Parte 1: Nociones elementales Parte 2: Isometrías Parte 3

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría) Hoja 1 de 55

Parte 1: Nociones elementales

Parte 2: Isometrías

Parte 3: Homotecias

Parte 4: Sistemas de coordenadas

Parte 5: Cónicas

Material preparado por: Prof. Ana María Tosetti Revisado y complementado por: Ing. Freddy Rabín Catedrático de Matemática


Parte 1: Nociones elementales Repasaremos lo principales elementos de la geometría del plano, no se realizará un desarrollo

en detalle.

Trabajaremos con las nociones intuitivas de punto recta plano y espacio.

Se darán algunas definiciones de las figuras más conocidas y de sus propiedades, esta

información será muy útil para el desarrollo del resto del curso sobre todo en la parte de

geometría analítica

Posiciones relativas de dos rectas en el plano Decimos que dos rectas son coplanares cuando existe un plano que las incluye.

Dos rectas coplanares son secantes cuando tienen un solo punto en común

Dos rectas coplanares son paralelas cuando no son secantes.

Por lo tanto dos rectas coplanares son paralelas cuando son coincidentes o no tienen puntos

comunes (decimos en este caso que las rectas tienen la misma dirección).

SECANTES PARALELAS DISJUNTAS PARALELAS COINCIDENTES

O sea que dos rectas coplanares pueden cumplir:

• s y r son rectas paralelas si y solo si

• s y r son rectas secantes si y solo si

Rectas que se cruzan Cuando consideramos rectas en el espacio estas pueden ser coplanares o no coplanares a estas

últimas también se las denomina alabeadas o rectas que se cruzan.

Decimos que dos rectas se cruzan cuando no existe ningún plano que las contenga. En este

caso la intersección de las rectas es el conjunto vacio pero a diferencia de las paralelas estas

son no coplanares.

A

Por ejemplo las rectas r y r´ de la figura se cruzan


Así como también las rectas a y b de esta representación:

Triángulo

Es un polígono de tres lados, determinado por tres puntos no alineados llamados vértices.

Clasificación de triángulos

La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios:

a. Atendiendo a sus lados:

• Escalenos (los tres lados distintos , también tienen sus tres ángulos distintos))

• Isósceles (dos lados iguales, también tienen dos ángulos iguales)

• Equilátero (los tres lados iguales, también tienen sus tres ángulos iguales )

Propiedades:

1) La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo

es un ángulo llano ( 180º = radianes)

2) Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros

dos ( Desigualdad triangular)

Escaleno

Isósceles Equilátero

a

b


b. Atendiendo a sus ángulos:

• Rectángulos (si tiene un ángulo recto)

• Acutángulos (si los tres ángulos son agudos)

• Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso)

Puntos y rectas notables de un triángulo

Mediatrices y circuncentro de un triángulo

Llamamos mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

Propiedad:

Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento y recíprocamente si un

punto equidista de los extremos de un segmento pertenece a su mediatriz.

Llamamos mediatrices de un triangulo a las mediatrices de sus lados.

Bisectrices e incentro de un triángulo

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior al ángulo con origen en el vértice del

ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.

Las mediatrices de los lados de un triangulo

cualquiera, se cortan en un punto C,

llamado circuncentro,

El circuncentro está a igual distancia de los

tres vértices. Este punto es el centro de la

circunferencia circunscrita al triángulo.

A

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo


Alturas y ortocentro de un triángulo

Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a

un lado por el vértice opuesto.

Las tres rectas que contienen las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Medianas y baricentro de un triángulo

Se llaman medianas a los segmentos que tienen por extremos el

punto medio de un lado y el vértice opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto

llamado baricentro.

Propiedad:

Los puntos de la bisectriz equidistan de los

lados del ángulo.

Llamamos bisectrices de un triangulo a las

bisectrices de sus ángulos

Las bisectrices de los tres ángulos de un

triángulo se cortan en un punto I que está a

igual distancia de los tres lados. Este punto se

llama incentro y es el centro de la

circunferencia inscrita en el triángulo.


