Parametrização de Superfície Triangular

Parametrizacao de Superfıcie Triangular

Fabiano Petronetto do Carmo

[email protected]

Universidade Federal do Espırito Santo

11 de outubro de 2013

Parametrizacao Planar: Mapeamento de Textura

Parametrizacao Esferica: Manipulacao de superfıcies

Sumario

1 Conceitos BasicosSuperfıcieParametrizacaoGrafo

2 Parametrizacao PlanarImersao Planar de Grafo de SuperfıcieAlgoritmosResultados

3 Parametrizacao EsfericaUsando Parametrizacao PlanarTeoria de Colin de VerdiereHeurısticaParametrizacao DiretaResultados

4 ConclusaoLimitacoesTrabalhos Futuros

Sumario

1 Conceitos BasicosSuperfıcieParametrizacaoGrafo

2 Parametrizacao Planar

3 Parametrizacao Esferica

4 Conclusao

Superfıcie

Parametrizacao

Grafo

G = G(V ,E );

{V = {i ; i = 1, ...,N}E = {(i , j)} ⊂ V × V

Vizinhanca do no i : N(i) = {j ; (i , j) ∈ E} −→ val(i) = #N(i)

Grafo planar

G = G(V ,E ) e planar se este pode ser imerso no plano. Isto e,

a) cada no i ∈ V e imerso num ponto pi em R2;

b) cada aresta eij = (i , j) ∈ E e imersa numa curva simples deR2 cujas extremidades sao pi e pj ;

c) os unicos cruzamentos entre curvas sao em pontos p′i s.

Imersao planar do grafo G (geometria da imersao):

P = {p1, p2, ..., pN} = P(G)

Grafo planar

Um grafo planar particiona o plano em regioes, chamadas de faces.Em particular, a face ilimitada e chamada face externa.

fronteira do grafo G∂G = todos os nos e arestas que sao incidentes na face externa.

Grafo triangulartodas as faces limitadas de um grafo planar tem tres arestas.

Grafo simplesmente conectado∂G e uma curva plana simples

Superfıcie triangular

S = S(G,X ), G = G(V ,E )

G: topologia da superfıcieX : geometria da superfıcie

Sumario

1 Conceitos Basicos

2 Parametrizacao PlanarImersao Planar de Grafo de SuperfıcieAlgoritmosResultados


4 Conclusao

Imersao Planar de Grafo de Superfıcie

Reordenacao e notacao

S = S(G,X ): uma superfıcie triangular com fronteira

X = {xi = (xi , yi , zi ), 1 ≤ i ≤ N}

ondex1, ..., xn sao os vertices interiores de Sxn+1, ..., xN sao os vertices da fronteira ∂S

N: quantidade total de vertices (ou nos)n: quantidade de vertices (ou nos) interioresk = N − n: quantidade de vertices (ou nos) de fronteira

Parametrizacao planar

O problema de parametrizacao planar de uma superfıcie triangular

S = S(G,X )

pode ser reduzido ao problema de imersao do grafo G no plano.

Ideia: Coordenadas baricentricas.

Imersao planar de G

xn+1, ..., xN sao os vertices da fronteira ∂S

Seja D ⊂ R2 uma poligonal convexa de k-lados com vertices

D = {un+1, ..., uN}

no mesmo sentido anti-horario da fronteira de G e defina a imersaodo no n + j , com j = 1, · · · , k , no vertice un+j .

Imersao planar de G

x1, ..., xn sao os vertices interiores de S

coordenadas baricentricas

ui =∑

j∈N(i)

λijuj

onde

λij > 0 (positividade)∑j∈N(i)

λij = 1 (normalizacao)

Imersao planar de G

reescrevemos a combinacao convexa envolvendo todos os nos

ui =∑

j∈N(i)

λijuj =N∑j=1

λijuj

desde que λij = 0 se (i , j) /∈ E .

