21
Parcijalni koeficijent korelacije Parcijalni koeficijent korelacije Ako je koeficijent korelacije blizak 1, ne mora značiti da su X i Y međusobno zavisne, već da postoji treća promenljiva Z od koje zavise X i Y. D fi iš ij l ik fi ij tk l ij ć kj Define se parcijalni koeficijent korelacije pomoću kojeg se nalazi zavisnost X od Y bez uticaja Z. Neka su ρ 12 , ρ 13 i ρ 23 , koeficijenti korelacija između X i Y, e a su ρ 12 , ρ 13 ρ 23 , oe cje t o e ac ja eđu , X i Z i između Y i Z. Parcijalni koeficijent korelacije između X i Y bez uticaja Z: ) 1 )( 1 ( 2 23 2 13 23 13 12 ρ ρ ρ ρ ρ 1

Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

  • Upload
    others

  • View
    20

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent korelacije

• Ako je koeficijent korelacije blizak 1, ne mora značiti da j j j ,su X i Y međusobno zavisne, već da postoji treća promenljiva Z od koje zavise X i Y.D fi iš ij l i k fi ij t k l ij ć k j• Definiše se parcijalni koeficijent korelacije pomoću kojeg se nalazi zavisnost X od Y bez uticaja Z.

• Neka su ρ12, ρ13 i ρ23, koeficijenti korelacija između X i Y, e a su ρ12, ρ13 ρ23, oe c je t o e ac ja eđu ,X i Z i između Y i Z. Parcijalni koeficijent korelacije između X i Y bez uticaja Z:

)1)(1( 223

213

231312

ρ−ρ−

ρ⋅ρ−ρ

1

Page 2: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije i spljoštenosti

• Pomoću matematičkog očekivanja definišu se i g jkoeficijent asimetrije i spljoštenosti.

• Definicija. Neka su E(X)=m i D(X)=σ2 matematičko č ki j i di ij l č j lji X Akočekivanje i disperzija slučajne promenljive X. Ako

postoje veličine

3 4

3

3

1)(

σ−

=mXEf 3)(

4

4

2 −σ−

=mXEf

Koeficijentasimetrije

Koeficijentspljoštenosti

Koriste se i termini: prvi i drugi Fišerov koeficijent i prvi i• Koriste se i termini: prvi i drugi Fišerov koeficijent, i prvi i drugi Pirsonov koeficijent. 2

Page 3: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Koeficijent varijacije, indeks disperzijeKoeficijent varijacije, indeks disperzije

• Ako je E(X) ≠ 0, tada je koeficijent varijacije:j ( ) , j j j j

)(XEcV

σ=

)(XE

• Ako je E(X) ≠ 0, tada je indeks disperzije:

)()(

XEXDI =

3

Page 4: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Karakteristična funkcijaKarakteristična funkcija

• Pomoću matematičkog očekivanja definiše se g jfunkcionalna karakteristika slučajnih promenljivih –karakteristična funkcija.N k j d t X F k ij d fi i j d k šć• Neka je data sp X. Funkcija ϕ definisana jednakošću:

ϕ(t)=E(eitX), t∈R, i2=-1Naziva se karakteristična funkcija slučajne promenljive XNaziva se karakteristična funkcija slučajne promenljive X.

• Karakteristična funkcija je jedinstvena za svaku sp.• Koristi se u teoriji verovatnoće pri dokazivanju mnogih j p j g

teorema.

4

Page 5: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Mod raspodeleMod raspodele

• Definicija. Neka je data diskretna sp X (sa konačno ili j j p (prebrojivo mnogo vrednosti) svojim zakonom raspodele pj=P[X=xj], j∈J⊆N. Svaka vrednost ili vrednosti sp X čije su odgovarajuće verovatnoće većevrednosti sp X čije su odgovarajuće verovatnoće veće od susednih je mod raspodele.

• Neka je data neprekidna sp X svojom gustinom raspodele g(x), x∈R. Apscisa svake tačke lokalnog maksimuma funkcije g(x) je mod raspodele.

• Raspodela može imati jedan mod unimodalna ili dva• Raspodela može imati jedan mod – unimodalna, ili dva moda – bimodalna, ili više – polimodalna.

5

Page 6: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Kvantili raspodeleKvantili raspodele

• Definicija. Neka je data sp X i neka je F(x) njena j j p j ( ) jfunkcija raspodele. Neka je q realan broj iz intervala (0, 1). Kvantil reda q je svaki broj x0∈R za koji važe nejednakosti:nejednakosti:

F(x0) ≤ q i lim F(x) ≥ qx→x0

• Ako je F(X) neprekidna i strogo monotona, tada će postojati jedinstveni kvantili svakog reda.Ak F(X) i i t l k t t ti ž t j ti iš• Ako F(X) ima intervale konstantnosti, može postojati više brojeva x0 koji su kvantil nekog reda za posmatranu raspodelu.