Recta de Euler

Para visualizar mejor esta propiedad es recomendable consultar el siguiente link:

http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=euler

Teorema de Pitágoras

Cuadriláteros

Llamamos cuadrilátero a un polígono de cuatro lados

Clasificación CUADRILÁTEROS

CONVEXOS

Dos pares de lados paralelos Paralelogramos Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos

Trapecios

Ningún lado paralelo Trapezoides o simplemente cuadriláteros.

En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y

baricentro están alineados. La recta a la que

pertenecen se llama recta de Euler.

El Teorema de Pitágoras establece que en

un triángulo rectángulo, el cuadrado de

la hipotenusa (el lado de mayor longitud del

triángulo rectángulo) es igual a la suma de los

cuadrados de los dos catetos (los dos lados

menores del triángulo rectángulo: los que

conforman el ángulo recto). Si un triángulo

rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la

medida de la hipotenusa es , se cumple que:


1.-PARALELOGRAMO

Lados paralelos dos a dos

Los ángulos opuestos son

iguales

P A R A L E L O G R A M O S

RECTÁNGULO

Paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales.

Esto es cuatro ángulos rectos.

CUADRADO

Tiene lados iguales y ángulos iguales.

Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo.

Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo.

ROMBO

Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales.

2.-TRAPECIO

Dos de sus lados, (normalmente llamados bases) son paralelos.

T R A P E C I O S

TRAPECIO RECTÁNGULO

Un lado perpendicular a las

bases.

O bien

Tiene dos ángulos rectos.

TRAPECIO ISÓSCELES

Los lados no paralelos son de igual longitud.

TRAPECIO ESCALENO Trapecio no rectángulo ni isósceles.

A continuación se presentan las fórmulas para calcular el área de las figuras más conocidas.


Para terminar con esta parte del repaso trataremos los conceptos básicos de trigonometría.

Razones trigonométricas


El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en A; definiremos las razones seno, coseno y

tangente, del ángulo C

• El seno de C es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno de C es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente de C es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente

Teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son

respectivamente a, b, c, entonces:

El teorema del seno establece una relación

de proporcionalidad entre las longitudes de

los lados de un triángulo y los senos de

los ángulos respectivamente opuestos.


Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente

opuestos a estos ángulos entonces:

El teorema del coseno es una generalización

del teorema de Pitágoras en los triángulos

no rectángulos, en el se relaciona un lado

de un triángulo con los otros dos y con

el coseno del ángulo formado por estos dos

lados:


Parte 2: Isometrías

Denominamos isometría en el plano a una transformación geométrica que

conserva las distancias

Simetría Axial

Una simetría axial de eje e es una transformación, en la cual a todo punto P

del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje

es la mediatriz del segmento P P´.

Por ejemplo el correspondiente del triangulo ABC en la simetria axial de eje e

es el triangulo A´B´C´

Propiedades

1) El eje de simetría es una recta doble y unida.

Doble significa que se corresponde con ella misma en la isometría y unida que todos sus

puntos son fijos.

2) Las rectas perpendiculares al eje son dobles pero no unidas.

3) El eje contiene a la bisectriz del ángulo determinado por dos semirrectas

correspondientes con origen en el eje.

4) Si una recta es paralela al eje de simetría, su transformada también lo es y el eje es

paralela media.

Les recomiendo consultar el siguiente link:

http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simaxi


Simetría central

Una simetría central de centro el punto O, es una transformación del plano en él

que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el

punto medio del segmento de extremos P y P'.

Propiedades:

1) El único punto unido es el centro.

2) Las rectas por el centro son doble

3) Las rectas correspondientes que no pasan por el centro son paralelas.


http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simcen

Traslación


La traslación es una transformación en la cual a todo punto A del plano le

corresponde otro punto A' de forma que . Siendo el vector que

define la traslación.

La traslación se designa por vTr , luego AATv ′=)(r .