Condicoes de convexidade

{λij ; i = 1, ..., n, j = 1, ...,N}

onde

(positividade)(i , j) ∈ E ⇒ λij > 0

(adjacencia)(i , j) /∈ E ⇒ λij = 0

(soma unitaria)N∑j=1

λij = 1, i = 1, ..., n

Matriz: Λn×N = (λij)n×N

Sistema de parametrizacao planar

ui =N∑j=1

λijuj =n∑

j=1

λijuj︸︷︷︸interior

+N∑

j=n+1

λijuj︸︷︷︸fronteira

, xn+j = un+j , j = 1, ..., k

x1 =n∑

j=1

λ1jxj +N∑

j=n+1

λ1juj

...

xi =n∑

j=1

λijxj +N∑

j=n+1

λijuj

...

xn =n∑

j=1

λnjxj +N∑

j=n+1

λnjuj


In −

λ11 · · · λ1n...

. . ....

λn1 · · · λnn

X =

λ1(n+1) · · · λ1N...

. . ....

λn(n+1) · · · λnN

U

onde

X =

x1...

xn

e U =

un+1...

uN


In −

λ11 · · · λ1n...

. . ....

λn1 · · · λnn

X =

λ1(n+1) · · · λ1N...

. . ....

λn(n+1) · · · λnN

U

m

Ax = b

ondeA = In −M

com

M =

λ11 · · · λ1n...

. . ....

λn1 · · · λnn

(matriz combinacao convexa de G)

Funcao combinacao convexaSeja f : G → R uma funcao linear por partes definida no grafotriangular G. Diremos que f e uma funcao combinacao convexa se,existem

λij , i ∈ {1, ..., n}, j ∈ {1, ...,N},

satisfazendo as condicoes de convexidade tais que

f (i) =∑

j∈N(i)

λij f (j) ∀i ∈ {1, ..., n}.

Lemma

Princıpio do Maximo Discreto

Seja G um grafo triangular e f : G → R uma funcao combinacaoconvexa sobre o grafo G. Dado um no interior v0 de G, seja V0 oconjunto dos nos de fronteira que podem ser conectados a v0 porum caminho interior. Se f (v0) ≥ f (v) para todo v ∈ V0, entaof (v) = f (v0) para todo v ∈ V0.

Demonstracao.

f (vj) < M⇓

M = f (vm) =∑

j∈Nm

λij f (vj) <∑

j∈Nm

λijM = M∑

j∈Nm

λij = M

⇓f (vj) = M, ∀j ∈ Nm

Proposicao

Seja M a matriz combinacao convexa e A = In −M. Entao A enao-singular.

Aw = 0PMD=⇒ w = 0

Proposicao

Sejam G um grafo triangular e D uma poligonal convexa planar.Seja U o conjunto de pontos dado pela solucao do sistema

Ax = b

e pelos vertices da poligonal convexa D. Entao cada vertice de U,pertence ao polıgono convexo limitado pela poligonal D.

Alem disso Tutte provou que nessas condicoes a imersao obtidapela solucao do sistema e uma triangulacao planar e portanto umaparametrizacao.

Algoritmo Direto


In −

λ11 · · · λ1n...

. . ....

λn1 · · · λnn

︸︷︷︸A

X =

λ1(n+1) · · · λ1N...

. . ....

λn(n+1) · · · λnN

un+1

...uN

︸︷︷︸

b

A = In −M, onde M e dita matriz combinacao convexa de G

M =

λ11 · · · λ1n...

. . ....

λn1 · · · λnn

Peso combinatorio

λij =1

val(i)

Algorithm 1 Algoritmo Direto

Require: S : superfıcie;[G,X ,N, n, k] = ler(S);D = poligonal convexa(k);λ = matriz de pesos(E , n,N);A = I − λ(1 : n, 1 : n);b = λ(1 : n, n + 1 : N) · D;u = A−1b;Y = u ∪ D;return SD = SD(G,Y )

(a) Superfıcie (b) Fronteira

(b) Fronteira (c) Imersao da fronteira na poligonal convexa

(c) Condicao de contorno (d) Parametrizacao planar

(a) Superfıcie (d) Parametrizacao planar

Algoritmo Iterativo

Proposicao

Seja M a matriz convexa do sistema de parametrizacao planar.Entao A = In −M e invertıvel e

A−1 =∞∑i=0

M i .

