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PRIMER PERIODO ACADÉMICO Asignatura: Matemáticas Grados: 6°, 7°, 8°, 9°, 10° y 11° Docente: Diana Marcela Roa Bucaramanga, 2013.

Parceladores Primer Periodo

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PRIMER PERIODO ACADMICO Asignatura: Matemticas Grados: 6, 7, 8, 9, 10 y 11 Docente: Diana Marcela Roa Bucaramanga, 2013. SISTEMAS DE NUMERACION NUMERACIN ROMANA Esunsistemadenumeracinqueusaletrasmaysculasalasquesehaasignadoun valor numrico. Este tipo de numeracin debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta. Se usa principalmente: -En los nmeros de captulos y tomos de una obra.-En los actos y escenas de una obra de teatro.-En los nombres de papas, reyes y emperadores.-En la designacin de congresos, olimpiadas, asambleas, certmenes... Reglas: -La numeracin romana utiliza siete letras maysculas a las que corresponden los siguientes valores: Ejemplos: XVI = 16; LXVI = 66 -Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de sta se suma a la anterior. Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67 -Lacifra"I"colocadadelantedela"V"ola"X",lesrestaunaunidad;la"X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades. Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900 -Enningnnmerosepuedeponerunamismaletra msde tresvecesseguidas. En la antigedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas. Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34 -La"V",la"L"yla"D"nopuedenduplicarseporqueotrasletras("X","C","M") representan su valor duplicado. Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000 LetrasIVXLCDM Valores1510501005001.000 -Sientredoscifrascualesquieraexisteotramenor,starestarsuvalorala siguiente. Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129 -Elvalordelosnmerosromanosquedamultiplicadopormiltantasvecescomo rayas horizontales se coloquen encima de los mismos. Ejemplos: = 1.000.00 SISTEMA DE NUMERACIN BINARIO El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dgito tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor de cada posicin es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a laposicindeldgitomenosuno.Sepuedeobservarque,talycomoocurraconel sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros. -Conversin entre nmeros decimales a binarios Convertirunnmerodecimalalsistemabinarioesmuysencillo:bastaconrealizar divisionessucesivaspor2yescribirlosresiduosobtenidosencadadivisinenorden inverso al que han sido obtenidos. Ejemplo: Convertir al sistema binario el nmero 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarn los siguientes residuos: y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 7710 = 10011012 -Conversin de binario a decimal Elprocesoparaconvertirunnmerodelsistemabinarioaldecimalesanms sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda. Ejemplo:Convertirelnmerobinario10100112adecimal,lodesarrollamosteniendoen cuenta el valor de cada bit: 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83 10100112 = 8310 SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL Elsistemadecimalesunsistemadenumeracinposicionalenelquelascantidadesse representanutilizandocomobaseelnmerodiez,porloquesecomponedediezcifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de smbolos se denominanmeros rabes, y es de origen ind. Eselsistemadenumeracinusadohabitualmenteentodoelmundo(exceptociertas culturas) y en todas las reas que requieren de un sistema de numeracin -Valor posicional Elvalordelosdgitossegnsuposicinenunnumeral,hastalacentenademilln, aparece en el cuadro siguiente:

Diez unidades forman una decena. Diez decenas forman una centena. Diez centenas forman una unidad de mil. Diez unidades de mil forman una decena de mil. Diez decenas de mil forman una centena de mil.Diez centenas de mil forman una unidad de milln. Diez unidades de milln forman una decena de milln. Diez decenas de milln forman una centena de milln.9 Posicin 8 Posicin7 Posicin6Posicin5 Posicin4 Posicin3 Posicin2Posicin1Posicincentenas de milln decenas de milln unidades de milln centenas de mil decenas de mil unidades de mil centenasdecenasunidades CMiDMiUMiCMDMUMCDU De esta manera, un nmero en el sistema de numeracin decimal puede ser representado utilizandotrestiposdenotacin:polinmica,exponencialysegnelnombredeposicin de cada cifra. -Polinmica: El nmero se expresa teniendo en cuenta el valor de posicin de cada una de las cifras. Ejemplo: El nmero 719 puede ser expresado como 700+10+9. -Exponencial:Elnmeroseexpresateniendoencuentaelvalordeposicinde cada una de las cifras en forma exponencial. Ejemplo: El nmero 254 puede ser representado como