Propiedades

1) No hay puntos unidos (también llamados fijos) si no es el vector nulo (en

el caso que lo sea todos los puntos son unidos).

2) Una recta y su correspondiente son paralelas.

3) Las rectas dobles son las de dirección paralela al vector de la traslación.

4) Si el vector de la traslación es el vector nulo esta es la identidad, o sea que cada

punto se corresponde con sí mismo.


http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trasla

Rotación

Dados un punto O y un ángulo α, se llama rotación de centro O y ángulo α a

una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' de modo que:


El sentido de giro positivo de es el contrario al movimiento de las agujas

(antihorario) del reloj. Muchas veces se indica el ángulo en valor absoluto y se

indica el sentido diciendo si es antihorario u horario.

Propiedades

1) El centro de una rotación pertenece a la mediatriz del segmento determinado por un

punto cualquiera y su correspondiente.

2) El ángulo determinado por dos rectas correspondientes es igual al ángulo de rotación.

3) El centro de rotación pertenece a la bisectriz del ángulo formado por dos rectas

correspondientes

4) El único punto unido es el centro cuando el ángulo de rotación no es 0.

5) Si el ángulo de rotación es 0 la rotación es la identidad.


http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=rotaci

Veamos ahora algunos ejemplos de composición

Llamamos composición de isometrías a la aplicación sucesiva de dos o más

isometrías.

Composición de simetrías axiales de ejes paralelos

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo

vector tiene:


• Longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.

• La dirección del vector es perpendicular a los ejes.

• El sentido es el de e a e'.

Composición de simetrías axiales de ejes perpendiculares

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría

central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.


Composición de simetrías centrales con el mismo centro

Si aplicamos sucesivamente una simetría de centro o con una simetría de

centro o, cada punto del plano se corresponde con el mismo, o sea que la

composición de simetrías axiales de igual centro es la identidad, en este caso

decimos que la isometría es involutiva.

Composición de traslaciones

Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores ur

y vr

, se obtiene otra

traslación cuyo vector es la suma de los vectores ur

y vr

.


Composición de Rotaciones con el mismo centro

Al aplicar sucesivamente dos Rotaciones de igual centro O y amplitudes α y β

en el mismo sentido se obtiene una rotación de igual centro O y amplitud

igual a la suma de las amplitudes α+β y en el mismo sentido de las anteriores.

Criterios de congruencia de triángulos

Decimos que dos figuras son congruentes cuando se corresponden en una

isometría, si se trata de triángulos esto significa que tienen, ángulos y lados

iguales, existen criterios que nos permiten decir cuando dos triángulos son

congruentes, recordemos a continuación cuales son.

1. Criterio (L, L, L)

Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivamente congruentes:


2. Criterio (L, A, L)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

congruentes.

3. Criterio (A, L, A)

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los dos ángulos adyacentes congruentes.

4. Criterio (L, L, A>)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de estos

lados congruentes.


Parte 3: Homotecias Una homotecia de centro O y razón k ( k es un real positivo) es una transformación del

plano en la cual a un punto cualquiera P, le corresponde otro punto P' de la semirrecta O P, de

manera que . Veamos algunos ejemplos:

Si k es un real negativo en al homotecia de centro O y razon k a un punto cualquiera P, le

corresponde otro punto P' de la semirrecta opuesta a la O P, de manera que .

Veamos algún ejemplo:


Les recomiendo que consulten este link:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm

Propiedades

• Las rectas correspondientes en una homotecia son paralelas

• Las rectas que pasan por el centro de homotecia son dobles

• Si la razón de homotecia es 1 la homotecia es la identidad

• Si la razón de homotecia es -1 la homotecia es una simetría central cuyo centro es el

de homotecia

Relación entre las áreas de figuras homotéticas

Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:

La razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia.

La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.

Semejanza

La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una

homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.


Les recomiendo consultar este link:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/homoteciasysemejanzas/semejanza.gif

Figuras semejantes

Decimos que dos figuras son semejantes cuando se corresponden en una semejanza.