Portanto uma aproximacao da solucao do sistema (I −M)x = b edada por

x = (I −M)−1b ≈

(m∑i=0

M i

)b

Defina um recursivamente por u0 = b e

um+1 = Mum + b.

Entao

um =

(m∑i=0

M i

)b.

Peso combinatorio

λij =1

val(i)

λij =1

val(i)

Teorema

Sejam

S : superfıcie triangular com fronteiraD : poligonal convexa planar

P(S) : classe de todas as parametrizacoes de S

Defina

T (S) ⊂ P(S) : parametrizacoes obtidas por sistemas deparametrizacao planar com fronteira D

ui =∑

j∈N(i)

λijuj ; λij ≥ 0 e∑

j∈N(i)

λij = 1

C (S) ⊂ P(S) : parametrizacoes cujos nos da fronteira sao osvertices de D

EntaoT (S) = C (S)

Peso inverso da aresta

λij =1

‖ xi − xj ‖

Resultados: Lucy

Peso Combinatorio

λij =1

val(i)

Peso Inverso da Aresta

λij =1

‖ xi − xj ‖

Peso Inverso da Aresta

Peso Inverso da Area

λij =1

A1 + A2

Peso Inverso da Area

Peso Cotangente

λij = cotg(αij) + cotg(βij)

Peso Cotangente

Peso Valor Medio

λij =tg(θ1ij/2) + tg(θ2ij/2)

‖ xi − xj ‖

Peso Valor Medio

Parametrizacoes

Resultados: Mao

Sumario

1 Conceitos Basicos


3 Parametrizacao EsfericaUsando Parametrizacao PlanarTeoria de Colin de VerdiereHeurısticaParametrizacao DiretaResultados

4 Conclusao

Superfıcie Fechada e Parametrizacao Esferica

Usando Parametrizacao Planar: Triangulo como fronteira

Parametrizacao planar

Projecao estereografica


Escalonamento


Parametrizacao esferica - Triangulo como fronteira

Usando Parametrizacao Planar: Poligonal como fronteira

(a) Triangulo como fronteira (b) Poligonal como fronteira

Parametrizacao Esferica

Grafo 3-conectado planar

⇓

S = S(G,X )

Teorema

Dado um grafo 3-conectado planar, a posicao dos vertices formamuma triangulacao esferica (i.e. nao ha triangulos sobrepostos) se, esomente se, cada vertice tem sua posicao dada pela projecaoesferica de alguma combinacao convexa das posicoes de seusvizinhos.

Domınio

x2i + y2

i + z2i = 1, i = 1, ..., n

Colinearidade

Mi = W [i ] v −→ βivi = Mi , βi = ‖Mi‖ < 1 −→ βivi = W [i ] v

⇓

(1− βi )vi = vi −W [i ] v = (I [i ]−W [i ]) v

⇓

αivi − L[i ] v = 0, αi ∈ (0, 1)

Sistema de parametrizacao esferica

sistema quadratico nas variaveis x , y , z e α

x2i + y2

i + z2i = 1, i = 1, ..., n

αixi − L[i ]x = 0, i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0, i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0, i = 1, ..., n

L = I −W

A matriz do sistema

L = I −W com W combinacao convexa

e, em geral, obtida a partir de uma matriz de pesos W como

W = D−1W

onde D = diag(γ1, ..., γn) e γi =∑j

W ij

A normalizacao da matriz W interfere apenas nas variaveis

α = (α1, α2, · · · , αn)

do sistema de parametrizacao esferica.

