PARÁMETROS DISTRIBUIDOSPARÁMETROS DISTRIBUIDOS

r=2rr=2rcc

l=2ll=2lcc

rc x lc x

g x c x

rc x lc x

rc x lc x

rc x lc x

g x c x

rc x lc x

rc x lc x

g x

xxx

c x

r x l x

g x c x

r x l x

g x c x

r x l x

g x

xxx

c x

ECUACIONES DE LÍNEAECUACIONES DE LÍNEA

r ·x l · x

g · x

c · x

r · x l · x

g · x

c · x

x x x

v+v

v

ii

v

i-i

v=f(v=f(xx,t),t)

i=f(i=f(xx,t),t)

v r x i l xtid

d

i g x v c xtvd

d

v

xr i l

tid

d

i

xg v c

tvd

d

x

dV

dI

z

x

d Id

V

y

x

d V

dr j l I

d I

dxg j c V

Para Para variacióvariació

n n armónicarmónic

aa

SOLUCIÓN FASORIAL DE LAS SOLUCIÓN FASORIAL DE LAS ECUACIONES DE LÍNEAECUACIONES DE LÍNEA

x

dV

dI

z

x

d I

d V

y

2d V

d x2

zd I

d x

d2

I

d x2

yd V

d x

d2

V

d x2

z y V

d2

I

d x2

z y I

V

V

1 e x V

2 e x

I

I

1 e x

I

2 e x

V

V

1 ez y x V

2 e

z y x

I

I

1 ez y x I

2 e

z y x

Coeficiente de propagaciónCoeficiente de propagación zz yy

r j l g j c

j

Coeficiente de atenuaciónCoeficiente de atenuación [Neper [Neper/m/m]]

Coeficiente de faseCoeficiente de fase [rad/m][rad/m]

ONDAS VIAJERASONDAS VIAJERASV

V

1 ex ej x V

2 e x e

j x

Usualmente la referencia x=0 para medir distancias a lo largo de la Usualmente la referencia x=0 para medir distancias a lo largo de la línea es la ubicación de la carga. línea es la ubicación de la carga.

Vi = V1 e xx Onda viajera incidente (viaja de generador a carga)Onda viajera incidente (viaja de generador a carga)

ReRe

ImIm

x=0x=0

Hacia el Hacia el generadorgenerador

VV22 e exx11

x=xx=x11

x1ReRe

ImIm

x=0x=0

x=xx=x11

Hacia el Hacia el generadorgenerador

x1

VV11 eexx11

t=tt=t0 0 (ref. (ref. VV11=0)=0)

Vr = V2 e- x-xOnda viajera reflejada (viaja de carga a generador )Onda viajera reflejada (viaja de carga a generador )

22

V = Vi + Vr

FOTO INSTANTÁNEA DE LAS ONDAS VIAJERAS A LO FOTO INSTANTÁNEA DE LAS ONDAS VIAJERAS A LO LARGO DE LA LÍNEALARGO DE LA LÍNEA

vvii(x,t(x,t00))vvrr(x,t(x,t00))

x=Lx=L

Gen.Gen.

