Parametrik Olmayan İstatistik

Dağılışa Uyum Testleri: Kolmogorov – Smirnov Testi Çift Yönlü

𝐻0:𝑇ü𝑚 𝑥′ 𝑙𝑒𝑟 𝑖ç𝑖𝑛 𝐹 𝑥 = 𝐹0(𝑥)

𝐻1:𝐸𝑛 𝑎𝑧 𝑏𝑖𝑟 𝑥 𝑖ç𝑖𝑛 𝐹 𝑥 ≠ 𝐹0(𝑥)

𝐹(𝑥): Dağılış fonksiyonu

𝐹0(𝑥): İddia edilen dağılış fonksiyonu

Test İstatistiği

𝑆 𝑥 =𝑥′𝑒 𝑒ş𝑖𝑡 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑘üçü𝑘 ö𝑟𝑛𝑒𝑘 𝑔ö𝑧𝑙𝑒𝑚𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı

𝑛

𝑆 𝑥 = Örnek (veya ampirik) dağılış fonksiyonu.

𝐷 = max𝑥

𝑆 𝑥 − 𝐹0(𝑥)

Ret Bölgesi

D değeri, Kolmogorov – Smirnov Tablo değerini aşarsa H0 reddedilir.

Dağılışa Uyum Testleri: Kolmogorov – Smirnov Testi Testin Adımları

1. Öncelikle gözlemler küçükten büyüğe kadar sıralanır (x(1), x(2), . . ., x(n)) .

2. Örnek veya ampirik dağılım fonksiyonu hesaplanır.

𝑺 𝒙 =

𝟎, 𝒙 < 𝒙(𝟏)

𝒊

𝒏, 𝒙(𝒊) ≤ 𝒙 < 𝒙(𝒊+𝟏)

𝟏, 𝒙 ≥ 𝒙(𝒏)

, 𝒊 = 𝟏,𝟐,… ,𝒏 − 𝟏.

3. H0 hipotezinde verilen teorik dağılışın beklenen olasılıkları F0(x) her bir x için bulunur.

4. Örnek veya ampirik dağılım fonksiyonu ile teorik dağılım fonksiyonu arasındaki farklar hesaplanır

ve en büyüğü seçilir.

𝐷 = max𝑥

𝑆 𝑥 − 𝐹0 𝑥

• Örnek: Bir populasyonun belirli bir karakteristiği olan X’e ait 20 adet ölçüm tabloda verilmiştir. %5 önem seviyesinde verilerin ortalaması μ=127 ve standart sapması σ=10 olan normal dağılışa uyduğu söylenebilir mi?

Dağılışa Uyum Testleri: Kolmogorov – Smirnov Testi Örnek

120 125

128 128

129 130

132 132

123 126

128 129

130 130

138 126

135 129

132 130

Dağılışa Uyum Testleri: Kolmogorov – Smirnov Testi Örnek

H0: Verilerin dağılışı ortalaması 127 ve standart sapması 10 olan normal dağılışa uyar.

H1: Verilerin dağılışı ortalaması 127 ve standart sapması 10 olan normal dağılışa uymaz.

𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝒇𝒊 𝑺(𝑿𝒊) 𝑭𝟎 𝑿𝒊 = 𝑷(𝒙 ≤ 𝒙𝒊)

𝑺(𝑿𝒊) 𝑺 𝒙𝒊 − 𝑭𝟎(𝒙𝒊)

120 1 1 1/20 0.242 0.05 0.192

123 1 2 2/20 0.3446 0.10 0.2446

125 1 3 3/20 0.4207 0.15 0.2708

126 2 5 5/20 0.4602 0.25 0.2102

128 3 8 8/20 0.5398 0.40 0.1398

129 3 11 11/20 0.5792 0.55 0.0292

130 4 15 15/20 0.6179 0.75 0.1321

132 3 18 18/20 0.6914 0.90 0.2085

135 1 19 19/20 0.7881 0.95 0.1619

138 1 20 20/20 0.8643 1 0.1357

𝑃 𝑥 ≤ 120 = 𝑃 𝑧 ≤120−127

10 = 𝑃 𝑧 ≤ −0.7 = 0.5 − 0.258 = 0.242

𝐷 = max𝑥 𝑆 𝑥 − 𝐹0(𝑥) = 0.2708 ve tablo değeri DTablo=0.265 bulunur.

D > DTablo olduğundan H0 reddedilir.

Kolmogorov – Smirnov Tablosu