Criterios de semejanza de triángulos

1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.


3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas , los

segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los

segmentos correspondientes en la ot ra .

Les recomiendo consul tar es te l ink:

http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY


Ejercicios (1ª Parte) para esta segunda parte

Ejercicio 1 Indicar si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas (justificar).

1. Un triangulo isósceles es equilátero

2. Un triángulo rectángulo es obtusángulo

3. Dos rectas que se cruzan tienen al menos un punto en común

4. Un cuadrado es un rombo

5. En un paralelogramo los ángulos opuestos suman 180º

6. Dos restas paralelas no tienen puntos comunes

Ejercicio 2

Elegir la opción correcta (justificar).

1. En una simetría central:

a) No hay puntos unidos.

b) Las rectas que pasan por el centro de simetría son dobles.

c) Las rectas correspondientes son perpendiculares.

d) Los segmentos correspondientes son proporcionales en razón 1/ 2.

2. En una traslación:

a) Las rectas perpendiculares a la dirección del vector de traslación son dobles.

b) Las rectas correspondientes son paralelas a la dirección del vector de traslación.

c) El vector de traslación está incluido en la mediatriz del segmento determinado

por un par de puntos correspondientes.

d) No hay puntos unidos.

3. En una simetría axial:

a) Las rectas paralelas al eje son dobles.

b) Las rectas perpendiculares al eje son dobles.

c) No hay puntos unidos.

d) Las rectas correspondientes son perpendiculares.

4. En una homotecia:

a) No hay puntos unidos.

b) Las rectas correspondientes son perpendiculares.

c) Las rectas correspondientes son paralelas.

d) Los triángulos correspondientes tienen igual área.


Parte 4: Sistemas de coordenadas

Un sistema de de coordenadas ortogonal está formado por dos rectas perpendiculares entre

sí, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente

uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo

denominamos eje de abscisas y al vertical eje de ordenadas. Se establece una unidad de

medida (que puede ser la misma o diferente para los dos ejes) y un sentido positivo y otro

negativo en los dos ejes.

Un punto del plano queda determinado por un par de números reales, ésta es una relación

biunívoca.

El par (x,y) son las coordenadas del punto A , x es su abscisa e y es su ordenada.

Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de

un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas.

Por información sobre descartes ver

http://www.webdianoia.com/moderna/descartes/desc_bio.htm También puede establecerse un sistema de coordenadas en el espacio como lo muestra la

siguiente figura.


Cambio de sistema de coordenadas cartesianas

Primer caso (traslación del sistema de coordenadas): Sean (x,y) las coordenadas del punto

respecto a los ejes de coordenadas X-Y.

Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X , Y respecto al nuevo

sistema de coordenadas X' , Y'. Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas

coordenadas (x',y') son:

x' = x0 + x

y' = y0 + y


Segundo caso (rotación de los ejes): Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes

de coordenadas X, Y. Sea a el ángulo que se giran los ejes.

x' = x cosa – y sena

y' = x sena + y cosa

Distancia entre dos puntos

La distancia entre los puntos A (a, b) y B (c,d) es:

lo que se deduce de aplicar el teorema de Pitágoras


Coordenadas polares

Cambio de coordenadas cartesianas a polares

Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, las coordenadas polares de ese punto

serán αr donde: 22 yxr += y α queda determinado por el par de ecuaciones

22)cos(

yx

x

r

x

+==α y

22)(

yx

y

r

ysen

+==α .

Cambio de coordenadas polares a cartesianas

Si son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán:

x = r cos y = r sen .

En un sistema de coordenadas

polares para ubicar un punto se

utiliza la medida del segmento

que este punto determina con el

origen y el ángulo que este

segmento determina con el

semieje positivo de abscisas.


Ecuación de la recta

La recta (r) corresponde a la ecuación

m se denomina pendiente de la recta y es igual a la tangente del ángulo que determina la

recta con el semieje positivo de abscisas, n se llama ordenada en el origen y es la ordenada

del punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas.