x=0x=0

CargaCarga

LA LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA ZZoo

xxddIIdd II11

ee xx II22

ee xx yy VV

II11

ee xx II22

ee xx

VV

yyIIii

yy

IIrr

VV zz

yyIIii

zzyy

IIrr

VVii

VVrr

zzyy

IIii

zzyy

IIrr

ZZoozzyy

VVii

ZZoo IIii

VVrr

ZZoo IIrr

En ausencia de otros tipos de distorsión, si todas las componentes En ausencia de otros tipos de distorsión, si todas las componentes de la señal se atenuaran en la misma proporción al viajar por la de la señal se atenuaran en la misma proporción al viajar por la línea, entonces la señal reconstruida en el receptor, aunque línea, entonces la señal reconstruida en el receptor, aunque atenuada, mantendría la forma original, preservándose así la atenuada, mantendría la forma original, preservándose así la información a ella asociada. Si por el contrario la constante de información a ella asociada. Si por el contrario la constante de atenuación atenuación varía con la frecuencia, entonces las diferentes varía con la frecuencia, entonces las diferentes componentes viajeras de la señal son atenuadas de manera componentes viajeras de la señal son atenuadas de manera diferente y al sumarse en el receptor dan origen a una señal de diferente y al sumarse en el receptor dan origen a una señal de forma diferente a la enviada por el transmisor.forma diferente a la enviada por el transmisor.Este inconveniente toma el nombre de Este inconveniente toma el nombre de distorsión de amplituddistorsión de amplitud..La distorsión de amplitud puede mejorarse con el proceso de La distorsión de amplitud puede mejorarse con el proceso de ecualización.ecualización.

DISTORSIÓN DE AMPLITUDDISTORSIÓN DE AMPLITUD

ff1 10

61 10

71 10

80

2

4

6

8

10 (dB/km)(dB/km)

Atenuación de un cable coaxial típicoAtenuación de un cable coaxial típico

EJEMPLOEJEMPLOUna señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia Una señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente recorre una línea de 50 km, siendo la componente de más diferente recorre una línea de 50 km, siendo la componente de más alta frecuencia atenuada mayormente durante el trayecto. Observe alta frecuencia atenuada mayormente durante el trayecto. Observe la distorsión de amplitud experimentada por la señal al llegar al la distorsión de amplitud experimentada por la señal al llegar al receptor:receptor:x 50km

gTx t( ) cos 2 5 109 t 1

2cos 2 10 10

9 t

2 0.02neper

km1 0.01

neper

km

gRx t( ) e1 x

cos 2 5 109 t e

2 x

2cos 2 10 10

9 t

ggTxTx(t)(t)ggRxRx(t)(t)

tt

VELOCIDAD DE FASEVELOCIDAD DE FASE

¿ A qué velocidad viajan las ondas incidente y reflejada ? Para el caso de ¿ A qué velocidad viajan las ondas incidente y reflejada ? Para el caso de onda armónica pura la respuesta es simple:onda armónica pura la respuesta es simple:

vdx

dtv

1

d

dt v

v

2

vvff ff

En el vacío la velocidad de fase coincide con la velocidad de la luz c. Sin En el vacío la velocidad de fase coincide con la velocidad de la luz c. Sin embargo, en medios guíados la velocidad de fase es inferior a la de la luz. embargo, en medios guíados la velocidad de fase es inferior a la de la luz.

vvffcc

rr

Esto significa que para una misma frecuencia la longitud de onda es Esto significa que para una misma frecuencia la longitud de onda es menor en el medio guíado.menor en el medio guíado.

DISTORSIÓN DE FASEDISTORSIÓN DE FASE

Usualmente una señal de información no contiene una sola Usualmente una señal de información no contiene una sola

frecuencia, sino que está constituida por un espectro continuo frecuencia, sino que está constituida por un espectro continuo

de frecuencias. Si el producto de frecuencias. Si el producto f se mantuviese constante, todas f se mantuviese constante, todas

las componentes de frecuencia de la señal viajarían a la misma las componentes de frecuencia de la señal viajarían a la misma

velocidad velocidad vvf f y llegarían a destino al mismo tiempo, sumándose y llegarían a destino al mismo tiempo, sumándose

entonces con la misma relación de fase (desfasaje) que tenían al entonces con la misma relación de fase (desfasaje) que tenían al

generador y así se reconstituye la señal con la misma forma generador y así se reconstituye la señal con la misma forma

original (aquí se obvian las posibles alteraciones introducidas original (aquí se obvian las posibles alteraciones introducidas

por la distorsión de atenuación).por la distorsión de atenuación).