L = I −W ; W = D−1W com D = diag(γ1, ..., γn) e γi =∑j

W ij

αixi − L[i ]x = 0 ⇔ αixi − (I [i ]−W [i ])x = 0

⇔ αixi −(

I [i ]− W

γi

)x = 0

⇔ (γiαi )xi − (γi I [i ]−W [i ])x = 0

⇔ (γiαi )xi − (D[i ]−W [i ])x = 0

Sistema de parametrizacao esfericax2i + y2

i + z2i = 1, i = 1, ..., n


L ∈ L(G) : conjunto das matrizes laplacianas para o grafo G

Lij =

numero negativo , (i , j) ∈ E

0 , (i , j) /∈ E

−∑

j∈N(i)

Lij ∈ R , i = j

Sistema de parametrizacao esferica com matriz simetricax2i + y2

i + z2i = 1, i = 1, ..., n


L ∈ L(G) : matrizes laplacianas simetricas para o grafo G

Lij =

numero negativo , (i , j) ∈ E e i < j

Lji , (i , j) ∈ E e j < i

0 , (i , j) /∈ E

−∑

j∈N(i)

Lij ∈ R , i = j

Teoria de Colin de Verdiere

Dado um grafo G = G(V ,E ) com n vertices, considere a classeM(G) das matrizes simetricas com entradas Mij tais que

Mij =

numero negativo , (i , j) ∈ E

0 , (i , j) /∈ Equalquer valor , i = j

Denote porλ(M) = {λ0, ..., λn−1}

o espectro de M com autovetores associados

{ξ0, ..., ξn−1}.

Sejam r = r(G) o maior inteiro tal que

λ1 = λ2 = ... = λr

sobre o conjunto M(G) e M uma matriz que alcanca este maximo.

r(G) : numero de Colin de Verdiere (CdV) de GM : matriz CdV de G

λ1 = λ2 = · · · = λr : CdV autovalor de G{ξ1, · · · , ξr} : CdV autovetores de G

Teorema

Um grafo G e um grafo 3-conectado planar se, e somente se,

r(G) = 3.

Teorema

Seja G um grafo 3-conectado planar. Os autovetores CdV

ξ1, ξ2, ξ3

de uma matriz CdV de G determinam uma geometria no R3

pi = (ξ1(i), ξ2(i), ξ3(i))

que descreve um poliedro convexo.

Vamos provar que resolver o sistema de parametrizacao esferica eequivalente a gerar uma matriz de CdV para o grafo G.

triangulacao esferica

msolucao do sistema de parametrizacao esferica

De fato, seja L uma matriz laplaciana simetrica para G e

(x , y , z , α)

uma solucao para o sistema de parametrizacao esferica.

ia − linha L[i ] de L −→ L[i ](x , y , z) = αi (xi , yi , zi )

Defina a matriz M como:

Mij =

{Lij i 6= j

Lij − αi i = j

obtendo M(x , y , z) = 0, isto e, ξ1 = x , ξ2 = y e ξ3 = z saoautovetores de M associados aos autovalores λ1 = λ2 = λ3 = 0.Portanto, M e uma matriz CdV para G com CdV autovaloresnulos e CdV autovetores x , y e z . Sendo r(G) = 3, os autovetoresdescrevem um poliedro convexo que pode ser projetado na esferaformando uma triangulacao esferica.

solucao do sistema de parametrizacao esferica

⇓matriz CdV de G

⇓triangulacao esferica

Se x , y e z sao uma triangulacao esferica de um grafo 3-conectadoplanar entao sao uma base do espaco nulo de alguma matriz deColin de Verdiere M.Portanto x , y e z satisfazem as seguintes equacoes

x2i + y2

i + z2i = 1 i = 1, ..., n

αixi − L[i ]x = 0 i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0 i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0 i = 1, ..., n

com

Lij =

Mij , i 6= j

−∑

r∈N(i)