Si la recta pasa por los puntos A ( y B , m y n se obtienen mediante las

siguientes expresiones:

La recta que corresponde a la ecuación x = xv se la denomina recta vertical.

La recta que corresponde a la ecuación y = yh se la denomina recta horizontal.


Otra forma de determinar la ecuación de una recta

Si conocemos la pendiente m y un punto A (x0,y0) por el que pasa la recta podemos escribir la

ecuación de la recta del modo siguiente:

)( 00 xxmyy −=−

Posiciones relativas de dos rectas en e l plano

Secantes

Paralelas no coincidentes

Dos rectas son secantes si sólo

tienen un punto en común .

El sistema de ecuaciones formado

por las ecuaciones de las dos

rectas tiene una sola solución.

Dos rectas son paralelas no

coincidentes si no tienen ningún punto en común .

El sistema de ecuaciones formado

por las ecuaciones de las dos

rectas tiene solución vacía .


Condición de paralelismo Si dos rectas son paralelas tienen las mismas pendientes.

Sean las rectas (r): y= m x +n y (r´): y = m´x +n´, r r` .

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si tienen todos los puntos son comunes (s i , en

defini t iva, son la misma recta) .

El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene inf ini tas

soluciones .

Condición de coincidencia Sean las rectas (r): y= m x +n y (r´): y = m´x +n´, r r` n= n´.

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

Se trata de determinar qué rectas:

son perpendiculares a la primera.


Sabiendo que:

Siendo α el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, cualquier recta

perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con dicho semieje.

Como sabemos que:

y si la pendiente de la primera recta es:

la de la segunda debe de ser:

Esto es, dada una recta cualquiera:

Cualquier recta de la forma:

es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Semiplano Una recta divide al plano en dos regiones, a la unión de cada una de esta regiones con la recta

se la denomina semiplano. A la recta se la llama borde del semiplano.

Si la ecuación de la recta es: ax + by = c , las regiones en que ésta divide al plano están

dadas por las soluciones de las inecuaciones:

ax + by < c ; ax + by > c

Ejemplo

Sea la recta de ecuación : 3x – 2y = 5


Las regiones que define (los semiplanos que define) son:

Ejemplo

El conjunto solución del sistema está representado por el grafico siguiente:

Ejemplo

El conjunto solución del sistema está representado en el grafico siguiente:


Distancia de un punto a una recta

Sean el punto A ( y una recta (r): y = ax +b , la distancia entre A y (r) es:

d( A, r ) =


Ángulo entre dos rectas

Si m1=tan y m2=tan , entonces el ángulo entre las rectas y cumple:


Parte 5: Cónicas Cónicas

Cuando un plano corta a una superficie cónica obtenemos una curva que llamamos cónica.

Dependiendo de la posición del plano respecto al cono obtenemos una curva u otra:

.

• Si el plano es perpendicular al

eje es una circunferencia

• Si el plano es oblicuo al eje y corta a todas las

generatrices es una elipse

• Si el plano es paralelo al eje es una

hipérbola


Si el plano pasa por el vértice, decimos que la cónica es degenerada y puede ser un punto, una

recta (también llamada recta doble) o un par de rectas concurrentes.

Les recomiendo consultar este link: http://www.catedu.es/matematicas_blecua/ Circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto

fijo llamado centro. La distancia de cada punto al centro se llama radio de la circunferencia.

• Si el plano es oblicuo al eje y corta

sólo a una generatriz es una parábola.


, y elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es: y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo:

sea una circunferencia debe cumplir que:

dando lugar a la existencia del radio.


Observación Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda

reducida a:

Posiciones relativas de una circunferencia y una recta Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y a una recta resolveremos el

sistema formado por las ecuaciones de ambas. Se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del

discriminante, ∆, las siguientes soluciones:

1) Si ∆ > 0 , dos soluciones:

la recta y la circunferencia

son secantes.

2) Si ∆ = 0 , una solución:


son tangente.

3) Si ∆ < 0 , solución vacía:


son exteriores.


Tangentes a una circunferencia en un punto de la circunferencia

Sea la siguiente la ecuación de la circunferencia:

No es difícil demostrar que realizando las sustituciones siguientes se obtiene la ecuación de la

tangente e la circunferencia en T ( , donde T es un punto de la circunferencia.

cambia por , cambia por

x cambia por , y cambia por

Ejemplo Dada la circunferencia de ecuación para encontrar la ecuación de

la recta tangente a dicha circunferencia en T (1,4) primero verificamos que P es un punto de la

circunferencia (simplemente verificando que las coordenadas de T verifican la ecuación de la

circunferencia), luego realizamos los cambios indicados obteniendo:

Operando se llega a que la ecuación de la tangente en T es y = 4.


Tangentes a una circunferencia en un punto exterior a la circunferencia

Para hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P exterior,

realizamos los cambios indicado en la parte anterior y obtenemos la denominada recta polar,

o sea la recta que une los puntos de tangencia T(1) y T(2) cortando la circunferencia con esta

recta encontramos dichos puntos y luego hallamos las rectas por T(1) y P y por T(2) y P.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias

a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Pueden destacarse los siguientes elementos en una elipse:


Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto

cualquiera de la elipse y cada uno de los focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es la semidistancia focal. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es la medida del semieje

mayor.

Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es la medida del semieje

menor.

Ecuación de la elipse (1er caso) Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la

elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y

F(c, 0).

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

b

c


Ecuación de la elipse (2º caso) Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos

tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Operando se obtiene una ecuación de la forma:

Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de

distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.


Pueden destacarse los siguientes elementos en una hipérbola: Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con

el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario

con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto

cualquiera de la hipérbola y cada uno de los focos: PF y PF'

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.

Asíntotas: Para la hipérbola de la figura, son las rectas de ecuaciones:


Relación entre las medidas de los semiejes: 222 bac += Ecuación de la hipérbola (1er caso)

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas y los focos son: F'(-c,0) y F(c,0),

cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ecuación de la hipérbola (2º caso)


Si el centro de la hipérbola es C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos tienen

de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0) , entonces la ecuación de la hipérbola será:

Operando obtenemos una ecuación de la forma:

Hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por

tanto a = b. Y su ecuación es (ejes en los ejes de coordenadas):

Las asíntotas tienen por ecuación (ejes en los ejes de coordenadas):

,

es decir, las bisectrices de los cuadrantes.


Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes Ox, Oy a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de

-45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

Ejemplo La ecuación

representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y sus focos.

Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer

cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y

como además el punto A pertenece a la curva, tendremos:

El semieje a es la distancia del origen al vértice A:

Calculemos los focos:


Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo

llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Pueden destacarse los siguientes elementos en una parábola:

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija D.

Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el

foco.


Ecuación de la parábola (1er caso)

Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación:

Ecuación de la parábola (2º caso)


Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación:

Observación

Una ecuación de la forma 022 =+++++ fyexdycyxbxa es la ecuación de una cónica.

Mediante cambios adecuados de coordenadas puede trasformase esta ecuación en una

ecuación reducida del tipo de las que ya vimos. Puede suceder también, como caso particular,

que se trate de una cónica degenerada.

Puede averiguarse de que género (establecemos tres géneros: hiperbólico, elíptico o

parabólico incluyendo los casos degenerados en éstos) es la cónica aplicando la siguiente

regla:

Si 042 >−=∆ acb , entonces la cónica es de género hiperbólico.

Si 042 <−=∆ acb , entonces la cónica es de género elíptico.

Si 042 =−=∆ acb , entonces la cónica es de género parabólico.