Desafortunadamente el producto Desafortunadamente el producto f no se mantiene f no se mantiene

estrictamente constante al variar la frecuencia, así que las estrictamente constante al variar la frecuencia, así que las

diferentes componentes de la señal viajan con velocidades diferentes componentes de la señal viajan con velocidades

diferentes, llegando al receptor con retardos diferentes y por lo diferentes, llegando al receptor con retardos diferentes y por lo

tanto se modifica la relación de fase entre ellas. La señal tanto se modifica la relación de fase entre ellas. La señal

reconstruida tendrá por lo tanto una forma diferente. Se ha reconstruida tendrá por lo tanto una forma diferente. Se ha

producido producido distorsión de fase.distorsión de fase.

x 50km 1Tx 0º 2Tx 0º

vf1 2.7 108m

s 1Rx

2 5 109 x

vf1

vf2 0.013 108m

s 2Rx

2 10 109 x

vf2

fTx t( ) cos 2 5 109 t 1

2cos 2 10 109 t

fRx t( ) cos 2 5 109 t 1Rx

1

2cos 2 10 109 t 2Rx

EJEMPLOEJEMPLOTómese nuevamente el ejemplo sencillo de la señal constituida por Tómese nuevamente el ejemplo sencillo de la señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente para observar la la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente para observar la distorsión de fase en el receptor. La componentes viajan con distorsión de fase en el receptor. La componentes viajan con velocidades diferentes, vvelocidades diferentes, vf1f1>v>vf2f2::

ffTxTx(t)(t)ffRxRx(t)(t)

tt

Vr = V2 -x Onda reflejada (viaja de carga a generador )Onda reflejada (viaja de carga a generador )

LA LA LÍNEALÍNEA SIN PÉRDIDAS (r=0, g=0) SIN PÉRDIDAS (r=0, g=0)

V

V

1 ej x V

2 e

-j x

I

I

1 ej x I

2 e

-j x

V = V1 x + V2 -x

I = I1 x + I2 -x

Vi = V1 x Onda incidente (viaja de generador a carga)Onda incidente (viaja de generador a carga)

x=Lx=L

Gen.Gen.

x=0x=0

CargaCarga

ZZooll

cc jj ll cc

0 l c

REFLEXIÓN Y REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA REFRACCIÓN DE LA ONDA DE TENSIÓNONDA DE TENSIÓN

Cualquier discontinuidad en el medio Cualquier discontinuidad en el medio de transmisión produce unade transmisión produce una reflexión reflexión de parte de la energía incidente, de parte de la energía incidente, mientras que la parte restante mientras que la parte restante continúa su propagación, es decir se continúa su propagación, es decir se refracta.refracta. Este fenómeno se describe Este fenómeno se describe mediante mediante la relación entre onda reflejada y la relación entre onda reflejada y onda incidente, que toma el nombre onda incidente, que toma el nombre de de índice de reflexión, índice de reflexión, mientras que mientras que la relación entre onda refractada y la relación entre onda refractada y onda incidente toma el nombre de onda incidente toma el nombre de índice de refraccióníndice de refracción. Ambos pueden . Ambos pueden ser complejos y pueden definirse ser complejos y pueden definirse tanto para la onda de tensión como tanto para la onda de tensión como de corriente. de corriente.

vv

xx(( ))VVrr

xx(( ))

VVii

xx(( ))

Coeficiente de reflexión de tensión:*Coeficiente de reflexión de tensión:*

Coeficiente de transmisión Coeficiente de transmisión o refracción de tensión:*o refracción de tensión:*

Hacia la cargaHacia la carga Hacia el transmisorHacia el transmisor

ZZo1o1ZZoo

22

La tensión en el punto de La tensión en el punto de discontinuidad xdiscontinuidad xoo es única, por lo es única, por lo

tanto:tanto:

xx

oo

vv

xxoo VVtrtr

xxoo VVii

xxoo

Vtr

xo Vi

xo Vr

xo

Vtr

xo Vi

xo 1 v

xo

vv

xxoo 11 vv

xxoo

II

xx(( ))IIrr

xx(( ))

IIii

xx(( ))

Coeficiente de reflexión de Coeficiente de reflexión de corriente:corriente:

