Parcijalne diferencijalne jednad«â€zbe Skripta¢â‚¬â€œradna skresic/PDJ/pdj_skripta_v3.pdf y)2 = 1, nelinearna

  • View
    7

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Parcijalne diferencijalne jednad«â€zbe...

  • Parcijalne diferencijalne jednadžbe

    Skripta–radna verzija

    Saša Krešić–Jurić

    Prirodoslovno–matematički fakultet

    Sveučilǐste u Splitu

  • Sadržaj

    1 Uvodna razmatranja 3

    1.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Linearne jednadžbe i princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3 Klasične jednadžbe matematičke fizike . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Elementarne tehnike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.5 Početni i rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.6 Stabilnost rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2 Fourierov red 19

    2.1 Razvoj funkcije u Fourierov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2 Konvergencija Fourierovog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.2.1 Konvergencija po točkama i Dirichletov teorem . . . . . . . . 25

    2.2.2 Uniformna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3 Kvazi–linearne jednadžbe prvog reda 40

    4 Klasifikacija jednadžbi drugog reda 44

    4.1 Kanonski oblik hiperboličkih jednadžbi . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.2 Kanonski oblik paraboličkih jednadžbi . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.3 Kanonski oblik eliptičkih jednadžbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5 Jednadžba provodenja topline 58

    5.1 Princip maksimuma i jedinstvenost rješenja . . . . . . . . . . . . . . . 58

    5.2 Separacija varijabli za homogenu jednadžbu . . . . . . . . . . . . . . 64

    1

  • SADRŽAJ 2

    5.3 Separacija varijabli za nehomogenu jednadžbu . . . . . . . . . . . . . 74

    6 Valna jednadžba 80

    6.1 Valno gibanje i d’Alembertovo rješenje . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    6.2 D’Alembertovo rješenje za nehomogenu valnu jednadžbu . . . . . . . 85

    6.3 Početno–rubni problem za valnu jednadžbu . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.3.1 Separacija varijabli za homogenu jednadžbu . . . . . . . . . . 91

    6.3.2 Separacija varijabli za nehomogenu jednadžbu . . . . . . . . . 100

    7 Laplaceova jednadžba 104

    7.1 Opća svojstva Laplaceove jednadžbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    7.2 Separacija varijabli za Laplaceovu jednadžbu . . . . . . . . . . . . . . 114

    7.2.1 Pravokutne domene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    7.2.2 Kružne domene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    7.2.3 Poissonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

  • Poglavlje 1

    Uvodna razmatranja

    1.1 Osnovni pojmovi

    Parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ) opisuju relacije izmedu nepoznate funkcije

    u i njezinih parcijalnih derivacija. Ove jednadžbe su vrlo važne u fizici i tehnici

    jer modeliraju različite pojave u prirodi. U novije vrijeme parcijalne diferencijalne

    jednadžbe nalaze primjene u biologiji, kemiji, računalnim znanostima i ekonomiji.

    Neka je u(x) = u(x1, x2, . . . , xn) funkcija n nezavisnih varijabli x1, x2, . . . , xn. Par-

    cijalne derivacija označavamo sa

    uxi = ∂u

    ∂xi , uxixj =

    ∂2u

    ∂xi∂xj , . . . (1.1)

    Definicija 1.1 Kažemo da je funkcija u klase Ck na Ω, i pǐsemo u ∈ Ck(Ω), ako u

    ima neprekidne parcijalne derivacije reda k na Ω.

    Ako je u ∈ Ck(Ω), onda redoslijed u kojem se parcijalne derivacije računaju nije

    važan. Primijetimo da u ∈ Ck(Ω) povlači u ∈ Ck−1(Ω). Skup neprekidnih funkcija

    na Ω označavamo sa C0(Ω).

    Definicija 1.2 Parcijalna diferencijalna jednadžba je jednadžba oblika

    F (x1, . . . , xn, u, ux1 , . . . , uxn , ux1x1 , ux1x2 , . . .) = 0 (1.2)

    gdje je u = u(x1, x2, . . . , xn) nepoznata funkcija u nezavisnim varijablama x1, x2, . . . , xn.

    3

  • POGLAVLJE 1. UVODNA RAZMATRANJA 4

    Red parcijalne diferencijalne jednadžbe je red najvǐse derivacije koja se javlja u jed-

    nadžbi. Parcijalne diferencijalna jednadžbe obično promatramo na otvorenom pove-

    zanom skupu Ω ⊆ Rn.

    Definicija 1.3 Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe (1.2) reda k > 0 na skupu

    Ω ⊆ Rn je funkcija u ∈ Ck(Ω) koja zadovoljava jednadžbu (1.2) u svakoj točki skupa

    Ω.

    Ova rješenja nazivamo klasična ili jaka rješenja. U primjenama su od interesa i tzv.

    distribucijska i slaba rješenja koja ovdje nećemo razmatrati.

    Primjer 1.1 Jednadžba

    uxx − uyy = 0 (1.3)

    je parcijalna diferencijalna jednadžba drugog reda. Lako se provjeri da su funkcije

    u(x, y) = (x + y)3 i u(x, y) = sin(x − y) rješenja jednadžbe (1.3) na skupu Ω = R2.

