Pavel Finfrle

Pavel Finfrle

Aktuárský seminář, 12.3.2004

Návrh modelu pro výpočet reálné hodnoty závazku ze smluv životního

pojištění

12.3.2004 Pavel Finfrle 2

Model pro výpočet reálné hodnoty

• Ohodnocení smluv životního pojištění• Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního

životního pojištění• Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP

– obecná formulace

– konkrétní formulace• model intenzity úroku

• systémy podílu na zisku

– výsledky simulací

• Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti

Obsah



Cíl: poskytnout investorům informace o skutečné situaci pojišťovny

3. základní koncepty• US GAAP• Implicitní hodnota • Reálná hodnota

Ohodnocení portfolia



Snaha o• co nejlepší spárování nákladů a výnosů

– časové rozlišení

• co nejstabilnější realizaci zisků– dle předepsaného pojistného / EGP / EGM

– zjištěné odchylky jsou (pokud možno) realizovány postupně

"Technologie"

• best estimate

• diskontování očekávaným výnosem z kapitálu

US GAAP



složka Embedded Value, současná hodnota nejlepšího odhadu budoucích rozdělitelných zisků

snaha• o okamžité zachycení vzniku / zániku hodnot (tj.

budoucích vyplatitelných dividend)• zohlednit všechny efekty ovlivňující hodnotu"Technologie"

• best estimate

• diskontování rizikovou diskontní mírou

PVFP, Portfolio Value



Koncepční rámec IAS– cena transferu aktiva / závazku v nevynucené transakci

plně informovaných a věci znalých stran

DSOP– střední současná hodnota peněžních toků plynoucích ze

smluv životního pojištění při zohlednění (tržních) rizikových přirážek (MVM)

– pojištění = "exotický derivát"

Reálná hodnota



Příčiny problémů1. různorodost pojistných smluv, garancí a opcí

poskytovaných pojistníkům

2. volba MVM u rizik neobchodovaných na veřejných trzích

3. nejednoznačně definované chování pojistných smluv• ohodnocení plateb ovlivnitelných pojistitelem

4. přístup k primárnímu trhu• ocenění opcí pojistníka

Reálná hodnota



2. obvyklé přístupy k výpočtu Fair Value1. "Tržní" stochastické modely

– ocenění pomocí tržních oceňovacích technik (za předpokladu finanční racionality pojistníka)

– obvykle velmi úzce vymezený okruh smluv, důraz na jeden konkrétní efekt / derivát

2. "Praktické" deterministické modely

– úprava postupů výpočtu PVFP s případným separátním oceněním některých opcí a garancí

Reálná hodnota










Obsah



Problematické vlastnosti1. hodnoty plnění "ponechané na uvážení pojistitele"

2. komplikované systémy podílů na zisku

3. velké množství současně poskytnutých a neoddělitelných garancí

• indexace, odkup, redukce, TUM, ...

4. nestandardní, neporovnatelné produkty

Tradiční životní pojištění










Obsah



pojistník– je při rozhodování ovlivněn stavem finančního trhu

• obvykle ani nemá dostatek informací a znalostí

– neřídí se pouze optimalizací finančního výnosu

"částečná finanční racionalita"

odpovídá zkušenosti• např. výhodnější produkty - menší počet ukončení

• u produktu s garantovaným zhodnocením:

"pojistník má tím větší tendenci odstoupit od smlouvy, čím je výnosová křivka výš"

Obecná představa



• Hodnota závazku (náhodná veličina, na jednotku poj. částky)

kde J=1 ... ukončení následkem úmrtí, J=2 ... ukončení následkem storna

– Emaint intenzita správních nákladů (vč. ink. a odl. získatelských)

– Eclaim náklady spojené s likvidací, případně vracení provize

– D' deflátor (diskontování a rizikové přirážky)

– PS(t) připsané podíly na zisku v čase t

• pokud pojistná doba n

Obecná formulace

,)('))()(()(')())(,( int

0

dttDtEtTDTETPSTcValue maT

Jclaim

J

.)('))()(()('))(,(

,)('))()(()(')())(,(

int

0

int

0

nTdttDtEtnDnPSncValue

nTdttDtEtTDTETPSTcValue

man

Maturity

maT

Jclaim

J



• Reálná hodnota závazku

• Finanční trh– určován procesy

• Intenzity dekrementů intenzita úmrtnosti - deterministická

intenzita stornovosti - náhodný proces,

předpokládáme

Obecná formulace

]Value[EFV

})(),...,({ 1 tssWsW kt F

)(),...,(1 sWsW k

)t(' Death)t(' Surr

tSurr tss F })('{



• závislost T, J na Ft pouze prostřednictvím , tj.