Coeficientes de Coeficientes de transmisión o refracción de transmisión o refracción de

corriente:corriente:

REFLEXIÓN Y REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA REFRACCIÓN DE LA

ONDA DE CORRIENTEONDA DE CORRIENTE

II

xxoo IItrtr

xxoo IIii

xxoo Relación entre coeficiente de Relación entre coeficiente de reflexión de tensión y él de reflexión de tensión y él de

corriente:corriente:

vv

xx(( ))ZZoo

IIrr

xx(( ))

ZZoo

IIii

xx(( ))

vv

xx(( )) II

xx(( ))

ZZo1o1

ZZoo

33

ZZoo

22

xx

oo

IIi, i, IIrr

VVi, i, VVrr

IItr2, tr2, VVtr2tr2

IItr3, tr3, VVtr3tr3

Vtr2

xo Vtr3

xo Vtr

xo Vi

xo Vr

xo

Zo2

Itr2

xo Zo3

Itr3

xo

Hacia las cargasHacia las cargas

Hacia el transmisorHacia el transmisor

Unicidad de la tensión en xUnicidad de la tensión en xoo::

Itr2

xo Ii

xo Ir

xo

Zo3

Zo2

Zo3

Itr3

xo Ii

xo Ir

xo

Zo2

Zo2

Zo3

Divisor de corriente (en el supuesto Divisor de corriente (en el supuesto que en las líneas 2 y 3 no existen ondas que en las líneas 2 y 3 no existen ondas reflejadas): reflejadas):

IMPEDANCIA DE LA IMPEDANCIA DE LA LÍNEALÍNEA

x=Lx=L

Gen.Gen.

x=0x=0

CargaCarga

ZZ

xx(( ))VV

xx(( ))

II

xx(( ))

ZZ

xx(( ))VVii

xx(( )) VVrr

xx(( ))

IIii

xx(( )) IIrr

xx(( ))

ZZ

xx(( ))VVii

xx(( ))

IIii

xx(( ))

11 vv

xx(( ))

11 II

xx(( ))

ZZ

xx(( )) ZZoo 11 vv

xx(( ))

11 vv

xx(( ))

ZZ

xx(( ))

XX

ZZ xx(( )) ZZoo

11 vv xx(( ))

11 vv

xx(( ))

11 vv

xx(( ))ZZoo

ZZ

xx(( ))11 vv

xx(( ))

vv

xx(( )) 11ZZoo

ZZ

xx(( ))

11ZZoo

ZZ

xx(( ))

vv

xx(( ))ZZ

xx(( )) ZZoo

ZZ

xx(( )) ZZoo

REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)

C.A.C.A. C.C.C.C.

II

00(( )) 00

Ii

0( ) Ir 0( )Vi

0( )

Z0

Vr

0( )

Z0

Leyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verdeLeyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verde

x=0x=0 Zo (real)Zo (real)

VV

00(( )) 00 Vi

0( ) Vr

0( )

VV

00(( )) 22 VVii

00(( )) II

00(( )) 22 IIii

00(( ))

Zo

Ii

0( ) Zo Ir

0( )

X=0X=0 X=0X=0

VV

00(( )) 11

II

00(( )) 11

VV

00(( )) -1-1

II

00(( )) 11

REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)

RRcc=3Z=3Z

oo

Leyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verdeLeyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verde

v

0( )3 Zo Zo

3 Zo Zo

v

0( ) 1

2

Vr

0( )1

2Vi

0( )

Ir

0( )1

2 Ii

0( )

I

0( ) 1

2

x=0x=0

ZZcc 11

33ZZoo 60º60º

X=0X=0

v

0( ) 0.73 147 º

I

0( ) 0.73 33º

X=0X=0

REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGAREFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA

Zc=ZoZc=Zo (Zo=Real)(Zo=Real)

Zc=ZoZc=Zo

vv

00

v

0( ) 1 VVZcZc

VVii00(( ))