. -Segnelnombredeposicindecadacifra:Elnmeroseexpresateniendoen cuenta el nombre del valor de posicin e cada una de sus cifras. Ejemplo: El nmero 983 se puede expresar como 9C + 8D + 3U. NMEROS NATURALES El conjunto de los nmeros naturales es: Son infinitos y sirven para contar (nmeros cardinales: 1, 2, 3,...) o para ordenar (nmeros ordinales: 1, 2, 3,...). OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES Sumadenmerosnat ural es Dadosa, b, c , sedef i nel asumacomo a+b=c Dondeayb, sel l amansumandosycel r esul t adoot ot al Pr opi edades:-I nt er na: a+b -Asoci at i va: ( a+b) +c=a+( b+c)( 2+3) +5=2+( 3+5)5+5=2+8 10=10 -Conmut at i va: a+b=b+a 2+5=5+2 7=7 -El ement oneut r o: a+0=a 3+0=3 Rest adenmerosnat ural es Dadosa, b, c , sedef i nel ar est acomo a- b=csi empr equea=b+c asedenomi nami nuendobsust r aendoycdi f er enci a.Mul t i pl i caci ndenmerosnat ural es Dadosa, b, c , sedef i nel amul t i pl i caci ncomo ab=c Dondeaybsedenomi nanf act or esycpr oduct o. Pr opi edades:-I nt er na: a b -Asoci at i va: ( a b) c=a ( b c)( 2 3) 5=2 ( 3 5)6 5=2 15 30=30 -Conmut at i va: a b=b a 2 5=5 2 10=10 -El ement oneut r o: a 1=a 3 1=3 -Di st r i but i va: a ( b+c) =a b+a c 2 ( 3+5) =2 3+2 5 2 8=6+10 16=16 Di vi si ndenmerosnat ural es -Dadosa, b, c , sedef i nel adi vi si nexact acomo ab=csi empr equea=bc asedenomi nadi vi dendo, bdi vi sor yccoci ent e. Ej empl o:15=5 3 -Dadosa, b, c , sedef i nel adi vi si ni nexact acomo asedenomi nadi vi dendo, bdi vi sor , ccoci ent eyr r esi duo.Ej empl o:17=5 3+2 0: 5=0 PROBLEMAS CON NMEROS NATURALES Sindudaalgunaycasidemanerauniversalycomounaaplicacindelasoperaciones estlaresolucindeproblemas,considerandocomounaexcelentealternativapara aprender matemticas. Un problema es la situacin que nos hace pensar. Ejemplo: -Una empresa compra una mquina de caf por 6.000 . Cada mes se gasta 100 enmantenimientoperoobtiene350porlaventadecaf.Alcabode2aosy medio la vende por 4920 . Qu beneficio mensual le ha aportado la mquina? Solucin: 214 -En una urbanizacin viven 4 500 personas y hay un rbol por cada 90 habitantes. Cuntos rboles hay en la urbanizacin? Solucin: 50 arboles -Pedro compr una finca por 643 750 y la vendi ganando 75 250 . Por cunto lo vendi? Solucin: 719 000 POTENCIACION DE NMEROS NATURALES Lapotenciacinesuncasoparticulardeproductoendondetodoslosfactoresson iguales

= Potencia Engeneral:

nveces.Labaseeselnmeroquesemultiplica,el exponente indica las veces que se multiplica la base. Ejemplo:

= 64

Propiedades de la potenciacin de nmeros naturales: -Producto de potencia de igual base: Se copia la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo:

-Cociente de potencia de igual base: Se copia la misma base y se restan los exponentes.Ejemplo:

-Potencia de potencia: Se copia la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplo:

-Potencia de un producto: Se debe elevar cada factor al mismo exponente y desarrollar la potencia indicada. Ejemplo:

-Potencia de un cociente: Sedebeelevaralmismoexponenteeldividendoyeldivisoryluegodesarrollarla potencia indicada. Ejemplo: (

)

-Propiedad del cero: Todo nmero o expresin elevada a exponente cero es igual a la unidad.Ejemplo:

RADICACION DE NUMEROSDE NATURALES Es la operacin inversa de la potenciacin. Permite hallar la base cuando se conocen el exponente y la potencia.