• v dalším neuvažujme Emaint, Eclaim a předpokládejme

Pak pro N=min{n;-x} ... maximální doba trvání pojištění

– dále budeme modelovat

Předpoklady)t(' Surr

})('{},{ tssJT Surrt F

NValueEEFV F NValueE F

)()())(,( nPSnVnPSncMaturity



a jsou upravené o příslušné rizikové přirážky

Obecná fomulace

tSurrDeath

N

NSurrDeath

N

dzzztK

dttKtDtNKNPSNV

dttKtDttPStcttPStc

ValueE

0

0

0

21

)()(exp)( kde

,)()()()()()(

)()()())(,()())(,(

F

),t(Death )t(Surr










Obsah



určujeme reálnou hodnotu 4 peněžních toků• 3 procesy - reálná hodnota přísl. toku na intervalu (0,t)

– pojistného

– plnění při úmrtí

– odbytného

• náhodná veličina - reálná hodnota plnění při dožití

Pak

Peněžní toky

,)()()()( dtttDtKtdFVP ,)()())(,()()( 1 dttDttPStctKtdFV Death

D ,)()())(,()()( 2 dttDttPStctKtdFV Surr

S

).()()()( NDNPSNVNKFVM

).()()( NFVFVNFVNFVValueE PMDSN F










Obsah



• odpovídající časová struktura úrokových sazeb– tj. zachycení výnosové křivky f M(0,t)

• dále: výnosová křivka = tržní křivka forwardových intenzit

• výpočet ceny dluhopisu• malý počet sledovaných hodnot

• jednoduché vyjádření závislosti intenzity stornovosti a stavu trhu– stav trhu = tvar výnosové křivky

Požadavky



Model okamžité úrokové intenzity r(t)

– při rizikově neutrální pravděpodobnostní míře P

kde a 0 a 0, Wienerův proces při P,

(t) umožňuje vystihnout výnosovou křivku řešením

– r(t) - Markovský proces, normální rozdělení přírůstků

Hull-White / Vašíčkův model

),(~)()()( tWddttrattdr )(

~tW

T

dttrETf

T

PM

0

)(expln),0(

tatrVar 2)(2



při přirozené pravděpodobnostní míře Q

W(t) Wienerův proces při Q, cena rizika

Deflátor


),()()()( tdWdttrattdr

)(5,0)(exp)(exp

1)(

0

2

0

tWdzzrdQ

dP

dyyrEtD

t

tt

F



v(t) očekávaná intenzita stornovosti (případně upravená o rizikovou přirážku)

Možný způsob vyjádření závislosti intenzit stornovosti a úroku

kde W(t) - Wienerův proces řídící r(t) a (t) se stanoví tak, aby (za přirozené pravděpodobnosti Q)

Intenzita stornovosti

),()()()( tdWkdttattd SurrSurr

.)()(exp)()(exp00

t

SurrDeatht

Death dzzzEdzzz



Nevýhody modelu• záporné hodnoty intenzity úroku

• modelování vývoje výnosové křivky– 100%ní korelace pro všechny časy

– dlouhý konec stabilní

v Heath-Jarrow-Mortonově rámci


.)1()(~

),( )()(2

)( dteea

tWdeTtdf tTatTatTa


5 10 15 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1


Příklad - kvantily r(t)

005.0,03.0

%99%,95%,85,%,15%,5%,1

a

p

1050

1.0

15 20

31.12.2003 CZ


6 8 10 12 14

0.04

0.05

0.06

0.07


Příklad - výnos. křivka

15105

07.0,06.0,05.0,04.0,03.0)5( r

005.0,3.0 a


6 8 10 12 14

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08


Příklad - výnos. křivka

15105

07.0,06.0,05.0,04.0,03.0)5( r005.0,03.0 a



v HJM rámci

Reprezentace

kde a

když 1 0, a 0 a 2 0, nezávislé Wienerovy procesy (při rizikově neutrální pravděpodob. míře)