L(i , r), i = j

eαi = (Lii −Mii )

De fato, temos

L[i ]x = Li1x1 + ...+ Liixi + ...+ Linxn

= Mi1x1 + ...+ Liixi + ...+ Minxn

= Mi1x1 + ...+ (Liixi −Miixi ) + Miixi + ...+ Minxn

= M[i ]x + (Liixi −Miixi )

= (Liixi −Miixi ), M[i ]x = 0

= (Lii −Mii )xi

= αixi

Portantoαixi − L[i ]x = 0

Resultado analogo para y e z (independente do α).


⇓matriz CdV de G

⇓solucao do sistema de parametrizacao esferica


mO sistema de parametrizacao esferica tem solucao

Relaxamento Esferico

x2i + y2

i + z2i − 1 = 0, i = 1, ..., n


m

u0i = b

ut+1i =

vi‖ vi ‖

; vi = M[i ] ut

Toda solucao e um ponto fixo do Relaxamento esferico.

Otimizacao

x2i + y2

i + z2i − 1 = 0, i = 1, ..., n


m

F : R4n −→ R4n

com variaveis

x1, ..., xn, y1, ..., yn, z1, ..., zn, α1, ..., αn

m

solucao do sistema : min{‖F (x)‖}

Bunny

Duck

Resultados: comparacao dos algoritmos

Bunny

Bunny

Resultados: comparacao dos algoritmos

Relaxamento

Relaxamento

Otimizacao

Otimizacao

(a) Fronteria triangular (b) Fronteira poligonal

(c) Relaxamento esferico (d) Otimizacao nao-linear





Sumario

1 Conceitos Basicos



4 ConclusaoLimitacoesTrabalhos Futuros

Caso Planar

Vale ressaltar que o uso da teoria de grafos nos forcou a admitir ahipotese de fronteira fixada numa forma convexa que restringeo conjunto de possıveis parametrizacoes planares para uma dadasuperfıcie planar S .

T (S) ( P(S)

Alguns trabalhos desenvolvem metodos de parametrizar uma malhaplanar com fronteira sem impor restricoes a forma da fronteira dodomınio da parametrizacao

Solucao para distorcao com fronteira nao-convexa

Caso Esferico

Ja no caso esferico obtivemos resultados que descrevem umaparametrizacao para uma triangulacao como a solucao de umsistema quadratico.No entanto, obter um metodo para resolver tal sistema de formaeficiente tem se mostrado uma tarefa bastante difıcil.

Triangulo como Fronteira

ui =∑

j∈N(i)

λijuj ; αivi =∑

j∈N(i)

λijvj

Relaxamento esfericoA metodologia pode convergir para uma solucao degeneradaonde todos os vertices sao iguais a um unico ponto sobre a esfera.Para resolver isso tem se adotado mover o centro de massa para aorigem. Porem isso evita nao apenas solucoes degeneradas.

vi = M[i ]u

vi = vi −n∑

j=1

vj

ui =vi‖ vi ‖

Outra forma de evitar isso e utilizar pesos adaptativos, quecorrespondem a modelagem do sistema massa-mola com umamatriz simetrica.

Relaxamento esfericoFixar pontos pode ajudar a convergir para uma parametrizacaovalida (Nao associada a matriz M). Mas isso pode tambem gerarcomplicacoes.

MM = M;

nj : ındices dos pontos a serem fixados no Relaxamento Esferico.

MM(nj , 1 : n) = zeros(1, 1 : n);

MM(nj , nj) = 1;

Trabalhos Futuros

Em ambos os casos, parametrizacoes planares e esfericas, resta odesafio de definir pesos adequados que faca com que aparametrizacao melhor corresponda a geometria da superfıcie.

Trabalhos Futuros

Por ultimo, pretendemos estender esta teoria para superfıciesrepresentadas por nuvens de pontos.

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Parametrização de Superfície Triangular