Ejercicios (2ª Parte) para esta segunda parte Ejercicio 1 En cada caso se pide hallar la ecuación de la recta que:

a) Pase por los puntos A = (2,1) y B = (3,2).

b) Pase por el punto A (2,0) y sea paralela a la recta de ecuación 624 =− yx .

c) Pase por el punto A (2,0) y sea perpendicular a la recta de ecuación y - x +2 = 0

Ejercicio 2 Dado el segmento de extremos en los puntos A = (2,0) y B = (4,2), hallar la ecuación de la

mediatriz de dicho segmento. Realizar el ejercicio de dos formas diferentes: hallando la

ecuación de la recta perpendicular por el punto medio del segmento e imponiendo a un punto

genérico que esté a igual distancia de los extremos del segmento.

Ejercicio 3 a) Dadas las rectas: (r): y - x – 1 = 0 y (s): y + x -1=0, hallar las ecuaciones de las

bisectrices de los ángulos determinados por dichas rectas. Verificar que son rectas

perpendiculares entre sí. Representar geométricamente.

b) Repetir la parte a) (hallar las bisectrices y representar gráficamente) considerando las rectas:

( r ) y = x y ( s) y = 1.

Ejercicio 4 Dado el triángulo de vértices A = (2,2), B = (1,0) y C = (3,0), hallar las coordenadas de su

ortocentro (corte de sus alturas) y su baricentro (corte de sus medianas). Determinar el

circuncentro (centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices) del triángulo y verificar

la alineación de los tres puntos en la recta de Euler (estos tres puntos notables de cualquier

triángulo están alineados).

Ejercicio 5 Estudiar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. Corroborar con la

representación gráfica.

a) ( r ): y - 2x = 0 y ( s ) : y = x + 2

b) ( r ): 2x - y -1 = 0 y (s ) – 6x +3y = 2


Ejercicio 6 Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas, discutiendo en función de los

parámetros reales a y b: ( r ): a y - x = a - 1 y ( s ): y + x = b + 1

Ejercicio 7 a) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (2,-1) y de radio 3.

b) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (3,4) y que pasa por el

origen.

c) Hallar la ecuación de la circunferencia que tenga por uno de sus diámetros el segmento

determinado por los puntos A = (0,2) y B = (-4,6).

Ejercicio 8 Hallar las ecuaciones de las circunferencias que sean tangentes a ambos ejes coordenados y

que pasen por el punto A = (1,2). Realizar el mismo ejercicio pero pidiéndole que pase por el

punto B = (0,1). ¿Siempre habrá dos soluciones al problema planteado?, es decir hallar la

ecuación de una circunferencia tangente a ambos ejes y que pase por un punto determinado,

en caso que corresponda discutir en función del punto la cantidad de soluciones.

Ejercicio 9 Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro pertenezca a la recta de ecuación y=2x+1

y sea tangente a la recta y -1 = 0, en el punto A = (1,1). Resolver el problema de dos formas

diferentes: completamente analítica y geométricamente para hallar el centro y radio.

Ejercicio 10 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (1,1), B (1,-1), C (2,0).

Resolver el problema de dos formas diferentes: completamente analítica y geométricamente

para hallar el centro y radio.

Ejercicio 11 Representar gráficamente el conjunto de los puntos ( x , y ) tales que:

a) 4)2()1( 22 =++− yx

b) 06222 =+−+ yxyx

c) 054222 =++−+ yxyx

d) 044222 =−++−+ ayxyx , discutir en función de Ra∈


Ejercicio 12 Determinar en los siguientes casos la posición relativa entre la recta y la circunferencia dadas,

hallando en los casos que corresponda el o los puntos de corte. Representar gráficamente cada

caso.

a) 2:)( +−= xyr 02:)( 22 =−+ xyxC

b) 2:)( =+ yxr 02:)( 22 =−+ yxC

c) 01:)( =++ yxr 022:)( 22 =−−+ yxyxC

Ejercicio 13 Discutir en función del parámetro real a, la posición relativa de la recta y la circunferencia

dadas:

1:)( =+ xyr +a 2

1:)( 22 =+ yxC .

Representar.