    Primjer 1.2 Kortewe–de Vriesova jednadžba

    ut + uxxx − 6uux = 0 (1.4)

    modelira valove na vodi u plitkom kanalu. Provjerite da funkcija

    u(x, t) = c

    2 sch2

    [√2 2

    ( x − ct − x0

    )] , c > 0, x0 ∈ R (1.5)

    zadovoljava jednadžbu (1.5) gdje je sch(x) = 2/(ex + e−x) hiperbolni sekans na skupu

    Ω = R2. Ova funkcija opisuje solitonski val koji putuje bez disperzije brzinom c > 0.

    Parcijalne diferencijalne jednadžbe možemo grubo klasificirati prema sljedećim svoj-

    stvima.

    • Red jednadžbe

    Osnovna podjela PDJ je prema redu jednadžbe. Općenito se može kazati da

    što je red jednadžbe veći to je jednadžbu teže riješiti.

    • Linearne i nelinearne jednadžbe

  • POGLAVLJE 1. UVODNA RAZMATRANJA 5

    (a) Jednadžba (1.2) je linearna ako je F linearna funkcija u varijablama u

    i svim njezinim parcijalnim derivacijama. U tom slučaju koeficijenti koji

    množe u i njezine derivacije ovise samo o nezavisnim varijablama x1, . . . , xn.

    (b) Jednadža je nelinearna ako nije linearna.

    (c) Jednažba (1.2) je kvazi-linearna ako je F linearna u svim parcijalnim de-

    rivacijama od u najvǐseg reda.

    Na primjer, Eulerova jednadžba

    xux + yuy = nu, n ∈ N, (1.6)

    je linearna jednadžba prvog reda jer je linearna u varijablama ux i uy. Jednadžba

    uxuxx + xuuy = sin(y) (1.7)

    je kvazi-linearna jednadžba drugog reda jer je linearna u najvǐsoj derivaciji uxx. Jed-

    nadžba

    uxu 2 xx + xuuy = sin(y) (1.8)

    je nelinearna jer član u2xx nije linearan. Navedimo još nekoliko primjera:

    uuxy + ux = y, kvazilinearna jednadžba drugog reda, (1.9)

    (ux) 2 + (uy)

    2 = 1, nelinearna jednadžba prvog reda, (1.10)

    ux uxxy + xuy = sin(y), kvazilinearna jednadžba trećeg reda, (1.11)

    ut + uxxx − 6uux = 0, kvazilinearna jednadžba trećeg reda. (1.12)

    1.2 Linearne jednadžbe i princip superpozicije

    Posebno će nas zanimati linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda jer

    ovaj tip jednadžbi ima važne primjene u prirodnim i tehničkim znanostima. Klasične

    jednadžbe matematičke fizike kao što su valna jednadžba, jednadžba provodenja to-

    pline, Poissonova i Schrödingerova jednadžba su linearne jednadžbe drugog reda. Li-

    nearna jednadžba drugog reda u n nezavisnih varijabli x1, x2, . . . , xn ima opći oblik

    n∑

    i,j=1

    Aijuxixj + n∑

    i=1

    Bixxi + Fu = G (1.13)

  • POGLAVLJE 1. UVODNA RAZMATRANJA 6

    gdje su Aij , Bi, F i G funkcije varijabli x1, x2, . . . , xn. Ako je u klasično rješenje

    jednadžbe (1.13), onda je uxixj = uxjxi pa se jednadžba (1.13) može svesti na oblik

    tako da je Aij = Aji. Diferencijalnoj jednadžbi (1.13) možemo pridružiti diferencijalni

    operator

    L = n∑

    i,j=1

    Aij ∂2

    ∂xi∂xj +

    n∑

    i=1

    Bi ∂

    ∂xi + F (1.14)

    gdje je F operator množenja funkcijom F . Tada jednadžbu možemo zapisati u kom-

    paktnom obliku L[u] = G.

    Definicija 1.4 Jednadžba L[u] = G je homogena ako je G = 0. U protivnom kažemo

    da je jednadžba nehomogena.

    Operator L je linearan jer vrijedi

    L[α1u1 + α2u2] = α1L[u1] + α2L[u2], ∀α1, α2 ∈ R. (1.15)

    Linearne jednadžbe imaju važno svojstvo koje nazivamo princip superpozicije. Ako

    su u1 i u2 rješenja jednadžbi

    L[u1] = G1, L[u2] = G2, (1.16)

    onda je linearna kombinacija u = α1u1 + α2u2, αi ∈ R, rješenje jednadžbe

    L[u] = α1L[u1] + α2L[u2] = α1G1 + α2G2. (1.17)

    U posebnom slučaju ako su u1, u2 rješenja homogene jednadžbe L[u] = 0, onda je

    svaka linearna kombinacija u = α1u1 + α2u2 rješenje iste jednadžbe jer je L[α1u1 +

    α2u2] = 0. Ovaj princip je naročito važan u rješavanju parcijalnih diferencijalnih

    jednadžbi metodom separacije varijabli jer se opće rješenje može napisati kao line-

    arna kombinacija nekih posebnih rješenja. Ovu metodu ćemo detaljnije razmatrati u

    sljedećim poglavljima.

    Primjer 1.3 Promotrimo jednadžbu

    utt − uxx = 0. (1.18)

  • POGLAVLJE 1. UVODNA RAZMATRANJA 7

    Lako se provjeri da su funkcije un(x, t) = sin(nt) cos(nx) rješenja jednadžbe za svaki

    n ∈ N. Stoga je svaka linearna kombinacija