En la expresin

, n recibe el nombre de ndice, b e cantidad subradical o radicando y a la raz. Ejemplo: a)

porque 55 = 25. b)

porque 222=8 Propiedades de la radicacin de nmeros naturales -Raz de un producto: La raz cuadrada de un producto A x B es igual al producto de la raz cuadrada de "A" por la raz cuadrada de "B" Ejemplo:

-Raz de un cociente El cociente de la raz de una fraccin, es igual al cociente de la raz del numerador entre la raz del denominador.... Ejemplo:

-Raz de una raz Para calcular la raz de una raz se multiplican los ndices de las races y se conserva la cantidad sub-radical. Ejemplo:

LOGARITMACION DE NUMEROS NATURALES La logaritmacin es una operacin inversa a la potenciacin. Esta permite hallar el exponente cuando se conocen la base y la potencia.

Ejemplo:-log2 8 = 3 pues 2 3= 8.Los nmeros negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los nmeros reales. Propiedades de los logaritmos-Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.

Ejemplo: log5 (255) = log525 + log55 = log5 (255) = 2 + 1 = 3log5125 = 3 pues 53= 125 -Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

Ejemplo: log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2log2 4 = 2 -Logaritmo de una potencia

Ejemplo: a) log2 8 4 = 4 . log 2 8a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096 b) 4. 3 = 12 POLINOMIOS ARITMETICOS CON MUEROS NATURALES Sonexpresionesmatemticasquecombinandiversasoperacionesenelconjuntode los nmeros naturales. El uso de los signos de agrupacin se emplea con el propsito de marcar cuales de las operaciones matemticas deben ser efectuadas primero. -Pararesolverunaexpresinsinsignosdeagrupacin,primerosedeben resolver las multiplicaciones y las divisiones y por ultimo las sumas y restas. Ejemplo: 9 5 + 18 3 6 5 = 45 + 6 30 = 21 -Pararesolverunaexpresinconsignosdeagrupacin,estossedeben eliminardedentrohaciaafuera.Paraestoseresuelvenlasoperacioneslas operaciones que se encuentran mas adentro. Ejemplo: 15 + [9 (112-19)] 15 + [9 (22 - 19)] 15 + [93] 15 + 3 18 NUMEROS ENTEROS Z Si al conjunto de nmeros naturales agregamos cada uno de sus opuestos y el cero, se obtiene un nuevo conjunto; el conjunto de nmeros enteros y se nota con la letra. De esta manera Z: {-3-2-1, 0, 1, 2,3...} Luego el conjunto ser{