VVZcZc

INTERFERENCIAINTERFERENCIALa presencia de dos ondas en el mismo medio produce el fenómeno de la La presencia de dos ondas en el mismo medio produce el fenómeno de la interferencia,interferencia, al sumarse estas ondas punto a punto e instante a instante. al sumarse estas ondas punto a punto e instante a instante. Si las ondas tienen la misma frecuencia, el resultado de la suma es una Si las ondas tienen la misma frecuencia, el resultado de la suma es una onda que no aparenta movimiento, denominada onda que no aparenta movimiento, denominada onda estacionariaonda estacionaria. El . El fenómeno puede visualizarse con facilidad en una línea de transmisión fenómeno puede visualizarse con facilidad en una línea de transmisión donde estén presente la onda incidente y la onda reflejada, ambas donde estén presente la onda incidente y la onda reflejada, ambas sinusoidales. El análisis de los vectores rotantes para las ondas de tensión sinusoidales. El análisis de los vectores rotantes para las ondas de tensión incidente y reflejada muestra lo siguiente: incidente y reflejada muestra lo siguiente:

x=0x=0

=- =-

==

x=x=/8/8

- 45º- 45º

45º45º

x=x=/8+/8+/4/4

-135º-135º

135º135º

Con separación Con separación /4 se suceden máximos y mínimos de la amplitud del /4 se suceden máximos y mínimos de la amplitud del fasor resultante: se produce un máximo de interferencia cuando la onda fasor resultante: se produce un máximo de interferencia cuando la onda incidente y reflejada se suman en fase; se produce un mínimo de incidente y reflejada se suman en fase; se produce un mínimo de interferencia cuando onda incidente y reflejada se suman en contrafase interferencia cuando onda incidente y reflejada se suman en contrafase

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2LA ONDA LA ONDA

ESTACIONARIA EN ESTACIONARIA EN UNA LÍNEA SIN UNA LÍNEA SIN

PÉRDIDASPÉRDIDAS

vvii xx(( )) 11 coscos ttoo22

xx

vvrr xx(( )) 0.50.5 coscos ttoo22

xx

22

VVii

xx(( )) 11 xx VVrr

xx(( )) 0.50.5 xx

22

VVoeoe

xx(( )) 11 xx 0.50.5 xx

22

VVoeoe

xx(( )) 11 coscos xx 0.50.5 coscos xx

22

22

11 sinsin xx 0.50.5 sinsin xx

22

22

Morado: onda incidenteMorado: onda incidenteAzul: onda reflejadaAzul: onda reflejadaRojo: picos de la onda estacionariaRojo: picos de la onda estacionaria

xx

LA RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE)LA RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE)

Es un indicador del grado de desacoplamiento entre la carga y la Es un indicador del grado de desacoplamiento entre la carga y la línea: cuanto mayor será la amplitud de la onda reflejada en línea línea: cuanto mayor será la amplitud de la onda reflejada en línea (potencia rechazada por la carga) tanto mayor será el (potencia rechazada por la carga) tanto mayor será el desacoplamiento. A mayor amplitud de la onda reflejada, mayor la desacoplamiento. A mayor amplitud de la onda reflejada, mayor la excursión entre máximos y mínimos de interferencia en la onda excursión entre máximos y mínimos de interferencia en la onda estacionaria. estacionaria.

ROEROEVVmáxmáx

VVmínmín

ROEROEVVii VVrr

VVii VVrr

ROEROE11 vv

11 vv

x=Lx=L

Gen.Gen.

x=0x=0

CargaCarga

Ch ACh A

Ch BCh B

SIGNIFICADO DEL PATRÓN DE ONDA ESTACIONARIA SIGNIFICADO DEL PATRÓN DE ONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS SIN PÉRDIDASEN LÍNEAS SIN PÉRDIDAS

ONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS CON PÉRDIDASONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS CON PÉRDIDAS

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

4

2

0

2

4

Morado: onda incidenteMorado: onda incidenteAzul: onda reflejadaAzul: onda reflejadaRojo: picos de la onda estacionariaRojo: picos de la onda estacionaria

xx