6

Page 7: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Decili i kvartiliDecili i kvartili

• Ako je q=0,1, tada je odgovarajući broj x0 prvi decil j q j g j j 0 praspodele;

• Ako je q=0,2, tada je odgovarajući broj x0 drugi decil raspodele, itd.raspodele, itd.

• Ako je q=0,25, tada je odgovarajući broj x0 prvi kvartil raspodele;Ak j 0 5 t d j d j ći b j dij• Ako je q=0,5, tada je odgovarajući broj x0 medijana raspodele,

• Ako je q=0,75, tada je odgovarajući broj x0 treći kvartil 0raspodele.

• Ako je q=0,95, tada je odgovarajući broj x0 95-ti percentil raspodele.raspodele.

7

Page 8: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Matematičko očekivanje 2DspMatematičko očekivanje 2Dsp

• Ako X i Y imaju matematička očekivanja, tada je uređeni j j , jpar (E(X), E(Y)) matematičko očekivanje sp (X, Y).

• Neka je (X, Y) dvodimenzionalna sp. Uslovno matematičko č ki j Y i fik i j d ti X jočekivanje sp Y pri fiksiranoj vrednosti X= x je

∫∞

⋅== yxygyxXYE d)/()/( ∫∞−

gde je g(y/x) uslovna gustina raspodele sp Y pri X= x.• Ako su X i Y diskretne sp, tada jeAko su X i Y diskretne sp, tada je

∑ ====j

ijji xXyYPyxXYE ]/[)/(

8

Page 9: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Neke važnije raspodele verovatnoćeNeke važnije raspodele verovatnoće

• Poznavanje raspodela i njihovih svojstava značajno kada j p j j jna osnovu konačnog broja podataka treba utvrditi kojoj klasi sp pripada i koje su njene osnovne karakteristike.Di k t bi ti bi i P• Diskretne: binomna, negativna binomna i Puasonova raspodela.

• Normalna raspodelaNormalna raspodela• Neprekidne: uniformna, eksponencijalna, hi-kvadrat,

studentova, Fišerova, Gama raspodela, itd.

9

Page 10: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Binomna raspodelaBinomna raspodela

• Neka je verovatnoća realizacije dog. A u n eksperimenata j j g pjednaka p. Ako je sp X jednaka broju realizacija dog. A pri istim uslovima, tada X ima binomnu raspodelu sa parametrima n i p:parametrima n i p:

X : B(n, p)• Za sp sa binomnom raspodelom je:

Bernulijeva sl. pr Sn

Za sp sa binomnom raspodelom je:

n

X...10

: jnjj pp

np −−

= )1(

nnnn ppp

X,1,0, ...

: jn ppj

p

)1(, nj ,...,1,0=

10

Page 11: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Binomne verovatnoće p jBinomne verovatnoće pn,j

Pn,j0.30

Pn,j

n=10p=0.5

n=12p=0.250.15

0.20

0.25

0.15

0.20

0.25

0 00

0.05

0.10

0 00

0.05

0.10

0.15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110.00 j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0.00 j

11

Page 12: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Binomna raspodela nastavakBinomna raspodela, nastavak

• Ako sp X ima B(n1, p) raspodelu, a sp Y ima B(n2, p) p ( 1, p) p , p ( 2, p)raspodelu, i ako su X i Y nezavisne, tada sp Z= X+Y ima B(n1+n2, p) raspodelu.R d l Y l d Z X+Y k l č j• Raspodela za Y uslovno u odnosu na Z=X+Y=k u slučaju nezavisnih veličina X i Y sa B(n1, p) i B(n2, p) raspodelama je

+

==

=−==

===

===nn

jn

jkn

kZPjYPjkXP

kZPkZjYPkZjYP

21

21

)()()(

)(),()/(

+k

nnkZPkZP 21)()(

},min{},0max{ 21 nkjnk ≤≤− },{},{ 21 j

12

Page 13: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Binomna raspodela nastavakBinomna raspodela, nastavak

• Ako sp X ima B(n, p) raspodelu, p ( , p) p ,tada sp Y=n-X ima B(n, 1-p) raspodelu.