{}}. Los nmeros se emplean en: comercio, tenencia y deudas, en temperatura: normal y bajo cero, superficie: sobre y bajo el nivel del mar, y en la historia: antes de y despus de. ORDEN DE LOS NUMEROS ENTEROS Al comparar dos nmeros enteros sobre la recta numrica es mayor aquel que se encuentre a la derecha del otro. -b es mayor que a: b > a -d es menor que c: d 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 VARIABLE DEPENDIENTE Unavariabledependienteesaquellacuyosvaloresdependendelosquetomenotra variable. La variable dependiente en una funcin se suele representar por y. La variable dependiente se representa en el eje ordenadas. VARIABLE INDEPENDIENTE Variable que puede cambiar libremente su valor, as como el primero, sin que su valor se vea afectado por alguna otra(s) variable(s). Generalmente, una variable independiente es laentradadeunafuncinynormalmentesedenotaporelsmbolox,entantoque frecuentemente y se reserva para la variable dependiente. Ejemplo: y = f(x) = x 2, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Se permite que lavariablexcambielibremente,entantoqueelvalordeytienequecambiarconforme cambia x. La variable y est en funcin de la variable x, que es la variable independiente. DOMINIO DE UNA FUNCIN SellamaDominiodeunafuncinalconjuntodevaloresquepuedetomarlavariable independiente.Eldominiodeunafuncindeltipoy=f(x)suelerepresentarseconalguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIN SellamaRecorrido,RangooImagendeunafuncinalconjuntodevaloresquepuede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la funcin.Elrecorridodeunafuncindeltipoy=f(x)suelerepresentarseconalgunade estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f). Ejemplo:{ } En este caso el dominio de la funcin sera { } y el recorrido sera{}PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES FUNCIN INYECTIVA Una funcin es inyectiva o uno a uno si a cualquier par de elementos distintos del dominio le corresponden imgenes distintas del conjunto de llegada. Es decir, ningn elemento del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del dominio.Ejemplo: FUNCION SOBREYECTIVA Una funcin es sobreyectiva o sobre si el rango de una funcin coincide con el codominio. Es decir, todo elemento del codominio es imagen de algn elemento del dominio. Ejemplo: FUNCION BIYECTIVA Una funcin es biyectiva si es uno a uno y sobre. Ejemplo: FUNCION INVERSA Sel l amaf unci ni nver saor eci pr ocadef aot r af unci nf 1que cumpl eque:Si f ( a) =b, ent oncesf 1( b) =a.Ej empl o: REPRESENTACIN DE FUNCIONES -Representacinmedianteunaexpresinverbal:Larepresentacinmedianteuna expresinverbaldeunafuncinhaceexplicitalareglaqueasignaacada elemento del dominio su correspondiente imagen en el codominio. Ejemplo: A cada numero le corresponde el doble del numero -Representacinmediantefrmulasoecuaciones:Larepresentacinmediante formulasoecuacionesexpresalarelacinentreloselementosdeldominioysus respectivas imgenes. Ejemplo: -Representacin en tablas de valores: La representacin mediante tabla de valores, es un arreglo de dos filas (o dos columnas), en el cual se escriben todos o algunos elementos del dominio en una fila (o en columna) y sus respectivas imgenes en la otra (fila o columna).Ejemplo: -Representacingrfica:Larepresentacingrficadeunafuncinseobtieneal ubicarenelplanocartesianounnmerosuficientedeparejasordenadasdela funcin. La grfica, tambin, permite analizar el comportamiento de la funcin. Ejemplo: FUNCION DE VARIABLE REAL -FUNCIONES CRECIENTES Sea I un intervalo en el dominio de una funcin.Entonces, una funcines creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I. Ejemplo: -FUNCION DECRECIENTE Sea I un intervalo en el dominio de una funcin . Entonces, una funcines decreciente en el intervalo I si f(b)si0 > a , o bienk y ssi0 < a , donde k es la ordenada del vrtice de la parbola. -El vrtice de la parbola se determina por la frmula: Ejemplo: FUNCIN CUBICA La funcin cbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:

0 , ) (2 3= + + + = a d cx bx ax x f. Dominio: Todo nmero real. Recorrido: Todo nmero real Ejemplo: |\

|.||\

|.|bafba 2 2, .FUNCIN VALOR ABSOLUTO La funcin valor absoluto est definida de la siguiente manera: Ejemplo: || FUNCIN EXPONENCIAL Seaun nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potenciase llama funcin exponencial de base a y exponente x. Comopara todo,la funcin exponencial es una funcin deen. Ejemplo:

(

)