opět k vystižení výnosové křivky

Dvoufaktorový model

.)1()(

)(~

)(~

),(

)()(222

1

2)(2

11

dteea

tT

tWdetWdTtdf

tTatTa

tTa

),()()()( tytxttr )(

~)( 11 tWdtdx ),(

~)()( 22 tWddttyatdy

)(~

),(~

21 sWsW

)(t



ceny rizika příslušné procesům

za přirozené pravděpodobnostní míry Q


– poměr k1/k2 - míra důrazu na pravou stranu výn. křivky

Dvoufaktorový model21, )(

~),(

~21 sWsW

),()( 11 tdWtdx ),()()( 22 tdWdttyatdy

.)()()(5,0)(exp)( 222

1210

22

21 tWtWdzzrtD

t

),()()()( 21 tyktxkttSurr


5 10 15 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1


Příklad - kvantily r(t)

005.0,2.0,001.0

%99%,95%,85,%,15%,5%,1

221

a

p

1050

1.0

15 20

31.12.2003 CZ










Obsah



• klíčová oblast pro určení závazku ze smlouvy tradičního životního pojištění – jak v případě, že záleží na rozhodnutí managementu?

• VŠECHNY následující systémy"80% z výnosu přesahujícího technickou úrokovou míru je

určeno na podíly na zisku"

Systémy podílu na zisku



• Předpokládejme, že – garantováno průběžné zhodnocování minimální sazbou

• typicky technická úroková míra

• i na dříve připsaných podílech na zisku

– připsané podíly na zisku vedeny na zvláštním účtu• speciálně nezvyšují rizikovou částku

tj.

systém podílu na zisku = algoritmus určení RatePS(t)

• nejjednodušší volba RatePS(t) = r(t) (systém 1)

Systémy podílu na zisku

.)()()()(8.0)( dttPStRatePStPStVtdPS



• Pevně úročené papíry a vklady– dominantní složka finančního umístění

• ČAP 2001 - 78 %, z toho cenné papíry 66 %

• účetní výnos obvykle lineární amortizací

– model: bezkupónové dluhopisy • P(t,T) cena dluhopisu se splatností v T v čase t

• výnos a účetní hodnota metodou efektivní sazby

• Akcie• změna ceny přímo do výsledku

• jiné typy aktiv neuvažujeme

? strategie (re)investování ? aktivní/pasivní ? jednoduché/reálné ?

Aktiva kryjící prostředky rezerv



Portfolio složeno výhradně z dluhopisů se splatností v N.• známe = účetní hodnota rezervy v čase t

• FaceV(t) nomin. hodnota dluhopisů kryjících rezervu v čase t

kde AF(t) efektivní sazba pro amortizaci portfolia

Pak RatePS(t) = AF(t) (systém 2)

Dluhopisy do splatnosti

)()()( tPStVtK

,)()()()()()()(),(

1

)(

dttPStVtKtAFtPStVtKdNtP

tdFaceV

)()()(

)(ln

1)(

tPStVtK

tFaceV

tNtAF



Zaveďme• FaceV(t,s) nominální hodnota dluhopisů držených v čase t se

splatností v čase s nebo dříve

• BookV(t,s) účetní hodnota jednotkového dluhopisu v čase t se splatností v čase s

Pak AF(t,s) amortizační faktor příslušný BookV(t,s)

Požadujeme

Obecné portfolio dluhopisů

.),(

1ln

1),(

stBookVts

stAF

).,(),()()()( stdFaceVstBookVtPStVtKt



V čase t jsou volné prostředky investovány do dluhopisů se splatností v t+D

Zjednodušení

– pojišťovna nemá v čase t dluhopisy se splatností v t+D nebo později. Pak

– FaceV(t,s) je spojitá na

a existuje na

Dluhopisy na danou dobu I

.),(),(

,),(),(),(

DtssDsPstBookV

DtsstBookVstAFstt

BookV

DNN ,0,0

),( tts

FaceV

N,0



Pokud platí

je splněno.

Dluhopisy na danou dobu II

DtzDttP

tts

FaceVDttP

ytdFaceVytt

BookV

t

tPStVtKzt

t

FaceV

Dtztts

FaceVzt

t

FaceV

Dt

t

),(

1),(),(1

),(),()()()(

),(

,),(),(

),(),()()()( stdFaceVstBookVtPStVtKt



Pokud platí

je splněno.


,),(),( Dtztts

FaceVzt

t

FaceV

úbytek splatných dluhopisů



Pokud platí

je splněno.


