembles Sp,qn pRq avec p` q “ n sont ouverts dans SnpRq,(3) les composantes connexes de ΩpEq sont les Sp,qn pRq avec p` q “ n,(4) les Sp,qn pRq non dégénérés sont connexes par arc.

Démonstration. Cette preuve est donnée du point de vue des matrices. La différence entre le point(3) et (4) est que dans le premier nous prouvons la connexité de Sp,qn pRq à partir de la connexitéde GL`pn,Rq, tandis que dans le second nous prouvons la connexité par arc de Sp,qn pRq à partirde la connexité par arc de GL`pn,Rq. Bien entendu le second implique le premier.

(1) Il s’agit simplement de remarquer que QpEq “ SnpRq, que ΩpEq “ SnpRq X GLpn,Rq etque le déterminant est une fonction continue sur Mpn,Rq.

(2) Soit A0 P Sp,qn pRq. Le théorème de Sylvester 16.96 nous donne une matrice inversible Ptelle que P tA0P “ 1p,q. Nous allons montrer qu’il existe un voisinage U de 1p,q contenudans Sp,qn pRq. À partir de là, l’ensemble pP´1qtUP´1 sera un voisinage de A0 contenu dansSp,qn pRq.Nous considérons les espaces vectoriels

F “ Spante1, . . . , epu (18.445a)G “ Spantep`1, . . . , enu (18.445b)

La norme euclidienne .p sur F est équivalente à la norme |.|E par le théorème 10.3. Doncil existe une constante k1 ą 0 telle que pour tout x P F ,

xp ě k1xE . (18.446)

De la même façon sur G, il existe une constante k2 ą 0 telle que

xq ě k2xE . (18.447)

Si nous posons k “ mintk21, k

22u, alors nous avons

@x P F, x2p ě k21x2E ě kx2E (18.448a)

@x P G, x2q ě k22x2E ě kx2E . (18.448b)

Soit une matrice A P SnpRq telle que NpA ´ 1p,qq ă k, c’est à dire que A est dans unvoisinage de 1p,q pour la norme sur SnpRq donné par (18.441). Si x est non nul dans E,nous avons ˇ

xtpA´ 1p,qqxˇ ď Np1p,q ´Aqx2 ď kx2. (18.449)

En déballant la valeur absolue, cela signifie que

´ kx2E ď xtpA´ 1p,qqx ď kx2. (18.450)

18.12. FORMES QUADRATIQUES, SIGNATURE, ET LEMME DE MORSE 1113

Si x P F , alors la première inéquation et (18.446) donnent

xtAx ě x2p ´ kx2E ą 0 (18.451)

Si x P G, alors la seconde inéquation et (18.447) donnent

xtAx ď kx2E ´ x2q ă 0. (18.452)

Nous avons donc montré que x ÞÑ xtAx est positive sur F et négative sur G, ce qui prouveque A est bien de signature pp, qq et appartient donc à Sp,qn pRq. Autrement dit nous avons

Bp1p,q, kq Ă Sp,qn pRq. (18.453)

(3) Cette partie de la preuve provient essentiellement de [242], et fonctionne pour tous lesSp,qn pRq, même pour ceux qui ne sont pas de rang maximum.Soit A P Sp,qn pRq. Nous savons que GLpn,Rq a deux composantes connexes (proposition12.335). Vu que l’application

α : GLpn,Rq Ñ Sn

P ÞÑ P tAP(18.454)

est continue, l’image d’un connexe de GLpn,Rq par α est connexe (proposition 6.86). Enparticulier, α

`GL˘pn,Rq˘ sont deux connexes et nous savons que Sp,qn pRq a au plus ces

deux composantes connexes.Notre but est maintenant de trouver une intersection entre α

`GL`pn,Rq˘ et α`GL´pn,Rq˘ 50

. Soit par le théorème de Sylvester, soit par le théorème de diagonalisation des matricessymétriques réelles 9.165, il existe une matrice P P GLpn,Rq diagonalisant A. En suivantla remarque 9.166, et en notant Q la matrice obtenue à partir de P en changeant le signede sa première ligne, nous avons

αpQq “ QtAQ “ P tAP “ αpP q. (18.455)

Or si P P GL`pn,Rq, alors Q P GL´pn,Rq et inversement. Donc nous avons trouvé uneintersection entre α

`GL`pn,Rq˘ et α

`GL´pn,Rq˘.

(4) Soient A et B dans Sp,qn pRqXGLpn,Rq. Par le théorème de Sylvester, il existe P et Q dansGLpn,Rq telles que A “ P t1p,qP et B “ Qt1p,qQ. Par la remarque 9.166 nous pouvonschoisir P et Q dans GL`pn,Rq. Ce dernier groupe étant connexe par arc, il existe un chemin

γ : r0, 1s Ñ GL`pn,Rq (18.456)

tel que γp0q “ P et γp1q “ Q. Alors le chemin

s ÞÑ γpsqt1p,qγpsq (18.457)

est un chemin continu dans Sp,qn pRq joignant A à B.

Nous savons déjà de la proposition 18.101 que les ensembles Sp,qn pRq (pas spécialement de rangmaximum) sont ouverts dans SnpRq. Le lemme suivant nous donne une précision à ce sujet, dansle cas des matrices de rang maximum, en disant que la matrice qui donne la similitude entre A0et A est localement un C1-difféomorphisme de A.

Lemme 18.102.Soit A0 P ΩpRnq “ Sn XGLpn,Rq, une matrice symétrique inversible. Alors il existe un voisinageV de A0 dans Sn et une application φ : V Ñ GLpn,Rq qui50. À ce point, il me semble que [242] fait erreur parce que la matrice ´1n est de déterminant 1 lorsque n est pair.

L’argument donné ici provient de [2]

1114 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

(1) est de classe C1,(2) est telle que pour tout A P V , ϕpAqtA0φpAq “ A.

Démonstration. Nous considérons l’application

ϕ : Mpn,Rq Ñ Sn

M ÞÑM tA0M.(18.458)

Étant donné que les composantes de ϕpMq sont des polynômes en les entrées deM , cette applicationest de classe C1 – et même plus. Soit maintenant H PMpn,Rq et calculons dϕ1pHq par la formule(12.418) :

dϕ1pHq “ d

dt

”ϕp1` tHq

ıt“0

(18.459a)

“ d

dt

”p1` tHtqA0p1` tHq

ıt“0

(18.459b)

“ d

dt

”A0 ` tA0H ` tHtA0 ` t2HtA0H

ıt“0

(18.459c)

“ A0H `HtA0. (18.459d)

Doncdϕ1pHq “ pA0Hq ` pA0Hqt. (18.460)

Par conséquent

kerpdϕ1q “ tH PMpn,Rq tel que A0H est antisymétriqueu, (18.461)

et si nous posonsF “ tH PMpn,Rq tel que A0H est symétriqueu (18.462)

nous avonsMpn,Rq “ F ‘ kerpdϕ1q (18.463)

parce que toute matrice peur être décomposée de façon unique en partir symétrique et antisymé-trique. De plus l’application

f : F Ñ Sn

H ÞÑ A0H(18.464)

est une bijection linéaire. D’abord A0H “ 0 implique H “ 0 parce que A0 est inversible, et ensuitesi X P Sn, alors X “ A0A

´10 X, ce qui prouve que X est l’image par f de A´1

0 X et donc que f estsurjective.

Maintenant nous considérons la restriction ψ “ ϕ|F , ψ : F Ñ Sn. Remarquons que 1 P F parceque A0 P Sn. L’application dψ1 est une bijection. En effet d’abord

dpϕ|F q1 “ pdϕ1q|F , (18.465)

ce qui prouve quekerpdψ1q “ kerpdϕ1q X F “ t0u, (18.466)

ce qui prouve que dψ1 est injective. Pour montrer que dψ1 est surjective, il suffit de mentionner lefait que dimF “ dimSn du fait que l’application (18.464) est une bijection linéaire.

Nous pouvons utiliser le théorème d’inversion locale (théorème 18.47) et conclure qu’il existeun voisinage ouvert U de 1 dans F tel que ψ soit un difféomorphisme C1 entre U et V “ ψpUq.Vu que GLpn,Rq est ouvert dans Mpn,Rq, nous pouvons prendre U XGLpn,Rq et donc supposerque U Ă GLpn,Rq.

18.12. FORMES QUADRATIQUES, SIGNATURE, ET LEMME DE MORSE 1115

Pour tout A P V , il existe une unique M P U telle que ψpMq “ A, c’est à dire telle queA “M tA0M . Cette matrice M est ψ´1pAq et est une matrice inversible. Bref, nous posons

φ : V Ñ GLpn,RqA ÞÑ ψ´1pAq, (18.467)

et ce φ est de classe C1 sur V parce que c’est ce que dit le théorème d’inversion locale. Cetteapplication répond à la question parce que V est un voisinage de ϕp1q “ A0 et pour tout A P Vnous avons

φpAqtA0φpAq “ ϕ´1pAqtA0ϕ´1pAq “ A. (18.468)

18.12.1 Lemme de Morse

Lemme 18.103 (Lemme de Morse).Soit f P C3pU ,Rq où U est un ouvert de Rn contenant 0. Nous supposons que df0 “ 0 et que d2f0est non dégénérée 51 et de signature pp, n´ pq. Alors il existe un C1-difféomorphisme ϕ entre deuxvoisinages de 0 dans Rn tel que

(1) ϕp0q “ 0,(2) si ϕpxq “ u alors

fpxq ´ fp0q “ u21 ` ¨ ¨ ¨ ` u2

p ´ u2p`1 ´ . . .´ u2

n. (18.469)

Une autre façon de dire est qu’il existe un C1-difféomorphisme local ψ tel que

pf ˝ ψqpxq ´ fp0q “ x21 ` ¨ ¨ ¨ ` x2

p ´ x2p`1 ´ . . .´ x2

n. (18.470)

Démonstration. Nous allons noter Hf la matrice Hessienne de f , c’est à dire Hfa “ d2fa PLp2qpRn,Rq. Écrivons la formule de Taylor avec reste intégral (proposition 12.272 avec p “ 0 etm “ 2) :

fpxq ´ fp0q “ df0pxqloomoon“0

`ż 1

0p1´ tq d2ftxpx, xqlooooomooooon

xtpHfqtxx“xHftxx,xydt “ xtQpxqx (18.471)

avecQpxq “

ż 1

0p1´ tqpHfqtxdt (18.472)

qui est une intégrale dans Lp2qpRn,Rq. Nous prouvons à présent que Q est de classe C1 en utilisantle résultat de différentiabilité sous l’intégrale 14.73. Pour cela nous passons aux composantes (dela matrice) et nous considérons

hkl : U ˆ r0, 1s Ñ R

hklpx, tq “ p1´ tq B2f

BxkBxl ptxq.(18.473)

Étant donné que f est de classe C3, la dérivée de hkl par rapport à xi ne pose pas de problèmes :

BhklBxi “ tpt´ 1q B3f

BxiBxkBxl ptxq, (18.474)

qui est encore continue à la fois en t et en x. La proposition 14.73 nous montre à présent que

Qklpxq “ż 1

0p1´ tqhklptxqdt (18.475)

51. En tant qu’application bilinéaire.

1116 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

est une fonction C1. Étant donné que les composantes de Q sont C1, la fonction Q est égalementC1.

Nous avons Qp0q “ 12pHfq0 P Sn XGLpn,Rq, d’abord parce que f est C2 (et donc la matrice

hessienne est symétrique), ensuite par hypothèse d2f0 est non dégénérée.À partir de là, le lemme 18.102 donne un voisinage V de Qp0q dans Sn et une application φ de

classe C1

φ : V Ñ GLpn,Rq (18.476)telle que pour tout A P V ,

φpAqtQp0qφpAq “ A. (18.477)Si on pose M “ φ˝Q, et si x est dans un voisinage de zéro, Q étant continue nous avons Qpxq P Vet donc

Qpxq “MpxqtQp0qMpxq. (18.478)Notons que l’application M : RÑ GLpn,Rq est de classe C1 parce que Q et φ le sont.

Nous avons

fpxq ´ fp0q “ xtQpxqx “ xtMpxqtQp0qMpxqx “ ypxqtQp0qypxq (18.479)

où ypxq “ Mpxqx “ pφ ˝ Qqpxqx est encore une fonction de classe C1 parce que la multiplicationest une application C8.

D’un autre côté le théorème de Sylvester 16.96 nous donne une matrice inversible P telle que

Qp0q “ P tˆ1p

´1n´p˙P. (18.480)

Et nous posons enfin u “ ϕpxq “ Pypxq qui est toujours de classe C1 et qui donne

fpxq ´ fp0q “ ytQp0qy (18.481a)

“ ytP tˆ1

´1˙Py (18.481b)

“ utˆ1

´1˙u (18.481c)

“ u21 ` ¨ ¨ ¨ ` u2

p ´ u2p`1 ´ . . .´ u2

n. (18.481d)

Nous devons maintenant montrer que, quitte à réduire son domaine à un ouvert plus petit, ϕest un C1-difféomorphisme. Dans la chaine qui donne ϕ, seule l’application

g : U Ă Rn Ñ Rn

x ÞÑMpxqx (18.482)

est sujette à caution. Nous allons appliquer le théorème d’inversion locale. Nous savons que g estde classe C1 et donc différentiable ; calculons la différentielle en utilisant la formule (12.418) :

dg0pxq “ d

dt

”gptxq

ıt“0

“ d

dt

”tMptxqx

ıt“0

“Mp0qx. (18.483)

Note que nous avons utilisé la règle de Leibnitz pour la dérivée d’un produit, mais le second termes’est annulé. Donc dg0 “Mp0q P GLpn,Rq et g est localement un C1-difféomorphisme.

Il suffit de restreindre ϕ au domaine sur lequel g est un C1-difféomorphisme pour que ϕ deviennelui-même un C1-difféomorphisme.

Définition 18.104.Un point a est un point critique de la fonction différentiable f si dfa “ 0.

Corollaire 18.105 ([243]).Les points critiques non dégénérés d’une fonction C3 sont isolés.

18.13. VARIÉTÉS 1117

Démonstration. Soit a un point critique non dégénéré. Par le lemme de Morse 18.103, il existe unC1-difféomorphisme ψ et un entier p tel que

pf ˝ ψqpxq “ x21 ` ¨ ¨ ¨ ` x2

p ´ x2p`1 ´ . . .´ x2

n ` fpaq (18.484)

sur un voisinage U de a. Vue la formule générale dfxpuq “ ∇fpxq·u, si x est un point critique def , alors ∇fpxq “ 0. Dans notre cas, les points critiques de f ˝ ψ dans U doivent vérifier xi “ 0pour tout i, et donc x “ a.

Nous devons nous assurer que la fonction f elle-même n’a pas de points critiques dans U . Pourcela nous utilisons la formule générale de dérivation de fonction composée :

∇pf ˝ ψqpxq “ÿ

k

BfByk

`gpxq˘∇gkpxq. (18.485)

Si ψpxq est une point critique de f , alors le membre de droite est le vecteur nul parce que tousles Bkf

`ψpxq˘ sont nuls. Par conséquent le membre de gauche est également nul, et x est un point

critique de f ˝ ψ. Or nous venons de voir que f ˝ ψ n’a pas de points critiques dans U .Donc f n’a pas de points critiques dans un voisinage d’un point critique non dégénéré.

18.13 Variétés

18.13.1 Introduction

Soit f : S2 Ñ R une fonction définie sur la sphère usuelle S2 Ă R3. Une question naturelle estd’estimer la régularité de f ; est-elle continue, dérivable, différentiable ? Il n’existe pas de dérivéedirectionnelle étant donné que le quotient différentiel

fpx` εu1, y ` εu2q ´ fpx, yqε

n’a pas de sens pour un point px` εu1, y ` εu2q qui n’est pas –sauf valeurs particulières– dans lasurface. Pour la même raison il n’est pas possible de parler de différentiabilité de cette manière.Comment faire, sans devoir étendre le domaine de définition de f à un voisinage de la sphère ? Unesolution possible est de parler de la notion de variété.

Une variété est un objet qui ressemble, vu de près, à Rm pour un certain m. En d’autrestermes, on imagine une variété comme un recollement de morceaux de Rm vivant dans un espaceplus grand Rn. Ces morceaux sont appelés des ouverts de carte, et l’application qui exprime laressemblance à Rm est l’application de carte.

18.13.2 Définition et propriétés

Définition 18.106.Soit H ‰ M Ă Rn, 1 ď m ă n et k ě 1. M est une variété de classe Ck de dimension m sipour tout a P M , il existe un voisinage ouvert U de a dans Rn, et un ouvert V de Rm tel queU XM soit le graphe d’une fonction f : V Ă Rm Ñ Rn´m de classe C1, c’est-à-dire qu’il existeun réagencement des coordonnées pxi1 , . . . , xim , xim`1 , . . . , xinq avec

M X U “

$’&’%px1, . . . , xnq P Rn tel que pxi1 , . . . , ximq P V

$’&’%

xim`1 “ f1pxi1 , . . . , ximq... “ ...xin “ fn´mpxi1 , . . . , ximq

,/./-

où V est un voisinage ouvert de pai1 , . . . , aimq P Rm.

La littérature regorge de théorèmes qui proposent des conditions équivalentes à la définitiond’une variété. Celle que nous allons le plus utiliser est la suivante

1118 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Proposition 18.107.Soit M Ă Rn et 1 ď m ď n´ 1. L’ensemble M est une variété si et seulement si @a PM , il existeun voisinage ouvert U de a dans Rn et une application F : W Ă Rm Ñ Rn où W est un ouverttels que

(1) F est un homéomorphisme de W vers M X U ,(2) F P C1pW,Rnq,(3) Le rang de dF pwq P LpRm,Rnq est de rang maximum (c’est à dire m) en tout point w PW .

Pour rappel, si T : Rm Ñ Rn est une application linéaire, son rang 52 est la dimension de sonimage. Si A est la matrice d’une application linéaire, alors le rang de cette application linéaire estégal à la taille de la plus grande matrice carré de déterminant non nul contenue dans A 53.

La condition de rang maximum sert à éviter le genre de cas de la figure 18.4 qui représentel’image de l’ouvert s´1, 1r par l’application F ptq “ pt2, t3q.

Figure 18.4 – Quelque chose qui n’est pas de rang maximum et qui n’est pas une variété.

La différentielle a pour matricedF ptq “ p2t, 3t2q. (18.486)

Le rang maximum est 1, mais en t “ 0, la matrice vaut p0, 0q et son rang est zéro. Pour toute autrevaleur de t, c’est bon.

Une autre caractérisation des variétés est donnée par la proposition suivante

Proposition 18.108.Soit M P Rn et 1 ď m ď n´ 1. L’ensemble M est une variété si et seulement si @a PM , il existeun voisinage ouvert U de a dans Rn tel et une application G P C1pU ,Rn´mq tel que

(1) le rang de dGpaq P LpRn,Rn´mq soit maximum (c’est à dire n´m) en tout a PM ,(2) M X U “ tx P U tel que Gpxq “ 0u.

18.13.3 Espace tangent

Soit M , une variété dans Rn, et considérons un chemin γ : I Ñ Rn tel que γptq PM pour toutt P I et tel que γp0q “ a et que γ est dérivable en 0. La tangente au chemin γ au point a PM estla droite

s ÞÑ a` sγ1p0q. (18.487)

L’espace tangent de M au point a est l’ensemble décrit par toutes les tangentes en a pour tousles chemins γ possibles.

52. Définition 7.22.53. Proposition 7.39

18.14. PROLONGEMENTDE FONCTIONS ET COMPLÉTION D’ESPACESMÉTRIQUES1119

Proposition 18.109.Une variété de dimension m dans Rn a un espace tangent de dimension m en chacun de ses points.

18.14 Prolongement de fonctions et complétion d’espaces mé-triques

Sources : [244]

Lemme 18.110.Soit E, un espace vectoriel normé complet et pAnq une suite emboité de fermés non vides dont lediamètre tend vers zéro. Alors l’intersection

ŞnPNAn contient exactement un point.

Démonstration. Si l’intersection contenait deux points distincts a et b, alors nous aurions diampAnq ěa´ b, ce qui contredirait la limite.

Soit une suite pxnq avec xk P Ak pour tout k P N. C’est une suite de Cauchy. En effet si ε ą 0,considérons N tel que diampAN q ă ε. Dans ce cas dès que n,m ą N nous avons xn, xm P AN etdonc xn ´ xm ď ε. La suite xn converge donc vers un élément dans E.

Nous devons montrer que x P Ak pour tout k. La queue de suite pxnqněk est une suite deCauchy dans Ak qui converge donc vers un élément de Ak (ici nous utilisons le fait que Ak estfermé). Par unicité de la limite, cette dernière doit être x. Par conséquent x P ŞnPNAn.

Théorème 18.111 ([245]).Soient X et Y des espaces vectoriels normés. Pour une application linéaire f : X Ñ Y , les asser-tions suivantes sont équivalentes :

(1) f est continue sur X,(2) f est continue en un point de X,(3) f est bornée.

Proposition 18.112.Soit un espace normé X, un espace de Banach F et une partie dense A de X. Si l’applicationlinéaire

f :`A, .X

˘Ñ F (18.488)

est continue 54, alors il existe une unique application linéaire continue f : X Ñ F prolongeant f .De plus f “ f.Démonstration. Soit x P X et la suite d’ensemble

An “ ty P A tel que x´ y ď 2´nu. (18.489)

Étant donné que A est dense, ces ensembles sont tous non vides. De plus diamAn Ñ 0 parce quesi y, y1 P An alors

y ´ y1 ď y ´ x ` x´ y1 ď 2´n`1. (18.490)Vu que f est bornée, la suite d’ensembles fpAnq est une suite emboitée d’ensembles non vides deF . De plus leur diamètre tend vers zéro. En effet si z, z1 P fpAnq, nous posons z “ fpyq, z1 “ fpy1qet nous avons

z ´ z1 ď fpyq ´ fpxq ` fpxq ´ fpy1q ď f`y ´ x ` x´ y1˘, (18.491)

ce qui montre que diam fpAnq ď f2´n`1. Notons que nous avons utilisé la linéarité de f . Par lelemme 18.110, l’intersection

ŞnPN fpAnq contient exactement un point. Nous posons

Spxq “č

nPNfpAnq. (18.492)

54. Nous avons bien mis sur A la topologie induite de X. Notons que ce n’est pas toujours celle qui est la plusnaturelle sur A.

1120 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Nous allons montrer que l’application x ÞÑ Spxq ainsi définie est l’application que nous cherchons.Nous commençons par montrer que pour toute suite yk Ñ x avec yk P A nous avons

fpykq Ñ Spxq. (18.493)

Pour cela nous considérons n0 P N et k0 tel que yk0 P An0 . Avec cela nous avons

fpykq ´ Spxq ď diampAn0q ď f2´n0`1. (18.494)

Pour montrer que S est linéaire, nous considérons deux suites dans A : yk Ñ x et y1k Ñ x1 ainsique la somme yk ` y1k Ñ x` x1. Nous écrivons la relation (18.493) pour ces trois suites :

fpykq Ñ Spxq (18.495a)fpy1kq Ñ Spx1q (18.495b)

fpyk ` y1xq Ñ Spx` x1q. (18.495c)

Cependant, étant donné que f est linéaire, pour tout k nous avons fpyk ` y1kq “ fpykq ` fpy1kq etpar conséquent

fpyk ` y1kq Ñ Spxq ` Spx1q. (18.496)

Par unicité de la limite, Spx ` x1q “ Spxq ` Spx1q. Le même genre de raisonnement montre queSpλxq “ λSpxq. L’application S est donc linéaire.

En ce qui concerna la continuité, nous avons

Spxq “ lim fpykq ď f lim yk “ fx, (18.497)

donc S ď f, c’est à dire que S est borné et donc continue parce que linéaire (théorème 18.111).Nous montrons maintenant que S prolonge f . Si x P A, alors nous avons ŞnPN fpAnq “ fpxq,

et donc Spxq “ fpxq. Cela montre du même coup que f ď S et que par conséquent f “ S.Passons à la partie sur l’unicité. Soient donc S et T , deux prolongements continus de f sur X.

Soit x P X et une suite xn Ñ x dans A. Par continuité nous avons T pxnq Ñ T pxq et Spxnq Ñ Spxq.Étant donné que par ailleurs pour tout n nous avons Spxnq “ T pxnq, l’unicité de la limite montreque T pxq “ Spxq.Définition 18.113.Soit une application f : X Ñ Y . Le module de continuité de f est la fonction ωf : R Ñ R

définie comme suit. On pose ωf pxq “ 0 pour x ď 0 et si h ą 0,

ωf phq “ supx,yPX

dXpx,yqăhdY

`fpxq, fpyq˘. (18.498)

Lemme 18.114.Soit f P C0`r0, 1s,C˘ et ω son module de continuité. Si λ et h sont strictement positifs avecλh P r0, 1s alors

φpλhq ď pλ` 1qωphq. (18.499)

Démonstration. La fonction ω est décroissante, et pour h, k ą 0 nous avons ωph`kq ď ωphq`ωpkq.Par récurrence pour tout k P N nous avons

ωpkhq ď kωphq. (18.500)

En écrivant cela pour k “ rλs, nous avons

ωpλhq ď ωpkhq ď kωphq ď pλ` 1qωphq. (18.501)

18.14. PROLONGEMENTDE FONCTIONS ET COMPLÉTION D’ESPACESMÉTRIQUES1121

Lemme 18.115.Une fonction f est uniformément continue si et seulement si son module de continuité est continuen zéro.

Dans la même veine que la proposition 18.112 nous avons ce résultat.

Théorème 18.116 ([246]).Soient E et F , deux espaces métriques complets ainsi que A dense dans E. Si u : A Ñ F estuniformément continue, alors elle se prolonge de façon unique en une fonction continue u : E Ñ F .De plus ce prolongement est uniformément continu.

Démonstration. Soit x P EzA et une suite pxnq contenue dans A et convergente vers x. Nousvoulons définir

upxq “ limnÑ8upxnq (18.502)

mais pour ce faire nous devons prouver que la suite`upxnq

˘converge dans F et que la limite ne

dépend pas de la suite choisie parmi les suites de A qui convergent (dans E) vers x.Commençons par montrer que

`upxnq

˘est de Cauchy dans F . Pour cela nous prenons ε ą 0 et

η ą 0 telle que dEpa, bq ă η implique dF`upaq, upbq˘ ă ε (uniforme continuité de u). Après, il suffit

de choisir N tel que pour tout n,m ą N nous ayons dpxm, xnq ă η (parce que un est de Cauchy).Avec tout ça nous avons

dF`upxmq, upxnq

˘ ă ε, (18.503)ce qui signifie que

`upxnq

˘est de Cauchy et donc convergente dans F .

Nous voulons montrer maintenant que si pxnq et pynq sont deux suites dans A convergentes versx alors limnÑ8 upxnq “ limnÑ8 upynq. Pour cela nous considérons la suite z “ px1, y1, x2, y2, . . .q.Nous avons évidemment zn Ñ x, et donc upznq converge dans F par ce qui a été dit plus haut.Mais upxnq et upynq en sont deux sous-suites convergentes. Donc leurs limites sont égales.

Il reste à montrer que ce u est continue et uniformément continue. Pour cela nous utilisons lemodule de continuité et le lemme 18.115. Étant donné que u prolonge u nous avons

ωuphq ě ωuphq. (18.504)

Soit h ą 0 et ε ą 0 ; soit aussi x, y P E tels que dpx, yq ă h. Nous prenons des suites panq Ñ x etpynq Ñ y tout en choisissant n assez grand pour avoir dEpan, bnq ă h. Nous avons

dF`upxq, upyq˘ ď dF

`upxq, upanq

˘` d`upanq, upbnq˘` dF

`upbnq, upyq

˘. (18.505)

Si n est assez grand, par construction de u, le premier et le dernier terme sont plus petits queε. Par définition du module de continuité nous avons d’autre part dF

`upanq, upbnq

˘ ď ωuphq. Ducoup

dF`upxq, upyq˘ ď ωuphq ` 2ε. (18.506)

Si nous prenons le supremum sur les x et y vérifiant dEpx, yq ă h, à gauche nous obtenons ωuphqtandis que le membre de droite ne dépend pas de x ety. Donc pour tout ε, nous avons

ωuphq ď ωuphq ` 2ε. (18.507)

En comparaison avec (18.504), nous trouvons

ωuphq ď ωuphq. (18.508)

Les fonctions u et u ayant le même module de continuité, le lemme 18.115 nous enseigne que l’uneest uniformément continue si et seulement si l’autre l’est. Vu que u est uniformément continue parhypothèse, le prolongement u est uniformément continu.

Définition 18.117.Un plongement de l’espace topologique X dans Y est une application f : X Ñ Y telle que f : X ÑfpXq soit un homéomorphisme.

1122 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

Théorème 18.118 (Extensiton des isométries).Soit M un espace métrique complet et une application isométrique

f : AÑ M (18.509)

où A est une partie dense d’un espace métrique M (pas spécialement complet). Alors f accepteune une unique extension isométrique

f : M Ñ M (18.510)Supposons de plus que M soit complet 55. Alors f : M Ñ M est une bijection si et seulement

si fpAq est dense dans M .

Démonstration. Nous commençons par prouver l’unicité. Soit f1 et f2, deux extensions de f etx PM . Si panq est une suite dans A convergeant vers x (possible parce que A est dense dans M),alors nous avons

f1panq “ f2panq (18.511)et donc f1pxq “ f2pxq par continuité (une application isométrique est continue (proposition 6.135)).

Nous démontrons à présent l’existence.Construction de f Soit x PM et panq une suite dans A qui converge vers x. Nous définissons

fpxq “ limkÑ8 fpakq. (18.512)

Note : nous pouvons prouver que cette définition ne dépend pas du choix de la suite panqconvergeant vers x, mais ce serait superflu parce que nous avons déjà prouvé l’unicité de f .Par contre nous devons expliquer pourquoi la limite du membre de droite de (18.512) existedans M . D’abord la suite panq est de Cauchy parce qu’elle est convergente (attention : Mn’étant pas complet le fait d’être de Cauchy n’implique pas la convergence). Donc, étantdonné que f est une isométrie, la suite

`fpanq

˘est de Cauchy dans M . Or ce dernier étant

complet, la suite des images converge.Montrons que cette application f : M Ñ M répond à la question.

f est isométrique Soient a, b PM et des suites dans A convergeant vers eux : an Ñ a, bn Ñ b.Nous avons, par continuité de l’application distance,

d`fpaq, fpbq˘ “ lim

kÑ8 d`fpakq, fpbq

˘(18.513a)

“ limkÑ8 lim

lÑ8 d`fpakq, fpblq

˘(18.513b)

“ limkÑ8 lim

lÑ8 d`fpakq, fpblq

˘(18.513c)

“ limkÑ8 lim

lÑ8 d`akq, bl

˘(18.513d)

“ dpa, bq. (18.513e)

Cela prouve que f est une isométrie.Pour la suite nous supposons que M est complet. Notons tout de suite que f est injectiveparce qu’elle est isométrique.

Bijection (premier sens) Nous supposons que f : M Ñ M est une bijection. Par l’absurdenous supposons que fpAq n’est pas dense dans M , c’est à dire que nous avons un pointx P M et une boule n’intersectant par fpAq :

Bpx, rq X fpAq “ H. (18.514)

Étant donné que f a pour image des limites de suites dans fpAq, l’image de f est contenuedans fpAq. Donc si f est surjective, c’est que M Ă fpAq et donc que fpAq “ M . Celaprouve que si f est bijective, alors fpAq est dense dans M .

55. Il me semble que cette hypothèse manque dans [74].

18.14. PROLONGEMENTDE FONCTIONS ET COMPLÉTION D’ESPACESMÉTRIQUES1123

Bijection (l’autre sens) Nous supposons que fpAq “ M et nous devons prouver que f estsurjective. Soit x P M et fpanq une suite dans fpAq qui converge vers x ; une telle suiteexiste parce que fpAq est dense dans M . Cette suite est de Cauchy dans M parce quedans un espace métrique, une suite convergente est de Cauchy. La suite panq est elle-mêmeégalement de Cauchy parce que

dpan, amq “ d`fpanq, fpamq

˘. (18.515)

Étant donné que panq est de Cauchy dans M , elle converge vers un élément que nousnommons a PM . Par continuité de f nous avons alors

fpaq “ limkÑ8 fpakq “ x. (18.516)

Cela prouve que x est bien dans l’image de f et donc que f est surjective.

Une conséquence du théorème de prolongement est le théorème suivant qui permet de compléterun espace métrique.

Théorème 18.119 (Complétion d’un espace métrique[247, 74]).Tout espace métrique se plonge par une isométrie à image dense dans un espace métrique complet.De plus ce dernier est unique à isométrie près.

Plus précisément, soit pM,dq un espace métrique. Il existe un espace métrique complet M munid’un plongement isométrique ϕ : M Ñ M tel que ϕpMq soit dense dans M .

Ce complété deM est unique au sens suivant. Si M1 et M2 sont deux espaces métriques completsmunis de plongements isométriques fi : M Ñ M1 dont les images sont denses, alors il existe unebijection isométrique φ : M1 Ñ M2 telle que φ ˝ f1 “ f2.

Démonstration. Nous ne prouvons que l’existence.Soit CM l’ensemble des suites de Cauchy de M . Nous définissons

f : CM ˆ CM Ñ R

u, v ÞÑ limnÑ8 dpun, vnq.

(18.517)

Notre première tâche est de nous assurer que cela est bien défini, c’est à dire que la limite existetoujours. En effet, si u et v sont des suites de Cauchy dans M , nous avons

|dpun, vnq ´ dpum, vmq| ď dpun, vnq ` dpum, vmq ď 2ε (18.518)

dès que m et n sont assez grand. Cela prouve que la suite n ÞÑ dpun, vnq est de Cauchy dans R.Par complétude de R, elle converge 56.

Nous considérons la relation d’équivalence u „ v si et seulement si fpu, vq “ 0. Nous posonsM “ CM „ et nous y mettons la distance

dprus, rvsq “ fpu, vq (18.519)

et nous devons encore vérifier que cela est bien défini. Prenons u1 „ u et v1 „ v. Alors nous avons

dpu1n, v1nq ď dpu1n, unq ` dpun, vnq ` dpvn, v1nq, (18.520)

et doncdpu1, v1q “ lim

nÑ8 dpu1n, v

1nq ď limnÑ8 dpun, vnq “ dpu, vq. (18.521)

Le même argument en inversant les primes et les non primes montre l’inégalité inverse. Doncdpu, vq “ dpu1, v1q dans CM , et donc la distance (18.519) est bien définie sur M .

Afin de s’assurer que M répond bien à la question du théorème, il faut encore démontrer lespoints suivants :56. Ici nous utilisons la complétude de R. Cette dernière doit donc être démontrée indépendamment. De plus nous

ne pouvons pas définir R comme étant le complété de Q en utilisant ce théorème.

1124 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

— M se plonge isométriquement dans M .— l’image de M par le plongement est dense dans M .— M est complet.Nous allons maintenant considérer l’application

ϕ : M Ñ M

x ÞÑ la classe de la suite constante x.(18.522)

Plongement isométrique Nous allons montrer que cela est une isométrie bijective et queϕpMq est dense dans M . Le fait que ϕ soit bijective entre M et ϕpMq est évident. C’estune isométrie parce que

d`ϕpxq, ϕpyq˘ “ lim

nÑ8 d`ϕpxqn, ϕpyqn

˘ “ dpx, yq. (18.523)

Densité Soit rus P M . Tous les termes un sont des éléments de M . Nous considérons la suitedans ϕpMq donnée par

an “ ϕpunq (18.524)Chaque an est un élément 57 de M . Montrons que panq converge dans M vers u. Nous avons

dpan, uq “ limkÑ8 d

`panqk, uk˘

(18.525a)

“ limkÑ8 dpun, ukq (18.525b)

“ dpun, `q (18.525c)

en notant ` la limite de la suite punq. Ici nous avons utilisé le fait que la fonction distanceétait continue pour l’inverser avec la limite, par le théorème 12.87. Nous avons alors

limnÑ8 dpan, rusq “ lim

nÑ8 dpun, `q “ 0. (18.526)

Complétude Nous passons maintenant à la preuve du fait que M est complet. Soit pynq unesuite de Cauchy dans M . Soit ε ą 0 ; nous définissons Kpnq par

d`pynqk, pynql

˘ ă ε (18.527)

dès que k, l ě Kpnq. Cette définition fonctionne parce que pour chaque n, yn est une suitede Cauchy dans M . Nous posons

xn “ pynqKpnq PM (18.528)

et nous allons montrer que pxnq est de Cauchy dans M –donc est un élément de M– et queyk Ñ pxnq dans M .Nous commençons par montrer que pxnq est de Cauchy dans M . Nous avons

dpxn, xmq “ d`pynqKpnq, pymqKpmq

˘(18.529a)

ď d`pynqKpnq, pynql

˘` d`pynql, pymql˘` d`pymql, pymqKpmq

˘(18.529b)

Nous choisissons n,m tels que dpyn, ymq ă ε, ce qui nous permet de choisir l de telle façonà avoir d

`pynqk, pymqk˘ ă ε pour tout k ě l. De plus, quitte à encore augmenter l, nous

supposons que l ą Kpmq et l ą Kpmq. Avec ces choix nous voyons que dpxn, xmq ă 3ε, cequi signifie que la suite pxnq est de Cauchy dans M .En ce qui concerne la convergence yn Ñ pxq, on a

d`yn, pxq

˘ “ limkÑ8 d

`pynqk, pykqKpkq˘

(18.530a)

ď limkÑ8 d

`pynqk, pynql˘` lim

kÑ8 d`pynql, pykql

˘` limkÑ8 d

`pykql, pykqKpkq˘

(18.530b)

Nous devons trouver un n tel que si k est suffisamment grand, le tout est majoré par ε.Voici nos choix :

57. À partir de maintenant nous n’écrivons plus explicitement la classe d’équivalence.

18.15. UN PETIT EXTRA 1125

— n tel que dpyn, ymq ă ε dès que m ě n,— k ą n,— k ą Kpnq,— l ą k,— l ą Kpkq,— l suffisamment grand pour que d

`pynql, pykql˘ ă ε.

Avec tous ces choix, les trois termes de (18.530b) sont plus petits que ε.Ceci prouve que M est complet.

Théorème 18.120 (Principe du prolongement analytique).Soit U un ouvert connexe. Si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous-ensemble D de Ucontenant un point d’accumulation dans U , alors elles sont égales sur U .

18.15 Un petit extraSoit f une fonction de R dans R. Supposons que(1) fp1q “ 1,(2) fpx` yq “ fpxq ` fpyq pour tout réels x et y.

Nous pouvons montrer 58 que la seule fonction continue qui possède ces propriétés est la fonctionidentité fpxq “ x pour tout x P R.

De la même manière, il est aisé de voir que les seules applications linéaires de Rn dans Rn sontde la forme

fpxq “ Ax (18.531)

pour une constante réelle A. Une question naturelle qu’on peut alors se poser est la suivante :Est-il possible de définir une fonction non continue ayant les propriétés (1) et (2) ?

En fait, il est possible de démontrer que si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors touteapplication linéaire f : E Ñ F (où F est un espace vectoriel) sera continue. Ceci ne reste plus vraisi l’espace vectoriel E est de dimension infinie. Donc une manière de trouver une réponse positiveà la question posée plus haut, serait de voir Rn comme espace vectoriel de dimension infinie. Aprèsun peu de réflexion, la réponse est venue à nous (merci à Nicolas et à Samuel).

Si nous admettons l’axiome du choix, alors nous pouvons appliquer le théorème de Zorn et noussavons que tout espace vectoriel admet une base. En particulier, l’ensemble des réels vu commeespace vectoriel sur Q admet une base, i.e. DpeiqiPI des éléments de Rn tels que tout réel s’écritcomme combinaison linéaire à coefficients rationnels de ces ei, i.e.

@r P Rn, DpλiqiPI des éléments de Q tels que r “ÿ

iPIλiei. (18.532)

Utilisons cette base pour définir une fonction h de la manière suivante.

@i P I, on définit hpeiq “ αi (18.533)

où les αi doivent être bien choisis dans Rn. Pour satisfaire la propriété (1), choisissons sans pertede généralité e1 “ 1 et hpe1q “ 1. Ajoutons à cette propriété la linéarité en imposant que

hpÿλieiq “

ÿλiαi. (18.534)

Les équations (1) et (2) nous permettent de voir que, moyennant le choix des αi, la fonction h estbien définie sur Rn et linéaire. Il est clair que si nous prenons par exemple

αi “ ei @i P I58. et toi, tu le peux ?

1126 CHAPITRE 18. SUITE DE L’ANALYSE

nous obtenons que la fonction h est en fait la fonction identité surRn. Par contre, si nous définissonsla fonction h comme satisfaisant la propriété (2) et si nous choisissons les αi dans (1) de la manièresuivante

hpe1q “ e2

hpe2q “ e1

hpeiq “ ei @i P Izt1, 2u(18.535)

alors la fonction ainsi obtenue est linéaire et bien définie mais n’est plus l’identité. Donc nous avonstrouvé une application linéaire de Rn dans Rn qui n’est pas continue.

Exercice 1 Trouver d’autres exemples d’applications linéaires non continues (pas nécessaire-ment des transformations de Rn).

Chapitre 19

Arc paramétré

La structure de ce chapitre, comme beaucoup de choses dans le Frido, est fortement liée auchoix de présenter toutes les matières dans l’ordre mathématiquement logique. Nous devons doncle placer après la trigonométrie ; les propriétés principales des fonctions trigonométriques étantdans la proposition 16.28, et c’est la proposition 16.29 qui nous permet de dire que

`cosptq, sinptq˘

décrit le cercle.Et enfin nous n’avons pas encore calculé la circonférence du cercle, et pour cause : nous n’avons

pas encore donné de définition à la longueur d’un chemin dans R2. C’est pourquoi ce chapitre vaaller droit à la longueur avant de donner des exemples.

19.1 Définitions

Définition 19.1.Un arc paramétré dans Rp est un couple pI, γq où I est un intervalle de R et γ est une applicationcontinue de I dans Rp. Nous disons que pI, γq est un arc paramétré compact (ou un chemin dansRp) lorsque I est compact dans R.

L’intervalle I d’un arc paramétré compact est toujours de la forme ra, bs, étant donné que tousles intervalles compacts de R sont de cette forme. Un sous arc de pI, γq est un arc de la formepI0, γq avec I0 Ă I.

Définition 19.2.Un chemin dans R est une application continue

σ : ra, bs Ñ R3

t ÞÑ σptq. (19.1)

La fonction σ1ptq est la vitesse du chemin σ. Si la fonction t ÞÑ σptq est dérivable, on dit queσ2ptq est l’accélération. Les points σpaq et σpbq sont les extrémités du chemin. L’ensemble

tσptq tel que t P ra, bsu (19.2)

est la courbe σ.

19.2 Longueur d’arc

Nous voulons définir et étudier la notion de longueur d’un arc paramétré. Pour cela, le plusraisonnable est d’approcher l’arc par des petits segments de droites (dont les longueurs sont évi-dentes), et d’extraire la «meilleure» approximation.

Une des notions clefs pour la suite est celle de subdivision d’intervalles. Cette notion sera encoreutilisée par la suite à propos des intégrales.

1127

1128 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Définition 19.3.Si I est un intervalle d’extrêmes a et b avec a ă b, nous appelons subdivision finie de I un choixde nombres ti tels que

a “ t0 ă t1 ă . . . ă tn “ b. (19.3)Nous disons qu’une subdivision σ1 est plus fine que la subdivision σ si l’ensemble des points de σest inclus à celui des points de σ1. Dans ce cas, la subdivision σ1 est un raffinement de σ. Nousdésignons par SpIq l’ensemble des subdivisions finies de l’intervalle I.

Dans la suite, toutes les subdivisions que nous considérons seront des subdivisions finies. Aussinous parlerons simplement de subdivisions sans préciser. Nous allons souvent noter σ “ ptiqni“1 pourdésigner la subdivision formée par les nombres ti. Il faut garder en tête que dans une subdivision,les nombres sont ordonnés.

‚γpt0q

‚γpt1q

‚γpt2q

‚γpt3q

‚γpt4q

Figure 19.1 – La longueur d’un découpage. La somme des longueurs des segments droits est facileà calculer.

Définition 19.4.Soit un arc paramétré compact pI, γq et une subdivision σ “ ptiqni“1 de I “ ra, bs. À partir de γ etdu découpage σ nous définissons le nombre (voir figure 19.1)

lσpγq “nÿ

i“1

››γptiq ´ γpti´1q››. (19.4)

On appelle longueur de l’arc γ le nombre

lpγq “ supσlσ P r0,8s. (19.5)

Nous disons que γ est rectifiable lorsque lpγq ă 8.

Lorsque nous voulons spécifier sur quel intervalle nous considérons l’arc, nous noterons lpI, γqau lieu de lpγq pour être plus précis.

Par l’inégalité triangulaire, si σ1 est plus fine que σ, nous avons

lσpγq ď lσ1pγq, (19.6)

Comme cela peut être vu sur la figure 19.2.

Figure 19.2 – Il est visible que la longueur donnée par l’approximation par des petits segments(verts) est plus longue et plus précise que celle donnée par les longs segments (rouge).

Dans la vie réelle, il est souvent difficile et peu pratique de calculer le supremum «à la main».C’est pourquoi nous allons travailler à exprimer la longueur d’un arc à l’aide d’une intégrale(théorème 19.9).

19.2. LONGUEUR D’ARC 1129

Lemme 19.5.Nous avons lpγq “ 0 si et seulement si γptq est un vecteur constant.

Démonstration. Si l’application γptq est constante, le résultat est évident. Supposons maintenantque γ ne soit pas constante. Cela signifie qu’il existe t1 et t2 dans I tels que γpt1q ‰ γpt2q.Dans ce cas, si nous prenons le découpage σ “ ta, t1, t2, bu, la somme (19.4) contient au moins leterme non nul γpt2q ´ γpt1q, et donc lσpγq ą 0. Par définition du supremum, nous avons alorslpγq ě lσpγq ą 0.

Proposition 19.6.Soit pI, γq un arc paramétré compact.

(1) Si γ1 “ pI 1, γq avec I 1 Ă I, alors lpγ1q ď lpγq.(2) Soit c P ra, bs, et considérons les arcs γ1 “

`ra, cs, γ˘ et γ2 “`rc, bs, γ˘. Alors

lpγq “ lpγ1q ` lpγ2q. (19.7)

En particulier, γ est rectifiable si et seulement si γ1 et γ2 le sont.

Démonstration. (1) Nous notons I “ ra, bs et I 1 “ ra1, b1s. Étant donné que I 1 Ă I, nous avons

a ď a1 ă b1 ď b. (19.8)

Pour chaque subdivision σ0 : a1 “ t0 ă t1 ă . . . ă tn “ b1 de I 1, nous pouvons construireune subdivision de I en «ajoutant» les points a et b, c’est à dire

σ : a ď t0 ă . . . ă tn ď b. (19.9)

Si nous calculons lσpγq, nous avons tous les termes qui arrivent dans lσ0pγ1q plus le premieret dernier terme : γpt0q ´ γpaq et γpbq ´ γptnq. Nous avons donc

lσ0pγ1q ď lσpγq ď supσlσpγq “ lpγq. (19.10)

Étant donné que pour toute subdivision σ0 nous avons lσ0pγ1q ď lpγq, en prenant le supre-mum sur les subdivision σ0 de I 1, nous avons comme annoncé

lpγ1q ď lpγq. (19.11)

(2) Soit σ “ ttiu une subdivision de ra, bs. Nous considérons les subdivision σ1 et σ2 définiescomme suit :

σ1 : tti tel que ti ă cu Y tcu,σ2 : tti tel que ti ą cu Y tcu. (19.12)

L’inégalité triangulaire implique que

lσpγq ď lσYtcupγq “ lσ1pγ1q ` lσ2pγ2q ď lpγ1q ` lpγ2q. (19.13)

Nous avons donclpγq ď lpγ1q ` lpγ2q. (19.14)

Nous prouvons maintenant l’inégalité inverse. Soit ε ą 0. Étant donné que lpγ1q est lesupremum des quantités lσ1pγ1q lorsque σ1 parcours toutes les subdivision possibles, il existeune partition σε1 telle que (idem pour γ2)

lσε1pγ1q ` ε

2 ą lpγ1q,lσε2pγ2q ` ε

2 ą lpγ2q,(19.15)

1130 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

où σε1 est une subdivision de ra, cs et σε2 en est une de rc, bs. En faisant la somme des deuxéquations (19.15), nous trouvons

lpγ1q ` lpγ2q ă lσε1pγ1q ` lσε2pγ2q ` ε “ lσε1Yσε2pγq ď lpγq ` ε. (19.16)

L’inégalité lpγ1q ` lpγ2q ă lpγq ` ε étant valable pour tout ε, nous avons

lpγ1q ` lpγ2q ď lpγq. (19.17)

Cette inégalité, combinée avec l’inégalité (19.14), donne bien lpγq “ lpγ1q ` lpγ2q.

19.3 Abscisse curviligne

Définition 19.7.Soit pI, γq un arc rectifiable compact avec I “ ra, bs. L’application

ϕ : ra, bs Ñ R`

t ÞÑ l`ra, ts, γ˘ (19.18)

est la longueur d’arc de γ.

Cette fonction nous permet de calculer la distance (suivant la courbe) entre deux point arbi-traires parce que si a ď t ă u ď b, nous avons

l`rt, us, γ˘ “ ϕpuq ´ ϕptq. (19.19)

En effet,ϕpuq ´ ϕptq “ l

`ra, us, γ˘´ l`ra, ts, γ˘, (19.20)

mais en utilisant la proposition 19.6, nous avons

l`ra, us, γ˘ “ l

`ra, ts, γ˘` l`rt, us, γ˘. (19.21)

Proposition 19.8.La longueur d’arc d’un arc rectifiable compact est une fonction continue et croissante.

Démonstration. Soit pI, γq un arc paramétré rectifiable compact avec I “ ra, bs. Afin de montrerque ϕ est croissante, prenons t P I ainsi que h ą 0 et montrons que ϕpt`hq ě ϕptq. La proposition19.6 implique que

l`ra, t` hs, γ˘ “ l

`ra, ts, γ˘` l`rt, t` hs, γ˘, (19.22)

c’est à direϕpt` hq “ ϕptq ` l`rt, t` hs, γ˘ ě ϕptq. (19.23)

Pour la continuité, soit t fixé dans ra, bs et ε ą 0. Il nous faut démontrer qu’il existe η ą 0 telque si s est dans r0, ηs alors

|ϕpt` sq ´ ϕptq| ď ε, @t P ra, bs.

Étant donné que l`rt, bs, γ˘ est le supremum des lσ

`rt, bs, γ˘, il existe une subdivision σ : t, t1, ¨ ¨ ¨ , tn´1, btelle que

lσ`rt, bs, γ˘ ą l

`rt, bs, γ˘´ ε

2 “ ϕpbq ´ ϕptq ´ ε

2 . (19.24)

La continuité de γ implique qu’il existe un η tel que

s P r0, ηs ñ γpt` sq ´ γptq ă ε

2 (19.25)

19.3. ABSCISSE CURVILIGNE 1131

Quitte à prendre η encore plus petit, nous supposons que t` η ă t1. Soit s P r0, ηs et considéronsla subdivision de rt, bs donnée par σ1 “ σ Y tt ` su. Étant donné que σ1 est plus fine que σ, lenombre lσ

`rt, bs, γ˘ est inférieur ou égal à lσ1`rt, bs, γ˘. Nous avons donc les inégalités

ϕpbq ´ ϕptq ´ ε

2 ď lσ`rt, bs, γ˘

ď lσ1`rt, bs, γ˘

“ ››γpt` sq ´ γptq››` lσ1zttu`rt` s, bsγ˘

ď γpt` sq ´ γptq ` ϕpbq ´ ϕpt` sqď ε

2 ` ϕpbq ´ ϕpt` sq.

(19.26)

Au final, nous avons trouvé queϕpt` sq ´ ϕptq ď ε, (19.27)

ce qui prouve que ϕ est continue au point t.

En guise de paramètre sur un arc, nous pouvons utiliser la longueur d’arc elle-même. En effetsi pI, γq est un arc de longueur l, nous pouvons donner le même arc avec le couple

`r0, ls, g˘ où gest la fonction qui au réel s fait correspondre l’élément γ

`ϕ´1psq˘ de Rn. Dire

P “ pγ ˝ ϕ´1qpsq (19.28)

revient à dire que le point P est le point sur la courbe sur lequel on tombe après avoir marché unedistance s sur la courbe.

Nous allons revenir sur ce «changement de paramètre» plus tard, en particulier dans la sec-tion 19.7.

19.3.1 Formule intégrale de la longueur

Nous pouvons voir un chemin γ comme étant la trajectoire d’une particule en fonction dutemps. Sa vitesse à l’instant t est le vecteur γ1ptq, tandis que sa vitesse scalaire est le nombreγ1ptq. Une question naturelle est de savoir quelle est la longueur de la trajectoire parcourue entret “ a et t “ b.

Si nous prenons un petit intervalle de temps dt, nous pouvons supposer que le mobile avanceà la vitesse constante γ1ptq. Cela ferait un trajet parcouru de longueur γ1ptqdt. Nous nousattendons donc à une formule de la forme suivante pour la longueur de γ :

lpγq “ż b

aγ1ptqdt. (19.29)

Plus explicitement, si γptq “ `xptq, yptq, zptq˘, alors nous aurions la formule

lpγq “ż b

a

ax1ptq2 ` y1ptq2 ` z1ptq2dt. (19.30)

Théorème 19.9.Soit pI, γq un arc paramétré compact de classe C1. Alors γ est rectifiable et

lpγq “ż b

aγ1ptqdt “

ż

γ1, (19.31)

où I “ ra, bs.Démonstration. L’égalité avec l’intégrale le long de γ de la fonction 1 est simplement la définition14.17 de l’intégrale curviligne.

1132 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Si σ “ ttiu est une subdivision de l’intervalle ra, bs, alors

lσpγq “nÿ

i“1γptiq ´ γpti´1q

“nÿ

i“1ż titi´1

γ1ptqdt

ďnÿ

i“1

ż titi´1

γ1ptqdt

“ż b

aγ1ptqdt.

(19.32)

Cela prouve déjà que

lpγq “ supσlσpγq ď

ż b

aγ1ptqdt. (19.33)

Nous devons maintenant prouver l’inégalité inverse.Notons ϕ l’abscisse curviligne ϕptq “ l

`ra, ts, γ˘. Cette dernière vérifie

ϕpt` hq ´ ϕptq “ l`rt, t` hs, γ˘ ě γpt` hq ´ γptq, (19.34)

et en particulier ››››γpt` hq ´ γptq

h

›››› ďϕpt` hq ´ ϕptq

h. (19.35)

D’autre part, en utilisant (19.33) sur le segment rt, t` hs, nous avons

ϕpt` hq ´ ϕptq “ l`rt, t` hs, γ˘ ď

ż t`h

tγ1puqdu. (19.36)

Cela nous permet de continuer l’inéquation (19.35) en››››γpt` hq ´ γptq

h

›››› ďϕpt` hq ´ ϕptq

hď 1h

ż t`h

tγ1puqdu. (19.37)

Prenons la limite h Ñ 0. À gauche nous reconnaissons la formule de la dérivée, et nous obtenonsγ1ptq ; au centre nous avons ϕ1ptq et à droite, si npuq représente une primitive de la fonctionu ÞÑ γ1puq,

limhÑ0

npt` hq ´ nptqh

“ n1ptq “ γ1ptq. (19.38)

Au final,γ1ptq ď ϕ1ptq ď γ1ptq, (19.39)

c’est à dire ϕ1ptq “ γ1ptq et donc par le théorème fondamental du calcul intégral 13.205,

ϕptq ´ ϕpaq “ż t

aγ1puqdu. (19.40)

Par construction de la longueur d’arc, ϕpaq “ 0 et en posant t “ b nous obtenons la relationrecherchée :

lpγq “ ϕpbq “ż b

aγ1puqdu. (19.41)

Remarque 19.10.Cela est cohérent avec 14.178, mais il faut garder en tête que lpγq n’est pas le mesure de Lebesguede l’image de γ dans R2. Cette dernière est nulle.

19.3. ABSCISSE CURVILIGNE 1133

Exemple 19.11Soient donc a et b deux points de Rm, et γ la droite joignant a à b, c’est à dire

γptq “ p1´ tqa` tb (19.42)

avec t P r0, 1s. Le théorème 19.9 nous enseigne que la longueur de ce chemin est

l`r0, 1s, γ˘ “

ż 1

0γ1ptqdt “

ż 1

0 ´ a` b “ b´ a, (19.43)

qui est bien la distance entre a et b. 4

Exemple 19.12(Circonférence du cercle)Nous savons que l’image de

γ : r0, 2πr Ñ R2

t ÞÑ `R cosptq, R sinptq˘ (19.44)

est le cercle de centre p0, 0q et de rayon R ą 0. Et de plus cet arc est de classe C1 (et même C8)par la proposition 16.19. La longueur sera, d’après la formule (19.9)

lγ “ż 2π

0γ1ptqdt “ 2πR (19.45)

grâce à la formule sin2` cos2 “ 1 du lemme 16.21.Mais tout cela n’est pas satisfaisant parce que nous n’avons pas encore de valeur numérique de

π.Il y a une autre façon de faire en considérant le quart de cercle dont la longueur en fonction de

π est vite calculée par

lγ “ż pi2

0γ1ptqdt “ πR

2 . (19.46)

Cette même longueur est calculée en termes de fonctions plus courantes avec le chemin

σ : s0, 1r Ñ R2

t Þш

t?R2 ´ t2

˙ (19.47)

La longueur s’exprime avec

lσ “ż 1

0

cR2

R2 ` t2dt. (19.48)

Notons que le changement de variables t “ R sinpuq permet de retrouver l’expression lσ “ πR2.Pour avoir une approximation de π, il est loisible de calculer une approximation numérique de

l’intégrale (19.48) (avec R “ 1) et de l’égaler à π2. 4

Exemple 19.13Considérons l’arc de cercle de rayon R interceptée par l’angle θ présenté sur la figure 19.3.

Par définition, cette longueur seraż θ1θ0

bR2 sin2ptq `R2 cos2ptqdt “ Rpθ1 ´ θ0q. (19.49)

Le radian comme unité de mesure d’angle est donc l’unité parfaite : elle est la longueur d’arcinterceptée (si le rayon est R “ 1). 4

1134 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

θ

R

θ0

θ1

Figure 19.3 – Quelle est la longueur de la partie bleue de ce cercle de rayon R ?

19.14.Si on veut savoir la longueur d’une courbe donnée sous la forme d’une fonction y “ ypxq, un cheminqui trace la courbe est évidement donné par

γptq “ pt, yptqq, (19.50)

et le vecteur tangent au chemin est γ1ptq “ p1, y1ptqq. Donc

γ1ptq “a1` y1ptq2, (19.51)

etL “

ż b

a

a1` y1ptq2. (19.52)

Exemple 19.15La longueur de l’hélice

σptq “¨˝

cosp2tqsinp2tq?

5t

˛‚ (19.53)

pour t P r0, 2πs est donnée par

lpσq “ż 4π

0

b4 sin2p2tq ` 4 cos2p2tq ` 5dt “

ż 4π

0

?9 “ 12π. (19.54)

4

Définition 19.16.Soit σ1 : ra, bs Ñ R3, un chemin et σ2 : rc, ds Ñ R3, un autre chemin. On dit que ces cheminssont équivalents s’il existe une fonction ϕ : ra, bs Ñ rc, ds strictement croissante telle que σ1ptq “σ2`ϕptq˘.Deux chemins équivalents parcourent la même courbe dans le même sens. Ils ne le parcourent

toutefois pas à la même vitesse. On dit que les chemins sont opposée si la fonction ϕ de la définitionest strictement décroissante. Dans ce cas, ils ont la même image, mais parcourue dans le sensopposés. Nous disons que deux chemins équivalents sont un changement de paramétrisationpour la même courbe.

Dans le cas d’une paramétrisation équivalente, nous avons ϕpaq “ c et ϕpbq “ d. Les points dedépart et d’arrivée des deux paramètres coïncident. Dans le cas d’un paramètre qui va dans le sensopposé par contre nous avons automatiquement ϕpaq “ d et ϕpbq “ c.

Proposition 19.17.La longueur d’une courbe ne dépend pas du paramètre (équivalent ou opposé) choisi.

19.4. SUITE DU CHAPITRE 1135

Démonstration. Soient σ1 : ra, bs Ñ R3 et σ2 : rc, ds Ñ R3 tels que

σ1ptq “ σ2`ϕptq˘ (19.55)

où ϕ : ra, bs Ñ ra, ds est une bijection strictement monotone. Par définition on a

lpσ1q “ż b

aσ11ptqdt. (19.56)

Nous pouvons exprimer la dérivée de σ1 en termes de celle de σ2 en dérivant la relation (19.55) :

σ11ptq “ ϕ1ptqσ12`ϕptq˘. (19.57)

En ce qui concerne la norme,σ11ptq “ |ϕ1ptq|σ12ptq. (19.58)

Notez dans cette relation que ϕ1ptq est un nombre (et non un vecteur). Étant donné que nous avonssupposé que ϕ était monotone, soit elle est monotone croissante et ϕ1ptq “ ϕ1ptq pour tout t, soitelle est monotone décroissante et ϕ1ptq “1 ϕptq pour tout t.

Considérons d’abord le premier cas, c’est à dire ϕ1ptq “ ϕ1ptq. Nous posons s “ ϕptq, ds “ϕ1ptqdt. En remplaçant cela dans la formule de la longueur est

lpσ1q “ż b

aϕ1ptqσ2

`ϕptq˘dt

“ż ϕpbq

ϕpaqσ12psqds

“ż d

cσ12psqds

“ lpσ2q.

(19.59)

Si nous considérons maintenant une paramétrisation strictement décroissante. Dans ce cas,ϕ1ptq ď 0 et ϕ1ptq “ ´ϕ1ptq. Nous posons encore une fois s “ ϕptq, ds “ ϕ1ptqds. Ici il ne faut pasoublier que ϕpaq “ d et ϕpbq “ c. Le calcul est à part cela le même en faisant attention au singe :

lpσ1q “ż b

aϕ1ptqσ2

`ϕptq˘dt

“ ´ż ϕpbq

ϕpaqσ12psqds

“ ´ż c

dσ12psqds

“ż d

cσ12psqds

“ lpσ2q.

(19.60)

Nous avons changé le signe en changeant l’ordre des bornes.

19.4 Suite du chapitreLe grand avantage des arcs paramétrés par rapports aux graphes de fonctions est le le graphe

peut «faire des retours en arrière», ou bien des auto intersections. Outre les deux exemples typiquesde la la figure 19.4, un exemple classique est la droite verticale. Les fonctions y “ ax`b permettentde décrire toutes les droites, sauf les droites verticales. Dans le cadre des courbes paramétrées, lesdroites verticales et horizontales sont sur pied d’égalité. Quelques exemples classiques :

Droite horizontale Une droite horizontale à la hauteur a est donnée par la courbe paramétréeγptq “ pt, aq, avec t P I “ R.

1136 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Droite verticale Une droite verticale à la distance b de l’origine est donnée par la courbeparamétrée γptq “ pb, tq, avec t P I “ R.

Graphe d’une fonction Le graphe d’une fonction f : R Ñ R est donné par l’arc γptq “`t, fptq˘.

Un cercle Le cercle de rayon R est donné par l’arc γptq “ `R cosptq, R sinptq˘.

´2 ´1 1 2

1

2

3

4

5

6

(a) γptq “ p2 sinptq, tq, avec 0 ď t ď 2π

´1 1

´1

1

(b) γptq “ psinp2tq, sinptqq avec´π ď t ď π

Figure 19.4 – Des exemples d’arcs paramétrées. Ceux ne sont pas des graphes.

Remarque 19.18.Afin d’alléger la notation, nous allons le plus souvent désigner l’arc pI, γq simplement par la fonc-tion γ. Il est cependant toujours très important de savoir sur quel intervalle nous considérons lechemin. Cela dépendra le plus souvent du contexte, et nous indiquerons l’intervalle I explicitementlorsqu’une ambigüité est à craindre.

Par exemple, lorsque nous considérons le cercle γptq “ `R cosptq, R sinptq˘, le plus souvent

l’intervalle de variation de t sera I “ r0, 2πs. Par contre, si nous considérons la droite γptq “ pt, 2tq,l’intervalle de variation de t sera naturellement I “ R.

19.5 Courbes paramétrés

19.5.1 Définitions et exemples

Exemple 19.19Soit v P R3 et x0 P R3. Le chemin

σptq “ x0 ` tv (19.61)

est une droite. Sa vitesse est σ1ptq “ v. 4

Exemple 19.20La courbe

σptq “ˆ

cosptqsinptq

˙P R2 (19.62)

avec t P r0, 2πr est le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique.Notez que si on prend t P r0, 4πr, nous avons un autre chemin ; c’est le même cercle unité, mais

parcouru deux fois. Même si le «dessin» (le graphe) des deux est le même, le chemin n’est pas lemême.

Le cheminγptq “

ˆcosp2π ´ tqsinp2π ´ tq

˙(19.63)

19.5. COURBES PARAMÉTRÉS 1137

est le cercle unité parcouru une fois dans le sens inverse. Encore une fois le «dessin» est le même,mais le chemin n’est pas le même. 4

Exemple 19.21Le chemin

σptq “ˆtt2

˙(19.64)

est un chemin dont l’image est la parabole d’équation y “ x2. 4

L’importance de la dérivée du chemin réside en le fait qu’elle donne la tangente. En effet levecteur σ1ptq est tangent au graphe de σ au point σptq.Corollaire 19.22.La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon.

Démonstration. Nous savons que pour un cercle,

y1pxq “ ´x?R2 ´ x2 . (19.65)

Un point général du cercle a pour abscisse x “ R cospθq. En remplaçant nous trouvons le coefficientdirecteur suivant pour la tangente :

y1`R cospθq˘ “ ´ 1

tanpθq . (19.66)

Par conséquent une droite perpendiculaire à la tangente aurait comme coefficient directeur lenombre tanpθq. Or cela est bien le coefficient directeur du rayon qui joint le point p0, 0q au point`R cospθq, R sinpθq˘.

Exemple 19.23Pour le cercle,

σptq “ˆ

cosptqsinptq

˙, (19.67)

la dérivée est donnée par

σ1ptq “ˆ´ sinptq

cosptq.˙

(19.68)

Le produit scalaire σptq·σ1ptq est nul. Le vecteur σ1ptq est donc bien tangent (corollaire 19.22).4

Exemple 19.24Le courbe donnée par le chemin

σptq “¨˝

cosptqsinptqt

˛‚ (19.69)

est une hélice. Sa vitesse est

σ1ptq “¨˝´ sinptqcosptq

1

˛‚. (19.70)

Notez que pour tout t P R, nous avons σ1ptq “ ?2. 4

Remarque 19.25.Lorsqu’on parle d’une courbe dans l’espace, l’intervalle sur lequel on considère la variation duparamètre est une donné fondamentale. Elle fait partie intégrante de la définition de la courbe.

1138 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

19.6 Élément de longueur

19.6.1 Élément de longueur : cartésiennes

Étant donné que la longueur d’arc d’une courbe paramétrée pI, γq est donnée par l’intégralede γ1ptq, il est naturel d’appeler le nombre γ1ptq dt, l’élément de longueur de la courbe γ aupoint γptq.

En coordonnées cartésiennes dans le plan, une courbe paramétré est donnée par

γptq “ `x1ptq, x2ptq

˘, (19.71)

et l’élément de longueur estx1ptq dt “

bpx11q2 ` px12q2 dt. (19.72)

19.6.2 Élément de longueur : polaires (1)

En coordonnées polaires, une courbe est donnée par

γptq “ `ρptq, θptq˘, (19.73)

et le passage aux cartésiennes se fait via les formules#xptq “ ρptq cos

`θptq˘ (19.74a)

yptq “ ρptq sin`θptq˘. (19.74b)

L’élément de longueur se trouve directement en remplaçant xptq et yptq dans la formule (19.72).Les dérivées sont données par

x1ptq “ ρ1ptq cos θptq ´ ρptqθ1ptq sin θptqy1ptq “ ρ1ptq sin θptq ` ρptqθ1ptq cos θptq, (19.75)

et un calcul montre que`x1ptq˘2 ` `

y1ptq˘2 “ `ρ1ptq˘2 ` `

ρptq˘2`θ1ptq˘2

. (19.76)

Nous reviendrons plus en détail sur le concept de changement de paramétrisation (ici, lespolaires) à la section 19.7.

19.6.3 Élément de longueur : polaires (2)

Parfois on utilise θ comme paramètre. L’équation de la courbe est alors donnée en coordonnéespolaires sous la forme

ρpθq “ fpθq, (19.77)où f est une fonction réelle et il faut comprendre que nous parlons de la courbe

`ρpθq, θ˘ en

coordonnées polaires. En coordonnées cartésiennes, cette courbe est donnée par"xptq “ ρptq cosptq (19.78a)yptq “ ρptq sinptq (19.78b)

avec t qui parcours le plus souvent l’intervalle r0, 2πs. Notez qu’il se peut que le domaine ne soit pastoujours r0, 2πs ; cela peut dépendre des circonstances. Quoi qu’il en soit, la donnée du domainefait partie de la donnée d’une courbe, et il ne peut donc pas y avoir d’équivoques à ce niveau.

Nous utilisons à nouveau la formule (19.72) en y mettant les valeurs (19.78) :"x1ptq “ ρ1ptq cosptq ´ ρptq sinptq (19.79a)y1ptq “ ρ1ptq sinptq ` ρptq cosptq, (19.79b)

et `x1ptq˘2 ` `

y1ptq˘2 “ ρ1ptq2 ` ρptq2. (19.80)

19.6. ÉLÉMENT DE LONGUEUR 1139

Remarque 19.26.N’oubliez pas, en utilisant ces formules, que ce qui rentre dans l’intégrale est la racine carré depx1q2 ` py1q2.

Exemple 19.27Calculons la circonférence du cercle. En coordonnées polaires, le graphe du cercle correspond àl’équation `

ρptq, θptq˘ “ pR, tq (19.81)où R est constante (le rayon du cercle) et t va de 0 à 2π. En substituant dans l’équation (19.76),l’élément de longueur à intégrer est seulement

?R2 “ R (19.82)

parce que ρ1ptq “ 0 et θ1ptq “ 1. La longueur du cercle est alors directement donnée par

l “ż 2π

0Rdt “ 2πR. (19.83)

Nous pouvions aussi faire le calcul en coordonnées cartésiennes. Alors la courbe est donnée parles équations

xptq “ R cosptqyptq “ R sinptq (19.84)

et t P r0, 2πs. La circonférence du cercle est alors

l “ż 2π

0

bR2 sin2ptq `R2 cos2ptq dt “

ż 2π

0Rdt “ 2πR. (19.85)

4

Remarque 19.28.Il faut bien comprendre que quand on parle de courbes paramétrées en coordonnées cartésienneson pense à une courbe dont le paramètre est, par exemple, t et les équations de la courbe sontpxptq, yptqq. Cela ne veut pas dire que x ou y soit le paramètre. La cas où x ou y est le paramètreest un cas particulier qui est possible seulement pour certaines courbes et notamment pour lesgraphes. Le cercle de rayon 1 n’est pas un graphe, donc si on veut utiliser x ou y comme paramètreil faut d’abord découper la courbe en deux morceaux, par exemple, la moitié inférieure (y ă 0) etla moitié supérieure (y ą 0).

Exemple 19.29Une cycloïde est une courbe paramétrée par

"xptq “ apt´ sinptqq (19.86a)yptq “ ap1´ cosptqq (19.86b)

avec a ą 0 et t P R. Comme montré sur la figure 19.5, la cycloïde donne lieu à un graphe périodique.Il est possible de montrer (le faire) que le premier arc correspond à t P r0, 2πs. Nous voulons donccalculer la longueur de l’arc sur cet intervalle.

Nous avons x1ptq “ ap1´ cosptqq et y1ptq “ a sinptq, de telle façon que

apx1q2 ` py1q2 “ aa

2´ 2 cosptq “ a

d4 sin2

ˆt

2

˙“ 2a

ˇˇ sin t

2

ˇˇ. (19.87)

La longueur est donc donnée parż 2π

02a| sin t

2 |dt “ 4aż π

0sinptqdt “ 8a. (19.88)

1140 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1

2

Figure 19.5 – La cycloïde de paramètre a “ 1 entre 0 et 4π.

4

Exemple 19.30La cardioïde est la courbe donnée par

ρpθq “ ap1` cospθqq. (19.89)

avec θ P r´π, πs. Le nom de cette courbe provient de son graphe illustré à la figure 19.6.

Figure 19.6 – Une cardioïde, ρ “ 1` cospθq.L’équation (19.89) est donnée sous la forme (19.77), c’est à dire que θptq “ t et θ1ptq “ 1, et

par conséquent l’élément de longueur est donné par

pρ1q2 ` pρq2 “ `´ a sinpθq˘2 ` a2`1` cospθq˘2

“ a2 sin2pθq ` a2`1` 2 cospθq ` cos2pθq˘

“ a2`1` 1` 2 cospθq˘

“ 2a2`1` cospθq˘

“ 4a2 cos2 θ

2 .

(19.90)

La longueur d’arc est donc donnée par

l “ż π

´π2a cos θ2dθ “ 2a

ż π2

´π2cosptq2dt “ 8a. (19.91)

4

19.6.4 Approximation de la longueur par des cordes

Définition 19.31.Soit un arc paramétré pI, γq. Un point t P I est dit régulier si γ1ptq ‰ 0, et il est dit critiquesi γ1ptq “ 0. Le point t P I est dit birégulier si les vecteurs γ1ptq et γ2ptq sont linéairementindépendants et non nuls.

Par extension, nous dirons également que le point γptq lui-même est régulier, critique ou biré-gulier. Un arc est dit régulier lorsque tous ses points sont réguliers.

19.6. ÉLÉMENT DE LONGUEUR 1141

Note : dans le lemme 19.65 et ses dépendances, nous utilisons effectivement que l’arc γ est declasse C2.

Nous savons que la longueur d’une courbe est donné par le supremum sur toutes les subdivisionde la longueur des cordes correspondantes. De plus l’inégalité triangulaire nous enseigne que plusla subdivision est fine, plus la longueur sera grande. Il est donc naturel de penser que sur unpetit intervalle, la longueur de la courbe ne doit pas être très différente de la longueur de la cordecorrespondante.

La proposition suivante est un énoncé précis et quantitatif de ce fait.

Proposition 19.32.Soit pI, γq un arc de classe C1 et t0 P I un point régulier (c’est à dire γ1pt0q ‰ 0). Alors pour toutε ą 0, il y a un δ ą 0 tel que on trouve t, t1 P I X pt0, δq tels que

ˇˇˇ

ż t1

tγ1puqdu´ γptq ´ γpt1q

ˇˇˇ ď 2ε|t´ t1|. (19.92)

Intuitivement, cette proposition signifie qu’au voisinage de t0, la longueur d’arc est équivalenteà celle de la corde.

Démonstration. Par la continuité de γ1 (parce que γ est C1), pour tout ε, il existe un δ tel que

|t´ t0| ă δ ñ ››γ1ptq ´ γ1pt0q›› ď ε. (19.93)

Nous considérons la fonction

u ÞÑ γpuq ´ γpt0q ´ pu´ t0qγ1pt0q, (19.94)

dont la dérivée (par rapport à u) estγ1puq ´ γ1pt0q. (19.95)

Nous y appliquons la formule des accroissements finis entre t et t1 choisis dans I X st0 ´ δ, t0 ` δr.Il existe un u entre t et t1 tel que

››γptq ´ γpt0q ´ pt´ t0qγ1pt0q ´ γpt1q ` γpt0q ` pt1 ´ t0qγ1pt0q››

“ |t´ t1|γ1puq ´ γ1pt0qď ε|t´ t1|.

(19.96)

En simplifiant ce qui peut être simplifié dans le membre de gauche, nous trouvons››γptq ´ γpt1q ´ pt´ t1qγ1pt0q

›› ď ε|t´ t1|. (19.97)

Le membre de gauche peut être minoré en utilisant la proposition 6.32 :ˇˇγptq ´ γpt1q ´ pt´ t1qγ1pt0q

ˇˇ ď ε|t´ t1|. (19.98)

D’autre part, les inégalités (6.17) montrent que

´ γ1puq ´ γ1pt0q ď γ1puq ´ γ1pt0q ď γ1puq ´ γ1pt0q. (19.99)

Si de plus u est compris entre t et t1, ces inégalités sont encore coincées entre ´ε et ε. En intégrant(19.99) par rapport à u entre t et t1, nous obtenons

ˇˇˇ

ż t1

t

››γ1puq››´ pt´ t1q››γ1pt0q››ˇˇˇ ď ε|t´ t1|. (19.100)

Afin d’alléger les notations pour la ligne suivante, nous notons A le nombre positifşt1t γ1puqdu.

Nous avonsˇˇA´ γptq ´ γpt1q

ˇˇ “

ˇˇA´ |t´ t1| γ1pt0q ` |t´ t1| γ1pt0q ´ γptq ´ γpt1q

ˇˇ

A´ |t´ t1| γ1pt0q

ˇˇ`

ˇˇ|t´ t1| γ1pt0q ´ γptq ´ γpt1q

ˇˇ.

(19.101)

1142 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

L’équation (19.98) montre que le second terme est plus petit ou égal à ε|t´ t1|. En ce qui concernele premier terme, étant donné que A est positif,

ˇˇA´ |t´ t1| γ1pt0q

ˇˇ ď

ˇˇA´ pt´ t1q γ1pt0q

ˇˇ ď ε|t´ t1|. (19.102)

Au final, l’inéquation (19.101) donneˇˇA´ γptq ´ γpt1q

ˇˇ ď 2ε |t´ t1|, (19.103)

ce qu’il fallait démontrer.

19.7 Arc géométriqueDéfinition 19.33.Soient pI, γq et pJ, gq deux arcs paramétrés de classe Ck. On dit qu’il sont équivalents s’il existeune bijection θ : I Ñ J de classe Ck, d’inverse de classe Ck telle que g “ γ ˝ θ. Nous notons γ „ glorsque γ et g sont équivalents (les ensembles I et J sont sous-entendus).

Le passage d’une paramétrisation pI, γq à une autre pJ, gq se fait selon le diagramme suivant :

Iγ // Rn

J

g

>>

θ

OO (19.104)

Proposition 19.34.La relation donnée dans la définition 19.33 est une relation d’équivalence.

Démonstration. Les trois points d’une relation d’équivalence se vérifient en utilisant le fait que θest inversible, et que l’inverse θ´1 jouit des mêmes propriétés de continuité (Ck) que θ.

Réflexivité Nous avons γ „ γ avec θ “ Id.Symétrie Si γ „ g, alors nous avons une application θ telle que g “ γ ˝ θ, et donc γ “ g ˝ θ´1,

ce qui montre que g „ γ.Transitivité Si γ „ g et g „ h avec g “ γ ˝ θ et h “ g ˝ω, alors h “ γ ˝ pθ ˝ωq, ce qui montre

que γ „ h.

Si les arcs pI, γq et pJ, gq sont équivalents, les images dans Rn sont identiques, et décriventdonc «le même dessin». Nous allons préciser cette notion plus loin.

Définition 19.35.Pour cette raison les classes d’équivalences sont appelées des arcs géométriques (de classe Ck).

Si Γ est une arc géométrique, ses représentants sont dits des paramétrages admissiblesou, plus simplement paramétrisation. On dit que l’application θ : J Ñ I est un changement devariable. Nous disons que un arc géométrique est compact quand ses représentants sont compacts.

Lemme 19.36.Dans le cas d’un arc C1, les changements de variables sont strictement monotones (croissants oudécroissants).

Démonstration. Nous considérons pI, γq et pJ, gq, deux paramétrisations différentes du même arcgéométrique, et θ P C1pJ, Iq le changement de variable. Nous allons noter t la variable sur I et s lavariable sur J . Par définition, θ

`θ´1ptq˘ “ t, et par conséquent,

θ1`θ´1ptq˘pθ´1q1ptq “ 1. (19.105)

19.7. ARC GÉOMÉTRIQUE 1143

En particulier θ1`θ´1ptq˘ ne s’annule pas pour aucune valeur de t. Mais θ´1ptq peut prendre n’im-

porte quelle valeur dans J , donc nous avons θ1psq ‰ 0 pour tout s P J . Cela signifie bien que θ eststrictement monotone. En effet, θ1 étant continue, elle ne peut pas changer de signe sans passerpar zéro (théorème 12.21 des valeurs intermédiaires).

Théorème 19.37.La longueur d’un arc est indépendante de sa paramétrisation, c’est à dire que les représentantsd’un arc géométrique compact de classe C1 ont même longueur.

Démonstration. Nous utilisons les mêmes notations que celles du lemme 19.36. Nous savons déjàque le changement de variable θ : J Ñ I est strictement monotone. Supposons que θ soit croissante.En effectuant un changement de variable dans l’intégrale qui donne la longueur 1 nous avons

lpγq “ż

Iγ1ptqdt

“ż

Jγ1`θpsq˘θ1psqds

“ż

Jγ1`θpsq˘θ1psqds

“ż

J ddspγ ˝ θqpsqds

“ż

Jg1psqds

“ lpJ, gq.

(19.106)

Définition 19.38.Nous nommons longueur d’un arc géométrique la longueur commune de tous ses représentants.On dit que l’arc géométrique est rectifiable si sa longueur est ă 8.

19.7.1 Abscisse curviligne et paramétrisation normale

Définition 19.39.Soit pI, γq un arc paramétré continu rectifiable. Nous appelons abscisse curviligne de γ touteapplication φ : I Ñ R telle que pour tout t, t1 P I avec t ă t1, nous ayons

l`rt, t1s, γ˘ “ ˇ

φpt1q ´ φptqˇ. (19.107)

Si il existe un t0 P I tel que φpt0q “ 0, alors nous disons que t0 est l’origine de l’abscisse φ.Un arc paramétré pI, γN q continu rectifiable est dit normal si l’identité est une abscisse cur-

viligne. Dans ce cas, pour tout choix de t et t1 dans I avec t ă t1, nous avons

l`rt, t1s, γN

˘ “ t1 ´ t. (19.108)

19.40.Si γ est de classe C1 et est une paramétrisation normale, alors pour tout x1, x2 dans le domainenous avons

l`rx1, x2s, γ

˘ “ż x2

x1

γ1ptqdt “ x2 ´ x1. (19.109)

Cela implique γ1ptq “ 1 pour tout t.

1. Théorème 19.9.

1144 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Exemple 19.41Le cercle unitaire est donné par l’arc

γptq “ `cosptq, sinptq˘ (19.110)

et t P r0, 2πs. Pour tout choix de t et t1 dans r0, 2πs, nous avons

l`rt, t1s, γ˘ “

ż t1

t

bsin2puq ` cos2puqdu “ t1 ´ t. (19.111)

Les angles exprimés en radians forment donc une paramétrisation normale du cercle de rayon 1.4

Lemme 19.42.Pour un arc paramétré compact, la longueur d’arc est une abscisse curviligne.

Démonstration. Par définition de la longueur d’arc ϕ, nous avons

ϕpt1q ´ ϕptq “ l`ra, t1s, γ˘´ l`ra, ts, γ˘ “ ♦. (19.112)

Supposons pour fixer les idées que t1 ą t. En utilisant la proposition 19.6, nous avons

l`ra, t1s, γ˘ “ l

`ra, ts, γ˘` l`rt, t1s, γ˘, (19.113)

et donc après simplification de deux termes,

♦ “ l`rt, t1s, γ˘, (19.114)

ce qui est précisément la propriété demandée pour être une abscisse curviligne.

Proposition 19.43.Pour tout arc paramétré C1 sans points critiques, il existe un changement de coordonnées qui rendl’arc normal.

Démonstration. Soit pI, γq un arc de classe C1. Nous devons montrer qu’il existe un intervalle Jet une application θ : J Ñ I de classe C1 et d’inverse C1 tel que l’arc pJ, γN q soit C1 où γN “ γ ˝ θ.

Si I “ ra, bs, nous considérons la fonction

φ : I Ñ R`

t ÞÑż t

aγ1puqdu. (19.115)

Étant définie par l’intégrale d’une fonction C0, la fonction φ est C1, et nous avons φ1ptq “ γ1ptq ą 0pour tout t P I. Vue comme application φ : ra, bs Ñ r0, lpγqs, l’application φ est bijective et d’inverseC1. Voyons cela point par point.

(1) La fonction φ est injective parce que strictement croissante.(2) Elle est surjective parce que φpaq “ 0 et φpbq “ lpγq.(3) La continuité de l’inverse est plus délicate. Soit l P r0, lpγqs et ε ą 0. Pour prouver la

continuité de φ´1 en s, nous devons trouver un δ tel que

|s´ s1| ă δ ñ ˇφ´1psq ´ φ´1ps1qˇ ă ε. (19.116)

Étant donné que s et s1 sont dans l’image de φ, nous considérons les uniques t et t1 tels ques “ φptq et s1 “ φpt1q. La quantité φptq ´ φpt1q devient

ż t

a

››γ1puq››du´ż t1

a

››γ1puq››du “ż t1

t

››γ1puq››du. (19.117)

19.7. ARC GÉOMÉTRIQUE 1145

D’autre part, φ´1psq “ t et φ´1ps1q “ t1, donc la condition (19.117) devient

|ż t

t1

››γ1puq››du| ď δ ñ |t´ t1| ă ε. (19.118)

Cela revient à la continuité des fonctions définies par des intégrales.(4) La dérivée de son inverse est donnée par 2

pφ´1q1psq “ 1φ1`φ´1psq˘ . (19.119)

Nous avons vu que φ´1 et φ1 étaient continues. La fonction pφ´1q1 étant exprimée en termesde ces deux fonctions elle est également continue.

Nous considérons l’arc paramétré pJ, γN q avec J “ r0, lpγqs et

γN psq “ pγ ˝ φ´1qpsq. (19.120)

Nous montrons maintenant que cette nouvelle paramétrisation est normale. Soient 0 ď s ď s1 ďlpγq,

l`rs, s1s, g˘ “

ż s1

s

››γ1N puq››du

“ż φ´1ps1q

φ´1psq

››pγ1N ˝ φqptq››φ1ptqdt

“ż φ´1ps1q

φ´1psq

››pγN ˝ φq1ptq››dt

“ż φ´1ps1q

φ´1psq

››γ1ptq››dt

“ż φ´1ps1q

0

››γ1ptq›› dt´ż φ´1psq

0

››γ1ptq›› dt“ φ

`φ´1ps1q˘´ φ`φ´1psq˘

“ s1 ´ s,

(19.121)

ce qui prouve que la paramétrisation pJ, γN q est normale.

Nous retenons que la paramétrisation normale de γ est donnée par pJ, γN q avec J “ r0, lpγqs et

γN psq “ pγ ˝ φ´1qpsq (19.122)

oùφ : I Ñ R`

t ÞÑż t

aγ1puqdu. (19.123)

Notons aussi que φ est une fonction croissante, étant l’intégrale d’une fonction positive.

Exemple 19.44Trouvons les coordonnées normales pour la cycloïde donnée par

"xptq “ apt´ sinptqq, (19.124a)yptq “ ap1´ cosptqq (19.124b)

et t P s0, 2πr. Relire l’exemple 19.29.

2. Pour obtenir cette formule, dérivez les deux membres de l’équation φ`φ´1

psq˘“ s.

1146 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

D’abord nous trouvons φ avec la formule (19.123) avec a “ 0. En utilisant le bout de calcul(19.87), nous avons

φptq “ 2aż t

0sin u2du “ 4a

ˆ1´ cos t2

˙. (19.125)

Pour trouver φ´1psq, nous résolvons l’équations “ φ

`φ´1psq˘ (19.126)

par rapport à φ´1psq. Dans un premier temps, nous trouvons

1´ s

4a “ cos φ´1psq

2 , (19.127)

donc φ´1psq2 “ arccosp4a´s

4a q, et finalement

φ´1psq “ 2 arccosˆ

4a´ s4a

˙. (19.128)

Il nous reste à injecter cela dans les expressions de xptq et yptq pour trouver pγN qxpsq et pγN qypsq.D’abord,

pγN qxpsq “ a“φ´1psq ´ sin

`φ´1psq˘‰. (19.129)

Nous utilisons maintenant la formule trigonométrique sinpxq “ 2 sin x2 cos x2 afin de simplifier les

expression :

pγN qx “ a”2 arccos

ˆ4a´ s

4a

˙´ 2 sin

`arccos

ˆ4a´ s

4a

˙˘cos

`arccos

ˆ4a´ s

4a

˙˘ı

“ a”2 arccos

ˆ4a´ s

4a

˙´ 4a´ s

2a

d1´

ˆ4a´ s

4a

˙2ı

“ 2a arccosˆ

4a´ s4a

˙´a

8as´ s2 4a´ s8a

(19.130)

où nous avons utilisé la formule sin`

arccospxq˘ “ ?1´ x2. Ensuite, pour obtenir pγN qy nous

devons calculerpγN qypsq “ a

“1´ cos

`φ´1psq˘‰. (19.131)

Encore une fois, il est intéressant d’exprimer le cosinus en termes des angles divisés par deux :cospxq “ cos2 x

2 ´ sin2 x2 .

pγN qy “ a”1´ cos2 φ

´1psq2 ` sin2 φ

´1psq2

ı

“ a”2´ 2 cos2 φ

´1psq2

ı

“ 2a”1´

ˆ4a´ s

4a

˙2 ı.

(19.132)

Dans cette paramétrisation, s P s0, 8ar. 4

Exemple 19.45La cardioïde ρpθq “ a

`1` cospθq˘ avec θ entre ´π et π. Avant d’utiliser la formule (19.123), nous

devons trouver l’élément de longueur de la cardioïde. Étant donné la façon dont l’équation de lacardioïde nous est donnée, l’élément de longueur est donné par 3 (19.80) :

γ1puq2 “ a2 sin2puq ` a2p1` cospuqq2“ 2a2`1` cospuq˘, (19.133)

3. Nous vous déconseillons d’étudier cette formule par cœur. Sachez cependant la retrouver assez vite.

19.7. ARC GÉOMÉTRIQUE 1147

et par conséquent 4

φptq “ż t

0

b2a2

`1` cospuq˘du

“ż t

0

c2a2

´1` cos2 u

2 ´ sin2 u

2

¯du

“ 2aż t

0cos u2du

“ 4a sin t

2 .

(19.134)

Pour trouver l’inverse, nous résolvons φ`φ´1psq˘ “ s par rapport à φ´1psq :

4a sinˆφ´1psq

2

˙“ s,

φ´1psq “ 2 arcsin´ s

4a

¯.

(19.135)

Avant d’écrire trop brutalement γN psq “ pγ ˝φ´1qpsq, il faut comprendre comment est γ. Nousavons reçu la courbe sous forme polaire, c’est à dire

γptq “ `γrptq, γθptq

˘ “´a`1` cosptq˘, t

¯. (19.136)

C’est comme cela qu’il faut comprendre la donnée ρpθq “ a`1 ` cospθq˘. Maintenant la formule

γN psq “ pγ ˝ φ´1qpsq devient#pγN qrpsq “ γr

`φ´1psq˘ (19.137a)

pγN qθpsq “ γθ`φ´1psq˘. (19.137b)

Étant donné que γθptq “ t, la seconde est facile :

pγN qθpsq “ 2 arcsin´ s

4a

¯. (19.138)

Pour la première,

pγN qrpsq “ a“1` cos

`2 arcsin s

4a˘‰ “ 16a2 ´ s2

8a . (19.139)

Nous écrivons donc le nouveau paramétrage en coordonnées polaires sous la formeˆ

16a2 ´ s2

8a , 2 arcsin s

4a

˙. (19.140)

La question qui arrive maintenant est de savoir quel intervalle parcours la nouvelle variable s.D’après le résultat de l’exemple 19.89, la longueur de la cardioïde est de 8a et nous avons doncs P r0, 8as. Cependant, la condition d’existence de arcsin nous interdit d’avoir s plus grand que 4aen valeur absolue. Où est le problème ?