Not a: el Domi ni o: . Recor r i do: , par at odasl asf unci ones exponenci al es.FUNCION LOGARTMICA Sea a un real positivo fijo,y sea x cualquier real positivo, entonces: La funcin que hace corresponder a cada nmero real positivo su logaritmo en base ,denotada por ,se llama: funcin logartmica de base a, y, el nmero se llama logaritmo de x en la base a. Ejemplo: Si a >0 Si0 < a < 1 ANGULOS ANGULOS EN POSICIN NORMAL Esaquelngulotrigonomtricocuyoladoinicialcoincideconelsemiejepositivodelas abscisas,suvrticeseubicaenelorigendecoordenadasrectangularesysuladofinal puede ubicarse en cualquier lugar del plano cartesiano. MEDICIN DE NGULOS Los ngulos se pueden representar en dos sistemas de unidades. Sistema sexagesimal y el sistema radial o circular. Sistema Sexagesimal: En este sistema 1 grado ( ) equivale a 60 minutos ( ) y 1 minuto equivale a 60 segundos ( ). Sistema Radial: Este sistema no tiene subunidades y la unidad es el radian (rad). Definicinde1radian:Sitomramoslalongituddelradiodeunacircunferenciaylo colocramos en el permetro de ella, a partir del punto A (ver dibujo) llegara al punto B. El ngulo central de este arco de circunferencia se denomina radian. Ejemplo:Que significara " (pi) radianes ? Nota: = 3,14 Teniendo en cuenta que es aproximadamente 3,14, podramos decir que es la longitud del arco de circunfrencia que mide 3,14 veces el radio. CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ngulos. Un ngulo de 360o equivale a 2 radianes; un ngulo de 180o equivale a radianes (recordemos que elnmero=3.14159265359).Lasequivalenciasentreloscincoprincipalesngulos se muestran en las siguientes tres figuras: Paraconvertirdegradosaradianesoviceversa,partimosdeque180oequivalena radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos. EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes. Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va arriba, en la posicin de los radianes. Despejamos x, tambin simplificamos. Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 0.6632 radianes EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados. Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va abajo, en la posicin de los grados. Despejamos x. Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 137.5099o TRINGULOS Un tringulo es un polgono de tres lados. Propiedades de los tringulos 1. Un lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 2. La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180. 3. El valor de un ngulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. El tringulo ABC CLASIFICACION DE TRIANGULOS Por la longitud de sus lados, los tringulos se clasifican en: -Tringulo equiltero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ngulos internos miden 60 grados radianes.)-Tringulo issceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ngulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.-Tringulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un tringulo escaleno no hay ngulos con la misma medida. EquilteroIsscelesEscaleno Por la amplitud de sus ngulos, los tringulos se clasifican en: -Tringulo rectngulo: si tiene un ngulo interior recto (90). A los dos lados que conforman el ngulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.-Tringulo obtusngulo: si uno de sus ngulos es obtuso (mayor de 90); los otros dos son agudos (menor de 90).-Tringulo acutngulo: cuando sus tres ngulos son menores a 90; el tringulo equiltero es un caso particular de tringulo acutngulo. RectnguloObtusnguloAcutngulo TEOREMA DE PITAGORAS El Teorema de Pitgoras establece que en un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual, a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del tringulo rectngulo: los que conforman el ngulo recto). Si un tringulo rectngulo tiene catetos de longitudesy, y la medida de la hipotenusa es, se establece que: Ejemplo: Dado el tringulo de lados b=3, a=4. Determinar la medida de c.