• Izračunavanje vrednosti izraza knk ppkn

kXP −−

== )1()(

može biti složeno za velike vrednosti n ili male vrednosti p, pa se može koristiti relacija

k

)(11

)1( kXPk

knp

pkXP =⋅+−

⋅−

=+=p

• Ako je n≥30 i np<10, binomna raspodela se aproksimira Puasonovom raspodelomp

• Ako je n≥30 i np>10, binomna raspodela se aproksimira normalnom raspodelom 13

Page 14: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Binomna raspodela disperzijaBinomna raspodela, disperzija

• Neka je verovatnoća dog. A u svakom eksperimentu p i j g p pneka je izvedeno n eksperimenata pod istim uslovima, nezavisno jedan od drugog. Neka je Ij indikator dog. A u j-tom eksperimentu (j=1,…,n). Za sp X sa B(n, p) j p (j ) p ( p)raspodelom važi

nIIX ++= ...1

1

10:IAn

npIEIEXE n =++= )(...)()( 1

pp-1A

pn )()()( 1

)1()...()( 1 pnpIIDXD n −=++=

14

Page 15: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Binomna raspodela koeficijentiBinomna raspodela, koeficijenti

• Neka je data sp X sa B(n, p) raspodelom. Koeficijent j p ( , p) p jvarijacije je

nppCV

−=1

np• Indeks disperzije je

11 <−= pI

• Koeficijent asimetrije je

)1(21

1 pnppf −

=

• Koeficijent spljoštenosti je

)1( pnp −

)1(612

ppf −−=

)1(2 pnpf

−15

Page 16: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Bernulijev zakon velikih brojevaBernulijev zakon velikih brojeva

• Iz nejednakosti Čebiševa sledi da za svako ε>0, za sp j , pX sa B(n, p) raspodelom važi:

0 X 0→

ε≥− p

nXP ∞→n

• Bernulijev zakon velikih brojeva ukazuje na to da se• Bernulijev zakon velikih brojeva ukazuje na to da se relativna frekvencija dog. A čija je verovatnoća p, grupiše oko p.

16

Page 17: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Puasonova raspodelaPuasonova raspodela

• SP X ima Puasonovu raspodelu sa parametrom λ, P(λ)p p ,ako je λ>0 i

......10:

nX λ−λ

=== e][ jXPpj

( )

......:

10 npppX === e

!][

jjXPp j ,...2,1,0=j

• Za n≥30 i np<10 razlika između binomne i PuasonoveZa n≥30 i np<10, razlika između binomne i Puasonove raspodele je vrlo mala.

• Ako verovatnoća pn realizacije dog. A u binomnom zakonu zavisi od n, tj. Sn:B(n, pn) tada ako npn→λ, n→∞

λ−λ→= e][ jSP

j

∞→ 210j→= e!

][j

jSP n ∞→n ,...2,1,0=jza λ<10

17

Page 18: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Puasonova raspodela za različite d ti t λvrednosti parametra λ

0.7

Pj

0.5

0.6

λ = 0.5

0.2

0.3

0.4

λ = 3.5

λ = 2

λ = 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

j

• Ako parametar λ Puasonove raspodele nije prirodan broj, tada raspodela ima jedan mod jednak celom delu broja λ a ako je λ prirodan broj tada Puasonovabroja λ, a ako je λ prirodan broj, tada Puasonova raspodela ima dva moda (λ-1) i λ.

18

Page 19: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Puasonova raspodela disperzijaPuasonova raspodela, disperzija

• Matematičko očekivanje Puasonove raspodele jej p j

λ=λ

=∑∞

λ−e!

)(j

jjXE λ

∑ =λ e!

j

j∑=0 !

)(j j

j

• Disperzija Puasonove raspodele je

=∑ !0j j

p j p j

λ=λ−λ+λ

−=−= ∑∞

λ− 222 e)1())(()()(j

jjXEXEXD λ=λλ+== ∑=0

e!

)1())(()()(j j

jjXEXEXD

19

Page 20: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Puasonova raspodela koeficijentiPuasonova raspodela, koeficijenti

• Neka je data sp X sa P(λ) raspodelom. Koeficijent j p ( ) p jvarijacije je

λ=1

VCλ

• Indeks disperzije je1=I

• Koeficijent asimetrije je

λ=1

1f

• Koeficijent spljoštenosti je

λ

=1

2f λ2f

20

Page 21: Parcijalni koeficijent korelacijeParcijalni koeficijent ...haos.ff.bg.ac.rs/nastava/radovi/8KvantiliBinomnaPuas.pdf · Koeficijent asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrije

Puasonova raspodela nastavakPuasonova raspodela, nastavak

• Neka su sp X:P(λ) i Y:P(µ) nezavisne. Tada je Z=X+Y sp p ( ) (µ) j psa Puasonom raspodelom Z:P(λ+µ).

• Uslovna raspodela za X pri datom Z=k biće B(k,p), gde je λ/(λ+ )p= λ/(λ+µ).

• Ako je X:P(λ) i λ>0, tada se X može aproksimirati sp koja ima normalnu raspodelu sa parametrima m = λ i σ2 = λ.a o a u aspode u sa pa a et a m λ σ λ

21