Le problème est que nous avons changé l’origine de notre paramètre en donnant φptq commeune intégrale à partir de 0 au lieu de ´π. Cela se voit en regardant de quel point nous partons : ens “ 0 nous sommes sur le point p2a, 0q tandis qu’avec le paramètre original, c’est à dire θ P r´π, πs,nous avons pour θ “ ´π le point p0,´πq.

Il se passe donc que si nous commençons à parcourir la cardioïde avec s “ 0, nous partons dumilieu, et nous ne parcourons donc pas tout. Étant donné que le «premier» point de la cardioïdeest le point p0,´πq, le paramètre s commence en s “ ´4a, et nous avons comme intervalle :

s P r´4a, 4as, (19.141)

ce qui est en accord avec la conditions d’existence. 4

Quel enseignement tirer de cet exemple ? Lorsqu’on calcule φptq pour trouver les coordonnéesnormales, il y a deux solutions.

4. L’utilisation stricte de la formule (19.123) demanderait d’intégrer à partir de ´π. Pour plus de simplicité, nousintégrons à partir de zéro, et nous verrons plus tard comment adapter l’intervalle du nouveau paramètre.

1148 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

(1) Utiliser strictement la formule φptq “ şta γ1puqdu, en prenant bien comme borne de départ

le point de départ de la paramétrisation de γ. À ce moment la coordonnée normale construiteaura r0, lpγqs comme intervalle de variation.

(2) Faire commencer l’intervalle d’intégration en zéro (ou ailleurs). Un bon choix peut sim-plifier quelque calculs, mais alors il faudra bien choisir la valeur de départ de la nouvellecoordonnées pour que le «premier» point de la courbe soit correct. Dans ce cas, la longueurde l’intervalle sera quand même lpγq. Il n’y a donc pas de problèmes pour trouver la valeurdu bout de l’intervalle de variation du paramètre normal.

Dans tous les cas, il faut bien préciser l’intervalle de variation du paramètre lorsqu’on donne unecourbe paramétrée.

19.7.2 Tangente à une courbe paramétrée

Définition 19.46.Soit pI, γq un arc paramétré de classe Ck avec k ě 1. Nous disons que la courbe admet une tangenteen γpt0q P Rn lorsque les deux conditions suivantes sont remplies

(1) γptq ‰ γpt0q pour tout t dans un voisinage de t0 ;(2) la direction de la droite qui passe par γptq et γpt0q admet une limite lorsque tÑ t0.

Dans ce cas, la tangente sera la droite passant par le point γpt0q et dont la direction est donnéepar la limite.

Dans cette définition, par direction d’une droite, nous entendons le vecteur de norme 1 pa-rallèle à celle-ci sans tenir compte du signe. La tangente sera donc la droite passant par γpt0q etparallèle au vecteur

limtÑt0

γptq ´ γpt0qγptq ´ γpt0q . (19.142)

Évidement si nous avions écrit γpt0q ´ γptq, ça n’aurait pas changé la droite. Par abus de langage,nous parlerons souvent de «la direction u» même lorsque u n’est pas de norme 1.

Formellement, une direction est une classe d’équivalence de vecteurs pour la relation u „ v s’ilexiste λ ‰ 0 tel que u “ λv, mais nous n’aurons pas besoin de cette précision ici.

Sans surprises, la tangente est à peu près toujours donnée par la dérivée lorsqu’elle existe. Plusprécisément nous avons le

Théorème 19.47.Soit pI, γq, un arc paramétré de classe Ck (k ě 1) et t0 P I tel que

γ1pt0q “ γ2pt0q “ . . . “ γpq´1qpt0q “ 0 (19.143)

etγpqqpt0q ‰ 0 (19.144)

pour un entier 1 ď q ď k. Alors γ admet une tangente en γpt0q de direction γpqqpt0q.Démonstration. Le développement de γpt0q en série de Taylor autour de t jusqu’à l’ordre q est

γptq “ γpt0q ` γ1pt0q|t´ t0| ` γ1tpt0q2 |t´ t0|2 ` ¨ ¨ ¨ ` γpqqpt0q

q! |t´ t0|q

` εptq|t´ t0|q(19.145)

où ε est une application ε : R Ñ Rn telle que limtÑt0 εptq “ 0. En utilisant les hypothèses, nouséliminons la majorité des termes dans le développement (19.145) :

γptq ´ γpt0q “ 1q!γ

pqqpt0q|t´ t0|q ` εptq|t´ t0|q. (19.146)

19.7. ARC GÉOMÉTRIQUE 1149

La direction de la droite qui joint γptq à γpt0q est donc donnée par

γptq ´ γpt0qγptq ´ γpt0q “

1q!γ

pqqpt0q|t´ t0|q ` εptq|t´ t0|q 1q!γ

pqqpt0q|t´ t0|q ` εptq|t´ t0|q (19.147)

et la limite lorsque tÑ t0 donne γpqqpt0q comme direction de la tangente.

Lorsque le théorème s’applique, le vecteur

τ “ γpqqpt0qγpqqpt0q (19.148)

est appelé le vecteur unitaire tangent en γpt0q à l’arc paramétré γ.

Corollaire 19.48.Si pI, γq est un arc paramétré de classe C1 régulier (c’est à dire γ1ptq ‰ 0 pour tout t) alors l’arcadmet une tangente en tout point et le vecteur unitaire de la tangente est donné par

τptq “ γ1ptqγ1ptq , (19.149)

pour tout t dans I.

Corollaire 19.49.Si γ “ pJ, γN q est un arc paramétré de classe C1, normal, alors le vecteur unitaire de la tangenteau point γN psq est donné par τpsq “ γ1N psq.Démonstration. Nous devons démontrer que dans le cas d’une paramétrisation normale nous avonsγ1N psq “ 1 pour tout s. Par définition,

l`rs, s1s, g˘ “

ż s1

sγ1N puqdu “ s1 ´ s. (19.150)

Par conséquent,

limhÑ0

1h

ż s`h

sγ1N puqdu “ lim

yÑ0

s` h´ sh

“ 1. (19.151)

Cela implique que γ1N psq “ 1, et donc en particulier que pJ, γN q est un arc régulier. Le corollaireprécédent montre alors que τpsq “ γ1N psqγ1N psq “ γ1N psq.

Exemple 19.50Considérons la courbe γptq “ pt2, t3q, et cherchons la tangente en t0 “ 0. En dérivant nous avonssuccessivement

γptq “ pt2, t3qγ1ptq “ p2t, 3t2qγ2ptq “ p2, 6tq.

(19.152)

En posant t “ 0, nous trouvons que γ1p0q “ 0 mais γ2p0q “ p2, 0q ‰ 0. Le théorème nous dit doncque la direction de la tangente est horizontale. Nous pouvons faire le calcul directement :

γptq ´ γpt0qγptq ´ γpt0q “

pt2, t3q?t4 ` t6 “

pt2, t3qt2?

1` t2 “p1, tq?1` t2 , (19.153)

dont la limite tÑ 0 est bien le vecteur horizontal p1, 0q.La figure 19.7 montre quelque tangente, c’est à dire quelques vecteurs dans la direction γ1ptq

(pour les t ‰ 0, il ne faut pas aller à la dérivée seconde). Nous remarquons que de part et d’autresdu sommet, les vecteurs ne sont pas dirigés dans le même sens. En tant que vecteurs de norme 1,

1150 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

´1 1 2 3

´3

´2

´1

1

2

3

Figure 19.7 – Quelques tangentes de la courbe γptq “ pt2, t3q.

ces vecteurs n’ont pas de limites quand tÑ 0. Ce sont bien les directions qui ont une limite, parceque la direction ne tient pas compte du sens.

4

19.8 Repère de FrenetDans cette section, nous ne considérons que des courbes dans R3.

Proposition 19.51.Soit γ “ pJ, γN q un arc paramétré normal de classe C2. Alors pour toute valeur de s dans J , nousavons

τpsq· τ 1psq “ 0 (19.154)

où τpsq “ γ1N psq. C’est à dire que la dérivée seconde est perpendiculaire à la dérivée première.

Démonstration. La paramétrisation étant normale, nous avons

γ1N psq2 “nÿ

i“1x1ipsq2 “ 1; (19.155)

ce qui implique, en dérivant les deux membres, que

0 “ 2nÿ

i“1x1ipsqx2i psq, (19.156)

c’est à dire exactement γ1N psq· γ2N psq “ 0 ; d’où la thèse.

Remarque 19.52.Si nous n’utilisons pas des coordonnées normales, la proposition 19.51 n’est pas spécialement vraie.Prenons par exemple la courbe qui donne la parabole :

γptq “ pt, t2q (19.157a)γ1ptq “ p1, 2tq (19.157b)γ2ptq “ p0, 2q (19.157c)

19.8. REPÈRE DE FRENET 1151

Nous avons γ1ptq· γ2ptq “ 4t. Par conséquent, la dérivée seconde n’est la normale à la courbe queen t “ 0. Cela est une propriété très intéressante des coordonnées normales : la dérivée seconded’une coordonnées normale donne un vecteur normal à la courbe, c’est à dire perpendiculaire à latangente.

Définition 19.53.Soit γ “ pJ, γN q un arc paramétré normal de classe C2.

(1) Le vecteur unitaire tangent est donné par le corollaire 19.48 : τptq “ γ1ptqγ1ptq.(2) La normale principale est le vecteur τ 1psq. Le vecteur unitaire normal est le vecteur

νpsq “ τ 1psqτ 1psq “

γ2N psqγ2N psq

. (19.158)

Nous déduirons une formule plus pratique en dehors des coordonnées normales en (19.186).(3) La courbure au point γN psq est le réel

cpsq “ τ 1psq “ γ2N psq. (19.159)Note : il y a une notion de courbure signée qui sera donnée dans la définition 19.67.

(4) Le rayon de courbure est le réel

Rpsq “ 1cpsq “

1γ2N psq

. (19.160)

Par la proposition 19.51, nous avons νpsq· τpsq “ 0. En combinant toutes les formules, nousavons les différentes expressions suivantes pour le vecteur normal unitaire :

νpsq “ γ2N psqcpsq “ τ 1psq

τ 1psq “τ 1psqcpsq “ Rpsqτ 1psq “ Rpsqγ2N psq. (19.161)

Proposition 19.54.La fonction courbure s’écrit c “ γ1N ˆ γ2N.Démonstration. Par le point (4) de la proposition 9.54, nous avons

xγ1N , γ2Ny2 ` γ1N ˆ γ2N2 “ γ1N2γ2N2 “ γ2N2 (19.162)parce que, la paramétrisation étant normale, γ1N “ 1. Mais xγ1N , γ2Ny “ 0, donc il reste γ1N ˆγ2N2 “ γ2N2, d’où

cpsq “ γ2N psq “ γ1N psq ˆ γ2N psq (19.163)pour chaque s dans J .

Définition 19.55.Soit s un point birégulier (c’est à dire γ1N psq ‰ 0 et γ2N psq ‰ 0) de l’arc normal γ “ pJ, γN q. Levecteur unitaire de la binormale est le vecteur

βpsq “ τpsq ˆ νpsq (19.164)Par leurs définitions, τ et ν sont unitaires, tandis que la proposition 19.51 montre qu’ils sont

également orthogonaux. Les propriétés du produit vectoriel font que β est également unitaire, etsimultanément orthogonal à τ et à ν.

Définition 19.56.Le repère orthonormal tγN psq, τpsq, βpsqu est le repère de Frenet au point γN psq.Lemme 19.57.Le vecteur unitaire normal est donné par νpsq “ βpsq ˆ τpsq.Démonstration. Ceci est une application de la formule d’expulsion (9.163) et de l’orthonormalitéde la base de Frenet :

β ˆ τ “ pτ ˆ νq ˆ τ “ ´pν· τqτ ` pτ · τqν “ ν. (19.165)

1152 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

19.8.1 Torsion

Décomposons le vecteur β1psq dans la base de Frenet. Pour cela nous allons utiliser la proposition9.264 et montrer que β1psq· τpsq “ β1psq·βpsq “ 0, ce qui voudra dire que, dans la base de Frenet,les composantes de β1 le long de τ et β sont nulles. Le vecteur β1 sera donc colinéaire à ν.

D’abord, étant donné que la norme de βpsq est constante par rapport à s, nous avons

0 “ d

dsβpsq2 “ 2β1psq·βpsq. (19.166)

Ensuite, nous dérivons la définition βpsq “ τpsq ˆ νpsq en utilisant la formule de Leibnitz (9.162) :

β1psq “ τ 1psq ˆ νpsq ` τpsq ˆ ν 1psq. (19.167)

Mais τ 1psq “ γ2N psq tandis que νpsq “ γ2N psqγ2N psq , de telle sorte que τ 1psq ˆ νpsq “ 0. Nous restonsdonc avec β1psq “ τpsq ˆ ν 1psq, ce qui prouve que β1psq est perpendiculaire à τpsq et donc queβ1psq· τpsq “ 0.

Le vecteur β1psq est donc un multiple de νpsq. Nous notons tpsq le facteur de proportionnalité :

β1psq “ tpsqνpsq. (19.168)

Définition 19.58.Soit γ “ pJ, γN q un arc paramétré normal de classe C3. La torsion de γ au point γN psq est le réel

tpsq “ β1psq “ τpsq ˆ ν 1psq. (19.169)

Lorsque tpsq ‰ 0, le réel T psq “ 1tpsq est le rayon de torsion de γ en γN psq.

Étant donné que pour chaque s, l’ensemble tτpsq, νpsq, βpsqu est une base, il est naturel devouloir décomposer leurs dérivées dans cette base. D’abord, par définition de c et de t, nous avons

τ 1psq “ cpsqνpsqβ1psq “ tpsqνpsq. (19.170)

Il reste à décomposer ν 1psq. Définissons ατ , αν et αβ (qui peuvent dépendre de s) par

ν 1psq “ αττpsq ` αννpsq ` αββpsq. (19.171)

En vertu de la proposition 9.264, nous avons

ατ “ xν 1psq, τpsqy “ ´xνpsq, τ 1psqy “ ´xνpsq, cpsqνpsqy “ ´cpsq,αν “ xν 1psq, νpsqy “ 0,αβ “ xν 1psq, βpsqy “ ´xνpsq, β1psqy “ ´tpsq,

(19.172)

où nous avons utilisé le fait que xνpsq, νpsqy “ νpsq2 “ 1. Si nous mettons ces résultats sousforme matricielle, nous avons les formules de Frenet :

¨˝τ 1psqν 1psqβ1psq

˛‚“

¨˝

0 cpsq 0´cpsq 0 ´tpsq

0 tpsq 0

˛‚¨˝τpsqνpsqβpsq

˛‚. (19.173)

Proposition 19.59.Si s est un point birégulier, alors la torsion est donnée par

tpsq “ ´ pγ1N ˆ γ2N q ˆ γ3N

γ1N psq ˆ γ2N psq2. (19.174)

19.9. HORS DES COORDONNÉES NORMALES 1153

Démonstration. Par l’équation (19.161), nous avons γ2N psq “ c1psqνpsq, et par conséquentγ3N psq “ c1psqνpsq ` cpsqν 1psq “ c1psqνpsq ` cpsq“´ cpsqτpsq ´ tpsqβpsq‰, (19.175)

où nous avons utilisé la formule de Frenet pour ν 1psq. Par ailleurs, sachant le corollaire 19.49 et laformule de Frenet pour τ 1, nous avons

γ1N ˆ γ2N “ τpsq ˆ τ 1psq “ τpsq ˆ cpsqνpsq “ cpsqβpsq. (19.176)

En combinant les deux dernières équations, et en se souvenant que la base de Frenet et orthonor-male,

pγ1N ˆ γ2N q· γ3N psq “ ´cpsq2tpsq, (19.177)

et donc, en remplaçant cpsq par la formule (19.163),

tpsq “ ´pγ1N ˆ γ2N q· γ3Nγ1N ˆ γ2N2

. (19.178)

19.9 Hors des coordonnées normales

Remarque 19.60.Notons que la définition de τ est donnée pour tout arc C1 régulier pI, γq par τptq “ γ1ptqγ1ptq. Lapropriété τ “ γ1N n’est valable que lorsque la paramétrisation est normale. Les autres définitionsont toutes été données dans le cas d’une paramétrisation normale.

La remarque 19.60 nous incite à exprimer toute la base de Frenet en terme de γ lorsque laparamétrisation n’est pas normale. Étant donné que nous pouvons toujours faire le changement devariable γptq “ γN

`φptq˘ (proposition 19.43), il est possible d’exprimer les vecteurs τ , ν et β ainsi

que les réels c et t en fonction de γ et de ses dérivées.Nous allons maintenant travailler à écrire les formules.Pour plus de facilité, nous collectons les définitions. Afin d’alléger la notation, nous n’exprimons

pas explicitement les dépendances en s :Vecteur unitaire tangent Par le corollaire 19.49, τ est donné par τ “ γ1N .Vecteur unitaire normal Par la définition 19.53, ν est donné par ν “ τ 1

τ 1 .Vecteur unitaire de la binormale Par la définition 19.53, β est donné par β “ τ ˆ ν.Courbure Par la définition 19.53, c est donné par c “ τ 1.Torsion Par la définition 19.58, t est donné par t “ β1.Le schéma du changement de variable est

t P I f //

φ

R3

s P Jg

<< (19.179)

La difficulté ne sera pas d’éliminer γN de toutes les formule, mais bien de se débarrasser desfonctions φ qui arrivent quand nous exprimons γN en termes de γ, et en particulier lorsque nousvoulons exprimer les dérivées de γN en termes de γ et de ses dérivées.

Regardons d’abord comment les dérivées de γN s’expriment en termes de γ. En utilisant le faitque γN psq “ pγ ˝ φ´1qpsq et que γ1N psq “ 1, nous avons

γ1N psq “γ1N psqγ1N psq

“ pγ ˝ φ´1q1psqpγ ˝ φ´1q1psq “

γ1`φ´1psq˘pφ´1q1psq

γ1`φ´1psq˘|pφ´1q1psq| “γ1ptqγ1ptq (19.180)

1154 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

où nous avons utilisé le fait que φ´1 étant croissante (parce que l’inverse d’une fonction croissanteest croissante), pφ´1q1psq “ |pφ´1q1psq|. Pourquoi écrivons nous |φ´1psq| et non φ´1psq ?

Pour la dérivée seconde, nous dérivons la relation (19.180) :

γ2N psq “γ2`φ´1psq˘pφ´1q1psqγ1`φ´1psq˘ ` γ1`φ´1psq˘ d

ds

”γ1`φ´1psq˘

ı. (19.181)

Le petit calcul suivant va nous permettre de simplifier cette expression :

pφ´1q1psq “ pφ´1q1`φptq˘ “ 1φ1ptq “

1γ1ptq . (19.182)

Doncγ2N psq “

γ2ptqγ1ptq2 ` γ

1ptq dds

”γ1ptq

ı(19.183)

où il est entendu que t “ φ´1psq. Avec cette expression, nous ne nous sommes pas encore débarrassésde la fonction φ, mais nous allons voir que cela nous sera suffisant.

Pour le vecteur unitaire tangent τpsq, nous avons donc immédiatement

τpsq “ γ1N psq “γ1ptqγ1ptq . (19.184)

Ici encore il est sous-entendu que le t dans le membre de droite est lié au s du membre de gauchepar t “ φ´1psq. Il est donc naturel de nous demander si nous avons gagné quelque chose, étantdonné que la formule (19.184) contient encore la fonction φ.

Géométriquement, le vecteur τpsq est le vecteur normal unitaire de la courbe au point γN psq.En utilisant les relations du diagramme (19.179), nous avons en réalité γN psq “ γN

`φptq˘ “ γptq.

Le vecteur γ1ptqγ1ptq représente donc le vecteur normal tangent au point γptq.

Pour calculer la courbure, nous devons d’abord calculer le produit vectoriel

γ1N psq ˆ γ2N psq “γ1ptqγ1ptq ˆ

ˆγ2ptqγ1ptq2 ` γ

1ptq dds

”γ1ptq

ı˙

“ γ1ptq ˆ γ2ptqγ1ptq3

(19.185)

parce que le deuxième terme dans la parenthèse est un multiple de γ1ptq, de telle sorte à ce queson produit vectoriel avec γ1ptqγ1ptq soit nul. En prenant la norme,

cpsq “ γ1ptq ˆ γ2ptqγ1ptq3 . (19.186)

Encore une fois, cette équation nous enseigne que la courbure au point γptq P R3 est donnée parle membre de droite, qui ne dépend que de t.

Le vecteur unitaire binormal est donné par βpsq “ τpsqˆνpsq. En utilisant (19.184) et (19.161),

βpsq “ τpsq ˆ νpsq “ γ1N psq ˆγ2N psqcpsq . (19.187)

Les formules (19.185) pour le produit vectoriel et (19.186) pour la courbure donnent ensuite

βpsq “ γ1ptq ˆ γ2ptqγ1ptq3 · 1

cpsq “γ1ptq ˆ γ2ptqγ1ptq ˆ γ2ptq . (19.188)

Cela donne le vecteur unitaire binormal au point γptq en terme de γ1ptq et γ2ptq.

19.9. HORS DES COORDONNÉES NORMALES 1155

La torsion demande d’utiliser la dérivée troisième de γN . Nous avons

γ3N psq “ pγ ˝ φ´1q3psq“

´γ1`φ´1psq˘pφ´1q1psq

¯2

“´γ2`φ´1psq˘pφ´1q1psq2 ` γ1`φ´1psq˘pφ´1q2psq

¯1

“ γ3`φ´1psq˘pφ´1q1psq3 ` v

“ γ3`φ´1psq˘γ1ptq3 ` v par (19.182)

(19.189)

où v est un élément de xγ2`φ´1psq˘, γ1`φ´1psq˘y. Le vecteur v est donc perpendiculaire à γ1ˆγ2 etdonc à γ1N ˆ γ2N à cause de la relation (19.185) qui montre que γ1ˆ γ2 est parallèle à γ1N ˆ γ2N . Dece fait, lorsque nous calculons pγ1N ˆ γ2N q· γ3N , la partie v de γ3N n’entre pas en ligne de compte.

Nous avons donc le calcul suivant, en remplaçant les diverses occurrences de γ1N ˆ γ2N par savaleur (19.185) en termes de γ,

tpsq “ ´pγ1N ˆ γ2N q· γ3Nγ1N ˆ γ2N2

“ ´ pγ1N ˆ γ2N q· γ3ptq

γ1N ˆ γ2N2 γ1ptq2

“ ´pγ1 ˆ γ2q· γ3

γ1 ˆ γ22 .

(19.190)

Dans cette expression, il est sous-entendu que tous les γN sont fonctions de s et tous les γ sontfonction de t où s et t sont liés par s “ φptq.

Ce que nous avons prouvé est le

Théorème 19.61.Pour tout représentant pI, γq, les éléments métriques pτ, ν, β, c, tq au point γptq s’expriment enfonction de γptq, γ1ptq, γ2ptq et γ3ptq.Lemme 19.62.Si γ est le graphe de la fonction y alors la courbure de γ est donnée par la formule

c`γptq˘ “ |y2ptq|

`1` y1ptq2˘32 (19.191)

Démonstration. Nous avons :

γptq “ `t, yptq˘ (19.192a)

γ1ptq “ `1, y1ptq˘ (19.192b)

γ2ptq “ `0, y2ptq˘. (19.192c)

Il s’agit maintenant seulement d’utiliser la formule (19.186) en se souvenant comment on calculeun produit vectoriel 5 :

γ1 ˆ γ2 “∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e31 y1 00 y2 0

∣∣∣∣∣∣∣ “ y2. (19.193)

5. Définition 9.52.

1156 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

19.10 Tracer des courbes paramétriques dans R2

Nous allons maintenant voir comment les concepts introduits nous aident à effectivement tracerdes courbes dans le plan. Les courbes que nous regardons sont de la forme γptq “ `

xptq, yptq˘, etnous supposons que ces fonctions soient suffisamment régulières (disons trois fois continument déri-vables). Nous ne supposons pas que la courbe soit donnée en coordonnées normales, en particulier,γ2ptq n’est pas le vecteur normal en γptq.

La notion clef qui va jouer est le cercle osculateur de la courbe γ au point γptq. Sans rentrerdans les détails, disons que c’est le cercle qui «colle» le mieux possible la courbe. Le rayon de cecercle est le rayon de courbure :

Rptq “ γptq3γ1ptq ˆ γ2ptq . (19.194)

En pratique, le produit vectoriel se calcule comme ceci :

γ1ptq ˆ γ2ptq “∣∣∣∣∣∣∣ex ey ezx1ptq y1ptq 0x2ptq y2ptq 0

∣∣∣∣∣∣∣ “ px1y2 ´ x2y1qez. (19.195)

Le centre du cercle osculateur va se trouver quelque part sur la normale. Le vecteur normal estdonné par

nptq “ Jγ1ptqγ1ptq (19.196)

où J est la rotation d’angle π2 :

J

ˆx1ptqy1ptq

˙“

ˆ0 1´1 0

˙ˆx1ptqy1ptq

˙“

ˆy1ptq´x1ptq

˙. (19.197)

Cela nous laisse deux possibilités pour le centre du cercle osculateur : γptq ` Rptqnptq ou bienγptq ´ Rptqnptq. Il faut savoir de quel côté de la courbe est situé le centre du cercle osculateur. Ilfaut choisir le côté de la concavité, c’est à dire le côté de la dérivée seconde.

γ1ptqγ2ptq

nptq´nptq

‚P

Figure 19.8 – De quel coté de γ1ptq se trouvent nptq et ´nptq ?

La difficulté maintenant est de savoir qui de nptq ou ´nptq est du côté de γ2ptq. Il faut savoir sinptq est du même côté de la droite tangente que γ2ptq ou non. Par construction, si nous regardonsla figure 19.8, le vecteur nptq sera toujours à gauche de γ1ptq. Le fait que γ2ptq soit à gauche ou àdroite de γ1ptq est donné par le signe du produit vectoriel γ1ptq ˆ γ2ptq. Si ce produit vectoriel estpositif, il faut choisir ´nptq et s’il est négatif, il faut choisir n1ptq.

Le truc pour obtenir le signe de x1y2 ´ x2y1 est de faire

pγ1 ˆ γ2q· ezγ1 ˆ γ2 . (19.198)

Le centre de courbure sera donc situé à la position

Ωptq “ γptq ´ nptq γptq3γ1ptq ˆ γ2ptq2 pγ

1 ˆ γ2q· ez (19.199)

19.11. COURBES PLANES 1157

Nous pouvons écrire cela plus explicitement en nous souvenant que γ1 ˆ γ2 “ px1y2 ´ x2y1qez, parconséquent pγ

1ˆγ2q· ezγ1ˆγ22 “ 1

x1y2´x2y1 . Nous avons

Ωxptq “ xptq ´ y1ptq x12 ` y12x1y2 ´ x2y1 (19.200a)

Ωyptq “ yptq ` x1ptq x12 ` y12x1y2 ´ x2y1 . (19.200b)

Quelques exemples de cercles osculateurs sont sur la figure 19.9.

‚‚ ‚‚

‚‚

Figure 19.9 – Exemple de cercles osculateurs.

19.11 Courbes planesDéfinition 19.63.Une courbe γ : ra, bs Ñ Rn est fermée si γpaq “ γpbq. Elle est simple si γptq ‰ γpt1q dès quet, t1 P sa, br et t ‰ t1.

Définition 19.64.Nous disons qu’une courbe fermée est continue, de classe C1, de classe C2 ou autre condition derégularité si son extension périodique comme application γ : RÑ R2 a cette régularité.

19.11.1 Angle

Lemme 19.65 ([198]).Soient des courbes régulières γ et σ de classe C2 de l’intervalle ouvert I vers R2. Soit θ0 P R telque

γ1pt0q·σ1pt0qγ1pt0qσ1pt0q “ cospθ0q (19.201a)

γ1pt0q· Jσ1pt0qγ1pt0qσ1pt0q “ cospθ0q. (19.201b)

Alors il existe une unique fonction différentiable θ : I Ñ R

γ1ptq·σ1ptqγ1ptqσ1ptq “ cos

`θptq˘ (19.202a)

γ1ptq· Jσ1ptqγ1ptqσ1ptq “ sin

`θptq˘. (19.202b)

Démonstration. Il suffit de prendre

fptq “ γ1ptq·σ1ptqγ1ptqσ1ptq (19.203)

1158 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

etgptq “ γ1ptq· Jσ1ptq

γ1ptqσ1ptq (19.204)

dans la proposition 16.34. Ces courbes sont de classe C1 parce que γ et σ sont de classe C2.

19.11.2 Courbure signée

Nous avons déjà défini la courbure d’une courbe en la définition 19.53. Nous introduisonsmaintenant la courbure signée qui est propre à la dimension deux.

Définition 19.66.La structure complexe sur R2 est l’application

J : R2 Ñ R2

px, yq ÞÑ p´y, xq. (19.205)

Définition 19.67.La courbure signée de la courbe γ : I Ñ R2 (I est un intervalle dans R) est la fonction

κptq “ γ2ptq· Jγ1ptqγ1ptq3 (19.206)

où J est la structure complexe de la définition 19.66.

Cette définition est motivée par le fait qu’en identifiant R2 à C, l’application J revient àl’application z ÞÑ iz.

Si v, w P R2 nous avons formellement

v ˆ w “ ´pv· Jwqe3. (19.207)

En particulier pour tout v P R2 nous avons

v· Jv “ 0. (19.208)

Lemme 19.68.Soir une courbe régulière γ : ra, bs Ñ R2 et un difféomorphisme h : rc, ds Ñ ra, bs. Si nous posonsσ “ γ ˝ h alors

κσpuq “ sgn`h1puq˘κγ

`hpuq˘. (19.209)

Démonstration. Nous utilisons la définition (19.206) de la courbure signée. La règle de dérivationen chaîne donne :

σ1puq “ γ1`hpuq˘h1puq (19.210a)

σ2puq “ γ2`hpuq˘h1puq2 ` γ1`hpuq˘h2puq. (19.210b)

La numérateur de κσpuq est :pγ2 ˝ hqh12 · Jpγ1 ˝ hqh1 ` h2pγ1 ˝ hq· Jpγ1·hqh1 (19.211)

dont le second terme est nul parce que v· Jv “ 0. Il nous reste donc

κσpuq “ ph1q3

|h1|3pγ2 ˝ hq· Jpγ1 ˝ hq

γ1 ˝ h3 “ sgnph1qκγ`hpuq˘. (19.212)

Lemme 19.69 ([198]).Si γN est un arc paramétré normal, alors

γ2N psq “ κpsqJγ1N psq. (19.213)

19.11. COURBES PLANES 1159

Démonstration. Vu que la paramétrisation est normale, γ1N · γ1N “ 1, et en dérivant, γ2N · γ1N “ 0.Donc γ2N est un multiple de Jγ1. En tenant compte du fait que la paramétrisation est normale, lacourbure est

κpsq “ γ2N psq· Jγ1psq. (19.214)

En y injectant γ2psq “ λpsqJγ1psq nous trouvons

κpsq “ λpsqJγ1psq· Jγ1psq “ λpsq. (19.215)

Donc le facteur de proportionnalité est κpsq.Théorème 19.70.Soit une courbe γ : I Ñ R2 de classe C2.

(1) γ est une partie de droite si et seulement si κptq “ 0 pour tout t.(2) γ est une partie d’un cercle de rayon r ą 0 si et seulement si |κpsq| “ 1

r .

Démonstration. Si γ est une droite, la dérivée seconde est nulle et la courbure est nulle. Supposonspour la réciproque que κptq “ 0 pour tout t. Nous utilisant une paramétrisation normale de γ, cequi ne change pas que la courbure reste nulle. Nous avons par le lemme 19.69 que γ2psq “ 0 etdonc l’existence de a, b P R2 tels que γptq “ at` b.

Passons au cas du cercle. Si γ est un cercle, la paramétrisation normale est

γptq “ R

ˆcosp tRqsinp tRq

˙(19.216a)

γ1ptq “ˆ´ sinp tRq

cosp tRq˙

(19.216b)

γ2ptq “ ´ 1R

ˆcosp tRqsinp tRq

˙. (19.216c)

Avec tout cela nous avons κpsq “ γ2psq· Jγ1psq “ 1R .

Nous supposons enfin que κptq “ 1R et que le paramétrage soit normal (encore une fois, unreparamétrage ne change pas la courbure lorsqu’elle est constante). Nous définissons la courbe

β : rb, cs Ñ R2

t ÞÑ γptq ` rJγ1ptq. (19.217)

Nous avons β1ptq “ γ1ptq ` rJγ2ptq. Mais par le lemme 19.69 nous avons γ2 “ kJγ1 “ 1rJγ

1. Donc

β1ptq “ γ1ptq ´ γ1ptq “ 0. (19.218)

Du coup β est constante : βptq “ a. Alors a “ γptq ` rJγ1ptq et en particulier

γptq ´ a “ rJγ1ptq “ r. (19.219)

Donc effectivement γ reste sur un cercle de rayon r et de centre a.

Définition 19.71 ([198]).La courbure totale de la courbe γ : ra, bs Ñ R2 est le nombre

K “ż b

aκptqγ1ptqdt. (19.220)

Lemme 19.72.La courbure signée ne change pas sous reparamétrisation positive, et change de signe sous repara-métrisation négative.

1160 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Démonstration. Soit la courbe γ : ra, bs Ñ R2 et un difféomorphisme h : ra, bs Ñ rc, ds. Il s’agitd’intégrer la relation (19.209) en effectuant le changement de variables t “ hpuq :

Kγ “ż b

aκγptqγ1ptqdt (19.221a)

“ż d

cκγ

`hpuq˘loooomoooon

κσpuq

γ1`hpuq˘h1puqdu. (19.221b)

En utilisant le fait que σ1puq “ γ1`hpuq˘h1puq nous avons alors

Kγ “ż d

cκσpuq

››››σ1puqh1puq

››››h1puqdu (19.222a)

“ż d

cκσpuqσ1puq h

1puq|h1puq|du (19.222b)

“ sgnph1qKσ. (19.222c)

Lemme-définition 19.73 ([198]).Soit une courbe régulière γ : I Ñ R2 de classe C2 et t0 dans l’intérieur de I. Soit θ0 P R tel que

γ1pt0qγ1pt0q “

`cospθ0q, sinpθ0q

˘. (19.223)

Alors il existe une unique fonction différentiable θ : I Ñ R telle que θpt0q “ θ0 et

γ1ptqγ1ptq “

ˆcos

`θptq˘

sin`θptq˘

˙(19.224)

pour tout t P I.Cette fonction est l’angle de γ déterminé par θ0.

Démonstration. Soit βptq “ pt, 0q ; alors β1ptq “ p1, 0q et nous avons

γ1·β1 “ γ1x (19.225a)γ1· Jβ1 “ γ1y. (19.225b)

Par la proposition 19.65 il existe une unique fonction θ : I Ñ R telle que θpt0q “ θ0 et$’’&’’%

cos`θptq˘ “ γ1·β1

γ1β1 “γ1xγ1 (19.226a)

sin`θptq˘ “ γ1· Jβ1

γ1β1 “γ1yγ1 . (19.226b)

Une telle fonction est bien celle que l’on demande ici.

Lemme 19.74.Si γ est une courbe régulière de classe C2, alors sa courbure et son angle vérifient la relation

θ1ptq “ γ1ptqκptq. (19.227)

Démonstration. Par définition de l’angle (lemme 19.73) nous avons

γ1ptqγ1ptq “

`cos θptq, sin θptq˘. (19.228)

19.11. COURBES PLANES 1161

Dérivant cela,

γ2ptqγ1ptq ` γ

1ptq ddt

ˆ1

γ1ptq˙“ θ1ptq

ˆ´ sin`θptq˘

cos`θptq˘

˙(19.229a)

“ θ1ptqJˆ

cos`θptq˘

sin`θptq˘

˙(19.229b)

“ θ1ptq Jγ1ptq

γ1ptq . (19.229c)

Nous prenons le produit scalaire de cette égalité avec Jγ1 en tenant compte du fait que γ1· Jγ1 “ 0 :

γ2· Jγ1

γ1 “ θ1

γ1Jγ1· Jγ1. (19.230)

En remarquant que Jv· Jv “ v2 nous trouvons θ1γ1 “ γ12κγ et donc

θ1ptq “ γ1ptqκγptq, (19.231)

ce qu’il fallait prouver.

Ce lemme nous fournit la formule attendue pour la courbure totale.

Lemme 19.75 ([198]).Soit une courbe régulière de classe C2 γ : ra, bs Ñ R2. Sa courbure totale est donnée par

K “ θpbq ´ θpaq. (19.232)

Démonstration. Il suffit de remplacer dans la définition (19.220) de la courbure totale l’intégrantepar son expression du lemme 19.74 :

K “ż b

aκptqγ1ptqdt “

ż b

aθ1ptqdt “ θpbq ´ θpaq (19.233)

par le théorème 13.205.

19.11.3 Degré, indice et homotopie

Définition 19.76 ([198]).Le nombre de tours d’une courbe fermée de classe C1 γ : ra, bs Ñ R2 est le nombre

Turnpγq “ 12π

ż b

aκptqγ1ptqdt (19.234)

où κ est la courbure signée définie en 19.67.

Lemme-définition 19.77.Soit une application continue φ : S1 Ñ S1. Un relèvement de σ est une application ϕ : R Ñ R

une application continue telle que

φ`

cosptq, sinptq˘ “ˆ

cos`ϕptq˘

sin`ϕptq˘

˙. (19.235)

Le degré est l’entier degpφq tel que

ϕp2πq ´ ϕp0q “ 2 degpφqπ. (19.236)

Ce nombre ne dépend pas du choix du relèvement ϕ.

1162 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Démonstration. Soient ϕ1 et ϕ2, deux application qui satisfont les contraintes. Nous avons unefonction continue n : S1 Ñ R telle que

ϕ1ptq ´ ϕ2ptq “ 2πnptq. (19.237)

La fonction n ne pouvant prendre que des valeurs entières et étant continue, elle est constante. Parconséquent

ϕ1p2πq ´ ϕ1p0q “ ϕ2p2πq ´ ϕ2p0q, (19.238)

ce que nous voulions.

Définition 19.78.Soit une courbe fermée γ : r0, Ls Ñ R2 de classe C1. Nous posons

Φγptq “ γ1ptqγ1ptq (19.239)

où γpuq “ γ`L2πu

˘. L’indice de rotation de γ est le degré de Φγ, c’est à dire

Indpγq “ degpΦγq. (19.240)

Notons que dans cette définition, Φγ n’est rien d’autre que le vecteur unitaire tangent à γ,ramené à r0, 2πs.Proposition 19.79.Pour une courbe fermée de classe 6 C2, l’indice de rotation est égal au nombre de tours.

Démonstration. Soit γ : r0, Ls Ñ R2 une courbe vérifiant les hypothèses. Par définition, Indpγq “degpΦγq où

Φγptq “ γ1ptqγ1ptq “

ˆcos θptqsin θptq

˙(19.241)

où nous avons noté θ l’angle tournant 7 de γ et θ celui de γ. Vu que θ vérifie les hypothèses de ladéfinition 19.77 nous pouvons calculer le degré de Φγ par

degpΦγq “ 12π

`θp2πq ´ θp0q˘ “ 1

2π

ż 2π

0θ1psqds. (19.242)

Il faut trouver le lien entre θ et θ. Pour cela nous notons que

γ1ptqγ1ptq “

γ1`L2π t

˘

γ1 ` L2π˘ . (19.243)

En comparant avec (19.241) il vientθptq “ θ

` L2π t

˘(19.244)

etθ1psq “ L

2πθ1ˆL

2πs˙. (19.245)

Le changement de variables t “ L2πs est donc tout vu dans l’intégrale (19.242) :

degpΦγq “ 12π

ż 2π

0

L

2πθ1` L

2πs˘ds “ 1

2π

ż L

0θ1ptqdt “ 1

2π

ż L

0κγptqγ1ptqdt “ Turnpγq (19.246)

où nous avons aussi utilisé le lemme 19.74 qui donne le lien entre θ1 et κ.6. La dérivée seconde arrive dans la définition de la courbure ; il faudrait donc supposer au moins C2 pour avoir

la continuité de la courbure.7. Définition 19.73.

19.11. COURBES PLANES 1163

Définition 19.80 (homotopie de chemins fermés).Les courbes fermées γ0, γ1 : r0, Ls Ñ Y (Y est un espace topologique) sont homotopes s’il existeune application continue

F : r0, 1s ˆ r0, Ls Ñ Y (19.247)

telle que(1) F p0, tq “ γ0ptq pour tout t,(2) F p1, tq “ γ1ptq pour tout t,(3) F pu, Lq “ F pu, 0q pour tout u.

L’application F est l’homotopie entre γ0 et γ1.

Proposition 19.81 (Homotopie, degré et indice[198]).Il y a deux résultats à ne pas confondre.

(1) Si φi : S1 Ñ S1 sont homotopes, alors degpφ1q “ degpφ2q.(2) Si γi : r0, Ls Ñ R2 sont homotopes, alors Indpφ1q “ Indpφ2q.

Démonstration. Nous allons décomposer la preuve en deux parties.Le degré pour les applications S1 Ñ S1 Nous supposons avoir deux applications homotopes

γi : S1 Ñ S1. Si F est l’homotopie 8 entre γ0 et γ1, nous posons γuptq “ F pu, tq qui est en-core une courbe fermée γu : S1 Ñ S2. Nous pouvons donc considérer le degré de γu. C’estun entier nu qui vérifie

γup2πq ´ γup0q “ 2πnu. (19.248)

Le membre de gauche est une fonction continue de u ; dans le membre de droite nu nepouvant prendre que des valeurs entières, elle est alors constante.

Indice de rotation pour des courbes dans R2 Soient maintenant γ0 et γ1 deux courbeshomotopes de r0, Ls dans R2. Par définition, Indpγiq “ degpΦγiq. Prouvons alors que Φγ0 ethomotope à Φγ1 . De cette façon, la première partie de la preuve conclura à

Indpγ0q “ degpΦγ0q “ degpΦγ1q “ Indpγ1q. (19.249)

Nous savons que

Φγ “ γ1`L2π t

˘

γ1 ` L2π t˘ , (19.250)

donc en posant

ΦF pu, tq “ γ1u`L2π t

˘

γ1u`L2π t

˘ (19.251)

nous avons une homotopie entre Φγ0 et Φγ1 .

Théorème 19.82 ([198]).Le nombre de tours d’une courbe simple fermée de classe C2 dans R2 est ˘1.

Démonstration. Soit une telle courbe γ et son image Γ.Choix d’un point et d’une tangente Si ` est une droite dans le plan, soit p le point de Γ

le plus proche de `. Il n’est peut-être pas unique, mais la parallèle à ` passant par p estune tangente à Γ telle que tout Γ se trouve d’un seul côté de `p. Pour voir cela, il suffit dechoisir un système d’axes pour lequel ` est l’axe y “ 0. La distance entre ` et les points deΓ est donnée par γy, et donc les extrema sont atteints là où γ1y “ 0, c’est à dire pour lespoints sur lesquels la tangente est parallèle à `.Étant donné qu’il y a (au moins) un maximum et un minimum distincts, pour pouvonschoisir le point p de telle sorte que pour tout point q P Γ, l’angle du vecteur q´ p soit entre

8. Définition 19.80.

1164 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

α0 et α0`π et non entre α0´ pi et α0. Ce choix revient à choisir p de telle sorte que Γ soitd’un côté ou de l’autre de `p.Pour simplifier les notations plus tard nous choisissons `p horizontale, de telle sorte queα0 “ 0, et que Γ est au dessus de `p. Les angles des vecteurs q ´ p pour q P Γ sont donctous entre 0 et π.

Définition de Σ Soit L la longueur 9 de γ et β, une paramétrisation de γ telle que βp0q “ p.Nous considérons le triangle

T “ tpt1, t2q P R2 tel que 0 ď t1 ď t2 ď Lu (19.252)

et l’application sécante Σ: T Ñ S1 définie par

Σpt1, t2q “

$’’’’’’&’’’’’’%

β1ptqβ1ptq si t1 “ t2 “ t

´ β1p0qβ1p0q si t1 “ 0 et t2 “ L

βpt2q ´ βpt1qβpt2q ´ βpt1q sinon.

(19.253)

Continuité de Σ Nous devons prouver les limites 10 suivantes :

limpt1,t2qÑpt,tq

0ďt1ďtďt2ďL

βpt1q ´ βpt2qβpt1q ´ βpt2q “

β1ptqβ1ptq (19.254a)

limpt1,t2qÑp0,Lq0ďt1ďtďt2ďL

βpt1q ´ βpt2qβpt1q ´ βpt2q “ ´

β1p0qβ1p0q (19.254b)

Nous commençons par (19.254a) en multipliant et divisant par t2 ´ t1 :

βpt2q ´ βpt1qβpt2q ´ βpt1q “

βpt2q ´ βpt1qt2 ´ t1

t2 ´ t1βpt2q ´ βpt1q . (19.255)

Si chacune des limites des deux facteurs existent dans R, la limite du produit sera leproduit des limites. Pour le premier facteur nous développons βpt2q autour de t “ t1 via laformulation (12.678) :

βpt2q “ βpt1q ` pt2 ´ t1qβ1pt1q ` αpt2 ´ t1q (19.256)

où α est une fonction ayant la propriété limtÑ0αptqt “ 0. Nous avons à calculer la limite de

pt1 ´ t1qβ1pt1q ` αpt2 ´ t1qt2 ´ t1 “ β1pt1q ` αpt2 ´ t1q

t2 ´ t1 . (19.257)

Prendre la limite pt1, t2q Ñ pt, tq donne bien β1ptq parce que β est de classe C1. En ce quiconcerne la limite de la deuxième partie, nous allons la faire plus en détail pour la limite(19.254b).La limite (19.254b). Nous prenons la prolongation périodique de β. Alors si t2 “ L´ ε nouspouvons écrire βp´εq au lieu de βpt2q. Nous développons βpt1q autour de t “ ´ε (parce quet1 est petit) :

βpt1q “ βp´εq ` pt1 ` εqβ1p´εq ` αpt1 ` εq. (19.258)

Après multiplication et division par t1 ` ε, la première limite à calculer est celle de

βp´εq ´ βpt1qt1 ` ε “ ´β1p´εq ` αpt1 ` εq

t1 ` ε , (19.259)

9. Définition 19.4.10. Limite au sens de la définition 6.65, en sachant qu’elle est unique par la proposition 6.68.

19.11. COURBES PLANES 1165

pour pε, t1q Ñ p0, 0q. Cela donne bien ´β1p0q. La seconde limite à calculer est celle de

t1 ` εβp´εq ´ βpt1q “

t1 ` ε ´ pt1 ` εqβ1p´εq ´ αpt1 ` εq “

t1 ` εpt1 ` εqβ1p´εq ` αpt1 ` εq .

(19.260)Nous calculons la limite de l’inverse (qui, si elle est non nulle donnera la réponse en inversantà nouveau) en nous souvenant de la formule

ˇa´ |b|ˇ ď |a` b| ď ˇ

a` |b|ˇ. (19.261)

Nous avons l’encadrementˇpt1 ` εqβ1p´εq ´ |αpt1 ` εq|

ˇ

t1 ` ε ď pt1 ` εqβ1p´εq ` αpt1 ` εqt1 ` ε ď

ˇpt1 ` εqβ1p´εq ` |αpt1 ` εq|ˇ

t1 ` ε(19.262)

Les limites des deux extrêmes existent et valent β1p0q ; la règle de l’étau 12.93 conclu.Deux chemins homotopes Nous considérons dans T les points A “ p0, 0q, B “ p0, Lq et

C “ pL,Lq. Nous allons considérer les chemins direct de A à C et celui passant via B. Etcomme ces chemins doivent être paramétrés de 0 à 2π, il faut faire un peu attention. Nousdéfinissons les chemins

σi : S1 Ñ S1 (19.263)

par

σ1ptq “ ΣˆL

2π t,L

2π t˙“ β1ptL2πqβ1ptL2πq “

β1ptqβ1ptq “ Φβ (19.264a)

σ2ptq “#

Σp0, Lπ tq si 0 ď t ď π

Σ`Lπ pt´ πq, L

˘si π ď t ď 2π

(19.264b)

où nous avons repris les notations de la définition 19.78. Notons que pour σ2, en t “ π lesdeux expressions donnent

σ2pπq “ Σp0, Lq “ ´ β1p0qβ1p0q . (19.265)

Ce sont des chemins fermés parce que

σ1p2πq “ ΣpL,Lq “ β1pLqβ1pLq “

β1p0qβ1p0q “ Σp0, 0q “ σ1p0q. (19.266)

Notons que dans toutes ces définitions et calculs, nous avons utilisé de façon assez crucialela définition 19.64 pour définir la dérivée de β en t “ 0.Les chemins σ1 et σ2 sont homotopes par construction.

Indices et degrés La proposition 19.81(1) nous donne degpσ1q “ degpσ2q. Nous avons alors lachaîne d’égalités

degpσ2q “ degpσ1q “ degpΦβq “ Indpβq “ Indpγq “ Turnpγq (19.267)

où les justifications sont :(1) degpσ2q “ degpσ1q par homotopie : proposition 19.81.(2) degpσ1q “ degpΦβq parce que σ1 “ Φβ.(3) degpΦβ “ Indpβq par définition 19.78 de l’indice.(4) Indpβq “ Indpγq par invariance de l’indice sous reparamétrisation.(5) Indpγq “ Turnpγq par la proposition 19.79.Il nous reste à montrer que degpσ2q “ ˘1.

1166 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

La géométrie de σ2 Notons que par définition les valeurs de σ2ptq sont les vecteurs (unitaires)joignant p aux points de Γ lorsque 0 ď t ď π, et les vecteurs inverses pour π ď t ď 2π. Plusprécisément nous avons, si 0 ă a ă π :

σ2paq “ Σp0, Lπaq “ βpLπ aq ´ βpLq

βpLπ aq ´ βpLq(19.268)

etσ2pπ ` aq “ ΣpL

πa, Lq “ βpLq ´ βpLπ aq

βpLq ´ βpLπ aq. (19.269)

En sachant que βp0q “ βpLq nous avons alorsσ2pπ ` aq “ ´σ2paq. (19.270)

Notons aussi que le fait que γ soit une courbe simple assure que le numérateur et le déno-minateur de σ2 ne s’annulent pas autrement que pour t “ L ou t “ 0.

Un relèvement pour σ2 Ces propriétés motivent cette idée pour le relèvement de σ2 :

θ : r0, 2πr Ñ r0, 2πrt ÞÑ l’angle du vecteur σ2ptq, (19.271)

avec θp2πq définit par continuité. Nous allons cependant voir, en étant plus prudent, quecette définition n’assure pas la continuité (surtout en t “ π).Soyons donc plus prudent et construisons θ petit à petit.Étant donné que `p est tangente à Γ au point p, la droite `p est parallèle à β1p0q, et l’angleentre `p et β1p0q est soit 0 soit π. Donc θp0q devrait valoir soit 0 soit π.Nous commençons par définir ceci :

θ : r0, πr Ñ r0, πst ÞÑ angle de σ2ptq “ arccos

`σ2ptqx

˘.

(19.272)

C’est le choix d’avoir `p horizontale et Γ au dessus de `p qui nous assure que pour toutt P r0, πs, l’angle de σ2ptq peut être choisi entre 0 et π. De plus cette fonction est continueen tant que partie de la fonction arccos : r´1, 1s Ñ r0, πs qui est elle-même continue par laproposition 6.188.Le fait que θ soit continue est assuré par le fait que σ2 est C8.

Si θp0q “ 0 Cela correspond à la situation des vecteurs rouges sur la figure 19.10.Vu que σ2pπq “ ´σ2p0q, l’angle de σ2 en t “ π est le supplémentaire de celui en t “ 0.Mais pour 0 ď t ă π, θptq prend ses valeurs entre 0 et π, le seul supplémentaire de 0à être disponible est θpπq “ π (et non θpπq “ ´π par exemple). Nous définissons doncθpπq “ π pour la continuité.En ce qui concerne les π ă t ă 2π nous savons que σ2pπ ` aq “ ´σ2paq. Les angles sontdonc les supplémentaires de ceux pour 0 ď t ď π. Pour assurer la continuité en t “ pinous sélectionnons la place sπ, 2πs ; et nous définissons

θ : sπ, 2πr Ñ sπ, 2πst ÞÑ angle de σ2ptq. (19.273)

Le nombre θp2πq est défini par continuité. Il doit valoir θp2πq “ 2π.La fonction θ ainsi définie est un relèvement pour σ2, et le degré peut être calculé :

degpσ2q “ 12π

`θp2πq ´ θp0q˘ “ 1. (19.274)

19.12. COURBES FERMÉES PLANES 1167

‚‚

‚

‚

‚

‚

‚

‚

‚

‚α

‚P

`p

Figure 19.10 – Les vecteurs représenant σ2 dans le cas où β1p0q est dans le sens de `p ou dans lesens inverse. Pour le sport nous avons dessiné la situation avec une droite ` quelconque plutôt quehorizontale.

Si θp0q “ π Cela correspond à la situation des vecteurs bleus sur la figure 19.10.Alors θpπq “ 0 est obligatoire parce qu’il doit être supplémentaire à θp0q. Les anglesatteints par σ2ptq pour t P sπ, 2πr sont encore les complémentaires, mais cette fois lacontinuité en t “ π nous impose de les chercher dans s´π, 0s et nous définissons

θ : sπ, 2πr Ñ s´π, 0st ÞÑ angle de σ2ptq. (19.275)

Par continuité nous devons avoir θp2πq “ θpπq ´ π et donc θp2πq “ ´π.Le degré de σ2 est alors

degpσ2q “ 12π

`θp2πq ´ θp0q˘ “ ´1. (19.276)

Conclusion Nous avons montré que le degré de σ2 est 1 ou ´1, et en remontant les égalités(19.267) nous déduisons que Turnpγq “ ˘1.

19.12 Courbes fermées planes

19.12.1 Cercle circonscrit

La proposition suivante est dans le même esprit que l’ellipse de John-Loewer 11.

Proposition-définition 19.83 (Cercle circonscrit[248, 1]).Soit une courbe fermée simple et continue γ : r0, 1s Ñ R2. Soit Γ son image. Il existe un uniquecercle de rayon minimum contenant Γ. Ce cercle est le cercle circonscrit à γ.

Il a les propriétés suivantes :(1) Le cercle circonscrit à γ coupe Γ en au moins deux points distincts.(2) Tout arc du cercle circonscrit plus grand que le demi-cercle intersection Γ.

Démonstration. Division de la preuve.Existence L’application γ étant continue, l’ensemble Γ est compact (théorème 6.77). Nous

considérons l’ensemble Q des formes quadratiques de la forme

qa,rpxq “ a´ x2 ´ r2 (19.277)

avec a P R2 et r P R. Nous mettons sur cet ensemble la topologie de R2 ˆ R “ R3. Lenombre qa,rpxq est continu en a, r et x. Soit A l’ensemble des formes quadratiques de cetteforme et vérifiant

q`γptq˘ ď 0 (19.278)

11. Proposition 18.100.

1168 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

pour tout t P r0, 1s.Cet ensemble A est non vide parce que Γ est compact et donc borné ; il existe donc uneboule qui contient Γ en son intérieur.Montrons que A est fermé dans Q. Si qa,r R A alors il existe t0 tel que qa,r

`γpt0q

˘ ą 0. Parcontinuité, il existe un voisinage de pa, rq dans R3 et donc de qa,r dans Q tel que qa1,r1

`γpt0q

˘

reste strictement positif pour tout pa1, r1q dans ce voisinage.En particulier l’ensemble

tr P R` tel que D pa, rq tel que qa,r P Au (19.279)

est fermé et borné vers le base. De plus r “ 0 n’est pas dans cet ensemble. Il possède doncun minimum strictement positif. Le cercle correspondant donne l’existence.

Unicité En ce qui concerne l’unicité, si Γ est contenu dans les boules Bpa,Rq et Bpb, Rq alorsΓ Ă Bpa,Rq XBpb, Rq. (19.280)

‚A

‚B

‚O

‚I

‚Q

Nous choisissons les axes comme indiqué sur le dessin et nous montrons que l’intersectionest dans le cercle de centre O et de rayon OI ă R. Soit Q un point de l’intersection ; parsymétrie il est suffisant de supposer Qx ă 0 et Qy ą 0. Vu que Q est dans le cercle de centreB et de rayon R, il doit satisfaire

pBx ´Qxq2 `Q2y ă R. (19.281)

D’autre part le point I est d’abscisse Ix “ 0 et d’ordonnée donnée par I2y “ R2 ´B2

x.Nous devons prouver que Q2

x `Q2y ď I2

y . Il s’agit simplement de calculer

Q2x `Q2

y ď Q2x `R2 ´B2

x ` 2BxQx ´Q2x “ R2 ´B2

x ` 2BxQx ď R2 ´B2x “ I2

y (19.282)

parce que Bx ą 0 et Qx ă 0.Nous concluons que Γ est inclus à un cercle de rayon plus petit que R et donc que R n’estpas minimum. D’où l’unicité.

Au moins deux intersections Nous nommons C le cercle circonscrit à γ, et nous écrivons,pour p P Γ

rppq “ dpp, Cq (19.283)la distance entre p et C. Cela est une fonction continue sur le compact Γ. Elle atteint doncses bornes sur Γ.Si C X Γ “ H alors rppq ą 0 pour tout p et le minimum est également strictement positif.Soit r0 ce minimum. Alors le cercle C2 même centre que C mais de rayon r02 n’intersectepas non plus Γ parce que

dpp, Cq ď dpp, C2q ` dpC2, Cq (19.284)

19.12. COURBES FERMÉES PLANES 1169

où dpp, Cq “ rppq et dpC2, Cq “ r02.dpp, C2q ě rppq ´ r0

2 ě r02 ą 0. (19.285)

Si C XΓ “ tqu alors un choix d’axe place le centre de C en p0, 0q, le point q en p1, 0q et fixele rayon de C à 1. Pour p P Γ nous notons rppq la distance entre p et le point de C situé sursa gauche, c’est à dire, si p “ ppx, pyq,

rppq “b

1´ p2y ` px. (19.286)

Cela est encore une fonction continue sur Γ qui atteint son minimum valant r0. Alors le cerclede centre p r02 , 0q et de même rayon contient encore Γ mais n’a plus de points d’intersectionavec Γ.Enfin, tout nombre de points d’intersection entre C et Γ est possible à partir de 2. Pour enavoir deux, prendre une ellipse, et pour en avoir plus, prendre des polynôme dont les anglessont un peu modifiés de façon à rester C1.

Intersection avec les demi-arcs Supposons, en fixant encore les axes, que le cercle circonscritsoir encore centré en p0, 0q et que Γ n’intersecte pas le demi-cercle x ă 0. Alors pour toutp P Γ la distance entre p et ce demi-cercle est strictement positive. Il y a un minimum r0.En décalant le centre du cercle de r02 vers la droite, nous obtenons un nouveau cerclecontenant Γ mais ne l’intersectant pas.

19.12.2 Description locale

Définition 19.84.Une courbe plane différentiable est convexe si son graphe est en tout point d’un seul côté de satangente.

Lemme 19.85 ([1]).Soit une courbe simple, convexe γ : r0, 1s Ñ R2 que nous supposons être de classe C1. Nous notonsΓ l’image de γ. Alors Γ est localement le graphe d’une fonction convexe (définition 18.74).

Démonstration. Soit p P Γ et lp la tangente à Γ en p. Nous considérons un système d’axe centré enp de telle sorte que lp soit l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées soit dirigé de tel manière que Γse trouve dans la partie y ą 0. De plus nous paramétrons γ de telle sorte à avoir γp0q “ p “ p0, 0q.

Vu que lp ” y “ 0 est la tangente à Γ nous avons γ1y “ 0 et γ1xp0q ą 0. Nous en déduisons queγ1xptq ą 0 pour tout t P Bp0, δq pour δ suffisamment petit. Nous posons alors

gpxq “ γy`γ´1x pxq

˘(19.287)

qui est bien définie parce que γx est une bijection entre Bp0, δq et son image. La fonction g estcontinue par la proposition 6.189 et même dérivable par la proposition 12.117. De plus, vu laformule (12.240), la fonction g´1 est de classe C1 parce que pg´1q1 est une composée d’applicationscontinues.Si g est C2 Dans ce cas, g2 ne peut pas changer de signe, sinon la tangente coupe le graphe.

Par positivité de g (et le fait que gp0q “ g1p0q “ 0), il n’est pas possible d’avoir g2 ă 0partout. Donc g2 ě 0 partout. Cela prouve que g est convexe par la caractérisation 18.80.

Si g est seulement de classe C1 Le graphe de g correspond au graphe de Γ. Nous montronsque g est convexe en utilisant la caractérisation de la proposition 18.84.La tangente au graphe de g en x “ x0, que nous notons l0, est la tangente à Γ en t “ γ´1

x px0q.Le graphe de g, qui est une partie de Γ se trouve donc d’un seule côté de l0.Nous nous restreignons g à un compact I et nous considérons la fonction

dapxq “ gpxq ´ lapxq (19.288)

1170 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

qui donne la distance entre le graphe de g et la tangente à g en x “ a. Cela est une fonctioncontinue en x et en a. Le graphe de g est au dessus de la tangente en x “ 0 (par constructiondes axes). Supposons que le graphe de g soit en dessous de la tangente en x “ x2. Alorsnous avons, pour tout x :

"d0pxq ě 0 (19.289a)dx1pxq ď 0. (19.289b)

Nous posonsspaq “ sup

xPIdapxq, (19.290)

qui est une fonction continue par la proposition 12.37. Vu le définitions, sp0q ě 0 et spx2q ď0. Il existe donc m P r0,m2s tel que spmq “ 0. À ce moment nous avons gpxq “ lmpxq pourtout x P I et donc g est une droite, et en réalité toutes les inégalités sont des égalités. Lafonction g est alors bien convexe (mais pas strictement).

19.12.3 Enveloppe convexe

Proposition 19.86 ([249, 1]).Soit une courbe simple, fermée et convexe γ : r0, 1s Ñ R2 que nous supposons être de classe C2.Nous notons Γ l’image de γ. Alors il existe un convexe D tel que BD “ Γ.

Démonstration. Pour p P Γ nous notons lp la tangente à Γ en p et Hp le demi-plan (fermé)contenant Γ. Nous posons

D “č

pPΓHp. (19.291)

Cet ensemble est convexe comme intersection de convexes et fermé comme intersection de fermés.Nous prouvons que Γ “ BD.

L’inclusion Γ Ă BD est la plus facile. Si p P Γ alors p est dans chacun des Hq et donc dans D.De plus tout voisinage de p contient des points en dehors de Hp, donc p n’est pas dans l’intérieurde D. Ce dernier étant fermé, un point hors de l’intérieur est sur le bord. Ergo p P BD.

Pour l’inclusion inverse, soit p P BD.Il existe q tel que p P lq Vu que D est fermé, le point p est dans D, et donc dans tous les Hq.

Supposons qu’il soit dans l’intérieur de tous les Hq. Alors nous considérons la fonction

rpqq “ dpp,Hqq2 (19.292)

définie sur Γ. C’est une fonction continue 12 strictement positive définie sur le compact Γqui possède donc un minimum strictement positif. Si r0 est ce minimum, alors Bpp, r0q estinclue à tous les Hq, ce qui ferait que p est à l’intérieur de D. Nous concluons à l’existencede q P Γ tel que p P lq.

Le point où ça décolle Nous supposons que p R Γ, sinon ce serait trop facile. Nous paramé-trons γ de telle sorte à avoir q “ γp0q et nous posons

T “ tt P R` tel que lγptq “ lqu. (19.293)

Cela est un fermé dans R parce que γ est de classe C1. Nous posons t0 “ infpT cq et pourtout ε suffisamment petit,

"lγpt0`εq ‰ lq, (19.294a)lγpt0´εq “ lq. (19.294b)

La seconde est parce que si lγpt0´εq ‰ lq nous aurions t0 ´ ε P T c. Soit r “ γpt0q ; nousavons lr “ lq parce que si lr ‰ lq alors par continuité de γ1 nous aurions lr1 ‰ lq pour toutr1 P γ`Bpt0, δq

˘.

12. L’équation de la droite lq a des coefficients continus parce que γ est de classe C1.

19.12. COURBES FERMÉES PLANES 1171

Graphe d’une fonction strictement convexe En suivant le lemme 19.85, l’ensemble Γ estlocalement (autour de r) le graphe d’une fonction convexe au-dessus de lr. Soit g : Bp0, δq ÑR2 cette fonction convexe.Soit ε ą 0. Si g2pxq “ 0 sur s0, εs alors g1 y est constante. Mais g1p0q “, ce qui signifieraitque sur r0, εs nous ayons g1pxq “ 0 et donc gpxq “ 0. Cela ferait que lr1 ” y “ 0 pour toutr1 de la forme px, 0q avec x P r0, εs (qui sont des points de Γ). Cela est en contradiction avecla définition de r. Donc il existe un point x P r0, εr tel que g2pxq ą 0.Rappelons que p P lq, ce qui fait que p a pour coordonnées ppx, 0q. Nous restreignons δ et εde telle sorte que px soit plus grand à la fois que ε et δ.Il existe donc un intervalle ra, bs avec a, b ě 0 et a, b ă px sur lequel g est strictementconvexe.

La tangente qui tue En particulier gpbq ą 0 et le théorème de des accroissements finis 12.129(1)nous donne l’existence dem P r0, bs tel que la tangente à g en x “ m est parallèle au segmentjoignant p0, 0q à pb, fpbqq. Cette tangente, que nous nommons lm, est en dessous de la corde,par strict convexité. En particulier, son point d’intersection avec y “ 0 est strictement entre0 et m.L’ensemble D est d’un seul côté de lm. Ce côté est forcément celui de q “ p0, 0q (parce queq P Γ Ă D), et donc le points de coordonnées px, 0q avec x ą m ne sont pas dans D. Pas dechance, p est un point de ce type.

La contradiction Nous avons prouvé que si p P BDzΓ alors p n’est pas dans D, ce qui estimpossible parce que, l’ensemble D étant fermé, nous avons BD Ă D.

Remarque 19.87.Bien que cela puisse paraître évident dès le début, nous ne démontrerons que dans la proposition19.89 que D est l’enveloppe convexe de Γ.

Corollaire 19.88.Si p P IntpDq alors toute droite passant par p intersecte Γ en exactement 2 points.

Démonstration. Vu que la partie D est bornée, toute droite passant par son intérieur coupe BD enau moins deux points (un dans chaque sens, et en utilisant le lemme de passage de douane 6.177).

Soit ` une droite passant par p et supposons qu’elle coupe Γ en trois points distincts. Alors aumoins deux d’entre eux sont du même côté de p. Soient q1 et q2 ces points. Nous avons donc dansl’ordre p P IntpDq, q1 P BD et q2 P BD.

Vu que tout Γ est d’un seul côté de ses tangentes, lesdites tangentes ne passent pas par l’intérieurde D. Ni p ni q2 ne sont sur `q1 , parce que si q2 P `q1 alors `q1 “ `, ce qui est impossible parce que` passe par p P IntpDq.

Or p et q2 sont de part et d’autres de `q1 , ce qui est impossible parce que Γ est d’un seul côtéde cette droite.

Proposition 19.89.Soit D l’ensemble définit en (19.291).

(1) D “ ConvpΓq (ConvpΓq désigne l’enveloppe convexe de Γ)(2) B ConvpΓq “ Γ.

Pour la définition d’enveloppe convexe, voir la définition 11.32.

Démonstration. L’ensemble D est un convexe contenant Γ. Donc ConvpΓq Ă D. L’inclusion inverseest à prouver.

Soit x P D. Si x P BD alors x P Γ (proposition 19.86) et donc x P ConvpΓq. Nous ne devonsdonc traiter que le cas x P IntpDq.

Le corollaire 19.88 nous dit que toute droite passant par x coupe Γ en exactement deux points.Soient p et q ces points. Alors p, q P Γ Ă ConvpΓq. Vu que ConvpΓq est convexe, tout le segmentrp, qs est dans ConvpΓq, et en particulier p P ConvpΓq.

1172 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Nous passons à la seconde affirmation. Nous savons que D “ ConvpΓq. En prenant le bord desdeux côtés, BD “ B ConvpΓq, donc Γ “ B ConvpΓq.Lemme 19.90 (Des tangentes parallèles[250]).Une courbe fermée γ de classe C1 est convexe si et seulement si elle ne possède pas 3 tangentesparallèles distinctes.

Démonstration. Si le graphe Γ possédait trois tangentes parallèles distinctes, une serait entre lesdeux autres et le graphe Γ serait de part et d’autres des cette tangente. Dans ce cas, γ n’est pasconvexe.

Nous montrons maintenant que si γ n’est pas convexe, alors elle possède trois tangentes paral-lèles distinctes. Pour p P Γ tel que Γ soit des deux côtés de lp.

Soient Γ1 et Γ2 les parties de Γ délimitées par lp. Nous notons qi le point de Γi le plus éloignéde la droite lp, il existe parce que G est compact et que la fonction distance à lp est continue surΓ. Les points p, q1 et q2 sont distincts (sinon lp ne couperait pas Γ en deux parties).

Montrons que lqi ‖ lp. Pour cela nous choisissons un système d’axe dans lequel lp ” y “ 0.Dans ce système, la distance entre γptq et lp est γyptq et les extrema de cette fonction ont lieu auxpoints t tels que γ1yptq “ 0, c’est à dire aux points sur lesquels la tangente est parallèle à lp.

À quel moment avons nous utilisé le fait que la courbe soit fermée ? Au moment de dire quele point le plus éloigné devait vérifier γ1yptq “ 0. En effet un extrema peut ne pas vérifier cettecondition s’il n’est pas à l’intérieur du domaine. Dans notre cas, nous avons γ : r0, 1s Ñ R2 qui estfermée : γp0q “ γp1q. Donc en réalité nous pouvons considérer γ : R Ñ R2 et tous les points dudomaine sont intérieurs au domaine. L’extremum doit donc vérifier la condition d’annulation de ladérivée.

Exemple 19.91Si la courbe n’est pas fermée, alors le lemme 19.90 ne tient pas comme le montre le contre-exempledu graphe de fpxq “ x3 ´ x. Il est non convexe et pourtant ne présente que 2 tangentes parallèles(dans chaque directions). 4

Lemme 19.92.Soit γ une courbe convexe et ` une droite qui intersecte Γ mais qui n’est pas tangente. Alorsl’intersection entre ` et Γ comprend au maximum 2 points.

Démonstration. Supposons que ` coupe Γ en trois points p, q, r (dans cet ordre). Vu que ` n’estpas tangente à Γ, la tangente `q est distincte de ` (et intersecte ` en l’unique point q). Les pointsp et r sont dans Γ et sont pourtant de deux côtés différents de `q. Contradiction avec la convexitéde γ.

La proposition suivante nous dit que si deux points de Γ ont la même tangente, alors entre cesdeux points, Γ est le segment de droite les joignant.

Proposition 19.93 ([1]).Soit γ : r0, Ls Ñ R2 une courbe fermée simple et convexe de classe C1. Si la tangente en p “ γpspqet la tangente en q “ γpsqq sont identiques (pas seulement parallèles), alors soit

γ`rsp, sqs

˘ “ rp, qs (19.295)

soitγ`rsq, Ls

˘ “ rp, qs (19.296)

Démonstration. Nous considérons un système d’axe dans lequel p “ p0, 0q, `p “ `q ” y “ 0 et telque γyptq ě 0 pour tout t. Nous choisissons enfin une paramétrisation de γ telle que p “ γp0q.

Si γy`r0, sqs

˘ “ t0u alors par le théorème des valeurs intermédiaires 12.21, tous les points dutype pt, 0q avec 0 ď t ď qx sont atteints par γptq avec 0 ď t ď sq. De plus aucun autre point nepeut être atteint parce que γ étant simple, elle ne peut pas faire de retour en arrière.

19.12. COURBES FERMÉES PLANES 1173

Nous supposons donc que γy n’est pas identiquement nulle sur r0, sqs ; il existe donc un sM avec0 ă sM ă qq qui maximise γy sur r0, sqs. La tangente à Γ en γpsM q est horizontale. Les droitesy “ 0 et y “ γypsM q sont donc deux tangentes parallèles à Γ. Par le lemme des tangentes parallèles19.90, il n’y a pas d’autres tangentes horizontales. Donc pour tout n P N la droite y “ 1

n n’esttangente nulle part 13 à Γ.

Par le lemme 19.92, la droite y “ 1n ne peut intersecter Γ qu’en seulement deux points. Or le

théorème des valeurs intermédiaires appliqué à γy sachant que γyp0q “ γypsqq “ 0 et γypsM q ą 0nous donne an, bn tels que

0 ă an ă sM (19.297a)sM ă bn ă sq (19.297b)

et γypanq “ γypbnq “ 1n . Donc la droite y “ 1

n intersecte γ deux fois dans r0, sqs. En conséquencede quoi γyptq ă 1

n pour tout t P rqq, Ls. Cela étant valable pour tout n nous avons γy`rsq, Ls

˘ “ t0uet nous sommes ramenés essentiellement au premier cas.

Proposition 19.94.Soit une courbe fermée simple γ de classe C1 et une droite `. Alors il existe au moins deux pointsdistincts q1, q2 tels que `q1 ‖ `q2 ‖ ` avec `p ‰ `q.

Démonstration. Pour p P Γ nous considérons le nombre rppq “ dpp, `q. En tant que fonctioncontinue sur un compact, elle possède un minimum et un maximum. Dans un système d’axe pourlequel ` ” y “ 0, la fonction r s’écrit rppq “ py et les extrema arrivent en γpsq avec γ1ypsq “ 0, cequi signifie que les tangentes aux extrema sont parallèles à `. Vu que le maximum et le minimumne peuvent pas être égaux (sinon la courbe serait horizontale et pas simple), les tangentes en cespoints sont distinctes.

Corollaire 19.95.Soit une courbe convexe fermée simple γ de classe C2. L’ensemble ConvpΓq est compact.

Démonstration. Nous savons que ConvpΓq n’est autre que D par la proposition 19.89. Nous savonsdéjà que D est fermé. Il nous suffit donc de prouver qu’il est borné (théorème de Borel-Lebesgue6.123). Nous considérons deux droites perpendiculaires et les 4 tangentes correspondantes par laproposition 19.94. Vu que Γ est d’un seul côté de chacune de ces tangentes, elle est contenue dansle rectangle délimité par ces 4 droites.

19.12.4 Courbure et convexité

Lemme 19.96.Soit γ : r0, Ls Ñ R2 une courbe simple, fermée en paramétrisation normale. Alors l’application

σ : r0, Ls Ñ S1

s ÞÑ γpsq (19.298)

est surjective.

Démonstration. Le théorème 19.82 nous dit que si θp0q “ a alors θp2πq “ a ` 2π ou a ´ 2π. Lethéorème des valeurs intermédiaires nous dit alors que θ prend toutes les valeurs entre a et a` 2πou a´ 2π.

Proposition 19.97 ([250]).Une courbe fermée simple de classe C2 est convexe si et seulement si sa courbure est soit toujourspositive, soit toujours négative.

13. À part n “ 0 et si par manque de chance, γypsM q est un nombre de la forme 1n.

1174 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

Démonstration. Nous considérons la courbe γ munie d’un paramétrage de vitesse 1, c’est à direavec γ1ptq “ 1 pour tout t. Si θ est sa fonction d’angle, alors nous avons θ1 “ κ par le lemme19.74. Donc la fonction θ est monotone si et seulement si la courbure ne change pas de signe. Nousallons montrer que θ est monotone si et seulement si γ est convexe.

ñ Nous supposons que θ est monotone et γ non convexe. Soient p P Γ tel que Γ soit des deuxcôtés de `p, et soient les points q1, q2 donnés par le lemme des tangentes parallèles 19.90tels que `p ‖ `q1 ‖ `q2 . Parmi les vecteurs tangents en p, q1 et q2, deux au moins ont lamême direction ; supposons que ce sont q1 et q2. C’est à dire que si p “ γps0q, q1 “ γps1q etq2 “ γps2q alors nous avons γ1ps1q “ γ1ps2q et donc aussi

θps1q “ θps2q ` 2nπ (19.299)

pour un certain n. Mais θ est monotone et la différence entre sa première et sa dernièrevaleur doit valoir 2π ou ´2π par le théorème 19.82. Donc n ne peut valoir que ´1, 0 et 1.Si n “ 0 alors θ est constante sur rs1, s2s. Si n “ 1 alors θps1q “ σps2q ` 2π alors que surtoute la courbe, θ ne peut faire que 2π. Donc θ est constant sur r0, s1s et sur rs2, Ls (où Lest le bord de la paramétrisation). Si n “ ´1, même conclusion.Dans tous les cas, Γ contient une ligne droite, soit de q1 à q2, soit de q2 à q1. Et dans cescas nous avons `q1 “ `q2 , ce qui est contraire à la construction de qi.Nous concluons que γ est convexe.

ð Nous supposons que γ est convexe, mais que θ n’est pas monotone. Il existe donc s1 ă s0 ă s2tels que

θps1q “ θps2q ‰ θps0q. (19.300)

Et vu le lemme 19.96, il existe s3 tel que γ1ps3q “ ´γ1ps1q.Donc en s1, s2 et s3 nous avons trois tangentes parallèles. La proposition 19.90 est alorsformelle, γ étant convexe, deux de ces tangentes doivent être identiques.La proposition 19.93 dit qu’entre deux points dont les tangentes sont identiques, la courbedoit être un segment de droite. Or sur un segment de droite, κ “ 0 et θ est constante.— La partie γ

`rs1, s2s˘ne peut pas être droite parce que nous avions supposé l’existence

d’un s0 P ss1, s2r tel que θps1q “ θps2q ‰ θps0q.— La partie γ

`rs1, s3s˘ne peut pas être droite parce que θps3q ‰ θps1q.

— La partie γ`rs2, s3s

˘ne peut pas être droite parce que θps2q ‰ θps1q.

Nous sommes donc devant une contradiction.Nous en concluons que θ doit être monotone.

19.12.5 Théorème des quatre sommets

Lemme 19.98.Soit une droite ` du plan. Il existe a, c P R2 avec c ‰ 0 tels que z P ` si et seulement si pz´aq· c “0.

Démonstration. Une droite est paramétrée par γptq “ p ` tq. En posant a “ p et c “ Jq nousavons la réponse. En effet nous allons montrer qu’avec ces valeurs de a et c, nous avons z P Γ si etseulement si pz ´ aq· c “ 0.

D’abord un point de γ est de la forme z “ γptq “ p` tq. Nous avons :`γptq ´ a˘· c “ `

γptq ´ p˘· Jq “ tq· Jq “ 0. (19.301)

Et dans l’autre sens, si pz´aq· c “ 0 nous devons prouver que z P Γ. Nous avons : pz´pq· Jq “0, ce qui fait que z ´ p est un multiple de q. Autrement dit : z ´ p “ λq ou encore z “ αq ` p, quiest sur la droite Γ.

19.12. COURBES FERMÉES PLANES 1175

Définition 19.99.Un sommet d’une courbe est un point d’extremum local de la courbure.

Théorème 19.100 (Théorème des quatre sommets[2, 198]).Soit un arc paramétrique γ : RÑ R2 fermé, simple et convexe 14 de classe C3 et T -périodique.

Alors γ possède au moins 4 points critiques sur chaque période.

Démonstration. Nous supposons que la paramétrisation de γ soit normale.Si la courbure κ est constante sur une partie ouverte de la (paramétrisation de la) courbe, alors

tous les points de cette partie sont des sommets et le théorème est fait. Nous supposons que κ n’estpas constante et en particulier que Γ ne contient ni bouts de droites ni bouts de cercles (théorème19.70).

La fonction κ étant de classe C1 sur le compact Γ, elle admet au moins un maximum et unminimum distincts. Vu que ces points sont intérieurs, ils correspondent au changement de signe deκ1. Soient p et q ces points. Pour la simplicité nous supposons que γ est paramétré de telle sorteque γp0q “ p, et q “ γpsqq avec 0 ă sq ă T .

Nous supposons que p et q sont les seuls points de changement de signe de κ1.Soit ` la droite passant par p et q. Tous les points du segment rp, qs (qui sont dans ConvpΓq)

ne peuvent pas être sur Γ (sinon nous aurions un morceau de droite). Donc certains points sontdans l’intérieur de ConvpΓq. Donc la droite ` passe par l’intérieur de ConvpΓq et le corollaire 19.88nous dit que la droite ` ne coupe Γ en seulement deux points.

Par conséquent, les ensembles γ`r0, sqs

˘et γ

`rsq, T s˘sont de part et d’autre de Γ. Vu qu’en

ces points, κ1 change de signe et qu’il ne change de signe en aucun autre points, la fonction κ1 estpositive d’un côté de ` et négative de l’autre.

D’autre part par le lemme 19.98, il existe a P R2 et c ‰ 0 tels que z P ` si et seulement sipz´ aq· c “ 0. La fonction z ÞÑ pz´ aq· c est donc positive d’un côté de ` et négative de l’autre.

En résumé les fonctions

s ÞÑ κ1psq (19.302a)s ÞÑ `

γpsq ´ a˘· c (19.302b)

changent de signe en même temps et le produit a donc un signe constant. Ce produit n’est de pluspas nul parce que κ1 n’est nul sur aucun intervalle (sinon κ y serait constant et Γ un segment dedroite) et

`γpsq ´ a˘· c ne s’annule pour aucun s sauf ceux qui correspondent à p et q.

Nous avons donc

0 ‰ż T

0κ1psq`γpsq ´ a˘· c ds (19.303a)

“”`γpsq ´ a˘· cκpsq

ıT0looooooooooooomooooooooooooon

A“0

´ż T

0κpsqγ1psq· c ds (19.303b)

“ ´ż T

0κpsq`γ1psq· c

˘ds (19.303c)

“ż T

0Jγ2psq· c ds (19.303d)

“ J

ż T

0γ2psq· c ds (19.303e)

“ J“γ1psq· c

‰T0 (19.303f)

“ 0. (19.303g)

Justifications :14. Par la proposition 19.97 nous pouvons aussi bien demander à la courbure d’être toujours strictement positive,

comme le fait [2].

1176 CHAPITRE 19. ARC PARAMÉTRÉ

— L’expression A est nulle parce que les valeurs en 0 et en T sont identiques.— Nous utilisons le lemme 19.69 pour faire ´κpsqγ1psq “ Jγ2psq.

Le tout est une contradiction de la forme 0 ‰ a “ 0.Nous avons donc au moins un troisième point de changement de signe de κ1. Vu que la courbe

est périodique, il en faut un nombre pair et donc un quatrième.

L’exemple de l’ellipse montre qu’il n’y a pas lieu de chercher d’autres extrema de κ à part les4 déjà trouvés.

Exemple 19.101Nous trouvons les sommets de l’ellipse.

γptq “ `a cosptq, b sinptq˘ (19.304a)

γ1ptq “ `´ a sinptq, b cosptq˘ (19.304b)γ2ptq “ ´`a cosptq, b sinptq˘ (19.304c)

(19.304d)

La courbure est

κptq “ γ2· Jγ1

γ13 (19.305a)

“ ´1ra2 sin2ptq ` b2 cos2ptqs32

ˆa cosptqb sinptq

˙·

ˆ´b cosptq´a sinptq

˙(19.305b)

“ ab

ra2 sin2ptq ` b2 cos2ptqs32 . (19.305c)

Vu que ab ą 0, les extrema de cela sont ceux du dénominateur et il suffit donc d’étudier les extremade

fptq “ a2 sin2ptq ` b2 cos2ptq. (19.306)

Nous avonsf 1ptq “ 2pa2 ´ b2q cosptq sinptq, (19.307)

fonction qui s’annule effectivement 4 fois sur une période. Deux maxima et deux minima. 4

19.12.6 Le théorème de Jordan

Définition 19.102 ([251]).Une courbe de Jordan est une courbe simple fermée dans le plan.

Le théorème suivant a un énoncé relativement simple, mais la démonstration est en réalité trèslongue.

Théorème 19.103 (Théorème de Jordan[251]).Le complémentaire d’une courbe de Jordan Γ dans un plan affine réel est formé de exactementdeux composantes connexes distinctes, dont l’une est bornée et l’autre non. Toutes deux ont pourfrontière la courbe Γ.

Chapitre 20

Géométrie hyperbolique

20.1 Inversion

Lemme-définition 20.1.Soit un cercle C et un point A du plan R2. Soit une droite passant par A et coupant C en deuxpoints P et P 1 (pas spécialement distincts). Alors le nombre

AP AP 1 (20.1)

ne dépend pas du choix de la droite et est nommé la puissance du point A par rapport au cercleC.

20.1.1 Cercles perpendiculaires

Définition 20.2.Deux cercles sont perpendiculaires lorsque leurs tangentes aux points d’intersections sont per-pendiculaires.

Lemme 20.3 ([1]).Soient deux cercles perpendiculaires C1 et C2. Alors

(1) le centre de C1 est hors de C2.(2) Si ` est une droite passant par ce le centre de C1 (nommé O) et si ` coupe C2 en les deux

points P et P 1, alors P et P 1 sont situés du même côté de O.

Démonstration. Nous nommons O1 le centre de C1 ainsi que Q et Q1 les points d’intersection deC1 avec C2. Si `Q et `Q1 sont les tangentes à C1 en Q et Q1, alors ce sont des rayons de C2 (parceque les cercles sont perpendiculaires). Par conséquent le centre O2 de C2 est le point d’intersectionQ1 “ `Q X `Q1 .

Le triangle O1O2Q est rectangle en Q et donc O1O2 ą QO2. Or le nombre QO2 est lerayon de C2, donc O1 est en dehors de C2.

Ceci achève de prouver le point (1) ; nous démontrons le point (2). Les points P et P 1 sont surle cercle C2, donc tous les points du segment rPP 1s sont dans le cercle. Or le centre de C1 doitêtre en dehors de C2 ; il ne peut donc pas être dans le segment rPP 1s, ce qui prouve que P et P 1ne sont pas de part et d’autre de O sur la droite pOPP 1q.

Proposition 20.4 ([1]).Soit un cercle C1 de centre O et de rayon R.

(1) Un cercle C2 est perpendiculaire à C1 si et seulement s’il existe une droite ` passant parO telle que les points d’intersection tP, P 1u “ ` X C2 soient situés du même côté de O etvérifient

OP OP 1 “ R2. (20.2)

1177

1178 CHAPITRE 20. GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

(2) Dans ce cas, toutes les droites passant par O et coupant C2 en deux points P, P 1 vérifientle fait que P et P 1 soient du même côté de O et OP OP 1 “ R2.

Démonstration. Nous commençons par prouver le point (2). Le fait que les points P et P 1 soientdu même côté de O est le lemme 20.3(2). Pour la relation sur les distances, soit Q P C1 X C2. Vuque C1 et C2 sont perpendiculaires, la droite pOQq ne coupe C2 qu’en ce point, et la puissance deO par rapport au cercle C2 est OQ2 “ R2.

La même puissance peut être calculée via la droite ` :

OP OP 1. (20.3)

Donc OP OP 1 “ R2.Soit un cercle C2 passant par P et P 1. Notons que P et P 1 ne sont pas sur C1 parce qu’ils ne

pourraient pas être alignés avec O. De plus l’un est à l’intérieur de C1 et l’autre à l’extérieur deC1. Les cercles C1 et C2 possèdent donc deux points distincts d’intersections. La puissance de Opar rapport à C2 est :

OP OP 1 “ R2 (20.4)parce que pOP q est une droite coupant C2 en les points P et P 1.

Soit Q un point d’intersection de C1 et C2, et Q1 l’autre point d’intersection de C2 avec ladroite pOQq. La puissance de O par rapport à C2 peut également être calculée à partir de cettedroite (lemme 20.1) et nous avons

OQOQ1 “ R2, (20.5)mais Q P C1, donc OQ “ R et partant OQ1 “ R. Nous en déduisons que Q1 P C1 également.Or Q1 ne peut pas être l’autre point d’intersection de C1 avec C2 (sinon O,Q,Q1 ne seraient pasalignés). Donc Q “ Q1 et nous déduisons que la droite pOQq est tangente à C2.

Le rayon de C1 est tangent à C2. Cela signifie que C1 est perpendiculaire à C2.

20.1.2 Inversion

Proposition-définition 20.5 ([195]).Soit un cercle C de centre O dans R2. Il existe une unique application

iC : R2zO Ñ R2zO (20.6)

telle que(1) iCpxq “ x pour tout x P C(2) iC échange l’intérieur et l’extérieur de C.(3) iC laisse invariants les droites et les cercles orthogonales à C.

Cette application est l’inversion de cercle C.

Démonstration. Soit P à l’intérieur de C, mais différent de O. Nous notons ` la droite pOP q etnous considérons un cercle C2 passant par P et perpendiculaire à C (existence par la proposition20.4). Nous avons ` K C (parce que ` est un rayon) et C2 K C. Donc iCp`q “ ` et iCpC2q “ C2 parl’exigence (3). Mais comme P P `X C2 nous avons aussi

iCpP q P `X C2. (20.7)

Mais ` et C2 se coupent en exactement deux points. Vu que iCpP q doit être hors de C (exigence(2)), avoir iCpP q “ P est impossible. Nous en concluons que iCpP q doit être l’autre intersection.

Nous avons prouvé que les conditions (2) et (3) fixent l’image d’un point situé dans l’intérieurde C.

Si P est extérieur au cercle C, la même procédure fonctionne : nous considérons la droite` “ pOP q et un cercle C2 perpendiculaire à C et passant par P . Encore une fois, ces deux objetssont fixés par iC , et vu que iCpP q doit être à l’intérieur de C, il est fixé.

L’unicité est montrée.En ce qui concerne l’existence, si P ‰ O, la procédure suivante donne P 1 :

20.1. INVERSION 1179

— Soit la droite ` “ pOP q.— Soit un cercle C2 perpendiculaire à C et passant par P .— Le point P 1 est le point de l’intersection C2 X ` qui n’est pas P .

Il est aisé de vérifier que poser iCpP q “ P 1 donne une application qui vérifie toute les propriétés.

20.6.Nous recopions la construction de l’inversion d’un point par rapport à un cercle. Si C1 est un cerclede centre O et P est un point différent de O, alors la procédure suivante construit P 1 “ iC1pP q :

— Soit la droite ` “ pOP q.— Soit un cercle C2 perpendiculaire à C1 et passant par P .— Le point P 1 est le point de l’intersection C2 X ` qui n’est pas P .

Que se passe-t-il si ` et C2 n’ont qu’une seule intersection ? Alors la droite ` “ pOP q est tangenteà C2. Or de O il n’existent que deux droites tangentes à C2, et ce sont les rayons passant parles intersections parce que les cercles sont perpendiculaires. En d’autres mots, cette situation seprésente lorsque P est sur le cercle C1. Dans ce cas, iC1pP q “ P .

Remarque 20.7.Lorsque nous disons qu’une inversion «conserve les droites passant par O», il y a pour sous-entenduque nous considérons la droites privée du point O, parce que de toutes façons, l’inversion n’est pasdéfinie sur O.

Nous allons résoudre cet intéressant problème en 21.6.1, en ajoutant le point 8 à toutes lesdroites.

Corollaire 20.8.L’inversion iC est une involution (i2C “ Id).

Démonstration. Soit un cercle C de centre O et un point P . Si C2 est un cercle perpendiculaire àC passant par P , alors nous avons vu en 20.6 que P 1 “ iCpP q est l’autre intersection entre C2 etla droite pOP q.

Pour construire l’image de P 1, il faut un cercle perpendiculaire à C passant par P 1. Le cercleC2 déjà utilisé fait l’affaire. Ensuite, la droite pOP 1q est la même que la droite pOP q. Donc l’imagede P 1 est P .