, luego LOGICA, CONJUNTOS Y NUMEROS REALES PROPOSICIONES Unaproposicinoenunciadoesunaoracinquepuedeserfalsaoverdaderaperono ambasalavez,Laproposicinesunelementofundamentaldelalgicamatemtica.A continuacinsetienenalgunosejemplosdeproposicionesvlidasynovlidas,yse explicaporqualgunosenunciadosnosonproposiciones;Lasproposicionesseindican pormediodeunaletraminscula,dospuntosylaproposicinpropiamentedicha. Ejemplo: p: La tierra es plana. q: 17 + 38 = 21 r: x > y-9 s: El Morelia ser campen en la presente temporada de Fut-Bol. t: Hola como estas? w: Lava el coche por favor. -Proposiciones Simples: Tambin denominadas atmicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo: El cielo es azul. (Verdadero) -Conectivos lgicos y proposiciones compuestas: Existen conectores u operadores lgicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son: -Conjuncin: se simboliza por La proposicin compuesta p q es verdadera slo cuando ambas proposiciones p y q lo son pqp q VVV VFF FVF FFF -Disyuncin: se simboliza por pqpq VVV VFF FVF FFF La proposicin compuesta p q es verdadera si al menos una de las proposiciones p o q lo es. -Condicional: se simboliza por p qpq VVV VFF FVV FFV La proposicin compuesta p q es falsa cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. -Bicondicional: se simboliza por pqpq VVV VFF FVF FFV La proposicin compuesta p q es verdadera cuando ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad. -La NegacinLa operacin unitaria de negacin, no es cierto que se representa por y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad pp VF FV Ejemplo: FUNCIONES PROPOSICIONALES Son expresiones dadas en trminos de una o varias variables. Para las expresiones del tipo x > 3 el valor verdadero o falso est determinado por los valores de la variable, en este ejemplo x, por lo tanto se dice que el valor del predicado est en funcin de la variable.Una funcin proposicional se simboliza mediante letras maysculas P, Q, R, S, etc. Ejemplo:

ParaP(4) = verdaderoP(2) = falso PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Los cuantificadores son smbolos utilizados para indicar cuntos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizs los ms estudiados y utilizados sean: -Cuantificador universal Para todo x, y... -Cuantificador existencial Existe al menos un x, y... NEGACIN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Lanegacindelaproposicinenlacualsehautilizadoelcuantificadoruniversal, corresponde a una proposicin en la cual se utiliza el cuantificador existencial; a su vez, la negacindeunaproposicinenlacualsehausadoelcuantificadorexistencial, corresponde a una proposicin en la cual se utiliza el cuantificador universal. Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones cuantificadas.a. Todos los nmeros naturales son impares Negacin: Existe por lo menos un nmeros natural que no es impar b. Existe un nmero par que no es mltiplo de 4. Negacin: Todos los nmeros pares son mltiplos de 4 CONJUNTOS Un conjunto es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia aA.En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aA. Ejemplos de conjuntos:

o: el conjunto vaco, que carece de elementos.o: el conjunto de los nmeros naturales.o: el conjunto de los nmeros enteros.o : el conjunto de los nmeros racionales.o: el conjunto de los nmeros reales.o: el conjunto de los nmeros complejos. Se puede definir un conjunto: opor extensin, enumerando todos y cada uno de sus elementos.opor comprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensin, o su propiedad caracterstica, si se define por comprensin. Ejemplo: oA := {1,2,3, ... ,n}oB := {p Z | p es par} Se dice que A est contenido en B (tambin que A es un subconjunto de B o que A es una partedeB),ysedenotaAB,sitodoelementodeAloestambindeB,esdecir, .DosconjuntosAyBse diceniguales,ysedenotaA=B, sisimultneamenteAByB A;estoequivaleadecirquetienenlosmismoselementos(otambinlamismapropiedad caracterstica). OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS -Unin de conjuntos: Al realizar esta operacin estamos conformando un nuevo conjunto, que se llama conjunto solucin,que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estn uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solucin. Ejemplo: Dados: A = {-1, 1, 2, 3} B = {2, 4, 6}C= {4, 5, 7, 8} A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6} Observe que el resultado A u B no contiene elementos repetidos A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} -Interseccin de conjuntos: Esta operacin entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operacin. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B y C arriba mencionados, al operar; se obtiene: A n B = {2} B n C = {4} A n B n C = { } Puesto que no hay ningn elemento que est en los tres conjuntos. (A u B) n C Observe que en este ejemplo se est aplicando la propiedad asociativa para la operacin de unin entre A y B y a su resultado hacer la interseccin con C. (A u B) n C = {4} -Diferencia de conjuntos: Cuandoseanalizaladiferenciaentre A y B,seobtienecomoRespuesta exclusivamente loselementosdelconjunto A. Porejemplosiconsideramoslos conjuntos A, B, C que aparecen arriba: A - B = {1, 1, 3} B - C ={2, 6} B - A = {4, 6} C - B = {5, 7, 8} -Diferencia simtrica de conjuntos: Se presenta cuando se consideran todos los elementos que slo pertenecen los conjuntos, sin tener en cuenta lo que tienen en comn. En otras palabras, en la diferencia simtrica no se tiene en cuenta ningn elemento de la interseccin entre los conjuntos, los dems s. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {-1, 1, 2, 3,} B = {2, 4, 6} C = {4, 5, 7, 8} yU = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Conjunto Universal o referencial) -Complemento de un conjunto: Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Por ejemplo: A= {4, 5, 6, 7} B= {-1, 1, 3, 5, 7, 8} C= {-1, 1, 2, 3, 6,} (A u B)={5, 7, 8} DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de suelen representar grficamente mediante "diagramas de Venn", con una lnea que encierra a sus elementos.As, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar grficamente con el fin de obtener una idea ms intuitiva.