Dt

t

ytdFaceVytt

BookV

t

tPStVtKzt

t

FaceV),(),(

)()()(),(

změna rezervy zhodnocení portfolia



Pokud platí

je splněno.


DtzDttP

tts

FaceVDttP

),(

1),(),(1

zvýšení nominální hodnoty reinvestováním splatných dluhopisů



Celkový amortizační faktor v čase t

(systém 3)

Případně investování v čase t do dluhopisů se splatností v

min{t+D,N} (systém 5)

Dluhopisy na danou dobu III

Dt

t

Dt

t

stdFaceVstBookV

stdFaceVstBookVstAF

tRatePS

),(),(

),(),(),(

)(

Dt

t

stdFaceVstBookVstAF ),(),(),(



při přirozené pravděpodobnostní míře Q

a úrokové intenzitě

kde S(t) cena akcie (resp. index trhu) v čase t

Z(t) je Wienerův proces nezávislý na W(t),

> 0 celková volatilita akciového trhu,

(-1,1) korelace výnosu z akcií s úrokovou mírou

> 0 cena rizika příslušná procesu Z(t)

Akcie - proces ceny

)()()()( tdWdttrattdr

,)(1)(1)()(

)( 22 tdZtdWdttrtS

tdS

.)()()(5,0)(exp)(0

22 tZtWdzzrtDt



... podíl akcií v portfoliu kryjícím rezervu, zbytek investován do dluhopisů na danou dobu D

Výnos z portfolia

požadujeme

! nelze použít jako RatePS(t) - je nutné opožděné podílení na zisku

Akcie

)()()(

)()()()(ln

),(),(),(

tPStVtK

tPStVtKdt

tSdstdFaceVstBookVstAF

Dt

t

),(),()()()()1( stdFaceVstBookVtPStVtKt



Nadvýnos je ukládán do speciální rezervy PSBase(t), na základě které se pak stanoví RatePS(t)

• Jednoduché roční vyhodnocování– na konci roku - celá PSBase(t) použita pro stanovení RatePS(t)

– Rate(t) okamžitý výnos z portfolia

(systém 6)

Opožděné podílení na zisku

,0)(

,)()()()(

ttPSBase

tdttRatetPStVtdPSBase

])([])([])([

)]([lim])([ 0

tPStVtK

htPSBasetRatePS h



Preciznější sledování nepřipsaných podílů na zisku

tj. akt. výnos - technická intenzita - akt. přípis podílů na zisku

Požadavky na zůstatek v rezervě podílů na zisku PSBase(t)

a) pojistníkům se rozdělí dané procento z PSBase(t)

Opožděné podílení na zisku II

,)()()(

)()()()()( dttKtPSdt

tdPStRatePStPStVtKtdPSBase

.])([])([])([

])([])([

tPStVtK

tPSBasetRatePS



Požadavky na zůstatek v rezervě podílů na zisku PSBase(t)

b) pojistníkům se rozdělí část PSBase(t) převyšující procent ze statutární rezervy– tzn. požadován zůstatek PSBase(t) ve výši K(t) (V(t) + PS(t))

Opožděné podílení na zisku II

.

])([])([])([

])([])([])([])([])([

tPStVtK

tPStVtKtPSBasetRatePS










Obsah



a) konstantní f(0,t) = ln (1.045)

b) přibližně odpovídající CZ SWAP 31.12.2003– zadána Nelson-Siegelovou křivkou

Výnosová křivka

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20



zadána Nelson-Siegelovou křivkou, po rizikové přirážce


0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

30.00%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20



Smíšené životní pojištění

• doba 20 let

• vstupní věk 40 let

• bez nákladových přirážek, tj.

– pojistné

– plnění v případě smrti (úmrtnost 1. řádu = úmrtnost 2. řádu)

• stornosrážka 15 % na poč., lineárně klesá k 0 na konci

• odbytné

Produkt

20:40)( At

)(1)(1 tPStC

)()()0075.085.0()(2 tPStVttC



Příklad výsledku dvoufaktorový model ,konst. výnos. křivka

TUM Reálná hodnota na 100 000 pojistné částky

pojistnéhoplnění smrt odbytného

plnění dožití CELKEM

Předpoklady 5.00% 41593 7516 0 36155 2078 1. řádu 4.50% 43669 7516 0 36155 2

4.00% 45843 7636 0 37761 -446 Stornovost 5.00% 21172 3147 9665 8409 49(deterministická) 4.50% 22228 3147 9917 8412 -752