Ejercicio 14 Dada la circunferencia 03:)( 22 =−+ yxC y el punto ),2( PyP = Determinar 0≥Py , tal que )(CP ∈ . Hallar la ecuación de la recta tangente a (C ) por el punto

P. Use o verifique la condición de perpendicularidad entre rectas.

Ejercicio 15 Se consideran la circunferencia 02:)( 22 =−+ xyxC y el punto P = (2,1).

Representar gráficamente el interior y el exterior de ( C ) y escribir la inecuación que los

representa. Verificar que P es exterior a ( C ). Hallar las ecuaciones de las tangentes a la

circunferencia desde el punto P. Realizarlo de dos formas diferentes: imponiendo que una

recta por el punto corte a la circunferencia en un solo punto e imponiendo que la distancia del

centro de la circunferencia a la recta sea igual al radio.

Ejercicio 16 Hallar los puntos de corte de las circunferencias: 02:)( 22

1 =−+ xyxC y

02:)( 22

2 =−+ yyxC . Representar gráficamente.


Ejercicio 17 Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones:

≤−+≥−+

02

0222

22

yyx

xyx

≥−≤−−+

0

02222

xy

yxyx

≤≥

≤+

1

0

422

y

x

yx

Ejercicio 18 Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de los cuadrados

de sus distancias a los puntos A = (-1,2) y B = (-1,6) es 16. Reconocer y representar dicho

lugar.

Ejercicio 19

Determina las ecuac iones de las parábolas que t ienen:

a) De direct r iz x = -3 , de foco (3 , 0 ) .

b) De direct r iz y = 4 , de vér t ice (0 , 0) .

c) De foco (2 , 0 ) , de vér t ice (0 , 0 ) .

Ejercicio 20 Hallar las coordenadas del vér t ice y de los focos , y l as ecuaciones de las

d i rect r ices de las parábolas :

a)

b)

Ejercicio 21

Hallar la ecuación de la parábola de eje ver t ical y que pasa por los puntos:

A(6, 1) , B(-2 , 3) , C(16, 6) .

Ejercicio 22

Hallar la ecuación de lugar geométr ico de los puntos P(x . y) cuya suma

de dis tancias a los puntos f i jos (4 , 2) y ( -2 , 2) sea igual a 8 .


Ejercicio 23

Hallar los elementos caracter ís t icos y la ecuación reducida de la el ipse

de focos: F ' (-3 ,0) y F(3, 0) , y su eje mayor mide 10.

Ejercicio 24

Dada la ecuación reducida de la el ipse 194

22

=+ yx, hal lar las

coordenadas de los vért ices y de los focos.

Ejercicio 25

Hallar la ecuación de la el ipse de foco F(7, 2 ) , de vért ice A(9, 2 ) y de

centro C(4, 2) .

Ejercicio 26

Dada la el ipse de ecuación 116

)4(

36

)6( 22

=++− yx, hal lar su centro,

vért ices y focos.

Ejercicio 27

Determinar las coordenadas de los focos y de los vért ices de las s iguientes

hipérbolas .

a) 181144

22

=− yx b) 1

25144

22

=− xy

c) 42 22 =− yx d) 4545 22 =− xy

Ejercicio 28

Hallar la ecuación de una hipérbola de e je mayor 8 y dis tancia focal 10.

Ejercicio 29

El eje mayor de una hipérbola mide 12 y la curva pasa por el punto P(8,

14) . Hal lar su ecuación.


BIBLIOGRAFÍA:

Fernández Val, Walter, Geometría métrica, plano y espacio: 5ta. Ed. Kapeluz.

Fernández Val, Walter, Geometría analítica y álgebra: 5ta. Ed. Kapeluz.

Zambra, M., Rodríguez, M. y Belcredi, L., Geometría: Colección Mosaicos.

Guido Castelnuovo, Lecciones de geometría analítica.

Oteyza, E., Lam, E., Gómez, J., Ramírez, A. y Hernández, C., Geometría analítica: Prentice

Hall.

Documents

Parte 1: Nociones elementales Parte 2: Isometrías Parte 3