INTERVALOS Se llama intervalo al conjunto de nmeros reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. CLASES DE INTERVALOS -Intervalo abierto (a, b), es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que a y menores que b.(a, b) = {x/ a < x < b} -Intervalo cerrado [a, b], es el conjunto de todos los nmeros reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x/ a x b} -Intervalo semiabierto por la izquierda(a, b], es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x/ a < x b} -Intervalo semiabierto por la derecha[a, b), es el conjunto de todos los nmeros reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x/ a x < b} -Semirrectasx > a (a, +) = {x/ a < x < +} x a [a, +) = {x/ a x < +} x < a (-, a) = {x/ - < x < a} x a (-, a] = {x/ - < x a} OPERACIONES CON INTERVALOS Las operaciones que nos interesa definir aqu son: la interseccin, la unin y la diferencia de conjuntos. -Interseccin: Sean y conjuntos. Se define la interseccin de y y se denota, al conjunto cuyos elementos pertenecen a y tambin a. Simblicamente se tiene que: Ejemplo: Siy .DetermineSolucin:Geomtricamente podemos representar los conjuntos y de la manera siguiente: De aqu podemos observar que los elementos que estn en y tambin en son los nmeros reales que estn entre 2 y 5, incluyendo a stos; por lo que: -Unin de intervalos Sean y y conjuntos. Se define la unin de y y se denota, al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos y.Simblicamente se tiene que: {

} Ejemplo:Si y.DetermineSolucin:Representaremos a y a geomtricamente De aqu podemos observar que los elementos que estn en o en, son los nmeros reales que estn entre -3 y 7, incluyendo a stos, as: -Diferencia Sean y conjuntos. Se define la diferencia de y y se denota, al conjunto cuyos elementos pertenecen a y no a. Ejemplo:Si y, determine y Solucin Representemos a y a geomtricamente.

De aqu podemos observar que: i.