Soit C1 le cercle dans C de centre 0 et de rayon 1. Nous notons α : C Ñ C la dilatation derapport R.

Proposition 20.9 ([1]).Soit C le cercle de rayon R centré en 0 (C “ αpC1q). Alors

iαpC1q ˝ α “ α ˝ iC1 . (20.8)

Démonstration. Soit z “ reiθ ; nous devons prouver que

iC`αpzq˘ “ α

`iC1pzq

˘. (20.9)

Nous avons :

iC`αpzq˘ “ iCpRreiθq “ R2 1

Rreiθ “ R

1reiθ “ α

`1reiθ

˘ “ α`iC1pzq

˘. (20.10)

La définition 21.67 pour l’inversion sur C “ CY t8u sera basée sur la proposition suivante.

Proposition 20.10 ([1]).Soit le cercle de rayon R et de centre a P C. Alors

iCpzq “ R2

z ´ a ` a. (20.11)

1180 CHAPITRE 20. GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

De plus si ta est la translation de vecteur a, nous avons la décomposition

itapCRq “ ta ˝ iCR ˝ t´a (20.12)

où CR est le cercle de rayon R centré en 0.

Démonstration. Si z P C et z1 est son image par iC , alors non seulement

a´ z1a´ z “ R2, (20.13)

mais en plus a ´ z1 “ λpa ´ zq pour un certain λ ą 0. Cela est l’expression du fait que z1 est surla demi-droite qui joint a à z. Nous avons donc

λa´ z2 “ R2 (20.14)

et alorsλ “ R2

pa´ zqpa´ zq . (20.15)

En récrivant a´ z1 “ αpa´ zq avec cette valeur de λ nous trouvons

a´ z1 “ R2

a´ z , (20.16)

ce qu’il fallait démontrer.La décomposition demandée est une simple vérification en utilisant iCRpzq “ R2

z qui découlede la proposition 20.9.

Avant d’aller plus loin, donnons l’équation d’un cercle dans C. Si C est un cercle de entre ω etde rayon r, alors z P C si et seulement si dpz, ωq “ r. En développant, et en passant au carré sansperte d’information (les deux membres sont positifs), z P C si et seulement si

pz ´ ωqpz ´ ωq “ r2. (20.17)

Proposition 20.11 ([195, 252]).Soit un cercle C de centre O. L’inversion

iC : R2zt0u Ñ R2zt0u (20.18)

transforme(1) les droites passant par O sur elles-mêmes ;(2) les cercles passant par O en des droites ne passant pas par O ;(3) les droites ne passant pas par O en des cercles passant par O ;(4) les cercles ne passant pas par O en des cercles ne passant pas par O.

Démonstration. Point par point.(1) Une droite passant par O est une droite perpendiculaire à C. Par le point (3) de la définition

20.5, elle est invariante.(2) Nous construisons successivement :

— Un cercle C1 de centre O1 et passant par O. Le but est de déterminer l’image de cecercle.

— Le point P de C1 tel que rOP s en soit un diamètre.— Le point P 1 “ iCpP q.— La droite ` perpendiculaire à pOP q et passant par P 1.

20.1. INVERSION 1181

Nous montrons maintenant que iCpC1ztOuq “ `. Soit Q P C1ztP,Ou. Nous posonsQ1 “ pQOq X `. (20.19)

Vu que rOP s est un diamètre de C1 et que Q P C1, le triangle OPQ est rectangle en Q. Etétant donné que Q1 est sur ` nous savons que OP 1Q1 est rectangle en P 1.De plus les angles en O de ces deux triangles sont identiques (parce que c’est l’angle formépar les droites pOQq et pOP q) ; les triangles OPQ et QP 1Q1 sont donc semblables et nouspouvons utiliser le théorème de Thalès 1 :

OP

OQ“ OQ1

OP 1 . (20.20)

DoncOP OP 1 “ OQOQ1, (20.21)

mais P 1 est l’image de P par l’inversion du cercle C, c’est à dire OP OP 1 “ R2. Nousen déduisons que

OQOQ1 “ R2, (20.22)

c’est à dire que Q1 est l’image de Q par iC , et donc que

iC`C1ztOu

˘ Ă `. (20.23)

Pour avoir l’inclusion inverse, il faut remarquer que ` est parallèle à la tangente à C1 enO. Donc si Q P `, la droite pOQq intersecte le cercle C1 en un point Q1. En refaisant lecheminement du résultat (20.23) à l’envers, il est loisible de prouver que iCpQ1q “ Q etdonc que ` est bien inclue à l’image de C1 par iC .

(3) Nous commençons par prouver que toutes les droites ne passant pas par O sont des imagesde cercles passant par O.Nous considérons :— une droite ` ne passant pas par O.— la droite d, perpendiculaire à ` passant par O— le point P 1 “ `X d,— le point P “ iCpP 1q,— le cercle C1 dont rOP s est un diamètre.Par tout ce que nous avons fait jusqu’à présent, la droite ` est l’image du cercle C1. Or siOP “ r alors

OP 1 “ R2

r. (20.24)

Donc quelle que soit la valeur de OP 1 dans s0,8r, il existera un point P tel que le cerclepassant par O et P ait pour image la droite perpendiculaire à pOP q passant par iCpP q.Étant donné que iC est une involution surjective des cercles passant par O vers les droitesne passant pas par O, elle transforme également toutes les droites ne passant pas par O enun cercle passant par O.

(4) Pour cette partie, nous allons utiliser un peu de géométrie analytique dans C 2 .

Le cas centré Nous supposons que C est centré en 0 et de rayon, 1, ce telle sorte queiCpzq “ 1

z . Soit C1 un cercle de centre ω et de rayon r, ne passant pas par 0, enparticulier tel que |ω| ‰ r.Si z P ipC1q alors ipzq P C1 et nous avons

`ipzq ´ ω˘`ipzq ´ ω˘ “ r2. (20.25)

1. Faites bien le dessin : ce n’est pas une situation de Thalès ultra-standard de collège.2. Principalement parce que je ne comprends pas le raisonnement fait dans [195].

1182 CHAPITRE 20. GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

En développant et en multipliant par zz nous trouvons

ωz ` ωz ` zzpr2 ´ ωωq “ 1. (20.26)

Nous pouvons diviser par pr2 ´ |ω|2q parce que C1 ne passe pas par 0. En remettant enordre, et en notant s “ r2 ´ ωω pour plus de clarté,

`z ´ ω

s

˘pz ´ ω

sq ´ ωω

s2 “ 1s2 , (20.27)

ou encore `z ´ ω

s

˘pz ´ ω

sq “ 1

s` ωω

s. (20.28)

Pour que cela soit l’équation du cercle de centre ωs et de rayon

b1s ` ωω

s2 , il faut vérifierque

1s` ωω

s2 ě 0. (20.29)

En multipliant par s2, il s’agit de vérifier que s ` ωω ě 0, ce qui est correct parce ques` ωω “ r.En résumé, si z P ipC1q alors z est dans le cercle C2 de centre ω

s et de rayon rs . Étant

donné que r ‰ ω nous savons que ce dernier cercle ne passe pas par 0.Nous avons prouvé que ipC1q Ă C2. Pour prouver l’inclusion inverse, vu que i est uneinvolution, il faut prouver ipC2q Ă C1. Pour cela nous écrivons l’équation qui donneipzq P C2 et en développant nous devons conclure que z P C1. Nous ne le faisons pas ici.

Le cas de rayon non unité Pour un cercle quelconque, il faut passer par la formule (20.11).Si z P iCpC1q alors ipzq P C1 et nous pouvons écrire

`ipzq ´ a˘`ipzq ´ a˘ “ R2. (20.30)

De là il faut déduire que z est sur un cercle ne passant pas par 0. Bons calculs. . .

Chapitre 21

Espaces projectifs

Sur les espaces projectifs : [253].

Définition 21.1.Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps commutatif K. Nous définissons surEzt0u la relation d’équivalence u „ v si et seulement si u “ λv pour un certain λ P K. Cetterelation est la relation de colinéarité. L’ensemble des classes d’équivalence de „ est l’espaceprojectif de E et sera noté P pEq.Définition 21.2.Si dimE “ 2, l’ensemble P pEq est la droite projective, et si dimE “ 3 nous parlons du planprojectif.

Étant donné que tous les K-espaces vectoriels de dimensions n ` 1 sont isomorphes à Kn`1,nous noterons PnpKq ou Pn l’espace projectif P pKn`1q.Exemple 21.3Si n “ 1 et K “ R, l’espace projectif est l’ensemble des droites vectorielles dans le plan usuel. Ily en a une pour chaque point du type px, 1q avec x P R et ensuite une horizontale, passant par lepoint p1, 0q. Nous avons donc

P1pRq “ tp1, 0qu Y tpx, 1q tel que x P Ru. (21.1)

Le point p1, 0q est dit «point à l’infini». 4

21.1 Sous espaces projectifs

Un sous-espace projectif de P pEq est une partie de la forme P pF q où F est un sous-espacevectoriel de E.

Proposition 21.4.Si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E, alors

P pF q X P pGq “ P pF XGq (21.2)

et nous avonsdimP pF q ` dimP pGq “ dimP pF `Gq ` dimP pF XGq. (21.3)

Démonstration. Nous avonsP pF q “ trvs tel que v P F u (21.4)

où les crochets signifient la classe par rapport à la relation de colinéarité. Nous avons alors

P pF q X P pGq “ trvs tel que v P F XGu “ P pF XGq. (21.5)

1183

1184 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Cela prouve le premier point.En ce qui concerne l’équation (21.3), en considérant dimP pEq “ dimE´1 nous devons prouver

l’égalitédimF ` dimG “ dimpF `Gq ` dimpF XGq (21.6)

concernant les dimensions des espaces vectoriels usuelles. Si nous considérons une base de E telleque B1 “ te1, . . . , ek1u est une base de F XG, B2 “ tek1`1, . . . , ek2u complète B1 en une base deF et B3 “ tek2`1, . . . , enu complète B1 YB2 en une base de G.

Nous avons alors

dimF ` dimG “ 2 CardpB1q ` CardpB2q ` Cardpb3q (21.7a)dimpF `Gq “ CardpB1q ` Cardpb2q ` CardpB3q (21.7b)dimpF XGq “ CardpB1q. (21.7c)

De là la relation (21.3) se déduit immédiatement.

Théorème 21.5 (incidence).Soient F et F deux sous-espaces vectoriels de E tels que

dimP pF q ` dimP pGq ě dimP pEq. (21.8)

Alors P pF q X P pGq ‰ H.

Démonstration. En utilisant les hypothèses et la proposition 21.4 nous avons

dimP pEq ` dimP pGq “ dimP pF `Gq ` dimP pF XGq ě dimP pEq. (21.9)

En passant aux espaces vectoriels correspondants,

dimpF `Gq ` dimpF XGq ě dimpEq ` 1. (21.10)

Mais nous avons aussi dimpF ` Gq ď dimpEq et par conséquent dimpF X Gq ě 1. Au final,dimP pF XGq ě 0. Cela prouve que P pF XGq contient au moins un élément (nous rappelons quelorsqu’un espace projectif contient un seul élément, sa dimension est zéro).

Exemple 21.6Soient les plans Π1 ” x “ 0 et Π2 ” y “ 0. Nous avons

P pΠ1q “ tr0, y, 1su Y tr0, 1, 0su (21.11a)P pΠ2q “ trx, 0, 1su Y tr1, 0, 0su (21.11b)

où le crochet signifie la classe pour la colinéarité. Ces deux droites projectives ont comme pointd’intersection le point r0, 0, 1s. 4

Définition 21.7.Un hyperplan projectif est un sous-espace projectif de P pEq de la forme P pV q où V est unhyperplan de E.

Définition 21.8.Soit E un espace vectoriel de dimension au moins 3. Nous disons que d Ă P pEq est une droiteprojective de P pEq si d “ P pDq pour une plan vectoriel D Ă E.

Nous disons que trois points de P pEq sont alignés lorsqu’il existe une droite projective lescontenant.

21.9.Dans la définition 21.8 nous voyons P pDq comme inclus à P pEq dès que D est un sous-espacevectoriel de E. Cela est possible parce que si la direction de v P D, c’est à dire la classe rvs estégalement une direction dans E.

21.2. ESPACE PROJECTIFS COMME «COMPLÉTÉS» D’ESPACES AFFINES 1185

Le lemme suivant peut paraître idiot, mais ce qui serait sûrement idiot est de l’utiliser sanss’en rendre compte.

Lemme 21.10.Deux points dans P pEq sont toujours alignés.Démonstration. Soient deux points A,B P P pEq. Si A “ πpaq et B “ πpbq alors le plan D passantpar a, b et 0 est vectoriel et P pDq contient A et B.

Note : si a, b et 0 sont trois points alignés, alors A “ B. Il suffit de prendre les points a,c et 0 où c P E est un point quelconque non aligné avec 0 et a. Nous avons de toutes façonsA “ B “ πpaq.Lemme 21.11.Trois points distincts A, B, C dans P pEq sont alignés si et seulement si il existe trois points nonalignés a, b, c P E tels que

(1) le plan passant par a, b et c est vectoriel (c’est à dire passe par 0),(2) A “ πpaq, B “ πpbq, et C “ πpcq.

Démonstration. Deux implications à montrer.Sens direct Soient A, B, C distincts et alignés dans P pEq. Alors il existe un plan vectoriel D

tel que A,B,D P P pDq.La condition A P P pDq implique qu’il existe a P D tel que A “ πpAq. Idem pour B et C.Les points a, b et c ainsi construits sont distincts parce que A, B et C sont distincts. Sipar malheur ces trois points étaient alignés, ce n’est pas grave : il suffit de remplacer a parλa avec λ ‰ 0 pour qu’ils ne le soient plus (cette manipulation ne change pas le fait que lenouveau choix de point a reste dans D parce que D est vectoriel). Nous avons donc troispoints non alignés a, b et c tous contenus dans D. Le plan D répond à la question.

Sens réciproque Soient a, b et c non alignés dans E tels que A “ πpaq, B “ πpbq et C “ πpcq.Le plan D les contenant tous trois est vectoriel par hypothèse. Nous avons A,B,C P P pDqet donc A,B et C sont alignés dans P pEq.

Proposition 21.12.Soit H “ P pV q un hyperplan projectif de P pEq et soit m hors de H. Alors toute droite projectivepassant par m coupe H en un et un seul point.

Démonstration. Si dimE “ n nous avons dimV “ n ´ 1. Soit d “ P pDq une droite projectivepassant par m, c’est à dire que D est de dimension 2 dans E. Si D Ă V alors m P P pDq Ă P pV q ;or nous avons demandé que m soit hors de P pV q. Par conséquent D n’est pas inclus à V et enparticulier dimpD ` V q “ dimpEq.

Nous recopions la formule (21.3) pour notre cas :

dim dloomoon“1

` dimHloomoon“n´2

“ dimP pD ` V qloooooooomoooooooon“n´1

` dimP pD X V q. (21.12)

Nous avons donc dimP pDXV q “ 0, ce qui signifie que l’ensemble P pDXV q “ P pDqXP pV q “ dXHcontient un et un seul point.

21.2 Espace projectifs comme «complétés» d’espaces affinesSoit E un espace vectoriel de dimension 2 et P pEq la droite projective correspondante, et soit

te1, e2u une base de E. Nous considérons la droite affine d ” y “ 1. Nous avons la bijection

φ : dY t8u Ñ P pEqpx, 1q ÞÑ la droite vectorielle passant par px, 1q8 ÞÑ la droite vectorielle passant par p1, 0q.

(21.13)

1186 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Lemme 21.13.Si nous munissons l’ensemble dYt8u de la topologie compactifiée d’Alexandroff, la bijection (21.13)est un homéomorphisme.

Soient maintenant les plans affines dans l’espace vectoriel E de dimension 3

Π1 ” z “ 0 (21.14a)Π2 ” z “ 1. (21.14b)

Une droite (vectorielle) de E coupe Π2 en un et un seul point, sauf si elle est contenue dans Π1.Nous avons donc une bijection

φ : P pEq Ñ Π2 Y P pΠ1q

d ÞÑ#

Π2 X d si cette intersection est non vided sinon.

(21.15)

La droite projective P pΠ1q est la droite à l’infini du plan projectif P pEq. Nous voyons que le planprojectif P pEq peut être vu comme un plan affine pΠ2q «complété» par une droite affine P pΠ1q.Cette dernière droite est elle-même une droite affine complétée par un point à l’infini.

Nous pouvons généraliser cette démarche en considérant un espace affine E de direction E surle corps K. Nous construisons F “ E ˆ K et nous considérons un repère affine sur F tel queE ” xn`1 “ 0. Nous pouvons donc identifier E à l’hyperplan affine d’équation xn`1 “ 1 dans F .

Une droite vectorielle de F non contenue dans E coupe E en un unique point ; nous avons doncune bijection

E Y P pEq Ñ P pF q. (21.16)

Dans ce cadre, P pEq est l’hyperplan à l’infini et nous disons que P pEq est la complétion pro-jective de E .

Exemple 21.14Nous considérons les plans affines

Π1 ” z “ 0 (21.17a)Π2 ” z “ 1 (21.17b)

et nous avons la bijectionP pEq “ Π2 Y P pΠ1q. (21.18)

Un plan affine D a deux possibilités : soit il coupe Π2 en une droite, soit il est égal à Π1. SiD XΠ2 “ d (d est une droite affine), alors nous avons

P pDq “ dY t8Du, (21.19)

ce qui justifie la terminologie comme quoi P pDq est une droite dans P pEq. 4

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et le plan projectif P pEq. Nous avons deux types dedroites projectives :

(1) D’abord nous avons la droite à l’infini, donnée 1 par P pz “ 0q.(2) Ensuite nous avons toutes les droites affines du plan z “ 1. Chacune de ces droites est

complétée par un point à l’infini.

Exemple 21.15Étudions un peu le second type de droites. D’abord si deux droites sont parallèles, leurs points à

1. Dans notre représentation usuelle du plan projectif z “ 1.

21.2. ESPACE PROJECTIFS COMME «COMPLÉTÉS» D’ESPACES AFFINES 1187

l’infini sont identiques. Prenons par exemple les droites d “ tz “ 1, x “ 1u et d1 “ tz “ 1, x “ 2u.Elles décrivent les directions des vecteurs

¨˝

1y1

˛‚ et

¨˝

2y1

˛‚. (21.20)

En normalisant, ce sont les vecteurs

1a2` y2

¨˝

1y1

˛‚ et 1a

5` y2

¨˝

2y1

˛‚, (21.21)

et toutes deux tendent vers le vecteur p0, 1, 0q pour y Ñ8. 4

Lemme 21.16.Deux droites d’un plan projectif ont toujours une intersection.

Démonstration. Si les deux droites sont des droites affines non parallèles, le résultat est évident.Si elles sont parallèles, alors l’intersection est donnée par le point à l’infini comme indiqué dansl’exemple 21.15.

Supposons que d est la droite à l’infini tandis que d1 est une droite affine. Dans notre repré-sentation usuelle du plan affine, la droite à l’infini d a contient les vecteurs p1, y, 0q et le point àl’infini p0, 1, 0q. La droite affine d1 a pour équation paramétriques

$’&’%

x “ at` c (21.22a)y “ bt` d (21.22b)z “ 1. (21.22c)

Les directions données par la droite d1 sont donc

1a2t2 ` b2t2 ` c2 ` d2

¨˝at` cbt` d

1

˛‚ (21.23)

Son point à l’infini est la direction du vecteur pa, b, 0q, qui est bien un point de la droite à l’infini(éventuellement son point à l’infini 2).

La plupart du temps nous considérons le plan projectif comme étant le plan affine z “ 1 del’espace affine de dimension 3 complété par la droite affine x “ 1, z “ 0, elle-même complétée par lepoint p0, 1, 0q. Ce n’est évidemment pas la seule manière. Tout plan peut être considéré comme leplan à l’infini et pour une droite projective, tout point peut être considéré comme point à l’infini.

Sur la figure 21.1(a), le point à l’infini est la direction p1, 0q tandis que la direction p1, 1q n’a riende spécial. À l’inverse sur la figure 21.1(b), la direction à l’infini est p1, 1q tandis que la directionp1, 0q est une direction usuelle.

Remarque 21.17.Du point de vue de la topologie, si nous mettons celle de la compactification d’Alexandroff, tousles points de la droite projective sont équivalents.

Du point de vue de la géométrie différentielle, c’est la même chose. En effet nous pouvonsmettre sur la droite projective un système de deux cartes en pensant aux angles. La première surs´a, ar avec par exemple a ă π4. La seconde carte serait sa2, πr. Dans ce cas la direction θ “ 0semble jouer un rôle spécial, mais il n’en est rien.

Nous pouvons également considérer les cartes sπ4´ a, π4` ar et sπ4` a2, 5π4r. Dans cescartes, c’est plutôt le point θ “ π4 qui semble différent (encore qu’il soit bien centré dans unecarte).

2. D’accord, aller chercher le point à l’infini de la droite à l’infini, c’est chercher loin, mais n’empêche que çaexiste.

1188 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

‚´3 ´2 ´1 1 2 3

1

(a) Ici le point à l’infini est la direction p1, 0q.

‚

´2 ´1 1 2

1

2

(b) Ici le point à l’infini est la direction p1, 1q.

Figure 21.1 – Deux façons de voir la droite projective. Étant donné que les points de la droiteprojective doivent être interprétés comme des directions (des classes d’équivallence), en réalité lesdeux dessins représentent les mêmes ensembles.

21.3 Théorème de PappusThéorème 21.18.Soient deux droites d et d1 dans un plan affine. Soient A,B,C P d et A1, B1, C 1 P d1 tels queAB1 ‖ BA1 et BC 1 ‖ B1C. Alors AC 1 ‖ A1C.

Démonstration. Si d et d1 ne sont pas parallèles nous considérons o, le point d’intersection. Lesrelations de parallélisme des hypothèses impliquent qu’il existe λ1 et λ2 tels que

"A “ λ1B (21.24a)B1 “ λ1A

1 (21.24b)

et"B1 “ λ2C

1 (21.25a)C “ λ2B. (21.25b)

En substituant nous trouvons$’’&’’%

C “ λ2λ1A (21.26a)

A1 “ λ2λ1C 1, (21.26b)

ce qui implique que A1C ‖ AC 1.Si les droites d et d1 sont parallèles, alors nous avons les translations

"B “ A` x (21.27a)A1 “ B1 ` x (21.27b)

et"B “ C ` y (21.28a)C 1 “ B1 ` y, (21.28b)

ce qui montre que"C “ A` x´ y (21.29a)A1 “ C 1 ` x´ y, (21.29b)

et donc que A1C ‖ AC 1.

Le théorème suivant est une version projective.

Théorème 21.19.Soient d et d1 deux droites projectives d’un plan projectif. Soient A,B,C P d et A1, B1, C 1 P d1.Alors les points B1C X C 1B, C 1AXA1C et A1B XB1A sont alignés.

21.4. HOMOGRAPHIES 1189

Démonstration. Soient E “ BC 1 X C 1B et E1 “ C 1A X A1C. Ces deux points existent parce quedeux droites projectives distinctes ont toujours un unique point d’intersection. Nous allons prendreEE1 comme droite à l’infini et prouver que le point A1B X B1A est dessus. Étant donné que lepoint d’intersection de B1C et C 1B est à l’infini nous avons B1C ‖ C 1B (cela est un exemple dela flexibilité de la notion de parallélisme en géométrie projective). De la même façon nous avonsC 1A ‖ A1C.

Par le théorème de Pappus affine nous avons alors A1B ‖ B1A et par conséquent le pointd’intersection est sur la droite à l’infini, c’est à dire sur la droite EE1.

21.4 Homographies

21.4.1 Homographies

Définition 21.20.Soient E et F deux espaces vectoriels avec leurs projections naturelles

πE : Ezt0u Ñ P pEq (21.30a)πF : F zt0u Ñ P pF q. (21.30b)

Une application g : P pEq Ñ P pF q est une homographie s’il existe un isomorphisme d’espacesvectoriels g : E Ñ F tel que le diagramme

Ezt0u g //

πE

F zt0uπF

P pEq g// P pF q

(21.31)

commute, c’est à dire s’il existe g : E Ñ F telle que

πF`gpvq˘ “ g

`πEpvq

˘(21.32)

pour tout v P E.Lemme 21.21.Si g : E Ñ F est linéaire et si ker g “ t0u alors l’application g définie par

g`πEpvq

˘ “ πF`gpvq˘ (21.33)

est une homographie.

Démonstration. Nous devons simplement vérifier que l’équation (21.33) définit bien une applica-tion. Soient v, w P E tels que πEv “ πEw ; nous devons montrer que

πF gv “ πF gw. (21.34)

L’équation (21.34) sera vérifiée si et seulement s’il existe λ P R tel que gv “ λgw, c’est à dire siet seulement si gpv ´ λwq “ 0. Étant donné que nous supposons que le noyau de g est réduit àt0u, l’équation (21.34) sera vérifiée si et seulement si v “ λw, ce qui signifie exactement πEpvq “πEpwq.

La proposition suivante donne les premières propriétés des homographies.

Proposition 21.22.Quelques propriétés des homographies.

(1) Une homographie est bijective.(2) Si deux espaces projectifs sont homographes, alors ils ont même dimension.

1190 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

(3) L’ensemble des homographies P pEq Ñ P pF q est un groupe (pour la composition).(4) Une homographie conserve l’alignement des points.

Démonstration. Nous considérons une homographie g : P pEq Ñ P pF q, et g l’isomorphisme d’es-paces vectoriels correspondant.

(1) Pour l’injectivité, si g`rvs˘ “ g

`rws˘ alors en utilisant la définition d’une homographie,πF gv “ πF gw, ce qui implique que gv “ λgw, et donc v “ λw, ce qui signifie rvs “ rws.Pour la surjectivité, un élément général de P pF q prend la forme πF gv pour un certain v P E.Nous avons g

`πEv

˘ “ πF gv. Par conséquent l’élément πF gv est bien dans l’image de g.(2) Une homographie P pEq Ñ P pF q n’existe que s’il existe un isomorphisme E Ñ F . Les

dimensions sont donc automatiquement égales.(3) Il suffit de vérifier que l’application

ϕ : P pEq Ñ P pEqπF gv ÞÑ πEv

(21.35)

est bien définie et donne l’inverse de g.(4) Soient les points A,B,C alignés dans P pEq ; ils correspondent à des directions de E qui

sont données par des vecteurs situés sur la même droite affine. Autrement dit, il existe troispoints a, b, c P E situés sur la même droite affine tels que A,B,C “ πEpa, b, cq. Les imagespar g sont données par πF ga, πF gb, et πF gc.Étant donné qu’un isomorphisme d’espaces vectoriels conserve l’alignement affin, les pointsga, gb et gc sont alignés dans F . Cela implique que les projections par πF sont alignés dansP pF q.

21.4.2 Le groupe projectif

Définition 21.23.Le groupe des homographies de l’espace P pEq est le groupe projectif, noté PGLpEq.

Nous avons une surjection naturelle

GLpEq Ñ PGLpEqg ÞÑ g

(21.36)

qui s’avère être un morphisme de groupes.

Proposition 21.24.Nous avons l’isomorphisme de groupes

GLpEqthomothétiesu » PGLpEq. (21.37)

Démonstration. Nous devons prouver que le noyau de l’application (21.36) est constitué des homo-théties. Considérons un automorphisme d’espace vectoriel f : E Ñ E dont l’homographie associéeest l’identité, et prouvons que f est une homothétie. Nous avons le diagramme commutatif suivant :

Ezt0u f //

πE

Ezt0uπE

P pEqId// P pEq.

(21.38)

Pour tout vecteur v P E nous avons πEpvq “ πE`fpvq˘. Cela implique qu’il existe λ P R tel que

fpvq “ λv. Tous les vecteurs de E sont donc des vecteurs propres de f . Cela n’est possible que sitoutes les valeurs propres sont identiques, c’est à dire que f est une homothétie.

21.4. HOMOGRAPHIES 1191

21.4.3 Repères projectifs

Si nous avons une base teiu de Rn nous associons à M P P pEq les coordonnées pX : Y : T q.Mais si on prend la base t2e1, e2, . . . , enu, les coordonnées du même point deviennent pX2 : Y : T qalors que du point de vue de l’espace projectif, rien n’a été changé : la classe de e1 est la mêmeque celle de 2e1. Les coordonnées homogènes ne sont donc pas intrinsèques.

Définition 21.25 ([254]).Des éléments tPiuiPI sont projectivement independents si en choisissant vi P π´1pPiq nousobtenons des vecteurs tviuiPI linéairement indépendants.

Définition 21.26.Soit E un espace vectoriel de dimension n ` 1. Un repère projectif de P pEq est la donnée den` 2 points m0, . . . ,mn`1 tels que

(1) les vecteurs mi, i ‰ 0, sont les images d’une base teiu de E(2) m0 “ πEpe1 ` e2 ` . . .` en`1q.Note que si mk “ πEpvkq (k “ 0, . . . , n` 1), alors tout choix de n` 1 vecteurs parmi les vk est

une base de E.

Exemple 21.27Un repère projectif de l’espace P pR3q est par exemple les éléments tmiui“1,...,3 donnés par

m1 “ πpe1q (21.39a)m2 “ πpe2q (21.39b)m3 “ πpe3q (21.39c)

m0 “ πpe1 ` e2 ` e3q. (21.39d)

4

Exemple 21.28Pour P pC2q, un repère projectif possible est m1 “ r1, 0s, m2 “ r0, 1s, m0 “ r1, 1s. 4

21.29.Pourquoi voulons nous des repères projectifs ? Pourquoi demander un quatrième élément alors quetrois devraient suffire ? Le fait est que si E est de dimension 3, nous voudrions pouvoir identifierE et P pR3q.

Plus précisément, si E est de dimension n ` 1 et possède une base tfiui“1,...,n`1, il existe ununique isomorphisme d’espaces vectoriels E Ñ Rn`1 qui envoie cette base sur la base canoniquede Rn`1. La base de E étant fixée, nous pouvons donner à un point de E les coordonnées de sonimage dans Rn`1 par cet isomorphisme qui est unique.

Dans le cas des espaces projectifs, nous voudrions avoir une unique homographie φ : P pEq ÑP pRn`1q qui permet de donner à un point A P E les coordonnées de π´1`φpAq˘. Bien entendu cedernier n’est pas un élément bien défini de Rn`1 parce qu’il y a toute une droite d’éléments de Rn

qui se projettent sur φpAq.L’idée d’imposer un point de plus est la bonne. Si nous imposons un point de plus, nous pouvons

dire que les coordonnées de A P P pEq sont celles dans Rn`1 de l’élément de π´1`φpAq˘ dont ladernière coordonnée est par exemple 1.

Nous allons maintenant mettre ça en musique.

D’abord nous donnons un exemple de non unicité.

Exemple 21.30Soit un espace vectoriel E de dimension 2 et une base tb1, b2u de E. Nous considérons égalementl’espace R2 muni de sa base canonique te1, e2u.

1192 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Soit une homographie φ : P pEq Ñ P pR2q telle que

φ`πpbiq

˘ “ πpeiq (21.40)

pour i “ 1, 2. Nous allons facilement construire une autre homographie qui vérifie les mêmesconditions.

L’idée est la suivante. L’espace P pEq peut être vu comme la droite complétée tpx, 1quxPR Ytp1, 0qu et l’espace P pR2q également. Une homographie respectant (21.40) doit envoyer le p1, 0q deE vers le p1, 0q de R2 et le p1, 1q de E vers le p1, 1q de R2. Mais en ce qui concerne le reste de ladroite, l’homographie peut la parcourir à la vitesse qu’elle veut.

Il faut envoyer

‚πpb1q

‚πpb2q

sur‚

πpe1q

‚πpe2q

Soit donc une homographie φ : P pEq Ñ P pR2q, et nous définissonsφ1 : P pEq Ñ P pR2q

πpxb1 ` yb2qφ`πpxb1 ` λyb2q

˘ (21.41)

pour un certain λ ‰ 1. En ce qui concerne le relèvement, l’application φ1 : E Ñ R2 donnée par

φ1pxb1 ` yb2q “ φpxb1 ` λyb2q (21.42)

est bien définie et vérifieπR2 ˝ φ “ φ ˝ πE . (21.43)

Donc φ1 est une homographie. De plus

φ1`πpb1q

˘ “ φ`πpb1q

˘(21.44a)

φ1`πpb2q

˘ “ φ`πpλb2q

˘ “ φ`πpb2q

˘(21.44b)

parce que πpλb2q “ πpb2q.Nous n’avons donc pas l’unicité. 4

C’est pour rétablir cette unicité que nous demandons d’avoir un point de plus pour avoir unrepère projectif. De cette façon nous aurons une unique homographie φ : P pEq Ñ P pRn`1q vérifiantφ`πEpbiq

˘ “ πRn`1peiq pour tout i “ 0, . . . , n` 1.

Lemme 21.31.Soit un espace vectoriel E de dimension n ` 1 muni de deux bases teiui“1,...,n`1 et tfiui“1,...,n`1.Soit un repère projectif tm0,miui“1,...,n`1 de P pEq.

Si πpeiq “ πpfiq “ mi pour tout i “ 1, . . . , n` 1 et si

πpe1 ` . . .` en`1q “ πpf1 ` . . .` fn`1q (21.45)

alors les deux bases sont proportionnelles : il existe λ tel que fi “ λei pour i “ 1, . . . , n` 1.

Démonstration. Nous avons πpeiq “ πpfiq pour tout i “ 1, . . . , n ` 1. Donc pour chaque i “1, . . . , n`1 il existe λi P K tel que ei “ λfi. Nous devons voir que les λi sont en réalité tous égaux.

Pour cela nous avons aussi l’égalité pour i “ 0 :

πpe1 ` . . .` en`1q “ πpf1 ` . . .` fn`1q, (21.46)

ce qui donne un µ P K tel que e1 ` . . .` en`1 “ µpf1 ` . . .` fn`1q, c’est à dire

λ1f1 ` . . .` λn`1fn`1 “ µf1 ` . . .` µfn`1. (21.47)

Du fait que les fi forment une base, cette égalité impose à tous les λi d’être égal à µ.

21.4. HOMOGRAPHIES 1193

Théorème 21.32 ([255]).Soient P pEq et P pF q deux espaces projectifs de dimensions n.

(1) Une homographie P pEq Ñ P pF q envoie un repère projectif sur un repère projectif.(2) Si pm0, . . . ,mn`1q est un repère projectif de P pEq, si pm10, . . . ,m1n`1q est un repère projectif

de P pF q alors il existe une unique homographie g : P pEq Ñ P pF q telle que gpmiq “ m1ipour tout i “ 0, 1, . . . , n` 1

Démonstration. Un point à la fois.(1) Soit une homographie φ : P pEq Ñ P pF q et un repère projectif tm0,m1, . . . ,mn`1u de P pEq.

Nous posonsm1i “ φpmiq pour tout i “ 0, . . . , n`1. Nous devons prouver que cesm1i formentun repère projectif de P pF q.D’abord pour i “ 1, . . . , n`1 nous avonsm1i “ φ

`πEpeiq

˘ “ πF`φpeiq

˘, mais tφpeiqui“1,...,n`1

est une base de F parce que φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Donc oui : les m1i(i “ 1, . . . , n` 1) sont les projetés d’une base de F .Nous posons au passage fi “ φpeiq. En ce qui concerne m0 nous savons que m0 “ πEpe1 `. . .` en`1q etm10 “ φ

`πEpe1 ` . . .` en`1q

˘ “ πF`φpe1 ` . . .` en`1q

˘ “ πF pf1 ` . . .` fn`1q, (21.48)

ce qui termine de montrer que tm1iui“0,...,n`1 est un repère projectif de P pF q.(2) Soient un repère projectif pm0, . . . ,mn`1q de P pEq et un repère projectif pm10, . . . ,m1n`1q

de P pF q. Nous choisissons des bases teiu de E et tfiu de F telles que

mi “ πEpeiq (21.49a)m1i “ πF pfiq (21.49b)

pour i “ 1, . . . , n` 1 et

m0 “ πEpe1 ` . . .` en`1q (21.50a)m10 “ πF pf1 ` . . .` fn`1q. (21.50b)

Nous considérons un isomorphisme d’espace vectoriel φ : E Ñ F tel que φpeiq “ fi pourtout i, et nous voulons définir φ : P pEq Ñ P pF q par

φ`πEpvq

˘ “ πF`φpvq˘. (21.51)

Cela est bien définit parce que si πEpvq “ πEpwq alors w “ λv et

πF`φpλvq˘ “ πF

`λφpvq˘ “ πF

`φpvq˘. (21.52)

L’application définie par (21.51) est une homographie qui envoie mi sur m1i pour touti “ 0, . . . , n` 1. Ceci prouve la partie «existence» du point (2).Pour l’unicité, soient des homographies

φ1 : P pEq Ñ P pF q (21.53a)φ2 : P pEq Ñ P pF q (21.53b)

telles que φ1pmiq “ φ2pmiq pour tout i “ 0, . . . , n` 1. Soit aussi une base teiui“1,...,n`1 deE adaptée au repère projectif, c’est à dire mi “ πEpeiq pour i “ 1, . . . , n ` 1 et πEpe1 `. . . ` en`1q “ m0. Nous considérons aussi les isomorphismes d’espaces vectoriels φ1 et φ2.Avec tout ce beau monde nous avons

φ1pmiq “ πE`φ1peiq

˘(21.54a)

φ2pmiq “ πE`φ2peiq

˘. (21.54b)

1194 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Mais nous savons que φ1pmiq “ φ2pmiq, donc nous savons que πE`φ1peiq

˘ “ πE`φ2peiq

˘, ce

qui nous fait conclure queφ1peiq “ λiφ2peiq (21.55)

pour certaines constantes λi P K. Le même raisonnement appliqué à m0 nous donne unµ P K tel que

φ1pe1q ` . . .` φ1pen`1q “ µ`φ2pe1q ` . . .` φ2pen`1q

˘. (21.56)

En mettant l’un dans l’autre :

λ1φ2pe1q ` . . .` λn`1φ2pen`1q “ µ`φ2pe1q ` . . .` φ2pen`1q

˘. (21.57)

Sachant que tφ2peiqui“1,...,n`1 est une base de F et nous souvenant de l’unicité de la dé-composition d’un élément dans une base 3, nous en déduisons que tous les λi doivent êtreégaux à µ. Donc pour tout v P E nous avons φ1pvq “ λφ2pvq.Cela a pour conséquence que φ1 “ φ2.

21.33.Si nous avons une droite projective, trois points sont nécessaires pour créer un repère et donc pourconstruire une homographie de la droite sur elle-même. Soit E un espace vectoriel de dimension2 et P pEq la droite projective qui lui est associée. Soit une homographie f : P pEq Ñ P pEq etf : E Ñ E, l’isomorphisme d’espaces vectoriels associé (par f ˝ πE “ πE ˝ f). Si te1, e2u est unebase de E alors l’application f a une matrice

A “ˆa11 a12a21 a22

˙PMp2,Kq (21.58)

avec detA ‰ 0 parce que f est un isomorphisme.La plupart des points de P pEq sont représentés par des points de la forme pz, 1q. Nous voudrions

savoir quelle est la direction représentée par le point fpz, 1q ; c’est à dire que nous voudrions savoirfprz, 1sq sous la forme rz1, 1s (si possible). Nous avons

fpz, 1q “ pa11z ` a12, a21z ` a22q. (21.59)

Nous posons λ “ a21z ` a22 et nous avons

fpz, 1q “ λ

ˆa11z ` a12

λ, 1˙. (21.60)

Il y a plusieurs possibilités suivant les valeurs de λ et de z.(1) Si λ “ 0 c’est que nous avons fpz, 1q “ pa11z` a12, 0q. L’application f envoie donc le point

pz : 1q sur le point à l’infini.(2) Si λ ‰, alors f envoie le point pz : 1q vers un autre point «normal».(3) Si le point de départ est le point à l’infini alors fp1, 0q “ pa11, a21q. Cela peut être le point

à l’infini ou non selon les valeurs des aij .Dans tous les cas si nous posons

$’&’%

ϕf pzq “ a11z ` a12a21z ` a22

(21.61a)

ϕf p8q “ a11a21

(21.61b)

alors nous avonsfpz, 1q “ `

ϕf pzq, 1˘. (21.62)

Si nous prenons la convention que 10 “ 8 et que p8, 0q est le point à l’infini, alors cette application

ϕf donne bien toutes les valeurs de f , y compris les cas à l’infini.3. Proposition 7.6.

21.4. HOMOGRAPHIES 1195

Lemme 21.34 ([256]).Trois points distincts d’une droite projective forment un repère projectif.

Démonstration. Soit une droite projective d “ P pEq où E est un espace vectoriel de dimension2 sur le corps K. Soient trois points distincts A, B et C de d. Nous avons a, b, c P E tels queA “ πpaq, B “ πpbq et C “ πpcq. Vu que A ‰ B, les vecteurs a et b ne sont pas proportionnels etla partie ta, bu est libre dans E. Autrement dit, c’est une base 4.

Il existe donc α, β P K tels que c “ αa` βb. De plus α et β ne sont pas nuls parce que C ‰ Aet C ‰ B. En prenant a1 “ αa, b1 “ βb et c1 “ c nous avons : A “ πpa1q, B “ πpb1q, C “ πpc1q enmême temps que ta1, b1u est une base de E et c1 “ a1 ` b1. Donc A,B,C est un repère projectif ded “ P pEq.

Corollaire 21.35 ([257]).Soient E et F des espaces vectoriels de dimension 2. Soient Ai (i “ 1, 2, 3) des points distincts surP pEq et Bi distincts sur P pF q. Alors il existe une unique homographie P pEq Ñ P pF q portant Aisur Bi pour tout i “ 1, 2, 3.

Démonstration. Il s’agit de mettre en conjonction le lemme 21.34 qui dit que les Ai forment unrepère projectif de P pEq (idem : les Bi forment un repère projectif de P pF q) et le théorème 21.32(2)qui dit que l’une va sur l’autre par une unique homographie.

21.4.4 Identifications P pK2q vers KY t8u

Pour rappel, une droite projective est l’espace projectif modelé sur un espace vectoriel dedimension deux (définition 21.8).

21.36.Nous allons faire un usage assez intense de bijections entre P pK2q et K “ KY t8u. Une possibleest

ϕ0 : P pK2q Ñ KY t8u

rk1, k2s ÞÑ#k1k2

si k2 ‰ 08 si k2 “ 0.

(21.63)

Notons que nous utilisons ici le fait que K soit commutatif, sinon il aurait fallu choisir k1k´12 ou

k´12 k1 au lieu d’écrire gentiment k1k2.

Corollaire 21.37.Soit une bijection ϕ : P pK2q Ñ K. Les points tϕ´1p8q, ϕ´1p0q, ϕ´1p1qu forment un repère projectifde P pK2q.Démonstration. Il s’agit seulement d’une application du lemme 21.34.

Juste pour l’amusement, nous allons le prouver explicitement pour la bijection ϕ “ ϕ0 donnéeen (21.63). Un repère projectif est la définition 21.26. Nous avons

ϕ´10 p8q “ r1, 0s “ πK2

`p1, 0q˘ (21.64a)ϕ´1

0 p0q “ r0, 1s “ πK2`p0, 1q˘ (21.64b)

ϕ´10 p1q “ r1, 1s “ πK2

`p1, 1q˘ (21.64c)

Les points p1, 0q et p0, 1q forment un base de K2 et nous avons bien p1, 1q “ p1, 0q ` p0, 1q. Donc letout vérifie bien la définition d’un repère projectif.

D’autre part, comme il est plus agréable de travailler avec K qu’avec P pK2q nous avons envie devoir K comme un espace projectif (qu’il n’est pas). Il y a cependant nombre d’autres identifications

4. Il convient de citer ici le théorème 7.14(3).

1196 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

possibles. En voici un autre :ϕ1 : P pK2q Ñ K

rk1, k2s ÞÑ#k2k1

si k1 ‰ 08 si k1 “ 0.

(21.65)

Vous en voulez une plus compliquée ? En voici une pour K “ R, basée sur le dessin suivant :

‚

o

La bijection associée est :

ϕd : P pR2q Ñ R

rk1, k2s ÞÑ

$’&’%

k1k2

si k1k2 ď 02k1k2

si k1k2 ă 08 si k2 “ 0.

(21.66)

Pour mettre un peu d’ordre dans toutes ces identifications possibles, nous introduisons uneclasse.

Définition 21.38.Pour une bijection ϕ : P pK2q Ñ K nous définissons

Apϕq “ ϕa : P pK2q Ñ K tel que ϕ´1

a ˝ ϕ soit une homographie(

(21.67)

Les classes sont assez larges parce que pour toute homographie φ : P pK2q Ñ P pK2q, nous avonsϕ ˝ φ´1 P Apϕq. Mieux, nous avons le lemme suivant.

Lemme 21.39.L’application

ψ : Apϕq Ñ PGLpK2qϕa ÞÑ ϕ´1

a ˝ ϕ (21.68)

est une bijection.

Démonstration. Pour rappel, PGLpEq est le groupe des homographies de E, voir la définition21.23.Surjectif Si φ P PGLpK2q nous avons φ “ ψpϕ ˝ φ´1q.Injectif Si ψpϕaq “ ψpϕbq alors

ϕ´1a ˝ ϕ “ ϕ´1

b ˝ ϕ, (21.69)

d’où nous déduisons ϕ´1a “ ϕ´1

b parce que ϕ est une bijection.

21.4.5 Birapport

Proposition-définition 21.40.Soit une droite projective d “ P pEq et trois points distincts A, B et C sur cette droite. Soit unebijection ϕ : P pK2q Ñ K. Si X est un point de d alors nous nommons le birapport de X parrapport à A, B et C l’élément de K donné par

rA,B,C,Xsϕ “ pϕ ˝ φqpXq (21.70)

21.4. HOMOGRAPHIES 1197

où φ : dÑ P pK2q est l’unique homographie telle queφpAq “ ϕ´1p8q (21.71a)φpBq “ ϕ´1p0q (21.71b)φpCq “ ϕ´1p1q. (21.71c)

Démonstration. Nous devons prouver qu’il existe effectivement une unique homographie vérifiantles conditions (21.71).A,B,C est un repère projectif de P pEq Voir le lemme 21.34.ϕ´1p8q, ϕ´1p0q, ϕ´1p1q est un repère projectif de P pK2q Lemme 21.34 ou corollaire 21.37

au choix.Conclusion Le théorème 21.32(2) nous donne existence et unicité d’une homographie P pEq Ñ

P pK2q envoyant le premier repère sur le second.

Remarque 21.41.La majorité des sources ne parlent pas de la dependence du birapport en le choix de ϕ parce quetout le monde ne semble ne considérer que ϕ “ ϕ0 définie en (21.63). Il est cependant naturel dese demander si la définition dépend effectivement du choix de ϕ. La réponse est oui : ça dépenddu choix.

Exemple 21.42(Une autre identification qui ne va pas bien)Nous montrons que l’identification ϕd : P pK2q Ñ K donnée en (21.66) ne donne pas lieu au mêmebirapport que celui de ϕ0.

Nous travaillons le birapport sur la droite projective la plus simple : P pK2q avec K “ R.Prenons pour la simplicité A “ r1, 0s, B “ r0, 1s et C “ r1, 1s. Alors l’homographie demandée dansla définition de r., ., ., .sϕ0 est ϕ0 “ Id. Par conséquent,

“A,B,C, rk1, k2s

‰ϕ0“ pϕ0 ˝ φ0qrk1, k2s “ ϕ0rk1, k2s “ k1

k2. (21.72)

En ce qui concerne le birapport définit par ϕd nous avonsϕ´1d p8q “ r1, 0s (21.73a)ϕ´1d p0q “ r0, 1s (21.73b)

ϕ´1d p1q “ r1, 2s, (21.73c)

de telle sorte que nous cherchons une homographie φd : P pK2q Ñ P pK2q telle queφdr1, 0s “ r1, 0s (21.74a)φdr0, 1s “ r0, 1s (21.74b)φdr1, 1s “ r1, 2s (21.74c)

L’homographie φdrk1, k2s “ rk1, 2k2s convient et nous avons“A,B,C,D, rk1, k2s

‰ϕd“ pϕd ˝ φdqrk1, k2s “ ϕdrk1, 2k2s “ k1

2k2(21.75)

dès que k1k2 ă 0. Nous avons donc bien trouvérA,B,C,Xsϕ0 ‰ rA,B,C,Xsϕd . (21.76)

4

Le birapport n’est pas un objet tout à fait canonique parce qu’il dépend effectivement du choixde l’identification entre P pK2q et K.

Proposition 21.43.Soit une bijection ϕ : P pK2q Ñ K. Si ϕa P Apϕq 5 alors les birapports construits sur ϕ et ϕa

5. Apϕq définie en 21.38.

1198 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

coïncident.

Démonstration. Soient trois points distincts A,B,C P P pEq, et X P P pEq. Nous avons

rA,B,C,Xsϕ “ pϕ ˝ φqpXq (21.77)

où φ : P pEq Ñ P pK2q est l’unique homographie telle que

φpAq “ ϕ´1p8q (21.78a)φpBq “ ϕ´1p0q (21.78b)φpCq “ ϕ´1p1q. (21.78c)

EtrA,B,C,Xsϕa “ pϕa ˝ φaqpXq (21.79)

où φa : P pEq Ñ P pK2q est l’unique homographie telle que

φapAq “ ϕ´1a p8q (21.80a)

φapBq “ ϕ´1a p0q (21.80b)

φapCq “ ϕ´1a p1q. (21.80c)

Il est facile de voir que φa “ ϕ´1a ˝ϕφ. En effet, cela est une homographie parce que ϕa P Apϕq, et

parce que la composée d’homographies est une homographie. De plus,

pϕ´1a ˝ ϕ ˝ φqpAq “ pϕ´1

a ˝ ϕqφ´1p8q “ ϕap8q (21.81a)pϕ´1

a ˝ ϕ ˝ φqpBq “ pϕ´1a ˝ ϕqφ´1p0q “ ϕap0q (21.81b)

pϕ´1a ˝ ϕ ˝ φqpCq “ pϕ´1

a ˝ ϕqφ´1p1q “ ϕap1q. (21.81c)

Au final nous avons :

rA,B,C,Xsϕa “ pϕa ˝ ϕ´1a ˝ ϕ ˝ φqpXq “ pϕ ˝ φqpXq “ rA,B,C,Xsϕ. (21.82)

Remarque 21.44.Tout le monde semble ne considérer que l’identification usuelle ϕ0 : P pK2q Ñ K donnée parϕ0rk1, k2s “ k1k2. Toute la discussion concernant la dépendance du birapport en le choix del’identification (y compris la définition des classes Apϕq) peut être sautée en disant qu’on ne consi-déra que ϕ0.

Et c’est ce que nous allons faire : sauf avis contraire, nous utiliserons le birapport associé àl’identification ϕ0.

Lemme 21.45 ([255]).Nous avons

rA,B,C,Xsϕ “

$’&’%

8 si et seulement si X “ A

0 si et seulement si X “ B

1 si et seulement si X “ C.

(21.83)

Démonstration. Par définition rA,B,C,Xsϕ “ ϕ ˝ φpXq. Nous avons donc équivalence entre lesaffirmations suivantes :

— rA,B,C,Xsϕ “ 8— pϕ ˝ φqpXq “ 8— φpXq “ ϕ´1p8q— φpXq “ φpAq— A “ X

21.4. HOMOGRAPHIES 1199

parce que φ et ϕ sont des bijections.Le même raisonnement tient pour les deux autres.

Proposition 21.46.Autres petites propriétés faciles . . . Soit une droite projective d “ P pEq et trois points distinctsA,B,C P d.

(1) Les points A, B, C et X sont distincts si et seulement si rA,B,C,Xs P Kzt0, 1u.(2) Pour tout k P K, il existe un unique X P d tel que rA,B,C,Xs “ k.

Démonstration. Notons pour le point (1) que l’énoncé demande déjà que A, B et C soient distincts.Sinon le birapport n’est pas définit.(2) Les points A, B et C sont distincts par hypothèse. Vu le lemme 21.45, pour que X soit

distincts de A, B et C il faut et il suffit que le birapport ne soit ni 8 ni 1 ni 0. DoncKzt0, 1u.

(2) Nous avons rA,B,C,Xs “ φpXq où φ : P pEq Ñ P pK2q est une homographie et donc unebijection par la proposition 21.22(1). Donc oui, pour tout éléments de P pK2q il existe ununique élément de P pEq dont le birapport par rapport à A, B et C soit cet élément.

Notons encore une fois que nous avons identifié P pK2q à K par la bijection (21.63).

Proposition 21.47 ([255]).Soient deux droites projectives d et d1 ainsi que 4 points sur chacune : A1, A2, A3, A4 P d, A11, A12, A13, A14 Pd1. Nous supposons que A1, A2, A3 sont distincts et que A11, A12, A13 également. Alors il y a équiva-lence entre

(1) Il existe une homographie φ : dÑ d1 telle que φpAiq “ A1i pour i “ 1, 2, 3, 4,(2) égalité des birapports :

rA1, A2, A3, A4s “ rA11, A12, A13, A14s. (21.84)

Dans ce cas, l’homographie est unique.

Démonstration. Nous divisons la preuve en trois parties évidentes.(1) implique (2) Nous avons une homographie µ1 : d1 Ñ K telle que µ1pA11q “ 8, µ1pA12q “ 0

et µ1pA13q “ 1. En composant 6 avec l’homographie φ : dÑ d1 de l’hypothèse nous avons unehomographie µ1 ˝ φ : dÑ K qui vérifie

pµ1 ˝ φqpA1q “ µ1pA11q “ 8 (21.85a)pµ1 ˝ φqpA2q “ µ1pA12q “ 0 (21.85b)pµ1 ˝ φqpA3q “ µ1pA13q “ 1, (21.85c)

ce qui signifie que µ1 ˝ φ est l’homographie qui définie le birapport sur d. Par conséquent

rA1, A2, A3, A4s “ pµ1 ˝ φqpA4q “ µ1pA14q “ rA11, A12, A13, A14s. (21.86)

(2) implique (1) La partie tA1, A2, A3u est un repère projectif de d par le lemme 21.34. Idempour tA11, A12, A13u. Nous considérons les homographies µ : dÑ K et µ1 : d1 Ñ K définissantles birapports par rapport à ces repères. Ces homographies vérifient, en utilisant l’hypo-thèse :

µpA4q “ rA1, A2, A3, A4s “ rA11, A12, A13, A14s “ µ1pA14q. (21.87)Et de plus

µpA1q “ rA1, A2, A3, A1s “ 8 “ µ1pA11q (21.88a)µpA2q “ rA1, A2, A3, A2s “ 0 “ µ1pA12q (21.88b)µpA3q “ rA1, A2, A3, A3s “ 1 “ µ1pA13q. (21.88c)

6. Proposition 21.22(3), la composition est encore une homographie.

1200 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Autrement dit : µpAiq “ µ1pA1iq pour tout i “ 1, 2, 3, 4. Nous nous inspirons de ce dia-gramme :

dφ //

µ ##

d1

µ1zzKY t8u

(21.89)

La composée φ “ µ1´1 ˝ µ vérifie

pµ1´1 ˝ µqpAiq “ A1i (21.90)

pour tout i, et est une homographie.Unicité Le fait qu’une homographie vérifiant φpAiq “ A1i pour i “ 1, 2, 3 soit unique découle du

fait qu’il existe une unique homographie portant un repère projectif sur un autre. A fortiorila condition φpA4q “ A14 ne retire rien à l’unicité.

Théorème 21.48 ([255]).Une bijection entre deux droites projectives est une homographie si et seulement si elle conserve lebirapport.

Démonstration. Chacun des deux sens séparément.ñ Soit une homographie φ : d Ñ d1 entre deux droites projectives. Nous devons prouver que

pour tout choix 4 points A, B, C, X dans d (dont A, B et C sont distincts) nous avons

rA,B,C,Xs “ rφpAq, φpBq, φpCq, φpXqs. (21.91)

Nous nommons µ : d Ñ K l’homographie qui donne le birapport sur d par rapport à A, Bet C, et µ1 : d1 Ñ K celle qui donne le birapport sur d1 par rapport à φpAq, φpBq, φpCq.Voici un diagramme de la situation :

dφ //

µ ##

d1

µ1zzKY t8u

(21.92)

Nous prouvons maintenant que µ1 “ µ ˝ φ´1. En effet :

pµ ˝ φ´1q`φpAq˘ “ µpAq “ 8 (21.93a)pµ ˝ φ´1q`φpBq˘ “ µpBq “ 0 (21.93b)pµ ˝ φ´1q`φpCq˘ “ µpCq “ 1. (21.93c)

Par conséquent le birapport à droite dans (21.91) peut se calculer à l’aide de µ ˝ φ´1 :

rφpAq, φpBq, φpCq, φpXqs “ µ1`φpXq˘ “ pµ ˝ φ´1q`φpXq˘ “ µpXq “ rA,B,C,Xs. (21.94)

La première implication est prouvée.ð Soit une bijection f : d Ñ d1 conservant le birapport, ainsi que trois points distincts A, B

et C dans d. Vu que f est une bijection les points fpAq, fpBq et fpCq sont distincts dansd1. Par le lemme 21.34 et le théorème 21.32(2), il existe une unique homographie φ : dÑ d1telle que φpAq “ fpaq, φpBq “ fpBq et φpCq “ fpCq. Pour tout X P d nous avons

rfpAq, fpBq, fpCq, fpXqs “ rA,B,C,Xs (21.95a)“ rφpAq, φpBq, φpCq, φpXqs (21.95b)“ rfpAq, fpBq, fpCq, φpXqs. (21.95c)

Justifications :

21.4. HOMOGRAPHIES 1201

— (21.95a) parce que f conserve le birapport par hypothèse.— (21.95b) parce que φ conserve le birapport étant une homographie (c’est le premier sens

du présent théorème)Nous nommons µ1 : d1 Ñ K l’homographie donnant le birapport par rapport aux pointsfpAq, fpBq, fpCq. Alors le résultat (21.95) se lit

µ1`fpXq˘ “ µ1

`φpXq˘. (21.96)

Mais comme µ1 est une bijection (proposition 21.22(1)) cela implique fpXq “ φpXq. Vu quenous avons fait ce raisonnement pour un X quelconque dans d nous avons f “ φ, ce quiprouve que f est une homographie.

Lemme 21.49.Soient a, b, c distincts sur la droite projective D “ P pEq. Soient x, y P E tels que πEpxq “ a,πEpyq “ b, πEpx` yq “ c. Alors

d “ πEpλx` µyq (21.97)

si et seulement sira, b, c, ds “ πK2pλ, µq. (21.98)

Démonstration. Étant donné que a et b sont distincts, les vecteurs x et y forment une base deE. Soit f : E Ñ K2 un isomorphisme qui envoie px, yq sur e1, e2 où ei sont les vecteurs de basede K2. Ensuite nous considérons g : P pEq Ñ P pK2q, l’homographie associée à f . Par définitionf`πEz

˘ “ πK2`fpzq˘. Par f nous avons

a Þш

10

˙b ÞÑ

ˆ01

˙. (21.99)

Donc par g nous avonsa ÞÑ 8 b ÞÑ 0. (21.100)

Nous avons aussi fpλx` µyq “ pλ, µq et

gpcq “ g`πEpx` yq

˘(21.101a)

“ πF fpx` yq (21.101b)“ πF pfpxq ` fpyqq (21.101c)

“ πF

ˆ11

˙(21.101d)

“ 1. (21.101e)

La dernière inégalité est le fait que la direction p1, 1q dans R2 est représentée par le point x “ 1sur la droite y “ 1 qui est notre «représentation» de la droite affine. L’application g a donc toutesles propriétés qu’il faut pour être l’application qui définit le birapport. Nous avons donc biengpdq “ ra, b, c, ds.

D’une part si d “ πEpλx` µyq alors

gpdq “ πK2fpλx` µyq “ πK2pλ, µq. (21.102)

Dans l’autre sens si ra, b, c, ds “ πK2pλ, µq alors supposons que gpdq “ πK2pλ, µq avec d “ πEpvqalors

gπEv “ πK2fpvq, (21.103)

ce qui implique fpvq “ αpλ, µq pour un certain α P K. Par conséquent v “ αpλx ` µyq etd “ πEpλx` µyq.

1202 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

21.5 Coordonnées homogènesSoit E un espace vectoriel de dimension n` 1 et une base te0, . . . , enu de E. Soit M P P pEq et

u P E un élément engendrantM . Au pointM nous voudrions associer les coordonnées px0, . . . , xnqde u dans E. Notons que toutes les coordonnées de u ne sont jamais nulles en même temps parce queu doit indiquer une direction. Nous savons par ailleurs que les coordonnées px0, . . . , xnq indiquentle même point de P pEq que les coordonnées px10, . . . , x1nq si et seulement si xi “ λxi.

Définition 21.50.La classe d’équivalence de px0, . . . , xnq est la coordonnées homogène de M . Nous la notonspx0 : . . . : xnq.

21.5.1 Dualité

Soit E un espace vectoriel de dimension n` 1. Une forme linéaire non nulle est un élément deE˚, mais aussi un représentant d’un élément de P pE˚q.

Le noyau d’une forme linéaire ω est un hyperplan. Le noyau de la forme linéaire λω étant lemême hyperplan, l’hyperplan est donné par toute la classe de ω dans P pE˚q. Nous avons donc unebijection

P pE˚q Ø thyperplans vectoriels de Eu. (21.104)

Soit E de dimension 3 et une base te1, e2, e3u. L’espace dual E˚ possède la base duale te1 , e2 , e3u.À un élément m P P pE˚q nous associons la droite

HmtpX : Y : T q tel que mpX,Y, T q “ 0u (21.105)

dans P pEq. Si les coordonnées homogènes de m étaient pu : v : wq alors l’équation de la droite Hm

estuX ` vY ` wT “ 0. (21.106)

En effet si ω P E˚ est un représentant de m alors ω “ λpue1 ` ve2 ` we3q et l’équation (21.106)est indépendante de λ ainsi que du choix du représentant dans E du point pX : Y : T q dans P pEq.

Si les points m1 et m2 sont distincts dans P pE˚q, ils donnent deux droites m1pX,Y, T q “ 0 etm2pX,Y, T q “ 0. Les points de la droite qui joint m1 à m2 dans P pE˚q sont de la forme λm1`µm2et ils sont associés à l’équation

λm1pX,Y, T q ` µm2pX,Y, T q “ 0 (21.107)

qui sont encore des droites dans P pEq. Toutes ces droites passent par le point d’intersection desdroits associées à m1 et m2. Nous avons donc

č

λ,µ

Hλm1`µm2 “ Hm1 XHm2 . (21.108)

Lemme 21.51.L’application

P pE˚q Ñ tdroites dans P pEqum ÞÑ Hm

(21.109)

est une bijection.

Démonstration. Une droite dans P pEq est donnée en coordonnées homogènes par une équationaX ` bY ` cT “ 0. Cette droite est décrite par le point pa : b : cq dans P pE˚q. Ce derniercorrespond à la direction de la forme ae1 ` be2 ` ce3 . Cela prouve que l’application est surjective.

Pour l’injectivité, si m1 ‰ m2 dans P pE˚q, les formes ω1 et ω2 associées dans E˚ ne sont pasmultiples l’une de l’autre. Donc les équations

a1X ` b1Y ` z1T “ 0 (21.110)

21.5. COORDONNÉES HOMOGÈNES 1203

eta2X ` b2Y ` z2T “ 0 (21.111)

n’ont pas de solutions communes et décrivent donc des droites distinctes.

Lemme 21.52.Trois points distincts m1, m2 et m3 dans P pE˚q sont alignés si et seulement si les droites Hm1,Hm2 et Hm3 sont distinctes et concourantes.

Démonstration. Supposons avoir trois points alignés, c’est à dire

m3 “ m1 ` µpm2 ´m1q. (21.112)

Soit X : Y : T le point d’intersection de Hm1 avec Hm2 . Alors m1pX,Y, T q “ m2pX,Y, T q “ 0. Entenant compte de (21.112) nous avons alors évidemment m3pX,Y, T q “ 0.

Supposons maintenant que les trois droites Hmi soient concourantes. Nous avons donc un pointpX : Y : T q dans P pEq tel que mipX,Y, T q “ 0. Si mi est la classe de aie1 ` bie2 ` cie3 alors nousavons le système

$’&’%

a1X ` b1Y ` c1T “ 0 (21.113a)a2X ` b2Y ` c2T “ 0 (21.113b)a3X ` b3Y ` c3T “ 0. (21.113c)

Afin que cela ait une solution non triviale nous devons avoir

det

¨˝a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

˛‚‰ 0, (21.114)

c’est à dire que les points pai, bi, ciq soient alignés.En tenant compte de ce qui a été dit, une droite dans P pE˚q est constituée de points qui

fournissent des droites concourantes dans P pEq. Donc une droite de P pE˚q se caractérise par unpoint de P pEq (l’intersection) de la façon suivante. Un point Md P P pEq donne lieu à un faisceaude droites passant par Md. Chacune de ces droites donne lieu à un point de P pE˚q et tous cespoints sont alignés. Nous avons ainsi construit la droite d dans P pE˚q correspondante au pointMd

de P pEq.

21.5.2 Polynômes

Soit l’espace projectif de dimension n avec ses coordonnées homogènes pX0 : . . . : Xnq. Nousconsidérons l’espace affine H ” Xn “ 1 dans l’espace vectoriel E de dimension n` 1. Nous consi-dérons pour H un repère affine ayant pour origine le point p0, . . . , 0, 1q. Considérons un polynômehomogène P sur le corps K. L’équation

P pX0, . . . , Xnq “ 0 (21.115)

sur l’espace vectoriel E descend immédiatement à l’espace projectif : étant donné que P est ho-mogène nous avons P puq “ 0 si et seulement si P pλuq “ 0.

Nous essayons de décrire l’ensemble A des points de P pEq satisfaisant P pX0, . . . , Xnq “ 0.Nous savons que les éléments de P pEq ont chacun un représentant soit dans H soit sur la droite àl’infini. Ceux de A ayant un représentant dans H sont d’équation

Qpx0, . . . , xn´1q “ 0 (21.116)

où Q est le polynôme donné par QpX0, . . . , xn´1q “ P px0, . . . , xn´1, 1q. Les points de A ayant unreprésentant sur la droite à l’infini s’obtiennent par l’équation

Rpx0, . . . , xn´1q “ 0 (21.117)

1204 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

où R est le polynôme donné par Rpx0, . . . , xn´1q “ P px0, . . . , xn´1, 0q.Exemple 21.53Nous considérons la conique projective

X2 ´XT ´ Y 2 ´ T 2 “ 0. (21.118)

Elle est décomposée en deux partie : une dans l’espace affine «normale» et une à l’infini. Lapremière s’obtient en posant T “ 1 dans (21.118) :

x2 ´ x´ y2 ´ 1 “ 0. (21.119)

L’autre est obtenue en posant T “ 0 :x2 ´ y2 “ 0. (21.120)

La partie à l’infini est donc composée de deux points : p1 : 1 : 0q et p1 : ´1 : 0q.Le graphique de l’équation (21.119) est donné à la figure 21.2. Nous y voyons que les asymptotes

sont effectivement données par les directions p1, 1q et p1,´1q dans le plan.

´5´4´3´2´1 1 2 3 4 5 6

´6´5´4´3´2´1

123456

Figure 21.2 – Le graphique de x2 ´ x´ y2 ´ 1 “ 0.

4

Nous pouvons tenter de faire l’exercice inverse : considérer une conique dans R2, la voir commeune partie d’une conique dans l’espace projectif et trouver les points à l’infini qui la complètent.

Exemple 21.54La droite projective usuelle est donnée par la droite affine y ´ 1 “ 0. L’homogénéisation donney ´ z “ 0 et par conséquent la partie à l’infini est donnée par y “ 0, c’est à dire la direction p1, 0qcomme il se doit. 4

Exemple 21.55Prenons la conique

x2 ` xy ` y3 ´ 2 “ 0. (21.121)

D’abord nous homogénéisons cette équation pour la voir dans R3 :

x2z ` xyz ` y3 ´ 2z3 “ 0. (21.122)

Les points à l’infini sont ceux qui correspondent à z “ 0, c’est à dire la droite donnée en coordonnéeshomogènes par p1 : 0 : 0q. 4

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1205

21.6 La sphère de Riemann P1pCq

Définition 21.56.La sphère de Riemann est l’espace projectif modelé sur C2 : en vertu des notations données àla page 1183, c’est

P1pCq “ P pC2q. (21.123)

L’ensemble P1pCq est le quotient C2ztp0, 0qu „ où „ est la relation d’équivalence de C-colinéarité dans C2.

Lemme 21.57.L’application

ϕ0 : P1pCq Ñ CY t8u

rz1, z2s ÞÑ#z1z2

si z2 ‰ 08 si z2 “ 0

(21.124)

est une bijection qui respecte la conjugaisons complexe : ϕ0`rz1, z2s˚

˘ “ ϕ0`rz1, z2s

˘˚.

Démonstration. Notons d’abord que la définition a un sens parce que si un représentant que rz1, z2sest de la forme pz, 0q alors ils sont tous de cette forme. L’affirmation «z1 ‰ 0 dans rz1, z2s» a doncun sens.

Injectif Supposons ϕ0`rz1, z2s

˘ “ ϕ0`rt1, t2s

˘.

Si les deux membres sont égaux à 8 alors nous avons z2 “ t2 “ 0, et alors avec λ “ z1t1nous avons pz1, z2q “ λpt1, t2q, ce qui prouve que rz1, z2s “ rt1, t2s.Si les deux membres sont égaux à zéro alors z1 “ t1 “ 0 et le même raisonnement tient.Sinon nous avons z1z2 “ t1t2 où tous les nombres sont non nuls. Cela donne

z2 “ t2t1z1, (21.125)

et donct1z1pz1, z2q “ pt1, t2q, (21.126)

qui montre qu’au niveau des classes, rz1, z2s “ rt1, t2s.Surjectif Nous avons

8 “ ϕ0`r1, 0s˘ (21.127)

et si z ‰ 8 nous avons z “ ϕ0`rz, 1s˘.

21.6.1 Éléments de géométrie dans P1pCq

Étant donné que nous sommes partis pour faire de la géométrie dans C et même dans C “C Y t8u, autant nous armer des équations de cercles et de droites dans C, ainsi que de quelquenotions adjacentes.

Remarque 21.58.La définition 21.2 parle de plan et de droites projectives. Ici nous ne sommes pas dans ce cadreparce que nous travaillons sur P1pCq où C n’est certainement pas un espace de dimension 3. Lesdroites dont nous allons parler ne sont pas des droites projectives avec leur point à l’infini.

1206 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

21.6.1.1 Équation complexe d’une droite

L’équation d’une droite dans R2 est d ” ax` by “ c avec a, b, c P R et a, b non nuls en mêmetemps. En posant z “ x ` iy nous voulons exprimer l’équation en termes de z au lieu de x et y.Nous avons[258]

x “ z ` z2 , y “ z ´ z

2i , (21.128)

et nous pouvons écrire d ” apz ` zq ´ ibpz ´ zq “ 2c, ou encore d ” pa´ biqz ` pa` ibqz “ 2c. Enposant ω “ a` bi P C˚ et k “ 2c P R nous avons l’équation

ωz ` ωz “ k. (21.129)

Définition 21.59.Une droite est une partie de C de la forme

dpω, kq “ tz P C tel que ωz ` ωz “ ku Y t8u (21.130)

avec ω P C˚ et k P R.Dans C, toutes les droites contiennent le point 8.

Problèmes et choses à faireLa proposition 20.11 montre que toute inversion transforme un cercle-droite en un cercle-droite, nonobstant d’accepter de prolonger toute droitepar 8.

Est-ce que l’on peut dire que toutes les droites contiennent le point 8 ?En donnant 8 à toutes les droites et à aucun cercle, la proposition 20.11 fonctionne partout en posant iCpOq “ 8 et iCp8q “ O.

De plus en pensant à la projection stéréographique, ce serait logique : quelle que soit la direction dans laquelle un point s’éloigne de z “ 0,

son image par l’inverse de la projection stéréographique s’approche du pôle nord.

21.6.1.2 Équation complexe d’un cercle

Un cercle de centre ω P C et de rayon r a pour équation |z ´ ω| “ r, et nous avons leséquivalences suivantes :

|z ´ ω| “ r ô |z ´ ω|2 “ r2 ô pz ´ ωqpz ´ ωq “ r2 ô zr ´ ωz ´ ωz “ r2 ´ |ω|2. (21.131)

Donc un cercle de centre ω P C et de rayon r P R a pour équation

zz ´ ωz ´ ωz “ r2 ´ |ω|2. (21.132)

Définition 21.60.Un cercle dans C est une partie de la forme

Cpω, rq “ tz P C tel que zz ´ ωz ´ ωz “ r2 ´ |ω|2u (21.133)

avec ω P C et r P R.Dans la sphère de Riemann, aucun cercle ne contient le point 8.

Exemple 21.61Trouvons le centre et le rayon du cercle d’équation

ωz ` ωz “ kzz (21.134)

avec k ‰ 0. En divisant par k et en posant σ “ ωk nous avons :

zz ´ σz ´ σz “ 0. (21.135)

Cela est un cercle de centre σ et de rayon |σ|. En effet si z P C vérifie cette équation,

|z ´ σ|2 “ pz ´ σqpz ´ σq “ zz ´ σz ´ σzlooooooomooooooon“0

`|σ|2 “ |σ|2, (21.136)

c’est à dire que tous les points de C qui vérifient l’équation donnée sont à la distance |σ| de σ. Enparticulier z “ 0 est sur le cercle. 4

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1207

21.6.1.3 Cercle-droite

Une chose de bien avec les équations complexes, c’est que nous pouvons écrire les droites et lescercles avec le même type d’équations.

Lemme-définition 21.62 ([258]).Un cercle-droite est l’ensemble des points z P C tels que

azz ´ ωz ´ ωz “ k (21.137)

avec a, k P R et ω P C.(1) Si a “ 0, cela est une droite ;(2) si a ‰ 0, cela est un cercle.(3) Un cercle-droite peut être l’ensemble vide.

Démonstration. Si a “ 0 alors nous tombons tout de suite sur l’équation (21.129). Si a ‰ 0 alorsnous pouvons diviser par a, poser σ “ ωa et l “ ka pour obtenir

zz ´ σ ´ σz “ l, (21.138)

qui est l’équation (21.132) d’un cercle . . . ou pas tout à fait. En effet, (21.138) serait l’équation ducercle de centre σ et de rayon r donné par l “ r2 ´ |σ|2, c’est ) dire

r2 “ l ` |σ|2, (21.139)

alors que rien n’assure que le nombre l ` |σ|2 soit positif. Dans le cas où c’est positif, nous avonsbien un cercle. Sinon c’est l’ensemble vide.

Remarque 21.63.Lorsque nous parlons de cercle-droite, nous parlons de partie de C et non de C parce que l’équation(21.137) a du mal à traiter le cas z “ 8. À cause du fait que nous avons décider de donner le point8 à toutes les droites, la fusion des notions de droites et de cercles n’est pas totale ; en tout caspas en une seule équation.

Exemple 21.64([258])Soit le cercle de centre ω “ ir et de rayon r. Quelle que soit la valeur de r ą 0, ce cercle passe parle point 0 et l’axe réel lui est tangent. L’équation de ce cercle est :

zr ` irz ´ irz “ 0. (21.140)

Vu que ir ‰ 0 nous pouvons diviser et obtenirzz

ir` z ´ z “ 0. (21.141)

En faisant tendre r vers 8 nous obtenons z ´ z “ 0, c’est à dire l’équation de la droite réelle.Cela explique pourquoi il est souvent dit qu’une droite est un cercle dont le rayon est à l’infini.

4

21.65.Notons que l’exemple 21.64 est générique : prenez une droite `, un point P sur `, et considérez uncercle dont le centre est situé sur la perpendiculaire à ` passant par P , et dont le rayon est tel quele cercle passe par P . En prenant |ω ´ P | Ñ 8, l’équation du cercle devient celle de la droite `.

Cela est particulièrement pratique lorsque nous travaillons dans C parce nous y avons unenotion précise du point à l’infini. Notons que (peut-être contre intuitivement), il existe un seulpoint à l’infini dans C. Et ce point est le centre de tous les cercles que l’on veut transformer endroites. Cela pose évidemment la question de savoir comment on définit précisément un cercle dontle centre est réellement 8.

1208 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

‚P

21.6.1.4 Rotation-homothétie

Définition 21.66.Une rotation-homothétie est une application CÑ C de la forme z ÞÑ λz avec λ P C.

Le nom provient du fait que si λ est réel, alors z ÞÑ λz est une vraie homothétie, et si λ “ eiθ

alors z ÞÑ eiθz est une vraie rotation. Pour une valeur λ P C générique, l’application z ÞÑ λz estune composée des deux.

21.6.1.5 Application linéaire

Nous nous en voudrions de ne pas parler d’applications linéaires lorsque nous parlons de géo-métrie sur C. Soit α P C˚ et β P C. Lorsque nous parlons de l’application linéaire

f : CÑ C

z ÞÑ αz ` β, (21.142)

nous entendons implicitement que fp8q “ 8.

21.6.1.6 Inversion

L’inversion d’un cercle de R2 est définie par la proposition 20.5. De nombreuses propriétés ysont décrites, y compris son écriture complexe dans la proposition 20.10. Tout cela était du tempsde R2 ou de C, mais maintenant nous sommes dans C et nous voulons plus.

Définition 21.67 ([258]).Soit ω P C et R P R˚. L’inversion de centre ω et de puissance R2 est l’application

i : CÑ C

z ÞÑ

$’’’&’’’%

R2

z ´ ω ` ω si z P Cztωu8 si z “ ω

ω si z “ 8.

(21.143)

Notons que grâce aux conventions type 10 “ 8 et 18 “ 0, nous pouvons nous contenter dela première formule pour tout z P C, et nous n’avons en réalité pas besoin de décrire ip8q et ipωqséparément.

Exemple 21.68L’inversion de cercle de centre 0 et de rayon 1 est l’application z ÞÑ 1

z , que l’on prolonge avec0 ÞÑ 8 et 8 ÞÑ 0. 4

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1209

21.6.2 Homographies

La notion d’homographie est la définition 21.20. Pour une homographie φ : P1pCq Ñ P1pCq nousavons un isomorphisme d’espace vectoriel φ : C2 Ñ C2. Vue la bijection (21.124), nous voulonsplutôt travailler avec C “ C Y t8u qui est un ensemble avec lequel nous sommes plus familier.Nous allons donc travailler avec

φ : CÑ C

φ “ ϕ0 ˝ φ ˝ ϕ´10 .

(21.144)

Proposition 21.69.L’application φ “ ϕ´1

0 ˝ φ ˝ ϕ0 est une homographie de P pC2q si et seulement si l’applicationφ : CÑ C est de la forme

φpzq “ az ` bcz ` d (21.145)

avec a, b, c, d P C tels que ad´ bc ‰ 0.Par convention nous posons z0 “ 8 dès que z ‰ 0 ; en particulier φp8q “ ac et φp´dcq “ 8.

Démonstration. Nous séparons la condition suffisante de la condition nécessaire.ñ La condition π ˝ φ “ φ ˝ π (de (21.32)) nous dit que

“φpz1, z2q

‰ “ φ`rz1, z2s

˘, (21.146)

et comme φ est un isomorphisme d’espace vectoriel nous avons a, b, c, d P C vérifiant ad ´cb ‰ 0 pour lesquels

φpz1, z2q “ˆaz1 ` bz2cz1 ` dz2

˙. (21.147)

Soit z P C. Alors nous avons

φpzq “ pϕ0 ˝ φqrz, 1s “ ϕ0´“φpz, 1q‰

¯“ ϕ0

`raz ` b, cz ` ds˘ “ az ` bcz ` d. (21.148)

Il est important de comprendre que cette formule fonctionne pour tout z P C. En effet nouspourrions avoir un doute sur z “ ´dc. D’abord si c “ 0 alors d ‰ 0 et ce problème n’existepas : le dénominateur est toujours non nul. Nous avons donc seulement un doute lorsquec ‰ 0. Dans ce cas,

φp´dcq “ ´adc ` b0 . (21.149)

Mais c ‰ 0, donc le numérateur est non nul. Or lorsque z ‰ 0 nous avons posé z0 “ 8,donc dans notre cas,

φp´dcq “ 8 (21.150)

automatiquement, et cela est encodé dans la formule (21.148).Il nous reste à déterminer φp8q. Nous avons :

φp8q “ pϕ0 ˝ φq`r1, 0s˘ “ ϕ0

“φp1, 1q‰ “ ϕ0

`ra, cs˘ “#ac si c ‰ 08 si c “ 0

(21.151)

où la distinction entre les deux cas n’est pas fondamentale parce que si c “ 0 alors a ‰ 0 etac “ 8.

ð En notant Z “ rz1, z2s (pour z1, z2 P C) nous avons

φ`rz1, z2s

˘ “ ϕ´1ˆaϕ0pZq ` bcϕ0pZq ` d

˙“ “

aϕ0pZq ` b, cϕ0pZq ` d‰. (21.152)

Nous définissons φ par son action sur les vecteurs de base : φp1, 0q “ pa, cq et φp0, 1q “ pb, dq.Nous avons bien l’isomorphisme d’espace vectoriel φ : C2 Ñ C2 dont nous avons besoin pour

1210 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

la définition 21.20. D’abord le fait que ad ´ cb soit non nul assure que le φ ainsi défini estbien bijectif 7. Et de plus ce φ vérifie la condition

π`φpz1, z2q

˘ “ π`paz1, cz1q ` pbz2, dz2q

˘(21.153a)

“ raz1 ` bz2, cz1 ` dz2s (21.153b)“ “

aϕ0pZq ` b, cϕ0pZq ` d‰

(21.153c)“ φ

`πpz1, z2q

˘. (21.153d)

Nous avons utilisé la notion de classe pour diviser par z2 et faire apparaître ϕ0pZq.

Remarque 21.70.En prenant les conventions relativement claires 8 ˆ a “ 8 (pour a ‰ 0) et 8 ˘ a “ 8 (aveca ‰ 8), alors tout est dans la formule

φpzq “ az ` bcz ` d (21.154)

avec ad´ cb ‰ 0. Il n’y a pas besoin de traiter séparément le cas z “ 8 ou z “ ´dc.Définition 21.71.Nous aimons tellement l’identification ϕ0 : P pC2q Ñ C que nous allons parler d’homographiesur C pour les applications φ de la forme

φpzq “ az ` bcz ` d (21.155)

avec ad´ cb ‰ 0.

21.72.La proposition 21.69 nous indique que les homographies de C sont de la forme φ “ ϕ´1

0 ˝ φ ˝ ϕ0pour une homographie φ : P pC2q Ñ P pC2q.Proposition 21.73 ([258]).L’application h : CÑ C associée à une homographie est soit linéaire, soit de la forme h “ l1 ˝ ι˝ l2où li sont linéaires et ι est l’application z ÞÑ 1z.Démonstration. Commençons par une remarque : lorsque nous parlons d’une application linéaire,c’est au sens de la note 21.6.1.5 qui explique qu’une application linéaire sur C est automatiquementprolongée à C par fp8q “ 8.

Soit donc l’applicationhpzq “ az ` b

cz ` d. (21.156)

Si c “ 0, alors c’est une application linéaire et la preuve est terminée. Nous supposons que c ‰ 0.Nous posons

l2pzq “ cz ` d, (21.157)

et ensuite l1pzq “ αz ` β avec α et β à déterminer. Un peu de calcul :

pl1 ˝ ι ˝ l2qpzq “ l1

ˆ1

cz ` d˙“ α` βcz ` βd

cz ` d , (21.158)

et en imposant que cela soit égal à az`bcz`d nous trouvons β “ ac et α “ b´ adc. Il est vite vérifier

que ces choix donnent le bon résultat.7. Si vous n’en êtes pas convaincu, écrivez la matrice de l’application qui envoie p1, 0q sur pa, cq et p0, 1q sur pb, dq,

et demandez-vous sous quelle condition elle est inversible.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1211

21.74.Vu que les applications linéaires sont des composées d’une translation et d’une rotation-homothétie,et que l’application i est une composée d’une inversion z ÞÑ 1z et d’une réflexion z ÞÑ z, toutesles homographies sont des composées des éléments suivants :

— inversion 8 z ÞÑ 1z, prolongée par ip8q “ 0 et ip0q “ 8 ;— réflexion z ÞÑ z ;— translation z ÞÑ z ` α avec α P C ;— rotation-homothétie z ÞÑ λz avec λ P C.Toutes ces opérations sont prolongées à C par 18 “ 0, λ·8 “ ω (si λ ‰ 0) et 8` λ “ 8.

Nous ne définissons pas 0 ·8 et 8´8.

Certes nous pouvons construire des homographies à partir d’ingrédients dont la conjugaisoncomplexe. Il ne faudrait cependant pas déduire que cette conjugaison est une homographie.

Lemme 21.75.La conjugaison complexe n’est pas une homographie.

Démonstration. Si elle l’était nous aurions des nombres a, b, c, d P C tels que ad´ bc ‰ 0 et

az ` bcz ` d “ z (21.159)

pour tout z P C.En posant z “ 0 nous avons déjà bd “ 0, c’est à dire b “ 0. Avec z “ 1 nous trouvons alors

apc` dq “ 1, c’est à direa “ c` d. (21.160)

Si ci` d ‰ 0 Dans ce cas nous pouvons évaluer (21.159) en z “ i et avoir a “ ´ci ` d. Maiscomme nous avions déjà a “ c` d nous déduisons c “ 0. Nous restons donc avec

a

dz “ z (21.161)

pour tout z. En prenant z “ 1 puis z “ i, il est vite remarqué que cela n’est pas possible.Si ci` d “ 0 Nous rappelons que ad ‰ 0. Nous écrivons l’équation avec z “ ´i pour trouver

´ai´ci` d “ i, (21.162)

qui donne immédiatement a “ ci´ d. Nous avons donc les trois équations$’&’%

c “ id (21.163a)a “ ci´ d (21.163b)a “ c` d. (21.163c)

Une tentative de résolution tombe rapidement sur une impossibilité (en substituant la pre-mière dans les deux autres et en comparant les deux valeurs de a par exemple).

La proposition suivante ressemble à s’y méprendre à la proposition 20.11, mais elle diffère endeux points. D’abord elle ne traite que de l’inversion par rapport à l’origine, mais surtout, elletraite le point z “ 8. C’est un avantage de travailler sur C plutôt que sur R2.

Proposition 21.76 (Inversion de cercles et de droites).L’inversion dans C envoie

(1) une droite passant par 0 sur elle-même

8. Oui, c’est l’inversion de la géométrie hyperbolique, voir 21.6.1.6.

1212 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

(2) une droite ne passant pas par 0 sur un cercle passant par 0.(3) un cercle ne passant pas par 0 en un cercle ne passant pas par 0.(4) un cercle passant par 0 en une droite ne passant pas par 0.

Démonstration. Décomposition en tous les cas possibles.Droite passant par 0 La façon la plus simple de traiter la droite passant par 0 est de l’écrire

sous forme paramétrique :zptq “ teiθ (21.164)

pour θ fixé et t P RY t8u. En appliquant l’inversion :

ι`zptq˘ “ 1

pteiθq˚ “1teiθ. (21.165)

Notons que les cas particuliers fonctionnent : pour t “ 0 nous avons le point 8 et pourt “ 8 nous avons 0.

Droite ne passant pas par 0 Une droite ne passant par par z “ 0 est un ensemble de laforme

dpω, kq “ tz P C˚ tel que ωz ` ωz “ ku Y t8u (21.166)avec k ‰ 0. Étant donné que ι est une bijection et même une involution nous avons z Pι`dpω, kq˘ si et seulement si τpzq P dpω, kq. L’équation est donc, pour z ‰ 0 :

ω

z` ω

z“ k. (21.167)

Et comme z ‰ 0 nous pouvons multiplier par zz pour trouver zω ` zω “ kzz. Donc

ι`dpω, kq˘ “ tz P C˚ tel que zω ` zω “ kzzu Y t0u. (21.168)

Dans l’ensemble, nous pouvons renommer z et z pour avoir une forme plus symétrique. Deplus il se fait que z “ 0 vérifie l’équation donnée ; nous pouvons donc lever la conditionz P C˚ et ne plus ajouter t0u à coté :

ι`dpω, kq˘ “ tz P C tel que ωz ` ωz “ kzzu. (21.169)

Cela est l’équation d’un cercle passant par l’origine (définition 21.60).Cercle ne passant pas par 0 Nous considérons le cercle Cpω, rq avec r2 ‰ |ω|2. Il ne contient

ni 8 ni 0 et nous avons alors

ι`Cpω, rq˘ “ tz P C˚ tel que 1

zz´ ω1

z´ ω1

z“ r2 ´ |ω|2u. (21.170)

Vu que z n’est jamais nul nous pouvons multiplier l’équation par zz :

ι`Cpω, rq˘ “ tz P C tel que

`|ω|2 ´ r2˘zz ´ ωz ´ ωz “ ´1u. (21.171)

Le coefficient |ω|2´ r2 est non nul par hypothèse et cet ensemble est un cercle par le lemme21.62. Il ne passe manifestement pas par z “ 0.

Cercle passant par 0 Le cercle passe par 0, et donc son image par 8. Nous écrivons alors

ι`Cpω, |ω|q˘ “ ι

`Cpω, |ω|qzt0u˘Y t8u. (21.172)

Nous avonsCpω, |ω|qzt0u “ tz P C˚ tel que zz ´ ωz ´ ωz “ 0u, (21.173)

et un calcul usuel donne

ι`Cpω, |ω|qzt0u˘ “ tz P C˚ tel que 1´ ωz ´ ωz “ 0u, (21.174)

et doncι`Cpω, |ω|q˘ “ dpω, 1q, (21.175)

en nous souvenant que le point 8 est contenu dans dpω, 1q.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1213

Proposition 21.77.Une homographie conserve l’ensemble des droites et cercles de C.

Attention : cela ne veut pas dire qu’une homographie transforme une droite en une droite etun cercle en un cercle. Ça veut dire qu’une homographie transforme une droite en une droite ouun cercle et un cercle en une droite ou un cercle.

Démonstration. Nous savons par la proposition 20.11 et 21.74 que les homographies se décomposenten inversion, réflexion, translation et rotation-homothétie.

À part pour l’inversion, tout est clair comment ça fonctionne hein. En ce qui concerne l’inver-sion, nous avons la proposition 21.76 qui donne déjà toutes les réponses.

21.78.Les homographies préservent les angles, c’est l’objet du théorème suivant. Il ne faudrait cependantpas croire que si A, B et C sont trois points distincts, l’angle entre AC et BC est le même quecelui entre fpAqfpCq et fpBqfpCq dès que f est une homographie. Cela serait préserver les anglesglobalement, c’est à dire préserver les angles lorsque les points sont déplacés par f .

Nous allons regarder les angles locaux, c’est à dire lorsque les points sont déplacés par df .

Définition 21.79.Nous disons qu’une application f : R2 Ñ R2 préserve localement les angles non orientés lorsque

cos`dfapuq, dfapvq

˘ “ cospu, vq (21.176)

pour tout a P R2 et u, v P R2. Ici il est mieux de penser à u, v P TaR2 pour qui sait les espacestangents en géométrie différentielle.

Voir la définition de l’angle 16.47.

Théorème 21.80.Les homographies de P pC2q préservent localement les angles non orientés.

Démonstration. En ce qui concerne les translations, dilatations et rotations, les choses sont claires.Vérifions pour l’inversion, qu’il faut interpréter dans R2. Pour z “ x` iy nous avons

ιpzq “ 1z“ x

x2 ` y2 ´ iy

x2 ` y2 . (21.177)

Nous devons donc étudier la fonction

F : R2 Ñ R2

px, yq ÞÑ´ xr2 ,´

y

r2

¯ (21.178)

où nous avons posé r2 “ x2 ` y2 pour simplifier les notations.Soient deux vecteurs u, v P R2 et un point a P R2. Nous devons prouver que

u· v

uv “dfapuq· dfapvqdfapuqdfapvq . (21.179)

Pour cela, nous pourrions calculer dFa et passer en coordonnées polaires[255] mais nous préféronsfaire les calculs à la dure parce que nous avons Sage avec nous.

Nous notons A la matrice de dF en a “ px, yq et nous avonsAu·Av “ AtAu· v (21.180)

ainsi que u “ ?u·u “ ?AtAu·u, de telle sorte qu’il devienne urgent de calculer AtA. Voicile calcul :

1214 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

1 var( ’y ’)2

3 # les fonctions coordonnées4 F1(x,y)=x/(x**2+y**2)5 F2(x,y)=-y/(x**2+y**2)6

7 # La matrice différentielle :8 A=matrix( [ [F1.diff(x).simplify_full (),F1.diff(y).simplify_fullÐâ

()],[F2.diff(x).simplify_full (),F2.diff(y).simplify_full ()] Ðâ

] )9

10 # Quelqu ’ un peut expliquer pourquoi ceci ne fonctionne pas ?11 # A = matrix ( [ [ F1 . diff ( x ) , F1 . diff ( y ) ] ,[ F2 . diff ( x ) , F2 . diff ( y ) ] ]Ðâ

) . simplify_full ()12

13 # A ^ tA14 S=A.transpose ()*A15 S=S.simplify_full () # Mais ça , ça marche !!16 print (S)

tex/sage/sageSnip009.sage

Le résultat est que

AtA “ˆ 1r4 00 1

r4

˙“ 1r4 Id . (21.181)

La vérification de (21.179) est alors immédiate.

21.6.3 Birapport

Nous introduisons maintenant quelque chose qui s’appelle le «birapport» et qui n’est a prioripas du tout lié au birapport définit en 21.40.

Définition 21.81 (Birapport dans C[195]).Soient a, b, c, x P C où a, b et c sont distincts. Le birapport de ces quatre nombres est l’élémentde C donné par, si a, b, c ‰ 8 :

ra, b, c, xs “ pa´ cqpb´ xqpb´ cqpa´ xq , (21.182)

et

r8, b, c, xs “ b´ xa´ x (21.183a)

ra,8, c, xs “ a´ ca´ x (21.183b)

ra, b,8, xs “ b´ xa´ x (21.183c)

21.82.Notons la «logique» des cas particuliers. Pour le premier, si a Ñ 8 tandis que les autres restentdans C alors a ´ c et a ´ x deviennent du même ordre de grandeur et se simplifient. Il reste lesdeux autres parties de la fraction.

C’est cette même logique qui, partant de ra, b,8, xs “ b´xa´x donne

ra, b,8,8s “ 1 (21.184)

comme il se doit si nous avons l’intention de ressembler au lemme 21.45.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1215

L’objet «birapport» introduit ici est évidemment lié au birapport sur P pC2q définit plus haut.Le lien est la proposition suivante.

Proposition 21.83.Soit l’application ϕ0 : P pC2q Ñ C définie en 21.36. Si A,B,C,X P P pC2q alors

rA,B,C,Xsϕ0 “ rϕ0pAq, ϕ0pBq, ϕ0pCq, ϕ0pXqs. (21.185)

Cela est une égalité dans C.

Démonstration. Nous écrivons A “ ra1, a2s, B “ rb1, b2s, C “ rc1, c2s avec a1, a2, b2, b2, c1, c2 P C.Par définition rA,B,C,Xsϕ0 “ pϕ0 ˝ φqpXq où φ : P pC2q Ñ P pC2q est l’unique homographie telleque

φra1, a2s “ r1, 0s (21.186a)φrb1, b2s “ r0, 1s (21.186b)φrc1, c2s “ r1, 1s (21.186c)

Une des difficultés de cette preuve va être de calculer ce φ. D’abord nous pouvons introduireφ “ ϕ0 ˝ φ ˝ ϕ´1 qui est obligatoirement (proposition 21.69) de la forme

φpzq “ αz ` βγa` δ . (21.187)

Nous allons imposer les relations (21.186) pour déterminer les coefficients α, β, γ et δ.D’abord

pϕ´10 ˝ φ ˝ ϕ0q

`ra1, a2s˘ “ pϕ´1

0 ˝ φqpa1a2q (21.188a)

“ ϕ´10

˜αa1a2` β

γ a1a2` δ

¸(21.188b)

“ “αa2a2` β, γ a1

a2` δ‰. (21.188c)

Égaler cela à r1, 0s donne$’&’%

αa1a2` β ‰ 0 (21.189a)

γa1a2` δ “ 0. (21.189b)

Donc nous avons déjàφpzq “ αz ` β

γpz ´ a1a2q “

αz ` βγ`z ´ ϕ0pAq

˘ . (21.190)

En y imposant la contrainte pϕ´1 ˝ φ ˝ ϕ0qprb1, b2sq “ r0, 1s nous trouvons les contraintes"γ`ϕ0pBq ´ ϕ0pAq

˘ ‰ 0 (21.191a)β “ ´αϕ0pBq. (21.191b)

Nous avons décidé d’écrire ϕ0pAq au lieu de a1a2 à la fois pour un soucis de simplification d’écritureet dans le but de ressembler à (21.185). En substituant :

φpzq “ α`z ´ ϕ0pBq

˘

γ`z ´ ϕ0pAq

˘ . (21.192)

La condition pour rc1, c2s donne“α`ϕ0pCq ´ ϕ0pBq

˘, γ`ϕ0pCq ´ ϕ0pAq

˘‰ “ r1, 1s, (21.193)

1216 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

ce qui donneα`ϕ0pCq ´ ϕ0pBq

˘ “ γ`ϕ0pCq ´ ϕ0pAq

˘. (21.194)

Nous avons alorsγ “ α

ϕ0pCq ´ ϕ0pBqϕ0pCq ´ ϕ0pAq , (21.195)

et les α se simplifient dans la formule pour φ :

φpzq “`z ´ ϕ0pBq

˘`ϕ0pCq ´ ϕ0pAq

˘`z ´ ϕ0pAq

˘`ϕ0pCq ´ ϕ0pBq

˘ . (21.196)

Par la proposition 21.69, l’application ϕ´10 ˝ φ ˝ ϕ0 est une homographie. Nous pouvons donc

calmement calculer le birapport rA,B,C,Xsϕ0 de la façon suivante :

rA,B,C,Xsϕ0 “ pϕ0 ˝ φqpXq (21.197a)“ pϕ0 ˝ ϕ´1

0 ˝ φ ˝ ϕ0qpXq (21.197b)“ φ

`ϕ0pXq

˘(21.197c)

“`ϕ0pXq ´ ϕ0pBq

˘`ϕ0pCq ´ ϕ0pAq

˘`ϕ0pXq ´ ϕ0pAq

˘`ϕ0pCq ´ ϕ0pBq

˘ (21.197d)

“ rϕ0pAq, ϕ0pBq, ϕ0pCq, ϕXpAqs. (21.197e)

Proposition 21.84.Les homographies de C conservent le birapport.

Démonstration. Ici le mot «homographie» réfère à la définition 21.71 et le birapport à 21.81. Soienta, b, c, x P C et une homographie φ : C Ñ C. Il existe une homographie φ : P pC2q Ñ P pC2q telleque φ “ ϕ0 ˝ φϕ´1

0 . Alors“φpaq, φpbq, φpcq, φpxq‰ “ “pφ ˝ ϕ´1

0 qpaq, pφ ˝ ϕ´10 qpbq, pφ ˝ ϕ´1

0 qpcq, pφ ˝ ϕ´10 qpxq, ‰

ϕ0(21.198a)

“ “ϕ´1

0 paq, ϕ´10 pbq, ϕ´1

0 pcq, ϕ´10 pxq, ‰

ϕ0(21.198b)

“ ra, b, c, xs. (21.198c)

Justifications :— Identification des birapports sur P pC2q et sur C, proposition 21.83.— Invariance du birapport sour les homographies (dans P pC2q), proposition 21.47.

Proposition 21.85.Soient des points a, b, c, x dans C avec a, b, c distincts. Ils sont alignés ou cocycliques si et seulementsi ra, b, c, xs P R.Démonstration. Nous allons faire plusieurs cas. Mais dans tous les cas vous pouvez relire la défi-nition des angles orientés 16.116 et la partie sur les angles dans les nombres complexes 16.5.2.Tous les points sont distincts et dans C D’une part, nous savons que le nombre complexe

reiθ est réel si et seulement si θ P r0sπ, et d’autre part l’argument du birapport (21.182) est

rÝÑca,ÝÑcbs ` rÝÑxb,ÝÑxas. (21.199)

Le birapport est réel si et seulement si

rÝÑca,ÝÑcbs ´ rÝÑxa,ÝÑxbs P r0sπ. (21.200)

À gauche nous avons une classe modulo 2π et à droite une classe modulo π. L’égalité signifiequ’il y a un représentant du membre de gauche qui appartient au membre de droite. Si vous

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1217

aimez faire très attention à ce que signifient les notations, voici trois manières d’écrire lacondition, par ordre croissant de précision :

rÝÑca,ÝÑcbs ´ rÝÑxa,ÝÑxbs “ r0sπ, (21.201a)rÝÑca,ÝÑcbs ´ rÝÑxa,ÝÑxbs P r0sπ, (21.201b)rÝÑca,ÝÑcbs ´ rÝÑxa,ÝÑxbs Ă r0sπ. (21.201c)

Nous avons donc que le birapport est réelle si et seulement si la condition (21.201c) estvérifiée. D’après le théorème 16.124, cette dernière condition est équivalente à dire que lespoints a, b, c et x sont alignés.

Pas quatre points distincts, dans C Nous supposons encore que a, b, c et x sont dans C.Mais nous supposons que x est un de a, b ou c. Vu que par hypothèse a, b et c sont distincts,c’est le seul cas à considérer dans la catégorie des 4 points non distincts.Trois points sont toujours alignés ou cocycliques 9. Donc nous devons seulement montrerque dans ce cas le birapport est toujours dans R. Par définition,— Si x “ a alors ra, b, c, xs “ 8,— Si x “ b alors ra, b, c, xs “ 0,— Si a “ c alors ra, b, c, xs “ 1.Dans tous les cas de figure le birapport est dans R.

À ce niveau de la preuve nous devons encore vérifier les cas où a, b, c ou x valent 8. Si l’unde a, b ou c est 8 et si x l’est aussi, alors, comme 8 est aligné avec tout, nous avons seulementune droite passant par deux points. Il nous faut donc seulement regarder les cas où un seul des 4points est 8.

Si a “ 8 Le birapport est alorsr8, b, c, xs “ b´ x

a´ x, (21.202)

qui est un nombre a priori complexe dont le dénominateur est supposé non nul parce quele cas a “ x est déjà traité. L’argument de ce nombre est dans la classe de l’angle orienté

argˆb´ xa´ x

˙P rÝÑxa,ÝÑxbs. (21.203)

Le birapport est réel si et seulement si le membre de gauche est dans r0sπ. Et cela estjustement le cas où le membre de droite donne des points alignés.

Les cas b “ 8, c “ 8 et x “ 8 se traitent de la même manière.

21.6.4 Division harmonique

Définition 21.86.Nous disons que les éléments a, b, c et x de C sont en division harmonique lorsque ra, b, c, xs “´1.

21.87.Une chose qui sera utile par la suite est de remarquer que ra, b, c,8s “ ´1 lorsque c “ a`b

2 .

Nous allons maintenant voir comment, pour a, b, c P C donnés nous pouvons construire x telsque a, b, c, x soient en division harmonique. Vu que trois points sont soit cocycliques soit alignésnous divisons la construction en deux parties.

Notons que si nous trouvons une construction qui donne une point x vérifiant ra, b, c, xs “ ´1alors nous prouvons au passage que la construction ne dépend pas des choix intermédiaires parceque il n’existe qu’un unique x tel que ra, b, c, xs “ ´1 lorsque a, b, c sont donnés.

9. Si ils ne sont pas alignés, prendre la médiatrice du segment ra, bs et celle de rb, cs, et l’intersection vous donnerale centre d’un cercle passant par a, b et c.

1218 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Lemme 21.88 ([259, 260]).Soient a, b, c cocycliques dans C. Nous nommons C le cercle contenant a, b et c ainsi que Ta et Tbles tangentes à C en a et b. Soit m “ Ta X Tb et la droite L “ pmcq. Alors le point

x “ pmcq X C (21.204)

vérifie ra, b, c, xs “ ´1.Si m “ 8 (arrive lorsque Ta ‖ Tb) alors en guise de L nous prenons la parallèle à Ta passant

par c.

Démonstration. Nous séparons les cas suivant que m “ 8 ou non.m “ 8 Les tangentes à C en a et en b sont parallèles, c’est à dire que ces points sont diamétra-

lement opposés sur C. Les homographies préservent le birapport (proposition 21.84), et lesrotations, dilatations et translations sont des homographies (voir 21.74).Nous pouvons donc nous ramener au cas où C est centré en 0 et de rayon 1 avec a “ i etb “ ´i. Dans ce cas, c “ eiθ. Vu que x est donné par l’intersection entre le cercle et la droitehorizontale passant par c nous avons x “ eipπ´θq. Le birapport se calcule explicitement :

ra, b, c, xs “ pi´ eiθqp´i´ eipπ´θqq

p´i´ eiθqpi´ eipπ´θqq “ ´1. (21.205)

m ‰ 8 Nous sommes dans la situation suivante où à une translation près nous supposons x “ 0 :

‚a

‚b

‚ m

‚x

‚c

C

Nous allons prouver que dans ce cas, ra, b, c, xs “ ´1. Pour cela nous considérons l’inversionde centre x (qui est x “ 0 par translation). Soit φ cette homographie. Elle conserve lebirapport, il nous allons voir que calculer rφpaq, φpbq, φpcq, φpxqs se révèle être plus facile 10.Nous nommons A “ pamq, B “ pbmq, C “ pcmq et C, le cercle. Nous allons maintenantfaire intensément usage de la proposition 21.76. Nous avons :— φpAq est un cercle passant par 0.— φpBq est un cercle passant par 0.— φpCq est la droite C.— φpCq est une droite ne passant pas par 0.Les droites A et B se coupent en m et en 8 (qui sont des points distincts). Donc les cerclesφpAq et φpBq se coupent en 0 et φpmq, aucun de ces deux points n’est sur la droite φpCq.Par tangence, la droite A et le cercle C se coupent en un seul point (a). Donc φpAq coupeφpCq en un seul point, φpaq. Idem pour le cercle φpBq.Nous avons donc que les cercles φpAq et φpBq sont tangents à la droite φpCq et se coupenten exactement deux points distincts (qui sont donc du même côté de la droite).Nous nous intéressons à la droite φpCq. C’est une droite parce que c’est l’image d’une droitepassant par 0. Elle passe par 0, par φpcq et φpmq. Le fait qu’elle passe par 0 et φpmq faitque c’est la droite passant par les deux intersections des cercles. Vu que c P C XC, le pointd’intersection φpCq X φpCq est φpcq.Quelle est la puissance du point φpcq par rapport au cercle φpAq ? En la calculant avec ladroite φpCq, qui intersecte les deux cercles aux points déjà étudiés, la puissance est :

k “ d`φpcq, 0˘ˆ d`φpcq, φpmq˘. (21.206)

10. Si vous n’avez peur d’aucun calculs, il suffit de poser a “ eiθ, b “ e´iθ et c “ eiσ et vous êtes théoriquementcapable de calculer les coordonnées de tous les points, y compris de x en termes de θ et σ. Ensuite le calcul dubirapport est explicite.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1219

Vu que ces points sont également sur le cercle φpBq, la puissance de φpcq par rapport à cesecond point est la même.Tout cela justifie le dessin suivant 11 :

‚φpaq

‚φpcq

‚φpbq

‚ φpmqφpAq

φpBq

‚ 0

φpCq

Mais la droite passant par φpaq et φpcq (qui est tangente au cercle) permet également decalculer cette puissance :

k “ d`φpaq, φpcq˘. (21.207)

Idem pour la puissance par rapport à l’autre cercle :

k “ d`φpaq, φpbq˘. (21.208)

Nous en déduisons que φpcq est le milieu entre φpaq et φpbq.Du coup “

φpaq, φpbq, φpcq, φpxq‰ “ “φpaq, φpbq, φpcq,8‰ “ ´1 (21.209)

en vertu de ce que nous avons raconté en 21.87.

Lemme 21.89 ([261]).Soit a, b, c P C colinéaires. Soit m un point hors de cette droite. Nous considérons une droite issuede c coupant rmas en p et rmbs en q.

Nous construisons n “ paqq X ppbq et finalement x “ pmnq X pabq.À la fin nous avons

ra, b, c, xs “ ´1. (21.210)

Démonstration. Commençons par un dessin de la situation :

‚a

‚b

‚c‚

x

‚p

‚ q

‚m

‚n

11. Bien que ce ne soit pas strictement nécessaire à la preuve, est-ce que vous savez si les deux cercles ont le mêmerayon ? Et si par hasard la droite

`φpmqφpcq

˘n’arrive pas perpendiculairement à φpCq ?

1220 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Les points a, b etm ne sont pas alignés, et nous pouvons les utiliser comme repère barycentrique(voir 11.42 pour savoir en deux mots ce que c’est). Nous nommons pα, β, γq les coordonnées de ndans ce système, c’est à dire que

αÝÑna` βÝÑnb` γÝÑnm “ 0. (21.211)

Dans notre contexte, nous pouvons voir le vecteur ÝÑst comme une façon d’écrire le nombre t ´ s.Par la proposition 11.47 nous savons les coordonnées barycentriques de p, x et q en regardant letriangle acb. Voici les coordonnées et les relations qu’elles signifient :

n “ pα, β, γq, αÝÑna` βÝÑnb` γÝÑnm “ 0 (21.212a)p “ pα, 0, γq, αÝÑpa` γÝÑpm “ 0 (21.212b)q “ p0, β, γq, β

ÝÑqb ` γÝÑqm “ 0 (21.212c)

x “ pα, β, 0q. αÝÑxa` βÝÑxb “ 0. (21.212d)

Nous voudrions maintenant voir les coordonnées de c. Nous posons c “ pλ, µ, σq :λÝÑca ` µÝÑcb ` σÝÑcm “ 0. (21.213)

Mais a, b et c sont alignés, donc ÝÑca et ÝÑcb sont colinéaires, alors que ÝÑcm n’est pas aligné avec lesdeux autres. L’annulation (21.213) demande donc l’annulation séparément

"σÝÑcm “ 0 (21.214a)λÝÑca ` µÝÑcb “ 0. (21.214b)

Nous en déduisons que σ “ 0 et aussi que λ et µ ne sont pas nuls. Nous posons arbitrairementλ “ 1 parce que les coordonnées barycentriques sont définies à coefficient multiplicatif près.

Nous imposons à présent le fait que p, q et c sont alignés. Pour cela nous devons faire apparaîtreles vecteurs ÝÑpq, ÝÑpc, ÝÑpc. Vu le dessin et les relations disponibles (21.212) le mieux est d’utiliser lesrelations de Chasles (proposition 11.3) pour faire ÝÑca “ ÝÑcp`ÝÑpq et ÝÑcb “ ÝÑcq`ÝÑqb. La relation (21.214b)devient : ÝÑcp `ÝÑpa` µpÝÑcq `ÝÑqbq “ 0. (21.215)

Les vecteurs ÝÑcp et ÝÑcq sont alignés, donc nous les écrivons ensemble. Les vecteurs ÝÑpa et ÝÑqb setransforment en utilisant les relations (21.212) :

ÝÑcp ` µÝÑcq ´ γ

αÝÑpm´ µγ

βÝÑqm. (21.216)

Enfin nous voulons faire la somme du terme ÝÑpm avec le terme ÝÑqm. D’abord on change le signe :

ÝÑcp ` µÝÑcq ´ γ

αÝÑpm` µγ

βÝÑmq (21.217)

ensuite nous écrivonsµγ

β“ µγ

β` γ

α´ γ

α, (21.218)

etÝÑcp ` µÝÑcq ´ γ

αpÝÑpm`ÝÑmqq `

ˆµγ

β` γ

α

˙ÝÑmq “ 0. (21.219)

Tout cela pourÝÑcp ` µÝÑcq ´ γ

αÝÑpq `

ˆµγ

β` γ

α

˙ÝÑmq “ 0. (21.220)

Le dernier terme n’est pas colinéaire aux deux premiers et s’annule donc séparément :µγ

β` γ

α“ 0. (21.221)

Cela donne µ “ ´βα.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1221

Au finale nous avonsÝÑca ´ β

α

ÝÑcb “ 0 (21.222)

et doncαÝÑca ´ βÝÑcb “ 0, (21.223)

ce qui donne les coordonnées pα,´β, 0q pour le point c.Vu que nous somme dans l’espace vectoriel C, ce que nous notons ÝÝÑAB n’est rien d’autre que

la différence B ´A dans C 12. La relation (21.223) signifie donc

αpa´ cq “ βpb´ cq. (21.224)

Nous avons alors :a´ cb´ c “

β

α. (21.225)

Par ailleurs, la relation (21.212d) à propos des coordonnées de x donne

a´ xb´ x “ ´

β

α. (21.226)

En égalisant les deux valeurs de βα nous trouvons :

a´ cb´ c “

x´ ab´ x , (21.227)

ce qui donne (via un petit jeu de signes)

pc´ aqpx´ bqpc´ bqpx´ aq “ ´1. (21.228)

C’est cela que nous voulions.

21.6.5 Groupe circulaire

Nous avons vu que les homographies présent l’ensemble des cercles et droites. Nous pouvonsnous demander quel est le groupe maximum préservant l’ensemble des cercles et droites.

Définition 21.90.Le groupe circulaire de C est le groupe de transformations de C engendré par les homographies 13et la conjugaison complexe. Le groupe circulaire de l’espace projectif est l’ensemble des applicationsde la forme ϕ´1

0 ˝ f ˝ ϕ0 où f est un élément du groupe circulaire de eC.

Plusieurs remarques à propos de cette définition.(1) Vu le lemme 21.75, la conjugaison complexe n’est pas une homographie. Donc cette défi-

nition n’est pas stupide : le groupe circulaire est strictement plus grand que le groupe deshomographies.

(2) Vous vous souvenez de la définition d’un sous-groupe engendré ? C’est la définition 3.8.

Lemme 21.91.Soit une application α : CÑ C fixant 1 et 0 et préservant les divisions harmoniques (c’est à diretel que son prolongement à C donné par αp8q “ 8 préserve les divisions harmoniques). Alors αest un automorphisme de corps 14.

12. Les mauvaise langues diront que tout le chapitre sur les espaces affines, et surtout la partie sur les barycentresne sont rien d’autres que le snobisme d’écrire ÝÑxy au lieu de y ´ x. C’est aussi une facilité d’écriture.13. Homographie de C : définition 21.71.14. Définition 2.23.

1222 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Démonstration. Nous savons que si a, b, c P C nous avons c “ pa ` bq2 si et seulement sira, b, c,8s “ ´1. Vu que α préserve les divisions harmoniques nous avons équivalence entre lesaffirmations suivantes :

c “ a` b2 (21.229a)

ra, b, c, ωs “ ´1 (21.229b)rαpaq, αpbq, αpcq, αp8qs “ ´1 (21.229c)

αpaq ` αpbq2 “ αpcq. (21.229d)

Donc α préserve les milieux : pour tout a, b P C nous avons

α

ˆa` b

2

˙“ αpaq ` αpbq

2 . (21.230)

En particulier, cette relation avec b “ 0 donne (parce que αp0q “ 0) : αpa2q “ αpaq2. Nous avonsau final, en utilisant cela en conjonction avec (21.230) :

αpaq ` αpbq2 “ α

ˆa` b

2

˙“ αpa` bq

2 . (21.231)

Cela démontre déjà queαpa` bq “ αpaq ` αpbq. (21.232)

En particulier αp´aq “ αp0´ aq “ αp0q ´ αpaq “ ´αpaq.Nous passons maintenant à la démonstration du fait que αpabq “ αpaqαpbq. Pour tout a différent

de 0 et ˘1 nous avonsra,´a, a2, 1s “ pa´ a

2qp´a´ 1qp´a´ a2qpa´ 1q “ ´1. (21.233)

Et en prenant αpaq en guise de a nous avons aussi

rαpaq,´αpaq, αpaq2, αp1qs “ ´1. (21.234)

Vu que α préserve les divisions harmoniques, l’équation (21.233) donne aussi“αpaq, αp´aq, αpa2q, αp1q‰ “ ´1, (21.235)

c’est à dire “αpaq,´αpaq, αpa2q, 1‰ “ ´1. (21.236)

Comparant (21.234) avec (21.236) et en tenant compte de l’unicité du birapport 15 nous avons

αpa2q “ αpaq2. (21.237)

Avec cela nous pouvons y aller en remarquant que

ab “ˆa` b

2

˙2´ˆa´ b

2

˙2. (21.238)

Nous appliquons α à cette dernière équations en tenant compte de ce que nous savons déjà

αpabq “ˆαpaq ` αpbq

2

˙2´ˆαpaq ´ αpbq

2

˙2“ αpaqαpbq. (21.239)

15. C’est à dire que si trois éléments du birapport sont donnés, le quatrième est fixé. C’est une variation sur lathème de la proposition 21.46(2).

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1223

Théorème 21.92 ([261, 262]).Le groupe circulaire de C est le groupe des bijections C Ñ C préservant l’ensemble des cercles-droites.

Démonstration. L’inclusion dans un sens est facile : les homographies conservent l’ensemble descercles et droites par la proposition 21.77. Et la conjugaison complexe aussi.

Soit une bijection f : C Ñ C préservant les cercles-droites. Nous supposons dans un premiertemps que fp0q “ 0, fp1q “ 1 et fp8q “ 8.

Pour f vérifiant fp0, 1,8q “ 0, 1,8 Si C est un cercle alors fpCq est un cercle ou une droite,mais vu que C ne contient pas 8, l’ensemble fpCq ne le contient pas non plus. Donc ftransforme un cercle en un cercle et une droite en une droite.

f préserve les divisions harmoniques Soient a, b, c, x dans C tels que ra, b, c, xs “ ´1.Nous allons prouver que rfpaq, fpbq, fpcq, fpxqs “ ´1.Si a, b et c sont colinéaires, nous suivons la construction du lemme 21.89. Soit m horsde la droite pabq et une droite D passant par c et coupant rmas en p et rmbs en q. Nousposons n “ ppbq X pqaq. Alors x “ pmnq X pacq.Vues les propriétés de f (en particulier c’est une bijection qui respecte les intersectons,tangences, cercles et droites). Le point fpmq est hors de la droite

`fpaqfpbq˘. La droite

fpDq passe par fpcq et coupe les segments rfpmqfpaqs en fppq et rfpmqfpbqs en fpqq.Alors nous avons

fpnq “ `pppqfpbq˘X `

fpqqfpaq˘ (21.240)

et aussifpxq “ `

ppmqfpnq˘X `fpaqfpcq˘ (21.241)

Donc fpxq se construit à partir de fpaq, fpbq et fpcq en suivant la même constructionque x à partir de a, b et c. Nous en concluons que rfpaq, fpbq, fpcq, fpxqs “ ´1.Si a, b et c sont cocycliques, le même raisonnement, en suivant le lemme 21.88 nousdonne le même résultat.

f est un automorphisme du corps C C’est le lemme 21.91.Et enfin . . . Notre application f est un automorphisme du corps C qui fixe R parce qu’elle

laisse invariante les droites dans C. Donc la proposition 5.6 nous dit que f est soitl’identité soit la conjugaison complexe. Dans les deux cas, f est dans le groupe circulaire.

Pour f plus générale Nous ne supposons plus que f fixe 0, 1 et 8. En tout cas les nombresf´1p1q, f´1p0q et f´1p8q sont distincts parce que f est une bijection. Nous pouvonsconsidérer une homographie 16 φ : C Ñ C telle que φp1q “ f´1p1q, φp0q “ f´1p0q etφp8q “ f´1p8q. Dans ce cas l’application

g “ f ˝ φ (21.242)

vérifie gp1q “ 1, gp0q “ 1 et gp8q “ 8 tout en continuant à transformer un cercle-droiteen un cercle-droite. Donc f ˝ φ est soit l’identité soit la conjugaison complexe. Avec ça,l’application

f “ g ˝ φ´1 (21.243)

est la composée d’une homographie avec soit l’identité soit la conjugaison complexe. Elleest donc dans le groupe circulaire.

16. Attention : ici nous parlons d’homographies de C, pas de P pC2q. L’existence d’une telle application demande

de composer le corollaire 21.35 avec l’application ϕ0 et la définition 21.71 et 21.72.

1224 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

21.6.6 Action du groupe modulaire

Le demi-plan de Poincaré est l’ensemble

P “ tz P C tel que =pzq ą 0u. (21.244)

Le groupe modulaire est le quotient de groupes

PSLp2,Zq “ SLp2,ZqZ2

. (21.245)

Ce sont donc les matrices au signe près de la formeˆa bc d

˙(21.246)

où a, b, c et d sont entiers tels que ad´ cb “ 1.

Théorème 21.93 ([263]).Le groupe modulaire agit fidèlement (définition 3.75) sur le demi-plan de Poincaré par

ˆa bc d

˙˚ z “ az ` b

cz ` d. (21.247)

L’ensemble D “ D1 YD2 avec

D1 “ tz P P tel que |z| ą 1, ´12 ď <pzq ă 1

2u (21.248a)

D2 “ tz P P tel que |z| “ 1, ´12 ď <pzq ď 0u (21.248b)

est un domaine fondamental (définition 3.82) de cette action.De plus si nous notons

S “ˆ

0 ´11 0

˙, T “

ˆ1 10 1

˙, (21.249)

alors pour tout z P P , il existe A P grpS, T q telle que A ˚ z P D.

Démonstration. Nous divisions la preuve en plusieurs étapes.

Bien définie D’abord il faut remarquer que l’action (21.247) est bien définie par rapport auquotient : A ˚ z “ p´Aq ˚ z. La vérification est immédiate.

Interne Montrons que si A P PSLp2,Zq et z P P alors A ˚ z P P . Nous avons

A ˚ z “ az ` bcz ` d “

paz ` bqpcz ` dq|cz ` d|2 “ a|z|c` azd` bcz ` bd

|cz ` d|2 , (21.250)

et donc en décomposant z “ <pzq ` i=pzq,

=pA ˚ zq “ =ˆazd` bcz|cz ` d|2

˙“ ad´ bc|cz ` d|2 =pzq “ =pzq

|cz ` d|2 (21.251)

où nous avons tenu compte de ad´ bc “ 1. Donc l’action respecte la (stricte) positivité dela partie imaginaire.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1225

Action Nous vérifions maintenant que la formule donne bien une action : A˚pB ˚zq “ pABq˚z.Cela est un bon calcul :

A ˚ pB ˚ zq “ A ˚ˆa1z ` bc1z ` d1

˙(21.252a)

“a´a1z`bc1z`d1

¯` b

c´a1z`bc1z`d1

¯` d

(21.252b)

“ apa1z ` b1q ` bpc1z ` d1qcpa1z ` b1q ` dpc1z ` d1q (21.252c)

“ paa1 ` bc1qz ` pab1 ` bd1q

pca1 ` dc1qz ` pcb1 ` dd1q (21.252d)

“ˆaa1 ` bc1 ab1 ` bd1a1c` dc1 cb1 ` dd1

˙˚ z (21.252e)

“ pABq ˚ z. (21.252f)

Fidèle Soit A P PSLp2,Zq tel que pour tout z P P nous ayons

az ` bcz ` d “ z. (21.253)

Alors nous avonscz2 ` pd´ aqz ` b “ 0. (21.254)

Cela est donc un polynôme en z qui s’annule sur un ouvert 17 (le demi-plan de Poincaré).Il doit donc être identiquement nul, donc c “ b “ a´ d “ 0. Si vous n’y croyez pas, écrivezpour z “ εi (avec ε ą 0) :

´ cε2 ` εpd´ aqi` b “ 0 (21.255)

pour tout ε. Le fait d’avoir cε2 “ b pour tout ε implique que c “ b “ 0. Donc A est de laforme

A “ˆa 00 d

˙, (21.256)

avec la contrainte supplémentaire que ad “ 1, les nombres a et b étant entiers. Nous avonsdonc soit a “ d “ 1 soit a “ d “ ´1. Étant donné le quotient par Z2, ces deux possibilitésdonnent le même élément de PSLp2,Zq.

Les orbites intersectent D Soit z P P . Nous devons trouver A P PSLp2,Zq tel que A˚z P D.Nous savons déjà que

=pA ˚ zq “ =pzq|cz ` d|2 . (21.257)

Nous notons Oz l’orbite de z sous le groupe modulaire et nous posons

Iz “ t=puq tel que u P Ozu “ t=pA ˚ zq tel que A P PSLp2,Zqu, (21.258)

l’ensemble des parties imaginaires des éléments de l’orbite de z. Nous allons montrer quecet ensemble est borné vers le haut en montrant que la quantité |cz`d| ne peut, ) z donné,prendre qu’un nombre fini de valeurs plus grandes que =pzq 18. Nous cherchons donc lescouples pc, dq P Z2 tels que |cz ` d| ă 1.

17. On ne peut pas dire que b “ 0 simplement en justifiant qu’on l’obtient en posant z “ 0 parce que z “ 0 n’estpas dans le demi-plan de Poincaré.18. Bien que cela ne soit pas indispensable pour la preuve, remarquons que Iz ne comprend qu’une quantité au

plus dénombrable de valeurs. Le fait que, à z donné, la quantité |cz ` d|2 puisse être rendue aussi grande que l’onveut est évident. Donc Iz est borné vers le bas par zéro (qui n’est pas atteint, mais qui est une valeur d’adhérence).

1226 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

Nous avons =pcz ` dq “ c=pzq, donc |cz ` d| ě |c=pzq|, mais il n’y a qu’un nombre fini dec P Z tels que |c=pzq| ă 1. De la même façon, pour la partie réelle nous avons

<pcz ` dq “ c<pzq ` d, (21.259)

et pour chaque c, il n’y a qu’un nombre fini de d P Z qui laissent cette quantité plus petiteque 1 (en valeur absolue).Donc Iz possède un maximum. Soit A1 P PSLp2,Zq tel que =pA1˚zq “ max Iz. Nous notonsz1 “ A1 ˚ z, et que nous n’avons a priori pas l’unicité. Nous allons maintenant agir sur z1avec l’élément

T “ˆ

1 10 1

˙(21.260)

pour ramener z1 dans le domaine D. Si u P P nous avons T ˚ u “ u` 1 et donc

Tn ˚ u “ u` n. (21.261)

Vu que D est de largeur 1, il existe un n (éventuellement négatif) tel que

<pTn ˚ z1q P r´12 ,

12 r. (21.262)

Notons qu’ici le fait d’être ouvert d’un côté et fermé de l’autre joue de façon essentielle(pour l’unicité aussi). Nous notons z2 “ Tn ˚ z1.Supposons un instant que |z2| ă 1. Nous considérons l’élément

S “ˆ

0 ´11 0

˙(21.263)

qui fait=pS ˚ zq “ =z

|z|2 . (21.264)

Donc si |z2| ă 1 alors =pS ˚ z2q ą =pz2q, ce qui contredit la maximalité de =pz2q dans Iz.Nous en déduisons que |z2| ě 1. Nous en déduisons que |z2| ě 1.Si |z2| ą 1, alors z2 P D1 et c’est bon. Si |z2| “ 1, alors il faut encore un peu travailler. Siz2˘ 1 est à l’intérieur du disque, alors en agissant avec T ou T´1 nous retrouvons la mêmecontradiction que précédemment. En écrivant z2 “ eiθ, nous devons donc avoir 2 cospθq ď 1ou encore |<pz2q| ď 1

2 . Donc si <pz2q ď 0 alors z2 P D2.Le dernier cas à traiter est <pz2q P s0, 1

2 s, c’est à dire θ P rπ3 , π2 r. Dans ce cas l’action avecS ramène l’angle dans la bonne zone parce que S ˚ z “ ´1

z et donc S ˚ pρe´iθq “ ´1ρe´iθ.

Unicité Nous voulons à présent montrer que si z P D, alors A ˚ z n’est plus dans D (sauf siA “ ˘1). Nous supposons que z P D et A P PSLp2,Zq soient tels que A ˚ z P D, et nousprouvons qu’alors soit nous arrivons à une contradiction soit nous arrivons à A “ 1. Pourcela nous allons décomposer en de nombreux cas.

(1) Nous commençons par =pA ˚ zq ě =pzq. Dans ce cas nous avons |cz ` d| ď 1 et enparticulier |c||=pzq| ď 1. Étant donné que le point de D qui a la partie imaginaire laplus petite est ´1

2` 2?3 i, nous trouvons |c| ď 2?3. Vu que c doit être entier, nous avons

trois cas : c “ ´1, 0, 1.

(a) Soit c “ 0. Alors A “ˆa b0 d

˙et la condition de déterminant est ad “ 1, ce qui

signifie a “ d “ 1 (la possibilité a “ b “ ´1 est «éliminée» le quotient par Z2définissant PSLp2,Zq). La matrice A doit alors être de la forme

A “ˆ

1 b0 1

˙(21.265)

et A ˚ z “ z ` b. Si z P D, alors le seul z ` b à être (peut-être) encore dans D estb “ 0, mais alors A est l’identité.

21.6. LA SPHÈRE DE RIEMANN P1pCq 1227

(b) Soit c “ 1. Alors la condition |cz`d| ď 1 nous donne trois possibilités 19 : d “ ´1, 0, 1.

i. Si d “ ´1, alors nous devons avoir |z´ 1| ď 1. Il est instructif de faire un dessin,mais le point d’intersection entre les cercles |z| “ 1 et |z ´ 1| “ 1 est le point12 `

?3

2 i, qui n’est pas dans D. Bref, il n’y a pas de points dans D vérifiant|z ´ 1| ď 1.

ii. Si d “ 1, alors (et c’est maintenant que la dissymétrie de D intervient) nousavons le point

z “ ´12 `

?3

2 i (21.266)

qui est dans D et qui vérifie |z ` 1| ď 1. Voyons à quoi ressemble la matrice Adans ce cas. Son déterminant est a´ b “ 1. Nous écrivons donc

A “ˆb` 1 b

1 1

˙, (21.267)

et en tenant compte du fait que zz “ |z ` 1| “ 1, nous calculons

A ˚ z “ pb` 1qz ` bz ` 1 (21.268a)

“ pbz ` z ` bqpz ` 1q|z ` 1|2 (21.268b)

“ z ` b` 1. (21.268c)

La seule façon de ne pas quitter D est d’avoir b “ ´1, mais alors nous avons

A “ˆ

0 ´11 1

˙(21.269)

et A ˚ z “ z. Donc au final z est quand même le seul de son orbite à être dans D.Notons au passage cette très intéressante propriété du point

z0 “ ´12 `

?3

2 i. (21.270)

C’est un point de qui vérifie z0 “ A ˚ z0 pour un élément non trivial A dePSLp2,Zq. L’existence d’un tel élément est ce qui va nous coûter un peu de sueurpour prouver que PSLp2,Zq est engendré par S et T .

iii. Le cas d “ 0 nous fait écrire 1 “ detA “ ´b, donc b “ ´1 et

A “ˆa ´11 0

˙. (21.271)

Nous avons alors A ˚ z “ a ´ 1z . De plus la condition |z| ď 1 revient à |z “ 1|.

Pour les nombres complexes de module 1, l’opération z Ñ ´1z est la symétrieautour de l’axe des imaginaires purs. Le seul à ne pas sortir de D est le fameuxz “ ´1

2 `?

32 i, qui revient sur lui-même avec a “ ´1.

Nous passons à la possibilité c “ ´1. Dans ce cas la matrice est de la forme

A “ˆa b´1 d

˙, (21.272)

et nous revenons au cas c “ 1 en prenant ´A au lieu de A.

19. Je ne rigolais pas quand je disais qu’on allait avoir de nombreux cas.

1228 CHAPITRE 21. ESPACES PROJECTIFS

(2) Nous passons au cas =pA ˚ zq ă =pzq. Nous récrivons cette condition avec

=pA ˚ zq ă =`A´1 ˚ pA ˚ zq˘. (21.273)

Si nous supposons que z et A sont tels que z et A ˚ z soient tous deux dans D, alorsz1 “ A ˚ z est un élément de D tel que

=pz1q ă =pA´1 ˚ z1q. (21.274)

Or nous avons vu qu’aucun élément de D vérifiant cette condition n’existait sans êtretrivial (celui qui ne bouge pas). Pour cela il suffit d’appliquer tout ce que nous venonsde dire avec A´1 au lieu de A.

Quelque conclusions Après avoir passé tous les cas en revue, le fameux point z0 “ ´12 `

?3

2 iest l’unique point de D à accepter une matrice non triviale A P PSLp2,Zq telle que z0 “A ˚ z0.Nous remarquons aussi que tous les points de P sont ramenés dans D par une matriceobtenue comme produit de T , S, T´1 et S´1.

Corollaire 21.94 ([264]).Les matrices S et T génèrent le groupe modulaire au sens où toute matrice de PSLp2,Zq s’écritcomme

Tm1Sp1 . . . TmkSpk (21.275)

pour un certain k et des nombres mi, pi P Z. Autrement dit, PSLp2,Zq “ grpS, T q.Démonstration. Soit z, un point de D autre que z0. Alors si A P PSLp2,Zq est non trivial nousavons A ˚ z hors de D. Du coup, comme vu dans la démonstration du théorème 21.93, il existeB P grpS, T q tel que B ˚ pA ˚ zq P D. Vu que D ne contient qu’un seul point de chaque orbite, nousavons

B ˚A ˚ z “ z, (21.276)

et donc BA “ ˘1, ce qui prouve que 20 A “ B´1, c’est à dire que A P grpS, T q.

20. Dans PSLp2,Zq, nous n’avons pas besoin de mettre ˘ parce qu’il est compris dans la définition.

Chapitre 22

Analyse vectorielle

22.1 Le théorème de Green

Soit un champ de vecteurs

F px, y, zq “¨˝F1px, y, zqF2px, y, zqF2px, y, zq

˛‚ (22.1)

et un chemin σ : ra, bs Ñ R3 donné par

σptq “¨˝xptqyptqzptq

˛‚. (22.2)

Nous avons défini la circulation de F le long de σ parż

σF · dσ “

ż b

aF`σptq˘·σ1ptqdt

“ż b

a

”F1

`σptq˘x1ptq ` F2

`σptq˘y1pyq ` F3

`σptq˘z1ptq

ıdt

“ż

σF1dx` F2dy ` F3dz.

(22.3)

La dernière ligne est juste une notation compacte 1. Elle sert à se souvenir qu’on va mettre x1 àcôté de F1, y1 à côté de F2 et z1 à côté de F3. L’avantage de cette notation est qu’on peut écrired’autres combinaisons.

Si f et g sont deux fonctions sur R3, nous pouvons écrireż

σfdy ` gdz. (22.4)

Cela signifie ż b

a

”f`σptq˘y1ptq ` g`σptq˘z1ptq

ıdt. (22.5)

Soit D une région du plan et σ, son contour que nous prenons, par convention 2, dans l’orienta-tion trigonométrique, comme indiqué sur la figure 22.1. Nous supposons également que le domaineD n’a pas de trous intérieurs.

Nous notons par σ “ BD le bord de D, c’est à dire le contour dont nous venons de parler.

1. Il y aurai beaucoup de choses à dire là-dessus, mais la vie est trop courte pour parler de formes différentielles,et c’est dommage.

2. Il y aurait beaucoup de choses à dire sur ça aussi, mais. . .

1229

1230 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

Figure 22.1 – Un contour avec son ortientation.

Théorème 22.1 (Théorème de Green).Soient P,Q : D Ñ R deux fonctions de classe C1. Alors

ż

BDPdx`Qdy “

ż

D

ˆBQBx ´

BPBy

˙dxdy. (22.6)

Pour rappel, l’intégrale du membre de gauche signifież b

a

”P`σptq˘σ1xptq `Q

`σptq˘σ1yptq

ıdt. (22.7)

Ce n’est d’ailleurs rien d’autre que l’intégrale du champ de vecteursˆPQ

˙.

Corollaire 22.2.L’aire du domaine D est donnée par

A “ 12

ż

BDpxdy ´ ydxq. (22.8)

Démonstration. L’intégraleşBDpxdy´ydxq se traite avec le théorème de Green où l’on pose P “ ´y

et Q “ x. Nous avons doncż

BD´ydx` xdy “

ż

D

ˆBxBx ´

Bp´yqBy

˙dxdy

“ż

D2 dxdy.

(22.9)

La dernière ligne est bien le double de la surface.

Exemple 22.3Calculons (encore une fois) l’aire du disque de rayon R. Il s’agit de calculer l’intégrale

I “ 12

ż

σpxdt´ ydxq (22.10)

où σ est le cercle donné par

σptq “ˆxptqyptq

˙“

ˆR cosptqR sinptq

˙(22.11)

Le calcul estI “ 1

2

ż 2π

0R cospθqlooomooon

x

R cospθqlooomooony1

´R sinpθqlooomooony

p´R sinpθqqlooooomooooonx1

dθ

“ R2

2

ż π

0dθ

“ πR2.

(22.12)

4

22.1. LE THÉORÈME DE GREEN 1231

Exemple 22.4Calculons l’aire de l’ellipse

x2

a2 `y2

b2ď 1 (22.13)

dont le bord est donné par"xptq “ a cosptq (22.14a)yptq “ b sinptq. (22.14b)

Le terme xdy devient a cosptqb cosptq “ ab cos2ptq et le terme ydx devient b sinptqp´a sinptqq “´ab sin2ptq. L’intégrale qui donne la surface est donc

12

ż

BDpxdy ´ ydxq “ 1

2

ż 2π

0ab “ πab. (22.15)

4

Le théorème de Green peut être mis sous une autre forme.

Théorème 22.5 (Théorème de Green, forme vectorielle).Si G est un champ de vecteurs sur D, nous avons

ż

BDG· dσ “

ż

Dp∇ˆGq· dS (22.16)

où le second membre est le flux de ∇ˆG sur la surface D.

Démonstration. Analysons le membre de droite. Nous savons que D est une surface dans le planR2. Le vecteur normal à la surface est donc simplement le vecteur (constant) ez. Le produit scalairep∇ˆ F q· dS est donc p∇ˆ F q· ez et se réduit à la troisième composante du rotationnel, c’est àdire BF2

Bx ´ BF1By . (22.17)

Cela est bien le membre de droite de l’équation (22.6). Le membre de gauche de cette dernière estbien le membre de gauche de (22.16).

Exemple 22.6

Soit le champ de vecteurs F px, yq “ˆxy2

y ` x˙, et soit à calculer

ż

D∇ˆ F · dS (22.18)

où D est la région comprise entre les courbes y “ x2 et y “ x pour x ě 0 (voir la figure 22.2).

1

1

Figure 22.2 – Le contour d’intégration pour l’exemple 22.6.

1232 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

Nous pouvons calculer cette intégrale directement en calculant le rotationnel de F :

∇ˆ F “¨˝

00

1´ 2xy

˛‚. (22.19)

Par conséquent l’intégrale à effectuer est

I “ż 1

0dx

ż x

x2p1´ 2xyqdy “ 1

12 . (22.20)

----------------------------------------------------------------------| Sage Version 4.6.1, Release Date: 2011-01-11 || Type notebook() for the GUI, and license() for information. |----------------------------------------------------------------------sage: f(x,y)=1-2*x*ysage: f.integrate(y,x**2,x).integrate(x,0,1)(x, y) |--> 1/12

L’autre façon de calculer l’intégrale est d’utiliser le théorème de Green et de calculer la circu-lation de F le long de BD :

I “ż

BDF ·σ. (22.21)

Le chemin σ “ BD est composé de la parabole y “ x2 et du segment de droite x “ y. Attention :il faut respecter l’orientation. Nous avons

σ1ptq “ pt, t2q (22.22)

etσ2ptq “ p1´ t, 1´ tq. (22.23)

Notez bien que le second chemin est p1´ t, 1´ tq et non pt, tq parce qu’il faut le parcourir dans lebon sens (voir le dessin).

Commençons par le premier chemin :

σ1ptq “ pt, t2qσ11ptq “ p1, 2tq

F`σ1ptq

˘ “ˆ

t5

t` t2˙,

(22.24)

et par conséquentF`σ1ptq

˘·σ11ptq “ t5 ` 2t2 ` 2t3, (22.25)

et le premier morceau de la circulation vautż

σ1

F · dσ1 “ż 1

0t5 ` 2t2 ` 2t3 “ 4

3 . (22.26)

Pour le second chemin :σ2ptq “ p1´ t, 1´ tq

σ12ptq “ p´1,´1qF`σ2ptq

˘ “ˆp1´ tq3

2p1´ tq˙.

(22.27)

Par conséquentF`σ2ptq

˘·σ2ptq “ ´p1´ tq2 ´ 2p1´ tq. (22.28)

22.2. THÉORÈME DE LA DIVERGENCE DANS LE PLAN 1233

Le second morceau de la circulation est par conséquentż 1

0´p1´ tq2 ´ 2p1´ tqdt “ ´5

4 . (22.29)

La circulation de F le long de σ est donc égale à

43 ´

54 “

112 . (22.30)

Comme prévu, nous obtenons le même résultat. 4

22.2 Théorème de la divergence dans le plan

22.2.1 La convention de sens de parcours

Soient D, un domaine dans le plan et une paramétrisation

σ : ra, bs Ñ R2

t Þшxptqyptq

˙,

(22.31)

une paramétrisation du bord BD de D. La normale à σ est perpendiculaire à la tangente, donc lanormale extérieure de norme 1 vaut

n “`y1ptq,´x1ptq˘b`x1ptq˘2 ` `

y1ptq˘2ou n´ “

`y1ptq,´x1ptq˘b`x1ptq˘2 ` `

y1ptq˘2. (22.32)

Comment faire le choix ?Nous prenons comme convention que le sens du chemin doit être tel que le vecteur normal

extérieur soitn “

`y1ptq,´x1ptq˘b`x1ptq˘2 ` `

y1ptq˘2. (22.33)

Donc si le chemin σ donne lieu à un vecteur n pointant vers l’intérieur, il faut utiliser le cheminqui va dans le sens contraire : σptq “ σp1´ tq.

Les vecteurs tangents et normaux d’un contour sont dessinés sur la figure 22.3.

Figure 22.3 – Le champ de vecteurs tangents est dessiné en rouge tandis qu’en vert nous avonsle champ de vecteurs normaux extérieurs.

1234 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

22.2.2 Théorème de la divergence

Théorème 22.7 (Théorème de la divergence).Soit F un champ de vecteurs sur R2. Le flux de F à travers le bord de D est égal à l’intégrale dela divergence de F sur D. En formule :

ż

BDF ·ndσ “

ż

D∇ ·F dxdy. (22.34)

Démonstration. Tant F ·n que ∇ˆF sont des fonctions. Le membre de gauche est donc l’intégraled’une fonction sur un chemin et le membre de droite est l’intégrale d’une fonction sur une surface.Notre convention de sens de parcours du chemin permet d’écrire le produit scalaire F ·n sous laforme suivante :

F ·n “ 1σ1

ˆFxFy

˙·

ˆy1´x1

˙

“ 1σ1pFxy

1 ´ Fyx1q

“ 1σ1

ˆ´FyFx

˙·

ˆx1y1˙

“ 1σ1

ˆ´FyFx

˙·σ1.

(22.35)

Par conséquent, la fonctionF ·n (22.36)

est la même que la fonction1σ1

ˆ´FyFx

˙·σ1. (22.37)

L’intégrale de cette dernière fonction sur le chemin σ est

I “ż

σF ·n

“ż

σ

1σ1

ˆ´FyFx

˙·σ1

“ż b

a

1σ1ptq

ˆ´Fy`σptq˘

Fx`σptq˘

˙·σ1ptqσ1ptqdt

“ż b

a

ˆ´FyFx

˙·σ1ptqdt.

(22.38)

Cette dernière intégrale est la circulation du champ de vecteursˆ´FyFx

˙sur le chemin σ. Le

théorème de Green 22.5 nous enseigne que la circulation le long d’un chemin est égale au flux durotationnel à travers la surface. Par conséquent,

I “ż

D

ˆ∇ˆ

ˆ´FyFx

˙˙· dS “

ż

D∇ ·F dxdy (22.39)

22.3 Théorème de Stokes

Nous nous mettons maintenant dans R3, et nous y considérons une surface paramétrée S doncle bord est BS.

22.3. THÉORÈME DE STOKES 1235

Théorème 22.8 (Théorème de Stokes).Alors le flux du rotationnel de F à travers S est égal à la circulation de F le long du bord. Enformule : ż

S∇ˆ F · dS “

ż

BSF · dσ. (22.40)

Nous pouvons nous donner une idée du pourquoi ce théorème est vrai. D’abord, si la surfaceest plate, cela est exactement le théorème de Green 22.5. Supposons maintenant que le bord resteplat, mais que la surface se déforme un petit peu. Le chemin

σptq “¨˝

cosptqsinptq

0

˛‚ (22.41)

est tout autant le bord du disque plat de rayon 1 que celui de la demi-sphère

φpx, yq “¨˝

xya

1´ x2 ´ y2

˛‚. (22.42)

Le champ de vecteur que nous considérons est G “ ∇ˆ F . Il a un certain flux à travers le disqueplat, et ce plus est égal à la circulation de F sur σ. Quel est le flux de G à travers la demi-sphère ?Étant donné que ∇ ·G “ ∇ · p∇ ˆ F q “ 0, le champ de vecteurs G est incompressible, de tellefaçon que tout ce qui rentre dans la demi-sphère doit en sortir. Le flux de G à travers la demi-sphèredoit par conséquent être égal à celui à travers le disque plat.

Exemple 22.9

Soit C l’intersection entre le cylindre x2`y2 “ 1 et le plan x`y`z “ 1. Calculer la circulationde

F px, y, zq “¨˝´y3

x3

´z3

˛‚ (22.43)

le long de C.Au lieu de calculer directement ż

CF · dσ, (22.44)

nous allons calculer ż

S∇ˆ F · dS (22.45)

où S est une surface dont C est le bord. Cette intégrale est à calculer avec la formule (14.209).La première chose à faire est de trouver une surface dont le bord est C et en trouver une

paramétrisation φ. Le plus simple est de prendre le graphe du plan sur le cercle x2 ` y2 ` 1. Uneparamétrisation de cette surface est simplement

φ : D Ñ R3

px, yq ÞѨ˝

xy

1´ x´ y

˛‚ (22.46)

où D est le disque de rayon 1. Étant donné que cela paramètre le plan x` y` z´ 1 “ 0, le vecteurnormal est n “ ex ` ey ` zz. Nous pouvons cependant calculer ce vecteur normal en suivant larecette usuelle. D’abord les vecteurs tangents sont

BφBx “

¨˝

10´1

˛‚, Bφ

By “¨˝

01´1

˛‚. (22.47)

1236 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

Et le vecteur normal est donné par le produit vectoriel :

n “ BφBx ˆBφBy

“∣∣∣∣∣∣∣ex ey ez1 0 ´10 1 ´1

∣∣∣∣∣∣∣“ ex ` ey ` zz.

(22.48)

Ensuite, le rotationnel de F est donné par

∇ˆ F “ 3px2 ` y2qez. (22.49)

Par conséquent,∇ˆ F ·

ˆBφBx ˆ

BφBy

˙“ 3px2 ` y2q. (22.50)

L’intégrale à calculer est doncż

S∇ˆ F · dS “

ż

Dp∇ˆ F q`φpx, yq˘·

ˆBφBx ˆ

BφBy

˙dxdy

“ 3ż

Dpx2 ` y2qdxdy.

(22.51)

Cette dernière intégrale est l’intégrale d’une fonction sur le disque de rayon 1. Elle s’effectue enpassant aux coordonnées polaires :

3ż

Dpx2 ` y2qdxdy “

ż 2π

0dθ

ż 1

0pr2qr dr “ 3π

2 . (22.52)

4

22.4 Théorème de GaussSoit V une partie de R3 délimitée par une surface S sur laquelle nous considérons la normale

extérieure. Soit F un champ de vecteurs sur R3.

Théorème 22.10 (Théorème de la divergence ou de Gauss).Le flux d’un champ de vecteur F à travers une surface fermée est égale à l’intégrale de la divergencesur le volume correspondant :

ż

BVF · dS “

ż

V∇ ·F dxdydz. (22.53)

Ce théorème signifie que la quantité de fluide qui s’accumule dans le volume (le flux est ce quirentre moins ce qui sort) est égal à l’intégrale de ∇ ·F sur le volume, alors que nous savons que,localement, la quantité ∇ ·F px, y, zq est la quantité de fluide qui s’accumule au point px, y, zq.Remarque 22.11.Ce théorème ne fonctionne qu’avec des surfaces fermées. Essayer de l’appliquer au calcul de fluxà travers des surfaces ouvertes n’a pas de sens parce qu’une surface ouverte ne délimite pas unvolume.

22.12.La formule de la divergence peut être utilisée comme intégration par partie. Si u est une fonctionet F un champ de vecteurs, ∇puF q “ ∇puq·F ` u∇ ·F et alors

ż

BVuF ·n “

żV∇puF q “

ż

Vu∇ ·F `

ż

VF · ∇u (22.54)

22.4. THÉORÈME DE GAUSS 1237

où n est le champ de vecteurs normal extérieur à V . En remettant les termes dans un ordre quiressemble plus à l’intégration par partie :

ż

VF · ∇u “

ż

BVuF ·n´

ż

Vu∇F. (22.55)

Exemple 22.13Calculer le flux du champ de vecteurs

F px, y, zq “¨˝

2xy2

z2

˛‚ (22.56)

à travers la sphère de rayon 1 centrée à l’origine. Nous utilisons le théorème de la divergenceż

SF ·ndS “

ż

B∇ ·F dxdydz (22.57)

où S est la sphère et B est la boule (la sphère pleine). La divergence de F se calcule :

∇ ·F “ BFxBx ` BFyBy ` BFzBz “ 2` 2x` 2y. (22.58)

L’intégrale est donc en trois termes :ż

B2 “ 2Volume(B) “ 8π

3ż

By dxdydz “ 0

ż

Bz dxdydz “ 0.

(22.59)

4

Dans certains cas le théorème de Gauss permet de simplifier le calcul de l’intégrale d’unefonction sur une surface.

Exemple 22.14Soit à calculer l’intégrale

I “ż

BBpx2 ` y ` zqdS, (22.60)

c’est à dire l’intégrale de la fonction x2 ` y ` z sur la sphère. Le vecteur normal à la sphère est

n “ xex ` yey ` zez. (22.61)

Étant donné que nous sommes sur la sphère de rayon 1, ce vecteur est même normé. La fonctionque nous regardons n’est rien d’autre que F ·n avec

F “¨˝x11

˛‚. (22.62)

Nous pouvons donc simplement intégrer ∇ ·F sur toute la boule :

I “ż

B∇ ·F dxdydz “

ż

B1 dxdudz “ 4π

3 . (22.63)

4

1238 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

22.5 Coordonnées curvilignes

22.5.1 Base locale

Les coordonnées sphériques et cylindriques sont deux systèmes de coordonnées «un peu courbe»qui existent surR3. Il en existe de nombreux autres, que nous appelons coordonnées curvilignes.Des coordonnées curvilignes sur R3 est n’importe quel 3 système qui permet de repérer un pointde R3 à partir de trois nombres.

Il s’agit donc d’un ensemble de trois applications

xi : R3 Ñ R. (22.64)

Les coordonnées cylindriques sont$’&’%

x1pr, θ, zq “ r cos θ (22.65a)x2pr, θ, zq “ r sin θ (22.65b)x3pr, θ, zq “ z (22.65c)

Soit donc un système général q “ pq1, q2, q3q et

Mpqq “¨˝x1pqqx2pqqx3pqq

˛‚. (22.66)

Si nous fixons q2 et q3 et que nous laissons varier q1, nous obtenons une courbe 4 dont nous pouvonsconsidérer le vecteur vitesse, c’est à dire le vecteur tangent. En chaque point nous avons ainsi troisvecteurs BM

Bqi pqq. (22.67)

Nous disons que le système de coordonnées curviligne est orthogonal si ces trois vecteurs sontorthogonaux. Dans la suite nous supposerons que c’est toujours le cas.

Nous posonshi “

››››BMBqi

›››› (22.68)

et nous considérons les trois vecteurs normés

ei “ h´1i

BMBqi . (22.69)

Les trois vecteurs te1, e2, e3u forment une base orthonormée dite base locale. Ce sont des vecteursliés 5 au point M .

22.5.2 Importance de l’orthogonalité

Nous avons dit que nous nous restreignons au cas où les vecteurs ei sont orthogonaux. Entermes de produits scalaires, cela signifie

ei · ej “ δij . (22.70)

Nous en étudions maintenant quelque conséquence. L’équation (22.69) peut s’écrire plus explicite-ment sous la forme

ei “ÿ

k

h´1i

BxkBqi 1k. (22.71)

3. Nous n’entrons pas dans les détails de régularité.4. Dans le cas des sphériques, c’est une demi-droite horizontale d’angle q2 et de hauteur q3.5. En géométrie différentielle on dira que ce sont des élément de l’espace tangent, mais c’est une toute autre

histoire.

22.5. COORDONNÉES CURVILIGNES 1239

Notez que pour chaque k et i, la quantité h´1iBxkBqi est un simple nombre. Nous allons les mettre

dans une matrice :Aki “ h´1

i

BxkBqi . (22.72)

Cela nous donne le changement de base

ei “ÿ

k

Aki1k. (22.73)

Le produit ei · ej s’écrit alorsei · ej “

ÿ

kl

AkiAlj 1k · 1lloomoon“δkl

“ÿ

kl

AkiAljδkl

“ÿ

k

AkiAkj

“ÿ

k

pAT qikAkj .

(22.74)

Or cela doit valoir δij . Par conséquentAT “ A´1. (22.75)

Le fait que les coordonnées curvilignes considérées soient orthogonales s’exprime donc par la faitque la matrice de changement de base est une matrice orthogonale.

Cette circonstance nous permet d’inverser le changement de base (22.73) en multipliant cetteéquation par pA´1qil des deux côtés et en faisant la somme sur i :

ÿ

i

pA´1qilei “ÿ

kl

AkipA´1qillooooomooooon“δkl

1k, (22.76)

par conséquent ÿ

i

pAT qilei “ 1l, (22.77)

et1l “

ÿ

i

Aliei “ÿ

i

h´1i

BxlBqi ei. (22.78)

Armés de cette importante formule, nous pouvons exprimer les quantités que nous connaissonsdans la base canonique en termes de la base locale.

Une autre conséquence du fait que e1, e2 et e3 est une base orthonormée est que, éventuellementen réordonnant les vecteurs, on a

e1 ˆ e2 “ e3

e2 ˆ e3 “ e1

e3 ˆ e1 “ e2

(22.79)

Ces trois relations s’écrivent en une seule avec

ei ˆ ej “ÿ

k

εijkek (22.80)

où

εijk “

$’&’%

0 si i, j, k ne sont pas tous différents1 si ijk se ramène à 123 par un nombre pair de permutations´1 si ijk se ramène à 123 par un nombre impair de permutations

(22.81)

est le symbole de Levi-Civita. La formule du produit vectoriel peut également être utilisée àl’envers sous la forme

ek “ 12ÿ

ij

εijk ei ˆ ej . (22.82)

1240 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

Le symbole de Levi-Civita possède de nombreuses formules. En voici certaines, facilementdémontrables en considérant tous les cas :

εijkεijl “ δkl|εijk|. (22.83)

Grâce au symboles de Levi-Civita, le produit mixte des vecteurs de base a une belle forme :

el · pei ˆ ejq “ÿ

k

εijkel ˆ ek “ÿ

k

εijkδlk “ εijl. (22.84)

22.5.3 Coordonnées polaires

Les coordonnées curvilignes polaires sont données par

Mpr, θq “ˆr cospθqr sinpθq

˙, (22.85)

et par conséquentBMBr “

ˆcospθqsinpθq

˙,BMBθ “

ˆ´r sinpθqr cospθq

˙. (22.86)

Nous avons les normes hr “ 1 et hθ “ r, et donc les vecteurs de la base locale en pr, θq sont

er “ˆ

cospθqsinpθq

˙“ cospθqex ` sinpθqey (22.87)

ainsi que

eθ “ˆ´ sinpθq

cospθq˙“ ´ sinpθqex ` cospθqey. (22.88)

Ces vecteurs sont représentés à la figure 22.4. Notez qu’il y en a une paire différente en chaquepoint.

ereθ

(a) Base locale.

er eθ

(b) Base locale.

Figure 22.4 – En brun, les lignes que le point suivrait si on ne variait qu’une coordonnées polaireà la fois. Les vecteurs rouges sont les vecteurs er et eθ.

22.5.4 Coordonnées cylindriques

Les coordonnées cylindriques sont les mêmes que les coordonnées polaires à part qu’il fautécrire

Mpr, θ, zq “¨˝r cospθqr sinpθq

z

˛‚, (22.89)

et nous avons le vecteur de base supplémentaire

ez “ BMBz “¨˝

001

˛‚ (22.90)

parce que hz “ 1.

22.5. COORDONNÉES CURVILIGNES 1241

22.5.5 Coordonnées sphériques

Les coordonnées curvilignes sphériques sont données par

Mpρ, θ, ϕq “¨˝ρ sinpθq cospϕqρ sinpθq sinpϕq

ρ cospθq

˛‚, (22.91)

dont les dérivées sont données par

BMBr “

¨˝

sinpθq cospϕqsinpθq sinpϕq

cospθq

˛‚, BM

Bθ “¨˝ρ cospθq cospϕqρ cospθq sinpϕq´ρ sinpθq

˛‚,

BMBϕ “

¨˝´ρ sinpθq sinpϕqρ sinpθq cospϕq

0

˛‚

(22.92)

Les normes de ces vecteurs sont hρ “ 1, hθ “ ρ et hϕ “ ρ sinpθq. Les vecteurs de la base locale enpρ, θ, ϕq sont donc

er “¨˝

sinpθq cospϕqsinpθq sinpϕq

cospθq

˛‚, eθ “

¨˝

cospθq cospϕqcospθq sinpϕq´ sinpθq

˛‚,

eϕ “¨˝´ sinpϕqcospϕq

0

˛‚

(22.93)

22.5.6 Gradient en coordonnées curvilignes

Soit px, y, zq ÞÑ fpx, y, zq une fonction sur R3. Nous pouvons la composer avec les coordonnéescurvilignes q pour obtenir la fonction

fpq1, q2, q3q “ f`x1pqq, x2pxq, x3pqq

˘. (22.94)

Nous disons que f est l’expression de f dans les coordonnées q. Nous savons déjà comment calculerle gradient de f en coordonnées cartésiennes :

F px, y, zq “ ∇fpx, y, zq “¨˝Bxfpx, y, zqByfpx, y, zqBzfpx, y, zq

˛‚. (22.95)

Cela est un vecteur lié au point px, y, zq. Nous voudrions exprimer ce vecteur dans la base te1, e2, e3u.En d’autres termes, nous voudrions trouver les nombres F1, F2 et F3 tels que

F px, y, zq “ F`xpqq, ypqq, zpqq˘ “ F1e1 ` F2e2 ` F3e3. (22.96)

Ces nombres seront des fonctions de pq1, q2, q3q.Par définition,

∇f “ÿ

l

BfBxl 1l. (22.97)

En remplaçant 1l par sa valeur en termes des ei par la formule (22.78),

∇f “ÿ

l

BfBxl 1l

“ÿ

l

BfBxl

ÿ

i

h´1i

BxlBqi ei

“ÿ

il

1hi

BfBxl

BxlBqi ei

“ÿ

i

1hi

BfBqi ei.

(22.98)

1242 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

Plus explicitement,

∇f`xpqq, ypqq, zpqq˘ “

ÿ

i

1hipqq

BfBqi pqqei (22.99)

oùhipqq “

››››BMBqi pqq

›››› . (22.100)

Le plus souvent nous n’allons pas noter explicitement la dépendance de hi en q.

22.5.6.1 Coordonnées sphériques

Nous pouvons exprimer le gradient d’une fonction en coordonnées sphériques en utilisant laformule (22.99) :

∇fpρ, θ, ϕq “ BfBρ eρ `1ρ

BfBθ eθ `

1ρ sinpθq

BfBϕrϕ. (22.101)

Cette expression peut paraître peu pratique parce que les vecteurs eρ, eθ et eϕ eux-mêmes changenten chaque point. Elle est effectivement peu adaptée au dessin, mais elle est très pratique pour desfonctions ayant des symétries.

Exemple 22.15Le potentiel de la gravitation est la fonction

V px, y, zq “ 1ax2 ` y2 ` z2

. (22.102)

En coordonnées sphériques elle s’écrit

V pρ, θ, ϕq “ 1ρ. (22.103)

En voila une fonction qu’elle est facile à dériver, contrairement à V ! En suivant la formule (22.101),nous avons immédiatement

∇V “ ´ 1ρ2 eρ. (22.104)

Nous voyons immédiatement que cela est un champ de vecteurs dont la norme diminue comme lecarré de la distance à l’origine et qui est en permanence dirigé vers l’origine. 4

22.5.7 Divergence en coordonnées curvilignes

Nous savons que

∇f “ÿ

j

1hj

BfBqj ej . (22.105)

Nous pouvons en particulier considérer la fonction fpqq “ qi. De la même manière que nous avionsnoté xi la fonction x ÞÑ xi, nous notons qi la fonction q ÞÑ qi. Le gradient de cette fonction estdonné par

∇qi “ÿ

j

1hj

BqiBqj ej , (22.106)

mais BqiBqj “ δij , donc∇qi “ ei

hi, (22.107)

ou encoreei “ hi∇qi. (22.108)

Cela n’est pas étonnant : la direction dans laquelle la coordonnées qi varie le plus est le vecteur eiqui donne la tangente à la courbe obtenue lorsque seul qi varie.

22.5. COORDONNÉES CURVILIGNES 1243

Commençons par calculer la divergence de ei. En utilisant la formule (22.82),

∇ · ek “ 12ÿ

ij

εijk ∇ · pei ˆ ejq. (22.109)

Nous avons, en utilisant les règles de Leibnitz (12.827),

∇ · pei ˆ ejq “ ∇ · phi∇qi ˆ hj∇qjq“ ∇phihjq·

`∇qi ˆ∇qj

˘` hihj∇ ·`∇qi ˆ∇qj

˘

“ ∇phihjq·`∇qi ˆ∇qj

˘

` hihj∇qj ·`

∇ˆ∇qilooomooon“0

˘

` hihj∇qi ·`

∇ˆ∇qjlooomooon“0

˘

(22.110)

Cela nous fait∇ · ek “

ÿ

ij

εijk∇phihjqhihj

· pei ˆ ejq. (22.111)

parce que ∇qi “ h´1i ei. Nous pouvons développer le gradient qui intervient :

∇phihjq “ÿ

l

1hl

BBql phihjqel. (22.112)

Nous voyons donc arriver le produit mixte el · pei ˆ ejq. En utilisant la formule (22.84), celas’exprime directement sous la forme εijl.

Nous avons alors∇ · ek “ 1

2ÿ

ijl

1hihjhl

BBql phihjqεijkεijl

“ 12ÿ

ijl

δkl|εijk| BBql phihjq

“ 12ÿ

ij

|εijk|hihjhk

BBqk phihjq.

(22.113)

Par exemple,∇ · e1 “ 1

h1h2h3

BBq1ph2h3q. (22.114)

Nous devons maintenant chercher le gradient d’un champ général

F pqq “ÿ

k

Fkpqqek. (22.115)

La première chose à faire est d’utiliser la formule de Leibnitz :

∇ ·F “ÿ

k

∇Fkpqq· ek `ÿ

k

Fkpqq∇ · ek. (22.116)

Afin d’alléger les notations, nous allons nous concentrer sur le terme numéro k et ne pas écrire lasomme. Si i et j sont les nombres tels que εijk “ 1, alors ce que la formule (22.113) signifie, c’estque

∇ · ek “ 1h1h2h3

BBqk phihjq. (22.117)

Nous savons déjà par la formule (22.99) que

∇Fk “ÿ

l

1hl

BFkBql el, (22.118)

1244 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

par conséquent∇Fk · ek “

ÿ

l

1hl

BFkBql δkl “

1hk

BFkBqk . (22.119)

Pour obtenir cela nous avons utilisé le fait que el · ek “ δlk. Le terme numéro k de la somme(22.116) est donc

1hk

BFkBqk `

Fkhkhihj

BphihjqBqk “ 1

hihjhk

BpFkhihjqBqk (22.120)

où il est entendu que i et j représentent les nombres tels que εijk “ 1.Au final, nous avons

∇ ·F “ 1h1h2h3

ÿ

ijk

|εijk|BpFkhihjqBqk . (22.121)

Ici, la somme sur i et j consiste seulement à sélectionner les termes tels que i et j ne sont pas k.En écrivant la somme explicitement,

∇ ·F “ 1h1h2h3

„ BBq1pF1h2h3q ` B

Bq2pF2h1h3q ` B

Bq3pF3h1h2q

. (22.122)

22.5.7.1 Coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques, nous avons déjà vu que hr “ 1, hθ “ r et hz “ 1. La divergenceest donc donnée par

∇ ·F “ 1r

„ BBr prFrq `

BBθ pFθq `

BBz prFzq

. (22.123)

Par exemple siF pr, θ, zq “ reθ ` ez, (22.124)

nous avonsp∇ ·F qpr, θ, zq “ 1

r

„ BBθ prq `

BBz prq

“ 0. (22.125)

Cela est logique parce que reθ est à peu près le champ dont nous avons parlé dans l’exemple(12.314), qui était à divergence nulle. En réalité, le champ dont on parlait dans cet exemple étaitexactement ´eθ. Le champ ez est également à divergence nulle parce qu’il est constant.

22.5.7.2 Coordonnées sphériques

En coordonnées sphériques, nous avons hρ “ 1, hθ “ r et hϕ “ r sin θ, donc

∇ ·F “ 1r2 sin θ

„ BBρpρ

2 sin θFρq ` BBθ pρ sin θFθq ` B

BϕpρFϕq. (22.126)

si F pρ, θ, ϕq “ Fρeρ ` Fθeθ ` Fϕeϕ.

22.5.8 Laplacien en coordonnées curvilignes orthogonales

Soit une fonction f : R3 Ñ R. Le laplacien de f est donné par

∆f “ ∇ · p∇fq. (22.127)

En utilisant les formules données, nous avons

∆f “ 1h1h2h3

„ BBq1

ˆh2h3h1

BfBq1

˙` BBq2

ˆh1h3h2

BfBq2

˙` BBq3

ˆh1h2h3

BfBq3

˙. (22.128)

Dans cette expression, la fonction f est donnée comme fonction de q1, q2 et q3.

22.5. COORDONNÉES CURVILIGNES 1245

En coordonnées cylindriques, cela s’écrit

∆f “ 1r

„ BBr

ˆrBfBr

˙` BBθ

ˆ1r

BfBθ

˙` BBz

ˆrBfBz

˙

“ B2f

Br2 `1r

BfBr `

1r2B2f

Bθ2 `B2f

Bz2 .

(22.129)

Dans cette expression, f est fonction de r, θ et z.En coordonnées sphériques, cela devient

∆f “ 1ρ2 sin θ

„ BBρ

ˆρ2 sin θBfBρ

˙` BBθ

ˆsin θBfBθ

˙` BBϕ

ˆ1

sin θBfBϕ

˙. (22.130)

Dans cette expression, f est fonction de ρ, θ et ϕ.

22.5.9 Rotationnel en coordonnées curvilignes orthogonales

Nous voulons calculer le rotationnel de F pqq “ řk Fkpqqek. Pour cela nous commençons par

écrire ek “ hk∇qk et nous utilisons la formule (12.828) avec Fkhk en guise de f :

∇ˆ Fkek “ ∇ˆ pFkhk∇qkq“ Fkhk ∇ˆ p∇qkqlooooomooooon

“0

`∇pFkhkq ˆ∇qk

“ 1hk

∇pFkhkq ˆ ek.(22.131)

Nous utilisons à présent la formule (22.99) du gradient et le formule ej ˆ ek “ řl εjklel :

∇ˆ pFkekq “ÿ

j

1hjhk

BBqj pFkhkqej ˆ ek

“ÿ

jl

1hjhk

εjklBBqj pFkhkqel.

(22.132)

Le rotationnel s’écrit donc

∇ˆ F “ÿ

jkl

1hjhk

εjklBBqj pFkhkqel. (22.133)

Devant e1 par exemple nous avons seulement les termes j “ 2, k “ 3 et j “ 3, k “ 2. Étant donnéque ε231 “ 1 et ε321 “ ´1, le coefficient de e1 sera simplement

1h2h3

ˆ BBq2pF3h3q ´ B

Bq3pF2h2q

˙. (22.134)

La formule complète devient

∇ˆÿ

k

Fkek “ 1h2h3

ˆ BBq2pF3h3q ´ B

Bq3pF2h2q

˙

` 1h1h3

ˆ BBq3pF1h1q ´ B

Bq1pF3h3q

˙

` 1h2h1

ˆ BBq1pF2h2q ´ B

Bq2pF1h1q

˙.

(22.135)

1246 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

22.5.9.1 Coordonnées cylindriques

En utilisant hr “ 1, hθ “ r et hz “ 1, nous trouvons

∇ˆ pFrer ` Fθeθ ` Fzezq “ 1r

ˆBFzBθ ´

BpFθrqBz

˙er

`ˆBFrBz ´

BFzBr

˙eθ

`ˆBpFθrq

Br ´ BFrBθ˙ez.

(22.136)

22.5.9.2 Coordonnées sphériques

En utilisant hρ “ 1, hθ “ ρ et hϕ “ ρ sin θ, nous trouvons

∇ˆ pFρeρ ` Fθeθ ` Fϕeϕq “ 1ρ sin θ

ˆBpFϕq sin θBθ ´ BFθBϕ

˙eρ

` 1ρ sin θ

ˆBFρBϕ ´ BpFϕρ sin θq

Bρ˙eθ

` 1ρ

ˆBFθρBρ ´ BFrBθ

˙eϕ.

(22.137)

Note : dans le premier terme, il y a une simplification par ρ.

22.6 Les formules

22.6.1 Coordonnées polaires

Les vecteurs de base :

er “ˆ

cospθqsinpθq

˙“ cospθqex ` sinpθqey (22.138a)

eθ “ˆ´ sinpθq

cospθq˙“ ´ sinpθqex ` cospθqey. (22.138b)

Le gradient :

∇fpr, θq “ BfBr pr, θqer `1r

BfBθ pr, θqeθ. (22.139)

La divergence :∇ ·F “ 1

r

„ BBr prFrq `

BBθ pFθq

. (22.140)

Le rotationnel :∇ˆ pFrer ` Fθeθq “

ˆBpFθrqBr ´ BFrBθ

˙ez. (22.141)

Notons que le rotationnel n’existe pas vraiment en deux dimensions. Ici nous avons vu le champF pr, θq comme un champs dans R3 ne dépendant pas de z et n’ayant pas de composante z. Lerésultat est un rotationnel qui est dirigé selon l’axe z.

22.6.2 Coordonnées cylindriques

Les vecteurs de base : idem qu’en coordonnées polaires, et on ajoute ez sans modifications.Le gradient :

∇fpr, θ, zq “ BfBr pr, θ, zqer `1r

BfBθ pr, θ, zqeθ `

BfBz pr, θ, zqez. (22.142)

22.6. LES FORMULES 1247

La divergence :∇ ·F “ 1

r

„ BBr prFrq `

BBθ pFθq `

BBz prFzq

. (22.143)

Le rotationnel :

∇ˆ pFrer ` Fθeθ ` Fzezq “ 1r

ˆBFzBθ ´

BpFθrqBz

˙er

`ˆBFrBz ´

BFzBr

˙eθ

`ˆBpFθrq

Br ´ BFrBθ˙ez.

(22.144)

Note : les formules concernant les coordonnées polaires se réduisent de celles-ci en enlevanttoutes les références à z.

22.6.3 Coordonnées sphériques

Les vecteurs de base :

er “¨˝

sinpθq cospϕqsinpθq sinpϕq

cospθq

˛‚, eθ “

¨˝

cospθq cospϕqcospθq sinpϕq´ sinpθq

˛‚,

eϕ “¨˝´ sinpϕqcospϕq

0

˛‚

(22.145)

Le gradient :

∇fpρ, θ, ϕq “ BfBρ eρ `1ρ

BfBθ eθ `

1ρ sinpθq

BfBϕrϕ. (22.146)

La divergence :

∇ ·F “ 1ρ2 sin θ

„ BBρpρ

2 sin θFρq ` BBθ pρ sin θFθq ` B

BϕpρFϕq. (22.147)

Le rotationnel :

∇ˆ pFρeρ ` Fθeθ ` Fϕeϕq “ 1ρ sin θ

ˆBpFϕq sin θBθ ´ BFθBϕ

˙eρ

` 1ρ sin θ

ˆBFρBϕ ´ BpFϕρ sin θq

Bρ˙eθ

` 1ρ

ˆBFθρBρ ´ BFrBθ

˙eϕ.

(22.148)

1248 CHAPITRE 22. ANALYSE VECTORIELLE

Chapitre 23

Espaces de Hilbert

23.1 Espaces de HilbertDéfinition 23.1.Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la topologie de la norme.

Définition 23.2.Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est une espace préhilbertien. Si il est complet 1pour la norme induite par le produit scalaire alors il est de Hilbert.

Dans les deux cas nous considérons la topologie métrique dérivant du produit scalaire.

La différence entre un espace de Hilbert et un espace de Banach est que dans le cas d’un espacede Hilbert, nous demandons que la norme dérive d’un produit scalaire.

Dans le cas des espaces de dimension finie, le fait d’être complet est automatique, comme lemontre la proposition suivante.

Proposition 23.3.Soit

`E, .˘ un espace vectoriel normé de dimension finie sur un corps K qui est complet (typi-

quement K est R ou C). Alors E est complet.

Démonstration. Nous considérons une suite de Cauchy pfnq dans E et si teαu est une base or-thonormée de E nous définissons les coefficients fn “ ř

α anαeα. La somme sur α est finie parhypothèse sur la dimension de E.

Nous avonsfn ´ fm “

ÿ

α

panα ´ amαqeα “ÿ

α

|anα ´ amα|2. (23.1)

Pour tout ε, il existe N tel que si m,n ą N alors |anα´amα| ă ?ε. Autrement dit, pour chaque α,la suite panαqαPN est de Cauchy dans K et converge donc dans K. Soit aα la limite et définissonsf “ ř

α aαeα. Nous avons alors

fn ´ f “ ÿ

α

panα ´ aαqeα, (23.2)

dont la limite n Ñ 8 est bien zéro. Donc la suite pfnq converge vers f P E. L’espace E est alorscomplet.

Proposition 23.4.Si H est un espace de Hilbert réel, alors

x` y2 “ x2 ` y2 ` 2xx, yy. (23.3)

Si H est un espace de Hilbert complexe alors

x` y2 “ x2 ` y2 ` 2 Rexx, yy. (23.4)

1. Définition 6.38.

1249

1250 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Dans les deux cas nous avons l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

|xx, yy| ď xy. (23.5)

Dans un espace vectoriel de dimension infinie, tous les opérateurs linéaires ne sont pas continus.

Exemple 23.5Soit un espace vectoriel V engendré par la base tekukPN et l’application linéaire T : V Ñ V donnéepar

Tek “ kek. (23.6)

Nous allons montrer que l’image inverse de la boule unité ouverte O n’est pas ouverte. En effet sipεkq est une suite de réels strictement positifs tendant vers zéro, les vecteurs

ak “ˆ

1k` εk

˙ek (23.7)

sont hors de T´1O parce queTak “ p1` kεkqek. (23.8)

Mais la suite pakq converge vers 0 qui fait partie de T´1O. Donc le complémentaire de T´1O n’estpas fermé, ce qui prouve que T´1O n’est pas ouvert. 4

23.1.1 Sous-espace vectoriel fermé ? ? ?

Nous verrons que beaucoup de résultats demandent un sous-espace vectoriel fermé. Une ques-tion légitime est : est-ce qu’il existe des sous-espaces vectoriels qui ne soient pas fermés ? Endimension finie, tous les sous-espaces vectoriels sont fermés, mais cela n’est pas vrai en dimensioninfinie.

Soit en effet une partie libre infinie A “ tviuiPN dans un espace de Hilbert H . L’ensembleSpanpAq des combinaisons linéaires d’éléments de A est un sous-espace vectoriel de H , mais iln’est pas fermé.

En effet, supposons pour simplifier les notations que vi “ 1 pour tout i. Alors nous considéronsla combinaison

a “8ÿ

k“1αkvk (23.9)

où les αk sont suffisamment décroissants pour assurer les convergences 2. Le vecteur a n’est pasdans SpanpAq, mais la suite an “ řn

k“1 αkvk est dans SpanpAq et converge vers a : an HÝÑ a. Eneffet,

an ´ a “ 8ÿ

k“n`1αkvk ď

8ÿ

k“n`1|αk| nÑ8ÝÑ 0. (23.10)

Vous voulez des détails sur la dernière limite ? Vu que la sommeřk |αk| converge, la suite des

sommes de queues de suites 3 converge vers zéro :

limnÑ8

8ÿ

k“n`1|αk| “ 0. (23.11)

23.2 Théorème de la projectionThéorème 23.6 (Projection sur partie fermée convexe[265, 266]).Soit H un espace de Hilbert, x P H , et C un sous ensemble fermé convexe de H .

(1) Les deux conditions suivantes sur y P H sont équivalentes :

2. Par exemple αk “ 1k2 si les vk sont orthonormaux.3. On se comprend hein.

23.2. THÉORÈME DE LA PROJECTION 1251

(a) x´ y “ inftx´ z tel que z P Cu,(b) pour tout z P C, Rexx´ y, z ´ yy ď 0.

(2) Il existe un unique y P H , noté y “ projCpxq vérifiant ces conditions.Démonstration. Nous commençons par prouver l’existence et l’unicité d’un élément dans C véri-fiant la première condition. Ensuite nous verrons l’équivalence.

Nous nommons d l’infimum en question de la première condition.Existence Soit pynq une suite dans C telle que

limnÑ8 x´ yn “ inftx´ y tel que z P Cu “ d. (23.12)

Nous allons montrer que cette suite peut être choisie de Cauchy. Elle convergera doncdans H parce que ce dernier est complet. Mais C étant supposé fermé dans H , la limiteappartiendra à C. Soient r, s P N. D’abord nous avons

yr ´ ys2 “ xyr ´ ys ` x´ x, yr ´ ys ` x´ xy (23.13a)“ yr ´ x2 ` ys ´ x2 ´ 2xyr ´ x, ys ´ xy. (23.13b)

Ensuite,

4››››yr ` ys

2 ´ x››››2“ xyr ` ys ´ 2x, yr ´ ys ´ 2xy (23.14a)

“ yr ´ x2 ` ys ´ x2 ` 2xyr ´ x, ys ´ xy. (23.14b)

Si nous égalisons les valeurs de 2xyr ´ x, ys ´ xy nous trouvons

yr ´ ys2 “ ´4››››yr ` ys

2 ´ x››››2` 2yr ´ x2 ` 2ys ´ x2. (23.15)

La distance infimum étant d, nous pouvons choisir yn de telle façon à avoir

yn ´ x ď d` 1n. (23.16)

D’autre part étant donné que C est convexe, pyr ` ysq2 est dans C et nous avons››››yr ` ys

2 ´ x›››› ď d. (23.17)

En mettant ces majorations dans (23.15) nous trouvons

yr ´ ys2 ď ´4d` 2ˆd` 1

r

˙` 2

ˆd` 1

s

˙“ 1r` 1s. (23.18)

La suite pynq est donc de Cauchy et la limite est un élément de C. Prouvons que cet élémenty réalise l’infimum. Pour cela nous avons les inégalités

d ď x´ y ď x´ yn ` yn ´ y. (23.19)

En prenant le limite nÑ8 nous trouvons

d ď x´ y ď d. (23.20)

Unicité Même preuve que pour le théorème en dimension finie 12.233.(1)añ (1)b Même preuve que pour le théorème en dimension finie 12.233.(1)bñ (1)a Même preuve que pour le théorème en dimension finie 12.233.

1252 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Proposition 23.7.Soit C une partie convexe et fermée de l’espace de Hilbert H . Alors pour tout x1, x2 P H nousavons

projCpx1q ´ projCpx2q ď x1 ´ x2. (23.21)

En particulier la projection est une application continue.

Démonstration. Nous posons y1 “ projCpx1q et y2 “ projCpx2q. Par la partie (1)b du théorème23.6, nous avons, pour tout z, z1 P C les inégalités

Rexx1 ´ y1, z ´ y1y ď 0 (23.22a)Rexx2 ´ y2, z

1 ´ y2y ď 0. (23.22b)

En prenant z “ y2 et z1 “ y1 et en sommant nous trouvons

Rexpx1 ´ y1q ` py2 ´ x2q, y2 ´ y1y ď 0. (23.23)

Nous pouvons maintenant calculer

y1 ´ y22 “ Re y1 ´ y2“ Rexy1 ´ y2, py1 ´ x1q ` x1 ´ x2 ` px2 ´ y2qy“ Rexy1 ´ y2, x1 ´ x2y ` Rexy2 ´ y1, px1 ´ y1q ` py2 ´ x2qyď xy1 ´ y2, x1 ´ x2yď ››xy1 ´ y2, x1 ´ x2y

››“ď y1 ´ y2x1 ´ x2.

(23.24)

En simplifiant par y1 ´ y2 4 nous trouvons le résultat

y1 ´ y2 ď x1 ´ x2. (23.25)

Théorème 23.8 (Projection orthogonale).Soit H un espace de Hilbert et K, un sous-espace vectoriel fermé non réduit à t0u et x P H .L’élément y “ projKpxq est l’unique élément de K tel que

x´ y P KK. (23.26)

De plus l’application x ÞÑ projKpxq est linéaire, continue et de norme 1.

L’élément y ainsi définit est la projection orthogonale de x sur K et sera noté projKpfq.Démonstration. La continuité de la projection est donné par la proposition 23.7.

Soit z un élément de K tel que xz ´ x, ay “ 0 pour tout a P K. Nous avons

x´ a2 “ z ´ x2 ` a´ z2 ` 2 xz ´ x, a´ zylooooooomooooooon“0

(23.27a)

ě z ´ x2. (23.27b)

Le produit scalaire est nul parce que a ´ z P K. La distance z ´ x est donc bien la plus petitedistance entre x et les éléments de K.

Dans l’autre sens, nous supposons que y P K minimise la distance à x dans K. Par hypothèsepour tout a et pour tout λ P R, la différence

py ` λaq ´ x2 ´ y ´ x2 (23.28)

4. Si c’est nul, alors la preuve est évidente.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1253

est positive. En développant les produits scalaires nous trouvons la conditions suivante

λ2a2 ` 2λxa, y ´ xy ě 0 (23.29)

qui doit être vraie pour tout λ P R. En tant que polynôme du second degré en λ, cela n’aura pasdeux racines réelles distinctes uniquement si xa, y ´ xy “ 0.

Nous montrons maintenant la linéarité de la projection orthogonale. Soient x1, x2 P H . L’élé-ment y “ projK x1 ` projK x2 satisfait à la condition d’orthogonalité : pour tout z P K,

xx1 ` x2 ´ projK x1 ´ projK x2, zy “ xx1 ´ projK x1, zy ` xx2 ´ projK x2, zy “ 0. (23.30)

Étant donné que K est un sous-espace vectoriel, la condition de minimalité est automatiquementvérifiée (seconde partie du théorème 23.6).

En ce qui concerne la norme opérateur de projK , la décomposition de x P H en composantesdans K et KK est

x “ x` px´ projK xq. (23.31)

Étant deux parties orthogonales nous avons

projK x2 “ x2 ´ x´ projK x2. (23.32)

En prenant x “ 1 nous trouvons projK x2 ď 1 et par conséquent projK ď 1. Mais d’autrepart en prenant x P K nous avons automatiquement projK ě 1.

Proposition 23.9.Soit H “ L2pΩ,A, µq, F une sous tribu de A et K l’ensemble de fonctions F-mesurables dansL2pΩ,A, µq. Si f P L2pΩ,A, µq est positive, alors projK f est positive (presque partout).

Démonstration. L’ensemble A “ tprojK f ă 0u est dans F . En effet

A “ pprojK fq´1`s´8, 0r˘ (23.33)

alors que, par construction, projK f est F-mesurable. La fonction indicatrice 1A est alors F-mesurable (c’est à dire 1A P K) et nous avons

0 ďż

Ωf1A “

ż

ΩprojK f1A ď 0. (23.34)

Étant donné que nous avons supposé f ě 0 nous avons alors µpAq “ 0. D’où le fait que projK fest presque partout positive.

23.3 Systèmes orthogonaux et bases

Dans cette partie nous noteronsK le corps de base de l’espace H . Seuls deux cas sont envisagés :K “ C ou K “ R.

Pour chaque x P H nous considérons l’application

Φx : H Ñ K

y ÞÑ xx, yy. (23.35)

Ce sont des applications continues.

1254 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

23.3.1 Orthogonal d’une partie

Définition 23.10.Soit une partie A de l’espace de Hilbert H . L’orthogonal de A est l’ensemble

AK “ tv P H tel que xv, xy “ 0@x P Au. (23.36)

Proposition 23.11.Si H est une préhilbert et si A Ă H , alors l’ensemble AK est un sous-espace fermé de H .

Démonstration. L’application Φx définie en (23.35) est continue pour chaque x P H et par consé-quent l’ensemble ker Φx “ Φ´1

x pt0uq est fermé. L’ensemble

AK “č

xPAker Φx (23.37)

est donc fermé.

Proposition 23.12 (wikipédia).Soit V un espace vectoriel normé et une décomposition en somme directe V “ F ‘ G. Alors lestrois conditions suivantes sont équivalentes.

(1) L’isomorphisme naturel F ˆGÑ v est un homéomorphisme.(2) F et G sont fermés et la restriction à G de la projection V Ñ V F est un homéomorphisme.(3) F et G sont fermés et la projection de E sur F est continue.

Lorsqu’une décomposition en somme directe vérifie la proposition 23.12, nous disons que ladécomposition est topologique.

Théorème 23.13.Soit H un espace de Hilbert et F un sous-espace fermé de H . Alors

(1) Nous avons la décompositionH “ F ‘ FK. (23.38)

(2) La projection sur F par rapport à la somme directe (23.38) est la projection projF duthéorème de projection.

(3) La décomposition (23.38) est topologique.

Proposition 23.14.Si F est un sous-espace de l’espace de Hilbert H alors on a FKK “ F .

Démonstration. Nous savons par la proposition 23.11 que FK est fermé, par conséquent le théorème23.13 donne la somme directe

H “ FK ‘ FKK. (23.39)

Mais F étant également fermé nous avons la somme directe

H “ F ‘ pF qK. (23.40)

Montrons que pF qK “ FK. En effet si x P FK et si y P F , alors il existe une suite yn dans F quiconverge vers y. Pour chaque n nous avons xx, yny “ 0 et dons xx, yy “ 0 par continuité du produitscalaire.

Nous avons doncH “ FK ‘ FKK “ F ‘ FK. (23.41)

Mais F Ă FKK (prendre une suite). Les espaces F et FKK étant tous deux des supplémentaires deFK, nous déduisons qu’ils doivent être égaux.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1255

Proposition 23.15.Soit H un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel de H . Alors F est dense si et seulementsi FK “ t0u.Démonstration. Nous savons que

H “ FK ‘ F . (23.42)

Donc nous avons H “ F si et seulement si FK “ t0u.Pour vérifier si un sous-espace vectoriel d’un espace de Hilbert est dense, il suffit donc de

montrer que son orthogonal est réduit à zéro.

23.3.2 Dual, théorème de représentation de Riesz

Lemme 23.16.L’application Φ: H Ñ LpH ,Kq donnée par y ÞÑ Φy est une isométrie : nous avons Φy “ y.De plus pour chaque y, l’application Φy est continue.

Démonstration. En utilisant la définition de la norme opérateur et l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

Φy “ supx“1

Φypxq “ sup |xx, yy| ď sup xy “ y. (23.43)

Par conséquent Φy ď y. Mais d’autre part le fait que Φypyq “ y2 montre que Φy ě y.En ce qui concerne la continuité de Φy, elle est garantie par le fait que c’est une application

linéaire bornée via la proposition 10.18.

Définition 23.17.Le dual de l’espace de Hilbert H est l’ensemble

H 1 “ tf : H Ñ K linéaire et continueu. (23.44)

Notons que dans le contexte des espaces de Hilbert nous demandons la continuité des élémentsdu dual parce qu’elle n’est pas automatique par la linéarité dans les cas de dimension infinie. Enprincipe nous devrions préciser dual topologique, mais nous ne le ferons pas systématiquementlorsque le contexte parle clairement de topologie (ce qui est le cas lorsqu’on parle d’espaces deHilbert). De temps en temps le dual algébrique d’un espace est noté E˚ ; dans ce cas la continuitén’est pas demandée.

Théorème 23.18 (Théorème de représentation de Riesz).L’application

Φ: H Ñ H 1

y ÞÑ Φy(23.45)

est une bijection isométrique.

Démonstration. Nous savons du lemme 23.16 que Φ est une isométrique. Nous devons seulementmontrer que Φ est surjective. Soit f P H 1. Par continuité nous savons que F “ kerpfq est fermé,donc

H “ kerpfq ‘ pker fqK (23.46)

par le théorème 23.13. Nous considérons une base de H adaptée à cette décomposition, c’est à dire— pusqsPS une base de ker f ,— pvtqtPT une base de pker fqK.

Il se fait que T se réduit à un seul élément parce que si v P pker fqK, alors fpvq ‰ 0, et parconséquent tfpvqu est déjà une base de Image f “ K. Le théorème du rang (théorème 7.23) assurealors que

tvu Y tususPS (23.47)

1256 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

est une base de H avec v P pker fqK et us P ker f . Nous choisissons v pour avoir v “ 1.Nous pouvons maintenant prouver l’existence de y tel que fy “ f . En effet si nous posons

y “ fpvqv nous avons fy “ f , en effet

fypvq “ xv, yy “ fpvqxv, vy “ fpvq (23.48a)fypusq “ xus, yy “ 0. (23.48b)

Par conséquent fy et f coïncident sur une base de H .En ce qui concerne l’unicité, d’abord si fy “ f alors nous devons avoir y P pker fqK et par

conséquent y “ λv pour un certain λ P K. Nous avons alors

fypvq “ λxv, vy “ λ. (23.49)

Pour que cela soit égal à fpvq, nous fixons λ “ fpvq.

Notons que nous avons réellement utilisé le théorème du rang pour l’unicité. Si nous ne de-mandions pas l’unicité, alors nous n’avions pas besoin du fait que dimpker fqK “ 1, et nous auronsdonc pu parler de formes plus générales à valeurs dans Kn.

23.3.3 Séparabilité

Définition 23.19.Un espace topologique est séparable s’il possède une partie dénombrable dense.

Définition 23.20 ([267]).Si E est un espace vectoriel normé nous disons que ∆ est une partie totale de E si Spanp∆q estdense dans E. Attention : nous rappelons que Spanp∆q est l’ensemble des combinaisons linéairesfinies d’éléments de ∆.

Proposition 23.21.Un espace vectoriel normé est séparable si et seulement s’il possède une partie totale dénombrable.

Démonstration. Si ∆ est une partie dénombrable de E, alors le Q-espace vectoriel SpanQ∆ estdénombrable, et sa fermeture est la même que celle de SpanK∆.

Définition 23.22.Une famille puiqiPI d’éléments de H indicée par un ensemble quelconque I est un système or-thonormé si

(1) ui “ 1 pour tout i P I,(2) ui K uj pour tout i ‰ j.

Notons que si punqnPN est un système orthonormé dénombrable alors en utilisant les formulesde la proposition 23.4, nous avons

››nÿ

k“1ξkuk

››2 “nÿ

k“1|ξk|2. (23.50)

Exemple 23.23Dans l’ensemble L2pa, bq avec b´ a “ L l’ensemble des fonctions

enptq “ 1?b´ a expp2π

Lintq (23.51)

avec n P Z forme un système orthonormé. En effet

xen, eny “ 1b´ a

ż b

aexpp2π

Lintq expp´2π

Lintq “ 1 (23.52)

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1257

etxen, emy “ 1

b´ aż b

ae

2πLpn´mqtdt “ 0. (23.53)

Dans cette intégrale nous utilisons le fait que b “ a ` pb ´ aq pour simplifier les expressions encours de calcul.

La famille (23.51) est le système trigonométrique de L2pa, bq. On en parle aussi dans [220].4

Proposition 23.24.Une partie orthonormée est libre.

Démonstration. Soit puiqiPI une famille orthonormée de H et une combinaison linéaire finie nulle :nÿ

k“1akuk “ 0. (23.54)

Nous développons la somme en utilisant les formules de la proposition 23.4 :

0 “ ÿ

k

akuk2 “ÿ

k

|ak|2uk2 ` 2ÿ

kălxakuk, aluly. (23.55)

La famille étant orthonormée, les choses se simplifient enÿ

k

|ak|2 “ 0, (23.56)

ce qui signifie que ak “ 0 pour tout k.

Avant de continuer nous devons définir comment nous calculons des sommes sur des ensemblesquelconques. Si I est un ensemble et si pour chaque i P I nous avons un nombre réel positif ai,alors nous définissons ÿ

iPIai “ sup

JĂIJ fini

ÿ

jPJaj . (23.57)

Cela est discuté dans la section 9.10.

Proposition 23.25 (Inégalités de Bessel).Soit H un préhilbert. Si puiqiPI est un système orthonormé et si x P H , alors

ÿ

iPI

ˇxx, uiyˇ2 ď x2. (23.58)

Démonstration. Les éléments de la somme étant des réels positifs, la notion de somme à utiliserest celle de la définition 9.178.

Posons cipxq “ xx, uiy. Pour toute partie finie J Ă I nous avons

0 ď ››x´ÿ

jPJcjpxquj

››2 “ x2 ´ 2 Reÿ

j

xx, cjpxqujy `ÿ

j

|cjpxq|2. (23.59)

Mais en tenant compte du fait que

xx, cjpxqujy “ cjpxqxx, ujy “ |cjpxq|2, (23.60)

nous restons avecx´

ÿ

jPJcjpxquj “ x2 ´

ÿ

jPJ|cjpxq|2. (23.61)

Finalement, ÿ

jPJ|cjpxq|2 ď x2. (23.62)

Ayant cette inégalité pour toute partie finie de I, nous l’avons encore pour le supremum.

1258 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Proposition 23.26.Soit H un préhilbert et une famille orthonormé puiqiPI . Si

x “ÿ

iPIξiui (23.63)

alors ξi “ xx, uiy.Démonstration. Nous appliquons l’application Φuk du théorème de représentation de Riesz 5 àl’équation (23.63).

Si I est dénombrable, alors permuter Φuk avec la somme consiste à invoquer la continuité, etpermuter la limite des sommes partielles avec Φuk (l’application Φuk est continue parce qu’isomé-trique).

Sinon, il faut utiliser la proposition 9.187. Il faut donc montrer que la famille Φuk

`ξiui

˘est

sommable. Cela est fort vrai parce que cette famille ne contient en réalité qu’en seul élément nonnul, celui avec i “ k, qui vaut ξk. Au final nous avons :

xx, uky “ÿ

iPIΦukpξiuiq “ ξk. (23.64)

23.3.4 Base hilbertienne

Définition 23.27.Une base orthonormée est une famille dénombrable orthonormé et totale 6. Cela sera souventaussi appelé une base hilbertienne.

23.28.Cette définition demande quelque remarques.

(1) La notion de base hilbertienne pas la même notion de base qu’en algèbre. En effet pouravoir une base algébrique d’un espace vectoriel, nous demandons que les éléments soientdes combinaisons linéaires finies des éléments de la base, tandis qu’ici en demandant quela partie soit totale nous demandons simplement que les combinaisons linéaires finies soientdenses.

(2) Nous allons voir qu’un espace de Hilbert est généré par les sommes infinies de vecteursd’une base hilbertienne avec des coefficients qui forment une suite dans `2.

(3) Nous ne demandons pas que la famille soit libre ? La belle affaire. Une famille orthogonaleest toujours libre, proposition 23.24.

Lemme 23.29 ([268]).Si E est une base hilbertienne 7 de l’espace de Hilbert H et si x P H alors l’ensemble

te P E tel que xx, ey ‰ 0u (23.65)

est au plus dénombrable.

Démonstration. Notons qu’ici, H n’est pas supposé séparable. Nous savons par l’inégalité de Bessel(23.58) que ÿ

ePE|xx, ey|2 ď x2. (23.66)

Donc si ε ą 0 est donné, l’ensemble te P E tel que |xx, ey| ą εu est fini. Or

te P E tel que xx, ey ‰ 0u “ te P E tel que |xx, ey| ą 0u “8ď

n“1te P E tel que |xx, ey| ą 1

nu. (23.67)

Bref, cet ensemble est une union dénombrable d’ensembles finis. Il est donc dénombrable.5. Théorème 23.18.6. Définition 23.207. Définition 23.27.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1259

Remarque 23.30.Le lemme 23.29 ne signifie pas que la base E doive être dénombrable. Il signifie seulement que pourchaque x séparément, seule une partie dénombrable de E est nécessaire.

Corollaire 23.31 ([268]).Si un espace de Hilbert possède une base hilbertienne dénombrable, alors toutes ses bases hilber-tiennes sont dénombrables.

Démonstration. Soient E et F des bases hilbertiennes de l’espace de Hilbert H , en supposant queE soit dénombrable. Pour chaque f P F nous avons xf, ey ‰ 0 pour au moins un e P E , sinon envertu de la décomposition (23.63) de f dans la base E , nous aurions f “ 0. Nous avons donc

F Ăď

ePEtf P F tel que xf, ey ‰ 0u, (23.68)

alors que le lemme 23.29 indique que chacun des ensembles de l’union est au plus dénombrable.La partie F est donc une union dénombrable d’ensemble dénombrables. Elle est dénombrable.

Remarque 23.32.En travaillant un peu plus sur la notion de cardinalité, le corollaire 23.31 indique que toutes lesbases hilbertiennes ont même cardinalité. En effet en laissant tomber l’hypothèse de dénombrabilitésur E , l’inclusion (23.68) donne que F est une union de CardpEq ensembles dénombrables et estalors de cardinalité CardpEq.Définition 23.33.Une partie orthonormale B est maximale si le seul x P H vérifiant xx, by “ 0 pour tout b P Best x “ 0.

Lemme 23.34 ([1, 269]).Tout espace de Hilbert possède une partie orthonormale maximale.

Démonstration. Soit H un espace de Hilbert et O, l’ensemble de parties orthonormales de H ,ordonné 8 par l’inclusion. Cet ensemble est inductif. En effet soit une partie totalement ordonnéetAiuiPI de O : chaque Ai est une partie orthonormale de H , et de plus pour i, j P I nous avonssoit Ai Ă Aj soit Aj Ă Ai. Nous pouvons considérer

A “ď

iPIAi. (23.69)

Cela est encore une partie orthonormé de H parce que si x, y P A, alors il existe i, j P I telsque x P Ai et y P Aj . Vu que tAiuiPI est totalement ordonné nous supposons pour fixer les idéesque Ai Ă Aj . Alors x et y sont dans Aj qui est une partie orthonormée ; nous en déduisons quexx, yy “ 0 et donc que A est une partie orthonormée. C’est à dire : A P O. Par ailleurs, A est unmajorant de tAiuiPI pour l’inclusion parce que Ai Ă A pour tout i.

Nous avons prouvé que O est un ensemble inductif. Le lemme de Zorn 2.10 nous dit alors que Opossède un maximum. Ce maximum est une partie orthonormale inclue dans aucune autre partieorthonormale. C’est à dire que ce maximum est une partie orthonormale maximale au sens de ladéfinition 23.33.

Proposition 23.35 ([269]).Si un espace de Hilbert possède une partie orthonormale maximale dénombrable, alors toutes lesparties orthonormales sont dénombrables (ou finies).

Démonstration. Soit B une partie orthonormale maximale, et A une partie orthonormale. Pourchaque b P B nous notons

Apbq “ ta P A tel que xa, by ‰ 0u Y t0u. (23.70)

8. Définition 2.3.

1260 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Un élément de A qui ne serait dans aucun des Apbq serait perpendiculaire à tous les éléments deB, et serait donc l’élément nul. Mais l’élément nul est dans tous les Apbq ; donc nous avons

A Ăď

bPBApbq. (23.71)

Or par l’inégalité de Bessel, l’ensemble Apbq est dénombrable. Par conséquent A est inclus à uneunion dénombrable d’ensembles dénombrables ; A est dénombrable.

Le fait que tout espace de Hilbert possède une base hilbertienne est vrai. Nous allons démontrerce résultat d’abord pour les espaces séparables et ensuite, indépendamment, en général. Si vousvous la sentez de maîtriser la proposition 23.37, vous pouvez sauter la 23.36.

Proposition 23.36.Tout espace de Hilbert séparable possède une bases hilbertienne.

Démonstration. Vu que nous supposons avoir un espace de Hilbert séparable, il possède une partietotale dénombrable par la proposition 23.21. Soit pvnqnPN une telle partie. Quitte à supprimer lesvi qui sont combinaisons linéaires des précédents, nous pouvons supposer que cette partie est libre.Nous considérons l’espace vectoriel

Fn “ Spantv1, . . . , vnu. (23.72)

Sur Fn nous pouvons appliquer un procédé de Gram-Schmidt pour construire une base orthonorméetu1, . . . , unu de Fn au sens usuel. En considérant Fn`1 et en recommençant, les vecteurs u1, . . . , unne changent pas, mais nous obtenons un vecteur un`1.

Nous construisons ainsi une suite punq qui est alors orthonormée au sens des espaces de Hilbert.Nous devons encore prouver qu’il s’agit d’un ensemble total. Cela est simplement dû au fait que toutélément de Spantvnu est contenu dans Spantunu parce que Span ne considère que des combinaisonslinéaires finies.

Proposition 23.37 ([269]).À propos de parties orthonormales maximales.

(1) Une partie d’un espace de Hilbert est orthonormale maximale si et seulement si elle est unebase hilbertienne.

(2) Tout espace de Hilbert possède une base hilbertienne.

Démonstration. Soit une partie orthonormale maximale B et la fermeture de son espace engendré :F “ SpanpBq. Pour que B soit une base, nous devons démontrer que F “ H . Pour cela nousconsidérons x P H et nous utilisons le théorème de projection orthogonale 23.8 pour mentionnerle fait que

x´ projF pxq K F (23.73)

Cela dit que x´ projF pxq est un vecteur orthogonal en particulier à tous les éléments de B ; parmaximalité nous avons x´ projF pxq “ 0, c’est à dire x “ projF pxq ou encore x P F . Cela prouveque F “ H .

Note : pour être pointilleux, nous aurions dû travailler non avec x ´ projF pxq, mais avec levecteur normalisé à 1.

En ce qui concerne le second point, nous invoquons le lemme 23.34 pour dire que tout espace deHilbert possède une partie orthonormale maximale. Ensuite la première partie de cette propositionnous dit que cette dernière est une base hilbertienne.

Voici un petit résumé de ce que nous avons vu en termes de dénombrabilité et séparabilité.

Théorème 23.38.Pour un espace de Hilbert, les choses suivantes sont équivalentes.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1261

(1) L’espace est séparable 9.(2) L’espace possède au moins une base hilbertienne 10 dénombrable.(3) Toutes les bases hilbertiennes sont dénombrables.(4) Toute partie libre est dénombrable.

Démonstration. Plein de résultats à citer . . .(1) implique (2) est la proposition 23.36.(2) implique (3) est la proposition 23.31.(3) implique (4) Le procédé de Gram-Schmidt met en bijection une partie libre avec une

partie orthonormale (qui engendre le même espace, mais c’est une autre affaire). Or lorsquel’espace de Hilbert possède une base dénombrable, toutes les parties orthonormales sontdénombrables par la proposition 23.35.

(4) implique (1) Tout espace de Hilbert possède des bases hilbertiennes par la proposition23.37(2). Une telle base est forcément une partie libre parce que toute famille orthonormaleest libre (proposition 23.24), et donc dénombrable par hypothèse. À ce point nous avonsmontré que notre espace de Hilbert possédait une base hilbertienne dénombrable. Celaimplique qu’il est séparable par la proposition 23.21.

Remarque 23.39.À mon avis il doit exister un théorème de complétion de base hilbertienne disant que si on aune famille orthonormée, alors elle se prolonge en base. Utilisant cela, nous trouvons une nouvelledémonstration de la proposition 23.25 en disant que la somme sur la «partie de base» est pluspetite que la somme sur la «base complète».

23.40.Vu que nous n’avons l’intention de ne travailler qu’avec des espaces de Hilbert séparables et quetoutes leurs bases sont dénombrables, nous n’allons travailler qu’avec des bases dénombrables, etdonc des systèmes orthonormés dénombrables. Nous allons conventionnellement les indicer par N.

La proposition suivante explique que la notion de projection est compatible avec la décompo-sition d’un vecteur dans un système orthonormé.

Proposition 23.41.Soit pukqkě1 un système orthonormé d’un préhilbert H . Soient

x “8ÿ

k“1ξkuk (23.74)

etF “ Spantu1, . . . , unu. (23.75)

Alors

projF pxq “nÿ

k“1ξkuk. (23.76)

Démonstration. Nous allons dans un premier temps montrer que

y “ x´nÿ

k“1ξkuk (23.77)

9. Définition 23.19.10. Définition 23.27.

1262 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

est dans FK. Pour cela nous calculons

xx´nÿ

k“1ξkuk, uj , y “ x

8ÿ

k“n`1ξkuk, ujy “ 0 (23.78)

où nous avons utilisé la continuité du produit scalaire pour permuter la somme (infinie) et leproduit. Étant donné que y P FK nous avons projF y “ 0 par le point (2) du théorème 23.13.

D’autre part projF y peut être calculé selon

projF y “ projF x´nÿ

k“1ξk projF uk (23.79)

tandis que projF uk “ uk lorsque 1 ď k ď n. Par conséquent l’annulation de projF y donne

projF x “nÿ

k“1ξkuk, (23.80)

donc le résultat.

Théorème 23.42 (Meilleur approximation).Soit tuiuiPI une famille orthonormé de l’espace de Hilbert H . Alors pour tout x P H et pour toutJ fini dans I et pour toute famille de nombres complexes pajqjPJ nous avons

ÿ

jPJxx, ujyuj ´ x ď

ÿ

jPJajuj ´ x. (23.81)

Ce théorème exprime le fait que les nombres xx, uiy sont les meilleurs coefficients à mettredevant les ui pour approximer x.

Corollaire 23.43.Soit tuiuiPI une famille orthonormé de H . Pour tout x P H et pour toutes parties finies J,K deI avec J Ă K nous avons

ÿ

jPKxx, ujyuj ´ x ď

ÿ

jPJxx, ujyuj ´ x. (23.82)

Ce corollaire exprime le fait que plus on prend de termes de la forme x, uiyui, mieux c’est.

Proposition 23.44.Soit H un espace de Hilbert et punq un système orthonormé dans H . Si pξnqnPN est une suitedans `2 alors la série 8ÿ

n“1ξnun (23.83)

converge dans H .Autrement dit l’application

S : H Ñ `2

x ÞÑ `xx, uny˘ně1

(23.84)

est surjective.

Démonstration. Nous allons montrer que la sérieř8n“1 ξnun est de Cauchy, c’est à dire que la

limite

limnÑ8

››n`pÿ

k“nξkuk

›› “ 0 (23.85)

est uniforme en p. Cela est un corollaire de la formule (23.50) parce que

››n`pÿ

k“nξkuk

››2 “n`pÿ

k“n|xk|2. (23.86)

Mais si pξnq est dans `2, pour tout ε, il existe N tel que si n ą N alors le membre de droite estinférieur à ε indépendamment de p.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1263

23.3.5 Décomposition dans une base hilbertienne

Étant donné une base hilbertienne de H , nous notons

ckpxq “ xx, uky. (23.87)

Dans le théorème suivant (et d’ailleurs partout), les sommes sur I sont prises au sens de la définition9.179.

Théorème 23.45 (Décomposition dans une base orthogonale).Soit H un espace de Hilbert séparable tuiuiPI une base orthonormée (I est un ensemble dénombrablequelconque).

(1) Pour tout x P H nous avonsx “

ÿ

iPIxx, uiyui (23.88)

où la somme est prise au sens de la définition 9.179. En particulier, la somme converge defaçon commutative.

(2) Si teiuiPI est une famille orthonormée qui satisfait la décomposition (23.88) pour tout x P Halors teiu est une base hilbertienne.

(3) Nous avons l’identité de Plancherel

x2 “ÿ

iPI|xx, uiy|2. (23.89)

Le point (5) nous indiquera que cette égalité est en fait suffisante pour dire que nous avonsune base.

(4) Nous avons l’identité de Parseval

xx, yy “ÿ

iPIxx, uiyxy, uiy. (23.90)

(5) Si teiu est une famille de vecteurs unitaires vérifiant l’identité de Plancherel, alors c’estune base hilbertienne.

(6) Si tuiuiPI est une base hilbertienne, la suite n ÞÑ |xx, eny| appartient à `2pIq.Démonstration. (1) Étant donné que le système tuiuiPI est total, nous pouvons considérer une

suite de combinaisons linéaires finies des ui qui converge vers x. Nous écrivons

xn “ÿ

xPJnan,kuj (23.91)

et xn Ñ x dans H . Les ensembles Jn sont des sous-ensembles finis de I. Nous pouvons leschoisir de telle sorte que Jn Ă Jn`1 et

ŤnPN Jn “ I. Ce choix correspond à éventuellement

prendre an,j “ 0 pour toutes les valeurs de j «en trop».Soit ε ą 0 et N tel que xn ´ x ă ε pour tout n ě N . Nous allons montrer que pour toutJ fini tel que JN Ă J nous avons řjPJxx, ujyuj ´ x ă ε. Étant donné que

ÿ

jPJNxx, ujyuj “

ÿ

jPJajuj (23.92)

avec

aj “#xx, ujy si j P JN0 sinon,

(23.93)

le théorème de meilleure approximation 23.42 nous enseigne que

ÿ

jPJxx, ujyuj ´ x ď

ÿ

jPJNxx, ujyuj ´ x ă ε (23.94)

1264 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

par conséquent la sommeřiPIxx, uiyui converge vers x au sens général, et en particulier

commutativement.Les sommes étant commutatives (en particulier x “ ř

iPIxx, uiyui), et les bases hilbertiennesétant dénombrables, nous ne perdons aucune généralité en ne considérant que des basesindexées par N.

(2) Nous devons montrer que l’ensemble des combinaisons linéaires finies est dense dans H .Par hypothèse, pour tout ε, il existe un ensemble fini J tel que

ÿ

jPJxx, ujyuj ´ x ă ε. (23.95)

Cela prouve la densité dont nous avions besoin.(3) La norme étant une fonction continue, elle commute avec les sommes infinies, de telle sorte

que l’égalité de Plancherel donne

x2 “ ÿ

iPIxx, uiyui2. (23.96)

Le système des ui étant orthonormé,

x2 “ ÿ

iPIxx, uiyui2 “

ÿ

iPI|xx, uiy|2. (23.97)

(4) Au tour de Parseval. Nous commençons par prouver que la somme du membre de droiteconverge. En utilisant l’inégalité |zz1| ď |z|2 ` |z1|2 (valable pour z, z1 P C) et Plancherel,nous avons ÿ

iPI|xx, uiyxy, uiy| ď

ÿ

iPI|xx, uiy|2 ` |xy, uiy|2

ď x2 ` y2.(23.98)

Nous en déduisons que la famille xx, uiyxy, uiy est (commutativement) sommable en utilisantla proposition 9.186. Par ailleurs nous savons que

x “ÿ

iPIcipxqui (23.99a)

y “ÿ

iPIcipyqui, (23.99b)

et le produit scalaire étant une forme bilinéaire continue,

xx, yy “ÿ

iPI

ÿ

jPIxcipxqui, cjpyqujy (23.100a)

“ÿ

iPI

ÿ

jPJcipxqcjpyqδij (23.100b)

“ÿ

iPIcipxqcjpyq. (23.100c)

(5) Nous utilisons l’égalité de Plancherel avec x “ uj :

uj2 “ uj `ÿ

iPIztju|xuj , uiy|2. (23.101)

Par conséquent xuj , uiy “ 0 dès que i ‰ j. Cela prouve que le système tuiuiPI est orthonormé.Nous devons encore prouver que le système est total. Pour cela nous repartons de l’équation(23.61) que nous avions déduites dans la démonstration de l’inégalité de Bessel :

x´ÿ

jPJcjpxquj “ x2 ´

ÿ

jPJ|cjpxq|2. (23.102)

Par hypothèse le membre de droite peut être rendu aussi petit que l’on veut en prenantJ grand (mais fini) dans I. Le membre de gauche indique alors que le système tuiuiPI esttotal.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1265

(6) L’identité de Plancherel signifie entre autres que si x P H alorsřiPI |xx, uiy|2 converge. Du

coup la suite pxx, uiyqiPI est dans `2pIq.

Remarque 23.46.Nous avons décidé d’indexer les bases hilbertiennes par N ; cela est légitime parce que les sommessont commutatives. Il ne faut cependant pas perdre de vue qu’en pratique l’ensemble naturel aveclequel on indexe une base est parfois Z. Un tel cas est donné par la base trigonométrique de L2.Indexer cette dernière par N plutôt que par Z serait une contorsion inutile.

Remarque 23.47.L’égalité de Parseval est la raison pour laquelle les physiciens écrivent souvent

Id “8ÿ

n“1|unyxun| (23.103)

dans les livres de mécanique quantique par exemple. Dans certains, nous lisons mêmeż `8

´8dq|qyxq| “ I . (23.104)

Notons que ces personnes travaillent avec un espace de Hilbert dont la base n’est pas dénombrable.Pour dire que la physique, ça n’utilise pas des mathématiques pour rire !

Remarque 23.48.Par définition une base orthonormée est donc une partie dénombrable dont l’espace vectoriel en-gendré est dense. Un espace de Hilbert possédant une base orthonormée est donc séparable. C’estce fait qui nous pousse à ne considérer que des espaces de Hilbert séparables ; nous n’allons doncpas étudier ce qu’il se passerait par exemple en considérant l’espace vectoriel librement engendrépar les éléments de R.

Exemple 23.49L’identité de Parseval (23.90), dans le cas de l’espace des fonctions continues périodiques de période2π signifie qu’en posant

cnpfq “ 12π

ż 2π

0fpsqe´ins, (23.105)

nous avons1

2π

ż 2π

0|fpsq|2 “

8ÿ

n“´8|cnpfq|2. (23.106)

4

Corollaire 23.50.Soit H un espace de Hilbert et punq une base orthonormée. L’application

S : H Ñ `2

x ÞÑ `xx, uny˘nPN

(23.107)

est un isomorphisme d’espaces de Hilbert.De plus l’isomorphisme réciproque est

S´1 : `2 Ñ H

pξnq ÞÑ8ÿ

n“1ξnun.

(23.108)

1266 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Démonstration. Nous devons prouver que l’application est bijective et qu’elle vérifie

Spxq·Spyq “ xx, yy (23.109)

où le point dénote le produit dans `2.Pour la surjectivité, si pξnq P `2 alors nous savons que la somme

řn ξnun converge par la

proposition 23.44 et par conséquent pξnq est l’image par S de ce vecteur de H .Pour l’injectivité, si Spxq “ Spyq alors

x “ÿ

n

xx, unyun “ÿ

n

xy, unyun “ y (23.110)

en utilisant la décomposition (23.88).Le fait que S soit une isométrie est contenu dans Parseval.

Proposition 23.51 ([1]).Soit un espace de Hilbert séparable H , un sous-espace vectoriel fermé V et une base orthonorméetbiuiPI de H . En posant vi “ projV pbiq alors

C “ Spantbi ´ viu (23.111)

est l’orthogonal de V .

Démonstration. Juste pour rappel, lorsque nous écrivons vi “ projV pbiq, nous parlons de la pro-jection orthogonale du théorème 23.8. Donc tous les vecteurs bi´ vi sont dans V K. En passant auxlimites, C Ă V K.

Soit x P V K que nous décomposons dans la base tbiuiPI comme x “ řiPI xibi. Posons ci “

bi ´ vi “ bi ´ projV pbiq. Alors d’une part

0 “ projV pxq “ÿ

i

xi projV pbiq “ÿ

i

xipbi ´ ciq. (23.112)

Nous avons utilisé la continuité de projV pour permuter avec la somme. D’autre part,

x “ÿ

i

xibi “ÿ

i

xipbi ´ ci ` ciq “ÿ

i

xipbi ´ ciqloooooomoooooon

“0

`ÿ

i

xici P C. (23.113)

Notons que pour la dernière appartenance, il est important de prendre la fermeture pour définirC.

Proposition 23.52 ([1, 270]).Toute partie orthonormée d’un espace de Hilbert séparable se prolonge en une base hilbertienne.

Démonstration. Soit une partie orthonormée tuiuiPI de l’espace de Hilbert H . Nous mentionnonsque cette partie est libre et donc, par le théorème 23.38, dénombrable 11. Montrons pour commencerque la partie V “ SpantuiuiPI est un sous-espace vectoriel fermé de H .Vectoriel Soit v, w P V et ε ą 0. Il existe a P Spantuiu tel que a´ v ă ε et b P Spantuiu tel

que b´ w ă ε. Dans ce cas,

v ` w ´ pa` bq ď 2ε. (23.114)

Cela prouve que v ` w P V . Nous procédons de même pour λv.Fermé Par construction.

11. Avec un peu de mauvaise foi, vous pouvez quand même dire que cela n’implique pas que I lui-même soitdénombrable, mais vous pouvez le supposer pour fixer les idées.

23.3. SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET BASES 1267

L’orthogonal 12 de V est un sous-espace vectoriel de H , et nous pouvons donc en considérerune base hilbertienne C “ tcαuαPA. Nous prétendons que C Y U est une base hilbertienne 13 deH .C Y U est libre Bing ! Il ne faut pas le démontrer : ça ne fait pas partie de la définition d’une

base hilbertienne.C Y U est générateur Bang ! Il ne faut pas le démontrer : ça ne fait pas partie de la définition

d’une base hilbertienne.C Y U est orthogonal Ah, voila quelque chose à démontrer. Nous devons vérifier que les pro-

duits sont nuls. Soient u, v P U et a, b P C. Nous avons :— xu, vy “ 0 par hypothèse.— xu, ay “ 0 parce que les éléments de C sont orthogonaux à V et que ui P V .— xa, by “ 0 parce que C est une base hilbertienne de V K.

C Y U est dénombrable L’ensemble C est dénombrable parce que c’est une base hilbertienne.Quant à tuiuiPI , nous avons déjà mentionné le fait qu’il doive être dénombrable. L’uniondeux parties dénombrables est dénombrable.

C Y U est total Nous devons prouver que SpanpC Y Uq “H parce qu’il y a bien la fermeturequi intervient dans la définition 23.20. Pour cela nous utilisons la proposition 23.15. Six P H alors nous avons

x “ projV pxq ``x´ projV pxq

˘ “ÿ

iPIxiui `

ÿ

αPAxαcα (23.115)

pour des coefficients xi et xα. Notons que I et A sont deux ensembles différents. Aucun desxα n’est un des xi, ni inversement. Supposons que x P SpanpC Y UqK ; alors

0 “ xx, ujy “ÿ

iPIxi xui, ujyloomoon

“δij

`ÿ

αPAxcα, ujyloomoon“0

“ xj . (23.116)

Donc xj “ 0. En faisant de même avec 0 “ xx, cβy “ xβ nous déduisons x “ 0.

23.3.6 Digression sur les normes opérateurs

Le théorème 23.45 nous indique que si tuiuiPI est une base hilbertienne, alors pour tout x P Hnous avons

projuipxq “ xx, uiyui, (23.117)et donc ÿ

iPIprojui x “ x. (23.118)

Nous ne pouvons cependant pas conclure queÿ

iPIprojui “ Id (23.119)

au sens de la norme opérateur de la définition 10.5. En effet en prenant I “ N, l’égalité (23.119)demanderait d’avoir

limNÑ8

›››››Nÿ

i“1projui ´ Id

›››››8“ 0, (23.120)

or pour tout N , le vecteur uN`1 réaliseNÿ

i“1projuipuN`1q ´ uN`1 “ ´uN`1. (23.121)

12. Voir la définition 23.10 et la proposition 23.51.13. Définition 23.27.

1268 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Par conséquent pour tout N nous avons

supx“1

›››››Nÿ

i“1projui x´ x

››››› ě 1. (23.122)

Nous ne pouvons donc pas dire8ÿ

n“1projui “ Id (23.123)

au sens de la norme opérateur.Nous avons cependant la convergence au sens faible.

Proposition 23.53.Soit H un espace de Hilbert et tuiuiPN une base hilbertienne de H . Au sens de la topologie faiblesur l’espace des opérateurs nous avons

8ÿ

i“1projui “ Id . (23.124)

Démonstration. Pour chaque N P N et x P H , en vertu de la décomposition (23.88) nous avonsNÿ

i“1projuipxq ´ x “„8i“N`1 xx, uiyui. (23.125)

Par l’orthonormalité de la base nous avons8ÿ

i“N`1xx, uiyui “

8ÿ

i“N`1|xx, uiy|, (23.126)

dont la limite N Ñ8 est zéro étant donné que la suite i ÞÑ |xx, uiy| est dans `2pRq par le théorème23.45.

23.3.7 Applications linéaires et continuité

Nous avons déjà vu dans l’exemple 10.20 que la fonctionf : H Ñ H

ek ÞÑ kek(23.127)

n’était pas continue en zéro alors qu’elle est linéaire. Nous allons maintenant voir qu’elle est uncontre-exemple à la proposition 12.204. Calculons les dérivées partielles :

BfBej pxq “

d

dt

”fpx` tejq

ıt“0

“ d

dt

”ÿ

k

kpxk ` tδjkqekıt“0

“ jej . (23.128)

où nous avons permuté la somme et la dérivée en considérant la suite de fonctions fkptq “ kpxk `tukqek. Donc Bf

Bej pxq existe et est continue sur un voisinage de x “ 0 (c’est même constant). Noussavons pourtant que la fonction f n’est pas différentiable en zéro parce que non continue.

L’endroit qui coince dans la preuve de la proposition 12.204 est l’introduction des «contres-termes» dans l’équation (12.495). En effet les contre-termes à ajouter seraient

lpxq “ d

dt

”f`a` spx´ aq˘

ıt“0

(23.129)

qui ici seraitl`ÿ

k

xkek˘ “ d

dt

”f`sÿ

k

xkek˘ıt“0

“ÿ

k

xkek, (23.130)

dont la convergence est plus que douteuse.Notons que les dérivées directionnelles n’existent pas toutes, loin s’en faut : si u P H nous avons

BfBu pxq “

d

dt

”fpx` tuq

ıt“0

“ d

dt

”ÿ

k

kpxk ` tukqekıt“0

“ÿ

k

kukek (23.131)

La convergence de la dernière somme n’est pas garantie pour tout u.

23.4. THÉORÈME DE KOCHEN-SPECKER 1269

23.4 Théorème de Kochen-Specker

Le théorème suivant est central en mécanique quantique. La démonstration provient de [271]et de Wikipédia. Nous allons démontrer complètement le théorème seulement pour les espaces deHilbert de dimension plus grande ou égale à 4.

Théorème 23.54 (Kochen-Specker[271]).Soit H un espace de Hilbert de dimension plus grande ou égale à 3. Une fonction v sur l’ensembledes opérateurs de H ne peut pas satisfaire aux conditions suivantes :

(1) Si A et B sont compatibles, alors vpA`Bq “ vpAq ` vpBq,(2) Si A et B sont compatibles, alors vpABq “ vpAqvpBq.

Ici nous disons que deux opérateurs sont compatibles lorsqu’ils possèdent une base hilbertiennecommune de vecteurs propres.

Démonstration. Soit tununPN une base hilbertienne de H . Nous notons proji l’opérateur de pro-jection sur l’espace (fermé) engendré par ui. Ce sont des opérateurs compatibles deux à deux parceque la base tununPN est une base commune de vecteurs propres 14.

D’abord nous devons avoir vp1q “ 1. En effet pour tout opérateur A, nous avons

vpAq “ vpA1q “ vpAqvp1q. (23.132)

Pour peu que vpAq ‰ 0, cela nous fait vp1q “ 1.En vertu du théorème 23.45, un vecteur x P H se décompose en x “ ř

nxx, unyun, et nousavons

proji x “ xx, uiyui. (23.133)

En effet le théorème de la projection orthogonale 23.8 nous enseigne que proji x serait l’uniquevecteur de la forme λui tel que λui ´ x K ui. Il est facile de vérifier que le vecteur proposé par(23.133) vérifie cette propriété.

Une conséquence est que ˜ 8ÿ

i“0proji

¸pxq “ x. (23.134)

Par conséquent, par hypothèse du théorème nous devons avoirÿ

i

vpprojiq “ vp1q “ 1. (23.135)

Étant donné que les projections sont idempotentes,

vpprojiq “ vpproj2i q “ vpprojiq2 (23.136)

et donc vpprojiq doit valoir zéro ou un. Mais la relation (23.135) donne une forte contrainte surle choix de 0 et de 1. En effet, parmi les vpprojiq, un et un seul doit valoir 1, les autres doiventvaloir 0.

Refaisant le raisonnement pour une autre base orthonormale hilbertienne, nous trouvons queles valeurs de v sur les opérateurs de projection sur les différentes directions doivent être choisiesde telle façon que tout choix de base hilbertienne orthogonale contienne exactement un 1 et lesreste de zéros.

Nous voudrions maintenant insister sur un point. Le problème de déterminer de façon cohérenteles valeurs 0 ou 1 pour tous les vpprojiq revient à attacher 0 ou 1 à tous les rayons de H de façonque toute base orthogonale de H contienne exactement un 1. Un rayon est une direction, c’est àdire une classe d’équivalence x „ λx. Si nous décidons de nommer «blanc» les rayons attachés à

14. Pour les besoins de la physique, nous remarquons que ces opérateurs sont des opérateurs hermitiens quicommutent, mais ça ne joue pas ici.

1270 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

la valeur 0 et «noirs» ceux attachés à la valeur 1, le problème se réduit à colorer la boule unité defaçon compatible.

Soit tuiuiPN une base orthogonale de H numérotée de telle sorte que vpu0q “ 1 et vpukq “ 0pour k ‰ 0. Nous allons maintenant nous particulariser au cas de dimension supérieure ou égale à4. Si R est une rotation dans le plan Spantu0, u1, u2, u3u, alors l’ensemble

tRu0, Ru1, Ru2, Ru3, ukukě3 (23.137)

est encore une base orthogonale de H et nous avons encore vpukq “ 0 pour k ě 4. Par conséquentun et un seul des vecteurs Ru0, Ru1, Ru2 ou Ru3 est colorié en noir ; les trois autres étant blancs. Leproblème est maintenant complètement réduit à la dimension 4. Note : pour réduire à la dimension3, on procède de même, mais pour conclure, il faut travailler plus.

Nous allons construire 9 base orthogonales de R4 à partir de 18 vecteurs, chacun arrivant dansexactement deux des bases. Ils sont donnés dans le tableau suivant :

0 10 0

0 01 0

0 00 1

1 11 1

1 ´11 ´1

1 ´1´1 1

´1 11 1

1 1´1 1

1 11 ´1

0 00 1

0 10 0

0 01 0

1 ´11 ´1

1 ´1´1 1

1 11 1

1 11 ´1

´1 11 1

1 1´1 1

1 01 0

1 00 1

1 10 0

1 0´1 0

1 10 0

1 00 ´1

1 00 1

1 01 0

1 ´10 0

1 0´1 0

1 00 ´1

1 ´10 0

0 10 ´1

0 01 1

0 1´1 0

0 1´1 0

0 10 ´1

0 01 1

Chaque case de ce table représente un rayon de R4 ; il y en a 18 différents, chacun écris deuxfois. Une simple vérification montre que chaque colonne est un système orthogonal. La preuvedu théorème de Kochen-Specker revient à montrer que nous ne pouvons pas colorier ce tableaude façon cohérente. En effet, étant donné que chaque vecteur est écrit deux fois, le tableau doitcontenir un nombre pair de cases blanches et un nombre pair de cases noires.

Par ailleurs chaque colonne étant un système orthogonal, chaque colonne contient exactementune case noire ; il y a donc exactement neuf cases noires dans le tableau, ce qui est impossible.

23.5 Théorème de Lax-MilgramDéfinition 23.55.Une forme bilinéaire a : V ˆ V Ñ R sur un espace vectoriel normé V est coercitive s’il existeα ą 0 tel que apu, uq ě αu2 pour tout u P V .

Théorème 23.56 (Lax-Milgram[272]).Soit un espace de Hilbert réel V muni de différentes choses.

(1) L’application linéaire L : V Ñ R qui est bornée sur V . Nous notons C sa norme.(2) La forme bilinéaire continue a sur V ˆ V . Nous considérons M ą 0 tel que |apu, vq| ď

Muv pour tout u, v P V .(3) La forme a est coercitive 15.

Alors le problème qui consiste à chercher u P V tel que apu, vq “ Lpvq pour tout v P V admet uneunique solution. De plus cette solution vérifie l’inégalité

u ď M

αC (23.138)

Problèmes et choses à fairePersonnellement, je ne parviens pas à montrer l’inégalité (23.138), mais seulement

u ďC

α. (23.139)

15. Définition 23.55.

23.5. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM 1271

Démonstration. Avant de commencer, certaines précisions. D’abord nous nous souvenons de laproposition 10.18 qui donne la continuité de L. Ensuite, a est continue et linéaire en tant qu’ap-plication a : V ˆ V Ñ R. Nous aurions donc envie d’écrire qu’il existe M ą 0 tel que

|apu, vq| ďMpu, vq, (23.140)

mais la norme produit 16 sur V ˆ V ne donne pas uv. Le fait pour a d’être bilinéaire donne enréalité plus que la linéarité, et la proposition 10.76 nous assure l’existence du M .

Reformulation en équation linéaire La forme L est continue et donc dans le dual V 1 ; lethéorème de Riesz 23.18 nous donne donc f P V tel que

Lpvq “ xf, vy (23.141)

pour tout v P V . De plus si w P V est fixé, l’application bw : v ÞÑ apw, vq est linéaire etbornée parce que

bw “ supv“1

|bwpvq| “ supv“1

|apw, vq| ďMwv “Mw. (23.142)

Encore une fois, bw étant continue et linéaire, elle est dans V 1 et Riesz nous fournit unélément Apwq P V tel que

bwpvq “ xApwq, vy (23.143)

pour tout v P V .Le problème variationnel apu, vq “ Lpvq est équivalent à xApuq, vy “ xf, vy. L’ensemble dessolution de cette dernière est égal à l’ensemble des solution de l’équation

Apuq “ f. (23.144)

A est linéaire Soient α, β P R et w, z P V . Nous avons pour tout v P V :

xApαw ` βzq, vy “ apαw ` βz, vq (23.145a)“ αapw, vq ` βapz, vq (23.145b)“ αxApwq, vy ` βxApzq, vy (23.145c)“ xαApwq ` βApzq, vy. (23.145d)

Étant donné que nous avons égalité pour tout v P V nous en déduisons que Apαw ` βzq “αApwq ` βApzq, ce qui signifie que A est linéaire.

Une autre propriété de A Nous déduisons une majoration de Apvq2 lorsque ce n’est pasnul. Pour ce faire,

Apvq2a “ xApvq, Apvqy (23.146a)“ apv,Apvqq (23.146b)ďMvApvq. (23.146c)

En simplifiant, Apvq ďMv. Et donc

Apvq2 ďM2v2. (23.147)

Une contraction Nous allons choisir une valeur de ρ ą 0 telle que l’application

T : w ÞÑ w ´ ρ`Apwq ´ f˘ (23.148)

16. Définition 10.73.

1272 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

soit une contraction 17. Nous avons T pwq ´ T pw1q “ w ´ w1 ´ ρ`Apw ´ w1q˘ et donc

T pwq ´ T pw1q2 “ w ´ w12 ` ρ2Apw ´ w1q2 ´ 2ρxApw ´ w1q, w ´ w1y (23.149a)“ w ´ w12 ` ρ2Apw ´ w1q2 ´ 2ρapw ´ w1, w ´ w1q. (23.149b)

Vu que le dernier terme arrive avec un signe moins, pour majorer l’expression, il faut minorerce terme, c’est à dire utiliser apw ´ w1, w ´ w”q ě αw ´ w ´ w1. Et en même temps nousutilisons (23.147) pour le second terme. Au final pour pouvons factoriser w ´ w1 et

T pwq ´ T pw1q ď w ´ w1`1` ρ2M2 ´ 2ρα˘. (23.150)

Pout que T soit contractante, il faut 0 ă P pxq ă 1 avec P pxq “M2x2´2αx`1. Le minimumde ce polynôme est obtenu en x “ α

M2 (la formule du xmin “ ´b2a) et vaut 1 ´ α2

M2 ă 1.Vu que par ailleurs limxÑ8 P pxq “ `8, et que ce polynôme passe par au moins une valeurstrictement inférieure à 1, nous savons qu’il existe un x tel que 0 ă P pxq ă 1. En donnantà ρ cette valeur, l’application T est une contraction.

Point fixe et conclusion L’ensemble des solutions du problème (23.144) est égal à l’ensembledes points fixes de T pvq “ v ´ ρ`Apvq ´ f˘.L’application T : V Ñ V est contractante et V est métrique et complet. Ergo le théorème depoint fixe de Picard 18.23 s’applique et il existe un unique point fixe u P V pour l’applicationT . Ce point fixe est l’unique solution de notre problème initial.

La majoration Nous savons que pour tout v P V , la relation apu, vq “ Lpvq est vérifiée. Enparticulier pour v “ u nous avons

apu, uq “ Lpuq. (23.151)

D’un côté nous utilisons apu, uq ě αu2 et de l’autre, Lpuq ď Cu :

αu2 ď Cu (23.152)

et doncu ď C

α. (23.153)

Notons que Lpuq et apu, uq sont positifs.

Théorème 23.57 (Lax-Milgram version symétrique[272]).Nous considérons les mêmes hypothèses que celles du théorème de Lax-Milgram, c’est à dire unespace de Hilbert réel V muni de différentes choses.

(1) L’application linéaire L : V Ñ R qui est bornée sur V . Nous notons C sa norme.(2) La forme bilinéaire continue a sur V ˆ V . Nous considérons M ą 0 tel que |apu, vq| ď

Muv pour tout u, v P V .(3) La forme a est coercitive.

Nous supposons de plus que a est symétrique.Alors un élément u P V est tel que apu,wq “ lpwq pour tout w P V si et seulement si elle

minimise la fonctionnelle d’énergie

Jpwq “ 12apw,wq ´ lpwq. (23.154)

Démonstration. Nous séparons les deux sens.

17. Définition 18.22.

23.5. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM 1273

ñ Soit u, un élément vérifiant apu,wq “ lpwq pour tout w P V . Soit aussi un élément quelconquew P V , et montrons que Jpu` wq ě Jpuq (tout élément de V peut être écrit sous la formeu` w). Nous avons :

Jpu` wq “ 12`apu, uq ` apu,wq ` apw, uq ` apw,wq˘´ lpuq ´ lpwq (23.155a)

“ Jpuq ` apu,wq ´ lpwqlooooooomooooooon“0

`12apw,wq (23.155b)

“ Jpuq ` 12apw,wq (23.155c)

Vu que a est coercive, le second terme est positif et nous avons

Jpu` wq ě Jpuq, (23.156)

ce qu’il fallait.ð Soit u P V , un élément minimisant la fonctionnelle J . Nous fixons w P V et considérons la

fonction g : RÑ R définie pargpεq “ Jpu` εwq. (23.157)

En développant un peu et en regroupant les termes,

gpεq “ Jpuq ` ε`apu,wq ´ lpwq˘` ε2

2 apw,wq. (23.158)

Cela est une fonction éminemment continue et dérivable ; en réalité c’est un bête polynômede degré deux. Vu que u minimise J , pour tout ε ‰ 0 nous avons gpεq ě gp0q ou encore :ε “ 0 est minimum local (et même global) de g. Le polynôme (23.158) prend son minimumen ε “ 0 si et seulement si

apu,wq ´ lpwq “ 0. (23.159)

Vous ne me croyez pas ? Faites g1pεq “ 0 ou bien reprenez la formule du ´b2a pour lesommet d’une parabole, en tenant compte que apw,wq ‰ 0. Notons qu’ici encore le fait quea soit coercive joue parce que c’est cela qui nous permet d’affirmer que la parabole a unminimum et non un maximum.

1274 CHAPITRE 23. ESPACES DE HILBERT

Chapitre 24

Analyse fonctionnelle

Proposition 24.1.Soit f P L1pRq une fonction telle que

ż

R

fptqχptqdt “ 0 (24.1)

pour toute fonction χ P DpRq. Alors f “ 0 presque partout.

Théorème 24.2 (Théorème d’isomorphisme de Banach).Une application linéaire continue et bijective entre deux espaces de Banach est un homéomorphisme.

24.1 Théorème d’AscoliDéfinition 24.3.Une partie A d’un espace topologique X est relativement compacte dans X si sa fermeture estcompacte.

Proposition 24.4 ([148]).Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur R ou C et une application f P LpE,F q. Lespropriétés suivantes sont équivalentes.

(1) L’image d’un borné de E par f est relativement compact dans F .(2) L’image par f de la boule unité fermée est relativement compacte dans F .(3) Si pxnq est une suite bornée dans E, alors nous pouvons en extraire une sous-suite pxϕpnqq

telle que`fxϕpnq

˘converge dans F .

Définition 24.5.Une application vérifiant les conditions équivalentes de la proposition 24.4 est dite compacte.

Définition 24.6.Soit pfiqiPI une famille de fonctions fi : X Ñ Y entre espaces métriques. Cette famille est équi-continue si pour tout ε ą 0 et pour tout x P X, il existe un δpx, εq ą 0 tel que

x´ yX ď δ ñ fipxq ´ fipyqY ď ε (24.2)

pour tout i P I.Théorème 24.7 (Théorème d’Ascoli[273]).Soit K un espace topologique compact et un espace métrique pE, dq. Nous considérons la topologieuniforme sur CpK,Eq. Une partie A de CpK,Eq est relativement compacte si et seulement si lesdeux conditions suivantes sont remplies :

(1) A est équicontinu,(2) @x P K, l’ensemble tfpxq tel que f P Au est relativement compact dans E.

1275

1276 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

24.2 Théorème de Banach-Steinhaus

Théorème 24.8 (Théorème de Banach-Steinhaus[2, 274]).Soit E un espace de Banach 1 et F un espace vectoriel normé. Nous considérons une partieH Ă LcpE,F q (espace des fonctions linéaires continues). Alors H est uniformément borné siet seulement s’il est simplement borné.

Démonstration. Si H est uniformément borné, il est borné ; pas besoin de rester longtemps sur cesens de l’équivalence. Supposons donc que H soit borné. Pour chaque k P N˚ nous considéronsl’ensemble

Ωk “ tx P E tel que supfPH

fpxq ą ku. (24.3)

Les Ωk sont ouverts Soit x0 P Ωk ; nous avons alors une fonction f P H telle que fpx0q ą k,et par continuité de f il existe ρ ą 0 tel que fpxq ą k pour tout x P Bpx0, ρq. Parconséquent Bpx0, ρq Ă Ωk et Ωk est ouvert par le théorème 6.3.

Les Ωk ne sont pas tous denses dans E Nous supposons que les ensembles Ωk soient tousdense dans E. Le théorème de Baire 6.202 nous indique que E est un espace de Baire (parceque de Banach) et donc que č

kPNΩk “ E. (24.4)

En particulier l’intersection des Ωk n’est pas vide. Soit x0 P ŞkPNΩk. Nous avons alors

supfPH

fpxq “ 8, (24.5)

ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc les ouverts Ωk ne sont pas tous denses dans E.La majoration Il existe k ě 0 tel que Ωk ne soit pas dense dans E, et nous voulons prouver

que tf tel que f P Hu est un ensemble borné. Soit donc k ě 0 tel que Ωk ne soit pasdense dans E ; il existe un x0 P E et ρ ą 0 tels que

Bpx0, ρq X Ωk “ H. (24.6)

Si x P Bpx0, ρq alors x n’est pas dans Ωk et donc

supfPH

fpxq ď k. (24.7)

Afin d’évaluer f nous devons savoir ce qu’il se passe avec les vecteurs sur une boule autourde 0. Pour tout x P Bp0, ρq et pour tout f P H, la linéarité de f donne

fpxq “ fpx` x0q ´ fpx0q ď fpx` x0q ` fpx0q ď 2k. (24.8)

Par continuité nous avons alors fpxq ď 2k pour tout x P Bp0, ρq. Si maintenant x P Fvérifie x “ 1 nous avons

fpxq “ 1ρfpρxq ď 2k

ρ, (24.9)

et donc f ď 2kρ , ce qui montre que 2kρ est un majorant de l’ensemble tf tel que f P Hu.

Une application du théorème de Banach-Steinhaus est l’existence de fonctions continues etpériodiques dont la série de Fourier ne converge pas. Ce sera l’objet de la proposition 26.18.

1. Définition 23.1.

24.2. THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS 1277

Corollaire 24.9.Soient

`E, pplq

˘et

`F, pqkq

˘deux espaces localement compacts munis de semi-normes. Nous sup-

posons que E est métrisable et complet. Soit pTjqjPN une suite d’application linéaires E Ñ F tellesque pour tout x P E il existe αx P F tel que

TjxFÝÑ αx. (24.10)

Si nous posons Tx “ αx alors(1) l’application T est linéaire et continue,(2) pour tout compact K dans E et pour tout k nous avons

limjÑ8 sup

xPKqkpTjx´ Txq “ 0, (24.11)

(3) si xj Ñ x dans E alorsTjxj Ñ Tx (24.12)

dans F .

La version suivante du théorème de Banach-Steinhaus est énoncée de façon ad hoc pour fonc-tionner avec l’espace DpKq des fonctions de classe C8 à support dans le compact K. Un énoncéun peu plus fort est donné dans le cadre des espaces de Fréchet dans [62].

Théorème 24.10 (Banach-Steinhaus avec des semi-normes).Soit pE, dq un espace vectoriel métrique complet dont la topologie est également 2 donnée par unefamille P de semi-normes. Soit tTαuαPA une famille d’applications linéaires continues Tα : E Ñ R

telles que pour tout x P E nous ayons

supαPA

ˇTαpxq

ˇ ă 8. (24.13)

Alors il existe une constante C ą 0 et un sous-ensemble fini J Ă P tels que pour tout x P E nousayons ˇ

Tαpxqˇ ď C max

jPJ pjpxq. (24.14)

Démonstration. Pour chaque k P N˚ nous posons

Ωk “ tx P E tel que supαPA

ˇTαpxq

ˇ ą ku. (24.15)

Ces ensembles sont des ouverts (pour la même raison que dans la preuve du théorème 24.8) et leurunion est E en entier parce que par hypothèse supαPA

ˇTαpxq

ˇ ă 8.Si les Ωk étaient tous dense, le théorème de Baire 6.202 nous dit que leur intersection est dense

également ; elle est donc non vide et si x0 P ŞkPNΩk nous avons

supαPA

ˇTαpx0q

ˇ “ 8, (24.16)

ce qui contredirait l’hypothèse. Donc les Ωk ne sont pas tous denses. Soit k0 P N˚ tel que Ωk0 n’estpas dense dans E. Il existe donc x0 P E et un ouvert autour de x0 n’intersectant pas Ωk0 .

Nous jouons à présent sur la topologie de E. L’ouvert dont il est question est un d-ouvert etdonc un P-ouvert, lequel contient une P-boule ouverte. Cette dernière boule n’est pas spécialementune d-boule, mais c’est un d-ouvert.

Il existe dont J fini dans P et ρ ą 0 tels que BJpx0, ρqXΩk0 “ H. Donc pour tout y P BJpx0, ρqnous avons

supαPA

ˇTαpyq

ˇ ď k0. (24.17)

2. Au sens où les ouverts sont les mêmes.

1278 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Si maintenant y P Bp0, ρq, nous avons y “ py ` x0q ´ x0 et doncˇTαpyq

ˇ “ ˇTαpy ` x0q ´ Tαpx0q

ˇ(24.18a)

ď ˇTαpy ` x0q

ˇ` ˇTαpx0q

ˇ(24.18b)

ď k0 ` C (24.18c)

où nous avons posé C “ supαPAˇTαpx0q

ˇ. En normalisant, sur la boule BJp0, 1q nous avons

ˇTαpyq

ˇ ď ρ´1pk0 ` Cq. (24.19)

Enfin su x P E nous avonsx

maxjPJ pjpxq P BJp0, 1q (24.20)

et donc ˇˇTα

ˆx

maxjPJpjpxq

˙ˇˇ ď ρ´1pk0 ` Cq. (24.21)

Utilisant encore la linéarité de Tα nous trouvons ce que nous devions trouver :ˇTαpxq

ˇ ď maxjPJ pjpxqρ´1pk0 ` Cq (24.22)

à redéfinition près de ρ´1pk0 ` Cq en C.

24.3 Espaces Lp

24.3.1 Généralités

Soit pΩ,F , µq un espace mesuré. Deux fonctions à valeurs complexes f et g sur cet espaces sontdites équivalentes et nous notons f „ g si elles sont µ-presque partout égales. Nous notons rf sla classe de f pour cette relation.

Lemme 24.11.Une classe contient au maximum une seule fonction continue.

Démonstration. Soient deux fonctions continues f1 et f2 avec f1paq ‰ f2paq. Si |f1paq ´ f2paq| “ δalors il existe un ε tel que |f1pxq ´ f1paq| ă δ pour tout x P Bpa, εq. En particulier f1 ‰ f2 surBpa, εq. Cette dernière boule est de mesure de Lebesgue non nulle ; ergo f1 et f2 ne sont pas dansla même classe.

Nous introduisons l’opération

fp “ˆż

Ω|fpxq|pdµpxq

˙1p(24.23)

et nous notons LppΩ, µq l’ensemble des fonctions mesurables sur Ω telles que fp ă 8.

Lemme 24.12.L’ensemble Lp est un espace vectoriel.

Démonstration. Le fait que si f P Lp, alors λf P Lp est évident. Ce qui est moins immédiat, c’estle fait que f ` g P Lp lorsque f et g sont dans Lp. Cela découle du fait que la fonction ϕ : x ÞÑ xp

est convexe, de telle sorte queϕ

ˆa` b

2

˙ď ϕpaq ` ϕpbq

2 , (24.24)

ou encorepa` bqp ď 2p´1pap ` bpq (24.25)

24.3. ESPACES LP 1279

L’opération f ÞÑ fp n’est pas une norme sur Lp parce que pour f presque partout nulle, nousavons |f |p “ 0. Il y a donc des fonctions non nulles sur lesquelles .p s’annule.

Lemme 24.13.Si f P LppΩq et f „ g, alors g P LppΩq et fp “ gp.Démonstration. Soit hpxq “ |gpxq|p ´ |fpxq|p ; c’est une fonction par hypothèse presque partoutnulle et donc intégrable sur Ω ; son intégrale y vaut zéro. Nous avons

ż

Ω|fpxq|pdµpxq “

ż

Ω

´|fpxq|p ` hpxq˘dµpxq “

ż

ω|gpxq|pdµpxq. (24.26)

Cela prouve que la dernière intégrale existe et vaut la même chose que la première.

Nous pouvons donc considérer la norme |.|p comme une norme sur l’ensemble des classes plutôtque sur l’ensemble des fonctions. Nous notons Lp l’ensemble des classes des fonctions de Lp. Cetespace est muni de la norme

rf sp “ fp, (24.27)formule qui ne dépend pas du représentant par le lemme 24.13.

Maintenant la formule

rf sp “ˆż

Ω|fpxq|pdµpxq

˙1p(24.28)

défini une norme sur LppΩ, µq. En effet si rf sp “ 0, nous avonsż

Ω|fpxq|pdµpxq “ 0, (24.29)

ce qui par le lemme 13.123 implique que |fpxq|p “ 0 pour presque tout x. Ou encore f „ 0, c’est àdire rf s “ r0s au niveau des classes. À partir de maintenant

`LppΩ, µq, .p

˘est un espace métrique

avec toute la topologie qui va avec.Dans la suite nous n’allons pas toujours écrire rf s pour la classe de f . Par abus de notations

nous allons souvent parler de f P Lp comme si c’était une fonction.

Proposition 24.14 ([275]).Soit 1 ď p ď 8 et supposons que la suite rfns dans LppΩ,F , µq converge vers rf s au sens Lp. Alorsil existe une sous-suite phnq qui converge ponctuellement µ-presque partout vers f .

Démonstration. Si p “ 8 nous sommes en train de parler de la convergence uniforme et il ne fautmême pas prendre ni de sous-suite ni de « presque partout ».

Supposons que 1 ď p ă 8. Nous considérons une sous-suite rhns de rfns telle que

rhjs ´ rf sp ă 2´j , (24.30)

puis nous posons ukpxq “ |hkpxq ´ fpxq|p. Notons que ce uk est une vraie fonction, pas une classe.Et en plus c’est une fonction positive. Nous avons

ż

Ωukdµ “

ż

ω|hkpxq ´ fpxq|pdµpxq “ hk ´ fpp ď 2´kp. (24.31)

Vu que uk est une fonction positive la suite des sommes partielles deřk uk est croissante et vérifie

donc le théorème de la convergence monotone 13.129 :ż

Ω

˜ 8ÿ

k“0ukpxq

¸dµpxq “

8ÿ

k“0

ż

Ωukpxqdµpxq ď

8ÿ

k“02´kp ă 8. (24.32)

Le fait que l’intégrale de la fonctionřk uk est finie implique que cette fonction est finie µ-presque

partout. Donc le terme général tend vers zéro presque partout, c’est à dire

|hkpxq ´ fpxq|p Ñ 0. (24.33)

Cela signifie que hk Ñ f presque partout ponctuellement.

1280 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Est-ce qu’on peut faire mieux que la convergence ponctuelle presque partout d’une sous-suite ?En tout cas on ne peut pas espérer grand chose comme convergence pour la suite elle-même, commele montre l’exemple suivant.

Exemple 24.15Nous allons montrer une suite de fonctions qui converge vers zéro dans Lpr0, 1s (avec p ă 8) maisqui ne converge ponctuellement pour aucun point. Cet exemple provient de bibmath.net.

Nous construisons la suite de fonctions par paquets. Le premier paquet est formé de la fonctionconstante 1.

Le second paquet est formé de deux fonctions. La première est 1r0,12s et la seconde 1r12,1s.Plus généralement le paquet numéro k est constitué des k fonctions 1rik,pi`1qks avec i “

0, . . . , k ´ 1.Vu que les fonctions du paquet numéro k ont pour norme fp “ 1

k , nous avons évidemmentfn Ñ 0 dans Lp. Il est par contre visible que chaque paquet passe en revue tous les points de r0, 1s.Donc pour tout x et pour tout N , il existe (même une infinité) n ą N tel que fnpxq “ 1. Il n’y adonc convergence ponctuelle nulle part. 4

La proposition suivante est une espèce de convergence dominée de Lebesgue pour Lp.

Proposition 24.16.Soit f P LppΩq avec 1 ď p ă 8 et pfnq une suite de fonctions convergeant ponctuellement vers fet telle que |fn| ď |f |. Alors fn LpÝÑ f .

Démonstration. Nous avons immédiatement |fnpxq|p ď |fpxq|p, de telle sorte que le théorème de laconvergence dominée implique que fn P Lp. La convergence dominée donne aussi que fnp Ñ fp,mais cela ne nous intéresse pas ici.

Nous posons hnpxq “ |fnpxq´fpxq|. En reprenant la formule de majoration (24.25) et en tenantcompte du fait que |fnpxq| ď |fpxq|, nous avons

hnpxq ď 2p´1`|fnpxq|p ` |fpxq|p˘ ď 2p|fpxq|p, (24.34)

ce qui prouve que |hn| est uniformément (en n) majorée par une fonction intégrable, donc hnest intégrable et on peut permuter la limite et l’intégrale (théorème de la convergence dominée13.134) :

limnÑ8 fn ´ f

pp “ lim

nÑ8

ż

Rd|fnpxq ´ fpxq|pdx “

ż

RdlimnÑ8hnpxqdx “ 0. (24.35)

Proposition 24.17.Soit un espace mesuré σ-fini pΩ,A, µq et une fonction f P LppΩq telle que

ż

Ωfϕ “ 0 (24.36)

pour tout ϕ P LqpΩq. Alors f “ 0.

Démonstration. Vu que Ω est σ-finie, nous pouvons considérer des parties Kn de Ω telles queµpKnq ă 8 et

ŤnKn “ Ω. Nous posons

An “ tx P Ω tel que Re`fpxq˘ ą 0u catKn. (24.37)

Cela est une partie mesurable de mesure finie de Ω, donc ϕn “ 1An P LqpΩq et nous avonsż

An

f “ 0. (24.38)

Mais Repfq ą 0 sur An, donc µpAnq “ 0. Ensuite nous passons à l’union :

A “ tx P Ω tel que Repfpxqq ą 0u “ď

n

An. (24.39)

24.3. ESPACES LP 1281

Ce ensemble est union dénombrable d’ensembles de mesure nulle ; donc µpAq “ 0. Nous faisonsde même pour les ensembles Repfq ă 0, Impfq ą 0 et Impfq ă 0. Au final, l’ensemble tx PΩ tel que fpxq ‰ 0u est de mesure nulle, c’est à dire que f “ 0 au sens des classes de Lp.

24.3.2 L’espace L8

Il n’est pas possible de définir le supremum d’une fonction définie à ensemble de mesure nulleprès parce que toute classe contient des fonctions qui peuvent être arbitrairement grandes enn’importe que point. Nous cherchons alors à définir une notion de supremum qui ne tient pascompte des ensembles de mesure nulle.

Définition 24.18.Soit f : Ω Ñ C. Un nombre M est un majorant essentiel de f si

µ`|fpxq| ďM

˘ “ 0. (24.40)

Nous posons alorsN8pfq “ inftM tel que |fpxq| ďM presque partoutu. Cela revient à prendrele supremum à ensemble de mesure nulle près. Nous définissons alors les espaces de Lebesguecorrespondants :

L8pΩq “ tf : Ω Ñ C tel que N8pfq ă 8u, (24.41)

et L8 en est le quotient usuel. Dans ce contexte nous notons f8 le supremum essentiel de f , quiest indépendant de la classe.

24.3.3 Quelque identifications

Il est intuitivement clair que ce qui peut arriver à une fonction en un seul point ne va pasinfluencer la fonction lorsqu’elle est vue dans Lp. En tout cas lorsqu’on considère des mesures pourlesquelles les singletons sont de mesure nulle, et c’est bien le cas de la mesure de Lebesgue. Il estpeut-être intuitivement moins clair que l’on peut non seulement modifier le comportement d’unefonction en un point, mais également modifier l’ensemble de base. En voici un exemple.

Proposition 24.19.Nous avons les égalités suivantes d’espaces

Lp`s0, 2πr˘ “ Lp

`r0, 2πs˘ “ LppS1q (24.42)

au sens où il existe des bijections isométriques de l’un à l’autre. Ici nous sous-entendons la mesurede Lebesgue partout 3.

Démonstration. Voici une application bien définie où le crochet dénote la prise de classe :

ψ : Lp`s0, 2πr˘Ñ Lp

`r0, 2πs˘

rf s ÞÑ la classe de fepxq “#fpxq si x P s0, 2πr0 si x “ 0 ou x “ 2π.

(24.43)

Injective Si rf s “ rgs dans Lp`s0, 2πr˘ alors fepxq “ gepxq pour tout x P s0, 2πr sauf une partiede mesure nulle. L’union de cette partie avec t0, 2πu est encore de mesure nulle dans r0, 2πs.Les images par ψ sont donc égales dans Lp

`r0, 2πs˘.Surjective Un élément de Lp

`r0, 2πs˘ est l’image de sa restriction . . . ou plutôt l’image de laclasse de la restriction d’un quelconque de ses représentants.

Isométrie L’intégrale qui donne la norme sur Lp ne change pas selon que nous ajoutions ounon les bornes au domaine d’intégration.

3. Vu que la mesure de Lebesgue est définie pour Rd munie de sa tribu des boréliens (complétée), vous êtes endroit de vous demander quelle est la tribu et la mesure que nous considérons sur le cercle S1.

1282 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

De la même manière nous avons

Lp`r0, 2πr˘ “ Lp

`r0, 2πs˘. (24.44)

En ce qui concerne l’identification avec LppS1q, il faut passer par l’isométrie ϕ : r0, 2πr Ñ S1

donnée par ϕptq “ eit, et être heureux que ce soit bien une isométrie parce qu’il faudra l’utiliserpour un changement de variables pour montrer que

ż 2π

0fptqdt “

ż

S1pf ˝ ϕ´1qpzqdz. (24.45)

24.3.4 Inégalité de Jensen, Hölder et de Minkowski

Proposition 24.20 (Inégalité de Jensen[179]).Soit un espace mesuré de probabilité 4 pΩ,A, µq ainsi qu’une fonction convexe f : R Ñ R et uneapplication α : Ω Ñ R tels que α et f ˝ α soient intégrables sur Ω. Alors

f´ ż

Ωαdµ

¯ď

ż

Ωpf ˝ αqdµ. (24.46)

Démonstration. Soit a P R et le nombre ca donné par la proposition 18.85 : pour tout ω P Ω nousavons

f`αpωq˘´ fpaq ě ca

`αpωq ´ a˘. (24.47)

Cela est en particulier vrai pour a “ şΩ αdµ. Nous intégrons l’inégalité (24.47) sur Ω en nous

souvenant queşdµ “ 1 :

ż

Ωpf ˝ αqdµ´

ż

Ωfpaqdµ ě ca

` ż

Ωα´

ż

Ωa˘

(24.48a)ż

Ωpf ˝ αqdµ´ fpaq ě capa´ aq (24.48b)

fpaq ďż

Ωpf ˝ αqdµ. (24.48c)

Cette dernière inégalité est celle que nous devions prouver.

Corollaire 24.21.Soit un espace mesuré de probabilité pΩ,A, µq et une application α P L1pΩ, µq et α P LppΩq avec1 ď p ă `8. Alors

|ż

Ωαpsqdµpsq| ď αp. (24.49)

Démonstration. Il suffi d’utiliser l’inégalité de Jensen sur la fonction convexe fpxq “ |x|p. Nousavons alors

|ż

Ωαpsqdµpsq|p ď

ż

Ω|αpsq|pdµpsq, (24.50)

c’est à dire

|ż

Ωαpsqdµpsq| ď

„ż

Ω|αpsq|pdµpsq

1p“ αp (24.51)

où ma norme .p est prise au sens de la mesure µ.

4. C’est à dire queşΩ dµ “ 1.

24.3. ESPACES LP 1283

Proposition 24.22 (Inégalité de Hölder).Soit pΩ,A, µq un espace mesuré et 1 ď p, q ď 8 satisfaisant 1

p ` 1q “ 1. Si f P LppΩq, g P LqpΩq,

alors le produit fg est dans L1pΩq et nous avons

fg1 ď fpgq. (24.52)

Plus généralement si 1p ` 1

q “ 1r alors

fgr ď fpgq (24.53)

Ce qui est appelé « inégalité de Hölder » est généralement l’inéquation (24.52).

Démonstration. Nous allons prouver l’inégalité (24.53). D’abord nous supposons gq “ 1 et nousposons

A “ tx P Ω tel que |gpxq| ą 0u. (24.54)

Hors de A, les intégrales que nous allons écrire sont nulles. Nous avons

fgpr “ˇˇż

A|f |r|g|r´q|g|q

ˇˇpr, (24.55)

et le coup tordu est de considérer cette intégrale comme étant une intégrale par rapport à la mesureν “ |g|qdµ qui a la propriété d’être une mesure de probabilité par hypothèse sur g. Nous pouvonsalors utiliser l’inégalité de Jensen 5 parce que pr ą 1, ce qui fait de x ÞÑ |x|pr une fonctionconvexe. Nous avons alors

fgpr ďż

A

`|f |r|g|r´q˘pr|g|qdµ (24.56a)

“ż

A|f |p|g|ppr´qqr|g|qdµ (24.56b)

La puissance de |g| dans cette expression est : q ` ppr´qqr “ 0 parce que ppq ´ rq “ rq. Nous avons

alors montré que

fgpr ďż

A|f |pdµ ď fpp. (24.57)

La dernière inégalité est le fait que le domaine A n’est pas tout le domaine Ω.Si maintenant gq ‰ 1 alors nous calculons

fgr “ gqf g

gq r ď gqfp (24.58)

en appliquant la première partie à la fonction ggq qui est de norme 1.

Remarque 24.23.Dans le cas d’un espace de probabilité, la fonction constante g “ 1 appartient à LppΩq. En prenantp “ q “ 2 nous obtenons

f1 ď f2. (24.59)

Lemme 24.24.Lorsque I est borné nous avons L2pIq Ă L1pIq. Si I n’est pas borné alors L2pIq Ă L1

locpIq.Démonstration. En effet si I est borné, alors la fonction constante 1 est dans L2pIq et l’inégalitéde Hölder 24.22 nous dit que le produit 1u est dans L1pIq.

Si I n’est pas borné, nous refaisons le même raisonnement sur un compact K de I.

5. Proposition 24.20.

1284 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Corollaire 24.25 ([276]).Soit l’espace L2pIq avec I “ s0, 1r avec la mesure de Lebesgue. Si un P L2 converge vers u dans L2

alors nous pouvons permuter l’intégrale et la limite :

limnÑ8

ż

Iun “

ż

Iu. (24.60)

Démonstration. Nous considérons la forme linéaireT : L2pIq Ñ R

u ÞÑż

Iu.

(24.61)

Elle est bien définie par l’inégalité de Hölder fg1 ď f2g2 appliqué à gpxq “ 1 qui vérifieg2 “ 1. Nous avons aussi

T puq ďż

I|u| ď u1 ď u2 (24.62)

où la dernière inégalité est celle de Hölder 24.22. Bref, T est continue. Cela signifie que si unL2pIqÝÑ u

alors T punq “ T puq. Cela est l’égalité demandée.

Proposition 24.26 (Inégalité de Minkowski[277, 278]).Si 1 ď p ă 8 et si f, g P LppΩ,A, µq alors

(1) f ` gp ď fp ` gp(2) Il y a égalité si et seulement si les vecteurs fpxq et gpxq sont presque partout colinéaires :

il existe α, β tels que αf ` βg “ 0 presque partout.(3) Si fpx, yq est mesurable sur l’espace produit

`X ˆ Y, µb ν˘ et si p ě 1, alors

››››x ÞÑż

Yfpx, yqdνpyq

››››p

ďż

Yfypdνpyq (24.63)

où fypxq “ fpx, yq.La partie (3) est une généralisation de l’inégalité triangulaire (c’est à dire du point (1)) dans le

cas où nous n’avons pas une somme de deux fonctions mais d’une infinité paramétrée par y P Y .Elle sera le plus souvent utilisée sous la forme déballée :

„ż

X

´ ż

Y|fpx, yq|dνpyq

¯pdµpxq

1pď

ż

Y

´ ż

X|fpx, yq|pdµpxq

¯1pdνpyq. (24.64)

24.3.5 Ni inclusions ni inégalités

Aucun espace LppRq n’est inclus dans aucun autre ni aucune norme n’est plus grande qu’uneautre (sur les intersections). Nous verrons cependant en la proposition 24.27 que de telles inclusionset inégalités sont possibles pour Lp

`r0, 1s˘.Nous allons donner des exemples de tout ça en supposant p ă q et en nous appuyant lourdement

sur les intégrales de 1xα étudiées par la proposition 13.220.

Lp Ę Lq La fonction

fpxq “#

1x1q si 0 ă x ă 10 sinon

(24.65)

est dans Lp mais pas dans Lq. En effet

fpp “ż 1

0

1xpq

dx ă 8 (24.66)

parce que p ă q et pq ă 1. Par contre

fqq “ż 1

0

1xdx “ 8. (24.67)

24.3. ESPACES LP 1285

Lq Ę Lp La fonction

fpxq “#

1x1p si x ą 10 sinon

(24.68)

est dans Lq mais pas dans Lp. En effet

fpp “ż 8

1

1x“ 8 (24.69)

alors quefqq “

ż 8

1

1xqp

dx ă 8. (24.70)

Exemple de fp ą fq La fonction

fpxq “#

1 si x P r0, 2s0 sinon.

(24.71)

Nous avons

fp “ 21p (24.72a)fq “ 21q. (24.72b)

Mais comme p ă q donc fp ą fq.Exemple de fp ă fq La fonction

fpxq “#

1 si x P r0, 12 s

0 sinon.(24.73)

Alors

fp “ 121p (24.74a)

fq “ 121q (24.74b)

et donc fp ă fq.Ces exemples donnent un exemple de fonction f telle que fp ă fq pour tout espace LppIq

et LqpIq avec I Ă R. Par contre l’exemple fp ą fq ne fonctionne que si la taille de I est plusgrande que 1. Et pour cause : il y a des inclusions si I est borné.

Proposition 24.27 ([7]).Inclusions et inégalités dans le cas d’un ensemble de mesure finie.

(1) Soit pΩ,A, µq un espace mesuré fini et 1 ď p ď `8. Alors LqpΩq Ă LppΩq dès que p ď q.(2) Si 1 ă p ă 2 et si f P L2`r0, 1s˘ alors fp ď f2.

Démonstration. Pour la simplicité des notations nous allons noter Lp pour LppΩq, et pareillementpour Lq. Soit f P Lq. Nous posons

A “ tx P r0, 1s tel que |fpxq| ě 1u. (24.75)

Étant donné que p ď q nous avons |f |p ď |f |q sur A ; par conséquentşA |f |p converge parce queş

A |f |q converge.L’ensemble Ac est évidemment borné (complémentaire dans Ω) et sur Ac nous avons |fpxq| ď 1

et donc |f |p ď 1. L’intégraleşAc |f |p converge donc également.

Au finalşΩ |f |p converge et f P Lp.

1286 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Soit à présent f P L2 ; par le premier point nous avons immédiatement f P L2 X Lp. Soit aussir P R tel que 1

2p ` 1r “ 1. Nous avons |f |p P L2p, et vu que nous sommes sur un domaine borné,

1 P Lr. Nous écrivons l’inégalité de Hölder (24.52) avec ces fonctions. D’une part

f1 “ |f |p1 “ fpp. (24.76)

D’autre part

|f |p2p “ˆż

|f |2˙p2

“ fp2. (24.77)

Donc fpp ď fp2, ce qui prouve l’assertion (2) parce que p ą 1.

Remarque 24.28.Nous n’avons cependant pas L2`r0, 1s˘ “ Lp

`r0, 1s˘ parce que l’exemple (24.65) fonctionne encore :

fpxq “ 1?x

(24.78)

pour x P r0, 1s donne bien

f2 “ż 1

0

1x“ 8 (24.79)

et fp “ş10

1xp2

ă 8 parce que 1 ă p ă 2.

24.3.6 Complétude

Théorème 24.29 ([279, 280]).Pour 1 ď p ă 8, l’espace LppΩ,A, µq est complet.

Démonstration. Soit pfnqnPN une suite de Cauchy dans Lp. Pour tout i, il existe Ni P N tel quefp ´ fqp ď 2´i pour tout p, q ě Ni. Nous considérons la sous suite gi “ fNi , de telle sorte qu’enparticulier

gi ´ gi´1p ď 2´i. (24.80)

Pour chaque j nous considérons la somme télescopique

gj “ g0 `jÿ

i“1pgi ´ gi´1q (24.81)

et l’inégalité

|gj | ď |g0| `jÿ

i“1|gi ´ gi´1|. (24.82)

Nous allons noter

hj “ |g0| `jÿ

i“1|gi ´ gi´1|. (24.83)

La suite de fonctions phjq ainsi définie est une suite croissante de fonctions positive qui convergedonc (ponctuellement) vers une fonction h qui peut éventuellement valoir l’infini en certains points.Par continuité de la fonction x ÞÑ xp nous avons

limjÑ8h

pj “ hp, (24.84)

puis par le théorème de la convergence monotone (théorème 13.129) nous avons

limjÑ8

ż

Ωhpjdµ “

ż

Ωhpdµ. (24.85)

24.3. ESPACES LP 1287

Utilisant à présent la continuité de la fonction x ÞÑ x1p nous trouvons

limjÑ8

ˆżhpj

˙1p“

ˆż|h|p

˙1p. (24.86)

Nous avons donc déjà montré que

limjÑ8 hjp “

ˆż|h|p

˙1p(24.87)

où, encore une fois, rien ne garantit à ce stade que l’intégrale à droite soit un nombre fini. Enutilisant l’inégalité de Minkowski (proposition 24.26) et l’inégalité (24.80) nous trouvons

hjp ď g0p `jÿ

i“1gi ´ gi´1p ď g0p ` 1. (24.88)

En passant à la limite, ˆż|h|p

˙1p“ lim

jÑ8 hjp ď g0p ` 1 ă 8. (24.89)

Par conséquentş |h|p est finie et

h P LppΩ,A, µq. (24.90)

En particulier, l’intégraleşh est finie (parce que p ě 1) et donc que hpxq ă 8 pour presque tout

x P Ω.Nous savons que hpxq est la limite des sommes partielles (24.83), en particulier la série

8ÿ

j“1|gi ´ gi´1| (24.91)

converge ponctuellement. En vertu du corollaire 13.136, la série de terme général gi´gi´1 convergeponctuellement. La suite gi converge donc vers une fonction que nous notons g. Par ailleurs la suitegi est dominée par h P Lp, le théorème de la convergence dominée (théorème 13.134) implique que

limjÑ8 gj ´ gp “ 0. (24.92)

Nous allons maintenant prouver que limnÑ8fn´gp “ 0. Soit ε ą 0. Pour tout n et i nous avons

fn ´ gp “ fn ´ fNi ` fNi ´ gp ď fn ´ fNip ` fNi ´ gp. (24.93)

Pour rappel, fNi “ gi. Si i et n sont suffisamment grands nous pouvons obtenir que chacun desdeux termes est plus petit que ε2.

Il nous reste à prouver que g P LppΩ,A, µq. Nous avons déjà vu (équation (24.90)) que h P Lp,mais |gi| ď hp, par conséquent g P Lp.

Nous avons donc montré que la suite de Cauchy pfnq converge vers une fonction de Lp, ce quisignifie que Lp est complet.

Théorème 24.30 (Fischer-Riesz[2]).Soit un ouvert Ω de Rn et p P r1,8s. Alors

(1) Toute suite convergente dans LppΩq admet une sous-suite convergente presque partout surΩ.

(2) La sous-suite donnée en (1) est dominée par un élément de LppΩq.(3) L’espace LppΩq est de Banach.

Démonstration. Le cas p “ 8 est à séparer des autres valeurs de p parce qu’on y parle de normeuniforme, et aucune sous-suite n’est à considérer.

1288 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Cas p “ 8. Nous commençons par prouver dans le cas p “ 8. Soit pfnq une suite de Cauchydans L8pΩq, ou plus précisément une suite de représentants d’éléments de Lp. Pour toutk ě 1, il existe Nk ě 0 tel que si m,n ě Nk, on a

fm ´ fn8 ď 1k. (24.94)

En particulier, il existe un ensemble de mesure nulle Ek sur lequel

|fmpxq ´ fnpxq| ď 1k, (24.95)

et si nous posons E “ ŤkPNEk, nous avons encore un ensemble de mesure nulle (lemme

13.34). En résumé, nous avons un Nk tel que si m,n ě Nk, alors

|fnpxq ´ fmpxq| ď 1k

(24.96)

pour tout x hors de E. Donc pour chaque x P ΩzE, la suite n ÞÑ fnpxq est de Cauchy dansR et converge donc. Cela défini donc une fonction

f : ΩzE Ñ R

x ÞÑ limnÑ8 fnpxq.

(24.97)

Cela prouve le point (1) : la convergence ponctuelle.En passant à la limite nÑ8 dans l’équation 24.96 et tenant compte que cette majorationtient pour presque tout x dans Ω, nous trouvons

f ´ fn8 ď 1k. (24.98)

Donc non seulement f est dans L8, mais en plus la suite pfnq converge vers f au sens L8,c’est à dire uniformément. Cela prouve le point (3). En ce qui concerne le point (2), la suitefn est entièrement (à partir d’un certain point) dominée par la fonction 1`|f | qui est dansLp.

Cas p ă 8. Toute suite convergente étant de Cauchy, nous considérons une suite de Cauchypfnq dans LppΩq et ce sera suffisant pour travailler sur le premier point. Pour montrerqu’une suite de Cauchy converge, il est suffisant de montrer qu’une sous-suite converge.Soit ϕ : NÑ N une fonction strictement croissante telle que pour tout n ě 1 nous ayons

fϕpn`1q ´ fϕpnqp ď 12n . (24.99)

Pour créer la fonction ϕ, il est suffisant de prendre le Nk donné par la condition de Cauchypour ε “ 12k et de considérer la fonction définie par récurrence par ϕp1q “ N1 et ϕpn`1q ąmaxtNn, ϕpn´ 1qu. Ensuite nous considérons la fonction

gnpxq “nÿ

k“1|fϕpk`1qpxq ´ fϕpkqpxq|. (24.100)

Notons que pour écrire cela nous avons considéré des représentants fk qui sont alors desfonctions à l’ancienne. Étant donné que gn est une somme de fonctions dans Lp, c’est unefonction Lp, comme nous pouvons le constater en calculant sa norme :

gnp ďnÿ

k“1fϕpk`1q ´ fϕpkqp ď

nÿ

k“1

12k ď

8ÿ

k“1

12k “ 1. (24.101)

Étant donné que tous les termes de la somme définissant gn sont positifs, la suite pgnq estcroissante. Mais elle est bornée en norme Lp et donc sujette à obéir au théorème de Beppo-Levi 13.129 sur la convergence monotone. Il existe donc une fonction g P LppΩq telle quegn Ñ g presque partout.

24.3. ESPACES LP 1289

Soit un x P Ω pour lequel gnpxq Ñ gpxq ; alors pour tout n ě 2 et @q ě 0,

|fϕpn`qqpxq ´ fϕpnqpxq| “ˇˇˇfϕpn`qqpxq ´

q´1ÿ

k“1fϕpn`kqpxq ´

q´1ÿ

k“1fϕpn`kqpxq ´ fϕpnqpxq

ˇˇˇ

(24.102a)

“ˇˇˇqÿ

k“1fϕpn`kq ´

qÿ

k“1fϕpn`k´1qpxq

ˇˇˇ (24.102b)

ďqÿ

k“1

ˇˇfϕpn`kqpxq ´ fϕpn`k´1qpxq

ˇˇ (24.102c)

“ gn`q`1pxq ´ gn`1pxq (24.102d)ď gpxq ´ gn´1pxq. (24.102e)

Nous prenons la limite nÑ8 ; la dernière expression tend vers zéro et donc

|fϕpn`qqpxq ´ fϕpnqpxq| Ñ 0 (24.103)

pour tout q. Donc pour presque tout x P Ω, la suite n ÞÑ fϕpnqpxq est de Cauchy dans R etdonc y converge vers un nombre que nous nommons fpxq. Cela définit une fonction

f : ΩzE Ñ R

x ÞÑ limnÑ8 fϕpnqpxq

(24.104)

où E est de mesure nulle. Montrons que f est bien dans LppΩq ; pour cela nous complétonsla série d’inégalités (24.102) en

ˇfϕpn`qqpxq ´ fϕpnqpxq

ˇ ď gpxq ´ gn´1pxq ď gpxq. (24.105)

En prenant la limite q Ñ8 nous avons l’inégalité

|fpxq ´ fϕpnqpxq| ď gpxq (24.106)

pour presque tout x P Ω, c’est à dire pour tout x P ΩzE. Cette inégalité implique deuxchoses valables pour presque tout x dans Ω :

fpxq P B`gpxq, fϕpnqpxq˘

(24.107a)fϕpnqpxq ď |fpxq| ` |gpxq|. (24.107b)

La première inégalité assure que |f |p est intégrable sur ΩzE parce que |f | est majorée par|g| ` |fϕpnq|. Elle prouve par conséquent le point (1) parce que n ÞÑ fϕpnq est une sous-suiteconvergente presque partout. La seconde montre le point (2).Attention : à ce point nous avons prouvé que n ÞÑ fϕpnq est une suite de fonctions quiconverge ponctuellement presque partout vers une fonction f qui s’avère être dans Lp. Nousn’avons pas montré que cette suite convergeait au sens de Lp vers f . Ce que nous devonsmontrer est que

f ´ fϕpnqp Ñ 0. (24.108)L’inégalité (24.106) nous donne aussi, toujours pour presque tout x P Ω :

ˇfpxq ´ fϕpnqpxq

ˇp ď gpxqp (24.109)

ce qui signifie que la suite 6 |f ´ fϕpnq|p est dominée par la fonction |g|p qui est intégrablesur ΩzE et tout autant sur Ω parce que E est négligeable ; cela prouve au passage le point(2), et le théorème de la convergence dominée de Lebesgue (13.134) nous dit que

limnÑ8

ż

Ω

ˇfpxq ´ fϕpnqpxq

ˇpdx “

ż

ΩlimnÑ8

ˇfpxq ´ fϕpnqpxq

ˇdx “ 0. (24.110)

6. À ce point, [2] se contente de majorer |fϕpnqpxq| par |fpxq| ` |gpxq, mais je ne comprends pas comment cettemajoration nous permet d’utiliser la convergence dominée de Lebesgue pour montrer (24.108).

1290 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Cette dernière suite d’égalités se lit de la façon suivante :

limnÑ8 f ´ fϕpnqp “

›› limnÑ8 |f ´ fϕpnq|

››p“ 0. (24.111)

Nous en déduisons que la suite n ÞÑ fϕpnq est convergente vers f au sens de la norme LppΩq.Or la suite de départ pfnq était de Cauchy (pour la norme Lp) ; donc l’existence d’unesous-suite convergente implique la convergence de la suite entière vers f , ce qu’il fallaitdémontrer.

24.3.7 Densité des fonctions infiniment dérivables à support compact

Définition 24.31.Une fonction est étagée par rapport à Lp si elle est de la forme

f “Nÿ

k“1ck1Bk (24.112)

où les Bk sont des mesurables disjoints et 1Bk P Lp pour tout k.

Lemme 24.32.Si f est une fonction étagée en même temps qu’être dans Lp, alors elle est étagée par rapport àLp.

Démonstration. Nous pouvons écrire

f “Nÿ

k“1ck1Bk (24.113)

où les Bk sont disjoints. Par hypothèse fp existe. Donc chacune des intégralesşΩ |1Bk |p doit

exister parce que les Bk étant disjoints, nous pouvons inverser la norme et la somme ainsi que lasomme et l’intégrale :

ż

Ω|f |p “

ż

Ω

Nÿ

k“1|ck1Bkpxq|pdx “

Nÿ

k“1

ż|ck1Bkpxq|pdx “

Nÿ

k“1|ck|p

ż

Ω|1Bkpxq|pdx. (24.114)

Le contraire n’est pas vrai : la fonction étagée sur R qui vaut n sur Bpn, 14q est étagée par

rapport à Lp, mais n’est pas dans Lp.L’ensemble C8c pRdq des fonction de classe C8 et à support compact sur Rd est souvent égale-

ment noté DpRdq.Théorème 24.33 ([277]).Nous avons des densités emboitées. Ici D est un borélien borné de Rd contenu dans Bp0, rq et Kest un compact contenant Bp0, r ` 2q.

(1) Les fonctions étagées par rapport à Lp sur Rd sont denses dans LppRdq. A fortiori lesfonctions étagées sont denses dans Lp, mais nous n’en aurons pas besoin ici.

(2) Il existe une suite fn dans CpK,Cq telle que

fnLpÑ 1D. (24.115)

(3) Si A est un borélien tel que 1A P LppRdq 7 et si ε ą 0, alors il existe une suite de boréliensbornée pDnqnPN tels que

1DnLpÑ 1A. (24.116)

7. Je pense que cette hypothèse manque dans [277]. En tout cas je vois mal comment je pourrais justifier les différentesétapes de la preuve en prenant par exemple A “ Rd.

24.3. ESPACES LP 1291

(4) Il existe une suite ϕn dans DpRdq “ C8c pRdq telle que

ϕnLpÑ 1D. (24.117)

(5) L’ensemble DpRdq “ C8c pRdq est dense dans LppRdq pour tout 1 ď p ă 8.

Démonstration. Nous allons montrer les choses point par point.(1) Si f P L1pRdq, nous savons par la proposition 13.106 qu’il existe une suite fn de fonctions

étagées convergeant ponctuellement vers f telle que |fn| ď |f |. La proposition 24.16 nousdit qu’alors fn LpÑ f .La fonction fn étant étagée et dans Lp en même temps, elle est automatiquement étagéepar rapport à Lp par le lemme 24.32.

(2) C’est le théorème d’approximation 13.150 appliqué au borélien D contenu dans l’espacemesuré K.

(3) En vertu du point (2), il existe f P C0pK,Rq telle que

f ´ 1Dp ď ε. (24.118)

Ensuite, par le théorème de Weierstrass, il existe ϕ P C8pK,Rq telle que f ´ ϕ8 ď ε.Nous avons aussi

ϕ´ fpp “ż

K|ϕpxq ´ fpxq|pdx ď µpXqϕ´ fp8 ď εpµpKq. (24.119)

Quitte à prendre un ϕ correspondant à un ε plus petit, nous avons

ϕ´ f ď ε. (24.120)

En combinant et en passant à ε2 nous avons trouvé une fonction ϕ P C8pK,Rq telle que

ϕ´ 1D ď ε. (24.121)

(4) Nous considérons les boréliens fermés Dn “ AXBp0, nq. Alors 1Dn P Lp et nous avons pourn assez grand : ż

Rd|1Dnpxq ´ 1Apxq|pdx “

ż

RdzBp0,nq|1Apxq|p ă ε, (24.122)

c’est à dire que 1DnLpÑ 1A.

(5) Il suffit de remettre tout ensemble. Si f P LppRdq, par le point (2) nous commençons parprendre σ étagée par rapport à Lp telle que

σ ´ fp ď ε. (24.123)

Ensuite nous écrivons σ sous la forme

σ “Nÿ

k“1ck1Bk (24.124)

et nous appliquons le point (3) à chacune des 1Bk pour trouver des boréliens bornés Dk telsque

1Dk ´ 1Bkp ď ε. (24.125)Enfin nous appliquons le point (4) pour trouver des fonctions ϕk P C8c pRdq telles que

ϕk ´ 1Dkp ď ε. (24.126)

Il n’est pas compliqué de calculer que

››Nÿ

k“1ckϕk ´ f

››pď 2ε

ÿ

k

ck ` ε. (24.127)

1292 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Corollaire 24.34.Si 1 ă p ă 8 alors l’ensemble 8 L2`r0, 1s˘X Lp`r0, 1s˘ est dense dans Lp

`r0, 1s˘.

Démonstration. Nous savons du théorème 24.33(5) que C8c`r0, 1s˘ est dense dans Lp. Mais nous

avons évidemment C8c Ă L2 X Lp, donc L2 X Lp est dense dans Lp.

Lemme 24.35 ([277, 270]).Soit 1 ď p ă 8 et f P LppΩq. Nous notons τv l’opérateur de translation par v :

τv : LppΩq Ñ LppΩqf ÞÑ

”x ÞÑ fpx´ vq

ı.

(24.128)

Cet opérateur est continu en v “ 0, c’est à dire

limvÑ0

τv ´ fp “ 0. (24.129)

Démonstration. Nous commençons par supposer que f est dans DpΩq, et nous verrons ensuitecomment généraliser.

Si f P DpΩq Soit une suite vi RdÝÑ 0, et posons fi “ τvipfq ; le but est de montrer que fi LpÝÑ f .

Pour cela, la fonction f ´ fi est également à support compact, et qui plus est, si supppfq ĂBp0, rq, alors supppf ´ fiq Ă Bp0, r ` |vi|q, et l’ensemble

S “ B`0, r `max

i|vi|

˘(24.130)

est un compact contenant les supports de tous les f ´ fi. Le maximum existe parce quevi Ñ 0. Voila qui «majore» le domaine de f ´ fi uniformément en i.Majorons maintenant |f ´ fi|p de façon uniforme en i. Soit le nombre

M “ 2 maxxPRd

tfpxqu. (24.131)

La fonction qui vautMp sur S et zéro ailleurs est une fonction intégrable qui majore |f´fi|p.Nous pouvons donc utiliser la convergence dominée de Lebesgue (théorème 13.134) pourécrire

limiÑ8 f ´ fi

pp “ lim

iÑ8

ż

Ω|fpxq ´ fpx´ viq|pdx “

ż

ΩlimiÑ8 |fpxq ´ fpx´ viq|dx “ 0. (24.132)

Pour f P LppΩq Soit ε ą 0, f P LppΩq et ϕ P DpΩq tel que f ´ ϕp ď ε. Cela est possiblepar la densité de DpΩq dans LppΩq vue en 24.33(5). Nous choisissons de plus |v| assez petitpour avoir τvpϕq ´ ϕp ă ε, qui est possible en vertu de ce que nous venons de démontrerà propos des fonctions à support compact. De plus τv étant une isométrie de Lp nous avonsτvpϕq ´ τvpfq “ ϕ´ f ă ε. Nous avons tout pour majorer :

f ´ τvpfq ď f ´ ϕ ` ϕ´ τvpϕq ` τvpϕq ´ τvpfq ď 3ε. (24.133)

Nous avons donc bien limvÑ0 f ´ τvpfq “ 0.

8. Nous parlons bien ici de l’ensemble L2 parce que nous le considérons sans norme ou topologie particulière. Ladensité dont nous parlons ici est celle pour la topologique de Lp.

24.3. ESPACES LP 1293

24.3.8 Approximation

Lemme 24.36 (Théorème fondamental d’approximation [166]).Soit Ω un espace mesurable et f : Ω Ñ r0,8s une application mesurable. Alors il existe une suitecroissante d’applications étagées ϕn : Ω Ñ R` dont la limite est f .

De plus si f est bornée, la convergence est uniforme.

Théorème 24.37 ([281]).Soit I un intervalle de R. L’espace CcpIq des fonctions continues à support compact sur I estdense dans L2pIq.

Ce théorème sera généralisé à tous les LppRdq par le théorème 24.33. Cependant Lp n’étantpas un Hilbert, il faudra travailler sans produit scalaire.

Démonstration. Soit g P L2pIq une fonction telle que g K f pour toute fonction f P CcpIq. Nousavons donc

xf, gy “ż

Ifg “ 0. (24.134)

En passant éventuellement aux composantes réelles et imaginaires nous pouvons supposer que lesfonctions sont toutes réelles. Nous décomposons g en parties positives et négatives : g “ g` ´ g´.Notre but est de montrer que g` “ g´, c’est à dire que g est nulle. La proposition 23.15 concluraque CcpIq est dense dans L2pIq.

Soit un intervalle ra, bs Ă I et une suite croissante de fonctions fn P CcpIq qui converge vers1ra,bs. Par hypothèse pour chaque n nous avons

ż

Ifng

` “ż

Ifng

´. (24.135)

La suite étant croissante, le théorème de la convergence monotone (théorème 13.129) s’applique etnous avons

limnÑ8

ż

Ifng

` “ż b

ag`, (24.136)

de telle sorte que nous ayons, pour tout intervalle ra, bs Ă I l’égalitéż b

ag` “

ż b

ag´. (24.137)

De plus ces intégrales sont finies parce queż b

ag` ď

ż b

a|g| “

ż

I|g|1ra,bs “ x|g|,1ra,bsy ď gL2

?b´ a ă 8 (24.138)

par l’inégalité de Cauchy-Schwarz.Soit maintenant un ensemble mesurable A Ă I. La fonction caractéristique 1A est mesurable

et il existe une suite croissante de fonctions étagées pϕnq convergente vers a par le lemme 24.36. Àmultiples près, les fonctions ϕn sont des sommes de fonctions caractéristiques du type 1ra,bs, parconséquent, en vertu de (24.137) nous avons

ż

Iϕng

` “ż

Iϕng

´. (24.139)

Une fois de plus nous pouvons utiliser le théorème de la convergence monotone et obtenirż

Ag` “

ż

Ag´ (24.140)

pour tout ensemble mesurable A Ă I. Si nous notons dx la mesure de Lebesgue, les mesures g`dxet g´dx sont par conséquent égales et dominées par dx. Par le corollaire 13.145 du théorème deRadon Nikodym, les fonctions g` et g´ sont égales.

1294 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

24.4 ConvolutionLe théorème qui permet de définir le produit de convolution est la suivant.

Théorème-définition 24.38 ([179]).Soient f, g P L1pRnq.

(1) Pour presque tout x P Rn, la fonction

y ÞÑ gpx´ yqfpyq (24.141)

est dans L1pRnq, et nous définissons le produit de convolution de f et g par

pf ˚ gqpxq “ż

Rnfpyqgpx´ yqdy. (24.142)

(2) f ˚ g P L1pRnq.(3) f ˚ g1 ď f1g1.L’ensemble L1pRnq devient alors une algèbre de Banach.

Lemme 24.39.Le produit de convolution est commutatif : f ˚ g “ g ˚ f .Démonstration. Le théorème de Fubini (théorème 13.230) permet d’écrire

pf ˚ gqpxq “ż

Rnfpyqgpx´ yqdy “

ż 8

´8dy1 . . .

ż 8

´8dynfpyqgpx´ yq. (24.143)

En effectuant le changement de variable zi “ xi ´ yi dans chacune des intégrales nous obtenons

pf ˚ gqpxq “ż

Rngpzqfpx´ zqdz “ pg ˚ fqpxq. (24.144)

Attention : on pourrait croire qu’un signe apparaît du fait que z “ x´ y donne dz “ ´dy. Mais enréalité, l’intégrale

ş`8´8 devient par le même changement de variables

ş´8`8 qui redonne un nouveau

signe au moment de remettre dans l’ordre.

Proposition 24.40.Si 1 ď p ď 8 et si f P LppRdq et g P L1pRdq alors

(1) f ˚ g P Lp(2) f ˚ gp ď fpg1.Cette proposition est une conséquence de l’inégalité de Minkowski sous forme intégrale :

24.26(3).

Proposition 24.41 ([282]).Si f P L1pRq et si g est dérivable avec g1 P L8, alors f ˚ g est dérivable et pf ˚ gq1 “ f ˚ g1.Démonstration. La fonction qu’il faut intégrer pour obtenir f ˚ g est fptqgpx´ tq, dont la dérivéepar rapport à x est fptqg1px´ tq. La norme de cette dernière est majorée (uniformément en x) parGptq “ |fptq|g18. La fonction f étant dans L1pRq, la fonction G est intégrable et le théorème dedérivation sous l’intégrale (théorème 14.65) nous dit que f ˚ g est dérivable et

pf ˚ gq1pxq “ d

dx

ż

R

fptqgpx´ tqdt “ż

R

fptqg1px´ tqdt “ pf ˚ g1qpxq. (24.145)

Corollaire 24.42.Si f P L1pRdq et si g est de classe C8, alors f ˚ g est de classe C8.

24.4. CONVOLUTION 1295

Démonstration. Il s’agit d’itérer la proposition 24.41.

Lemme 24.43.Soit f P L2pIq telle que ż

Ifϕ “ 0 (24.146)

pour toute fonction ϕ P C8c pIq. Alors f “ 0 presque partout sur I.

Démonstration. Nous considérons la forme linéaire

φ : L2pIq Ñ C

g ÞÑ xf, gy “ż

Ifg.

(24.147)

Par densité 9 nous pouvons aussi considérer une suite pϕnq dans C8c pIq convergeant dans L2 versf . Alors nous avons pour tout n :

xf, ϕny “ 0. (24.148)

En passant à la limite, xf, fy “ 0, ce qui implique f “ 0 dans L2 et donc f “ 0 presque partouten tant que bonne fonction.

Ce résultat est encore valable dans les espaces Lp (proposition 24.65), mais il demande lethéorème de représentation de Riesz 10.

24.4.1 Approximation de l’unité

Nous considérons Ω “ Rd ou pS1qd.Définition 24.44.Une approximation de l’unité sur Ω est une suite pϕnq dans L1pΩq telle que

supkϕk1 ă 8 (24.149a)ż

Ωϕn “ 1 (24.149b)

limkÑ8

ż

ΩzBp0,αq|ϕk| “ 0 (24.149c)

pour tout n et pour tout α ą 0.

Ce sont des fonctions dont la masse vient s’accumuler autour de zéro. En effet quel que soit levoisinage Bp0, αq, si k est assez grand, il n’y a presque plus rien en dehors.

Pour le point (24.149b), si Ω est S1, la mesure que nous considérons est dx2π .

Exemple 24.45Une façon de construire une approximation de l’unité sur R est de considérer une fonction ϕ PL1pΩq telle que

şϕ “ 1 puis de poser

ϕkpxq “ kdϕpkxq. (24.150)

Ici, Ω peut être R ou S1. 4

Le lemme suivant permet de construire des approximations de l’unité intéressantes.

9. Théorème 24.33(5).10. Théorème 24.64.

1296 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Lemme 24.46 ([277]).Si nous posons

ϕnpxq “ˆż

ϕpyqn˙´1

ϕpxqn, (24.151)

alors nous obtenons une approximation de l’unité dans les deux cas suivants :(1) Soit ϕ une fonction continue et positive sur S1 telle que ϕpxq ă ϕp0q pour tout x R 2πZ.

Dans ce cas la mesure à prendre pour l’intégrale est dy2π .

(2) Soit ϕ est une fonction continue et positive à support compact sur Rd telle que ϕpxq ą ϕp0qpour tout x ‰ 0.

Théorème 24.47 ([277]).Soit pϕkq une approximation de l’unité sur Ω “ Rd ou pS1qd.

(1) Si g est mesurable et bornée sur Ω et si g est continue en x0 alors

pϕk ˚ gqpx0q Ñ gpx0q. (24.152)

(2) Si g P LppΩq (1 ď p ă 8) alorsϕk ˚ g LpÑ g. (24.153)

(3) Si g est uniformément continue et bornée, alors

ϕk ˚ g L8Ñ g (24.154)

Démonstration. Les trois points vont se ressembler.(1) Nous notons dk “ pϕk ˚ gqpx0q ´ gpx0q et nous devons prouver que dk Ñ 0. Vu que ϕk est

d’intégrale 1 sur Ω nous pouvons écrire

|dk| “ˇ ż

Ω

`gpx0 ´ yq ´ gpx0q

˘ϕkpyqdy

ˇ ďż

Ω

ˇgpx0 ´ yq ´ gpx0q

ˇ|ϕkpyq|dy. (24.155)

Nous notons M “ supk ϕk1, et nous considérons α ą 0 tel queˇgpx0 ´ yq ´ gpx0q

ˇ ď ε. (24.156)

Nous nous restreignons maintenant aux k suffisamment grands pour queşABp0,αq |ϕkpyq|dy ď

ε. Alors en découpant l’intégrale en Bp0, αq et son complémentaire dans Ω,

|dk| ď εM `ż

ABp0,αq2g8|ϕkpyq|dy ď εM ` 2g8ε ď εC. (24.157)

Donc oui, nous avons |dk| Ñ 0, et donc le premier point du théorème.(2) Nous posons dkpxq “ pϕk ˚ gqpxq´ gpxq et nous voulons prouver que dk8 Ñ 0, c’est à dire

que dkpxq converge vers zéro uniformément en x. Nous posons aussi

τypgq : x ÞÑ gpx´ yq. (24.158)

En récrivant le produit de convolution, une petite majoration donne

|dkpxq| ďż

Ωτypgq ´ g8|ϕkpyq|dy. (24.159)

L’uniforme continuité de g signifie que pour tout ε, il existe un α tel que pour tout y PBp0, αq,

τypgq ´ g8 ď ε. (24.160)

24.4. CONVOLUTION 1297

Encore une fois nous découpons le domaine d’intégration en B “ Bp0, αq et son complé-mentaire :

dk8 ďż

Bτypgq ´ g8loooooomoooooon

ďε|ϕkpyq|dy `

ż

ABτypgq ´ g8loooooomoooooon

ď2g8

|ϕkpyq| (24.161a)

ď εM ` 2g8ε (24.161b)

où la seconde ligne est justifiée par le choix d’un k assez grand pour queşAB |ϕkpyq|dy ď ε.

Nous avons donc bien dk8 Ñ 0.(3) Cette fois g P LppΩq et nous cherchons à montrer que dkp Ñ 0. Encore qu’ici dk soit défini

à partir d’un représentant dans la classe de g et que d’ailleurs, nous allons travailler avecce représentant.D’abord nous développons un peu ce dk :

dkp “„ż

Ω

ˇˇż

Ω

`gpx´ yq ´ gpxq˘ϕkpyqdy

ˇˇp

dx

1p(24.162a)

ď„ż

Ω

´ ż

Ω|gpx´ yq ´ gpxq|· |ϕkpyq|dy

¯pdx

1p. (24.162b)

À cette dernière expression nous appliquons l’inégalité de Minkowski (théorème 24.26) sousla forme (24.64) pour la norme dνpyq “ |ϕkpyq|dy et fpx, yq “ gpx´ yq ´ gpxq :

dkp ďż

Ω

´ ż

Ω

ˇgpx´ yq ´ gpxqˇpdx

¯1p|ϕkpyq|dy “ż

Ωτyg ´ gp|ϕkpyq|dy. (24.163)

Par le lemme 24.35 nous pouvons trouver α ą 0 tel que τyg´gp ď ε pour tout y P Bp0, αq.Avec cela nous découpons encore le domaine d’intégration :

dkp ďż

Bp0,αqτyg ´ gploooomoooon

ďε|ϕkpyq|dy`

ż

ABp0,αqτyg ´ gploooomoooonď2gp

|ϕkpyq|dy ď εM`2εgp. (24.164)

Une petite remarque en passant : aussi triste que cela en ait l’air, la convergence uniformen’implique pas la convergence LppΩq si Ω n’est pas borné. En effet si f P Lp, la suite donnée par

fnpxq “ fpxq ` 1n

(24.165)

converge uniformément vers f , mais

fn ´ fp “ż

Ω

1n

(24.166)

n’existe même pas si le domaine Ω n’est pas borné.

24.4.2 Densité des polynôme trigonométrique

Nous allons beaucoup travailler avec le système trigonométrique donné par tenunPZ et

enptq “ eint. (24.167)

Une bonne partie de la douleur qu’évoque mot « densité » consiste à montrer que ce système esttotal dans L2pS1q “ L2pr0, 2πsq, et donc en est une base hilbertienne.

1298 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Définition 24.48.Un polynôme trigonométrique est une fonction de la forme

P ptq “Nÿ

n“´Ncne

int. (24.168)

Lemme 24.49.Deux petits résultats simples mais utiles à propos des polynômes trigonométriques.

(1) Si f P L1pS1q, alors nous avons la formule

f ˚ en “ cnpfqen. (24.169)

(2) Si P est un polynôme trigonométrique et si f P L1pS1q alors f ˚ P est encore un polynômetrigonométrique.

Démonstration. Le premier point est un simple calcul :

pf ˚ enqpxq “ 12π

ż 2π

0fpx´ tqenptqdt (24.170a)

“ einxż 2π

0fpx´ tqe´inpx´tqdt (24.170b)

“ cnpfqenpxq. (24.170c)

En ce qui concerne le second point, nous notons P “ řNk“´N Pkek, et par linéarité de la

convolution,

f ˚ P “Nÿ

k“´NPkf ˚ ek “

nÿ

k“´Nckpfqek, (24.171)

qui est encore un polynôme trigonométrique.

Exemple 24.50Sur S1 nous construisons alors l’approximation de l’unité basée sur la fonction 1 ` cospxq et lelemme 24.46. Cette fonction est évidemment un polynôme trigonométrique parce que

cospxq “ eix ` e´ix2 . (24.172)

Ensuite les puissances le sont aussi à cause de la formule du binôme :

`1` cospxq˘n “

nÿ

k“0

ˆn

k

˙cosnpxq, (24.173)

dans laquelle nous pouvons remettre cospxq comme un polynôme trigonométrique et développer ànouveau la puissance avec (encore) la formule du binôme. La chose importante est qu’il existe uneapproximation de l’unité pϕnq formée de polynômes trigonométrique.

Ce qui fait la spécificité des polynômes trigonométriques est qu’ils sont à la fois stables parconvolution (lemme 24.49) et qu’ils permettent de créer une approximation de l’unité sur r0, 2πs.Ce sont ces deux choses qui permettent de prouver l’important théorème suivant. 4

Théorème 24.51.Les polynôme trigonométriques sont dense dans LppS1q pour 1 ď p ă 8.

Démonstration. Soit f P LppS1q “ Lp`r0, 2πs˘, et pϕnq une approximation de l’unité sur S1 formée

de polynômes trigonométriques, par exemple ceux de l’exemple 24.50. D’abord ϕk ˚ f est unpolynôme trigonométrique par le lemme 24.49, et ensuite nous avons convergence

ϕk ˚ f LpÑ f (24.174)

24.5. L’ESPACE L2 1299

par le théorème 24.47. Nous avons donc convergence Lp d’une suite de polynômes trigonométrique,ce qui prouve que l’espace de polynômes trigonométriques est dense dans LppS1q.Remarque 24.52.Deux remarques.

— Il n’est pas possible que les polynômes trigonométriques soient dense dans L8 parce qu’unelimite uniforme de fonctions continues est continue (c’est le théorème 12.297).

— Nous donnerons au théorème 26.6 une démonstration indépendante de la densité des poly-nômes trigonométriques dans LppS1q.

24.5 L’espace L2

L’espace L2 est l’espace Lp définit à la section 24.3 avec p “ 2. Cependant il possède unepropriété extraordinaire par rapport aux autres Lp, c’est que la norme |.|2 dérive d’un produitscalaire. Il sera donc un espace de Hilbert.

Nous en rappelons la construction. Soit pΩ,A, µq un espace mesuré. Nous considérons l’opéra-tion

xf, gy “ż

Ωfpωqgpωqdµpωq (24.175)

et la norme associéef2 “

axf, fy. (24.176)Nous considérons l’ensemble

L2pΩ, µq “ tf : Ω Ñ R tel que f2 ă 8u (24.177)

et la relation d’équivalence f „ g si et seulement si fpxq “ gpxq pour µ-presque tout x.

Définition 24.53.Nous définissons le quotient

L2pΩ, µq “ L2pΩ, µq „ . (24.178)

Problèmes et choses à faire

Le lemme suivant dit que L2 est un Hilbert. Il faudrait utiliser le théorème de Riesz pour prouver que les autres Lp n’en sont pas.

Lemme 24.54.La formule (24.175) définit un produit scalaire sur L2, et ce dernier est un espace de Hilbert.

Démonstration. D’abord si f et g sont dans L2, alors l’inégalité de Hölder (proposition 24.22) nousindique que le produit fg est un élément de L1. Par conséquent la formule a un sens.

Ensuite nous montrons que la formule passe au quotient. Pour cela, nous considérons desfonctions α et β nulles presque partout et nous regardons le produit de f1 “ f `α par g1 “ g`β :

xf1, g1y “żfg ` βf ` αg ` αβ. (24.179)

Les fonction βf , αg et αβ étant nulles presque partout, leur intégrale est nulle et nous avons bienxf1, g1y “ xf, gy. Nous pouvons donc considérer le produit sur l’ensemble des classes.

Pour vérifier que la formule est un produit scalaire, le seul point non évidement est de prouverque xf, fy “ 0 implique f “ 0. Cela découle du fait que

xf, fy “ż

Ω|f |2. (24.180)

La fonction x ÞÑ |fpxq|2 vérifie les hypothèses du lemme 13.123. Par conséquent |fpxq|2 est presquepartout nulle.

En ce qui concerne le fait que L2pΩq soit un espace de Hilbert, il s’agit simplement de seremémorer que c’est un espace complet (théorème 24.29) et dont la norme dérive d’un produitscalaire. Nous sommes donc bien dans la définition 23.2.

1300 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Attention : dans 24.5, le produit scalaire a été défini avec un coefficient 12π. Voir l’équation(24.183).

24.5.1 Coefficients et série de Fourier

Nous notons ici une conséquence du théorème 24.30 dans le cas de l’espace L2. La propositionsuivante est une petite partie du corollaire 23.50, qui sera d’ailleurs démontré de façon indépen-dante.

Proposition 24.55.Si nous avons une suite de réels pakq telle que

ř8k“0 |ak|2 ă 8 alors la suite

fnpxq “nÿ

k“0ake

ikx (24.181)

converge dans L2`s0, 2πr˘.Démonstration. Quitte à séparer les parties réelles et imaginaires, nous pouvons faire abstractiondu fait que nous parlons d’une série de fonctions à valeurs dans C au lieu de R.

Un simple calcul est :

fn ´ fm2 ďż 2π

0

mÿ

k“n|ak|2dx ď 2π

mÿ

k“n|ak|2. (24.182)

Par hypothèse le membre de droite est |sm ´ sn| où sk dénote la suite des somme partielle de lasérie des |ak|2. Cette dernière est de Cauchy (parce que convergente dans R) et donc la limitenÑ8 (en gardant m ą n) est zéro. Donc la suite des fn est de Cauchy dans L2 et donc convergedans L2.

Nous utilisons ici des résultats de bases hilbertiennes autour du théorème 23.45. Nous considé-rons l’espace de Hilbert L2r´T 2, T 2s muni du produit scalaire 11

xf, gy “ 1T

ż T 2

´T 2fptqgptqdt. (24.183)

Pour toute fonction pour laquelle ça a un sens (que ce soit des fonctions L2 ou non), nousposons

cnpfq “ 1T

ż T 2

´T 2fptqe´2iπntTdt. (24.184)

Ces nombres sont les coefficients de Fourier de f . Leur importance dans le cadre de L2 provientdu fait que la famille de fonctions

ekptq “ e2iπktT (24.185)

est une base hilbertienne de L2r´T 2, T 2s et quecnpfq “ xf, eny. (24.186)

Adaptons tout cela pour l’espace L2`r0, 2πs˘. Nous posons

xf, gy “ż 2π

0fptqgptqdt (24.187)

etenptq “ 1?

2πeint. (24.188)

11. Attention à la convention : nous mettons un coefficient qui n’est pas dans la définition générale (24.175).

24.5. L’ESPACE L2 1301

Lemme 24.56.Le système trigonométrique tenunPZ est une base hilbertienne de L2`r0, 2πs˘.Démonstration. Pour rappel, une base hilbertienne est la définition 23.27. Nous prouvons d’abordque le système est orthogonal. Nous avons

xen, emy “ 12π

ż 2π

0eipn´mqtdt. (24.189)

Si n “ m, alors cela est égal à 1. Sinon c’est une intégrale simple :

xen, emy “„

i

n´meipn´mqt2π

0“ 0. (24.190)

Cela est pour l’orthogonalité.Pour que le système soit total, il faut que son espace vectoriel engendré soit dense. Cela est le

théorème 24.51.

Note : le théorème 26.6 donné aussi la densité, mais sera démontré plus tard, indépendamment.Voir aussi les thèmes 11 et 12.

Pour un élément donné f P L2`r0, 2πs˘, nous définissons

Snf “nÿ

k“´nxf, ekyek (24.191)

et nous avons le théorème suivant, qui récompense les efforts consentis à propos de la densité despolynômes trigonométriques dans L2.

Théorème 24.57.Soit f P L2`r0, 2πs˘. Nous avons égalité 12

f “ÿ

nPZcnpfqen (24.192)

dans L2.Nous avons aussi la convergence

SnfL2Ñ f. (24.193)

Démonstration. Le système trigonométrique tenunPZ est total pour l’espace de Hilbert L2`r0, 2πs˘(sans périodicité particulière). Donc le point (1) du théorème 23.45 nous donne l’égalité demandée.

La convergence (24.193) est une reformulation de l’égalité (24.192).

24.58.Obtenir la convergence L2 ne demande pas d’hypothèse de périodicité : la convergence (24.193)est automatique du fait que le système trigonométrique soit total. Ce n’est cependant pas plusqu’une convergence L2 et elle ne demande pas fp0q “ fp2πq, même si pour chacun des ek nousavons ekp0q “ ekp2πq.

Si fp2πq ‰ fp0q, alors il existe tout de même une suite pfnq convergente vers f au sens L2 telleque fnp0q “ fnp2πq. Cela ne contredit en rien le fait que ekp0q “ ekp2πq parce que dans L2, lavaleur d’un point seul n’a pas d’importance.

Si nous voulons une vraie convergence ponctuelle voir uniforme pSnfqpxq Ñ fpxq, alors il fautajouter des hypothèses sur la continuité de f , sa périodicité ou le comportement des coefficientscn. Voir aussi le thème 4.

12. Notons que la somme sur Z dans (24.192) est commutative ; il n’est donc pas besoin d’être plus précis.

1302 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Exemple 24.59Si f P L2`r0, 2πs˘ est (la classe de) une fonction à valeurs réelles, alors on peut la développer avecnettement moins de termes. D’abord nous savons que e´n “ en, et donc

xf, eny “ xf, e´ny, (24.194)

ce qui donnef “

ÿ

nPZxf, enyen “

ÿ

nPNxf, enyen ` xf, enyen “

ÿ

nPN<`xf, enyen

˘. (24.195)

Or

<`xf, enyen

˘ “ 1p2πq32 cospnxq

ż 2π

0fptq cospntqdt´ 1

p2πq32 sinpnxqż 2π

0fptq sinpntqdt. (24.196)

Considérons la fonction impaire f P Ł2`r´2π, 2πs˘ créée à partir de f . Elle se développe demême et nous avons la même formule (24.196) à part quelque coefficients et le fait que les intégralessont entre ´2π et 2π. Vu que f est impaire, l’intégrale avec cospntq s’annule et

fpxq “ÿ

nPNcn sinpnxq (24.197)

pour certains coefficients réels cn. Cette égalité est à considérer dans L2, c’est à dire presquepartout et en particulier presque partout sur r0, 2πs.

Donc les fonctions réelles sur r0, 2πs peuvent être écrites sous la forme d’une série de seulementdes sinus.

Note : en choisissant f paire, nous aurions eu une série de cosinus. 4

24.5.2 Dualité et théorème de représentation de Riesz

Dans la suite E1 est le dual topologique, c’est à dire l’espace des formes linéaires et continuessur E.

Proposition 24.60 ([117]).Soit 1 ă p ă 2 et q tel que 1

p ` 1q “ 1. L’application

Φ: Lq`r0, 1s˘Ñ Lp

`r0, 1s˘1

Φgpfq “ż

r0,1sfg.

(24.198)

est une isométrie linéaire surjective.

Démonstration. Pour la simplicité des notations nous allons noter L2 pour L2`r0, 1s˘, et pareille-ment pour Lp.

Φg est un élément de pLpq1 Si f P Lp et g P Lq nous devons prouver que Φqpfq est biendéfinie. Pour cela nous utilisons l’inégalité de Hölder 13 qui dit que fg P L1 ; par conséquentla fonction fg est également dans L1 et nous avons

|Φgpfq| ďż

r0,1s|fg| “ fg1 ď fpgq. (24.199)

En ce qui concerne la norme de l’application Φg nous avons tout de suite

Φg “ supfp“1

ˇΦgpfq

ˇ ď gq. (24.200)

Cela signifie que l’application Φg est bornée et donc continue par la proposition 10.18. Nousavons donc bien Φg P pLpq1.

13. Proposition 24.22.

24.5. L’ESPACE L2 1303

Isométrie Afin de prouver que Φg “ gq nous allons trouver une fonction f P Lp telle que|Φgpfq|fp “ gq. De cette façon nous aurons prouvé que |Φg| ě gq, ce qui conclurait que|Φg| “ gq.Nous posons f “ g|g|q´2, de telle sorte que |f | “ |g|q´1 et

fp “ˆż

|g|ppq´1q˙1p

“ˆż

|g|q˙1p

“ gqpq (24.201)

où nous avons utilisé le fait que ppq´ 1q “ q. La fonction f est donc bien dans Lp. D’autrepart,

Φgpfq “żfg “

żg|g|q´2g “

ż|g|q “ gqq. (24.202)

Donc |Φgpfq|fp “ gq´

qp

q “ gq (24.203)

où nous avons encore utilisé le fait que q ´ qp “ qpp´1q

p “ 1.Surjectif Soit ` P pLpq1 ; c’est une application ` : Lp Ñ C sont nous pouvons prendre la res-

triction à L2 parce que la proposition 24.27 nous indique que L2 Ă Lp. Nous nommonsφ : L2 Ñ C cette restriction.

φ P pL2q1 Nous devons montrer que φ est continue pour la norme sur L2. Pour cela nousmontrons que sa norme opérateur (subordonnée à la norme de L2 et non de Lp) estfinie :

supfPL2

|φpfq|f2 ď sup

fPL2

|`pfq|fp ă 8. (24.204)

Nous avons utilisé l’inégalité de norme fp ď f2 de la proposition 24.27(2).Utilisation du dual de L2 Étant donné que L2 est un espace de Hilbert (lemme 24.54) et

que φ P pL2q1, le théorème 23.18 nous donne un élément g P L2 tel que φpfq “ Φgpfqpour tout f P L2.Nous devons prouver que g P Lq et que pour tout f P Lp nous avons `pfq “ Φgpfq.

g P Lq Nous posons fn “ g|g|q´21|g|ăn. Nous avons d’une part

Φgpfnq “ż 1

0fng “

ż

|g|ăn|g|q. (24.205)

Et d’autre part comme fn P L2 nous avons aussi φpfnq “ Φgpfnq et donc0 ď Φpfnq “ φpfnq ď `fnp (24.206a)

“ `˜ż

|g|ăn|g|pq´1qp

¸1p(24.206b)

“ `˜ż

|g|ăn|g|q

¸1p. (24.206c)

où nous avons à nouveau tenu compte du fait que ppq ´ 1q “ q. En combinant avec(24.205) nous trouvons

ż

|g|ăn|g|q ď `

˜ż

|g|ăn|g|q

¸1p, (24.207)

et donc ˜ż

|g|ăn|g|q

¸1´ 1p

ď `, (24.208)

1304 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

c’est à dire ´ ż

|g|ăn|g|q

¯1q ď `. (24.209)

Si ce n’était pas encore fait nous nous fixons un représentant de la classe g (qui est dansL2), et nous nommons également g ce représentant. Nous posons alors

gn “ |g|q1|g|ăn (24.210)

qui est une suite croissante de fonctions convergeant ponctuellement vers |g|q. Le théo-rème de Beppo-Levi 13.129 nous permet alors d’écrire

limnÑ8

ż

|q|ăn|g|q “

ż 1

0|g|q. (24.211)

Mais comme pour chaque n nous avonsş|g|ăn |q|q ď `q, nous conservons l’inégalité à

la limite et ż 1

0|g|q ď `q. (24.212)

Cela prouve que g P Lp.`pfq “ Φgpfq Soit f P Lp. En vertu de la densité de L2 dans Lp prouvée dans le corollaire

24.34 nous pouvons considérer une suite pfnq dans L2 telle que fn LpÝÑ f . Pour tout nnous avons

`pfnq “ Φgpfnq. (24.213)

Mais ` et Φg étant continues sur Lp nous pouvons prendre la limite et obtenir

`pfq “ Φgpfq. (24.214)

Lemme 24.61 ([7]).Soit pΩ,A, µq un espace mesuré et X Ă Ω une partie de mesure µpXq ă 8. Soit g P L1pΩq et Sfermé dans C. Si pour tout E P A nous avons

1µpEq

ż

egdµ P S, (24.215)

alors gpxq P S pour presque tout x P X.

Démonstration. Soit D “ Bpa, rq un disque fermé dans le complémentaire de S (ce dernier étantfermé, le complémentaire est ouvert). Posons E “ g´1pDq. Prouvons que µpEq “ 0 parce que celaprouverait que gpxq P D pour seulement un ensemble de mesure nulle. Mais Sc pouvant être écritcomme une union dénombrable de disques fermés 14, nous aurions gpxq P Sc presque nulle part.

Vu que 1µpEq

şE a “ a nous avons

ˇ 1µpEqgdµ´ a

ˇ “ ˇ 1µpEq

ż

Epg ´ aqˇ ď 1

µpEqż

E|g ´ a| ď 1

µpEqµpEqr “ r. (24.216a)

Donc1

µpEqż

Egdµ P D, (24.217)

ce qui est une contradiction avec le fait que D Ă Sc.14. Tout ouvert peut être écrit comme union dénombrable d’éléments d’une base de topologie par la proposition

6.17 et C a une base dénombrable de topologie par la proposition 6.60.

24.5. L’ESPACE L2 1305

Théorème 24.62 ([7, 176]).Soit 1 ď p ă 8 et un espace mesuré fini pΩ,A, µq. Soit q tel que 1

p ` 1q “ 1. Alors l’application

Φ: Lq Ñ pLpq1

Φgpfq “ż

Ωfgdµ

(24.218)

est une bijection isométrique.

Note : ici nous considérons dans Lp des fonctions à valeurs complexes, et donc les éléments dudual sont des applications linéaires continues à valeurs dans C.

Démonstration. Nous commençons par prouver que Φ est injectif. Soient g, g1 P Lq tels que Φg “Φg1 . Alors pour tout f P Lp nous avons

ż

Ωfpg ´ g1qdµ “ 0. (24.219)

En particulier pour tout ensemble mesurable A dans Ω,şApg ´ g1qdµ “ 0 parce que 1A P LppΩq

parce que nous avons supposé que l’espace était fini. La proposition 24.17 nous dit alors queg ´ g1 “ 0 dans Lq.

La partie difficile est de montrer que Φ est surjective.Soit φ P LppΩq1. Si φ “ 0, c’est bien dans l’image de Φ ; nous supposons donc que non. Nous

allons commencer par prouver qu’il existe une (classe de) fonction g P L1pΩq telle que Φgpfq “ φpfqpour tout f P L8pΩ, µq ; nous montrerons ensuite que g P Lq et que le tout est une isométrie.Une mesure complexe Si E P A nous notons νpEq “ φp1Eq. Nous prouvons maintenant

que ν est une mesure complexe 15 sur pΩ,Aq. a seule condition pas facile est la conditionde dénombrable additive. Il est déjà facile de voir que A et B sont disjoints, νpA Y Bq “νpAq`νpBq. Soient ensuite des ensembles An deux à deux disjoints et posons Ek “ Ť

iďk Aipour avoir

Ťk Ak “

Ťk Ek avec l’avantage que les Ek soient emboîtés. Cela donne

1E ´ 1Ekp “ µpEzEkq1p, (24.220)

mais vu que 1 ď p ă 8, avoir xk Ñ 0 implique d’avoir x1pk Ñ 0. Prouvons que µpEzEkq Ñ

0. En vertu du lemme 13.26 nous avons pour chaque k :

µpEzEkq “ µpEq ´ µpEkq, (24.221)

et vu que Ek Ñ E est une suite croissante, le lemme 13.27(1), sachant que µ est une mesure« normale », donne

limnÑ8µpEkq “ µ

`ď

k

Ek˘. (24.222)

Donc effectivement µpEkq Ñ µpEq et donc oui : µpEzEkq Ñ 0. Jusqu’à présent nous avons

limkÑ8 1E ´ 1Ekp “ 0, (24.223)

c’est à dire 1EkLpÝÑ 1E . La continuité de φ sur Lp donne alors

limkÑ8 νpEkq “ lim

kÑ8φp1Ekq “ φp limkÑ81Ekq “ φp1Eq “ νpEq. (24.224)

Par additivité finie de ν nous avons

νpEkq “ÿ

iďkνpAiq (24.225)

et en passant à la limite,ř8i“1 νpAiq “ νpŤiAiq. L’application ν est donc une mesure

complexe.15. Définition 13.147.

1306 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Mesure absolument continue En prime, si µpEq “ 0 alors νpEq “ 0 parce que

µpEq “ 0 ñ 1Ep “ 0 ñ 1E “ 0 (dans Lp)ñ φp1Eq “ 0 (24.226)

Utilisation de Radon-Nikodym Nous sommes donc dans un cas où ν ! µ et nous utilisonsle théorème de Radon-Nikodym 13.148 sous la forme de la remarque 13.149 : il existe unefonction intégrable g : Ω Ñ C 16 telle que pour tout A P A,

νpAq “ż

Agdµ. (24.227)

C’est à dire queφp1Aq “

ż

Agdµ “

ż

Ωg1Adµ. (24.228)

Nous avons donc exprimé φ comme une intégrale pour les fonctions caractéristiques d’en-sembles.

Pour les fonctions étagées Par linéarité si f est mesurable et étagée nous avons aussi

φpfq “żfgdµ “ Φgpfq. (24.229)

Pour f P L8pΩq Une fonction f P L8 est une fonction presque partout bornée. Nous supposonsque f est presque partout bornée parM . Par ailleurs cette f est limite uniforme de fonctionsétagées : fk ´ f8 Ñ 0 en posant fk “ f1|f |ďk. Pour chaque k nous avons l’égalité

Φgpfkq “ φpfkq. (24.230)

Par ailleurs la fonction fkg est majorée par la fonction intégrable Mg et le théorème de laconvergence dominée 13.134 nous donne

limkÑ8Φgpfiq “ lim

kÑ8

żfkg “

żfg “ Φgpfq. (24.231)

Et la continuité de φ sur Lp couplée à la convergence fk LpÝÑ f donne limkÑ8 φpfkq “ pfq.Bref prendre la limite dans (24.230) donne

Φgpfq “ φpfq (24.232)

pour tout f P L8pΩq.La suite . . . Voici les prochaines étapes.

— Nous avonsşfg “ φpfq tant que f P L8. Nous allons étendre cette formule à f P Lp

par densité. Cela terminera de prouver que notre application est une bijection.— Ensuite nous allons prouver que φ “ Φg, c’est à dire que la bijection est une isométrie.

De L8 à Lp Soit f P Lp. Si nous avions une suite pfnq dans L8 telle que fn LpÝÑ f alorslimφpfnq “ φpfq par continuité de φ. La difficulté est de trouver une telle suite de façon àpouvoir permuter l’intégrale et la limite :

limnÑ8

ż

Ωfng “

ż

ΩlimnÑ8 fng “

ż

Ωfg “ Φgpfq. (24.233)

Nous allons donc maintenant nous atteler à la tâche de trouver fn P L8 avec fn LpÝÑ f ettelle que (24.233) soit valide.Nous allons d’abord supposer que f P Lp est positive à valeurs réelles. Nous avons alorspar la proposition 13.106 qu’il existe une suite croissante de fonction étagées (et donc L8)

16. On peut écrire, pour utiliser de la notation compacte que g P L1pΩ,Cq.

24.5. L’ESPACE L2 1307

telles que fn Ñ f ponctuellement. De plus étant donné que |fn| ď |f |, la proposition 24.16nous dit que fn LpÝÑ f . Pour chaque n nous avons

ż

Ωfng “ φpfnq. (24.234)

Soit g` la partie réelle positive de g. Alors nous avons la limite croissante ponctuelle fng` Ñfg` et le théorème de la convergence monotone 13.129 nous permet d’écrire

limnÑ8

żfng

` “żfg`. (24.235)

Faisant cela pour les trois autres parties de g nous avons prouvé que si f P Lp est réelle etpositive, ż

fg “ φpfq, (24.236)

c’est à dire que Φgpfq “ φpfq.Refaisant le tout pour les trois autres parties de f nous montrons que

Φgpfq “ φpfq (24.237)

pour tout f P LppΩq. Nous avons donc égalité de φ et Φg dans pLpq1 et donc bijection entrepLpq1 et Lq.

Isométrie : mise en place Nous devons prouver que cette bijection est isométrique. Soit φ PpLpq1 et g P Lq telle que Φg “ φ. Il faut prouver que

gq “ φpLpq1 . (24.238)

φ ď gq Nous savons que φpfq “ şfg, et nous allons écrire la définition de la norme dans

pLpq1 :φpLpq1 “ sup

fp“1

ˇφpfqˇ (24.239a)

“ sup |żfg| (24.239b)

ď supż|fg|

loomoon“fg1

. (24.239c)

Il s’agit maintenant d’utiliser l’inégalité de Hölder 24.22 :

φ ď supfp“1

fpgq “ gq. (24.240)

L’inégalité dans l’autre sens sera démontrée en séparant les cas p “ 1 et 1 ă p ă 8.Si p “ 1 Si E est un ensemble mesurable, alors

|ż

Egdµ| “ ˇ

φp1Eqˇ. (24.241)

Mais le fait que µpΩq ă 8 donne que 1E P L1pΩq. Donc 1E P L8XL1 ; nous pouvons alorsécrire φp1Eq “

şΩ 1E gdµ et donc

|ż

Ω1E gdµ| “ |

ż

Egdµ| “ ˇ

φp1Eqˇ ď φpL1q11E1 “ φµpEq. (24.242)

Pour utiliser le lemme 24.61, nous écrivons cela dans l’autre sens :

φ ě 1µpEq |

ż

Ω1E gdµ| “ | 1

µpEqż

Egdµ|. (24.243)

1308 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Si nous prenons S “ tt P C tel que |t| ď φu, c’est un fermé vérifiant que

1µpEq

ż

Egdµ P S, (24.244)

donc g P S presque partout, ce qui signifie que g8 P S. Nous en concluons que

g8 ď φ (24.245)

et donc que g P L8.Notons que cet argument ne tient pas avec p ‰ 1 parce que l’équation (24.242) termi-nerait sur φµpEq1p. Du coup l’ensemble S à prendre serait S “ tt P C tel que |t| ďφµpEq1p´1u et nous sommes en dehors des hypothèses du lemme parce qu’il n’y a pasd’ensemble indépendant de E dans lequel l’intégrale 1

µpEqşE gdµ prend ses valeurs.

1 ă p ă 8 La fonction

αpxq “#

gpxq|gpxq| si gpxq ‰ 01 si gpxq “ 0

(24.246)

a la propriété de faire αg “ |g| en même temps que |αpxq| “ 1 pour tout x. Nous définissons

En “ tx tel que |gpxq| ď nu (24.247)

etfn “ 1En |gq´1|α. (24.248)

Ce qui est bien avec ces fonctions c’est que 17

|fn|p “ |gppq´1q|α|p “ |g|q (24.249)

sur En. Dans En nous avons |fn| “ |gq´1| ď nq´1 et dans En nous avons fn “ 0. Au final,fn P L8. Par ce que nous avons vu plus haut, nous avons alors

φpfnq “ Φgpfnq. (24.250)

Par ailleurs,fng “ 1En |gq´1| g|g| g, (24.251)

donc 18

ˇˇż

En

|g|qdµˇˇ “ |

ż

Ωfngdµ| “ |φpfnq| ď φfnp “ φ

ˆż

En

|fn|p˙1p

“ φˆż

En

|g|q˙1p

.

(24.252)Nous avons de ce fait une inégalité de la forme A ď φA1p et donc aussi A1p ď φ1pA1p2 ,et donc A ď φφ1pA1p2 . Continuant ainsi à injecter l’inégalité dans elle-même,

ˇˇż

En

|g|qdµˇˇ ď φ1`

1p`¨¨¨` 1

pk

ˆż

En

|g|qdµ˙1pk

. (24.253)

Nous pouvons passer à la limite k Ñ8. Sachant que p ą 1 nous savons A1k Ñ 1 et

1` 1p` ¨ ¨ ¨ ` 1

pkÑ p

p´ 1 “ q. (24.254)

Nous avons alors ż

En

|g|qdµ ď φq. (24.255)

17. C’est ici que nous utilisons le lien entre p et q. En l’occurrence, de 1p` 1q “ 1 nous déduisons qpp´ 1q “ p.18. Dans [7], cette équation arrive sans modules, ce qui me laisse entendre que φpfnq est réel et positif pour pouvoir

écrire que φpfnq ď φfnp, mais je ne comprends pas pourquoi.

24.5. L’ESPACE L2 1309

L’intégrale s’écrit tout aussi bien sous la formeşΩ |g|q1En . La fonction dans l’intégrale est

une suite croissante de fonctions mesurables à valeurs dans r0,8s. Nous pouvons alorspermuter l’intégrale et la limite n Ñ 8 en utilisant la convergence monotone (théorème13.129) qui donne alors

şΩ |g|q ď φq ou encore

gq ď φ. (24.256)

Ceci achève de prouver que l’application φ ÞÑ Φg est une isométrie, et donc le théorème.

Définition 24.63.Un espace V est réflexif si l’injection naturelle V Ñ V 1 est surjective.

Théorème 24.64 (Théorème de représentation de Riesz[283, 181]).Nous considérons pour ce théorème des fonctions à valeurs réelles.

Soit l’espace mesuré pΩ,A, µq et 1 ă p ă 8.(1) L’espace LppΩq est réflexif.(2) Si q est le nombre tel que 1

p ` 1q “ 1 alors l’application

Φ: Lq Ñ pLpq1

u ÞÑ´

Φu : f Ñż

Ωfu dµ

¯ (24.257)

est une bijection isométrique.Si µ est une mesure σ-finie, alors

(1) pL1q1 “ L8

(2) L1 Ă pL8q1 avec une inclusion stricte sauf dans les cas triviaux.

Proposition 24.65.Soit f P LppΩq telle que ż

Ωfϕ “ 0 (24.258)

pour tout ϕ P C8c pΩq. Alors f “ 0 presque partout.

Démonstration. Nous considérons la forme linéaire Φf P pLqq1 donnée par

Φf : Lp Ñ C

u ÞÑż

Ωfu

(24.259)

Par hypothèse cette forme est nulle sur la partie dense C8c pΩq. Si pϕnq est une suite dans C8c pΩqconvergente vers u dans Lp, nous avons pour tout n que

0 “ Φf pϕnq (24.260)

En passant à la limite, nous voyons que Φf est la forme nulle. Elle est donc égale à Φ0. La partie« unicité » du théorème de représentation de Riesz 24.64 nous indique alors que f “ 0 dans Lp etdonc f “ 0 presque partout.

Proposition 24.66.Si f P L1

locpIq est telle que ż

Ifϕ1 “ 0 (24.261)

pour tout ϕ P C8c pIq, alors il existe une constante C telle que f “ C presque partout.

1310 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Démonstration. Soit ψ P C8c pIq une fonction d’intégrale 1 sur I. Si w P C8c pIq alors nous considé-rons la fonction

h “ w ´ ψż

Iw, (24.262)

qui est dans C8c pIq et dont l’intégrale sur I est nulle. Par la proposition 18.11, la fonction h admetune primitive dans C8c pIq ; et nous notons ϕ cette primitive. L’hypothèse appliquée à ϕ donne

0 “ż

Ifϕ1 “

ż

If

ˆw ´ ψ

ż

Iw

˙“

ż

Ifw ´

ˆż

Ifpxqψpxqdx

˙

loooooooooomoooooooooonC

ˆż

Iwpyqdy

˙“

ż

Iwpf ´ Cq.

(24.263)L’annulation de la dernière intégrale implique par la proposition 24.65 que f ´ C “ 0 dans L2,c’est à dire f “ C presque partout.

24.6 Théorèmes de Hahn-BanachThéorème 24.67 (Hahn-Banach[284, 62]).Soit E, un espace vectoriel réel et une application p : E Ñ R satisfaisant

(1) ppλxq “ λppxq pour tout x P E et pour tout λ ą 0,(2) ppx` yq ď ppxq ` ppyq pour tout x, y P E.

Soit de plus G Ă E un sous-espace vectoriel muni d’une application g : GÑ R vérifiant gpxq ď ppxqpour tout x P G. Alors il existe f P LpE,Rq telle que fpxq “ gpxq pour tout x P G et fpxq ď ppxqpour tout x P E.

Démonstration. Si h une application linéaire définie sur un sous-espace de E, nous notons Dh leditsous-espace.Un ensemble inductif Nous considérons P , l’ensemble des fonctions linéaires suivant

P “!h : Dh Ñ R tel que

$’&’%

G Ă Dh

hpxq “ gpxq @x P Ghpxq ď ppxq @x P Dh

)(24.264)

Cet ensemble est non vide parce que g est dedans. Nous le munissons de la relation d’ordreh1 ď h2 si et seulement si Dh1 Ă Dh2 et h2 prolonge h1. Nous montrons à présent que P estun ensemble inductif. Soit un sous-ensemble totalement ordonné Q Ă P ; nous définissonsune fonction h de la façon suivante. D’abord Dh “ suplPQDl et ensuite

h : Dh Ñ R

x ÞÑ lpxq si x P Dl

(24.265)

Cela est bien définit parce que si x P Dl XDl1 alors, vu que Q est totalement ordonné (i.e.l ď l1 ou l1 ď l), on a obligatoirement Dl Ă Dl1 et l1 qui prolonge l (ou le contraire). Donch est un majorant de Q dans P parce que h ě l pour tout l P Q. Cela montre que P estinductif (définition 2.9). Le lemme de Zorn 2.10 nous dit alors que P possède un maximumf qui va être la réponse à notre théorème.

Le support de f La fonction f est dans P ; donc fpxq ď ppxq pour tout x P Dh et fpxq “ gpxqpour tout x P G. Pour terminer nous devons montrer que Df “ E. Supposons donc queDf ‰ E et prenons x0 R Df . Nous allons contredire la maximalité de f en considérant lafonction h donnée par Dh “ Df `Rx0 et

hpx` tx0q “ fpxq ` tα (24.266)

où α est une constante que nous allons fixer plus tard.

24.6. THÉORÈMES DE HAHN-BANACH 1311

Nous commençons par prouver que f est dans P . Nous devons prouver que

hpx` tx0q “ fpxq ` tα ď ppx` tx0q (24.267)

Pour cela nous allons commencer par fixer α pour avoir les relations suivantes :"fpxq ` α ď ppx` x0q (24.268a)fpxq ´ α ď ppx´ x0q (24.268b)

pour tout x P Df . Ces relations sont équivalentes à demander α tel que"α ď ppx` x0q ´ fpxq (24.269a)α ě fpxq ´ ppx´ x0q (24.269b)

Nous nous demandons donc s’il existe un α qui satisfasse

supyPDf

`fpyq ´ ppy ´ x0q

˘ ď α ď infzPDf

`ppz ` x0q ´ fpzq

˘. (24.270)

Ou encore nous devons prouver que pour tout y, z P Df ,

ppz ` x0q ´ fpxq ě fpyq ´ ppy ´ x0q ě 0. (24.271)

Par les propriétés de p et de f ,

ppz ` x0q ` ppy ´ x0q ´ fpzq ´ fpyq ě ppz ` yq ´ fpz ` yq ě 0. (24.272)

La dernière inégalité est le fait que f P P . Un choix de α donnant les inéquations (24.268)est donc possible.À partir des inéquations (24.268) nous obtenons la relation (24.267) de la façon suivante.Si t ą 0 nous multiplions l’équation (24.268a) par t :

tfpxq ` tα ď tppx` x0q. (24.273)

Et nous écrivons cette relation avec xt au lieu de x en tenant compte de la linéarité de f :

fpxq ` tα ď tp`xt` x0

˘ “ ppx` tx0q. (24.274)

Avec t ă 0, c’est similaire, en faisant attention au sens des inégalités.Nous avons donc construit h : Dh Ñ R avec h P P , Df Ă Dh et hpxq “ fpxq pour toutx P Df . Cela pour dire que h ą f , ce qui contredit la maximalité de f . Le domaine de fest donc E tout entier.La fonction f est donc une fonction qui remplit les conditions.

Définition 24.68.Un espace topologique est localement convexe si tout point possède un système fondamental devoisinages formé de convexes.

Définition 24.69 (Hyperplan qui sépare).Soit E un espace vectoriel topologique ainsi que A, B des sous-ensembles de E. Nous disons quel’hyperplan d’équation f “ α sépare au sens large les parties A et B si fpxq ď α pour toutx P A et fpxq ě α pour tout x P B.

La séparation est au sens strict s’il existe ε ą 0 tel que

fpxq ď α´ ε pour tout x P A (24.275a)fpxq ě α` ε pour tout x P B. (24.275b)

1312 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Théorème 24.70 (Hahn-Banach, première forme géométrique[62]).Soit E un espace vectoriel topologique et A, B deux convexes non vides disjoints de E. Si A estouvert, il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

Théorème 24.71 (Hahn-Banach, seconde forme géométrique).Soit un espace vectoriel topologique localement convexe 19 ainsi que des convexes non vides disjointsA et B tels que A soit compact et B soit fermé. Alors il existe un hyperplan fermé qui séparestrictement A et B.

Démonstration. Vu que B est fermé, A est dans l’ouvert EzB. Donc si a P A, il existe un voisinageouvert convexe de a inclus à A. Soit Ua un voisinage ouvert et convexe de 0 tel que pa`UaqXB “ H.

Vu que la fonction px, yq ÞÑ x` y est continue, nous pouvons trouver un ouvert convexe Va telque Va`Va Ă Ua. L’ensemble a`Va est alors un voisinage ouvert de a et bien entendu

Ťapa`Vaq

recouvre A qui est compact. Nous en extrayons un sous-recouvrement fini, c’est à dire que nousconsidérons a1, . . . , an P A tels que

A Ănď

i“1pai ` Vaiq. (24.276)

Nous posons alors

V “nč

i“1Vai . (24.277)

Cet ensemble est non vide parce et il contient un voisinage de zéro parce que c’est une intersectionfinie de voisinages de zéro. Soit x P A` V . Il existe i tel que

x P ai ` Uai ` V Ă ai ` Vai ` Vai Ă ai ` Uai Ă EzB. (24.278)

Donc pA`V qXB “ H. L’ensemble A`V est alors un ouvert convexe disjoint de B. Par la premièreforme géométrique du théorème de Hahn-Banach 24.70 nous avons un hyperplan qui sépare A`Vde B au sens large : il existe f P E1zt0u tel que fpaq`fpvq ď fpbq pour tout a P A, v P V et b P B.

Il suffit donc de trouver un v P V tel que fpvq ‰ 0 pour avoir la séparation au sens strict. Celaest facile : V étant un voisinage de zéro et f étant linéaire, si elle était nulle sur V , elle serait nullesur E.

24.7 Théorème de Tietze

Définition 24.72.Si E et F sont des espaces normés, une application f : E Ñ F est presque surjective s’il existeα P s0, 1r et C ą 0 tels que pour tout y P BF p0, 1q, il existe x P BEp0, Cq tel que y ´ fpxq ď α.

Lemme 24.73 ([2]).Soient E et F des espaces de Banach et f P LpE,F q 20. Si f est presque surjective, alors

(1) f est surjective

(2) pour tout y P BF p0, 1q, il existe x P BEp0, C1´αq tel que y “ fpxq.

Le point (2) est une précision du point (1) : il dit quelle est la taille de la boule de E nécessaireà obtenir la boule unité dans F .

Démonstration. Soit y P BF p0, 1q. Nous allons construire x P B`0, C1´α

˘qui donne fpxq “ y. Ce

x sera la limite d’une série que nous allons construire par récurrence. Pour n “ 1 nous utilisonsla presque surjectivité pour considérer x1 P BEp0, Cq tel que y ´ fpx1q ď α. Ensuite nousconsidérons la récurrence

xn P BEp0, Cq (24.279)

19. Définition 24.68.20. L’ensemble des applications linéaires continues

24.7. THÉORÈME DE TIETZE 1313

tel que››y ´

nÿ

i“1αi´1fpxiq

›› ď αn (24.280)

Pour montrer que cela existe nous supposons que la série est déjà construire jusqu’à n ą 1 :

1αn

´y ´

nÿ

i“1αi´1fpxiq

¯P BF p0, 1q (24.281)

À partir de là, par presque surjectivité il existe un xn`1 P BEp0, Cq tel que››y ´

řni“1 α

i´1fpxiqαn

´ fpxn`1q›› ď α. (24.282)

En multipliant par αn, le terme αnfpxn`1q s’intègre bien dans la somme :

››y “n`1ÿ

i“1αi´1fpxiq

›› ď αn`1. (24.283)

Nous nous intéressons à une éventuelle limite à la somme des αn´1xn. D’abord nous avons lamajoration αn´1xn ď αn´1C, et vu que par la définition de la presque surjectivité 0 ă α ă 1, lasérie 8ÿ

n“1αn´1xn (24.284)

converge absolument 21 parce que la suite des normes est une suite géométrique de raison α. Vuque E est de Banach, la convergence absolue implique la convergence simple (la suite des sommespartielles est de Cauchy et Banach est complet). Nous posons

x “8ÿ

n“1αn´1xn P E, (24.285)

et en termes de normes, ça vérifie

x ď8ÿ

n“1αn´1xn ď C

8ÿ

n“1αn´1 “ C

1´ α. (24.286)

Donc c’est bon pour avoir x P B`0, C1´α

˘. Nous devons encore vérifier que y “ fpxq. Pour cela nous

remarquons que

y ´ f´ Nÿ

n“1αn´1xn

¯ ď αN . (24.287)

Nous pouvons prendre la limite N Ñ8 et permuter f avec la limite (par continuité de f). Vu que0 ă α ă 1 nous avons

y ´ fpxq “ 0. (24.288)

Théorème 24.74 (Tietze[2, 209]).Soit un espace métrique pX, dq et un fermé Y Ă X. Soit g0 P C0pY,Rq. Alors g0 admet unprolongement continu sur X.

Démonstration. Soit l’opération de restriction

T : pC0b pX,Rq, .8q Ñ pC0

b pY,Rq, .8qf ÞÑ f |Y .

(24.289)

L’application T est évidemment linéaire. Elle est de plus borné pour la norme opérateur usuelledonnée par la proposition 10.5 parce que T pfq ď f ă 8. L’application T est alors continuepar la proposition 10.18.21. Définition 10.45.

1314 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Presque surjection Soit g P C0b pY,Rq avec g8 ď 1. Nous posons

Y ` “ tx P Y tel que 13 ď gpxq ď 1u (24.290a)

Y ´ “ tx P Y tel que ´ 1 ď gpxq ď ´13u. (24.290b)

Nous considérons alorsf : X Ñ R

x ÞÑ 13dpx, Y ´q ´ dpx, Y `qdpx, Y ´q ` dpx, Y `q

(24.291)

Vu qu’en valeur absolue le dénominateur est plus grand que le numérateur nous avonsf8 ď 1

3 . Notons que— Si x P Y ` alors fpxq “ 1

3 et gpxq P r13 , 1s ;— Si x P Y ´ alors fpxq “ ´1

3 et gpxq P r´1,´13 s ;

— Si x n’est ni dans Y ` ni dans Y ´ alors nous avons 22 gpxq P r´13 ,

13 s et donc

ˇfpxq´gpxqˇ ďˇ

fpxqˇ` ˇgpxqˇ ď 2

3 .Dans les deux cas nous avons

ˇfpxq ´ gpxqˇ P r0, 2

3 s pour tout x P X. Cela prouve que

T pfq ´ gY,8 ď 23 . (24.292)

En résumé nous avons pris g dans la boule Bp0, 1q de`C0b pY,Rq, .8

˘et nous avons

construit une fonction f dans la boule Bp0, 13q de

`C0b pX,Rq, .8

˘telle que T pfq´g8 ď 2

3 .L’application T est donc une presque surjection avec α “ 1

3 et C “ 23 .

Prolongement dans les boules unité fermées La proposition 12.299 nous assure que lesespaces C0

b pX,Rq et C0b pY,Rq sont de Banach (complets), et le lemme 24.73 nous dit alors

que T est surjective et que pour tout g P Bp0, 1q, il existe

f P B˜

0, 131´ 2

3

¸“ Bp0, 1q. (24.293)

telle que g “ T pfq.Prolongement pour les boules ouvertes Jusqu’à présent nous avons montré qu’une fonc-

tion g P Bp0, 1q admet une prolongement continu dans Bp0, 1q. Nous allons montrer que sig est dans la boule ouverte Bp0, 1q de `C0

b pY,Rq, .8˘alors g admet un prolongement dans

la boule ouverte Bp0, 1q de `C0b pX,Rq, .8

˘.

Soit g P BC0bpY qp0, 1q et son prolongement h P BC0

bpXqp0, 1q. Si h8 ă 1 alors le résultat est

vrai. Sinon nous considérons l’ensemble

Z “ tx P X tel que |hpxq| “ 1u. (24.294)

Nous avons Y XZ “ H parce que nous avons h “ g sur Y et nous avons choisi g8 ă 8. Parailleurs Y est fermé par hypothèse et Z est fermé parce que h est continue ; par conséquentY X Z est fermé, donc 23

Y X Z “ Y X Z “ H. (24.295)

Nous posonsu : X Ñ R`

x ÞÑ dpx, Zqdpx, Y q ` dpx, Zq

(24.296)

22. Nous rappelons que g “ 1, donc gpxq est forcément ente ´1 et 1.23. Si vous avez l’intention de dire que Y X Z “ Y X Z “ Y XZ “ H, allez d’abord voir l’exemple 6.180. Ici c’est

correct parce que Y et Z sont fermés.

24.8. ESPACE DE SCHWARTZ 1315

Le dénominateur n’est pas nul parce qu’il faudrait dpx, Y q “ dpx, Zq “ 0, ce qui demanderaitx P Y X Z, ce qui n’est pas possible. Nous posons f “ uh. Si x P Y alors upxq “ 1, doncf est encore un prolongement de g. De plus f est encore continue, et donc encore un boncandidat. Enfin si x est hors de Y alors dpx, Y q ą 0 (strictement parce que Y est fermé) etdonc 0 ă upxq ă 1, ce qui donne |fpxq| ă |hpxq| ď 1. Donc f8 ă 1.Nous avons donc trouvé qu’une fonction dans la boule ouverte BC0

bpY qp0, 1q se prolonge en

une fonction dans la boule ouverte BC0bpXqp0, 1q.

Le cas non borné Soit enfin g0 P C0pY,Rq. Nous allons nous ramener au cas de la boule unitéouverte en utilisant un homéomorphisme φ : RÑ s´1, 1r. L’application g “ φ ˝ g0 est dansla boule unité ouvert de C0pY,Rq et donc admet un prolongement f dans la boule unitéouverte de C0pXq. L’application f0 “ φ´1 ˝ f est un prolongement continu de g0.

Un homéomorphisme φ : RÑ s´1, 1r est donné par exemple par la fonction φptq “ 2π arctanptq

dont le graphique est donné ci-dessous :

24.8 Espace de SchwartzPour un multiindice α “ pα1, . . . , αdq P Nd, nous notons

Bαϕ “ Bα1x1 . . . Bαdxdϕ (24.297)

pour peu que la fonction ϕ soit |α| “ α1 ` ¨ ¨ ¨ ` αd fois dérivable.

Définition 24.75.Soit Ω Ă Rd. L’espace de Schwartz S pΩq est le sous-ensemble de C8pΩq des fonctions donttoutes les dérivées décroissent plus vite que tout polynôme :

S pΩq “ ϕ P C8pΩq tel que @α, β P Nd, pα,βpϕq ă 8

((24.298)

où nous avons considéré

pα,βpϕq “ supxPΩ

|xβpBαϕqpxq| “ xβBαϕ8. (24.299)

Pour simplifier les notations (surtout du côté de Fourier), nous allons parfois écrire Miϕ pourla fonction x ÞÑ xiϕpxq.Exemple 24.76La fonction e´x2 est une fonction à décroissance rapide sur R. 4

Définition 24.77.Une fonction f : Rd Ñ C est dite à décroissance rapide si elle décroît plus vite que n’importequel polynôme. Plus précisément, si pour tout polynôme Q, il existe un r ą 0 tel que |fpxq| ă 1

|Qpxq|pour tout x ě r.

Proposition 24.78.Une fonction Schwartz est à décroissance rapide.

1316 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Démonstration. Nous commençons par considérer un polynôme P donné par

P pxq “ÿ

k

ckxβk (24.300)

où les βk sont des multiindices, les ck sont des constantes et la somme est finie. Nous avons lamajoration

supxPRd

|ϕpxqP pxq| ďÿ

k

supx

ˇckϕpxqxβk

ˇ ďÿ

k

|ck|p0,βkpϕq ă 8. (24.301)

Nous allons noter MP la constanteřk |ck|p0,βkpϕq, de sorte que pour tout x P Rd nous ayons

|ϕpxqP pxq| ďMP et donc|ϕpxq| ď MP

|P pxq| “1

| 1MP

P pxq| . (24.302)

Notons que cette inégalité est a fortiori correcte pour les x sur lesquels P s’annule.Soit maintenant un polynôme Q. Nous considérons le polynôme P pxq “ xQpxq. Étant de

plus haut degré, pour toute constante C il existe un rayon rC tel que |P pxq| ě C|Qpxq| pour tout|x| ě rC . En particulier pour |x| ě rMP

nous avons

|P pxq| ěMP |Qpxq| (24.303)

et donc, pour ces x,|ϕpxq| ď 1

| 1MP

P pxq| ď1

|Qpxq| . (24.304)

La première inégalité est valable pour tout x, et la seconde pour x ě rMP.

Corollaire 24.79 ([1]).Soit ϕ une fonction Schwartz sur Rm ˆRn. Alors la fonction

y ÞÑ supxPRn

|ϕpx, yq| (24.305)

est intégrable.

Démonstration. Soit un polynôme Q en la variable y. Par la proposition 24.78, il existe r ą 0 telque

|ϕpx, tq| ă 1Qpyq (24.306)

pour tout px, yq ą r. A fortiori l’inégalité tient pour tout |y| ą r. Doncż

RmsupxPRn

|ϕpx, yq|dy “ż

yďrsupx|ϕpx, yq|dy `

ż

yąrsupx|ϕpx, yq|dy. (24.307)

La première intégrale est bornée par Vol`Bp0, rq˘f8 tandis que la seconde est bornée par l’in-

tégrale de 1Qpyq . En prenant Q de degré suffisamment élevé en toutes les composantes de y nous

avons intégrabilité.

24.8.1 Topologie

Lemme-définition 24.80.Les pα,β donnés par l’équation (24.299) ci-dessus sont des semi-normes 24. La topologie considéréesur S pRdq est celle des semi-normes pα,β.

24.81.Nous avons un enchaînement de résultats qui nous aident à prouver la continuité d’une applicationT : S pRdq Ñ X.

24. Définition 6.190.

24.8. ESPACE DE SCHWARTZ 1317

(1) La topologie de S pRdq est donnée par une famille dénombrable de semi-normes. Donc laproposition 6.133 nous dit que S pRdq est métrisable.

(2) La proposition 6.141 nous dit alors que siX est métrique, toute application séquentiellementcontinue T : S pRdq Ñ X est continue.

(3) Donc si X est métrique, il suffit de prouver que pour fnS pRdqÝÑ 0 nous avons T pfnq XÝÑ 0 où

fn : S pRdq Ñ X. Dans les cas usuels, T sera une distribution et X “ C.(4) En vertu de la proposition 6.193, la convergence fn

S pRdqÝÑ 0 signifie que pour tout choix demultiindice α et β, pα,βpfnq Ñ 0, c’est à dire

xβBαfn8 Ñ 0. (24.308)

(5) Et enfin, la technique pour montrer que T : S pRdq Ñ C est continue est de montrer quesous l’hypothèse d’avoir (24.308) pour tout choix de α et β, nous avons T pfnq Ñ 0 dans C.

Lemme 24.82 ([4]).La topologie sur S pRdq est donnée aussi par les semi-normes

qn,m “ max|α|ďn

supxPRd

`1` x˘m ˇBαϕpxqˇ. (24.309)

Autrement dit, une suite ϕnS pRdqÑ 0 si et seulement si qn,mpϕq Ñ 0 pour tout n et m.

Le fait que les qn,mpϕq restent bornés est la proposition 24.78. Cependant ce lemme est plusprécis parce qu’en disant seulement que ϕ est majoré par des polynôme, nous ne disons pas queles polynômes correspondants aux ϕn tendent vers zéro si ϕn SÑ 0. Et d’ailleurs on ne sait pas trèsbien ce que signifierait Pn Ñ 0 pour une suite de polynômes.

Proposition 24.83.Pour p P r1,8s, l’espace S pRdq s’injecte continument dans LppRdq.Démonstration. L’injection dont nous parlons est l’identité ou plus précisément l’identité suivie dela prise de classe. Il faut vérifier que cela est correct et continu, c’est à dire d’abord qu’une fonctionà décroissance rapide est bien dans Lp et ensuite que si fn SÑ 0, alors fn LpÑ 0.

Commençons par p “ 8. Alors fn8 “ p0,0pfnq Ñ 0 parce que si fn SÑ 0, alors en particulierp0,0pfnq Ñ 0.

Au tour de p ă 8 maintenant. Nous savons qu’en dimension d, la fonction

x ÞÑ 1p1` xqs (24.310)

est intégrable dès que s ą d. Pour toute valeur de m nous avons

ϕpp “ż

Rd|ϕpxq|pdx “

ż

Rd

ˇp1` xqmϕpxqˇp`1` x˘mp ď

ż

Rd

q0,mpϕqp`1` x˘mp . (24.311)

En choisissantm de telle sorte quemp ą d, nous avons convergence de l’intégrale et donc ϕp ă 8.Nous retenons que

ϕpp ď Cq0,mpϕqp (24.312)

pour une certaine constance C et un bon choix de m.Ceci prouve que S pRdq Ă LppRdq. Nous devons encore vérifier que l’inclusion est continue.

Si ϕn SÑ 0, alors en particulier nous avons q0,mpϕnq Ñ 0 par le lemme 24.82. Par conséquent lamajoration (24.312) nous dit que ϕnp Ñ 0 également.

En résumé, si ϕnS pRdqÑ ϕ alors ϕn LpÑ ϕ.

1318 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Théorème 24.84 ([179]).Soit µ une mesure sur les boréliens de Rn finie sur les compacts. Alors DpRnq est dense dansL1pRn,BorpRnq, µq.

Proposition 24.85 ([285]).La partie DpRdq est dense dans S pRdq.Démonstration. Soit f P S pRdq, et φ, une fonction de DpRdq telle que φpxq “ 1 pour |x| ď 1(l’existence de telles fonctions est discutée en 15.13.1). Soit aussi φkpxq “ φpxkq. Nous posons

fkpxq “ φkpxqfpxq, (24.313)

et nous allons prouver que pour tout multiindices α et γ,

pα,γpfk ´ fq “ xγBαpfk ´ fq8 Ñ 0. (24.314)

Pour cela nous allons noter β ď α lorsque β est un multiindice contenu dans α. En utilisant ladérivée du produit nous avons

pBαfkqpxq “ÿ

βďαpBα´βφkqpxqBβfpxq (24.315a)

“ÿ

βďαk´|α´β|pBα´βφqpxkqpBβfqpxq (24.315b)

“ÿ

βăαk´|α´β|pBα´βφqpxkqpBβfqpxq ` φpxkqpBαfqpxq. (24.315c)

Nous devons donc étudier et majorer

supxPRd

|xγBαpfk ´ fq| ď supˇxγ

ÿ

βăαk´|α´β|pBα´βφqpxkqpBβfqpxqˇ

` supˇxγ

`φpxkq ´ 1

˘pBαfqpxqˇ(24.316)

En ce qui concerne le second terme, soit ε ą 0, vu que f est Schwartz, il existe R tel que

|xγpBαfqpxq| ă ε (24.317)

dès que x ą R. En prenant k ą R,

|xγpBαfqpxq|#“ 0 si x ă R

ď ε si x ą R.(24.318)

En ce qui concerne le premier terme,

supxPRd

ˇxγ

ÿ

βăαk´|α´β|pBα´βφqpxkqpBβfqpxq

ˇˇ (24.319a)

ď 1k

supx

ˇ ÿ

βăαpBα´βφqpxkqpxγBβfqpxqˇ (24.319b)

“ 1k

supx

ˇ ÿ

βăαpBα´βφqpxkqpβ,γpfq

ˇ(24.319c)

La somme ne contient qu’un nombre fini de β différents, donc nous pouvons considérer un nombreK qui majore tous les pβ,γpfq en même temps. La partie avec φ peut être majorée par Bα´βφ8(qui est fini) dont nous pouvons prendre le maximum sur β ă α. Toute l’expression dans la sommeest donc majorée par un nombre qui ne dépend ni de x ni de β. Vu que la somme est finie, elle estmajorée par ce nombre multiplié par le nombre de termes dans la somme et au final

supxPRd

ˇxγ

ÿ

βăαk´|α´β|pBα´βφqpxkqpBβfqpxq

ˇˇ ď K 1

k. (24.320)

La limite k Ñ8 ne fait alors plus de doutes.

24.8. ESPACE DE SCHWARTZ 1319

Remarque 24.86.Vu la topologie de S pRdq (définition 24.80), la convergence fk

S pRdqÝÑ f peut être exprimée par lefait que pour tout k, l,

tkf plqnunifÝÑ tkf plq. (24.321)

C’est à dire convergence uniforme de toutes les dérivées multipliées par n’importe quel polynôme.

24.8.2 Produit de convolution

Proposition 24.87 (Stabilité de Schwartz par convolution 25 [282]).Si ϕ P L1pRdq et ψ P S pRdq, alors ϕ ˚ ψ P S pRdq.Démonstration. Nous devons prouver que

pα,βpϕ ˚ ψq “ supxPRd

|xβpBαpϕ ˚ ψqqpxq| (24.322)

est borné pour tout multiindices α et β. En appliquant |α| fois la proposition 24.41, nous mettonstoutes les dérivées sur ψ : Bαpϕ ˚ ψq “ pϕ ˚ Bαψq. Cela étant fait, nous majorons

ˇxβpϕ ˚ Bαψqpxqˇ ď |xβ|

ż

Rd|ϕpyq| ˇpBαψqpx´ yqˇlooooooomooooooon

ďBαψ8

dyˇ

(24.323a)

ď |xβ|Bαψ8ż

Rd|ϕpyq|dy (24.323b)

ď pα,βpψqϕL1 . (24.323c)

Par conséquent, pα,βpϕ ˚ ψq ď ϕL1pα,βpψq ă 8.

25. Définition 24.38.

1320 CHAPITRE 24. ANALYSE FONCTIONNELLE

Chapitre 25

Analyse complexe

25.1 Fonctions holomorphes

La dérivée complexe est discutée à la section 15.1.

25.1.1 Équations de Cauchy-Riemann

Notons que la formule (15.19) donne un développement limité pour les fonctions holo-morphes. Si f est holomorphe en z0 alors si z est dans un voisinage de z0, il existe une fonctions : RÑ C telle que limtÑ0 sptqt “ 0 et

fpzq “ fpz0q ` f 1pz0qpz ´ z0q ` sp|z ´ z0|q. (25.1)

Nous introduisons les opérateurs

BBz “ B “

12

ˆ BBx ´ i

BBy

˙(25.2a)

BBz “ B “

12

ˆ BBx ` i

BBy

˙(25.2b)

Si f est une fonction C-dérivable représentée par la fonction F “ P ` iQ, les équations de Cauchy-Riemann signifient que ∆P “ ∆Q “ 0, c’est à dire que la fonction f a des composantes harmo-niques.

Théorème 25.1.Si f P C1pΩq alors nous avons équivalence des faits suivants :

(1) f est holomorphe sur Ω,(2) f vérifie Bzf “ 0.

Proposition 25.2.Une application f : Ω Ñ C est C-dérivable sur Ω si et seulement si elle est différentiable et

$’’&’’%

BuBx “

BvBy (25.3a)

BuBy “ ´

BvBx (25.3b)

où fpx` iyq “ upx, yq ` ivpx, yq. Ces équations se notent de façon plus compacte

BfBz “ 0. (25.4)

Les équations (25.3) sont les équations de Cauchy-Riemann.

1321

1322 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Démonstration. La différentielle de f : R2 Ñ R2 est donnée par la matrice

T “ˆBxupaq ByupaqBxvpaq Byvpaq

˙. (25.5)

Cette matrice est une similitude si et seulement si les équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

En effet si 1 “ˆ

10

˙et i “

ˆ01

˙, la matrice T est une similitude (écrivons α` iβ son coefficient) si

"T p1q “ α` iβ (25.6a)T piq “ ´β ` iα, (25.6b)

c’est à direT “

ˆα ´ββ α

˙. (25.7)

Identifier cette matrice à (25.5) fournit le résultat annoncé.

Proposition 25.3.Si f : CÑ C est holomorphe, alors nous avons

dfz0 “ pBzfqpz0q (25.8)

au sens où l’opérateur linéaire dfz0 : CÑ C est l’opération de multiplication par le nombre complexepBzfqpz0q.Démonstration. Soit fpx` iyq “ f1px, yq` if2px, yq une fonction holomorphe. Les fonctions réellesf1 et f2 sont assujetties aux équations de Cauchy-Riemann de la proposition 25.2 :

" Bxf1 “ Byf2 (25.9a)Bxf2 “ ´Byf1. (25.9b)

Nous avons, en recourant à un petit abus de notation entre fi : R2 Ñ R et fi : CÑ R :

dfz0puq “d

dt

”fpz0 ` tuq

ıt“0

(25.10a)

“ d

dt

”f1pz0 ` tuq ` if2pz0 ` tuq

ıt“0

(25.10b)

“ Bxf1u1 ` Byf1u2 ` i`Bxf2u1 ` Byf2u2

˘(25.10c)

“ˆBxf1 Byf1Bxf2 Byf2

˙ˆu1u2

˙(25.10d)

“ˆ Bxf1 Byf1´Byf1 Byf2

˙ˆu1u2

˙. (25.10e)

En utilisant le lemme 15.4 nous reconnaissons la matrice de multiplication par le nombre Bxf1 ´iByf1. Or justement,

Bzf “ 12

ˆ BBx ´ i

BBy

˙f “ 1

2`Bxf1 ` iBxf2 ´ iByf1 ` Byf2

˘, (25.11)

qui se réduit à Bxf1 ´ iByf1 lorsque nous y appliquons les équations de Cauchy-Riemann.

25.1.2 Intégrales sur des chemins fermés

Lemme 25.4.Si g est une fonction continue dans un ouvert Ω Ă C et si g admet une primitive complexe sur Ωalors ż

γgpzqdz “ 0 (25.12)

pour tout chemin fermé γ de classe C1 contenu dans Ω.

25.1. FONCTIONS HOLOMORPHES 1323

Démonstration. Nommons G une primitive de g. Par définition,ż

γg “

ż

γG1 (25.13a)

“ż 1

0G1`γptq˘γ1ptqdt (25.13b)

“ż 1

0pG ˝ gγq1ptqdt (25.13c)

“ Gpγp1qq ´G`γp0q˘ (25.13d)“ 0 (25.13e)

parce que le chemin est fermé : γp0q “ γp1q.Lemme 25.5 (Goursat[286]).Soit Ω un ouvert dans C et f une fonction continue sur Ω, holomorphe sur Ω moins éventuellementun point (nommé z1 P Ω). Soit T , un triangle 1 fermé inclus à Ω. Alors nous avons

ż

BTfpzqdz “ 0. (25.14)

Démonstration. Nous notons γ “ BT . Dans la suite nous allons définir une suite de triangles T pnqet nous noterons γn “ BT pnq avec une orientation que nous allons expliquer. Pour commencer nousposons T p0q “ T et γ0 “ BT p0q.

Nous considérons le cas z1 R T , et nous posons

c “ lpγq´2|ż

γf |. (25.15)

Notre objectif est de montrer que c “ 0. Soit A,B,C les trois sommes du triangle ; nous divisonsle triangle de la façons suivante. D’abord nous considérons les points A1, B,C 1 respectivementmilieux de BC, AC et AB. En traçant le triangle A1B1C 1, nous construisons quatre triangles quenous nommons T p0qi . Le théorème de Thalès assure que le périmètre de chacun des quatre trianglesest la moitié du périmètre du grand triangle T .

Sur T nous choisissons l’orientation ABC. De façon à être «compatible», nous choisissons lesorientations AC 1B1, BA1C 1 et A1CB1. La somme de ces trois triangles donne T plus le triangleA1C 1B1. Par conséquent nous choisissons sur le triangle central l’orientation (inverse) AB1C 1 defaçon à avoir ż

γf “

4ÿ

i“1

ż

BT p0qi

f. (25.16)

Cela implique que pour au moins un des quatre triangles (disons T p0qk pour fixer les idées) nousayons ż

BT p0qk

f ě 14

ż

BT p0qf (25.17)

Nous notons T p1q ce triangle. Comme noté précédemment nous avons

lpBT p1qq “ 12 lpBT

p0qq, (25.18)

et donclpγ1q´2|

ż

γ1

|f “ 4lpγ0q´2|ż

γ1

f | ě 4lpγ0q´2 14 |ż

γ0

f | “ c. (25.19)

En répétant le procédé nous construisons une suite de triangles T pnq qui satisfont toujours

lpBT pnqq “ 12n lpBT

p0qq. (25.20)

1. Nous considérons ici le triangle «plein».

1324 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Ces triangles forment une suite de fermés emboités dont le diamètre tend vers zéro. Leur intersec-tion contient donc exactement un point (lemme 18.110) que nous nommons z0 (et qui appartientévidemment à Ω). Étant donné que f est holomorphe nous utilisons le développement limité (25.1)autour de z0 :

fpzq “ fpz0q ` f 1pz0qpz ´ z0q ` sp|z ´ z0|qpz ´ z0q (25.21)avec limtÑ0 sptq “ 0. Nous posons gpzq “ fpz0q ` f 1pz0qpz ´ z0q et nous considérons ε ą 0. Soitα ą 0 tel que

|fpzq ´ gpzq| ă ε|z ´ z0| (25.22)pour tout |z´ z0| ă α. Le α à choisir pour obtenir cet effet est celui qui donne sp|z´ z0|q ă ε. SoitN P N tel que lpγnq ă α pour tout n ą N . D’autre part, deux points dans un triangle sont toujoursà distance moindre que la longueur d’un côté, donc pour tout z P T pnq nous avons |z ´ z0| ă α etpar conséquent pour tout z dans T pnq nous avons

|fpzq ´ gpzq| ă ε|z ´ z0|. (25.23)

Notons que la fonction g est une dérivée : c’est la dérivée de la fonction

Gpzq “ zfpz0q ` 12f1pz0qpz ´ z0q2. (25.24)

Par conséquent nous avons ż

γn

g “ 0 (25.25)

par le lemme 25.4. Nous avons donc

|ż

γn

f | “ |ż

γn

pf ´ gq| (25.26a)

ď lpγnqmaxt|fpzq ´ gpzq| tel que z P T pnqu (25.26b)ď εlpγnq2, (25.26c)

et par conséquentc ď lpγnq´2|

ż

γn

f | ď ε, (25.27)

ce qui signifie que c “ 0 parce que ε est arbitraire. Nous avons donc prouvé le lemme de Goursatdans le cas où le point de non holomorphie z1 est en dehors de T .

Si z1 est sur un côté, disons sur le côté AB, alors nous considérons un vecteur v P C tel queTε “ T ` εv ne contienne z1 pour aucun ε. Le vecteur v “ z1 ´ C fait par exemple l’affaire. Envertu du point précédent nous avons ż

BTεf “ 0 (25.28)

pour tout ε ą 0. Étant donné que la fonction f est continue (y compris en z1), l’intégrale sur BTest également nulle.

Si maintenant le point z1 est à l’intérieur de T nous décomposons T en trois triangles ayantz1 comme sommet commun. Si nous considérons les orientations Az1C, ABz1 et BCz1, alors nousavons ż

Tf “

ż

Az1Cf `

ż

ABz1

f `ż

BCz1

f, (25.29)

alors que par le point précédent les trois intégrales du membre de droite sont nulles.

Proposition 25.6 ([286]).Soit Ω un ouvert étoilé et f une fonction holomorphe sur Ω sauf éventuellement en un point z1 oùf est seulement continue. Alors si γ est un chemin fermé dans Ω, nous avons

ż

γf “ 0. (25.30)

25.1. FONCTIONS HOLOMORPHES 1325

Proposition 25.7.Si fpzq “ ř

n anzn a pour rayon de convergence R, alors f est C-dérivable et nous pouvons dériver

terme à terme dans la boule ouverte Bp0, Rq.Démonstration. Cela est exactement la proposition 15.41.

25.1.3 Lacets, indice et homotopie

Proposition-définition 25.8.Soit γ un chemin fermé 2 dans C. L’indice de la courbe γ est la fonction

Indγ : Czγ Ñ Z

z ÞÑ 12πi

ż

γ

dω

ω ´ z .(25.31)

Un chemin continu et fermé (au sens γp1q “ γp0q) est un lacet.(1) La fonction Indγ est continue et prend effectivement des valeurs entières.(2) La fonction indice est constante sur chaque composante connexe de Czγ et est nulle sur la

composante non bornée.

Le second point est en partie la proposition 6.85.

Définition 25.9.Si γ1 et γ2 sont deux lacets en x0 P X (un espace topologique), une équivalence d’homotopieest une application f : r0, 1s ˆ r0, 1s Ñ X telle que

(1) fp0, tq “ γ1ptq pour tout t ;(2) fp1, tq “ γ1ptq pour tout t ;(3) pour chaque t P r0, 1s, l’application s ÞÑ fps, tq est continue ;(4) pour chaque s P r0, 1s, l’application t ÞÑ fps, tq est un lacet basé en x0.

Exemple 25.10Si γ est un cercle de centre z0 P C et de rayon r, alors

Indγpzq “#

2πi si z P Bpz0, rq0 sinon.

(25.32)

La seconde ligne provient directement de la proposition 25.8. Pour la première, le cercle γ separamètre par

γpθq “ z0 ` reiθ, (25.33)et l’intégrale vaut ż

γ

dω

ω ´ z0“

ż 2π

0

1reiθ

ireiθdθ “ 2πi. (25.34)

L’indice de ce chemin va évidemment jouer un rôle particulier dans la suite. 4

Théorème 25.11 (Cauchy, version homotopique[287]).Soit Ω un ouvert de C et f une fonction holomorphe sur Ω. Si γ1 et γ2 sont deux lacets homotopesde classe C1 dans Ω, alors ż

γ1

fpzqdz “ż

γ2

fpzqdz. (25.35)

Corollaire 25.12 ([287]).Soit a P C ainsi que deux chemins γ1 et γ2 homotopes dans Cztau. Alors Intpγ1, aq “ Indpγ2, aq.

Il y a aussi des choses sur l’indice dans [286].2. Par abus de langage, nous désignerons par γ à la fois le chemin et son image.

1326 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

25.1.4 Théorème de Cauchy et analycité

Cette sous-section veut prouver le théorème de Cauchy. Comme d’habitude, une référence quine peut pas rater est [286].

Théorème 25.13 (Formule de Cauchy).Soit Ω ouvert dans C, z0 P Ω et f , une fonction holomorphe sur Ω. Soit r ą 0 tel que Bpz0, rq Ă Ω.Alors pour tout z P Bpz0, rq nous avons

fpzq “ 12πi

ż

BBpz0,rqfpωqω ´ z dω. (25.36)

Démonstration. Soit z P Bpz0, rq et considérons la fonction

gpωq “#fpωq´fpzq

ω´z si ω ‰ z

f 1pzq si ω “ z.(25.37)

Cette fonction est holomorphe sur Bpz0, rqztzu et continue en z. Elle vérifie donc la proposition25.6 et nous avons ż

γg “ 0 (25.38)

où γ est le cercle de centre z0 et de rayon r. Nous avons donc

0 “ż

γ

fpωqω ´ z ´

ż

γ

fpzqω ´ z , (25.39)

et ayant déjà calculé la seconde intégrale dans l’exemple 25.10 nous en déduisonsż

γ

fpωqω ´ z dω “ 2πifpzq, (25.40)

ce qu’il fallait.

Définition 25.14.Une fonction f : Ω Ñ C est C-analytique sur Ω si pour tout z0 P Ω, il existe une suite complexepcnq et r ą 0 tels que

fpzq “8ÿ

n“0cnpz ´ z0qn (25.41)

pour tout z P Bpz0, rq.Théorème 25.15.Soit Ω ouvert dans C et f , holomorphe sur Ω. Soient encore z0 P Ω et r0 tel que Bpz0, r0q Ă Ω.Alors :

(1) Sur Bpz0, r0q, la fonction f s’écrit

fpzq “8ÿ

n“0anpz ´ z0qn. (25.42)

(2) Nous avons

an “ f pnqpz0qn! “ 1

2πi

ż

γ

fpωqpω ´ z0qn`1dω (25.43)

où γ “ BBpz0, rq avec |z ´ z0| ă r ă r0.(3) En particulier f est infiniment dérivable.

25.1. FONCTIONS HOLOMORPHES 1327

Démonstration. Soit r ą 0 tel que |z ´ z0| ă r ă r0. La formule de Cauchy (théorème 25.13) nousdit que

fpzq “ 12πi

ż

γ

fpωqω ´ z dω (25.44)

où γ “ BBpz0, rq. Nous pouvons paramétrer ce chemin par ω “ z0` reiθ et θ P r0, 2πs. Nous avons

fpzq “ 12πi

ż 2π

0

fpz0 ` reiθqz0 ` reiθ ´ z rie

iθdθ (25.45a)

“ 12π

ż 2π

0

fpz0 ` reiθq1´ e´iθpz ´ z0qrdθ. (25.45b)

Nous pouvons développer l’intégrante en puissance de pz ´ z0q en utilisant la formule 15.252. Icile rôle de x est tenu par

e´iθpz ´ z0qr (25.46)

dont le module est bien plus petit que 1, par hypothèse sur r. Nous avons donc

fpzq “ 12π

ż 2π

0

8ÿ

n“0fpz0 ` reiθqe´inθr´npz ´ z0qndθ. (25.47)

L’art est maintenant de permuter la somme et l’intégrale. Pour cela nous remarquons que ce quise trouve dans la somme est majoré en module par

M

ˇˇz ´ z0

r

ˇˇn

(25.48)

où M est le maximum de |f | sur γ. La borne (25.48) ne dépend pas de θ ; par conséquent laconvergence de la somme est uniforme en θ par le critère de Weierstrass (théorème 15.16). Lethéorème 15.18 s’applique 3 et nous pouvons permuter la somme avec l’intégrale.

Ce que nous trouvons est que

fpzq “8ÿ

n“0anpz ´ z0qn (25.49)

oùan “ 1

2π

ż 2π

0fpz0 ` reiθqe´inθr´ndθ “ 1

2πi

ż

γ

fpωqpω ´ z0qn`1 . (25.50)

Cette formule est valable pour |z´z0| ă r. Sur cette boule, la fonction est donc une série entière. Lethéorème de Taylor 15.77 nous permet donc d’affirmer que f est partout infiniment continumentdérivable (parce que en chaque point on a un voisinage sur lequel c’est vrai), et d’identifier lescoefficients (qui, eux, ne sont valables que localement) sous la forme

an “ f pnqpz0qn! . (25.51)

Corollaire 25.16.Soit f une fonction continue sur un ouvert Ω telle que pour toute boule Bpa, rq contenue dans Ω,nous ayons

fpaq “ 12πi

ż

BBpa,rqfpξqξ ´ adξ. (25.52)

Alors f est holomorphe.3. Étant donné que nous savions déjà que la somme était une fonction intégrable, nous sommes loin d’avoir utilisé

toute la puissance du théorème.

1328 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Démonstration. Il suffit de recopier la démonstration du théorème 25.15 pour savoir que f sedéveloppe en série de puissances et est donc en particulier dérivable.

Le fait qu’une fonction holomorphe soit C8 comme dit dans la proposition 25.15 permet dedémonter un résultat de dérivation sous l’intégrale, qui dépend de pouvoir majorer la différentielle.

Proposition 25.17.Soit une fonction continue g : RˆCÑ C. Nous supposons que pour tout t, la fonction z ÞÑ gpt, zqest C-dérivable (définition 15.1) et différentiable. Soit B compact dans R et la fonction

Gpzq “ż

Bgpt, zqdt. (25.53)

que nous supposons exister pour tout z.Alors

G1pzq “ż

Bg1pt, zqdt (25.54)

où le prime réfère à la C-dérivée par rapport à la variable z à t fixé.

Démonstration. Nous fixons z P C et nous considérons la suite de fonctions

giptq “ gpt, z ` εiq ´ gpt, zqεi

(25.55)

où εi est une suite de nombres complexes tendant vers zéro (εi CÝÑ 0). Si la limite existe et nedépend pas de la suite choisie, alors limiÑ8 giptq “ g1pt, zq. Et vu que g est supposée dérivable,c’est le cas.

Nous avons aussi, par linéarité de l’intégrale :

G1pzq “ limiÑ8

ż

Bgiptqdt. (25.56)

La difficulté est de permuter la limite et l’intégrale. Pour cela nous allons utiliser la convergencedominée de Lebesgue (théorème 13.134). Afin de majorer |giptq| par une fonction intégrable en t(uniformément en i), nous exploitons le théorème des accroissements finis, théorème 12.229. Ennotant dg la différentielle de g par rapport à z à t fixé, pour chaque t et chaque i nous avons

|gpt, z ` εiq ´ gpt, zq| ď supξPrz,z`εis

dgξεi. (25.57)

Vu que z est fixé et que ξ est dans le compact rz, z ` εis et que dg est continue (parce que laC-dérivabilité implique la continuité de la différentielle parce que nous avons l’analycité par lethéorème 25.15), nous pouvons majorer dgξ par une constante Mipzq qui dépend a priori de i etde z.

Heureusement, nous pouvons prendre a fortiori le supremum sur Bpz, |εi|q (qui est tout autantcompact) et supposer que |εi| est strictement décroissante ; de toutes façons, il y a un maximumparce que |εi| Ñ 0. Dans ce cas, il suffit de prendre le supremum de dgξ pour ξ P Bpz, |ε1|q et çacontente tout le monde.

Quoi qu’il en soit nous avons une constante Mpzq telle que

|gpt, z ` εiq ´ gpt, zq| ďMpzqεi (25.58)

et donc |giptq| ď Mpzq. La constante (par rapport à t) Mpzq est évidemment intégrable sur lecompact B et nous pouvons permuter la limite avec l’intégrale :

G1pzq “ limiÑ8

ż

Bgiptqdt “

ż

BlimiÑ8 giptqdt “

ż

Bg1pt, zqdt. (25.59)

25.1. FONCTIONS HOLOMORPHES 1329

Proposition 25.18.Une fonction continue f est holomorphe si et seulement si la 1-forme différentielle fpzqdz estlocalement exacte.

Démonstration. Si f est holomorphe, alors nous avons vu que f était différentiable et que dfz “fpzqdz par la formule 15.25.

Dans le sens inverse, supposons que fpzqdz est localement exacte, et soit F telle que dF “fpzqdz. Ce que nous allons faire est montrer que la dérivée de F existe et vaut f . En effet, ladéfinition de la différentielle nous dit que

limhÑ0

ˇˇF pz ` hq ´ F pzq ´ dFzphq

h

ˇˇ “ 0. (25.60)

La limite vaut évidemment encore zéro si nous enlevons les modules :

0 “ limhÑ0

F pz ` hq ´ F pzq ´ fpzqhh

(25.61a)

“ limhÑ0

F pz ` hq ´ F pzqh

´ fpzq. (25.61b)

Donc F 1 “ f . Cela montre que F est C-dérivable et donc holomorphe. En conséquence du théo-rème 25.15, la fonction F est infiniment dérivable et f l’est alors aussi. La fonction f est doncholomorphe 4.

25.1.5 Théorème de Brouwer en dimension 2Pour d’autres versions du théorème de Brouwer, voir la sous-section 18.3.3.

Théorème 25.19 (Brouwer en dimension 2[2]).Soit B la boule unité fermée de R2. Alors toute application continue de B dans elle-même admetun point fixe.

Démonstration. Supposons que la fonction f P C0pB,Bq n’admette pas de points fixes sur B “Bp0, 1q. Pour x P B nous notons gpxq l’intersection entre BB et la demi-droite allant de fpxq versx. C’est bien parce que f n’a pas de points fixes que g est bien définie.

En reprenant le même début de la preuve de la proposition 18.31 nous savons que la fonction

g : Bp0, 1q Ñ BBp0, 1qx ÞÑ λpxq`x´ fpxq˘` fpxq (25.62)

est continue. De plus gpxq “ x sur BBp0, 1q. Nous allons montrer qu’une telle fonction 5 ne peutpas exister.

Pour s P r0, 1s nous paramétrons le cercle BBp0, sq parxs : r0, 1s Ñ BBp0, 1q

t ÞÑ `s cosp2πtq, s sinp2πtq˘. (25.63)

Ensuite nous considérons les cheminsγs : r0, 1s Ñ BBp0, sq

t ÞÑ g ˝ xs. (25.64)

L’application γs est continue et γsp0q “ γsp1q. Les chemins γs sont des lacets ; nous nous intéressonsmaintenant à l’indice au point 0 de γ0 et γ1. D’une part γ0ptq “ gp0q (lacet constant) et γ1ptq “ e2iπt

(parce que gpxq “ x sur le bord). Nous avons donc, en utilisant l’indice de la définition 25.8,

Indγ0p0q “1

2πi Indγ0dω

ω“ 1

2πi

ż 1

0

γ10ptqγ0ptqdt “ 0, (25.65)

4. Dire que la dérivée d’une fonction holomorphe est holomorphe est un raisonnement classique.5. Qui est nommée rétraction de la sphère sur elle-même.

1330 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

alors que

Indγ1p0q “1

2πi

ż 1

0

2iπe2iπt

e2iπt dt “ 1. (25.66)

Nous considérons l’homotopieγ : r0, 1s ˆ r0, 1s Ñ Bp0, 1q

ps, tq ÞÑ γsptq “ pg ˝ xsqptq.(25.67)

Nous avons gp0q ‰ 0 parce que g prend ses valeurs sur le bord. Vu que c’est une équivalenced’homotopie 6 entre γ1 et γ2, les indices devraient être égaux par le corollaire 25.12.

25.1.6 Principe des zéros isolés

Théorème 25.20 (Principe des zéros isolés [286]).Soit f une fonction holomorphe et a, une zéro non isolé de f . Alors f est nulle sur un voisinagede a.

Démonstration. Nous écrivons f sous la forme d’une série entière autour de a :

fpzq “8ÿ

n“0cnpz ´ aqn (25.68)

valable sur une boule Bpa, rq. Soit cm le premier coefficient non nul (si il n’existe pas c’est que fest nulle sur tout Bpa, rq et alors le théorème est prouvé). Nous avons alors

fpzq “ cmpz ´ aqm`1`

8ÿ

k“1dkpz ´ aqk

˘(25.69)

avec dk “ cm´k. Le rayon de convergence de la sérieřk dkpz´aqk est le même que celui de (25.68)

parce que la suite dkrm`k reste bornée (critère d’Abel, lemme 15.26). Si nous posons

gpzq “ 1`8ÿ

k“1dkpz ´ aqk, (25.70)

alors g est une fonction continue et gpaq “ 1. De plusfpzq “ cmpz ´ aqmgpzq. (25.71)

Soit une suite pznq de zéros de f convergent vers a. Étant donné que g est continue, nousdevrions avoir limkÑ8 gpzkq “ gpaq “ 1, mais si fpzkq “ 0 avec zk ‰ a, alors gpzkq “ 0. Cela estun paradoxe qui nous permet de conclure que si la suite zn existe bien, alors f est identiquementnulle sur un voisinage, c’est à dire que tous les cn sont nuls.

Corollaire 25.21.Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω. Si f s’annule sur un un ouvert (nonvide) de Ω, alors f s’annule sur tout Ω.

Démonstration. soitN “ tz P Ω tel que f “ 0 sur un ouvert autour de zu. (25.72)

Le fait que N soit ouvert est évident à partir de sa définition. Nous allons montrer que N estégalement fermé dans Ω, et donc conclure que N “ Ω. Soit pznq une suite dans N convergente versz P Ω. Étant donné que fpznq “ 0 et que f est continue, nous avons

fpzq “ limnÑ8 fpznq “ 0, (25.73)

ce qui fait de z un zéro non isolé de f . Par conséquent le principe des zéros isolés (théorème 25.20)nous enseigne que f s’annule dans un voisinage autour de z, c’est à dire que z P N . L’ensemble Nest donc fermé.

6. Définition 25.9

25.1. FONCTIONS HOLOMORPHES 1331

25.1.7 Prolongement de fonctions holomorphes

Proposition 25.22.Soit Ω, un ouvert de C et f : Ω Ñ C une fonction holomorphe sur Ωztau (a P Ω). Nous supposonsqu’il existe r ą 0 tel que f est bornée sur Bpa, rq X Ω. Alors f se prolonge en une fonctionholomorphe sur Ω.

Le théorème de prolongement de Riemann 25.36 donnera plus d’informations.

Démonstration. Nous définissons la fonction g : Ω Ñ C par

gpzq “#pz ´ aqfpzq si z ‰ a

0 si z “ a.(25.74)

Sur Ωztau, la fonction g est holomorphe (produit de fonctions holomorphes), et elle est continueen a. Par conséquent elle est holomorphe sur Ω. Nous la développons en série entière sur une bouleBpa, rq :

gpzq “8ÿ

n“0cnpz ´ aqn. (25.75)

Nous avons gpaq “ c0 “ 0. Nous posons

ϕpzq “8ÿ

n“0cn`1pz ´ aqn. (25.76)

Si z ‰ a, alors ϕpzq “ fpaq parce que ϕpzq “ gpzqpz ´ aq. Mais ϕ est continue en a, et doncholomorphe en a.

La fonction ϕ est par conséquent un prolongement holomorphe de f en a.

25.1.8 Théorème de Runge

Le théorème que nous allons prouver n’est en réalité qu’une partie de ce qui est usuellementappelle le théorème de Runge.

Théorème 25.23 (Théorème de Runge).Soit K, un compact de C tel que AK soit connexe. Si a P AK alors la fonction

ϕapzq “ 1z ´ a (25.77)

est limite uniforme de polynômes sur K.

Démonstration. Nous considérons P pKq, l’adhérence des polynômes sur K pour la norme uniforme(sur K). Nous devons montrer que pour tout a P AK, la fonction ϕa est dans P pKq. Pour cela nousconsidérons l’ensemble

A “ ta P AK tel que ϕa P P pKqu (25.78)

et nous allons montrer qu’il est à la fois non vide, ouvert et fermé dans le connexe AK.Je répète : nous allons prouver l’ouverture et la fermeture pour la topologie de AK. Nous n’allons

pas prouver que A est un ouvert de C. Ce qui sera par conséquent prouvé est que A “ AK.

Non vide Soit R “ supzPK |z| et a P AK tel que |a| ą R. Nous avons

ϕapzq “ 1a

1za ´ 1 “ ´

1a

11´ z

a

“ ´1a

8ÿ

k“0

´za

¯k “8ÿ

k“0

zk

ak`1 . (25.79)

1332 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Ici la convergence de la série et sa limite sont assurées par le fait que |za| ă 1 par choixde R et a. La suite de polynômes

Pnpzq “nÿ

k“0

zk

ak`1 (25.80)

converge uniformément sur Bp0, Rq et en particulier sur K. Donc Pn Ñ ϕa.Fermé Nous allons montrer que la fermeture de A (dans AK) est inclue dans A, et donc qu’elle

est égale à A et donc que A est fermé. Par le lemme 6.79, la fermeture de A dans AK estl’ensemble AX AK où A est la fermeture de A au sens usuel.Bref, soit a P A X AK, et montrons que ϕa P P pKq. Vu que P pKq est déjà une fermeture,nous aurons en fait ϕa P P pKq et donc a P A, ce qui signifierait que A X AA “ A et doncque A est fermé.Au travail.Soit panq P A une suite convergente vers a. Soit aussi d “ dpa,Kq ; on a d ą 0 parce que Kest compact et a est hors de a alors le complémentaire de K est ouvert. Nous choisissonsen plus la suite an pour avoir |an ´ a| ă d

2 ; au pire on prend la queue de suite. Soit z P K ;nous avons

|ϕanpzq ´ ϕapzq| “ˇˇ 1z ´ an ´

1z ´ a

ˇˇ “

ˇˇ an ´ apz ´ anqpz ´ aq

ˇˇ . (25.81)

Vu que an P Bpa, d2q et que z P K et d “ dpa,Kq nous avons |an´z| ě d2 ; et aussi |a´z| ě d

2 .Nous pouvons donc majorer (25.81) par

|ϕanpzq ´ ϕapzq| ď 2 |an ´ a|d2 . (25.82)

Donc nous avonsϕa ´ ϕanK ď 2 |an ´ a|

d2 Ñ 0 (25.83)

où la norme .K est la norme supremum sur K. Donc a P P pKq “ P pKq et A est fermé.Ouvert Vu que K est compact, il est fermé et donc AK est ouvert. Par conséquent, ainsi que

précisé dans l’exemple 6.80, les ouverts de AK sont les ouverts de C contenus dans AK. Afinde prouver que A est ouvert, nous prenons a P A et nous cherchons une boule (au sens deC) autour de a qui serait incluse dans A.Soit donc h P C «petit» dans un sens que nous allons préciser plus tard. Encore une foisnous posons d “ dpa,Kq. Nous avons

ϕa`hpzq “ 1z ´ a´ h “

1z ´ a

11´ h

z´a“

8ÿ

k“0

hk

pz ´ aqk`1 . (25.84)

Déjà ici nous demandons h ă supzPK |z ´ a|. Puisque |z ´ a| ą d, nous avons alors

|ϕa`hpzq| ď8ÿ

k“0

hk

dk`1 ă 8. (25.85)

Cela pour dire que la somme à droite de (25.84) converge bien pourvu que h soit bien petit.Nous pouvons donc poursuivre :

ϕa`hpzq “8ÿ

k“0

hk

pz ´ aqk`1 “8ÿ

k“0hkϕapzqk`1. (25.86)

Nous montrons maintenant que la convergence de la somme (25.86) est en réalité uniformeen z. En effet

ˇϕa`hpzq ´

Nÿ

k“0hkϕapzqk`1 ˇ “ ˇ 8ÿ

k“N`1hkϕapzqk`1 ˇ (25.87a)

ď8ÿ

k“N`1|h|k|ϕapzq|k`1. (25.87b)

25.2. INTÉGRALES DE FONCTIONS HOLOMORPHES 1333

Étant donné que ϕa est continue sur le compact K, elle y est majorée en module ; on peutmême être plus précis :

|ϕapzq| “ 1|z ´ a| ď

1d. (25.88)

Nous pouvons donc écrire

ˇϕa`hpzq ´

Nÿ

k“0hkϕapzqk`1 ˇ ď 1

d

8ÿ

k“N`1

ˇˇhd

ˇˇk

. (25.89)

Étant donné que la sommeř8k“0 |hd|k converge, la limite N Ñ8 est nulle et nous avons

limNÑ8 ϕa`h ´

Nÿ

k“0hkϕk`1

a K “ 0. (25.90)

Pour avoir ϕa`h P P pKq, il faut encore savoir si les fonctions ϕka sont dans P pKq pour toutk. Dans ce cas pour chaque N la somme sera encore dans P pKq et ϕa`h sera limite uniformed’éléments de P pKq.Par hypothèse, ϕa P P pKq ; soit Pn une suite de polynômes qui converge uniformément versϕa. Nous allons montrer qu’alors la suite de polynômes P kn converge uniformément vers ϕka.Soit n tel que Pn ´ ϕaK ď ε et utilisons le produit remarquable

ak ´ bk “ pa´ bqk´1ÿ

i“0aibk´1´i (25.91)

pour obtenir

|Pnpzqk ´ ϕapzqk| ď |Pnpzq ´ ϕapzq|k´1ÿ

i“0|Pnpzqiϕapzqk´1´i|. (25.92)

Vu que Pn et ϕa sont continues sur le compact K, on peut majorer la somme par uneconstante M , et il restera

|Pnpzqk ´ ϕapzqk| ďM |Pnpzq ´ ϕapzq|, (25.93)

ou encoreP kn ´ ϕka ďMε. (25.94)

Cela prouve que ϕka P P pKq et donc que ϕa`h est limite uniforme (sur K) d’éléments deP pKq et donc fait partie de P pKq lui aussi.Ceci achève de prouver que A est ouvert dans AK.

Conclusion L’ensemble A est non vide, ouvert et fermé dans AK, donc il est égal à AK. Lethéorème est ainsi démontré.

25.2 Intégrales de fonctions holomorphes

Nous commençons par le lemme technique.

Lemme 25.24 ([286]).Soit f une fonction holomorphe sur Bpz0, r0q. Pour tout z P Bpz0, rq (avec r ă r0) nous avons

|f 1pzq| ď r`r ´ |z ´ z0|

˘2 max fpz0 ` reiθq

(θPR. (25.95)

1334 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Démonstration. Par translation nous pouvons supposer que z0 “ 0. Étant donné que f est holo-morphe, elle admet un développement en séries entières

fpzq “8ÿ

n“0anz

n (25.96)

et nous notons M “ maxtfpzq tel que z P Bp0, rqu. Nous avons rn|an| ďM . Par conséquent

|f 1pzq| “ˇˇˇ8ÿ

n“1nanz

n´1

ˇˇˇ (25.97a)

ď 1r

ÿrn|an|n

ˆ |z|r

˙n´1(25.97b)

ă M

r

ÿn

ˆ |z|r

˙n´1. (25.97c)

À ce point nous devons utiliser la série de l’exemple 15.85. Nous avons alors

|f 1pzq| ď M

r

1´1´ |z|

r

¯2 “Mr

pr ´ |z|q2 . (25.98)

Théorème 25.25 (Holomorphie sous l’intégrale[286]).Soit un espace mesuré pΩ, µq, un ouvert A dans C et une fonction f : A ˆ Ω Ñ C. Nous voulonsétudier la fonction

F pzq “ż

Ωfpz, ωqdµpωq (25.99)

pour tout z P A. Nous supposons que(1) la fonction fp., ωq est holomorphe sur A pour chaque ω.(2) La fonction fpz, .q est mesurable sur pΩ, µq.(3) Pour tout compact K Ă A, il existe une fonction gK : Ω Ñ R telle que |fpz, ωq| ď gKpωq et

telle que ż

ΩgKpωqdµpωq (25.100)

existe.Alors la fonction F est holomorphe et

F 1pzq “ż

Ω

BfBz pz, ωqdµpωq. (25.101)

Démonstration. Soient z0 P A et r ą 0 tels que K “ Bpz0, rq Ă A. Pour chaque ω P Ω nousconsidérons la fonction

fω : Bpz0, rq Ñ C

z ÞÑ fpz, ωq. (25.102)

Étant donné que Bpz0, rq est compacte, la fonction |fω| est majorée par un nombre que nousnotons fKpωq qui est indépendant de z (pour autant que z P K). Nous désignons par Spz0, rq lafrontière de la boule Bpz0, rq. Étant donné que la majoration est valable sur Bpz0, rq, nous avonsen particulier

|fωpzq| ď fKpωq (25.103)

25.2. INTÉGRALES DE FONCTIONS HOLOMORPHES 1335

pour tout z P S. En utilisant la lemme 25.24 nous avons

|f 1ωpzq| ďr

pr ´ |z ´ z0|q2 maxtfpz0 ` reiθquθPR (25.104a)

ď rfKpωqpr ´ |z ´ z0|q2 . (25.104b)

Cette majoration est valable pour tout z P Bpz0, rq. Si nous supposons de plus que z P Bpz0, r2qnous avons

|f 1pzq| ď rfKpωq`r ´ r

2˘2 “

4rfKpωq. (25.105)

Étant donné que la boule Bpz0, r2q est convexe, la fonction fω est Lipschitz et pour tout h P Ctel que |h| ă r2 nous avons

ˇˇfωpz0 ` hq ´ fωpz0q

h

ˇˇ ď 4fKpωq

r. (25.106)

Soit maintenant une suite phnq qui converge vers 0 dans C. Nous considérons la suite de fonctionscorrespondantes

gnpωq “ fpz0 ` hn, ωq ´ fpz0, ωqhn

. (25.107)

Cette suite de fonction vérifie la convergence ponctuelle

gnpωq Ñ BfBz pz0, ωq. (25.108)

De plus gn est une fonction (de ω) dominée par 4fKr qui est intégrable. Par conséquent le théorème

de la convergence dominée nous indique queż

Ωgnpωqdµpωq Ñ

ż

Ω

BfBz pz0, ωqdµpωq, (25.109)

tandis queF 1pzq “ lim

nÑ8F pz0 ` hnq ´ F pz0q

hn“ lim

nÑ8

ż

ΩgN pωqdµpωq. (25.110)

Corollaire 25.26.Si f est une fonction holomorphe sur l’ouvert ξ contenant la fermeture de la boule Bpz0, rq, alorspour tout z dans Bpz0, ρq (ρ ă r) les dérivées de f s’expriment pas la formule suivante :

f pkqpzq “ 12πi

ż

BBpz0,rqfpξq

pξ ´ zqk`1dξ. (25.111)

Démonstration. Nous faisons par récurrence.Pour la dérivée première Nous appliquons le théorème 25.25 à la fonction

gpz, ξq “ fpξqξ ´ z (25.112)

avec ξ “ BBpz0, rq et A “ Bpz0, ρq avec ρ ă r. Étant donné que f est holomorphe, elle estcontinue et donc bornée sur tout compact K Ă A par une constante M (qui dépend ducompact choisi). D’autre part, nous avons toujours |ξ ´ z| ą r ´ ρ et donc

|gpz, ξq| ď M

r ´ ρ. (25.113)

1336 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

La fonction constante gK “ Mr´ρ est évidemment intégrable. Le théorème conclut que f est

holomorphe (cela, nous le savions déjà 7), et

f 1pzq “ 12iπ

ż

BBfpξq

pξ ´ zq2dξ. (25.114)

Les dérivées suivantes Pour la récurrence[288] nous supposons que

f pkqpzq “ k!2iπ

ż

BBpz0,rqfpξq

pξ ´ zqk`1dξ, (25.115)

et nous tentons de calculer f pk`1qpzq. Pour cela nous paramétrons l’intégrale de façon trèsusuelle :

f pkqpzq “ k!2πi

ż 2π

0

fpreitqpreit ´ zq ire

itdt. (25.116)

Nous permettons de permuter la C-dérivation (par rapport à z) et l’intégrale en vertu dela proposition 25.17 appliquée à la fonction

gpt, zq “ fpreitqpreit ´ zqk ` 1 ire

it. (25.117)

Cela donne

f pk`1qpzq “ k!2iπ

ż 2π

0fpreitqireit k ` 1

preit ´ zqk`1dt “pk ` 1q!

2iπ

ż

BBfpξq

pξ ´ zqk`2dξ. (25.118)

Théorème 25.27.Si f est une fonction holomorphe sur le disque ouvert Bpz0, Rq alors

fpzq “8ÿ

n“0

f pnqpz0qn! pz ´ z0qn (25.119)

et cette série converge uniformément sur tout compact.

Démonstration. Sans perte de généralité nous supposons que z0 “ 0. La formule de Cauchy (théo-rème 25.13) fournit, pour z P Bp0, Rq,

fpzq “ 12πi

ż

BBfpξqξ ´ z dξ “

12πi

ż

BBfpξq

1´ pzξqdξ

ξ. (25.120)

En particulier notons que z P Bp0, Rq alors que ξ est sur le bord de cette boule ouverte. Donc|ξ| ą |z| pour tous les ξ et z qui interviennent. Nous utilisons la série géométrique

11´ pzξq “

8ÿ

n“0

ˆz

ξ

˙n. (25.121)

Permuter une intégrale et une somme En utilisant la mesure de comptage 8 sur N (qui estσ-finie), nous pouvons écrire

ż

BB

8ÿ

n“0

znfpξqξn`1 dξ “

ż

BB

ˆż

N

gpξ, nqdmpnq˙dξ (25.122)

7. Et cela fournit une preuve alternative à la réciproque du théorème de Cauchy : une fonction continue qui vérifiela formule de Cauchy est holomorphe.

8. Définition 13.28.

25.2. INTÉGRALES DE FONCTIONS HOLOMORPHES 1337

oùg : BB ˆNÑ C

pξ, nq ÞÑ znfpξqξn`1 .

(25.123)

Nous allons permuter les intégrales en utilisant le théorème de Fubini, selon la procéduredécrite en 13.231. Nous commençons par l’intégrale sur N :

ż

N

|gpn, ξq| “ |fpξqξ|ÿ

nPN|zξ|n “ 1

R|fpξq| 1

1´ |z|R. (25.124)

Ici nous avons utilisé |ξ| “ R. Notons que z est fixé depuis longtemps à l’intérieur de laboule de rayon R de telle sorte que |zξ| est une constante strictement inférieure à 1.L’intégrale sur ξ P BB n’a pas à être effectuée explicitement : nous nous contentons deprouver qu’elle est finie. La fonction f est continue sur le compact BB. Cela parce que Best une boule fermée dans l’ouvert Ω sur lequel f est continue. Au final l’expression à droitede (25.124) est bornée sur le compact BB et son intégrale donne un nombre fini.Tout ceci pour invoquer le corollaire 13.229 qui nous indique que g P L1pNˆ BBq.Une fois g intégrable sur l’espace produit NˆBB, nous pouvons utiliser Fubini 13.230 pourpermuter les intégrales.

Une fois la somme et l’intégrale permutées, nous avons

fpzq “ 12πi

8ÿ

n“0

ż

BBznfpξqξn`1 “

8ÿ

n“0

ˆ1

2πi

ż

BBfpξqξn`1

˙zn. (25.125)

Nous devons maintenant montrer que ce qui se trouve dans la grande parenthèse vaut f pnqp0qn!.Cela est immédiat en comparant avec la formule (25.111).

Proposition 25.28 (Morera [289]).Soit Ω ouvert dans C et f continue. Si ż

BTf “ 0 (25.126)

pour tout triangle (plein) T contenu dans Ω, alors f est holomorphe sur Ω.

Démonstration. Il est suffisant de prouver que f est holomorphe sur toute boule ouverte Bpa, rqinclue dans Ω. Nous posons, pour tout z P Bpa, rq,

F pzq “ż

rp,zsf, (25.127)

et nous considérons le chemin triangulaire a Ñ z Ñ z ` h Ñ a où h P C est choisit assez petitpour que z ` h P Bpa, rq. L’intégrale sur le triangle étant nulle, nous avons

0 “ż

aÑzf `

ż

zÑz`hf `

ż

z`hÑaf, (25.128)

c’est à direF pz ` hq ´ F pzq “

ż

zÑz`hf. (25.129)

En paramétrant le chemin par z ` th avec t P r0, 1s, et en tenant compte de la remarque 14.21,

F 1pzq “ limhÑ0

F pz ` hq ´ F pzqh

(25.130a)

“ limhÑ0

1h

ż 1

0fpz ` thqhdt, (25.130b)

ce qui prouve que F est dérivable et F 1 “ f . Par définition (15.2), F est holomorphe, et donc C8par le théorème 25.15. Du coup f est également C8 et donc en particulier holomorphe.

1338 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

25.2.1 Mesure de Radon

Définition 25.29.Une mesure de Radon sur un compact K de C est une forme linéaire continue sur CpKq. Si µest une mesure de Radon, on définit la transformée de Cauchy de µ par

µ : CzK Ñ C

z ÞÑ ´ 1πµ

ˆ1

ξ ´ z˙.

(25.131)

Théorème 25.30.Si µ est une mesure de Radon sur K alors µ est infiniment C-dérivable sur Ω “ CzK et nousavons

µpnqpzq “ ´n!πµ

ˆ1

pξ ´ zqn`1

˙. (25.132)

Cette théorie permet de fournir une démonstration plus technologique du corollaire 25.26.

Lemme 25.31.Si f est holomorphe sur Ω et si B est une boule fermée dans Ω alors pour tout z P IntpBq nousavons

f pkqpzq “ k!2iπ

ż

BBfpξq

pξ ´ zqk`1dξ. (25.133)

Démonstration. Appliquer le théorème 25.30 à la mesure de Radon

µpφq “ż

BBφpξqdξ. (25.134)

Tout ce petit monde à propos de la mesure de Radon permet également de redémontrer queˆ

12πi

ż

BBfpξqξn`1

˙“ f pnqp0qn!, (25.135)

comme nous l’avons déjà fait autour de l’équation (25.125). Nous utilisons le théorème de Radon25.30 à la mesure

µpφq “ż

BBφpξqdξ. (25.136)

La transformée de Cauchy est

µpzq “ ´ 1πµ

ˆ1

ξ ´ z˙“ ´ 1

π

ż

BB1

ξ ´ z dξ, (25.137)

et le théorème assure que

µpnqpzq “ ´n!πµ

ˆ1

pξ ´ zqn`1

˙“ ´n!

π

ż

BB1

pξ ´ zqn`1dξ. (25.138)

En comparant la formule (25.137) avec la formule de Cauchy nous voyons que µpzq “ ´2ifpzq.Par conséquent

f pnqpzq “ ´ 12i µ

pnqpzq “ n!2πi

ż

BB1

pξ ´ zqn`1dξ, (25.139)

etf pnqp0q “ n!

2πi

ż

BB1

ξn`1dξ. (25.140)

25.3. CONDITIONS ÉQUIVALENTES À L’HOLOMORPHIE 1339

25.3 Conditions équivalentes à l’holomorphieNous nous proposons de lister les conditions que nous avons vues être équivalentes à l’holomor-

phie.

Théorème 25.32.Soit Ω un ouvert de C et f : Ω Ñ C une fonction continue. Les conditions suivantes sont équiva-lentes.

(1) f est holomorphe.(2) Pour tout triangle (plein) T contenu dans Ω,

şT f “ 0.

(3) f est C-dérivable.(4) f est C8

(5) BfBz “ 0 ; ce sont les équations de Cauchy-Riemann.

(6) La 1-forme différentielle fpzqdz est localement exacte.(7) Pour toute boule Bpa, rq contenue dans Ω nous avons

fpaq “ 12πi

ż

BBpa,rqfpzqz ´ adz. (25.141)

Démonstration. (1) implique (2) est le lemme de Goursat 25.5. (2) implique (1) est le théorème deMorera 25.28.

(3) est la définition de l’holomorphie.(4) implique (1) est un a fortiori sur la définition. (1) implique (4) est contenu dans le théorème

de développement en série entière 25.15.L’équivalence entre (5) et l’holomorphie est le théorème 25.2.L’équivalence entre (6) et (1) est la proposition 25.18.L’équivalence entre (1) et (7) est d’une part le théorème 25.15 et d’autre part le corollaire

25.16.

25.4 Singularités, pôles et méromorpheDéfinition 25.33.Si f est holomorphe sur un ouvert Ω, alors une singularité de f est un point isolé du bord de Ω.

(1) La singularité est effaçable si la fonction f s’y prolonge en une fonction holomorphe.(2) La singularité Z est un pôle d’ordre k de f si elle n’est pas effaçable et si la fonction

z ÞÑ pz ´ Zqkfpzq se prolonge en une fonction holomorphe en Z.

Exemple 25.34La fonction

z ÞÑ sinpzqz

(25.142)

n’est pas définie en z “ 0, mais elle s’y prolonge en une fonction continue en posant fp0q “ 1. 4

Proposition 25.35.Une singularité de f est un pôle si et seulement si

limzÑZ fpzq “ 8. (25.143)

Le théorème suivant compète la proposition 25.22.

Théorème 25.36 (Prolongement de Riemann).Soit f : Ω Ñ C et une singularité Z de f . Nous avons équivalence de

1340 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

(1) la singularité Z est effaçable ;(2) f possède un prolongement continue en Z ;(3) il existe un voisinage épointé de Z sur lequel f est bornée ;(4) limzÑZpz ´ Zqfpzq “ 0.

Définition 25.37 (Fonction méromorphe[290]).Soit un ouvert U de C et une suite de points tpiu dans U sans points d’accumulation (éventuelle-ment il y a un nombre fini de pi). Si la fonction f est holomorphe sur Uztpiu et si chaque pi estun point régulier ou un pôle de f , alors nous disons que f est méromorphe sur U .

Proposition 25.38.Soit Ω un ouvert de C et une suite de fonctions fn : Ω Ñ C telles que pour tout compact K de Ωil existe NK ě 0 tel que

(1) fn n’a pas de pôles dans K dès que n ě NK ;(2) la série

řněNK fn converge uniformément sur K.

Alors(1) La fonction

fpzq “8ÿ

n“0fnpzq (25.144)

est méromorphe sur Ω et ses pôles sont l’union de ceux des fn.(2) Nous pouvons permuter la somme et la dérivée :

f 1pzq “8ÿ

n“0f 1npzq. (25.145)

Théorème 25.39 (Série de Laurent).Soient C une couronne de rayons r1 ă r2 centrée en zéro et une fonction f holomorphe dans cettecouronne. Alors nous avons la série de Laurent

fpzq “ÿ

nPZanz

n. (25.146)

(1) Cette série converge uniformément sur tout compact de C.(2) Les coefficients sont donnés par

an “ 12πi

ż

γ

fpzqzn`1dz (25.147)

où γ est un cercle centré en zéro.(3) Ce développement en série est unique.(4) La valeur des an ne dépend pas du choix du rayon du cercle γ.

25.5 Fonctions d’EulerThéorème 25.40 (Prolongement méromorphe de la fonction Γ d’Euler[2]).Nous considérons la formule

Γpzq “ż 8

0e´ttz´1dt. (25.148)

Alors(1) Cette formule définit une fonction holomorphe sur

P “ tz P C tel que <pzq ą 0u. (25.149)

25.5. FONCTIONS D’EULER 1341

(2) La fonction Γ: P Ñ C admet un unique prolongement méromorphe sur C, lequel a despôles sur les entiers négatifs.

Démonstration. Holomorphie sous l’intégrale Pour étudier l’holomorphie de la fonction Γsur P nous utilisons le théorème 25.25.Nous considérons la fonction

g : P ˆR` Ñ C

pz, tq ÞÑ e´tzz´1 (25.150)

et nous commençons par montrer que c’est holomorphe en z pour chaque t ą 0 fixé. Nousle vérifions par le critère de Bzf“0

9 et en nous souvenant que ti “ elnptiq “ ei lnptq. Nousobtenons rapidement que

BgBz “ 0. (25.151)

Le fait que la fonction t ÞÑ gpz, tq soit mesurable pour tout z est d’accord.Et enfin soit K compact dans P. Il faut trouver une fonction gKptq intégrable sur r0,8rtelle que pour tout z P K et t P r0,8r nous ayons |fpz, tq ď gptq|. Pour cela nous majoronsséparément les parties t P s0, 1r et t ě 1.Soit donc K compact dans P ; nous posons M “ maxzPK <pzq et ε “ minzPK <pzq.Si t P s0, 1r alors nous avons

e´ttz´1 “ e´tepz´1q lnptq, (25.152)

de telle façon à que que

|e´ttz´1| ď |epx´1`iyq lnptq| (25.153a)“ |ep<pzq´1q lnptq| (25.153b)“ |t<pzq´1| (25.153c)ď |tε´1| (25.153d)

“ 1t1´ε . (25.153e)

Cette dernière fonction est intégrable sur s0, 1r.Nous considérons maintenant t ě 1. Dans ce cas nous avons

|e´tzz´1| “ e´tt<pzq´1 ď e´ttM´1. (25.154)

Cette dernière fonction est un produit d’une exponentielle décroissante avec un polynôme.C’est donc intégrable entre 1 et l’infini.La fonction gK que nous considérons est donc

gKptq “

$’&’%

1t1´ε si t ă 1borné si 1 ď t ď b

e´ttM´1 si t ą b.

(25.155)

Cela est une fonction intégrable sur s08, r et qui majore f uniformément en z sur le compactK de P. Le théorème 25.25 nous permet donc de conclure que

Γpzq “ż 8

0fpz, tqdt (25.156)

est holomorphe en z sur P et que

Γ1pzq “ż 8

0

BfBz pz, tqdt. (25.157)

9. Théorème 25.2.

1342 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

En deux morceaux Nous passons maintenant à la seconde partie du théorème. Pour z P Pnous coupons l’intégrale en deux :

Γpzq “ż 1

0e´ttz´1dt`

ż 8

1e´ttz´1dt (25.158)

Première partie Nous commençons par parler de la première partie :ş10 e´ttz´1dt dans laquelle

nous voulons utiliser le développement en série de l’exponentielle e´t. Nous devons donctraiter ż 1

0

8ÿ

n“0

p´1qnn! tn`z´1dt. (25.159)

Nous allons permuter la somme avec l’intégrale à l’aide du théorème de Fubini 13.230 enposant la fonction

gpn, tq “ p´1qnn! tn`z´1 (25.160)

et en considérant le produit entre la mesure de Lebesgue sur C et la mesure de comptagesur N, c’est à dire que nous étudions

ż 1

0

ż

N

gpn, tqdndt. (25.161)

Pour permuter il suffit de prouver que |g| est intégrable pour la mesure produit, c’est à direque ż 1

0

ż

N

ˇˇp´1qnn! tn`z´1

ˇˇ ă 8. (25.162)

Nous avons |tz “ t<pzq|, donc8ÿ

n“0

ˇˇ tn`z´1

n!

ˇˇ “ t<pzq´1

8ÿ

n“0

tn

n! “ t<pzq´1et. (25.163)

Étant donné que nous avons fixé z P P, nous avons <pzq ´ 1 ą ´1 et donc t<pzq´1 estintégrable entre 0 et 1. La partie et se majore sur r0, 1s par une constante quelconque. Nousavons donc payé le droit d’inverser la somme et l’intégrale :

ż 1

0e´ttz´1dt “

8ÿ

n“0

ż 1

0

p´1qnn! tn`z´1dt “

8ÿ

n“0

p´1qnn! rtn`zs10 “

8ÿ

n“0

p´1qnn!pn` zq . (25.164)

Nous avons donc l’intéressante formule suivante, valable pour tout z P P :

Γpzq “8ÿ

n“0

p´1qnn!pn´ zq `

ż 8

1e´ttz´1dt. (25.165)

Prolongation de la première partie Nous voudrions montrer maintenant que la fonction8ÿ

n“0

p´1qnn!pn´ zq (25.166)

est méromorphe sur C avec des pôles en les entiers négatifs. Pour cela nous considérons lasuite de fonctions

fnpzq “ p´1qnn!pz ` nq (25.167)

et nous allons utiliser la proposition 25.38. Si n ě 0, la fonction fn est méromorphe sur Cavec un pôle simple en z “ ´n. Soit K compact de C et NK tel que K Ă Bp0, NKq. Pourn ě NK ` 1, la fonction fn n’a pas de pôles dans K et de plus pour tout z P K nous avons

|z ` n| “ |z ´ p´zq| ě ˇn´ |z|ˇ ě n´ |z| ě n´NK , (25.168)

25.5. FONCTIONS D’EULER 1343

et par conséquent|fnpzq| ď 1

n!pn´Nq , (25.169)

ou pour le dire de façon plus snob :

fn8,K ď 1n!pn´Nq , (25.170)

dont la série converge. Cela signifie que la sérieřněN fn converge normalement 10 sur K,

donc la fonction

fpzq “8ÿ

n“0fnpzq (25.171)

est une fonction méromorphe dont les pôles sont ceux des fn, c’est à dire les entiers négatifs(proposition 25.38).

La seconde partie Nous allons à présent prouver que la fonction

gpzq “ż 8

1e´ttz´1dt (25.172)

est holomorphe sur C. Pour cela nous considérons la fonction de deux variables fpz, tq “e´ttz´1 et nous utilisons le théorème d’holomorphie sous l’intégrale 25.25. D’abord pour z0fixé dans C nous avons ż 8

1|e´ttz0´1| ď

ż 8

1e´tt<pz0q´1dt, (25.173)

donc l’intégrale converge parce que c’est polynôme contre exponentielle. Par ailleurs pourchaque t0 fixé sur r0,8r, la fonction z ÞÑ e´t0tz´1

0 est holomorphe sur C comme en témoignele calcul suivant :

12

ˆ BBx ` i

BBy

˙tx`iy´10 “ 0. (25.174)

Et enfin si K est compact dans C nous avons

|fpz, tq| “ |e´ttz´1| “ e´t|t<pzq´1| ď e´ttM´1 (25.175)

où M “ maxzPK <pzq. Nous en déduisons que la fonction

z ÞÑż 8

1e´ttz´1dt (25.176)

est une fonction holomorphe sur C.Conclusion Au final nous avons prouvé que la fonction Γ d’Euler admet le prolongement mé-

romorphe sur C donné par

Γpzq “8ÿ

n“0

p´1qnn!pz ` nq `

ż 8

1e´ttz´1dt. (25.177)

25.5.1 Euler et factorielle

Proposition 25.41.Nous avons la formule Γpnq “ pn´ 1q! pour tout n P N.

10. Définition 10.46.

1344 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Démonstration. Nous partons de la formule

Γpnq “ż 8

0e´ttn´1dt (25.178)

que nous intégrons par partie en posant

u “ tn´1 u1 “ pn´ 1qtn´1

v “ e´t v1 “ ´e´t. (25.179)

Les termes au bord s’annulent (ici il y a un passage à la limite qui n’est pas écrit) et nous trouvons

Γpnq “ż 8

0pn´ 1qe´ttn´2dt “ pn´ 1qΓpn´ 1q. (25.180)

Pour conclure il suffit de remarquer que

Γp1q “ż 8

0“ ´re´ts80 “ 1. (25.181)

25.6 Partition d’un entier en parts fixéesProposition 25.42 ([2]).Soient a1, . . . , ak P N˚ des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Pour n ě 1 nous posons

un “ Card#px1, . . . , xkq P N˚ tel que

kÿ

i“1aixi “ n

+, (25.182)

et u0 “ 1.Alors nous avons l’équivalence de suite (pour nÑ8) :

un „ 1a1 . . . ak

nk´1

pk ´ 1q! . (25.183)

Démonstration. Pour chacun des i P t1, . . . , ku nous considérons la série entière8ÿ

x“0zxai “

ÿ

k

pzaiqx. (25.184)

Étant donné que |zai | ă 1 si et seulement si |z ă 1|, cette série a un rayon de convergence égal à1. Nous allons calculer le produit de Cauchy de ces k séries, en nous souvenant que le théorème15.31 nous assure que la série résultante aura un rayon de convergence au moins égal à 1 et vaudrale produit des différentes séries.

Le coefficient de zn dans cette série vautÿ

xPNkřxiai“n

1 “ un (25.185)

parce que dans chacune des séries, le coefficient de tous les zxai est 1. Nous définissons la fonction

fpzq “8ÿ

n“0unz

n “kź

i“1

˜ 8ÿ

x“0zxai

¸“

kź

i“1

11´ zai . (25.186)

La fonction f existe sur |z| ă 1 parce que nous venons de voir qu’elle peut s’exprimer comme unproduit de Cauchy ; et la dernière égalité est simplement la somme de la série harmonique. D’autrepart la fonction f est la série génératrice de la suite punq.

25.6. PARTITION D’UN ENTIER EN PARTS FIXÉES 1345

Nous sommes en présence d’une fonction ayant des pôles aux racines a1,. . . , ake de l’unité.Étant donné que 1 est une racine de l’unité de tous les ordres, le pôle en z “ 1 est de multipliciték. Les autres pôles sont de multiplicité strictement inférieure ; en effet soit ω P C tel que ωai “ 1pour tout i. Alors Bezout 11 nous donne des entiers vi P Z tels que

ři viai “ 1. Alors nous avons

ω “ ωřviai “

kź

i“1pωaiqvi “ 1. (25.187)

Donc nous voyons que 1 est le seul à être racine de tous les ordres en même temps. Nous notons

P “ tω1, . . . , ωpu (25.188)

l’ensemble des pôles avec ω1 “ 1. Par ailleurs la fonction f est une fraction rationnelle dont nousconnaissons les racines du dénominateur (ce sont les ωi) et à peu près leurs ordres. Nous utilisonsle truc de la décomposition en fractions simples en séparant le terme de puissance k qui n’existeque pour la racine ω1 “ 1 :

fpzq “ α

p1´ zqk `pÿ

i“1

k´1ÿ

j“1

cijpωi ´ zqj . (25.189)

Ce développement est valable pour tout |z| ă 1. Nous considérons maintenant ω P P et j P N etnous étudions la fonction

gpzq “ 1ω ´ z . (25.190)

Un rapide calcul (par exemple par récurrence) montre que

gpkqpzq “ k!pω ´ zqk`1 , (25.191)

et étant donné que |ω| “ 1 nous pouvons écrire la série

1ω ´ z “

8ÿ

k“0

zk

ωk`1 , (25.192)

valable pour |z| ă 1. Ce qui nous intéresse, c’est d’exprimer une série pour 1pω ´ zqj ; et voyant(25.191), nous voyons qu’il suffit de calculer les dérivées de la série de g. Nous dériver terme àterme à l’intérieur du rayon de convergence. Avec quelques abus d’écriture, et en utilisant la bêteformule (15.238) nous avons 12

1pω ´ zqj “

gpj´1qpzqpj ´ 1q! (25.193a)

“ 1pj ´ 1q!

ˆ1

ω ´ z˙pj´1q

(25.193b)

“ 1pj ´ 1q!

8ÿ

k“0

1ωk`1 pzkqpj´1q (25.193c)

“ÿ

k“j´81

pj ´ 1q!1

ωk`1k!

pk ´ j ` 1q!zk´j`1 (25.193d)

“8ÿ

n“0

1ωn`j

pn` j ´ 1q!n!pj ´ 1q! z

n (25.193e)

“8ÿ

n“0

1ωn`j

ˆn` j ´ 1

n

˙zn. (25.193f)

11. Théorème 3.32.12. À ce niveau j’ai pas exactement le même coefficient binomial que dans [2], mais je n’exclus absolument pas que ce

soit moi qui me trompe. Écrivez-moi si vous pouvez infirmer ou confirmer l’erreur. Quoi qu’il en soit, cela ne change pasle résultat asymptotique que nous cherchons.

1346 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Nous pouvons utiliser cela pour récrire la formule (25.189) de façon considérablement plus compli-quée :

fpzq “ α8ÿ

n“0

ˆn` j ´ 1

n

˙zn `

pÿ

i“1

k´1ÿ

j“1

8ÿ

n“0cij

ˆn` j ´ 1

n

˙zn

ωn`ji

. (25.194)

Mais nous savons que ce f est la série génératrice de la suite punq et que nous pouvons donc utiliserla formule (15.240) pour exprimer les nombres ul : ul est simplement le coefficient de zl divisé parl!. C’est à dire

ul “ α

ˆl ` k ´ 1

l

˙`

pÿ

i“1

k´1ÿ

j“1cij

ˆl ` j ´ 1

l

˙1

ωl`ji

. (25.195)

Notre boulot est d’examiner le comportement de cela lorsque l Ñ 8, c’est à dire regarder quelssont les puissances de l en présence. Notons que

En ce qui concerne le premier terme, la puissance dominante dans le coefficient binomial estlk´1. Dans les autres termes 13, c’est lj´1 qui est de degré moins grand. Donc le comportement deul en terme de l est

ul „ αlk´1

pk ´ 1q! . (25.196)

Il nous reste à voir ce que vaut α. Pour cela nous repartons de l’expression 25.186 que nous écrivonssous la forme

p1´ zqkfpzq “kź

i“1

1´ z1´ zai . (25.197)

Nous reconnaissons l’inverse d’une somme harmonique partielle :

p1´ zqkfpzq “kź

i“1

11` z ` z2 ` ¨ ¨ ¨ ` zai´1 . (25.198)

Par ailleurs, nous ne savons pas si fp1q existe parce que son rayon de convergence n’est que de1 ; et nous savons même qu’elle n’existe pas (parce que ce serait la somme des un). Mais noussavons aussi que le pôle de plus grande multiplicité de f est en z “ 1 et est de multiplicité k. Doncp1´ zqkfpzq devrait converger pour z Ñ 1. Pour tout |z ă 1| nous avons

p1´ zqkfpzq “ α`pÿ

i“1

k´1ÿ

j“1cijp1´ zqkpωi ´ zqj . (25.199)

Lorsque z Ñ 1, tous les termes des sommes tendent vers zéro, y compris ceux avec i “ 1 parce quej ă k. Il reste donc

limzÑ0

p1´ zqkfpzq “ α. (25.200)

En calculant la même limite avec (25.198) nous trouvons

limzÑ1

p1´ zqkfpzq “ limzÑ1

kź

i“1

11` z ` z2 ` ¨ ¨ ¨ ` zai´1 “

1a1 . . . ak

. (25.201)

Doncα “ 1

a1 . . . ak, (25.202)

et le résultat est prouvé.

13. Attention : les termes i “ 1 ont ω1 “ 1 et il n’est donc pas possible de conclure simplement en disant queωl´ji Ñ 0 pour lÑ8 ; bien que cela soit vrai pour tous les i ‰ 1.

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1347

25.7 Exponentielle et logarithme complexe

25.7.1 Définition et propriétés de l’exponentielle

Définition 25.43.Soit z “ x` iy P C. Nous définissons l’exponentielle de z par

exp: CÑ C

z ÞÑ8ÿ

n“0

zn

n! .(25.203)

Le rayon de convergence de cette somme est infini.

Proposition 25.44 ([291]).Quelques propriétés de l’exponentielle.

(1) Le fonction exp est continue.(2) Nous avons la formule ez`w “ ez ` ew pour tout z, w P C.(3) pezq´1 “ e´z

(4) pexppzqqn “ exppnzq.Démonstration. L’exponentielle est continue parce qu’elle est la somme d’une série entière de rayonde convergence infini (proposition 15.12).

Les séries exppzq et exppwq ayant un rayon de convergence infini nous pouvons utiliser le produitde Cauchy (théorème 15.31) :

ezew “8ÿ

n“0

˜ ÿ

i`j“n

ziwj

i!j!

¸(25.204a)

“8ÿ

n“0

˜nÿ

i“0

ziwn´i

i!pn´ iq!

¸(25.204b)

“8ÿ

n“0

1n!

nÿ

i“0

ˆn

i

˙ziwn´i (25.204c)

“8ÿ

n“0

1n!pz ` wq

n (25.204d)

“ exppz ` wq. (25.204e)Nous avons utilisé la formule du binôme (proposition 4.9).

Les autres propriétés énoncées sont des corollaires :eze´z “ e0 “ 1. (25.205)

Proposition 25.45.Si z “ x` iy P C alors

ex`iy “ ex`

cospyq ` i sinpyq˘. (25.206)

Démonstration. Par la proposition 25.44 nous savons que ex`iy “ exeiy. Nous devons donc seule-ment étudier eiy. Nous avons

eiy “8ÿ

n“0

piyqnn! (25.207a)

“8ÿ

n“0p´1qn y2n

p2nq! ` i8ÿ

n“0p´1qn y2n`1

p2n` 1q! (25.207b)

“ cospyq ` i sinpyq. (25.207c)Nous avons utilisé le fait que i2n “ p´1qn et i2n`1 “ ip´1qn.

1348 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Proposition 25.46.Soit z P C fixé. La fonction

E : RÑ C

t ÞÑ etz(25.208)

est C8, sa dérivée estE1ptq “ zetz. (25.209)

La fonction E est développable en série entière (voir définition 15.75) sur R en t “ 0 et

etz “8ÿ

n“0

zn

n! tn. (25.210)

Démonstration. Nous fixons z P C. Par définition 25.43, la série suivante est etz :

fptq “8ÿ

n“0

zn

n! tn. (25.211)

Cette série a un rayon de convergence infini et la fonction f est donc C8 sur R. Nous pouvons ladériver terme à terme :

f 1ptq “8ÿ

n“1

zn

n! ntn´1 “ z

8ÿ

n“1

zn´1

pn´ 1q! tn´1 “ zetz. (25.212)

Théorème 25.47.La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes.

(1) exp est holomorphe.

(2) pezq1 “ ez.

(3) L’exponentielle est développable en série entière,

ez “8ÿ

n“0

zn

n! (25.213)

et la série converge normalement sur tout compact de C.

Démonstration. En tant que application E : R2 Ñ C, la fonction

Epx, yq “ expcos y ` i sin yq (25.214)

est C8. De plus nous avons

BEBx px, yq “ ex`iy “ Epx, yq (25.215a)

BEBy px, yq “ iEpx, yq, (25.215b)

et par conséquent la fonction E vérifie les équations de Cauchy-Riemann.Si r est fixé, par le critère d’Abel appliqué à la suite rn! nous savons que la série

řznn!

converge normalement sur le compact Bp0, rq.

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1349

25.7.2 Intégrale de Fresnel

Nous allons calculer l’intégrale de Fresnelż 8

0e´ix2

dx “?π

2 e´iπ4 (25.216)

en suivant la démarche présentée par wikipédia. Nous commençons par prouver que l’intégrale estconvergente en nous contentant de justifier la convergence de

ż 8

0sinpx2qdx. (25.217)

Pour tout a ą 0, l’intégraleşa0 sinpx2qdx ne pose pas de problèmes. En tenant compte du lemme

14.188, nous devons donc seulement calculer

limbÑ8

ż b

asinpx2qdx (25.218)

où a est une constante strictement positive. Nous effectuons une intégration par partie en posant

u “ 1x

u1 “ ´ 1x2 (25.219a)

v1 “ x sinpxq v “ 1´ cospxq2 . (25.219b)

Notons que la primitive v a été choisie pour avoir vp0q “ 0. Nous avonsż b

asinpx2qdx “

„1´ cospx2q

2x

b

a

´ż b

a

cospx2q ´ 12x2 dx (25.220)

Pour le premier terme nous avons

limbÑ8

„1´ cospx2q

2x

b

a

“ limbÑ8

1´ cospb2q2b ´ 1´ cospa2q

2a “ ´1´ cospa2q2a . (25.221)

C’est borné. Pour le second terme de (25.220), la fonction

cospx2q ´ 12x2 (25.222)

est majorée par la fonction 1x2 qui est intégrable entre a et 8.Nous allons calculer l’intégrale demandée en passant par la fonction

fpxq “ e´z2 (25.223)

définie sur le plan complexe. Nous l’intégrons sur le chemin γ “ γ1 ` γ2 ´ γ3 indiqué à la figure25.1.

γ1

γ2γ3

Figure 25.1 – Chemin d’intégration pour l’intégrale de Fresnel

Ces chemins sont donnés parγ1 : r0, Rs Ñ C

t ÞÑ t,(25.224)

1350 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

γ2 : r0, π4 s Ñ C

t ÞÑ Reit,(25.225)

γ3 : r0, Rs Ñ C

t ÞÑ teiπ4.(25.226)

Tout d’abord la fonction f est bien holomorphe par le critère du théorème 25.2. Le calcul de BfBz

se fait simplement en posant fpx, yq “ e´px`iyq2 . Le calcul est usuel :

----------------------------------------------------------------------| Sage Version 4.8, Release Date: 2012-01-20 || Type notebook() for the GUI, and license() for information. |----------------------------------------------------------------------sage: f(x,y)=exp(-(x+I*y)**2)sage: A=f.diff(x)+I*f.diff(y)sage: A.simplify_full()(x, y) |--> 0

Nous avons donc

0 “ż

γf “

ż R

0e´t2dt

loooomoooonI1pRq

`ż π4

0e´R2e2itRieitdt

looooooooooomooooooooooonI2pRq

`ż R

0e´t2eiπ2eiπ4dt

loooooooooomoooooooooonI3pRq

. (25.227)

L’intégrale est nulle pour tout R en vertu de la proposition 25.6. L’intégrale I1 est une gaussienneet nous avons

limRÑ8 I1pRq “

?π

2 (25.228)

par l’exemple 13.233. Nous montrons maintenant que limRÑ8 |I2pRq| “ 0 14. D’abord nous majo-rons en prenant la norme puis nous effectuons le changement de variables u “ 2t :

|I2pRq| ďż π4

0Re´R2 cosp2tqdt (25.229a)

“ R

2

ż π2

0e´R2 cospuqdu. (25.229b)

Nous savons que le graphe du cosinus est concave : il reste au dessus de la droite que joint p0, 1q àpπ2 , 0q. Du coup cospuq ě 1´ 2

πu et par conséquent

e´R2 cospuq ď e´R2p1´ 2πuq “ eR

2p 2πu´1q. (25.230)

Nous effectuons l’intégrale

|I2pRq| ď R

2

ż π2

0e´R2

e2R2πudu (25.231a)

“ R

2 e´R2

” π

2R2 e2R2uπ

ıπ20

(25.231b)

“ π

4R ´πe´R2

4R , (25.231c)

14. Il y a moyen de démontrer cela via le lemme de Jordan. Nous donnons ici une démonstration moins technolo-gique.

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1351

et nous avons bien limRÑ8 |I2pRq| “ 0. Nous passons à la troisième intégrale. En tenant compteque eiπ2 “ i, nous avons

I3pRq “ ´ż R

0e´γ3ptq2eiπ4dt (25.232a)

“ ´1` i?2

ż R

0e´t2e2iπ4 (25.232b)

“ ´1` i?2

ż R

0e´it2 . (25.232c)

En passant à la limite RÑ 0, de l’équation (25.227) il ne reste que

0 “?

22 ´ 1` i?

2

ż 8

0e´it2dt, (25.233)

ce qui signifie que ż 8

0e´it2dt “

?2π

2p1` iq “?π

2 e´iπ4. (25.234)

25.7.3 Logarithme complexe

25.7.3.1 La fonction argument

Nous savons la définition 25.43 de l’exponentielle complexe.

Définition 25.48.Un logarithme de α P C est une solution de l’équation ez “ α.

Notons bien que cela définit un logarithme, et non le logarithme.

Lemme 25.49.Si z1 et z2 sont des logarithmes de α alors il existe k P Z tel que z1 “ z2 ` 2ikπ.

Démonstration. Nous commençons par déterminer les logarithmes de α “ 1. Nous avons besoinde ea`bi “ 1 (a, b P R). Nous avons

eaebi “ 1, (25.235)

et en prenant la norme nous trouvons |ea| “ 1, ce qui donne a “ 0. Ensuite ebi “ 1, qui signifieb “ 2kπ. Les logarithmes de 1 sont donc les nombres de la forme 2ikπ.

Soient maintenant z1 et z2 des logarithmes de α. Alors ez1 “ ez2 , donc 15 ez1´z2 “ 1, ce quisignifie que z1 ´ z2 est un logarithme de 1. Donc il existe un k P Z tel que z1 ´ z2 “ 2ikπ.

Remarque 25.50.Jusqu’ici nous n’avons pas donné de conditions donnant l’existence d’un logarithme. Nous avonsseulement supposé des existences et donné des propriétés sur ces hypothétiques objets.

Définition 25.51 ([292]).Si z P C˚ nous définissons la valeur principale de son argument le nombre θ P s´π, πs tel que

z “ |z|eiθ (25.236)

Nous le notons argpzq.25.52.Il ne faut pas se ruer sur argpx ` iyq “ arctanpyxq.Pour rappel, la fonction arctan a été définie

15. C’est facile de dire «donc». Il faut surtout citer la proposition 25.44(2).

1352 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

dans le théorème 16.38, et elle prend ses valeurs dans s´π2, π2r. La formule vpx, yq “ arctanpyxqn’est donc valable que pour x ą 0. Les valeurs sont :

argpx` iyq “

$’’’’’’&’’’’’’%

arctanpyxq si x ą 0π ` arctanpyxq si x ă 0 et y ě 0´π ` arctanpyxq si x ă 0 et y ă 0π2 si x “ 0 et y ą 0´π2 si x “ 0 et y ă 0.

(25.237)

Pour x ą 0 nous avons argpx` iyq “ arctanpyxq parce que justement la fonction arctan prendses valeurs en particulier entre´π et π. Pour x ă 0 et y ą 0 nous avons argpx`iyq “ π`arctanpyxq(dans ce cas, arctanpyxq ă 0) et si x ă 0, y ă 0 nous avons argpx` iyq “ ´π ` arctanpyxq.25.53 (Les dérivées partielles de la fonction argument).Vu que nous en aurons besoin plusieurs fois, nous calculons maintenant les dérivées partielles dela fonction

ϕ : R2 Ñ R

px, yq ÞÑ argpx` iyq. (25.238)

Nous commençons par la dérivée Bxϕpx, yq. Et il y a de nombreux cas à séparer.x ą 0 Nous avons

BϕBx px, yq “ lim

εÑ0

arctanpypx` εqq ´ arctanpyxqε

, (25.239)

qui n’est autre que la dérivée de la fonction x ÞÑ arctanpyxq. Nous pouvons la calculerfacilement avec le théorème 16.38(2) :

BϕBx px, yq “ ´

y

x2 ` y2 . (25.240)

x ă 0 Nous avons

BϕBx px, yq “ lim

εÑ0

˘π ` arctanpypx` εqq ´ `˘ π ` arctanpyxq˘ε

(25.241)

où les signes ˘ dépendent du signe de y. De toutes façons, les termes en π se simplifient etle calcul est le même que celui du cas x ą 0. Encore une fois nous avons

BϕBx px, yq “ ´

y

x2 ` y2 . (25.242)

x “ 0 Nous devons calculer

BϕBx p0, yq “ lim

εÑ0

argpε` iyq ´ argpiyqε

. (25.243)

Il y a quatre cas d’après les signes de ε (séparer limite à gauche et à droite) et y.Si ε ą 0 et y ą 0 alors nous avons à faire le calcul

limεÑ0`

arctanpyεq ´ π2ε

(25.244)

qui se traite par la règle de l’Hospital. Cela donne ´1y.Les trois autres cas ne se distinguent que par des constantes au numérateur, lesquellesdisparaissent en appliquant la règle de l’Hospital 16. Au final,

BϕBx p0, yq “ ´

1y. (25.245)

16. Nonobstant le fait que ces constantes se mettent bien pour avoir un vrai cas d’indétermination 00, sinon larègle de l’Hospital ne s’applique pas.

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1353

Nous avons calculé jusqu’ici :BϕBx px, yq “

´yx2 ` y2 (25.246)

pour tout px, yq P R2ztp0, 0qu. En particulier vous avez noté que cette dérivée partielle est continuesur R2ztp0, 0qu.

Nous calculons à présent la dérivée partielle par rapport à y :

BϕBy px, yq “ lim

εÑ0

argpx` iy ` iεq ´ argpx` iyqε

. (25.247)

x ą 0 Nous avons à calculer

limεÑ0

arctan y`εx ´ arctan y

x

ε, (25.248)

qui n’est autre que la dérivée de la fonction t ÞÑ arctan tx en t “ y. Résultat :

BϕBy px, yq “

x

x2 ` y2 . (25.249)

x ă 0 et y ‰ 0 Le calcul à faire est :

limεÑ0

˘π ` arctan y`εx ´ `˘π ` arctan y

x

˘

ε(25.250)

Une chose importante à remarquer est que dans le calcul de la limite nous pouvons supposerque y et y ` ε aient le même signe, quelle que soit la valeur et le signe de ε (assez petit).C’est pour cela que les deux termes ˘π arrivent avec le même signe des deux côtés de ladifférence, et se simplifient. Nous tombons sur une limite déjà faite et

BϕBy px, yq “

x

x2 ` y2 (25.251)

x ă 0 et y “ 0 Vu que x ă 0 nous avons argpxq “ π et nous devons calculer

limεÑ0

argpx` iεq ´ πε

. (25.252)

La limite εÑ 0` est classique et donne 1x.Mais la limite εÑ 0´ n’existe pas :

limεÑ0´

´π ` arctanpεxq ´ πε

(25.253)

n’existe pas.Donc Bϕ

By px, 0q (25.254)

n’existe pas pour x ă 0.x “ 0 et y ‰ 0 Le calcul est immédiat

limεÑ0

argpiy ` iεq ´ argpiyqε

“ 0, (25.255)

donc BϕBy p0, yq “ 0. (25.256)

En ce qui concerne la continuité, nous avons que Byϕ est continue partout sauf sur la demi-droitetpx, 0q tel que x ď 0u où elle n’existe pas.

1354 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

25.7.3.2 Une définition possible du logarithme

Définition 25.54.Nous définissons la fonction logarithme par

ln : C˚ Ñ C

z ÞÑ ln`|z|˘` i argpzq (25.257)

où le ln à droite est le logarithme usuel sur R`.

Remarque 25.55.Cette fonction généralise le logarithme déjà vu sur s0,8r Ă R. En effet pour des valeurs de z danscette partie nous avons argpzq “ 0 et |z| “ z.

Lemme 25.56.Le nombre lnpzq est un logarithme de z.

Démonstration. Nous avons

elnpzq “ eln |z|ei argpzq “ |z|ei argpzq “ z. (25.258)

Nous avons utilisé le fait que elnpxq “ x pour x P R` et |z|ei argpzq “ z par définition de la fonctionarg.

Notons que si on avait pris d’autres conventions pour définir arg, nous aurions eu d’autresdéfinitions possibles de ln.

Exemple 25.57Nous avons

lnp´1q “ lnp1q ` i argp´1q. (25.259)

Mais lnp1q “ 0 et argp´1q “ π (et non ´π), donclnp´1q “ iπ. (25.260)

C’est cette définition du logarithme qui est prise par Sage, et c’est cela qui lui permet de donnerla primitive de 1x comme lnpxq et non lnp|x|q, parce que Sage connait les logarithmes de nombresréels négatifs :

1

2 SageMath version 7.3, Release Date: 2016 -08 -043 Type " notebook () " for the browser -based notebook interface.4 Type " help () " for help .5

6 sage: ln(-1)7 I*pi8 sage: f(x)=1/x9 sage: f.integrate(x)

10 x |--> log(x)

tex/sage/sageSnip010.sage

4

Nous avons jusqu’ici défini une fonction sur C˚ qui fait correspondre à chaque nombre complexeun de ses logarithmes. Il reste quelque questions à régler :

— Est-ce que cette fonction est continue ? Holomorphe ? (réponses : non et non)

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1355

— Si non, est-ce qu’il y avait moyen de trouver une définition plus efficace ? (réponse : non)

Lemme 25.58.La fonction ln n’est pas continue sur s´8, 0s.Démonstration. Attention à bien comprendre l’énoncé. La fonction

f : s´8, 0r Ñ C

x ÞÑ lnpxq (25.261)

est continue. D’ailleurs c’est lnpxq “ lnp|x|q ` iπ. Ce dont il est question dans l’énoncé, c’est de lafonction ln vue comme fonction sur C˚.

Soit x ą 0 dans R ; nous avons

lnp´xq “ lnpxq ` iπ. (25.262)

Cependant limλÑ0´λPR

lnp´x` λiq va valoir lnp|x| ´ iπq. En effet lorsque λ ă 0 est petit, l’argumentde ´x` λi se rapproche de ´π (et non de π).

‚´x` λiargpzq

Donc

limλÑ0´λPR

lnp´x` λiq “ lim lnp|x` λi|q ` i argp´x` λiq “ lnp|x|q ´ iπ. (25.263)

Nous n’avons donc pas continuité de la fonction logarithme comme fonction sur C˚.

Théorème 25.59.La restriction

ln : Czs´8, 0s Ñ C (25.264)est holomorphe.

Démonstration. Nous allons utiliser la proposition 15.7 et considérer la fonction

F : S Ñ R2

px, yq ÞÑ `lnp|x` iy|q, argpx` iyq˘ (25.265)

où S “ R2ztpx, 0q tel que x ď 0u. Nous devons vérifier que F est différentiable et que sa différen-tielle en un point de S est une similitude.

Nous posonsupx, yq “ ln

`ax2 ` y2

˘(25.266)

etvpx, yq “ argpx` iyq. (25.267)

Les dérivées partielles de u ne sont pas très compliquées :

1 sage: var( ’x , y ’)2 (x, y)3 sage: u(x,y)=ln(sqrt(x**2+y**2))4 sage: u.diff(x)5 (x, y) |--> x/(x^2 + y^2)

tex/sage/sageSnip011.sage

1356 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

c’est à direBuBx “

x

x2 ` y2 (25.268a)

BuBy “

y

x2 ` y2 . (25.268b)

Pour celles de v par contre, il faut se poser des questions, par exemples résister à la tentationd’écrire vpx, yq “ arctanpyxq et lire 25.52.

Nous avons déjà calculé les dérivées partielles de v dans 25.53, et nous avons vu qu’elles étaientcontinues sur R2 privé de la demi-droite.

Vu que les dérivées partielles sont continues, la proposition 12.204 nous dit que F est différen-tiable. La matrice de la différentielle est alors la matrice des dérivées partielles

˜x

x2`y2y

x2`y2´y

x2`y2x

x2`y2

¸, (25.269)

qui a la forme requise (15.12) pour que la proposition 15.7 nous assure que ln soit C-dérivable,c’est à dire holomorphe.

25.7.3.3 Pas plus de continuité

Bon. La fonction logarithme que nous avons définie est holomorphe sur C˚ privé d’une demi-droite U . Et elle n’est pas continue sur U ; elle y est cependant continue «par le haut». Pouvons-nousfaire mieux ? Nous allons maintenant prouver quelque résultats d’impossibilité de faire mieux queholomorphe partout sauf une partie pas si petite que ça.

Proposition 25.60.Il n’existe pas de fonctions continues f : C˚ Ñ C telle que efpzq “ z pour tout z P C˚.Démonstration. Pour tout z, le nombre fpzq est un logarithme de z. Or lnpzq en est également un.Donc par le lemme 25.49

fpzq “ lnpzq ` 2ikpzqπ (25.270)pour une certaine fonction k : C˚ Ñ Z. Sur le domaine d’holomorphie de ln, les fonction ln et fétant continues, la fonction k l’est aussi. Mais une fonction continue à valeurs dans Z est constante(son domaine est connexe).

Il existe donc k P Z tel quefpzq “ lnpzq ` 2ikπ (25.271)

au moins pour tout z P C˚zU . Une telle fonction ne peut pas être continue sur U parce que ln nel’est pas.

Ok. Pas continue sur tout C. Mais continue sur un peu plus que C privé de toute une demi-droite ? La proposition suivante répond que bof.

Proposition 25.61.Soit Ω un ouvert de C contenant Sp0, rq (le cercle centré en 0 et de rayon r ą 0). Il n’existe pasde fonction continue f : Ω Ñ C telle que efpzq “ z pour tout z P Ω.

Démonstration. Encore une fois, pour tout z P Ω nous avons

fpzq “ lnpzq ` 2iπkpzq (25.272)

pour une certaine fonction k : Ω Ñ Z. Sur ΩzU , la fonction ln est continue et k doit égalementl’être. Donc k est constante sur les composantes connexes de ΩzU .

Vu que Sp0, rq est compact, on peut le recouvrir par un nombre fini de boules centrées en despoints de Sp0, rq. En prenant le minimum des rayons de ces boules, nous voyons que Ω contientune couronne

tz P C tel que r ´ δ ď |z| ď r ` δu. (25.273)

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1357

Soit le point x0 “ ´r. C’est un point de Ω contenu dans U . Nous allons prouver que Bpx0, δqzUest dans une seule composante connexe de Ω.

Soit un point z1 P Bpx0, δq situé au-dessus de U , et z2 un point de Bpx0, δq situé en dessous deU . Le cercle Sp0, rq coupe Bpx0, δq en deux points : un au-dessus et un en-dessous de U . On peutlier z1 au point de «sortie» supérieur de Sp0, rq en restant dans Bpx0, δq ; ce point est ensuite reliéen suivant le cercle au point d’entrée inférieur du cercle dans Bpx0, δq. Ce dernier point est lié àz2 par un chemin restant dans la boule.

Tout cela pour dire que z1 et z2 sont dans la même composante connexe de Ω et que kpz1q “kpz2q. Il existe donc k P Z tel que

fpzq “ lnpzq ` 2ikπ (25.274)

sur Bpx0, δqzU . Une telle fonction f ne peut pas être continue.

25.7.3.4 Pas d’unicité : autres déterminations de l’argument

Nous avons pris la fonction d’argument arg : C Ñ s´π, πs. Il y en a évidemment beaucoupd’autres de possibles. Par exemple pour α P R nous pouvons considérer

argα` : CÑ sα, α` 2πs (25.275)

ouargα´ : CÑ rα, α` 2πr. (25.276)

En posantlnα˘pzq “ lnp|z|q ` i argα˘pzq (25.277)

nous avons une fonction réciproque de l’exponentielle définie sur C˚ et holomorphe sur C˚ privéd’une demi-droite Dα (dépendante de la valeur de ψ).

La différence entre lnα` et lnα´ est seulement la valeur sur la demi-droite de non-holomorphie.L’une sera semi-continue d’un côté et l’autre, de l’autre côté.

Définition 25.62 ([293]).Soit un ouvert Ω Ă C˚. Nous disons que la fonction f : Ω Ñ C est une détermination sur Ω sielle est continue et vérifie

efpzq “ z (25.278)

pour tout z P C.Les différents résultats vus jusqu’ici montrent qu’il n’existe pas de détermination du logarithme

sur C˚.

Définition 25.63.La détermination principale du logarithme est la restriction de notre logarithme 25.54

ln : C˚ Ñ C

z ÞÑ lnp|z|q ` i argpzq (25.279)

à l’ouvert C˚zU où U est la partie <pzq ď 0 de C.

Remarque 25.64.Beaucoup de sources[294] ne définissent pas lnα˘ sur la droite Dα. C’est à dire qu’ils notent lnαnotre fonction lnα` restreinte à C˚zDα. Dans ce cas, les fonctions lnα` et lnα´ sont identiques 17.

Cette remarque est importante parce que certains vont vous dire «le logarithme n’est pas définitsur la demi-droite» ; de leur point de vue, la fonction que nous avons définie est une prolongation(non continue) à U du logarithme, qui est continu.

17. Cela n’est pas tout à fait évident ; vous devriez y penser.

1358 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

(1) Certaines personnes pourraient vous dire que notre logarithme «n’est pas bien définit parceque si on fait le tour dans un sens ou dans l’autre nous n’obtenons pas la même valeur pourlnpzq lorsque z est sur U». Et cela avec des arguments aussi forts que «2π et 0, c’est lemême point».Nous préférons être bien clairs sur ce point : notre fonction ln est parfaitement définie surC˚ et 2π n’est pas la même chose que zéro. En particulier argpe2iπq “ 0 et argpe´iπq “ πet non π.

(2) Il n’en reste pas moins que Sage donne lnp´1q “ Iπ et que nous avons choisi de faire demême, parce que le Frido n’est pas un cours d’agrégation, mais un texte qui donne quelqueéléments de mathématique dans le but d’utiliser Sage efficacement.

(3) Tout ceci pour dire que si vous utilisez ce livre pour l’agrégation, vous devriez sérieusementconsidérer l’option de ne pas donner du logarithme la définition donnée ici, mais bien sarestriction.

En fait notre logarithme est maximum pour la propriété «être une réciproque de l’exponen-tielle» alors que beaucoup de monde préfère avoir une fonction maximale pour la propriété «êtreréciproque de l’exponentielle tout en étant continue».

De toutes les fonctions ayant le droit de vouloir être appelée «logarithme», celle que nous avonschoisie (un peu arbitrairement) pour s’appeler «logarithme» et accaparer de la notation «ln» estlnπ` . Elle est d’une certaine manière celle qui arrive le plus naturellement.

En effet si nous pensons au logarithme népérien ln : R` Ñ R que nous voulons prolonger surR, nous devons poser

lnp´xq “ lnp´1q ` lnpxq (25.280)

pour x ą 0. Que peut valoir lnp´1q ? Il doit vérifier elnp´1q “ ´1. La première valeur qui noustombe sous la main est lnp´1q “ π. Bien entendu, d’autres possibilités étaient possibles, commelnp´1q “ 2017π par exemple.

25.7.3.5 Pas d’unicité : développement en série

Pour z0 P C˚ nous pouvons écrire un développement en série de la réciproque de l’exponentielleautour de z0. La fonction ainsi définie est holomorphe sur la boule Bpz0, |z0|q et diverge en dehorsde cette boule.

Voila encore une fonction «logarithme» pour chaque point de C˚. Nous nommons lnz0 la fonc-tion

lnz0 : Bpz0, |z0|q Ñ C (25.281)

donnée par la série.En général nous n’avons pas lnz1 “ lnz2 sur l’intersection des disques de convergence. Si c’était le

cas, de proche en proche nous pourrions construire une fonction continue réciproque du logarithmesur C˚, ce qui est impossible.

25.7.3.6 Pas d’unicité : laquelle choisir ?

Bon. Pour chaque demi-droite D nous avons une détermination du logarithme sur C˚zD. Etpour tout z0 P C˚ nous en avons une sur Bpz0, |z0|q.

En pratique, quel logarithme choisir ? Cela dépend du problème.Si vous avez besoin ou envie de travailler avec des série entières, le mieux est de choisir une

détermination donnée par un développement autour d’un point bien choisit par rapport à votreproblème.

Si vous avez surtout besoin d’holomorphie, et que vous en avez besoin sur un grand domaine,vous devriez choisir une détermination sur un des ensembles C˚zDα en choisissant α de telle sorteque la demi-droite maudite ne passe pas par la zone sur laquelle vous travaillez.

Dans tous les cas, vous devez préciser très explicitement la détermination choisie. Dans ce texte,sauf mention du contraire, nous utiliserons la détermination principale, et même son extension (non

25.7. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME COMPLEXE 1359

continue) à C˚. Lorsque nous aurions besoin d’holomorphie, nous préciserons que nous considéronsla restriction.

25.7.3.7 Logarithme comme primitive

Tout le monde sait que le logarithme ln : R` Ñ R est une primitive de la fonction x ÞÑ 1x.Qu’en est-il dans le cas complexe ? Tout d’abord précisons que nous ne comptons pas encore parlerd’intégrale sur C, mais seulement d’intégrales sur R d’une fonction à valeur complexes.

Proposition 25.65.Si z P C alors ż 1

x` z dx “ lnpx` zq (25.282)

Démonstration. Il est important de comprendre que la formule (25.282) est un abus de notationpour dire que si nous considérons la fonction

ϕ : RÑ C

x ÞÑ lnpx` zq (25.283)

alors nous avons ϕ1pxq “ 1x`z . Ici la dérivation est une dérivation sur R et l’intégrale est une

intégrale sur R, c’est à dire «composante par composantes». La fonction ϕ se décompose en partieréelle et imaginaire qui sont à dériver séparément :

ϕpxq “ lnp|x` z|q ` i argpx` zq. (25.284)

Si z est imaginaire pur Nous posons z “ λi avec λ P R˚. D’abord nous avons

1x` λi “

x

x2 ` λ2 ´ iλ

x2 ` λ2 . (25.285)

La partie réelle de ϕpxq estϕ1pxq “ ln

`ax2 ` λ2

˘, (25.286)

dont la dérivée estϕ11pxq “

x

x2 ` λ2 , (25.287)

qui correspond bien à la partie réelle de 1x`λi .

En ce qui concerne la partie imaginaire, ϕ2pxq “ argpx`λiq, et sa dérivée n’est rien d’autreque la dérivée partielle par rapport à x de la fonction argument, déjà calculée en (25.246) :

ϕ12pxq “´λ

x2 ` λ. (25.288)

Cela est bien la partie imaginaire de 1x`λi .

Notons que nous n’avons pas de problèmes sur la demi-droite des réels négatifs parce quenous ne considérons au final que la dérivée partielle par rapport à x de la fonction argument,laquelle existe et est continue, même sur cette partie.

Pour z quelconque Soit z “ s ` λi avec s, λ P R. En posant ϕ0pxq “ lnpx ` λiq nous avonsϕpxq “ ϕ0px` sq et donc

ϕ1pxq “ ϕ10px` sq “1

x` s` λi “1

x` z . (25.289)

Tout va bien.

1360 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Exemple 25.66Un petit calcul d’intégrale, que nous avions déjà faite dans l’exemple 14.93 (avec la méthode deRothstein-Trager). En passant par une décomposition en fractions simples :

ż 1x3 ` x “

ż ˆ1x´ 12x´ i ´

12x` i

˙(25.290a)

“ lnpxq ´ 12 lnpx´ iq ´ 1

2 lnpx` iq (25.290b)

“ lnpxq ´ 12 lnpx2 ` 1q. (25.290c)

Attention aux justifications. Il n’est pas vrai en général dans le cas de nombres complexes a et bque lnpabq “ lnpaq ` lnpbq. En effet, pour la partie réelle, ça passe parce que |ab| “ |a||b|. Mais ence qui concerne la partie imaginaire,

argpabq ‰ argpaq ` argpbq (25.291)

lorsque la somme dépasse les bornes de s´π, πs. Le passage à (25.290c) fonctionne parce que dans lecas particulier des nombres x`i et x´i, les arguments se somment à zéro : argpx`iq`argpx´iq “ 0.

4

25.8 Théorème de WeierstrassThéorème 25.67 (Théorème de Weierstrass[295]).Soit pfnq une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert Ω de C que nous supposons convergeruniformément sur tout compact vers f . Alors f est holomorphe sur Ω et pour tout k nous avons

f pkqn Ñ f pkq (25.292)

uniformément sur tout compact.Dit en peu de mots, la limite uniforme d’une suite de fonctions holomorphes est holomorphe,

et on peut permuter la limite avec la dérivation.

Démonstration. Chacune des fonctions fn étant holomorphes, si a P Ω et r est tel que Bpa, rq Ă Ω,nous avons par la formule de Cauchy 25.13 :

fnpzq “ 12πi

ż

BBpa,rqfnpξqξ ´ z dξ (25.293)

pour tout z dans un boule Bpa, ρq incluse dans Bpa, rq. Étant donné que le cercle BB est compact,elle y est majorée par une constanteM . Montrons que de plus nous pouvons choisirM de telle façonà avoir |fnpξq| ďM pour tout n et tout ξ en même temps. D’abord nous utilisons la continuité dela limite f sur le compact BB pour poser A “ maxzPBB |fpzq|. Ensuite nous considérons un ε ą 0et N tel que | fn ´ fBB ď ε pour tout n ě N . Nous savons maintenant que

t|fnpξq| tel que n ě N, ξ P BBu (25.294)

est majoré par A` ε. Nous posons enfinB “ max

nďN maxξPBB |fnpzq|, (25.295)

et alors le nombre M “ maxtA` ε, Bu majore |fnpξq| pour tout n et tout ξ P BB.De plus pour tout ξ P BB et pour tout z dans la petite boule, nous avons |ξ ´ z| ą r ´ ρ,

donc la fonction dans l’intégrale est majorée par une constante ne dépendant ni de n ni de ξ. Nouspouvons donc permuter l’intégrale et la limite sur n :

fpzq “ 12iπ

ż

BBfpξqξ ´ z . (25.296)

25.9. THÉORÈME DE MONTEL 1361

Cela implique que la fonction f est holomorphe par le corollaire 25.16.Nous voudrions maintenant parler des dérivées des fn et de f . Pour cela nous voulons permuter

l’intégrale et les dérivées, ce qui est fait au corollaire 25.26 :

f pkqn “ 12πi

ż

BBpz0,rqfpωq

pω ´ zqk`1dω. (25.297)

Nous voulons la convergence sur tout compact contenu dans l’ouvert Ω. Pour ce faire, nous allonsconsidérer un compact K Ă Ω et prouver la convergence uniforme dans toute boule de la formeBpz0, rq avec z0 P K et Bpz0, rq Ă Ω. Pour chaque tel couple pz0, rq, nous aurons un Npz0,rq P Ntel que si n ě Npz0,rq,

f pkqn ´ f pkqBpz0,rq ď ε. (25.298)

Vu que ces boules Bpz0, rq forment un recouvrement de K par des ouverts, nous pouvons en retirerun sous-recouvrement fini et prendre, comme N , le maximum des Npz0,rq correspondants. Pour ceN nous aurons

f pkqn ´ f pkqK ď ε. (25.299)

Au travail !Pour z P Bpz0, rq nous considérons r1 ą r tel que Bpz0, r1q Ă Ω et nous avons

|f pkqn pzq ´ f pkqpzq| “ˇˇˇ

12πi

ż

BBpz0,r1qfnpξq ´ fpξqpξ ´ zqk`1 dξ

ˇˇˇ (25.300a)

ď 12π

ż

BBpz0,r1q|fnpξq ´ fpξq||r ´ r1|k`1 dξ. (25.300b)

Nous avons pris ce r1 de telle manière que |ξ ´ z| soit borné par le bas par |r ´ r1| ; sinon lamajoration que nous venons de faire ne marche pas. Étant donné que fn Ñ f uniformément, nouspouvons considérer n assez grand pour que le numérateur soit plus petit que ε indépendammentde ξ et de z. Donc pour un n assez grand,

|f pkqn pzq ´ f pkqpzq| ď ε

2π2πr1

|r ´ r1|k`1 (25.301)

pour tout z P Bpz0, rq. Donc nous avons convergence uniforme f pkqn Ñ f pkq sur cette boule. Parl’argument de compacité donné plus haut, nous avons la convergence uniforme sur tout compact.

25.9 Théorème de MontelThéorème 25.68 (Montel[2]).Soit Ω un ouvert de C et F une famille de fonctions holomorphes sur Ω, uniformément bornée surtout compact de Ω. Alors de toute suite dans F nous pouvons extraire une sous-suite convergeantuniformément sur tout compact de Ω.

Démonstration. Un ensemble équicontinu Nous commençons par prendre une suite de com-pacts dans Ω comme dans le lemme 6.156, et une suite δn de réels strictement positifs telsque

Bpz, 2δnq Ă Kn`1 (25.302)

pour tout z P Kn. Soient x, y P Kn tels que |x ´ y| ă δn ; nous notons BBpx, 2δnq le cerclede rayon 2δn autour de x, parcouru dans le sens positif. La formule de Cauchy 25.36 nousdonne

fpxq ´ fpyq “ 12πi

ż

BB

ˆfpξqξ ´ x ´

fpξqξ ´ y

˙dξ “ x´ y

2πi

ż

BBfpξq

pξ ´ xqpξ ´ yqdξ (25.303)

1362 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Nous majorons ça parˇfpxq ´ fpyqˇ ď |x´ y|2π

ż

BB|fpξq|2δ2n

dξ ď |x´ y|δn

Mn. (25.304)

Justifications :— |ξ ´ x| “ 2δn et |ξ ´ y| ě δn parce que ξ est au mieux sur le rayon passant par x et y.— |fpξq| ďMn où Mn est la borne uniforme de F sur le compact Kn.— Nous avons aussi fini par calculer l’intégrale dans laquelle il ne restait plus rien, ça a

donné la circonférence du cercle de rayon 2δn.Jusqu’à présent nous avons prouvé que l’ensemble

Fn “ tf |Kn tel que f P Fu (25.305)est équicontinu. Il est aussi équiborné par hypothèse.

Application du théorème d’Ascoli L’ensemble Fn vérifie les hypothèses du théorème d’As-coli 24.7. Donc l’ensemble Fn est relativement compact dans CpKn,Cq pour la norme uni-forme. Autrement dit l’ensemble F est compact et si nous avons une suite de fonctions dansFn, il existe une sous-suite convergeant dans Fn, c’est à dire uniformément. Autrement ditil existe une fonction strictement croissante ϕ : NÑ N telle que la suite k ÞÑ fϕpkq convergeuniformément sur Kn. La limite n’est cependant pas spécialement dans Fn.

L’argument diagonal La suite k ÞÑ fϕ1˝...ϕkpkq converge uniformément sur tous les Kn. SiK est un compact de Ω, alors les petites propriétés sympas du lemme 6.156 nous disentque K Ă IntpKmq pour un certain m. Ladite suite convergeant uniformément sur Km,elle converge uniformément sur K et nous avons montré la convergence uniforme sur toutcompact de Ω.

Corollaire 25.69 ([2]).Soit Ω un ouvert connexe borné de C et a P Ω. Soit f holomorphe sur Ω telle que fpaq “ a et|f 1paq| ă 1.

Alors de pfnq on peut extraire une sous-suite convergeant uniformément sur tout compact deΩ vers la fonction constante a.

Démonstration. Nous considérons un voisinage de a inclus à Ω ; sachant que |fpaq| ă 1, noustrouvons un voisinage encore plus petit de a sur lequel |f 1pzq| ă 1. Soit donc r tel que Bpa, rq Ă Ωet tel que |f 1pzq| ă 1 sur Bpa, rq. Étant donné que f 1pzq est continue sur le compact Bpa, rq, nousen prenons le maximum λ (qui est strictement inférieur à 1) et nous avons au final

|f 1pzq| ď λ ă 1 (25.306)pour tout z P Bpa, rq. Le théorème des accroissements finis 12.241 nous dit que

ˇfpzq ´ aˇ ď λ|z ´ a| (25.307)

pour tout z P Bpa, rq. C’est ici que nous utilisons l’hypothèse de convexité de Ω. Nous montronsalors par récurrence que ˇ

fnpzq ´ aˇ ď λn|z ´ a| ď λnr ď r. (25.308)L’ensemble A “ tfn tel que n ě 1u est donc uniformément borné sur Bpa, rq par a ` r. Autremanière de le dire : pour tout z P Bpa, rq nous avons

fnpzq P Bpa, rq. (25.309)La suite pfnq est donc uniformément bornée sur tout compact de Bpa, rq. Le théorème de Montel25.68 nous indique que l’on peut extraire une sous-suite convergente uniformément sur tout com-pact. Au vu de (25.308) cette convergence ne peut avoir lieu que vers une fonction g qui vaut laconstante a sur Bpa, rq.

D’autre par la fonction g est holomorphe en tant que limite uniforme de fonctions holomorphes,théorème 25.67. Or une fonction holomorphe constante sur un ouvert est constante sur tout sondomaine d’holomorphie (principe d’extension analytique, théorème 18.120).

25.10. ESPACES DE BERGMAN 1363

25.10 Espaces de BergmanSource : [209].Soit Ω un borné dans C et D le disque unité ouvert de C.

Définition 25.70.L’espace de Bergman sur Ω, noté A2pΩq est l’espace des fonctions holomorphes sur Ω qui sonten même temps dans L2pΩq.

Nous mettons sur A2pΩq le produit scalaire usuel hérité de L2 :

xf, gy “ż

Ωfpzqgpzqdz. (25.310)

Lemme 25.71.Soit K Ă Ω un compact et f P A2pΩq. Alors

maxzPK |fpzq| ď

1?π

1dpK, BΩqf2. (25.311)

Démonstration. Soient a P Ω et r ą 0 tels que Bpa, rq Ă Ω. Nous considérons aussi ρ ď r. Laformule de Cauchy (25.36) nous donne

fpaq “ 12πi

ż

Bpa,ρqfpξqξ ´ afξ “

12π

ż 2π

0fpa` ρeiθqdθ (25.312)

où nous avons utilisé le chemin γpθq “ a`ρeiθ, γ1pθq “ iρeiθ et ρ “ |ξ´a|. Maintenant une astuceest d’écrire

r2

2 fpaq “ż r

0fpaqρdρ, (25.313)

et d’y substituer la valeur de fpaq que nous venons de calculer :

r2

2 fpaq “ż r

0

12π

ż 2π

0fpa` ρeiθqdθρdρ (25.314a)

“ 12π

ż

Bpa,rqfpzqdz passage aux polaires (25.314b)

“ 12π x1, fyB produit scalaire sur Bpa, rq (25.314c)

ď 12π

ax1, 1yBxf, fyB (25.314d)

Nous avons doncr2fpaq ď 1

π

ax1, 1yBxf, fyB, (25.315)

et doncπr2fpaq ď

?πr2f2, (25.316)

parce que xf, fyB ď f22. En effet le produit scalaire .2 est donné par une intégrale sur Ω alorsque Bpa, rq Ă Ω et que la fonction qu’on y intègre est positive (c’est |fpzq|2). En simplifiant,

fpaq ď 1?πrf2. (25.317)

Mais r a été choisit pour avoir Bpa, rq Ă Ω, donc r ď dpa, BΩq et|fpaq| ď 1

dpa, BΩq?π f2. (25.318)

Maintenant si nous prenons a P K, nous avons encore la minoration dpa, BKq ď dpa, BΩq etdonc

|fpaq| ď 1dpa, BKq?π f2. (25.319)

1364 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Théorème 25.72.Soit Ω un ouvert de C.

(1) L’espace A2pΩq est un espace de Hilbert.(2) Si D est la boule unité dans C, une base hilbertienne de A2pDq est donnée par les fonctions

enpzq “cn` 1π

zn (25.320)

pour n ě 0.

Démonstration. Nous commençons par montrer que A2pΩq est complet. Pour cela nous considéronsune suite de Cauchy pfnq dans A2pΩq et un compact K Ă Ω. Nous savons par le lemme 25.71 que

maxzPK

ˇfnpzq ´ fmpzq

ˇ ď 1?πdpK, BΩqfn ´ fm2. (25.321)

Donc fn converge uniformément sur K. Par le théorème de Weierstrass 25.67, la fonction f estholomorphe. Il existe donc une fonction holomorphe f qui est limite uniforme sur tout compact deΩ de la suite pfnq.

Mais L2pΩq étant complet, la suite pfnq a une limite g P L2pΩq. Ce que nous voudrions faireest prouver que f “ g. Notons que tel quel, ce n’est pas vrai parce que f est une vraie fonctionalors que g est une classe. Ce que nous enseigne la proposition 24.14 est qu’il existe une sous-suite(qu’on note pgnq) qui converge vers g presque partout. Dans cette dernière phrase, gn et g sont devraies fonctions, des représentants des classes dans L2.

Nous déduisons que f “ g presque partout (ici f et g sont les fonctions) parce que la sous-suiteconverge uniformément vers f en même temps que presque partout vers g. Donc f “ g dans L2pΩq(ici f et g sont les classes). Donc f P L2pΩq et l’espace A2pΩq est de Hilbert.

Il nous faut encore prouver que penqně0 est une base orthonormale. En ce qui concerne lesproduits scalaires,

xem, eny “cpm` 1qpn` 1q

π

ż

Dznzmdz (25.322a)

“cpm` 1qpn` 1q

π2

ż 1

0ρ dρ

ż 2π

0dθρm`neiθpn´mq (25.322b)

“cpm` 1qpn` 1q

π21

m` n` 2

ż 2π

0eiθpn´mqdθ

loooooooomoooooooon2πδmn

(25.322c)

“cpn` 1q2π2

12n` 22πδnm (25.322d)

“ δnm. (25.322e)

Donc les fonctions données sont bien orthonormales. Nous devons montrer qu’elles sont densesdans A2pDq. Soit f P A2pDq et cnpfq “ xf, eny ; nous allons montrer que

f22 “8ÿ

n“0|xf, eny|2, (25.323)

parce que le point (5) du théorème 23.45 nous indique que ce sera suffisant pour avoir une basehilbertienne.

Étant donné que f est holomorphe sur D, le théorème 25.13 nous développe f en série entière :

fpzq “8ÿ

k“0akz

k. (25.324)

25.10. ESPACES DE BERGMAN 1365

En permutant la somme avec le produit scalaire,

cnpfq “ż

Dfpzqenpzq “

cn` 1π

ż

Dfpzqzndz. (25.325)

Afin de profiter de la convergence uniforme de la série (25.324) à l’intérieur de D, nous allonsexprimer l’intégrale sur D comme une intégrale sur |z| ă r en faisant tendre r vers 1 (par le bas).Pour ce faire nous considérons les fonctions

gkpzq “#fpzqzn si |z| ă 1´ 1k0 sinon.

(25.326)

Ces fonctions sont intégrables sur D et dominées par fpzqzn qui est intégrable sans dépendre dek. Mais nous avons évidemment gkpzq Ñ fpzqzn. Le théorème de la convergence dominée permetalors de permuter l’intégrale et la limite k Ñ8. Cela nous permet d’écrire

cnpfq “cn` 1π

limrÑ1´

ż

|z|ărznfpzqdz “

cn` 1π

limrÑ1´

ż

|z|ăr

8ÿ

k“0akz

kzn. (25.327)

Par la convergence uniforme de la série entière à l’intérieur du disque D nous pouvons permuterl’intégrale et la somme (proposition 15.46) :

cnpfq “cn` 1π

limrÑ1´

8ÿ

k“0ak

ż

|z|ărzkzndz. (25.328)

L’intégrale proprement dite est vite calculée et vautż

|z|ă1znzkdz “ πr2n`2

n` 1 δkn. (25.329)

Nous pouvons donc continuer le calcul de cnpfq en effectuant la somme sur k qui se réduit à changerk en n puis en effectuant la limite :

cnpfq “cn` 1π

limrÑ1´

ÿ

k

akπr2n`2

n` 1 δkn “c

π

n` 1an. (25.330)

Nous effectuons le même genre de calculs pour évaluer f22 :

f22 “ż

D|fpzq|2dz (25.331a)

“ limrÑ1´

ż

|z|ărfpzq

8ÿ

k“0akzkdz (25.331b)

“ limrÑ1´

8ÿ

k“0ak

ż

|z|ărfpzqzkdz permuter

ÿet

ż(25.331c)

“ limrÑ1´

8ÿ

k“0akak

πr2k`2

k ` 1 intégrale déjà faite. (25.331d)

Mais nous savons déjà que cnpfq “aπpn` 1q, donc ce qui est dans la somme est πakakpn`1q “

|ckpfq|2. Nous avons doncf22 “ lim

rÑ1´

8ÿ

k“0|ckpfq|2r2k`2. (25.332)

La fonction (de r) constante |ckpfq|2 domine |ckpfqr2k`2| tout en ayant une somme (sur k) quiconverge ; en effet la proposition 23.25 nous indique que

řj |ckpfq|2 ď f22. Le théorème de la

convergence dominée nous permet d’inverser la limite et la somme pour obtenir le résultat attendu :

f22 “8ÿ

k“0|ckpfq|2. (25.333)

1366 CHAPITRE 25. ANALYSE COMPLEXE

Chapitre 26

Série de Fourier

Soit f une fonction ; nous définissons ses coefficients de Fourier par

cnpfq “ 12π

ż 2π

0fptqe´int (26.1)

avec plus de détails en 24.5.1.

26.1 Densité des polynômes trigonométriques

26.1.1 Convergence pour les fonctions continues (via Weierstrass)

Le résultat fondamental qui nous permet d’utiliser les polynômes trigonométriques comme basepour les fonctions continues périodiques est le suivant. Notons que pour les fonctions non continues,il y a encore du travail.

Lemme 26.1.Si f : R Ñ C est une fonction continue 2π-périodique et si ε ą 0, alors il existe un polynômetrigonométrique P tel que f ´ P 8 ď ε.

Démonstration. Nous allons utiliser le théorème de Stone-Weierstrass 18.4. Soit le compact Haus-dorff

S1 “ tz P C tel que |z| “ 1u, (26.2)

et CpS1,Cq l’algèbre des fonctions continues de S1 vers C. Il suffit de vérifier que les polynômestrigonométriques vérifient les hypothèse du théorème de Stone-Weierstrass. Un polynôme trigono-métrique est un polynôme en z et z défini sur S1.

(1) Le polynôme constant est dans l’algèbre, ok.(2) Pour la séparation des points, le polynôme trigonométrique x ÞÑ eix.(3) Si P est un polynôme en z et z, alors P l’est encore.

Donc si ε ą 0 et f P CpS1,Cq sont donnés, il existe un polynôme trigonométrique P tel queÿ

t

|fpeitq ´ P ptq| ă ε. (26.3)

Soit f : R Ñ C une fonction continue 2π-périodique. Nous considérons f P CpS1,Cq donnée parfpeitq “ fptq. Alors supt |fptq ´ P ptq| ď ε.

26.1.2 Convergence pour les fonctions continues (via Fejér)

Si nous ne voulons pas passer par le gros théorème de Stone-Weierstrass pour prouver la densitédes polynômes trigonométrique dans

`C0

2π, .8˘, nous pouvons passer par le gros théorème de

Fejér. C’est ce que nous faisons maintenant.

1367

1368 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Le noyau de Dirichlet est la fonction

Dnptq “nÿ

k“´neint. (26.4)

Le noyau de Fejér est la moyenne de Cesaro des noyaux de Dirichlet :

Fnptq “ 1n

n´1ÿ

k“0Dkptq. (26.5)

Lemme 26.2.Le noyau de Dirichlet s’exprime sous la forme

Dnptq “nÿ

k“´ne´ikt “ sin

`2n`12 t

˘

sinpt2q (26.6)

Note : ce noyau n’est pas positif.

Démonstration. Nous commençons par mettre en facteur le premier terme :

Dnptq “nÿ

k“´neint “ e´int

2nÿ

k“0eikt. (26.7)

En utilisant la formule de la somme géométrique,

Dnptq “ e´int 1´ peitq2n`1

1´ eit (26.8a)

“ e´int 1´ ep2n`1qit

1´ eit (26.8b)

“ e´int ep2n`1qit2

eit2

e´p2n`1qit2 ´ ep2n`1qit2

e´it2 ´ eit2 (26.8c)

“ p´2iq sin`2n`1

2 t˘

p´2iq sin`t2˘ . (26.8d)

Théorème 26.3 (Théorème de Dirichlet).Soit f une fonction 2π-périodique et C1 par morceaux. Pour tout x P R nous posons

snpxq “nÿ

k“´nckpfqeikx. (26.9)

Alors nous avonslimnÑ8 snpxq “

fpx`q ` fpx´q2 . (26.10)

Lemme 26.4.Le noyau de Fejér s’exprime sous la forme

Fnptq “ 1n

ˆsin nt2

sin t2

˙2. (26.11)

Note : ce noyau est positif. C’est important parce qu’on s’en sert dans la preuve du théorèmede Fejér.

26.1. DENSITÉ DES POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES 1369

Démonstration. L’astuce est de noter sinpxq “ =peixq et de repartir du résultat à propos du noyaude Dirichlet. En utilisant encore la formule de la série géométrique partielle,

Fnptq “ 1n sinpt2q=

n´1ÿ

k“0ep2k`1qit2 (26.12a)

“ 1n sinpt2q=e

it2

n´1ÿ

k“0(26.12b)

“ 1n sinpt2q=e

it2

ˆ1´ enit1´ eit

˙(26.12c)

“ 1n sinpt2q=e

it2 enit2

´e´

int2 ´ enit2

¯

eit2`e´it2 ´ eit2˘

(26.12d)

“ 1n sinpt2q =enit2loomoon

sinpnt2q

sin`nt2˘

sinp t2q(26.12e)

“ 1n

ˆsin nt2

sin t2

˙2. (26.12f)

Théorème 26.5 (Fejèr).Soit une fonction continue et 2π-périodique f : RÑ C. Pour tout k P Z nous notons

ek : RÑ C

x ÞÑ eikx.(26.13)

Pour chaque n P N nous posons

Dn “nÿ

k“´nek Snpfq “

nÿ

k“´nckpfqek (26.14a)

Fn “ D0 ` ¨ ¨ ¨ `Dn´1n

Fn “ σnpfq “ 1n

n´1ÿ

k“0Skpfq. (26.14b)

Alors(1) 1

2πşπ´π Fnptqdt “ 1.

(2) Pour tout α P s0, πr, Fn converge uniformément vers 0 sur r´π, πszr´α, αs.(3) La suite Fn converge uniformément sur R vers f .(4) Le système trigonométrique tekukPZ est total pour l’espace

`C0pS1q, .8

˘des fonctions

continues 2π-périodiques.

Démonstration. Un calcul usuel montre queż π

´πelptqdt “

#0 si l ‰ 02π si l “ 0

(26.15)

Nous avons alors

12π

ż π

´πFnptqdt “ 1

2π1n

n´1ÿ

k“0

kÿ

l“´k

ż π

´πelptqdt

looooomooooon2πδl

“ 1n

n´1ÿ

k“01 “ 1. (26.16)

Cela prouve déjà le premier point.

1370 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Pour le second point, en partant de l’expression (26.11) et en considérant x P r´π, π, szr´α, αs(ce qui nous évite l’annulation du dénominateur),

|Fnpxq| ď 1pn` 1q sin2pα2q , (26.17)

et donc Fn Ñ 0 uniformément sur l’ensemble considéré.Nous passons maintenant à cette histoire de convergence uniforme de la moyenne de Cesaro

vers f . Pour tout n P N nous avons

Dnpxq “ 12π

nÿ

k“´n

ˆż π

´πfptqe´iktdt

˙eikx (26.18a)

“ 12π

ż π

´πfptq

nÿ

k“´nekpx´ tq (26.18b)

“ 12π

ż π

´πfptqDkpx´ tq. (26.18c)

Par conséquent, en effectuant le changement de variable u “ x´ t et la périodicité,

Fnpxq “ż π

´πfptqFnpx´ tqdt (26.19a)

“ ´ż x´π

x`πfpx´ uqFnpuqdu (26.19b)

“ż π

´πfpx´ uqFnpuqdu. (26.19c)

Nous prouvons à présent l’uniforme continuité. Soit ε ą 0 ; étant donné que f est continue et 2π-périodique, elle est uniformément continue et nous considérons δ ą 0 tel que |x´ y| ă δ impliqueˇfpxq ´ fpyqˇ ă ε. Soit M un majorant de |f | sur R. L’équation (26.19) nous donne

ˇfpxq ´ Fnpxq

ˇ “ ˇ 12π

ż π

´π

`fpx´ tq ´ fpxq˘Fnptqdt

ˇ(26.20a)

ď 12π

ż

δď|t|ďπ|2MFnptq|dt` 1

2π

ż δ

´δε|Fnptq|dt (26.20b)

ď 2M2π

ż

δď|t|ďπFnptqdt` ε1 (26.20c)

Pour obtenir (26.20a) nous avons pu rentrer fpxq dans l’intégrale en utilisant le premier point.Pour obtenir (26.20c) nous avons d’abord utilisé la positivité de Fn (lemme 26.4) pour enlever lesvaleurs absolues, et nous avons ensuite utilisé le fait que son intégrale valait 2π.

Étant donné que Fn Ñ 0 uniformément sur r´π, π, szr´α, αs, il existe un N tel queż

δď|t|ďπFnptqdt ď ε (26.21)

dès que n ą N . Le résultat découle.Pour le point (4), il suffit de remarquer que chacun des Fn est une combinaison finie d’éléments

du système trigonométrique.

26.1.3 Densité dans Lp

Nous venons de voir (de deux façons différentes) que les polynômes trigonométriques étaientdense dans

`C0

2πpRq, .8˘. Nous avons aussi déjà vu par le théorème 24.51 que ces polynômes

trigonométriques étaient denses dans LppS1q. Nous présentons à présent une autre façon de prouvercette dernière densité.

26.1. DENSITÉ DES POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES 1371

Théorème 26.6.Les polynômes trigonométriques sont denses dans LppS1q pour 1 ď p ă 8.

Démonstration. Par les théorèmes 26.1 ou 26.5 (au choix), nous savons que les polynômes trigo-nométriques sont denses dans

`C0

2πpS1q, .8˘. Vu que S1 est compact, la densité est également au

sens Lp. En effet si fn ´ f8 ď ε, alors

fn ´ f8 “ż 2π

0|fn ´ f |p ď

ż 2π

0εp “ 2πεp. (26.22)

Donc les polynômes trigonométriques sont denses dans`C0

2πpS1q, .p˘. Mais nous savons par (un

a fortiori sur) le théorème 24.33 que les fonction continues sont denses dans LppS1q.Par densité de la densité, les polynômes trigonométriques sont denses dans LppS1q.

26.1.4 Suite équirépartie, critère de Weyl

Définition 26.7.Soit u une suite dans r0, 1s. Pour 0 ď a ď b ď 1 nous posons

Xnpa, bq “ Card k P t1, . . . , nu tel que uk P ra, bs

(. (26.23)

Nous disons que la suite u est équirépartie si pour tout 0 ď a ă b ă 1, on a

limnÑ8

Xnpa, bqn

“ b´ a. (26.24)

Voir aussi la remarque 34.132 sur les nombres normaux.

Proposition 26.8 (Critère de Weyl[209, 2]).Soit pxnq une suite dans r0, 1r. Les conditions suivantes sont équivalentes.

(1) La suite pxnq est équirépartie.(2) Pour toute fonction continue à valeurs réelles sur r0, 1s,

limnÑ8

1n

nÿ

k“1fpxkq “

ż 1

0fpxqdx. (26.25)

(3) Pour tout p P N˚ nous avons

limnÑ8

1n

nÿ

k“1e2iπpxk “ 0. (26.26)

Démonstration. On pose

Snpfq “ 1n

nÿ

k“1fpxkq. (26.27)

Une espèce de lemme Supposons connaitre un ensemble de fonctions A dense dans C0pr0, 1sqpour toutes les fonctions duquel nous avons la limite (26.25). Alors la limite a lieu pourtoute fonction de C0pr0, 1sq. En effet, soit f P C0pr0, 1sq et g P A tel que f ´g8 ă ε. Alors

›››››1n

nÿ

k“1fpxkq ´

ż 1

0fptqdt

››››› ď›››››

1n

nÿ

k“1

`fpxkq ´ gpxkq

˘››››› (26.28a)

`›››››

1n

nÿ

k“1gpxkq ´

ż 1

0gptqdt

››››› (26.28b)

`››››ż 1

0gptqdt´

ż 1

0fptqdt

›››› . (26.28c)

1372 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Le premier terme se majore par ε. Le troisième est la même majoration :ş10`fptq´gptq˘dt ď

f ´ g8 “ ε. Par hypothèse sur l’espace A, le second terme se majore par ε lorsque n estgrand.

(1)ñ(2) Nous supposons que la suite est équirépartie et nous commençons par montrer lerésultat pour les fonctions en escalier. Soit donc la fonction en escalier ηpxq “ cj suraj´1 ă x ă aj . Sur le point aj lui-même, la fonction η vaut soit cj soit cj`1. Nous avons

1n

nÿ

k“1ηpxkq “ 1

n

«mÿ

j“1cjXnpaj , aj`1q ´

mÿ

j“1cjXnpaj , ajq `

mÿ

j“1ηpajqXnpaj , ajq

ff. (26.29)

À la limite nÑ8, les deux derniers termes tombent 1 et il reste

limnÑ8

1n

nÿ

k“1ηpxkq “

mÿ

j“1cjpaj´1 ´ ajq. (26.30)

Or par construction, pour une fonction en escalier,mÿ

j“1cjpaj´1 ´ ajq “

ż 1

0η. (26.31)

Étant donné que les fonctions en escalier sont denses dans les fonctions continues, l’espècede lemme plus haut conclut.

(2)ñ(1) Nous prouvons maintenant le sens inverse. C’est à dire que pour toute fonction conti-nue sur r0, 1s, nous avons ż 1

0fpxqdx “ lim

nÑ81n

nÿ

k“1fpxkq. (26.32)

Nous devons en déduire que pxnq est équirépartie. Pour ce faire, soit x P r0, 1r et ε ą 0 telque x` ε ă 1. Nous considérons ϕ “ 1rx,1r et

ϕεptq “

$’&’%

0 si t P r0, xrt´xε si t P rx, x` εr

1 si t ě x` ε.(26.33)

Cela est une fonction continue, donc

limnÑ8Sn

`ϕεptq

˘ “ż 1

0ϕεptqdt “

ż x`ε

x

t´ xε

dt`ż 1

x`ε1dt “ 1´ x´ ε

2 . (26.34)

Mais ϕε ď ϕ, donc Snpϕεq ď Snpϕq et donclim infnÑ8 Snpϕq ě 1´ x. (26.35)

Notons que nous ne savons pas si la vraie limite de gauche existe ; c’est pourquoi nousprenons la limite inférieure, qui existe toujours.Nous définissons aussi

ψεptq “

$’&’%

0 si t P r0, x´ εrt´x`εε si t P rx´ ε, xr

1 si t ą x.

(26.36)

C’est encore une fonction continue et nous trouvons 2ż 1

0ψεptqdt “ 1´ x` ε

2 . (26.37)

1. J’en profite pour mentionner que mon équation (26.29) n’est pas la même que celle de [209] dans laquelle il mesemble voir une faute ; quoi qu’il en soit, les termes litigieux tombent.

2. Je recommande chaudement de dessiner les fonctions ϕε et ψε pour avoir une idée de la situation.

26.2. FONCTIONS DE DIRICHLET 1373

Vu que ψε ě ϕ, nous avons Snpψεq ě Snpϕq et donc

lim supn

Snpϕq ď 1´ x. (26.38)

Nous avons déjà obtenu que

1´ x ď lim inf Snpϕq ď lim supSnpϕq ď 1´ x, (26.39)

donc la limite existe et vautlimnÑ8Snpϕq “ 1´ x. (26.40)

Cela est pour la fonction caractéristique ϕ “ 1rx,1r. Si nous prenons une fonction caracté-ristique 1ra,bs, nous avons la même chose parce que 1ra,br est une combinaisons linéaire defonctions du type 1rx,1r.Nous avons donc

limnÑ8Sn

`1ra,bs

˘ “ b´ a, (26.41)

alors que le membre de gauche n’est autre que

Sn`1ra,bs

˘ “ 1n

nÿ

k“11ra,bspxkq “ 1

nNpn, a, bq. (26.42)

(2)ñ(3) Vu que e2iπpxk “ cosp2πpxkq` sinp2πixkq est une fonction périodique, c’est immédiat.(3)ñ(2) Par linéarité, le point (2) montre que si f est un polynôme trigonométrique, alors

limnÑ8

1n

nÿ

k“1fpxkq “

ż 1

0fptqdt. (26.43)

Densité des polynômes trigonométriques Il nous reste à prouver que les polynômes trigo-nométriques sont denses dans les fonction continues sur r0, 1s. Soit une fonction continuesur r0, 1s avec fp0q “ fp1q. Alors le théorème de Stone-Weierstrass dans sa version trigono-métrique (lemme 26.1) nous donne la densité.Si fp1q ‰ fp0q c’est pas très grave : on peut trouver une fonction g vérifiant gp0q “ gp1q etf ´ g8 ď ε. Ensuite un polynôme trigonométrique approxime très bien g. .

26.2 Fonctions de Dirichlet

Définition 26.9.Une fonction f : RÑ C est une fonction de Dirichlet si

(1) elle est 2π-périodique,(2) elle est continue par morceaux,(3) pour tout x P R nous avons

fpxq “ fpx`q ` fpx´q2 . (26.44)

Nous notons D l’ensemble des fonctions de Dirichlet.

Lemme 26.10 ([296]).L’ensemble C0pS1q est dense dans

`D, .2

˘.

1374 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Démonstration. Nous commençons par supposer que f P D n’ait qu’un seul point de discontinuité,x0. Alors nous considérons la fonction fn qui est égale à f sur S1zBpx0,

1nq et qui sur Bpxn, 1

nq estle segment de droite joignant fpx0 ´ 1

nq et fpx0 ` 1nq. Cela est une fonction continue, et de plus

nous avons|fnpxq| ď f8 (26.45)

pour tout x. En effet si x est en dehors de Bpx0,1nq c’est évident, et si x P Bpx0,

1nq, alors |fnpxq|

est majoré soit par fpx0 ´ 1nq soit par fpx0 ` 1

nq suivant que le raccord affin soit croissant oudécroissant. Avec ça nous avons

fn ´ f22 “ż x0`1n

x0´1n|fpxq ´ fnpxq|2dx ď

ż x0`1n

x0´1n4f8 “ 8f8

n. (26.46)

Et nous voyons que fn ´ f2 Ñ 0.Si f contient plusieurs points de continuité, on fait le même coup autour de chaque point, en

prenant n assez grand pour que si x0 est un point de discontinuité, Bpx0,1nq n’en contienne pas

d’autres.

Notons que la densité de C0pS1q dans `D, .8˘est impossible parce qu’une limite uniforme de

fonctions continue est continue.

Théorème 26.11.Le système trigonométrique tenunPZ est total dans

`D, .2

˘.

Démonstration. Soit f P D. Si elle est continue, le théorème de Fejèr 26.5 nous donne convergenceuniforme sur S1 d’une suite de polynômes trigonométriques vers f . Cette convergence est égalementune convergence L2 parce que S1 est compact.

Prenons donc f P D non continue et ε ą 0 3. Par le lemme 26.10, il existe une fonctiong P C0pS1q telle que

g ´ f2 ď ε. (26.47)Le théorème de Fejèr donne aussi un polynôme trigonométrique P tel que P ´ g2 ă ε ; nousavons alors

P ´ f2 ď P ´ g2 ` g ´ f2 ď 2ε. (26.48)

Notons que cette histoire de fonctions de Dirichlet n’a pas attaquée le vrai fond du problème dela densité des polynômes trigonométriques dans L2pS1q parce que nous restons avec une hypothèsede continuité, alors que les représentants des éléments de L2pS1q n’ont strictement aucune régularitéa priori.

26.3 Coefficients et série de FourierDéfinition 26.12.La série de Fourier associée à f est

fpxq „8ÿ

n“´8cnpfqe2πi n

Tx. (26.49)

Cette expression est pour l’instant purement formelle. Cela ne présume ni de la convergencede la série, ni, au cas où elle serait convergente, que la limite soit f .

Pour la suite nous allons considérer des fonctions périodiques de période 2π, et les coefficientsde Fourier de f (quand ils existent) sont alors

cnpfq “ 12π

ż 2π

0fptqe´intdt (26.50)

3. Par exemple ε “ 0.4, mais ce n’est qu’un exemple hein. Si vous en voulez un autre, prenez p, un nombrepremier puis calculez ε “ 1p.

26.3. COEFFICIENTS ET SÉRIE DE FOURIER 1375

Proposition 26.13 ([297]).Soit f une fonction continue et périodique telle que sa série de Fourier converge uniformément.Alors la convergence est vers f .

Démonstration. Notons d’abord que f étant continue sur r0, 2πs, elle y est bornée et L2. Parconséquent Parseval nous enseigne que

SN pfq ´ fL2 Ñ 0. (26.51)

Cela signifie que

limNÑ8

12π

ż 2π

0|fptq ´ SN ptq|2dt “ 0. (26.52)

L’hypothèse de convergence uniforme nous dit que la fonction |fptq ´ SN ptq|2 converge uniformé-ment vers la fonction |fptq ´ Sptq|2 où nous avons écrit S la limite de SN . En permutant la limiteet l’intégrale,

12π

ż 2π

0|fptq ´ Sptq|2dt “ 0, (26.53)

ce qui signifie que la fonction t ÞÑ |fptq ´ Sptq|2 est la fonction nulle. Nous en déduisons quef “ S.

Proposition 26.14.Soit f une fonction 2π-périodique. Si

řnPZ |cnpfq| ă 8, alors pour tout x P R nous avons

fpxq “ÿ

nPZcnpfqeinx. (26.54)

De plus, la suite pSnfq converge uniformément vers f .

Démonstration. Nous posonsgpxq “

ÿ

nPZcnpfqeinx. (26.55)

Étant donné les hypothèses, la série de droite converge absolument, la fonction g est continue surR. Nous avons ˇ

gpxq ´ pSnfqpxqˇ ď

ÿ

|k|ąn|ckpfq|, (26.56)

mais le terme de droite tend vers zéro lorsque nÑ8 parce que c’est le reste d’une série convergente.Cela signifie que Snf converge uniformément vers g.

Par ailleurs nous savons que dans L2 nous avons la convergence Snf Ñ f (parce que f estcontinue sur le compact r0, 2πs et donc y est bornée et L2), ce qui signifie que g “ f presquepartout au sens L2. Ces deux fonctions étant continues, elles sont égales partout.

Théorème 26.15.Soit f , une fonction C1 et 2π-périodique. Nous notons pcnqnPZ la suite de ses coefficients de Fourier.Alors pcnq P `1pZq et pour tout x P R nous avons

fpxq “ÿ

nPZcnpfqeinx. (26.57)

Démonstration. Soit n P Z. Nous posons gptq “ fptqe´int. Nous avons

0 “ gp2πq ´ gp0q “ż 2π

0g1ptqdt “

ż 2π

0

“f 1ptqe´int ´ infptqe´int‰. (26.58)

Du coup, cnpf 1q “ incnpfq. La fonction f 1 étant bornée (parce que continue sur r0, 2πs), elle estde carré intégrable sur r0, 2πs et par les inégalités de Parseval (théorème 23.45) nous avons

ÿ

nPZ|cnpf 1q|2 ă 8. (26.59)

1376 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Par conséquent pcnpf 1qq P `2pZq et a fortiori pcnpf 1qqnPN P `2pNq. L’inégalité de Cauchy-Schwartznous indique alors

ÿ

nPN|cnpfq| “

ÿ

nPN

1n|cnpf 1q| ď

˜ÿ

n

1n2

¸12 ˜ÿ

n

|cnpf 1q|2¸12

ă 8. (26.60)

Nous procédons de même pour n ă 0. Cela prouve queÿ

nPZ|cnpfq| ă 8. (26.61)

Corollaire 26.16.Soient f, g deux fonctions continues et 2π-périodiques. Si cnpfq “ cnpgq alors f “ g.

Démonstration. Dans le cas de fonctions continues, le théorème de Fejér nous enseigne que si nousposons

Snpxq “nÿ

k“´nckpfqeikx (26.62)

alors nous avons la convergence

1N ` 1

Nÿ

n“0Snpfqpxq Ñ fpxq. (26.63)

C’est à dire qu’une fonction continue est déterminée par ses coefficients de Fourier.

Exemple 26.17Considérons la fonction

fpxq “ 1´ x2

π2 (26.64)

sur r´π, πs. Nous la développons en série trigonométrique, et étant paire il n’y a pas de sinus. Uncalcul montre que

a0 “ 43 (26.65)

etan “ p´1qn`1 4

n2π2 , (26.66)

de telle sorte que

fpxq “ 23 ´

4π2

8ÿ

n“1p´1qn cospnxq

n2 . (26.67)

Nous avons fpπq “ 0, mais vu le développement,

fpπq “ 23 ´

4π2

8ÿ

n“1

1n2 , (26.68)

donc 8ÿ

n“1

1n2 “

π2

6 . (26.69)

4

26.3. COEFFICIENTS ET SÉRIE DE FOURIER 1377

26.3.1 Le contre-exemple que nous attendions tous

Nous montrons maintenant que la continuité et la périodicité ne sont pas suffisantes pour avoirconvergence de la série de Fourier.

Proposition 26.18 ([2]).Soit C0

2π l’ensemble des fonctions continues muni de la norme uniforme. Nous définissons

Snpfqpxq “nÿ

k“´nckpfqeikx. (26.70)

Alors il existe f P C02π tel que la suite n ÞÑ Snpfqp0q soit divergente. En particulier f n’est pas la

somme de sa série de Fourier.

Démonstration. Nous considérons la forme linéaire

ln : C02π Ñ C

f ÞÑ Snpfqp0q “nÿ

k“´nckpfq. (26.71)

La forme est continue Nous montrons d’abord que ln est continue en montrant que ln ă8 et en utilisant la proposition 10.18. Pour cela nous calculons un peu :

lnpfq “nÿ

k“´n

12π

ż π

´πfptqe´iktdt “ 1

2π

ż π

´πfptq

nÿ

k“´ne´iktdt “ 1

2π

ż π

´πfptqDnptqdt (26.72)

où Dnptq est le noyaux de Dirichlet dont nous savons une formule par le lemme 26.2. Nousavons donc

|lnpfq| ď 12π

ż π

´π|Dnptq|f8dt. (26.73)

En prenant f8 “ 1 nous avons la borne suivante pour la norme de ln :

ln ď 12n

ż π

´π|Dnptq|dt ă 8. (26.74)

Notons que la convergence de l’intégrale vient de la continuité de la fonction

t ÞÑ sin`2n`1

2 t˘

sin`t2˘ (26.75)

qui, elle même, se prouve avec une règle de l’Hospital :

limtÑ0

sinpatqsinptq “ lim

tÑ0

a cospatqcosptq “ a. (26.76)

Donc Dnptq a une limite bien définie pour t Ñ 0 et est alors une fonction continue sur lecompact r´π, πs.

La norme de ln (début) Nous avons prouvé que ln ď 12π

şπ´π |Dnptq|dt. Nous allons à présent

prouver que cela est effectivement la norme de ln. Pour ε ą 0 nous considérons la fonction

fε : RÑ C

x ÞÑ Dnpxq|Dnpxq| ` ε .

(26.77)

C’est une fonction continue et 2π-périodique satisfaisant fε ď 1 parce que le dénominateurest toujours plus grand que le numérateur. Nous nous proposons de calculer

lnpfεq “nÿ

k“´n

12π

ż π

´πfεptqe´iktdt. (26.78)

1378 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Vu que fεptqe´ikt vaut en norme |fεptq| qui est une fonction intégrable (ne dépendant pasde k) sur r´π, πs, le théorème de la convergence dominée 13.134 nous permet de permuterla somme et l’intégrale :

lnpfεq “ 12π

ż π

´πDnptq

|Dnptq| ` εnÿ

k“´ne´ikt

loooomoooon“Dnptq

dt “ 12π

ż π

´π

ˇDnptq

ˇ2

|Dnptq| ` εdt. (26.79)

Nous avons donclimεÑ0

lnpfεq “ 12π

ż π

´π|Dnptq|dt. (26.80)

Mais vue l’inégalité (26.74) nous avons

ln “ 12π

ż π

´π|Dnptq|dt. (26.81)

Notre tâche est maintenant de donner une valeur à cette intégrale.Norme de ln tend vers 8 Nous utilisons la divergence de l’intégrale du sinus cardinal (14.567).

D’abord nous écrivons

ln “ 12π

ż π

´π

ˇsin

`2n`12 t

˘ˇˇsinpt2qˇ dt, (26.82)

ensuite nous nous souvenons que | sinpxq| ď |x| pour tout x, ce qui nous permet de changerle dénominateur :

ln ě 2π

ż π

0

ˇsin

`2n`12 t

˘ˇ

|t| dt (26.83)

Nous y effectuons le changement de variable u “ 2n`12 t qui donne

ln ě 2π

ż pn` 12 qπ

0

ˇsinpuqˇ|u| . (26.84)

Utilisant cette histoire de sinus cardinal nous avons

limnÑ8 ln “ 8. (26.85)

La conclusion L’espace`C0

2π, .8˘est complet 4, donc le théorème de Banach-Steinhaus 24.8

s’applique. Par rapport aux notations de l’énoncé de Banch-Steinhaus, nous posons

E “ `C0

2π, .8˘

(26.86a)F “ R (26.86b)

H “ tlnunPN. (26.86c)

Vu que la suite plnq n’est pas bornée, il existe f P C02π tel que

supnlnpfq “ 8. (26.87)

Pour cette fonction nous avonssupně0

Snpfqp0q “ 8, (26.88)

et donc la série de Fourier de f ne converge pas en zéro.

4. Parce qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue, théorème 12.297.

26.3. COEFFICIENTS ET SÉRIE DE FOURIER 1379

26.3.2 Inégalité isopérimétrique

Définition 26.19.Une courbe de Jordan dans le plan est une application γ : S1 Ñ R2 qui est continue et injective.

Une telle courbe peut évidemment être vue comme une application γ : r0, 2πs Ñ R2 telleque γp0q “ γp2πq. En particulier il n’est jamais mauvais de se rappeler qu’on peut choisir uneparamétrisation normale par la proposition 19.43.

Théorème 26.20 (Théorème de Jordan[298]).Si γ est une courbe de Jordan, alors l’ensemble R2zγ a exactement deux composantes connexes.L’une est bornée, l’autre non. Les deux ont γ comme frontière.

Le théorème suivant dit que parmi les courbes C1, le cercle a la plus grande surface possible àpérimètre donné.

Théorème 26.21 (Inégalité isopérimétrique[2]).Soit f : S1 Ñ C une courbe de Jordan de classe C1. Nous notons L sa longueur et S l’aire contenuede la surface délimitée 5 par f . Alors

(1) Nous avons l’inégalité isopérimétrique : L2 ě 4πS.(2) Nous avons l’égalité L2 “ 4πS si et seulement si la courbe donnée par f est un cercle.

Démonstration. Nous commençons par considérer un chemin dont la longueur est 2π et nous enconsidérons sa paramétrisation normale. Nous allons exprimer l’aire S en utilisant le théorème deGreen, et plus particulièrement la formule de surface (14.187).

Si fpsq “ xpsq ` iypsq, nous devons intégrer y1x ´ x1y, qui n’est rien d’autre que la partieimaginaire de f 1psqfpsq. Donc

S “ 12 Im

ż 2π

0f 1psqfpsqds (26.89)

Nous considérons les coefficients de Fourier de f donnés par la formule (26.50) :

cnpfq “ 12πfpsqe

´ins. (26.90)

Ceux de f 1 (qui est aussi continue sur le compact S1 et donc tout autant L2) sont donnés par

cnpf 1q “ incnpfq. (26.91)

D’autre part en vertu du théorème 19.9, la longueur de γ s’exprime en terme de l’intégrale dela norme de sa dérivée :

2π “ L “ż 2π

0|f 1psq|ds “

ż 2π

0|f 1psq|2ds (26.92)

parce que nous avons choisit une paramétrisation normale qui vérifie automatiquement |f 1psq| “ 1pour tout s. L’identité de Parseval sous sa forme (23.106) appliquée à f 1 nous enseigne que

L “ 2π “ż 2π

0|f 1psq|2ds “ 2πxf 1, f 1y “ 2π

8ÿ

n“´8|cnpf 1q|2 “ 2π

ÿ

n

n2|cnpfq|2. (26.93)

Par ailleurs le système trigonométrique étant une base hilbertienne, et les fonctions f et f 1 étantdans L2`r0, 2πs˘ (parce que continues sur un compact), elles sont égales à leurs séries de Fourier

5. C’est la partie connexe bornée de Czγ dont l’existence est donnée par le théorème de Jordan 26.20.

1380 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

(au sens L2), c’est à dire que nous avons l’égalité (24.192). Nous avons alors

xf 1, fyL2 “ xÿ

nPZcnpf 1qen,

ÿ

mPZcmpfqemy (26.94a)

“ÿ

m

ÿ

n

cnpf 1qcmpfq xen, emylooomooonδm,n

(26.94b)

“ÿ

nPZcnpf 1qcnpfq (26.94c)

“ÿ

n

in|cnpfq|2 (26.94d)

où nous avons utilisé la continuité du produit scalaire pour sortir les sommes. Avec cela nouspouvons exprimer l’aire (26.89) en termes de coefficients de Fourier :

S “ 12 Im 2πxf 1, fy “ π

ÿ

nPZn|cnpfq|2. (26.95)

En utilisant les expressions (26.93) et (26.95) pour L et S, et en écrivant L “ 2πL, nous avons

L2 ´ 4πS “ 4π2ÿ

nPZpn2 ´ nq|cnpfq|2 ě 0. (26.96)

Cela prouve l’inégalité demandée dans le cas où L “ 2π.Si γ n’est pas de longueur 2π mais L, alors nous considérons le chemin σptq “ 2πγptq

L . Salongueur est 2π et son aire, au vu de la formule de Green (26.89), son aire est 4π2 S

L2 . L’inégalitéisopérimétrique appliquée au chemin σ donne alors L2 ě 4πS.

Le cas d’égalité s’obtient uniquement si cn “ 0 pour tout n différent de 0 ou 1. Dans ce casnous avons

fpsq “ c0pfq ` c1pfqeis, (26.97)

qui est un cercle de centre c0pfq et de rayon |c1pfq|.

26.3.3 À propos des coefficients

Nous considérons l’application

c :`L1

2π, .1˘Ñ `

C0, .8˘

f ÞÑ pcnpfqqnPZ(26.98)

qui à une fonction 2π-périodique fait correspondre la suite (bornée) de ses coefficients de Fourier.Nous rappelons la définition

cnpfq “ 12π

ż 2π

0fptqe´int. (26.99)

Nous allons montrer que cette application est linéaire, continue, injective et non surjective. Pourla continuité, par la linéarité il suffit de la montrer en 0. Nous devons donc montrer que si nousavons une suite de fonctions fk qui tend vers 0 au sens L1, alors cpfkq Ñ 0 au sens de la norme.8 sur l’ensemble des suites.

Si nous posons rk “ş2π0 |fkptq|dt, alors rk “ fk1 et nous avons rk Ñ 0. Mais par définition

|cnpfkq| ď rk, (26.100)

et donc cpfkq8 ď rk. L’application c est donc continue. L’injectivité est donnée par le corollaire26.16.

Si nous supposons que l’application c est continue, alors le théorème d’isomorphisme de Banach(24.2) nous dit que cela devrait être un homéomorphisme, c’est à dire que c´1 serait égalementcontinue. Nous allons montrer qu’il n’en est rien.

26.3. COEFFICIENTS ET SÉRIE DE FOURIER 1381

Nous considérons la suite de suite

pcnqk “#

1 si k ă n

0 sinon.(26.101)

Ici pcnqk est le terme numéro k de la suite n. Par injectivité de l’application qui à une fonction faitcorrespondre la suite de ses coefficients de Fourier, la seule fonction qui possède ces coefficients est

fnptq “ÿ

kPNcn,ke

ikt. (26.102)

Étant donné que fn1 “ n, la suite pfn1q n’est pas bornée alors que a suite de suites (26.101)est bornée dans l’ensemble des suites parce que cn8 “ 1.

1382 CHAPITRE 26. SÉRIE DE FOURIER

Chapitre 27

Transformation de Fourier

Ici nous utilisons la convention de la transformée de Fourier de wikipedia, c’est à dire

fpξq “ż

R

e´iξxfpxqdx (27.1a)

fpxq “ 2πż

R

eiξxfpξqdξ. (27.1b)

Nous allons par ailleurs utiliser indifféremment les notations Fpfq ou f pour la transformée deFourier de f . La notation F est pratique pour les transformées de loooooongues expressions ainsique pour parler de l’application «transformée de Fourier» d’un espace de fonction vers un autre.

27.1.Nous verrons dans le théorème 27.25 que la Transformée de Fourier n’est pas une isométrie de L2.Pour avoir une isométrie, il aurait fallu choisir des coefficients moins simples dans (27.1a).

27.1 Transformée de Fourier dans L1pRdq

Définition 27.2.Si f P L1pRdq alors nous définissons sa transformée de Fourier est la fonction donnée par

Fpfqpξq “ fpξq “ż

R

e´iξxfpxqdx (27.2)

Lemme 27.3.Si f P L1pRdq et si gpxq “ fpλxq alors

gpξq “ λ´dfpξλq. (27.3)

Démonstration. Il s’agit de faire le changement de variable y “ λx dans l’intégrale

gpξq “ż

Rdfpλxqe´iξxdx. (27.4)

Dans le changement de variables, vient le coefficient dx “ λ´ddy.

Proposition 27.4.La transformée de Fourier est un morphisme vis-à-vis de la convolution sur L1pRnq :

zf ˚ g “ f g. (27.5)

Démonstration. Nous devons étudier l’intégrale

zf ˚ gpξq “ż

R

„ż

R

fpyqgpt´ yqe´itξdt. (27.6)

1383

1384 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

Ici nous avons choisit des représentants f et g dans les classes de L1. Montrons que f est borélienne.D’abord fpxq “ f`pxq´f´pxq où f` et f´ sont des fonctions positives. Afin d’alléger les notationsnous supposons un instant que f est positive et nous posons

fnpxq “2nÿ

k“1

k

n1fpxqPr k

n, k`1nr. (27.7)

Le fait que f soit dans L1 implique que chacune des fonctions fn est borélienne 1 et donc que fl’est aussi en tant que limite ponctuelle de fonctions boréliennes 2.

Nous allons appliquer le théorème de Fubini 13.229 à la fonction

φpx, yq “ fpxqgpyqe´iξpx`yq (27.8)

qui est borélienne en tant que produit et composé de fonctions boréliennes. Nous avonsż

R

ˆż

R

|fpxqe´iξx||gpyqe´iξy|dy˙dx “

ż

R

ˆ|fpxq|

ż

R

|gpyq|dy˙dx (27.9a)

“ż

R

|fpxq|g1 (27.9b)

“ f1g1 ă 8. (27.9c)

Le théorème est donc applicable. D’abord nous avons :

fpξqgpξq “ˆż

R

fpxqe´iξxdx˙ˆż

R

gpyqe´iξydy˙

(27.10a)

“ż

R

ˆż

R

fpxqgpyqe´iξpx`yqdy˙dx (27.10b)

“ż

R

ˆż

R

fpxqgpt´ xqe´iξt˙dx. (27.10c)

Jusqu’ici nous n’avons pas utilisé Fubini. Nous avons seulement introduit le nombreşRgpyqe´iξydy

dans l’intégrale par rapport à x et effectué le changement de variables y ÞÑ t “ x` y. Maintenantnous appliquons le théorème de Fubini pour inverser l’ordre des intégrales :

fpξqgpξq “ż

R

ˆż

R

fpxqgpt´ xqe´itξdx˙dy (27.11a)

“ż

R

e´itξˆż

R

fpxqgpt´ xqdx˙dt (27.11b)

“ż

R

e´itξpf ˚ gqptqdt (27.11c)

“ zf ˚ gpξq. (27.11d)

Proposition 27.5.Soit une fonction f P L1pRdq. Alors sa transformée de Fourier est continue.

Démonstration. Nous considérons une fonction f définie sur Rd et à valeurs dans R ou C. Satransformée de Fourier est donnée par

fpξq “ż

Rde´iξxfpxqdx. (27.12)

1. Ceci demanderait plus de justification. Dites moi si vous savez comment justifier que les fn soient boréliennes.2. Le fait que f soit borélienne est une conséquence du théorème 24.84.

27.1. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS L1pRDq 1385

Pour montrer que cette fonction f est continue en ξ0 nous considérons une suite pξnq Ñ ξ0 et nousvoulons montrer que fpξnq Ñ fpξ0q. Pour cela nous considérons les fonctions

gnpxq “ e´iξnxfpxq (27.13)

qui convergent simplement vers gpxq “ e´iξxfpxq. Étant donné que

|gnpxq| ă |fpxq|, (27.14)

le théorème de la convergence dominée donne alors

limnÑ8

żgnpxq “

żlimnÑ8 gnpxq, (27.15)

c’est à dire limnÑ8 fpξnq “ fpξq. La fonction f est donc continue.

Lemme 27.6.Pour tout f P L1pRnq nous avons f8 ď f1.Démonstration. Cela est une simple vérification :

fpξq “ż

Rnfpxqe´ixξdx, (27.16)

nous avons, pour tout ξ,|fpξq| ď

ż

R

|fpxq|dx, (27.17)

ce qui signifie exactement f8 ď f1.Lemme 27.7 (Lemme de Riemann-Lebesgue[299]).Si f est une fonction L1pRq alors limξÑ˘8 fpξq “ 0.

Démonstration. Nous commençons par prouver le résultat dans le cas d’une fonction g en escalier,et plus précisément par une fonction caractéristique d’un compact K “ ra, bs. Au niveau de latransformée de Fourier nous avons

1Kpξq “ż b

ae´iξxdx “ ´ 1

iξpe´ibξ ´ e´iaξq. (27.18)

Par conséquent|1Kpξq| ď 2

|ξ| . (27.19)

Plus généralement si g “ řNi“1 ci1Ki , alors

|gpξq| ď 2|ξ|

Nÿ

i“1|ci|, (27.20)

et donc nous avons effectivement limξÑ˘8 |gpξq| “ 0.Nous passons maintenant au cas général f P L1pRq. Étant donné que les fonctions L1 en escalier

sont denses dans L1, nous considérons une fonction g P L1pRq en escalier telle que f ´ g1 ă ε.Nous avons donc

f ´ g8 ď f ´ g1 ă ε. (27.21)Donc

fpξq ď fpξq ´ gpξq|gpξq|. (27.22)Le premier terme est plus petit que ε. Il nous reste à voir que

limξÑ8 |gpξq| “ 0, (27.23)

mais cela est le résultat de la première partie de la preuve.

1386 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

Corollaire 27.8.La transformée de Fourier d’une fonction L1pRq est bornée.Démonstration. Par le corollaire 27.5, la transformée de Fourier d’une fonction L1 est continue.Le lemme de Riemann-Lebesgue 27.7 impliquant qu’elle tend vers zéro en ˘8, elle doit êtrebornée.

27.1.1 Formule sommatoire de Poisson

Proposition 27.9 (Formule sommatoire de Poisson).Soit f : RÑ C une fonction continue et L1pRq. Nous supposons que

(1) il existe M ą 0 et α ą 1 tels que

|fpxq| ď M

p1` |x|qα , (27.24)

(2)ř8n“´8 |fp2πnq| ă 8.

Alors nous avons 8ÿ

n“´8fpnq “

8ÿ

n“´8fp2πnq. (27.25)

Démonstration. Convergence normale Nous commençons par montrer qu’il y a convergencenormale sur tout compact séparément des séries sur les n ě 0 et sur les n ă 0.Soit K un compact de R contenu dans r´A,As et n P Z tel que |n| ě 2A. Pour x P K nousavons

|x` n| ě |n| ´ |x| ě |n| ´A ě |n|2 . (27.26)

Du coup nous avons un α ą 1 tel que

|fpx` nq| ď M`1` |x` n|˘α ď

M´1` |n|

2

¯α . (27.27)

Lorsque n est grand, cela a le comportement de M|n|α et donc la série8ÿ

n“0fpx` nq (27.28)

est une série convergent normalement. Les deux séries (usuelles)

a´ “ÿ

nď0fpx` nq (27.29a)

a´ “ÿ

ną0fpx` nq (27.29b)

convergent normalement.Convergence commutative Au sens de la définition 9.179 nous avons

ÿ

nPZfpx` nq “ a` ` a´. (27.30)

En effet si nous prenons J 10 Ă N fini tel que |řNzJ0fpx` nq ´ a`| ď ε et J 11 P ´N tel que

|řnP´NzJ 11 fpx ` nq| ´ a´ ă ε, et si nous posons J0 “ J 10 Y J 11 alors si K est un ensemblefini de Z contenant J0 nous avons

|ÿ

nPKfpn` xq ´ pa` ` a´q| ď |

ÿ

nPK`fpn` xq ´ a`| ` |

ÿ

nPK´fpn` xq ´ a´| ď 2ε (27.31)

27.1. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS L1pRDq 1387

où K` sont les éléments positifs de K et K´ sont les strictement négatifs. Maintenant quela famille tfpn`xqunPZ est une famille sommable, nous savons qu’elle est commutativementsommable et que la proposition 9.184 nous permet de sommer dans l’ordre que l’on veut.Nous pouvons donc écrire sans ambigüité l’expression

řnPZ fpx` nq ou

ř8n“´8 fpx` nq.

re-convergence normale Nous posons donc sans complexes la série

F pxq “ÿ

nPZfpx` nq (27.32)

qui converge tant commutativement que normalement. Notons que nous pouvons mainte-nant dire que la série sur Z converge normalement ; pas seulement les deux séries séparément.

Continuité, périodicité Étant donné que chacune des fonctions fpx ` nq est continue, laconvergence normale nous assure que F est continue.De plus F est périodique parce que

F px` 1q “8ÿ

n“´8fpx` 1` nq “

8ÿ

p“´8fpx` pq (27.33)

où nous avons posé p “ 1` n.Coefficients de Fourier En vertu de la définition (24.184) et de la périodicité de F ,

cnpF q “ż 12

´12F ptqe´2πintdt (27.34a)

“ż 1

0F ptqe´2πintdt (27.34b)

“ż 1

0

ÿ

nPZfpt` nqe´2iπntdt (27.34c)

“ÿ

nPZ

ż n`1

nfpuqe´2πipu´nqtdu (27.34d)

“ż 8

´8fpuqe´2πinudu (27.34e)

“ fp2πnq. (27.34f)

où nous avons effectué le changement de variables u “ t ` n, et permuté l’intégrale et lasomme en vertu du fait que la somme converge normalement.

Conclusion Étant donné l’hypothèseřnPZ |fpnq| ă 8 la proposition 26.14 nous dit que

F pxq “ÿ

nPZcnpF qe2πinx, (27.35)

c’est à dire que8ÿ

n´8fpx` nq “

8ÿ

n“´8fp2πnqe2πinx. (27.36)

En écrivant cette égalité en x “ 0 nous trouvons le résultat :ÿ

nPZfpnq “

ÿ

nPZfp2πnq. (27.37)

Exemple 27.10La formule sommatoire de Poisson peut être utilisée pour calculer des sommes dans l’espace deFourier plutôt que dans l’espace direct. Nous allons montrer dans cet exemple l’égalité

8ÿ

n“´8e´αn2 “

8ÿ

n“´8

cπ

αe´π2n2α. (27.38)

1388 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

Si α est grand, alors la somme de gauche est plus rapide, tandis que si α est petit, c’est le contraire.Nous appliquons la formule sommatoire de Poisson à la fonction

fpxq “ e´αx2. (27.39)

Nous avons

fpxq “ż

R

e´αt2´ixtdt (27.40a)

“ e´x24αż

R

e´p?αt` ix

2?αq2 (27.40b)

“ e´x24α 1?α

ż

R` ix2?α

e´u2du. (27.40c)

Pour traiter cette intégrale nous utilisons la proposition 25.6 en considérant le chemin rectangulairefermé qui joint les points ´R, R, R`ai, ´R`ai et fpzq “ e´z2 . Calculons l’intégrale sur les deuxcôtés verticaux. Nous posons

γRptq “ R` tia (27.41)

avec t : 0 Ñ 1. Nous avonsż

γR

f “ż 1

0f`γRptq

˘γ1Rptqdt (27.42a)

“ ae´R2ż 1

0e´2tRia`at2dt, (27.42b)

donc en module nous avons

|ż

γR

f | ď ae´R2ż 1

0eat

2dt ďMe´R2

, (27.43)

où M est une constante ne dépendant pas de R. Lorsque R Ñ 8, la contribution des cheminsverticaux s’annule et nous trouvons que

ż

R`aie´u2

du “ż

R

e´u2du, (27.44)

que nous pouvons utiliser pour continuer le calcul (27.40). Nous avons

fpxq “ e´x24α?α

ż

Re´u2

du “cπ

αe´x24α (27.45)

où nous avons utilisé la formule (13.702). Par conséquent ce qui rentre dans la formule sommatoirede Poisson est

fp2πnq “cπ

αe´π2n2α. (27.46)

4

27.2 Transformée de Fourier dans l’espace de SchwartzLa définition de la transformée de Fourier de ϕ P S pRdq est

ϕpξq “ż

Rnϕpxqe´ix· ξdx. (27.47)

Si α est un multiindice de taille m, nous notons

pMαfqpxq “ xα1 . . . xαmfpxq. (27.48)

27.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS L’ESPACE DE SCHWARTZ 1389

Lemme 27.11 (Lemme de transfert).Si ϕ P S pRdq et si α est un multiindice, alors

Bαϕ “ p´iq|α|zMαϕ. (27.49)

etyBαϕpξq “ p´iq|α|ξαϕpξq. (27.50)

Démonstration. Nous considérons la fonction hpx, ξq “ ϕpxqe´ix· ξ dont la dérivée par rapport àξi est donnée par ´ipMiϕqpxqex· ξ. Cette fonction est majorée en norme par

Gpxq “Miϕpxq, (27.51)

qui est encore une fonction à décroissance rapide et donc parfaitement intégrable sur Rd. Lethéorème 14.65 nous dit donc que la dérivée de ϕ par rapport à ξi existe et vaut

BϕBξi pξq “ ´i

ż

Rnxiϕpxqe´iξ·x “ ´izMiϕpξq. (27.52)

En appliquant ce résultat en chaîne, nous trouvons la première formule annoncée.Nous passons à la seconde formule annoncée. Étant donné que ϕ P S , ses dérivées le sont aussi

et par conséquent, il n’y a pas de problèmes pour écrire

zBxkϕpξq “ż

Rd

BϕBxk pxqe

´ix· ξdx. (27.53)

Étant donné que

BBxk

´ϕpxqe´ix· ξ

¯“ BϕBxk pxqe

´ix· ξ ´ iξkϕpxqe´ix· ξ, (27.54)

notre tâche sera de prouver queż

Rd

BBxk

´ϕpxqe´ix· ξ

¯dx “ 0. (27.55)

Autrement dit, nous voulons montrer que le terme au bord d’une intégration par partie s’annule.D’abord le fait que ϕ soit à décroissance rapide nous assure que l’intégrale (27.55) converge. Pourchaque ξ, la fonction

fpx, ξq “ BBxk

´ϕpxqe´ix· ξ

¯(27.56)

est intégrable par rapport à x. De plus, f est dans S pRq pour chacune de ses variables (les autresétant fixées). Le théorème de Fubini 13.230 nous permet alors de décomposer l’intégrale en

ż

Rdfpx, ξqdx “

ż

R

. . .

ż

R

fpx1, . . . , xdqdx1 . . . dxd. (27.57)

De plus nous pouvons intégrer dans l’ordre de notre choix et nous choisissons évidemment d’intégrerd’abord par rapport à xk. Étudions donc l’intégrale

ż

R

BBx

´ϕpxqe´ixξ

¯dx “ lim

AÑ8

ż A

´ABBx

´ϕpxqe´ixξ

¯dx (27.58)

dans laquelle nous avons un peu allégé les notations. Une primitive de ce qui est intégré est toutetrouvée : c’est ϕpxqe´ixξ, et nous pouvons utiliser le théorème fondamental du calcul intégral pourécrire que ż A

´A

´ϕpxqe´ixξ

¯1dx “

”ϕpxqe´ixξ

ıx“Ax“´A

. (27.59)

Vu que ϕ est dans S , la limite AÑ8 donne zéro.

1390 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

En substituant maintenant (27.54) dans (27.53) et en tenant compte du terme que nous venonsde montrer s’annuler, nous avons

yBkϕpξq “ ´iξkż

Rdϕpxqe´ix· ξ “ ´iξkϕpξq. (27.60)

En recommençant la procédure |α| fois nous trouvons la seconde formule annoncée.

Proposition 27.12 ([179]).L’espace de Schwartz est stable par transformée de Fourier. De plus l’application

F : S pRdq Ñ S pRdq (27.61)

est une bijection linéaire et continue.

Démonstration. La linéarité découle de celle de l’intégrale. La difficulté est de prouver que pourϕ P S pRdq nous avons bien que ϕ P S pRdq et que cette association est continue 3.Stabilité Nous devons prouver que pour tout multiindices α et β, nous avons pα,βpϕq ă 8.

Nous avonsξβBαϕpξq “ ξβp´iq|α|zMαϕpξq “ p´iq|α|`|β| BβMαϕpξq. (27.62)

Ensuite nous nous souvenons que f8 ď f1 parce que

|fpξq| ďż

Rd

ˇfpxqe´ix· ξ

ˇ “ż

Rd|fpxq|dx “ f1. (27.63)

Doncpα,βpϕq “ BβMαϕ8 ď BβMαϕ1. (27.64)

Du fait que ϕ soit dans S , la dernière expression est finie. Cela prouve déjà que

F`S pRdq˘ Ă S pRdq. (27.65)

Continuité Nous supposons avoir une suite ϕn SÑ ϕ, et nous devons prouver que ϕn SÑ ϕ. Pouralléger les notations, nous posons fn “ ϕn ´ ϕ. Nous avons

fα,β “ ξβBαf8 (27.66a)

“ BβMαf8 lemme 27.11. (27.66b)ď BβMαf1 (27.66c)

La convergence fn SÑ 0 nous dit ente autres que BβMαfnSÑ 0 ; en particulier la proposition

24.83 nous dit que BβMαfnL1Ñ 0, ce qui signifie, par les majorations (27.66) que

fnα,β ď BβMαfn1 Ñ 0, (27.67)

ce qui prouve la continuité de transformée de Fourier dans S pRdq.Bijection Une preuve peut être trouvée dans [300].

Proposition 27.13 ([1]).Soit ϕ P S pRn ˆRmq et la transformée de Fourier partielle

ϕpx, kq “ż

Rme´ikyϕpx, yqdy. (27.68)

Alors ϕ P S pRn ˆRmq.3. Pour rappel, en dimension infinie, il n’est pas garanti qu’une application linéaire soit continue.

27.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS L’ESPACE DE SCHWARTZ 1391

Démonstration. Il s’agit de reprendre les étapes de la partie correspondante de la preuve de laproposition 27.12. Soient des multiindices α, α1, β et β1 où α et β se réfèrent à la variable x tandisque α1 et β1 se réfèrent à la variable k.

Vu que la multiplication par kβ1 commute avec Bα nous avons

xβkβ1BαBα1ϕpx, kq “ xβkβ

1Bαp´iq|α1|ČMα1ϕpx, kq “ p´iq|α1|`|β1|xβBα ČBβ1Mα1ϕpx, kq. (27.69)

D’autre part nous avons Bαϕ “ ĄBαϕ parce que la fonction Bxϕ étant Schwartz, la fonction

Gpyq “ supxPRn

|pBxϕqpx, yq| (27.70)

est dans L1pRmq par le corollaire 24.79. Par conséquent le théorème 14.65 permet de permuter ladérivée et l’intégrale dans

BBxϕpx, kq “

BBx

ż

Rme´ikyϕpx, yqdy. (27.71)

Dans le même ordre d’esprit mais dans difficultés de permutation de limites nous avons Mβϕ “ĆMβϕ.

D’autre part nous avons encore ϕα ă 8 parce que

|ϕpx, kq| ďż

Rm|ϕpx, yq|dy ď sup

x

ż

Rm|ϕpx, yq|dy ď

ż

Rm| supxϕpx, yq|dy ă 8 (27.72)

parce que ϕ est Schwartz et le corollaire 24.79 donne l’intégrabilité.Donc nous avons

ppαα1q,pββ1qpϕq “ ČBβ1Mα1MβBαϕ8 ă 8. (27.73)Cela prouve que ϕ est Schwartz.

27.2.1 Quelque transformées de Fourier

Exemple 27.14([2])Soit la fonction gεpxq “ e´εx2 . Sa transformée de Fourier sera déduite dans le lemma 27.15 enutilisant le lemme de transfert 27.11. Nous nous proposons ici de déduire de façon directe l’équationdifférentielle vérifiée par la transformée de Fourier de gε.

Nous posonsIpkq “

ż

R

e´ikxe´εx2dx. (27.74)

et nous considérons la fonctionfpk, xq “ e´ikxe´εx2

. (27.75)Elle est de classe C1 par rapport à k, et intégrable en x pour chaque k. De plus sa dérivée

pBkfqpk, xq “ ´ixe´ikxe´εx2 (27.76)

vérifie |Bkf | ď xe´εx2 . La dérivée est donc majorée (uniformément en k) par une fonction intégrable.Le théorème 14.65 permet de permuter la dérivée et l’intégrale :

I 1pkq “ż

R

´ixe´ikxe´εx2dx (27.77a)

“ i

ż

R

e´ikx 12ε

d

dx

´e´εx2

¯dx (27.77b)

“ ´i2ε

ż

R

d

dx

´e´ikx

¯e´εx2

dx par partie (27.77c)

“ ´k2ε

ż

R

e´ikxe´εx2dx (27.77d)

“ ´k2ε Ipkq. (27.77e)

D’où l’équation différentielle I 1pkq “ ´ k2εIpkq. 4

1392 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

Lemme 27.15 (Transformée de Fourier de la Gausienne [301]).La transformée de Fourier de

gε : Rd Ñ R

x ÞÑ e´εx2(27.78)

est donnée pargεpξq “

´πε

¯d2e´ξ24ε (27.79)

Démonstration. Nous commençons par la fonction gpxq “ e´x22 et nous prouvons que sa trans-formée de Fourier est gpξq “ p2πqd2gpξq.Réduction à la dimension 1 La fonction g est dans l’espace de Schwartz. Par le théorème de

Fubini,

gpξq “ż

Rd

dź

k“1e´x2

ke´iξkxkdx “dź

k“1

ż

R

e´t22e´ξkxdt “dź

k“1fpξkq (27.80)

où f est la fonction d’une variable

fpxq “ e´x22. (27.81)

Notons que f P DpRq.Une équation différentielle Voyons l’équation différentielle satisfaite par la transformée de

Fourier f de la fonction (27.81). Grâce au lemme 27.11 nous trouvons l’équation différen-tielle 4

ξfpξq ` pfq1pξq “ 0. (27.82)

C’est le moment d’utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz (18.37), appliqué à la fonctionfpt, yq “ ´ty qui est Lipschitz et continue au au problème

"y1 ` ty “ 0 (27.83a)yp0q “ y0 (27.83b)

possède une unique solution maximale, en l’occurrence ypxq “ y0e´x22. En ce qui concerne

la condition initiale nous avons

fp0q “ż

R

e´x22dx “ ?2π. (27.84)

par l’exemple 13.233. Doncfpξq “ ?2πe´ξ22. (27.85)

En reformant le produit (27.80) nous concluons.Nous passons maintenant à la fonction gε. Nous pouvons écrire gε sous la forme

gεpxq “ gp?2εxq. (27.86)

Utilisant successivement la transformée de Fourier de g que nous venons de calculer et 27.3 (facteurd’échelle) nous trouvons

gpξq “ p2πqd2gpξq (27.87a)gεpξq “ p2εq´d2g

`ξ?2ε

˘(27.87b)

“´πε

¯d2e´|ξ|24ε.. (27.87c)

Nous voyons que gε P S pRdq (c’était gagné d’avance par la proposition 27.12).4. Une façon directe de déduire cette équation différentielle est donnée dans l’exemple 27.14.

27.3. SUITE RÉGULARISANTE 1393

27.3 Suite régularisanteDéfinition 27.16.Une suite régularisante est une suite pρnq dans L1pRdq telle que

(1) pour tout n, ρn ě 0 etşRdρn “ 1 ;

(2) pour tout α ą 0,limnÑ8

ż

|t|ąαρn “ 0. (27.88)

Une telle suite est régularisante parce que souvent ρn P DpRdq, ce qui donne f ˚ ρn P C8 parle corollaire 24.42.

Proposition 27.17 ([302, 303]).Soit une suite régularisante ρn P L1pRdq. Alors :

(1) Si f est continue à support compact, nous avons la convergence uniforme sur Rd :

f ˚ ρn unifÝÑ f. (27.89)

(2) Si g P Lp (1 ď p ă 8) alorsg ˚ ρn LpÝÑ g. (27.90)

Démonstration. Si f est continue à support compact, elle est uniformément continue 5, et elle estbornée. Soit ε ą 0 et α ą 0 tel que pour tout x, y tels que x´y ă α nous ayons |fpxq´fpyq| ă ε.Nous prenons de plus n suffisamment grand pour avoir

şBp0,αqc ρn ă ε. Nous avons alors

|fpxq ´ pf ˚ ρnqpxq| “ |ż

Rd

`fpxq ´ fpyq˘ρnpx´ yqdy| (27.91a)

ďż

Bpx,αq|fpxq ´ fpyq|loooooomoooooon

ďερnpx´ yqdy `

ż

Bpx,αqc|fpxq ´ fpyq|loooooomoooooon

ď2f8

ρnpx´ yqdy

(27.91b)ď εp1` 2f8q. (27.91c)

Nous avons prouvé que pour tout ε ą 0, il existe N tel que n ą N impliqueˇfpxq´pf ˚ρnqpxq

ˇ ď ε.Cela prouve l’uniforme convergence sur Rd de f ˚ ρn vers f .

Pour le point (2) nous considérons g P L1pRdq et φ P DpRdq. Nous avons la majoration

g ˚ ρn ´ gp ď g ˚ ρn ´ φ ˚ ρnp ` φ ˚ ρn ´ φp ` φ´ gp (27.92)

En ce qui concerne le premier terme ;

pg ´ φq ˚ ρnp ď g ´ φp (27.93)

par la proposition 24.40. Donc

g ˚ ρn ´ gp ď 2g ´ φp ` φ ˚ ρn ´ φp. (27.94)

Par la densité de D dans Lp (théorème 24.33(5)) nous pouvons considérer une suite φi LpÝÑ g dansDpRdq. Pour tout i nous avons

g ˚ ρn ´ gp ď 2g ´ φip ` φi ˚ ρn ´ φp. (27.95)

Nous effectuons la limite sur nÑ8 :

limnÑ8 g ˚ ρn ´ gp ď 2g ´ φi ` lim

nÑ8 φi ˚ ρn ´ φiplooooooooooomooooooooooon“0

(27.96)

5. Théorème de Heine 12.62.

1394 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

parce que le point (1) s’applique à φi. Nous effectuons ensuite la limite sur iÑ8 dans

limnÑ8 g ˚ ρn ´ g ď 2g ´ φi Ñ 0. (27.97)

Lemme 27.18.Si gεpxq “ e´εx2 alors la suite

ρn “ 1p2πqd g1n (27.98)

est une suite régularisante (définition 27.16).

Démonstration. Nous savons déjà la transformée de Fourier de gε par le lemme 27.15. Nous mon-trons que la suite ρn est régularisante. Nous avons gε P L1pRdq et gε ě 0 ainsi que limεÑ0

şBp0,αq gε “

0 pour tout α. Il y a seulement un couac avec la norme. Nous calculonsşRdgεpξqdξ avec la forme

(27.87c). En utilisant sauvagement Fubini 6 pour séparer les intégrales et en effectuant le change-ment de variable u “ tp2?εq nous calculons :

ż

Rde´|ξ|24εdξ “

dź

k“1

ż

R

e´t24εdt (27.99a)

“ 2?ε

dź

k“1

ż

R

e´u2du (27.99b)

“dź

k“12?ε?π (27.99c)

“ 2dpπεqd2. (27.99d)

Nous avons utilisé l’exemple 13.233 pour le calcul de l’intégrale gaussienne. Avec tout cela nousavons ż

Rdgε “ p2πqd. (27.100)

Donc 1p2πqd g1n est une suite régularisante.

Le corollaire suivant regroupe les résultats à propos des suites régularisantes, leur utilité et leurexistence.

Corollaire 27.19.Si la suite régularisante ρn est dans L1pRdqXC8pRdq alors pour f P LppRdq en posant fn “ ρn ˚fnous avons

(1) fn P C8pRdq X LppRdq(2) fn LpÝÑ f

De plus, de telles suites existent.

Démonstration. Le fait que fn soit de classe C8 est le corollaire 24.42, et la convergence est laproposition 27.17(2).

De telles suites existent, par exemple celle donnée par le lemme 27.18.

6. Le pauvre !

27.3. SUITE RÉGULARISANTE 1395

27.3.1 Formule d’inversion

Proposition 27.20 (Formule d’inversion de Fourier[2]).Si f P S pRq, alors nous avons la formule d’inversion

fpxq “ 12π

ż

R

eikxfpkqdk. (27.101)

Cette formule peut d’écrire de plusieurs autres façons :

F`Fpfq˘pxq “ 2πfp´xq, (27.102a)

F´1pfqpxq “ 12π fp´xq, (27.102b)

fpxq “ 12πFpfqp´xq. (27.102c)

Démonstration. Pour ε ą 0 nous posons

fεpkq “ e´εk2eikxfpkq. (27.103)

Nous allons calculer

limεÑ0

ż

R

e´εk2eikxfpkqdk (27.104)

de deux façons.D’abord en utilisant directement le théorème de la convergence dominée 13.134. La fonction

f est dans S pRq (théorème 27.12) et par conséquent fε P L1pRq parce que le facteur e´εk2 neva certainement pas empêcher de converger. De plus |fε| ď |f | et f P L1. Le théorème est de laconvergence dominée est applicable et

limεÑ0

ż

R

e´εk2eikxfpkqdk “

ż

R

eikxfpkqdk. (27.105)

Pour le deuxième calcul nous allons faire appel à Fubini 7 pour la fonction

u : RˆRÑ R

pk, yq ÞÑ eikpx´yqe´εk2fpyq. (27.106)

D’abord nous nous assurons que u P L1pRˆRq par le corollaire 13.229, et ensuite nous utilisonsle théorème de Fubini 13.230 pour manipuler les intégrales (et en particulier les inverser). Dans unpremier temps nous avons :

ż

R

ż

R

|eikpx´yqe´εk2fpyq|dy dk ď

ż

R

e´εk2“ ż

R

|fpyq|dy‰dk ă 8 (27.107)

parce que f étant dans S pRq, l’intégrale intérieure se réduit à un nombre. Nous savons maintenant

7. Parce qu’il est toujours plus simple de refiler le boulot aux autres que de le faire soi-même. . . pauvre Fubini !

1396 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

que u P L1pRˆRq. Nous pouvons alors calculer un peu . . .ż

R

eikxe´εk2fpkqdk “

ż

R

ż

R

eikxe´εk2e´ikyfpyqdy dk (27.108a)

“ż

R

“ ż

R

eikpx´yqe´εk2fpyqdk‰dy (27.108b)

“ż

R

fpyq“ż

R

eikpx´yqe´εk2dk

‰dy (27.108c)

“ż

R

fpyqgεpy ´ xqdy (27.108d)

“cπ

ε

ż

R

fpyqe´py´xq24εdy (27.108e)

“ 2?ε

cπ

ε

ż

R

fpx` 2?εtqe´t2dt (27.108f)

“ 2?π

ż

R

fpx` 2?εtqe´t2dt (27.108g)

(27.108h)

Justifications :— La fonction gε est la gaussienne dont la transformée de Fourier est calculée dans le lemme

27.15.— Nous avons effectué le changement de variables t “ py ´ xqp2?εq qui donne dt “ dy2?ε.

La fonction f étant Schwartz (en particulier bornée), dans la dernière intégrale, nous pouvonseffectuer la majoration

fpx` 2?εtqe´t2 ď f8e´t2 , (27.109)

qui est une fonction intégrable. Nous pouvons donc permuter la limite et l’intégrale. Dans l’égalité

limεÑ0

ż

R

eikxe´εk2fpkqdk “ lim

εÑ02?π

ż

R

fpx` 2?εtqe´t2dt (27.110)

À gauche nous avons déjà la limite depuis (27.105), et à droite nous obtenons

limεÑ0

2?π

ż

R

fpx` 2?εtqe´t2dt “

ż

R

fpxqe´t2dt “ 2?πfpxq?π “ 2πfpxq (27.111)

où nous avons utilisé l’intégrale gaussienne faite dans l’exemple 13.233.En remettant tout ensemble,

2πfpxq “ limεÑ0

ż

R

e´εk2eikxfpkqdk “

ż

R

eikxfpkqdk, (27.112)

ce qu’il fallait prouver.

Corollaire 27.21.Nous avons la formule ż

R

ż

R

e´ikxfpxqdx dk “ 2πfp0q. (27.113)

Démonstration. Poser x “ 0 dans l’équation (27.101).

27.22.Les physiciens qui n’ont que rarement peur écrivent souvent la formule (27.113) sous la forme

ż

R

e´ikxdk “ δpxq (27.114)

où δ serait la fonction de Dirac qui vaut zéro partout sauf en x “ 0 où elle vaudrait l’infini, maispas n’importe quel infini ; juste celui qu’il faut pour que sont intégrale valle 1.

27.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER SUR L2pRDq 1397

Lemme 27.23.Si φ P S pRˆRnq, alors

Btφ “ xBtφ (27.115)

où le chapeau dénote la transformée de Fourier par rapport à la variable dans Rn et non par rapportà celle dans R. Le t par contre est la variable dans R.

Démonstration. Par définition de la transformée de Fourier nous avons

pBtφqpt, ξq “ BBt

ż

Rnφpt, xqe´ixξdx. (27.116)

Notre but est de permuter l’intégrale et la dérivée en utilisant le théorème 14.65. Il nous faut unefonction G : Rn Ñ R qui soit intégrable sur Rn et telle que

ˇˇBφBt φpt, xq

ˇˇ ď Gpxq (27.117)

pour tout t P Bpt0, δq. Étant donné que la fonction Btφ est tout autant Schwartz que φ elle-mêmenous pouvons alléger les notations et chercher une fonction G qui convient pour toute fonctionϕ P S pRˆRnq. Soit la fonction

Gpxq “ suptPBpt0,δq

|ϕpt, xq|. (27.118)

Pour tout multiindice α nous avons alors

supxPRn

ˇxαGpxqˇ ď sup

pt,xqPRˆRnˇxαϕpt, xqˇ ďMα P R. (27.119)

Grâce à la proposition 24.78, cela signifie que ϕ décroît plus vite que n’importe quel polynôme ; Gest donc intégrable sur Rn.

27.4 Transformée de Fourier sur L2pRdq

La théorie des transformées de Fourier est intéressante sur L2pRdq parce qu’elle y donne uneisométrie. Nous allons la donner avec des fonctions à valeurs dans C.

Remarque 27.24.Une remarque qui vaut ce qu’elle vaut, mais si u est une classe de fonction pour la relation u „ vsi et seulement si upxq “ vpxq pour presque tout v alors l’intégrale

upξq “ż

Rdupxqeixξdx (27.120)

ne dépend pas du choix du représentant. Nous pouvons donc parfaitement parler de transforméede Fourier d’une classe de fonctions.

27.4.1 Extension de L1 X L2 vers L2

Théorème 27.25 (Extention de la transformée de Fourier vers L2pRdq[301]).Soit f P L1pRdq X L2pRdq. Alors

(1) Nous avons Fpfq P L2 et fL2 “ p2πqdfL2.(2) L’application F : L1 XL2 Ñ L2 peut être étendue en une application F : L2pRdq Ñ L2pRdq

vérifiantfL2 “ p2πqdfL2 (27.121)

pour tout f P L2pRdq.

1398 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

Démonstration. Le fait que f P L1 implique Fpfq8 ď f1 (c’est le lemme 27.6). En particulier,|Fpfqpξq|2 est majoré et l’intégrale

♣ “ż

Rd|f |2e´εξ2

dξ (27.122)

existe et est finie.Découper l’intégrale Dans un premier temps nous développons les intégrales. Dans les égali-

tés suivantes, xξ est le produit scalaire x· ξ dans Rd.

♣ “ż

Rd

ˆż

Rdfpxqeixξdx

˙ˆż

Rdfpyqe´yξ

˙e´ε|ξ|2dξ (27.123a)

“ż

Rd

„ż

RdˆRdfpxqfpyqeiξpx´yqdxdy

e´ε|ξ|2dξ. (27.123b)

Nous avons utilisé le théorème de Fubini pour regrouper les intégrales 8. Vu que f P L1pRdq,la fonction px, y, ξq ÞÑ fpxqfpyqe´ε|ξ|2 est dans L1pRd ˆRd ˆRdq et le théorème de Fubini13.230 avec Ω1 “ Rd ˆRd et Ω2 “ Rd nous permet de permuter les intégrales pour avoir

♣ “ż

RdˆRdfpxqfpyq

„ż

Rdeiξpx´yqe´ε|ξ|2dξ

dxdy. (27.124)

Discuter de cette gaussienne En posant

gpxq “ e´|x|22 (27.125a)gεpxq “ gp?2εxq “ e´ε|x|2 (27.125b)

nous avons gε P S pRdq et le lemme 27.18 nous autorise à écrire

gpξq “ p2πqd2gpξq (27.126a)

gεpξq “´πε

¯d2e´|ξ|24ε (27.126b)

Nous voyons que gε P S pRdq (c’était gagné d’avance par la proposition 27.12) et que gεest une fonction paire (encore une fois, c’était gagné d’avance parce que la transformée deFourier d’une fonction paire est paire).Tout cela pour dire que l’intégrale entre crochet dans (27.124) est gεpy ´ xq “ gεpx´ yq, etdonc

♣ “ż

RdˆRdfpxqfpyqgεpx´ yqdxdy. (27.127)

Encore une fois le théorème de Fubini permet de séparer les intégrales et de calculer l’inté-grale sur y en premier. Vu que f P L1 et que gε P S pRdq, le produit de convolution f ˚ gεest un élément de S pRdq par la proposition 24.87. Nous avons donc

♣ “ż

Rdfpxqpf ˚ gεqpxqdx. (27.128)

Là, nous reconnaissons un produit scalaire dans L2pRdq, et doncż

Rd|f |2e´εξ2

dξ “ xf, f ˚ gεyL2pRdq. (27.129)

Notons que tout a un sens : f P L2pRdq et f ˚ gε P S pRdq Ă L2pRdq.8. Dans la suite nous allons encore utiliser Fubini quelque fois pour regrouper et dégrouper des intégrales.

27.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER SUR L2pRDq 1399

Suite régularisante Nous prenons la suite régularisante du lemme 27.18 donnée par

ρn “ 1p2πqd g1n. (27.130)

Première conclusion Nous reprenons (27.129)ż

Rd|f |2e´|ξ2|ndξ “ xf, f ˚ g1nyL2pRdq “ p2πqdxf, f ˚ ρny. (27.131)

En prenant la limite nÑ8 nous trouvons

limnÑ8

ż

Rd|f |2e´εξ2

dξ “ p2πqdf2. (27.132)

Pour effectuer la limite du membre de gauche nous devons remarquer qu’en posant

gnpξq “ |fpξq|e´|ξ|2n, (27.133)

nous avons une suite décroissante de fonction (c’est à dire que à ξ fixé, c’est décroissant enn). Par ailleurs ces fonctions sont toujours à valeurs dans r0,8s et nous pouvons utiliserle théorème de la convergence monotone 13.129 pour permuter la limite et l’intégrale. Aufinal :

fL2 “ p2πqdfL2 . (27.134)

En ce qui concerne l’extension, soit f P L2pRdq et une suite pfnq dans L1XL2 telle que fn L2ÝÑ f .Existence d’une telle suite Si f P L2pRdq, alors nous pouvons poser

fnpxq “ fpxqe´|x|2n2. (27.135)

Par l’inégalité de Hölder (24.52) nous avons fn P L1pRdq ; de plus fn P L2pRdq parce quepour tout x nous avons |fnpxq| ď |fpxq|. Montrons que fn L2ÝÑ f . Nous avons

fn ´ f2L2 “ż

Rd|fpxqp1´ e´|x2|n2q|2dx. (27.136)

Nous voulons prendre la limite n Ñ 8. Pour ce faire à à droite nous remarquons quee´|x|2n2 est majoré par 1 ; ce qui se trouve dans l’intégrale est donc majoré (uniformémenten n) par |fpxq|2, qui est une fonction L1 parce que f est L2. Le théorème de la convergencedominée 13.134 nous permet alors de permuter la limite et l’intégrale, ce qui donne

limnÑ8 fn ´ f

22 “

ż

RdlimnÑ8 |fpxqp1´ e

´|x|2n2q|2dx “ 0. (27.137)

Définition de F : L2 Ñ L2 La suite pfnq est une suite convergence dans L2, et elle est donc deCauchy. De plus pour chaque n,m nous avons

fn ´ fm “ p2πqdfn ´ fm. (27.138)

La suite pfnq est donc elle aussi de Cauchy, dans l’espace L2pRdq qui est complet (lemme24.54). Nous posons

f “ limnÑ8 fn. (27.139)

Indépendance aux choix Nous devons montrer que la définition de f ne dépend pas de lasuite approximant f dans L1 X L2. Soient dans deux suites fn L2ÝÑ f et gn L2ÝÑ f telles quefn

L2ÝÑ F et gn L2ÝÑ G. Alors

fn ´ gn “ p2πqdfn ´ gn ď p2πqdfn ´ f ` p2πqdgn ´ f Ñ 0. (27.140)

Par conséquent pfn ´ gnqn est une suite qui converge vers zéro. Par unicité de la limite,F “ G.

1400 CHAPITRE 27. TRANSFORMATION DE FOURIER

Remarque 27.26.Une autre suite possible, à la place de (27.135), est

fnpxq “ fpxq1|x|ăn. (27.141)

C’est à dire la fonction f limitée à une boule de rayon n autour de 0.