4.00% 23335 3183 10418 8786 -948 Náhodná 5.00% 21211 3166 9780 8658 392 výnosová 4.50% 22270 3178 10107 8785 -200 křivka 4.00% 23378 3201 10525 9009 -643 Náhodná 5.00% 21495 3250 9452 9717 925 stornovost 4.50% 22568 3261 9778 9824 295

4.00% 23691 3282 10190 10020 -200



Reálná hodnota závazku na 100 000 pojistné částky

Hull-White konstantní výnos. křivka

Systém podílu na zisku 1 = okamžitá úroková intenzitaTechnická úroková míra

2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Předpoklady 1. řádu -2 069 -1 478 -938 -446 2 2 078Stornovost (deterministická) -1 651 -1 398 -1 166 -953 -757 49Náhodná výnosová křivka -1 641 -1 329 -990 -604 -158 357Náhodná stornovost -1 576 -1 255 -904 -502 -37 495

Systém podílu na zisku 3 = dluhopisy na 5 letTechnická úroková míra

2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Předpoklady 1. řádu -2 069 -1 478 -938 -446 2 2 078Stornovost (deterministická) -1 651 -1 398 -1 166 -953 -757 49Náhodná výnosová křivka -1 693 -1 406 -1 105 -758 -330 207Náhodná stornovost -1 636 -1 342 -1 028 -662 -211 348




Dvoufaktorový Model konstantní výnos. křivka


2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Předpoklady 1. řádu -2 069 -1 478 -938 -446 2 2 078Stornovost (deterministická) -1 651 -1 398 -1 166 -953 -757 49Náhodná výnosová křivka -1 510 -1 167 -793 -370 112 657Náhodná stornovost -1 215 -814 -378 101 631 1 211


2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Předpoklady 1. řádu -2 069 -1 478 -938 -446 2 2 078Stornovost (deterministická) -1 651 -1 398 -1 166 -953 -757 49Náhodná výnosová křivka -1 457 -1 266 -981 -643 -200 392Náhodná stornovost -1 226 -927 -594 -200 295 925




Dvoufaktorový Model CZ výnos. křivka


2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Reálná hodnota -1 985 -1 657 -1 321 -967 -584 -168

Systém podílu na zisku 2 = dluhopisy do splatnostiTechnická úroková míra

2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Reálná hodnota -1 565 -1 307 -1 069 -851 -651 -464


2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0%Reálná hodnota -1 804 -1 535 -1 282 -1 035 -762 -416










Obsah



uvažujme riziko úmrtí (pro stornovost obdobně)

obvyklý postup =

= zvýšení / snížení úmrtnosti daným procentem– nebere do úvahy rozložení rizik v portfoliu

přirážka odpovídá nediverzifikovatelnému riziku

tj. náhodným změnám intenzity úmrtnosti

Dále: intenzita úmrtnosti stoch. proces (t)

Riziková přirážka k úmrtnosti



r(t) ... okamžitá intenzita úroku

(t) ... okamžitá intenzita úmrtnosti

Analogie intenzity úroku a intenzity úmrtnosti

)()(exp),( trdssrETtP

T

t

)()(exp tdssEp

T

t

txs



r(t) ... okamžitá intenzita úroku

(t) ... okamžitá intenzita úmrtnosti

Platí za rizikově neutrální pravděpodob.

P

za přirozené pravděpodob.

Q

Analogie intenzity úroku a intenzity úmrtnosti

)()(exp),( trdssrETtP

T

t

)()(exp tdssEp

T

t

txs



Předpokládejme, že okamžitá intenzita úmrtnosti

je Ornstein-Uhlenbackův proces. Za přirozené pravděpodobnosti Q

Předpokládejme, že známe příslušnou cenu rizika D obdobně jako v případě intenzity úroku


),()()()( tdWdttattd DDDD

,)(exp0

xt

tQ pdyyE



Za rizikově neutrální pravděpodobnostní míry P

Pravděpodobnost přežití po úpravě o rizikovou přirážku je

Odpovídající riziková přirážka k očekávané intenzitě úmrtnosti je


)(~

)()()( tWddttalttd DD

DDDD

D

.~)(exp0

xt

tP pdyyE

atDD

xtxt eat

p

t

p

1ln~ln


5 10 15 20 25 30 35

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



tradiční riziková přirážka

riziková přirážka na základě analogie s intenzitou úroku

Documents

Pavel Finfrle