ii.; o sea: DESIGUALDADES Una desigualdad es una expresin matemtica que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: no es igual < menor que > mayor quemenor o igual quemayor o igual que Propiedades de las desigualdades 1.Una desigualdad no vara si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a < b/ c(sumamos o restamos c a ambos lados) a c < b c Ejemplo: 2 + x>16/ 2(restamos 2 a ambos lados) 2 + x 2 > 16 2 x>14 2.Una desigualdad no vara su sentido si se multiplica o divide por un nmero positivo: a < b/ c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero) a c < b c a > b/ c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)a c > b c Ejemplo: 3 5 x / :5 3/5 xesto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5 3.Una desigualdad vara su sentido si se multiplica o divide por un nmero negativo: a < b/ c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a c > b ca > b / c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a c < b c Ejemplo: 15 3 x 39 / 15 3 x 39 15 /: 3 x 24: (3) x 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que 8. De manera recproca, cuando la parte de la incgnita resulta negativa deben invertirse los signosaambosladosycambiarelsentidodeladesigualdad,yaquenopuedehaber desigualdades con incgnita negativa. INECUACIONES Lasinecuaciones son desigualdadesalgebraicas enlaquesusdosmiembrosse relacionan por uno de estos signos: mayor que2x 1 > 7 mayor o igual que2x 1 7 La solucin de una inecuacin es el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solucin de la inecuacin se expresa mediante: 1. Una representacin grfica. 2. Un intervalo. Ejemplo: 1.2x 1 < 7 2x < 8 x < 4 (-, 4) 2.2x 1 7 2x 8 x 4 (-, 4] 3.2x 1 > 7 2x > 8 x > 4 (4, ) 4.2x 1 7 2x 8 x 4 [4, ) INECUACIONES EQUIVALENTES -Sialosdosmiembrosdeunainecuacinselessumaoselesrestaunmismo nmero, la inecuacin resultante es equivalente a la dada. 3x + 4 < 5 3x + 4 4 < 5 4 3x < 1 -Si a los dos miembros de una inecuacin se lesmultiplica o divide por un mismo nmero positivo, la inecuacin resultante es equivalente a la dada. 2x < 62x : 2 < 6 : 2 x < 3 -Si a los dos miembros de una inecuacin se lesmultiplica o divide por un mismo nmero negativo, la inecuacin resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. x < 5(x) (1) > 5 (1)x > 5 SOLUCIN DE INECUACIONES -Inecuaciones de primer grado con una incgnita Pasos: 1 Quitar corchetes y parntesis. 2 Quitar denominadores. 3 Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los trminos independientes en el otro. 4 Efectuar las operaciones 5 Sielcoeficientedelaxesnegativomultiplicamospor1,porloquecambiarel sentido de la desigualdad. 6 Despejamos la incgnita. 7 Expresar la solucin de forma grfica y con un intervalo. Ejemplo: [3, +) -Inecuaciones de segundo grado Ejemplo: Consideremos la inecuacin: -x2 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1Igualamoselpolinomiodelprimermiembroaceroyobtenemoslasracesdela ecuacin de segundo grado. x2 6x + 8 = 0 2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: P(0) = 02 6 0 + 8 > 0 P(3) = 32 6 3 + 8 = 17 18 < 0 P(5) = 52 6 5 + 8 = 33 30 > 0 3 Lasolucinestcompuestaporlosintervalos(oelintervalo)quetenganelmismo signo que el polinomio. S = (-, 2) (4, ) -x2 + 2x +1 0 x2 + 2x +1 = 0 (x + 1)2 0 Como un nmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solucin es -x2 + x +1 > 0 x2 + x +1 = 0 Cuando no tiene races reales, le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es. El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin. -Inecuaciones racionales Las inecuacionesracionales seresuelvendeunmodosimilaralasde segundogrado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Ejemplo: - 1 Hallamos las races del numerador y del denominador. x 2 = 0x = 2 x 4 = 0x = 4 2 Representamosestosvaloresenlarectareal,teniendoencuentaquelasracesdel denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. Solucin x2 + 2x +1 0(x + 1)2 0 x2 + 2x +1 > 0(x + 1)2 > 0 x2 + 2x +1 0(x + 1)2 0x = 1 x2 + 2x +1 < 0(x + 1)2 < 0 Solucin x2 + x +1 0 x2 + x +1 > 0 x2 + x +1 0 x2 + x +1 < 0 3Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: 4 Lasolucinestcompuestaporlosintervalos (oelintervalo)quetenganelmismo signo que la fraccin polinmica. S = (-, 2] (4, ) - Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a comn denominador. Hallamos las races del numerador y del denominador. x + 7 = 0x = 7 x 2 = 0x = 2 Evaluamos el signo: S = (-, 2) (7, ) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ejemplo: -Resolver la desigualdad La solucin global es: -Resuelva la siguiente desigualdad. El conjunto solucin es: